Geometría - aptus.org · En estas clases trabajaremos con los cubos, prismas y cilindros. Unidad 3: Geometría Material exclusivo para enseñanza Lámina 2e Clase 2 ¿Qué es un

8º Básico

Clase 1Unidad 3

Geometría

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1a

Cálculo mental diario

a) 12 • 10 : 2 =b) 102 + 7 •5 =c) 16:2 – 2 • 6 =d) 44 : 4 – 4:2 =e) - 15 + 3 • 5 =f) 1 + 6 • 6 =g) 15 - (2 • 8) =h) - 2 – 5 - 10 = i) 15 – (6 + 2) =j) ( - 41) + (- 3 ) =k) 9 • (-11) =l) 14 + 6 – 14 =

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1b


a) 12 • 10 : 2 = 60b) 102 + 7 • 5 = 135c) 16 : 2 – 2 • 6 = - 4d) 44 : 4 – 4 : 2 = 9e) - 15 + 3 • 5 = 0f) 1 + 6 • 6 = 37g) 15 - (2 • 8) = - 1h) - 2 – 5 - 10 = -17i) 15 – (6 + 2) = 7j) ( - 41) + (- 3 ) = - 44k) 9 • (-11) = - 99l) 14 + 6 – 14 = 6

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1c

Lo que tendrían que saber

• Ángulos exteriores o interiores de diferentes polígonos.

• Circunferencia y círculo.

• Área de triángulos, paralelogramos y trapecios.

• Identificar puntos y vectores en el plano cartesiano.

Ángulos interiores y exteriores de un polígono

• Conocemos la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es 180°.

• Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos, también se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso.

• Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados.

• En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en (n-2) triángulos y, por lo tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180°·(n-2)

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1d

Suma de ángulos exteriores de un poligono:Primero: conocer el valor de uno de los ángulos interiores: 180º ∙ (n-2)

n

Ejemplo:

108º 0

'0''

72º 0'0''

72º 0'0''

72º 0'0''72

º 0'0

''

72º 0'0''

108º 0'0''

108º 0'0'' 108º 0'0''

108º

0'0

''Segundo: calcular el ángulo suplementario.

Ejemplo: las medidas de los ángulos exteriores de este pentágono regular, la suma de ellos equivale a 72 · 5 = 360º

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1e

Luego la suma de los angulos exteriores de cualquier poligono es siempre 360°.

En la siguiente animación:

http://www.rememes.com/meme/angulos-exteriores-poligonos-suman-360-grados-140916281040649937

Se observa como todos los ángulos exteriores unidos forman un ángulo completo.

http://www.rememes.com/meme/angulos-exteriores-poligonos-suman-360-grados-140916281040649937

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1f

Animación para ver definiciones en el siguiente link:

http://www.accede-tic.es/circuloycircunferencia/elementos.html

Circunferencia

Es una línea curva, cerrada y plana cuyos puntos están a la misma

distancia del centro.

Círculo

Es una figura plana formada por una ciscunferencia y su interior.

Diámetro

Cuerda

Radio

Centro

Semicircunferencia

Arco

Diámetro

Cuerda

Radio

Centro

Semicírculo

Arco

http://www.accede-tic.es/circuloycircunferencia/elementos.html

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1g

Área = π ∙ 𝑟2

Longitud = 2 ∙ π ∙ 𝑟𝑟 𝑟

Área de un círculo: Perímetro de una circunferencia:

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1h

12 cm

3 cm

10 cm

7 cm

9 cm

3,5 cm1,5 cm

2 cm

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Actividad en parejas: Seleccionar circunferencias y calcular área y perímetro:


Área: 3,14 • 1,5 • 1,5 = 7,06 cm2

Perímetro: 2 • 3,14 • 1,5 = 9,42 cm

Área: 3,14 • 2 • 2 = 12,56 cm2

Perímetro: 2 • 3,14 • 2 = 12,56 cm

Área: 3,14 • 3 • 3 = 28,26 cm2

Perímetro: 2 • 3,14 • 3 = 18,84 cm

Área: 3,14 • 3,5 • 3,5 = 38,46 cm2

Perímetro: 2 • 3,14 • 3,5 = 21,98 cm

Área: 3,14 • 3,5 • 3,5 = 38,46 cm2

Perímetro: 2 • 3,14 • 5 = 21,98 cm

Área: 3,14 • 4,5 • 4,5 = 63,58 cm2

Perímetro: 2 • 3,14 • 4,5 = 28,26 cm

Área: 3,14 • 25 = 78,75 cm2

Perímetro: 2 • 3,14 • 5 = 31,4 cm

Área: 3,14 • 6 • 6 = 113,04 cm2

Perímetro: 2 • 3,14 • 6 = 37, 68 cm

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Actividad en parejas: Seleccionar circunferencias y calcular área y perímetro:

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1i

Figura geométrica Perímetro y áreaTríángulo cualquiera

b

c

h aP = a + b + c

á = base ∙ altura = c ∙ h 2 2

Cuadrado

d

a

a

P = 4a

á = a2

Rectágulo

d b

a

P = 2a + 2 b

á = lado ∙ lado = a ∙ b

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1j

Figura geométrica Perímetro y áreaRombo

a

a

e

fh

P = 4a

á = base ∙ altura = b ∙ h

á = diagonal ∙ diagonal = e ∙ f

2 2

Romboide

a

bh

e

f

P = 2a + 3b

á = a ∙ h

Trapecio

a

b

c

dh

m

P = a + b + c + d

á = (base1 ∙ base2) altura = (a + c) h 2 2

á = mediana ∙ altura = m ∙ h

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1k

Puntos en el plano cartesiano:

La posicion de un punto en el plano está determinado por un par ordenado (x,y) los que constituyen las condenadas, considerando primero al eje x y luego al eje y.

Vectores en el plano cartesiano:

Llamaremos Vector a un segmento dirigido, su punto inicial se llama origen y su punto final se llama extremo.Cada vector se caracteriza por tener magnitud, direccion y sentido.

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 1Lámina 1l

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

123456789

1011121314

Y

X

A

B

C

D

Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano:

A (2,4), B (0,9), C (6,6), D (12,0)

8º Básico

Clase 2Unidad 3

Estadística y Probabilidades

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2a Unidad 3: GeometríaClase 2

Revision de tarea clase anterior:Ejercicio 4 CT

Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano(-2 | 3); (5 |-6); (-4 |-8); (4 | 8); (2 | 8)

y

x

-12 -10

-10

-8

-8

-6

-6

-4

-4

-2-2

2

2

4

4

6

6

8

8

10

10

12

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2b Unidad 3: GeometríaClase 2

Cálculo mental (considere π = 3 cm)

a) Perímetro de una circunferencia de radio 4 cm =

b) Área de una circunferencia de radio 2 cm =

c) Perímetro de un cuadrado de lado 8 cm =

d) Área de un rectángulo de largo 6 cm y ancho 11 cm =

e) Diámetro de una circunferencia de radio 7cm =

f) Si el perímetro de una circunferencia es 6 cm, la medida del radio es =

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2c Unidad 3: GeometríaClase 2

Cálculo mental (considere π = 3 cm)

a) Perímetro de una circunferencia de radio 4 cm = 24 cm

b) Área de una circunferencia de radio 2 cm = 12 cm2

c) Perímetro de un cuadrado de lado 8 cm = 32 cm

d) Área de un rectángulo de largo 6 cm y ancho 11 cm = 66 cm2

e) Diámetro de una circunferencia de radio 7cm = 14 cm

f) Si el perímetro de una circunferencia es 6 cm, la medida del radio es = 1 cm


Recordemos

Cuerpos geométricos

Poliedros

Cubo

Prisma

Pirámide

Cilindro

Cono

Esfera

Cuerpos redondos

En estas clases trabajaremos con los cubos, prismas y cilindros.


¿Qué es un poliesro?

Es un cuerpo geométrico compuesto por caras planas en forma de polígono.

¿Qué es un prisma?

Un prisma es un poliedro que posee dos caras paralelas congruentes llamadas bases y sus caras laterales tienen forma de paralelogramo.

Caras laterales en forma de paralelógramo.

R

β

α


Elementos de un prisma

Caras

Aristas

Vértices

Material exclusivo para enseñanzaUnidad4: GeometríaClase 2Lámina 2g

Caso particular:

El CuboEs un poliedro que posee 6 caras cuadradas congruentes.Posee 8 vértices y 12 aristas.También se le conoce con el nombre de hexaedro.

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: Estadística y ProbabilidadesClase 2Lámina 2h

Supongamos que queremoscubrir de papel mural toda lasala de clases y necesitamossaber cuantos cm2 de papelmural necesitamos paracumplir nuestro objetivo.¿Qué datos necesitamosconocer para lograrlo?(Consideremos que queremoscubrirla por completo, esdecir, si no existieran ventanasni objetos adosados a lapared)

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2i Unidad 3: GeometríaClase 2

¿Qué son los cuerpos redondos?Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies

de forma curva.

¿Qué es un cilindro?Cuerpo redondo formado por dos caras paralelas y congruentes en forma de circulo yrodeado por una superficie lateral curva. La distancia entre sus dos caras paralelas serála altura del cilindro.

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2j Unidad 3: GeometríaClase 2

¿Cómo podríamos obtener el área total de la superficie de un cilindro?Para respondernos esta pregunta utilizaremos un tubo de papel higiénico.

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2k Clase 2Unidad 3: Geometría

• Actividad 1 grupal:En grupos de cuatro personas determinar el área

total del cilindro realizando el siguiente procedimiento:Paso 1: Marcar el contorno de la base del cilindro y medir el diámetro de la circunferencia.

Actividad grupal

Material exclusivo para enseñanzaClase 2Unidad 3: GeometríaLámina 2l

• Actividad 1 grupal:Paso 2: Cortar el tubo de papel higiénico de la siguiente manera:

Material exclusivo para enseñanzaLámina 2m Clase 2Unidad 3: Geometría

• Actividad 1 grupal:Paso 3: Medir el largo y ancho del rectángulo resultante.

Paso 4: Con todos los datos recopilados anteriormente, calcular el área total del cilindro. Pueden utilizar calculadora si lo necesitan. (Considera 3 cm)

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 2Lámina 2n

Relacionar

¿Qué datos necesitamos para determinar el área total de la superficie del cilin-dro de la actividad anterior?

Para determinar el área total de un prosma o cilindro es conveniente determi-nar su red de construcción, lo que simplofica y facilita el cálculo.

Ejemplo de redes:

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 2Lámina 2ñ

• Observa las siguientes imágenes:

¿Qué información sería necesaria y suficiente para determinar el área total de este cuerpo geométrico desarmado?

Cierre

8º Básico

Clase 3Unidad 3

Geometría


Revision de tarea clase anterior:Ejercicio IV CT

I. Si un cilindro estuviera formado por una torre de CD cada uno de un grosor de 2 mm, ¿Qué datos bastarían para determinar su área total ? El diámetro de cada disco. La catidad de discos con la que está formada la torre. Agrega la información extra y calcula un área aproximada. (utiliza algún CD que tengas en tu casa forma una torre y determina su área total. Considera 𝜋𝜋 ≈ 3 cm). Respuestas variadas.

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3b

Cálculo Mental (Considere ) :

a) Perímetro de una circunferencia de radio 3 cm = b) Área de una circunferencia de radio 1 cm =

c) Perímetro de un cuadrado de lado 5 cm =

d) Área de un rectángulo de largo 2 cm y ancho 10 cm =

e) Diámetro de una circunferencia de radio 6 cm =

f) Si el perímetro de una circunferencia es 30 cm, la medida del radio es =


Cálculo Mental (Considere ) :

a) Perímetro de una circunferencia de radio 3 cm = 18cm b) Área de una circunferencia de radio 1 cm = 3cm2

c) Perímetro de un cuadrado de lado 5 cm = 20cm

d) Área de un rectángulo de largo 2 cm y ancho 10 cm = 20cm2

e) Diámetro de una circunferencia de radio 6 cm = 12cm

f) Si el perímetro de una circunferencia es 30 cm, la medida del radio es = 5cm


¿Qué es el volumen?

• El volumen es el espacio que ocupan los cuerpos.

• Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son por lo tanto objetos que tienen tres dimensiones (ancho, alto y largo) limitados por una o más superficies.

Largo

Ancho

Ancho


¿Cómo se calcula el volumen de un cuerpo?

Supongamos que tenemos una caja y queremos saber cuánto espacio ocupa la caja. O bien qué cantidad puede ser ocupada dentro de la caja.

Para esto ocuparemos cubos unitariosEs decir cuyo volumen es de 1 cm3.

= 1 unidad


Este dibujo que representa la caja

anterior

Ahora cubrimos la caja capa por capa con los

cubos unitarios.

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3g

Hasta cubrirla por completo:

En total cubrimos la caja con 10 capas.


Cada una de las 10 capas está compuesta por lo siguiente:

¿Podemos determinar su volumen?

8

4


En total hay 96 cubos, es decir, como estamos trabajando con cubos unitarios, el volumen de la caja será de

• Podemos concluirque el volumen de

un prisma recto se podrá calcular LARGO X ANCHO x ALTO.

Otra forma es multiplicando el áreade la base por su altura

Esto se puede realizar para todos los prismas sin importar su base.

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3j

Ahora ustedes! !

Actividad Grupal 1:Para la siguiente actividad, utilizaremos cubos unifix.

Cada uno de estoscubos tiene un volumenDe .

Realizar ejercicio I y II del CT.


Cuando el cuerpo geometrico no es sólido (no tiene nada en su interior), se habla de capacidad del cuerpo. La unidad de capacidad es el litro, que es lo que cabe en un volumen de un decímetro cúbico:

1 litro = 1 dm3 Recuerda: 1 dm = 10 cm

10 cm

10 cm


Actividad 2¿Cuál es el volumen de cada cubo?

¿Cuántos litros se pueden almacenar en el cubo fucsia (el más grande)?

1 dm3 equivale a 1 litro

1 dm 1 dm1 dm = 10 cm 5 dm

5 dm5 dm

10 dm

10 dm = 1 metro

10 dm

Actividad 2¿Cuál es el volúmen de cada cubo?

¿Cuántos litros se pueden almacenar en el cubo fucsia?





Material exclusivo para enseñanzaLámina 3m Clase 3Unidad 3: Geometría

HAY 1000 ¡ 1000 LITROS !

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3n

Observemos

• ¿A qué cuerpo geométrico se asemeja esta torre de monedas ?

• ¿Qué datos necesitaríamos conocer para encontrar su volumen?

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3ñ

Volúmen de un cilindro:

Imagina que este es el cilindro anterior, donde cada moneda representa a una circunferencia sin grosor y que se superpondrán hasta completar el cilindro.

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3o

Entonces supongamos que la torre de monedas tiene estas dos informaciones:

¿Cómo calculamos su volumen?

2 cm

4 cm

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3p

• Volúmen de un cilindro:El volumen de un cilindro se calculará multiplicando el área de la base (círculo) por su altura h.

• En el ejercicio anterior, elRadio es 1cm y la altura 4cm.Luego el volumen es :

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3q

Actividad grupal:

Supongamos que tenemos un recipiente como el de la foto:

Está formado por dos cilindros y el contorno se ha cubierto con cemento y el interior con tierra.¿Cuál es el volumen que ocupa el cemento si llenamos el recipiente?(Considera π ≈ 3,14)

Datos importantes:Altura cilindros 40 cm.Diámetro cilindro interior: 30 cmDiámetro cilindro exterior: 80 cm

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3r

Actividad grupal :

SOLUCIÓN Volumen Cilindro exterior:

Volumen cilindro interior:

Volumen que utiliza cemento:200960 – 28260 =

Material exclusivo para enseñanzaUnidad 3: GeometríaClase 3Lámina 3s

CierreObserva los siguientes cuerpos:

¿Cuál de ellos posee el mayor volumen?

8º Básico

Clase 4Unidad 3

Geometría


Lata

a) b) c) d)

Gramos

Radio

Altura

Comparar con un kilo

Tiene mayor Volumen que a)

Tiene mayor Volumen que b)

Tiene mayor Volumen que c)

Tiene mayor Volumen que d)

400 200 450 500

4cm 5cm 3cm 6cm

12 cm 4cm 12cm 12cm

Menos que un kilo Menos que un kilo Menos que un kilo Menos que un kilo

igual no no si

no igual si si

si no igual si

no no no igual

Material exclusivo para enseñanzaClase 4Lámina 4b


a) 11 • 18 : 2 =

b) 102 + 8 • 7 =

c) 22:2 – 3 • 6 =

d) 48 : 6 – 8:2 =

e) - 18 + 9 • 5 =

f) 1 + 7 • 7 =

g) 26 - (6 •6 ) =

h) - 3 – 5 - 8 =

i) 18 – (8 + 8) =

j) ( - 54) + (- 6 ) =



a) 11 • 18 : 2 = 99

b) 102 + 8 • 7 = 156

c) 22:2 – 3 • 6 = -7

d) 48 : 6 – 8:2 = 4

e) - 18 + 9 • 5 = 27

f) 1 + 7 • 7 = 50

g) 26 - (6 •6 ) = -10

h) - 3 – 5 - 8 = -16

i) 18 – (8 + 8) = 2

j) ( - 54) + (- 6 ) = -60

Material exclusivo para enseñanzaClase 4Lámina 4d Unidad 3: Geometría

DESARROLLO DEL PRISMA

Con mucho cuidado, desarma la caja de remedios y observa sus caras.

Con la lamina entregada, arma el prisma.´


Elementos de un prisma

• Altura de un prisma es la distancia entre las bases.

• Los lados de las bases constituyen las aristas básicas y los lados de las caras laterales, las aristas laterales, éstas son iguales y paralelas entre sí.

Base

Base

Caralateral

Altura

Material exclusivo para enseñanzaClase 4Lámina 4f Unidad 3: Geometría

TIPOS DE PRISMAS

REGULARES: sus bases so polígonos regulares.

IRREGULARES: sus bases son polígonos irregulares.

REGULARES: sus bases son polígonos regulares.

IRREGULARES: sus bases son polígonos irregulares.

TIPOS DE PRISMAS

Material exclusivo para enseñanzaClase 4Lámina 4g Unidad 3: Geometría

RECTOS: sus caras laterales son rectángulos o cuadrados.

OBLICUOS: sus caras laterales son rombos o romboides.

RECTOS: sus caras laterales son rectángulos o cuadrados

OBLICUOS: sus caras laterales son rombos o romboides.


PARALELEPÍPEDOS: sus bases son paralelogramos.

OCTOEDROS: todas sus caras son rectangulares.

PARALELEPÍPEDOS: sus bases son paralelógramos.

OCTOEDROS: todas sus caras son rectangulares.


PRISMAS• Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales

llamadas bases (polígonos congruentes) y sus caras laterales son paralelogramos.

Material exclusivo para enseñanzaClase 4Lámina 4j Unidad 3: Geometría

TIPOS DE PRISMAS SEGÚN SU BASEPRISMA BASES REPRESENTACIÓN

TRIANGULAR TRIANGULOS

CUADRANGULAR CUADRADOS

PENTAGONAL PENTÁGONOS


Área total del prisma: Suma de las superficies de cada cara del prisma

Área total del prisma: área lateral + 2 veces área de la base


• El área de un polígono regular se calcula mediante la siguiente fórmula.

a

A = p • a 2

P = perímetro

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