GEOMETRIA clasa a ndash V- a

1) Pătratul P = 4l A = l2

2) Dreptunghiul P = 2l + 2L A = lL

3) Trapezul P = b +B + l1 + l2

1

Probleme geometrie

1 Perimetrul unui triunghi este 57 cm Să se afle lungimile laturilor sale ştiind că sunt trei numere naturale consecutive

2) Perimetrul unui triunghi este 75 cm Să se afle lungimile laturilor sale ştiind că sunt trei numere naturale impare consecutive

3) Perimetrul unui triunghi este24 cm Să se afle lungimile laturilor sale ştiind că sunt trei numere naturale pare consecutive

4) Perimetrul unui triunghi ABC este 420 cm Aflaţi lungimile laturilor

acestui triunghi ştiind că AB = AC şi

5) Perimetrul unui triunghi este 110 cm Aflaţi laturile acestui triunghi ştiind

că AB = AC şi

6) Dimensiunile unui dreptunghi sunt egale cu 56 dm şi 34 dm Perimetrul unui pătrat reprezintă 80 din perimetrul dreptunghiului Calculaţi latura ptratului

7) Aflaţi perimetrul unui pătrat a cărui latură este egală cu semiperimetrul unui dreptunghi cu dimensiunile de 3 cm şi 4 cm

8) Perimetrul unui trapez este 42 cm Aflaţi lungimile laturilor acestui trapez ştiind că baza mare este de 15 cm iar celelalte laturi au lungimile egale

9) Aflaţi perimetrul unui trapez ştiind că baza mică este de 7 cm baza mare

de două ori mai mare decacirct baza mică iar celelalte două laturi sunt şi

respectiv din suma bazelor

10) O grădină are formă de trapez cu baza mică de 12 cm baza mare de două ori şi jumătate mai mare ca baza mică iar celelalte laturi egale cu

din baza mică şi respectiv din baza mare Să se afle cacirct costă gardul

necesar icircmprejmuirii grădinii dacă un metru liniar de gard costă 25 000 lei

11) Perimetrul unui dreptunghi este 60 m Se măreşte atacirct lungimea cacirct şi lăţimea dreptunghiului cu acelaşi număr de metri obţinacircndu-se un alt dreptunghi cu perimetrul de 140 m Cu cacircţi metri a fost mărită fiecare dimensiune a dreptunghiului

12) Perimetrul unui dreptunghi este de 336 m Aflaţi dimensiunile ştiind că dacă mărim cu 10 m o jumătate din lăţime obţinem cu 4 m mai puţin decăt o jumătate din lungime

13) Perimetrul unui drptunghi este de 618 m Aflaţi dimensiunile ştiind că dacă mărim cu 4 m o treime din lăţime obţinem cu 1 m mai mult decacirct o treime din lungime

ARII

2

1) Un dreptunghi are aria de 960 m2 şi lăţimea de 16 m Să se afle aria unui pătrat care are perimetrul egal cu perimetrul dreptunghiului

2) Perimetrul unui dreptunghi este de 24 cm Calculaţi aria dreptunghiului dacă lungimea sa este de 5 ori mai mare decacirct lăţimea

3) Aria unui dreptunghi este 54 m2 Dacă lăţimea ar fi cu 2 m mai mare atunci aria dreptunghiului ar fi mai mare cu 0(3) din aria dreptunghiului iniţial Aflaţi perimetrul dreptunghiului iniţial

4) Dacă mărim lungimea unui dreptunghi cu din ea şi micşorăm lţimea

cu din ea obţinem un dreptunghi a cărui arie este cu 4 m2 mai mică

decacirct aria dreptunghiului iniţial Determinaţi ariile celor două dreptunghiuri

5) Semiperimetrul unui pătrat este egal cu lăţimea unui dreptunghi iar perimetrul pătratului este o cincime din perimetrul dreptunghiului Să se afle aria pătratului ştiind că aria dreptunghiului este egală cu 16 m2

6) Latura unui pătrat este 05 din lăţimea unui dreptunghi iar perimetrul pătratului este 02 din perimetrul dreptunghiului Ştiind că aria dreptunghiului este 36 m2 să se afle aria pătratului

7) Perimetrul unui pătrat este un sfert din perimetrul unui dreptunghi a cărui lăţime este de trei ori mai mare decacirct latura pătratului Ştiind că aria dreptunghiului este 135 dm2 să se afle aria pătratului

8) Perimetrul unui dreptunghi este 70 m Dacă micşorăm lăţimea de trei ori obţinem un dreptunghi cu aria egală cu aria unui pătrat cu latura de 10 m Determinaţi dimensiunile dreptunghiului ştiind că sunt exprimate prin numere naturale

9) Un dreptunghi are lăţimea de 24 dm Dacă mărim lungimea cu 16 dm se obţine un dreptunghi cu aria de 12 dm2 Aflaţi perimetrul dreptunghiului iniţial

10) Diferenţa dintre lungimea şi lăţimea unui dreptunghi este de 4 cmDacă mărim lungimea cu 2 cm şi lăţimea cu 4 cm obţinem un dreptunghi care are aria cu 6 240 mm2 mai mare decacirct dreptunghiul dat Aflaţi perimetrul dreptunghiului dat 11) Determinaţi lungimea şi lăţimea unui dreptunghi ştiind că dacă

mărim lungimea cu 4 m şi lăţimea cu 3 m obţinem un dreptunghi cu aria de 140 m2 şi aria noului dreptunghi este de 2 ori mai mare decacirct aria dreptunghiului iniţial

Probleme cu unghiuri

3

1) Să se efectueze a) 270 47rsquo 13rsquorsquo + 30 52rsquo 27rsquorsquo 350 48rsquo 45rsquorsquo + 170 5rsquo 15rsquorsquo b) 60 27rsquo 35rsquorsquo + 400

32rsquo 50rsquorsquo 60 27rsquo 35rsquorsquo + 400 32rsquo 50rsquorsquo c) 260 34rsquo 18rsquorsquo + 180 25rsquo 42rsquorsquo 260 34rsquo 18rsquorsquo + 180 25rsquo 42rsquorsquo d) 740 3rsquo ndash 100 45rsquo 150 15rsquo 17rsquorsquo + 180 44rsquo 43rsquorsquo e) 650 24rsquo ndash 160 34rsquo 50rsquorsquo 650 24rsquorsquo ndash 160 34rsquo 50rsquorsquo f) 850 ndash 340

28rsquo 350 ndash 340 28rsquorsquo g) 60 41rsquo 38rsquorsquo ∙ 4 900 ndash 440 15rsquorsquo h) 130 41rsquo 29rsquorsquo ∙ 3 260 11rsquo 12rsquorsquo ndash 110 30rsquo 24rsquorsquo i) 540 28rsquo 2 60 41rsquo 38rsquorsquo ∙ 4 j) 960 16rsquo 3 350 2

2) Se dau unghiurilem(A) = 440 26rsquo 13rsquorsquo m(B) = 160 41rsquo 17rsquorsquo m(C) = 210 43rsquo 57rsquorsquo

Să se calculeze a) m(A) + m(B) ndash m(C) b) m(A) ndash m(B) + m(C) c) m(A) + 2 m(B) -3m(C) d) 2m(A) -3m(B) + 2m(C) e) 3m(A) ndash 4m(B) ndash 2 m(C) f) 5m(A) ndash 2m(B) + m(C) 3

3) Să se calculeze complementul unghiurilor următoare a) 340 15rsquo b) 650 7rsquo 15rsquorsquo c) 390 17rsquorsquo d) 310 e) 370 25rsquo 41rsquorsquo

4) Să se găsească suplementul următoarelor unghiuri a) 1200 15rsquo 17rsquorsquo b) 1480 7rsquo 13rsquorsquo c) 240 15rsquorsquo d) 790 e) 62015rsquo 24rsquorsquo f) 1240 3rsquorsquo

5) Diferenţa măsurilor a două unghiuri complementare este de 80 20rsquo Aflaţi cele două măsuri ale unghiurilor

6) Diferenţa măsurilor a două unghiuri suplementare este de 370 Aflaţi cele două măsuri ale unghiurilor

7) Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este Aflaţi măsurile

acestora

8) Măsura unui unghi este de 4 ori mai mare decacirct a complementului său Aflaţi măsurile celor două unghiuri

9) Măsura unghiului dintre laturile necomune a două unghiuri adiacente este de 1650 Aflaţi măsura unghiului dintre bisectoarele acestora

4

10) Un unghi are măsua de 780 15rsquo 30rsquorsquo Calculaţi măsura complementului său şi a suplementului său

11) Măsurile a două unghiuri complementare sunt direct proporţionale cu numerele 4 şi 8 Aflaţi măsura fiecăruia dintre eel

12) Fie AOB şi BOC două unghiuri adiacente cu mărimile respectiv de 630 25rsquo 52rsquorsquo şi de 840 49rsquo 36rsquorsquo Calculaţi a) măsura unghiului dintre laturile necomuneb) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

13) Suma măsurilor a două unghiuri adiacente este de 2420 Calculaţi a) măsura unghiului dintre laturile necomuneb) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

14) Două bisectoare a două unghiuri adiacente formează un unghi de măsură 600 Mărimile celor două unghiuri sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 025 Calculaţi măsurile acestor unghiuri

15) Fie unghiurile adiacente AOB şi AOC cu iar m(BOC) =

640 Calculaţi a) m(AOB) şi m(BOC) b) măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor AOB şi AOC

16) Măsurile a două unghiuri complementare sunt invers proporţionale cu numerele 025 şi 01(6) Calculaţi măsurile celor două unghiuri

17) Diferenţa a două unghiuri complementare este de 130 14rsquo 16rsquorsquo Să se calculeze măsura fiecărui unghi

18) Un unghi este egal cu din complementul său Să se afle măsura fiecărui

unghi

19) Diferenţa dintre două unghiuri suplementare este de dintr-un unghi drept

Să se afle măsura fiecărui unghi

20) De trei ori măsura complementului unui unghi este măsura unghiului Care este măsura unghiului şi a complementului

5

21) Măsura complementului este de două ori mai mică decacirct măsura unghiului Care este măsura unghiului

22) Raportul măsurilor a două unghiuri complementare este Să se determine

măsurile celor două unghiuri

23) Măsura unui unghi este de trei ori mai mare decacirct măsura suplementului său Cacirct este măsura unghiului

24) Măsura unui unghi este cu 240 mai mare decacirct măsura suplementului său Aflaţi măsura celor două unghiuri

25) Raportul a două unghiuri suplementare este Aflaţi măsurile celor două

unghiuri

26) Raportul dintre măsura complementului şi suplementului unui unghi ascuţit

este Aflaţi măsura unghiului

27) Suma măsurilor a două unghiuri adiacente este de 2800 Calculaţi a) măsura unghiurilor dintre laturile necomune b) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

28) Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri adiacente este de 700 Calculaţi măsura unghiului dintre laturile necomune

29) Măsura unghiului dintre laturile necomune a două unghiuri adiacente este 1300 Calculaţi măsura unghiului dintre bisectoarele lor

30) Aflaţi măsura unghiului dintre bisectoarele a două unghiuri adiacente complementare

31) Calculaţi măsura unui unghi ştiind că este din măsura complementului

său

32) Diferenţa a două unghiuri complementare este 150 Calculaţi măsura unghiurilor

33) Măsura unui unghi este cu 500 mai mare decacirct măsura complementului său Aflaţi măsura acestui unghi

6

34) Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este 5 Calculaţi măsurile celor două unghiuri

35) Măsura unui unghi este din măsura suplementului său Aflaţi măsura

acestui unghi

36) Măsurile a două unghiuri suplementare sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 0 (3) Calculaţi măsurile celor două unghiuri

37) Suplementul complementului unui unghi are 1300 Cacircte grade are unghiul respectiv

38) Complementul suplementului unui unghi are 200 Calculaţi măsura acestui unghi

39) Două unghiuri adiacente au laturile necomune icircn prelungire Calculaţi

măsurile celor două unghiuri dacă din măsura primului unghi este jumătate

din măsura celuilalt

40) Dacă bisectoarele a două unghiuri formeză un unghi de 600 şi măsurile celor două unghiuri sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 025 calculaţi măsurile acestor unghiuri

41) Se dau unghiurile AOB şi BOC astfel icircncacirct m(AOB) = 3 m(BOC) Ştiind că bisectoarele lor formează un unghi de 540 calculaţi a) m(AOC) b) m(AOB) şi m(BOC) c) m(AOBrsquo) (OBrsquo şi (OB fiind semidrepte opuse

42) Fie unghiurile adiacente AOB şi AOC cu m(BOC) = 280

Calculaţi a) m(AOB) şi m(AOC) b) măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor AOB şi AOC

43) Măsura unui unghi reprezintă ⅔ din măsura suplementului său Aflaţi măsurile celor două unghiuri

44) Suma dintre complementul şi suplementul unui unghi este de 1200 Aflaţi măsura unghiului

45) Diferenţa măsurilor a două unghiuri este de 500 Ştiind că cele două unghiuri sunt complementare aflaţi măsurile celor două unghiuri

7

46) Dacă m(A) = 320 13rsquo 26rsquorsquo m(B) = 120 27rsquo 41rsquorsquo m(C) = 490 30rsquo 22rsquorsquo calculaţi m(A) + m(B) +m(C) m(B) + m(C) ndash m(A) 2 ∙ [ m(A) ndash m(B) ] + m(C)

47) Transformaţi icircn grade minute şi secunde 1379rsquorsquo 13079rsquorsquo 3736rsquo 70 971rsquo 192rsquorsquo

48) Se consideră unghiul AOB [OC bisectoarea sa şi [OD bisectoarea unghiului BOC a) Aflaţi m(BOD) ştiind că m(AOB) = 620 b) Aflaţi m(AOB) ştiind că m(COD) = 230

49) Fie unghiurile AOB BOC COD DOE şi EOA adiacente două cacircte două formate icircn jurul punctului O astfel icircncacirct m(BOC) = 2 ∙ m(AOB) m(COD) = 3 ∙ m(AOB) m(doe) este cu 200 mai mică decacirct măsura AOB iar măsura EOA este cu 300 mai mare decacirct m(COD) Aflaţi măsurile unghiurilor

50) Aflaţi măsura unui unghi ştiind că măsura suplementului său este cu 200 mai mare decacirct triplul măsurii complementului său

51)

Geometria clasa a ndash VI ndash a == teorie ==

8

Noţiuni elementareDefiniţia ndash este o propoziţie matematică ce exprimă conţinutul unei noţiuni scoţacircnd icircn evidenţă caracteristicile esenţiale ale acesteia

Axioma ndash este o propoziţie matematică al cărei conţinut este evident şi se acceptă fără justificare

Teorema ndash este o propoziţie matematică al cărei adevăr rezultă icircn urma unor justificări

Punctul este o noţiune primară Punctele se notează cu litere mari ale alfabetului

Dreapta este o noţiune primară Dreptele se notează cu litere mici ale alfabetului Dreapta este formată dintr-o infinitate de puncte Trei puncte sunt coliniare dacă sunt pe aceeaşi dreaptă

Axiomele de incidenţă

I1 Orice două puncte determină o dreaptă unicăI2 Orice dreaptă are cel puţin două puncte distincteI3 Există trei puncte necoliniareI4 Trei puncte necoliniare determină un plan unicI5 Orice plan conţine cel puţin un punctI6 Dacă două puncte distincte ale aceleiaşi drepte aparţin unui plan atunci dreapta este inclusă icircn plan

Teorema Două drepte distincte au cel mult un punct comun

Două drepte a şi b a ne b se numesc secante dacă a cap b ne Oslash şi nesecante dacă a cap b = Oslash

Postulat Dacă avem două drepte care sunt tăiate de o secantă aceste drepte se intersectează de aceeaşi parte a secantei icircn care suma unghiurilor alterne interne este mai mică decacirct suma a două unghiuri drepte

Postulatul paralelelor ( sau axioma paralelelor) Fiind dat un punct icircn afara unei drepte atunci există o unică nesecantă care conţine punctul

9

Semidreapta ndash Fie d o dreaptă şi O є d şi A є d Atunci mulţimea punctelor dreptei d situate de aceeaşi parte cu A faţă de O se numeşte semidreapta cu originea icircn O care conţine punctul A Notăm [OA

Segmentul ndash Fie d o dreaptă şi A şi B două puncte aparţinacircnd dreptei AneB Mulţimea punctelor dreptei situate icircntre A şi B se numeşte segment de dreaptă

Două sau mai multe segmente care au aceeaşi lungime se numesc congruente

Fie segmentul [AB] şi M є (AB) Dacă [AM] = [MB] atunci M se numeşte mijlocul segmentului [AB]

Simetria faţă de un punct

∙ Fiind date punctele A şi O distincte punctul Arsquo se numeşte simetricul punctului A faţă de O dacă O є (AArsquo ) şi [OA] = [OArsquo] O se numeşte centrul de simetrie al segmentului [AArsquo]

∙ Fie a şi b două drepte concurente icircn punctul O Dacă unul dintre unghiurile formate icircn jurul punctului O este drept atunci a şi b se numesc drepte perpendiculare

10

Mediatoarea unui segment

∙ Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului

Ex a AB [AM] = [MB]Atunci a este mediatoarea segmentului [AB]

∙ Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de extremităţile segmentului

Ex N є a a mediatoarea segmentului [AB] =gt [NA] = [NB]

Drepte paralele ∙ Fie a şi b două drepte şi s o secantă comună Atunci unghiurile a) (4 6 ) şi ( 3 5 ) se numesc alterne interne b) ( 1 7 ) şi ( 2 8) se numesc alterne externe c) ( 1 5 ) şi (4 8 ) (2 6 ) şi ( 3 7) se numesc unghiuri corespondente d) (4 5) şi (3 6) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei e) (1 8) şi (2 7) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei

∙ Două drepte distincte situate icircn acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele

∙ Dacă două drepte distincte intersectate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne congruente atunci dreptele sunt paralele

∙ Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente

∙ Dacă două unghiuri au laturile respectiv paralele atunci ele sunt congruente

11

Probleme geometrie

1 Perimetrul unui triunghi este 57 cm Să se afle lungimile laturilor sale ştiind că sunt trei numere naturale consecutive

2) Perimetrul unui triunghi este 75 cm Să se afle lungimile laturilor sale ştiind că sunt trei numere naturale impare consecutive

3) Perimetrul unui triunghi este24 cm Să se afle lungimile laturilor sale ştiind că sunt trei numere naturale pare consecutive

4) Perimetrul unui triunghi ABC este 420 cm Aflaţi lungimile laturilor

acestui triunghi ştiind că AB = AC şi

5) Perimetrul unui triunghi este 110 cm Aflaţi laturile acestui triunghi ştiind

că AB = AC şi

6) Dimensiunile unui dreptunghi sunt egale cu 56 dm şi 34 dm Perimetrul unui pătrat reprezintă 80 din perimetrul dreptunghiului Calculaţi latura ptratului

7) Aflaţi perimetrul unui pătrat a cărui latură este egală cu semiperimetrul unui dreptunghi cu dimensiunile de 3 cm şi 4 cm

8) Perimetrul unui trapez este 42 cm Aflaţi lungimile laturilor acestui trapez ştiind că baza mare este de 15 cm iar celelalte laturi au lungimile egale

9) Aflaţi perimetrul unui trapez ştiind că baza mică este de 7 cm baza mare

de două ori mai mare decacirct baza mică iar celelalte două laturi sunt şi

respectiv din suma bazelor

10) O grădină are formă de trapez cu baza mică de 12 cm baza mare de două ori şi jumătate mai mare ca baza mică iar celelalte laturi egale cu

din baza mică şi respectiv din baza mare Să se afle cacirct costă gardul

necesar icircmprejmuirii grădinii dacă un metru liniar de gard costă 25 000 lei

11) Perimetrul unui dreptunghi este 60 m Se măreşte atacirct lungimea cacirct şi lăţimea dreptunghiului cu acelaşi număr de metri obţinacircndu-se un alt dreptunghi cu perimetrul de 140 m Cu cacircţi metri a fost mărită fiecare dimensiune a dreptunghiului

12) Perimetrul unui dreptunghi este de 336 m Aflaţi dimensiunile ştiind că dacă mărim cu 10 m o jumătate din lăţime obţinem cu 4 m mai puţin decăt o jumătate din lungime

13) Perimetrul unui drptunghi este de 618 m Aflaţi dimensiunile ştiind că dacă mărim cu 4 m o treime din lăţime obţinem cu 1 m mai mult decacirct o treime din lungime

ARII

2

1) Un dreptunghi are aria de 960 m2 şi lăţimea de 16 m Să se afle aria unui pătrat care are perimetrul egal cu perimetrul dreptunghiului

2) Perimetrul unui dreptunghi este de 24 cm Calculaţi aria dreptunghiului dacă lungimea sa este de 5 ori mai mare decacirct lăţimea

3) Aria unui dreptunghi este 54 m2 Dacă lăţimea ar fi cu 2 m mai mare atunci aria dreptunghiului ar fi mai mare cu 0(3) din aria dreptunghiului iniţial Aflaţi perimetrul dreptunghiului iniţial

4) Dacă mărim lungimea unui dreptunghi cu din ea şi micşorăm lţimea

cu din ea obţinem un dreptunghi a cărui arie este cu 4 m2 mai mică

decacirct aria dreptunghiului iniţial Determinaţi ariile celor două dreptunghiuri

5) Semiperimetrul unui pătrat este egal cu lăţimea unui dreptunghi iar perimetrul pătratului este o cincime din perimetrul dreptunghiului Să se afle aria pătratului ştiind că aria dreptunghiului este egală cu 16 m2

6) Latura unui pătrat este 05 din lăţimea unui dreptunghi iar perimetrul pătratului este 02 din perimetrul dreptunghiului Ştiind că aria dreptunghiului este 36 m2 să se afle aria pătratului

7) Perimetrul unui pătrat este un sfert din perimetrul unui dreptunghi a cărui lăţime este de trei ori mai mare decacirct latura pătratului Ştiind că aria dreptunghiului este 135 dm2 să se afle aria pătratului

8) Perimetrul unui dreptunghi este 70 m Dacă micşorăm lăţimea de trei ori obţinem un dreptunghi cu aria egală cu aria unui pătrat cu latura de 10 m Determinaţi dimensiunile dreptunghiului ştiind că sunt exprimate prin numere naturale

9) Un dreptunghi are lăţimea de 24 dm Dacă mărim lungimea cu 16 dm se obţine un dreptunghi cu aria de 12 dm2 Aflaţi perimetrul dreptunghiului iniţial

10) Diferenţa dintre lungimea şi lăţimea unui dreptunghi este de 4 cmDacă mărim lungimea cu 2 cm şi lăţimea cu 4 cm obţinem un dreptunghi care are aria cu 6 240 mm2 mai mare decacirct dreptunghiul dat Aflaţi perimetrul dreptunghiului dat 11) Determinaţi lungimea şi lăţimea unui dreptunghi ştiind că dacă

mărim lungimea cu 4 m şi lăţimea cu 3 m obţinem un dreptunghi cu aria de 140 m2 şi aria noului dreptunghi este de 2 ori mai mare decacirct aria dreptunghiului iniţial

Probleme cu unghiuri

3

1) Să se efectueze a) 270 47rsquo 13rsquorsquo + 30 52rsquo 27rsquorsquo 350 48rsquo 45rsquorsquo + 170 5rsquo 15rsquorsquo b) 60 27rsquo 35rsquorsquo + 400

32rsquo 50rsquorsquo 60 27rsquo 35rsquorsquo + 400 32rsquo 50rsquorsquo c) 260 34rsquo 18rsquorsquo + 180 25rsquo 42rsquorsquo 260 34rsquo 18rsquorsquo + 180 25rsquo 42rsquorsquo d) 740 3rsquo ndash 100 45rsquo 150 15rsquo 17rsquorsquo + 180 44rsquo 43rsquorsquo e) 650 24rsquo ndash 160 34rsquo 50rsquorsquo 650 24rsquorsquo ndash 160 34rsquo 50rsquorsquo f) 850 ndash 340

28rsquo 350 ndash 340 28rsquorsquo g) 60 41rsquo 38rsquorsquo ∙ 4 900 ndash 440 15rsquorsquo h) 130 41rsquo 29rsquorsquo ∙ 3 260 11rsquo 12rsquorsquo ndash 110 30rsquo 24rsquorsquo i) 540 28rsquo 2 60 41rsquo 38rsquorsquo ∙ 4 j) 960 16rsquo 3 350 2

2) Se dau unghiurilem(A) = 440 26rsquo 13rsquorsquo m(B) = 160 41rsquo 17rsquorsquo m(C) = 210 43rsquo 57rsquorsquo

Să se calculeze a) m(A) + m(B) ndash m(C) b) m(A) ndash m(B) + m(C) c) m(A) + 2 m(B) -3m(C) d) 2m(A) -3m(B) + 2m(C) e) 3m(A) ndash 4m(B) ndash 2 m(C) f) 5m(A) ndash 2m(B) + m(C) 3

3) Să se calculeze complementul unghiurilor următoare a) 340 15rsquo b) 650 7rsquo 15rsquorsquo c) 390 17rsquorsquo d) 310 e) 370 25rsquo 41rsquorsquo

4) Să se găsească suplementul următoarelor unghiuri a) 1200 15rsquo 17rsquorsquo b) 1480 7rsquo 13rsquorsquo c) 240 15rsquorsquo d) 790 e) 62015rsquo 24rsquorsquo f) 1240 3rsquorsquo

5) Diferenţa măsurilor a două unghiuri complementare este de 80 20rsquo Aflaţi cele două măsuri ale unghiurilor

6) Diferenţa măsurilor a două unghiuri suplementare este de 370 Aflaţi cele două măsuri ale unghiurilor

7) Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este Aflaţi măsurile

acestora

8) Măsura unui unghi este de 4 ori mai mare decacirct a complementului său Aflaţi măsurile celor două unghiuri

9) Măsura unghiului dintre laturile necomune a două unghiuri adiacente este de 1650 Aflaţi măsura unghiului dintre bisectoarele acestora

4

10) Un unghi are măsua de 780 15rsquo 30rsquorsquo Calculaţi măsura complementului său şi a suplementului său

11) Măsurile a două unghiuri complementare sunt direct proporţionale cu numerele 4 şi 8 Aflaţi măsura fiecăruia dintre eel

12) Fie AOB şi BOC două unghiuri adiacente cu mărimile respectiv de 630 25rsquo 52rsquorsquo şi de 840 49rsquo 36rsquorsquo Calculaţi a) măsura unghiului dintre laturile necomuneb) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

13) Suma măsurilor a două unghiuri adiacente este de 2420 Calculaţi a) măsura unghiului dintre laturile necomuneb) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

14) Două bisectoare a două unghiuri adiacente formează un unghi de măsură 600 Mărimile celor două unghiuri sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 025 Calculaţi măsurile acestor unghiuri

15) Fie unghiurile adiacente AOB şi AOC cu iar m(BOC) =

640 Calculaţi a) m(AOB) şi m(BOC) b) măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor AOB şi AOC

16) Măsurile a două unghiuri complementare sunt invers proporţionale cu numerele 025 şi 01(6) Calculaţi măsurile celor două unghiuri

17) Diferenţa a două unghiuri complementare este de 130 14rsquo 16rsquorsquo Să se calculeze măsura fiecărui unghi

18) Un unghi este egal cu din complementul său Să se afle măsura fiecărui

unghi

19) Diferenţa dintre două unghiuri suplementare este de dintr-un unghi drept

Să se afle măsura fiecărui unghi

20) De trei ori măsura complementului unui unghi este măsura unghiului Care este măsura unghiului şi a complementului

5

21) Măsura complementului este de două ori mai mică decacirct măsura unghiului Care este măsura unghiului

22) Raportul măsurilor a două unghiuri complementare este Să se determine

măsurile celor două unghiuri

23) Măsura unui unghi este de trei ori mai mare decacirct măsura suplementului său Cacirct este măsura unghiului

24) Măsura unui unghi este cu 240 mai mare decacirct măsura suplementului său Aflaţi măsura celor două unghiuri

25) Raportul a două unghiuri suplementare este Aflaţi măsurile celor două

unghiuri

26) Raportul dintre măsura complementului şi suplementului unui unghi ascuţit

este Aflaţi măsura unghiului

27) Suma măsurilor a două unghiuri adiacente este de 2800 Calculaţi a) măsura unghiurilor dintre laturile necomune b) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

28) Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri adiacente este de 700 Calculaţi măsura unghiului dintre laturile necomune

29) Măsura unghiului dintre laturile necomune a două unghiuri adiacente este 1300 Calculaţi măsura unghiului dintre bisectoarele lor

30) Aflaţi măsura unghiului dintre bisectoarele a două unghiuri adiacente complementare

31) Calculaţi măsura unui unghi ştiind că este din măsura complementului

său

32) Diferenţa a două unghiuri complementare este 150 Calculaţi măsura unghiurilor

33) Măsura unui unghi este cu 500 mai mare decacirct măsura complementului său Aflaţi măsura acestui unghi

6

34) Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este 5 Calculaţi măsurile celor două unghiuri

35) Măsura unui unghi este din măsura suplementului său Aflaţi măsura

acestui unghi

36) Măsurile a două unghiuri suplementare sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 0 (3) Calculaţi măsurile celor două unghiuri

37) Suplementul complementului unui unghi are 1300 Cacircte grade are unghiul respectiv

38) Complementul suplementului unui unghi are 200 Calculaţi măsura acestui unghi

39) Două unghiuri adiacente au laturile necomune icircn prelungire Calculaţi

măsurile celor două unghiuri dacă din măsura primului unghi este jumătate

din măsura celuilalt

40) Dacă bisectoarele a două unghiuri formeză un unghi de 600 şi măsurile celor două unghiuri sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 025 calculaţi măsurile acestor unghiuri

41) Se dau unghiurile AOB şi BOC astfel icircncacirct m(AOB) = 3 m(BOC) Ştiind că bisectoarele lor formează un unghi de 540 calculaţi a) m(AOC) b) m(AOB) şi m(BOC) c) m(AOBrsquo) (OBrsquo şi (OB fiind semidrepte opuse

42) Fie unghiurile adiacente AOB şi AOC cu m(BOC) = 280

Calculaţi a) m(AOB) şi m(AOC) b) măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor AOB şi AOC

43) Măsura unui unghi reprezintă ⅔ din măsura suplementului său Aflaţi măsurile celor două unghiuri

44) Suma dintre complementul şi suplementul unui unghi este de 1200 Aflaţi măsura unghiului

45) Diferenţa măsurilor a două unghiuri este de 500 Ştiind că cele două unghiuri sunt complementare aflaţi măsurile celor două unghiuri

7

46) Dacă m(A) = 320 13rsquo 26rsquorsquo m(B) = 120 27rsquo 41rsquorsquo m(C) = 490 30rsquo 22rsquorsquo calculaţi m(A) + m(B) +m(C) m(B) + m(C) ndash m(A) 2 ∙ [ m(A) ndash m(B) ] + m(C)

47) Transformaţi icircn grade minute şi secunde 1379rsquorsquo 13079rsquorsquo 3736rsquo 70 971rsquo 192rsquorsquo

48) Se consideră unghiul AOB [OC bisectoarea sa şi [OD bisectoarea unghiului BOC a) Aflaţi m(BOD) ştiind că m(AOB) = 620 b) Aflaţi m(AOB) ştiind că m(COD) = 230

49) Fie unghiurile AOB BOC COD DOE şi EOA adiacente două cacircte două formate icircn jurul punctului O astfel icircncacirct m(BOC) = 2 ∙ m(AOB) m(COD) = 3 ∙ m(AOB) m(doe) este cu 200 mai mică decacirct măsura AOB iar măsura EOA este cu 300 mai mare decacirct m(COD) Aflaţi măsurile unghiurilor

50) Aflaţi măsura unui unghi ştiind că măsura suplementului său este cu 200 mai mare decacirct triplul măsurii complementului său

51)

Geometria clasa a ndash VI ndash a == teorie ==

8

Noţiuni elementareDefiniţia ndash este o propoziţie matematică ce exprimă conţinutul unei noţiuni scoţacircnd icircn evidenţă caracteristicile esenţiale ale acesteia

Axioma ndash este o propoziţie matematică al cărei conţinut este evident şi se acceptă fără justificare

Teorema ndash este o propoziţie matematică al cărei adevăr rezultă icircn urma unor justificări

Punctul este o noţiune primară Punctele se notează cu litere mari ale alfabetului

Dreapta este o noţiune primară Dreptele se notează cu litere mici ale alfabetului Dreapta este formată dintr-o infinitate de puncte Trei puncte sunt coliniare dacă sunt pe aceeaşi dreaptă

Axiomele de incidenţă

I1 Orice două puncte determină o dreaptă unicăI2 Orice dreaptă are cel puţin două puncte distincteI3 Există trei puncte necoliniareI4 Trei puncte necoliniare determină un plan unicI5 Orice plan conţine cel puţin un punctI6 Dacă două puncte distincte ale aceleiaşi drepte aparţin unui plan atunci dreapta este inclusă icircn plan

Teorema Două drepte distincte au cel mult un punct comun

Două drepte a şi b a ne b se numesc secante dacă a cap b ne Oslash şi nesecante dacă a cap b = Oslash

Postulat Dacă avem două drepte care sunt tăiate de o secantă aceste drepte se intersectează de aceeaşi parte a secantei icircn care suma unghiurilor alterne interne este mai mică decacirct suma a două unghiuri drepte

Postulatul paralelelor ( sau axioma paralelelor) Fiind dat un punct icircn afara unei drepte atunci există o unică nesecantă care conţine punctul

9

Semidreapta ndash Fie d o dreaptă şi O є d şi A є d Atunci mulţimea punctelor dreptei d situate de aceeaşi parte cu A faţă de O se numeşte semidreapta cu originea icircn O care conţine punctul A Notăm [OA

Segmentul ndash Fie d o dreaptă şi A şi B două puncte aparţinacircnd dreptei AneB Mulţimea punctelor dreptei situate icircntre A şi B se numeşte segment de dreaptă

Două sau mai multe segmente care au aceeaşi lungime se numesc congruente

Fie segmentul [AB] şi M є (AB) Dacă [AM] = [MB] atunci M se numeşte mijlocul segmentului [AB]

Simetria faţă de un punct

∙ Fiind date punctele A şi O distincte punctul Arsquo se numeşte simetricul punctului A faţă de O dacă O є (AArsquo ) şi [OA] = [OArsquo] O se numeşte centrul de simetrie al segmentului [AArsquo]

∙ Fie a şi b două drepte concurente icircn punctul O Dacă unul dintre unghiurile formate icircn jurul punctului O este drept atunci a şi b se numesc drepte perpendiculare

10

Mediatoarea unui segment

∙ Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului

Ex a AB [AM] = [MB]Atunci a este mediatoarea segmentului [AB]

∙ Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de extremităţile segmentului

Ex N є a a mediatoarea segmentului [AB] =gt [NA] = [NB]

Drepte paralele ∙ Fie a şi b două drepte şi s o secantă comună Atunci unghiurile a) (4 6 ) şi ( 3 5 ) se numesc alterne interne b) ( 1 7 ) şi ( 2 8) se numesc alterne externe c) ( 1 5 ) şi (4 8 ) (2 6 ) şi ( 3 7) se numesc unghiuri corespondente d) (4 5) şi (3 6) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei e) (1 8) şi (2 7) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei

∙ Două drepte distincte situate icircn acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele

∙ Dacă două drepte distincte intersectate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne congruente atunci dreptele sunt paralele

∙ Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente

∙ Dacă două unghiuri au laturile respectiv paralele atunci ele sunt congruente

11

1) Un dreptunghi are aria de 960 m2 şi lăţimea de 16 m Să se afle aria unui pătrat care are perimetrul egal cu perimetrul dreptunghiului

2) Perimetrul unui dreptunghi este de 24 cm Calculaţi aria dreptunghiului dacă lungimea sa este de 5 ori mai mare decacirct lăţimea

3) Aria unui dreptunghi este 54 m2 Dacă lăţimea ar fi cu 2 m mai mare atunci aria dreptunghiului ar fi mai mare cu 0(3) din aria dreptunghiului iniţial Aflaţi perimetrul dreptunghiului iniţial

4) Dacă mărim lungimea unui dreptunghi cu din ea şi micşorăm lţimea

cu din ea obţinem un dreptunghi a cărui arie este cu 4 m2 mai mică

decacirct aria dreptunghiului iniţial Determinaţi ariile celor două dreptunghiuri

5) Semiperimetrul unui pătrat este egal cu lăţimea unui dreptunghi iar perimetrul pătratului este o cincime din perimetrul dreptunghiului Să se afle aria pătratului ştiind că aria dreptunghiului este egală cu 16 m2

6) Latura unui pătrat este 05 din lăţimea unui dreptunghi iar perimetrul pătratului este 02 din perimetrul dreptunghiului Ştiind că aria dreptunghiului este 36 m2 să se afle aria pătratului

7) Perimetrul unui pătrat este un sfert din perimetrul unui dreptunghi a cărui lăţime este de trei ori mai mare decacirct latura pătratului Ştiind că aria dreptunghiului este 135 dm2 să se afle aria pătratului

8) Perimetrul unui dreptunghi este 70 m Dacă micşorăm lăţimea de trei ori obţinem un dreptunghi cu aria egală cu aria unui pătrat cu latura de 10 m Determinaţi dimensiunile dreptunghiului ştiind că sunt exprimate prin numere naturale

9) Un dreptunghi are lăţimea de 24 dm Dacă mărim lungimea cu 16 dm se obţine un dreptunghi cu aria de 12 dm2 Aflaţi perimetrul dreptunghiului iniţial

10) Diferenţa dintre lungimea şi lăţimea unui dreptunghi este de 4 cmDacă mărim lungimea cu 2 cm şi lăţimea cu 4 cm obţinem un dreptunghi care are aria cu 6 240 mm2 mai mare decacirct dreptunghiul dat Aflaţi perimetrul dreptunghiului dat 11) Determinaţi lungimea şi lăţimea unui dreptunghi ştiind că dacă

mărim lungimea cu 4 m şi lăţimea cu 3 m obţinem un dreptunghi cu aria de 140 m2 şi aria noului dreptunghi este de 2 ori mai mare decacirct aria dreptunghiului iniţial

Probleme cu unghiuri

3

1) Să se efectueze a) 270 47rsquo 13rsquorsquo + 30 52rsquo 27rsquorsquo 350 48rsquo 45rsquorsquo + 170 5rsquo 15rsquorsquo b) 60 27rsquo 35rsquorsquo + 400

32rsquo 50rsquorsquo 60 27rsquo 35rsquorsquo + 400 32rsquo 50rsquorsquo c) 260 34rsquo 18rsquorsquo + 180 25rsquo 42rsquorsquo 260 34rsquo 18rsquorsquo + 180 25rsquo 42rsquorsquo d) 740 3rsquo ndash 100 45rsquo 150 15rsquo 17rsquorsquo + 180 44rsquo 43rsquorsquo e) 650 24rsquo ndash 160 34rsquo 50rsquorsquo 650 24rsquorsquo ndash 160 34rsquo 50rsquorsquo f) 850 ndash 340

28rsquo 350 ndash 340 28rsquorsquo g) 60 41rsquo 38rsquorsquo ∙ 4 900 ndash 440 15rsquorsquo h) 130 41rsquo 29rsquorsquo ∙ 3 260 11rsquo 12rsquorsquo ndash 110 30rsquo 24rsquorsquo i) 540 28rsquo 2 60 41rsquo 38rsquorsquo ∙ 4 j) 960 16rsquo 3 350 2

2) Se dau unghiurilem(A) = 440 26rsquo 13rsquorsquo m(B) = 160 41rsquo 17rsquorsquo m(C) = 210 43rsquo 57rsquorsquo

Să se calculeze a) m(A) + m(B) ndash m(C) b) m(A) ndash m(B) + m(C) c) m(A) + 2 m(B) -3m(C) d) 2m(A) -3m(B) + 2m(C) e) 3m(A) ndash 4m(B) ndash 2 m(C) f) 5m(A) ndash 2m(B) + m(C) 3

3) Să se calculeze complementul unghiurilor următoare a) 340 15rsquo b) 650 7rsquo 15rsquorsquo c) 390 17rsquorsquo d) 310 e) 370 25rsquo 41rsquorsquo

4) Să se găsească suplementul următoarelor unghiuri a) 1200 15rsquo 17rsquorsquo b) 1480 7rsquo 13rsquorsquo c) 240 15rsquorsquo d) 790 e) 62015rsquo 24rsquorsquo f) 1240 3rsquorsquo

5) Diferenţa măsurilor a două unghiuri complementare este de 80 20rsquo Aflaţi cele două măsuri ale unghiurilor

6) Diferenţa măsurilor a două unghiuri suplementare este de 370 Aflaţi cele două măsuri ale unghiurilor

7) Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este Aflaţi măsurile

acestora

8) Măsura unui unghi este de 4 ori mai mare decacirct a complementului său Aflaţi măsurile celor două unghiuri

9) Măsura unghiului dintre laturile necomune a două unghiuri adiacente este de 1650 Aflaţi măsura unghiului dintre bisectoarele acestora

4

10) Un unghi are măsua de 780 15rsquo 30rsquorsquo Calculaţi măsura complementului său şi a suplementului său

11) Măsurile a două unghiuri complementare sunt direct proporţionale cu numerele 4 şi 8 Aflaţi măsura fiecăruia dintre eel

12) Fie AOB şi BOC două unghiuri adiacente cu mărimile respectiv de 630 25rsquo 52rsquorsquo şi de 840 49rsquo 36rsquorsquo Calculaţi a) măsura unghiului dintre laturile necomuneb) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

13) Suma măsurilor a două unghiuri adiacente este de 2420 Calculaţi a) măsura unghiului dintre laturile necomuneb) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

14) Două bisectoare a două unghiuri adiacente formează un unghi de măsură 600 Mărimile celor două unghiuri sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 025 Calculaţi măsurile acestor unghiuri

15) Fie unghiurile adiacente AOB şi AOC cu iar m(BOC) =

640 Calculaţi a) m(AOB) şi m(BOC) b) măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor AOB şi AOC

16) Măsurile a două unghiuri complementare sunt invers proporţionale cu numerele 025 şi 01(6) Calculaţi măsurile celor două unghiuri

17) Diferenţa a două unghiuri complementare este de 130 14rsquo 16rsquorsquo Să se calculeze măsura fiecărui unghi

18) Un unghi este egal cu din complementul său Să se afle măsura fiecărui

unghi

19) Diferenţa dintre două unghiuri suplementare este de dintr-un unghi drept

Să se afle măsura fiecărui unghi

20) De trei ori măsura complementului unui unghi este măsura unghiului Care este măsura unghiului şi a complementului

5

21) Măsura complementului este de două ori mai mică decacirct măsura unghiului Care este măsura unghiului

22) Raportul măsurilor a două unghiuri complementare este Să se determine

măsurile celor două unghiuri

23) Măsura unui unghi este de trei ori mai mare decacirct măsura suplementului său Cacirct este măsura unghiului

24) Măsura unui unghi este cu 240 mai mare decacirct măsura suplementului său Aflaţi măsura celor două unghiuri

25) Raportul a două unghiuri suplementare este Aflaţi măsurile celor două

unghiuri

26) Raportul dintre măsura complementului şi suplementului unui unghi ascuţit

este Aflaţi măsura unghiului

27) Suma măsurilor a două unghiuri adiacente este de 2800 Calculaţi a) măsura unghiurilor dintre laturile necomune b) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

28) Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri adiacente este de 700 Calculaţi măsura unghiului dintre laturile necomune

29) Măsura unghiului dintre laturile necomune a două unghiuri adiacente este 1300 Calculaţi măsura unghiului dintre bisectoarele lor

30) Aflaţi măsura unghiului dintre bisectoarele a două unghiuri adiacente complementare

31) Calculaţi măsura unui unghi ştiind că este din măsura complementului

său

32) Diferenţa a două unghiuri complementare este 150 Calculaţi măsura unghiurilor

33) Măsura unui unghi este cu 500 mai mare decacirct măsura complementului său Aflaţi măsura acestui unghi

6

34) Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este 5 Calculaţi măsurile celor două unghiuri

35) Măsura unui unghi este din măsura suplementului său Aflaţi măsura

acestui unghi

36) Măsurile a două unghiuri suplementare sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 0 (3) Calculaţi măsurile celor două unghiuri

37) Suplementul complementului unui unghi are 1300 Cacircte grade are unghiul respectiv

38) Complementul suplementului unui unghi are 200 Calculaţi măsura acestui unghi

39) Două unghiuri adiacente au laturile necomune icircn prelungire Calculaţi

măsurile celor două unghiuri dacă din măsura primului unghi este jumătate

din măsura celuilalt

40) Dacă bisectoarele a două unghiuri formeză un unghi de 600 şi măsurile celor două unghiuri sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 025 calculaţi măsurile acestor unghiuri

41) Se dau unghiurile AOB şi BOC astfel icircncacirct m(AOB) = 3 m(BOC) Ştiind că bisectoarele lor formează un unghi de 540 calculaţi a) m(AOC) b) m(AOB) şi m(BOC) c) m(AOBrsquo) (OBrsquo şi (OB fiind semidrepte opuse

42) Fie unghiurile adiacente AOB şi AOC cu m(BOC) = 280

Calculaţi a) m(AOB) şi m(AOC) b) măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor AOB şi AOC

43) Măsura unui unghi reprezintă ⅔ din măsura suplementului său Aflaţi măsurile celor două unghiuri

44) Suma dintre complementul şi suplementul unui unghi este de 1200 Aflaţi măsura unghiului

45) Diferenţa măsurilor a două unghiuri este de 500 Ştiind că cele două unghiuri sunt complementare aflaţi măsurile celor două unghiuri

7

46) Dacă m(A) = 320 13rsquo 26rsquorsquo m(B) = 120 27rsquo 41rsquorsquo m(C) = 490 30rsquo 22rsquorsquo calculaţi m(A) + m(B) +m(C) m(B) + m(C) ndash m(A) 2 ∙ [ m(A) ndash m(B) ] + m(C)

47) Transformaţi icircn grade minute şi secunde 1379rsquorsquo 13079rsquorsquo 3736rsquo 70 971rsquo 192rsquorsquo

48) Se consideră unghiul AOB [OC bisectoarea sa şi [OD bisectoarea unghiului BOC a) Aflaţi m(BOD) ştiind că m(AOB) = 620 b) Aflaţi m(AOB) ştiind că m(COD) = 230

49) Fie unghiurile AOB BOC COD DOE şi EOA adiacente două cacircte două formate icircn jurul punctului O astfel icircncacirct m(BOC) = 2 ∙ m(AOB) m(COD) = 3 ∙ m(AOB) m(doe) este cu 200 mai mică decacirct măsura AOB iar măsura EOA este cu 300 mai mare decacirct m(COD) Aflaţi măsurile unghiurilor

50) Aflaţi măsura unui unghi ştiind că măsura suplementului său este cu 200 mai mare decacirct triplul măsurii complementului său

51)

Geometria clasa a ndash VI ndash a == teorie ==

8

Noţiuni elementareDefiniţia ndash este o propoziţie matematică ce exprimă conţinutul unei noţiuni scoţacircnd icircn evidenţă caracteristicile esenţiale ale acesteia

Axioma ndash este o propoziţie matematică al cărei conţinut este evident şi se acceptă fără justificare

Teorema ndash este o propoziţie matematică al cărei adevăr rezultă icircn urma unor justificări

Punctul este o noţiune primară Punctele se notează cu litere mari ale alfabetului

Dreapta este o noţiune primară Dreptele se notează cu litere mici ale alfabetului Dreapta este formată dintr-o infinitate de puncte Trei puncte sunt coliniare dacă sunt pe aceeaşi dreaptă

Axiomele de incidenţă

I1 Orice două puncte determină o dreaptă unicăI2 Orice dreaptă are cel puţin două puncte distincteI3 Există trei puncte necoliniareI4 Trei puncte necoliniare determină un plan unicI5 Orice plan conţine cel puţin un punctI6 Dacă două puncte distincte ale aceleiaşi drepte aparţin unui plan atunci dreapta este inclusă icircn plan

Teorema Două drepte distincte au cel mult un punct comun

Două drepte a şi b a ne b se numesc secante dacă a cap b ne Oslash şi nesecante dacă a cap b = Oslash

Postulat Dacă avem două drepte care sunt tăiate de o secantă aceste drepte se intersectează de aceeaşi parte a secantei icircn care suma unghiurilor alterne interne este mai mică decacirct suma a două unghiuri drepte

Postulatul paralelelor ( sau axioma paralelelor) Fiind dat un punct icircn afara unei drepte atunci există o unică nesecantă care conţine punctul

9

Semidreapta ndash Fie d o dreaptă şi O є d şi A є d Atunci mulţimea punctelor dreptei d situate de aceeaşi parte cu A faţă de O se numeşte semidreapta cu originea icircn O care conţine punctul A Notăm [OA

Segmentul ndash Fie d o dreaptă şi A şi B două puncte aparţinacircnd dreptei AneB Mulţimea punctelor dreptei situate icircntre A şi B se numeşte segment de dreaptă

Două sau mai multe segmente care au aceeaşi lungime se numesc congruente

Fie segmentul [AB] şi M є (AB) Dacă [AM] = [MB] atunci M se numeşte mijlocul segmentului [AB]

Simetria faţă de un punct

∙ Fiind date punctele A şi O distincte punctul Arsquo se numeşte simetricul punctului A faţă de O dacă O є (AArsquo ) şi [OA] = [OArsquo] O se numeşte centrul de simetrie al segmentului [AArsquo]

∙ Fie a şi b două drepte concurente icircn punctul O Dacă unul dintre unghiurile formate icircn jurul punctului O este drept atunci a şi b se numesc drepte perpendiculare

10

Mediatoarea unui segment

∙ Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului

Ex a AB [AM] = [MB]Atunci a este mediatoarea segmentului [AB]

∙ Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de extremităţile segmentului

Ex N є a a mediatoarea segmentului [AB] =gt [NA] = [NB]

Drepte paralele ∙ Fie a şi b două drepte şi s o secantă comună Atunci unghiurile a) (4 6 ) şi ( 3 5 ) se numesc alterne interne b) ( 1 7 ) şi ( 2 8) se numesc alterne externe c) ( 1 5 ) şi (4 8 ) (2 6 ) şi ( 3 7) se numesc unghiuri corespondente d) (4 5) şi (3 6) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei e) (1 8) şi (2 7) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei

∙ Două drepte distincte situate icircn acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele

∙ Dacă două drepte distincte intersectate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne congruente atunci dreptele sunt paralele

∙ Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente

∙ Dacă două unghiuri au laturile respectiv paralele atunci ele sunt congruente

11

1) Să se efectueze a) 270 47rsquo 13rsquorsquo + 30 52rsquo 27rsquorsquo 350 48rsquo 45rsquorsquo + 170 5rsquo 15rsquorsquo b) 60 27rsquo 35rsquorsquo + 400

32rsquo 50rsquorsquo 60 27rsquo 35rsquorsquo + 400 32rsquo 50rsquorsquo c) 260 34rsquo 18rsquorsquo + 180 25rsquo 42rsquorsquo 260 34rsquo 18rsquorsquo + 180 25rsquo 42rsquorsquo d) 740 3rsquo ndash 100 45rsquo 150 15rsquo 17rsquorsquo + 180 44rsquo 43rsquorsquo e) 650 24rsquo ndash 160 34rsquo 50rsquorsquo 650 24rsquorsquo ndash 160 34rsquo 50rsquorsquo f) 850 ndash 340

28rsquo 350 ndash 340 28rsquorsquo g) 60 41rsquo 38rsquorsquo ∙ 4 900 ndash 440 15rsquorsquo h) 130 41rsquo 29rsquorsquo ∙ 3 260 11rsquo 12rsquorsquo ndash 110 30rsquo 24rsquorsquo i) 540 28rsquo 2 60 41rsquo 38rsquorsquo ∙ 4 j) 960 16rsquo 3 350 2

2) Se dau unghiurilem(A) = 440 26rsquo 13rsquorsquo m(B) = 160 41rsquo 17rsquorsquo m(C) = 210 43rsquo 57rsquorsquo

Să se calculeze a) m(A) + m(B) ndash m(C) b) m(A) ndash m(B) + m(C) c) m(A) + 2 m(B) -3m(C) d) 2m(A) -3m(B) + 2m(C) e) 3m(A) ndash 4m(B) ndash 2 m(C) f) 5m(A) ndash 2m(B) + m(C) 3

3) Să se calculeze complementul unghiurilor următoare a) 340 15rsquo b) 650 7rsquo 15rsquorsquo c) 390 17rsquorsquo d) 310 e) 370 25rsquo 41rsquorsquo

4) Să se găsească suplementul următoarelor unghiuri a) 1200 15rsquo 17rsquorsquo b) 1480 7rsquo 13rsquorsquo c) 240 15rsquorsquo d) 790 e) 62015rsquo 24rsquorsquo f) 1240 3rsquorsquo

5) Diferenţa măsurilor a două unghiuri complementare este de 80 20rsquo Aflaţi cele două măsuri ale unghiurilor

6) Diferenţa măsurilor a două unghiuri suplementare este de 370 Aflaţi cele două măsuri ale unghiurilor

7) Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este Aflaţi măsurile

acestora

8) Măsura unui unghi este de 4 ori mai mare decacirct a complementului său Aflaţi măsurile celor două unghiuri

9) Măsura unghiului dintre laturile necomune a două unghiuri adiacente este de 1650 Aflaţi măsura unghiului dintre bisectoarele acestora

4

10) Un unghi are măsua de 780 15rsquo 30rsquorsquo Calculaţi măsura complementului său şi a suplementului său

11) Măsurile a două unghiuri complementare sunt direct proporţionale cu numerele 4 şi 8 Aflaţi măsura fiecăruia dintre eel

12) Fie AOB şi BOC două unghiuri adiacente cu mărimile respectiv de 630 25rsquo 52rsquorsquo şi de 840 49rsquo 36rsquorsquo Calculaţi a) măsura unghiului dintre laturile necomuneb) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

13) Suma măsurilor a două unghiuri adiacente este de 2420 Calculaţi a) măsura unghiului dintre laturile necomuneb) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

14) Două bisectoare a două unghiuri adiacente formează un unghi de măsură 600 Mărimile celor două unghiuri sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 025 Calculaţi măsurile acestor unghiuri

15) Fie unghiurile adiacente AOB şi AOC cu iar m(BOC) =

640 Calculaţi a) m(AOB) şi m(BOC) b) măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor AOB şi AOC

16) Măsurile a două unghiuri complementare sunt invers proporţionale cu numerele 025 şi 01(6) Calculaţi măsurile celor două unghiuri

17) Diferenţa a două unghiuri complementare este de 130 14rsquo 16rsquorsquo Să se calculeze măsura fiecărui unghi

18) Un unghi este egal cu din complementul său Să se afle măsura fiecărui

unghi

19) Diferenţa dintre două unghiuri suplementare este de dintr-un unghi drept

Să se afle măsura fiecărui unghi

20) De trei ori măsura complementului unui unghi este măsura unghiului Care este măsura unghiului şi a complementului

5

21) Măsura complementului este de două ori mai mică decacirct măsura unghiului Care este măsura unghiului

22) Raportul măsurilor a două unghiuri complementare este Să se determine

măsurile celor două unghiuri

23) Măsura unui unghi este de trei ori mai mare decacirct măsura suplementului său Cacirct este măsura unghiului

24) Măsura unui unghi este cu 240 mai mare decacirct măsura suplementului său Aflaţi măsura celor două unghiuri

25) Raportul a două unghiuri suplementare este Aflaţi măsurile celor două

unghiuri

26) Raportul dintre măsura complementului şi suplementului unui unghi ascuţit

este Aflaţi măsura unghiului

27) Suma măsurilor a două unghiuri adiacente este de 2800 Calculaţi a) măsura unghiurilor dintre laturile necomune b) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

28) Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri adiacente este de 700 Calculaţi măsura unghiului dintre laturile necomune

29) Măsura unghiului dintre laturile necomune a două unghiuri adiacente este 1300 Calculaţi măsura unghiului dintre bisectoarele lor

30) Aflaţi măsura unghiului dintre bisectoarele a două unghiuri adiacente complementare

31) Calculaţi măsura unui unghi ştiind că este din măsura complementului

său

32) Diferenţa a două unghiuri complementare este 150 Calculaţi măsura unghiurilor

33) Măsura unui unghi este cu 500 mai mare decacirct măsura complementului său Aflaţi măsura acestui unghi

6

34) Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este 5 Calculaţi măsurile celor două unghiuri

35) Măsura unui unghi este din măsura suplementului său Aflaţi măsura

acestui unghi

36) Măsurile a două unghiuri suplementare sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 0 (3) Calculaţi măsurile celor două unghiuri

37) Suplementul complementului unui unghi are 1300 Cacircte grade are unghiul respectiv

38) Complementul suplementului unui unghi are 200 Calculaţi măsura acestui unghi

39) Două unghiuri adiacente au laturile necomune icircn prelungire Calculaţi

măsurile celor două unghiuri dacă din măsura primului unghi este jumătate

din măsura celuilalt

40) Dacă bisectoarele a două unghiuri formeză un unghi de 600 şi măsurile celor două unghiuri sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 025 calculaţi măsurile acestor unghiuri

41) Se dau unghiurile AOB şi BOC astfel icircncacirct m(AOB) = 3 m(BOC) Ştiind că bisectoarele lor formează un unghi de 540 calculaţi a) m(AOC) b) m(AOB) şi m(BOC) c) m(AOBrsquo) (OBrsquo şi (OB fiind semidrepte opuse

42) Fie unghiurile adiacente AOB şi AOC cu m(BOC) = 280

Calculaţi a) m(AOB) şi m(AOC) b) măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor AOB şi AOC

43) Măsura unui unghi reprezintă ⅔ din măsura suplementului său Aflaţi măsurile celor două unghiuri

44) Suma dintre complementul şi suplementul unui unghi este de 1200 Aflaţi măsura unghiului

45) Diferenţa măsurilor a două unghiuri este de 500 Ştiind că cele două unghiuri sunt complementare aflaţi măsurile celor două unghiuri

7

46) Dacă m(A) = 320 13rsquo 26rsquorsquo m(B) = 120 27rsquo 41rsquorsquo m(C) = 490 30rsquo 22rsquorsquo calculaţi m(A) + m(B) +m(C) m(B) + m(C) ndash m(A) 2 ∙ [ m(A) ndash m(B) ] + m(C)

47) Transformaţi icircn grade minute şi secunde 1379rsquorsquo 13079rsquorsquo 3736rsquo 70 971rsquo 192rsquorsquo

48) Se consideră unghiul AOB [OC bisectoarea sa şi [OD bisectoarea unghiului BOC a) Aflaţi m(BOD) ştiind că m(AOB) = 620 b) Aflaţi m(AOB) ştiind că m(COD) = 230

49) Fie unghiurile AOB BOC COD DOE şi EOA adiacente două cacircte două formate icircn jurul punctului O astfel icircncacirct m(BOC) = 2 ∙ m(AOB) m(COD) = 3 ∙ m(AOB) m(doe) este cu 200 mai mică decacirct măsura AOB iar măsura EOA este cu 300 mai mare decacirct m(COD) Aflaţi măsurile unghiurilor

50) Aflaţi măsura unui unghi ştiind că măsura suplementului său este cu 200 mai mare decacirct triplul măsurii complementului său

51)

Geometria clasa a ndash VI ndash a == teorie ==

8

Noţiuni elementareDefiniţia ndash este o propoziţie matematică ce exprimă conţinutul unei noţiuni scoţacircnd icircn evidenţă caracteristicile esenţiale ale acesteia

Axioma ndash este o propoziţie matematică al cărei conţinut este evident şi se acceptă fără justificare

Teorema ndash este o propoziţie matematică al cărei adevăr rezultă icircn urma unor justificări

Punctul este o noţiune primară Punctele se notează cu litere mari ale alfabetului

Dreapta este o noţiune primară Dreptele se notează cu litere mici ale alfabetului Dreapta este formată dintr-o infinitate de puncte Trei puncte sunt coliniare dacă sunt pe aceeaşi dreaptă

Axiomele de incidenţă

I1 Orice două puncte determină o dreaptă unicăI2 Orice dreaptă are cel puţin două puncte distincteI3 Există trei puncte necoliniareI4 Trei puncte necoliniare determină un plan unicI5 Orice plan conţine cel puţin un punctI6 Dacă două puncte distincte ale aceleiaşi drepte aparţin unui plan atunci dreapta este inclusă icircn plan

Teorema Două drepte distincte au cel mult un punct comun

Două drepte a şi b a ne b se numesc secante dacă a cap b ne Oslash şi nesecante dacă a cap b = Oslash

Postulat Dacă avem două drepte care sunt tăiate de o secantă aceste drepte se intersectează de aceeaşi parte a secantei icircn care suma unghiurilor alterne interne este mai mică decacirct suma a două unghiuri drepte

Postulatul paralelelor ( sau axioma paralelelor) Fiind dat un punct icircn afara unei drepte atunci există o unică nesecantă care conţine punctul

9

Semidreapta ndash Fie d o dreaptă şi O є d şi A є d Atunci mulţimea punctelor dreptei d situate de aceeaşi parte cu A faţă de O se numeşte semidreapta cu originea icircn O care conţine punctul A Notăm [OA

Segmentul ndash Fie d o dreaptă şi A şi B două puncte aparţinacircnd dreptei AneB Mulţimea punctelor dreptei situate icircntre A şi B se numeşte segment de dreaptă

Două sau mai multe segmente care au aceeaşi lungime se numesc congruente

Fie segmentul [AB] şi M є (AB) Dacă [AM] = [MB] atunci M se numeşte mijlocul segmentului [AB]

Simetria faţă de un punct

∙ Fiind date punctele A şi O distincte punctul Arsquo se numeşte simetricul punctului A faţă de O dacă O є (AArsquo ) şi [OA] = [OArsquo] O se numeşte centrul de simetrie al segmentului [AArsquo]

∙ Fie a şi b două drepte concurente icircn punctul O Dacă unul dintre unghiurile formate icircn jurul punctului O este drept atunci a şi b se numesc drepte perpendiculare

10

Mediatoarea unui segment

∙ Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului

Ex a AB [AM] = [MB]Atunci a este mediatoarea segmentului [AB]

∙ Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de extremităţile segmentului

Ex N є a a mediatoarea segmentului [AB] =gt [NA] = [NB]

Drepte paralele ∙ Fie a şi b două drepte şi s o secantă comună Atunci unghiurile a) (4 6 ) şi ( 3 5 ) se numesc alterne interne b) ( 1 7 ) şi ( 2 8) se numesc alterne externe c) ( 1 5 ) şi (4 8 ) (2 6 ) şi ( 3 7) se numesc unghiuri corespondente d) (4 5) şi (3 6) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei e) (1 8) şi (2 7) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei

∙ Două drepte distincte situate icircn acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele

∙ Dacă două drepte distincte intersectate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne congruente atunci dreptele sunt paralele

∙ Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente

∙ Dacă două unghiuri au laturile respectiv paralele atunci ele sunt congruente

11

10) Un unghi are măsua de 780 15rsquo 30rsquorsquo Calculaţi măsura complementului său şi a suplementului său

11) Măsurile a două unghiuri complementare sunt direct proporţionale cu numerele 4 şi 8 Aflaţi măsura fiecăruia dintre eel

12) Fie AOB şi BOC două unghiuri adiacente cu mărimile respectiv de 630 25rsquo 52rsquorsquo şi de 840 49rsquo 36rsquorsquo Calculaţi a) măsura unghiului dintre laturile necomuneb) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

13) Suma măsurilor a două unghiuri adiacente este de 2420 Calculaţi a) măsura unghiului dintre laturile necomuneb) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

14) Două bisectoare a două unghiuri adiacente formează un unghi de măsură 600 Mărimile celor două unghiuri sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 025 Calculaţi măsurile acestor unghiuri

15) Fie unghiurile adiacente AOB şi AOC cu iar m(BOC) =

640 Calculaţi a) m(AOB) şi m(BOC) b) măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor AOB şi AOC

16) Măsurile a două unghiuri complementare sunt invers proporţionale cu numerele 025 şi 01(6) Calculaţi măsurile celor două unghiuri

17) Diferenţa a două unghiuri complementare este de 130 14rsquo 16rsquorsquo Să se calculeze măsura fiecărui unghi

18) Un unghi este egal cu din complementul său Să se afle măsura fiecărui

unghi

19) Diferenţa dintre două unghiuri suplementare este de dintr-un unghi drept

Să se afle măsura fiecărui unghi

20) De trei ori măsura complementului unui unghi este măsura unghiului Care este măsura unghiului şi a complementului

5

21) Măsura complementului este de două ori mai mică decacirct măsura unghiului Care este măsura unghiului

22) Raportul măsurilor a două unghiuri complementare este Să se determine

măsurile celor două unghiuri

23) Măsura unui unghi este de trei ori mai mare decacirct măsura suplementului său Cacirct este măsura unghiului

24) Măsura unui unghi este cu 240 mai mare decacirct măsura suplementului său Aflaţi măsura celor două unghiuri

25) Raportul a două unghiuri suplementare este Aflaţi măsurile celor două

unghiuri

26) Raportul dintre măsura complementului şi suplementului unui unghi ascuţit

este Aflaţi măsura unghiului

27) Suma măsurilor a două unghiuri adiacente este de 2800 Calculaţi a) măsura unghiurilor dintre laturile necomune b) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

28) Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri adiacente este de 700 Calculaţi măsura unghiului dintre laturile necomune

29) Măsura unghiului dintre laturile necomune a două unghiuri adiacente este 1300 Calculaţi măsura unghiului dintre bisectoarele lor

30) Aflaţi măsura unghiului dintre bisectoarele a două unghiuri adiacente complementare

31) Calculaţi măsura unui unghi ştiind că este din măsura complementului

său

32) Diferenţa a două unghiuri complementare este 150 Calculaţi măsura unghiurilor

33) Măsura unui unghi este cu 500 mai mare decacirct măsura complementului său Aflaţi măsura acestui unghi

6

34) Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este 5 Calculaţi măsurile celor două unghiuri

35) Măsura unui unghi este din măsura suplementului său Aflaţi măsura

acestui unghi

36) Măsurile a două unghiuri suplementare sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 0 (3) Calculaţi măsurile celor două unghiuri

37) Suplementul complementului unui unghi are 1300 Cacircte grade are unghiul respectiv

38) Complementul suplementului unui unghi are 200 Calculaţi măsura acestui unghi

39) Două unghiuri adiacente au laturile necomune icircn prelungire Calculaţi

măsurile celor două unghiuri dacă din măsura primului unghi este jumătate

din măsura celuilalt

40) Dacă bisectoarele a două unghiuri formeză un unghi de 600 şi măsurile celor două unghiuri sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 025 calculaţi măsurile acestor unghiuri

41) Se dau unghiurile AOB şi BOC astfel icircncacirct m(AOB) = 3 m(BOC) Ştiind că bisectoarele lor formează un unghi de 540 calculaţi a) m(AOC) b) m(AOB) şi m(BOC) c) m(AOBrsquo) (OBrsquo şi (OB fiind semidrepte opuse

42) Fie unghiurile adiacente AOB şi AOC cu m(BOC) = 280

Calculaţi a) m(AOB) şi m(AOC) b) măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor AOB şi AOC

43) Măsura unui unghi reprezintă ⅔ din măsura suplementului său Aflaţi măsurile celor două unghiuri

44) Suma dintre complementul şi suplementul unui unghi este de 1200 Aflaţi măsura unghiului

45) Diferenţa măsurilor a două unghiuri este de 500 Ştiind că cele două unghiuri sunt complementare aflaţi măsurile celor două unghiuri

7

46) Dacă m(A) = 320 13rsquo 26rsquorsquo m(B) = 120 27rsquo 41rsquorsquo m(C) = 490 30rsquo 22rsquorsquo calculaţi m(A) + m(B) +m(C) m(B) + m(C) ndash m(A) 2 ∙ [ m(A) ndash m(B) ] + m(C)

47) Transformaţi icircn grade minute şi secunde 1379rsquorsquo 13079rsquorsquo 3736rsquo 70 971rsquo 192rsquorsquo

48) Se consideră unghiul AOB [OC bisectoarea sa şi [OD bisectoarea unghiului BOC a) Aflaţi m(BOD) ştiind că m(AOB) = 620 b) Aflaţi m(AOB) ştiind că m(COD) = 230

49) Fie unghiurile AOB BOC COD DOE şi EOA adiacente două cacircte două formate icircn jurul punctului O astfel icircncacirct m(BOC) = 2 ∙ m(AOB) m(COD) = 3 ∙ m(AOB) m(doe) este cu 200 mai mică decacirct măsura AOB iar măsura EOA este cu 300 mai mare decacirct m(COD) Aflaţi măsurile unghiurilor

50) Aflaţi măsura unui unghi ştiind că măsura suplementului său este cu 200 mai mare decacirct triplul măsurii complementului său

51)

Geometria clasa a ndash VI ndash a == teorie ==

8

Noţiuni elementareDefiniţia ndash este o propoziţie matematică ce exprimă conţinutul unei noţiuni scoţacircnd icircn evidenţă caracteristicile esenţiale ale acesteia

Axioma ndash este o propoziţie matematică al cărei conţinut este evident şi se acceptă fără justificare

Teorema ndash este o propoziţie matematică al cărei adevăr rezultă icircn urma unor justificări

Punctul este o noţiune primară Punctele se notează cu litere mari ale alfabetului

Dreapta este o noţiune primară Dreptele se notează cu litere mici ale alfabetului Dreapta este formată dintr-o infinitate de puncte Trei puncte sunt coliniare dacă sunt pe aceeaşi dreaptă

Axiomele de incidenţă

I1 Orice două puncte determină o dreaptă unicăI2 Orice dreaptă are cel puţin două puncte distincteI3 Există trei puncte necoliniareI4 Trei puncte necoliniare determină un plan unicI5 Orice plan conţine cel puţin un punctI6 Dacă două puncte distincte ale aceleiaşi drepte aparţin unui plan atunci dreapta este inclusă icircn plan

Teorema Două drepte distincte au cel mult un punct comun

Două drepte a şi b a ne b se numesc secante dacă a cap b ne Oslash şi nesecante dacă a cap b = Oslash

Postulat Dacă avem două drepte care sunt tăiate de o secantă aceste drepte se intersectează de aceeaşi parte a secantei icircn care suma unghiurilor alterne interne este mai mică decacirct suma a două unghiuri drepte

Postulatul paralelelor ( sau axioma paralelelor) Fiind dat un punct icircn afara unei drepte atunci există o unică nesecantă care conţine punctul

9

Semidreapta ndash Fie d o dreaptă şi O є d şi A є d Atunci mulţimea punctelor dreptei d situate de aceeaşi parte cu A faţă de O se numeşte semidreapta cu originea icircn O care conţine punctul A Notăm [OA

Segmentul ndash Fie d o dreaptă şi A şi B două puncte aparţinacircnd dreptei AneB Mulţimea punctelor dreptei situate icircntre A şi B se numeşte segment de dreaptă

Două sau mai multe segmente care au aceeaşi lungime se numesc congruente

Fie segmentul [AB] şi M є (AB) Dacă [AM] = [MB] atunci M se numeşte mijlocul segmentului [AB]

Simetria faţă de un punct

∙ Fiind date punctele A şi O distincte punctul Arsquo se numeşte simetricul punctului A faţă de O dacă O є (AArsquo ) şi [OA] = [OArsquo] O se numeşte centrul de simetrie al segmentului [AArsquo]

∙ Fie a şi b două drepte concurente icircn punctul O Dacă unul dintre unghiurile formate icircn jurul punctului O este drept atunci a şi b se numesc drepte perpendiculare

10

Mediatoarea unui segment

∙ Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului

Ex a AB [AM] = [MB]Atunci a este mediatoarea segmentului [AB]

∙ Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de extremităţile segmentului

Ex N є a a mediatoarea segmentului [AB] =gt [NA] = [NB]

Drepte paralele ∙ Fie a şi b două drepte şi s o secantă comună Atunci unghiurile a) (4 6 ) şi ( 3 5 ) se numesc alterne interne b) ( 1 7 ) şi ( 2 8) se numesc alterne externe c) ( 1 5 ) şi (4 8 ) (2 6 ) şi ( 3 7) se numesc unghiuri corespondente d) (4 5) şi (3 6) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei e) (1 8) şi (2 7) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei

∙ Două drepte distincte situate icircn acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele

∙ Dacă două drepte distincte intersectate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne congruente atunci dreptele sunt paralele

∙ Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente

∙ Dacă două unghiuri au laturile respectiv paralele atunci ele sunt congruente

11

21) Măsura complementului este de două ori mai mică decacirct măsura unghiului Care este măsura unghiului

22) Raportul măsurilor a două unghiuri complementare este Să se determine

măsurile celor două unghiuri

23) Măsura unui unghi este de trei ori mai mare decacirct măsura suplementului său Cacirct este măsura unghiului

24) Măsura unui unghi este cu 240 mai mare decacirct măsura suplementului său Aflaţi măsura celor două unghiuri

25) Raportul a două unghiuri suplementare este Aflaţi măsurile celor două

unghiuri

26) Raportul dintre măsura complementului şi suplementului unui unghi ascuţit

este Aflaţi măsura unghiului

27) Suma măsurilor a două unghiuri adiacente este de 2800 Calculaţi a) măsura unghiurilor dintre laturile necomune b) măsura unghiului dintre bisectoarele lor

28) Măsura unghiului format de bisectoarele a două unghiuri adiacente este de 700 Calculaţi măsura unghiului dintre laturile necomune

29) Măsura unghiului dintre laturile necomune a două unghiuri adiacente este 1300 Calculaţi măsura unghiului dintre bisectoarele lor

30) Aflaţi măsura unghiului dintre bisectoarele a două unghiuri adiacente complementare

31) Calculaţi măsura unui unghi ştiind că este din măsura complementului

său

32) Diferenţa a două unghiuri complementare este 150 Calculaţi măsura unghiurilor

33) Măsura unui unghi este cu 500 mai mare decacirct măsura complementului său Aflaţi măsura acestui unghi

6

34) Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este 5 Calculaţi măsurile celor două unghiuri

35) Măsura unui unghi este din măsura suplementului său Aflaţi măsura

acestui unghi

36) Măsurile a două unghiuri suplementare sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 0 (3) Calculaţi măsurile celor două unghiuri

37) Suplementul complementului unui unghi are 1300 Cacircte grade are unghiul respectiv

38) Complementul suplementului unui unghi are 200 Calculaţi măsura acestui unghi

39) Două unghiuri adiacente au laturile necomune icircn prelungire Calculaţi

măsurile celor două unghiuri dacă din măsura primului unghi este jumătate

din măsura celuilalt

40) Dacă bisectoarele a două unghiuri formeză un unghi de 600 şi măsurile celor două unghiuri sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 025 calculaţi măsurile acestor unghiuri

41) Se dau unghiurile AOB şi BOC astfel icircncacirct m(AOB) = 3 m(BOC) Ştiind că bisectoarele lor formează un unghi de 540 calculaţi a) m(AOC) b) m(AOB) şi m(BOC) c) m(AOBrsquo) (OBrsquo şi (OB fiind semidrepte opuse

42) Fie unghiurile adiacente AOB şi AOC cu m(BOC) = 280

Calculaţi a) m(AOB) şi m(AOC) b) măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor AOB şi AOC

43) Măsura unui unghi reprezintă ⅔ din măsura suplementului său Aflaţi măsurile celor două unghiuri

44) Suma dintre complementul şi suplementul unui unghi este de 1200 Aflaţi măsura unghiului

45) Diferenţa măsurilor a două unghiuri este de 500 Ştiind că cele două unghiuri sunt complementare aflaţi măsurile celor două unghiuri

7

46) Dacă m(A) = 320 13rsquo 26rsquorsquo m(B) = 120 27rsquo 41rsquorsquo m(C) = 490 30rsquo 22rsquorsquo calculaţi m(A) + m(B) +m(C) m(B) + m(C) ndash m(A) 2 ∙ [ m(A) ndash m(B) ] + m(C)

47) Transformaţi icircn grade minute şi secunde 1379rsquorsquo 13079rsquorsquo 3736rsquo 70 971rsquo 192rsquorsquo

48) Se consideră unghiul AOB [OC bisectoarea sa şi [OD bisectoarea unghiului BOC a) Aflaţi m(BOD) ştiind că m(AOB) = 620 b) Aflaţi m(AOB) ştiind că m(COD) = 230

49) Fie unghiurile AOB BOC COD DOE şi EOA adiacente două cacircte două formate icircn jurul punctului O astfel icircncacirct m(BOC) = 2 ∙ m(AOB) m(COD) = 3 ∙ m(AOB) m(doe) este cu 200 mai mică decacirct măsura AOB iar măsura EOA este cu 300 mai mare decacirct m(COD) Aflaţi măsurile unghiurilor

50) Aflaţi măsura unui unghi ştiind că măsura suplementului său este cu 200 mai mare decacirct triplul măsurii complementului său

51)

Geometria clasa a ndash VI ndash a == teorie ==

8

Noţiuni elementareDefiniţia ndash este o propoziţie matematică ce exprimă conţinutul unei noţiuni scoţacircnd icircn evidenţă caracteristicile esenţiale ale acesteia

Axioma ndash este o propoziţie matematică al cărei conţinut este evident şi se acceptă fără justificare

Teorema ndash este o propoziţie matematică al cărei adevăr rezultă icircn urma unor justificări

Punctul este o noţiune primară Punctele se notează cu litere mari ale alfabetului

Dreapta este o noţiune primară Dreptele se notează cu litere mici ale alfabetului Dreapta este formată dintr-o infinitate de puncte Trei puncte sunt coliniare dacă sunt pe aceeaşi dreaptă

Axiomele de incidenţă

I1 Orice două puncte determină o dreaptă unicăI2 Orice dreaptă are cel puţin două puncte distincteI3 Există trei puncte necoliniareI4 Trei puncte necoliniare determină un plan unicI5 Orice plan conţine cel puţin un punctI6 Dacă două puncte distincte ale aceleiaşi drepte aparţin unui plan atunci dreapta este inclusă icircn plan

Teorema Două drepte distincte au cel mult un punct comun

Două drepte a şi b a ne b se numesc secante dacă a cap b ne Oslash şi nesecante dacă a cap b = Oslash

Postulat Dacă avem două drepte care sunt tăiate de o secantă aceste drepte se intersectează de aceeaşi parte a secantei icircn care suma unghiurilor alterne interne este mai mică decacirct suma a două unghiuri drepte

Postulatul paralelelor ( sau axioma paralelelor) Fiind dat un punct icircn afara unei drepte atunci există o unică nesecantă care conţine punctul

9

Semidreapta ndash Fie d o dreaptă şi O є d şi A є d Atunci mulţimea punctelor dreptei d situate de aceeaşi parte cu A faţă de O se numeşte semidreapta cu originea icircn O care conţine punctul A Notăm [OA

Segmentul ndash Fie d o dreaptă şi A şi B două puncte aparţinacircnd dreptei AneB Mulţimea punctelor dreptei situate icircntre A şi B se numeşte segment de dreaptă

Două sau mai multe segmente care au aceeaşi lungime se numesc congruente

Fie segmentul [AB] şi M є (AB) Dacă [AM] = [MB] atunci M se numeşte mijlocul segmentului [AB]

Simetria faţă de un punct

∙ Fiind date punctele A şi O distincte punctul Arsquo se numeşte simetricul punctului A faţă de O dacă O є (AArsquo ) şi [OA] = [OArsquo] O se numeşte centrul de simetrie al segmentului [AArsquo]

∙ Fie a şi b două drepte concurente icircn punctul O Dacă unul dintre unghiurile formate icircn jurul punctului O este drept atunci a şi b se numesc drepte perpendiculare

10

Mediatoarea unui segment

∙ Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului

Ex a AB [AM] = [MB]Atunci a este mediatoarea segmentului [AB]

∙ Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de extremităţile segmentului

Ex N є a a mediatoarea segmentului [AB] =gt [NA] = [NB]

Drepte paralele ∙ Fie a şi b două drepte şi s o secantă comună Atunci unghiurile a) (4 6 ) şi ( 3 5 ) se numesc alterne interne b) ( 1 7 ) şi ( 2 8) se numesc alterne externe c) ( 1 5 ) şi (4 8 ) (2 6 ) şi ( 3 7) se numesc unghiuri corespondente d) (4 5) şi (3 6) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei e) (1 8) şi (2 7) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei

∙ Două drepte distincte situate icircn acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele

∙ Dacă două drepte distincte intersectate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne congruente atunci dreptele sunt paralele

∙ Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente

∙ Dacă două unghiuri au laturile respectiv paralele atunci ele sunt congruente

11

34) Raportul măsurilor a două unghiuri suplementare este 5 Calculaţi măsurile celor două unghiuri

35) Măsura unui unghi este din măsura suplementului său Aflaţi măsura

acestui unghi

36) Măsurile a două unghiuri suplementare sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 0 (3) Calculaţi măsurile celor două unghiuri

37) Suplementul complementului unui unghi are 1300 Cacircte grade are unghiul respectiv

38) Complementul suplementului unui unghi are 200 Calculaţi măsura acestui unghi

39) Două unghiuri adiacente au laturile necomune icircn prelungire Calculaţi

măsurile celor două unghiuri dacă din măsura primului unghi este jumătate

din măsura celuilalt

40) Dacă bisectoarele a două unghiuri formeză un unghi de 600 şi măsurile celor două unghiuri sunt invers proporţionale cu numerele 05 şi 025 calculaţi măsurile acestor unghiuri

41) Se dau unghiurile AOB şi BOC astfel icircncacirct m(AOB) = 3 m(BOC) Ştiind că bisectoarele lor formează un unghi de 540 calculaţi a) m(AOC) b) m(AOB) şi m(BOC) c) m(AOBrsquo) (OBrsquo şi (OB fiind semidrepte opuse

42) Fie unghiurile adiacente AOB şi AOC cu m(BOC) = 280

Calculaţi a) m(AOB) şi m(AOC) b) măsura unghiului dintre bisectoarele unghiurilor AOB şi AOC

43) Măsura unui unghi reprezintă ⅔ din măsura suplementului său Aflaţi măsurile celor două unghiuri

44) Suma dintre complementul şi suplementul unui unghi este de 1200 Aflaţi măsura unghiului

45) Diferenţa măsurilor a două unghiuri este de 500 Ştiind că cele două unghiuri sunt complementare aflaţi măsurile celor două unghiuri

7

46) Dacă m(A) = 320 13rsquo 26rsquorsquo m(B) = 120 27rsquo 41rsquorsquo m(C) = 490 30rsquo 22rsquorsquo calculaţi m(A) + m(B) +m(C) m(B) + m(C) ndash m(A) 2 ∙ [ m(A) ndash m(B) ] + m(C)

47) Transformaţi icircn grade minute şi secunde 1379rsquorsquo 13079rsquorsquo 3736rsquo 70 971rsquo 192rsquorsquo

48) Se consideră unghiul AOB [OC bisectoarea sa şi [OD bisectoarea unghiului BOC a) Aflaţi m(BOD) ştiind că m(AOB) = 620 b) Aflaţi m(AOB) ştiind că m(COD) = 230

49) Fie unghiurile AOB BOC COD DOE şi EOA adiacente două cacircte două formate icircn jurul punctului O astfel icircncacirct m(BOC) = 2 ∙ m(AOB) m(COD) = 3 ∙ m(AOB) m(doe) este cu 200 mai mică decacirct măsura AOB iar măsura EOA este cu 300 mai mare decacirct m(COD) Aflaţi măsurile unghiurilor

50) Aflaţi măsura unui unghi ştiind că măsura suplementului său este cu 200 mai mare decacirct triplul măsurii complementului său

51)

Geometria clasa a ndash VI ndash a == teorie ==

8

Noţiuni elementareDefiniţia ndash este o propoziţie matematică ce exprimă conţinutul unei noţiuni scoţacircnd icircn evidenţă caracteristicile esenţiale ale acesteia

Axioma ndash este o propoziţie matematică al cărei conţinut este evident şi se acceptă fără justificare

Teorema ndash este o propoziţie matematică al cărei adevăr rezultă icircn urma unor justificări

Punctul este o noţiune primară Punctele se notează cu litere mari ale alfabetului

Dreapta este o noţiune primară Dreptele se notează cu litere mici ale alfabetului Dreapta este formată dintr-o infinitate de puncte Trei puncte sunt coliniare dacă sunt pe aceeaşi dreaptă

Axiomele de incidenţă

I1 Orice două puncte determină o dreaptă unicăI2 Orice dreaptă are cel puţin două puncte distincteI3 Există trei puncte necoliniareI4 Trei puncte necoliniare determină un plan unicI5 Orice plan conţine cel puţin un punctI6 Dacă două puncte distincte ale aceleiaşi drepte aparţin unui plan atunci dreapta este inclusă icircn plan

Teorema Două drepte distincte au cel mult un punct comun

Două drepte a şi b a ne b se numesc secante dacă a cap b ne Oslash şi nesecante dacă a cap b = Oslash

Postulat Dacă avem două drepte care sunt tăiate de o secantă aceste drepte se intersectează de aceeaşi parte a secantei icircn care suma unghiurilor alterne interne este mai mică decacirct suma a două unghiuri drepte

Postulatul paralelelor ( sau axioma paralelelor) Fiind dat un punct icircn afara unei drepte atunci există o unică nesecantă care conţine punctul

9

Semidreapta ndash Fie d o dreaptă şi O є d şi A є d Atunci mulţimea punctelor dreptei d situate de aceeaşi parte cu A faţă de O se numeşte semidreapta cu originea icircn O care conţine punctul A Notăm [OA

Segmentul ndash Fie d o dreaptă şi A şi B două puncte aparţinacircnd dreptei AneB Mulţimea punctelor dreptei situate icircntre A şi B se numeşte segment de dreaptă

Două sau mai multe segmente care au aceeaşi lungime se numesc congruente

Fie segmentul [AB] şi M є (AB) Dacă [AM] = [MB] atunci M se numeşte mijlocul segmentului [AB]

Simetria faţă de un punct

∙ Fiind date punctele A şi O distincte punctul Arsquo se numeşte simetricul punctului A faţă de O dacă O є (AArsquo ) şi [OA] = [OArsquo] O se numeşte centrul de simetrie al segmentului [AArsquo]

∙ Fie a şi b două drepte concurente icircn punctul O Dacă unul dintre unghiurile formate icircn jurul punctului O este drept atunci a şi b se numesc drepte perpendiculare

10

Mediatoarea unui segment

∙ Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului

Ex a AB [AM] = [MB]Atunci a este mediatoarea segmentului [AB]

∙ Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de extremităţile segmentului

Ex N є a a mediatoarea segmentului [AB] =gt [NA] = [NB]

Drepte paralele ∙ Fie a şi b două drepte şi s o secantă comună Atunci unghiurile a) (4 6 ) şi ( 3 5 ) se numesc alterne interne b) ( 1 7 ) şi ( 2 8) se numesc alterne externe c) ( 1 5 ) şi (4 8 ) (2 6 ) şi ( 3 7) se numesc unghiuri corespondente d) (4 5) şi (3 6) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei e) (1 8) şi (2 7) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei

∙ Două drepte distincte situate icircn acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele

∙ Dacă două drepte distincte intersectate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne congruente atunci dreptele sunt paralele

∙ Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente

∙ Dacă două unghiuri au laturile respectiv paralele atunci ele sunt congruente

11

46) Dacă m(A) = 320 13rsquo 26rsquorsquo m(B) = 120 27rsquo 41rsquorsquo m(C) = 490 30rsquo 22rsquorsquo calculaţi m(A) + m(B) +m(C) m(B) + m(C) ndash m(A) 2 ∙ [ m(A) ndash m(B) ] + m(C)

47) Transformaţi icircn grade minute şi secunde 1379rsquorsquo 13079rsquorsquo 3736rsquo 70 971rsquo 192rsquorsquo

48) Se consideră unghiul AOB [OC bisectoarea sa şi [OD bisectoarea unghiului BOC a) Aflaţi m(BOD) ştiind că m(AOB) = 620 b) Aflaţi m(AOB) ştiind că m(COD) = 230

49) Fie unghiurile AOB BOC COD DOE şi EOA adiacente două cacircte două formate icircn jurul punctului O astfel icircncacirct m(BOC) = 2 ∙ m(AOB) m(COD) = 3 ∙ m(AOB) m(doe) este cu 200 mai mică decacirct măsura AOB iar măsura EOA este cu 300 mai mare decacirct m(COD) Aflaţi măsurile unghiurilor

50) Aflaţi măsura unui unghi ştiind că măsura suplementului său este cu 200 mai mare decacirct triplul măsurii complementului său

51)

Geometria clasa a ndash VI ndash a == teorie ==

8

Noţiuni elementareDefiniţia ndash este o propoziţie matematică ce exprimă conţinutul unei noţiuni scoţacircnd icircn evidenţă caracteristicile esenţiale ale acesteia

Axioma ndash este o propoziţie matematică al cărei conţinut este evident şi se acceptă fără justificare

Teorema ndash este o propoziţie matematică al cărei adevăr rezultă icircn urma unor justificări

Punctul este o noţiune primară Punctele se notează cu litere mari ale alfabetului

Dreapta este o noţiune primară Dreptele se notează cu litere mici ale alfabetului Dreapta este formată dintr-o infinitate de puncte Trei puncte sunt coliniare dacă sunt pe aceeaşi dreaptă

Axiomele de incidenţă

I1 Orice două puncte determină o dreaptă unicăI2 Orice dreaptă are cel puţin două puncte distincteI3 Există trei puncte necoliniareI4 Trei puncte necoliniare determină un plan unicI5 Orice plan conţine cel puţin un punctI6 Dacă două puncte distincte ale aceleiaşi drepte aparţin unui plan atunci dreapta este inclusă icircn plan

Teorema Două drepte distincte au cel mult un punct comun

Două drepte a şi b a ne b se numesc secante dacă a cap b ne Oslash şi nesecante dacă a cap b = Oslash

Postulat Dacă avem două drepte care sunt tăiate de o secantă aceste drepte se intersectează de aceeaşi parte a secantei icircn care suma unghiurilor alterne interne este mai mică decacirct suma a două unghiuri drepte

Postulatul paralelelor ( sau axioma paralelelor) Fiind dat un punct icircn afara unei drepte atunci există o unică nesecantă care conţine punctul

9

Semidreapta ndash Fie d o dreaptă şi O є d şi A є d Atunci mulţimea punctelor dreptei d situate de aceeaşi parte cu A faţă de O se numeşte semidreapta cu originea icircn O care conţine punctul A Notăm [OA

Segmentul ndash Fie d o dreaptă şi A şi B două puncte aparţinacircnd dreptei AneB Mulţimea punctelor dreptei situate icircntre A şi B se numeşte segment de dreaptă

Două sau mai multe segmente care au aceeaşi lungime se numesc congruente

Fie segmentul [AB] şi M є (AB) Dacă [AM] = [MB] atunci M se numeşte mijlocul segmentului [AB]

Simetria faţă de un punct

∙ Fiind date punctele A şi O distincte punctul Arsquo se numeşte simetricul punctului A faţă de O dacă O є (AArsquo ) şi [OA] = [OArsquo] O se numeşte centrul de simetrie al segmentului [AArsquo]

∙ Fie a şi b două drepte concurente icircn punctul O Dacă unul dintre unghiurile formate icircn jurul punctului O este drept atunci a şi b se numesc drepte perpendiculare

10

Mediatoarea unui segment

∙ Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului

Ex a AB [AM] = [MB]Atunci a este mediatoarea segmentului [AB]

∙ Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de extremităţile segmentului

Ex N є a a mediatoarea segmentului [AB] =gt [NA] = [NB]

Drepte paralele ∙ Fie a şi b două drepte şi s o secantă comună Atunci unghiurile a) (4 6 ) şi ( 3 5 ) se numesc alterne interne b) ( 1 7 ) şi ( 2 8) se numesc alterne externe c) ( 1 5 ) şi (4 8 ) (2 6 ) şi ( 3 7) se numesc unghiuri corespondente d) (4 5) şi (3 6) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei e) (1 8) şi (2 7) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei

∙ Două drepte distincte situate icircn acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele

∙ Dacă două drepte distincte intersectate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne congruente atunci dreptele sunt paralele

∙ Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente

∙ Dacă două unghiuri au laturile respectiv paralele atunci ele sunt congruente

11

Noţiuni elementareDefiniţia ndash este o propoziţie matematică ce exprimă conţinutul unei noţiuni scoţacircnd icircn evidenţă caracteristicile esenţiale ale acesteia

Axioma ndash este o propoziţie matematică al cărei conţinut este evident şi se acceptă fără justificare

Teorema ndash este o propoziţie matematică al cărei adevăr rezultă icircn urma unor justificări

Punctul este o noţiune primară Punctele se notează cu litere mari ale alfabetului

Dreapta este o noţiune primară Dreptele se notează cu litere mici ale alfabetului Dreapta este formată dintr-o infinitate de puncte Trei puncte sunt coliniare dacă sunt pe aceeaşi dreaptă

Axiomele de incidenţă

I1 Orice două puncte determină o dreaptă unicăI2 Orice dreaptă are cel puţin două puncte distincteI3 Există trei puncte necoliniareI4 Trei puncte necoliniare determină un plan unicI5 Orice plan conţine cel puţin un punctI6 Dacă două puncte distincte ale aceleiaşi drepte aparţin unui plan atunci dreapta este inclusă icircn plan

Teorema Două drepte distincte au cel mult un punct comun

Două drepte a şi b a ne b se numesc secante dacă a cap b ne Oslash şi nesecante dacă a cap b = Oslash

Postulat Dacă avem două drepte care sunt tăiate de o secantă aceste drepte se intersectează de aceeaşi parte a secantei icircn care suma unghiurilor alterne interne este mai mică decacirct suma a două unghiuri drepte

Postulatul paralelelor ( sau axioma paralelelor) Fiind dat un punct icircn afara unei drepte atunci există o unică nesecantă care conţine punctul

9

Semidreapta ndash Fie d o dreaptă şi O є d şi A є d Atunci mulţimea punctelor dreptei d situate de aceeaşi parte cu A faţă de O se numeşte semidreapta cu originea icircn O care conţine punctul A Notăm [OA

Segmentul ndash Fie d o dreaptă şi A şi B două puncte aparţinacircnd dreptei AneB Mulţimea punctelor dreptei situate icircntre A şi B se numeşte segment de dreaptă

Două sau mai multe segmente care au aceeaşi lungime se numesc congruente

Fie segmentul [AB] şi M є (AB) Dacă [AM] = [MB] atunci M se numeşte mijlocul segmentului [AB]

Simetria faţă de un punct

∙ Fiind date punctele A şi O distincte punctul Arsquo se numeşte simetricul punctului A faţă de O dacă O є (AArsquo ) şi [OA] = [OArsquo] O se numeşte centrul de simetrie al segmentului [AArsquo]

∙ Fie a şi b două drepte concurente icircn punctul O Dacă unul dintre unghiurile formate icircn jurul punctului O este drept atunci a şi b se numesc drepte perpendiculare

10

Mediatoarea unui segment

∙ Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului

Ex a AB [AM] = [MB]Atunci a este mediatoarea segmentului [AB]

∙ Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de extremităţile segmentului

Ex N є a a mediatoarea segmentului [AB] =gt [NA] = [NB]

Drepte paralele ∙ Fie a şi b două drepte şi s o secantă comună Atunci unghiurile a) (4 6 ) şi ( 3 5 ) se numesc alterne interne b) ( 1 7 ) şi ( 2 8) se numesc alterne externe c) ( 1 5 ) şi (4 8 ) (2 6 ) şi ( 3 7) se numesc unghiuri corespondente d) (4 5) şi (3 6) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei e) (1 8) şi (2 7) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei

∙ Două drepte distincte situate icircn acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele

∙ Dacă două drepte distincte intersectate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne congruente atunci dreptele sunt paralele

∙ Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente

∙ Dacă două unghiuri au laturile respectiv paralele atunci ele sunt congruente

11

Semidreapta ndash Fie d o dreaptă şi O є d şi A є d Atunci mulţimea punctelor dreptei d situate de aceeaşi parte cu A faţă de O se numeşte semidreapta cu originea icircn O care conţine punctul A Notăm [OA

Segmentul ndash Fie d o dreaptă şi A şi B două puncte aparţinacircnd dreptei AneB Mulţimea punctelor dreptei situate icircntre A şi B se numeşte segment de dreaptă

Două sau mai multe segmente care au aceeaşi lungime se numesc congruente

Fie segmentul [AB] şi M є (AB) Dacă [AM] = [MB] atunci M se numeşte mijlocul segmentului [AB]

Simetria faţă de un punct

∙ Fiind date punctele A şi O distincte punctul Arsquo se numeşte simetricul punctului A faţă de O dacă O є (AArsquo ) şi [OA] = [OArsquo] O se numeşte centrul de simetrie al segmentului [AArsquo]

∙ Fie a şi b două drepte concurente icircn punctul O Dacă unul dintre unghiurile formate icircn jurul punctului O este drept atunci a şi b se numesc drepte perpendiculare

10

Mediatoarea unui segment

∙ Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului

Ex a AB [AM] = [MB]Atunci a este mediatoarea segmentului [AB]

∙ Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de extremităţile segmentului

Ex N є a a mediatoarea segmentului [AB] =gt [NA] = [NB]

Drepte paralele ∙ Fie a şi b două drepte şi s o secantă comună Atunci unghiurile a) (4 6 ) şi ( 3 5 ) se numesc alterne interne b) ( 1 7 ) şi ( 2 8) se numesc alterne externe c) ( 1 5 ) şi (4 8 ) (2 6 ) şi ( 3 7) se numesc unghiuri corespondente d) (4 5) şi (3 6) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei e) (1 8) şi (2 7) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei

∙ Două drepte distincte situate icircn acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele

∙ Dacă două drepte distincte intersectate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne congruente atunci dreptele sunt paralele

∙ Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente

∙ Dacă două unghiuri au laturile respectiv paralele atunci ele sunt congruente

11

Mediatoarea unui segment

∙ Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe mijlocul segmentului

Ex a AB [AM] = [MB]Atunci a este mediatoarea segmentului [AB]

∙ Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de extremităţile segmentului

Ex N є a a mediatoarea segmentului [AB] =gt [NA] = [NB]

Drepte paralele ∙ Fie a şi b două drepte şi s o secantă comună Atunci unghiurile a) (4 6 ) şi ( 3 5 ) se numesc alterne interne b) ( 1 7 ) şi ( 2 8) se numesc alterne externe c) ( 1 5 ) şi (4 8 ) (2 6 ) şi ( 3 7) se numesc unghiuri corespondente d) (4 5) şi (3 6) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei e) (1 8) şi (2 7) se numesc unghiuri externe şi de aceeaşi parte a secantei

∙ Două drepte distincte situate icircn acelaşi plan care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele

∙ Dacă două drepte distincte intersectate de o secantă formează o pereche de unghiuri alterne congruente atunci dreptele sunt paralele

∙ Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri alterne interne congruente

∙ Dacă două unghiuri au laturile respectiv paralele atunci ele sunt congruente

11