Geometria de Las Funciones Reales

5/10/2018 Geometria de Las Funciones Reales - slidepdf.com

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GEOMETRIA DE LAS FUNCIONESREALES

Dr. Carlos Cabezas M.Departamento de Matemática, Física y EstadísticaFacultad de Ciencias BásicasUniversidad Católica del Maule

Puede usar el material de este apunte para fines pedagógicos citando la fuente



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GEOMETRÍA DE LAS FUNCIONES REALES

INTRODUCCIÓN

La Geometría Analítica provee de un contexto en el que la Geometría Euclidiana y elÁlgebra se enriquecen mutuamente pues, ésta da elementos que permiten formalizar elestudio de aquella, a través de un lenguaje riguroso en el que se usa con toda su potenciala lógica matemática, a la vez que permite el uso de argumentos propios del análisis enel estudio de la Geometría. Por su parte la Geometría aporta los objetos que le sonpropios para visualizar e interpretar objetos algebraicos, que sin este aporte quedaríanen la abstracción dificultando su comprensión más amplia y limitando su aplicación enproblemas reales como es la modelación de fenómenos físicos, por ejemplo.

Precisamente en la modelación de diferentes fenómenos de diversa naturaleza comofísicos, biológicos, económicos y sociales por mencionar algunos, a través deexpresiones algebraicas, la geometría posibilita la visualización del comportamiento deestos fenómenos permitiendo, también, encontrar un significado concreto de lasexpresiones algebraicas y dar más oportunidades de comprensión para los estudiantesque, por esta vía, tendrán ocasión de usar otros tipos de inteligencia.

PRIMERA PARTE



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En esta parte del curso presentamos una actividad introductoria con la cual queremosmotivar el uso de una mirada que integre los distintos aspectos involucrados en elanálisis de un problema matemático. Específicamente, en este caso, aspectosalgebraicos y aspectos geométricos.

ACTIVIDAD N° 1

Observe la siguiente expresión:

( ) 1/ f x x=

1. ¿Qué comentarios puede hacer acerca de esta expresión?

2. Sin realizarlo describa un proceso para resolver el siguiente problema:

Sea

=∈= x

y IR y x f Gr 1

/ ),()( 2 . Si )(),(0 f Gr y xP x ∈∧> entonces la recta

tangente al gráfico en P forma, con los ejes cartesianos, un triángulo rectángulo ¿Cuálesdeben ser las coordenadas de P, para que la hipotenusa de ese triángulo tenga longitudmínima/máxima?”

3. Observe una representación geométrica de la fórmula ( ) 1/ f x x=

4. ¿Qué comentario puede hacer acerca del gráfico?5. Observe una representación geométrica del problema planteado arriba e imagine unnuevo procedimiento para resolverlo:

Comente libremente la actividad anterior.¿Qué otras actividades propondría a sus estudiantes para que hagan interpretaciones quecompleten sus aprendizajes y conecten complementariamente la geometría y el álgebra?

SEGUNDA PARTE



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ACTIVIDAD N° 2

Considere la función real de variable real definida por la fórmula 2( ) f x x=

1. Haga una lista de las propiedades que usted pueda encontrar.2. Intente una justificación de sus afirmaciones.3. Si no ha hecho una representación gráfica de la función haga una.4. Visualizando la representación gráfica ¿Qué otras propiedades puede encontrar?5. Intente una justificación para las últimas afirmaciones.6. Clasifique las propiedades que ha enumerado en “geométricas” y “algebraicas”.7. Aquellas propiedades clasificadas como algebraicas ¿se pueden representar

geométricamente? y ¿Aquellas geométricas se pueden expresar algebraicamente?

ACTIVIDAD N° 3

Considere la función real de variable real definida por la fórmula 2( ) 5 f x x= .

Compárela con la función de la actividad Nº 2 y enumere las diferencias que sea posibleencontrar.¿Qué preguntas les haría a sus alumnos respecto de esta actividad? ¿Cómo cree que susestudiantes responderían a estas preguntas?

ACTIVIDAD N° 4

Considere ahora la función real de variable real definida por la fórmula 2( ) 5 2 f x x= +

y compárela con la de la actividad N° 3. Señale las diferencias que encuentra conaquella función y clasifíquelas en “geométricas” y “algebraicas”.

ACTIVIDAD N° 5

¿Cómo explica la geometría, el efecto producido en la función de la actividad N° 2, porlas perturbaciones algebraicas introducidas en las siguientes actividades?

Examinemos posibles respuestas cuando la perturbación algebraica consiste enmultiplicar por un número real a dado, la expresión 2

x .

Observando el gráfico que muestra una representación de las funciones 2( ) f x x= ,22)( x x f = y 24)( x x f = vemos que 321 ω ω ω >>



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Observemos que cuando a toma valores mayores los ángulos descritos en la figura (paraqué vamos a escribir en palabras aquello que se está viendo) tienen medidas menores.Por otro lado, podemos ver que la función 2)( ax x f = es convexa cuando a > 0, lapregunta es entonces ¿cómo interviene a en esta propiedad de convexidad?

Si consideramos los lados de los ángulos como los rayos que salen del origen y pasanpor los puntos ))1(,1( f y ))1(,1( −− f respectivamente, entonces

11)1(

)1(

2

cos22

+

=

+

=

a

a

f

f ω

lo que significa que cuanto mayor sea a, más cercano al valor 1 estará 2

cosω

, es decir el

ángulo2

ω y por lo tanto ω , tiene medida más próxima a 0 (cero). Si a toma valores

positivos muy pequeños entonces la fracción12

+a

atoma valores también muy

pequeños y tiende a cero, geométricamente esto significa que el ángulo

2

ω tiende a ser

recto y por lo tanto la parábola “extiende sus ramas” hacia el eje OX formando unángulo cada vez más próximo a uno extendido, si a pasa por el valor 0 y comienza atomar valores negativos entonces el coseno del ángulo toma valores negativos y ω tendrá medida mayor que 180°. Con estas observaciones podemos concluir que lafunción definida por 2( ) f x ax= es convexa si y sólo si, el coseno del ángulo 2 / ω espositivo, es decir si a > 0, y estas propiedades son equivalentes.

Interpretemos de otro modo la convexidad. Una definición común de esta propiedad,dada de manera algebraica, es la siguiente: Una función f definida en un intervalo real I ,es convexa, si

]1,0[,, 21 ∈∀∈∀ t I x x , se tiene que )()()1())1(( 2121 xtf x f t tx xt f +−≤+− .



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Para interpretar correctamente esta definición, recordemos la representación paramétricade los puntos de un segmento.

Consideremos el segmento S de extremos ))(,( 11 x f x y ))(,( 22 x f x , un punto ),( y x está en el segmento si se puede escribir en la forma:

))(,())(,)(1(),( 2211 x f xt x f xt y x +−= con 10 ≤≤ t , igualando componente acomponente se tiene:

1 2(1 ) x t x tx= − +

1 2(1 ) ( ) ( ) y t f x tf x= − + ; 0 1t ≤ ≤

Siendo ( , ) x y un punto del segmento S, vemos que la convexidad significa que( ) f x y≤ como se muestra en la figura. Es decir:

)()()1())1(( 2121 xtf x f t tx xt f +−≤+−

ACTIVIDAD N° 6

Consideremos ahora la función real definida por la fórmula 269)( 2++= x x x f

Algebraicamente la función f está definida como la suma de las funciones2)(6)(,9)( 32

21 === x f y x x f x x f , sin embargo un simple trabajo algebraico nos

permite visualizar la fórmula de definición de f en la forma 1)13()( 2++= x x f .

Como0)13( 2

≥+ x ,entonces

11)13( 2 ≥++ x y, ya que,

11)1)3

1(3()

3

1( 2

=++−=− f ,

podemos afirmar que la función tiene un valor mínimo para3

1−= x .

Por otro lado vemos que

1)3(1)131(1)1)3

1(3()

3

1( 222

+=+++−=+++−=+− x x x x f y

1)3(1)131(1)1)31(3()

31( 222

+−=++−−=++−−=−− x x x x f



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Estas propiedades de la función nos dicen que su gráfico está por sobre la recta de

ecuación 1= y y que es simétrico respecto a la recta de ecuación3

1−= x .

Su gráfico podemos visualizarlo en la figura siguiente:

Observemos que, en términos geométricos, la recta3

1−= x es un eje de simetría del

gráfico de f , idea que también se expresa diciendo que el gráfico es simétrico respectode dicha recta.Se dice también que una función es simétrica o que es par, si:

)()()()(, x f x f f Dom x f Dom x IR x −=∧∈−⇒∈∈∀ .

Es decir, si la recta 0= x es eje de simetría del gráfico de f o, equivalentemente, si elgráfico de f es simétrico respecto de la recta 0= x .

Comentario: La simetría y la existencia de valores mínimos (máximos) son datosimportantes en el estudio de las funciones pues representan estados singulares en losprocesos que representan y permiten inferir otras propiedades. Por ejemplo, si unafunción tiene un valor mínimo, ésta es una función acotada inferiormente, al menos enuna vecindad del punto del dominio en el que alcanza este mínimo. La simetría a su vez,indica que el proceso modelado por la función en cuestión, presenta comportamientosinversos en ciertos intervalos del dominio. Más explícitamente, si una función presentasimetría respecto de una recta, en un intervalo del dominio, como se aprecia en la figurasiguiente:



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Se tiene que 1 2 1 2( ) ( )a a f a f a< ∧ > , sin embargo 1 2 1 2( ) ( )b b f b f b< ∧ < . Es decir un

proceso de decaimiento de la función se revierte después del valor 0 x para comenzar

con una propiedad ascendente.

ACTIVIDAD N° 7

Analicemos desde otra perspectiva la propiedad de decaimiento y ascenso queaparecieron en la actividad anterior.

Sean 1 2,a a IR∈ como en la actividad anterior, es decir, satisfacen la condición:

1 2 1 2( ) ( )a a f a f a< ∧ > ,

entonces

1 2 1 2( ) ( ) 0 0 f a f a a a− > ∧ − <

de donde resulta

1 2

1 2

( ) ( )0

f a f a

a a

−<

−.

Hagamos una interpretación geométrica de estas expresiones algebraicas. Para estoanalicemos los gráficos siguientes:

En la figura vemos que la expresión 1 2

1 2

( ) ( )0

f a f a

a a

−<

−es la pendiente de la recta que

pasa por los puntos 1 1( , ( ))a f a y 2 2( , ( ))a f a . La pregunta natural es ¿qué relación hay

entre el signo de la pendiente y el hecho que la función presente el decaimiento

mencionado con anterioridad?

Con un cálculo rápido vemos que el decaimiento de la función en un intervalo, es

equivalente al hecho que 1 21 2 1 2

1 2

( ) ( )( , )( 0)

f a f aa a a a

a a

−∀ < ⇒ <

−en ese intervalo.

Análogamente, vemos que la propiedad ascendente mencionada anteriormente, es

equivalente al hecho que 1 21 2 1 2

1 2

( ) ( )( , )( 0)

f a f aa a a a

a a

−∀ < ⇒ >

−

En el primer caso se dice que la función es decreciente en el intervalo y, en el segundo,que la función es creciente.



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Comentario: Si hacemos variar a1 de modo que tome valores cada vez más cercanos a a 2 entonces el valor de f(a1 ) es cada vez más cercano a f(a 2 ) y así, geométricamente, elpunto 1 1( , ( ))a f a se acerca a 2 2( , ( ))a f a variando sobre la recta y produciendo una

variación en la pendiente de la recta pero manteniendo su signo negativo. Bajocondiciones geométricas adecuadas del gráfico de la función, este proceso de variaciónculmina geométricamente en una recta tangente a la curva en el punto 2 2( , ( ))a f a cuyapendiente es negativa. Esta propiedad caracteriza a las funciones decrecientes las cualestengan condiciones suficientes para que exista en cada punto una única recta tangente.Ver la figura siguiente, las flechas indican el sentido de las variaciones y los números 1,2, 3 y 4, muestran su orden de dependencia:

Una aplicación interesante de este hecho se encuentra cuando el cuociente

1 2

1 2

( ) ( ) f a f a

a a

−

−se interpreta como una razón de cambio. En este caso el fenómeno

geométrico tiene una interpretación física. En la tercera parte de este cursillo haremosun análisis breve de este fenómeno.

ACTIVIDAD N° 8

La siguiente imagen tomada de un electrocardiograma, muestra la importancia delconcepto llamado de “periodicidad”. Observemos que la característica fundamental delfenómeno es que cada cierto tiempo, el gráfico “se repite”.

Algebraicamente, la propiedad de periodicidad que satisface la función definida por elelectrocardiograma que presentamos en la figura es: , ( 4) ( ) x IR f x f x∀ ∈ + = .También satisface , ( 8) ( ) x IR f x f x∀ ∈ + = .En general una función f definida en IR es periódica, si existe un número real T , para elcual se tiene

, ( ) ( ) x IR f x T f x∀ ∈ + = ,

observemos que, si este es el caso, también se tiene



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, , ( ) ( ) x IR k Z f x kT f x∀ ∈ ∀ ∈ + = .

En efecto resulta, aplicando sucesivamente la propiedad de T , que

, ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ....... x IR f x f x T f x T f x T ∀ ∈ = + = + = + =

Si f es una función periódica, existe un menor real positivo T 0 que satisface

0, ( ) ( ) x IR f x T f x∀ ∈ + = , este número T 0 recibe el nombre de “período de f ”.



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TERCERA PARTE

APLICACIONES:

ACTIVIDAD N° 9

Imaginemos un río con sus orillas rectas y paralelas. Un bote con el que un boteropretende cruzar un río, manteniendo el bote en dirección perpendicular a las orillas esdesviado, por la corriente del río, de manera que su trayectoria resultante es una rectaque forma un ángulo α con la orilla.

El movimiento real del bote está compuesto por Movimientos Rectilíneos Uniformes:uno perpendicular a las orillas del río, debido al esfuerzo del remero y, otro paralelo alas orillas, debido a la corriente del río.

1. Vector velocidad. El bote sale del punto O sometido a la vez a las velocidades constantes xv y yv ,

mutuamente perpendiculares, siendo v la velocidad resultante. Ésta es la suma

vectorial de xv y yv : ),( y x vvv = y su módulo vale 22 y x vvv +=

2. Vector de posición.

Dado que ambos movimientos componentes son rectilíneos y uniformes, la ecuación deposición para cada uno de ellos es la de un MRU. Si tomamos como origen decoordenadas el punto de la orilla de donde sale el bote, estas ecuaciones son:Para el río: t v x x ⋅=

Para el bote: t v y y ⋅=

El vector de posición, es la suma vectorial de los vectores correspondientes a cadamovimiento: ),(),( t vt v y x

y x ⋅⋅= y su módulo vale vt vvt t vt v y x y x y x =+=+=2222 )()(),(

El módulo del vector de posición coincide con la distancia recorrida por el bote.Para calcular el desplazamiento horizontal, x, que experimenta, así como la distanciarecorrida, r , debemos conocer el ancho del río, y.El tiempo empleado en el movimiento compuesto, es igual al tiempo empleado en cada

uno de los movimientos componentes, despejando t de t v y y ⋅= obtenemos el tiempoque tarda el bote en cruzar el río.



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Sustituyendo t en t v x x ⋅= , obtenemos la distancia horizontal que se desplaza el bote.

3. Trayectoria.

Si despejamos el tiempo en la ecuación t v x x ⋅= y sustituimos en t v y

y ⋅= , obtenemos

la ecuación de la trayectoria: xv

v y

x

y⋅=

xv

v y

x

y⋅= es la ecuación de la recta que pasa por el origen y describe la trayectoria del

bote. El número x

y

v

vmide la pendiente de la recta. También se dice que la recta

(trayectoria del bote) es la gráfica de la función xv

v

x f x

y⋅=

)( .Ejercicio:

Deseamos cruzar un río de 200 m de ancho. Si la velocidad de la corriente es de 4 m/s ynuestro bote desarrolla una velocidad de 9 m/s perpendicular a la corriente, calcule:a) La velocidad del bote con respecto a un sistema de referencia situado en la orilla.b) El tiempo que tarda en atravesar el río.c) La distancia recorrida por el bote.d) El desplazamiento horizontal que experimenta.

ACTIVIDAD N° 10

Movimiento Parabólico

De la composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resultaun movimiento cuya trayectoria es una parábola.

Un MRU horizontal de velocidad v x constante.Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba.

Se denomina proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo laaceleración de la gravedad.



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1. Disparo de proyectiles.

Consideremos un cañón que dispara un obús desde el suelo (y0=0) con cierto ángulo θ menor de 90º con la horizontal.

Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimientouniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largodel eje Y, son las siguientes:

0 0 0 0

20 0 0 0

0 cos cos

1

2

x x

y y

a v v x v t

a g v v sen g t y v t sen g t

θ θ

θ θ

= = = ⋅ ⋅

= − = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son

x=v0·cosθ ·t y=v0·senθ ·t-gt

2 /2

Eliminado el tiempo t , obtenemos la ecuación de la trayectoria (ecuación de unaparábola)

2

2 202 cos

gx y x tg

vθ

θ = ⋅ −

ACTIVIDAD N° 11

1. La figura muestra un muro lateral de una piscina en la cual se está vertiendo agua.A. Exprese, mediante una relación algebraica, la dependencia entre el área de la parte deun muro lateral de la piscina, en contacto con el agua, y la altura h del agua.B. Si, además, se conociera el ancho de la piscina ¿qué otras relaciones algebraicasentre variables podría establecer? Haga un dibujo de la situación. Indique las variablesdependientes e independientes.C. Establezca justificadamente los valores reales entre los cuales varían las variables.



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2. De una plancha cuadrada de cartón de lado igual a 60cm, se desea hacer una cajaabierta sin tapa, cortando de las esquinas de la plancha, pequeños cuadrados.A. Describa todas las cantidades variables en el proceso, la interdependencia de éstas yel rango donde varían, si los cuadrados que se cortan de las esquinas tienen lado igual a

x.B. Determine una fórmula para expresar el área lateral de la caja en función de x,C. ¿Cuál es el área máxima que puede tener la superficie lateral?

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