Upload
internet
View
126
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
GEOMETRIA DESCRITIVA A10.º Ano
Intersecções – Dois Planos I
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES
Dois planos não paralelos (planos secantes) intersectam-se numa recta, a recta comum a ambos os planos.
x
xz
xy
α
i
δ
INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS PROJECTANTES
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano de topo θ (projectante frontal) e um plano vertical α (projectante horizontal).
x
xz
xy
x
α
fα
hα
hα
fα
i
≡ i2
A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo θ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal).
θ
fθ
hθ
fθ
hθ
≡ i1
≡ i2
≡ i1
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano frontal φ (projectante horizontal) e um plano vertical α (projectante horizontal).
x
xz
xy
x
α
fα
hα
hα
fα
i
i2
Como ambos os planos são projectantes horizontais, a recta de intersecção tem que ser uma recta projectante horizontal, uma recta vertical, localizada na intersecção dos traços horizontais dos dois planos.
φ
(hφ)(hφ)
(i1)
Um plano horizontal υ tem 2 cm de cota. Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?
x
(fυ)
(hφ)
≡ i2
≡ i1
A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal).
A recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é uma recta fronto-horizontal.
Um plano frontal φ tem 2 cm de afastamento. Um plano de topo α faz um diedro de 30º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?
x
hα
fα
(hφ)
≡ i2
≡ i1
A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo α (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal).
A recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é uma recta frontal.
Um plano horizontal υ tem 3 cm de cota. Um plano de topo θ faz um diedro de 45º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?
x
(fυ)
hθ
fθ
(i2)
i1
Como ambos os planos são projectantes frontais, a recta de intersecção tem que ser uma recta projectante frontal, uma recta de topo, localizada na intersecção dos traços frontais dos dois planos.
A recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é uma recta de topo.
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano vertical α (projectante horizontal) e um plano oblíquo θ (não projectante).
x
xz
xy
α
fα
hα
i
θ
fθ
hθ
x
hα
fα
i2
fθ
hθ ≡ i1
H2
H1
F2
F1
A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal).
Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção frontal.
F
H
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo δ (não projectante).
x
xz
xy
δ
fδ
hδ
x
fδ
hδ
υ
(fυ) i
(fυ) ≡ i2F2
F1
i1
F
A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal).
Como a recta i pertence aos dois planos, o traço frontal da recta i situa-se na intersecção dos traços frontais dos dois planos. A partir da projecção horizontal (F1) do traço frontal da recta i, é possível obter a sua projecção horizontal, com a mesma orientação do traço horizontal (hδ) do plano δ.
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano frontal φ (projectante horizontal) e um plano de rampa ρ (não projectante).
x
xz
xy
x
φ
(hφ) (hφ)
ρ
fρ
hρ
fρ
hρ
i
≡ i1r1
H2
H1
F2
F1
r2
P2
P1
i2r
F
H
P
A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal).
Como a projecção horizontal da recta i tem afastamento igual, a recta comum aos dois planos só pode ser fronto-horizontal, tendo em conta o plano de rampa.Para obter o traço frontal da recta i, recorre-se a uma recta auxiliar qualquer r do plano de rampa, com os traços horizontal e frontal da recta r a determinar a projecção frontal da recta r. A seguir é identificado um ponto (P) que fica na recta i, e consequentemente, localiza a projecção frontal da recta i.
Um plano de topo α faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Um plano de rampa ρ tem o seu traço horizontal com 2 cm de afastamento, e o seu traço frontal com 4 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
x
fρ
hρ
fα
hα
≡ i2
H2
H1
F2
F1
i1
A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo α (projectante frontal).
Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção horizontal.
Um plano horizontal υ tem 2cm de cota. Um plano de rampa ρ tem o seu traço horizontal com 2 cm de afastamento, e o seu traço frontal com 4 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?
x
fρ
hρ
(fυ) ≡ i2
F2
F1
H2
H1
r1
r2
P2
P1
i1
A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal υ (projectante frontal).
Com a projecção frontal da recta i tem cota igual, a recta comum aos dois planos só pode ser fronto-horizontal, tendo em conta o plano de rampa.Para obter o traço horizontal da recta i, recorre-se a uma recta auxiliar qualquer r do plano de rampa, com os traços horizontal e frontal da recta r a determinar a projecção horizontal da recta r. A seguir é identificado um ponto (P) que fica na recta i, e consequentemente, localiza a projecção horizontal da recta i.
Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Um plano oblíquo δ tem os seus traços coincidentes, e o seu traço horizontal faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?
x
(hφ)≡ i1
fδ ≡ hδ
H2
H1
i2
A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano frontal φ (projectante horizontal).
Como a recta i pertence aos dois planos, o traço horizontal da recta i situa-se na intersecção dos traços horizontais dos dois planos. A partir da projecção frontal (H2) do traço horizontal da recta i, é possível obter a sua projecção frontal, com a mesma orientação do traço frontal (fδ) do plano δ.
INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS NÃO PROJECTANTES
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos.
x
xz
xy
α
x
fα
hα
fα
hα
θ
i
fθ
hθ
fθ
hθ
H2
H1
H
F
F2
F1
i1
i2
Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos.
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, sendo os seus traços horizontais paralelos entre si.
x
xz
xy
α
x
fα
hα
fα
hα
δfδ
hδ
i
hδ
fδ
F2
F1
i1
i2
Como os traços horizontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma recta horizontal, localizado pelo traço frontal comum aos dois planos.
A projecção horizontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os traços horizontais dos planos.
F
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, sendo os seus traços frontais paralelos entre si.
Como os traços frontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma recta frontal, localizado pelo traço horizontal comum aos dois planos.
A projecção frontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os traços frontais dos planos.
x
xz
xy
α
x
fα
hα
fα
hα
δ
fδ
fδ
hδhδ
H
H2
H1
i2
i1
Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto A com 4 cm de abcissa. O traço horizontal do plano oblíquo α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. O seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano oblíquo θ corta o eixo x num ponto B com -3 cm de abcissa, e os seus traços são paralelos aos traços contrários do plano α. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
x
y ≡ z
A0 ≡ A1 ≡ A2
B0 ≡ B1 ≡ B2
fα
hα
fθ
hθ
H2
H1
Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos.
F2
F1
i2
i1
Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto A com 4 cm de abcissa. O traço horizontal do plano oblíquo α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. O seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano de rampa ρ tem o traço horizontal com 3 cm afastamento e tem o traço frontal com 2 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
x
y ≡ z
A0 ≡ A1 ≡ A2
hα
fα
fρ
hρ
Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos.
H2
H1
F2
F1
i2
i1
Um plano oblíquo φ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x, com o seu traço horizontal a fazer um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Um plano de rampa ρ tem os seus traços coincidentes, tendo o traço horizontal -4 cm de afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
x
hφ
fφ
fρ ≡ hρ
Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos.
H2
H1
F2
F1
i1
i2
Um plano oblíquo ψ intersecta o eixo x num ponto com –3 cm de abcissa. O plano ψ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x, com o seu traço frontal a fazer um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x. Um plano oblíquo ω intersecta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa. O traço horizontal do plano ω é perpendicular a hψ, e o seu traço frontal é paralelo a fψ. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?
x
y ≡ z
fψ
hψ hω
fω
H1
H2
Como os traços frontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma recta frontal, localizado pelo traço horizontal comum aos dois planos.
A projecção frontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os traços frontais dos planos.
i2
i1
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo α (definido por duas rectas paralelas).
x
(fυ)
r2
r1
s1
s2
R2
R1
S2
S1
i1
≡ i2
x
xz
xy
υ
(fυ)
r
s
α
iR
S
Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos R e S, que permitem obter a projecção horizontal da recta i.
Um plano vertical α corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa, e faz um ângulo de 50º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. Um plano oblíquo δ está definido por duas rectas, h e f, concorrentes no ponto A (-3; 2; 3). A recta h é horizontal e faz um ângulo de 45º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. A recta f é frontal e faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
x
y ≡ z
fα
hα
A2
A1f1
h2
h1
f2
≡ i1
M2
M1
N2
N1
i2
Como o plano α é projectante horizontal, a projecção horizontal da recta i é coincidente com o traço horizontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas h e f com o plano α, se obtem os pontos M e N, que permitem obter a projecção frontal da recta i.
Um plano oblíquo α está definido por duas rectas paralelas, a e b. A recta a contém os pontos R (2; 4; 3) e S (-3; 0; –2). A recta b contém o ponto T (-2; 2; 2). Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
x
y ≡ z
R2
R1
S2
S1
T2
T1
a2
a1b1
b2
(hφ)
Como o plano φ é projectante horizontal, a projecção horizontal da recta i é coincidente com o traço horizontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas a e b com o plano φ, se obtem os pontos A e B, que permitem obter a projecção frontal da recta i.
≡ i1
A2
A1
B2
B1
i2
Um plano oblíquo θ está definido pelos pontos A (3; 2; 2), B (0; 1; 5) e C (-2; 5; 1). Um plano horizontal υ tem 3 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
x
y ≡ z
A2
A1
C2
C1
B1
B2
(fυ)
Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Para obter a projecção horizontal da recta i, é necessário recorrer a duas rectas auxiliares do plano θ (utilizandoos pontos dados). Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos M e N, que permitem obter a projecção horizontal da recta i.
r2
r1
s2
s1
≡ i2 M2
M1
N2
N1i1