Geometria Moderna e Simbolismo Tradizionale 01 (2).pdf

8/10/2019 Geometria Moderna e Simbolismo Tradizionale 01 (2).pdf

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GEOMETRIA MODERNA ESIMBOLISMO

TRADIZIONALE

Daniele Corradetti

29 Settembre 2008


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PROPRIET LETTERARIA RISERVATA

2008 , FIRENZE

ISBN

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Indice

1 Enti e Rapporti 91.1 Il Cerchio e il Punto . . . . . . . . . . . . . 91.2 Punti e linee . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Teoria dei Grafi . . . . . . . . . . . . . . . 14

Operazioni fondamentali sui grafi 17Genesi simbolica deigrafi completi 27

1.4 La Genesi delle Forme Geometriche . . . 28

Grafi completi e triangolo di Pascal 31Generazione Geometrica delle For-

me . . . . . . . . . . . . . 341.5 Visione Geometrica della Materia . . . . . 36

Materia, Massa ed impenetrabilit 37Mach e la nascita dellInerzia . . . 39Il Meccanismo Geometrico dellU-

niverso . . . . . . . . . . 431.6 La Proporzione Aurea e Gerarchia Solidale 44

La Proporzione Aurea come me-diazione . . . . . . . . . . 46

La Gerarchia Solidale e Bellezza . 51

2 Geometria e Musica 57

2.1 Il Triangolo Sacro . . . . . . . . . . . . . . 582.2 La Musica dei Poligoni . . . . . . . . . . . 66

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F Notazione di Schlfli 151

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Capitolo 1

Enti e Rapporti

1.1 Il Cerchio e il Punto

I Numeri rappresentano delleidee filosofiche assolute

E.Levi,La Chiave dei Grandi Misteri

Il primo e lultimo segno della geometria simbolica sonoil Punto e il Cerchio. Il Punto il principio della Geo-metria, lorigine indivisibile di tutto. Il cerchio invecene rappresenta il limite ultimo, la delimitazione finalefra ci che rappresentabile e ci che invece non lo .

CosTra ilpuntoe locerchios come traprincipioe

finesi muove la GeometriaDante,Convivio, II, XIII

Ogni ente geometrico, ogni figura trova il suo spaziotra il punto ed il cerchio. Ovviamente queste figure

non sono da intendersi in modo formale, bens in sen-so astratto e privo di forma. Altrimenti, se queste realt

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geometriche necessitassero di una forma per esistere, laSapienza non avrebbe potuto dire libro dei proverbi1:

io ero l; quando tracciava uncerchiosullabisso;

Il Cerchio infatti o la delimitazione del nulla infinito la prima operazione compiuta dalla Potenza Coscienteper portare allessere lUniverso.

La Bibbia non dice che Dio cre dal nulla, af-ferma che cre, ma lex nihilodeduttivo dalpasso scritturale fa supporre un nulla che qualcosa, ossia lo spazio fluido presente ap-pena lOnnipotente si contrasse, cio si ri-trasse fuori entro se stesso, da s in s stes-so per rendere possibile il mondo. LEssere

Infinito, Onnipotente, Increato, dopo la con-trazione proruppe con le Luci delle Sefirot(divine energie increate), rivelandosi a quelvuoto di potere. Il primo atto (quello di ri-tirarsi) non stato di rivelazione, ma di oc-cultamento, astrazione. Soltanto nel secon-do atto cominci la rivelazione, il dispiegarsicome Dio creatore, procedendo fuori di s inquello spazio primordiale che in Lui. Que-sta la creazione dal nulla della Genesi, teo-fania e teogonia in certo qual modo. Emana-zione con laggiunta di un plus, ilfiatcreato-reT. Palamidessi, La Costituzione Occulta dellUo-mo e della Donna

1Proverbi 8,27

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Il Cerchio in senso astratto rappresenta un atto di limita-zione.Esso infatti tornando su s stesso, con la sua circo-larit, delimita, racchiude e cos facendo separa linter-

no dallesterno, ci che e che sar da ci che non nsar. Il Cerchio in questo contesto cos il simbolo dellospazio fluido circoscritto, labisso, il nulla primordialedal quale sboccer tutta la creazione alla comparsa delSole Divino. In questo senso il cerchio il simbolo delnumero zero 0 che viene vivificato e dinamizzato dalnumero 1, il Punto.

Il Punto rappresenta lunit artmetica come la mona-de filosofica, esso il principio di ogni figura, la sorgen-te di ogni geometria. In senso astratto esso rappresentala sorgenteindivisibiledellessere. Al punto corrispondeinfatti lidea fondamentale di semplicit oindivisibilit2.Allo stesso tempo, per gli corrisponde una forza attiva,irradiante, per cui in senso astratto il Punto rappresenta

la sorgente indivisibile dellEssere. Il punto rappresentaquindi la prima manifestazione dellEssere, cio l1.Quando il Punto originale specchio della Suprema

Volont Divina sorge sullabisso dinamizzando e rischia-rando le tenebre, ecco allora delinearsi il Cerchio con ilPunto, il simbolo del Sole, lOcchio del Mondo; il sim-

bolo di Ra, lOcchio di Dio.

Il Cerchio con il Punto uno dei simboli pi anti-chi e densi di significato simbolico per cui necessa-

2Il punto infatti non pu essere diviso. Il punto come ci che

non ha parti la definizione fornita da Euclide nel primo libro degliElementi.

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rio approfondirne, almeno sinteticamente, il significato.Esso infatti stato usato come simbolo del Sole, comenome divino raffigurante Ra, come pure determinati-

vo di ogni concetto temporale. Successivamente statopreso come simbolo del metallo Oro, come pure, da unpunto di vista di facolt umane, stato considerato co-me il simbolo della volont che polarizza e dinamizzalindividuo. In seguito questo simbolo ha assunto tan-ti significati, apparentemente diversi, ma tutti legati daununico tratto comune, unidea centrale: la pienezza

dellUnit e la sua perfezione dinamica.Numericamente il geroglifico formato da dallu-

nione di un cerchio con un punto che possono essereaccostati rispettivamente al numero 0 e al numero 1. Ilcerchio circoscrive e separa il luogo in cui si manifesterlazione dinamica e risvegliatrice del numero 1 il pun-to. Lunione di questi due simboli genera dunque il cer-

chio con il punto che pu essere rappresentato nume-ricamente3 con il numero 1 come pure con il numero10.

Questa ambiguit notazionale ricopre in realt unanotevole importanza filosofica. Se infatti si addiziona ilnumero 1 con il numero 0 si ottiene sempre il numero1 perch lo 0 non contiene alcun principio attivo. Ma

dallunione del numero 1 con il numero 0 si ottiene ilnumero 10 che si distingue nettamente dal numero 1. Ilnumero 1 infatti rappresenta lUnit nel suo aspetto uni-ficato ed indeterminato, mentre il 10 rappresenta lUnitnel suo aspetto esplicato e pienamente determinato.

Da un punto di vista teologico, l1 rappresenta il Prin-cipio, la prima manifestazione dellEssere, mentre il 10

3numericamente vale 1 in quanto 1 addizionato allo 0 rimane 1.Ma vale dieci in quanto 1 unito allo zero uguale a 10

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rappresenta la Pienezza e la Potenza della sua manife-stazione. Da un punto di vista cosmico, l1 simboleggiail Cosmo stesso nel suo primo stadio originale, mentre il

10 ne rappresenta la sua organizzazione e strutturazio-ne finale, nella pienezza e completezza dellespressioneche viene spesso associata al corpo del Sole. Tutti questiconcetti, sebbene teologicamente distinti e riferentisi arealt ontologicamente diverse, sono unite da un unicarappresentazione geometrica: il Cerchio con il Punto.

Da una visione della geometria simbolica, il Princi-

pio anche la Fine. La Pienezza della manifestazionee rivelazione divina racchiusa nel suo Principio ed questo che si incarna ed in cui si identifica il Cosmoperfetto. Il Cosmo perfettamente strutturato e gerar-chizzato diventa cos trasparente al Principio divino elo manifesta incarnandolo, unendosi a lui e realizzan-do la suprema bellezza: la piena manifestazione della

Verit.

1.2 Punti e linee

Il punto, in matematica, un concetto primitivo, ovve-ro un concetto che generalmente si rinuncia a definire

e che si assume come uno dei fondamenti dellesposi-zione. Nel corso della storia varie definizioni sono sta-te presentate4 per cerare di approcciare il concetto dipunto e, sebbene queste differiscano nellapproccio ini-ziale, la caratteristica fondamentale evidenziata rimanesempre la stessa: lindivisibilit.

4Bowman L. Clark,Individuals and Points, Notre Dame Journalof Formal Logic Volume 26, Number 1, January 1985

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Il punto, fin dai tempi di Euclide, definito comeci che non ha parti, ovvero come ci che indivisi-

bile. Il punto simbolicamente rappresenta la monade

della filosofia greca: ununit fondamentale ed indivi-sibile. Esso dunque utile nel rappresentare tutto cidi cui consideriamo laspetto indivisibile. Gli elemen-ti di un insieme, ad esempio, sono indicati come puntiquando consideriamo in essi il loro aspetto di individuisemplici.

Nella dottrina degli enti che abbiamo presentato in

precedenza, ogni ente contiene in s unidea di indivi-sibilit e dunque -sotto questo aspetto- pu essere rap-presentato grazie allausilio di un punto. Ogni puntorappresenta dunque un nucleo fondamentale, un cen-tro individuale, un soggetto. Se il punto dunque rap-presenta lindivisibilit e lautonomia dellente conside-rato, la sua azione con il mondo esterno rappresentata

dalle linee che fuoriescono da esso e vanno ad interagirecon gli altri punti. I mutui rapporti fra enti, le loro rela-zioni dinamiche formano dunque una prima geometriache pu essere sintetizzata da un oggetto matematiconoto con il nome digrafo.

1.3 Teoria dei GrafiUn grafo uno tra gli strumenti matematici pi sempli-ci in grado che si rivela in grado di cogliere e risolvereproblemi geometrici estremamente profondi e comples-si. Negli ultimi venti anni sono stati scritti circa 10.000articoli lanno classificati come teoria dei grafi e le loro

applicazioni variano dalla topologia algebrica, allinfor-matica, alla teoria delle reti, alla genetica come pure alla

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sociologia o alla filologia senza alcuna soluzione di con-tinuit. Questa magnifica adattabilit della teoria deigrafi data dal suo rappresentare in modo essenziale ilminimumgeometrico.

Abbiamo detto infatti che un ente per essere tale de-ve raccogliere in s tre aspetti fondamentali. Esso, infat-ti, deve aver assicurata una suaindividualitoautonomiaal pari di una suaqualitocaratteristica identificantee diuna suaforzacon cui si relaziona con gli altri enti. Que-sti tre concetti fondamentali che abbiamo chiamato di

atomo,ideaemonade5 sono rappresentati dai tre elemen-ti fondamentali che costituiscono un grafo. Un grafo in-fatti altro non che un insieme dipunti, identificati daunnumeroe collegati fra loro da dellelinee6.

Ecco dunque che nella presentazione di un grafo ab-biamo che:

lindividualitdegli enti rilevata dallutilizzo dipunti,

la qualit dallidentificazione mediante un numero7e

5cfr. la quinta lezione di Solovev Vladimir, Lezioni sullaDivinoUmanit,JacaBook, 1990

6Normalmente in matematica per presentazione di un grafo si

forniscono semplicemente una serie di numeri singoli (che rappre-sentano gli elementi o i nomi assegnati a ciascun vertice) ed unaserie di coppie di numeri (che rappresentano ilati).

7a volte in costruzioni generali e simmetriche, in cui non vi so-no punti di particolare interesse rispetto agli altri, i numeri corri-spondenti ai vertici non vengono riportati graficamente, ma nellapresentazione algebrica del grafo sono un elemento comunque in-dispensabile. Da un punto di vista filosofico questa distinzione frai punti una distinzionequalitativa, concetto questo che pu esse-

re compreso prendendo in analisi uno tra i grafi tradizionali piimportanti: quello delleSefirotdella tradizione ebraica.

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le lororelazionimediante lelineeche ne definisco-no la configurazione geometrica.

Questi tre elementi sono gli elementi minimi necessa-ri al fine di poter parlare compiutamente di geometria.Senza ilpuntonon abbiamo alcun soggetto di cui par-lare perci non possibile parlare di geometria. Senzala qualit o numero identificativo che contraddistingua

i punti fra di loro, avremmo solo ununicopunto. Al-lo stesso modo se non avessimo dei rapportiolineechelegano fra di loro questi punti essi sarebbero incommen-surabili fra di loro.

Perci chiaro che la nozione di grafo, raccoglie inse quegli elementi fondamentali ed imprescindibili del-la geometriaindividuata. Uno studio delle propriet dei

grafi si traduce naturalmente in uno studio delle pro-priet potremmo dire della geometria stessa, tanto que-ste nozioni sono imprescindibili e fondamentali. Peravere una geometria diversa e prescindere da qualcunodi questi elementi, dovremmo proiettarci in un mondodi qualitnon individuatein cui probabilmente lo stessoconcetto di spazio e di ambiente geometrico dovrebbe

essere rivisto svolgendosi questa geometria allinternodi un punto8.

8Filosoficamente, infatti, vi un dualismo interno-esterno chesi traduce in un dualismo cerchio-punto. Tradizionalmente, infat-ti, il Cosmo rappresentato come un cerchio da coloro che so-no allinterno, ma rappresentato come un Punto se comparato al

Nulla Infinito, il fluido adinamico non circoscritto e quindi ad unavisioneesterna.

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Operazioni fondamentali sui grafi

Come detto in precedenza lo studio dei grafi ricorre in

numerose discipline e con le pi svariate applicazioni.In questo contesto, dunque, sono definite innumerevolioperazioni di cui non possiamo rendere di conto esau-rientemente9. Per questo opteremo per presentare quel-le operazioni minime indispensabili per comprenderemeglio il capitolo successivo e passaremo sotto silenziole altre.

Disegno di un Grafo Spesso il concetto di grafo vieneconfuso con il disegno che lo rappresenta. La differen-za fra un grafo e il suo disegno la stessa differenzache passa fra una legge dinamica e la sua rappresen-tazione geometrica, come ad esempio fra ilquaternarioed una sua rappresentazione simbolica tramite la figurageometrica del quadrato. In realt un grafo non ha un di-segno o una forma predefinita a priori, ma una realtpuramente astratta e formata esclusivamente dapuntierelazioni fra punti.

Quando poi, per rappresentare questa realt geome-trica, vogliamo ricorrere ad una rappresentazione for-male, allora associamo ad essa unimmagine in cui -

canonicamente- gli enti individuali sono rappresentati dapunti e le relazioni fra essi sono rappresentati da dal-

9Chi volesse approcciare largomento di teoria dei Grafi pufarsi unidea generale con J. Gross e J. Yallen, Handbook of GraphTheory, CRC Press, 2004; da un punto di vistamatematicopu con-sultare lottimo libro di carattere introduttivo di Reinhard Diestel,Graph Theory, Springer Verlag, 2005; per leapplicazioni geometriche

pi avanzate S. Lando e A. Zvonkin,Graphs on Surfaces and TheirApplications, Springer Verlag, 2004

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Figura 1.1: I due disegni sono due rappresentazioni diversedello stesso grafo chiamatografo di Petersen. Ciascuna delle duerappresentazioni evidenzia una particolare simmetria del grafo.

lelinee. Questa rappresentazione formale del grafo sichiamadisegno del grafo.

Tuttavia, poich originariamente un grafo non spe-

cifica il genere di relazione che lega i punti fra di loro,il genere di percorso necessario per passare da un pun-to ad un altro totalmente arbitrario. Uno stesso lega-me fra due punti pu essere rappresentato come rettili-neo, curvo, spezzato, di lunghezza arbitraria e rimane-re comunque una rappresentazione formale fedele delgrafo.

Lo stesso identico grafo pu dunque essere rappre-sentato da disegni distinti che, apparentemente, posso-no avere poco in comune, ma in realt esprimono sem-plicemente delle incarnazioni formali diverse della stes-sa entit geometrica astratta. Ciascun disegno espres-sione particolare di un aspetto generale contenuto nelgrafo originale.

Fra tutti i possibili grafi, tuttavia, ve ne sono alcuniche ricoprono un interesse particolare in quanto riesco-

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no a manifestare pi esplicitamente delle qualit intrin-seche del grafo che gli altri invece occultano. Nelle duefigure relative algrafo di Petersenpossiamo vedere come

due disegni distinti dello stesso grafo possano eviden-ziare due diverse simmetrie: quellaspecularenel primocaso e quellapentagonalenel secondo.

Entrambe queste simmetrie sono delle caratteristi-che insite del grafo di Petersen, perci presenti in cia-scuno dei suoi possibili disegni. Tuttavia in alcuni diquesti esse sono perfettamente manifestate e possono

dunque essere facilmente colte dallosservatore. Attual-mente un intero settore di ricerca di teoria dei grafi stu-dia i metodi di disegno pi efficienti per rintracciarestrutture simmetriche allinterno dei grafi10.

Grafo delle linee Un elemento importante per lo stu-

dio di un grafo costituito dal suografo delle linee. Que-stultimo ottenuto assegnando un punto ad ogni lineadel primo e legando due punti fra loro solo nel caso incui le due linee condividevano nel grafo di partenza al-meno un punto in comune. Se il grafo originale venivaindicato con la letteraG, questo nuovo grafo costruitodal primo sar indicato comeL(G).

Da un punto di vista matematico il grafo delle linee una costruzione che permette di comprendere meglioi rapporti che intercorrono fra i singoli nodi o elementidel grafo. In questa costruzione infatti i soggetti ori-ginali (i punti) perdono di importanza in relazione airapporti stessi.

10Giuseppe Di Battista, Peter Eades, Roberto Tamassia and Ioan-

nis G. Tollis, Graph Drawing: Algorithms for the Visualization ofGraphs, Prentice Hall, 1991

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Figura 1.2: Alcune tipologie di grafi comuni classificati pernumero di vertici

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Figura 1.3: I poligoni regolari ed alcune loro composizioni sonouguali al loro grafo delle linee

Da un punto di vista prettamente simbolico, il grafodelle linee rappresenta un modo per estrarre ed espli-citare il signficato o comportamento di un grafo. In uncerto qual modo esso rappresenta losviluppodel grafo,lesplicazione della sua dinamica. Il soggetto di investi-

gazione, infatti, non sono pi i punti, ma la loro mutuainterazione, che originariamente era rappresentata dal-le linee del grafo. Simbolicamente, dunque, la costru-zione di questo grafo coincide con un cambiamento delpiano di investigazione il cui scopo quello di vedereglisviluppi dinamiciinsiti in una configurazione geome-trica. Questo strumento dunque pu essere daiuto nel-

lanalisi di un grafo, un po come, da un punto di vistaaritmetico poteva essere daiuto lanalisi del triangolaredi un numero o lo sviluppo di una sequenza.

Esempio di analisi simbolica dei Grafi delle linee Atitolo di esempio possiamo analizzare la successione deigrafi delle linee diK1,5 cio di una stella formata da 5

vertici esterni legati fra di loro da un unico punto cen-trale. Simbolicamente tutta la successione sintetizzata

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Figura 1.4: Sequenza dei grafi delle linee di K1,5 cio una stel-la con 5 vertici esterni ed uno centrale che li connette. Sim-

bolicamente ogni grafo rappresenta levoluzione dinamica del

precedente.

dalla stella iniziale che ne definisce il soggetto. In que-sto caso il soggetto rappresentato dal numero 5 comeespressione dell1.

In questo caso i cinque vertici rappresentano 5 di-stinte espressioni attive dell1 che li ha originati, mentre

l1 rappresenta la sorgentesegretadella loro forza. Ab-biamo chiamatosegreta,questa sorgente in quanto, co-me si pu notare, sebbene sia presente nel primo grafo,in ogni grafo successivo celata ed invisibile. Questasorgente rappresentata dall1 infatti trascendente e ge-rarchicamente superiore agli altri 5 vertici, pertanto non pi visibile in nessuna delle manifestazioni successive

sebbene rimanga come punto centrale attorno al qualetutte le figure si strutturano.

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Se, procedendo nella nostra analisi simbolica, con-sideriamo il 5 come simbolo dellUomo Universale edinterpretiamo questa successione in chiave messianica,

allora il primo grafo, cio K1,5, rappresenta il soggetto: ilrapporto fra lUomo e limmanenza Divina, rappresen-tata dal punto centrale. Questo primo grafo rappresentail soggetto del discorso successivo ed da considerarsicome al di fuori del tempo.

Il secondo grafoL(K1,5)rappresenter invece il pri-mo sviluppo o la prima manifestazione del soggetto trat-tato, in questo caso lo stato prima della caduta, lunione

naturale fra lUomo e la Divinit.

Il terzo grafo L(L(K1,5

)) rappresenter lallontana-mento dellUomo da Dio e la sua caduta mentre il quar-to ed ultimo11 grafoL(L(L(K1,5)))ne rappresenter la

11In realt la successione pu essere continuata indefinitamente,tuttavia tender a ripetersi da un punto di vista qualitativo. Peravere dunque una panoramica completa necessario considerareuna serie qualitativamente completa. In questo caso abbiamo sceltola pi semplice cio quella formata dall1 (il soggetto) ed i 3 grafi

successivi (lesplicazione in tesi, antitesi e sintesi) come spiegatonel primo capitolo di questo libro.

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Figura 1.5: Complemento di un grafoGindicato comeG. Unen-do insieme i due grafi si ottiene un grafo completo, in questo casoK8

finale redenzione e la restituzione e perfezione del rap-porto Umano-Divino.

Questo un esempio di interpretazione simbolicarealizzata tramite i grafi delle linee. Chiaramente non lunica, altri punti di partenza faranno scaturire al-tre considerazioni e riflessioni riguardo a queste figure,tutte potenzialmente contenute in quellunica configu-

razione geometrica della stella iniziale formata da 1 e 5punti.

Complemento di un grafo Unaltra operazione comu-ne quella di costruzione delgrafo complemento. Datoun grafoG, il suo complementoGaltro non che il gra-fo formato dagli stessi vertici ma di lati i lati mancanti

al precedente. In pratica inGdue punti saranno unitida una linea se e solo se nel grafo originale G non lo

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sono. Se uniamo12 un grafo al suo complemento otte-niamo sempre ungrafo completo, ovvero un grafo il cuinumero di archi il massimo possibile.

Da un punto di vista simbolico il complemento diun grafo produce un grafo che qualitativamente affinealgrafo di partenza, ma chiaramente complementare nel-lespressione di essa. Se ad esempio il grafo di parten-za esprime lazione di numero nel suo aspettoattivo, ilcomplemento lo rappresenter nel suo aspetto ricettivoe viceversa. A titolo di esempio riportiamo alcuni grafi

con il loro rispettivo complemento.

Grafi Completi Un grafo con il massimo di numero diarchi possibile viene chiamatografo completoed indicatocomeKndove la letteranrappresenta il numero di ver-tici presenti nel grafo. In particolare un grafo completodinvertici avr un numero di archi pari a (n 1)cioiltriangolare

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del numero precedente.Il modo pi semplice per ottenere un grafo comple-to quello di unire un grafoal suo grafo complemento.Cos facendo il grafo risultante conterr tutti gli archi

12in questo caso per unione intendiamo lunione dellinsieme deilati lasciando fisso linsieme dei vertici

13Si indica con il termine triangolare di un numero n,(n) lasomma dei primi nnumeri. In pratica(n) = 1+2+...+n =n(n+1)

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Figura 1.6: Successione di grafi completi. Il grafo completo connvertici viene generalmente indicato come Kn. Il numero di latidistinti diKnsono (n 1)

possibili e sar dunquecompleto14. Da un punto di vista

matematico igrafi completisono degli elementi estrema-mente interessanti in quanto costituiscono uno dei car-dini fondanti della geometria e dellalgebra moderna15.

Simbolicamente i grafi completi rappresentano laple-nitudinedi un numero, la sua pienezza espressiva, le-splicazione di tutti i rapporti contenuti in esso. Per com-prendere meglio questo aspetto dei grafi completi ne-

14

Unendo un grafo G al suo complemento G si ottienesempre un grafo completo, in questo casoK10

15Le simmetrie dei grafi completi costituiscono un gruppoAut(Kn) = Sn, chiamato gruppo delle permutazioni di n elementi.Ilteorema di Cayleydice che ogni Gruppo G di ordine finitonpuessere pensato come sottogruppo del gruppo delle permutazionicorrispondenti, cioG= H Sn. Da un punto di vista teoricodunque una vasta branca dellalgebra e della geometria che si oc-

cupa dello studio dei gruppi finiti pu essere ricondotta allo studiodelle simmetrie di ungrafo completo.

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Figura 1.7: Ogni grafo completoKnpu essere pensato come ilgrafo delle linee della stellaSn+1.

cessario analizzarne la genesi. InLa Metafisica del Nu-mero16 abbiamo dedicato molte pagine a descrivere ilrapporto che incorre fra i singoli numeri e lUnit crea-trice fondamentale, nelle pagine succesive vedremo chelanalogo geometrico.

Genesi simbolica deigrafi completi

I grafi completi sono lesplicazione del rapporto fra unnumero lunitpertanto ne rappresentano la plenitudi-ne. Ogni grafo completo infatti pu essere ottenuto apartire da una stella avente tanti vertici esterni quanti ilnumero che si vuole studiare ed un vertice centrale che

unisce fra loro tutti gli altri. Questo genere di grafo sichiama a stella e viene a volte indicato con il nomeSn+1oppure comeK1,n. Il grafo delle linee di questa stella sempre un grafo completo.

Questa propriet dei grafi completi ne chiarisce an-che il significato simbolico. Un grafo completo altro non che la massima espressione, la plenitudine di un nu-

16D. Corradetti, La Metafisica del Numero,ed. il Pavone, 2008

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mero. Il ruolo dellunit in questo contesto determi-nante. Se infatti togliamo lunit centrale agli altri verti-ci, essi rimangono sconessi ed isolati e la loro espressio-

ne nulla.La pienezza del grafo delle linee risultante trae la

sua origine dal convergere di tutti vertici verso luni-co punto centrale. E infatti proprio questo legame lacausa che produce il massimo numero di lati possibi-le. Poich ogni vertice incontattocon il punto centra-le, ogni punto in contatto con tutti gli altri, cio ogni

punto ha un rapporto con tutti gli altri. Ovvero, in altreparole il numero dei rapporti il massimo possibile17

perci il grafo delle linee un grafo completo. Dun-que solo nellunited in virt dellunit possibile rag-giungere latotalite formare dunque lunitotalitla pie-na e perfetta affermazione dellunit nella sua forza epotenza.

1.4 La Genesi delle Forme Geome-

triche

Riprendendo ci che stato detto nella prima sezionedi questo capitolo, tutte le forme geometriche in sen-

so astratto nascono dal Cerchio e dal Punto. DalCer-chio in quanto limitazione di un spazio fluido vuoto,privo della potenza divina e nel quale sboccer tuttala Creazione; e dalPuntoin quanto sorgente originale,polarizzatrice e dinamizzante di ogni Forza Spirituale.

17Se il numero di vertici pari adnogni vertice avr un rapportocon altrin

1 vertici. Eliminando le ripetizioni avremo un totale

di(n 1)rapporti ovvero il numero di lati del grafo completoKn.

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Nel luogo circoscritto dal Cerchio e dinamizzato dalPunto avviene la Creazione ed in esso nascono e vivonotutte le forme Geometriche. InLa Metafisica del Nume-roavevamo visto18 come simbolicamente le tre forme dienergia fondamentali della teosofia classica19 potesseroessere riunite in ununica costruzione geometrica notaoggi sotto il nome di triangolo di Pascal, ma conosciutain passato come laScala Sacra del Monte Meru20. Que-sta costruzione, nota almeno dal III d.C., ma con ogniprobabilit ancora precedente, nella moderna notazione

assume questa forma:

1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 2 1 3 5 3 5 2 1 7 1... . . .

Nella Metafisica del Numero avevamo poi illustratoun metodo algebrico che, fra i vari modi di ottenere iltriangolo di Pascal, ci sembrava particolarmente signi-ficativo. Questo metodo partiva dalla sequenza fonda-mentale {1,1,1,1,1,1,1,....} che, una volta sviluppata21

18cfr.La Metafisica del Numerocap.619Energia di trasmissione, energia vitale ed energia di trasforma-

zione20LaScala del Monte Meruo Meru-prastaara il nome che viene

assegnato a questa costruzione nel commentario al Chandas Sutradal commentatoreHalayudha

21Ricordiamo che lo sviluppo di una sequenza come{1,2,3,4,...} una nuova sequenza che si indica come

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secondo le regole della matematica simbolica classica,portava ad ottenre una nuova sequenza

{1,1,1,1,....} = {1,2,3,4,....}A sua volta, questa poteva essere sviluppata otte-

nendo

{1,1,1,1,....} = {1,2,3,4,....} = {1,3,6,10,15,....}

Il processo poteva essere reiterato indefinitamenteportando cos ad ottenere tutte le colonne del triango-lo di Pascal. Il triangolo in questione, dunque, risultavaessere formato dalla reiterazione di una sola operazionetradizionalmente nota:

(1 1 1 1 1 . . . ) = 1 1 1 1 1 1 . . .( 1 1 1 1 . . . ) = 1 2 3 4 5 . . . ( 1 1 1 . . . ) = 1 3 6 10 . . . ( 1 1 . . . ) = 1 4 10 . . . ( 1 . . . ) = 1 5 . . .... . . . . . .

Il metodo in questione estremamente significativoperch illustra come la generazione di questo triango-

{1,2,3,4,...}={1,3,6,10...} e che formata dalla successionedelle somme parziali della prima, cio

1 =11 +2 =31 +2 +3 =6

1 +2 +3 +4 =10

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Figura 1.8: Il grafo completo di cinque elementi K5 contiene 5K4 ovvero quadrati, 10 K3 ovvero triangoli, 10 K2ovvero linee, 5K1ovvero punti e 1K0dove perK0abbiamo inteso il cerchio senzapunti. E importante da un punto di vista simbolico notare comele figure considerate suggeriscano un movimentociclicointerno algrafo.

lo non sia altro che lesplicazione dellUnit. In que-sto paragrafo vederemo come il senso di questa costru-zione aritmetica possa essere espressa geometricamentegrazie allausilio deigrafi.

Grafi completi e triangolo di Pascal

Da un punto di vista puramente geometrico il triangolodi Pascal pu essere considerato come una generazionedella successione grafi completi. Per ottenere il trian-golo di Pascal, infatti sufficiente inscrivere ogni gra-

fo completo allinterno del cerchio e di ciascuno di essiconsiderarne i sottografi precedenti.

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Figura 1.9: Derivazione del triangolo di Pascal dalla successio-ne dei grafi completi. Il numero di sottografi completi contenutiallinterno di un grafo completo forma il triangolo di Pascal. AdesempioK5contiene 5K4ovvero quadrati, 10K3ovvero triangoli,10K2ovvero linee, 5K1ovvero punti e 1K0dove perK0abbiamointeso il cerchio senza punti.

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Ad esempio, Il grafo completo di cinque elementiche abbiamo chiamatoK5contiene

1pentagonoovvero 1 grafo completo di ordine 5 o(K5), 5quadratiovvero grafi completi di ordine 4 (K4), 10triangoli(K3), 10linee(K2),

5punti(K1) ed 1K0 dove per K0 abbiamo inteso il cerchiosenzapunti.

Ripetendo questo conteggio per ogni grafo completo ot-teniamo cos il triangolo di Pascal.

Limmagine che abbiamo rappresentato per spiega-re il conteggio permette di capire un altro aspetto fon-damentale di questa generazione geometrica. Le figureevidenziate che abbiamo usato per costruire il triangolodi Pascal, suggeriscono infatti unmovimento ciclicoche,dal punto di vista simbolico, assume un significato inte-ressante. Ilmovimento ciclico,infatti, rimanda aldiveniree allazione nel tempo, come se le figure usate per ottene-re il triangolo di Pascal non siano altro che una messa

in operanel tempodel concetto espresso fuori dal tempodal grafo completo.

Ogni riga del triangolo di Pascal altro non che unosvolgersi nel tempoe nellazione di unmodello, una figu-ra geometrica atemporale e perfetta rappresentata dal

grafo completo. Ogni modello, iniziato nel tempo, d ori-gine, come un meccanismo, ad un movimento ciclico o

meglio ad unritmo geometrico,sintetizzato nella succes-sione numerica del triangolo di Pascal.

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Figura 1.10:Generazione simbolica delle forme geometriche. Daun punto si passa al grafico a stella

Generazione Geometrica delle Forme

Coordinando fra di loro i vari elementi visti possiamoprocedere in una costruzione simbolica del triangolo diPascal su base geometrica del tutto analoga alla costru-zione precedente fatta su base aritmetica. Infatti anchein questo caso abbiamo ad origine del triangolo luni-t iniziale, il punto, dal quale procedono tutti i numeri

naturali rappresentati come una successione di grafi astella.LUno, rappresentato dal punto, si rivela tramite i

numeri naturali rappresentati come corona del puntocentrale. Questi, simbolicamente, rappresentano une-manazione dellUnit, un sua prima espressione increa-ta. Le singole qualit espresse dai numeri sbocciano

come Luci e si proiettano formando unimmagine nellazona lasciata vuota di potere divino.

La concentrazione della Volont Suprema pro-duce nella mente increata ipunti-vortice ofuo-chi che al momento della creazione rivelativainizieranno ad emanare le loro Luci. Queste

Luci illumineranno unimmagine, limmagi-ne dellUomo Archetipico.

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Figura 1.11: Generazione simbolica delle forme geometriche.Da un punto si passa al grafico a stella e da l al grafo completo

corrispondente.

Alessandro Benassai,Il Prologo del Vangelo diGiovanni

I Numeri emanati si riflettono poi nella Creazione,rappresentata dal Cerchio. Questo cerchio, prima vuo-to ed adinamico, ora, raccogliendo le qualit dei singolinumeri, diventa vivo e dinamizzato e sotto la loro for-za organizzatrice assume delle essenziali forme. Que-ste, geometricamente rappresentate dai primigrafi com-

pleti, sinteticamente, simboleggiano lArchetipo di tuttoci che successivamente si svilupper nella forma e neltempo.

lEssere Uno o Unico dal quale ha inizio, at-traverso lo sviluppo dei numeri emanati dal-lUnit, la manifestazione occulta della Po-tenza, che divenuta Sostanza e Vita, Spirito,crea con il Verbo, il Figlio nella manifesta-zione, dal Nulla, proiettando una immagine

di se stesso con inumeri emanati, lArchetipocon il quale tutto ci che sar fatto passer

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Figura 1.12: Generazione simbolica delle forme geometriche.Da un punto si passa al grafico a stella e da l al grafo completocorrispondente.

dal non-informale allinformale e poi al for-male.

Alessandro Benassai,LAngelo, la Donna e ilMessia

Le forme geometriche rappresentate dai grafi completisimboleggiano dei modelli perfetti che, iniziati nel tem-po, danno origine al susseguirsi incessante delle forme,secondo precisi ritmi geometrici sintetizzati dal triango-lo di Pascal.

1.5 Visione Geometrica della Mate-

ria

Ubi materia, ibi Geometria.22

22Dove vi materia, vi geometria. Keplero, De fundamentisastrologiae certioribus, Opera Omnia, Munich, 1941

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Keplero

Cosa la materia? Da dove nasce? Quali le leggi che lagovernano? Queste a buon diritto possono essere consi-derate domande centrali della storia del pensiero uma-no, la cui investigazione ci proietta direttamente nellin-dagine pi profonda sui misteri della coscienza. Nelcorso dei secoli molti sono stati i filosofi che sono ricor-si alla geometria per spiegare lorigine della materia edella massa. Questi ripetuti e continui tentativi illustra-

no una relazione concettuale privilegiata fra materia egeometria che merita di essere approfondita.

La materia, nellesperienza quotidiana, risulta sem-pre occupare uno spazio essere associata ad una esten-sione o forma geometrica. I rapporti e le cause che sonoalla base di questa apparente inscindibilit fra spazio emateria sono stati loggetto di studio di numerosi filo-

sofi naturali dai tempi dellantica grecia fino ai giorninostri. Per chiarire il nostro punto di vista sullargo-mento necessario per distinguere alcuni concetti chenormalmente vengono confusi fra di loro.

Materia, Massa ed impenetrabilit

In primo luogo necessario distinguere il concetto dimateria dal concetto di massa, infatti mentre nella pra-tica i due termini vengono identificati, essi rimandanoa due concetti in realt distinti: il primopi filosoficoe di carattere generale, ilsecondocon una connotazioneprettamente fisica e specifica.

Lamateriain senso filosofico o pi astratto rimanda

principalmente al concetto diricettivit, essa, infatti, sipotrebbe definire comeil ricettacolo di una forzae dun-

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queil veicolo della sua espressione; viceversa lamassa23 insenso fisico rimanda allidea diresistenzae rappresentalaresistenza di un corpo a cambiare il suo stato di quiete.

Questi due concetti vengono generalmente identifi-cati perch, nella pratica quotidiana, una forza si espri-me modificando lo stato di quiete di un corpo e quindi ilveicolo della sua espressione la resistenza di un corpoa cambiare il suo stato di quiete. Nella pratica quotidia-na dunque allamateria associata sempre unamassamai due concetti sono a priori distinti ed indipendenti.

Queste distinzioni fra materia e massa, per, nonsembrano rilevare laspetto pi immediato e comune-mente associato al concetto di massa o materia ovveroquello dellimpenetrabilit. La materia ci che si putoccare, ovvero che ci appare come impenetrabile. Gene-ralmente infatti il senso comune associa al concetto dimateria lidea di uno spazio circoscritto ed impenetra-

bile. Questa visione coincide, almeno parzialmente conla visione fisica della struttura della materia per la qua-le, sebbene la disciplina sia ancora in via di definizio-ne ed elaborazione, la materia vista come una regionedelimitata, resa impenetrabile da un imponente fluiredi forze provenienti da centri che, rispetto alla zona diinfluenza da essi delimitata, possono essere considerati

come puntiformi24

.23Stiamo qui, chiaramente, riferendoci alla massa inerziale. In

questo contesto la massa gravitazionale trattata al pari di unacarica gravitazionale, cio come la sorgente di una forza specificacome pu essere la carica elettrica.

24Nel contesto fisico attuale la materia viene considerata comeoriginata da combinazioni di tre particelle oquarkfondamentali didimensione puntiforme se rapportata alle dimensioni del nucleo

atomico e la cui costituzione ultima ancora oggetto di studio especulazione teorica.

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Limpenetrabilit, cio lisolamento di una porzionedi spazio a mezzo di un potente campo di forza, unacaratteristica tipica della materia fisica, filosoficamente

essa la manifestazione di una forza che trova il suoricettacolo nella materia fisica. La materia non impe-netrabile di per s, lo diventa solo in relazione al tipo diforze che le sono accoppiate cio di cui ricettacolo.

Filosoficamente ed in senso astratto, la materia sem-plicemente un ricettacolo di forze a cui corrisponde una

funzione plastica25. Questa funzione plastica quella fun-

zione che rende possibile lespressione delle forze chevengono da essa recepita. Essa , per sua natura, es-senzialmente geometrica, per comprenderla ci rifaremoal meccanismo di generazione della massa inerzialeac-cennato da Ernst Mach nella sua critica alla teoria diNewton26.

Mach e la nascita dellInerzia

Lipotesi di Mach sullorigine della massa inerziale, edeletto poi da Einstein a vero e proprioprincipio, costitui-sce una delle intuizioni fisiche pi fulminanti del secoloscorso. Esso appare a tuttora come un elemento di granlunga fuori dal suo tempo ed al quale la fisica moderna

non ancora pienamente preparata27

. Riprendendo un25cfr. Alessandro Benassai,La Genesi Svelata, ed. Archeosofica,

199626In realt parafraseremo lidea di Mach espressa in Science of

Mechanics, Open Court, 1960 in modo pi facilmente comprensi-bile a tutti. Lopera originale Die Mechanik in Ihrer Entwicklung:Historisch- Kritisch Dargestellt, Brockhaus, Leipzig, 1883

27periodicamente in campo accademico vengono presentate teo-

rie che si propongono di sfruttare questo basilare e fondamentaleprincipio senza tuttavia riuscire mai ad coglierne pienamente ed

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discorso diEulero28 sullo spazio ed il tempo assoluti29,Mach arriv a formulare una teoria olistica della mas-sa profondamente geometrica per cui la massa inerziale

di un corpo deve la sua origine al rapporto del corpoconsiderato rispetto a tutti gli altri corpi delluniverso.

La constatazione di Mach risiede su un principio fon-damentale, un principio di simmetria noto come prin-cipium identitatis indiscernibiliumper il quale due realtassolutamente indistinguibili, sono identiche. Partendoda questo principio basilare, unito ad il principio di re-

lativit, Mach arriva a formulare la necessit logica percui la massa inerziale di un corpo deriva dallinfluenzadi tutti gli altri corpi.

Nella sua dimostrazione euristica Mach prende inconsiderazione due oggetti sferici uno accanto allaltroe pone uno dei due in rotazione. Come noto, quandoun oggetto sferico posto in rotazione la forza centri-

in modo soddisfacente tutti gli aspetti. Per maggiori dettagli sul-lutilizzo delle varie forme di questo principio nelle modrne teo-rie fisiche, confrontare gli atti del congresso J. Barbour e H. Pfister(editori),Machs PrincipleFrom Newtons Bucket to Quantum Gravity,Birkhauser, Boston 1995.

Esistono comunque diverse versioni del principio di Mach, ov-vero di principi ispirati allidea di Mach, noi presenteremo qui

quella pi comune, per maggiori informazioni ed una codifica di10 principi funzionalmente diversi ispirati alla stessa discussioneeuristica, consultare H. Bondi, J. Samuel, The LenseThirring Effectand Machs Principle

28L. Euler, Reflexions sur lespace et le temps, Histoire de lAca-dmie Royale des Science et des Belles Lettres de Berlin, 4, 324(1748)

29Eulero sostiene nel lavoro che prendendo come riferimentoinerziale le stelle fisse invece che uno spazio tempo assoluti si arri-

verebbe allimplicazione -per Eulero assurda- che le stelle possanoinfluire sullinerzia dei corpi.

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Figura 1.13: Argomentazione di Mach: Caso 1, in assenza di altricorpi non vi deformazione in quanto per il principio di relativi-

tnon possibile distinguere quale dei due corpi stia ruotando equale sia fermo. Caso 2, in presenza di stelle fisse, il corpo ruotan-te veiene deformato. Poich la deformazione dipende dallinerziadel corpo, Mach deduce che lorigine dellinerzia dei corpi dipendedallazione delle stelle fisse.

fuga tende a modificarne la forma trasformando il cor-

po in un ellissoide. Questo fenomeno di deformazionetrae la sua origine dalla massa inerziale del corpo ed erapertanto considerato da Newton come metodo che per-mettesse di discriminare loggetto in rotazione rispet-to a quello in stato di quiete rispetto ad un riferimentoinerziale assoluto.

Tuttavia, fa notare Mach, per il principio di relativi-

t, poich esistono solo questi due corpi nellUniverso,non possibile distinguere quale dei due corpi stia ruo-tando rispetto allaltro. Non possiamo cio determinarese sia quello di destra a ruotare in senso orario e quellodi sinistra fermo o viceversa sia quello di sinistra a ruo-tare in senso antiorario e quello di destra fermo. Ci chedice il principio di relativit che le due configurazioni

sono indistinguibili luna dallaltra e dunque identiche.Quindi quale dei due corpi apparir deformato sotto

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lazione della forza centrifuga? La risposta obbligata:nessuno dei due. Se uno dei due corpi si deformasse,questo rivelerebbe il suo stato di rotazione rispetto ad

un asse, le due configurazioni sarebbero distinguibili edil principio di relativit sarebbe violato. Quindi non vi deformazione, ovvero non vi massa inerziale.

Supponiamo invece di avere in lontananza un insie-me di stelle fisse che fungano da punto di riferimento.In questa condizione la simmetria viene violata, uno deidue corpi infatti appare immobile rispetto a tutte le altrestelle mentre laltro appare come ruotante. Il corpo inrotazione rispetto alle stelle fisse si deforma diventandoun ellissoide per effetto della sua massa inerziale.

Quale la spiegazione di Mach a questo esperimen-to mentale? In assenza di altri elementi esterni, cionel primo caso con due soli corpi, non vi nulla che

si opponga al moto del corpo, perci non abbiamo de-formazione. Nel secondo caso, invece, gli altri corpisi oppongono alla rotazione del singolo corpo. Que-sto, per ruotare attorno al proprio asse, deve vincerelazione di tutti gli altri corpi che gli oppongono resi-stenza, generando cos linerzia che causa della suadeformazione.

Nella visione di Mach dunque tutti i corpi sono con-nessi fra di loro ed ogni parte delluniverso interagiscecon ogni altra. Linerzia dei corpi trova dunque la suaorigine in virt del rapporto di interdipendenza dei cor-pi. Tutti i corpi sono interdipendenti ed esercitano unaforza su tutti gli altri. Questa forza, la cui natura non affatto specificata da Mach, contraria al movimento

del singolo corpo, si manifesta come linerzia del corpoovvero come la suaresistenza al moto.

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Il Meccanismo Geometrico dellUniverso

Non c energia nella materia se non

quella che riceve dallambienteNikola Tesla

Mach, nella sua dimostrazione, non specifica la naturadella forza che gli oggetti distanti esercitano sul singolocorpo, egli si limita ad evidenziare una relazione micro-macrocosmica fra il singolo corpo ed il tutto che, nel ca-

so specifico, costituisce lorigine della massa inerziale,ma che, in linea di principio, pu essere estesa ad altrerealt.

E estremamente plausibile che, nel contesto specifi-co, Mach avesse in mente la forza gravitazionale e checonsiderasse la massa inerziale come la risultante della-zione gravitazionale di tutti gli altri corpi dellUniverso.Tuttavia, ci che in effetti illustra il suo ragionamento, un rapporto di interdipendenza che esiste fra lUniver-so e le sue singole parti, cio una configurazione geo-metrica delluniverso e pi in generale un meccanismodi influenza reciproca.

Cio che illustra il ragionamento di Mach, in fondo, lintricato tessuto cosmico fra i singoli enti e tutti glialtri. Ogni punto delluniverso in relazione con ogni

altro perch tutto lUniverso formato dallastessama-teria. Tutto lUniverso formato da ununicamateria,ununica materia dotata di una funzione plastica capacedi farsi ricettacolo di altre forze.

La materia unica, cio indissolubilmente unita. Isuoi singoli elementi possono cambiare di rapporto re-lativo assumendo cos configurazioni geometriche di-

stinte che diventano espressione delle forze che agisco-no su di essa.

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Ogni punto intimamente connesso a tutti gli al-tri. Questo meccanismo di influenza reciproca ed in-terdipendenza provoca linerziadei corpi quando la for-

za manifestata tramite di esso la forza gravitazionale.Ma pu portare ad altri effetti nel caso di altre forze.Nel caso della forza gravitazionale infatti, la risultan-te dellazione del cosmo sul singolo quella diostacoloal movimento, di resistenza o inerzia. Lamateria fisica,diventando veicolo della forza gravitazionale, manifestalinerziao resistenza al cambio di moto.

Unaltra materia di carattere spirituale, ad esempio,diventando veicolo dellAmore divinopu farsi manife-starsi, invece che come ostacolo al moto od inerzia, co-medinamismo interioreelievito spirituale. Sebbene leffet-to sia diametralmente opposto il meccanismo assolu-tamente identico.

Il cosmo agisce come un tuttuno per lintimo colle-

gamento delle sue parti. La connessione geometrica fraun punto e tutti gli altri fa s che il cosmo agisca comeunimmensa cassa di risonanzao dissonanza a secondadella forza o suono di cui si fa veicolo. Esso manifestacos ora inerzia ed ora dinamismo ardente, ora impe-netrabilit ed isolamento, ora comunione ed unit so-lidale, ora materia fisica inerte, ora la sua abbagliante

trasfigurazione.

1.6 La Proporzione Aurea e Gerarchia

Solidale

Colui che dimora nel fuoco

Colui che dimora nel cuoreColui che dimora nel sole

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Egli UnoMaitri-Upanishad, VI, 1730

Nella sezione precedente abbiamo visto come loriginedellinerziadei corpi sia originata dal modo in cui il tut-to si integra con il singolo. Nella visione machiana dellamassa, i corpi distanti nelluniverso agiscono sul singo-lo corpo costituendosi ad ostacolo al suo movimento ecausandone cos linerzia. Ogni corpo trova il suo osta-colo allazione negli altri corpi, ovvero nel modo in cui

egli integrato nel tutto. In questa visione, lazione deicorpi distanti, unita alla configurazione geometrica concui sono distribuiti, produce nel singolo individuo uneffetto paralizzante che egli deve vincere.

In questa sezione, invece, vedremo un rapporto par-ticolare, chiamatoproporzione aurea, che sintetizza unacondizione ideale di integrazione fra il singolo ed il tut-

to. In questa condizione ideale, linsieme, invece di es-sere di ostacolo per il singolo, agisce come forza pro-pulsiva ad aiuto dinamizzante. Questa condizione diperfetta integrazione universale prende nella il nomefilosofico diunitotalit.

Si ha lunitotalitquando gli elementi parti-colari non si escludono a vicenda, ma al con-trario si pongono reciprocamente luno nel-laltro e sono reciprocamente solidali fra diloro; quando in secondo luogo non escludo-no lintero, ma fondano il proprio essere par-ticolare su ununica base universale comune;quando, interzo luogo, questo fondamento

30R. Panikkar,Maitri-Upanishad, VI, 17 inI Veda. Mantramanjari,BUR, 2001

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unitotale o principio assoluto non schiacciae fagocita gli elementi particolari ma invece,palesandosi in essi, concede ampio spazio in

se stesso.Vladimir Solovev, Il significato universale del-larte.

La Proporzione Aurea come mediazione

Sezione aurea,numero doroodivina proporzionesono al-cuni dei nomi assegnati ad una delle proporzioni geo-metriche storicamente ed artisticamente pi importantidallantichit ai giorni nostri. Conosciuta fin dallanticoEgitto31, su di essa sono stati scritti un numero indefi-nibile di libri e, a buon diritto, si pu dire che questaproporzione ha ricoperto un ruolo centrale nella lette-ratura matematica simbolica, accademica32 e ricreativa

a partire dal tardo Rinascimento fino ai giorni nostri33.La propriet centrale della sezione aurea una pro-

prietestetica.Essa, infatti, percepita dalluomo comeuna proporzione estremamente armonica, per cui il suouso conferisce armonia e bellezza a tutto ci al qualeviene applicata. Questa notevole propriet ha costituito

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Indipendentemente dal riferimento di Erodoto per il quale lacostruzione della Piramide di Cheope era stata progettata con lacaratteristica fondamentale di essere in proporzione aurea, la co-noscenza di questa proporzione da parte degli antichi egiziani accertata almeno dal Medio Regno.

32In questo contesto necessario citare ilFibonacci Quarterly, unarivista accademica esclusivamente dedicata alla Proporzione aureae ai numeri fibonacci, edita quadrimestralmente dal 1963 ad oggi.

33Alcune pubblicazioni di carattere introduttivo sulla proporzio-

ne aurea possono essere Chiocchetti Gioni, La Proporzione Aurea,2006 e Ghyka Matila,Le nombre dor, Gallimard, 1931

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lattenzione di centinaia di artisti che, nel corso dei seco-li, hanno impiegato questa proporzione per costruzio-ni architettoniche34 come per composizioni scultoree,

musicali e pittoriche.Il motivo per il quale questa proporzione sia univer-

salmente percepita comebellaedarmonica ancora ma-teria di discussioni. Comunque ipotesi diffusa che la

bellezza di questa proporzione risieda nel grande usoche la natura compie di questa proporzione. Questaproporzione, infatti si ritrova pi o meno esplicitamen-te in un alto numero di fenomeni naturali. Essa compa-re quale costante in gran parte deifenomeni accrescitivi35

come la crescita di fiori, foglie, alberi, conchiglie, gu-sci, nonch in numerose proporzioni corporee di pesci,volatili e mammiferi.

34Limpiego della proporzione aurea nelle costruzioni architetto-niche parte in modo massiccio con il Partenone dellAcropoli perarrivare a Le Corbusier senza avere alcuna soluzione di continuit.

35Una possibile spiegazione di questo fenomeno pu essere do-vuta al fatto che essa appare come limite del rapporto fra termi-ni consecutivi di tutte le successioni in cui un termine ottenutosommando i due precedenti. In pratica dati due numeri qualsia-sia1ea2si definisce una successione {a1, a2, a3,...}ricorsivamenteponendo an = an1+an2. Data una successione cos formatail rapporto an/an1 tende a . Un caso tipico la successione diFibonacci, in cui a1 = a2 = 1 dando cos origine alla nota suc-cessione{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...}. Come si pu notare gi89/55 =1.618....

Lo stesso fenomeno accade con ogni successione costruita nelmodo indicato, indipendentemente dai numeri presi in parten-za. Unaltra successione di questa tipologia assai nota lasuccessione di Lucas a1 = 1 e a2 = 3 che da cos origi-

ne a{1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,...}. Come si pu notare gi123/76 =1.618....

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Figura 1.14: Segmenti in proporzione aurea, il segmento AC ilmedio proporzionale fra AB e BC cio AB : AC = AC : BC. InparticolareAB: AC==1.6180339...

Definizione Matematica Da un punto di vista pretta-

mente matematico la sezione aurea viene introdotta nelVI libro degli Elementi di Euclide36 come divisione diun segmento inmediaedestremaragione. Un segmen-to pu essere diviso in molti modi, ma se il segmentopi grande il medio proporzionale fra il pi picco-lo ed il tutto, allora i due segmenti si chiamano mediaed estrema ragione ed il loro rapporto viene chiamato

proporzione aurea.In termini aritmetici, dato un segmentoABesso pu

essere sempre diviso in due segmentiACeBC. SeAB:AC =AC: BCalloraACviene chiamatamediaragione,BC estremaragione ed il modo di sezionare il segmentoviene chiamatosezione aurea.

La proporzione fra media ed estrema ragione chia-mataproporzione aurea o divina e numericamente vale un

36Per una visione storica sullintroduzione e luso della sezione

aurea si veda il libro Roger Herz-Fischler,A Mathematical History ofthe Golden Number, Dover Publications, 1999

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numeroirrazionale37 chiamatonumero doro

AC

BC

=1.61803398...

Questo numero, nella letteratura scientifica moder-na38, viene indicato con la lettera greca minuscolaphi,mentre il suo inverso viene generalmente indicato conla lettera maiuscola . Noi terremo questa notazione:

= 1

=1.618033989...=

5

2

+1

2 =

1

=0.618033989...=

52 1

2

La Proporzione Aurea come mediazione e trasmissio-ne di un rapporto Questa proporzione geometrica spe-ciale ha ben presto attirato lattenzione dei filosofi, tan-

to da meritarsi in epoca rinascimentale lappellativo didivina proporzione39. Molti sono gli aspetti e le proprie-t di questa proporzione che hanno promosso conside-razioni filosofiche tanto da far dire a Fra Luca Pacio-li che senza la sua conoscenza numerose e valide cosenon sarebbero mai venute in luce, n nel campo dellafilosofia n nel campo di qualsivoglia scienza.40 Le pro-

37I numeri irrazionali sono formati da una serie infinita di cifreper cui non possono essere rappresentati in notazione decimale,purtuttavia possono essere rappresentati come soluzioni di une-quazione algebrica. Nel caso del numero doro lequazione corri-spondente x2 x1 x0 =0, la quale, una volta risolta porta allaformula= 1+

5

238Pi raramente, specialmente nei libri un po datati si pu

trovare la lettera

39Fra Luca Pacioli,De Divina Proportione, Venezia 150940cfr. capitolo IV delDe Divina Proportione,Fra Luca Pacioli

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priet di questa proporzione sono infatti innumerevolie pertanto sono innumerevoli i modi con cui possibi-le approcciare largomento, anche da un punto di vista

simbolico.Per quanto ci riguarda, noi siamo interessati ad evi-

denziare un aspetto fondamentale di questa proporzio-ne che deriva direttamente dalla sua definizione cen-trale. Lelemento caratteristico dellasezione aurea,quel-lo che la distingue fra tutte le altre suddivisioni di unsegmento, un effetto dimediazionee ditrasmissione.

Nella sezione aurea lestrema ragione, o segmento pipiccolo, in rapporto con lamedia ragione, o segmentopi grande, come questa in rapporto con iltutto, ciolinsieme dei due segmenti. I 3 elementi coinvolti, dun-que, vivono tutti di ununico rapportoe formano dunqueuntuttunoinscindibile41.

Pur formando unastruttura gerarchicaben definita incui tre segmenti hanno dimensioni diverse, che posso-no essere ordinate dal maggiore al minore, tuttavia que-ste differenze virtualmente si annullano grazie ununi-co rapporto che sitrasmettedal segmento pi grande alsegmento pi piccolo.

Lestremaragione vive con lamedialo stesso rappor-to che lamediavive con iltutto. Lamediadal canto suo

tramette allestremail rapporto che essa ha con il tuttoe cos facendo le permette di vivere ilsuo propriorap-porto. La media dunque agisce da mediatore, trasmet-tendo il suo rapporto personale allestrema ragione che,

41E proprio questa considerazione che fa dire a Luca Pacioli chequesta proporzione pu essere presa a simbolo della Trinit e dun-

que meritare lappellativo di divina proporzione. Cfr. capitolo VdelDe Divina Proportionedi Fra Luca Pacioli

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accogliendolo si riunisce a lei per formare lunit deltutto.

La Gerarchia Solidale e Bellezza

Io credo che questa proporzione geometricasia servita al Creatore quando introdusse lacreazione di somiglianza dalla somiglianza,che continua indefinitamenteKeplero42

Come abbiamo visto precedentemente, lelemento fon-damentale della proporzione aurea risiede nel modo incui lamedia ragionetrasmette allestrema ragioneil rap-porto che essa ha con iltutto. Questo modello di tra-smissione stato identificato, fin dai tempi di Keplerocome un modello di comunione e di trasmissione, tipi-co della creazione ideale ed unitotale. In essa ogni esse-re creato, per quanto piccolo, unito al cuore della lucedivina.

Questa trasmissione perfetta, secondo una struttu-ra gerarchica prestabilita, realizzata tramite quel mo-to interiore dellamicizia o dellamore43 in cui lindivi-duo trascende s stesso vincendo legoismo paralizzante oinerzia, in uno slancio di autosuperamento nellamore.

Nelle condizioni spirituali di cui parlo, nullaperde la propria individualit, tutto perce-pito come qualcosa di interiore, di connessoorganicamente al resto, di collegato attraver-so il libero eroismo del sacrificio di s, qual-

42Keplero,Lettera a Tanckius, 1608

43P. Florenskij,La Colonna e il Fondamento della Verit,lettera XIsullAmicizia

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cosa di intimamente uno, intimamente inte-gro, in altre parole come esseremulti-uno.P. Florenskij,La Colonna e il Fondamento dellaVerit44

Cos facendo, vincendo il suo proprio egoismo, lindivi-duo si fa permeabile allinfluenza divina e si compene-tra dellidea dellunit divina. Il fine di questo processo una reintegrazione spirituale totale, che, in un certosenso, rappresenta il fine stesso dellevoluzione universa-le

. Il compimento di tutto il Creato mediante lassunzio-ne del Principio Increato45.

Lo scopo generale del processo universale la manifestazione attuale dellunit o dellaspiritualit divinain tutta la realt o lincar-nazione di Dio in tutti gli esseri, il che puanche definirsi come lamaterializzazione della

divinitV. Solovev,La Sofia

La completa e perfetta materializzazione della divinitcorrisponde alla perfetta incarnazione dellIdea di Dionella creazione, cio allasuprema bellezza,il cui simbologeometrico laproporzione aureaonumero doro.

Il numero doro rappresenta, dunque, la perfetta strut-

turazione gerarchica dellunit. La proporzione aureacoglie unaspetto della Creazione ideale o archetipica.Essa bella perch incarna ilmeccanismo stessocon cuila bellezza si diffonde nella creazione. La bellezza di-vina si diffonde nella creazione secondo un modo, una

44P. Florenskij, La Colonna e il Fondamento della Verit, lettera Xsulla Sofia

45cfr. T.Palamidessi, LIcona, i Colori e lAscesi Artistica, ed.Archeosofica, 1986

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Figura 1.15: Serie geometrica di segmenti in proporzione aurea.La somma dei segmenti 1 +

12

+ 13

+. . .= = 1.618...

struttura che potremmo chiamarelegge di gerarchia soli-dale46.

Formule matematiche La legge di gerarchia solidale espri-me lunit della creazione nelladesione al principio crea-tore e contemporaneamente la sua pienezza di contenu-to espressa dalle molteplici individualit. Questo aspet-to unitotale caratterizza univocamente il numero doro,come testimoniano alcune formule generate ricorsiva-

mente47

.

=1 + 1

1 + 11+ 1

1+ 1...

=

1 +

1 +

1 +

1 + 1 +. . .Queste formule evidenziano laspetto di trasmissio-

ne o propagazione dellunit essenziale. E compito in-fatti dellagerarchia solidaletrasmettere lidea dellunit

46cfr. A. Benassai,I Principii Reali della Sapienza, ed. AssociazioneArcheosofica, 2002

47Per spiegazioni su come si arriva a questi risultati consultarelAppendice

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divina e cos facendo celebrare realizzare lunit dellacreazione. Questo aspetto duplice aspetto di unione etrasmissione realizzato dallagerarchia solidale espresso

da due formule speculari che riguardano la serie geo-metrica del numero doro e del suo reciproco48.

1

+ 12

+ 13

+. . .=

La prima formula una serie geometrica convergen-te che pu essere rappresentata come una successione

di segmenti in proporzione aurea fra di loro. In questasuccessione indefinita di segmenti, ciascuno trasmetteal segmento successivo ci che ha ricevuto dal segmen-to precedente:il suo rapporto con lunit. Allo stesso mo-do nellacreazione ideale,come nelle gerarchie angeliche,ogni gerarchia trasmette alle successive la Luce che rice-ve dal proprio rapporto con il Padre delle Luci, illumi-

nando le anime che entrano in contatto con quel gradogerarchico.La somma dei rapporti di tutti i segmenti sintetiz-

zata da , il numero doro stesso, come a simboleggia-re che proprio questo rapporto a rimanere immutataoe a trasmettersi da una gerarchia allaltra: il rapportopersonale con il principio della creazione.

+2 +3 +. . .= 1 La seconda formula, invece, una serie geometri-

ca divergente che come tale sintetizza laspetto interiore

48La prima una serie geometrica convergente ed il risultato trovato per via ordinaria , la seconda invece una serie geometricadivergente, per una discussione sul modo con cui si arriva a questi

risultati vedere lAppendice. Per una trattazione pi ampia sulleserie divergenti vedere il primo volume dellaMetafisica del Numero.

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ed essenziale di unazione che si esplica nel divenire49.In tale ottica la parte sinistra della formula rappresen-ta lazione dei singoli individui o della singola gerar-

chia esplicata nel divenire, mentre la parte sinistra, es-sendo un numero negativo, rappresenta la connessioneinteriore di questi elementi50.

Sommando le due formule otteniamo una nuova for-mula

. . .+ 13 +

12 +

1++2 +3 +. . .= 1

Questa simboleggia lunit della creazione ideale nel-la sua struttura gerarchia. Tutto uno, un unico es-sere creato, ununico spirito ricettacolo ogni virt. Inquesta formula lagerarchia internadi ciascuna anima siripete nellagerarchia esternadella creazione e linterno

dellanima personale come lesterno dellanima univer-sale. Luno ed il tutto si fondono per costituire ununicoessere creato,unacosa una,che manifesta nella pienezzae nella gloria il Principio Creatore, l1 divino.

49Per maggiori dettagli su come si debbano intendere in sensosimbolico le serie divergenti consultare,La Metafisica del Numero

50Per maggiori dettagli su come si debbano intendere i numerinegativi consultare,La Metafisica del Numero

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Capitolo 2

Geometria e Musica

Se alla Geometria corrisponde la qualit della Bellezza,alla Musica allora corrisponde al moto del sentimentoche trasporta lindividuo oltre se stesso per unirlo a ciche egli percepisce come Bello.

Questo moto che abbiamo chiamatosentimento, untrasporto di attenzioni, di energie o, in ultima analisi,divitache unisce lanima del cantante al soggetto evo-cato dal canto, in virt di dinamismi consci e inconscidisciplinati e orientati dalla musica stessa. La Musica, dunque, per sua stessa natura, indiscutibilmente vi-va. Da un certo punto di vista si potrebbe dire che essa

lessenza stessa della vita.Il Suono appare come il veicolo della vita per cui se il

Numero con la Geometria si riveste di una forma o di unordinamento gerarchico, con la Musica esso diffonde lavita animando e trasmettendo la propria geometria allamateria circostante. La Musica, in questottica, dun-que il modo in cui il numero agisce plasmando la natura

secondo linee perfettamente geometriche. Daltra parte,vedendo la stessa situazione in senso ascendente, il can-

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to un moto damore che unisce spiriti ed anime affinicome dimostrano i canti dei cori Angelici della tradizio-ne cristiana. Tale unione e comunione sancita dalla

potenza e dalla forza della musica che plasma e model-la le anime rendendole sempre pi affini e dunque unitefra loro. Il canto dunque una forma di comunione ani-mica e spirituale, come attesta luso liturgico di questadisciplina presente in quasi ogni cultura.

Queste brevi righe non sono certo sufficienti a svi-scerare gli intimi rapporti fra geometria e musica, ma

servono a concepire che la relazione fra queste due di-scipline, prima di essere formale, essenziale. In questocapitolo, infatti, vedremo alcune semplici e classiche re-lazioni geometrico-musicali. Queste analogie non sonoanalogie formali e, quindi, fondamentalmente arbitrarieed episodiche. Le relazioni che andremo a presentare si

basano invece su delle ineliminabili caratteristiche del-

la natura ed inattaccabili leggi della matematica. I casiqui presentati, dunque, non devono essere presi comecasi isolati e contingenti, bens come esemplificativi diuna identit essenziale che richiederebbe molti libri peressere esplicitata esaurientemente.

2.1 Il Triangolo Sacro

Deus numerorum aeternorum fons et locusSantAgostino,De Musica

Uno tra gli oggetti geometrici pi antichi e pi impor-tanti rappresentato dal triangolo di Pitagora di lati 3,4 e 5 chiamato anche Triangolo Sacro o Triangolo doro.

Questo triangolo, conosciuto ben prima di Pitagora, eraconsiderato sacro da numerosi popoli dellantichit, ma

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non solo dato che ancora in era moderna la Chiesa dO-riente usava questa forma come base per la costruzionedi icone sacre dedicate al culto personale o collettivo1.

Pur essendo conosciuto fin dalla pi remota antichit,questo triangolo deve la sua notoriet grazie a Pitagorail quale dimostr la relazione generale che lega cateti edipotenusa fra loro, nota oggi sotto il nome di Teoremadi Pitagora.

Da un punto di vista prettamente matematico non possibile sopravvalutare limportanza del Teorema di

Pitagora. Esso coglie un propriet fondamentale del-lo spazio dalla quale non possibile prescindere comeattesta il matematico e divulgatore Jacob Bronowski:

Allo stato attuale il Teorema di Pitagora ri-mane il pi importante singolo teorema del-lintera matematica. Questa sembra unac-centuazione ed una strana cosa da dire, ep-

pure non stravagante, perch ci che Pita-gora stabil una fondamentale caratteriz-zazione dello spazio in cui ci muoviamo, equesta la prima volta che stata tradottanumericamente. E lesatta scelta dei numeridescrive le esatte leggi che legano luniver-so.2

La meraviglia del Teorema di Pitagora e quella dipermettere di legare fra loro quantit e realt totalmen-te indipententi e svincolate fra di loro. Due realt or-togonali, indipendenti luna con dallaltra, vengono qui

1cfr. T.Palamidessi, LIcona la Pittura e lAscesi Artistica, ed.

Archeosofica, 19752J. Bronowski,The Ascent of Man, 1973

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Figura 2.1: Triangolo doro con costruzione dei quadrati suicateti ed ipotenusa

legate tramite un processo costruttivo e cos riconcilia-te. Per questo motivo il triangolo 3:4:5 nella simbologiamassonica era considerato simbolo di autorit teurgica.Infatti, in questottica, esso veniva interpretato come ilsimbolo dellindustria umana che, illuminata dal vole-re divino, salda insieme il divino con lo spirituale e lospirituale con il corporeo trasfigurandoli in ununica enuova realt.

Nellantica Cina il Triangolo Sacro era chiamato Kou-

Kued era considerato simbolo della Scienza. Nel librodiChou Pei Suan Ching3 si legge infatti

La conoscenza di Kou-Ku d la Saggezza. Per

3DaLettere Edificanti, tomo 26, pag.146, Parigi, ed.Mrigot, 1783riportato in Louis Claude de Saint-Martin,La Simbologia dei Nume-ri. Per una moderna trattazione sul libro diChou Pei Suan Ching

vedere Christopher Cullen. Astronomy and Mathematics in AncientChina: The Zhou Bi Suan Jing, Cambridge University Press, 2007

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Do Re Mi Fa Sol La Si Do1 98

54

43

32

53

158 2

Figura 2.2: Rapporti della scala diatonica naturale. Do = 1, Fa= 43 Do, La=

53 Do. QuindiDo:Fa:La=3:4:5

mezzo di essa si conosce la terra. Median-te questa conoscenza della terra si pervienea quella del cielo e si molto saggi e senzapassioni: si Ching. I lati del Kou-Ku hanno

i loro numeri. La conoscenza di questi numeriprocura quella di tutte le cose.

Da un punto di vista musicale il triangolo sacrotrova ilsuo equivalente nellaccordoDo-Fa-Lachiamato ancheaccordo sacro4. Infatti se consideriamo i reciproci rap-porti delle note della scala musicale diatonica naturale

le tre noteDo:Fa:Larisultano essere in rapporto3:4:5.

Lequivalente musicale del triangolo sacro risulta dun-que essere laccordo sacroDo-Fa-La. Gli stessi rapporti

3:4:5 sussistono inoltre, in materia di frequenze, fra i trecolori primariRosso5, Verde e Blu che si integrano per-fettamente con i rispettivi analoghi musicali. I tre colo-

4T.Palamidessi,Trattato di Melurgia Archeosofica, ed. Archeosofi-ca, 2007

5Facendo la media delle frequenze del rosso otteniamo 440 THz.Considerando ilRossofondamentale a 440Hz come simboleggiante

il primo cateto di dimensione 3, gli altri due cateti diventano unVerdepieno a 586 THz ed unBluprofondo a 733 THz

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Figura 2.3: La corrispondenza tradizionale fra i sette colori del-larcobaleno (Rosso, Arancione, Giallo, Verde, Azzurro, Blu e Viola)ed le sette note musicali (Do, Re, Mi, Fa, Sol, La e Si) trova unasua naturale spiegazione considerando le proporzioni fra le rispet-tive frequenze. Abbiamo posto il Do a 420 THz per dare unideaindicativa, risultato simili possono essere ottenuti ponendo altrivalori

ri primari Rosso, Verde e Blu, infatti, sono tradizional-mente6 associati alle noteDo-Fa-Lae poich le rispetti-ve frequenze sono in rapporto 3:4:5 il simbolismo risul-tante perfettamente coerente. Il triangolo sacro 3:4:5trova quindi un naturale analogo musicale nellaccordoDo-Fa-La ed un naturale analogo cromatico nei tre coloriprimariRosso,VerdeeBlu.

Da un punto di vista simbolico sia i tre colori pri-mari che le tre note formanti laccordo sacro, vengono

usate come simboli atti ad illustrare il processo creativosecondo analogie cromatico-luminose oppure secondoanalogie tipicamente musicali. In rapporto allanalogiacromatica del processo creativo, infatti, i tre colori pri-

6La corrispondenza fra i 7 colori dellarcobaleno (Rosso, Arancio-ne, Giallo, Verde, Azzurro, Blu, Viola) e le 7 note musicali (Do, Re, Mi,Fa, Sol, La, Si) canonica, si trova per sviluppata ed amplita nel

I volume di Lacuria P.,Harmonies de ltre exprimes par les nombres,Paris : Comptoir des imprimeurs-unis, 1847

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mari vengono spesso usati nelliconografia cristiana perindicare le tre sfere emanate da Dio:

Nel linguaggio dei profeti Dio emana tre sfe-re: la prima sfera rossaed ritenuta lasferadellamore; la seconda lasfera della Saggezzaed blu; la terza lasfera della creazioneed verde.7

Lo stesso discorso trova unestensione in ambito mu-

sicale dove il valore simbolico dei tre colori primari rilevato dalle tre note fondamentali Do, Fa e La. In talsenso sono emblematici gli scritti di A. Benassai, teo-logo e noto compositore di musica sacra che, in alcu-ni suoi scritti, sviluppa lanalogia musicale del processocreativo partendo proprio dallaccordo sacroDo-Fa-La.

Il Divino Verbo inizi la sua divina armoniacon il misterioso accordo di bianca luce; tresfere di luce furono emanate, tre note fonda-mentali: la prima di lucerossa, la seconda diluceverde, la terza di luceazzurra.8

Nella prima fase (Rosso-Amore) (Neshamah)domina lazione (trina) del Padre, il Bianco,

la Volont creatrice, lAmore, il Rosso e laSaggezza, il Blu divini. Nella seconda fase(Blu-Saggezza) (Ruah) abbiamo lazione delVerbo, il Blu, mediante il soffio dello Spiri-to Santo. Nella terza fase (Verde-Creazione)(Nefesh) lazione dello Spirito Santo, il Blu,

7T.Palamidessi, LIcona, la Pittura e lAscesi Artistica, ed.

Archeosofica, 19758A.Benassai,Colore e Musica, ed. Archeosofica, 1999

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si unisce alla Rivelazione, il Giallo, per la Ri-generazione, il Verde, delluomo.9

La bianca luce si dispieg nei sette colori, e lesette note risuonarono nei sette mondi e for-marono l ottava, la scala cosmica che daDio discende sino agli uomini. A sua voltaognuno dei sette Piani o Mondi dellUniver-so unottava completa che rispecchia lin-sieme, una scala che ha una sua tonalit, lecui modulazioni sono le manifestazioni dellaVita Una su quel medesimo Piano cosmico.10

Come dalla luce bianca diparte la gamma cromatica ditutti i colori e come dallaccordo sacro simbolicamentedipartono tutte le note, allo stesso modo dal triangolosacro dipartono tutte le qualit espresse dai numeri. Iltriangolo sacro infatti contiene in se ogni numero la-

spetto qualitativo di ogni numero. Fin dai tempi di Pi-tagora11 era noto infatti che la terna3:4:5fosse generatadai numeri 1 e 2. Allepoca si conosceva un caso partico-lare della formula generale per ricavare le terne pitago-riche e che si trova negliElementidi Euclide. Essa diceche sepeqsono coprimi12 allora possibile costruire

a=p2

q2

,b=2pq,c=p2

+q2

9A.Benassai,Origine e Significato delle Costellazioni, ed. Archeo-sofica, 1993

10A.Benassai,Colore e Musica, ed. Archeosofica, 199911Lo attesta Proclo nel commentare la proposizione 47degliEle-

menti di Euclideaffermando che fin dai tempi di Pitagora e di Plato-ne erano noti i metodi per ricavare le terne pitagoriche in cui unodei generatori lunit.

12coprimivuol dire che non sono entrambi multipli dello stessonumero

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Di modo che la terna(a,b,c)sia una terna pitagorica.La terna3:4:5in particolare generata13 dai numeri 1 e2.

Fin dai tempi di Pitagora era dunque noto il modo diritrovare simbolicamente i primi 10 numeri allinternodel triangolo sacro:

1. generatore14

2. generatore

3. cateto minore

4. cateto maggiore

5. ipotenusa

6. area del triangolo

7. somma dei cateti

8. cateto minore ed ipotenusa

9. cateto maggiore ed ipotenusa

Il Triangolo Sacro dunque una delle colonne fondan-ti della geometria simbolica, una miniera di corrispon-

denze non ancora esaurientemente esplorata. Keplerolo individua, assieme alla proporzione aurea, come unodei tesori della geometria antica

13essendo cos 3= 22 1, 4=2 2 e 5= 22 + 1.14Oltre ad essere uno dei generatori, esso pu anche essere fi-

gurativamente rappresentato come il raggio del cerchio inscrittonel triangolo di sacro. Questo raggio infatti risulta essere r =

p(q p)ovvero r = 1(2 1) = 1. Il cerchio inscritto allinternodel triangolo3:4:5ha infatti raggio1.

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La geometria ha due grandi tesori: uno ilteorema di Pitagora; laltro la divisione diun segmento in media ed estrema ragione.

Possiamo paragonare la primo ad una misu-ra doro, e chiamare il secondo un preziosogioiello.15

2.2 La Musica dei Poligoni

Larmonia unaderenza del sensibile allintelligibile,delle figure nello spazio e nel tempo che si conformanoalla legge eterna. Sulla base di questa riflessione Keple-ro16 ritenne che le leggi dellarmonia dovessero poteressere risolte interamente per via geometrica. La geo-

metria costituisce infatti lanello di congiunzione per-fetto tra ci che puramente astratto ed esclusivamenteintelligibile e ci che invece ha una forma ed dunqueanche sensibile.

Questo studio geometrico dellarmonia port Keple-ro a notare lintima connessione fra armonici naturalie poligoni regolari e ad estendere questa analogia alle

armonie celesti ed i poliedri regolari17.

15citazione in Karl Fink, Wooster Woodruff Beman, and DavidEugene Smith.A Brief History of Mathematics: An Authorized Transla-tion of Dr. Karl Finks Geschichte der Elementar-Mathematik, Chicago:Open Court Publishing Co., 1903

16F.Warrain, Essai sur lHarmonices Mundi, Hermann & C.le

Editeurs, Paris 194217J. Kepler,Mysterium Cosmographicum, 1596

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Gli armonici naturali e i poligoni regolari

Gliarmonici naturaliin musica, ipoligoni regolariin geo-

metria, la successione armonica in analisi matematica, lequazioneciclotomica18 in algebra sono tutti concetti simbolicamen-te equivalenti che esprimono la naturale progressione epropagazione che procede per la risonanza di elementiaffini.

Quando una nota viene suonata, ad esempio ponen-do in oscillazione una corda su un pianoforte, questa

oscillazione, amplificata dalla cassa di risonanza del-lo strumento, si trasmette nellaria e raggiunge lorec-chio dellascoltatore che traduce loscillazione meccani-ca in un segnale elettrico. Questo, successivamente, ver-r tradotto in una percezione auditiva dipendente dallafrequenza di oscillazione della corda.

Agli effetti pratici un suono non mai puro, ma costituito da un amalgama in cui, oltre al suono fonda-mentale, se ne aggiungono altri, pi acuti e meno inten-si. Questi suoni accessori si chiamanoarmonicie sonoimportantissimi nel determinare il corpo, la limpidezzao lasprezza del suono risultante.

Gli armonici naturali sono quei suoni accessori chevengono naturalmente prodotti da uno strumento a cor-da o da un ottone come pure dalla voce umana. La

18Lequazione ciclotomica lequazione che si deve risolvere percercare le radici n-sime dellunit. In pratica lequazione

zn =1

Nel campo dei numeri complessi le soluzioni di questa equazio-ne disegnano si trovano su una circonferenza di raggio unitario ese unite disegnano un poligono regolare. Le possibilepermutazioni

di queste radici possono essere rappresentate tramite luso di ungrafo completoKn.

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caratteristica di questi armonici quella di avere unafrequenza esattamente multipla della frequenza fonda-mentale19. La loro formazione pu essere facilmente

compresa analizzando la dinamica di una corda in oscil-lazione.

Quando una corda viene posta in vibrazione dal piz-zico di un dito, oltre alloscillazione fondamentale pa-ri allintera lunghezza della corda, altre oscillazioni so-no possibili e ricevono una parte dellenergia meccanicatrasmessa dal dito. Le altre oscillazioni possibili si dif-

ferenziano dalloscillazione fondamentale in relazioneal numero di creste dellonda che le formano. Il nume-ro di creste donda unindicatore della frequenza delsuono risultante. Poichvirtualmenteogni numero in-tero di creste donda possibile, cosidealmente20 ognifrequenza esattamente multipla della fondamentale possibile.

Keplero si rese conto che riunendo idealmente i dueestremi della corda fino a formare un cerchio, era pos-sibile ottenere questi armonici naturali inscrivendo unpoligono regolare allinterno del cerchio. I vertici di untriangolo, infatti avrebbero indicato i nodi21 doscilla-zione del terzo armonico, i vertici di un quadrato quelli

19

Per cui -ad esempio- ad un suono Do a 33 Hz, corrisponder unsecondo armonicopari ad un Do a 66 Hz. A questo si aggiunger unterzo armonicocorrispondente ad un Sol a 99 Hz. Il quarto armonicosar un Do a 132 Hz. Il quinto armonico corrisponder ad un Mi (165Hz), il sesto adununSol(165Hz),il settimo sar un Si Bemolle a 231Hz. Il procedimento continua cos allinfinito per tutti gli armoniciin corrispondenza di tutti i numeri naturali.

20nella pratica la maggior parte degli strumenti arriva alla quintaarmonica, rari strumenti raggiungono la decima

21I punti della corda che rimangono immobili durante loscilla-zione ad una determinata frequenza

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Figura 2.4: La successione armonica con il relativo poligonoformato dai nodi dellonda una volta riuniti gli estremi della corda

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Figura 2.5: Riunendo idealmente due estremi della corda i no-di delloscillazione si dispongono secondo i vertici di un poligonoregolare.

del quarto, e quelli di un pentagono quelli del quinto ecos via.

Ogni armonico poteva dunque essere considerato co-me simbolicamente originato dalliscrizione di un poli-gono regolare avente numero di lati pari al numero del-larmonica che si intendeva produrre. La successionearmonica appariva cos interamente risolta per via geo-

metrica con la successione dei poligoni regolari. Inol-tre, poich la scala diatonica naturale con le sue settenote nascono dagli intervalli di questa successione ar-monica e da queste sette note poi diparte tutto lo stu-dio dei modi musicali e dellarmonia, questa equivalen-za fra successione armonica e poligoni costituisce unachiave per interpretare su base geometrica i fondamenti

di tutta larmonia musicale.Ispirandosi a questa corrispondenza fra poligoni ed

armoniche , infatti, possibile assegnare a determinatiaccordi o composizioni musicali delle costellazioni dipoligoni regolari equivalenti. Ad esempio supponen-do poich la notaSolrappresenta la III armonica di unDo fondamentale, pu essere rappresentato simbolica-

mente con un triangolodove il Do pu essere rap-presentato con un cerchio con il punto. Cos Lac-

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8/10/2019 Geometria Moderna e Simbolismo Tr

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