Pontos notáveis de um triângulo

Sadao Massago

Maio de 2010

Sumário

1 Conceitos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Incentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Circuncentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Hortocentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Exincentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Consideração �nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Conceitos preliminares

Para demonstrar e entender os pontos notáveis de um triângulo, diversos conceitos serão neces-sários.

A mediatriz de um segmento é a reta que passa no ponto médio, formando um ângulo reto.Os pontos da mediatriz é equidistante dos extremos do segmento. Reciprocamente, se uma retapassa em dois pontos equidistantes dos extremos, será a mediatriz. Note que um destes pontospode ser o ponto médio.

A bissetriz de um ângulo é a semi reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. Ospontos da bissetriz é equidistante dos lados do ângulo. Reciprocamente, uma reta que passa emdois pontos equidistantes dos lados de um ângulo determina a bissetriz. Note que um destespontos pode ser a vértice.

Um quadrilátero com lados opostos paralelos é denominado de paralelogramos e temos que

Teorema 1. Dado um quadrilátero, são equivalentes

1. É um paralelogramo

2. Os lados opostos são congruentes

3. ângulos opostos são congruentes

4. Os diagonais cruzam o outro no ponto médio

5. Tem um par de lados opostos paralelos e congruentes.

Num triângulo, o segmento que liga os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado,medindo metade do terceiro lado. Reciprocamente, uma reta que passa no ponto médio de umdos lados, paralela ao outro lado também passa no ponto médio de terceiro lado.

Lembrando também que uma reta que passa num ponto do círculo é tangente ao círculo se, esomente se formar ângulo reto com o raio correspondente.

1

2 Incentro

Antes do teorema, prove o seguinte exercício

Exercício 1. Dado um triângulo, duas bissetrizes cruzam no interior do triângulo.

Teorema 2. As bissetrizes (dos ângulos) de um triângulo intercepta em um único ponto no seuinterior na qual é equidistante dos seus lados.

Demonstração. Considere o triângulo 4ABC e bissetriz de ∠B e ∠C. Então eles cruzam nointerior do triângulo (exercício 1) que denotaremos por O (Figura 1).

Como O está sobre a bissetriz de ∠B, ele é equidistante de AB e BC. Mas também está nabissetriz de ∠C de forma que O é equidistante de AC e BC. Assim, O é equidistante aos trêslados. Agora considere AO. Como AO divide o ângulo ∠BAC e passa no ponto (fora da vértice)equidistante de AB e AC, será bissetriz de ∠BAC.

A

B C

D

E

F

O

Figura 1: O incentro

O círculo com centro em O que passa num dos pontos entre D,E e F passa em todos outros.Como OM , ON e OP são raios deste círculo e são ortogonais aos lados do triângulo, o círculotangencia todos os lados do triângulo. O círculo que tangencia todos os lados de um polígono édenominado de círculo inscrito. Logo, a intersecção das bissetrizes determina o centro do círculoinscrito de um triângulo.

3 Circuncentro

Antes do teorema, prove o exercício seguinte.

Exercício 2. Dadas duas retas concorrentes, as retas ortogonais a elas também são concorrentes.

Teorema 3 (circunentro). As mediatrizes (dos lados) de um triângulo intercepta em um únicoponto na qual é equidistante dos seus vértices.

Demonstração. Dado 4ABC com M,N e P , pontos médios dos lados AB,BC e AC respectiva-mente. Como as mediatrizes de AB e BC cruzam (exercício 2), denotaremos este ponto por O(Figura 2).

Como O está na mediatriz de AB, é equidistante de A e B, tendo OA = OB. Analogamente,OB = OC e consequentemente, O é equidistante dos vértices.

Agora considere a reta passando pelo P e O. Como P é o ponto médio e O é equidistantede A e C, a reta é mediatriz do lado AC. Portanto, todas as mediatrizes cruzam em O que éequidistante dos vértices.

2

A

B C

O

N

M P

Figura 2: O circuncentro

Um círculo com centro no circuncentro que passa em um dos vértices, passa em todos osoutros vértices. O círculo que passa em todos os vértices de um polígono é chamado de círculocircunscrito. A intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo é o centro do círculocircunscrito.

4 Baricentro

Antes do teorema, prove o exercício seguinte.

Exercício 3. Mostre que as medianas de um triângulo são concorrentes, cruzando no interior dotriângulo.

Teorema 4. Mediana de um triângulo intercepta em um único ponto no seu interior, dividindoa mediana no ponto 2/3 da vértice correspondente.

Demonstração. Seja dado 4ABC e considere os pontos médios E e F dos lados AC e ABrespectivamente. Seja G, a intersecção das medianas BE e CF (exercício 3). Agora considereAG e seja H, um ponto no prolongamento de AG de forma que AG = GH (Figura 3).

A

B C

G

EF

H

Figura 3: O baricentro

Como F e G são pontos médios dos lados AB e AH de 4ABH, temos que FG é paraleloa BH e FG = 1

2BH. Da mesma forma, como G e E são ponto médios dos lados AH e AC de

4AHC, GE é paralelo a CH e GE = 12CH.

Como GC e paralelo a BC e BG é paralelo a CH, o quadrilátero GBHC é um paralelogramoe consequentemente, BH = GC e HC = BG. Logo, FG = 1

2BH = 1

2GC e GE = 1

2HC = 1

2BG.

3

Agora note que o prolongamento de AG passa no ponto médio de BC, pois GBHC e parale-logramo e diagonais dos paralelogramos cortam outro no meio. Além disso, GD = 1

2GH = 1

2AG.

Logo, todas as medianas cruzam no mesmo ponto (que é numa distância 23das vértices cor-

respondentes).

O baricentro é o centro de massa. Se o triângulo apresentar densidade uniforme, qualquer retaque passa no baricentro divide o triângulo em dois momentos iguais, signi�cando que se pendularo triângulo neste ponto, ele �cará na posição horizontal. Não confundir momento com a massa.O triângulo determinado pela reta paralela a um dos lados passando pelo baricentro tem a área49do original e não o 1

2.

5 Hortocentro

Teorema 5. O prolongamento das alturas de um triângulo intercepta em um único ponto.

Demonstração. Considere as retas paralelas aos lados, passando pelos vértices opostos. Estasretas não são paralelas dois a dois, pois os lados dos triângulos não são paralelos dois a dois. Logoestas retas cruzam dois a dois, formando um triângulo. Considerando D, E e F , as intersecçõesdas retas paralelas a AB e AC, BC e AB, BC e AC respectivamente, podemos considerar4DEF . Então temos que DE, EF e FD são paralelos aos lados BA, CB e AB respectivamente(Figura 4).

Veremos que 4BAF é congruente a 4ABC. Como AF é paralelo a BC, ∠ABC = ∠BAFpor ser alternos internos. Da mesma forma, BF ser paralelo a AC implica que ∠BAC = ∠ABF .Como BC é comum, pelo critério ALA, 4BAF e 4ABC são congruentes. Da mesma forma,podemos mostrar que 4CEA e 4DCB também são congruentes a 4ABC. Assim, FA = AE,FB = BD e EC = CD. Logo, o prolongamento das alturas de4ABC são mediatrizes de4DEFe eles interceptam, pelo Teorema 3.

A

B C

O

N

M P

D

EF

Figura 4: O hortocentro

6 Exincentro

Exercício 4. Dado um triângulo, a bissetriz de um ângulo e bissetriz de um dos ângulos externosnão adjacentes interceptam.

Teorema 6. A bissetriz de um triângulo e a bissetriz dos ângulos externos não adjacentes inter-ceptam em um único ponto na qual é equidistante dos prolongamentos dos seus lados.

4

Idéia da demonstração. A demonstração é similar ao caso do incentro (Teorema 2) e é deixadocomo exercício (Figura 1).

A

B C

O

D

F

E

Figura 5: O exincentro

O exincentro é o centro do círculo que tangencia um lado e o prolongamento de outros doislados.

7 Consideração �nal

O incentro, circuncentro e baricentro costumam ser chamados de três pontos notáveis de umtriângulo. Os três pontos notáveis mais o hortocentro e o exincentro é denominado de cincopontos notáveis de um triângulo.

Ainda existem outras propriedades interessantes do triângulo tais como a reta de Euler e ocírculo de nove pontos que não foram discutidos aqui.

Referências

[1] Toyo, Takami, �Kika-kogi (zen-pen)� (Curso de geometria, parte 1 de 2), seçãoeditoral da Universidade de Saneda, Japão, ano não especi�cado.

[2] Rezende, Eliane Q. F. e Queiroz, Maria L. B de, �Geometria Euclidiana plana econstruções geométricas�, Editora UNICAMP, 2000.

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