CORPETROL Corporaci n T cnica del Petr leo o e o

MODULO 2

Geometra Plana y Espacial, Estadstica, Interpretaci n de Gr cas, Unidades y o a Ecuaciones Aplicadas a la Ingeniera de Petr leos y Trigonometra o

Disenado por:

Pedro P ramo Quintero aLic. en Matem ticas a

Corporaci n T cnica del Petr leo -CORPETROLo e o Programa de Matem ticas a Neiva 2008

Indice general

1. Geometra Plana y Espacial 1.1. Introducci n . . . . . . . . . . o 1.1.1. Factores de Conversi n o 1.2. Areas de guras planas . . . . 1.3. Vol menes de s lidos . . . . . u o

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1 1 1 2 5 7 7 8 9 9 10 11 16 16 18 18 22 27 27 28 28

2. Estadstica 2.1. Conceptos b sicos de la estadstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.2. Tipos de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Distribuciones de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Simbologa utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Elaboraci n de tablas de frecuencias para variable discreta o (Datos no agrupados) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Elaboraci n de distribuci n de frecuencias para variable o o (Datos agrupados) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Estadgrafos de posici n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.4.1. La media aritm tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e

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. . . . . . continua . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Interpretaci n de Gr cas o a 3.1. Proporcionalidad Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Proporcionalidad Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Unidades y Ecuaciones Aplicadas a la Ingeniera de Petr leos o 4.1. Area de un Crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Capacidad de un Tanque Cilndrico Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Volumen de Aceite en un Tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .II

Indice General 4.4. Caballaje Hidr ulico (HHP) . . . . . . . . . . . . . . . a 4.5. Recuperaci n de Aceite . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.6. Permeabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Volumen, Presi n, o Temperatura del Gas (Ley de Boyle) o 4.8. Velocidad de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Presi n hidrost tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 4.10. Gravedad API . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Capacidad de tubera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12. Volumen y altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13. Densidades de uidos de Perforaci n . . . . . . . . . . . o 4.14. Gasto de bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15. Efecto de la temperatura en el acero . . . . . . . . . . . 4.16. Peso de tubera suspendida en un uido (otada) . . . . 4.17. Transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18. Consumo de combustible . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

29 29 29 30 30 31 31 31 32 33 34 34 34 35 35 35 37 37 37 37 38 38 38 39 40 42 45 46

5. Trigonometra 5.1. Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Sistema de Medida Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Sistema Sexagesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Sistema Cclico o Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Conversiones Entre los Dos Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. De Grados a Radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. De Radianes a Grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Razones Trigonom tricas de un Tri ngulo Rect ngulo . . . . . . . . . e a a 5.5. Razones Trigonom tricas para los Angulos Notables (30o - 45o - 60o ) e 5.6. Resoluci n de Tri ngulos Rect ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . o a a 5.6.1. Ejemplos de Aplicaci n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

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CAP ITULO 1

Geometra Plana y Espacial

1.1. Introducci n oEn el c lculo de areas y vol menes, es fundamental que las medidas sean homog neas, es a u e decir, que tengan las mismas unidades. En efecto, repasaremos los factores de conversi n de o unidades con el prop sito de efectuar los c lculos correctamente. o a

1.1.1. Factores de Conversi n oUtilizaremos como m todo pr ctico para la conversi n de unidades la siguiente tabla: e a oXX XXX XXX XX Unidad a convertir X X

pie ( f t) 1 0.08333 3.281 0.03281 0.003281

pulgada (in) metro (m) centmetro (cm) 12 1 39.37 0.3937 0.03937 0.3048 0.0254 1 0.01 0.001 0.003048 2.54 100 1 0.1

milmetro (mm) 0.00003048 25.4 1000 10 1

pie ( f t) pulgada (in) metro (m) centmetro (cm) milmetro (mm)

INSTRUCCIONES: Para utilizar la tabla de conversi n se procede as: se localiza la unidad o deseada (la unidad que se quiere convertir) en la parte superior. En la parte donde las columnas se interceptan aparece el factor de conversi n. o

1.2 Areas de guras planas Ejemplo 1.1.1. Convertir 20 f t a pulgadas (in).

2

Soluci n: Se localiza PIE en la columna de la izquierda y PULGADA en la parte superior o de la tabla No 1. Donde se interceptan se encuentra el factor de conversi n: 12. Esto signica o que un pie tiene 12 pulgadas. Para realizar la conversi n se hace: o 10 f t 12 in = 10 12 in = 120 in 1 ft

Ejemplo 1.1.2. Convertir 2000 metros a pies. Soluci n: Al observar el lugar de intersecci n entre la columna de metros a la izquierda y o o la de pie en la parte superior el factor de conversi n es: 3.281. Para realizar la conversi n: o o 2000 m 3,281 f t = 6562 f t 1m

1.2. Areas de guras planas

NOMBRE

FIGURA

AREA

h Rect ngulo a b L Cuadrado L h Paralelogramo b A = bh A = L L = L2 A = bh

1.2 Areas de guras planas

3

NOMBRE

FIGURA b h

AREA

Trapecio B

A=

B+b 2

(h)

h Tri ngulo a b A=bh 2

R Crculo A = R2

Cuadro 1.1: Areas de guras planas

Ejemplo 1.2.1. Calcular el area de un rect ngulo cuyas medidas son: largo 12.3 pulgadas y a ancho 5.8 pulgadas. Soluci n: o

5,8 in 12,3 in

A = bh A = (12,3 in)(5,8 in) A = 71,34 in2

Ejemplo 1.2.2. Determinar el area de un paralelogramo de base 15 pies y una altura de 24 pulgadas. Dar la respuesta en pulgadas cuadradas. Soluci n: o 12 in Primero hacemos la conversi n: 15 f t o = 180 in. ft

1.2 Areas de guras planas Luego: A = b h = 180 24 = 4320 pulgadas cuadradas.

4

Ejemplo 1.2.3. Calcular el area de un trapecio con lados paralelos de 10 y 12 pulgadas y su altura de 8 pulgadas. Soluci n: o

10 in 8 in 12 in

B+b (h) 2 12 + 10 A = (8) 2 A = (11)(8) A = 88 pulgadas cuadradas A =

Ejemplo 1.2.4. Determinar el area de la base de un cilindro cuyo radio es 20 f t. Soluci n: o

A A A A

= = = =

R2 (3,1416)(20)2 (3,1416)(400) 1256,64 pies cuadrados

R

Ejercicios de Aplicaci n oEncontrar el area de: 1. De un rect ngulo de 2.5 pies de largo y 8 pulgadas. Expresar el area en pulgadas a cuadradas. 2. El area del trapecio de la gura 20 f t 15 f t 50 f t

1.3 Volumenes de s lidos o 3. El area de un crculo de di metro 12 pulgadas. a 4. El area del tri ngulo de la gura a

5

8 ft

6 ft 5. El area de un paralelogramo de largo 25 cm y altura 4.5 pulgadas.

1.3. Volumenes de s lidos o

NOMBRE

FIGURA

AREA

L Cubo L L V = L3

h

Prisma

B

V = Bh

1.3 Volumenes de s lidos o

6

NOMBRE

FIGURA

AREA

h Pir mide a B V = 1 Bh 3

R

Cilindro

V = R2 h

R Esfera V = 4 R3 3

h R Cono V = 1 R2 h 3

Cuadro 1.2: Vol menes de s lidos u o

CAP ITULO 2

Estadstica

El t rmino estadstica es frecuentemente utilizado en la vida cotidiana en diversos sectores e de la sociedad. Sin embargo, existe una gran diferencia entre el signicado que tiene el t rmino e cuando se emplea en el lenguaje corriente, en el sentido de reforzar una armaci n de caracter o numerico y del signicado que tiene como ciencia. En efecto, existen diversos vocablos que indicaban los antecedentes del t rmino estadstica, de e los cuales podemos mencionar: 1. Status (latn): situaci n, Estado, posici n. o o 2. Statera (griego): el de la balanza. 3. Staat (alem n): Gobierno, como unidad poltica de una naci n. a o En este sentido, se considera como fundador de la estadstica al profesor y economista alem n GODOFREDO ACHENWALL (17191772), quien en su c tedra de la Universidad a a de Leipzig, acu o el t rmino estadstica para una nueva ciencia y la deni como: El n e o conocimiento profundo de la situaci n respectiva y comparativa de cada estado. En otras o palabras, la estadstica es una ciencia que recoge, interpreta y analiza datos, los representa gr camente y trata de sacar conclusiones de car cter general. Es tal la importancia de la a a estadstica que todas las ciencias tanto fsicas como sociales la tienen como soporte.

2.1. Conceptos b sicos de la estadstica a POBLACION: Es el conjunto de medidas o el recuento de todos los individuos o elementos que presentan una caracterstica com n. Estos elementos de la poblaci n pueden ser u o

2.2 Tipos de variables

8

personas, objetos o cosas, acontecimientos o atributos. Seg n el n mero de elementos, u u la poblaci n puede ser nita o innita. Es nita cuando los elementos son limitados e o innita cuando son ilimitados. CARACTERISTICA (CARACTERES): Son las cualidades que se estudian en los elementos de la poblaci n, como son el peso, la estatura, el color del cabello, el sexo, etc. Cada una o de las posibilidades de los caracteres se llama modalidad, en el caso de ser num ricas se e llama valor. PARAMETRO: Son todas aquellas medidas que describen num ricamente la caracterstica de e la poblaci n. Se le denomina valor verdadero, debido a que una caracterstica poblacional o tiene un solo par metro (media, mediana, varianza), sin embargo una poblaci n puede a o tener varias caractersticas. ESTIMADOR: Medida num rica que describe a una caracterstica correspondiente a los e elementos de la muestra. MUESTRA: Es un subconjunto propio de la poblaci n. Para que los estudios sean v lidos, la o a muestra debe ser representativa, es decir, que los elementos que la conforman deben ser elegidos al azar, con el prop sito que las conclusiones que salgan de la muestra se puedan o inferir a toda la poblaci n. o Ejemplo: Cuando a un paciente se le hace un examen de sangre, la bacteri loga analiza o una parte de la sangre, por ejemplo unos 20 ml de los 8 litros que circula en el cuerpo humano. Resultados de la muestra los generaliza. DATOS: Son n meros o medidas que han sido observados y recopilados. u VARIABLE ESTADISTICA: Es una caracterstica que puede tener diferentes valores en los elementos de la muestra o de la poblaci n. o

2.2. Tipos de variablesVARIABLE CUANTITATIVA: Si los caracteres estudiados son cuanticables, es decir, se pueden describir num ricamente como son el peso, la estatura, ingresos, ventas, n mero e u de asistentes a un estadio, y salarios. VARIABLE CUALIDAD: Si los caracteres estudiados son incuanticables, es decir, se pueden describir con palabras como la profesi n, cargos, marcas, calidades o atributos. o VARIABLE DISCRETA: Son aquellas que admiten valores enteros, es decir, no tienen valores intermedios como el n mero de hijos por familia, el n mero de empleados de u u una empresa o el n mero de libros de una biblioteca. u

2.3 Distribuciones de frecuencias VARIABLE VALORES POSIBLES N o de hijos 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . o de empleados N 1, 2, 3, 4, 8, 10, 20, . . . Coeciente intelectual 20, 50 80, 90 100

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VARIABLE CONTINUA: Son aquellas que admiten valores intermedios o fraccionarios, pudi ndose establecer intervalos. Como por ejemplo; la estatura, el peso, el tiempo de e duraci n de una canci n, longitud de una mesa, etc. o o VARIABLE Estatura (m) Peso (kg) Di metro (cm) a VALORES POSIBLES 1,52; 1,58; 1,80 1,87 35,4; 80,5; 36,7; 12,5 2,3; 0,85; 1,26; 3,46

2.3. Distribuciones de frecuenciasEs un m todo para organizar y resumir los datos en una tabla y registrar la frecuencia con e que ocurre dichos datos.

Elaboraci n de tablas de frecuencias y gr cas o a

2.3.1. Simbologa utilizada Es importante familiarizarnos con los smbolos utilizados para las variables discretas y las variables continuas. n : Tama o de la muestra. n N : Tama o de la poblaci n. n o yi : Identicaci n para cada valor observado en la variable discreta. o ni : Frecuencia absoluta: el n mero de veces que se repite cada variable. u hi : Frecuencia relativa o percentual; es decir, se obtiene al dividir la frecuencia absoluta por n: hi = ni n

Ni : Frecuencia absoluta acumulada.

2.3 Distribuciones de frecuencias

10

Hi : Frecuencia relativa acumulada; se obtiene al dividir la frecuencia absoluta acumulada por N: Hi = Ni N

yi1 yi : Lmite inferior y superior de un intervalo para variable continua. yi : Marca de clase, en la variable continua. m : El n mero de intervalos. u C : Amplitud o anchura de los intervalos.

2.3.2. Elaboraci n de tablas de frecuencias para variable discreta o (Datos no agrupados)En un sondeo a 20 familias, se les pregunt por el n mero de hijos. Los resultados que se o u obtuvieron fueron: 32142423141342030323 Elaborar una tabla de distribuci n de frecuencia o

Tabulaci n o

No de hijos No de familias 0 || = 2 1 ||| = 3 2 ||||| = 5 3 |||||| = 6 4 |||| = 4 20

2.3 Distribuciones de frecuencias

11

yi 0 1 2 3 4

ni 2 3 5 6 42 20 3 20 5 20 6 20 4 20

hi = 0,10 = 0,15 = 0,25 = 0,30 = 0,20 1,00

Ni 2 5 10 16 20

Hi2 10 5 20 10 20 16 20 20 20

= 0,2 = 0,25 = 0,50 = 0,80 =1

20

Ejercicio:Construir la distribuci n de frecuencia. o Durante el mes de agosto en Neiva, se han registrado las siguientes temperaturas m ximas: a 31 30 31 34 33 33 29 29 27 30 28 29 30 32 31 31 30 30 29 29 32 31 28 29 33 32 31 30 31 31

2.3.3. Elaboraci n de distribuci n de frecuencias para variable continua o o (Datos agrupados)Este es un importante m todo para estudiar el comportamiento de un conjunto de datos, e dejando los detalles de los elementos individuales para elaborar su distribuci n de frecuencias o para datos agrupados se utilizan estas reglas generales. 1. Hallar el rango: se obtiene por la diferencia entre el valor m ximo y el valor mnimo; a R = xm x xmn a 2. Se calcula el n mero de intervalos, mediante la f rmula de Sturgents: u o m = 1 + 3,3 log n , donde n es el n mero de datos. u

2.3 Distribuciones de frecuencias Aqu, es conveniente redondear al entero superior. 3. Se calcula la anchura o longitud del intervalo: C=R m

12

Si el resultado de la divisi n no es un n mero entero, se aproxima al entero superior, esto o u como es evidente, altera el valor del rango, lo que obliga a efectuar un ajuste as: RN = m C 4. La diferencia entre el nuevo rango y el rango anterior se debe distribuir en forma balanceada para el lmite inferior y para el lmite superior. 5. La marca de clase (yi ), se obtiene al promediar el lmite inferior y superior de cada intervalo de clase yi = yi L IMITE INFERIOR + L IMITE SUPERIOR 2 yi1 + yi = 2

6. Se determina la frecuencia absoluta para cada intervalo de clase, contando los valores comprendidos en dicho intervalo. Ejemplo: Las estaturas en centmetros de los asociados a un Club Juvenil de Neiva, son las siguientes: 153 138 152 145 152 123 128 128 124 136 129 134 146 132 160 132 148 143 138 159 147 125 138 144 157 138 139 138 141 150 137 146 122 137 160 134 145 146 146 142 131 148 137 138 148 147 135 151 146 130

A) Agrupar los datos en una tabla de frecuencia. B) Dibujar histograma, polgono y la ojiva. Soluci n A: o

2.3 Distribuciones de frecuencias

13

1. Para realizar la tabla de frecuencia, lo primero que se debe hacer es ordenar los datos de menor a mayor, haciendo el recuento: 122 : | 123 : | 124 : | 125 : | 126 : 127 : 128 : || 129 : | 130 : | 131 : | 122 132 138 145 148 123 134 138 146 150 132 : || 133 : 134 : || 135 : | 136 : | 137 : ||| 138 : |||||| 139 : | 140 : 141 : | 124 134 138 146 151 125 135 138 146 152 128 136 139 146 152 142 : | 143 : | 144 : | 145 : || 146 : ||||| 147 : || 148 : ||| 149 : 150 : | 151 : | 128 137 141 146 153 129 137 142 147 157 130 137 143 147 159 152 : || 153 : | 154 : 157 : | 158 : 159 : | 160 : ||

131 138 144 148 160

132 138 145 148 160

2. RANGO = xm x xmn = 160 122 = 38 a 3. N mero de intervalos: u m = 1 + 3,3 log n = = = = 1 + 3,3 log(50) 1 + 3,3(1,6989) 1 + 5,60 6,6

Como el resultado es decimal, se aproxima al entero superior, es decir, m = 7. 4. Amplitud del intervalo: C = R m 38 C = 7 C = 5,42

Como el resultado de C es decimal, se aproxima al entero superior, es decir, C = 6.

2.3 Distribuciones de frecuencias 5. Nuevo Rango: R = m C R = 76 R = 42

14

Se incrementa en 4 unidades, se reajusta el lmite inferior y lmite superior en forma equitativa, siendo: 160 + 2 = 162 L IMITE SUPERIOR 122 2 = 120 LIMITE INFERIOR Con esta informaci n podemos construir la tabla de frecuencia. o La marca de clase se obtiene al promediar los lmites inferior y superior de cada intervalo: xi =yi +yi1 2

para cada intervalo yi1 yi yi ni 4 7 hi 0,08 Ni 4 Hi 0,08 0,22 0,48 0,58 0,84 0,92 1,00

120,1 126 123 126,1 132 129 132,1 138 135 138,1 144 141 144,1 150 147 150,1 156 153 156,1 162 159 Soluci n B: o

0,14 11

13 0,26 24 5 0,10 29

13 0,26 42 4 4 0,08 46 0,08 50

50 1,00

Histogramas de polgonos: Un histograma es una t cnica gr ca utilizada para representar e a gran cantidad de datos. El histograma puede ser: de frecuencias absolutas, frecuencias relativas, frecuencia absoluta acumulada y de frecuencias relativas acumuladas. Los histogramas son de mucha ayuda porque muestran las principales caractersticas de los datos como son: la forma, acumulaci n o tendencia posicional y el grado de variabilidad o o dispersi n. o

2.3 Distribuciones de frecuencias

15

En denitiva, el histograma es una sucesi n de rect ngulos construido en un plano cartesiano o a con las siguientes condiciones: 1. Las bases de los rect ngulos se localizan en el eje horizontal y cuya longitud es la anchura a de los intervalos. 2. Las alturas de los rect ngulos se localizan en el eje vertical y corresponden a las a frecuencias. 3. Las areas de los rect ngulos son proporcionales a las frecuencias de las clases. a ni 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Frecuencias 1 123 129 135 141 147 153 159 2 3 4 5 6 7 8 Estatura en centmetros 9 yi

Ni 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 123 129 135 141 147 153 159 2 3 4 5 6 7 8 Estatura en centmetros yi

Frecuencias Acumuladas

2.4 Estadgrafos de posici n o

16

2.4. Estadgrafos de posici n oSon aquellas medidas que nos indican la posici n de un valor respecto a la variable. Como o estadgrafos de posici n o medidas de tendencia central entre las principales est n la media o a aritm tica, la mediana, la moda y la media geom trica. e e

2.4.1. La media aritm tica eEs el estadgrafo de posici n mas conocido y f cil de calcular, de gran estabilidad en el o a muestreo, sus f rmulas permiten un tratamiento algebraico. Tiene una desventaja porque es o muy sensible a valores extremos bajos o muy altos. La media aritm tica se representa por x, y, , M[x] , M[y] , y se emplea la siguiente la f rmula: e o x= y= xi n yi ni n

para datos no agrupados para datos agrupados

Ejemplos: 1. El precio de la onza de oro en d lares en una semana fue U S$ 468, 452, 448, 470, 476 y o 476. x= 468 + 452 + 448 + 470 + 476 + 476 xi = n 6 2790 = 6 = 465

2. De acuerdo a la siguiente tabla de frecuencia, calcular la media aritm tica. e

2.4 Estadgrafos de posici n o yi1 yi

17

yi

ni 4 14 20

yi ni 112 448 720

26,1 30 28 30,1 34 32 34,1 38 36 38,1 42 40 42,1 46 44 46,1 50 48 50,1 54 52

28 1120 18 12 2 792 576 104

98 3872

y=

yi ni 3872 = = 39,51 n 98

CAP ITULO 3

Interpretacion de Gracas

En matem ticas es de suma importancia el an lisis e interpretaci n de las gr cas. En efecto, a a o a existen dos tipos de proporcionalidad entre las variables: La Directa y La Inversa. Estudiaremos por separado cada tipo de proporcionalidad y analizaremos el comportamiento.

3.1. Proporcionalidad DirectaDos magnitudes x e y son directamente proporcionales si el cociente entre ellas es una constante. Simb licamente se escribe: oy x

= k y = kxy

Su gr ca es una linea recta a

k=

y x

y x

x

3.1 Proporcionalidad Directa Ejemplo 3.1.1. Vemos los siguientes ejemplos. 1. Supongamos que un barril tiene 42 Galones. Cu ntos galones hay en 12 barriles? a Soluci n: Elaboremos una tabla y su correspondiente gr ca. o a

19

No. De Barriles (x) 1 2 3 4 5 x

No. DeNo. de Galones

Galones (y) 42 84 126 168 210 42x

42 1 = 42 84 2 = 42 126 3 = 42 168 4 = 42 210 5 = 42 42x x = 42

P2

168

(4 ,

126

42

1

P1

84

(2 ,

84

)

x

2

3

16

No. de Barriles

4

8)

k=

y x

210

y

5

Al analizar la gr ca podemos observar: a a) El n mero de barriles es la variable independiente (x). u b) El n mero de galones es la variable dependiente (y). u c) La gr ca es una linea recta que pasa por el origen, es decir, por (0, 0). a d) La pendiente de la gr ca, se puede calcular as: a m= y y2 y1 = x x2 x1 168 84 84 m= = = 42 42 2

e) La pendiente en este caso, representa la equivalencia de un barril en galones. f ) El modelo funcional de la gr ca es y = 42x. a g) Podemos calcular el n mero de galones que hay en 70 barriles; simplemente u reemplazamos en la ecuaci n o y = 42x = 42(70) = 2940 Galones 2. Un estudiante de fsica est estableciendo la velocidad de un m vil y registra en su libreta a o de investigaci n los siguientes datos en una tabla as: o

3.1 Proporcionalidad Directa Espacio (x) 0 20 40 3 80 5 120 Tiempox t

20

Contestar. a) Elaborar una gr ca de espacio contra a tiempo. b) La nube de puntos corresponde a que curva? c) Establezca la relaci n que existe entre o las dos magnitudes d) Determine la pendiente. e) Que unidades tiene la pendiente? f ) Escriba la ecuaci n correspondiente. o g) Cu l es la distancia que recorriera el a m vil en tiempo de 12 segundos? o

(metros) (segundos) k = (t) 0 1

Soluci n. o a) Elaboramos la gr ca de x vs. t, as: a x(m)120

80

P2y

100

60

20

P1

40

(2 ,

40

)

x

(5 ,

101 2 3 4 5 6

0)t(s)

b) La nube puntos corresponde a una linea recta.

3.1 Proporcionalidad Directa

21

c) Las magnitudes son directamente proporcionales, es decir, si aumenta el tiempo, la distancia recorrida aumenta o viceversa, entonces

k=

x t

d) Se toma dos puntos cualesquiera de la gr ca P1 (2, 40) y P2 (5, 100), y se calcula la a pendiente as: m= x x2 x1 100 40 60 m = = = = 20 m/s t t2 t1 52 3s

e) La ecuaci n que relaciona a las dos variables es o

y = kt y = 20tf ) Si t = 12 s y = 20 t y = (20 m/s)(12 s) y = 240 m Ejercicios 3.1.1. Efect a cada uno de los puntos indicados. u 1. Completar cada una de las tablas y determinar la constante de proporcionalidad. x 5 a) 15 80 30 y 20 x 0 b) 3 4 12 21 y 0 c) 8 55 x y 30

2 10

2. Un joyero que trabaja la plata, encontr la siguiente relaci n entre la masa y el volumen o o del metal. Masa (gramos) (M) 1 2 3 4 42 Volumen (cm3 ) (v) 10.5 k=M V

3.2 Proporcionalidad Inversa Contestar. a) Elabore un gr co de masa contra volumen. a b) A qu curva corresponde la nube de puntos? e c) Qu proporcionalidad existe entre las dos magnitudes? e d) Escriba la ecuaci n matem tica de esta proporcionalidad. o a e) Determine la pendiente de la recta. f ) Qu unidades tiene la pendiente? e g) Escriba la ecuaci n. o h) Determine la masa de 25 cm3 de plata

22

3.2. Proporcionalidad InversaDos magnitudes x e y son inversamente proporcionales, si el producto entre ellas es constante. Simb licamente x y = k. Esto signica, que si una magnitud aumenta la otra o disminuye, o si disminuye una la otra aumenta. La gr ca de dos magnitudes inversamente proporcionales es una rama de una hip rbola. a e

y

xy = k

xEjemplo 3.2.1. Son magnitudes inversamente proporcionales las siguientes: 1. La velocidad y el tiempo, si se mantiene constante la distancia por recorrer. 2. El n mero de obreros y el tiempo en la construcci n de un pozo. u o

3.2 Proporcionalidad Inversa 3. El tiempo de vaciado de un tanque y el di metro del oricio de salida. a 4. El volumen y la presi n de un gas en un recipiente. o 5. Las raciones diarias de comidas y el n mero de soldados en una guarnici n militar. u o

23

Ejemplo 3.2.2. En qumica existe una ley llamada Boyle - Marriotte, que expresa la relaci n o del volumen de gas y su presi n. o

Volumen Presi n o Litros (V ) 16 8 4 2 1 Atmos (P) 1 2 4 8 16 k =V P 16 1 = 16 8 2 = 16 4 4 = 16 1 16 = 16 2 8 = 16

V (Litros)20 16 12 8 4 1 2 3 4 5

P (presi n) o

2. En colombia, la maxima velocidad permitida es de 80 km/h. Supongamos que vamos de una ciudad A a una ciudad B, separada por 360 kil metros. Completa la siguiente tabla, o realiza us gr ca. a

Velocidad Tiempo (km/h) (v) 40 60 90 36 80 (horas) (t) 9 6 4 10 4,5 k = vt 40 9 = 360 60 6 = 360 36 10 = 360 90 4 = 360

80 4,5 = 360

3.2 Proporcionalidad Inversa

24

v90 80 70 60 50 40 30 20 10 2 4 6 8 10 12

t

3. Si tres obreros trabajando con la misma dedicaci n pintan una casa en 12 dias, completa o la siguiente tabla y elabora su gr ca. a

Obreros (o) 3 4

Das (d) 12 6 k = od

9 1 Soluci n. o Las dos magnitudes son inversamente proporcionales, puesto que si aumentan los obreros, gastan menos tiempo en pintarla, y si disminuyen los obreros aumentan los dias para pintarla, por lo tanto

3.2 Proporcionalidad Inversa

25

xy = kCon esta relaci n podemos completar f cilmente la tabla anterior, as: o a

Obreros (o) 3 4 6 9 36

Das (d) 12 9 6 4 1 3 12 = 36 4 9 = 36 6 6 = 36 36 1 = 36 9 4 = 36 k = od

o36 30 24 18 12 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d

Taller de Ejercicios1. Escriba 5 parejas de magnitudes inversamente proporcionales. 2. Completa las siguientes tablas, realizar su gr ca y establecer si son o no proporcionales. a

3.2 Proporcionalidad Inversa Velocidad Tiempo (v) a) 80 40 8 18 Raciones Volumen Presi n o (v) b) 9 12 9 1 (p) 4 6 k = v p d) Diarias (d) 2 4 200 No. de Soldados k = d s (s) 400 (t) 1 2 k = vt c) Obreros Tiempo (o) 6 8 9 (t) 12 k = ot

26

3. En las siguientes tablas, decidir cu les representan magnitudes directamente y cu les a a inversamente proporcionales. Justica tus respuestas. x y x y x 1 c) 2 3 4 y 4,8 2,4 1,6 1,2 d) x 4 8 10 y 40 20 8 x 0 2 8 y 0 5 20

200 1 a) 400 2 600 3 800 4 b)

2 18 3 12 4 6 9 9 6 4

e) 1 2,5

16 10

CAP ITULO 4

Unidades y Ecuaciones Aplicadas a la Ingeniera de Petroleos

En el trabajo de campo es fundamental la utilizaci n de formulas. En este sentido, o revisaremos las m s importantes: a Area del crculo. Volumen de un cilindro vertical. Volumen de aceite de un tanque. Caballaje hidr ulico, a Gasto inyecci n, o presi n de inyecci n. o o o Volumen de aceite recuperable. Permeabilidad de una muestra. Ley de Charles-Boyle. Velocidad de desplazamiento. de Presi n hidrost tica. o a Gravedad API de los uidos. Capacidad de tubera. Gasto de bomba. Dilataci n por efecto de la temperatura. o Peso de tubera otada. Transferencias de calor. Consumo de combustibles.

4.1. Area de un Crculo La formula tradicional para calcular el area de un crculo es: A = R2 Donde es constante y cuyo valor aproximado es = 3,1416 y R es el radio del crculo, es decir,la distancia entre el centro y un punto de la periferia del crculo.

4.2 Capacidad de un Tanque Cilndrico Vertical Ejemplo 4.1.1. Encontrar el area de la secci n de un tubo de radio de 5 pulgadas (in). o S/. R = 5 pulg = 3,1416 A =? 1 in = 2,54 cm 2,54 cm 5 in = 5 in in 5 in = 12,70 cm

28

A = R2 A = (3,1416)(12,70 cm)2 A = 560,708 cm2

4.2. Capacidad de un Tanque Cilndrico Vertical La formula para la capacidad de un tanque (C) en barriles es : C= R2 h 5,6

Donde, R: radio del tanque, en ft. h: altura del tanque, en ft. Ejemplo 4.2.1. Calcular la capacidad, en barriles, de un tanque cilndrico con las siguientes especicaciones: radio de 12 ft y altura 8,3 ft. S/. C= R2 h 5,6 (3,1416)(12 ft)2 (8,3 ft) = 5,6 = 670,51 bbles

4.3. Volumen de Aceite en un TanqueEsta formula es util para aproximar el volumen de aceite en un tanque (V ) en barriles: V = 0,14 D2 H Donde, D: es el di metro del tanque, en ft. 0,14: es una constante. H: la altura del uido, en ft. a Ejemplo 4.3.1. Determinar el volumen aproximado, en barriles, de un tanque que tiene un di metro de 78,5 ft y una altura de 25 ft. a

4.4 Caballaje Hidr ulico (HHP) a S/. D = 78,5 ft H = 25 ft V = 0,14 D2 H

29

V = (0,14)(78,5)2 (25) V = (0,14)(6162,25)(25) V = 21567,875 bbles

4.4. Caballaje Hidr ulico (HHP) aSe utiliza la siguiente formula HHP = bbl/min psi 40,8

Donde, bbl/min: gasto de inyecci n. psi: presi n de inyecci n. 40,8: factor de conversion. o o o Ejemplo 4.4.1. Se realiza un fracturamiento con un gasto promedio 18 bbl/min y la presi n o promedio de inyecci n en supercie fue de 6900 , determinar el caballaje hidr ulico. o a S/. HHP = 18 bbl/min 4900 = 3044,12 40,8

4.5. Recuperaci n de Aceite oPara encontrar la capacidad de aceite recuperable (en barriles) de una formaci n (R) es: o R = FAT psr(1 c) Donde, F: 7758 bbl por acre f t; A = area en acres; T = promedio del espesor de la zona prod., f t; p = porosidad de la roca productora; s = factor de contracci n , perciento; r = factor de o recuperaci n, dependiendo del tipo de empuje y otras condiciones del yacimiento; c = cantidad o de agua en los poros, porciento.

4.6. PermeabilidadPara calcular la permeabilidad en un n cleo de formaci n (P) en darcies, se utiliza la u o f rmula: o P= QL A(P1 P2 )

4.7 Volumen, Presi n, o Temperatura del Gas (Ley de Boyle) o

30

Donde: : viscosidad del uido usado, en centipoises; Q: volumen de agua pasando a trav s de e la muestra, en cc/sec; L: longitud de la muestra, centmetros; A: area transversal de la muestra, en cm cuadrados; P1 : presi n colocada , en atm sferas; P2 : presi n del uido al salir de la o o o muestra, en atm sferas. o

4.7. Volumen, Presi n, o Temperatura del Gas (Ley de Boyle) oEn la f rmula de Boyle o P1V1 P2V2 = T1 T2 Donde: P1 : presi n inicial; P2 : presi n nal; V1 : volumen inicial; V2 : volumen nal; T1 : o o temperatura original; T2 : temperatura nal. En la f rmula tanto la presi n como la temperatura son absolutas. Para convertir presi n o o o manom trica a presi n absoluta hay que sumarle 14,7psi a la presi n manom trica. Para e o o e F. convertir temperatura absoluta hay que sumarle 460 Ejemplo 4.7.1. Un volumen de gas ocupa 8000 f t 3 a 60psi manom trica y 80o F. Cu l sera el e a volumen del gas a 100psi manom trica y 40o F? e S/. V1 = 8000 f t 3, P1 = 60psig = 74,7psia, P2 = 100psig = 114,7psia T1 = 80o F = 540o F absolutos, T2 = 40o F = 500o F absolutos. P1V1 P2V2 = T1 T2 V1 P1 T2 V2 = T1 P2 8000 74,7 500 V2 = 540 114,7 V2 = 4824,18 f t 3

4.8. Velocidad de desplazamientoPara determinar la velocidad (V ) en f t/seg, se utilizan dos f rmulas: o a) Para el gasto de bombeo (Qb ) en bbl/min: V= 17,157Qb D2

4.9 Presi n hidrost tica o a b) El gasto de bombeo (Qc f ) en f t 3 /min: V= 3,056Qc f D2

31

Donde Qb : gasto de bombeo en bbls/min; Qc f : gasto de bombeo en f t 3/min; D: di metro a 2 D2 ; D = di metro interior de tubera exterior o agujero en de tubera en in; D2 = D0 a 0 1 pulgadas; D1 = di metro exterior de tubera interior en pulgadas. a

4.9. Presi n hidrost tica o aPara la presi n hidrost tica (PH ) ejercida por una columna de uido en psi, viene dada por o a la f rmula o PH = 0,05195 f H donde f : densidad del uido en Lb/gal; H: altura de la columna en f t.

4.10. Gravedad APILa gravedad API es una medida est ndar relacionada con la densidad del aceite crudo. Para a calcular la gravedad API de un uido, se utiliza esta f rmula: o 141,5 131,5 Grav. API = SpGr@60o F Donde SpGr: Relaci n de un peso de un volumen dado de una sustancia o de otra sustancia de o igual volumen (Agua para liquidos y solidos; Aire para gases).

4.11. Capacidad de tubera Existen diversas f rmulas para calcular la capacidad de la tubera, dependiendo de las o unidades que se desean obtener a) Capacidad en barriles por pie lineal = 0,0009714 D2 b) Capacidad en pies lineales por barril =1029,4 D2

c) Capacidad en pies c bicos por pie lineal = 0,005454 D2 u d) Capacidad en pies c bicos por pie lineal = u183,35 D2

e) Capacidad en galones por pie lineal = 0,0408 D2 f) Capacidad en pies lineales por gal n = o24,51 D2

En donde: D = di metro Int.del tubo en pulgadas. a

4.12 Volumen y altura

32

4.12. Volumen y alturaLas siguientes f rmulas se pueden usar para determinar el volumen y la altura (abreviado o V &H) en algunas situaciones: a) V &H en barriles por pie lineal = (D2 d 2 )0,0009714 b) V &H en pies lineales por barril =1029,4 D2 d 2

c) V &H en pies c bicos por pie lineal = (D2 d 2 )0,005454 u d) V &H en pies lineales por pie c bico = u183,35 D2 d 2

e) V &H en galones por pie lineal = (D2 d 2 )0,0408 f) V &H en pies lineales por gal n = o24,51 D2 d 2

Estas f rmulas aplican a estas situaciones de V &H o Entre T P y agujero donde D = di metro de agujero en pulgadas y d = al di metro exterior a a de T P en pulgadas. Entre T R y agujero donde D = di metro de agujero en pulgadas y d = di metro exterior a a de la T R en pulgadas. Entre T P y T R donde D = di metro Interior de T R y d = di metro exterior de T P en a a pulgadas. Entre T R y T R donde D = di metro Int. de la T R externa en pulgadas y d = di metro a a exterior de la T R Interna en pulgadas. Las siguientes f rmulas pueden ser usadas para determinar V &H entre sartas m ltiples y el o u agujero(o tubera de revestimiento): a) V &H en barriles por pie lineal = (D2 nd 2 )0,0009714 b) V &H en pies lineales por barril =1029,4 D2 nd 2

c) V &H en pies c bicos por pie lineal = (D2 nd 2 )0,005454 u d) V &H en pies c bicos por pie lineal = u183,35 D2 nd 2

e) V &H en galones por pie lineal = (D2 nd 2 )0,0408 f) V &H en pies lineales por gal n = o24,51 D2 nd 2

En donde: D = di metro del aguj. pgdas. (o DI de T R); d = di metro exterior de T P en pulgadas; a a n = n mero de sartas de T P. u

4.13 Densidades de uidos de Perforaci n o

33

4.13. Densidades de uidos de Perforaci n oVeremos cuatro diferentes formulas relacionadas con las densidades de los uidos de Perforaci n: o f rmula la densidad del uido con agua. o f rmula la densidad del uido con aceite. o f rmula para encontrar el aumento de densidad con barita. o f rmula para encontrar el aumento de volumen debido a la incorporaci n de barita. o o En las cuatro f rmulas: o W1 = densidad inicial en lbs/gal W2 = densidad deseada en lbs/gal La primera f rmula: es para X barriles de agua requeridos para reducir la densidad dada a la o requerida. La f rmula para reducir la densidad con agua es: o X= V1 (W1 W2 ) W2 DW

En donde V1 = Volumen inicial de W1 para dar el volumen nal predeterminado (VF ) de W2 en bbl; DW = densidad del agua o salmuera a usarse para diluir el uido de Perforaci n. o Cuando se usa aceite para reducir, use la siguiente f rmula para X0 (los barriles de aceite, o gravedad especica = 0.84) requeridos para reducir la densidad: X0 = Vi (W1 W2 ) W2 7,0

En donde Vi = Volumen inicial de W1 requerido para dar un volumen nal (VP ) de W2, bbl. Cuando usted quiere determinar el n mero de sacos de 100lbs requeridos para aumentar la u densidad de 100bbl de uido (b), use esta f rmula: o b= 1470(W2 W1 ) 35,0 W2

La f rmula para el aumento de volumen debido al aumento de densidad con barita (aumento de o bbl/100bbl del volumen inicial), simbolizado por Vb , es: Vb = 1470(W2 W1 ) 35,0 W2

4.14 Gasto de bomba

34

4.14. Gasto de bombaSe ver n tres f rmulas para gasto de bomba: a o f rmula general. o f rmula para bomba doble. o f rmula para bomba triple. o El gasto de Bomba se representara con R (Rendimiento en galones/min.). La f rmula general o es: R= volumen embolada emb. min

Para bomba doble (la f rmula basada en 100 % de eciencia): o R = 0,00679SN(2D2 d 2 ) Para la triple (basada en 95 % de eciencia): R= 3 D2 S 0,0041 N 4

En donde N = revoluciones/minuto; D = di metro de la camisa en pulgadas; d = di metro del a a v stago en pulgadas; S = Carrera en pulgadas. a

4.15. Efecto de la temperatura en el aceroEl acero se expande o contrae 0.0000828 pulgadas por pie por grado de cambio de temperatura ( F). La f rmula para encontrar el cambio en longitud de la tubera, debido al o cambio de temperatura, (eT ) se puede indicar as: eT = longitud 0,0000828in./ f t/F T En donde: longitud = longitud de tubera en f t; T = cambio de temperatura promedio, F.

4.16. Peso de tubera suspendida en un uido (otada) Aqu est la formula para determinar que tanto pesa la tubera otada en uido dado : a Peso de tubera otada lb/ft= al peso de la tubera en el aire lb/ft el factor de otaci n o

4.17 Transferencia de calor

35

4.17. Transferencia de calorUse esta f rmula para encontrar la cantidad de calor (Q en BTU s) requerida para elevar la o temperatura de un volumen de lquido: Q = WC p (T2 T1 ) En donde: W = densidad del lquido, en lbs; C p = Calor especico del liquido, BTU /lb F; F; T = temperatura inicial, F. T2 = temperatura nal, 1 Ejemplo 4.17.1. Cuanto calor se requiere para calentar 100 galones de agua de 80 F a 160 F?. El calor especico del agua es 1,0BTU /lb F. S/. El peso (W ) de 100 galones de agua es: 100gal 8,33lb/gal = 833lbs Q = 833lbs 1,0 BTU (160 80)oF = 66,700BTU lb o F

4.18. Consumo de combustiblePara encontrar el volumen de combustible (R en f t 3 ) R= Q E LHV

En donde: Q = el requerimiento de calor, BTU ; E = factor de eciencia, decimal; LHV = valor de calor neto del gas, BTU / f t 3 Para determinar costo de combustible, X R por valor. V = D2 0,14 H En donde: D = di metro del tanque, f t; H = altura del uido, f t. a

4.19. Ejercicios1. En la formula eT = profundidad 0,0000828in./ f t/F T . En donde: profundidad = profundidad, f t; T = cambio de temperatura promedio, F Qu es eT si T = 76, e profundidad = 20000 f t? 2. Un tanque cilndrico para acido ac tico con un di metro interior de 10.1 pies, longitud e a interior de 16.2 pies, Cu l ser el volumen aproximado en barriles (bbl) de acido ac tico a a e en el tanque?

4.19 Ejercicios 3. Calcule la gravedad API de un aceite. Gravedad especica medida de 0.8251 a 60 F. Grav. API = 141,5 131,5 SpGr@60o F

36

4. Encuentre el incremento de volumen debido a la barita agregada a los 200bbl de uido de 12lb/gal a 15lb/gal. Vb = 100(W2 W1 ) 35,0 W2

5. Cu l es el gasto de bombeo en gal/min de una bomba doble (100 % de eciencia) con a estas especicaciones? 7 1/2 pulgadas, di metro de la camisa (D) a 1,5 pulgadas, di metro del v stago (d) a a 10 pulgadas de carrera (S) 50 rev/min (N) R = 0,00679 SN(2)(D2 d 2 )

CAP ITULO 5

Trigonometra

5.1. AngulosUn angulo es la region del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen com n. u Las semirrectas se llaman lados y el origen, el v rtice. Las semirrectas OA y OB son los lados y e O es el v rtice. e

A

B

O El angulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario.

5.2. Sistema de Medida Angular5.2.1. Sistema SexagesimalSi una circunferencia se divide en 360 partes iguales, el angulo central correspondiente a o ). cada una de las partes se llama un grado sexagesimal (1 Un giro de una vuelta es 360o . Medio giro de una vuelta es 180o . Un cuarto de giro es 90o . En este sistema, de base sesenta, se presentan estas equivalencias:

1o = 60

1 = 60

5.3 Conversiones Entre los Dos Sistemas

38

5.2.2. Sistema Cclico o Natural La unidad de medida de los angulos es el radian (rad), que equivale a la medida de un angulo central cuyo arco mide un radio.

S = R

=

S R

Donde S: longitud del arco. R: el radio de la circunferencia. : angulo central.

R R

S

2R R

Ahora, como el permetro de una circunferencia es 2R, entonces en la circunferencia hay = 2 Radianes

5.3. Conversiones Entre los Dos SistemasTenemos la siguiente relaci n o 360o = 2 rad 180o = rad que se establece para realizar las siguientes conversiones.

5.3.1. De Grados a RadianesSe puede plantear una regla de tres rad 180o x No. de Grados x= rad No. de Grados 180o

Ejemplo 5.3.1. Convertir.

5.3 Conversiones Entre los Dos Sistemas 1. 60o a radianes x= rad 60o = rad 180o 3 rad 135o 3 = rad 180o 4

39

2. 135o a radianes x=

3. 270o a radianes rad 270o 3 = rad x= 180o 2

5.3.2. De Radianes a GradosDe manera similar, se puede obtener por regla de tres. 180o rad x No. de Radianes 180o No. de Radianes x= rad Ejemplo 5.3.2. Convertir a grados. 1. 3

rad 180o rad 180o 3 = = 60o x= rad 3

2.

5 12

rad x=5 180o 12 rad 5 180o = = 75o rad 12

3. 1 rad x= 180o 1 rad 180o = = 57o 17 45 rad

Ejercicios 5.3.1. Completar la siguiente tabla, donde se establece la equivalencia entre los dos sistemas de medidas. GRADOS (o ) RADIANES (rad) 753 5

150 4

2403 2

315 2

450 5

5.4 Razones Trigonom tricas de un Tri ngulo Rect ngulo e a a

40

5.4. Razones Trigonom tricas de un Tri ngulo Rect ngulo e a aEn trigonometra es fundamental conocer las relaciones entre las longitudes de los lados de un tri ngulo rect ngulo, para denir las razones trigonom tricas de un angulo se debe tener en a a e cuenta la ubicaci n del angulo. o B B a a

c

c

C

b

A

C

b

A

Las razones trigonom tricas se denen as: e

sin = cos =

Lado Opuesto a = Hipotenusa c

Lado Adyacente b = Hipotenusa c Lado Opuesto a tan = = Lado Adyacente b Lado Adyacente b = cot = Lado Opuesto a Hipotenusa c sec = = Lado Adyacente b Hipotenusa c csc = = Lado Opuesto a

b c a cos = c b tan = a a cot = b c sec = a c csc = b sin =

Al analizar los valores de las razones trigonom tricas para los angulos y , que son los e angulos agudos del tri ngulo rect ngulo, podemos armar que: a a A estas parejas se le llaman razones complementarias, puesto que

+ = 90o

= 90o

= 90o

5.4 Razones Trigonom tricas de un Tri ngulo Rect ngulo e a a sin = cos cos = sin tan = cot cot = tan sec = csc csc = sec

41

Ejemplo 5.4.1. Hallar el valor de las razones trigonom tricas para el angulo dado en la gura. e 1. VeamosB

sin =c=5 a=3

3 5

csc = sec = cot =

5 3 5 4 4 3

C

b=4

A

4 5 3 tan = 4 cos =

Al analizar los valores de las razones trigonom tricas anteriores podemos concluir que: e sin es el inverso de csc cos es el inverso de sec tan es el inverso de cot 2. Para calcular el valor de la hipotenusa, utilizando el teorema de pit goras a c2 = a2 + b2 B c =? a = 12

C En nuestro caso, a = 12 y b = 5 c2 = (12)2 + (5)2 c2 = 144 + 25 c2 = 169 c = 169 c = 13

b=5

A

5.5 Razones Trigonom tricas para los Angulos Notables (30o - 45o - 60o ) e Ahora, sin = 5 13 12 cos = 13 tan = 5 12 13 5 sec = 13 12 12 5

42

csc =

cot =

Ejercicios 5.4.1. indicado

1. Encontrar el valor de las razones trigonom tricas para el angulo e

B

B

6

9

15

C

8

A

C

A

2. Teniendo en cuenta las razones complementarias, relacionar las parejas equivalentes. a. sin 30o b. tan 20o c. cot 15o d. cos 80o e. sec 45o f. sin 25o 1. cot 70o 2. tan 75o 3. cos 60o 4. sin 10o 5. csc 45o 6. cos 65o

5.5. Razones Trigonom tricas para los Angulos Notables (30o e - 45o - 60o)Existen procedimientos geom tricos pr cticos para recordar los valores de las razones e a trigonom tricas para los angulos notables de 30o - 45o - 60o . e Para los angulos de 30o y 60o Sea el tri ngulo ABC, un tri ngulo equil tero cuyos lados midan la unidad. a a a

5.5 Razones Trigonom tricas para los Angulos Notables (30o - 45o - 60o ) e C

43

30 1 h 60 A 1 Por el Teorema de Pit goras podemos calcular a B 1

30 h= 1

3 2

60

1 2

1 h2 = (1)2 ( )2 2 1 2 h = 1 4 3 h2 = 4 3 3 h= = 4 2 3 2 1 2 1 2 3 2

El valor de las razones trigonom tricas son: e cot 30 =

3 2 3 cos 30 = 2 1 cos 60 = 2 sin 60 = tan 30 = 1 2 3 2 3 2 1 2

1 sin 30o = 2

=

3

1 3 3 cot 60 = = = 3 3 3 1 2 3 2 3 sec 30 = = = 3 3 3 32

sec 60 = 1 3 3 = = 3 3 3 = 3 csc 30 = csc 60 =

11 2

=2 =2 2 3 2 3 = = 3 3 3

11 2

tan 60 =

3 2

1

5.5 Razones Trigonom tricas para los Angulos Notables (30o - 45o - 60o ) e Para un Angulo de 45

44

Sea el cuadrado ABCD, cuyos lados miden la unidad C D Para calcular la diagonal del cuadrado, 45 aplicamos el Teorema de Pit goras. a 1 c2 = a2 + b2 c2 = (1)2 + (1)2 c2 = 2 c= 2

45 B A 1 Los valores de las razones trigonom tricas son: e

1 1

45

1 2 2 sin 45 = = 2 2 2 1 2 2 cos 45 = = 2 2 2 tan 45 = 1 csc 45 = 2

sec 45 =

2

cot 45 = 1

2

los resultados para las razones trigonom tricas de los angulos notables 30 - 45 - 60 , los e podemos resumir en la siguiente tabla.XX XXX o XX Raz n XXX Angulo XX

sin cos 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2

tan 3 3

cot sec csc 3 2 3 3

30o 45o 60o

6 4 3

1 3

1 3 3

2

2 2 2 3 3

2

Ejemplo 5.5.1. Aplicando los valores de los angulos notables, calcular. 1. sin 30o + tan 45o 1 1+2 3 +1 = = 2 2 2

5.6 Resoluci n de Tri ngulos Rect ngulos o a a 2. sin 60o + cos 60o cot 45o 3 1 3+12 31 + 1 = = 2 2 2 2 3. sin 60o csc 60o + tan 45o 2 3 23 3 +1 = +1 = 1+1 = 2 2 3 6 4. 2 cos 60o + 2 cot 45o sin 30o 2 1 1 1 1 5 + 2(1) = 1 + 2 = 3 = 2 2 2 2 2

45

Ejercicios 5.5.1. Utilizando los valores de las razones trigonom tricas de los angulos notables, e calcular. 1. tan 30o + cot 30o 2. sin 30o 2 tan 30o + 5 sec 60o 3. 2 sin 60o + 4 cos 30o 3 tan 45o 4.tan 60o tan 30o 1+tan 60o tan 30o

5.6. Resoluci n de Tri ngulos Rect ngulos o a aEn la vida cotidiana son muchas las situaciones donde se presentan problemas en cuya soluci n se requiere la resoluci n de tri ngulos rect ngulos. En efecto, para resolver tri ngulos o o a a a rect ngulos se debe tener en cuenta las siguientes sugerencias. a 1. En todo tri ngulo hay tres lados, tres vertices y tres angulos interiores. a 2. La suma de los angulos internos de un tri ngulo es 180o . Adem s uno de los angulos a a del tri ngulo rect ngulo es conocido (90o ). Si se conoce uno de los angulos agudos del a a tri ngulo el otro se puede calcular restandole a 90o el angulo conocido. a 3. Por geometra, se sabe que un tri ngulo existen 3 alturas, 3 medianas, 3 bisectrices y 3 a mediatrices. 4. El Teorema de Pit goras, es de vital importancia, en el campo de la trigonometra. a c2 = a2 + b2

5.6 Resoluci n de Tri ngulos Rect ngulos o a a b2 = c2 a2 b= c2 a2

46

a2 = c2 b2 a= c2 b2

5. Tambi n es importante conocer, entender y aplicar los conceptos de elevaci n y e o depresi n. o a) Angulo de Elevaci n. o Si la linea visual del observador al objeto est por encima de una linea horizontal a imaginaria. b) Angulo de Depresi n. o Si la linea visual del observador al objeto est por debajo de una linea horizontal a imaginaria.

Figura 5.1: Ejemplo de Angulo de Elevaci n y de Depresi n o o

5.6.1. Ejemplos de Aplicaci n o1. El top grafo necesita medir la longitud del t nel que debe atravesar una monta a. Para o u n ello ubica un punto de referencia en el extremo A y utiliza un teodolito, instrumento con el cual encuentra las medidas que registra en su libreta de campo as.

5.6 Resoluci n de Tri ngulos Rect ngulos o a a B

47

c =?

C Cu l es el largo del t nel? a u

60 2 km

A

Soluci n. o El largo del t nel est representado por la hipotenusa del tri ngulo ABC, es decir, C. u a a cos 60 = b b 2 km c= = = 4 km c cos 60 0,5

2. Una persona observa la cima de una colina con un angulo de elevaci n de 37 y al avanzar o 200 metros, la observa con un angulo de elevaci n de 60 . Calcular la altura de la colina. o B

h

A Para DCB tan 60 = h x h = tan 60 x h = 1,73x

37 200 m

60 D x

C

Para ACB tan 37 = h 200 + x h = tan 37 (200 + x) h = 0,75(200 + x)

5.6 Resoluci n de Tri ngulos Rect ngulos o a a Igualando las dos ecuaciones, se tiene 1,73x = 0,75(200 + x) 1,73x = 150 + 0,75x 1,73x 0,75x = 150 0,98x = 150 150 x= 0,98 x = 153,06 m

48

Ejercicios 5.6.1. 1. Desde un punto situado a 18 m del pie de un arbol se observa el extremo superior del arbol con un angulo de elevaci n de 57 . o 2. Calcula el area de un paralelogramo cuyos lados mide 40 y 60 centmetros y el angulo . entre ellos es de 60 3. Para alcanzar la cima de un muro de 6 metros de altura se utiliza una escalera de 10 metros. Si la escalera se extiende 2 metros m s all del muro, determina el angulo que a a forma la escalera con el suelo. 4. Una embarcaci n parte desde un faro que tiene una altura de 50 metros cuando se o encuentra a 2 kil metros del faro sufre fallas en su equipo de comunicaci n y enva una o o se al mediante un reector. n a) Qu angulo de elevaci n forma el reector con la torre donde est el observador e o a para visualizar la se al? n b) Cu l es el angulo de depresi n que se forma con el faro? a o