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GEOMETRIE EUCLIDIENNE

ContenusArticles

Géométrie euclidienne 1Espace euclidien 14Éléments d'Euclide 23Livre I des Éléments d'Euclide 26Livre II des Éléments d'Euclide 29Livre III des Éléments d'Euclide 30Livre IV des Éléments d'Euclide 32Livre V des Éléments d'Euclide 33Livre VI des Éléments d'Euclide 35Livre VII des Éléments d'Euclide 37Livre VIII des Éléments d'Euclide 39Livre IX des Éléments d'Euclide 40Livre X des Éléments d'Euclide 41Livre XI des Éléments d'Euclide 44Livre XII des Éléments d'Euclide 45Livre XIII des Éléments d'Euclide 47

RéférencesSources et contributeurs de l’article 48Source des images, licences et contributeurs 49

Licence des articlesLicence 50

Géométrie euclidienne 1

Géométrie euclidienneLa géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissancesgéométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions dedroite, de plan, de longueur, d'aire y sont exposées et forment le support des cours de géométrie élémentaire. Laconception de la géométrie est intimement liée à la vision de l'espace physique ambiant au sens classique du terme.Les conceptions géométriques connaissent, depuis les travaux d'Euclide, des évolutions suivant trois axes principaux:1.1. Pour vérifier les critères de rigueur logique actuels, la définition axiomatique subit de profonds changements,

l'objet mathématique restant néanmoins le même.2. Pour ne plus se limiter aux dimensions deux et trois et pour permettre l'élaboration d'une théorie plus puissante,

un modèle algébrique de la géométrie est envisagé. L'espace euclidien est maintenant défini comme un espacevectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire.

3.3. Enfin, la structure géométrique euclidienne n'est plus la seule envisageable ; il est établi qu'il existe d'autresgéométries cohérentes.

Plus de 2 000 ans après sa naissance, l'espace géométrique euclidien est un outil toujours efficace aux vastesdomaines d'applications. Par exemple, l'espace des physiciens reste encore principalement du domaine de lagéométrie euclidienne, l'astronomie étant l'exception la plus notoire.Son aspect mathématique est traité de manière didactique dans l'article produit scalaire. L'article se fonde sur laformalisation d'un vecteur à l'aide d'un bipoint, développé dans vecteur. Une approche plus poussée, fondée sur laformalisation axiomatique de l'espace vectoriel est développée dans espace euclidien.

Euclide

L’approche euclidienne de la science de l’espace

La géométrie euclidienne au sens des antiques traités du plan et del'espace ; elle est souvent présentée comme une géométrie « de la règleet du compas ». Les objets considérés sont les points, les segments, lesdroites, les demi-droites, avec leurs propriétés d'incidence (la règle),ainsi que les cercles (le compas). Les enjeux essentiels sont l'étude defigures et la mesure.

Les outils de la géométrie d'Euclide

La construction d'Euclide se fonde sur cinq axiomes[1] :1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points

quelconques distincts.2.2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne

droite.3. Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être

tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémitéscomme centre.

4. Tous les angles droits sont congruents.5.5. Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la

somme des angles intérieurs d'un côté est strictement inférieure àdeux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes dece côté.

Géométrie euclidienne 2

Les raisonnements sur les figures géométriques portent sur leurs intersections et leurs dimensions : sur l'incidence etla mesure. De ce point de vue, certaines transformations des figures sont utiles ; les plus pertinentes sont lessimilitudes, c'est-à-dire les transformations qui conservent les rapports des distances. Les similitudes les plus simplessont les rotations, les symétries, les translations, qui conservent les distances, ainsi que les homothéties. À partir deces quelques objets de base, toutes les similitudes peuvent être construites par composition.La construction d'Euclide permet le développement des notions de mesure de longueur, d'aire, de volume, d'angle. Ilexiste de nombreuses aires de surfaces usuelles calculables par les techniques des Éléments. Une méthode, laméthode d'exhaustion qui préfigure l'intégration, permet d'aller plus loin. Archimède (287-212 av. J.-C.), par exempleréalise la quadrature de la parabole. Une limite de la notion de mesure vient de ce que les nombres considérés sontseulement les nombres constructibles (à la règle et au compas).Les deux théorèmes fondamentaux sont le théorème de Pythagore et celui de Thalès. Un peu d'analyse permet d'allerplus loin avec la trigonométrie. C'est le premier exemple de construction d'un pont entre la géométrie euclidiennepure et une autre branche mathématique, pour enrichir la palette d'outils disponibles.

Approche géométrique de l'algèbreLa formule de l'aire d'un rectangle ou d'un triangle, le théorème de Thalès ainsi que celui de Pythagore offrent tousdes relations algébriques entre des grandeurs que sont les côtés d'un triangle ou d'un rectangle. Ces différentesméthodes sont l'un des ingrédients de l'algèbre naissante, initiée par Diophante, et développée par la civilisationarabe.Le traité d'Al-Khawarizmi, un mathématicien persan du VIIIe siècle, intitulé La transposition et la réduction a pourobjectif la résolution d'une équation du second degré quelconque. Sa méthode se fonde sur ce que l'on appellemaintenant les identités remarquables, qui, chez lui se démontrent toutes à l'aide de la géométrie euclidienne.Cette géométrisation de l'algèbre porte ses fruits aussi en arithmétique, la science des nombres. La premièredémonstration montrant l'existence de grandeurs irrationnels est probablement géométrique[2]. Certains calculscomme la valeur du nième nombre triangulaire ou encore la somme des n premiers cubes d'entiers sont réalisésgéométriquement[3].

Succès et limites

Figure à la règle et au compas : heptadécagone,un polygone régulier de 17 côtés.

Un objectif de la géométrie euclidienne est la construction de figures àla règle et au compas. L'étude du triangle relève de ce domaine. Larichesse des résultats obtenus est illustrée par la liste des élémentsremarquables d'un triangle. Une famille de figures emblématiques estcelle des polygones réguliers (voir l'article Partage d'une tarte). Ils nesont cependant pas tous constructibles. Les techniques de constructions'appliquent non seulement au plan, mais aussi à l'espace comme lemontre l'étude des polyèdres.

Une spécificité de la géométrie euclidienne réside dans le fait qu'ellen'utilise initialement que peu ou pas du tout de théorèmes complexes etpuissants d'algèbre ou d'analyse. C'est une mathématique autonome etindépendante, où les preuves proviennent essentiellement deraisonnements purement géométriques. Cependant, pour les cas

complexes, comme la construction de la figure ci-contre, d'autres outils, par exemple les polynômes, se révèlentindispensables (cf Théorème de Gauss-Wantzel). Les trois grands problèmes de l'antiquité, à savoir la quadrature du

cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube, à l'aide seulement de la règle et du compas, ne se sont d'ailleurs montrés possibles qu'avec l'apport d'une autre branche des mathématiques : l'arithmétique, algébrique ou

Géométrie euclidienne 3

analytique[4].La géométrie euclidienne a de nombreuses applications. La Renaissance fait largement appel aux techniques desÉléments. L'architecture, la peinture à travers la perspective[5] regorgent d'exemples de cette nature. L'art desentrelacs[6] de Léonard de Vinci (1452-1519) est un autre cas d'utilisation. Ces mathématiques servent aussi à lamesure, à la fois pour les arpenteurs et dans un objectif scientifique. Elles permettent à Ératosthène (276–194 av. J.-C.)

de mesurer la circonférence de la Terre. Les techniques utilisées, dites de triangulation et ayant pour base latrigonométrie, permettent aux marins de connaître leur position.

Application et nouveaux outils : espace euclidien et physique

Système solaire (tailles et distances relatives nonà l'échelle)

À partir du XVIe siècle les mathématiques s'éloignent de plus en plusde la géométrie du triangle. La géométrie euclidienne garde son utilitécar elle modélise avec pertinence le monde physique ambiant.

Cependant, l'approche purement antique devient trop restrictive. Ellen'offre pas un cadre suffisant pour le développement desmathématiques. Pour étudier les coniques[7] Blaise Pascal (1623-1662)

utilise un nouvel outil : le repère. Il s'avère précieux à la naissance ducalcul infinitésimal[8]. Avec le temps l'algèbre et l'analyse deviennentprédominantes : de nouvelles techniques, éloignées de celles héritéesd'Euclide, sont développées. En ce qui concerne la modélisation del'espace physique, ces nouveautés sont utilisées dans le cadre d'une géométrie peu formalisée, néanmoins avec unlarge succès. Les théories datant d'avant le XXe siècle se contentent de ce cadre. Encore maintenant, et dans uncontexte très général, la géométrie usuelle de la physique reste euclidienne. Elle permet des résultats spectaculaires,comme la mécanique newtonienne.

Ce n'est qu'en 1915, qu'une autre géométrie, celle de la relativité générale, explique mieux un phénomène, celui del'avance du périhélie de Mercure. La géométrie euclidienne reste maintenant valable à trois exceptions près :•• les distances astronomiques, dans le cadre de la relativité générale ;• les vitesses proches de la lumière, avec la géométrie de la relativité restreinte ;• les dimensions inférieures à la taille des particules, dans le cadre de certaines théories contemporaines comme les

supercordes.Si la modélisation de la géométrie de l'espace reste souvent la même que celle de l'Antiquité (aux exceptions déjàcitées près), la formalisation change radicalement.

Approche algébrique de la géométrieLa conception de l'espace par les mathématiciens n'est historiquement pas figée ; les évolutions se font pourplusieurs raisons : le besoin de mieux fonder la théorie géométrique, d'une part en comblant certains déficits derigueur du texte d'Euclide, d'autre part en liant la théorie à d'autres branches des mathématiques ; mais aussi lanécessité de pouvoir utiliser l'important corpus de résultats géométriques dans d'autres espaces que celui de notremonde physique ou que le plan usuel.Ces deux derniers objectifs sont en fait atteints grâce à une branche particulière des mathématiques : l'algèbrelinéaire.

Géométrie euclidienne 4

Motivation : la mécanique du solide

Un solide possède 6 degrés de liberté.

La mécanique du solide apporte un point de vue nouveau sur lagéométrie euclidienne. Si notre espace décrit la position du centre degravité, le solide peut tourner autour de ce centre. Il dispose encoretrois degrés de liberté supplémentaires. Il est nécessaire de considérerun espace de dimension six, pour rendre compte de la position exactedu solide.

Il en est de même pour la vitesse. Elle est décrite par le mouvement ducentre de gravité, représenté classiquement par un vecteur de l'espacephysique et par une rotation, que l'on peut modéliser par un vecteur(vecteur perpendiculaire au plan de rotation et dont la longueur estproportionnelle à la vitesse angulaire). Mathématiquement, le champdes vitesses est dit équiprojectif et se représente par un torseur.L'espace auquel il appartient est encore de dimension six.

Cette démarche consistant à définir un espace abstrait, qui nereprésente plus directement notre univers, mais un espace spécifique au problème étudié, est féconde. Elle permetd'utiliser les outils de la géométrie euclidienne dans des contextes variés.La mécanique statique est un autre exemple, un objet est considéré comme l'assemblage d'un ensemble de solidessoumis à des contraintes qui les lient entre eux. L'objet est l'étude de la stabilité d'un corps, comme un pont ou ungratte-ciel. La dimension est égale à six fois le nombre de solides composant l'objet. Cette démarche est surtoutdéveloppée durant le XXe siècle. En effet, la dimension croît rapidement et une puissance de calcul accessibleuniquement depuis l'arrivée des ordinateurs est nécessaire pour rendre ces techniques opérationnelles.Ces méthodes, dans leur forme la plus générale, aboutissent à la mécanique analytique dont les applications sontinnombrables, et qui constitue le cadre général de la physique théorique.

Motivation : la statistique

Exemple de représentation euclidienne d'undépouillement

Certaines techniques de dépouillement d'un sondage utilisent lespropriétés de la géométrie euclidienne. Celle-ci permet, grâce à lanotion de distance, une modélisation pertinente, et, grâce aux outils del'algèbre linéaire, une algorithmique pour les calculs effectifs.

Si les critères, représentés par les questions d'un sondage, peuvent êtreramenés à des grandeurs mesurables, alors chaque sondé apparaîtcomme un point d'un espace dont la dimension est égale au nombre decritères. Cette géométrie est essentielle en statistique :• Elle réduit la dimension de l'espace à travers le choix d'axes

(appelés ici composantes) particulièrement révélateurs et en nombreréduit. L'analyse du sondage devient réalisable dans un espace pluspetit, dépolluée du bruit non significatif, et graphiquementreprésentable pour une compréhension intuitive du dépouillement.

• Elle mesure les corrélations entre les différentes questions. La figure illustre ici deux critères, chacun représentépar un axe. Pour cet exemple, en première analyse, quand le critère de l'axe horizontal prend des valeurs de plusen plus élevées, alors le critère de l'axe vertical prend des valeurs de plus en plus basses. Les deux critères sontdits anticorrélés.

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La démarche consistant à analyser des données à travers une géométrie euclidienne est utilisée dans de nombreusessciences humaines. Elle permet l'analyse des comportements même lorsque ceux-ci ne suivent pas des lois rigides.

Modèle linéaire de la géométrie : les espaces euclidiens

Version géométrique du théorème de Pythagore,le théorème fondamental des espaces euclidiens

La notion d'espace vectoriel fournit une première structure purementalgébrique dans laquelle le langage géométrique peut s'exprimer. Lanotion de coordonnée devient centrale, et le plan, par exemple, est enpartie modélisé par un espace vectoriel de dimension deux, quis'identifie essentiellement à l'ensemble de tous les couples decoordonnées (x1, x2), où x1 et x2 sont deux nombres réels ; un point estalors simplement un tel couple. La généralisation se fait facilement àl'espace de dimension 3 en considérant des triplets de coordonnées,mais aussi aux espaces de dimension n. Dans cette modélisation, leplan abstrait tel que décrit par les axiomes a été muni arbitrairementd'une origine.

La description géométrique des espaces vectoriels fait jouer un rôletrès particulier au vecteur nul : le vecteur "0". Les objets mathématiques habituellement associés sont des droites quise rencontrent toutes en 0 et des transformations qui laissent inchangé le vecteur 0. On définit une structure dérivéede celle d'espace vectoriel, qui porte le nom d'espace affine, et pour lequel les points jouent tous des rôles identiques.En termes imagés, ce procédé consiste à transférer la situation observée en 0 à tous les autres points de l'espace. Celase fait par translation, plus précisément en faisant agir l'espace vectoriel sur lui-même par translation.

La structure d'espace affine permet de rendre compte pleinement des propriétés d'incidence : par exemple, dans unespace affine réel de dimension 2, les droites vérifient le cinquième postulat d'Euclide.Cependant, seules les propriétés d'incidence sont modélisées, une grande partie de la géométrie euclidienne classiquen'est pas atteinte : il manque essentiellement une notion de mesure. Un outil linéaire permet de combler cette lacune ;c'est le produit scalaire. Un espace affine réel muni d'un produit scalaire est appelé espace euclidien, toutes lesnotions géométriques classiques sont définies dans un tel espace, et leurs propriétés issues de l'algèbre vérifient tousles axiomes euclidiens : les théorèmes géométriques issus du corpus classiques, portant sur n'importe quels objetsvérifiant ces axiomes, deviennent donc en particulier des théorèmes pour les points, droites, cercles, tels que définisdans un espace euclidien.Enfin, les espaces affines euclidiens ne sont pas limités aux dimensions 2 ou 3 ; ils permettent de rendre compte desdifférents problèmes physiques et statistiques évoqués ci-dessus, et qui mettent en jeu un plus grand nombre devariables, avec l'utilisation d'un langage géométrique. Beaucoup de théorèmes d'incidence et de mesure segénéralisent presque automatiquement, notamment le théorème de Pythagore.Le passage à un degré d'abstraction supérieur offre un formalisme plus puissant, donnant accès à de nouveauxthéorèmes et simplifiant les démonstrations ; l'intuition géométrique habituelle des dimensions 2 ou 3 est parfoisdéfiée par ces dimensions supérieures, mais reste souvent efficace. Les gains sont suffisants pour que les analysessophistiquées soient généralement exprimées à l'aide du produit scalaire.

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Historique de l'approche linéaire

Arthur Cayley

La notion d'espace vectoriel apparaît petit à petit. René Descartes(1596-1650) et Pierre de Fermat (1601-1665) utilisent le principe decoordonnées comme un outil pour résoudre avec une approchealgébrique des problèmes géométriques. La notion de repèreorthonormal est utilisée en 1636[9]. Bernard Bolzano (1781-1848)

développe une première conception géométrique[10] où les points, lesdroites et les plans sont définis uniquement par des opérationsalgébriques, c’est-à-dire l'addition et la multiplication par un nombre.Cette approche permet de généraliser la géométrie à d'autresdimensions que celles des plans et des volumes. Arthur Cayley(1821-1895) est un acteur majeur dans la formalisation des espacesvectoriels[11].

Un contemporain William Rowan Hamilton (1805-1865) utilise un autrecorps que celui des réels : celui des nombres complexes[12]. Il montreque cette démarche est essentielle en géométrie pour la résolution denombreux problèmes. Hermann Grassmann décrit enfin les espacesvectoriels (en fait des algèbres) dans leur généralité.

À la suite des travaux de Gaspard Monge (1746-1818), son élève JeanPoncelet (1788-1867) réforme la géométrie projective[13]. La géométrie projective, géométrie de la perspective, devientaussi modélisable par l'algèbre linéaire : un espace projectif se construit à l'aide d'un espace vectoriel grâce à unprocessus d'identification des points suivant une règle de perspective. Les espaces projectifs sont généralisés auxdimensions quelconques. La géométrie projective est une géométrie non euclidienne, dans le sens où le cinquièmepostulat d'Euclide y tombe en défaut. L'algèbre linéaire fournit non seulement un modèle pour la géométrieeuclidienne, mais aussi, une ouverture vers un monde plus vaste.

Remise en cause de la géométrie d'EuclideL'approche linéaire n'est pas une remise en question des conceptions euclidiennes. Elle permet au contraire degénéraliser celles-ci, d'étendre leur portée, et de les enrichir en retour. Un autre grand mouvement historique remeten cause la formalisation euclidienne.

Le cinquième postulat

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Exemple de géométrie hyperbolique

Le XIXe siècle voit l'apparition de nombreuses nouvelles géométries.Leur naissance résulte d'interrogations sur le cinquième postulat, queProclus exprime de la manière suivante : Dans un plan, par un pointdistinct d'une droite, il existe une et une seule droite parallèle à cettedroite. Ce postulat, admis par Euclide, et que l'intuition soutient, nedevrait-il pas être un théorème ? Ou, au contraire, peut-on imaginer desgéométries où il tomberait en défaut ?

Un enjeu durant le XIXe siècle pour les mathématiciens, sera deparvenir à se détacher d'une intuition physique casuellement inféconde,ainsi que d'un respect inopportun des leçons des anciens, pour oserinventer de nouvelles conceptions géométriques ; celles-ci nes'imposeront pas sans difficulté.

Dès le début du siècle Carl Friedrich Gauss s'interroge sur cepostulat[14]. En 1813 il écrit : Pour la théorie des parallèles, nous ne sommes pas plus avancés qu'Euclide, c'est unehonte pour les mathématiques. En 1817 il semble que Gauss ait acquis la conviction[15] de l'existence de géométriesnon euclidiennes. En 1832, le mathématicien János Bolyai rédige un mémoire sur le sujet[16]. L'existence d'unegéométrie non euclidienne n'est pas formellement démontrée, mais une forte présomption est acquise. Lecommentaire de Gauss est éloquent : Vous féliciter reviendrait à me féliciter moi-même[17]. Gauss n'a jamais publiéses résultats, probablement pour éviter une polémique. Indépendamment, Nikolaï Lobatchevski (1792-1856) devanceBolyai sur la description d'une géométrie analogue dans le journal russe Le messager de Kazan en 1829. Deux autrespublications[18],[19] sur le sujet n'ont néanmoins pas plus d'impact sur les mathématiciens de l'époque.

Bernhard Riemann (1826-1866) établit l'existence d'une autre famille de géométries non euclidiennes pour son travailde thèse sous la direction de Gauss. L'impact reste faible, la thèse n'est publiée que deux ans après sa mort.Les géométries de Lobatchevski et Bolyai correspondent à des structures hyperboliques où il existe une infinité deparallèles passant par un même point. Cette situation est illustrée dans la figure ci-contre, les droites d1, d2 et d3 sonttrois exemples de parallèles à D passant par le point M. Les trois premières droites sont dites parallèles à D caraucune d'entre elle n'est sécante avec D ; mais pourtant ces trois droites ne sont pas parallèles entre elles (leparallélisme des droites n’est plus une propriété transitive dans une géométrie hyperbolique).Le cas riemannien correspond au cas elliptique où aucune parallèle n'existe.

L'unification de Klein

Université d'Erlangen

La situation est devenue confuse, les Éléments ne sont pas en mesurede rendre compte d'une telle diversité. On compte nombre d'espacesgéométriques : les espaces vectoriels euclidiens, les espaces affineseuclidiens, les espaces projectifs, les géométries elliptiques ethyperboliques, plus quelques cas exotiques comme le ruban deMöbius. Chaque géométrie possède des définitions différentes, maisprésentant de nombreuses analogies et aboutissant sur des séries dethéorèmes plus ou moins différents selon les auteurs et les géométries.La fin de la suprématie euclidienne engendre un important désordre,qui rend la compréhension de la géométrie difficile. Un jeuneprofesseur de 24 ans, Felix Klein, (1848-1925) nouvellement nommé professeur à l'université d'Erlangen, propose uneorganisation pour

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Félix Klein

toutes ces géométries dans son discours inaugural[20]. Ces travaux ontcette fois un vaste retentissement sur la communauté scientifique, lasuprématie euclidienne disparaît et la polémique née de la remise encause du cinquième postulat s'éteint. Son travail implique une réformede la formalisation des espaces euclidiens. Il utilise les travaux deJames Joseph Sylvester (1814-1897) sur ce que l'on appelle maintenantles produits scalaires[21]. La géométrie euclidienne reste d'actualité auprix d'une refonte profonde de sa construction.

Dans son programme d'Erlangen, Felix Klein trouve le critèrepermettant de définir toutes les géométries. Les gains attendus sont aurendez-vous. Les géométries sont classifiées, celles qui se présententcomme des cas particuliers apparaissent et les théorèmes génériquespeuvent s'exprimer sur l'intégralité de leur domaine d'application ; enparticulier, l'espace vérifiant l'axiomatique euclidienne est la limite quisépare les familles de géométries hyperboliques de Bolyai etLobatchevski des géométries elliptiques de Riemann.

Klein définit une géométrie euclidienne par l'ensemble de sesisométries, c'est-à-dire les transformations laissant les distances invariantes. Cette approche caractérise parfaitementcette géométrie. Les isométries bénéficient d'une structure de groupe géométrique. Dans le cas euclidien cetteformalisation est équivalente à la donnée d'un produit scalaire, et si elle est d'un maniement plus abstrait, elle estaussi plus générale. Définir une géométrie par un groupe de transformations est une méthode souvent efficace.

Euclide et la rigueur

Théorème de Pythagore

La dernière réforme de la géométrie euclidienne est celle de la logique.La critique ne porte pas tant sur les démonstrations d'Euclide mais surl'absence de fondements suffisants pour une preuve rigoureuse. Elle nedate pas d'hier : Eudoxe de Cnide (408 355 av. J.-C.) et Archimède (287 212

av. J.-C.) ajoutent celui maintenant appelé axiome d'Archimède[22].Christophorus Clavius (1538-1612) note l'absence d'un postulat pourétablir son traité des proportions. Rien ne garantit l'existence dessegments proportionnels, sujet central du livre V[23]. GottfriedWilhelm von Leibniz (1646-1716) remarque qu'Euclide utilise parfoisl'intuition géométrique pour pallier l'absence de certains postulats, parexemple dans sa méthode de construction d'un triangle équilatéral. Ilconstruit deux cercles tel que le centre de chacun est un point del'autre[24]. Il admet sans preuve que les deux cercles possèdent uneintersection. Gauss remarque que la relation entre deux points d'uncercle est bien mal formalisée et qu'elle ne se généralise pas à la

sphère[24].

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Cas où les nombres ne sont pas des rationnels

La fin du XIXe siècle voit non seulement la multiplication de critiquesde cette nature, mais aussi la formulation de postulats manquants.Georg Cantor (1845-1918) et Richard Dedekind (1831-1916) montrent lanécessité d'un postulat de la continuité et le formalisent[25]. Unexemple du manque est donné par le théorème de Pythagore dont lafigure de gauche illustre une démonstration. Les triangles IBC et AECpossèdent la même aire car l'un correspond à la rotation d'un quart detour de l'autre. Cette assertion n'est pas démontrable dans le cadreaxiomatique choisi par Euclide. Comme illustrée sur la figure dedroite, la rotation d'un huitième de tour de la diagonale d'un carré decôté 1 ne possède pas, a priori son extrémité A' si l'ensemble de nombres choisi n'est pas celui des réels mais desrationnels. Chez Euclide aucune indication n'est donnée sur la nature des nombres utilisés, aucune information nepermet non plus d'établir qu'une rotation ou une symétrie conserve les distances.

La réponse de Hilbert

David Hilbert

À l'aube du XXe siècle, la connaissance des manques de laformalisation euclidienne, ainsi que les différents éléments de solutionssont suffisamment connus pour permettre une construction rigoureuse.Les mathématiciens David Hilbert (1862 1943) et Moritz Pasch (1843 1930)

sont à l'origine de ce travail[26].

La construction doit être suffisante pour démontrer les théorèmes degéométrie sans appel à l'intuition, l'application de règles logiques est laseule méthode autorisée. Pasch s'exprime ainsi :

« On énoncera explicitement les concepts primitifs au moyen desquelson se propose de définir logiquement les autres. On énonceraexplicitement les propositions fondamentales (postulats) grâceauxquelles on se propose de démontrer logiquement les autrespropositions (théorèmes). Ces propositions fondamentales doiventapparaître comme de pures relations logiques entre les conceptsprimitifs, et cela indépendamment de la signification que l’on donne àces concepts primitifs[24]. »

Si une construction est suffisamment solide pour ne plus nécessiter l'apport de l'intuition, le vocabulaire choisi n'apas d'importance. Hilbert l'exprime ainsi :« On devrait pouvoir parler tout le temps, au lieu de point, droite et plan, de table, chaise et chope[24]. »Hilbert publie un article[27] sur la question. Dans son introduction, il se fixe comme objectif, la construction d'unsystème d'axiomes modélisant le plan et répondant à une triple contrainte : être simple, complet et indépendant. Si lemot complet n'est pas défini, Hilbert indique néanmoins, quelques mots plus loin, que ce système doit permettre ladémonstration des théorèmes principaux de la géométrie euclidienne. Le système d'axiomes est simple au sens où ilest aisé de savoir quels axiomes sont nécessaires à l'établissement des théorèmes. Il est indépendant au sens où lasuppression d'un postulat autorise l'existence de nouvelles géométries incompatibles avec les propriétés euclidiennes.Dans un premier temps, Hilbert construit un système contenant cinq groupes d'axiomes dont le dernier concerne la continuité. Ce dernier peut être enrichi ou non d'un axiome équivalent à la complétude. Il montre alors la compatibilité des groupes d'axiomes. Ce terme signifie qu'il existe au moins une géométrie satisfaisant tous les axiomes. Hilbert construit un univers algébrique, correspondant à un plan affine sur un corps de nombre particulier. Il contient les rationnels et tout nombre de la forme 1 + ω2 admet une racine carrée. Cet univers satisfait à

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l'intégralité des groupes d'axiomes proposés, ce qui serait impossible si les postulats n'étaient pas compatibles.L'indépendance est démontrée par la construction de géométries fondées sur une partie seulement de la baseaxiomatique. Elles diffèrent alors de la géométrie euclidienne. Hilbert démontre rigoureusement l'existence degéométries qu'il qualifie de non euclidiennes, non archimédiennes et non pascaliennes. Si l'indépendance de chaquegroupe d'axiomes est prouvée, chacun des groupes contient lui-même plusieurs postulats (à l'exception du Vème quin'en contient qu'un). Issai Schur (1875 1941) et Eliakim Hastings Moore (1862 1932) démontrent indépendamment[28],[29]

qu'un des axiomes était redondant.

Vers d'autres géométriesLe concept de géométrie est maintenant appliqué à un vaste ensemble d'espaces. Si la remise en question ducinquième postulat est l'exemple historique qui donne un contenu à la notion de géométrie non euclidienne, uneanalyse plus précise montre l'existence de quantité d'autres cas non envisagés par Euclide respectant néanmoins lecinquième postulat.Dans le cas des espaces vectoriels, le corps de nombres peut être modifié, la distance est parfois choisie de manière àposséder un nouveau groupe d'isométries, le nombre de dimensions peut devenir infini.Il existe en outre de nombreux cas où l'espace n'est pas un espace vectoriel ; Klein formalise des géométries nonorientables ; Georg Cantor (1845-1918) découvre un ensemble triadique dont la dimension n'est pas entière et quimaintenant est classé dans la catégorie des géométries fractales. La topologie ouvre la porte à la construction denombreux autres cas.C'est la raison pour laquelle le terme de géométrie non euclidienne tombe petit à petit en désuétude durant leXXe siècle. Il est maintenant entré dans l'usage de décrire une géométrie par les propriétés qu'elle possède et non paspar une, devenue très spécifique et qu'elle n'aurait pas, à savoir son caractère euclidien.Les exemples suivants sont parmi les plus fréquemment utilisés.

Dimension infinieLes espaces de fonctions à valeurs réelles disposent d'une structure d'espace vectoriel. Il est fécond de les étudieravec des outils géométriques. Il est possible d'y associer une distance issue d'un produit scalaire par exemple si lesfonctions sont de carré intégrable. Ce produit scalaire est défini de la manière suivante :

Dans un tel espace, le théorème de Pythagore se généralise et a permis à Joseph Fourier (1768-1830) de résoudrel'équation de la chaleur.Cette approche, consistant à utiliser les outils de la géométrie pour résoudre des problèmes d'analyse est maintenantdénommée analyse fonctionnelle. De multiples distances différentes sont définies sur ces espaces, engendrant alorsdes géométries distinctes. Suivant les propriétés plus ou moins fortes qu'elles possèdent, elles prennent pour nomespace de Hilbert, espace de Banach, espace préhilbertien ou espace vectoriel normé. L'espace de Hilbert est lagénéralisation la plus naturelle des géométries euclidiennes.

Espace hermitienLes nombres réels souffrent d'une faiblesse, le corps qu'ils forment n'est pas algébriquement clos. Cela signifie qu'ilexiste des polynômes non constants qui n'y ont pas de racine. Cette faiblesse complique l'analyse des applicationslinéaires d'un espace vectoriel dans lui-même. L'article sur les valeurs propres explicite cette difficulté. Une solutionsouvent utilisée consiste à généraliser le corps de nombres et à passer aux complexes. Cette méthode est utilisée enphysique, par exemple pour l'étude des systèmes oscillants. La généralisation d'un espace euclidien aux nombresimaginaires est dénommée espace hermitien.

Géométrie euclidienne 11

Espace de Minkowski

Le cône de lumière en relativité restreinte

Pour la géométrie associée à l'espace deMinkowski l'ensemble des points à égale distance

spatio-temporelle d'un centre n'est plus unesphère mais un hyperboloïde.

La physique de la relativité restreinte propose un monde régi par deslois différentes de celle de la mécanique classique. Il n'y est paspossible de dépasser une vitesse critique, celle de la lumière. Cettelimite engendre de nombreuses conséquences. Pour reprendrel'exemple d'Albert Einstein (1879-1955) un voyageur dans un train enmarche et se déplaçant dans le sens du train n'a plus, comme vitessepar rapport au sol, la somme exacte de la vitesse du train et de sondéplacement, mais un tout petit peu moins[30].

La modélisation physique utilise un espace de dimension quatrecontenant à la fois l'espace et le temps. Il est associé à une géométriedifférente. Si l'on note x, y, z et ct les quatre coordonnées d'un pointdans un repère orthogonal, en géométrie euclidienne le carré de ladistance du point à l'origine est donnée par la formule : x2 + y2 + z2 +(ct)2, expression qui a le statut mathématique de forme quadratique.Dans le monde de la relativité restreinte, la formule : x2 + y2 + z2 -(ct)2, qui est aussi une forme quadratique, joue un rôle analogue. Ici, cdésigne la célérité de la lumière et t une durée, la formule est bienhomogène. Muni de cette forme, l'espace est dit de Minkowski.

La modification d'un signe dans l'égalité définissant la formequadratique (le « carré de la distance »), change la nature de lagéométrie associée : cette quantité n'est plus nécessairement positive.Pour aller du centre noté A sur la figure de droite au point C, il estnécessaire de dépasser la vitesse de la lumière. Le carré de la distanceentre A et C est strictement négatif, cette distance est purementimaginaire. En effet, si le carré de la distance est strictement négatif, lavitesse nécessaire pour atteindre le point C à partir du point A estsupérieur à celle de la lumière. En conséquence et dans le cadre de larelativité restreinte, ce point ne peut pas être en interaction avec A.

L'ensemble des points à distance (spatio-temporelle) nulle de A formeun cône appelé cône de lumière de A. Ce cône est constitué des pointsqui supposent un déplacement à la vitesse de la lumière pour être jointsà partir du point A (dans sa partie supérieure, future) ; et de l'ensembledes points joignant A à la vitesse de la lumière (dans sa partieinférieure, passée).Il correspond à la limite physique des points de l'espace-temps en interaction possible avec A :

• L'intérieur supérieur du cône peut être vu comme l'ensemble des emplacements futurs possibles du point A, ou del'ensemble des points qui seront causalement reliés avec A ;

• L'intérieur inférieur comme l'ensemble des emplacements passés possibles de A, ou de l'ensemble des pointscausalement reliés à A.

Plus généralement, l'ensemble des points à égale distance (spatio-temporelle) de A est un hyperboloïde, alors quedans le cas euclidien l'ensemble des points à égale distance d'un centre, définit une sphère.

Géométrie euclidienne 12

Variété

Sur une sphère, la somme des angles d'un triangle n'est pas égale à 180° : unesphère n'est pas un espace euclidien. Par contre, les lois de la géométrie

euclidienne sont de bonnes approximations locales. Pour un petit triangle sur lasurface de la Terre, la somme des angles est proche de 180°.

Toutes les géométries ne satisfont pas lecinquième postulat d'Euclide. La surface d'unesphère donne un exemple immédiatementaccessible. Le plus court chemin entre deuxpoints se situe toujours le long d'un grandcercle dont le centre est celui de la sphère.Cette courbe joue donc le rôle de droite pour lagéométrie de la sphère. Voilà une géométriecohérente, correspondant à un cas réel.Cependant le cinquième postulat n'est plusvérifié. Dans cet exemple, deux « droites » nonconfondues possèdent toujours deux pointsd'intersection.

L'abandon du cinquième postulat estfondamental. Il est en effet souhaitable deconsidérer la sphère, non pas comme unsous-ensemble d'un espace euclidien dedimension 3 mais comme une géométrie à partentière, disposant d'une distance et d'une

relation d'orthogonalité. Sans outil de cette nature, l'étude d'un tel espace devient plus délicate.

La formalisation mathématique est dérivée de l'exemple illustré dans la figure. Si l'étude se résume à une zonesuffisamment petite, alors il est possible d'utiliser une carte plane, c’est-à-dire une représentation euclidienne. En serapprochant suffisamment du point d'étude, celle-ci donne une représentation d'une précision aussi grande quevoulue. Ainsi, un plan de Paris ne sera jamais rigoureusement exact car sur une sphère la somme des angles d'untriangle est toujours supérieure à 180 degrés. Cependant, la dimension de Paris (relativement à celle de la Terre) estsuffisamment petite pour que l'erreur soit négligeable.

Ce mode de définition de la géométrie des espaces courbes, par la donnée d'une famille de cartes locales, peut êtregénéralisé. On obtient ainsi une description d'espaces courbes usuels (courbes et surfaces telles que la sphère), maisaussi, la possibilité de construire par la même méthode des espaces courbes abstraits portant le nom de variétés. Lagéométrie riemannienne est la branche des mathématiques qui étudie les espaces courbes sur lesquels existent desdistances et des angles, et qui portent le nom de variétés riemanniennes. La recherche et l'étude des plus courtschemins, ou géodésiques, est une des préoccupations importantes de cette branche.L’astrophysique à grande échelle ne peut pas se contenter de la géométrie riemannienne. En théorie de la relativitégénérale, les modèles utilisés ne sont plus basés sur la géométrie euclidienne, mais le sont plutôt sur l'espace deMinkowski. Le cadre d'étude est toujours un espace courbe (variété), mais on considère une forme quadratique quin'est plus nécessairement positive ; la variété devient lorentzienne (ou, plus généralement, pseudo-riemannienne).Ainsi, la gravitation se manifeste par la trajectoire incurvée suivie par une masse le long d'une géodésique noneuclidienne.

Géométrie euclidienne 13

Notes et références[1] André Deledicq (avec extraits de la traduction d'Euclide par François Peyrard de 1819, Les Éléments d'Euclide pour le collège et le Lycée,

Les éditions du Kangourou, 1999[2] Ce résultat date d'avant les découvertes de la civilisation islamique : J.-L. Périllié, La découverte des incommensurables et le vertige de

l'infini (http:/ / www. cndp. fr/ RevueCPhil/ 91/ 00902911. pdf), transcription d’une conférence qui a eu lieu le 16 mai 2001 à Grenoble, p. 18[3] A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une Histoire des mathématiques – Routes et dédales , p. 90[4] Les techniques utilisées se fondent largement sur l'algèbre des polynômes. Gauss les considère néanmoins comme de l'arithmétique, il écrit à

ce sujet : « La théorie de la division du cercle, ou des polygones réguliers […] n'appartient pas par elle-même à l'Arithmétique, mais sesprincipes ne peuvent être puisés que dans l'Arithmétique transcendante. » Recherches arithmétiques, préface, p. xv

[5] (la) Leon Battista Alberti, De pictura, 1435[6] Daniel Arasse, Léonard de Vinci, Hazan, 1997[7] Blaise Pascal, Essay pour les coniques, 1640[8] (la) Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1687[9] (de) E. Knobloch, « Zur Vorgeschichte der Determinantentheorie », dans Theoria cum praxi: zum Verhältnis von Theorie und Praxis im 17.

und 18. Jahrundert (Studia Leibnitiana Supplementa, vol. 22), 1982, p. 96-118[10] (de) Bernard Bolzano, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargoemetrie (littéralement : « Considérations sur quelques objets

de la géométrie élémentaire »), 1804[11] (en) Arthur Cayley, « Chapter in the Analytical Geometry of (n) Dimensions », 1843, dans The Collected Mathematical Papers of Arthur

Cayley, vol. 1, n° 2, p. 55– 62[12] (en) William Rowan Hamilton, « On a general method in dynamics », dans Phil. Trans. R. Soc., part II for 1834, p. 247–308[13] Jean Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, 1822[14] (en) G. Waldo Dunnington (en), Carl Friedrich Gauss: Titan of Science, New York, 1955[15] C. Houzel, Un siècle de géométrie, Berlin, 1992[16] (la) Farkas Bǒlyai de Bolya, Gyula König et József Kürschák (hu), Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae […]

introducendi, Marosvásárhely, 1832–33, chapitre sur la géométrie non euclidienne[17] (en) Jeremy Gray (en), « The discovery of noneuclidean geometry », dans Studies in the history of mathematics, Washington, DC, 1987, p.

37-60[18] Nikolaï Lobatchevski, Géométrie imaginaire, 1835[19] (de) Nikolaï Lobatchevski, Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parellellinien (littéralement : « Investigations géométriques sur la

théorie des parallèles »), 1840[20] (de) Felix Klein, Das Erlanger Programm, 1872[21] James Joseph Sylvester théorie sur les invariants algébriques 1852.[22] J.-L. Gardies Pascal entre Eudoxe et Cantor (Problèmes et controverses) J. Vrin 1984 p 11 à 24 (ISBN 2711608441).[23] Sabine Rommevaux, Clavius, une clé pour Euclide au XVIe siècle. Paris, J. Vrin, 2005. "Mathesis" (ISBN 2711617874)[24] H. Languereau Les 100 ans de la géométrie de Hilbert Mathématiques vivantes Bulletin IREM n° 66 2001 p 3 pdf (http:/ / www-irem.

univ-fcomte. fr/ bulletins/ 066/ bull066. pdf)[25] J. Dhombres Nombre, mesure et continu Fernand Nathan 1978 p 231-238.[26] Si d'autres penseurs ont apporté leur pierre sur le sujet, pour Jean Dieudonné, Hilbert et Pasch restent les principaux acteurs : Pour l'honneur

de l'esprit humain Hachette Littérature 1987 (ISBN 2010119509).[27] David Hilbert Grundlagen der Geometrie 1ière éd. 1899, B.G. Teubner, Leipzig version anglaise (http:/ / www. gutenberg. org/ files/ 17384/

17384-pdf. pdf)[28] Issai Schur Ueber die Grundlagen der Geometrie Math. Annalem, Vol. 55 p. 265 1902.[29] Eliakim Hastings Moore On the Projective Axioms of Geometry Transactions of the Amer. Math. Society 1902.[30] La relativité, Gauthier-Villars (1956)

Références• Euclide, Les Éléments, trad. F. Peyrard, 1804, F. Louis• R. Goblot, Thèmes de géométrie: Géométrie affine et euclidienne - agrégation de mathématiques, Masson• Marcel Berger, Géométrie• (en) Michael Artin, Algebra• Serge Lang, Algèbre• (en) R. J. Trudeau, The non-Euclidean revolution, Birkhauser• (en) M. J. Greenberg, Euclidiean and non-Euclidiean geometries, Freeman

Espace euclidien 14

Espace euclidienEn mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle lagéométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses Éléments. Une géométrie de cette nature modélise, enphysique classique, le plan ainsi que l'espace qui nous entoure. Un espace euclidien permet également de traiter lesdimensions supérieures ; il est défini par la donnée d'un espace vectoriel sur les nombres réels, de dimension finie,muni d'un produit scalaire, qui permet de mesurer distances et angles.L'existence d'un produit scalaire permet d'obtenir par exemple des bases particulières dites orthonormales, unerelation canonique entre l'espace et son dual, ou des familles d'endomorphismes admettant une théorie simple deréduction. Il permet aussi d'obtenir une structure topologique, ce qui met à disposition les méthodes d'analyse.Les espaces euclidiens possèdent une longue histoire ainsi que de nombreuses applications. Les relations entre cetoutil et le reste des mathématiques sont multiples et variées, depuis la logique et l'algèbre jusqu'aux géométries noneuclidiennes. Cet aspect est traité dans l'article géométrie euclidienne.

Espace euclidien et bipointsDans le cadre de la construction des vecteurs à l'aide des classes d'équivalence de bipoints sur un espace affine, unepremière définition du produit scalaire peut être obtenue. La norme d'un vecteur correspond à la longueur d'unbipoint représentatif, l'angle de deux vecteurs correspond à celui de deux bipoints représentatifs de même origine. Laformule donnant le produit scalaire est alors :

Dans de nombreux cas en physique classique ou en géométrie analytique, si la dimension de l'espace n'est pas tropélevée (typiquement deux ou trois), cette définition est suffisante. Toutefois, dans le cas général, ce formalismes'avère à la fois lourd et peu adapté pour, par exemple, l'étude des propriétés topologiques d'un espace euclidien. Unedeuxième approche, purement algébrique et plus abstraite, existe, et permet d'établir plus facilement des résultatsplus généraux[1].

Formalisation et premières propriétés

DéfinitionsLes axiomes d'un espace vectoriel euclidien E concernent deux structures qui se combinent : la première est celled'espace vectoriel de dimension finie sur le corps des nombres réels, et la deuxième est la donnée d'une formebilinéaire, notée ici <. , .>, appelée produit scalaire, possédant des propriétés spécifiques. Une forme bilinéaire estune application de E2 (l'ensemble des couples d'éléments de E) dans l'ensemble R des réels, linéaire pour chacune desdeux variables, et il s'agit d'un produit scalaire si elle possède de plus les trois propriétés :• Un produit scalaire est symétrique, ce qui signifie :

• Un produit scalaire est positif ce qui signifie :

• Un produit scalaire est défini ce qui signifie :

Définition[2] —  Un produit scalaire sur un espace vectoriel réel E est une forme bilinéaire symétrique définiepositive.En particulier, la définition de produit scalaire est valable en dehors du cadre de la dimension finie. Elle se généraliseaux espaces complexes, (cf l'article Hermitien).

Espace euclidien 15

Définition —  Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produitscalaire.Définition —  Un espace affine euclidien est un espace affine dont l'espace vectoriel sous-jacent est muni d'unestructure euclidienne.La donnée du produit scalaire permet de définir une norme et une distance :Définition —  La norme euclidienne associée à un espace vectoriel du même type est la fonction de E dansl'ensemble des réels positifs, qui à un vecteur x associe la racine carrée du produit scalaire de x avec lui-même. Lanorme euclidienne du vecteur x est souvent notée . Cette convention est utilisée tout au long de l'article.Cette fonction vérifie les axiomes de la notion de norme.Définition —  La distance euclidienne est la distance associée à la norme euclidienne. La distance euclidienne dedeux vecteurs x et y est la norme de la différence x - y.Cette fonction vérifie les axiomes de la notion de distance. Dans le cas d'un espace affine, la distance entre deuxpoints a et b est égale à la norme du vecteur d'extrémités a et b.

Exemples• L'espace vectoriel Rn, muni du produit scalaire canonique

est un espace euclidien appelé espace euclidien canonique[3] de dimension n.• L'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n,

•• muni du produit scalaire canonique :

est un espace euclidien de dimension n + 1.•• muni du produit scalaire :

est aussi un espace euclidien dont la norme et la distance associées sont différentes de la précédente. Ce produitscalaire est plus généralement défini sur l'espace des polynômes réels, sans condition de degré (espace de dimensioninfinie).

•• muni du produit scalaire :

(où x0, ... xn sont n + 1 réels distincts) est aussi un espace euclidien dont la norme et la distance associées sontdifférentes des précédentes.• L'espace des nombres complexes C est un espace vectoriel réel de dimension deux. L'application qui à deux

complexes x et y associe la partie réelle du produit de x et du conjugué de y est un produit scalaire, conférant à Cune structure d'espace vectoriel euclidien.

• De manière plus générale, un espace hermitien de dimension n est euclidien s'il est considéré comme un espaceréel de dimension 2.n avec comme produit scalaire la partie réelle du produit scalaire d'origine.

Espace euclidien 16

Inégalités de Cauchy-Schwarz et de MinkowskiDeux majorations sont largement utilisées dans l'étude des espaces euclidiens. Celle de Cauchy-Schwarz établit unerelation entre un produit scalaire et deux normes :Inégalité de Cauchy-Schwarz —  La valeur absolue du produit scalaire de deux vecteurs x et y est majorée par leproduit des normes de x et de y.Cette majoration s'écrit :

L'égalité n'a lieu que si x et y sont colinéaires. La démonstration de ce résultat est donnée dans l'article associé.Inégalité de Minkowski —  La norme de la somme de deux vecteurs x et y est inférieure ou égale à la somme desnormes de chacun des vecteurs.Cette majoration s'écrit :

L'égalité n'a lieu que si x et y sont colinéaires et de même sens. Cette majoration correspond au troisième axiomedéfinissant une norme, dit de sous-additivité ou inégalité triangulaire. Elle est démontrée dans l'article associé.

Propriétés algébriques

Base orthonormaleDans l'étude des espaces euclidiens, certaines bases de l'espace vectoriel sous-jacent sont d'un intérêt particulier. Cesont celles qui vérifient les propriétés suivantes, en liaison avec la structure supplémentaire amenée par le produitscalaire : chaque vecteur de la base possède une norme égale à un et deux vecteurs distincts de la base sontorthogonaux, c'est-à-dire que leur produit scalaire est égal à zéro. Une telle base est qualifiée d'orthonormale.Orthogonalité et vecteurs libres 1 —  Toute famille de vecteurs non nuls et orthogonaux deux à deux est unefamille libre.L'existence de bases orthonormales est assurée par la proposition suivante, utile dans de nombreuses situations :Orthogonalité et vecteurs libres 2 —  Soit x et y deux vecteurs libres, alors le vecteur z égal à y - <x , y>/<x , x> xest non nul et orthogonal à x.En effet, si x et y forment une famille libre alors x est non nul, et la combinaison linéaire définissant z ne l'est pas nonplus. Le calcul suivant montre que la famille (x, z) est orthogonale.

Le procédé de Gram-Schmidt, qui généralise ce calcul dans le cas de familles libres comptant plus de deux vecteurs,montre l'existence de bases orthonormales, et une méthode pour en calculer explicitement, à partir de la donnée d'unebase préalable :Existence d'une base orthonormale —  Tout espace euclidien possède une base orthonormale.Dans une base orthonormale la norme et le produit scalaire s'expriment facilement en fonction des coordonnées. Soit(e1, ..., en) une base orthonormale notée B, x et y deux vecteurs quelconques de E de coordonnées (x1, ..., xn) et (y1,..., yn) dans la base B. Les expressions suivantes fournissent la norme et le produit scalaire :

En particulier, tout espace vectoriel euclidien de dimension n est isomorphe à Rn, c'est-à-dire qu'il existe uneapplication linéaire bijective de E dans Rn, respectant les deux produits scalaires.

Espace euclidien 17

Orthogonalité et convexitéTout sous-espace vectoriel F de E est lui-même un espace euclidien, donc possède des bases orthonormales. Soit (fi)l'une d'entre elles. La preuve de l'inégalité de Bessel consiste alors en la construction[4], pour tout vecteur x, duprojeté orthogonal de x sur F, c'est-à-dire du vecteur p(x) de F tel que x-p(x) soit orthogonal à F. On prouve, enl'explicitant, l'existence d'un tel vecteur. Son unicité est garantie par le fait que F et son orthogonal n'ont en communque le vecteur nul. Par le théorème de Pythagore, sa norme est inférieure ou égale à celle de x :Projeté orthogonal et inégalité de Bessel — Pour tout vecteur x de E, soit

Alors p(x) est le projeté orthogonal de x sur F. Ses coordonnées <x , fi> sont appelées coefficients de Fourier, et lasomme de leurs carrés est inférieure ou égale au carré de la norme de x.Lorsque (fi) est une base orthonormée de E (autrement dit lorsque F=E, donc p(x)=x), les coordonnées de x dans cettebase sont donc ses coefficients de Fourier.Dans le cadre particulier d'un espace euclidien, cette construction du projeté orthogonal fournit ainsi une preuvedirecte d'un théorème plus général, le Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert:Théorème du supplémentaire orthogonal — F et son orthogonal sont supplémentaires.La projection orthogonale p ci-dessus est une application linéaire et idempotente d'image F et de noyau F⊥, aussiappelée projecteur orthogonal sur F. D'après le théorème de Pythagore, p(x) est l'élément de F le plus proche de x.On peut aussi construire p(x) via cette propriété de minimisation de la distance (puis en déduire sa premièrecaractérisation), comme cas particulier du théorème suivant. (Ce théorème s'applique à F, qui est convexe, et dedimension finie donc fermé.)Théorème de projection sur un convexe fermé — Soient C un convexe fermé de E et x un vecteur de E. Il existeun unique vecteur t(x) de C, dit projeté de x sur le convexe, tel que la distance de x à C soit égale à celle de x à t(x).La démonstration de ce théorème et les propriétés de l'application t sont détaillées dans l'article Théorème deprojection sur un convexe fermé.

Espace dual et forme bilinéaireLe dual E* de E désigne l'espace des formes linéaires sur E. Le produit scalaire fournit une application canonique φde E dans E*, qui à tout vecteur x de E associe la forme linéaire x* définie par :

L'application φ est linéaire. Si x est un élément du noyau de l'application φ, alors, en particulier, x*(x) est égal à zérodonc la norme de x est nulle ; ainsi, φ est injective. De l'égalité des dimensions de E et de E* il résulte quel'application φ est aussi surjective. Ceci montre la propriété suivante :Proposition 1 —  Il existe un isomorphisme canonique entre un espace euclidien et son dual.L'isomorphisme φ est très largement utilisé, en mathématiques comme en physique. Par exemple un champ scalaire,c'est-à-dire une application différentiable de E dans R, possède comme différentielle une application de E dansl'ensemble des formes linéaires sur E. L'identification du dual et de E à l'aide de l'isomorphisme φ permet dereprésenter les formes linéaires sur E par des éléments de E. La différentielle prend alors le nom de gradient. Enphysique, la force est un élément du dual des vecteurs de l'espace géométrique. Elle est identifiée à un vecteur del'espace, même si elle n'est pas de même nature. Cette technique permet une représentation plus intuitive ainsi qu'uncalcul simple. Le travail de la force, une grandeur importante en physique, s'interprète comme le produit scalaireavec la force.

Espace euclidien 18

Il est possible de construire de manière analogue deux morphismes ψ1 et ψ2 entre L(E) l'ensemble desendomorphismes de E dans L2(E) l'espace des formes bilinéaires. À un endomorphisme a, on associe ψ1a et ψ2adéfinis par :

Un raisonnement analogue au précédent montre que ψ1 et ψ2 sont deux applications linéaires injectives. Lasurjectivité est la conséquence du fait que L(E) et L2(E) ont même dimension, à savoir n2.Proposition 2 —  Les applications ψ1 et ψ2 sont deux isomorphismes canoniques entre l'ensemble desendomorphismes et des formes bilinéaires sur un espace euclidien.

Adjoint d'un endomorphismeLes isomorphismes précédents possèdent d'autres applications. La composée de ψ1 et de l'inverse de ψ2 est uneapplication de L(E) dans lui-même. Comme ψ1 et ψ2 sont deux isomorphismes, la composée est encore unisomorphisme. Cette application associe à l'endomorphisme a, l'application, en général notée a* définie par :

Définition et propriétés —  L'application de L(E) dans lui-même, qui à a associe l'endomorphisme a* est unisomorphisme involutif. L'image de a par cette application est appelée adjoint de a. Cet isomorphisme estdiagonalisable et admet deux valeurs propres 1 et -1. Les vecteurs propres de valeurs propres 1 (resp. -1) sontappelés autoadjoints (resp. antisymétriques).Il existe une famille importante d'endomorphismes, comprenant notamment les endomorphismes autoadjoints et lesendomorphismes antisymétriques : ceux qui commutent avec leur adjoint. Une application linéaire ayant cettepropriété est dite normale. Un cas particulier important est celui des automorphismes orthogonaux, c'est-à-dire lesautomorphismes u qui laissent invariant le produit scalaire :

L'ensemble des automorphismes vérifiant cette propriété forme un groupe appelé groupe orthogonal.La relation induite par le produit scalaire entre les formes bilinéaires et les endomorphismes possède de nombreusesapplications, dans des domaines très divers (voir notamment l'article théorème spectral dans le cas où les formes sontsymétriques et les endomorphismes autoadjoints).

Construction d'espaces euclidiensComme fréquemment en algèbre, la donnée d'espaces euclidiens permet d'en construire de nouveaux.

Sous-espace, espace produitSi F est un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien, alors la restriction du produit scalaire induit une structured'espace vectoriel euclidien sur F.Si E1 et E2 sont deux espaces euclidiens, alors leur produit dispose d'une structure euclidienne. Le produit scalaire estdonné par la formule :

Espace euclidien 19

Espace quotientLa nature des projecteurs orthogonaux permet d'attribuer un produit scalaire à un quotient d'un espace euclidien. Lanorme d'une classe de x de l'ensemble E/F correspond à la distance entre un représentant de la classe et F. Si représente la classe de x, alors le produit scalaire <. , . >E/F sur E/F est défini par :

Il existe une isométrie canonique entre le supplémentaire orthogonal de F (muni de la structure d'espace euclidien entant que sous-espace vectoriel), et le quotient E/F, muni de la structure d'espace euclidien décrite précédemment, quià tout élément de ce supplémentaire orthogonal associe sa classe dans E/F. Ceci provient de l'identité, suivante, où pest le projecteur orthogonal de direction F :

Produit tensorielSoient E1 et E2 deux espaces euclidiens de dimensions respectives n1 et n2, s'ils sont identifiés à leurs duaux à l'aidede l'isomorphisme canonique φ, l'espace tensoriel E1 E2 s'identifie à l'ensemble des formes bilinéaires de E1xE2.Le produit tensoriel est une application bilinéaire de E1xE2 dans E1 E2 définie par :

L'image de E1xE2 par le produit tensoriel est une partie génératrice de E1 E2, il suffit donc de définir le produitscalaire sur cette image pour le définir sur tout l'espace. Le produit scalaire est alors défini par l'égalité suivante :

EndomorphismeSi E1 et E2 sont confondus, le produit scalaire précédent est celui de L2(E). L'isomorphisme canonique ψ1 de L(E)dans L2(E) permet de munir L(E) d'une structure d'espace euclidien :

Le choix de l'isomorphisme ψ1 ou ψ2, définis dans le paragraphe Espace dual et forme bilinéaire, est arbitraire, ilsamènent tous deux au même produit scalaire. Ce produit scalaire de L(E) confère aux deux isomorphismes lecaractère d'isométrie.L'adjoint permet une expression plus simple du produit scalaire sur L(E). le produit scalaire de deuxendomorphismes a et b correspond à la trace de l'endomorphisme adjoint de b composée avec a :

Pour ce produit scalaire, les endomorphismes autoadjoints et antisymétriques forment deux sous-espacesorthogonaux en somme directe et le groupe orthogonal est inclus dans la sphère unité.

Espace euclidien 20

Géométrie

Géométrie du triangle

Le cercle d'Euler est un exemple de propriétésdémontrables dans le cadre d'un espace euclidien.

Un espace euclidien dispose naturellement d'une distance. Il estpossible de définir un angle entre deux vecteurs x et y non nuls. Unangle apparaît comme une classe d'équivalence entre des couples devecteurs non nuls. Soit (a, b) un couple de vecteurs non nulsreprésentant un angle Θ ; l'angle entre x et y est égal à Θ si etseulement s'il existe une rotation dont l'image de a (resp. b) est égale àx (resp. y).

Si E est de dimension deux, alors il est possible d'orienter l'espace etl'angle (x, y) n'est pas nécessairement égal à celui de (y, x). Pour lesautres dimensions, il existe toujours une rotation dont l'image de x(resp. y) est égale à y (resp. y) et un angle orienté ne fait pas sens.

La mesure θ d'un angle Θ est donnée par la formule suivante, si (x, y) est un représentant de l'angle :

Cette définition permet de formaliser un espace disposant de la même géométrie du triangle, que celle fondée sur lescélèbres postulats décrits dans le livre d'Euclide, les Éléments. Une telle géométrie vérifie les théorèmes de Thalès,de Pythagore, ou d'Al-Kashi.Un exemple classique est donné par le cercle d'Euler disposant de neuf points remarquables.

Caractérisation par la forme polaireLe produit scalaire confère la dimension euclidienne à un espace vectoriel de dimension finie. La question se pose desavoir s'il n'existe pas d'autres moyens pour caractériser un espace euclidien. Une analyse montre qu'une norme estun outil suffisant.Proposition 1 —  Soit N une norme de E. N est euclidienne si et seulement si l'application φ de ExE dans R, qui àdeux vecteurs x et y associe la valeur suivante, dite identité de polarisation est un produit scalaire. Il correspond alorsau produit scalaire conférant à E le statut d'espace euclidien de norme N.

On remarque que si l'application φ est bilinéaire, alors N2 est une forme quadratique. L'égalité précédente montre quela connaissance d'une forme bilinéaire sur la diagonale de ExE suffit à déterminer intégralement φ. Ceci donne lieu àla définition suivante :Définition —  La forme bilinéaire φ est appelée forme polaire de la forme quadratique N2.Il existe une autre manière de définir le produit scalaire, à partir de l'égalité dite règle du parallélogramme. Cetteégalité stipule que la somme des carrés des longueurs des deux diagonales d'un parallélogramme est égale au doublede la somme des carrés de deux côtés adjacents. Elle prend la forme suivante :

Une légère modification de la formule permet d'établir le résultat suivant :Proposition 2 —  Soit N une norme de E. N est euclidienne si et seulement si l'application φ de ExE dans R, qui àdeux vecteurs x et y associe la valeur suivante, encore appelée identité de polarisation est un produit scalaire. Ilcorrespond alors au produit scalaire conférant à E le statut d'espace euclidien de norme N.

Espace euclidien 21

La modification de la formule n'est néanmoins pas nécessaire, le résultat suivant est aussi vérifié :Proposition 3 —  Toute norme N de E vérifiant l'égalité du parallélogramme confère à E le statut d'espace euclidien.La dernière proposition est démontrée dans l'article Identité de polarisation.

Caractérisation par une surface quadrique

La donnée d'un ellipsoïde caractérise un produitscalaire et donc un espace euclidien.

Ici, A désigne un espace affine d'espace vectoriel sous-jacent E dedimension finie n sur R. L'objectif est ici de munir E d'un produitscalaire à l'aide d'une surface quadrique particulière. L'espace A estmuni d'un repère cartésien Rep. Une surface quadrique désigne icil'ensemble des points vérifiant une équation du second degré. Si (xi)désigne les coordonnées du point X de A dans Rep, il existe alors unpolynôme Q(X) à n variables et de degré 2 tel que la surface quadriqueS soit définie par :

Il existe plusieurs géométries possibles pour une quadrique. Un casparticulier correspond à celui où la surface S est compacte. Endimension trois, la quadrique est qualifiée d'ellipsoïde. La lettre Odésigne ici le centre de la quadrique. La donnée de ce point établit une isométrie entre A et E, à chaque point a de Aest associé le vecteur d'origine O et d'extrémité a. Le théorème suivant assure que la donnée d'une telle surface estéquivalente à celle d'un produit scalaire sur E.

Caractérisation par une quadrique —  Si E est euclidien, la sphère unité est une quadrique compacte non réduite àun point dans tout repère cartésien de A. Réciproquement si S est une surface quadrique compacte non réduite à unpoint, alors S correspond à la sphère unité pour un unique produit scalaire de E si chaque point de A est identifié à unvecteur de E par l'isométrie précédente.

Caractérisation par le groupe orthogonalLe groupe orthogonal O(E) d'un espace euclidien E est muni d'une structure de groupe topologique définie de lafaçon suivante. Pour tout espace vectoriel réel V de dimension finie, l'espace L(V) de ses endomorphismes estégalement de dimension finie donc muni d'une topologie canonique. Le groupe linéaire GL(V) des automorphismesde V, inclus dans L(V), hérite ainsi d'une topologie induite, qui en fait un groupe topologique. Si E est un espaceeuclidien, O(E) est un sous-groupe de GL(E) donc est, lui aussi, un groupe topologique (pour la topologie induite).Fonctorialité du groupe orthogonal —  Soient E et F deux espaces euclidiens de même dimension. Toutisomorphisme d'espaces euclidiens entre E et F induit un isomorphisme de groupes topologiques entre O(E) et O(F).En effet, si a est un isomorphisme d'espaces euclidiens de E dans F, l'isomorphisme de groupes φa de O(E) dansO(F) défini par :

est continu (car c'est la restriction d'une application (linéaire) continue de L(E) dans L(F)), et son inverse l'est aussipuisqu'il est de la même forme : (φa)-1=φ(a-1).Ainsi, tous les espaces euclidiens de dimension n ont le « même » groupe orthogonal que celui, noté O(n), de l'espaceeuclidien usuel Rn. Comme les groupes topologiques en question sont de façon naturelle des groupes de Lie, ils sontmême isomorphes en tant que groupes de Lie (c'est-à-dire reliés par un isomorphisme de groupes qui est nonseulement un homéomorphisme mais un difféomorphisme).

Espace euclidien 22

On peut reformuler la fonctorialité du groupe orthogonal en disant que pour tout espace vectoriel V de dimension n ettout sous-groupe G de GL(V), s'il existe sur V un produit scalaire dont G soit le groupe orthogonal, alors G estisomorphe (en tant que groupe topologique) à O(n). La réciproque est vraie :Le groupe détermine le produit scalaire —  Soient V un espace vectoriel réel de dimension n et G un sous-groupede GL(V). Si G est isomorphe (en tant que groupe topologique) à O(n) alors il est le groupe orthogonal d'un produitscalaire sur V. Un tel produit scalaire est unique à homothétie près.L'unicité du produit scalaire n'est vraie qu'à homothétie près car si <x, y> est un produit scalaire et si λ est un réel nonnul, alors le groupe orthogonal du produit scalaire <λx, λy> est le même que celui de <x, y>.Son existence est bien plus profonde. L'une des approches possibles pour la démontrer puise son inspiration dans lathéorie de la représentation des groupes de Lie. Elle est relativement générique (elle s'applique aux espaces affineseuclidiens, aux géométries projectives ou encore symplectiques), mais dépasse le cadre de cet article.

TopologieLe produit scalaire définit une norme et donc une distance, conférant ainsi une structure d'espace métrique ettopologique à l'ensemble. Cette structure est compatible avec les deux opérations que sont l'addition et lamultiplication externe par un scalaire, c'est-à-dire que ces deux opérations sont continues.Les espaces vectoriels réels de dimension finie n'admettent qu'une unique topologie séparée vérifiant cettecompatibilité. Une conséquence est que la norme euclidienne est équivalente à toutes les normes, euclidiennes ounon. La structure topologique d'un espace vectoriel normé de dimension finie E possède de nombreuses propriétés :• Toute application linéaire de E dans un espace vectoriel normé est continue.• E est uniformément homéomorphe à Rn.• Les sous-espaces vectoriels de E sont des fermés.• complétude : E est un espace complet, ainsi que l'ensemble des applications linéaires continues d'un espace

vectoriel normé dans E.• compacité : les compacts de E sont les fermés bornés. Toute boule fermée de E est compacte (voir théorème de

Borel-Lebesgue). Réciproquement, un espace vectoriel normé dans lequel toute boule fermée est compacte est dedimension finie (voir théorème de compacité de Riesz).

GénéralisationsIl existe plusieurs généralisations des espaces euclidiens. En choisissant comme corps de base le corps des nombrescomplexes, on obtient la notion d'espace hermitien. De tels espaces admettent une théorie analogue, au prixd'adaptations naturelles : les résultats présentés dans cet article restent intégralement vérifiés pour ces espaces[5].En dimension infinie, une définition analogue (existence d'un produit scalaire ou hermitien) amène d'abord à lanotion de préhilbertien, dans le cas réel et dans le cas complexe. Le caractère complet n'est pas vérifié en général. Unespace préhilbertien, complet pour la topologie d'espace métrique induite par la norme préhilbertienne, est appeléespace de Hilbert. Les espaces de Hilbert font l'objet d'une riche théorie, et sont des objets de base en analysefonctionnelle[6].Une géométrie euclidienne est définie par un espace vectoriel et une forme bilinéaire particulière (définie positive).Travailler avec certaines autres formes bilinéaires permet d'obtenir d'autres géométries, par exemple la géométriesymplectique.Pour d'autres corps de base que les réels ou les complexes, la notion de forme bilinéaire définie positive n'est engénéral pas pertinente, car le corps n'est pas ordonné. On remplace généralement cette hypothèse par le fait que laforme est non dégénérée, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de vecteur non nul orthogonal à tout l'espace. Une tellestructure est utilisée, par exemple pour la géométrie sur les groupes finis. Les groupes orthogonaux sur des espacesvectoriels de dimension finie sur les corps finis fournissent notamment des familles infinies de groupes simples[7].

Espace euclidien 23

Références

Notes[1] Une approche de cette nature se trouve dans : Y. Ladegaillerie Géométrie pour le CAPES de mathématiques Ellipses Marketing 2002

(ISBN 2729811486)[2] C. Antonini et al., Espace préhilbertien réel (http:/ / www. les-mathematiques. net/ b/ c/ i/ node2. php) sur le site les-mathematiques.net[3] Le terme d'espace vectoriel canonique pour Rn est largement utilisé, on peut citer : R. Godement, « Domaines fondamentaux des groupes

arithmétiques », dans Séminaire Bourbaki, tome 8, 1962 à 1964, Exposé n° 257[4] Cette technique possède des applications, par exemple, en statistique, et elle est le fondement de la méthode des moindres carrés[5] Cette généralisation est traitée par exemple dans Serge Lang, Algèbre .[6] Cette généralisation est traitée par exemple dans : Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications , p. 78 à 116.[7] Une référence standard mais technique : R. W. Carter, Simple Groups of Lie Type, Wiley & Sons, 1993 (ISBN 0-471-50683-4)

Références• J. M. Monier, Cours de mathématiques - MPSI, PCSI, PTSI et MP, PSI , PC, PT : Algèbre et géométrie MP, t. 8,

Dunod, 2007, 5e éd. (ISBN 9782100510382)

• J. Lelong-Ferrand et J. M. Arnaudiès, Cours de mathématiques : Géométrie et cinématique, t. 3, Dunod, 1977(ISBN 9782100057160)

• E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques : Applications de l'analyse à la géométrie, t. 5,Dunod, 1998 (ISBN 2100041789)

Éléments d'Euclide

Couverture de la première édition anglaise desÉléments par Henry Billingsley, 1570

Les Éléments (en grec ancien Στοιχεία / Stoikheía) sont un traitémathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisésthématiquement, probablement écrit par le mathématicien grecEuclide vers 300 av. J.-C. Il comprend une collection dedéfinitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujetsde la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitifs.

Les Éléments sont le plus ancien exemple connu d'un traitementaxiomatique et systématique de la géométrie et son influence sur ledéveloppement de la logique et de la science occidentale estfondamentale. Il s'agit probablement du recueil qui a rencontré leplus de succès au cours de l'Histoire : les Éléments furent l'un despremiers livres imprimés (Venise, 1482) et n'est précédé que par laBible pour le nombre d'éditions publiées (largement plus de 1000). Pendant des siècles, il a fait partie du cursus universitairestandard.

Principes

La méthode d'Euclide a consisté à baser ses travaux sur desdéfinitions, des "demandes" (postulats) , des « notions ordinaires »(axiomes), et des propositions (problèmes résolus). Par exemple, lelivre I contient 35 définitions (point, ligne, surface, etc.), cinq postulats et cinq notions ordinaires.

Postulats du livre I :

Éléments d'Euclide 24

1.1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.2.2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.3. Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et

l'une de ses extrémités comme centre.4. Tous les angles droits sont congruents.5.5. Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est

inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.Notions ordinaires du livre I :1.1. Des choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles.2.2. Si des choses égales sont ajoutées à d'autres choses égales, leurs sommes sont égales.3.3. Si des choses égales sont soustraites à d'autres choses égales, leurs différences sont égales.4.4. Des choses qui coïncident avec une autre sont égales entre elles.5.5. Le tout est plus grand que la partie.

Postérité

Codex Vaticanus 190

Le succès des Éléments est dû principalement à la présentation logiquede la quasi-totalité du savoir mathématique dont Euclide disposait.L'utilisation systématique et efficace du développement desdémonstrations à partir d'un jeu réduit d'axiomes incita à les utilisercomme livre de référence pendant des siècles.

Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entourèrent lesaxiomes et les démonstrations d'Euclide. Néanmoins, les Élémentsrestent une œuvre fondamentale dans l'histoire des sciences et furentd'une influence considérable. Les scientifiques européens NicolasCopernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei et particulièrement Isaac Newton furent tous influencés par les Élémentset appliquèrent leur connaissance du livre à leurs propres travaux. Certains mathématiciens (Bertrand Russell, AlfredNorth Whitehead) et philosophes (Baruch Spinoza) ont également tenté d'écrire leurs propres Éléments, desstructures déductives axiomatiques appliquées à leurs disciplines respectives.

Des cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, dont on déduit le postulat des parallèles : « en un point extérieurà une droite, ne passe qu'une unique droite qui lui est parallèle », a toujours semblé moins évident que les autres.Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent qu'il pouvait être démontré à partir des autres postulats, mais toutes lestentatives pour ce faire échouèrent. Vers le milieu du XIXe siècle, il fut démontré qu'une telle démonstration n'existepas, que le cinquième postulat est indépendant des quatre autres et qu'il est possible de construire des géométries noneuclidiennes cohérentes en prenant sa négation.

HistoireLes premières traces écrites des notions de longueurs et d'orthogonalité sont babyloniennes et remontent à unepériode située entre 1900 et 1600 av. J.-C.. On y trouve la connaissance du théorème de Pythagore au moins pour lecas d'un triangle dont les côtés sont de longueurs respectives trois, quatre et cinq.Le livre d'Euclide constitue la première formalisation de la géométrie. Bien que la plupart des théorèmes lui soientantérieurs, les Éléments étaient suffisamment complets et rigoureux pour éclipser les œuvres géométriques qui lesont précédés et peu de choses sont connues sur la géométrie pré-euclidienne.Son auteur Euclide d'Alexandrie (325-265 av. J.-C.) fut probablement un disciple d'Aristote (-384-322 av. J.-C.). Sonhistoire ainsi que celle de son livre sont mal connues. Trois hypothèses sont avancées à son sujet. Euclide est:

Éléments d'Euclide 25

• soit un personnage historique principal auteur des Éléments,•• soit à la tête d'une école mathématique• soit un nom d'auteur qu'a utilisé un groupe de mathématiciens pour rédiger une compilation, ce nom serait alors

une référence au philosophe grec Euclide de Mégare (450-380 av. J.-C.) [1].La première hypothèse a été admise sans l'ombre d'un doute pendant plus de 2000 ans, et elle reste encore la plusvraisemblable. En revanche, il est pratiquement établi qu'Euclide était à la tête d'une école mathématique vigoureuseet ses disciples ont certainement contribué à la rédaction[2] des Éléments. Hippocrate de Chios (470-410 av. J.-C.) estl'auteur du contenu des livres I et II des éléments, si on en croit le philosophe byzantin Proclos (411-487). Il écrit de lui« Il était le premier à écrire pour la compilation maintenant connue sous le nom des Éléments[3]. »L'ouvrage fut traduit en arabe après avoir été donné aux Arabes par l'Empire byzantin, puis traduit en latin d'après lestextes arabes (Adelard de Bath au XIIe siècle, repris par Campanus de Novare). La première édition imprimée datede 1482 et le livre fut depuis traduit dans une multitude de langues et publié dans plus de 1 000 éditions différentes.Des copies du texte grec existent toujours, par exemple dans la bibliothèque du Vatican ou à la Bodleian Library àOxford, mais ces manuscrits sont de qualité variable et toujours incomplets[4]. Par analyse des traductions et desoriginaux, il a été possible d'émettre des hypothèses sur le contenu originel, dont il ne subsiste aucune copieintégrale.

Axiomatisation ultérieureLes mathématiciens du XIXe siècle découvrirent que les démonstrations d'Euclide nécessitent des hypothèsesadditionnelles, non spécifiées dans le texte original, par exemple l'axiome de Pasch. David Hilbert modifia la listepour en fournir un jeu complet en 1899 dans un article intitulé Les fondements de la géométrie. La liste des axiomesde Hilbert en contient 20.

LivresLes Éléments sont organisés comme suit :•• Les livres I à IV traitent de géométrie plane :

• Le livre I énonce les propriétés de base de la géométrie : théorème de Pythagore, égalités angulaires et d'aireset parallélisme, somme des angles du triangle, les trois cas d'égalité des triangles.

• Le livre II est couramment nommé livre de l'algèbre géométrique, parce qu'il est un livre de géométrie facile àinterpréter comme de l'algèbre, ce qu'il n'est pas exactement mais il a été compris et utilisé en mathématiquesarabes pour l'algèbre. En particulier, les théorèmes qu'il énonce correspondent en grande partie à nos identitésremarquables. Un cas particulier d'un problème correspondant à une équation du second degré est égalementdonné.

• Le livre III traite du cercle et de ses propriétés : angle inscrit, puissance d'un point, tangente.• Le livre IV s'occupe de l'inscription et de la circonscription de triangles ou de polygones réguliers dans le

cercle.• Les livres V à X font intervenir les proportions :

• Le livre V est le traité des proportions de grandeurs.• Le livre VI est celui de l'application des proportions à la géométrie : théorème de Thalès, figures semblables.• Le livre VII est consacré à l'arithmétique : divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM.• Le livre VIII traite de l'arithmétique des proportions et des suites géométriques.• Le livre IX applique les précédents : infinité des nombres premiers, somme d'une suite géométrique, nombres

parfaits.• Le livre X est une tentative de classification des grandeurs irrationnelles. L'irrationalité de y est

démontrée.

Éléments d'Euclide 26

•• Les livres XI à XIII traitent de géométrie dans l'espace :• Le livre XI généralise dans l'espace les livres I à VI : perpendicularité, parallélisme, volumes de

parallélépipèdes.• Le livre XII compare ou calcule des aires et volumes en utilisant la méthode d'exhaustion : disque, cônes,

pyramides, cylindres et sphère.• Le livre XIII est la généralisation du livre IV dans l'espace : section dorée, les cinq polyèdres réguliers inscrits

dans une sphère.Il existe deux livres apocryphes, présents en annexe dans la traduction de Heath.

Références[1] D'après Jean Itard, Les livres arithmétiques d'Euclide, Paris, Libr. Albert Blanchard, 1962.[2] Biographie d'Euclide dans Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990)[3] Cf. Thomas Heath, A History of Greek Mathematics I, Oxford, 1921, p. 182-202.[4][4] Cf. Folkerts 1989.

Livre I des Éléments d'EuclideLe livre I des Éléments d'Euclide pose les fondements pour la suite de l'ouvrage. Il contient :•• 35 définitions de vocabulaire• 5 demandes (ou postulats selon Proclos) plus un apocryphe• 5 notions communes (ou axiomes selon Proclos) plus quatre apocryphes•• 48 propositions

Les définitionsY sont définis le point, la droite (qui chez Euclide n'est jamais qu'un segment de droite), les angles, le cercle, letriangle, le carré, le rectangle, les parallèles. Voici quelques-unes de ces définitions :• Définition 1, le point est ce dont la partie est nulle.• Définition 2, une ligne est une longueur sans largeur.• Définition 4, la ligne droite est celle qui est également placée entre ses points.• Définition 8, un angle plan est l'inclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan, et qui ne sont

pas placées dans la même direction.• Définition 9, lorsque des lignes qui comprennent un angle sont des droites, l'angle se nomme rectiligne.• Définition 10, lorsqu'une droite tombant sur une droite fait deux angles de suite égaux, chacun des angles égaux

est droit, et la droite placée au-dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée.• Définition 11, l'angle obtus est celui qui est plus grand qu'un droit.• Définition 12, l'angle aigu est celui qui est plus petit qu'un droit.• Définition 15, un cercle est une figure plane comprise par une seule ligne qu'on nomme circonférence, toutes les

droites menées à la circonférence d'un des points placé dans cette figure étant égales entre elles.• Définition 16, ce point se nomme le centre du cercle.• Définition 17, le diamètre du cercle est une droite menée par le centre et terminée de part et d'autre par la

circonférence du cercle, le diamètre partage le cercle en deux parties égales.• Définition 24, parmi les figures trilatères, le triangle équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux.• Définition 25, le triangle isocèle, celle qui a seulement deux côtés égaux.• Définition 27, […], le triangle rectangle est celle qui a un angle droit.• Définition 30, parmi les figures quadrilatères, le carré est celle qui est équilatère et rectangulaire.

Livre I des Éléments d'Euclide 27

• Définition 31, le rectangle, celle qui est rectangulaire, et non équilatérale.• Définition 35, les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de

part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre.

Les demandesCe sont les fameux postulats d'Euclide dont le cinquième est le plus célèbre. (On parle à son propos de postulatd'Euclide, d'axiome d'Euclide, de postulatum,etc… Il est équivalent à l'axiome des parallèles.) :• Demande 1, Entre deux points on peut toujours tracer une droite.• Demande 2, On peut toujours prolonger indéfiniment une droite tracée entre deux points.• Demande 3, Partant d'un point et d'une longueur donnés, on peut toujours tracer un cercle.• Demande 4, Tous les angles droits sont égaux entre eux.• Demande 5, si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux

droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.Les définitions et les notions communes privilégient le cercle et la droite. La géométrie d'Euclide sera doncessentiellement attachée aux constructions à la règle et au compas.

Les notions communesElles énoncent la transivité de l'égalité, le fait qu'une égalité ou une inégalité est conservée si on ajoute ou si onretranche une même quantité aux deux membres de l'égalité ou de l'inégalité. La dernière notion commune énonceque le tout est plus grand que la partie.

Les propositionsCes propositions traitent des points suivants :•• Constructions élémentaires. Les trois premières propositions décrivent quelques constructions élémentaires :

construction d'un triangle équilatéral de côté donné (prop.1), construction d'un cercle de centre donné et de rayondonné (prop.2), retrancher d'un segment AB donné un segment donné (prop.3)

• Les cas d'égalité des triangles sont traités dans les prop.4 (premier cas d'égalité des triangles : deux côtés et l'anglecompris entre ces deux côtés, égaux dans les deux triangles), prop.7 et 8 (deuxième cas d'égalité des triangles :trois côtés de même longueur dans les deux triangles), prop.26 (troisième cas d'égalité des triangles : deux angleset un côté égaux).

• Le triangle isocèle : les prop.5 et 6 montrent qu'un triangle a deux côtés égaux si et seulement s'il a deux angleségaux.

• Constructions diverses. Un certain nombre de propositions exposent comment procéder à la construction d'objetsgéométrique : la bissectrice d'un angle (prop.9), le milieu d'un segment (prop.10), la perpendiculaire à une droitepassant par un point donné, un triangle dont les longueurs des côtés sont données (prop.22), un angle égal à unangle donné (prop.23).

• Les angles. Les propositions 13 à 19 traitent des angles, par exemple : deux angles d'un triangle sont moindresque deux droits (prop.17) ; dans un triangle, un plus grand côté est opposé à un plus grand angle (prop.18) ; deuxtriangles ayant deux côtés égaux, la base de l'un est plus grand que la base de l'autre si et seulement si l'angle ausommet du premier est plus grand que l'angle au sommet de l'autre (prop.24 et 25).

• Inégalité triangulaire : la prop.20 démontre l'inégalité triangulaireCes 26 premières propositions ne font pas appel au cinquième postulat d'Euclide sur les parallèles. Il n'en est pas demême des propositions qui suivent et qui utilisent ce postulat.

Livre I des Éléments d'Euclide 28

• Propriétés des parallèles. Si une droite tombant sur deux droites fait des angles alternes égaux entre eux, ces deuxdroites seront parallèles (prop.27 et 28), et réciproquement, une droite tombant sur deux parallèles fait les anglesalternes égaux entre eux (prop.29). Les droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles (prop.30).La prop.31 expose comment construire une parallèle à une droite donnée passant par un point donné.

•• Somme des angles d'un triangle. C'est dans la prop.32 qu'on prouve que la somme des angles d'un triangle est égalà deux droits.

• Propriétés du parallélogramme. Les segments joignant les sommets de deux segments parallèles et de mêmelongueur sont eux-mêmes parallèles et de même longueur (prop.33) ; les côtés et les angles opposés d'unparallélogramme sont égaux entre eux et une diagonale le partage en deux parties égales (prop.34) ; deuxparallélogrammes, construits sur des bases de même longueur et entre les mêmes parallèles, ont même aire(prop.35 et 36). Les propositions 42 à 45 expliquent comment construire un parallélogramme d'aire égale à celled'un triangle donné, ou d'aire égale à celle d'un polygone donné.

•• Propriétés des triangles. Deux triangles de même base ont même aire si et seulement s'ils ont même hauteur(prop.37 à 40). Cette aire est la moitié de celle du parallélogramme correspondant (prop.41).

• Construction d'un carré. Elle est donnée par la prop.46.• Théorème de Pythagore. Le livre I se termine par la démonstration de ce théorème (prop.47) et de sa réciproque

(prop.48).

Bibliographie•• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert

Blanchard (1993)• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac

Liens externesDocuments en ligne sur le site Gallica de la BNF• Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide [1] traduction de D. Henrion, 1632• Les éléments d'Euclide [2] traduction de F.Peyrard, 1804

Références[1] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k68013g. image. f6. pagination[2] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k110982q. image. r=les+ %C3%A9l%C3%A9ments+ d%27Euclide. f18. langFR. pagination

Livre II des Éléments d'Euclide 29

Livre II des Éléments d'EuclideLe Livre II des Éléments d'Euclide contient ce qu'on appelle habituellement — et à tort — l'algèbre géométrique.En effet, une grande partie de ses propositions peuvent s'interpréter algébriquement, ce que n'ont pas manqué de faireles mathématiciens arabo-musulmans, en particulier al-Khwarizmi.Cependant, il ne s'agit pas d'algèbre, car ce livre ne résout pas de problèmes numériques et encore moins d'équations.Il ne traite que d'égalités d'aires de rectangles ou de carrés.Le livre contient :•• 2 définitions•• 14 propositions

Les définitionsLa première définition indique ce qu'on entend par rectangle contenu sous deux droites et dont l'usage est trèsfréquent dans les Éléments. Il s'agit simplement du rectangle dont les côtés ont des longueurs égales à celle des deuxdroites données. Algébriquement, il correspond au produit de ces deux longueurs.La deuxième définition définit le gnomon : il s'agit de la figure restante d'un parallélogramme dont on a retiré unparallélogramme plus petit de même diagonale.

Les propositionsBien que les énoncés soient purement géométriques, nous donnerons ci-dessous leur interprétation modernealgébrique. Insistons sur le fait que cette interprétation algébrique est étrangère à la conception d'Euclide, même sielle peut éclairer à nos yeux la démarche suivie.• Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition (prop.1 à 3). Elle s'énonce géométriquement par le fait

que des rectangles de même hauteur disposés côte à côte forment un rectangle dont l'aire est la somme des airesde ces rectangles. Algébriquement,

• Identités remarquables. La prop.4 énonce que, si la droite est coupée à volonté, le carré de la droite entière estégal aux carrés des segments, et à deux fois le rectangle contenu sous les deux segments. On reconnaît notreidentité remarquable , deux fois le rectangle contenu sous les deux segments

n'étant autre que le double produit. La prop.5 énonce que si une ligne droite est coupée en parties égales et enparties inégales, le rectangle sous les segments inégaux de la droite entière avec le carré de la droite placée entreles sections, est égal au carré de la moitié de la droite entière, ce qui s'interprète algébriquement par la relation

. Cette proposition est d'usage courant dans les Éléments et fait figure

d'identité fondamentale. Par exemple, c'est elle qui est utilisée dans la prop.III-35 introduisant la puissance d'unpoint par rapport à un cercle. Les prop.6 à 10 énoncent d'autres identités qui se ramènent aux précédentes.

• Problème du second degré. La prop.11 expose comment couper une droite donnée, de manière que le rectanglecompris sous la droite entière et l'un des segments soit égal au carré du segment restant. Algébriquement, celarevient à résoudre et relève d'un problème du second degré, question déjà fort connue desbabyloniens. Cette proposition servira à Euclide pour construire un pentagone régulier (prop.IV-11) ou pourcouper un segment en extrême et moyenne raison (prop.VI-30).

• Théorème d'Al-Kashi. Les prop.12 et 13 énoncent des résultats qu'on peut interpréter comme le théorèmed'Al-Kashi (ou théorème de Pythagore généralisé ou loi des cosinus).

• Construction de la moyenne géométrique. La prop.14 énonce comment construire un carré dont l'aire est égale àcelle d'un rectangle donné.

Livre II des Éléments d'Euclide 30

Bibliographie•• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Editions Albert

Blanchard (1993)• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac

Liens externesDocuments en ligne sur le site Gallica de la BNF• Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide [1] traduction de D. Henrion, 1632• Les éléments d'Euclide [2] traduction de F.Peyrard, 1804

Références[1] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k68013g. image. f86. pagination[2] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k110982q. image. r=les+ %C3%A9l%C3%A9ments+ d%27Euclide. f91. langFR. pagination

Livre III des Éléments d'EuclideLe livre III des Éléments d'Euclide traite des propriétés du cercle (tangentes au cercle, angles inscrits et angles aucentre, puissance d'un point par rapport à un cercle).Il comporte :•• 11 définitions•• 37 propositions

Les définitionsDans le préambule du livre III, on définit :• La tangente à un cercle. Une droite est tangente à un cercle si elle le touche sans le couper.•• Les cercles tangents. Deux cercles sont tangents s'ils se touchent sans se couper une seul fois.•• Le segment de cercle. Il s'agit du domaine limité par une droite sécante à un cercle et ce cercle.•• Le secteur de cercle. Il s'agit du domaine limité par deux rayons et la portion de circonférence qu'ils définissent.

Les propositionsCes propositions traitent des points suivants :•• Constructions diverses. La prop.1 décrit comment construire le centre d'un cercle. Diverses propriétés relatives au

centre sont également énoncées dans les prop.5 à 9. Par exemple, si dans un cercle, l'on prend un pointquelconque, et si plus de deux droites menées de ce point à la circonférence sont égales entre elles, le point qu'onaura pris sera le centre du cercle. La prop.30 décrit comment trouver le milieu d'un arc de cercle.

• Propriété des cordes. Diverses propriétés sont énoncées, par exemple, une droite coupant une corde estperpendiculaire à celle-ci si et seulement si elle la coupe en deux segments de même longueur (prop.3). Lescordes de même longueur sont également éloignées du centre et réciproquement, la corde la plus grande étant lediamètre, et la longueur diminuant au fur et à mesure qu'on s'éloigne du centre (prop.14 et 15).

•• Position relative de deux cercles. Un cercle ne coupe pas un autre cercle en plus de deux points (prop.10). Deuxcercles étant tangents, leurs centres sont alignés avec le point de tangence (prop.11 et 12). Un cercle tangent à unautre cercle n'a qu'un point commun avec lui (prop.13).

Livre III des Éléments d'Euclide 31

• Propriété des tangentes au cercle. Il s'agit d'une droite perpendiculaire au diamètre passant par une extrémité de cedernier (prop.16, 18, 19). Dans cette proposition, Euclide conçoit l'angle entre la tangente et le cercle comme unangle curviligne, plus petit que n'importe quel angle rectiligne. La prop.17 permet de construire la tangente à uncercle passant par un point donné.

• Angles au centre et angles inscrits. La prop.20 prouve que l'angle au centre est le double de l'angle inscritcorrespondant. La prop.21, généralisée dans les prop.26 à 29, prouve que des angles inscrits interceptant le mêmearc sont égaux et réciproquement. La prop.22 prouve que les angles opposés d'un quadrilatère inscrit dans uncercle sont égaux à deux droits.

•• Propriété des segments de cercle. Les prop.23 à 25 traitent des segments de cercle. Par exemple, un segment étantdonné, la prop.25 décrit le cercle dont il est le segment. Les prop.33 et 34 donnent des constructions relatives auxsegments de cercle.

•• Triangle rectangle inscrit dans un cercle. La prop.31 prouve qu'un triangle ayant un côté égal au diamètre estrectangle.

• Puissance d'un point par rapport à un cercle. Elle est introduite par les prop.35 à 37, la prop.35 étant énoncéecomme suit : si, dans un cercle, deux droites se coupent mutuellement, le rectangle compris sous les segments del'une est égal au rectangle compris sous les segments de l'autre.

Bibliographie•• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert

Blanchard (1993)• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac

Liens externesDocuments en ligne sur le site Gallica de la BNF• Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide [1] traduction de D. Henrion, 1632• Les éléments d'Euclide [2] traduction de F.Peyrard, 1804

Références[1] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k68013g. image. f111. pagination[2] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k110982q. image. r=les+ %C3%A9l%C3%A9ments+ d%27Euclide. f124. langFR. pagination

Livre IV des Éléments d'Euclide 32

Livre IV des Éléments d'EuclideLe livre IV des Éléments d'Euclide traite des figures inscrites ou circonscrites, et en particulier des polygonesréguliers inscrits dans un cercle.Il comporte :•• 7 définitions•• 16 propositions

Les définitionsLes déf.1 et 2 définissent ce qu'est un polygone inscrit dans un autre polygone ou circonscrit à un polygone. Lesdéf.3 et 4 définissent ce qu'est un polygone inscrit dans un cercle ou circonscrit à un cercle. Les déf.5 et 6 définissentce qu'est un cercle inscrit dans un polygone ou circonscrit à ce polygone. La déf.7 définit ce qu'est une droiteadaptée à un cercle, qui n'est autre qu'une corde.

Les propositionsElles consistent en des constructions de polygones réguliers ayant de plus en plus de côtés, passant de la constructiondu triangle ou du carré jusqu'à celle du pentagone, de l'hexagone et du quindécagone.•• Construction d'une corde de longueur donnée dans un cercle (prop.1)• Construction d'un triangle semblable à un triangle donné, inscrit dans un cercle donné (prop.2) ou circonscrit à ce

cercle (prop.3). Ou inversement, inscrire ou circonscire un cercle à un triangle (prop.4 et 5).• Construction d'un carré inscrit dans un cercle donné, ou circonscrit à ce cercle (prop.6 et 7). Ou inversement,

inscrire ou circonscrire un cercle à un carré (prop.8 et 9).• Construction d'un triangle isocèle dont chacun des angles de la base est double de l'angle restant (prop.10). Pour

cela, on coupe un segment en extrême et moyenne raison, ce qui, de nos jours, s'interprète par l'utilisation dunombre d'or. Cette construction est fondamentale pour construire le pentagone régulier inscrit dans un cercledonné (prop.11) ou circonscrit à ce cercle (prop.12), ou inversement, pour inscrire ou circonscrire un cercle à unpentagone régulier (prop.13 et 14). Le pentagone lui-même sera utilisé pour la construction, dans le livre XIII, del'icosaèdre et du dodécaèdre.

• Construire un hexagone régulier inscrit dans un cercle donné (prop.15). Le côté a une longueur égale au rayon.• Construire un pentadécagone (ou quindécagone) régulier inscrit dans un cercle donné (prop.16). On utilise pour

cela le découpage d'un arc résultant de l'inscription d'un triangle équilatéral et d'un pentagone.

Bibliographie•• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert

Blanchard (1993)• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac

Liens externesDocuments en ligne sur le site Gallica de la BNF• Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide [1] traduction de D. Henrion, 1632• Les éléments d'Euclide [2] traduction de F.Peyrard, 1804

Livre IV des Éléments d'Euclide 33

Références[1] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k68013g. image. f157. pagination[2] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k110982q. image. r=les+ %C3%A9l%C3%A9ments+ d%27Euclide. f195. langFR. pagination

Livre V des Éléments d'EuclideLe livre V des Éléments d'Euclide est attribué à Eudoxe de Cnide. Il est remarquable par son abstraction et lapuissance des outils qu'il développe. Il permet de traiter les rapports de quantités irrationnelles, en se ramenant à descomparaisons de rapports de quantités rationnelles. Il permettra par exemple dans le livre VI de comparer les aires defigures, alors même que ces figures ne possèdent pas de côtés comparables rationnellement. Par certains aspects, ilévoque la définition des nombres réels que Dedekind donnera 2000 ans plus tard, au moyen de coupures derationnels.Il comporte :•• 20 définitions•• 25 propositions

Les définitionsLe livre V permet de comparer deux grandeurs de même nature entre elles (deux longueurs, deux aires planes, ...).En aucun cas, il n'est permis de faire le rapport de deux grandeurs de nature différente (une longueur divisée par uneaire). La déf.3 définit ce qu'est la raison de deux telles grandeurs : une raison est une certaine manière d'être de deuxgrandeurs homogènes entre elles, suivant la quantité. Sous forme algébrique moderne, nous aurions tendance à voirune raison comme le nombre réel égal au quotient des deux grandeurs, mais c'est ici une vision totalementanachronique. Au temps d'Euclide, la raison n'est pas conçue comme un nombre, mais comme une certaine relationpermettant de comparer deux grandeurs. Là où nous dirions , un exemple typique de formulation chezEuclide consiste à dire : le carré de a est au carré de b ce que 5 est à 1. D'où la déf.4 : une proportion est une identitéde raisons. On trouve de telles formulations jusqu'au XVIIe ou XVIIIe siècle. Ainsi Pascal écrit-il, dans son Traitésur la pesanteur de l'air : « J'ai supposé que le diamètre est à la circonférence, comme 7 à 22 ».Pour définir la raison entre deux grandeurs, elles doivent pouvoir se surpasser l'une l'autre, autrement dit, on supposeque l'axiome d'Archimède s'applique à elles (déf.5).On compare alors les raisons entre elles de la façon suivante (déf.6) : des grandeurs sont dites être en même raison, lapremière à la seconde, et la troisième à la quatrième, lorsque des équimultiples quelconques de la première et de latroisième, et d'autres équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième sont tels que les premierséquimultiples surpassent, chacun à chacun, les seconds équimultiples, ou leur sont égaux à la fois, ou plus petits à lafois. Ainsi, soit la raison a/b à comparer à la raison c/d. n et m étant des entiers quelconques, on dira que les deuxraisons sont les mêmes si na > mb équivaut à nc > md. Nous dirions aujourd'hui que a/b = c/d si et seulement si,pour tout rationnel m/n, a/b > m/n équivaut à c/d > m/n. Mais Euclide parvient à un type de comparaison analogue,sans faire appel à des notions numériques, qui n'existent pas à l'époque.De même, Euclide dit (déf.8) que la raison a/b est plus grande que la raison c/d s'il existe deux entiers n et m tels quena > mb, alors que nc < md. Nous dirions que a/b > m/n > c/d, mais là aussi, cette vision moderne est anachronique.Les dernières définitions sont relatives à des manipulations sur les raisons (raison alterne (déf.14), raison inverse(déf.15), etc...)

Livre V des Éléments d'Euclide 34

Les propositionsBien que les raisonnements d'Euclide soient purement géométriques, nous aurons recours à des notations algébriquespermettant d'abréger les formulations des énoncés. Les lettres a, b, c... désigneront des grandeurs, les lettres n, m desentiers. Rappelons que cette notation algébrique n'est qu'un accommodement que nous adoptons et qui n'est pasutilisé par Euclide. Les propositions traitent des questions suivantes :• distributivité du produit par rapport à la somme. La prop.1 énonce essentiellement que

. On peut l'interpréter comme une règle de distributivité duproduit par rapport à la somme, à rapprocher de la même règle de la prop.1 du Livre II des Éléments d'Euclide,mais les règles sont de nature différente, bien qu'algébriquement semblables. Dans le livre II, le produit se traduitsous forme d'aire de rectangles, autrement dit, on ne traite que les longueurs, alors qu'ici, il s'agit de multiplesentiers de grandeurs quelconques (longueurs, aires, volumes...). La prop.2 traite le cas d'une somme d'entiersmultipliée par des grandeurs. Les prop.5 et 6 énoncent des résultats comparables en ce qui concerne la différence.La prop.3 énonce essentiellement que m(na) = (mn)a.

• Propriétés de l'égalité des raisons. Un certain nombre de règles relatives à la comparaison des raisons sontprouvées : si a/b est la même raison que c/d, alors pour tout entier n et m, na/mb a même raison que nc/md (prop.4et 15). a/b a même raison que c/b si et seulement si a = c, et de même, a/b = a/c si et seulement si b = c (prop.7,9). Si a est supérieur à b, alors a/c est plus grande que b/c (prop.8 et 10) et réciproquement, ce que nous pourrionsappeler, compatibilité de l'inégalité des raisons avec l'inégalité des grandeurs. Les prop.11, 13, 14, 20, 21, 22, 23énoncent diverses propriétés de transitivité relatives à l'égalité ou l'inégalité des raisons. La prop.12 énonce que, si

, , ..., sont des raisons égales, alors cette raison est égale à la raison de ,

des variantes étant données par la prop.24.• Manipulation sur les raisons. Si a/b = c/d, alors a/c = b/c (prop.16). Si a/b = c/d, alors (a-b)/b = (c-d)/d (prop.17)

et de même avec une somme (prop.18 et 19). Si a/b = c/d, avec a la plus grande des grandeurs, et d la plus petite,alors a+d est plus grand que b+c (prop.25).

Bibliographie•• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert

Blanchard (1993)• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac

Lien externeDocument en ligne sur le site Gallica de la BNF• Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide [1] traduction de D. Henrion, 1632

Références[1] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k68013g. image. f171. pagination

Livre VI des Éléments d'Euclide 35

Livre VI des Éléments d'EuclideLe livre VI des Éléments d'Euclide porte sur les figures semblables, le théorème de Thalès, la comparaison desangles au centre d'un cercle avec leurs arcs. Il utilise la théorie des proportions développée dans le Livre V.Il comporte :•• 4 définitions•• 33 propositions

Les définitionsOn y définit ce que sont deux figures semblables (déf.1 et 2). Le nombre d'or est implicitement contenu dans la déf.3: une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison lorsque la droite entière est au plus grand segment commele plus grand segment est au plus petit. Une telle division a déjà été utilisée dans la prop.10 du Livre iv relative à laconstruction du pentagone régulier. Enfin, la déf.4 définit la hauteur d'une figure comme étant la perpendiculairemenée du sommet à la base.

Les propositionsLes propositions abordent les sujets suivants :• Aire du triangle et du parallélogramme. La prop.1 énonce que les triangles et les parallélogrammes qui ont la

même hauteur sont entre eux comme leur base. Nous dirions aujourd'hui que leur aire est proportionnelle à leurbase. Pour prouver cette proposition, Euclide s'appuie d'une part sur la prop.38 du Livre I qui énonce que deuxtriangles de même hauteur et même base ont même aire, d'autre part sur la théorie des proportions développéesdans le Livre V. Pour montrer la proportionnalité des aires de deux triangles, il va montrer que, le triangle A ayantpour base a, et le triangle B ayant pour base b, le triangle ayant pour base na a une aire supérieure au triangleayant une base mb si et seulement si na est supérieur à mb, et ceci pour tout entier n et m. Cela prouve que l'airede A est à l'aire de B comme a est à b. Ce type de démonstration est couramment utilisé dans la suite du livre.L'aire du parallélogramme étant double de celui du triangle, propriété prouvée dans la prop.41 du Livre I, on endéduit que l'aire du parallélogramme est proportionnelle à sa base. Ce théorème permet d'égaler l'aire duparallélogramme avec l'aire du rectangle de même base et de même hauteur, et l'aire du triangle avec la moitié del'aire du rectangle de même base et de même hauteur. La prop.23 prouve que les parallélogrammes équiangles ontentre eux une raison composée des côtés, ce qui peut s'interpréter à nos yeux par le fait que l'aire d'unparallélogramme est proportionnelle au produit des longueurs des côtés.

• Le théorème de Thalès. Celui-ci est prouvé dans la prop.2. Sa démonstration repose sur une comparaison d'airedes triangles, basée sur la prop.1. D'autres propriétés relatives à la proportionnalité de segments dans un triangleou un parallélogramme sont énoncées dans les prop.3, 14, 15. La prop.16 et 17 prouve la règle selon laquelle leproduit des extrêmes est égal au produit des moyens.

• Similitude des triangles et des polygones. Les prop.6 et 7 prouvent l'équivalence dans un triangle entre avoir desangles égaux et avoir des côtés proportionnels. La prop.8 énonce une propriété de similitude dans le trianglerectangle, une hauteur étant abaissée. Les prop.19 et 20 prouvent que l'aire de triangles ou de polygonessemblables est proportionnelle au carré d'un de leur côté. La prop.21 prouve la propriété de transitivité du faitd'être semblable. Diverses propriétés de similitude dans le parallélogramme sont énoncées dans les prop.24, 26,27. La prop.32 prouve la similitude de deux triangles ayant deux de leurs côtés proportionnels, l'angle contenu parces deux côtés étant égal.

• Constructions diverses. La prop.9 et 10 décrivent des constructions relatives à la division d'un segment de droite en parties données, ou selon une proportion donnée. La prop.11 à 13 traitent de la question de construire un

Livre VI des Éléments d'Euclide 36

segment intervenant dans une relation de proportionnalité, ce qui permet en particulier de construire une moyennegéométrique, généralisant la prop.14 du Livre II. Les prop.18 et 25 décrivent comment construire une figuresemblable à une autre. Les prop.28 et 29 donnent la construction de parallélogrammes devant respecter certainescontraintes.

• Le théorème de Pythagore. La prop.31 énonce une généralisation du théorème de Pythagore déjà démontré dans leLivre I, en ne se limitant pas à des carrés construits sur les côtés du triangle rectangle, mais en considérant desfigures semblables quelconques.

•• Angles et arcs dans un cercle. La prop.33 prouve la proportionnalité des angles au centre avec l'arc qu'ilsdélimitent.

Bibliographie•• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert

Blanchard (1993)• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac

Liens externesDocuments en ligne sur le site Gallica de la BNF• Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide [1] traduction de D. Henrion, 1632• Les Éléments d'Euclide [2] traduction de F.Peyrard, 1804

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Livre VII des Éléments d'Euclide 37

Livre VII des Éléments d'EuclideLe Livre VII des Éléments d'Euclide est le premier des livres d'Euclide à traiter à proprement parler d'arithmétique.On y définit en particulier les nombres premiers et les nombres premiers entre eux, le PGCD et le PPCM.Il comporte :•• 25 définitions•• 41 propositions

Les définitionsLes définitions données introduisent la notion d'unité, de diviseur et de multiple, de nombre pair ou impair, denombre premier et de nombres premiers entre eux. Apparaît également la notion de nombre parfait.En voici quelques-unes :• Définition 1, l'unité est selon quoi chacune des choses existantes est dite une.• Définition 2, un nombre est un assemblage composé d'unités• Définition 3, un nombre est une partie d'un nombre, le plus petit du plus grand, lorsque le plus petit mesure le plus

grand. Être partie signifie ici être diviseur.• Définition 5, un nombre est multiple d'un nombre, le plus grand du plus petit, quand il est mesuré par le plus petit.• Définition 6, le nombre pair est celui qui peut être divisé en deux parties égales.• Définition 7, le nombre impair est celui qui ne peut pas se partager en deux parties égales, ou bien celui qui

diffère d'une unité du nombre pair.• Définition 12, le nombre premier est celui qui est mesuré par l'unité seule.• Définition 13, les nombres premiers entre eux sont ceux qui ont l'unité seule pour mesure commune.• Définition 16, un nombre est dit multiplier un nombre, lorsque le multiplié est ajouté autant de fois qu'il y a

d'unités dans celui qui le multiplie, et qu'un nombre est produit.• Définition 17, lorsque deux nombres se multipliant font un nombre, celui qui est produit se nomme plan ; et les

nombres qui se multiplient se nomment les côtés de ce produit.• Définition 18, lorsque trois nombres se multipliant entre eux font un nombre, celui qui est produit est appelé

solide ; et les nombres qui se multiplient se nomment les côtés du produit.• Définition 19, le nombre carré est […] celui qui est contenu entre deux nombres égaux.• Définition 20, le nombre cube est […] celui qui est contenu sous trois nombres égaux.• Définition 23, le nombre parfait est celui qui est égal à ses parties.On notera la vision géométrique relative au produit de deux ou trois nombres, mais qui peut se révéler un obstaclepour concevoir le produit de quatre nombres ou plus. Il est possible que ce facteur ait joué dans le fait que les Grecsn'ont pas démontré explicitement le théorème fondamental de l'arithmétique, relatif à l'existence et l'unicité de ladécomposition d'un nombre en facteurs premiers, même s'ils en sont proches. Cette vision géométrique apparaîtégalement dans le nom attribué aux nombres carrés et cubes.

Livre VII des Éléments d'Euclide 38

Les propositionsLes propositions abordent les points suivants. Des notations algébriques modernes seront parfois utilisées pourrendre les énoncés plus lisibles :• Algorithme d'Euclide. L'algorithme est exposé dès la prop.1 et donne un critère permettant de savoir si deux

nombres sont premiers entre eux. Il est appliqué dans la prop.2 pour déterminer le PGCD de deux nombres. Àcette occasion, il est prouvé que, si un nombre en divise deux autres, alors il divise leur PGCD. La prop.3généralise le procédé à plus de deux nombres.

• Propriétés de la proportionnalité. Les prop.5 à 22 énoncent des propriétés de la proportionnalité. Par exemple, lesprop.5 et 6 énoncent que, si a/b est égal à c/d, alors c'est aussi égal à (a+c)/(b+d). La notation anachroniqueutilisée ici a/b désigne non pas un nombre rationnel, mais une relation entre deux entiers. Il faut comprendre parexemple que 6 est à 4 comme 9 est à 6 et comme 15 est à 10. On dispose également des règles selon laquelle sia/b = c/d, alors a/c = b/d (prop.9 et 10). a/b a même raison que am/bm (prop.18). a/b = c/d si et seulement si ad =bc (prop.19).

• Propriété fondamentale de l'arithmétique d'Euclide. Euclide ne prouve pas le théorème de Gauss, selon lequel, si cdivise ab et si c est premier avec a, alors c divise b, ce qui est un obstacle à certaines questions arithmétiques (enparticulier la preuve de l'unicité du développement en facteurs premiers). À défaut, la propriété qui va jouer unrôle essentiel dans l'arithmétique d'Euclide est donnée par la prop.21, complétée par la prop.23 et la prop.24 : ensubstance, ces propositions énoncent que si a/b = c/d avec a et b les plus petits possible, alors a divise c et bdivise d. En outre les a et b les plus petits possible sont obtenus lorsqu'ils sont premiers entre eux. Il faut éviter devoir cette proposition comme le fait moderne de réduire la fraction c/d sous forme irréductible, car rappelons quec/d est vue comme une relation entre entiers et non comme un nombre rationnel. Par ailleurs, Euclide prouve cetteproposition en se basant sur la définition qu'il donne de la proportion qu'on peut interpréter algébriquementcomme suit : a/b = c/d si et seulement s'il existe des entiers n, p, x et y tels que a = nx, b = ny, c = px, d = py. Orcette définition utilise implicitement le théorème de Gauss, en particulier lorsqu'il s'agit d'utiliser la transitivité del'égalité des raisons.

• Propriétés des nombres premiers entre eux. Il est prouvé que, si c divise a et a premier avec b, alors c est premieravec b (prop.25). Si a et b sont premiers avec c, alors ab est premier avec c (prop. 26). Si deux nombres sontpremiers entre eux, le carré du premier est premier avec le carré du second (prop.27), le cas d'une puissancequelconque étant traitée dans la prop.29. Si a et b sont premiers avec c et d', alors ab est premier avec cd(prop.28). Si a est premier avec b, alors a+b est premier avec a et avec b, et réciproquement (prop.30).

• Propriétés des nombres premiers. Tout nombre premier p est premier avec tout nombre a qu'il ne divise pas(prop.31). Si p est premier et divise ab alors p divise a ou p divise b (prop. 32). Pour tout entier a, il existe ppremier qui le divise (prop. 33 et 34).

• Propriétés du PPCM : Le PPCM est introduit, avec le fait que le produit du PGCD par le PPCM est le produit desdeux nombres (prop.36), et la preuve qu'un multiple commun de deux entiers est un multiple du PPCM (prop.37).

Livre VII des Éléments d'Euclide 39

Bibliographie•• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert

Blanchard (1993)• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac

Lien externeDocument en ligne sur le site Gallica de la BNF• Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide [1] traduction de D. Henrion, 1632

Références[1] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k68013g. image. f251. pagination

Livre VIII des Éléments d'EuclideLe Livre VIII des Éléments d'Euclide poursuit l'étude de la proportionnalité débutée dans le Livre VII. On peutl'interpréter comme une étude des suites géométriques d'entiers.Il comporte 27 propositions.

Les propositionsOn donne ci-dessous quelques exemples de propositions :• Propriétés des suites géométriques. La prop.1 énonce que, dans une suite géométrique finie d'entiers, si les

extrêmes sont premiers entre eux, alors les termes de la suite sont les plus petits pouvant former une suitegéométrique de même raison. La prop.2 explique comment construire une telle suite. La prop.3 expose uneréciproque. Si dans une suite géométrique, le premier terme ne divise pas le second, aucun terme ne divisera unautre terme (prop.6). Si le premier terme divise le dernier, il divise le second (prop.7).

•• Propriétés de la proportionnalité et de la divisibilité. Le Livre approfondit les notions relatives à laproportionnalité d'entiers. La prop.5 énonce que les nombres plans sont en raison composée des côtés. un carrédivise un carré si et seulement si le côté du premier carré divise le côté du second (prop.14 et 16). De même pourun cube (prop.15 et 17). Dans une suite géométrique de trois termes, si le premier est un carré, le troisième aussi(prop.22). Dans une suite géométrique de quatre termes, si le premier est un cube, le quatrième aussi (prop.23).

• Propriétés des moyennes proportionnelles. Si a et b sont deux carrés, il est possible de trouver un nombre c tel quea est à c comme c est à b (prop.11). La prop.18 et 20 généralise cette propriété à deux nombres plans semblables.Si ce sont deux cubes, on trouvera deux nombres c et d tels que a est à c, comme c à d et comme d à b (prop.12).La prop.19 et 21 généralise cette propriété à deux nombres solides semblables. Si la question est résolue pour descubes d'entiers, la recherche analogue de deux moyennes proportionnelles entre deux segments, l'un étant ledouble de l'autre, donne lieu au problème du duplication du cube, qui se révèlera impossible à résoudre à la règleet au compas.

Livre VIII des Éléments d'Euclide 40

Bibliographie•• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert

Blanchard (1993)• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac

Lien externeDocument en ligne sur le site Gallica de la BNF• Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide [1] traduction de D. Henrion, 1632

Références[1] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k68013g. image. f307. pagination

Livre IX des Éléments d'EuclideLe Livre IX des Éléments d'Euclide poursuit l'étude de l'arithmétique, commencée dans les livres VII et VIII. On yprouve plusieurs théorèmes majeurs : l'infinité des nombres premiers, la somme des termes d'une suite géométriqueet la forme des nombres parfaits pairs.Il comporte 36 propositions.

Les propositionsElles concernent :• Propriétés des nombres carrés et cubes. Deux nombres plans semblables ont pour produit un carré (prop.1) et

réciproquement (prop.2). Le carré d'un cube est un cube (prop.3). Le produit de deux cubes est un cube (prop.4 à6). Dans une suite géométrique d'entiers débutant par l'unité, les termes de rang 2n+1 sont des carrés, les termesde rang 3n+1 sont des cubes. Les termes de rang 6n+1 un carré et un cube simultanément (prop.8). Si le secondterme est un carré, tous les termes sont des carrés. Si le second terme est un cube, tous les termes sont des cubes(prop.9 et 10).

• Propriétés des suites géométriques. On poursuit l'étude des suites géométriques d'entiers, commencée dans leLivre VIII. Si une suite géométrique débute par l'unité, alors un nombre premier divisant le dernier terme diviseaussi le second (prop.12). Si le second terme est un nombre premier, aucun autre nombre premier ne divisera leplus grand (prop.13). Si une suite géométrique est constituée de trois termes premiers entre eux, la somme dedeux termes est première avec le troisième (prop.15). La prop.35 donne l'expression de la somme des termesd'une suite géométrique : si tant de nombres qu'on voudra sont successivement proportionnels, et si du second etdu dernier terme on retranche un nombre égal au premier, l'excès du second sera au premier comme l'excès dudernier est à la somme de tous ceux qui sont avant lui.

• Propriété des nombres premiers. La prop.20 est l'une des plus connues. Elle énonce que les nombres premiers sonten plus grande quantité que toute quantité proposée de nombres premiers, autrement dit, ils sont en quantitéinfinie. La démonstration consiste à prendre des nombres premiers en quantité donnée, a, b, c, ..., et à ajouter 1 àleur PPCM. Euclide montre alors que tout diviseur premier (ou lui-même s'il est premier) est un nouveau nombrepremier.

• Propriétés de parité des entiers. Les prop.21 à 34 énoncent un certain nombre de propriétés sur la parité desentiers, par exemple, la somme d'un nombre pair d'entiers impairs est paire (prop.22), le produit d'un impair parun impair est impair (prop.29).

Livre IX des Éléments d'Euclide 41

• Forme des nombres parfaits pairs. Le livre se termine par la prop.36, qui donne la forme des nombres parfaitspairs : si, à partir de l'unité, tant de nombres qu'on voudra sont successivement proportionnels en raison double,jusqu'à ce que leur somme soit un nombre premier, et si cette somme multipliée par le dernier nombre fait unnombre, le produit sera un nombre parfait. Ainsi, 1 + 2 = 3 et 3 × 2 = 6 qui est parfait. Ou bien 1 + 2 + 4 = 7 et 7× 4 = 28 qui est parfait. La condition donnée par Euclide est seulement suffisante pour obtenir un nombre parfaitpair, et c'est Euler qui prouvera qu'elle est nécessaire.

Bibliographie• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris, 1819, nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert

Blanchard, 1993• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac

Lien externeLes quinze livres des éléments géométriques d'Euclide [1], traduction de D. Henrion, 1632, sur le site Gallica de laBNF

Références[1] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k68013g. image. f328. pagination

Livre X des Éléments d'EuclideLe livre X des Éléments d'Euclide est le plus volumineux des treize livres constituant les Éléments. Il a pour objetune classification des grandeurs irrationnelles en fonction de la complexité avec laquelle elles ont été formées. Lesopérations utilisées sont la somme, la différence et l'usage de la moyenne géométrique entre deux autres grandeurs,autrement dit de la racine carrée.Il comporte :•• 11 définitions•• 117 propositions

Les définitionsLes deux premières définitions opposent les notions commensurables/incommensurables. La déf.1 énonce qu'onappelle grandeurs commensurables celles qui sont mesurées par la même mesure. Autrement dit, a et b sontcommensurables s'il existe une grandeur c appelée commune mesure telle que a et b soient des multiples entiers de c.Si les grandeurs sont des droites, on dit aussi qu'elles sont commensurables en longueur. Le traitement de tellesgrandeurs n'est guère différent de celui des nombres entiers, développé dans le Livre VII. Un exemple de grandeursincommensurables est donné par la diagonale et le côté d'un carré. Nous dirions aujourd'hui que est irrationnel.Cependant, le carré construit sur ladite diagonale est double du carré construit sur ledit côté ; ces deux carrés sontdonc commensurables. D'où les déf.3 et 4 qui opposent les notions commensurables en puissance/incommensurableen puissance. La déf.3 énonce que les lignes droites sont commensurables en puissance lorsque leurs carrés sontmesurés par une même surface. Un exemple de grandeurs incommensurables en puissance est donné par le côté dupentagone régulier et le rayon du cercle circonscrit à ce pentagone. Si ce rayon a pour longueur 1, le côté de ce

pentagone a une longueur égale à et nous dirions aujourd'hui que ce nombre a un carré irrationnel.

Livre X des Éléments d'Euclide 42

Les droites commensurables en longueur ou en puissance avec une droite de référence donnée sont qualifiées derationnelles (déf.6) dans les traductions latines du grec ou la traduction française de Peyrard utilisée ici. Le choix dece terme est malheureux puisque rationnel au sens présent signifie non pas nécessairement que la droite a unelongueur élément de si la longueur de la droite de référence est prise comme unité, mais que son carré estélément de . Dans cet article, nous utiliserons donc plutôt le terme exprimable, proposé dans la traduction desÉléments par Bernard Vitrac, pour désigner une droite commensurable en longueur ou en puissance avec la droite deréférence, gardant le terme irrationnelle pour les droites incommensurables en longueur et en puissance (déf.7 et 11).En ce qui concerne les surfaces, celles qui sont commensurables avec le carré de la droite de référence serontappelées rationnelles (déf.8 et 9), et irrationnelles celles qui sont incommensurables (déf.10).

Les propositionsAfin de rendre les notions plus compréhensibles, il nous arrivera d'adopter des notations algébriques modernes, quibien entendu, ne sont absolument pas du fait d'Euclide. Les propositions abordent les sujets suivants :• Une application de l'axiome d'Archimède. La prop.1 énonce que deux grandeurs inégales étant proposées, si l'on

retranche de la plus grande une partie plus grande que sa moitié, si l'on retranche du reste une partie plus grandeque sa moitié, et si l'on fait toujours la même chose, il restera une certaine grandeur qui sera plus petite que la pluspetite des grandeurs proposées. Cette propriété est utilisée dans le Livre XII pour comparer des aires ou desvolumes par la méthode d'exhaustion, et est également largement utilisée par Archimède dans ses travaux.

• Caractérisation de l'incommensurabilité et algorithme d'Euclide. La prop.2 énonce que, deux grandeurs inégalesétant proposées, et si la plus petite étant toujours retranchée de la plus grande, le reste ne mesure jamais le resteprécédent, ces grandeurs seront incommensurables. Cette proposition caractérise les grandeurs incommensurablespar le fait qu'une application de l'algorithme d'Euclide à ces grandeurs ne se termine pas. A contratio, si lesgrandeurs sont commensurables, le même algorithme se termine et donne la mesure commune (prop.3). On peutitérer pour trouver la mesure commune de trois grandeurs (prop.4).

• Propriétés de la commensurabilité. Les prop.5 à 9 établissent la relation entre raison de grandeurscommensurables et raison entre entiers. Les prop.10, 15, 16, 17 explorent la compatibilité de la commensurabilitéau sein de diverses proportions, ou avec l'addition. la prop.11 explique comment construire des droitesincommensurables en longueur ou en puissance. Les prop.12 à 14 prouvent la transitivité de la relation decommensurabilité.

• Construction de diverses quantités. Les prop.18 à 21 s'intéressent à la commensurabilité d'un segment divisé endeux sous-segments. La prop.22 introduit une notion nouvelle, celle de grandeur médiale. Elle prouve que lerectangle dont les côtés sont des droites exprimables, commensurables en puissance seulement, est irrationnel, lecôté du carré d'aire égale à ce rectangle étant une grandeur qualifiée de médiale. Algébriquement, si on prendcomme unité la longueur de la droite de référence, les deux côtés auront des longueurs de la forme et , pétant entier, a étant de carré entier. La médiale est donc de la forme . La surface carrée dont le côté est unemédiale est irrationnelle, mais est également qualifiée de médiale. Les prop.23 à 29 donnent quelques propriétésde ces médiales. Les prop.30 à 36 expliquent comment construire des longueurs de tel ou tel type(commensurables en longueur, commensurables en puissance, médiales, irrationnelles ...) selon certainescontraintes.

• Classification de la somme de deux grandeurs. Euclide va ensuite classifier les droites sommes de deux droites exprimables, incommensurables en longueur, selon qu'elles seront commensurables en puissance ou non, selon que la somme de leurs carrés sera rationnelle ou non, et selon que le rectangle produit sera rationnel ou non. Dans les prop.37 à 42, il montre dans chacun de ces cas que les droites obtenues sont irrationnelles, et les classe selon six catégories appelées droite de deux noms, première de deux médiales, seconde de deux médiales, majeure, celle qui peut une rationnelle et une médiale, et celle qui peut deux médiales. Par exemple, la droite de deux noms est

Livre X des Éléments d'Euclide 43

la somme de deux droites exprimables commensurables en puissance seulement (prop.37). La majeure est lasomme de deux droites incommensurables en puissance, la somme de leurs carrés étant rationnelle et leur produitmédial (i.e carré d'une longueur médiale) (prop.40). Sous forme algébrique, en prenant la droite de référence

comme unité de mesure, est une droite de deux noms, et est une majeure. Les prop.43 à 48 prouvent l'unicité de la

décomposition. Six définitions apparaissent alors, distinguant six types de droites de deux noms. La première dedeux noms est par exemple est une droite de deux noms dont le carré du plus grand terme surpasse le carré duplus petit du carré d'une droite commensurable en longueur avec le plus grand terme, ce terme étant par ailleurscommensurable avec la droite de référence. Sous forme algébrique, est une première de deux noms. La quatrièmede deux noms est une droite de deux noms dont le carré du plus grand terme surpasse le carré du plus petit ducarré d'une droite incommensurable en longueur avec le plus grand terme, ce terme étant par ailleurscommensurable avec la droite de référence. est une quatrième de deux noms. Dans les prop.55 à 60, Euclide vaalors associer les six classes d'irrationnelles qu'il a définies avec les six types de droites de deux noms : il prouveque la racine carrée des six types de droites de deux noms correspondent respectivement aux six classesd'irrationnels. Réciproquement, dans les prop.61 à 66, il prouve que les carrés des six classes d'irrationnels sontles six types de droites de deux noms. Ainsi, la racine carrée de la première de deux noms est une droite de deux

noms : . Le carré d'une majeure est une quatrième de deux noms : .

• Classification de la différence de deux grandeurs. Dans les prop.74 à 103, Euclide procède de même avec ladifférence de deux grandeurs, en définissant six nouvelles classes d'irrationnels. Par exemple, la différencecorrespondant à la définition de la droite de deux noms, mais en prenant une différence à la place d'une somme,s'appelle apotome. est une apotome. Les apotomes sont elles-mêmes scindées en six types, et Euclideprouve que les racines carrées de ces six types d'apotome donnent les six classes de différences irrationnelles qu'ila définies, et réciproquement, les carrés de ces six classes donnent les six types d'apotome. Les prop.104 à 115donnent diverses propriétés et exemples de ce type d'irrationnels. Dans la prop.6 du Livre XIII, Euclide prouveque les deux segments divisant un segment de référence en extrême et moyenne raison sont des apotomes.

Algébriquement, il s'agit des nombres et .

• Irrationalité de . Cette irrationalité est prouvée dans la prop.117, mais cette proposition a pu être rajoutéeultérieurement aux travaux d'Euclide. En effet, il n'est pas évoqué l'irrationalité de qui serait davantageattendue dans ce contexte, d'autant plus que cette irrationalité est utilisée à plusieurs occasions dans les propriétésdu pentagone.

Bibliographie•• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert

Blanchard (1993)• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac

Lien externeDocument en ligne sur le site Gallica de la BNF• Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide [1] traduction de D. Henrion, 1632

Livre X des Éléments d'Euclide 44

Références[1] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k68013g. image. f414. pagination

Livre XI des Éléments d'EuclideLe livre XI des Éléments d'Euclide aborde la géométrie dans l'espace et traite longuement des parallélépipèdes.Il comporte :•• 19 définitions•• 40 propositions

Les définitionsDans le préambule de ce livre, on définit ce qu'est un solide. On introduit la notion de perpendicularité dans l'espace,d'angle entre une droite sécante à un plan ou entre deux plans, de parallélisme de deux plans, de similitude oud'isométrie entre deux figures, d'angle solide. On définit également les principaux solides : la pyramide, le prisme, lecône, le cylindre, le cube, le tétraèdre, l'octaèdre, le dodécaèdre, l'icosaèdre.Voici quelques exemples de définitions :• Définition 1, un solide est ce qui a longueur, largeur et profondeur.• Définition 2, un solide est terminé par une surface.• Définition 3, une droite est perpendiculaire à un plan, lorsqu'elle fait des angles droits avec toutes les droites qui la

rencontrent, et qui sont dans ce plan.• Définition 4, un plan est perpendiculaire à un plan, lorsque les perpendiculaires menées dans un des plans à leur

commune section, sont perpendiculaires à l'autre plan.• Définition 8, les plans parallèles sont ceux qui ne se rencontrent point.

Les propositionsLes propositions se répartissent comme suit :•• Propriétés des droites relatives aux plans. On montre que deux droites sécantes sont coplanaires (prop.2), que

deux plans sécants se coupent suivant une droite (prop.3)• Propriétés de la perpendicularité. La prop.4 énonce qu'une perpendiculaire à deux droites sécantes est également

perpendiculaire au plan contenant ces deux droites. La prop.5 énonce que trois droites sécantes perpendiculaires àune même droite en leur point commun sont coplanaires. Par un point donné d'un plan, il n'existe qu'uneperpendiculaire à ce plan (prop.13).

• Propriété du parallélisme. Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles (prop.6). Deux droitesparallèles sont coplanaires (prop.7). Si une droite est perpendiculaire à un plan, il en est de même de touteparallèle à celle-ci (prop.8). Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles (prop.14). Lessections de deux plans parallèles par un troisième plan sont parallèles (prop.16). Si une droite est perpendiculaireà un plan, tout plan contenant cette droite est perpendiculaire à ce plan (prop.18). Si deux plans sécants sontperpendiculaires à un plan, la section commune est également perpendiculaire à ce plan (prop.19).

• Propriété des angles solides. Tout angle solide est compris sous des angles plans qui sont plus petits que quatreangles droits (prop.21). Aujourd'hui, cette propriété est directement liée à l'aire de la sphère. La constructiond'angle solide est abordée dans la prop.26.

• Propriété des parallélépipèdes. La prop.25 énonce en substance que le volume d'un parallélépipède est proportionnel à sa hauteur, et la prop.32 qu'il est proportionnel à l'aire de sa base. La démonstration repose sur la théorie des proportions développée dans le Livre V. Les prop.29, 30 et 31 développent, étape par étape, le fait que

Livre XI des Éléments d'Euclide 45

les parallélépipèdes qui ont des bases égales et la même hauteur sont égaux entre eux. L'ensemble de cespropositions exprime le fait que le volume d'un parallélépipède est le produit de l'aire de sa base par la longueurde sa hauteur. Des variantes sont données par les propositions qui suivent. Le volume du prisme est évoqué dansla prop.40. Les volumes des solides plus complexes sont traités dans le Livre XII.

Bibliographie•• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert

Blanchard (1993)• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac

Liens externesDocuments en ligne sur le site Gallica• Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide [1] traduction de D. Henrion, 1632• Les Éléments d'Euclide [2] traduction de F.Peyrard, 1804

Références[1] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k68013g. image. f517. pagination[2] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k110982q. image. r=les+ %C3%A9l%C3%A9ments+ d%27Euclide. f301. langFR. pagination

Livre XII des Éléments d'EuclideLe livre XII des Éléments d'Euclide poursuit l'étude de la géométrie dans l'espace, amorcée dans le Livre XI. Iltraite des volumes de figures plus complexes que le parallélépipède, à savoir les pyramides, et les cônes, et en partiela sphère. Il utilise pour cela la méthode d'exhaustion, qui, pendant plusieurs siècles, sera la seule méthode utilisablepour déterminer des aires et des volumes avant l'invention du calcul intégral.Il comporte 18 propositions.

Les propositionsLes propositions se répartissent comme suit :• Propriété du disque. La prop.1 énonce que l'aire d'un polygone inscrit dans un cercle est proportionnelle au carré

du diamètre. Cette proposition sert aussi dans la prop.2 qui énonce que l'aire du disque est proportionnelle aucarré du diamètre. Pour cela, on procède par un double raisonnement par l'absurde en utilisant un disque deréférence et en supposant qu'un autre disque a une aire ou bien plus grande, ou bien plus petite que celle qui luiserait donnée par la simple proportionnalité au carré du diamètre. Dans chacun des cas, on aboutit à unecontradiction en approximant le disque d'aussi près que voulu par des polyèdres. C'est ce double raisonnement parl'absurde qui constitue le fondement de la méthode d'exhaustion. Par ailleurs, la preuve de l'approximation aussiprécise que souhaitée d'un disque par des polygones repose sur l'axiome d'Archimède, exposé dans la prop.1 duLivre X.

• Volume de la pyramide. Les prop.3 à 9 ont pour but de montrer que le volume d'une pyramide est le tiers de l'aire de la base par la hauteur. Il suffit par découpage de raisonner sur des pyramides à base triangulaire. Pour cela, la prop.3 procède à un découpage d'une telle pyramide en deux prismes et deux pyramides plus petites, le procédé étant itéré dans la prop.4, de façon à rendre le volume des petites pyramides négligeable et à se ramener à des volumes de prismes, étudiés dans la dernière proposition du Livre XI. On peut alors montrer, toujours avec la méthode d'exhaustion, que le volume de la pyramide est proportionnel à la hauteur (prop.5), à l'aire de la base

Livre XII des Éléments d'Euclide 46

(prop.6), et que trois pyramides de même volume donnent un prisme de même base et de même hauteur (prop.7).Le volume du prisme étant connu, il en est donc de même de celui de la pyramide.

Il est à noter que le calcul du volume de la pyramide repose sur la méthode par exhaustion, ancêtre du calcul intégralet on peut se demander si cette démarche est nécessaire. N'est-il pas possible de prouver cette propriété par un simpledécoupage fini, comme on le fait dans le plan pour déterminer l'aire d'un triangle ? Cette question fait l'objet dutroisième problème de Hilbert en 1900 et la réponse est négative. L'utilisation du calcul intégral est nécessaire pourdéterminer le volume de la pyramide.• Volume du cône. Dans les prop.10 à 15, Euclide poursuit une démarche comparable pour déterminer le volume du

cône à base circulaire. Pour cela, il approxime la base circulaire d'aussi près que souhaité par des polyèdres, selonla prop.1 déjà vue, et se ramène ainsi au volume de la pyramide.

• Volume de la sphère. Les prop.16 à 18 établissent seulement que le volume de la sphère est proportionnel au cubedu diamètre. Pour cela, on inscrit dans la sphère des pyramides de sommet le centre de la sphère de façon àapprocher son volume d'aussi près que possible. Cette démarche sera poursuivie par Archimède qui, après avoirpu déterminer que l'aire de la sphère est égale à quatre fois l'aire d'un disque de même rayon, pourra en déduirel'expression du volume.

Bibliographie•• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert

Blanchard (1993)• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac

Liens externesDocuments en ligne sur le site Gallica de la BNF• Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide [1] traduction de D. Henrion, 1632• Les Éléments d'Euclide [2] traduction de F.Peyrard, 1804

Références[1] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k68013g. image. f556. pagination[2] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k110982q. image. r=les+ %C3%A9l%C3%A9ments+ d%27Euclide. f391. langFR. pagination

Livre XIII des Éléments d'Euclide 47

Livre XIII des Éléments d'EuclideLe livre XIII des Éléments d'Euclide est consacré à la construction des polyèdres réguliers de Platon.Il comporte 18 propositions.

Les propositionsLes propositions abordent successivement la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et dudodécaèdre.• Préliminaires. Un certain nombre de préliminaires géométriques, mais que nous pouvons interpréter comme des

règles de calcul relatives au nombre d'or, sont exposés dans les prop.1 à 6. Les prop.7 à 11 développent lesconnaissances déjà rencontrées dans le Livre IV sur le pentagone. La prop.12 donne la longueur du côté d'untriangle équilatéral inscrit dans un cercle.

• Construction des polyèdres réguliers, inscrits dans une sphère de diamètre donné. Le cas du tétraèdre est traitédans la prop.13, celui de l'octaèdre dans la prop.14, celui du cube dans la prop.15, celui de l'icosaèdre dans laprop.16, et celui du dodécaèdre dans la prop.17. La prop.18 regroupe en une seule figure les côtés des différentspolyèdres. Une traduction algèbrique moderne s'appuyant sur les constructions géométriques d'Euclide permet de

donner leur longueur respective, le diamètre de la sphère servant d'unité : pour le côté du tétraèdre,

pour le côté de l'octaèdre, pour le côté du cube, pour le côté de l'isosaèdre, et pour le

côté du dodécaèdre. Au cours de la démonstration, Euclide prouve que les côtés de l'icosaèdre et du dodécaèdresont des grandeurs irrationnelles, appelée mineure et apotome, relevant d'un classement établi dans le Livre X.

Bibliographie•• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Éditions Albert

Blanchard (1993)• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac

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traduction de D. Henrion, 1632

Références[1] http:/ / gallica. bnf. fr/ ark:/ 12148/ bpt6k68013g. image. f583. pagination

Sources et contributeurs de l’article 48

Sources et contributeurs de l’articleGéométrie euclidienne  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=88573263  Contributeurs: (anonyme2), Alain r, Altor, Ambigraphe, Anarkman, Anne Bauval, Antoinetav, Archibald,Badmood, Bertol, Bilou, Bombastus, Buzy oli, Cdang, Cham, Clashman, Cédric Boissière, Dake, Dorylak, Dumontierc, Ektoplastor, Ellisllk, Encolpe, Erasmus.new, FR, Grondilu, Grum, HB,HERMAPHRODITE, Herr Satz, Jean de Parthenay, Jean-Christophe BENOIST, Jean-Luc W, Jef-Infojef, Jim2k, Jonathan1, Kilom691, Kolossus, LEMEN, Lac, Leag, Litlok, Mandelbrot,Mastergreg82, Maurege, Mikayé, Mirgolth, Orthogaffe, Oxo, Peps, Phe, Poulos, Proz, Pso, Richardbl, Rogilbert, Rominandreu, Roudoule, Ryo, Rémih, STyx, Salle, Sebletoulousain, Sherbrooke,Sisqi, Skygge, SniperMaské, Spooky, Symac, Thierrym, Tonymainaki, Touriste, Treehill, Utilisateur 65872, Valvino, Verdy p, Vlaam, Yelkrokoyade, Youssefsan, 44 modifications anonymes

Espace euclidien  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=88420362  Contributeurs: Aboumael, Aldoo, Alno, Ambigraphe, Anne Bauval, Ash Crow, Berichard, Claudius, Coyote du86, Croquant, Crouchineki, David Berardan, Deep silence, Dorylak, Dtcube, Ektoplastor, Flo, Gnu thomas, Gonioul, Greatpatton, HB, Hercule, Hémant, Ilic.ni, Ipipipourax, Jaimie Ann Handson,Jarfe, Jean-Luc W, JymD, Karl1263, Kokoklems, LEMEN, Lomita, Looxix, Nodulation, Orthogaffe, Oxyde, Padawane, Pdm, Peps, Phi-Gastrein, Randomblue, Salle, Sam Hocevar, Selenite,Theon, Thierry Dugnolle, Touriste, TouristeCatégorisant, Vivarés, Zorga, 41 modifications anonymes

Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=87570228  Contributeurs: (anonyme1), 2514, 2A01:E35:8AA6:D130:9975:D613:821D:2FCD, A2, Abracadabra, Alain r,Anne Bauval, Arct, Badmood, Baronnet, Bibi Saint-Pol, Caton, Cbigorgne, Cgolds, Coyote du 86, Crouchineki, Dgl, EDUCA33E, Ektoplastor, El Caro, Ellisllk, Elopash, Eristik, Fauste, Gz260,HB, Hornord, Ismaelronovsky, JLM, Jastrow, Jean-Luc W, Jef-Infojef, Juliencc, Koui², LEMEN, Laurentleap, Leszek Jańczuk, Linguiste, Lorinc, Loïse, Melindaoba, Numbo3, Orthogaffe, Oxo,Pdebart, Peps, Phe, Piero, Piku, Poulpy, Rémih, STyx, Sebleouf, Spooky, Stanlekub, Symac, Tatoute, Thbz, Theon, V1nz, Valvino, Verbex, VonTasha, Wissenz, Yelkrokoyade, 30 modificationsanonymes

Livre I des Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=83521569  Contributeurs: (anonyme1), Ektoplastor, El Caro, Elfix, Ellisllk, Fab97, Gene.arboit, Gzen92,Jastrow, KoS, Nataraja, Nefbor Udofix, Ollamh, Orthogaffe, Pdebart, Peps, Quark67, Scrabble, Theon, Valvino, Xfigpower, 5 modifications anonymes

Livre II des Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69268659  Contributeurs: (anonyme1), Ektoplastor, Ellisllk, Jean-Luc W, MicroCitron, Nataraja, Orthogaffe,Pdebart, Peps, QuoiNonne, Rhadamante, Theon, Valvino, Xfigpower, 1 modifications anonymes

Livre III des Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69268664  Contributeurs: Crouchineki, Pdebart, Phe, Thedreamstree, Theon, Valvino, 3 modificationsanonymes

Livre IV des Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=75504521  Contributeurs: Elfix, Pdebart, Theon, Valvino

Livre V des Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69268652  Contributeurs: LEMEN, Pdebart, Theon, Valvino

Livre VI des Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69268653  Contributeurs: Anne Bauval, Pdebart, Theon, Valvino

Livre VII des Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=74110198  Contributeurs: Chmoul, Gzen92, Pdebart, Theon, Valvino, 2 modifications anonymes

Livre VIII des Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69268674  Contributeurs: Pdebart, Theon, Valvino

Livre IX des Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=87199047  Contributeurs: Anne Bauval, Pdebart, Theon, Valvino

Livre X des Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69268668  Contributeurs: Pdebart, Theon, Valvino, 2 modifications anonymes

Livre XI des Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=76145480  Contributeurs: Nochnix2, Pdebart, Theon, Valvino

Livre XII des Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69268671  Contributeurs: Pdebart, Theon, Valvino

Livre XIII des Éléments d'Euclide  Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=80442740  Contributeurs: Anne Bauval, Pdebart, Theon, Valvino, 1 modifications anonymes

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