Republica Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educacin Superior Universidad Politcnica Territorial Del Estado Aragua Dr. Federico Brito Figueroa Maracay Edo. Aragua

Prof: Scarlet Rueda

Integrantes: Freviadby Palencia C.I 24.169.576 Emely Saavedra C.I 21.443.668 Katuiska Mirabal C.I 23.524.659 Giokryna Gonzalez C.I 22.292.962

Maracay, Abril 2011

Introduccin

En el siguiente trabajo de investigacin desarrollaremos el tema de algebra booleana. A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: "The Mathematical Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarroll la idea de que las proposiciones lgicas podan ser tratadas mediante herramientas matemticas. Las proposiciones lgicas (asertos, frases o predicados de la lgica clsica) son aquellas que nicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas nicas respuestas posibles sean S/No. Segn Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante smbolos y la teora que permite trabajar con estos smbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lgica Simblica desarrollada por l. Dicha lgica simblica cuenta con operaciones lgicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lgica Simblica se le denomina LGEBRA DE BOOLE.

El lgebra booleana es un sistema matemtico deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " " definido en ste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aqu se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el lgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados: Cerrado: El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo: Se dice que un operador binario es conmutativo si A B = B A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo: Se dice que un operador binario es asociativo si (A B) C = A (B C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Distributivo: Dos operadores binarios y % son distributivos si A (B % C) = (A B) % (A C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad: Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario si A I = A. Inverso:Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano si A I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A. Caractersticas: Un lgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes caractersticas: 1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parmetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x + y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una funcin monaria (de un solo parmetro) que representaremos por x'. 2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1) 3- Tiene las siguientes propiedades: Conmutativa respecto a la primera funcin: x + y = y + x Conmutativa respecto a la segunda funcin: xy = yx Asociativa respecto a la primera funcin: (x + y) + z = x + (y +z)

Asociativa respecto a la segunda funcin: (xy)z = x(yz) Distributiva respecto a la primera funcin: (x +y)z = xz + yz Distributiva respecto a la segunda funcin: (xy) + z = (x + z)( y + z) Identidad respecto a la primera funcin: x + 0 = x Identidad respecto a la segunda funcin: x1 = x Complemento respecto a la primera funcin: x + x' = 1 Complemento respecto a la segunda funcin: xx' = 0

Propiedades Del lgebra De Boole 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Idempotente respecto a la primera funcin: x + x = x Idempotente respecto a la segunda funcin: xx = x Maximalidad del 1: x + 1 = 1 Minimalidad del 0: x0 = 0 Involucin: x'' = x Inmersin respecto a la primera funcin: x + (xy) = x Inmersin respecto a la segunda funcin: x(x + y) = x Ley de Morgan respecto a la primera funcin: (x + y)' = x'y' Ley de Morgan respecto a la segunda funcin: (xy)' = x' + y'

Ejemplo 1. Si S diferente del vacio es un conjunto, el conjunto parcialmente ordenado A = P(S) bajo la relacin de inclusin es un lgebra booIeana. Ejemplo 2. Sea B el conjunto de valores de verdad de las proposiciones, es decir B={0,1}. Este conjunto ordenado por la relacin de implicacin, esto es, a b si y slo si a b es un lgebra de boole. En efecto, (B,) es una ltice puesto que el nico subconjunto con dos elementos, que es el mismo B, tiene mnima cota superior (1), y mxima cota inferior (0). La mnima cota superior es 1 porque 0 + 1 = 1 y la mxima cota inferior es 0 porque 0 1 = 0. Lo dicho anteriormente, tambin se desprende del hecho de que 0 1 y esto debido a que 0 1 es verdadero. Esta ltice es complementada porque 0 = 1 y 1 = 0, lo anterior debido a que la negacin de una proposicin falsa es una proposicin verdadera y viceversa. La distributividad se puede verificar utilizando las tablas de verdad para la disyuncin y la conjuncin. Ejemplo 3: Teorema lB (principio de dualidad). Demostrar que cada asercin o identidad algebraica deducible de los postulados del lgebra de Boole sigue siendo vlida si las operaciones " + " y " . " y los elementos identidad (1 y 0) se intercambian entre s. R: Tomando los postulados (a) de Huntigton e intercambiando en ellos los operadores y elementos identidad resulta:

1 a) 2 a) 3 a) 4 a)

a+b=b+a a+0=a a + (b. c) = (a + b). (a + c) a + a = 1

a . b = b. a a.1=a a . (b + c) = (a .b) + (a . c) a . a = 0

(1 b (2 b (3 b (4 b

Es decir, que a partir de los postulados (a) se obtienen los postulados (b). Esto demuestra lo que nos habamos propuesto. George Boole Naci en Lincoln (Reino Unido) el 2 de noviembre de 1815 . Boole perteneciente a una modesta familia realiz sus estudios de primaria en una escuela de Lincoln y de ah pas a un colegio comercial para seguir con su formacin. Las primeras lecciones de matemticas sin embargo, las recibi de su padre muy aficionado a la construccin de instrumentos de ptica, siendo esta aficin heredada por el joven George. A los doce aos el inters de George se volc en los idiomas y recibi instruccin en latn en una librera local. Lleg a ser tan hbil en el uso del latn que provoc controversia. Una de sus traducciones del latn de una Oda del poeta Horacio era tan buena que el maestro de la escuela local no crea que alguien tan joven hubiese podido escribir con tanta profundidad y precisin. Boole no estudi un grado acadmico, se decant por la enseanza y a los diecisis aos fue nombrado profesor auxiliar de colegio. En esta poca su inters por los idiomas continua y se plantea ingresar en la Iglesia para continuar aprendiendo latn y griego. En 1835, George Boole abri su propio colegio y empez a estudiar matemticas por s mismo de manera autodidacta. En este tiempo estudia los trabajos de otros matemticos como Laplace y Lagrange. Las anotaciones de estas primeras investigaciones sern la base para sus primeros papeles matemticos. El inters por la matemticas de Boole se ve incentivado por dos personas: Duncan Gregory y el editor de la revista Cambridge Mathematical Formal. Duncan Gregory anima a Boole a estudiar cursos de matemticas en Cambridge pero Boole necesita todos los ingresos que le proporciona su pequea escuela para su manutencin y el cuidado de sus padres, ya ancianos. No obstante, George Boole continu su formacin en matemticas, estudiando por su cuenta. Comenz a estudiar lgebra y producto de sus investigaciones publica su primer tratado matemtico, por el que recibi la distincin de la Real Sociedad que le otorg una medalla y fue nominado para una ctedra de matemticas en el Queens Collage de Cork en 1849. All ense durante el resto de su vida, ganndose fama de dedicado y eminente profesor.

En 1857 fue elegido como miembro acadmico de la Real Sociedad, recibiendo tambin honores por sus trabajos, de las universidades de Oxford y Dubln. Muri muri en Ballintemple (Irlanda), el 8 de diciembre de 1864, a los cuarenta y nueve aos, debido a un resfriado que afect a sus pulmones.

Cuadro Comparativo De Las Familias PARAMETRO TTL estndar TTL 74L TTL Schottky Fairchild de baja 4000B potencia (LS) CMOS (con Vcc=5V) 40 ns Fairchild 4000B CMOS (con Vcc=10V) 20 ns

Tiempo de propagacin de puerta Frecuencia mxima de funcionamiento

10 ns

33 ns 5 ns

35 MHz

3 45 MHz MHz 1 mW 1V 10 2 mW 0'8 V 20

8 MHz

16 MHz

Potencia disipada 10 mW por puerta Margen de ruido admisible Fan out 1V 10

10 nW 2V 50 (*)

10 nW 4V 50 (*)

Operadores y valores:

* Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a stos valores respectivamente como falso y verdadero. *El smbolo representa la operacin lgica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminar el smbolo , por lo tanto AB representa la operacin lgica AND entre las variables A y B, a esto tambin le llamamos el producto entre A y B. * El smbolo "+" representa la operacin lgica OR, decimos que A+B es la operacin lgica OR entre A y B, tambin llamada la suma de A y B. * El complemento lgico, negacin NOT es un operador unitario, en ste texto utilizaremos el smbolo " ' " para denotar la negacin lgica, por ejemplo, A' denota la operacin lgica NOT de A.

* Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresin booleana, el resultado de la expresin depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, parntesis, operador lgico NOT, operador lgico AND y operador lgico OR. Tanto el operador lgico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia estn adyacentes, entonces se evalan de izquierda a derecha. El operador lgico NOT es asociativo por la derecha. Utilizaremos adems los siguientes postulados:

P1 El lgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2 El elemento de identidad con respecto a es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores y + son conmutativos. P4 y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A (B+C) = (AB)+(AC) y A+ (BC) = (A+B) (A+C). P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que AA' = 0 y A+A' = 1. ste valor es el complemento lgico de A. P6 y + son ambos asociativos, sto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).

Es posible probar todos los teoremas del lgebra booleana utilizando stos postulados, adems es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas ms importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

Teorema 1: A + A = A Teorema 2: A A = A Teorema 3: A + 0 = A Teorema 4: A 1 = A Teorema 5: A 0 = 0 Teorema 6: A + 1 = 1 Teorema 7: (A + B)' = A' B' Teorema 8: (A B)' = A' + B' Teorema 9: A + A B = A Teorema 10: A (A + B) = A Teorema 11: A + A'B = A + B Teorema 12: A' (A + B') = A'B' Teorema 13: AB + AB' = A Teorema 14: (A' + B') (A' + B) = A' Teorema 15: A + A' = 1 Teorema 16: A A' = 0

Los Teoremas Bsicos del lgebra Booleana son: TEOREMA 1 Ley Distributiva A (B+C) = AB+AC

A B C B+C AB AC AB+AC A (B+C) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 TEOREMA 2 A+A = A AA = A A A A+A 0 0 0 1 1 1 A A AA 0 0 0 1 1 1 TEOREMA 3 Redundancia A+AB = A A B AB X 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1

A (A+B) = A A B A+B X 0 0 0 0 1 1 0 0

1 0 1 1 1 1

0 1

TEOREMA 4 0+A = A Equivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada a tierra A B=0 X 0 0 1 0 1A = A Equivalente a una compuerta AND con una de sus terminales conectada a 1 A B=1 X 0 1 1 1 0 1 0 1

1+A = 1 A B=1 X 0 1 1 1 0A = 0 A B=0 X 0 0 0 1 0 0 1 1

Modos de representacin Existen distintas formas de representar una funcin lgica, entre las que podemos destacar las siguientes: Algebraica

Por tabla de verdad Numrica Grfica El uso de una u otra, como veremos, depender de las necesidades concretas en cada caso. Algebraica Se utiliza cuando se realizan operaciones algebraicas. A continuacin se ofrece un ejemplo con distintas formas en las que se puede expresar algebraicamente una misma funcin de tres variables. a) F = [(A + BC) + ABC] + ABC b) F = ABC + ABC + ABC + ABC c) F = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C) d) F = BC + AB e) F = (A + B)(B + C) f) F = [(BC)(CB) (AB)] g) F = [(A + B) + (B + C)] La expresin a) puede proceder de un problema lgico planteado o del paso de unas especificaciones a lenguaje algebraico. Las formas b) y c) reciben el nombre expresiones cannicas: de suma de productos (sum-of-products, SOP, en ingls), la b), y de productos de sumas (product-of-sums, POS, en ingls), la c); su caracterstica principal es la aparicin de cada una de las variables (A, B y C) en cada uno de los sumandos o productos. Las d) y e) son funciones simplificadas, esto es, reducidas a su mnima expresin. Las dos ltimas expresiones tienen la particularidad de que exclusivamente utiliza funciones NO-Y, la f), o funciones NO-O, la g). Numrica La representacin numrica es una forma simplificada de representar las expresiones cannicas. Si consideramos el criterio de sustituir una variable sin negar por un 1 y una negada por un 0, podremos representar el trmino, ya sea una suma o un producto, por un nmero decimal equivalente al valor binario de la combinacin. Por ejemplo, los siguientes trminos cannicos se representarn del siguiente modo (observe que se toma el orden de A a D como de mayor a menor peso): ABCD = 10112 = 1110 A + B + C + D = 01002 = 410

Para representar una funcin cannica en suma de productos utilizaremos el smbolo n (sigma) y en producto de sumas n (pi), donde n indicar el nmero de variables. As, la representacin numrica correspondiente a la tabla de verdad del punto anterior quedar como: F = 3(2, 4, 5, 6) = 3(0, 1, 3, 7) Matemticamente se demuestra, que para todo trmino i de una funcin, se cumple la siguiente ecuacin: F = [n(i)]' = n(2n-1-i ) A modo de ejemplo se puede utilizar esta igualdad para obtener el producto de sumas a partir de la suma de productos del ejemplo anterior: F = 3(2, 4, 5, 6) = [3(2, 4, 5, 6)]' ' = [3(0, 1, 3, 7)]' = 3(0, 4, 6, 7) Grfica La representacin grfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas electrnicos. En la siguiente figura se representan grficamente dos funciones algebraicas, una con smbolos no normalizados, superior, y la otra con normalizados, inferior (vanse los smbolos de las puertas lgicas)

Representacin grfica de dos funciones lgicas Mtodos de simplificacin

Por simplificacin de una funcin lgica se entiende la obtencin de su mnima expresin. A la hora de implementar fsicamente una funcin lgica se suele simplificar para reducir as la complejidad del circuito. A continuacin se indican los modos ms usuales de simplificar una funcin lgica. Algebraico Para la simplificacin por este mtodo no slo bastar con conocer todas las propiedades y teoremas del lgebra de Boole, adems se debe desarrollar una cierta habilidad lgico-matemtica que se adquiere fundamentalmente con la experiencia. Como ejemplo se simplificar la siguiente funcin: F = AC + ABC + BC + ABC + ABC Observando cada uno de los sumando podemos ver que hay factores comunes en los sumandos 2 con 5 y 4 con 5 que conllevan simplificacin: F = AC + BC + BC(A + A) + AC(B + B) Note que el trmino 5 se ha tomado dos veces, de acuerdo con la propiedad que diceque A + A = 1. Aplicando las propiedades del lgebra de Boole, queda F = AC + BC + BC + AC Repitiendo nuevamente el proceso, F = A( C + C) + B( C + C) = A + B No siempre las funciones son tan fciles de simplificar como la anterior. El mtodo algebraico, por lo general, no resulta cmodo para los no expertos, a los cuales, una vez simplificada una ecuacin le pueden quedar serias dudas de haber conseguido la mxima simplificacin. Grfico de Karnaugh Este mtodo consiste en formar diagramas de 2n cuadros, siendo n el nmero de variables. Cada cuadro representa una de las diferentes combinaciones posibles y se disponen de tal forma que se puede pasar de un cuadro a otro en las direcciones horizontal o vertical, cambiando nicamente una variable, ya sea en forma negada o directa. Este mtodo se emplea fundamentalmente para simplificar funciones de hasta cuatro variables. Para un nmero superior utilizan otros mtodos como el numrico. A continuacin pueden observarse los diagramas, tambin llamados mapas de Karnaugh, para dos, tres y cuatro variables.

Mapas de Karnaugh para dos, tres y cuatro variables Es una prctica comn numerar cada celda con el nmero decimal correspondiente al trmino cannico que albergue, para facilitar el trabajo a la hora de plasmar una funcin cannica. Para simplificar una funcin lgica por el mtodo de Karnaugh se seguirn los siguientes pasos: 1) Se dibuja el diagrama correspondiente al nmero de variables de la funcin a simplificar. 2) Se coloca un 1 en los cuadros correspondientes a los trminos cannicos que forman parte de la funcin. 3) Se agrupan mediante lazos los unos de casillas adyacentes siguiendo estrictamente las siguientes reglas: a) Dos casillas son adyacentes cuando se diferencian nicamente en el estado de una sola variable. b) Cada lazo debe contener el mayor nmero de unos posible, siempre que dicho nmero sea potencia de dos (1, 2, 4, etc.) c) Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya cuadrculas que pertenezcan a dos o ms lazos diferentes. d) Se debe tratar de conseguir el menor nmero de lazos con el mayor nmero de unos posible. 4) La funcin simplificada tendr tantos trminos como lazos posea el diagrama. Cada trmino se obtiene eliminando la o las variables que cambien de estado en el mismo lazo. A modo de ejemplo se realizan dos simplificaciones de una misma funcin a partir de sus dos formas cannicas: F = 3(0,2,3,4,7) = 3(1,2,6) De acuerdo con los pasos vistos anteriormente, el diagrama de cada funcin quedar del siguiente modo:

Simplificacin de una funcin de tres variables La funcin simplificada tendr tres sumandos en un caso y dos productos en el otro. Si nos fijamos en el mapa correspondiente a la suma de productos, observamos que en el lazo 1 cambia la variable A (en la celda 0 es negada y en la 4 directa), en el lazo 2 es la C y en el lazo 3 vuelve a ser A. por lo tanto, la ecuacin simplificada es: F = BC + AB + BC Razonando de modo similar en el mapa de productos de sumas, nos quedar lo siguiente: F = (B + C)(A + B + C) Numrico de Quine-McCluskey El algoritmo Quine-McCluskey permite la simplificacin de funciones lgicas de cualquier nmero de variables y es el que se utiliza para disear aplicaciones informticas en las que se necesite obtener funciones simplificadas. A continuacin se indican los pasos a seguir en este mtodo a partir de un ejemplo. 1) Se expresa la funcin a simplificar en su forma cannica de suma de productos. Sea la siguiente funcin a simplificar: F = S4 (0,1,2,3,5,9,11,12,13,15) 2) Se forma una tabla con el valor decimal de la combinacin, el estado de las variables y el ndice (nmero de unos que contiene el estado de las variables). Comb. Estado ndice 0 0000 0

1 2 3 5 9 11 12 13 15

0001 0010 0011 0101 1001 1011 1100 1101 1111

1 1 2 2 2 3 2 3 4

3) Se agrupan las combinaciones cuyos estados difieren en una sola variable, sustituyndola por un guin bajo (_). Las combinaciones utilizadas se marcan con un aspa (X). Hay que fijarse en las combinaciones cuya diferencia entre sus respectivos ndices es la unidad.

Agrupacin de las combinaciones 4) Se repite el proceso anterior las veces que sean necesarias y se van eliminando estados idnticos.

Nueva agrupacin de las combinaciones 5) Se forma una tabla con las combinaciones finales y las no agrupadas. Se toman como filas las combinaciones finales y las no agrupadas y como columnas los valores decimales de dichas combinaciones. Cada celda que contenga el valor decimal de una combinacin se marca con un aspa. A continuacin nos fijamos en aquellas columnas con una sola aspa; sus combinaciones sern esenciales. Finalmente se toman aquellas combinaciones de los valores decimales no seleccionados, teniendo precaucin de no tomar aquellas combinaciones cuyos valores decimales hayan sido ya tomados en otras combinaciones. La funcin simplificada final viene dada por las combinaciones esenciales y estas ltimas. Funciones incompletas Hasta ahora todas las funciones estudiadas tienen definido un valor lgico, 0 1, para cada una de las posibles combinaciones. Estas funciones se denominan completas o totalmente definidas. Tambin existen funciones con una o varias combinaciones no definidas, llamadas funciones incompletas. Esta situacin puede deberse por las dos causas siguientes: Hay combinaciones de entrada que no existen, por lo que a la salida se le puede asignar indistintamente el valor 0 o el 1. En ciertas combinaciones de entrada la salida del sistema lgico est inhibida, siendo por lo tanto su valor indiferente. En la tabla de verdad de una funcin incompleta, los trminos indiferentes se designan mediante una equis (X). En cuanto a la forma cannica se separan los trminos definidos de los que no lo son (indicados mediante el smbolo ). A la hora de simplificar una funcin incompleta, los trminos indiferentes servirn como comodines a la hora de tomar lo lazos, esto es, si nos interesa que sea un 1 porque as el lazo es mayor, lo tomaremos como 1, y en caso contrario como 0.

Minitrmino Para una funcin booleana de n variables x1,...xn, un producto booleano en el que cada una de las n variables aparece una sola vez (negada o sin negar) es llamado minitrmino. Es decir, un minitrmino es una expresin lgica de n variables consistente nicamente en el operador conjuncin lgica (AND) y el operador complemento o negacin (NOT). Por ejemplo, abc, ab'c y abc' son ejemplos de minitrminos para una funcin booleana con las tres variables a, b y c. Maxitermino Un maxitrmino es una expresin lgica de n simbolos que consiste nicamente en la disyuncin lgica y el operador complemento o negacin. Los cuales estn unidos por los operadores del algebra de boole (+ . ) Por ejemplo, los siguientes trminos cannicos son maxitrminos: a + b' + c a' + b + c Tabla de verdad

Una tabla de verdad contiene todos los valores posibles de una funcin lgica dependiendo del valor de sus variables. El nmero de combinaciones posibles para una funcin de n variables vendr dado por 2n. Una funcin lgica puede representarse algebraicamente de distintas formas como acabamos de ver, pero slo tiene una tabla de verdad. La forma ms cmoda para ver la equivalencia entre una tabla de verdad y una expresin algebraica es cuando esta ltima se da en su forma cannica. As, la funcin cannica de suma de productos (o forma cannica disyuntiva)

F = ABC + ABC + ABC + ABC nos indica que ser 1 cuando lo sea uno de sus sumandos, lo que significa que tendr por lo tanto cuatro combinaciones que lo sern (010 para ABC, 100 para ABC, 101 para ABC y 110 para ABC) siendo el resto de combinaciones 0. Con la funcin cannica de producto de

sumas (o forma cannica conjuntiva) se puede razonar de forma anloga, pero en este caso observando que la funcin ser 0 cuando lo sea uno de sus productos. Tambin es fcil obtener la tabla de verdad a partir de la funcin simplificada, pero no as a la inversa.

Conclusion

La lgica es la ciencia del razonamiento que nos permite hacer deducciones. En la electrnica los circuitos encargados de hacer deducciones lgicas son los circuitos lgicos. "Si usted se encuentra en un de los pasillos de un edificio y acciona el pulsor de llamada de los ascensores, en este momento aparecer el que se encuentre ms cerca; ya dentro de la cabina cada pasajero pulsa el botn del piso deseado; el ascensor se detiene en los pisos en un orden lgico, sin tener encuenta el orden en que fueron accionados os pulsadores anteriormente. Esa inteligencia se habilita a la mquina a tomar decisiones en el resultado de un pequeo nmero de circuitos elementales denominados circuitos lgicos. De acuerdo con la definicin anterior que hemos dado a los circuitos lgicos podemos decir que estos circuitos encuentran aplicacin en muchos campos como: La telegrafa, la telefona, los procesos industriales, etc. en estos campos normalmente encontramos un computador digital (mquina hecha a base de circuitos lgicos) que se programan de manera tal que en cada circunstancia est capacitada para tomar las decisiones lgicas correspondientes. En un proceso industrial, por ejemplo, el computador se programa para manejar todo un ciclo de produccin y poder sacar en el menor tiempo posible la mayor cantidad de productos y al menor costo. En general podemos decir que la aplicacin de la lgica en los computadores es casi infinita en nuestra vida moderna. En un ferrocarril, por ejemplo, el movimiento y el uso de los trenes debe estarse controlando permanentemente para transportar la mxima cantidad de mercanca en un tiempo aceptable y con el mnimo costo. En estos tema de Matemticas podemos ver todo lo que esta relacionado, saber como son sus definiciones como conceptos de relaciones, teora de graficas, sus principales aplicaciones, historia, Latices, diagramas de hasse, Algebra de boole, biografas como feyman, grupos, cdigos de deteccin de error, teselaciones y grafos, geometra, grupo geomtricos, simetras, antecedentes histricos, los nmeros primos y el internet, matemticas para un nuevo siglo, historia, matemticos como hilbert, fermat, teora de nmeros, gauss. El lugar de Boole en la historia de la lgica es destacado. El uso del lenguaje matemtico-algebraico en el contexto del anlisis del razonamiento es su gran aportacin. No slo nos referimos al lenguaje matemtico como marco de representacin, sino tambin como va sistemtica para el anlisis del concepto de consecuencia lgica. Se trata de heredar mtodos y tcnicas ya consolidadas en el campo de la matemtica para darles un uso lgico. Para ello resultan necesarias tcnicas de ajuste. En este sentido en Boole hay un mecanismo inferencial para el anlisis del concepto de consecuencia lgica. No hay un mtodo, valga la expresin, semntico como uno puede encontrar en

ilustres antecesores de Boole. Por ejemplo, en Aristteles y Bolzano. Tampoco queremos decir que haya un sistema de tipo fregeano para la lgica. Existentes en sus mtodos. Crticas que el propio Frege realizaba con respecto a la actividad matemtica de sus das. En cualquier caso, nadie puede negar que la lgica y la matemtica a partir de la obra de Boole van a ir de la mano. Este es un hecho crucial en la historia de la lgica. En Boole, adems, la lgica est situada en el marco y contexto de mtodos matemticos generales que van ms all de ella misma. Otro aspecto importante en la obra de Boole es la distincin entre lenguaje e interpretacin: un mismo lenguaje susceptible de pluralidad de lecturas. Esta idea aparece frecuentemente en la obra de Boole y en este sentido, desde el punto de vista actual, su visin del lenguaje formal del lgebra, que es el lenguaje para la lgica, es superior a la perspectiva fregeana en relacin al lenguaje. La plurinterpretabilidad de los smbolos y expresiones del lenguaje es algo que a Frege le preocupaba; es el sntoma de la equivocidad. En lgica la distincin entre el lenguaje y su interpretacin resulta bsica. La posibilidad de plurinterpretabilidad de un lenguaje hace que las teoras formuladas en el marco del mismo tambin sean plurinterpretables. Consideramos que las categoras fregeanas de concepto y objeto proporcionan una va de anlisis de las expresiones del lenguaje que posibilitaron, entre otras muchas cosas, el descubrimiento de los cuantificadores y, en consecuencia, la concepcin de los lenguajes lgicos tal y como en la actualidad se entienden. En este sentido, Frege va ms all de la dicotoma sujeto/predicado a la que Boole se ajusta y del lenguaje algebraico-ecuacional que Boole utiliza. A pesar de ello, no hay que olvidar que Boole abre las puertas a sendas hoy ya habituales en el trabajo de los lgicos, sendas que Frege ni tan siquiera vislumbr. En este trabajo no queremos comparar la obra de ambos autores. En este trabajo se ha querido hacer una revisin acerca de los autmatas programables o controladores lgicos programables (PLC), pero para el estudio de los controladores primero se hace una introduccin a la lgica, haciendo que ste captulo haga ms fcil la comprensin de la programacin de stos. Para el estudio de la lgica, primero se hace una revisin de los sistemas de numeracin, haciendo una breve descripcin de stos y tambin las debidas conversiones entre ellos. Luego de estudiados los sistemas de numeracin, se hizo una revisin de la lgica como son las compuertas, sus funciones y como implementarlos y asociarlos con los contactos de rel. Esto, como se ha dicho anteriormente, facilita la visualizacin de los problemas a resolver con los autmatas, es decir, su programacin. Luego se encontr lo relacionado con el autmata desde su historia hasta su arquitectura de hardware como de software; luego de esto, se mostr una manera de cmo resolver un determinado problema de control, tambin se hacen unas consideraciones a la hora de programar, se realizaron algunos ejemplos para el buen entendimiento de todo lo visto anteriormente.

Por ltimo, se hizo una introduccin a las redes de comunicacin industriales, su definicin y los tipos usados actualmente. Con los conocimientos adquiridos es posible entrar a programar prcticamente cualquier PLC sin importar la marca o el modelo, seguramente habrn algunas diferencias y se pueden presentar pequeos obstculos, pero en general, todos funcionan de igual manera. Con la ayuda de los manuales respectivos del modelo y a travs de que se vaya adquiriendo experiencia en la programacin, se podr elaborar programas tan complejos como el manejo automtico de una planta completa. AL estudio de matemticas podemos dar nos cuenta de como un diagrama de Hasse es un representacin de un conjunto parcialmente ordenado finito. La representacin se hace mediante un grafo, o sea un diagrama que consta de nodos y aristas (Teora de Grafos). Tambin se dice que una ltice o red es un conjunto parcialmente ordenado por una relacin de orden, en el cual cada subconjunto {a, b} de este, que consta de dos elementos, tiene una mnima cota superior y una mxima cota inferior. Antes debemos tener encuenta conocimiento bsicos de teora de grficas para facilitar el desarrollo de estos temas que hemos realizado y analizados.

Referencias Bibliograficas

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PASATIEMPOSSopa de letras Crucigrama de Hipatia Puzzles y rompecabezas

SOPA DE LETRAS En la sopa de letras siguiente aparecen los nombres de diez matemticos. Bscalos.G L E U C L I D E S C A U C H Y L A R A A P L O N A Z L O B U N E W T O N E T N S A R O G A T I P I E F O S A Z O B I Z R O L Y U W E N T O H D Y U S M G I A R U R A P S I B Z E T P I T A M R E F A N

EL CRUCIGRAMA DE HIPATIA El crucigrama que aqu encontrars fue hecho pensando en una de las ms grandes matemticas de la historia: Hipatia de Alejandra. Ella vivi toda su vida en la ciudad de Alejandra que est en Egipto; naci en el ao 370 y muri en el 415. Desde muy joven investig y ense prcticamente todas las ramas de las matemticas, por eso, para recordarla, te proponemos que completes este crucigrama resolviendo problemas de aritmtica, geometra y lgica. Los resultados de los problemas del crucigrama son nmeros, no palabras. En cada casilla del crucigrama escribe uno y slo un dgito. Horizontales 1. Beatriz es 8 cm ms alta que Jaime. Toa es 12 cm ms baja que Beatriz. Jaime mide 1metro y 25cm. Cunto mide Toa? (La respuesta debe ir en centmetros) 3. De todos los nmeros que estn entre los nmeros 1 y 100 Cuntos tienen el dgito 5? 7. Una nia en un examen se puso muy nerviosa y en un problema en el que se le peda que dividiera entre 4 un nmero lo que hizo fue restar 4. Su resultado fue 48, si en lugar de restar, hubiera dividido cul hubiera sido su resultado?

8. El cuadrado de la figura tiene un rea de 36 cm 2. Cul es el radio del crculo inscrito?

9. Acomoda los nmeros 1,2,3,4,5 en la figura de manera que los que queden en la columna sumen 8 y que los que queden en el rengln, tambin sumen 8. Cul es el nmero que va en el cuadrito del centro?

10. Cuntos segundos hay en una hora? 11. Cuntas de estas afirmaciones son verdaderas?

Verticales

1. Cuntos cuadrados hay en este dibujo?

2. Cuntos minutos hay entre las 11:41 y las 14:02? 4. La fecha 8 de noviembre de 1988 tiene algo de especial. Si la escribimos 811-88, es fcil darse cuenta de que el da (8) multiplicado por el mes (11) da como resultado el ao (88) Cuntas fechas que cumplieran esta propiedad hubo en 1990? 5. Cunto suman los tres nmeros que tenemos que acomodar en los cuadritos vacos para que la suma quede correcta?

6. Cul es el ngulo que forman las manecillas de un reloj si son las 12:15? 7. Esta es la figura de un pentgono con dos de sus diagonales dibujadas. El pentgono est dividido en tres regiones. Si dibujas todas las diagonales en cuntas regiones quedar dividido el pentgono?

12. Cunto vale el ngulo A?

PUZZLES Y ROMPECABEZAS EL ROMPECABEZAS DEL CUADRADO Recorta las siguientes piezas en cartulina e intenta colocarlas hasta obtener un cuadrado.

Recorta ahora tambin este otro cuadradito e intenta ahora con las 5 piezas formar otro cuadrado.

HERENCIA PARA CUATRO

Unos padres quieren dejar a sus cuatro hijos estos dos terrenos como herencia. Podran repartir cada terreno entre los cuatro, de manera que las partes en cada uno fueran iguales?

SOPA DE NMEROS Eres capaz de partir este cuadrado en tres bloques, de modo que los nmeros que queden en cada uno de ellos tengan la misma suma?.4 7 7

6

5

2

6

8

3

SOLUCIONES A LOS PASATIEMPOS SOPA DE LETRAS Bolzano, Cauchy, Euclides, Euler, Fermat, Gauss, Leibniz, Newton, Pitgoras y Taylor.G L E U C L I D E S C A U C H Y L A R A A P L O N A Z L O B U N E W T O N E T N S A R O G A T I P I E F O S A Z O B I Z R O L Y U W E N T O H D Y U S M G I A R U R A P S I B Z E T P I T A M R E F A N

CRUCIGRAMA DE HIPATIA

ROMPECABEZAS DEL CUADRADO

HERENCIA PARA CUATRO

SOPA DE NMEROS