GEOSTATISTIČKO MODELIRANJE RAZINE … · Za proraĉun variograma i aproksimaciju teorijskih modela u ovom radu je korišten raĉunalni program Golden Software Surfer koji sadrţi

SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU

GEOTEHNIĈKI FAKULTET

VALENTINA ŢERJAVIĆ

GEOSTATISTIČKO MODELIRANJE RAZINE PODZEMNE VODE

DIPLOMSKI RAD

Varaţdin, 2011

SVEUĈILIŠTE U ZAGREBU

GEOTEHNIĈKI FAKULTET

DIPLOMSKI RAD

GEOSTATISTIČKO MODELIRANJE RAZINE PODZEMNE VODE

KANDIDAT: MENTOR:

Valentina Ţerjavić Doc.dr.sc.Ivan Kovaĉ

Varaţdin, 2011

Sveučilište u Zagrebu Geotehnički fakultet

_____________________________________________________________________________

_______________________________________________

Geostatističko modeliranje razine podzemne vode

Sadrţaj:

1. UVOD ........................................................................................................................ 1

2. OSNOVNI POJMOVI GEOSTATISTIKE ............................................................... 3

2.1. Regionalizirana varijabla ................................................................................... 3

2.2. Variogram .......................................................................................................... 4

2.3. Teorijski modeli ................................................................................................. 6

3. EKSPERIMENTALNI VARIOGRAM .................................................................. 11

4. UKLAPANJE TEORIJSKOG MODELA U EKSPERIMENTALNI

VARIOGRAM ........................................................................................................ 13

4.1. Linearni teorijski model ................................................................................... 13

4.2. Potencijski teorijski model (Power model) ...................................................... 14

5. METODA KRIGINGA ........................................................................................... 15

6. MODELI RAZINE PODZEMNE VODE ............................................................... 19

6.1. Grafiĉki modeli razine podzemne vode ........................................................... 19

6.2. Procjena razine podzemne vode razliĉitim interpolacijskim metodama .......... 24

6.3. Razrada geostatistiĉkih modela ........................................................................ 26

6.3.1. Linearni modeli ......................................................................................... 26

6.3.2. Power modeli ............................................................................................ 28

7. ZAKLJUĈAK .......................................................................................................... 31

8. POPIS LITERATURE ............................................................................................. 33

9. SAŢETAK ............................................................................................................... 34


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________

Geostatističko modeliranje razine podzemne vode 1

1. UVOD

Geostatistika se razvila u okviru rudarske discipline s ciljem procjene pojavljivanja

rudnih tijela i leţišta mineralnih sirovina. Njezin razvoj zapoĉeo je D.J.Krige (1951.),

juţnoafriĉki rudarski inţenjer, koji je analizirao koncentraciju zlata u rudnicima juţne

Afrike primjenjujući znanje iz vjerojatnosti i statistike. Francuski znanstvenik Georges

Matheron je teoriju Krigea izrazio kao ekvivalent metodi najmanjih srednjih kvadrata iz

ĉega je proizašla metoda prostorne interpolacije koju je u ĉast dr. Krigeu nazvao

kriging. Daljnji razvoj geostatistike je najviše vezan uz Matherona koji je 1986. u

Pariškoj rudarskoj školi u Fontainbleau utemeljio centar za geostatistiku i morfološku

matematiku i objavo brojne radove na podruĉju geostatistike, stoga se on smatra

utemeljiteljem geostatistike.

Sama rijeĉ geostatistika (geo = zemlja (grĉ.) i status = stanje (lat.)) je vezana za

tehniĉke metode kojima se analiziraju i procjenjuju vrijednosti varijabli distribuiranih u

vremenu i prostoru. Naziv je vezan uz porijeklo geostatistike jer je njezina primjena bila

ograniĉena iskljuĉivo u geološke svrhe [1]. U današnje vrijeme geostatistika ima širu

primjenu, bavi se analizama i procjenama prostornih i vremenskih varijabli odnosno

pojava kao što su primjerice, transmisivnost, poroznost, hidrauliĉka provodljivost ili

koncentracija i izvori oneĉišćenja. Ovdje je vaţno naglasiti njezinu primjenu u

projektima istraţivanja podzemnih voda i zaštite okoliša te kod seizmiĉkih i geofiziĉkih

istraţivanja, a koristi se i u drugim znanstvenim disciplinama, primjerice u biologiji,

zoologiji, meteorologiji, ĉak i u astronomiji.

Zadatak ovog rada je analiza i izrada modela razine podzemne vode na crpilištu

Varaţdin koje je smješteno uz zapadnu granicu grada, u blizini groblja. Sadrţi 11

zdenaca pomoću kojih se zahvaća voda iz šljunkovito-pjeskovitog kvartarnog

vodonosnika. Zbog tankih krovinskih naslaga vodonosnik je ugroţen od oneĉišćenja s

površine terena zbog ĉega se zdenci B-1 i B-2, koji su najplići, ne koriste još od 1986.

godine. TakoĊer je uoĉeno da forsiranim crpljenjem dolazi do povećanja koncentracije

nitrata u podzemnoj vodi. Izdašnost pojedinog zdenca je 100 l/s, ali je zbog povećane

koncentracije nitrata vodopravnom dozvolom ukupno crpljenje ograniĉeno na 500 l/s.


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


Upravo zbog prevelike koncentracije nitrata danas je u pogonu samo jedan zdenac [2].

Uz zdence je na vodocrpilištu izgraĊena i mreţa piezometarskih bušotina (Slika 1.).

Slika 1. Prostorni raspored zdenaca i piezometara na vodocrpilištu Varaţdin

Na temelju ukupno 30 rezultata mjerenja iz bunara i piezometarskih bušotina

primjenom razliĉitih interpolacijskih metoda potrebno je procijeniti vrijednosti za svaku

pojedinu toĉku/mjerenje i izraditi modele razine podzemne vode. Kako se ulazni podaci

odnose na aktivne zdence, radi se o dinamiĉkoj razini podzemne vode što znaĉi da bi na

grafiĉkim modelima RPV trebala biti vidljiva pojava hidrauliĉkog lijevka.

Uz kriging korišteno je još šest interpolacijskih metoda: inverzna udaljenost (inverse

disatance), najbliţi susjed (nearest neighbor), pokretne sredine (moving average), radial

basis function, local polynomial i minimalna zakrivljenost (minimum curvature). Glavni

cilj rada je usporediti dobivene rezultate procjena i prostorne modele kako bi se utvrdila

pouzdanost kriging metode u odnosu na ostale korištene metode, na konkretnom sluĉaju

modeliranja razine podzemne vode.


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


2. OSNOVNI POJMOVI GEOSTATISTIKE

2.1. Regionalizirana varijabla

Budući da geostatistika prouĉava prostornu ovisnost meĊu podacima/varijablama,

vaţna je veliĉina varijable i njezin poloţaj u prostoru pa se govori o regionaliziranoj

varijabli. Stoga se geostatistiĉka disciplina još naziva teorija regionaliziranih varijabli.

Regionalizirana varijabla je bilo koja varijabla distribuirana u prostoru ili vremenu a

opisuje funkcije oblika Z(x1), Z(x1,x2) ili Z(x1,x2,x3) ovisno o tome radi li se o varijabli

u jednoj, dvije ili tri dimenzije [1]. Ovdje su to koordinate toĉaka sa izmjerenim

razinama podzemne vode, odnosno trodimenzionalne varijable Z(x1,x2,x3).

Glavne osobine regionaliziranih varijabli su kontinuiranost u vremenu i prostoru,

meĊutim nema mjerenja pojedinih varijabli na svakoj koordinati plohe po kojoj su

distribuirane varijable što znaĉi da se ne mogu znati vrijednosti varijabli na ĉitavom

prostoru, nego je vrijednost varijable poznata samo na uzorkovanim lokacijama.

Radi se o toĉkastim mjerenjima iz kojih se ţeli rekonstruirati što toĉnije cjelovito

prostorno pruţanje promatrane veliĉine u jednoj, dvije ili tri dimenzije. Nove vrijednosti

procijenjene su iz podataka koji su toĉkasto izmjereni na konaĉnom broju lokacija.

Promjena tih vrijednosti u prostoru, posljedica je ponašanja svojstvenog promatranoj

varijabli (što je ujedno jedna od kljuĉnih pretpostavki geostatistike). Što toĉnijim

opisivanjem tih svojstava moguće je dobro procijeniti vrijednosti regionalizirane

varijable. [3].

Studija (prouĉavanje) takvih varijabli za koje se pretpostavlja da su meĊusobno

povezane (regionalizirane varijable) se naziva „strukturna analiza― ili „variogramska

analiza (variogram modeling)―. Nakon strukturnih analiza vrši se predviĊanje na

neuzorkovanim lokacijama pomoći metode kriginga. Koraci geostatistiĉkog istraţivanja

ukljuĉuju: analizu istraţivanih podataka, strukturnu analizu (proraĉun i modeliranjem

variogramima) i predviĊanje (kriging) [4].


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


2.2. Variogram

Variogram prikazuje strukturu sluĉajnog polja koje moţe ovisiti samo o udaljenosti

izmeĊu dviju mjernih toĉaka i razlici vrijednosti meĊu njima [1]. Koristi se za

odreĊivanje ponašanja odabranih varijabli u prostoru, odnosno za definiranje prostorne

zavisnosti [5]. Kako se ne analiziraju stvarne vrijednosti varijable Z(x) nego njihove

razlike, to omogućuje povećanje broja podataka za variogram [1].

Kod proraĉuna eksperimentalnog variograma (Slika 2.) prvo je potrebno odrediti

hod/korak (lag distance), odnosno udaljenost h meĊu parovima toĉaka, zatim se izdvoje

svi parovi toĉaka koji imaju meĊusobnu zadanu udaljenost h. Prema izrazu (1) se

dobiva vrijednost variograma za zadanu udaljenost h. Zadaju se nove udaljenosti

(povećava se korak) te se raĉunski postupak ponavlja za svaki zadani korak.

2

12

1

N

i

hii xZxZN

h (1)

- Gdje su: h – variogram

N – broj parova na meĊusobnoj udaljenosti h

ix – vrijednost varijable na koordinati z(xi)

hix – vrijednost varijable na koordinati z(xi+h)

Slika 2. Proraĉun eksperimentalnog variograma (preuzeto: Syed Abdul Rahman Shibli

(2003), www.ai-

geostats.org/pub/AI_GEOSTATS/AI_GEOSTATSFAQ/FAQ_Geostatistics_01.pdf)

http://www.ai-geostats.org/pub/AI_GEOSTATS/AI_GEOSTATSFAQ/FAQ_Geostatistics_01.pdf



_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


Terminološki su pojmovi variogram i semivariogram jednaki jer je variogramsku

jednadţbu moguće pojednostavniti tako da se iz nazivnika eliminira broj 2 pa se

dobivena funkcija (2) naziva semivariogramom [6].

2

1

12

n

i

hii xZxZn

h (2)

Slika 3. Eksperimentalni variogram sa uklopljenim teorijskim modelom (preuzeto:

Golden Software, Inc., 2002, www.wi.zut.edu.pl/gis/Surfer_8_Guide.pdf)

Osnovni parametri variogramske krivulje:

- Odstupanje (C0), ili „efekt grumena― je pojava kada krivulja sijeĉe os ordinata

u nekoj pozitivnoj vrijednosti C0, odnosno vrijednost variograma na nultoj

udaljenosti h. Upućuje na razliku u vrijednostima vrlo bliskih uzoraka koji se u

praksi smatraju uzorcima s jedinstvene lokacije [5]. Moţe se takoĊer pojaviti

kao posljedica varijabilnosti na udaljenosti manjoj od udaljenosti uzorkovanja i

zbog grešaka u mjerenju. Naziv „efekt grumena― ima porijeklo iz rudarskog

http://www.wi.zut.edu.pl/gis/Surfer_8_Guide.pdf


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


inţenjerstva od eksploatacije zlatne rude koja se najĉešće pojavljuje u

grumenima.

- Prag (σ2) odgovara vrijednosti stvarne varijance podataka. Ukupna vrijednost

praga jednaka je zbroju vrijednosti odstupanja i strukturne varijance:

CC 0

2 . Nakon dosezanja praga (ako ga postiţe) variogramska krivulja

najĉešće prestaje pravilno rasti te nastavi oko njega oscilirati [6].

- Domet ili doseg (a) je horizontalna udaljenost (h) na kojoj semivariogram prvi

put presijeca prag. Pretpostavlja se da u horizontalnom smjeru iznad dometa ne

postoji prostorna korelacija podataka, odnosno kovarijanca je jednaka nuli. [6].

- Udaljenost ili korak (h) se odnosi na udaljenost meĊu varijablama, odnosno

mjernim toĉkama. Svaka udaljenost ĉini jedan razred. Toj vrijednosti udaljenosti

ĉesto je dodijeljena odreĊena tolerancija kako bi se povećao broj ulaznih

podataka, a nazvana je odmakom. To znaĉi da se granicama razreda dodaje

vrijednost odmaka, šireći tako interval razreda. Odmak se u najvećem broju

primjena semivariogramskog raĉuna postavlja na 1/2 vrijednosti udaljenosti h,

jer se na taj naĉin maksimalno povećava broj parova podataka, a time i

pouzdanost prostorne analize [6].

Na manjoj udaljenosti (h) vrijednost variograma (semivarijanca) će takoĊer biti

manja, i obrnuto, pri većoj udaljenosti će vrijednost variograma biti veća. To je zbog

toga što će parovi izdvojenih toĉaka koji imaju meĊusobno manju udaljenost vjerojatno

biti meĊusobno sliĉniji u odnosu na izdvojene parove pri većoj udaljenosti. Odnosno,

ako se podaci pravilnije mijenjaju onda vrijednost variograma raste sporije i obratno

kad se podaci nepravilnije mijenjaju vrijednost variograma raste brţe, krivulja je strmija

i manji je domet.

2.3. Teorijski modeli

Teorijski model variograma predstavlja matematiĉku aproksimaciju

eksperimentalnog variograma i njegovih parametara. Parametri teorijskog variograma

koriste se kod proraĉuna kriging metodom, te teorijski variogram mora ispunjavati

odreĊena numeriĉka svojstva kako bi se mogla riješiti kriging jednadţba. Zbog toga je


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


vaţno pravilno odabrati teorijski model i ostvariti što bolju aproksimaciju. Postoji

nekoliko teorijskih modela a razlikuju se po tome sadrţavaju li prag te po naĉinu

ponašanja krivulje u blizini ishodišta [6].

Za proraĉun variograma i aproksimaciju teorijskih modela u ovom radu je korišten

raĉunalni program Golden Software Surfer koji sadrţi dvanaest osnovnih teorijskih

modela: eksponencijalni, gaussov, dvije vrste potencijskih (power) modela, sferni,

logaritamski, linearni, wave (hole effect model), rational quadratic model,

pentaspherical model i kubni (Slika 4).


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________



_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


Slika 4. Teorijski modeli variograma (preuzeto: Golden Software, Inc., 2002,

www.wi.zut.edu.pl/gis/Surfer_8_Guide.pdf)

U literaturi se najĉešće spominju: sferni, eksponencijalni, gaussov i linearni model:

- Sferni model se primjenjuje kada variogramska krivulja prema pragu raste vrlo

brzo, što je sluĉaj kod velike razlike u vrijednostima podataka na malim

udaljenostima i velike vrijednosti ekstremnih podataka [6].

- Eksponencijalni model primjenjuje se na skupu gdje vrijednosti postupno rastu

i padaju, a iznosi ekstrema su mali u odnosu na iznose u preostalome dijelu

skupa. Tada krivulja postupno raste prema pragu uz veći doseg [6].

- Gaussov model upućuje na vrlo ujednaĉen skup podataka s obzirom na razlike

izmeĊu njihovih vrijednosti. Ovaj model se na poĉetku ponaša paraboliĉno i ima

toĉku infleksije [6].

- Linearni model se primjenjuje kada vrijednosti podataka postupno rastu s

povećanjem udaljenosti h, promijene varijabilnosti nisu toliko male kao i kod

gaussovog modela ali su u prosijeku u velikoj mjeri postupne.

Sferni model doseţe vrijednost praga na horizontalnoj udaljenosti dometa a, dok

eksponencijalni i gaussov model doseţu prag asimptotski gdje im domet predstavlja

udaljenost na kojoj semivarijanca doseţe 95% vrijednosti praga (slika 5). Linearni

model nema izraţen prag [7].



_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


Slika 5. Odnos sfernog, eksponencijskog i gaussovog teorijskog modela (preuzeto:

Geoff Bohling, 2005)

Aproksimaciju eksperimentalne krivulje moguće je naĉiniti stvaranjem sloţenoga

modela koji tvori zbroj dvaju ili više osnovnih teorijskih modela razliĉitih dometa i

pragova. Takav sloţeni model naziva se ugnijeţĊenim modelom i iskazuje se kao zbroj

više osnovnih modela [6]:

...)()()()( 321 hhhh (3)


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


3. EKSPERIMENTALNI VARIOGRAM

Variogramska analiza razine podzemne vode vodocrpilišta u Varaţdinu provedena je

na temelju 30 ulaznih podataka; 10 mjerenja iz bunara i 20 mjerenja iz piezometarskih

bušotina. Kako proraĉun geostatistiĉkom metodom kriginga koristi vrijednosti

izraĉunate variogramom., procijenjene vrijednosti dobivene krigingom ovise o

izraĊenom eksperimentalnom variogramu i aproksimaciji teorijskim modelom.

Za proraĉun eksperimentalnog variograma i aproksimacije teorijskim modelima

korišten je raĉunalni program Golden Software Surfer. Pri izradi eksperimentalnog

variograma u Surferu potrebno je odabrati parametre variograma: broj koraka (number

of lags) i širinu razreda (lag width), anizotropija je ovdje zanemarena (omnidirectional

variogram). Širina razreda se odnosi na udaljenost meĊu parovima toĉaka,

povećavanjem širine razreda povećava se i broj parova koji ulaze u taj razred što je

vaţno ako se uzme u obzir to da broj parova ne bi smio biti manji od 30.

Na slici 6 je prikazan eksperimentalni variogram kod kojeg je dobivena vrijednost

varijance od 29.2802 , broj koraka je 27 i širina razreda je 240.

Slika 6. Eksperimentalni variogram


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


Tablica 1. Koordinate parova toĉaka eksperimentalnog variograma, 29.2802

lag distance (h) parovi točaka

83,00 130,26 35,00

102,28 177,85 55,00

107,26 177,30 60,00

113,74 180,45 66,00

128,27 200,11 80,00

135,19 209,18 87,00

140,58 217,18 92,00

161,05 221,42 89,00

185,82 226,51 110,00

199,62 230,54 127,00

217,45 238,06 153,00

231,24 255,22 166,00

241,94 265,49 169,00

263,19 286,53 172,00

291,53 302,76 172,00

307,74 309,22 190,00

312,48 314,61 185,00

321,96 316,39 171,00

326,55 316,54 164,00

329,45 315,29 159,00

332,46 320,55 153,00

343,89 333,13 130,00

352,16 344,65 113,00

366,39 365,52 87,00

377,01 353,97 70,00

381,58 360,92 61,00

389,60 369,77 44,00


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


4. UKLAPANJE TEORIJSKOG MODELA U EKSPERIMENTALNI

VARIOGRAM

Nakon što se odaberu parametri eksperimentalnog variograma radi se aproksimacija

teorijskim modelom. U ovom dijelu rada prikazani su aproksimirani modeli variograma

korišteni kod proraĉuna kriging metodom, odnosno njihovo uklapanje u dobiveni

eksperimentalni variogram. Iz slike 6 je vidljivo da eksperimentalni variogram prelazi

vrijednost praga i postupno raste s povećanjem udaljenosti h. Stoga su najbolja

uklapanja ostvarena linearnim i potencijskim, odnosno power modelima.

4.1. Linearni teorijski model

Parametri potrebni za izradu linearnog teorijskog modela su nagib (slope) i

odstupanje (nugget effect). Na slici 7 je prikazan uklopljeni linearni model sa nagibom

0.5 i odstupanjem 150.

Slika 7. Uklopljeni linearni model variograma


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


4.2. Potencijski teorijski model (Power model)

Za izradu power teorijskog modela u Surferu su odabrani parametri (Slika 8):

Odstupanje (nugget effect): 150

Strukturnu varijancu (scale): 130

Domet (length): 265

Power (n): 1.45

Slika 8. Uklopljeni power model variograma


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


5. METODA KRIGINGA

Kriging je metoda optimalne procjene neke varijable koja je raspodijeljena u prostoru

i mjerena na nekom konaĉnom broju lokacija. Primjerice mjerenja varijable Z u

toĉkama prostora x1, x2, …, xn, koje mogu istovremeno oznaĉavati toĉke u jednoj, dvije

ili tri dimenzije. Problem procjene neke varijable sastoji se u odreĊivanju vrijednosti Z

u nekoj toĉki prostora x0 u kojoj nema mjerenja. Uzastopnim pomicanjem poloţaja

toĉke x0 moguće je doći do procjene cijelog polja varijable Z, odnosno njezine cjelovite

prostorne distribucije [1]. Pri tome je potrebno znati udaljenost izmeĊu nepoznate toĉke

u kojoj se radi procjena i poznatih toĉaka, te vrijednosti varijable u poznatim toĉkama.

Kao rezultat kriging metode se dobiva kartografski prikaz (grafiĉki model) koji

prikazuje prostorni raspored podataka.

Glavna svojstva kriging metode su da procjena mora biti nepristrana i varijanca

razlike izmeĊu stvarnih i procijenjenih vrijednosti u odabranim toĉkama najmanja

moguća (varijanca kriginga). Uvjet nepristranosti je zadovoljen ako nema vanjskih

utjecaja na varijable, a zbroj svih teţinskih koeficijenata jednak je 1. Varijanca kriginga

ili kvadratna pogreška procjene predstavlja razliku svih pravih i procijenjenih

vrijednosti, a njezina formula glasi [8]:

n

ZZn

iiaprocjenjenprava

1

2

2 (4)

- gdje je n – ukupni broj procijenjenih ili mjerenih vrijednosti

Ovaj matematiĉki izraz se koristi za ocjenu kvalitete dobivenih procijenjenih

vrijednosti tako da se zanemare vrijednosti dobivene na jednoj lokaciji te se procijene

nove vrijednosti s obzirom na preostale postojeće podatke. Taj se postupak ponavlja za

svaku mjerenu vrijednost. Drugi korijen σ2 se naziva standardna pogreška procjene.

Kriging metoda se moţe primijeniti na toĉku ili na blok, a blok je simuliran brojnim

toĉkama koje se onda integriraju. TakoĊer postoji nekoliko tehnika kriging metode a

razlikuju se po obliku matriĉne jednadţbe, odnosno prema podruĉju i vrsti podataka na

koje se primjenjuju [8]:


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


- jednostavni kriging (Simple Kriging)

- obiĉni kriging (Ordinary Kriging)

- indikatorski kriging (Indicator Kriging)

- univerzalni kriging (Universal Kriging)

- disjunktivni kriging (Disjunctive Kriging)

U svrhu izrade modela razine podzemne vode, ovdje je primjenjivano toĉkasto

krigiranje i tehnika obiĉnog kriginga koja je stoga detaljnije objašnjena.

Proraĉun kriging metodom svodi se na rješavanje linearnih jednadţbi iz kojih se

izraĉunavaju teţinski koeficijenati, nakon ĉega se mogu izraĉunati vrijednosti

procijenjene varijable i procijeniti varijanca kriginga. Teţinski koeficijent ili ponder (λ)

pridruţen je svakom podatku ukljuĉenom u postupak krigiranja kako bi se procijenio

njegov utjecaj na ukupni proraĉun i on predstavlja mjeru udaljenosti podataka od toĉke

procjene, a ne i stvarne vrijednosti podataka na toj lokaciji [8]. Stoga se vrijednost

varijable koja se procjenjuje moţe matematiĉki opisati na ovaj naĉin:

n

i

iik ZZ1

(5)

- gdje je: kZ – vrijednost procijenjena krigingom

i – teţinski koeficijent i-te varijable (toĉke/podatka)

iZ – vrijednost poznate i-te toĉke

n – broj okolnih toĉaka koje imaju poznate vrijednosti

Teţinski koeficijenti se dobivaju rješavanjem linearnih jednadţbi koje se mogu

prikazati u obliku matriĉne jednadţbe kriginga:

BxA (6)

101...11

1...

1

1...

1...

2

1

2

1

21

22221

11211

nk

k

k

nnnnn

n

n

h

h

h

x

hhh

hhh

hhh

(7)


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


- gdje je: nnhhh ,..., 2111 – vrijednosti variograma ovisne o

udaljenostima meĊu poznatim toĉkama

nkkk hhh ,..., 21 – vrijednosti variograma ovisne o

udaljenostima izmeĊu toĉke koja se procjenjuje i okolnih poznatih

toĉaka

n ,..., 21 – teţinski koeficijenti

μ – Lagrangeov multiplikator

U prvoj matrici na lijevoj strani A i u matrici na desnoj strani B vrijednosti su

izraţene vrijednošću variograma ili kovarijance, odnosno ovise o udaljenostima

usporeĊenih lokacija. Druga matrica na lijevoj strani sadrţi teţinske koeficijente

koji se izraĉunavaju iz prve dvije spomenute matrice:

1 AxB (8)

Raspisivanjem matrice kriginga dobiva se sustav linearnih jednadţbi:

1...

...

...

...

...

21

2211

22222121

11212111

n

nknnnnn

knn

knn

hhhh

hhhh

hhhh

(9)

Jednadţba obiĉnog kriginga razlikuje se od jednostavnog kriginga po tome što sadrţi

Lagrangeov multiplikator μ kojim se minimalizira iznos varijance kriginga i

zadovoljava uvjet nepristranosti, kako bi se dobili pouzdaniji rezultati procijene. Iz

jednadţbe (9) vidljivo je da se dodavanjem Lagrangeovog mutiplikatora μ u matricu

kriginga zadovoljava uvjet nepristranosti, odnosno dobiva se:

n

i

i

1

1 (10)


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


Budući da se u metodi kriginga odnosi meĊu usporeĊivanim toĉkama izraţavaju

variogramom, kvaliteta procjene teţinskih koeficijenata ovisi o naĉinjenom

variogramskom modelu. Variogramski model s većim brojem kontrolnih toĉaka, većim

dometom (uz uvjet da je domet veći od meĊusobne udaljenosti toĉaka), i bez

anizotropije uglavnom ima veću pouzdanost kod procjene teţinskih koeficijenata.

Porast vrijednosti semivariograma ukazuje na porast pouzdanosti procjene, odnosno

veća vrijednost dobivena za neki par pokazuje da je i meĊusobni utjecaj tih toĉaka veći.

Dodatnu kvalitetu procjeni daje što pravilniji raspored kontrolnih toĉaka [8].

Nakon završetka procjene na promatranoj mreţi podataka (gridu) algoritam kriginga

raĉuna grešku procjene ĉija se vrijednost moţe usporediti s izmjerenom vrijednosti na

poznatoj toĉki koja je upotrijebljena kao ulazni podatak. Na taj naĉin se odreĊuje

pouzdanost procjene i kvaliteta promatranog prostornog modela [8].


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


6. MODELI RAZINE PODZEMNE VODE

Interpolacijskim metodama se procjenjuju vrijednosti regionalizirane varijable u

toĉkama promatrane mreţe podataka. U ovom radu se radi o mreţi podataka sa

izmjerenim razinama podzemne vode, te su primjenom metode kriginga i nekoliko

interpolacijskih metoda napravljeni grafiĉki modeli i dobivene procjene nepoznatih

vrijednosti RPV.

6.1. Grafiĉki modeli razine podzemne vode

Na temelju izvršene variogramske analize, krigingom je izraĊen prostorni prikaz

odnosno model razine podzemne vode vodocrpilišta u Varaţdinu. Osim kriginga

korištene su i ostale ovdje spomenute interpolacijske metode kako bi se dobiveni modeli

RPV mogli meĊusobno usporediti. Modeli RPV izraĊeni su primjenom raĉunalnog

program Golden Software Surfer.

Za izradu modela RPV kriging metodom korišten je model variograma kojim su

dobiveni najlošiji rezultati procjene, odnosno najveća vrijednost kvadratne pogreške

procijene (221.01). Radi se o linearnom modelu sa slijedećim parametrima:

odstupanje (nugget effect): 80

nagib (slope): 0.75

Na slikama su prikazani modeli razina podzemne vode izraĊeni svakom od ovdje

spomenutih interpolacijskih metoda.


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


Slika 9. Model razine podzemne vode izraĊen kriging metodom

Slika 10. Model razine podzemne vode izraĊen metodom Inverse Distance


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


Slika 11. Model razine podzemne vode izraĊen metodom Nearest Neighbor

Slika 12. Model razine podzemne vode izraĊen metodom Moving Average


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


Slika 13. Model razine podzemne vode izraĊen metodom Radial Basis Function

Slika 14. Model razine podzemne vode izraĊen metodom Local polynomial


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


Slika 15. Model razine podzemne vode izraĊen metodom minimum curvature

Iz dobivenih modela razine podzemne vode vidljivo je da kriging metoda i metoda

radial basis function daju najbolje prostorne prikaze razine podzemne vode, dok su

metodama local polynomial, minimum curvature i inverse distance takoĊer dobiveni

zadovoljavajući modeli RPV. Kako se radi o dinamiĉkoj razini podzemne vode zbog

aktivnog bunara B-4, na ova ĉetiri modela je jasno vidljiva pojava hidrauliĉkog lijevka,

odnosno pad potencijala oko zdenca B-4. Metode moving average i nearest neighbor su

dale jako loše prostorne prikaze RPV, pogotovo metoda moving average iz ĉije

prostorne analize nema vidljivog smanjenja piezometarske razine vode prema aktivnom

bunaru B-4.


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


6.2. Procjena razine podzemne vode razliĉitim interpolacijskim metodama

Kako bi se bolje usporedili modeli RPV s obzirom na njihovu kvalitetu procjene u

ovom su dijelu rada prikazane procijenjene vrijednosti dobivene pojedinim

interpolacijskim metodama i izraĉunate su njihove kvadratne pogreške procjene. Time

se dolazi do glavnog cilja rada koji je usporedba dobivenih rezultata procjene i modela

RPV kriging metode sa ostalim interpolacijskim metodama.

Za odreĊivanje procijenjenih vrijednosti u svakoj od ovih 30 toĉaka, u Surferu je

korišten „Cross validation process―, odnosno proces unakrsne validacije. Ovaj

algoritam procijene radi tako da se izostavi prvi ulazni podatak te se na temelju ostalih

poznatih podataka i tehnike interpolacijske metode izraĉuna vrijednost izostavljene

toĉke, odnosno procjena i rezidual/pogreška (razlika mjerene i procijenjene vrijednosti),

zatim se izostavljeni podatak vraća u ulazni skup podataka i izostavlja se slijedeći

podatak. Opisani postupak se ponavlja za svaku slijedeću toĉku, odnosno sa svih n

podataka [9].

Stoga je u svakoj od spomenutih geostatistiĉkih metoda koristeći „Cross validation

process― izostavljen po jedan ulaznih podatak ponavljajući postupak sa svih 30 mjerenja

i dobivene su procijenjene vrijednosti i reziduali za svaku toĉku/mjerenje.

U tablici 2 su prikazane procijenjene vrijednosti za svaku pojedinu toĉku/mjerenje

dobivene razliĉitim interpolacijskim metodama i njihove kvadratne pogreške procjene.

25

Tablica 2. Prikaz procjena i pogrešaka procjena kriging metode i ostalih interpolacijskih metoda

METODA

kriging inverse distance nearest neighbor moving average RBF local polynomial minimum curvature

toĉka mjerenje procjena rezidual

(Δ) Δ2 procjena

rezidual (Δ)

Δ2 procjena rezidual

(Δ) Δ2 procjena

rezidual (Δ)


(Δ) Δ2 procjena

rezidual (Δ)


(Δ) Δ2

B - 1 108,00 125,18 17,18 295,22 124,53 16,53 273,20 125,00 17,00 289,00 125,58 17,58 309,17 128,97 20,97 439,63 124,53 16,53 273,10 124,82 16,82 283,05

B - 2 103,00 118,20 15,20 231,06 123,72 20,72 429,43 126,00 23,00 529,00 126,54 23,54 554,06 128,92 25,92 671,75 116,52 13,52 182,83 119,14 16,14 260,56

B - 3 107,00 112,26 5,26 27,70 107,64 0,64 0,40 107,00 0,00 0,00 126,38 19,38 375,76 112,59 5,59 31,30 114,12 7,12 50,63 108,76 1,76 3,10

B - 4 94,00 111,72 17,72 313,87 110,01 16,01 256,29 109,00 15,00 225,00 127,11 33,11 1096,3

5 105,56 11,56 133,55 115,43 21,43 459,39 105,44 11,44 130,89

B - 5 101,00 118,45 17,45 304,39 112,61 11,61 134,88 110,00 9,00 81,00 127,68 26,68 711,75 102,85 1,85 3,43 122,34 21,34 455,43 107,86 6,86 47,04

B - 6 118,00 136,08 18,08 326,84 139,20 21,20 449,46 140,00 22,00 484,00 126,44 8,44 71,31 136,81 18,81 353,86 135,71 17,71 313,69 131,68 13,68 187,20

B - 7 108,00 129,59 21,59 466,16 126,99 18,99 360,55 130,00 22,00 484,00 125,36 17,36 301,37 135,36 27,36 748,70 134,42 26,42 698,26 111,85 3,85 14,80

B - 8 125,00 128,32 3,32 11,00 129,94 4,94 24,42 130,00 5,00 25,00 125,65 0,65 0,43 126,19 1,19 1,42 128,55 3,55 12,57 129,35 4,35 18,91

B - 9 131,00 145,42 14,42 207,95 156,15 25,15 632,74 158,00 27,00 729,00 125,96 -5,04 25,37 154,38 23,38 546,42 139,53 8,53 72,68 149,47 18,47 341,26

B - 10 126,00 145,45 19,45 378,46 144,29 18,29 334,52 145,00 19,00 361,00 126,85 0,85 0,72 140,61 14,61 213,33 145,58 19,58 383,56 139,83 13,83 191,41

P - 0 128,00 112,88 -15,12 228,53 109,31 -18,69 349,14 110,00 -18,00 324,00 126,71 -1,29 1,65 124,50 -3,50 12,25 118,59 -9,41 88,47 120,05 -7,95 63,26

P - 11 126,00 107,32 -18,68 348,88 105,07 -20,93 438,03 103,00 -23,00 529,00 125,65 -0,35 0,12 102,19 -23,81 567,12 111,01 -14,99 224,85 106,53 -19,47 379,04

P - 12 125,00 115,01 -9,99 99,84 108,88 -16,12 259,94 108,00 -17,00 289,00 124,92 -0,08 0,01 105,38 -19,62 384,99 116,80 -8,20 67,24 109,83 -15,17 230,14

P - 13 107,00 112,98 5,98 35,76 107,59 0,59 0,35 107,00 0,00 0,00 126,38 19,38 375,76 102,76 -4,24 17,96 114,87 7,87 61,90 106,28 -0,72 0,52

P - 14 109,00 104,54 -4,46 19,88 96,68 -12,32 151,76 94,00 -15,00 225,00 126,56 17,56 308,20 97,77 -11,23 126,01 112,39 3,39 11,52 99,39 -9,61 92,35

P - 15 110,00 115,02 5,02 25,22 107,44 -2,56 6,56 101,00 -9,00 81,00 127,36 17,36 301,27 109,21 -0,79 0,63 120,27 10,27 105,45 111,22 1,22 1,49

P - 16 140,00 125,55 -14,45 208,72 118,40 -21,60 466,49 118,00 -22,00 484,00 125,63 -14,37 206,51 121,73 -18,27 333,95 127,01 -12,99 168,83 121,41 -18,59 345,63

P - 17 146,00 140,68 -5,32 28,28 130,73 -15,27 233,31 148,00 2,00 4,00 124,36 -21,64 468,29 157,69 11,69 136,56 141,86 -4,14 17,16 146,69 0,69 0,48

P - 18 130,00 126,06 -3,94 15,55 125,15 -4,85 23,49 125,00 -5,00 25,00 125,46 -4,54 20,60 128,90 -1,10 1,20 126,95 -3,05 9,30 128,47 -1,53 2,35

P - 19 158,00 131,51 -26,49 701,79 130,87 -27,13 735,78 131,00 -27,00 729,00 124,96 -33,04 1091,4

5 133,63 -24,37 594,09 131,54 -26,46 699,95 136,13 -21,87 478,28

P - 20 145,00 134,67 -10,33 106,81 126,66 -18,34 336,42 126,00 -19,00 361,00 125,58 -19,42 377,01 130,87 -14,13 199,71 136,46 -8,54 72,91 133,38 -11,62 134,98

P - 21 140,00 133,86 -6,14 37,71 124,06 -15,94 254,14 139,00 -1,00 1,00 122,75 -17,25 297,56 113,11 -26,89 722,85 156,49 16,49 271,87 140,24 0,24 0,06

P - 22 139,00 118,72 -20,28 411,15 117,69 -21,31 454,25 125,00 -14,00 196,00 125,15 -13,85 191,72 83,50 -55,50 3079,83 122,81 -16,19 262,03 130,23 -8,77 76,87

P - 23 144,00 124,72 -19,28 371,83 120,41 -23,59 556,55 108,00 -36,00 1296,00 116,71 -27,29 744,51 92,82 -51,18 2619,67 107,07 -36,93 1363,47 211,29 67,29 4527,49

P - 24 150,00 141,35 -8,65 74,89 131,60 -18,40 338,64 145,00 -5,00 25,00 131,36 -18,64 347,56 158,94 8,94 79,90 126,40 -23,60 556,94 158,16 8,16 66,56

P - 25 146,00 113,17 -32,83 1077,91 118,34 -27,66 765,09 108,00 -38,00 1444,00 124,04 -21,96 482,31 113,95 -32,05 1027,21 101,64 -44,36 1967,62 146,14 0,14 0,02

P - 26 131,00 132,77 1,77 3,12 127,37 -3,63 13,14 133,00 2,00 4,00 133,56 2,56 6,53 128,59 -2,41 5,81 99,62 -31,38 984,62 143,52 12,52 156,75

P - 27 148,00 132,92 -15,08 227,27 128,38 -19,62 384,99 140,00 -8,00 64,00 125,33 -22,67 513,78 142,10 -5,90 34,87 132,72 -15,28 233,55 146,86 -1,14 1,30

P - 29 131,00 134,77 3,77 14,24 122,84 -8,16 66,59 139,00 8,00 64,00 121,83 -9,17 84,03 120,72 -10,28 105,66 145,89 14,89 221,63 140,21 9,21 84,88

P - 30 133,00 138,50 5,50 30,21 131,32 -1,68 2,83 158,00 25,00 625,00 128,63 -4,37 19,08 198,66 65,66 4311,44 142,63 9,63 92,69 129,10 -3,90 15,20

kvadratna

pogreška

procjene (σ2)

221,01 291,11 332,57 309,47 583,50 346,14 271,20


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


Promatrajući vrijednosti kvadratnih pogrešaka procjena prikazanih u tablici 2. vidi se

da je metodom kriginga dobivena znatno manja kvadratna pogreške procjene (221.01) u

odnosu na ostale interpolacijske metode, ĉime se kriging metoda istiĉe kao najbolja

metoda (od ovdje usporeĊivanih) za modeliranje razine podzemne vode. Nakon

pogreške procijene dobivene kriging metodom najmanja slijedeća pogreška procjene

dobivena je metodom minimum curvature (271.20) što znaĉi da bi metoda minimum

curvature bila do kriginga slijedeća metoda po kvaliteti procjene. Najveća vrijednost

kvadratne pogreške procjene dobivena je metodom RBF (583.50).

6.3. Razrada geostatistiĉkih modela

U ovom dijelu su za proraĉun kriging metodom korišteni razliĉiti linearni i power

modeli variograma te je prikazano kako razliĉite aproksimacije tim teorijskim modelima

i promijene vrijednosti njihovih parametara utjeĉu na rezultate procjene RPV kriging

metodom. Teorijski modeli dobiveni su uklapanjem tako da su uzimane razliĉite

vrijednosti odstupanja (od 80 do 160) i promatrane su promijene procijenjenih

vrijednosti Z (razina podzemne vode) dobivenih krigingom. Kao što je već spomenuto u

teorijskom dijelu rada ovdje se radi o toĉkastoj i obiĉnoj kriging metodi što je uzeto u

obzir pri unosu podataka u Surfer.

6.3.1. Linearni modeli

Razliĉiti linearni modeli variograma su dobiveni uvrštavanjem razliĉitih vrijednosti

odstupanja i uklapanjem nagiba. U Tablici 3 prikazane su procijenjene vrijednosti, i

reziduali, i izraĉunate su vrijednosti kvadratnih pogrešaka procijenjenih vrijednosti

dobivenih kriging metodom za te teorijske modele.

27

Tablica 3. Procjene, reziduali i kvadratne pogreške procjena linearnih modela

METODA

KRIGING

model

linearni model

parametri

nugget 80, slope 0,75 nugget 100, slope 0,69 nugget 120, slope 0,62 nugget 130, slope 0,58 nugget 140, slope 0,55 nugget 150, slope 0,5 nugget 160, slope 0,45


(Δ) Δ2 procjena

rezidual

(Δ) Δ2 procjena

rezidual

(Δ) Δ2 procjena

rezidual

(Δ) Δ2 procjena

rezidual

(Δ) Δ2 procjena

rezidual

(Δ) Δ2 procjena

rezidual

(Δ) Δ2

B - 1 108,00 125,18 17,18 295,22 124,90 16,90 285,70 124,61 16,61 275,81 124,45 16,45 270,65 124,31 16,31 266,17 124,14 16,14 260,50 123,97 15,97 254,89

B - 2 103,00 118,20 15,20 231,06 117,70 14,70 216,22 117,41 14,41 207,74 117,34 14,34 205,62 117,32 14,32 204,98 117,35 14,35 205,81 117,44 14,44 208,61

B - 3 107,00 112,26 5,26 27,70 112,90 5,90 34,86 113,56 6,56 42,98 113,90 6,90 47,66 114,21 7,21 52,05 114,63 7,63 58,21 115,08 8,08 65,21

B - 4 94,00 111,72 17,72 313,87 112,30 18,30 334,87 112,96 18,96 359,64 113,35 19,35 374,29 113,70 19,70 388,21 114,20 20,20 407,92 114,75 20,75 430,41

B - 5 101,00 118,45 17,45 304,39 119,06 18,06 326,03 119,64 18,64 347,60 119,95 18,95 359,14 120,22 19,22 369,52 120,58 19,58 383,48 120,97 19,97 398,62

B - 6 118,00 136,08 18,08 326,84 135,51 17,51 306,65 134,92 16,92 286,42 134,61 16,61 275,96 134,34 16,34 266,88 133,98 15,98 255,26 133,60 15,60 243,46

B - 7 108,00 129,59 21,59 466,16 129,35 21,35 455,96 129,11 21,11 445,71 128,99 20,99 440,42 128,88 20,88 435,86 128,74 20,74 430,10 128,60 20,60 424,42

B - 8 125,00 128,32 3,32 11,00 128,26 3,26 10,65 128,24 3,24 10,52 128,24 3,24 10,53 128,25 3,25 10,57 128,27 3,27 10,68 128,29 3,29 10,84

B - 9 131,00 145,42 14,42 207,95 143,77 12,77 163,05 142,23 11,23 126,04 141,47 10,47 109,54 140,82 9,82 96,52 140,02 9,02 81,42 139,23 8,23 67,77

B - 10 126,00 145,45 19,45 378,46 145,14 19,14 366,25 144,71 18,71 349,96 144,44 18,44 339,90 144,17 18,17 330,22 143,79 17,79 316,49 143,35 17,35 300,97

P - 0 128,00 112,88 -15,12 228,53 113,69 -14,31 204,70 114,58 -13,42 180,14 115,07 -12,93 167,24 115,51 -12,49 155,98 116,11 -11,89 141,48 116,74 -11,26 126,75

P - 11 126,00 107,32 -18,68 348,88 108,15 -17,85 318,49 109,04 -16,96 287,81 109,52 -16,48 271,66 109,96 -16,04 257,42 110,55 -15,45 238,82 111,19 -14,81 219,48

P - 12 125,00 115,01 -9,99 99,84 115,78 -9,22 85,09 116,46 -8,54 72,96 116,79 -8,21 67,47 117,06 -7,94 63,06 117,40 -7,60 57,81 117,73 -7,27 52,85

P - 13 107,00 112,98 5,98 35,76 113,59 6,59 43,46 114,20 7,20 51,85 114,52 7,52 56,57 114,81 7,81 60,95 115,19 8,19 67,04 115,60 8,60 73,90

P - 14 109,00 104,54 -4,46 19,88 106,00 -3,00 9,01 107,46 -1,54 2,39 108,22 -0,78 0,61 108,89 -0,11 0,01 109,78 0,78 0,60 110,70 1,70 2,90

P - 15 110,00 115,02 5,02 25,22 115,85 5,85 34,26 116,69 6,69 44,72 117,13 7,13 50,82 117,52 7,52 56,57 118,04 8,04 64,62 118,59 8,59 73,71

P - 16 140,00 125,55 -14,45 208,72 126,13 -13,87 192,43 126,60 -13,40 179,43 126,82 -13,18 173,79 126,98 -13,02 169,44 127,17 -12,83 164,52 127,34 -12,66 160,24

P - 17 146,00 140,68 -5,32 28,28 140,12 -5,88 34,61 139,50 -6,50 42,20 139,16 -6,84 46,72 138,86 -7,14 51,04 138,44 -7,56 57,20 137,98 -8,02 64,27

P - 18 130,00 126,06 -3,94 15,55 126,28 -3,72 13,85 126,52 -3,48 12,14 126,64 -3,36 11,27 126,76 -3,24 10,53 126,90 -3,10 9,59 127,06 -2,94 8,67

P - 19 158,00 131,51 -26,49 701,79 131,48 -26,52 703,39 131,43 -26,57 706,18 131,39 -26,61 708,02 131,36 -26,64 709,85 131,31 -26,69 712,52 131,25 -26,75 715,65

P - 20 145,00 134,67 -10,33 106,81 135,51 -9,49 90,00 136,18 -8,82 77,79 136,45 -8,55 73,06 136,65 -8,35 69,77 136,84 -8,16 66,62 136,96 -8,04 64,65

P - 21 140,00 133,86 -6,14 37,71 133,44 -6,56 43,01 132,95 -7,05 49,73 132,66 -7,34 53,85 132,40 -7,60 57,82 132,03 -7,97 63,54 131,62 -8,38 70,14

P - 22 139,00 118,72 -20,28 411,15 119,10 -19,90 396,00 119,43 -19,57 382,85 119,60 -19,40 376,51 119,73 -19,27 371,16 119,91 -19,09 364,43 120,09 -18,91 357,67

P - 23 144,00 124,72 -19,28 371,83 124,34 -19,66 386,71 123,87 -20,13 405,13 123,60 -20,40 415,98 123,36 -20,64 426,12 123,02 -20,98 440,03 122,67 -21,33 455,12

P - 24 150,00 141,35 -8,65 74,89 141,32 -8,68 75,30 141,25 -8,75 76,55 141,18 -8,82 77,75 141,10 -8,90 79,20 140,96 -9,04 81,76 140,76 -9,24 85,35

P - 25 146,00 113,17 -32,83 1077,91 113,69 -32,31 1044,11 114,23 -31,77 1009,15 114,53 -31,47 990,40 114,80 -31,20 973,64 115,16 -30,84 951,34 115,54 -30,46 927,54

P - 26 131,00 132,77 1,77 3,12 132,71 1,71 2,93 132,64 1,64 2,67 132,58 1,58 2,51 132,53 1,53 2,35 132,45 1,45 2,11 132,36 1,36 1,85

P - 27 148,00 132,92 -15,08 227,27 132,61 -15,39 237,00 132,30 -15,70 246,59 132,14 -15,86 251,59 132,00 -16,00 255,97 131,82 -16,18 261,71 131,64 -16,36 267,72

P - 29 131,00 134,77 3,77 14,24 134,10 3,10 9,60 133,33 2,33 5,43 132,89 1,89 3,59 132,49 1,49 2,22 131,94 0,94 0,88 131,34 0,34 0,11

P - 30 133,00 138,50 5,50 30,21 138,33 5,33 28,45 138,20 5,20 27,01 138,12 5,12 26,26 138,06 5,06 25,55 137,95 4,95 24,53 137,83 4,83 23,29

kvadratna

pogreška

procjene (σ2)

221,01 215,09 210,50 208,65 207,32 206,04 205,24


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


Rezultati su pokazali da je najmanja kvadratna pogreška procjene (205.24) dobivena

variogramom sa parametrima (Tablica 3.):


nagib (slope): 0.45

Pri uklapanju linearnog teorijskog modela s povećanjem vrijednosti odstupanja

smanjuje se vrijednost nagiba. Iz razliĉitih vrijednosti odstupanja i nagiba moţe se

vidjeti da veće vrijednosti odstupanja i manje vrijednosti nagiba daju bolje rezultate

procjene, odnosno manje kvadratne pogreške procjena.

6.3.2. Power modeli

Pri izradi power modela uvrštavane su razliĉite vrijednosti odstupanja, a strukturne

varijance su dobivene kao razlike vrijednosti praga i odstupanja. Kada je 1n power

teorijski model odgovara linearnom modelu. Tako je vrijednost dometa dobivena

uklapanjem power modela kod kojeg je 1n i vrijedi za sve ostale aproksimirane power

modele. Kod ostalih power modela parametar n je dobiven uklapanjem.

U tablici 4 su prikazani rezultati aproksimacija, te procijenjene vrijednosti i reziduali

dobiveni kriging metodom za razliĉite power modele. TakoĊer su izraĉunate kvadratne

pogreške procjene.

29

Tablica 4. Procjene, reziduali i kvadratne pogreške procjena power modela

METODA KRIGING

model

power

parametri

nugget 114,59, scale 165,7,

length 265, power 1

nugget 80, scale 200, length

265, power 0.97


265, power 1


265, power 1.16


265, power 1.22


265, power 1.32


265, power 1.45


265, power 1.55


(Δ) Δ2 procjena

rezidual

(Δ) Δ2 procjena

rezidual

(Δ) Δ2 procjena

rezidual

(Δ) Δ2 procjena

rezidual

(Δ) Δ2 procjena

rezidual

(Δ) Δ2 procjena

rezidual

(Δ) Δ2 procjena

rezidual

(Δ) Δ2

B - 1 108,00 124,66 16,66 277,61 125,20 17,20 295,94 124,89 16,89 285,18 124,36 16,36 267,77 124,09 16,09 258,85 123,72 15,72 246,97 123,25 15,25 232,58 122,87 14,87 221,16

B - 2 103,00 117,45 14,45 208,83 118,34 15,34 235,31 117,68 14,68 215,61 116,79 13,79 190,25 116,58 13,58 184,49 116,40 13,40 179,59 116,41 13,41 179,90 116,73 13,73 188,62

B - 3 107,00 113,44 6,44 41,43 112,24 5,24 27,48 112,94 5,94 35,26 113,70 6,70 44,84 114,08 7,08 50,15 114,54 7,54 56,80 115,11 8,11 65,78 115,72 8,72 76,11

B - 4 94,00 112,84 18,84 354,85 111,75 17,75 314,98 112,33 18,33 336,09 112,92 18,92 357,88 113,32 19,32 373,25 113,84 19,84 393,66 114,61 20,61 424,87 115,55 21,55 464,24

B - 5 101,00 119,54 18,54 343,66 118,41 17,41 302,94 119,09 18,09 327,16 119,82 18,82 354,19 120,17 19,17 367,48 120,59 19,59 383,69 121,13 20,13 405,02 121,71 20,71 429,00

B - 6 118,00 135,03 17,03 290,07 136,12 18,12 328,18 135,48 17,48 305,58 134,62 16,62 276,25 134,19 16,19 262,21 133,66 15,66 245,24 133,02 15,02 225,63 132,46 14,46 209,00

B - 7 108,00 129,16 21,16 447,56 129,62 21,62 467,31 129,34 21,34 455,42 128,91 20,91 437,37 128,69 20,69 428,23 128,39 20,39 415,66 127,96 19,96 398,56 127,53 19,53 381,60

B - 8 125,00 128,24 3,24 10,53 128,36 3,36 11,26 128,26 3,26 10,63 128,03 3,03 9,17 127,95 2,95 8,70 127,82 2,82 7,98 127,67 2,67 7,11 127,55 2,55 6,50

B - 9 131,00 142,50 11,50 132,20 145,56 14,56 212,08 143,68 12,68 160,90 141,27 10,27 105,44 140,18 9,18 84,36 138,88 7,88 62,07 137,39 6,39 40,86 136,16 5,16 26,61

B - 10 126,00 144,79 18,79 353,21 145,40 19,40 376,41 145,12 19,12 365,49 144,87 18,87 356,26 144,62 18,62 346,76 144,28 18,28 333,99 143,71 17,71 313,61 142,97 16,97 288,03

P - 0 128,00 114,41 -13,59 184,61 112,90 -15,10 228,06 113,74 -14,26 203,41 114,76 -13,24 175,20 115,37 -12,63 159,47 116,15 -11,85 140,39 117,19 -10,81 116,94 118,26 -9,74 94,86

P - 11 126,00 108,87 -17,13 293,39 107,32 -18,68 348,96 108,20 -17,80 316,87 109,19 -16,81 282,50 109,76 -16,24 263,88 110,46 -15,54 241,37 111,42 -14,58 212,63 112,46 -13,54 183,22

P - 12 125,00 116,34 -8,66 74,99 114,95 -10,05 101,09 115,81 -9,19 84,39 116,74 -8,26 68,19 117,12 -7,88 62,13 117,51 -7,49 56,06 117,92 -7,08 50,19 118,27 -6,73 45,30

P - 13 107,00 114,09 7,09 50,27 112,96 5,96 35,47 113,62 6,62 43,89 114,33 7,33 53,74 114,68 7,68 58,96 115,08 8,08 65,30 115,58 8,58 73,61 116,12 9,12 83,11

P - 14 109,00 107,19 -1,81 3,27 104,49 -4,51 20,35 106,08 -2,92 8,55 107,91 -1,09 1,19 108,84 -0,16 0,02 109,98 0,98 0,95 111,40 2,40 5,77 112,84 3,84 14,76

P - 15 110,00 116,54 6,54 42,71 114,96 4,96 24,62 115,90 5,90 34,77 117,02 7,02 49,32 117,57 7,57 57,32 118,24 8,24 67,92 119,08 9,08 82,49 119,94 9,94 98,78

P - 16 140,00 126,53 -13,47 181,56 125,48 -14,52 210,80 126,16 -13,84 191,66 126,95 -13,05 170,27 127,24 -12,76 162,75 127,55 -12,45 154,92 127,84 -12,16 147,89 128,02 -11,98 143,49

P - 17 146,00 139,62 -6,38 40,72 140,59 -5,41 29,23 140,09 -5,91 34,98 139,83 -6,17 38,12 139,57 -6,43 41,31 139,30 -6,70 44,93 138,89 -7,11 50,59 138,33 -7,67 58,79

P - 18 130,00 126,47 -3,53 12,45 126,07 -3,93 15,44 126,29 -3,71 13,76 126,46 -3,54 12,53 126,56 -3,44 11,85 126,64 -3,36 11,28 126,71 -3,29 10,81 126,78 -3,22 10,38

P - 19 158,00 131,44 -26,56 705,60 131,51 -26,49 701,76 131,48 -26,52 703,51 131,35 -26,65 710,06 131,27 -26,73 714,64 131,13 -26,87 722,12 130,92 -27,08 733,45 130,71 -27,29 744,84

P - 20 145,00 136,07 -8,93 79,69 134,55 -10,45 109,24 135,55 -9,45 89,24 136,88 -8,12 66,00 137,35 -7,65 58,45 137,88 -7,12 50,70 138,31 -6,69 44,78 138,41 -6,59 43,46

P - 21 140,00 133,04 -6,96 48,40 133,76 -6,24 38,92 133,42 -6,58 43,33 133,31 -6,69 44,76 133,12 -6,88 47,38 132,91 -7,09 50,26 132,58 -7,42 55,13 132,06 -7,94 63,06

P - 22 139,00 119,38 -19,62 385,12 118,79 -20,21 408,24 119,12 -19,88 395,26 119,14 -19,86 394,26 119,22 -19,78 391,20 119,27 -19,73 389,12 119,38 -19,62 385,03 119,59 -19,41 376,57

P - 23 144,00 123,96 -20,04 401,55 124,74 -19,26 371,06 124,31 -19,69 387,60 123,56 -20,44 417,97 123,07 -20,93 437,93 122,34 -21,66 469,28 121,15 -22,85 521,95 119,71 -24,29 589,94

P - 24 150,00 141,27 -8,73 76,24 141,23 -8,77 76,89 141,32 -8,68 75,34 142,10 -7,90 62,45 142,43 -7,57 57,35 143,01 -6,99 48,83 143,82 -6,18 38,25 144,38 -5,62 31,53

P - 25 146,00 114,13 -31,87 1015,57 113,37 -32,63 1064,45 113,72 -32,28 1042,29 113,34 -32,66 1066,82 113,34 -32,66 1066,49 113,23 -32,77 1074,11 113,11 -32,89 1081,58 113,19 -32,81 1076,50

P - 26 131,00 132,65 1,65 2,73 132,77 1,77 3,14 132,71 1,71 2,92 132,57 1,57 2,48 132,48 1,48 2,20 132,33 1,33 1,77 132,06 1,06 1,12 131,69 0,69 0,48

P - 27 148,00 132,35 -15,65 244,86 132,94 -15,06 226,95 132,59 -15,41 237,51 132,16 -15,84 250,88 131,94 -16,06 257,89 131,66 -16,34 267,00 131,30 -16,70 278,79 130,97 -17,03 289,96

P - 29 131,00 133,48 2,48 6,13 134,65 3,65 13,34 134,06 3,06 9,36 133,74 2,74 7,49 133,38 2,38 5,68 132,96 1,96 3,86 132,30 1,30 1,68 131,36 0,36 0,13

P - 30 133,00 138,22 5,22 27,26 138,47 5,47 29,97 138,33 5,33 28,36 138,36 5,36 28,77 138,38 5,38 28,94 138,44 5,44 29,58 138,52 5,52 30,49 138,55 5,55 30,83

kvadratna

pogreška

procjene

(σ2)

211,24 221,00 214,81 210,08 208,34 207,18 207,24 209,03


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


Rezultati za power modele dobiveni kriging metodom pokazali su da su najbolje

aproksimacije ostvarene variogramima ĉije se vrijednosti odstupanja kreću izmeĊu 140 i

150. Najmanja kvadratna pogreška (207.18) dobivena je variogramom sa parametrima:


prag (scale): 140

domet (length): 265

potencija (power): 1.32.

MeĊusobni utjecaj navedenih parametara je takav da se povećanjem vrijednosti

odstupanja smanjuje strukturna varijanca i povećava se vrijednost power-a (n), a domet

se ne mijenja. Povećanjem vrijednosti dometa povećala bi se i vrijednost power-a.

Power modeli sa većim vrijednostima odstupanja, većim dometom, većim power-ima i

manjim vrijednostima strukturne varijance pokazuju manju pogrešku procjene.


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


7. ZAKLJUĈAK

Glavni cilj rada bio je usporedba modela razine podzemne vode dobivenih razliĉitim

interpolacijskim metodama i njihovih rezultata procjene kako bi se odredila

najpouzdanija interpolacijska metoda za modeliranje RPV. U tu svrhu je korištena

geostatistiĉka metoda kriginga i šest razliĉitih interpolacijskih metoda. Usporedba

procijenjenih vrijednosti koje su dobivene pojedinim interpolacijskim metodama se

sastoji od usporedbe njihovih kvadratnih pogrešaka procjene.

Kako algoritam kriging metode proraĉunava procijenjene vrijednosti na temelju

aproksimiranih variograma koji ulaze u matricu kriginga, prvo je provedena

variogramska analiza. Variogramskom analizom je traţen teorijski model variograma

kojim je ostvareno najbolje uklapanje u eksperimentalni model, i koji daje najbolje

rezultate procjene kriging metodom. Budući da dobiveni eksperimentalni variogram

postupno raste s povećanjem udaljenosti h i nema izraţeni prag, najbolje aproksimacije

su dobivene linearnim i power modelima.

U tablici 5 su prikazane vrijednosti kvadratnih pogrešaka procjena dobivenih iz

procjena geostatistiĉkom metodom kriginga i razliĉitim interpolacijskim metodama.

Tablica 5. Kvadratne pogreške procjena za kriging i ostale interpolacijske metode

METODA kvadratna pogreška procjene (σ2)

kriging 221,01

inverse distance 291,11

nearest neighbor 332,57

moving average 309,47

RBF 583,5

local polynomial 346,14

minimum curvature 271,2

Iz tablice 5 se vidi da je geostatistiĉkom metodom kriginga dobivena znatno manja

kvadratna pogreške procjene u odnosu na ostale interpolacijske metode. TakoĊer su

krigingom i metodom RBF dobiveni najbolji grafiĉki modeli RPV. MeĊutim, metoda

RBF daje najlošije rezultate procjena i najveću vrijednost kvadratne pogreške procjene.

Provedena je daljnja variogramska analiza koja se sastoji od traţenja linearnih i

power modela koji se najbolje uklapaju u eksperimentalni variogram. Uzimane su

razliĉite vrijednosti njihovih parametara i promatrani su rezultati procjena dobiveni


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


kriging metodom (Tablice 3 i 4). Zbog bolje preglednosti, u tablici 6 prikazane su samo

vrijednosti kvadratnih pogrešaka procjena izraĉunatih iz procjena kriging metodom za

razliĉite linearne modele, odnosno u tablici 7, za razliĉite power modele.

Tablica 6. Kvadratne pogreške procjena za razliĉite linearne modele

METODA KRIGING

model linearni

parametri σ2

nugget slope

80 0,75 221

100 0,69 215,09

120 0,62 210,5

130 0,58 208,65

140 0,55 207,32

150 0,50 206,04

160 0,45 205,24

Kao što se vidi iz tablice 6, najmanja kvadratna pogreška procjene iznosi 205.24, a

dobivena je za linearni model variograma sa odstupanjem od 160 i nagibom 0.45.

Tablica 7. Kvadratne pogreške procjena za razliĉite power modele

METODA KRIGING

model power

parametri σ2

nugget power

114,595 1 211,24

80 0,97 221

100 1 214,81

120 1,16 210,08

130 1,22 208,34

140 1,32 207,18

150 1,45 207,24

160 1,55 209,03

Najmanje vrijednosti pogrešaka procjena power modela dobivene su sa vrijednostima

odstupanja izmeĊu 140 i 150.

Na osnovi dobivenih rezultata moţe se zakljuĉiti da se geostatistiĉka metoda kriginga

istiĉe kao najpouzdanija metoda (od ovdje usporeĊivanih) za modeliranje razine

podzemne vode.


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


8. POPIS LITERATURE

[1] Andriĉević R., Gotovac H., Ljubekov I. (2006): Geostatistika, Sveuĉilište u

Splitu, GraĊevinsko-arhitektonski fakultet

[2] Tušar B (2008): Vodoopskrba u varaţdinu,

www.em.com.hr/media/ege/casopis/2008/3/82.pdf

[3] Malvić T: Geomatematika,

http://bib.irb.hr/datoteka/303700.Vijesti_tema_broja_44_1.pdf

[4] Syed Abdul Rahman Shibli (2003) Geostatistics FAQ — Frequently Asked

Questions,

www.ai-geostats.org/pub/AI_GEOSTATS/AI_GEOSTATSFAQ/FAQ_Geostatistics_01.pdf

[5] Malvić T, Gaćeša S (2006): Geostatistika u opisivanju leţišta ugljikovodika

http://bib.irb.hr/datoteka/382718.UVODNI.pdf

[6] Malvić T (2008): Primjena geostatistike u analizi geoloških podataka, udţbenici

Sveuĉilušta u Zagrebu

[7] Geoff Bohling (2005): Intraduction to geostatistic and variogram analysis,

Kansas Geological Survey

[8] Malvić T (2005): Kriging, www.geologija.hr/pdf/Kriging_2.izd..pdf

[9] Golden Software, Inc. (2002): Surfer-User’s Guide, 809 14th Street, Golden,

Colorado 80401-1866, U.S.A., www.wi.zut.edu.pl/gis/Surfer_8_Guide.pdf

http://www.em.com.hr/media/ege/casopis/2008/3/82.pdf

http://bib.irb.hr/datoteka/303700.Vijesti_tema_broja_44_1.pdf


http://bib.irb.hr/datoteka/382718.UVODNI.pdf

http://www.geologija.hr/pdf/Kriging_2.izd..pdf



_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


9. SAŢETAK

AUTOR: Valentina.Ţerjavić

NASLOV RADA: Geostatistiĉko modeliranje razine podzemne vode

KLJUĈNE RIJEĈI: geostatistika, variogram, kriging, pogreška procjene

Geostatistiĉka disciplina u današnje vrijeme ima široku primjenu, a u ovom radu je

analizirana pouzdanost i primjenjivost geostatistike na sluĉaju modeliranja razine

podzemne vode crpilišta u Varaţdinu. Na temelju poznatih koordinata zdenaca i

piezometara izraĊeni su grafiĉki modeli dinamiĉke razine podzemne vode i napravljene

su procjene RPV (odnosno Z koordinata) za svaki ulazni podatak. Pri tome je korištena

geostatistiĉka metoda kriginga i razliĉite interpolacijske metode. Usporedba dobivenih

modela i procjena pokazala je da se geostatistiĉom metodom kriginga dobivaju

najmanje pogreške kod procjene RPV, ĉime je potvrĊena njezina pouzdanost u

modeliranju razine podzemne vode. Uz to, kod procjene kriging metodom analiziran je

problem odabira najboljeg teorijskog modela variograma koji ulazi u proraĉun matrice

kriginga. Usporedbom nekoliko kombinacija variogramskih parametara odreĊen je

teorijski model kojim su dobiveni najbolji rezultati procjene kriging metodom.


_____________________________________________________________________________

_______________________________________________


ABSTRACT:

AUTHOR: Valentina Ţerjavić

TITLE: Geostatistical modeling of the groundwater level

KEY WORDS: geostatistics, variogram, kriging, error assessment

Today geostatistics has wide range of possible applications. This paper analyses

reliability and applicability of geostatistics in the case of groundwater level modeling at

the well field in Varaţdin. Based on the known coordinates of the wells and piezometers

grafical models of dynamic groundwater level and groundwater level assessments (Z

coordinat) were carried out for every input data. The used methods were kriging

(geostatistical method) and various interpolation methods. Comparison of the resulted

models and assessments has shown that kriging method has the smallest error when

assessing groundawater level. In that way the reliability of the kriging method in

modeling groundwater level has been confirmed. Also with kriging method assessment

the problem of selecting the best theoretical model of variogram which enters in the

calculation of the kriging matrix was analysed. Comparing several combinations of

variogram parameters the theoretical model which gave the best results in kriging

assessments was selected.

Documents

GEOSTATISTIČKO MODELIRANJE RAZINE … · Za proraĉun variograma i aproksimaciju teorijskih modela u ovom radu je korišten raĉunalni program Golden Software Surfer koji sadrţi