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GEOTECNICA
LEZIONE 7 SFORZI E DEFORMAZIONI TENSIONE LITOSTATICA
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
Ing. Alessandra Nocilla
2
RELAZIONI TRA SFORZI E DEFORMAZIONI, RIGIDEZZA-‐RESISTENZA NELLE TERRE
TIPICA CURVA TENSIONE-‐DEFORMAZIONE DI UN TERRENO
Valore ul@mo della tensione = resistenza
Snervamento
Gradiente = rigidezza
Tensione
efficace σ
’
Deformazione ε’
Per superare le difficoltà connesse allo studio del comportamento dei mezzi par@cellari si assume l’ipotesi di un mezzo ideale conGnuo, ammeMendo che l’elemento infinitesimo abbia le stesse proprietà del corpo nel suo insieme.
N:B: I l comportamento meccanico dei terreni, e cioè anche la loro resistenza o r i g i d e z z a , d i p e n d e ESCLUS IVAMENTE da l la tensione efficace (Terzaghi, p.d.t.e.)
Per analizzare qualsiasi mezzo con@nuo fluido o solido e valutare la sua risposta meccanica successivamente all’applicazione di forze esterne, è necessario introdurre dei legami tra le tensioni e le deformazioni. Ques@ legami sono chiama@ relazioni cosGtuGve e possono avere forme diverse a seconda della natura del materiale.
La rigidezza è il gradiente della curva tensioni-‐deformazioni. Se il legame è lineare, il gradiente è costante. Se non lo è possono determinarsi sia una rigidezza tangente che una secante.
La resistenza di un materiale è una misura della massima tensione che esso è in grado di sopportare ed è il faMore che determina la stabilità o il collasso delle struMure.
N.B.: La rigidezza e la resistenza sono due proprietà dis@nte e indipenden@ di un materiale: la prima governa gli spostamen@ e le deformazioni soMo i carichi di esercizio, mentre la seconda determina i massimi valori del carico che una struMura può sopportare. (esempi: acciaio, margarina, gesso, gomma).
Il faMore che determina le deformazioni e gli spostamen@ delle struMure e dei terreni di fondazione quando sono sogge[ a carichi, è la loro rigidezza. In alterna@va si può parlare di “compressibilità” di un terreno: dimensionalmente questa rappresenta il reciproco della rigidezza.
3
MODELLI REOLOGICI E LEGAMI COSTITUTIVI
Una legge cosGtuGva è data da un modello matemaGco che descrive il comportamento sforzi-‐deformazioni del materiale idealizzato in relazione al fenomeno fisico che lo interessa; ovvero l’applicazione ingegneris@ca che si sta considerando.
AMenzione: IDEALIZZAZIONE!
UNICO MODELLO IMPOSSIBILE!
-‐ il legame sforzi-‐deformazioni non è lineare anche nell’ambito di un comportamento elas@co;
-‐ una cospicua aliquota delle deformazioni totali è irreversibile;
-‐ le caraMeris@che sforzi-‐deformazioni-‐resistenza dipendono dalla tensione di confinamento e dalle condizioni di deformazione;
-‐ si ha interazione tra le varie fasi cos@tuen@ il terreno e si deve prevedere la pressione inters@ziale generata da ogni variazione dello stato tensionale;
-‐ vi sono fenomeni di dilatanza che dipendono dalla tensione di confinamento;
-‐ si ha comportamento instabile (strain so_ening) per materiali sabbiosi molto addensa@ e per le argille sovraconsolidate;
-‐ le caraMeris@che sforzi-‐deformazioni-‐resistenza dipendono anche dalla direzione di sollecitazione (anisotropia)
-‐ altri fenomeni più complessi..(creep. Etc..)
È molto difficile ricostruire una legge cos@tu@va che copra tu[ i possibili campi e modi di eccitazione e di comportamento di uno stesso materiale, pertanto è necessario limitare la considerazione del problema a campi di specifico interesse.
ASPETTI PRINCIPALI DI CUI OGNI MODELLO DEVE TENERE CONTO
La REOLOGIA è la scienza che studia l’andamento delle deformazioni nella materia soMo l’effeMo dell’applicazione di un sistema di sollecitazioni. Uno degli obie[vi principali di questa disciplina è quello di caraMerizzare il comportamento meccanico dei materiali mediante la definizione di modelli matema@ci che stabiliscano dei legami tra tensioni, de-‐ formazioni e tempo (de[ legami cos@tu@vi).
4
DEFINZIONI
MATERIALE RIGIDO: in seguito all’applicazione di una sollecitazione non si ha alcuna deformazione o distorsione.
MATERIALE FLUIDO: in seguito all’applicazione di una sollecitazione si ha un con@nuo aumento delle deformazioni o delle distorsioni.
MATERIALE ISOTROPO: le cui proprietà in un punto si manifestano uguali in tuMe le direzioni.
MATERIALE OMOGENEO: le cui proprietà sono costan@ in tu[ i pun@ della sua massa.
MATERIALE SOLIDO: in seguito all’applicazione di una sollecitazione, si hanno deformazioni o distorsioni anche variabili nel tempo, ma che raggiungono un valore finito, mentre è mantenuto lo stato di tensione.
SOLIDO ELASTICO: il suo modello è caraMerizzato da una legge cos@tu@va F= f(s) indipendente dal tempo nella quale vi è una relazione biunivoca tra le sollecitazioni F e le deformazioni s; il comportamento del solido elas@co è tale che le deformazioni prodoMe da sollecitazioni scompaiono una volta rimosse queste ul@me.
COMPORTAMENTO ELASTICO LINEARE: legge di Hooke: F= ks.
COMPORTAMENTO PLASTICO: esistenza di soglie di sollecitazione oltre le quali si manifestano deformazioni permanen@.
COMPORTAMENTO PERFETTAMENTE PLASTICO: raggiunto il valore limite, l’incremento di deformazione plas@ca avviene a sollecitazione costante.
COMPORTAMENTO VISCOSO: è caraMerizzato dall’esistenza di una legame tra la sollecitazione applicata e la velocità di deformazione corrispondente che esprime la velocità u di spostamento rela@vo tra due piano paralleli pos@ alla distanza a e che scorrono con la sostanza liquida (F = f(ds/dt))
MODELLI REOLOGICI
Tra i modelli reologici tradizionali, quelli più comunemente usa@ nella meccanica delle terre sono i seguen@ o la loro combinazione:
MODELLO ELASTICO
MODELLO PLASTICO
MODELLO VISCOSO
5
DETERMINAZIONE DELLLE RELAZIONI TRA SFORZI E DEFOMAZIONI NELLE TERRE: PROVE DI LABORATORIO
Idealmente , quando si vuole soMoporre un campione di terreno a prove meccaniche si dovrebbe cercare di trasferire l’elemento di terreno dalla sua ubicazione naturale all’apparecchio di prove senza disturbo; quindi si dovrebbero modificare le tensioni e e osservare le corrisponden@ deformazioni e pressioni inters@ziali.
Inoltre sarebbe importante poter imporre al provino uno stato di tensioni generali e il provino dovrebbe essere libero di cambiare stato di tensione in modo che i piani principali possano ruotare durante il carico; infine l’apparecchiatura ideale dovrebbe permeMere di assoggeMare il provino agli sta@ di tensione e di deformazione più diversi che possono verificarsi in situ.
Il comportamento meccanico e le deformazioni che si verificano nelle terre sono fortemente dipendenG dal @po di materiale (a grana grossa o a grana fine) e dalla @pologie di sollecitazione a cui esse risultano soggeMe.
Per tale studio, è NECESSARIO ricorrere a DIVERSE TIPOLOGIE DI APPARECCHIATURE di laboratorio che soMopongono il provino di terreno a diverse condizioni al contorno, sia come tensioni totali e inters@ziali che come spostamen@. Nel caso dei terreni le variazioni di volume che si manifestano nel corso delle prove di laboratorio generalmente realizzate giocano un ruolo determinante nel comportamento meccanico e, per descrivere il comportamento meccanico dei terreni, e quindi ricavare i corre[ parametri rappresenta@vi del legame tensioni deformazione, è necessario esaminare diversi @pi di prove a secondo dei diversi @pi di sollecitazione a cui è soMoposto il campione di terreno.
In pra@ca queste due condizioni sono IMPOSSIBILI da OTTENERE; vi è il disturbo legato al campionamento e quello legato alle variazioni dello stato tensionale per la preparazione del provino. Inoltre non esiste un’unica apparecchiatura che possa consen@re tu[ i percorsi di carico e di deformazione.
CAMPIONI INDISTURBATI
ROTAZIONE DEI PIANI PRINCIPALI DURANTE LA
PROVA
Nelle terre spesso le situazioni più onerose si hanno in presenza di materiale saturo, nelle prove sarà perciò necessario considerare l’interazione tra la fase liquida e la fase solida e definire se gli aspe[ del comportamento che si intendono studiare sono da valutare in condizioni drenate o in condizioni non drenate.
6
APPARECCHIATURE DI PROVA
Una prima classe di aMrezzature è caraMerizzata dalla coincidenza dei piano principali delle tensioni e delle deformazioni e il campione è contenuto da piastre rigide, lisce e non ruotan@ , o da membrana flessibili. (Figura 4.7 pag. 45 Colombo-‐Colleselli)
CONDIZIONI DI TENSIONE E DI DEFORMAZIONE
DENOMINAZIONE DELLA PROVA
SCHEMA DELLA PROVA
σx = σy = σz= σ Compressione isotropa
σx ≠ σy ≠ σz Compressione triassiale vera
εx = 0 Deformazione piana
Compressione uniassiale libera
Compressione edometrica
Compressione cilindrica o “triassiale”
Tensione piana σx = 0
σx = σy = σr= 0
εx = εy = εr= 0
σx = σy = σr
7
APPARECCHIATURE DI PROVA
Un secondo Gpo di aMrezzature di prova riguarda le prove di taglio ed è caraMerizzato da piastre che possono non ruotare o ruotare, di conseguenza i confini del campione non sono necessariamente piani principali delle tensioni o delle deformazioni e i piani principali possono ruotare. (Figura 4.8 pag. 46 Colombo-‐Colleselli)
8
TIPOLOGIE DI PROVA Alcuni @pi di prova per la determinazione del legame tensioni deformazioni
(Figura 9.1 pag 134 Lambe-‐Whitman)
9
COMPRESSIBILITA’ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
1. compressione delle par@celle solide;
2. compressione dell’aria e/o dell’acqua all’interno dei vuo@;
3. Riarrangiamento delle parGcelle (nuovo asseMo dello SCHELETRO SOLIDO) e conseguente espulsione dell’aria e/o dell’acqua dai vuo@ ( per la maggior parte dei casi pra@ci e l’ASPETTO PREVALENTE!!!) Via via che l’acqua viene espulsa dai pori, le par@celle di terreno si assestano in una configurazione piu stabile e con meno vuo@, con conseguente diminuzione di volume. Il processo di espulsione dell’acqua dai vuo@ è un fenomeno dipendente dal tempo, l’en@ta della variazione di volume è legata alla rigidezza dello scheletro solido.
COMPRESSIBILITÀ è la risposta in termini di variazione di volume di un terreno soMoposto ad un incremento dello stato tensionale efficace (principio delle pressioni efficaci). È necessario studiare la compressibilita di un terreno per s@mare le deformazioni volumetriche ed i conseguen@ cedimen@.
CONSOLIDAZIONE è la legge di variazione di volume del terreno nel tempo. È necessario studiare la consolidazione per s@mare il decorso delle deformazioni volumetriche e dei conseguen@ cedimen@, nel tempo.
NB: Sebbene in linea di principio si possano applicare i conce[ di compressibilita e di consolidazione sia a terreni granulari che a terreni a grana fine, in pra@ca interessano sopraMuMo ques@ ul@mi.
CEDIMENTO: risultante delle deformazioni ver@cali che si manifestano in un terreno. È importante conoscere la sua enGtà e la sua evoluzione nel tempo.
CEDIMENTO
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COMPRESSIONE EDOMETRICA
IN SITO: La trasmissione di un carico in condizioni edometriche è @pico nei rileva@ o fondazioni molto estese. In ques@ casi, per simmetria, le deformazioni orizzontali al di soMo del rilevato sono nulle e le condizioni sono quindi deMe “monodimensionali”.
IN LABORATORIO: le caraMeris@che di compressibilità dei materiali sono valutate con la PROVA DI COMPRESSIONE EDOMETRICA, le condizioni al contorno di questo @po di prova sono caraMerizzate da uno stato di simmetria radiale e dall’assenza di componen@ radiali della deformazione (εr = 0).
Le PROVE EDOMETRICHE sono molto u@lizzate per LA SEMPLICITÀ e perché RIPRODUCONO LA CONSOLIDAZIONE DEL TERRENO soMo il peso proprio degli stra@ sovrastan@, cioè una compressione assiale senza deformazioni laterali.
La PROVA EDOMETRICA STANDARD viene eseguita incrementando con progressione geometrica il carico assiale, che ad ogni gradino, viene mantenuto costante per un tempo sufficiente a raggiungere le condizioni di regime.
No load can be transmiMed to the spring
Piston will not move
(b) (c) VALVOLA APERTA
(b) (c)
Load will be carried by the water Du = load/piston area
Undrained condi@ons
(a) VALVOLA CHIUSA
(a)
Δu
HP: incompressibilità dell’acqua
Piston moves. Load can be transmiMed to the spring Gradually
Water is forced out at a rate governed by the diameter
Du decreases Gradually
Piston stops. Load is transmiMed to the spring Totally
Water is in equilibrium with the boundary condi@ons
Du is zero Drained condi@ons
Excess pore water pressure
CONSOLIDAZIONE
MATERIALE MULTIFASE ANALOGIA MECCANICA
L’analogia meccanica è u@le per comprendere:
§ Condizioni drenate e non drenate § Sovrapressioni inters@ziale § Processo di consolidazione monodimensionale
§ Scheletro solido compressibile= molla § Pressione inters@ziale = pressione dell’acqua nel cilindro § Permeabilità del terreno = diametro della valvola
soil
MULTIPHASE MATERIAL ConsolidaGon process
Spring
Water
Time
Load
At any Gme, the increase in load on spring will correspond to the reducGon in pressure in the water. The load carried by the spring represents the effecGve normal stress in the soil, the pressure of the water in the cylinder the pore pressure, and the load on the piston the total normal stress. The movement of the piston represents the change in volume of the soil and is governed by the compressibility of the soil skeleton.
The consolidaGon process is TRANSITIONAL and depends on many soil parameters
(i.e. permeability, boundary condiGons, compressibility)
CONSOLIDAZIONE
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PROVA EDOMETRICA
D/H deve essere > 2,5 per ridurre l’attrito.
Generalmente D= 50mm
H = 20mm.
Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 2006)
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siali (e volumetriche), 0H
Ha , e le variazioni di indice dei vuoti (Eq. 7.2),
00
1 eH
He .
N
0H
CapitelloAnello edometrico
Pietre porose
Cella edometrica
D
Figura 7.2– Cella edometrica
I valori della deformazione assiale e/o dell’indice dei vuoti corrispondenti al termine del processo di consolidazione primaria per ciascun gradino di carico3 (o più spesso, per comodità ma commettendo un errore, corrispondenti al termine delle 24h di permanenza del carico di ogni gradino), vengono diagrammati in funzione della corrispondente
pressione verticale media efficace, 2'v D
N4AN . Collegando fra loro i punti
sperimentali si disegnano le curve di compressibilità edometrica. Nel grafico in scala semilogaritmica della Figura 7.3, è rappresen-tato l’andamento del-l’indice dei vuoti (asse delle ordinate a sini-stra) e della deforma-zione assiale (asse delle ordinate a destra) in funzione della pressio-ne verticale media effi-cace, ottenuto speri-mentalmente da una prova edometrica stan-dard condotta su un provino “indisturbato” di argilla4 (le due curve 3 Le altezze del provino corrispondenti all’inizio e alla fine del processo di consolidazione primaria, per cia-scun gradino di carico, si determinano mediante opportune procedure descritte nei Paragrafi 7.7.1 e 7.7.2. 4 Si osservi che i punti sperimentali hanno passo costante in ascissa. Essendo la scala delle ascisse logarit-mica, ciò significa che gli incrementi di carico sono applicati con progressione geometrica. Nella fase di
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.01 0.1 1 10
Tensione efficace verticale, 'v (Mpa)
indi
ce d
ei v
uoti,
e
1 2 34
5
6
7
89
10
11
Figura 7.3 – Esempio di risultati di prova edometrica
(log) [MPa]
0
5
10
15
20
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PROVA EDOMETRICA
15
PROVA EDOMETRICA
16
00
10
00 11 ee
eee
HH
VV
+Δ
=+−
=Δ
=Δ
01 eam v
v +=
'v
veaσΔΔ
=
ved mE 1
=
Coefficiente d i compress ib i l i tà volumetrica
Coefficiente di compressibilità
Modulo edometrico
PROVA EDOMETRICA
17
TraMo AB: ricompressione, deformazioni prevalentemente elas@che.
TraMo BC: compressione, deformazioni prevalentemente plas@che.
TraMo CD: scarico, deformazioni prevalentemente elas@che.
TraMo DE: ricompressione, deformazioni prevalentemente elas@che.
TraMo EF: compressione, deformazioni prevalentemente plas@che.
vscr
eCCCσ ʹ′Δ
Δ===
log
Rispe[vamente per i tra[ AB, BC e CD.
PROVA EDOMETRICA
18
La curva sperimentale di compressione edometrica e-‐σ’v, in scala semilogaritmica viene approssimata, per le applicazioni pra@che, con tra[ re[linei a differente pendenza; il traMo di ginocchio a pendenza crescente è sos@tuito con un punto angolare (punto A), corrispondente alla pressione di consolidazione, σ’c. La pendenza del traMo iniziale è deMa indice di ricompressione, Cr.. La pendenza del traMo successivo al ginocchio, ovvero alla pressione di consolidazione, è deMa indice di compressione, Cc. La pendenza nel traMo di scarico tensionale è deMa indice di rigonfiamento, Cs.
vscr
eCCCσ ʹ′Δ
Δ===
log
Rispe[vamente per i tra[ AB, BC e CD.
PROVA EDOMETRICA
Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 2006)
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sono omologhe, in quanto le variabili a e e sono proporzionali). Nel grafico si individuano tre tratti per la fase di carico: un tratto iniziale a debole pendenza (punti 1-2) un tratto intermedio a pendenza crescente (punti 2-5) un tratto finale a pendenza maggiore e quasi costante (punti 5-8).
La curva di scarico (punti 9-11) ha pendenza minore e quasi costante. Il grafico può essere interpretato, alla luce di quanto detto al paragrafo precedente, tenen-do conto della storia tensionale e deformativa subita dal provino di terreno. Il provino, quando si trovava in sito, era soggetto alla pressione litostatica. Durante il campionamen-to, l’estrazione, il trasporto, l’estrusione dal campionatore, ha subito una serie di disturbi (inevitabili) ed una decompressione fino a pressione atmosferica in condizioni di espan-sione libera5. A causa della decompressione il provino si è espanso e, a parità di contenuto in acqua, è diminuito il grado di saturazione e si sono generate pressioni neutre negative (vedi Capitolo 9). Poi è stato fustellato con l’anello metallico della prova edometrica6 e inserito nella cella riempita d’acqua, dove assorbendo acqua in condizioni di espansione laterale impedita ha in parte rigonfiato. Infine è iniziata la fase di carico. Il tratto iniziale della curva di Figura 7.3 (punti 1-2) corrisponde perciò ad un ricompressione in condizio-ni edometriche che tuttavia segue ad uno scarico (non rappresentato nel grafico) non e-dometrico. Perciò il primo tratto non è rettilineo, e comunque non ha pendenza eguale a quella del ramo di scarico. Il secondo tratto della curva (punti 2-5) è marcatamente curvilineo e comprende il valore
della pressione di consolidazione in sito, la cui determinazione sperimen-tale viene di norma eseguita con la costruzione grafica di Casagrande, descritta nel seguito. Il terzo tratto della curva di carico (punti 5-8) corrisponde ad una com-pressione edometrica vergine o di primo carico. Il grafico di Figura 7.3 viene utilizza-to per stimare i parametri di com-pressibilità. A tal fine, la curva sperimentale di compressione edometrica e- ’v, in scala semilogaritmica (Figura 7.3), viene approssimata, per le applica-zioni pratiche, con tratti rettilinei a
scarico il numero di punti sperimentali è minore (in genere la metà). Il primo gradino di carico è general-mente pari a 25 kPa, l’ultimo gradino deve essere tale da superare abbondantemente la pressione di precon-solidazione (6 8 ’c) 5 Poiché il disturbo da campionamento è inevitabile, specie per i terreni normalmente consolidati, nessuna
prova di laboratorio può riprodurre esattamente le condizioni in sito.
6 Per ridurre il disturbo prodotto dal fustellamento l’anello ha un bordo tagliente con parete interna verticale (vedi Figura 7.4).
e
'v (log)'c
1
1
1
ACr
Cs
Cc
Figura 7.4 - Schematizzazione della curva di com-pressione edometrica
19
PROVA EDOMETRICA: ANDAMENTO DEL CEDIMENTO NEL TEMPO SOTTO CARICO COSTANTE
Figura 7.20, pag. 272. Craig
20
PROVA EDOMETRICA: ESEMPIO
Un campione di argilla con w = 35%, wL = 40%, wP = 25% viene soMoposto alla prova edometrica; i risulta@ di tale prova sono riporta@ in tabella. (esempio pag.57, Colombo-‐ Colleselli). Per il carico di 500 kPa sono riportate le altezze del provino in funzione del tempo in scala logaritmica. Calcolare: il coefficiente di compressibilità av, il coefficiente di compressibilità volumetrica mv, per l’intervallo tensionale compreso tra 450 e 550 kPa, l’indice di compressibilità Cc.
σ' (kPa) e 0 1,107 50 1,046 100 1,019 250 0,971 500 0,909 1000 0,815 2000 0,716 1000 0,724 250 0,749 10 0,827
21
PROVA EDOMETRICA: ESEMPIO
Calcolo del coefficiente di compressibilità av per l’intervallo tensionale compreso tra 450 e 550 kPa:
av =!e!! v
' =0,916" 0,894550" 450
= 2,2#10"4kPa"1
Calcolo del coefficiente di compressibilità volumetrica mv per l’intervallo tensionale compreso tra 450 e 550 kPa:
mv =av1+ e0
=2,2!10"4
1+ 0,916=1,1!10"4kPa"1
22
PROVA EDOMETRICA: ESEMPIO
Calcolo dell’indice compressibilità Cc , che rappresenta la pendenza della curva e-‐log σ’ nel suo traMo vergine.
Cc =!e
! log "! v
=0,815# 0, 716
log 20001000
= 0,33
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CONDIZIONE EDOMETRICA NEI DEPOSITI NATURALI: La compressibilità di un terreno viene spesso valutata in condizioni di carico assiale uniformemente distribuite e assenza di deformazioni laterale nel caso semplice di terreno delimitato da una superficie orizzontale e con caraMeris@che uniformi in direzione orizzontale, e i piani ver@cali e orizzontali principali (CONDIZIONE EDOMETRICA).
TENSIONI LITOSTATICHE (dovute al peso proprio)
Tali condizioni si verificano per esempio nel caso della FORMAZIONE DI UN DEPOSITO DI TERRENO PER SEDIMENTAZIONE:
Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 2006)
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P
e
c ’ (log)v ’
(A)
A
BC
DE
a) b)
(B)(C)
(E)(D)
Figura 7.1 - Sedimentazione in ambiente lacustre con più cicli di carico e scarico (a) e variazione dell’indice dei vuoti con la pressione verticale efficace (b): A B: compressione vergine, B C: decompressione, C B: ricompressione, B D: compressione vergine, D E: decompressione.
- nelle fasi di primo carico (compressione vergine, tratti AB e BD) il comportamento de-formativo del terreno è elasto-plastico, poiché nella successiva fase di scarico una sola parte delle variazioni di indice dei vuoti (e quindi delle deformazioni) viene recupera-ta;
- i tratti di primo carico appartengono alla stessa retta; - nelle fasi di scarico e ricarico (tratti BC, CB e DE) il comportamento deformativo è e-
lastico ma non elastico-lineare (il grafico di Figura 7.1b è in scala semilogaritmica); - sia in fase di carico vergine che in fase di scarico e ricarico, essendo la relazione e- ’v
rappresentata da una retta in scala semilogaritmica, per ottenere un assegnato decre-mento dell’indice dei vuoti, e, occorre applicare un incremento di tensione verticale efficace ’v tanto maggiore quanto più alto è il valore di tensione iniziale, ovvero la rigidezza del terreno cresce progressivamente con la tensione applicata.
La massima pressione verticale efficace sopportata dall’elemento di terreno considerato è detta pressione di consolidazione (o di preconsolidazione), ’c (ad esempio, nel caso di Figura 7.1 la pressione di consolidazione è rappresentata dall’ascissa del punto D del gra-fico. Quando l’elemento di terreno si trovava in un punto appartenente alla retta ABD, era soggetto ad una pressione verticale efficace che non aveva mai subito nel corso della sua storia precedente, ovvero era soggetto alla pressione di consolidazione; nei tratti BC e DE invece era soggetto ad una pressione verticale efficace minore di quella di consolidazione. Un terreno il cui punto rappresentativo si trova sulla curva edometrica di carico vergine (ABD) si dice normalmente consolidato (o normalconsolidato) (NC), mentre un terreno il cui punto rappresentativo si trova su una delle curve edometriche di scarico-ricarico (BC, CB, DE) si dice sovraconsolidato (OC). Il rapporto tra la pressione di consolidazione, ’c, e la pressione verticale efficace agente,
’vo, è detto, come già anticipato nel Capitolo 3, grado di sovraconsolidazione:
'vo
'cOCR .
In conclusione, si può affermare che in condizioni edometriche (e non solo, come vedre-mo più avanti) il comportamento del terreno segue, con buona approssimazione, un mo-dello elastico non lineare – plastico ad incrudimento positivo (vedi Capitolo 5).
Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 2006)
93
P
e
c ’ (log)v ’
(A)
A
BC
DE
a) b)
(B)(C)
(E)(D)
Figura 7.1 - Sedimentazione in ambiente lacustre con più cicli di carico e scarico (a) e variazione dell’indice dei vuoti con la pressione verticale efficace (b): A B: compressione vergine, B C: decompressione, C B: ricompressione, B D: compressione vergine, D E: decompressione.
- nelle fasi di primo carico (compressione vergine, tratti AB e BD) il comportamento de-formativo del terreno è elasto-plastico, poiché nella successiva fase di scarico una sola parte delle variazioni di indice dei vuoti (e quindi delle deformazioni) viene recupera-ta;
- i tratti di primo carico appartengono alla stessa retta; - nelle fasi di scarico e ricarico (tratti BC, CB e DE) il comportamento deformativo è e-
lastico ma non elastico-lineare (il grafico di Figura 7.1b è in scala semilogaritmica); - sia in fase di carico vergine che in fase di scarico e ricarico, essendo la relazione e- ’v
rappresentata da una retta in scala semilogaritmica, per ottenere un assegnato decre-mento dell’indice dei vuoti, e, occorre applicare un incremento di tensione verticale efficace ’v tanto maggiore quanto più alto è il valore di tensione iniziale, ovvero la rigidezza del terreno cresce progressivamente con la tensione applicata.
La massima pressione verticale efficace sopportata dall’elemento di terreno considerato è detta pressione di consolidazione (o di preconsolidazione), ’c (ad esempio, nel caso di Figura 7.1 la pressione di consolidazione è rappresentata dall’ascissa del punto D del gra-fico. Quando l’elemento di terreno si trovava in un punto appartenente alla retta ABD, era soggetto ad una pressione verticale efficace che non aveva mai subito nel corso della sua storia precedente, ovvero era soggetto alla pressione di consolidazione; nei tratti BC e DE invece era soggetto ad una pressione verticale efficace minore di quella di consolidazione. Un terreno il cui punto rappresentativo si trova sulla curva edometrica di carico vergine (ABD) si dice normalmente consolidato (o normalconsolidato) (NC), mentre un terreno il cui punto rappresentativo si trova su una delle curve edometriche di scarico-ricarico (BC, CB, DE) si dice sovraconsolidato (OC). Il rapporto tra la pressione di consolidazione, ’c, e la pressione verticale efficace agente,
’vo, è detto, come già anticipato nel Capitolo 3, grado di sovraconsolidazione:
'vo
'cOCR .
In conclusione, si può affermare che in condizioni edometriche (e non solo, come vedre-mo più avanti) il comportamento del terreno segue, con buona approssimazione, un mo-dello elastico non lineare – plastico ad incrudimento positivo (vedi Capitolo 5).
A→B: compressione vergine,
B→C: scarico,
C→B: ricompressione,
B→D: compressione vergine,
D→E: scarico.
24
TENSIONI LITOSTATICHE (dovute al peso proprio)
GRADO DI SOVRACONSOLIDAZIONE OCR (Over Consolida@on Ra@o): Mol@ deposi@, dopo le fasi di sedimentazione e di consolidazione, possono avere subito una successiva storia tens iona le che può essere descr iMa da l g rado d i sovraconsolidazione:
OCR = σp′ / σ ′v0
OCR = 1 TERRENI NORMALCONSOLIDATI
OCR > 1 TERRENI SOVRACONSOLIDATI
25
PROVA EDOMETRICA e DETERMINAZIONE DELLA STORIA DEI DEPOSITI
La PRESSIONE DI PRECONSOLIDAZIONE rappresenta la massima tensione di consolidazione cui è stato soMoposto il terreno, nella sua storia tensionale. La sua determinazione può essere graficamente con vari metodi, ma il più semplice e usato è quello di Casagrande, indicato in figura.
26 NB: questa valutazione è valida nel caso semplice di terreno delimitato da una superficie orizzontale e con caraMeris@che uniformi in direzione orizzontale, i piani ver@cali e orizzontali sono principali.
TENSIONI LITOSTATICHE ORIZZONTALI (dovute al peso proprio)
σv0 = γz Conosciute le
pressioni inters@ziali σ ′v0 = γz –u0 σ ′h0 = K0 σ ′v0 σ h0 = σ ′h0 + u0
stra@grafia OCR
LA TENSIONE ORIZZONTALE EFFICACE viene espressa in funzione della ver@cale a mezzo di coefficiente K0 che dipende dalle proprietà meccaniche del terreno e dalla storia tensionale. Il rapporto esistente tra la tensione orizzontale efficace e quella ver@cale efficace in una situazione di condizioni litosta@che è data:
σ ′h0 = K0 σ ′v0
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COEFFICIENTE DI SPINTA LATERALE A RIPOSO K0
Il coefficiente di spinta laterale a riposo k0 dipende dal grado di sovraconsolidazione OCR (che è inoltre funzione della quota). I modo empirico sono sta@ ricavate le seguen@ relazioni per terreni a grana grossa e terreni a grana fine.
Quando il terreno passa da uno stato normalconsolidato a uno sovraconsolidato, il coefficiente di spinta a riposo K0 aumenta e non è più costante.
NB: LO STATO TENSIONALE IN SITO, QUINDI, NON È IN GENERE ISOTROPO, PERCHÉ LA TENSIONE VERTICALE E LA TENSIONE ORIZZONTALE SONO DIVERSE FRA LORO.
K0nc ~ 1 - sin φcv (sabbie)
K0nc ~ 0,95 - sin φcv (argille)
OCR = 1 TERRENI
NORMALCONSOLIDATI
OCR > 1 TERRENI
SOVRALCONSOLIDATI
K0oc = K0
nc (OCR)α con 0,4 < α < 0,5
Con φcv , angolo di aMrito del terreno (a volume costante). Durante il processo di carico in condizioni normalconsolidate (NC) il rapporto tra le due componen@ dello sforzo efficace (orizzontale e ver@cale), ovvero il K0, rimane costante.
K0nc = 0.4÷ 0.6
28
COEFFICIENTE DI SPINTA LATERALE A RIPOSO K0
GENERICAMENTE : per TERRENI NC
per TERRENI OC
In un terreno NC la tensione geosta@ca orizzontale è circa la metà di quella ver@cale, per OCR =4 lo stato tensionale è ISOTROPO, mentre per OCR>4 la tensione geosta@ca orizzontale diventa la tensione principale maggiore.
K0nc ~ 1 - sin φcv
K0oc ~ K0
nc (OCR)0,5
Se φ’cv =30°
OCR = 1 K0 ~ 0.5 TERRENI NORMALCONSOLIDATI
OCR = 2 K0 ~ 0.71 TERRENI DEBOLMENTE SOVRACONSOLIDATI
OCR = 4 K0 ~ 1 TERRENI MEDIAMENTE SOVRACONSOLIDATI
OCR = 10 K0 ~ 1,58 TERRENI FORTEMENTE SOVRACONSOLIDATI
29
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
A seguito dell’applicazione del carico e, di solito, non appena quest’ul@mo ha raggiunto il valore finale, ha inizio un moto di filtrazione dell’acqua dovuto al gradiente piezometrico associato alle sovrappressioni neutre; l’espulsione dell’acqua è accompagnata da variazioni di volume nel terreno. Se le sovrappressioni neutre sono posi@ve il terreno tende a diminuire di volume: processo di consolidazione. Se, viceversa, sono nega@ve, il terreno tende ad aumentare di volume: rigonfiamento. La teoria matema@ca che descrive la dissipazione delle sovrappressioni neutre e le conseguen@ deformazioni del terreno è la teoria della consolidazione.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂
+=
∂
∂
te
ezhk11
2
2
IL PROCESSO DI CONSOLIDAZIONE È RETTO DA:
EQUAZIONI INDEFINITE DELL’EQUILIBRIO DEL TERRENO
LEGAME TENSIONI-‐DEFORMAZIONI DELLO SCHELETRO SOLIDO
EQUAZIONE DI CONTINUITA’ DEL FLUIDO INTERSTIZIALE (hp: S= cost= 1)
superficiesullaapplicatouniformecarico+= ztv γσ
vv
ae−=
∂
∂'σ
(1)
(2)
(3)
30
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
Combinando la (2) con la (3) si o[ene:
dove u0= pressione neutra in regime stazionario e ue= sovrapressione neutra inters@ziale. Per definizione si ha:
Per cui la (4) si riduce a:
(4)
(5)
tzh
aek v
v ∂
∂−=
∂
∂+ '
2
2)1( σ
Ricordando che , per Bernoulli, la quota piezometrica h:
)(1 0 eww
uuzuzh ++=+=γγ
02
2
=∂
∂
zz 02
02
=∂
∂
zu
k(1+ e)av!w
!2ue!z2
= "!" v
'
!t
31
TEORIA DELLA CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
Posto
essendo, per definizione:
L’equazione (6) è l’equazione della consolidazione di Terzaghi, la cui derivazione segna la nascita dellla moderna Meccanica dei Terreni.
(6)
la (5) può ancora modificarsi esprimendo la tensione efficace in funzione della tensione totale e della pressione neutra:
vwwvv m
kaekC
γγ=
+=
)1(
ttu
zuC vee
v ∂
∂−
∂
∂=
∂
∂ σ2
2
00 =∂
∂
tu
Il caso più semplice di consolidazione si ha per PROBLEMI MONODIMENSIONALI quando: a) la tensione totale non varia del tempo; b) la sovrappressione neutra iniziale è costante (non varia con la profondità); c) il drenaggio è consen@to sia dalla superficie superiore che da quella inferiore del banco interessato dal processo di consolidazione. L’ipotesi base è sempre quella di carico applicato rapidamente tanto da ritenere che il processo di consolidazione abbia inizio soltanto quando il carico ha già raggiunto l’intensità finale. In questo caso può ritenersi valida la condizione a) di carico costante nel tempo.
32
SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE DELLA CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE NEL CASO DI ue INZIALE UNIFORME
2HtCT v=
Nel caso più semplice, l’equazione (6) può essere riscriMa introducendo le variabili adimensionali Z e T.
HzZ =
T = faMore tempo, H = percorso di filtrazione (pari alla metà dello spessore del banco)
Tu
Zu ee
∂
∂=
∂
∂2
2
(6*)
La soluzione di questa equazione, soMo le condizioni al contorno di questo caso più sempl i ce , può essere r i cavata e rappresentata graficamente come in figura in funzione del grado di consolidazione locale Uz.
Uz =1!ue"! v
33
CONSOLIDAZIONE MONODIMENSIONALE
Terzaghi, nell’ipotesi di potere ritenere il coefficiente di consolidazione Cv costante per un dato intervallo tensionale, ha quindi proposto una soluzione per l’equazione di consolidazione monodimensionale, che conduce ad una relazione del @po U% = f (T) tra due parametri adimensionali: il grado di consolidazione U% e il faMore tempo T.
Le relazioni U% = f (T) sono usualmente rappresentate in forma grafica come in figura.
finale ioneconsolidaz di cedimentoT tempoal banco del cedimento
=U
Dove CV È IL COEFFICIENTE DI CONSOLIDAZIONE, H è il massimo percorso di filtrazione e t è il tempo corrispondente al grado di consolidazione U.
La prova edometrica viene u@lizzata per valutare il valore di Cv dai diagrammi, a carico costante, cedimen@-‐t(log) secondo i metodi sviluppa@ da CASAGRANDE E TAYLOR.
2HtCT v=
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DETERMINAZIONE DI CV: METODO DI CASAGRANDE e TAYLOR
Una volta riporta@ i valori del cedimento in funzione del tempo in scala semilogaritmica si eseguono i seguen@ passaggi:
1) Si sceglie un tempo t1 inferiore a quello rela@vo alla metà della consolidazione totale. Si riportano sul diagramma le ascisse t1 e t1/4. le rela@ve ordinate avranno una differenza a.
2) Si riporta dal punto t1 il segmento a: punto rappresenta@vo del grado di consolidazione U = 0%.
3) Dal punto di flesso della curva di consolidazione edometrica si traccia la tangente. Si prosegue dal basso verso l’alto la tangente alla parte bassa della curva. Il punto di intersezione fra queste due tangen@ rappresenta il punto rela@vo a grado di consolidazione U =100 %.
4) Si trova , una volta no@ gli estremi (U =0 e 100 %) ,il tempo in secondi rela@vo ad un grado di consolidazione generico U= 50%.
5) No@ U, t e Tv (dalla curva U = f (Tv) tabellata), si determina Cv.
Il procedimento di Taylor è basato sull’osservazione che la relazione fra gli assestamen@ del provino e la radice del tempo t è lineare fino al 60 % della consolidazione e che l’ascissa corrispondente al 90 % del grado della consolidazione è pari a 1,15 volte quella rela@va alla curva rappresentante i da@ sperimentali.
In questo caso, quindi, i da@ vengono, riporta@ su una scala radice di t.
Procedimento:
1) Dalle tabelle U = f (Tv) rela@ve al caso considerato, si determina il valore di Tv rela@vo a U =90%.
2) Si determina graficamente il valore del t90.
3) Si valuta quindi il valore di Cv.
CASA
GRAN
DE
TAYLOR
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PROVA EDOMETRICA: COSTRUZIONE DI CASAGRANDE
Capitolo 7 COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA
Dipartimento di Ingegneria Civile – Sezione Geotecnica, Università degli Studi di Firenze J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi – Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 2006)
112
A questo punto è opportuno conoscere come si può determinare il coefficiente di consoli-dazione, cv, (parte essenziale del fattore di scala) l’unico parametro che nella soluzione dell’equazione della consolidazione tiene conto delle proprietà del terreno. Per la sua de-terminazione si utilizzano i risultati della prova edometrica.
7.7 Determinazione sperimentale del coefficiente di consolidazione ver-ticale
Come abbiamo visto al paragrafo 7.2 la prova edometrica standard è eseguita applicando incrementi successivi di carico, mantenuti costanti fino all’esaurimento del fenomeno di consolidazione (e oltre). Durante tale periodo si rilevano i cedimenti del provino nel tem-po11. I valori osservati dell’altezza del provino sono generalmente diagrammati secondo due modalità: - in funzione del logaritmo del tempo, - in funzione della radice quadrata del tempo. Gli andamenti tipici dei grafici che si ottengono nei due casi sono rappresentati nelle Fi-gure 7.19a e 7.19b.
Figura 7.19 – Andamento dell’altezza del provino (2H) durante la consolidazione edometrica in funzione del logaritmo del tempo (a) e della radice quadrata del tempo (b)
Dai diagrammi così ottenuti è possibile determinare, relativamente a ciascuno dei gradini di carico applicati, il coefficiente di consolidazione, cv, mediante una delle due procedure di seguito descritte.
7.7.1 Metodo di Casagrande
Si applica al grafico tempo (log)-altezza del provino (Figura 7.19a), nel quale si assume di poter distinguere un primo tratto, AB, corrispondente al processo di consolidazione e-
11 Normalmente vengono prese misure di abbassamento a intervalli di tempo via via crescenti (10’’, 20’’, 30’’, 1’, 2’, 5’, 10’ etc..)
a)
2 Hi
2 Hf
2 Hi
2 H90 2 Hf
t = 0
2 H
b)
2 H