Upload
oussamaben
View
15
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
mémoire logistique et transport gestion du transport
Citation preview
GESTION DU PROBLEME DE TRANSPORT
Réalisé par :Salma ADNAN & Ghita ACHOUAK 2008-2009
Recherche Opérationnelle Management Logistique 2
SOMMAIRE
INTRODUCTION RAPPEL SUR LA THEORIE DES
GRAPHES PRESENTATION DU PROBLEME DE
TRANSPORT PROBLEME D’AFFECTATION PROBLEME DE FLOTS CONCLUSION
Recherche Opérationnelle Management Logistique 3
INTRODUCTION
La gestion du problème de transport est parmi les préoccupations majeures des entreprises.
La RO permet une modélisation de ces problèmes en utilisant plusieurs méthodes.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 4
La théorie des graphes Un graphe est une représentation
symbolique d’un réseau. Il s’agit d’une abstraction de la réalité de sorte à permettre sa modélisation.
Un réseau de transport, comme tout réseau, peut être représenté sous forme de graphe. Un graphe G consiste en un ensemble de noeuds v et d’arcs e. Par suite, G=(v,e).
Un sommet v (nœud )est un point d’extrémité ou un point d’intersection d’un graphe .
Un arc e est un lien entre deux sommets. Un arc possède une direction souvent symbolisée par une flèche.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 5
On appelle un sous-graphe d'un graphe un graphe dont
on a enlevé des sommets. Dans le graphe G précédant, le sous graphe p=1.
Ce graphe se définit de façon suivante:
G = (v,e)v = (1,2,3,4,5)e = (1,2), (1,3), (2,2),
(2,5), (4,2), (4,3), (4,5)
La théorie des graphes
Recherche Opérationnelle Management Logistique 6
la théorie des graphes
Une arête est un groupe de deux sommets tels que chaque sommet fait partie de l’ensemble des correspondants de l’autre sommet.
Ce graphe comporte 5 arcs [(1,2), (2,1),(2,3), (4,3), (4,4)]
et 3 arêtes [(1-2), (2-3), (3-4)].
Recherche Opérationnelle Management Logistique 7
la théorie des graphes
L’établissement de chemins est une étape fondamentale dans la mesure d’accessibilité et de flux de trafic au sein d’un réseau.
Un chemin eulérien est un chemin simple qui passe une fois et une seule par chaque arc.
Un chemin hamiltonien est un chemin qui passe une fois et une seule par chaque sommet.
Une chaîne est une suite d’arcs telle que chaque arc de la suite a une extrémité en commun avec l’arc précedent. La direction n’a pas d’importance.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 8
la théorie des graphes Un circuit est un chemin fini et fermé dont
l’extrémité terminale du dernier arc coïncide avec l’extrémité initiale du premier.
Un cycle est une chaîne dont le sommet initial et terminal coïncide et qui n’emprunte pas le même arc constitue un cycle.
Il convient de distinguer deux grands types de graphes : les graphes orientés et ceux qui ne le sont pas (les graphes non orientées).
Recherche Opérationnelle Management Logistique 9
LE problème de transport
PRESENTATION
Le P.T est un problème classique de la R.O
La solution du P.T est celle qui permet de transporter les flux du point de départ au point d’arrivée.
La solution doit également être la plus économique.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 10
LE problème de transport
FOMRMULATION
Données : un ensemble K d'usines, un ensemble L de clients, les offres des usines, les demandes des clients, les coûts de transports unitaires
c(k,l)
ka
lb
Recherche Opérationnelle Management Logistique 11
LE problème de transport
FOMRMULATION
q
1
p
1
c11 x11
c12 x12
cpq xpq
a1
a2
ap
b1
b2
bq
cp2 xp2
2 2
Recherche Opérationnelle Management Logistique 12
LE problème de transport
FOMRMULATION
On suppose que:
Hypothèse 1:
où ak >0 et bl > 0.
p
1k
q
1llk ba
Recherche Opérationnelle Management Logistique 13
LE problème de transport
FOMRMULATION
Le P.T peut être modélisé de la méthode suivante:
(T)
q1,2,...,l et p1,2,...,k0x
(demande)q1,2,...,lbx
lité)(disponibip1,2,...,kax
xczMin
kl
lkl
kkl
klkl
p
1k
q
1l
p
1k
q
1l
Recherche Opérationnelle Management Logistique 14
LE problème de transport
FOMRMULATION
Sous l’hypothèse (1), (T) est dit :
« Le problème Standard de Transport » (PST)
p
1k
q
1ll
q
1l
p
1kkl
p
1k
q
1lklk bxxa
Recherche Opérationnelle Management Logistique 15
p1,2,...,k0,c
bab
1kq
p
1k
q
1llk1q
Si
alors on crée un client fictif :
p
1k
q
1llk ba
LE problème de transport
FOMRMULATION
Recherche Opérationnelle Management Logistique 16
p1,2,...,k0,c
aba
1kp
p
1k
q
1lkl1p
Si
alors on crée un entrepôt fictif :
p
1k
q
1llk ba
LE problème de transport
FOMRMULATION
Recherche Opérationnelle Management Logistique 17
LE problème de transport
La solution de base initiale:
(a) La règle du coin Nord-Ouest
(b) La règle des Coûts Minimums
(c) Méthode des Approximations de
Vogel
Recherche Opérationnelle Management Logistique 18
LE problème de transport
A- La règle du coin Nord-ouest :Soit le problème suivant:
Une E/se de vente représentant trois dépôts et 5 client. LaMatrice des couts ainsi que la disponibilité et la demande duproduit sont
ClientDépôt
1 2 3 4 5 Dispo
IIIIII
578
693
416
852
1064
805070
DDE 40
20
60
30
50
200
Recherche Opérationnelle Management Logistique 19
LE problème de transport
1 2 3 4 5
I 80
II 50
III 70
40 20 60 30 50
ia
Jb
A- La règle du coin Nord-ouest
(The Northwest Corner Rule)
Recherche Opérationnelle Management Logistique 20
LE problème de transport
1 2 3 4 5
I 40 20 80 40 20
II 50
III 70
40
0
20
0
60 30 50
ia
Jb
On répète cette étapeJusqu’à ce que la Solution initiale soit obtenue
A- La règle du coin Nord-ouest :
Recherche Opérationnelle Management Logistique 21
LE problème de transport
1 2 3 4 5
I 40 20 20 80 40 20 0
II 40 10 50 10 0
III 20 50 70 50 0
40
0
20
0
60
40
0
30
20
0
50
0
ia
Jb
La solution initiale est atteinte
Matrice de S.I
Recherche Opérationnelle Management Logistique 22
LE problème de transport
B- la méthode de VogelAppelée également méthode des regrets
ou de la différence maximale, ou deBalas-Hammer
Cette méthode permet d’obtenir la solution
optimale en moins d’itération
Recherche Opérationnelle Management Logistique 23
1 2 3 4 5 ai
I 5 6 4 8 10 80 1 5-4
II 7 9 10 5 6 50 1 6-5
III 8 3 6 2
30
4 70 40 1 3-2
bj 40 20 60 30
0
50
2
7-5
3
6-3
2
6-4
3
5-2
2
6-4
LE problème de transport
Recherche Opérationnelle Management Logistique 24
LE problème de transport
1 2 3 4 5 ai
I 5 6 4 10 80 1 5-4
II 7 9 10 6 50 1 6-5
III 8 3
20
6
30
4 40 20 1 3-2
bj 40 20
0
60 0 50
2
7-5
3
6-3
2
6-4
__ 2
6-4
Recherche Opérationnelle Management Logistique 25
1 2 3 4 5 ai
I 5 4
60
10 80 20 1
II 7 10 6 50 1
III 8
20
6
30
4 20 2
bj 40 0 60
0
0 50
2 __ 2 __ 2
LE problème de transport
Recherche Opérationnelle Management Logistique 26
LE problème de transport
1 2 3 4 5 ai
I 5
20 60
10 20 0 5
II 7 6 50 1
III 8
20 30
4 20 4
bj 40
20
0 0 0 50
2 __ __ __ 2
Recherche Opérationnelle Management Logistique 27
1 2 3 4 5 ai
I
20 60
0
II 7 6 50 1
III 8
20 30
4
20
20 4
bj 20 0 0 0 50
30
2 __ __ __ 2
LE problème de transport
Recherche Opérationnelle Management Logistique 28
LE problème de transport
1 2 3 4 5 ai
I20 60
0
II 7
20
6
30
50 0
III
20 30 20
0
bj 20
0
0 0 0 30
0
2 __ __ __ 2
Recherche Opérationnelle Management Logistique 29
LE problème de Transport
Exemple du transport de M/SE
La société GALAXY ELECTRONICS est spécialisée dans la vente d’articles électroménager, cette dernière doit livrer ses 4 clients, qui lui achètent respectivement 10, 8, 5 et 7 de produit. Il lui reste exactement 30 articles mais ils sont répartis sur 3 entrepôts : 6, dans le 1er, 9 dans le 2e et 15 dans le 3e.
Les coûts de transport, en DH/A, entre chaque
entrepôts Ri et chaque point de livraison Lj sont
donnés dans le tableau suivant:
Recherche Opérationnelle Management Logistique 30
2
2
7
7
5
9
3
4
6
4
3
5
R1
R2
R3
L4L3L2L1
Points de
livraison
Entrepôt
LE problème de transport
Recherche Opérationnelle Management Logistique 31
Destinations
SourcesL1 L2 L3 L4 Disponibilités
R14) 3) 7) 2)
6 6
0
R23) 4) 5) 2)
9
R35)
6) 9) 7) 15
Demandes 10 8 5 71
Z=?
LE problème de transport
Recherche Opérationnelle Management Logistique 32
Destinations
SourcesL1 L2 L3 L4 Disponibilités
R23) 4) 5) 2)
1
9 8
R35)
6) 9) 7) 15
Demandes 10 8 5 10
Z=?
LE problème de transport
Recherche Opérationnelle Management Logistique 33
Destinations
Sources
L1 L2 L3Disponibilités
R23)
84) 5) 8
0
R35)
6) 9) 15
Demandes 102
8 5 Z=?
LE problème de transport
Recherche Opérationnelle Management Logistique 34
Destinations
SourcesL1 L2 L3
Disponibilités
R35) 2
6)
8
9)
515
0
Demandes 20
80
50
Z=?
LE problème de transport
Recherche Opérationnelle Management Logistique 35
Destinations
SourcesL1 L2 L3 L4
Disponibilités
R14) 3) 7) 2)
6 6
R23)
84) 5) 2)
1
9
R35)
2
6)
8
9)
5
7) 15
Demandes 10 8 5 7 Z=131
LE problème de transport
Recherche Opérationnelle Management Logistique 36
L’algorithme de stepping stone
Application:
Soit le tableau suivant traduisant les coûts pour chaque
unitée transférée entre les sources et les puits :
Recherche Opérationnelle Management Logistique 37
L’algorithme de stepping stone
1- Recherche d’une solution de base
Recherche Opérationnelle Management Logistique 38
2- Amélioration de la solution de base
a/ Calculer les coûts marginaux notés pour chaque liaison non-affectéeb/ Si tous les sont positifs ou nuls Fin
Sinon, prendre le cycle de substitution associé au le plus petit.
c/ Retour en a
Les quantités constituent les couts marginaux unitaires.
L’algorithme de stepping stone
Recherche Opérationnelle Management Logistique 39
L’algorithme de stepping stone
Il faut prendre toutes les lignes non utilisées avec la solution de base déterminée en 1, et pour chacune d’elle essayer de faire passer une unité sur celle-ci tout en préservant l’équilibre original du graphe.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 40
L’algorithme de stepping stone
Détermination des coûts marginaux :
Recherche Opérationnelle Management Logistique 41
L’algorithme de stepping stone
On détermine maintenant le cycle de substitution de :
Recherche Opérationnelle Management Logistique 42
On retourne maintenant à l’étape 1 de l’algorithme
On détermine donc les modifications à effectuer au final :
L’algorithme de stepping stone
Recherche Opérationnelle Management Logistique 43
Problème d’affectation
Les problèmes d’affectation sont des cas
spéciaux du problème de transport où la
demande associée à chaque destination est
égale à 1. Il existe une méthode, “la méthode
hongroise” qui simplifie la résolution du
problème d’affectation.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 44
Problème d’affectation Formulation
Recherche Opérationnelle Management Logistique 45
Problème d’affectation La méthode hongroise( algorithme de KHUN)
L’algorithme de résolution du problème d’affectation fut crée par Harold KUHN en 1955. Il est utilisé pour minimiser un cout ou maximiser une satisfaction suite à différentes affectations .
Il s'agit d'affecter :
- des famille de produits à des zones de stock,
- des commerciaux à des secteurs,
- des ouvriers sur des machines,
- ...
Recherche Opérationnelle Management Logistique 46
Problème d’affectation La méthode hongroise
Application : • Les coûts de fabrication des ouvriers sur les diverses
machines sont donnés par le tableau ci-dessous. • Chercher la meilleure affectation de manière à rendre le coût
de fabrication minimal
Recherche Opérationnelle Management Logistique 47
Problème d’affectation La méthode hongroise
Etape 1: Obtention des zéros Créer une nouvelle matrice des coûts en choisissant le
coût minimal dans chaque colonne et en le soustrayant de chaque coût dans la colonne ( Idem pour les lignes ).
Recherche Opérationnelle Management Logistique 48
Problème d’affectation La méthode hongroise
Etape 2:Recherche d’une solution optimale
- On cherche la ligne ou des lignes comptant le moins de zéro.
- On encadre un des zéros de cette ligne, puis on barre les zéros qui se trouvent sur la même ligne et dans la même colonne que les zéros encadrés.
- On répète le processus pour les lignes restantes. Un zéro encadré par ligne Solution optimale⇒
Recherche Opérationnelle Management Logistique 49
Problème d’affectation La méthode hongroise
La ligne 4 ne contient pas un zéro encadré donc on va appliquer l’étape 3 et 4 de l’algorithme.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 50
Problème d’affectation La méthode hongroise
Etape 3:Recherche des rangées en nombre minimal contenant tous les zéros:
a. On marque d’une croix toute ligne ne contenant aucun zéro encadré.
b. On marque toute colonne qui a un zéro barré sur une ou plusieurs lignes marquées.
c. On marque toute ligne qui a un zéro encadré sur une ou plusieurs colonnes marquées.
d. On répète b) et c) jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de colonne ou de ligne à marquer.
On trace un trait sur toute colonne marquée.
On trace un trait sur toute ligne non marquée.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 51
Problème d’affectation La méthode hongroise
Recherche Opérationnelle Management Logistique 52
Problème d’affectation La méthode hongroise
Etape 4: Déplacement de certains zéros: -Tableau partiel : éléments traversés par aucun trait. - Le plus petit élément du tableau partiel est ajouté aux
éléments rayés deux fois et retranché des éléments du tableau.
- Retour à la phase 2.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 53
Problème d’affectation La méthode hongroise
Le plus petit élément est 2, ainsi on aura le tableau ci-dessous:
Recherche Opérationnelle Management Logistique 54
Problème d’affectation La méthode hongroise
Recherche Opérationnelle Management Logistique 55
Problème d’affectation La méthode hongroise
Recherche Opérationnelle Management Logistique 56
Le Problème de flots
DEFINITION DU FLOTUn flot dans un graphe est une
valuationdes arcs respectant la loi de
conservation des flux (loi de Kirchhoff)
u
uu
u
Recherche Opérationnelle Management Logistique 57
Le Problème de flots
Soit un graphe G=(X ,U),( , c, s, t) est réseau SSI :
est un graphe orienté connexe sans boucle;
Ce graphe est valué : chaque arc (u, v) du graphe a une capacité c(u, v);
la source s de degré entrant nul :
le puits t de degré sortant nul.
G
Recherche Opérationnelle Management Logistique 58
Le Problème de flots Un flot est complet si pour tout chemin
allant de la source au puits, il y a au moins un arc Saturé.P.S o Un flot complet n’est pas forcément Maximum.o Un flot maximum est forcément complet
Recherche Opérationnelle Management Logistique 59
On veut acheminer un produit à partir de 3 entrepôts (1,2,3) vers 4 clients (a,b,c,d) Quantités en stock : 45, 25, 25 Demande des clients : 30,10, 20, 30 Limitations en matière de transport d’un entrepôt
à un clienta b c d
1 10 15
- 20
2 20 5 5 -
3 - - 10 10
E
1
2
3
a
b
d
c
S
[0,10]
[0,15]
[0,20]
[0,20]
[0,5]
[0,5][0,10]
[0,10]
[0,45]
[0,25][0,25]
[0,30]
[0,10]
[0,20]
[0,30]
Le Problème de flotsExemple de flot complet
Recherche Opérationnelle Management Logistique 60
Le Problème de flotsExemple de flot complet
E
1
2
3
a
b
d
c
S
[0,10], 10
[0,15], 5
[0,20], 20
[0,20], 15
[0,5], 5
[0,5], 5
[0,10], 10
[0,10], 10
[0,45], 35
[0,25], 25
[0,25], 20
[0,30], 25
[0,10], 10
[0,20], 15
[0,30], 30
Valeur du flot = 80
Ce flot est un flot complet, c-à-d, tout chemin de E à S comporte au moins un arc saturé
Recherche Opérationnelle Management Logistique 61
Le Problème de flotsAlgorithme de Ford- Fulkerson
Cas d’utilisation :Problèmes de charge maximaleadmissible par des réseaux (électriques,
informatiques, routiers) Principe fondamental :A tout moment, la loi deKirchhoff doit être vérifiée sur chaque sommet x de G But : Augmenter le flot jusqu’à son maximum tout en respectant cette règle
Recherche Opérationnelle Management Logistique 62
Le Problème de flotsAlgorithme de Ford- Fulkerson
Principe général : On part d’un flot compatible
(généralement 0)
On utilise deux fonctions alternativement Procédure de marquage Procédure d’augmentation du flot
Recherche Opérationnelle Management Logistique 63
Le Problème de flotsAlgorithme de Ford- Fulkerson
Procédure de marquage But :
trouver une chaîne améliorante Principe :
Marquage des sommets selon deux critères : Delta (flot max que l’on peut faire parvenir au
sommet) Sommet de provenance
Recherche Opérationnelle Management Logistique 64
Le Problème de flotsAlgorithme de Ford- Fulkerson
Procédure d’augmentation du flot But :
augmenter le flot dans le graphe selon la valeur et le marquage obtenu par la procédure de marquage
Principe : Parcours du graphe du puit vers la source suivant
les indications de provenance de la procédure de marquage
Recherche Opérationnelle Management Logistique 65
Le Problème de flotsAlgorithme de Ford- Fulkerson
a
7
Capacité
b
c
d S P
e
10
8
3
3
8
4
2
3 4
7
6 4
Chercher le flot complet du réseau.
Recherche Opérationnelle Management Logistique 66
Le Problème de flotsAlgorithme de Ford- Fulkerson
a (+S)
7
Capacité
b (+S)
c (+a)
d (+a)
S (+)
P (+c)
e (+b)
10
8
3
3
8
4
2 3
4
7
6 4
[] Flot
() Marquage
[0]
[0]
[0]
[0]
[0] [0]
[0]
[0] [0]
[0] [0]
[0]
[0]
1er marquage
Recherche Opérationnelle Management Logistique 67
Le Problème de flotsAlgorithme de Ford- Fulkerson
4/ 11 vf
a (+S)
7
Capacité
b (+S)
c (+a)
d (+a)
S (+)
P (+c)
e (+b)
10
8
3
3
8
4
2 3
4
7
6 4
[] Flot
() Marquage
[0]
[4]
[4]
[0]
[0] [0]
[0]
[0] [0]
[0] [4]
[0]
[0] On remarque que le flot est complet dans , cet arc est saturé.
Pc
Le flot sur cette chaîne est maintenant F1=4
Recherche Opérationnelle Management Logistique 68
Le Problème de flotsAlgorithme de Ford- Fulkerson
a (+S)
7
Capacité
b (+S)
c (+a)
d (+a)
S (+)
P (+d)
e (+b)
10
8
3
3
8
4
2 3
4
7
6 4
[] Flot
() Marquage
[0]
[4+3]
[4]
[3]
[0] [0]
[0]
[0] [0]
[0] [4]
[3]
[0]
Le flot sur cette chaîne est maintenant F2=3
:cet arc est saturé.aS
Recherche Opérationnelle Management Logistique 69
Le Problème de flotsAlgorithme de Ford- Fulkerson
a (-c)
7
Capacité
b (+S)
c (+b)
d (+b)
S (+)
P (+d)
e (+b)
10
8
3
3
8
4
2 3
4
7
6 4
[] Flot
() Marquage
[3]
[7]
[4]
[3]
[0] [0]
[3]
[0] [0]
[0] [4]
[3+3]
[0]
F3=3
db Est saturé
Recherche Opérationnelle Management Logistique 70
Le Problème de flotsAlgorithme de Ford- Fulkerson
a (-c)
7
Capacité
b (+S)
c (+b)
d (+b)
S (+)
P (+e)
e (+b)
10
8
3
3
8
4
2 3
4
7
6 4
[] Flot
() Marquage
[3+3]
[7]
[4]
[3]
[0] [0]
[3]
[3] [0]
[0] [4]
[6]
[3]
F4=3
eb Est saturé
Recherche Opérationnelle Management Logistique 71
a (-c)
7
Capacité
b (+)
S)
c (+b)
d (+c)
S
(+)
P (+d)
e (+d)
10
8
3
3
8
4
2 3
4
7
6 4
[] Flot
() Marquage
[6+1]
[7]
[4]
[3]
[0] [1]
[3]
[3] [0]
[1] [4]
[6+1]
[3]
F5=1
Pd Est saturé
Le Problème de flotsAlgorithme de Ford- Fulkerson
Recherche Opérationnelle Management Logistique 72
Le Problème de flotsAlgorithme de Ford- Fulkerson
a (-c)
7
Capacité
b (+S)
c (+b)
d (+c)
S (+)
P (+e)
e (+d)
10
8
3
3
8
4
2 3
4
7
6 4
[] Flot
() Marquage
[7+1]
[7]
[4]
[3]
[0] [1+1]
[3]
[3] [1]
[1+1] [4]
[7]
[3+1]
F6= 1
cb Est saturé15/)( vPSf
Recherche Opérationnelle Management Logistique 73
CONCLUSION