แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร เพื่อคัดเลือกนักเรียนเขารวมโครงการพัฒนาผูมีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร

โรงเรียนมงฟอรตวิทยาลัย แผนกมัธยม ประจําปการศึกษา 2550 ฉบับที่ 1

สอบวันเสารท่ี 10 เดือน กุมภาพันธ พ.ศ. 2550 เวลา 08.15 น. – 09.15 น.

ขอสอบฉบับนี้เปนขอสอบฉบับที่ 1 ซึ่งจะมุงเนนการวัดความรูพื้นฐานคณิตศาสตร ชวงชัน้ที่ 3

และการใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร คําชี้แจง 1. ขอสอบฉบับนี้เปนขอสอบแบบอัตนัย จํานวน 7 หนา ชนิดแสดงวิธีทํา จํานวน 12 ขอ ขอละ 10

คะแนน โดยคะแนนเต็ม 120 คะแนน 2. ใหเวลาในการทําขอสอบ 1 ชั่วโมง ไมอนุญาตใหนักเรียนออกหองสอบกอนเวลา 45 นาที และไม

อนุญาตใหนักเรียนเขาหองสอบหลังจากเวลาผานไปแลว 15 นาที 3. ใหแสดงวิธีทําอยางละเอียดลงในกระดาษขอสอบ โดยเติมคําตอบสุดทายในชองสี่เหลี่ยมที่กําหนด 4. ไมอนุญาตใหใชเครื่องคํานวณ เครื่องมือสื่อสาร ขณะทําการสอบเด็ดขาด 5. ใหนักเรียนใชปากกาหมึกสีนํ้าเงินหรือหมึกสีดําในการทําขอสอบเทานั้น ไมอนุญาตใหใชดินสอใน

การทําขอสอบ (ยกเวนการวาดภาพ สามารถใชดินสอได) 6. การทดเลข ใหนักเรียนทดในตัวขอสอบ โดยแยกบริเวณใหชัดเจนระหวางบริเวณท่ีทดกับบริเวณที่

ทําขอสอบ 7. คณะกรรมการตรวจขอสอบจะไมพิจารณาตรวจ สําหรับขอท่ีผูสอบไมไดแสดงวิธีทํา 8. การพยายามหรือการกระทําการทุจริตใด ๆ ระหวางการทดสอบ ทางโครงการขอสงวนสิทธ์ิในการ

ไมใหเขารวมโครงการนี้ ไมวาเหตุผลใด ๆ ท้ังส้ิน 9. ใหนักเรียนเขียนชื่อ – นามสกุล และเลขประจําตัวสอบในกระดาษทุกหนา

สําหรับเจาหนาท่ีบันทึกคะแนน : คะแนนที่ได หนาท่ี คะแนนเต็ม คะแนนที่ได

2 20 3 20 4 20 5 20 6 20 รวม 120 คะแนนที่ได หารดวย 4

ชื่อ.................................................................เลขประจําตัวสอบ..........................

อยาเพ่ิงเปดขอสอบจนกวาคณะกรรมการคุมสอบจะมีคําสั่งใหเปด

ขอสอบคัดเลือกนักเรียน Gifted Mathematics โรงเรียนมงฟอรตวิทยาลัย แผนกมัธยม ปการศึกษา 2550 รวมขอสอบชุด 1 + 2 หนาที่ 2

คําชี้แจง ใหนักเรียนแสดงวิธีทําอยางละเอียดทกุขั้นตอน และเติมคําตอบในชองสี่เหลี่ยมที่กําหนดให

1. ถา x + 2 หาร x3 + 2x2 + 3x + a และ x3 + x2 + 9 เหลือเศษเทากันแลว คาของ a

เปนเทาใด

2. ถา 21a 3

a⎛ ⎞⎟⎜ + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ แลว คาของ 3

31aa

+ เปนเทาใด

3. ให x เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคาเทากับ 30215 จงหาเศษจากการหาร 3x ดวย 9

4. มติหนึ่ง ฝายเสียงขางมากชนะ 9 เสียง ถาหากเศษหนึ่งสวนหกของฝายชนะ กลับออกเสียงใหอีกฝายหนึ่งแลว ฝายที่เคยชนะ จะแพ 3 เสียง สรุปแลว เสียงท้ังหมดมีเทาไร

5. ถา 3x = 2k และ 5y = 8k แลว อัตราสวนของ x : y เทากับขอใด 6. คําตอบของระบบสมการ

x + b1y + c1 = 0

x + b2y + c2 = 0

คาของ x ในระบบสมการ จะเปนเทาใด เม่ือ b1 ≠ b2

7. กําหนด cotA 2 2= และ sec A > 0 แลว คาของ 2 2cosA3

− มีคาเทากับเทาใด

8. ชายคนหนึ่งสูง 5 ฟุต อยูหางจากเสาธงเปนระยะ 15 3 ฟุต สังเกตเห็นวา เงาของเขาและเงาของยอดเสาธงอยูตําแหนงเดียวกันพอดี เม่ือมองไปที่ยอดเสาธง พบวา มุมเงยจากระดับสายตาไปยอดเสาธงเทากับ 30° เสาธงนี้สูงกี่ฟุต

9. จากรูป วงกลม A และ B สัมผัสกันท่ีจุดศูนยกลางของวงกลม C ถาวงกลม C มีเสนผาน

ศูนยกลางยาว 10 หนวยแลว จงหาวา วงกลม C มีพ้ืนท่ีมากกวาผลบวกของพื้นท่ีวงกลม A

และ B กี่ตารางหนวย

rA

C

B

30°

15 3 ฟุต

5 ฟุต

ขอสอบคัดเลือกนักเรียน Gifted Mathematics โรงเรียนมงฟอรตวิทยาลัย แผนกมัธยม ปการศึกษา 2550 รวมขอสอบชุด 1 + 2 หนาที่ 3

10. ถา 3 2

24y 6y 1 DAy By C2y 1 2y 1+ + = + + +

− − โดยที่ A, B, C และ D เปนจํานวน

จริงใด ๆ จงหาคาของ A + B + C + D

11. จากรูป BD, DE และ EC เปนเสนสัมผัสวงกลมที่มี O เปนจุดศูนยกลางท่ี B, F และ C

ตามลําดับ BD, DE และ OB ยาว 5, 7 และ 3 เซนติเมตรตามลําดับ และ ˆGOB = 96°

เสนรอบรูปสี่เหลี่ยม BCED ยาวกี่เซนติเมตร D

C

G

B

O

A

F

E

12. กําหนดให i = 1− และ k

n 13n 3(1) 3(2) 3(3) ... 3(k)

== + + + +∑

จงหาคาของ 11

n

n 1i

=∑

ขอสอบคัดเลือกนักเรียน Gifted Mathematics โรงเรียนมงฟอรตวิทยาลัย แผนกมัธยม ปการศึกษา 2550 รวมขอสอบชุด 1 + 2 หนาที่ 4

แบบทดสอบวิชาคณิตศาสตร เพื่อคัดเลือกนักเรียนเขารวมโครงการพัฒนาผูมีความสามารถพิเศษทางคณิตศาสตร

โรงเรียนมงฟอรตวิทยาลัย แผนกมัธยม ประจําปการศึกษา 2550 ฉบับที่ 2

สอบวันเสารท่ี 10 เดือน กุมภาพันธ พ.ศ. 2550 เวลา 09.30 น. – 12.00 น.

ขอสอบฉบับนี้เปนขอสอบฉบับที่ 2 ซึ่งมุงเนนทักษะกระบวนการดานการอาน คิด วิเคราะห และการใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร โดยประยุกตกับวิชาอื่น ๆ หรือนอกเหนือจากหลักสูตร

(สิ่งที่อยูนอกเหนือจากหลักสูตรหรือในวิชาอืน่ ๆ ในขอสอบจะมีการกําหนดให) คําชี้แจง 1. ขอสอบฉบับนี้เปนขอสอบแบบอัตนัย จํานวน 9 หนา เปนขอสอบชนิดแสดงวิธีทํา จํานวน 7 ขอ

โดยมีคะแนนเต็ม 70 คะแนน 2. ใหเวลาในการทําขอสอบ 2 ชั่วโมง 30 นาที ไมอนุญาตใหนักเรียนออกหองสอบกอนเวลา 2

ชั่วโมง และไมอนุญาตใหนักเรียนเขาหองสอบหลังจากเวลาผานไปแลว 15 นาที 3. ใหแสดงวิธีทําอยางละเอียดลงในกระดาษขอสอบ 4. ไมอนุญาตใหใชเครื่องคํานวณ เครื่องมือสื่อสาร ขณะทําการสอบเด็ดขาด 5. ใหนักเรียนใชปากกาหมึกสีนํ้าเงินหรือหมึกสีดําในการทําขอสอบเทานั้น ไมอนุญาตใหใชดินสอใน

การทําขอสอบ (ยกเวนการวาดภาพ ใหใชดินสอได) 6. การทดเลข ใหนักเรียนทดในตัวขอสอบ โดยแยกบริเวณใหชัดเจนระหวางท่ีทดกับบริเวณที่ทํา

ขอสอบ 7. คณะกรรมการตรวจขอสอบจะไมพิจารณาตรวจ สําหรับขอท่ีผูสอบไมไดแสดงวิธีทํา 8. การพยายามหรือการกระทําการทุจริตใด ๆ ระหวางการทดสอบ ทางโครงการขอสงวนสิทธ์ิในการ

ไมใหเขารวมโครงการนี้ ไมวาเหตุผลใด ๆ ท้ังส้ิน 9. ใหนักเรียนเขียนชื่อ – นามสกุล และเลขประจําตัวสอบในกระดาษทุกหนา

สําหรับเจาหนาท่ีบันทึกคะแนน : คะแนนที่ได หนาท่ี คะแนนเต็ม คะแนนที่ได

2 6 3 6 4 4 5 10 6 10 7 11 8 10 9 12

รวม 70

ชื่อ.................................................................เลขประจําตัวสอบ..........................

อยาเพ่ิงเปดขอสอบจนกวาคณะกรรมการคุมสอบจะมีคําสั่งใหเปด

ขอสอบคัดเลือกนักเรียน Gifted Mathematics โรงเรียนมงฟอรตวิทยาลัย แผนกมัธยม ปการศึกษา 2550 รวมขอสอบชุด 1 + 2 หนาที่ 5

กําหนดสูตรที่นักเรียนอาจไมทราบตอไปนี ้ พ้ืนที่รูปสามเหลี่ยมฐานโคง A = π θ2r

360 เม่ือ θ คือมุมใด ๆ และ r คือรศัมี

พ้ืนที่รูป n เหลี่ยมดานเทา = ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠21 360na sin

2 n เม่ือ n คือจํานวนดาน

ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา

คําชี้แจง ใหนักเรียนแสดงวิธีทําอยางละเอียดทกุขั้นตอน 1. ในการสํารวจคุณคาทางอาหารของเครื่องดื่ม นักโภชนาการพบวา เครื่องดื่มกระปองชนิดหนึ่ง

ขนาด 250 ลูกบาศกเซนติเมตร ใหพลังงาน 384 กิโลจูล และมีคารโบไฮเดรต 2.8 กรัม โปรตีน 0.9 กรัม แตไมมีไขมัน จงหารอยละของแอลกอฮอลโดยปริมาตร (6 คะแนน) สิ่งที่กําหนดใหเพ่ิมเติม มีดังนี ้

1. ใหคารโบไฮเดรต และโปรตีน ใหพลังงาน 16 กิโลจูลตอกรัม 2. ใหแอลกอฮอลใหพลังงาน 28 กิโลจูลตอกรัม และมีความหนาแนน 0.8 กรัมตอ

ลูกบาศกเซนติเมตร 3. กําหนดความสัมพันธระหวางมวล ความหนาแนน และปริมาตร เปนไปตามสมการ

มวล = ความหนาแนน × ปริมาตร 2. ในการศึกษาเกี่ยวกับความดัน (P) ปริมาตร (V) อุณหภูมิ (T) และจํานวนโมลของแกส (n)

ไดมีนักวิทยาศาสตรทําการทดลอง และต้ังกฏตาง ๆ ดังนี้ 4. กฏของบอยล กลาววา “เม่ืออุณหภูมิและความดันคงที่ ปริมาตรของแกสจะแปรผกผันกับ

ความดัน”

5. กฏของชารล กลาววา “เม่ือมวลและความดันของแกสคงที่ ปริมาตรของแกสจะแปรผันตรงกับอุณหภูมิในหนวยเคลวิน”

6. กฏของอโวกาโดร กลาววา “ท่ีอุณหภูมิและความดันคงที่ ปริมาตรของแกสใดๆ จะเปนสัดสวนโดยตรงกับจํานวนโมลของแกสนั้น ๆ”

หากนํากฏท้ังสามมารวมกัน จะไดสมการใหมเปน กฏแกสสมบูรณ (Ideal Gas Law) จากขอมูลท่ีกําหนดดังกลาว

2.1 จงหาสมการของกฏแกสสัมบูรณ (ตอบในรูปท่ีไมเปนเศษสวน) เม่ือกําหนดใหคาคงท่ีเทากับ R (3 คะแนน)

2.2 จงหาคาคงที่ R โดยกําหนดใหระบบมีปริมาตร 22.4 ลิตร (Lit) ความดัน 1 บรรยากาศ (atm) อุณหภูมิท่ี 273 เคลวิน (K) และมีแกสจํานวน 1 โมล (mol)

(ตอบเปนทศนิยม 3 ตําแหนง พรอมหนวยท่ีถูกตอง) (3 คะแนน) 2.3 แกสออกซิเจนจํานวน 2 โมล ท่ีอุณหภูมิ 27 องศาเซลเซียส ความดัน 380

มิลลิเมตรปรอท มีปริมาตรเทาไร (4 คะแนน) กําหนดให

1. ความสัมพันธระหวางอุณหภูมิในหนวยองศาเซลเซียส Tc กับเคลวิน Tk เปน Tk = Tc + 273

2. กําหนดให 1 บรรยากาศ เทากับ 760 มิลลิเมตรปรอท (mmHg)

3. ใชคา R จากขอ 2.2

θ

a a

ขอสอบคัดเลือกนักเรียน Gifted Mathematics โรงเรียนมงฟอรตวิทยาลัย แผนกมัธยม ปการศึกษา 2550 รวมขอสอบชุด 1 + 2 หนาที่ 6

3. กําหนดให a, b, c และ d เปนคําตอบของสมการ

( ) ( )− + − − + + =22 23 1 3 3 1 2 0x x x x

จงหาคาของผลบวกของคําตอบของสมการยกกําลังสอง (10 คะแนน)

4. เกมแพคแมน (Pacman Game) เปนเกมยอดนิยมในอดีต ซึ่งตัวการตูนคือตัวแพคแมน มีลักษณะเปนรูปวงกลม และกําหนดใหจุด A เปนจุดศูนยกลางของตัวแพคแมนดังรูป

หากแพคแมนตัวนี้อาปากไดมากท่ีสุด ทํามุม 49 องศา และรัศมีของตัวแพคแมนยาว 6 มิลลิเมตร

4.1 ขณะที่ตัวแพคแมนอาปากมากท่ีสุด ตัวมันจะมีพ้ืนที่เทาไร (ตอบหนวยตารางมิลลิเมตร) (5 คะแนน)

4.2 บริษัทผลิตของที่ระลึกนําตัวแพคแมนไปผลิตเปนพวงกุญแจ โดยทําเปนรูปทรงกลมท่ีมีรัศมี 7 เซนติเมตร แลวทํารอยบาก ทํามุม 60 องศา ปริมาตรของตัวแพคแมนนี้เปนกี่ลูกบาศกเซนติเมตร (5 คะแนน)

5. สมการกําลังสอง (Quadratic Equation) คือสมการที่เขียนไดในรูป ax2 + bx + c = 0

โดยที่ a, b และ c เปนคาคงที่ ซึ่ง a ≠ 0 และ x เปนตัวแปร จงหาคา x จากสมการกําลังสอง ax2 + bx + c = 0 (11 คะแนน)

6. ในการจัดการเดินแบบเรื่อง “คณิตศาสตรกับการแตงตัว” มีผูสนับสนุนเสื้อผาใหนํามาเดินแบบ ประกอบดวย

1. หางโลโซ มอบรองเทาสีขาว 1 คู กางเกงขายาวสีน้ําเงินและสีแดง ประเภทละ 1 ตัว 2. หางแจมฟา มอบเสื้อสีแดงและสีน้ําเงินสกรีนลายแจมฟา 2 ตัว รองเทาสีดํา 1 คูฃ 3. หางเซ็งทาน มอบกางเกงสีน้ําเงิน และมวง สีละ 1 ตัว เส้ือหางเซ็งทานสีน้ําเงิน สกรีน

คําวา “เซ็ง” และ “ทาน” รวมทั้งส้ิน 2 ตัว 6.1 หากนางสาวสุดาทิพยไดรับการคัดเลือกใหเดินแบบ นางสาวสุดาทิพยจะสามารถเลือกใส

เส้ือ กางเกง และรองเทาไดกี่วิธี (แสดงวิธีโดยแผนภาพตนไม) (4 คะแนน) ตอบ แตงตัวได...................................วิธี (1 คะแนน)

6.2 ความนาจะเปนที่นางสาวสุดาทิพย จะแตงตัวดวยเสื้อและกางเกงสีน้ําเงินท้ังชุด (ไมคํานึงวาลายจะแตกตางกันหรือไม ขอใหมีสีน้ําเงินก็พอ) เทากับเทาไร (2 คะแนน)

6.3 หากหางแจมฟาประกาศวา “ถาความนาจะเปนที่เส้ือผาท่ีหางแจมฟามอบให ไมไดใสออกแบบเกิน 0.2 ปหนาหางแจมฟาจะเลิกสนับสนุนการเดินแบบ” อยากทราบวา ในปหนา หางแจมฟาจะสนับสนุนการเดินแบบหรือไม พรอมแสดงเหตุผล (3 คะแนน)

A

B

C

แนวบากที่ตัดออก

ขอสอบคัดเลือกนักเรียน Gifted Mathematics โรงเรียนมงฟอรตวิทยาลัย แผนกมัธยม ปการศึกษา 2550 รวมขอสอบชุด 1 + 2 หนาที่ 7

7. ในการเดินปาศึกษาธรรมชาติของนักศึกษาวิชาทหาร นักศึกษาวิชาทหารไดรับแจกกระบอกน้ําซึ่งเปนทรงกระบอก สามารถบรรจุน้ําไดมากท่ีสุด 1,925 ลูกบาศกเซนติเมตร

7.1 หากกระบอกนี้มีเสนผานศูนยกลาง ยาว 7 เซนติเมตร จงหาความสูงของกระบอกน้ํา (3 คะแนน)

7.2 หากขณะที่นักศึกษาวิชาทหารกําลังเดินปา แลวด่ืมน้ําไปพรอมๆกัน ถาอัตราการดืม่น้าํตอระยะทางเปน 14 ลูกบาศกเซนติเมตรตอ 1 เมตร และนักศึกษาวิชาทหารเดินปาดวยอัตราเร็ว 0.5 เมตรตอนาที ใชเวลา 3 ชั่วโมง น้ําในกระบอกนี้จะหมดกอนถึงจุดหมายหรือไม ถาเหลือ จะเหลือน้ําในกระบอกเทาใด และหากหมดกอนจุดหมาย จะตองการน้ําอีกเทาใดจึงจะพอตอความตองการ (สมมติบรรจุน้ําเต็มกระบอก)

(4 คะแนน) 7.3 หากนําน้ําท่ีเหลือหรือขาดในขอ 7.2 นําไปเติมลงในกระบอกของครูฝกท่ีมีความสูง

35 เซนติเมตร และเปนกระบอกทรงหกเหลี่ยมดานเทาไดพอดี กําลังสองของรัศมีของทรงหกเหลี่ยมดานเทา จะยาวเทาไร (ตอบในรูปท่ีเปนเศษสวนและติดคากรณฑ)

(จากรูป จะเรียก a วาเปนรัศมีของรูป n เหลี่ยมดานเทา) (5 คะแนน)

*******************************************

a a