MATEMÁTICAS 1 GLOBAL ÁLGEBRA Noviembre 2008 1.- Resuelve las ecuaciones:

a) 4xx104

2x2x

2x1x3

2 −

−=

−+

−++ (1 punto)

b) 11210232 2x1xx2 =⋅−⋅+ −+ (1 punto)

c) ( )( ) 038x17x7x232 24 =−−+− (0,75 puntos)

d) ( ) ( )4x32xx2 −=−−⋅ logloglog (0,75 puntos) 2.- Resuelve las inecuaciones: (1,5 puntos)

a) 12x

x2−≤

− b) 51x2 ≤−

3.- Resuelve los sistemas de ecuaciones: (2 puntos)

a) ⎪⎭

⎪⎬⎫

=−−+

=+

11y5x9yx

b) ⎪⎭

⎪⎬⎫

=−

=+

2yx5yx 22

logloglog

4.- Resuelve los sistemas de inecuaciones: (2 puntos)

a) ⎪⎭

⎪⎬⎫

−<−≤+

3x3x2160x5x2

b) ⎭⎬⎫

<−

≥−

0yx311y2

5.- Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros, lo que supone un total de 2000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble del número de billetes de 20 €. Averigua cuántos billetes hay de cada tipo . Aplicando el método de Gauss. (1 punto)

MATEMÁTICAS 1 SOLUCIONES

1. a) 4xx104

2x2x

2x1x3

2 −

−=

−+

−++ ( )( )2x2xmcm −+=...

→−

−=

−+++

−−+−+

4xx104

2x2x2x2x

2x2x2x1x3

2))(())((

))(())(( x1044x4x2x5x3 22 −=−−−−−

25

2

4811x010xx2 2

−=

±−=→=−+ Solución x =

25

− (2 no es válido)

b) 11210232 2x1xx2 =⋅−⋅+ −+ ( ) 1122102232 x2x2x =⋅⋅−⋅⋅+→ −

hacemos el cambio →=−−+→= 011t410t6t2t 2x 011t

27t2 =−+

211

2

4157

4176497t022t7t2 2

−=

±−=

+±−=→=−+

imposible211

1x222t

2x

−

=⇒=== Solución x = 1

c) ( )( ) 038x17x7x232 24 =−−+−

zx038x17x27x07x2

224 =→=−−

−=⇒=+→

219

22117

215228917z038z17z2

−=

±=

+±=→=−−

219

x−±

±=⇒

Soluciones: 19x19x27x −=+=−= ,,

d) ( ) ( )4x32xx2 −=−−⋅ logloglog )log()log(log 4x32xx2 −=−−→

8x4x6x3x4x32x

x4x32x

x 2222

+−−=⇒−=−

⇒−=−

)log(log

14

x04x5x08x10x2 22 =→=+−⇒=+− Solución x=4 ( 1 no es válido)

2.- Resuelve las inecuaciones:

a) 12x

x2−≤

− 0

2x2xx01

2xx 22

≤−−+

⇒≤+−

⇒ 2

1x02xx2

−=⇒=−+

Solución: ( ] [ )212 ,, U−∞−

MATEMÁTICAS 1

b) 51x2 ≤− →≤−≤−→ 51x25 sistema ⎭⎬⎫

≤−≥

⎭⎬⎫

≤−≥

⎭⎬⎫

≤−−≥−

3x2x

6x24x2

51x251x2

Solución:

[ ]32,−

3.- Resuelve los sistemas de ecuaciones:

a) ⎪⎭

⎪⎬⎫

=−−+

=+

11y5x9yx

Por sustitución: →−= x9y 11x95x =−−−+

( ) ( ) x8x8215xx815xx815x 22−+−+=+⇒−+=+⇒−+=+

( ) x82xx82xx824x2x82x815x 2 −=−⇒−=−⇒−=−⇒−=+−−+

14

x04x3xx84x4x 22−

=⇒=−−⇒−=+− comprobamos:

3121815121348154+≠→++=+−

+=→−+=+ sólo un valor de x es válido x = 4

Y ahora calculamos 549x9y =−=−= , Solución: x = 4, y = 5

b) ⎪⎭

⎪⎬⎫

=−

=+

2yx5yx 22

logloglog( ) 5yy2

y2x2yx

5yx

2yx

5yx22

2222

=+→⎪⎭

⎪⎬

⎫

=→=

=+→

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=+→

loglog

1y1y5y55yy4 2222 =⇒=⇒=⇒=+ (no puede ser negativo) Hallemos ahora x: 2xy2x =⇒= Solución: x = 2 y = 1 4.- Resuelve los sistemas de inecuaciones:

a) ⎪⎭

⎪⎬⎫

−<−≤+

3x3x2160x5x2

⎭⎬⎫

+<+≤+

x2x331605xx )(

[ ]

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞

−

⎭⎬⎫

<≤+

,:

,:)(

519sol

05sol

x51905xx

La solución del sistema será la intersección de las dos soluciones, es decir:

No hay intersección. Solución: φ

MATEMÁTICAS 1

b) ⎭⎬⎫

<−

≥−

0yx311y2

⎭⎬⎫

=

=→

⎭⎬⎫

=−

=−

x3y1y

0yx311y2

representamos

las dos rectas y hallamos los semiplanos solución de cada inecuación, la intersección de los dos será la solución del sistema, que es la zona en amarillo, entrando la semirrecta correspondiente a y=1 y no entrando la otra. 5.- Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros, lo que supone un total de 2000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble del número de billetes de 20 €. Averigua cuántos billetes hay de cada tipo . Aplicando el método de Gauss.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−

=++

=++

→⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=++

=++

→⎪⎭

⎪⎬

⎫

−

−

−

0y2x200z5y2x

95zyx

y2x2000z50y20x10

95zyx

50 de billetesz20 de billetesy10 de billetesx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=−

=++

→⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−

−=−

=++

⎯⎯⎯ →⎯⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−

−=−−

=++

⎯⎯⎯ →⎯ +−

275y110y2x95zyx

0y2x275y11

95zyx

0y2x275y3x4

95zyx3212 E4EE5E

2511

275y == 50x0252x =⇒=⋅−→ 20z95z2550 =⇒=++→

Solución: Hay 50 billetes de 10 €, 25 billetes de 20 € y 20 billetes de 50 €.