Upload
elsev25
View
45
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Glosario didáctico de contenidos educativos, secundaria
Citation preview
1
Instituto de Alfabetizacin y
Educacin Bsica para Adultos
Direccin de Desarrollo Educativo
Glosario didctico de contenidos educativos para
aspirantes al examen de educacin media superior
Secundaria
Matemticas
2
Temario 1. Identifica las propiedades del sistema de numeracin
decimal contrastndolas con las de otros sistemas numricos
posicionales y no posicionales.
2. Representa nmeros fraccionarios y decimales en la recta
numrica a partir de distintas informaciones, analizando las
convenciones de esta representacin.
3. Resuelve problemas aditivos con nmeros fraccionarios y
decimales en distintos contextos.
4. Resuelve problemas que impliquen la multiplicacin y divisin
con nmeros fraccionarios en distintos contextos.
5. Resuelve problemas que impliquen la multiplicacin de
nmeros decimales en distintos contextos.
6. Resuelve problemas que impliquen la divisin de nmeros
decimales en distintos contextos.
7. Identifica y resuelve situaciones de proporcionalidad directa
del tipo valor faltante en diversos contextos. Resuelve problemas de reparto proporcional en diversos contextos.
8. Resuelve problemas que impliquen el clculo de porcentaje
utilizando adecuadamente la expresin fraccionaria o decimal.
9. Resuelve problemas que impliquen el clculo de la raz
cuadrada y la potencia de exponente natural de nmeros
naturales y decimales.
10. Plantea y resuelve problemas que impliquen la utilizacin de
nmeros con signo.
11. Utiliza procedimientos informales y algoritmos de adicin y
sustraccin de nmeros con signo en diversas situaciones.
12. Resuelve problemas que impliquen multiplicaciones y
divisiones de nmeros con signo.
13. Utiliza la jerarqua de las operaciones, y los parntesis si fuera
necesario, en problemas y clculos.
14. Resuelve problemas que implican una relacin inversamente
proporcional entre dos conjuntos de cantidades. Resuelve
problemas de proporcionalidad mltiple.
15. Resuelve problemas de comparacin de razones, con base
en la nocin de equivalencia.
16. Reconoce y obtiene expresiones algebraicas equivalentes a
partir del empleo de modelos geomtricos.
3
17. Resuelve problemas que impliquen adicin y sustraccin de
expresiones algebraicas.
18. Resuelve problemas multiplicativos que impliquen el uso de
expresiones algebraicas.
19. Resuelve problemas que impliquen el planteamiento y la
resolucin de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b;
ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad,
con a, b y c, nmeros naturales o decimales.
20. Resuelve problemas que impliquen el planteamiento y la
resolucin de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx
+ c = dx + ex + f; adems con parntesis en uno o en ambos
miembros de la ecuacin, utilizando coeficientes enteros o
fraccionarios, positivos o negativos.
21. Efecta o simplifica clculos con expresiones algebraicas
tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x - a). Adems,
factoriza expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 +
bx; x2 + bx + c; x2 - a2.
22. Resuelve problemas que impliquen reconocer, estimar y
medir ngulos, utilizando el grado como unidad de medida.
23. Determina mediante construcciones las posiciones relativas
de dos rectas en el plano y elabora definiciones de rectas
paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establece relaciones
entre los ngulos que se forman al cortarse dos rectas en el
plano.
24. Establece las relaciones entre los ngulos que se forman
entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justifica
las relaciones entre las medidas de los ngulos interiores de los
tringulos y paralelogramos.
25. Construye figuras simtricas respecto de un eje, las analiza y
explicita las propiedades que se conservan en figuras tales
como: tringulos issceles y equilteros, rombos, cuadrados y
rectngulos.
26. Utiliza las propiedades de la mediatriz de un segmento y la
bisectriz de un ngulo para resolver diversos problemas
geomtricos.
27. Construye polgonos regulares a partir de distintas
informaciones.
28. Construye tringulos y cuadrilteros. Analiza las condiciones
de posibilidad y unicidad en las construcciones.
4
29. Resuelve problemas de conteo utilizando diversos recursos,
tales como tablas, diagramas de rbol y otros procedimientos
personales.
30. Interpreta y comunica informacin mediante la lectura,
descripcin y construccin de tablas de frecuencia absoluta y
relativa.
31. Interpreta informacin representada en grficas de barras y
circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de
diarios o revistas y de otras fuentes. Comunica informacin
proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de
representacin.
32. Interpreta y calcula las medidas de tendencia central de un
conjunto de datos, considerando de manera especial las
propiedades de la media aritmtica.
33. Interpreta y utiliza ndices para explicar el comportamiento
de diversas situaciones.
34. Enumera los posibles resultados de una experiencia
aleatoria. Utiliza la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y
vincula diferentes formas de expresarla.
35. Explica en lenguaje natural el significado de algunas
frmulas geomtricas, interpretando las literales como nmeros
generales con los que es posible operar.
36. Resuelve problemas que impliquen calcular el permetro y el
rea de tringulos, romboides y trapecios. Realiza conversiones
de medidas de superficie.
37. Determina el nmero Pi como la razn entre la longitud de la
circunferencia y el dimetro. Justifica la frmula para el clculo
de la longitud de la circunferencia y el rea del crculo.
38. Resuelve problemas que impliquen calcular el rea y el
permetro del crculo.
39. Resuelve problemas que impliquen el clculo de reas en
diversas figuras planas y establece relaciones entre los
elementos que se utilizan para calcular el rea de cada una de
estas figuras.
40. Analiza en situaciones problemticas la presencia de
cantidades relacionadas y representa esta relacin mediante
una tabla y una expresin algebraica. En particular, la expresin
de la relacin de proporcionalidad y = kx, asociando la de la
ecuacin.
5
41. Explica las caractersticas de una grfica que represente una
relacin de proporcionalidad en el plano cartesiano.
42. Analiza los vnculos que existen entre varias representaciones
(grficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a la misma
situacin, e identifica las que son de proporcionalidad directa.
43. Construye sucesiones de nmeros a partir de una regla
dada. Determina expresiones generales que definen las reglas
de sucesiones numricas y figurativas.
44. Aplica el teorema de Pitgoras en la resolucin de
problemas.
45. Resuelve ecuaciones cuadrticas. A L
46. Describe las caractersticas de cubos, prismas y pirmides.
Construye desarrollos planos de cubos, prismas y pirmides
rectos. Anticipa diferentes vistas de un cuerpo geomtrico.
47. Estima y calcula el volumen de cubos, prismas y pirmides
rectos. Calcula datos desconocidos, relacionados con las
frmulas del clculo de volumen. Establecer relaciones de
variacin entre diferentes medidas de prismas y pirmides.
48. Construye figuras semejantes y compara las medidas de los
ngulos y de los lados.
49. Determina los criterios de semejanza de tringulos. Aplica los
criterios de semejanza de tringulos en el anlisis de diferentes
propiedades de los polgonos. Aplica la semejanza de tringulos
en el clculo de distancias o alturas inaccesibles.
50. Representa con literales los valores desconocidos de un
problema y los utiliza para plantear y resolver un sistema de
ecuaciones con coeficientes enteros.
51. Representa grficamente un sistema de ecuaciones lineales
con coeficientes enteros e interpreta la interseccin de sus
grficas como la solucin del sistema.
52. Reconoce y determina las razones trigonomtricas en
familias de tringulos rectngulos semejantes, como cocientes
entre las medidas de los lados. Calcula medidas de lados y de
ngulos de tringulos rectngulos, a partir de los valores de
razones trigonomtricas.
53. Distingue en diversas situaciones de azar eventos que son
independientes. Determina cmo puede calcularse la
probabilidad de ocurrencia de dos o ms eventos
independientes.
6
Matemticas
Aritmtica lgebra
Nmeros naturales Expresiones algebraicas
Nmeros enteros Leyes de los exponentes
Sistemas de numeracin Operaciones con polinomios
Sistema de numeracin decimal Productos notables y
factorizacin Mltiplos y divisores
Nmeros decimales Ecuaciones
Nmeros fraccionarios Modelacin de variacin
mediante una tabla o una
expresin algebraica Proporcionalidad
Porcentajes
Potenciacin y radicacin Funciones y grficas
Nmeros con signo Sucesiones numricas y
figurativas
Sistemas de ecuaciones
lineales con dos incgnitas
Geometra Presentacin y tratamiento
de la informacin Lneas paralelas y
perpendiculares Conteo
ngulos, mediatrices y bisectrices Frecuencia absoluta y
relativa ngulos entre dos paralelas y
una secante Grficas
Polgonos, permetros y reas Medidas de posicin central
Tringulos
Cuadrilteros
Crculo y circunferencia Probabilidad
Suma de los ngulos interiores de
un polgono
Simetra axial y central Habilidad lgico-
matemtica Tringulos congruentes
Semejanza Sucesiones numricas
Teorema de Tales Series espaciales
Clasificacin de cuerpos
geomtricos
Imaginacin espacial
Problemas de razonamiento
Trigonometra
7
Aritmtica
Nmeros Naturales
Al conjunto de nmeros: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, se les llama nmeros naturales, denotados por la letra N (en ocasiones
no se considera al cero), tienen ciertas propiedades:
a) Al comparar dos nmeros naturales uno es menor que el
otro o son iguales, es decir a un conjunto de nmeros
naturales siempre es posible ordenar.
b) Existe un nmero ms pequeo que todos, el 0 (cero), se le
llama primer elemento.
c) Todo nmero natural excepto el cero tiene antecesor.
Antes de un nmero hay otro; antes de 10 000 est el 9
999.
d) Todo nmero natural tiene un sucesor, es decir, despus de
un nmero hay otro; como del 5 sigue el 6.
e) Los nmeros naturales son infinitos, nunca los acabaremos
de nombrar.
Los nmeros naturales los podemos representar por medio de
una recta numrica:
Nmeros enteros
Los nmeros enteros son el conjunto de los nmeros naturales y
sus simtricos, se denotan por la letra Z.
Z = 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1,- 2,- 3,- 4,- 5,- , Los nmeros enteros tienen ciertas propiedades:
Al comparar dos nmeros enteros uno es menor que el otro
o son iguales.
No existe un nmero menor que todos, es decir, no tienen
un primer elemento.
Todo nmero entero tiene antecesor y un sucesor.
Los nmeros enteros son infinitos.
Sistemas de numeracin
Nuestro sistema de numeracin es decimal, esto quiere decir
que nuestra base es el nmero 10, hoy ste sistema casi
8
universal. Usamos diez cifras o guarismos para representar los
nmeros: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Los sistemas de numeracin ms primitivos se basaban en el 5, el
10 o el 20, esto tiene mucho que ver con la cantidad de dedos:
en cada mano, de ambas o si se toman manos y pies. Sin
embargo tambin se usaron algunos sistemas como: binario,
ternario, cuaternario, etc.
Los egipcios emplearon una numeracin decimal, contaba con
signos jeroglficos para las cifras del uno al diez y para cien, mil,
diez mil, cien mil y un milln, una desventaja es que para escribir
ciertos nmeros se necesitan muchos smbolos. En la figura se
muestran siete jeroglficos numerales. Cada smbolo puede
repetirse hasta 9 veces, cuando se llega a 10 smbolos iguales se
sustituyen por otro que representa el valor de esos 10 smbolos.
El sistema de numeracin egipcio es un sistema aditivo no
posicional. Aditivo porque para encontrar el valor de un nmero
se debe sumar el valor de cada uno de los smbolos que
aparecen en el nmero; y es no posicional porque puede
escribirse un nmero poniendo los smbolos en sentido opuesto
sin que cambie el valor del nmero. Los egipcios no usaron el
cero.
Ejemplos:
Decimal 232 722 1 315 2 024
Egipcio
9
Los antiguos chinos usaron ya la base 10, lo mismo que egipcios,
griegos y romanos. Una de las curiosidades de la antigua
matemtica fue el sistema sexagesimal (de base 60), que los
babilonios adoptaron.
De los sistemas vigesimales (base 20) el
Maya es tal vez el ms sobresaliente
por valerse del principio de notacin
posicional (las cifras tienen distinto
valor segn el lugar que ocupan) y del
importante concepto de cero del cero
aproximadamente mil aos antes de la
invencin del sistema "arbigo" en la
India y casi 2 000 aos antes de que se
empleara ste en Europa. Para la
numeracin maya slo se requiere tres
signos: la "concha" (concha de
caracol marino) que representa el cero, el "punto" (el 1) y la
"raya" (el 5). La escritura es de abajo hacia arriba.
Ejemplos:
Decimal 400 2006
Maya
1 202 = 400
0 201 = 0
0 200 = 0
5 202 = 2 000
0 201 = 0
9 200 = 9
Sistemas de numeracin decimal
Algunas equivalencias en el sistema decimal son:
de
ce
na
ce
nte
na
Un
ida
d
de
milla
r
De
ce
na
d
e
milla
r
Ce
nte
na
de
milla
r
Un
ida
d d
e
mill
n
De
ce
na
de
mill
n
ce
nte
na
de
mill
n
un
ida
de
s
10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000
000
100
000
000
10
En el sistema de numeracin decimal cada cifra representa un
orden, cada tres rdenes forman una clase y cada dos clases es
un periodo.
El valor absoluto de la cifra 7 en el nmero 378 indica la misma
cifra. 7
El valor relativo de la cifra 7 en el nmero 378 depende de su
posicin. 70
En la lectura y escritura de un nmero se agrupan las cifras de
tres en tres, en orden, de derecha a izquierda. Por ejemplo el
nmero 5 100 503 408 se lee:
Millones Unidades
Millar de milln Millones Millares Unidades
5 100 503 408
Cinco mil cien millones, quinientos tres mil cuatrocientos ocho
La notacin desarrollada de un nmero es representar a ste
como la suma de los valores relativos de sus cifras. La notacin
desarrollada de 29 745 es 20 000 + 9 000 + 700 + 40 + 5.
Mltiplos y divisores
Un mltiplo de cierto nmero se obtiene al multiplicarlo por un
nmero natural. Por ejemplo 20 y 35 son mltiplos de 5 pues 2045 y 3575 . Todo nmero natural diferente de cero tiene
una infinidad de mltiplos.
El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de dos o ms nmeros es el
ms pequeo de los mltiplos en comn diferente de cero. Por
ejemplo el mnimo comn mltiplo de 4 y 5 es 20.
Un divisor de un nmero es aquel que al dividir el nmero se
obtiene residuo igual a cero. Los nmeros 2, 3 y son divisores de
6? 2 y 3 si lo son, pero 4 no.
Los divisores de un nmero son menores o iguales que ste. Los
divisores: de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12; de 22 son 1, 2, 11, 22.
11
Nmeros decimales
Los nmeros decimales tienen una parte
entera y una parte decimal, las cuales se
representan a la izquierda y a la derecha del
punto respectivamente. No tienen un primer elemento y son
infinitos. Los nmeros naturales estn contenidos en los nmeros
enteros, y a su vez los nmeros enteros estn contenidos en los
nmeros decimales.
La interpretacin de medidas en nmeros decimales es de la
forma:
Nmero de partes iguales en que se
divide la unidad:
se escribe
as: se le llama:
10 0.1 dcimo
100 0.01 centsimo
1000 0.001 milsimo
10 000 0.0001 diezmilsimo
100 000 0.00001 cienmilsimo
1 000 000 0.000001 millonsimo
El nmero 0.23 indica que la unidad se dividi en 100
partes iguales y se tomaron 23 de ellas, cada parte es
un centsimo por lo que 0.23 se lee veintitrs
centsimos.
Los nmeros decimales se pueden representar en una recta
numrica, cada parte de una recta numrica, aunque no se
vea, tiene muchas divisiones.
En este ejemplo se puede ver que entre el 0 y el 1 hay 5
espacios, si se le asigna valor a cada divisin valdra 0.20 y al
sumarlos se llega a 1.
0 1 2
0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.20 = 1
En el mismo caso sera con el tramo de recta del 1 al 2 y as
entre cada par de nmeros enteros.
Se pueden marcar en un segmento de recta numrica una
infinidad de nmeros decimales ya que los nmeros decimales
son infinitos y densos.
56 . 26parte entera parte decimal
12
Por ejemplo para marcar en una recta el nmero 1.6 se divide el
segmento del 1 al 2 en 10 partes iguales (dcimos). La parte
entera es 1 y la decimal es 0.6, as que despus del 1 se cuentan
6 divisiones posteriores y ah se ubicar 1.6.
0 1 2
1.6
Las operaciones aritmticas con nmeros decimales son
similares a las de los nmeros naturales, pero en los nmeros
decimales es muy importante la posicin del punto.
Nmeros fraccionarios
Los nmeros fraccionarios son aquellos que se utilizan para
representar las partes de una cosa (unidad), por ejemplo, la
mitad de una manzana, tres cuartos de kilo de frijoles, etc.
Para representar con nmeros las fracciones se escribe de la
siguiente forma:
13
Indica cuntas partes se
tomaron de la unidad.
Indica las partes en que
se divide la unidad.
Siempre es diferente de
cero.
Seis novenos
Si un terreno se quiere dividir en 4 partes iguales para sembrar 4
diferentes cultivos, cada parte del terreno sera una cuarta
parte y se escribira as:4
1.
Las fracciones se clasifican como:
Fraccin
propia
el numerador es menor que el
denominador 12
7
impropia
el numerador es mayor que el
denominador 8
20
mixta
consta de una parte entera y una
fraccin propia 7
25
Para convertir una fraccin impropia a
mixta se divide el numerador entre el
denominador sin llegar a usar decimales.
Por ejemplo: la fraccin impropia 15
29 es
equivalente a 15
141 .
Las fracciones se pueden representar en la recta numrica. Es
necesario ubicar la parte entera de la fraccin que se quiere a
representar en la recta, luego dividir el segmento entre la parte
entera y el siguiente entero en tantas partes iguales como el
denominador. Despus se toman las partes del denominador
Por ejemplo:
Localizar 4
32
14
Tambin se pueden representar las fracciones a nmeros
decimales, para realizar esto se divide el numerador entre el
divisor. Por ejemplo: la fraccin 75.012
9 pues 9 12 = 0.75.
Para convertir una fraccin a nmero decimal solamente se
divide el numerador entre el denominador.
Ejemplo: 375.08
3 ya que 375.083
A las fracciones en las cuales el denominador es una potencia
de 10 se le llama fraccin decimal. Por ejemplo: 100
45
(cuarenta y
cinco centsimos); 1000
89
(ochenta y nueve milsimos).
Las fracciones equivalentes son aquellas que representan el
mismo valor, por ejemplo 20
12 es equivalente a
5
3.
Hay varias formas para determinar si dos fracciones son
equivalentes, el mtodo ms fcil es el criterio de productos
cruzados.
15
9 =
5
3 ya que 31559
El producto del numerador de una
fraccin por el denominador de la
otra es igual en ambos casos
Al sumar o restar fracciones
con mismo denominador
solo se necesita sumar o
restar los numeradores, el
denominador es el mismo
que tenan en comn.
15
Ejemplos:
30
113
30
653
5
1
6
13
5
1
6
13
36
291
36
65
36
2792
12
9
9
23
12
9
9
52
Para realizar las multiplicaciones de fracciones se multiplica
numerador por numerador y denominador por denominador.
La divisin de fracciones se realiza multiplicando de forma
cruzada el numerador de la primera por el denominador de la
segunda y el denominador de la primera por el numerador de
la segunda.
Ejemplo: 10
9
7
5 =
10
9
7
5=
510
79
x
x =
50
63
Las fracciones se utilizan de distintas formas y as calcular varios
pesos, tamaos, entre otras cosas. Por ejemplo:
Un terreno con forma de rectngulo tiene de rea 3
7 y se
conoce que uno de sus lados mide 5
2. Cunto medir el otro
lado?
El rea del rectngulo es igual a la multiplicacin de los lados,
esto lo expresamos como: 3
7?
5
2 . Lo anterior significa que
para encontrar el lado desconocido se divide el total del rea
entre el lado conocido: 6
35
5
2
3
7 .
Si se quieren sumar o restar
fracciones que tienen diferente
denominador primero se debe
de encontrar el mnimo comn
mltiplo de los denominadores,
luego se buscan fracciones
equivalentes para proceder
como el caso anterior.
16
Proporcionalidad
Una razn es una comparacin de dos
nmeros por medio de una divisin. La forma
ms comn y til de expresar una razn es
por medio de una fraccin.
La razn tiene dos partes:
Por ejemplo, si al preparar 2 litros de
atole se le agregan 4 tazas de azcar, al
preparar 5 litros se necesitan 10 tazas de
azcar. La razn es 4
2 = 0.5, cada una
de las divisiones del nmero de la primera columna entre el
correspondiente nmero de la segunda columna son iguales: 4
2
= 6
3 =
8
4 =
10
5 = 0.5
En una tabla de variacin se muestra la relacin que hay entre
dos magnitudes. Estas varan en forma directamente
proporcional cuando aumenta o disminuye una de ellas la
segunda tambin aumenta o disminuye.
Dos magnitudes varan inversamente proporcional cuando
aumenta o disminuye una de ellas la segunda disminuye o
aumenta respectivamente.
Ejemplos:
Variacin proporcional Variacin inversamente
proporcional
Cajas de
refrescos 1 2 3 4
Nmero de
obreros 1 2 3 4
Nmeros de
refrescos 24 48 72 96
Das para
realizar un
trabajo
12 6 4 3
La igualdad de dos razones se llama proporcin.
17
24
48
72
96
0
20
40
60
80
100
120
1 2 3 4
Cajas de refrescos
N
mero
s d
e r
efr
esco
s
12
6
43
0
2
4
6
8
10
12
14
1 2 3 4
Nmeros de obreros
Da
s
La grfica de una variacin directamente proporcional es una
recta creciente y la grfica de una variacin inversamente
proporcional es una recta decreciente.
Cuando en una proporcin directa se desconoce un valor
(valor faltante), se puede encontrar aplicando el criterio de productos cruzados de las fracciones.
Por ejemplo: a) Se compraron cuatro piezas de tela en $4 400,
cunto se pagar por 11 piezas de esa misma tela?
Esta es una proporcionalidad directa, al aumentar las piezas de
tela aumenta la cantidad de dinero. Sea x lo que se pagar por
11 piezas:
xentonces
pesosxpiezas
pesospiezas 4400
11
4
11
44004
Aplicando el criterio de productos cruzados 4400114 x ,
121004
440011
x
Por 11 piezas de tela se pagar $12 100.
b) En una parcela se siembran cinco tipos de semillas, para
hacerlo 2 personas tardan 6 das, cunto tardarn 6 personas?
Esta es una proporcionalidad inversa, al aumentar el nmero de
personas, los das de siembra disminuyen.
xentonces
dasxpersonas
daspersonas 6
6
2
6
62
Al ser inversa la proporcin, se considera el reciproco de una
de las fracciones, entonces 66
2 x , 2
6
26
x
Entonces 6 personas tardan 2 das en sembrar la parcela.
18
Porcentajes
El porcentaje es nos permite saber que parte se ha
tomado de un todo. En el dibujo 5
2 de los cuadritos
estn sombreados, en muchas ocasiones es ms
claro expresar la informacin mediante una
fraccin equivalente con denominador 100. En
este caso 40 de 100 cuadritos estn sombreados,
esto es 100
40. En nmeros decimales se denota 0.4, tambin
podemos decir que un 40 por ciento del cuadrado total est
sombreado. Lo anterior lo denotamos como 40%. Toda fraccin
cuyo denominador es 100 es un porcentaje.
Ejemplo: Calcular el 15% de 870.
15% de 870 significa 100
15 de 870. Entonces
50.130100
13050
100
87015870
100
15
, el 15% de 870 es 130.5.
Otra forma es pasar 15% a su forma decimal: 0.15, luego
multiplicar por 870. 0.15 870 = 130.5
Potenciacin y radicacin
Al producto de varios factores iguales se le llama potencia.
222 =
Base: nmero que se
va a multiplicar por s
mismo.
Exponente: indica el
nmero de veces que
se multiplica la base.
En general elevar a la n-sima potencia un nmero es la
multiplicacin del nmero por si mismo n-veces.
19
Adems aa 1 ; si 0a 10 a y
n
na
a
1
.
Ejemplo: a) El nmero 2 elevado a la cuarta potencia es igual a
16222224 .
b) 81
16
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
24
44
Obtener la raz cuadrada de un nmero es
la operacin inversa de la potenciacin,
es decir, dado un nmero se busca otro
tal que al multiplicarlo por s mismo d como resultado al
nmero original.
Por ejemplo la raz cuadrada de 625 es 25, se denota 25625 ,
ya que 6252525 22 .
Nmeros con signo
Al representar los nmeros en la recta numrica los nmeros
positivos se colocan a la derecha del cero y a los nmeros
negativos a la izquierda. El nmero cero no tiene signo.
El valor absoluto de un nmero es la distancia del nmero al
cero y se representa por .
222
Cuando sumamos dos nmeros con signo se presentan tres
casos:
Caso I Los sumandos son positivos:
La suma es la convencional, ejemplos:
3
2
12
8
12
4
6
2,95.111.885.3,892267 .
Caso II Los sumandos son negativos:
La suma de dos nmeros negativos es un nmero negativo. En la
recta numrica se representa la suma de dos nmeros
negativos como dos segmentos que estn hacia la izquierda
uno despus del otro, as que el resultado es un nmero
negativo.
20
312
Ejemplos:
.3
2
12
8
12
4
6
2
,95.111.885.3,892267
Caso III Los sumandos son de diferente signo:
En este caso los segmentos tienen diferentes direcciones.
Obtenemos los valores absolutos, el valor es igual al valor
absoluto mayor menos el menor valor absoluto, pero con el
signo igual al del segmento es ms largo.
132
Ejemplos
40
19
5
3
8
1,24.501.225.7,112233
.
Las reglas para multiplicar y dividir nmeros con signos son: ))((
))((
))((
))((
)()(
)()(
)()(
)()(
Hay que tener cuidado de no
aplicar estas reglas para la suma.
Por ejemplo:
a) Al multiplicar -5 y 10 sabemos que 50105 . Aplicando la
regla ))(( entonces 50105
b) Al dividir -48 entre 12 tenemos que 41248 . Aplicando la
regla )()( entonces 41248
La agrupacin y la secuencia de las operaciones aritmticas se
basan en los smbolos de agrupacin. Entre los smbolos de
agrupacin se encuentran los parntesis ( ), corchetes [ ] y llaves
{ }.
Ejemplo: Simplificar )}4(5)3(2{5
15
}206{3)}4(5)3(2{5
15
Se dividi )()( y
multiplic los parntesis )()( )()(
11143}14{3 Se elimin las llaves )()(
21
1156523
551052510 116]850[2]8)52555[(2
lgebra
Expresiones algebraicas
El lgebra es una rama de las matemticas en la que se usa
smbolos para representar relaciones aritmticas.
Los smbolos algebraicos se representan por nmeros, letras y
signos que constituyen las diversas operaciones aritmticas.
Una expresin algebraica contiene smbolos algebraicos:
32 yx .
Una variable representa cualquier nmero: x, y, s, t, etc.
Las constantes representan un nico nmero: ,125,9
7,5 4 .
Un monomio o trmino es una expresin algebraica en la que
no aparecen sumas ni restas, por ejemplo 533 bca .
Un binomio consta de de dos trminos, por ejemplo 53 42
1zxy .
Un polinomio consta de dos o ms
trminos.
Dos o ms trminos son semejantes
cuando tienen igual parte literal, es
decir las mismas variables elevadas a los mismos exponentes.
Por ejemplo, 57ab , 5
7
5ab y 509.23 ab son trminos semejantes.
Leyes de los exponentes
I. El producto de las potencias de igual base es otra potencia
con la misma base y cuyo exponente es igual a la suma de
los exponentes de los factores: yxyx bbb .
II. El cociente de dos potencias de la misma base es otra
potencia con la misma base y cuyo exponente es la
diferencia del exponente del dividendo, menos el
exponente del divisor: yx
y
x
bb
b .
22
III. La potencia de un producto es una potencia cuya base
son los factores del producto elevados a la potencia
indicada: xxx baab )( .
IV. La potencia de una potencia es elevar la base a un
exponente que es el producto del exponente de la base
por el exponente de la potencia: xyyx aa
Operaciones con polinomios
Cuando se reducen trminos semejantes se obtiene otro
trmino semejante cuya parte literal es la misma y el coeficiente
es la suma o resta de los coeficientes de los trminos.
Al efectuar la suma de dos polinomios se simplifican los trminos
semejantes de ambos polinomios.
En la resta de polinomios se antepone el signo - al
sustraendo, es muy importante no olvidar multiplicar este signo
por cada uno de los trminos del sustraendo.
Ejemplos: zyxzxzyxyx 229722)72()103(2271023
Para llevar a cabo el producto de monomios no es necesario
que sean trminos semejantes, se multiplican sus coeficientes y
su parte literal, siguiendo las leyes de los exponentes.
Ejemplo: (-5x2y5) (2x3y2z) = (-5)(2) x2 x3 y5 y2z = -10x2 + 3 y5 + 2z = -
10x5 y7z
Para obtener el producto de un monomio por un polinomio el
monomio debe multiplicarse por cada uno de los trminos del
polinomio.
Ejemplo:
Para facilitar la multiplicacin de polinomios se coloca
el multiplicando debajo el multiplicador como se
muestra a la derecha.
Ahora se obtiene el producto de cada trmino del multiplicador
por el polinomio.
23
Productos notables y factorizacin
Existen productos de expresiones algebraicas que siguen ciertas
reglas y se conocen como productos notables, algunos casos
son los siguientes:
Productos notables Simbolizacin:
Cuadrado de un
binomio Suma ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Resta ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Binomios conjugados ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
Binomios con trmino comn ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x +
ab
Ejemplos:
a) En el caso de cuadrado de un binomio, los binomios son
idnticos.
9
1
3
2
3
1
3
12
3
1 22
2
2
xxxxx
442)2(2)2( 2222 xxxxx
Si x = 3 en la ltima, al sustituir 2541294)3(43)23( 22
b) Los binomios conjugados tienen un trmino comn y otro
simtrico.
42)2)(2( 222 xxxx 49
1
7
1
7
1
7
1 22
2
xxxx
Si x = 1 en la ltima, al sustituir 49
48
49
11
7
11
7
11
7
11
2
2
c) Los binomios con un trmino comn tienen un trmino
comn a, otros no comn b.
1303)13)(10()1310()13)(10( 22 xxxxxx
El proceso inverso de desarrollar una multiplicacin es la
factorizacin. Factorizar un polinomio es representarlo como
producto de dos o ms polinomios llamados factores, de tal
modo que al multiplicarlos entre s se obtenga el polinomio
original.
24
Factor Comn. Los factores comunes son aquellos trminos que
aparecen multiplicando a todos los trminos de una expresin
algebraica.
Este primer caso se emplea en una expresin en la cual todos
los trminos tienen un factor comn.
Ejemplos: xyyxyx 2223 tiene como factor comn xy , luego
)2(2 2223 xyxxyxyyxyx .
))(()()()()( bayxbaybaxbyaybxaxbyaybxax
Trinomio cuadrado perfecto. Es de la forma 22 2 baba , para
factorizar a este tipo de trinomio se procede como sigue:
Se extrae la raz cuadrada exacta de
los trminos elevados al cuadrado.
14
1816 2
x
xx
Se obtiene el doble producto de las
races encontradas. Se compara la
expresin anterior con el segundo
trmino, debe ser igual excepto tal vez
por el signo.
El producto es
xx 8)1)(4(2 coincide el
signo.
Se factoriza como el cuadrado de la
suma o diferencia de las races
encontradas, dependiendo del signo
del segundo trmino.
22 )14(1816 xxx
Ejemplos: 2224 )1(12 aaa , 22 )35(93025 xxx
Diferencia de cuadrados. Un binomio es una diferencia de
cuadrados siempre que los trminos tengan diferentes signos y
ambos trminos tengan raz cuadrada exacta: 22 yx . Su
factorizacin es igual al producto de la suma y la diferencia de
las races de los trminos.
Ejemplos: ))((22 yxyxyx ; )75)(75(4925 22 bababa ;
aaaaaaaaaaa )1()1()1(121 2222222424
25
Trinomio de la forma x2 + bx +c. Los pasos para factorizarlo son:
1. Obtener la raz cuadrada del
primer trmino.
x
xx
822
2. Colocar dos parntesis y la raz
encontrada. El primer parntesis
lleva el primer signo y el segundo
el producto de los dos.
))((822 xxxx
))((822 xxxx
3. Buscar dos nmeros my n tales
que cmn y bnm .
4(2) = 8 y 4 2 = 2 Entonces c = 8 y b = 2
4. Luego ))((2 nxmxcbxx . )2)(4(822 xxxx
Ecuaciones
Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones
algebraicas. Por ejemplo: 85 x , yy 274 .
Si en una ecuacin se modifica la expresin algebraica de
algn extremo se tiene que hacer exactamente igual del otro.
Por ejemplo en la ecuacin 52 x , al sumar -2 a ambos lados
entonces 2522 x , es decir, 3x .
El valor de la incgnita(x) es solucin de una ecuacin cuando
hace cierta la ecuacin, por ejemplo en la ecuacin 3
2
3
1m
la solucin es 3
1m ya que
3
2
3
1
3
1 .
Propiedades de las igualdades:
1. Si ba entonces
cbca
cbca esto es para cualquier
nmero c .
A la ecuacin 7.143.3 x , se le suma 3.3 en ambos lados:
3.37.143.33.3 x
180 x
18x
2. Si ba entonces
0si c
c
b
c
abcac
26
En la ecuacin 75
m
, se multiplica por 5 ambos lados:
)7(55
5
m
35m
3. Si ba entonces
mm
nn
ba
ba
a) Sea la ecuacin 83 a , se obtiene la raz cbica de ambos
lados: 33 3 8a , luego 2a
b) En la ecuacin 5b se eleva al cuadrado ambos lados:
22 5b , luego 25b . Otros ejemplos:
4
03
04
0)4(3
x
x
x
7
11
11387
8)2(437
24
37
x
x
x
x
6
6
1041615
4161015
416)23(5
x
x
xx
xx
xx
Las ecuaciones cuadrticas son de la forma 02 cbxax
donde a , b y c son nmeros cualesquiera, estas ecuaciones
tienen dos soluciones, en ocasiones no son nmeros reales. Las
soluciones pueden ser iguales.
Por ejemplo:
a) Las soluciones de 062 xx son 21 x y 32 x pues
06246)2()2( 2 06396332 .
b) Luisa tiene un pedazo de cartn cuadrangular que mide 625
cm2 de rea, cunto medir de lado?
Si mide x de lado el cartn, la ecuacin a resolver es x2 = 625.
Las soluciones son 25 y -25, como no existen distancias
negativas, la respuesta a la pregunta es 25 cm.
Existe una frmula llamada frmula general con la cual se
resuelven las ecuaciones cuadrticas:
Sea la ecuacin 02 cbxax entonces a
acbbx
2
42
27
Ejemplos:
Sea 0583 2 xx
En este caso 3a , 8b , 5c
)3(2
)5)(3(4648
2
42
a
acbbx
6
28
6
48
6
60648
16
6
6
281
x
3
21
6
10
6
282
x
Sea 0652 xx
Entonces 1a , 5b , 6c
)1(2
)6)(1(425)5(
2
42
a
acbbx
2
15
2
15
2
24255
32
6
2
151
x
22
4
2
152
x
En una ecuacin cuadrtica de la forma 02 cbxax se le llama
discriminante a la expresin acbD 42 .
Las soluciones de una ecuacin cuadrtica son:
a) Si 042 acbD
Soluciones reales
iguales.
b) Si 042 acbD
Soluciones reales
diferentes.
c) Si 042 acbD
Soluciones
imaginarias.
Modelacin de variacin mediante una tabla o una expresin
algebraica
Si el tringulo rectngulo 1 mide 0.5 cm de base
y de altura; el tringulo 2 mide 1 cm. de base y
de altura; y as sucesivamente.
Cul es el rea del tringulo nmero 1?
Ya que
125.02
25.0
2
5.05.0 , el rea es 0.125 cm 2.
Cul es el rea del tringulo nmero 4?
La base y la altura miden 4(0.5) = 2, ya que
22
22 , el rea es 2cm2.
Cul es el rea del tringulo ensimo?
La base y la altura del ensimo tringulo miden 0.5 n, luego el
rea ser
8125.0
2
25.0
2
5.05.0 222 n
nnnn
.
28
Todo lo anterior lo representa la siguiente tabla:
Tringulo rea (cm2)
1 0.125
2 0.5
...
n 8
2n
Funciones y grficas
Funcin es aquella relacin en la que a cada elemento del eje
de las x (dominio) le corresponde un nico elemento del eje de
las y (contradominio).
Ejemplos de grficas que no son funciones:
a)
b)
En las grficas se
puede observar
una lnea punteada
paralela al eje de
las y .
a) Al nmero 1 en
el eje de las x le
corresponden tres
puntos del eje de
las y , para ser
funcin le debe
corresponder slo
uno.
b) Igual que en el inciso anterior hay un punto del eje de las x al
que le corresponden ms de un valor.
Si al trazar rectas paralelas al eje de las y slo cortan la grafica
en un punto esta s es funcin.
Las grficas de las funciones tiene diferente nombre segn el
tipo, slo veremos algunos ejemplos: recta, parbola e
hiprbola.
29
Recta
Su ecuacin tiene la forma
bmxy donde m y b son
constantes.
Dos puntos distintos en el
plano determinan una sola
recta.
Grfica de la funcin 2 xy
Parbola
Su ecuacin es de la forma
baxy 2 , donde a y b son
constantes.
Grfica de la funcin 2xy
Hiprbola
Su ecuacin tiene la forma
x
ay donde a es una
constante.
Grfica de la funcin x
y1
Al punto de coordenadas donde la grfica de la parbola
exactamente da la vuelta se le llama vrtice, en este caso el
vrtice es (0,0). En este caso es un punto mnimo, pues el mnimo
valor que la funcin toma en el eje de las y. En las rectas no hay
mnimo ni mximo.
En ocasiones para entender un fenmeno se traza una grfica
que corresponde a una situacin, por ejemplo:
Lus hizo las grficas correspondientes al tiempo (t) y a la
distancia que existe (d) al trasladarse del crculo de estudio a su
casa:
30
Lunes. Sali
caminando a
velocidad
constante, luego
descans un
tiempo, despus
camin cada vez
ms espacio.
Mircoles. Camin
cada vez ms
rpido y descans
un pequeo rato,
luego tom una
velocidad
constante.
Viernes. Empez
caminando a
velocidad constante,
se detuvo para
descansar un tiempo,
en seguida camino
lento pero a
velocidad constante.
Sucesiones numricas y figurativas
Se considera la siguiente sucesin de nmeros: 2, 4, 8, 16, 32,. A partir de esta informacin se obtuvo la siguiente tabla:
Lugar 1 2 3 4 5 6 n
Nmero 2 4 8 16 32 64
Relacin 2 22 32 42 52 62 n2
Se considera la siguiente sucesin:
Se observa la siguiente tabla donde se obtiene el ensimo
trmino.
Nmero total
de
cuadrados
932 1642 2552 2n
Nmero de
cuadrados
sombreados
1 422 932 3662
Nmero de
cuadrados
blancos
8132 1224 22 1635 22 22 )1( nn
31
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas
Una
ecuacin
lineal con:
Una incgnita tiene la forma bax donde a,
b son constantes.
Dos incgnitas es de la forma cbyax
donde a , b , c son constantes.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas es de
la forma
222
111
cybxa
cybxa, donde
1a ,
2a ,
1b ,
2b ,
1c ,
2c son constantes.
En un sistema de dos ecuaciones al buscar su solucin se
encuentran valores de las incgnitas que satisfagan ambas
ecuaciones.
Por ejemplo en el sistema de ecuaciones
0
4
yx
yx la solucin
es 2,2 yx ya que 422
4
yx
022
0
yx
Grficamente un sistema de dos ecuaciones
lineales representa dos rectas:
Si se cruzan en un punto el sistema tiene solucin, este punto comn representa la
solucin del sistema.
Ejemplo
1
42
yx
yx
Si estas son paralelas, es decir no tienen puntos en comn, no existe solucin.
Ejemplo
1
066
yx
yx
32
Si estas coinciden en todos sus puntos entonces existen una infinidad de soluciones.
Ejemplo
2210
15
yx
yx
Existen varios mtodos elementales para resolver
sistemas de ecuaciones, la solucin es independientemente del
mtodo que se emplee.
Mtodo grfico. Este mtodo consiste en despejar la variable y
de las dos ecuaciones luego trazar sus grficas en el mismo
sistema cartesiano.
En el sistema de ecuaciones
42
1243
yx
yx.
Se despeja la variable y
22
34
3
xy
xy
.
Al tabular y trazar su representacin grfica queda as:
a) b)
x 34
3
xy y 2
2
xy
-4 -6 -4 4
0 -3 0 2
4 0 4 0
La solucin es 0,4 yx .
Geometra
Lneas paralelas y perpendiculares
La palabra geometra proviene de los vocablos griegos geo-
tierra y metron-medir, por lo que significa medida de la tierra. Un punto es un objeto geomtrico el cual da origen a todos los
dems. No tiene tamao, pero s tiene posicin.
33
Lnea:
sucesin
continua
infinita de
puntos, no
tiene ni
origen ni fin.
curva
La direccin va
cambiando de
punto a punto.
recta
La direccin
permanece
constante.
poligonal
Formada solamente
por segmentos de
rectas unidas en sus
extremos.
mixta
Si mezclan ambos
tipos: rectas y
curvas.
Semirrecta o rayo es cada una de las partes que resultan de
dividir la recta en un punto, las semirrectas tiene origen, pero no
fin.
Segmento es la parte de una recta comprendida entre dos
puntos A y B.
Longitud del segmento es la distancia entre sus extremos A y B.
ngulos, mediatrices y bisectrices
ngulo es la regin del plano comprendida
entre dos rayos con origen comn, es decir
parten de un mismo punto. A los dos rayos se les
llama lados del ngulo y a su punto en comn
se le llama vrtice. A los ngulos los denotaremos por el smbolo
seguido de tres maysculas AOB.
Un grado se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes
iguales. Los ngulos se miden en grados.
La magnitud de un ngulo no depende de la longitud de sus
lados, sino de la abertura o separacin que hay entre ellos, es
decir la medida de un ngulo indica la cantidad de abertura
del interior del ngulo.
34
Los ngulos se clasifican segn su magnitud en:
ngulos convexos
ngulo llano
ngulo perigonal
Los ngulos se clasifican segn sus caractersticas:
Al instrumento para medir o trazar ngulos se le
llama transportador, es un medio crculo graduado
de 0 a 180.
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular
al segmento en el punto medio, los puntos de la
mediatriz estn a igual distancia de los extremos
del segmento.
La bisectriz de un ngulo es la semirrecta que divide a un
ngulo en dos ngulos iguales.
35
ngulos entre dos paralelas y una secante
Rectas paralelas: rectas que no se cortan en el plano por ms
que se prolonguen, no tienen puntos en comn.
Rectas secantes:
dos rectas que
tienen un punto
en comn.
Rectas oblicuas: rectas no
perpendiculares que se cortan en el
plano
Rectas perpendiculares: rectas que se
cortan en el plano formando ngulos
rectos.
Dos ngulos no llanos son opuestos por el vrtice
si al unir sus lados estos determinen dos rectas.
En la figura los ngulos 1 y 3 son opuestos por el
vrtice. Tambin lo son 2 y 4. Los ngulos 2 y 3 son
suplementarios.
Los ngulos opuestos por el vrtice tienen la misma medida.
Ejemplo: En la figura la medida de AEB es 62. El
ngulo 2 es opuesto a AEB , entonces 622 m .
Se tiene que AEB y 1 son suplementarios por lo tanto 118621801 m . Tambin los ngulos 1 y 3 son
opuestos por el vrtice entonces 1183 m .
En la figura las rectas m y n son cortadas por
una tercera recta l , esta ltima llamada
transversal. Se determinan 8 ngulos: cuatro
para m y la transversal; y cuatro para n y la
transversal. Cualquier par de ngulos en
posiciones similares con respecto a la
transversal y a cada recta, son llamados ngulos
correspondientes.
En la figura pares de ngulos correspondientes son: 1 y 5; 2 y 6;
3 y 7; 4 y 8.
Cuando trazamos dos lneas paralelas y una
secante los ngulos correspondientes son iguales:
51 , 62 , 84 , 73 .
Los ngulos internos son iguales: 64 , 35 .
36
Los ngulos externos son iguales: 71 , 82 .
Polgonos, permetros y reas
Un polgono es la porcin de plano limitada por una lnea
poligonal cerrada. Los segmentos que los limitan se llaman lados
y los extremos de los lados, vrtices. Los polgonos regulares son
aquellos en los que la longitud de sus lados es igual.
Los polgonos se clasifican por el nmero de sus lados.
Nombre Nmero de
lados Nombre
Nmero de
lados
Tringulos 3 Octgonos 8
Cuadrilteros 4 Nongonos 9
Pentgonos 5 Decgonos 10
Hexgono 6 Undecgono 11
Heptgonos 7
El permetro de un polgono es la longitud total de
su contorno, es decir, la suma de sus lados. El
permetro de la figura es igual a
P = 654321
LLLLLL
El rea se puede interpretar como la medida del espacio
ocupado por una regin. El rea de un polgono es la medida
de su superficie.
Nombre Permetro rea
Tringulo 321lll ,
321,, lll son los
lados. 2
hb, b es la base, h es
la altura.
Cuadrado l4 , l es el lado. 2l , l es el lado.
Rectngulo 2122 ll , 21, ll son los
lados.
hb b es la base, h es la
altura.
Pentgono l5 , l es el lado. 2
ap, p es el permetro,
a es la apotema.
37
Paralelogramo 2122 ll ,
21, ll son los
lados.
hb , b es la base, h es
la altura.
Trapecio 4321llll ,
4321,,, llll
son los lados.
2
hbB , B es la base
mayor, b es la base
menor, h es la altura.
Tringulos
Los tringulos son polgonos de tres lados. En un tringulo se
consideran dos tipos de ngulos:
ngulo interior: formado por
dos lados.
ngulos internos: a, b, c.
ngulo exterior: formado por un
lado y la prolongacin de otro.
ngulos externos: A, B, C.
Los tringulos se
clasifican segn sus:
lados
Equilteros, sus tres lados iguales.
Issceles, dos lados iguales.
Escaleno, tres lados desiguales.
ngulos
Rectngulos, un ngulo recto.
Acutngulos, tres ngulos agudos.
Obtusngulos, un ngulo obtuso.
El incentro es el punto de interseccin de las tres bisectrices de
un tringulo.
El circuncentro es el punto de interseccin de las tres
mediatrices de un tringulo.
Cuadrilteros
Un cuadriltero es un polgono de cuatro lados, stos se
clasifican por el paralelismo de sus lados en paralelogramos,
trapecio y trapezoides.
38
Cu
ad
ril
tero
s
Paralelogra
mos: dos
pares de
lados
paralelos.
Rectngulo Tiene los cuatro ngulos iguales, es
decir cuatro ngulos rectos.
Cuadrado
Tiene lados iguales y ngulos
iguales.
Tiene cuatro ngulos rectos, y por
tanto es un rectngulo.
Tiene cuatro lados iguales y en
consecuencia es un rombo.
Rombo Tiene los cuatro lados iguales.
Trapecios:
dos lados
paralelos y
los otros dos
no.
Rectngulo
Tiene un lado perpendicular a las
bases, es decir tiene dos ngulos
rectos.
Issceles Los lados no paralelos son iguales.
Escaleno
Nos referimos a los no rectngulos
ni issceles, es decir sus lados no
paralelos son de diferente tamao
y ninguno es perpendicular a las
bases.
Trapezoide:
Ningn lado
paralelo.
Cuadrilteros que no tienen lados paralelos.
Crculo y circunferencia
La circunferencia es el conjunto de puntos en un plano que
equidistan, es decir, que estn a la misma distancia, de otro
punto fijo llamado centro. El crculo es la regin del plano
limitada por una circunferencia. El crculo es la superficie dentro
de la circunferencia.
a) La secante es una lnea recta que intersecta (toca) una
circunferencia en dos puntos.
b) La cuerda es un segmento cuyos puntos extremos son puntos
del crculo.
c) El radio es el segmento rectilneo que va
del centro de la circunferencia a cualquiera
de sus puntos.
d) El dimetro es cualquier cuerda que
pase por el centro y es equivalente a dos
radios.
39
e) La tangente es la lnea recta que intersecta (toca) al crculo
en exactamente un punto, es perpendicular al radio.
f) Una lnea exterior es una recta tal que sta y la circunferencia
no se cortan.
El nmero Pi () es la constante que relaciona el permetro de una circunferencia con la amplitud de su dimetro:
= permetro de la circunferencia dimetro 3.1416 La longitud de la circunferencia se calcula mediante la frmula
rL , donde r es el radio. La frmula para calcular el rea de un crculo es 2rA . Ejemplo: Sea el crculo de cuyo dimetro es igual a 3.5 cm, al
sustituir en la frmula:
38.484612.251416.35.31416.3 22 rA . Su rea es igual a 38.4846 cm2.
Suma de los ngulos interiores de un polgono
En un polgono de n lados la suma de las medidas de sus
ngulos internos esta dada por la frmula 180)2( n .
Por ejemplo
Nmero
de
lados
Polgono ( n 2 ) 180 Suma de
sus ngulos
interiores
3 Tringulo (3 2) 180 = 1 180 = 180 180
4 Cuadriltero (4 2) 180 = 2 180 = 360 360
5 Pentgono (5 2) 180 = 3 180 = 540 540
Simetra axial y central
Una transformacin geomtrica hace
corresponder a cada punto P del plano otro
punto P del plano.
Un movimiento es una transformacin del
plano tal que las figuras conservan su forma,
ngulos, tamao, alturas, bisectrices.
Los diferentes tipos de movimientos en el plano
son: traslaciones, rotaciones o giros, simetra
central y simetra axial.
40
La traslacin es un deslizamiento de la figura.
Una rotacin o giro de centro O y ngulo es
un movimiento de una figura tal que para
todos los puntos A le corresponde otro punto A
y OA = OA, AOA .
Una figura es simtrica si podemos encontrar una
lnea imaginaria que la corte en dos partes iguales.
La lnea que divide una figura en dos partes iguales
se llama eje de simetra.
Una simetra axial de eje E es un movimiento que
hace corresponder a cada punto P otro punto P tal
que:
a) La recta E es mediatriz del segmento PP.
b) El segmento PP' es perpendicular a E.
c) Los puntos P y P' estn a la misma distancia del eje
E.
La simetra central de una figura consiste en una
rotacin de centro O (centro de la simetra) y ngulo
de 180.
Tringulos congruentes
Dos figuras planas son congruentes cuando tienen la misma
forma y las mismas dimensiones o el mismo tamao.
Si los tres lados de un tringulo son
congruentes con los tres lados de otro
tringulo, entonces los dos tringulos son
congruentes, se le denomina congruencia
LLL (lado, lado, lado).
Si dos lados y el ngulo (comprendido entre
ellos) en un tringulo son congruentes con
dos lados y el ngulo (comprendido entre
ellos) en otro tringulo, entonces los
tringulos son congruentes, congruencia LAL (lado, ngulo,
lado).
41
Si dos ngulos y el lado entre ellos en un
tringulo son congruentes con dos ngulos
y el lado entre ellos en otro tringulo,
entonces los tringulos son congruentes,
congruencia ALA (ngulo, lado, ngulo).
Semejanza
Dos figuras son semejantes cuando cada una de sus partes es
congruente respectivamente a las partes de la otra. A los
elementos que se corresponden entre s cuando dos figuras son
semejantes se les llama homlogos.
Ejemplo: Los tringulos ABC y ABC son semejantes, en este caso A es homlogo de
A, B es homlogo de B, C es homlogo de C, AB es homologo de ''BA .
Cuando dos figuras son semejantes, a la razn de
proporcionalidad entre sus lados se le acostumbra llamar razn
de semejanza entre esas figuras. En el ejemplo anterior
"''''' AC
CA
CB
BC
BA
AB
Si dos tringulos son semejantes, entonces los lados
respectivos son proporcionales.
La escala es la razn de proporcionalidad entre dos figuras.
Si tres o ms paralelas determinan segmentos congruentes en
una transversal, tambin determinan segmentos congruentes
en cualquier otra transversal trazada sobre el
mismo sistema de paralelas. Es decir si AB es
paralela a CD , CD paralela a EF y AC
congruente a CE entonces BD es congruente
a DF .
Teorema de Tales
Si en un tringulo una recta es paralela a
uno de sus lados, sta divide a los otros dos
lados en segmentos proporcionales y los
tringulos formados son semejantes.
Si en el tringulo ABC tenemos que ''CB es
42
paralela a BC , entonces BC
CB
AC
AC
AB
AB '''' , adems
CC
AC
BB
AB
'
'
'
' .
Ejemplos: a) La razn de semejanza entre dos tringulos es de 3
1,
el ms grande tiene medidas 3,6 y 12 cm., cules son las
medidas del otro tringulo? Cada lado del tringulo grande es 3
veces ms grande que los lados del otro tringulo por lo que sus
medidas sern 1, 2 y 4 cm.
b) Calculemos la longitud del segmento indicado:
Tenemos que a
5.1
3
1 , de aqu que 5.4
1
)5.1(3a de modo que
cma 5.4 .
Clasificacin de cuerpos geomtricos
El espacio tiene tres dimensiones
lineales: largo, ancho y altura.
Los cuerpos geomtricos se clasifican
de acuerdo a la forma de sus caras.
Los poliedros tienen caras planas,
estas son polgonos.
Un prisma es un poliedro cuyas bases
son polgonos regulares paralelos. Si
las bases son tringulos, cuadrilteros o pentgonos, se les llama
prismas triangulares, cuadrangulares o pentagonales
respectivamente.
Un cilindro tiene bases circulares paralelas.
43
Los cuerpos geomtricos se clasifican como:
S
lid
os
Poliedros
Poliedros
Irregulares
Prisma recto, prisma trunco,
paraleleppedo, pirmide
hexagonal.
Poliedros
Regulares
Tetraedro, hexaedro,
octaedro, dodecaedro,
Icosaedro.
Revolucin
Cilindros Cilindros rectos, cilindros
oblicuos.
Conos Conos inclinados, cono
trunco inclinado.
Esfricos Esfera, toro, tnel, elipsoide.
Algunas redes de los cuerpos geomtricos ms importantes, que
sirven para construir estos cuerpos, son:
Paraleleppe
do o prisma
rectangular
Pirmide
hexagonal
Cubo o
hexaedro
Tetraedro
Cono trunco
El volumen de un poliedro es el espacio que ocupa dicho
cuerpo, el volumen se cuantifica en metros cbicos.
La siguiente tabla muestra frmulas para calcular el volumen de
algunos cuerpos geomtricos:
Volumen (V) H = altura
Ab = rea del polgono
de la base
R = radio de la esfera
Prisma V = AbH
Pirmide V = AbH/3
Cilindro V = AbH
Cono V = AbH/3
Esfera V = 4(R3 ) /3
44
Ejemplo: Calcular el volumen del siguiente cuerpo geomtrico:
a)
El permetro de la base es
2.116p = 67.2;
el rea de la base es
1682
336
2
52.67
2
ap, y entonces el
volumen es 8.3521.2168 hAvb
.
V = 352.8 cm3.
b)
V = 8812.296)5.10(3)1416.3( 22 cmcmhr cm3.
Trigonometra
En un tringulo rectngulo, a los lados
que forman el ngulo recto se les
llaman catetos y al otro lado
hipotenusa.
Teorema de Pitgoras. En todo tringulo rectngulo el cuadrado
de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de las medidas de los catetos. Es decir 222 bac .
En la figura muestra como se cumple el
Teorema de Pitgoras en un tringulo
rectngulo cuyas medidas son: 6, 8 y 10
Ejemplos: Calcular la altura del tringulo
siguiente:
La altura A D es a la vez
mediana y mediatriz, por lo
tanto el punto D es el punto
medio de BC.
Tenemos que AC = 6 cm. (hipotenusa)
DC = 3 cm (cateto)
AD = ? (cateto, altura que se pide)
45
Luego 222 DCADAC
222 36 AD
936 2 AD
279362 AD
AD = 27 = 5.1; AD = 5.1 cm
El cateto adyacente a un ngulo en
un tringulo rectngulo es aquel lado
del tringulo que tambin es lado del
ngulo que no es la hipotenusa. El
cateto opuesto a un ngulo en un
tringulo rectngulo es aquel lado del tringulo que no es lado
del ngulo.
Las razones trigonomtricas ms importantes son:
Razn Se define como: Se denota:
Seno
hipotenusa
opuestocatetoseno
c
asenA
Coseno
hipotenusa
adyacentecatetoeno cos
c
bcos
Tangente
adyacentecateto
opuestocatetogente tan
b
aA tan
El cateto opuesto del A es a y el cateto
adyacente del A es b.
Funciones del ngulo de 45 grados
Sea un tringulo rectngulo con las siguientes medidas:
7071.02
145 sen
7071.02
145cos
11
145tan
Funciones del ngulo de 60 y 30 grados
Sea un triangulo con las siguientes medidas:
46
5.02
130 sen 8660.0
2
360 sen
8660.02
330cos 5.0
2
160cos
5774.03
130tan 732.1
1
360tan
Presentacin y tratamiento de la informacin
Conteo
Las herramientas que ms se usan para contar de cuantas
diferentes formas puede realizar una actividad son los
diagramas de rbol, el principio multiplicativo y las tablas.
Los diagramas de rbol son arreglos, se le llama as porque tiene
un tronco y varias ramas para categorizar la informacin, como
el siguiente:
Anglica quiere comprar
un helado de dos
sabores, existen tres
sabores: fresa, vainilla y
chocolate. De cuntas
maneras distintas puede
elegir?
Existen seis formas
diferentes.
Fresa
Vainilla
Chocolate
Fresa
Vainilla
Vainilla
Chocolate
Chocolate
Fresa
Sabores
Fresa y vainilla
Fresa y chocolate
Vainilla y chocolate
Vainilla y fresa
Chocolate y fresa
Chocolate y vainilla
El principio multiplicativo dice:
Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer
otra cosa, hay m n formas de hacer ambas cosas.
Al aplicar el principio multiplicativo en el ejemplo anterior:
En primer lugar Anglica puede escoger tres
sabores diferentes, despus podr escoger
slo dos sabores distintos.
Podr escoger 3 2 = 6 combinaciones
diferentes.
47
Las tablas tambin organizan la informacin. Por ejemplo, se
quieren coser flores en un mantel, se tienen que elegir hilos de
color: rojo, rosa, blanco y morado, para la flor y los centros
amarillo y anaranjado.
Flor
Centro de
la flor
Centro de la flor:
amarillo
Centro de la flor:
anaranjado
roja Flor roja centro
amarillo
Flor roja centro
anaranjado
rosa Flor rosa centro
amarillo
Flor rosa centro
anaranjado
blanca Flor blanca centro
amarillo
Flor blanca centro
anaranjado
morada Flor morada centro
amarillo
Flor morada centro
anaranjado
Frecuencia absoluta y relativa
Analizando series de datos (edad de una poblacin, altura de
los estudiantes de una escuela, temperatura en los meses de
verano, etc.) e interpretando la informacin se calculan
resultados probables de manera confiable y se trata de extraer
conclusiones sobre el comportamiento de estas variables. En
estadstica hay variables cualitativas y variables cuantitativas
Se le llama:
Individuo: cualquier elemento del fenmeno que se estudia;
Poblacin: conjunto de todos los individuos del fenmeno que
se estudia;
Muestra: subconjunto que es seleccionado de la poblacin.
Las tablas son arreglos de filas y columnas en donde cada
cruce de una fila con una columna nos da la informacin sobre
algo.
La frecuencia absoluta de una variable es el nmero de veces
que aparece el valor correspondiente en la muestra. La suma
de las frecuencias absolutas es igual al total de datos de la
muestra.
La frecuencia relativa de una variable es la frecuencia absoluta
entre el nmero total de la muestra. La suma de las frecuencias
absolutas es igual a 1.
48
Por ejemplo:
Al medir la altura de los nios de una clase se obtuvo los
resultados (m):
Alumnos Estatura Alumnos Estatura Alumnos Estatura
Alumno 1 1.25 Alumno 11 1.23 Alumno 21 1.21
Alumno 2 1.28 Alumno 12 1.26 Alumno 22 1.29
Alumno 3 1.27 Alumno 13 1.30 Alumno 23 1.26
Alumno 4 1.21 Alumno 14 1.21 Alumno 24 1.22
Alumno 5 1.22 Alumno 15 1.28 Alumno 25 1.28
Alumno 6 1.29 Alumno 16 1.30 Alumno 26 1.27
Alumno 7 1.30 Alumno 17 1.22 Alumno 27 1.26
Alumno 8 1.24 Alumno 18 1.25 Alumno 28 1.23
Alumno 9 1.27 Alumno 19 1.20 Alumno 29 1.22
Alumno 10 1.29 Alumno 20 1.28 Alumno 30 1.21
Al estructurar la informacin se obtiene la siguiente tabla de
frecuencia:
Variable Frecuencia
(Valor) Absoluta Relativa Porcentaje
1.20 1 30
1 3.3%
1.21 4 30
4 13.4%
1.22 4 30
4 13.4%
1.23 2 30
2 6.6%
1.24 1 30
1 3.3%
1.25 2 30
2 6.6%
1.26 3 30
3 10.0%
1.27 3 30
3 10.0%
1.28 4 30
4 13.4%
1.29 3 30
3 10.0%
1.30 3 30
3 10.0%
Totales 30 1 100%
49
La frecuencia absoluta de 1.28 es 4 y la frecuencia relativa es
30
4.
Grficas
Las grficas de variacin son imgenes que permiten visualizar
las semejanzas y diferencias que existen entre los datos, lo
importante es que muestren los datos de una manera clara y
til. Las grficas pueden ser de barras, de sectores circulares o
polgonos de frecuencias, entre otras.
22
53 55
30
70
0
10
20
30
40
50
60
70
80
30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79
1
2
3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1 2 3 4
Serie1 Serie2
Polgono de
frecuencias
Grfica de sectores
circulares Grfica de barras
Las grficas de barra, poligonal y sector circular del ejemplo
anterior serian:
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
1.2 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.3
Si los valores que toma la variable son muy diversos y cada uno
de ellos se repite muy pocas veces, entonces conviene
50
agruparlos por intervalos, pues obtendramos una tabla de
frecuencias muy extensa.
Veamos un ejemplo:
Calificacin Nmero de
alumnos
clases Frecuencia
Absoluta
Marca de
clase
0 0
0 - 2 3 1 1 1
2 2
3 1 3 - 4 3 3
4 2
5 3 5 - 6 8 5
6 5
7 8 7 - 8 15 7
8 7
9 5 9 - 10 8 9
10 3
Total 37
Medidas de posicin central
Las medidas de posicin central dan informacin y diversas
caractersticas sobre la serie de datos que se analizan. Las
principales medidas de posicin central son las siguientes:
La media aritmtica o promedio ( x ) es la suma de todos los valores de la variable entre el total de datos de la muestra.
La mediana es el valor de la serie de datos que se sita
justamente en el centro de la muestra. sta se calcula
ordenando los datos y se toma el dato central.
La moda es el valor que ms se repite en la muestra.
Ejemplo: Calcular el promedio, la mediana y la moda de los
datos: 13, 15, 17, 22,13, 28.
186
108
6
28132217 15 13
x
La mediana de esta muestra es 16 pues es el promedio de los
datos centrales: 13, 13, 15, 17, 22, 28
La moda es 13.
51
Probabilidad
Un evento es determinista cuando se conoce el resultado an
antes de realizarlo, por ejemplo al lanzar una moneda al aire
tendr que caer.
Un experimento es aleatorio si no se conoce de antemano el
resultado que obtendremos, por ejemplo al lanzar una moneda
al aire no se sabe si caer guila o sol. En ste ejemplo no se
puede saber el resultado final, pero si determinar cules son los
resultados posibles: guila y sol.
Al conjunto de resultados posibles se le denomina espacio
muestral, y a cada uno de esos resultados se llama muestra o
valor muestral.
Ejemplos de espacios muestrales:
a) Al lanzar un dado tenemos 6 casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Si lanzamos una moneda y un dado los casos posibles son 12:
(A,1), (A,2), (A,3), (A,4),(A,5), (A,6), (S,1), (S,2), (S,3), (S,4),(S,5),
(S,6), donde A es guila y S es sol.
Una forma grfica para obtener todos los resultados posibles y
favorables son los diagramas de rbol.
El siguiente diagrama de rbol corresponde al ejemplo anterior
inciso b):
A S
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 65
(A,1) (A,2) (A,3) (A,4) (A,5) (A,6) (S,3)(S,2)(S,1) (S,4) (S,5) (S,6) La probabilidad es el estudio y determinacin de la posibilidad
de obtener uno o varios resultados favorables en un
experimento aleatorio. La probabilidad terica de un evento se
expresa como:
52
Probabilidad de un evento = casosdetotalNmero
favorablescasosdeNmeros
Ejemplo: La probabilidad de lanzar un dado y obtener un
nmero par es 2
1, pero
100
505.0
2
1 , es decir al lanzar un dado
hay 50% de posibilidades que sea un nmero par.
La probabilidad de un evento tiene valores entre 0 (0%) y 1
(100%), si la probabilidad es igual a un nmero muy cercano a 0
(0%) significa que el evento es poco probable, pero si el valor de
la probabilidad es igual a un nmero muy cercano a 1 (100%)
entonces el evento es muy probable.
Ejemplos:
Al lanzar un
dado al aire la
probabilidad
de obtener un
1 es 6
1.
nmero par es 5.02
1
6
3 .
nmero mayor de 0 es 16
6 .
7 es 06
0 , ste es un evento imposible.
Retomando el
inciso b) del
ejemplo anterior:
al lanzar una
moneda y un
dado la
probabilidad de
Que caiga sol es 5.02
1
12
6 .
Que caiga guila y nmero par es
25.04
1
12
3 .
53
Habilidad lgico-matemtica
1. A qu es igual un caracol?
Respuesta:
Un caracol es igual a medio gallo
Un gallo es igual a tres peces
Tres peces son seis ratones
Tres ratones son medio gallo
Un caracol es igual a tres ratones.
2. Cuntas cerezas halle?
A un cerezo yo sub
Donde cerezas haba
Y cerezas no cog,
Y cerezas no deje.
Respuesta: ninguna.
3. Cuntos animalitos tengo?
Si todos son perros menos dos,
Todos son gatos menos dos,
Todos son gorriones menos dos.
Respuesta:
tres, un perro un gato y un
gorrin.
4. Cul es la figura que completa la serie siguiente?
a)
b)
c)
d)
La respuesta es la del inciso d.
54
5. Cul es el nmero que falta en el siguiente crculo?
La respuesta correcta es 100
6. Seleccionar la figura correcta entre las 4 numeradas
a)
b)
c)
d)
La respuesta es la del inciso a.
7. Observa la siguiente serie de objetos y seala la respuesta correcta
D M J S L
a)
M b)
V c)
L d)
D La respuesta es la del inciso a.
55
8. Selecciona la figura correcta entre las 4 numeradas:
a)
b)
c)
d)
La respuesta es la del inciso b.
9. Seleccionar la figura correcta entre las 4 numeradas
a)
b)
c) d)
La respuesta es la del inciso c.
56
10. Qu opcin corresponde a un giro de la figura siguiente?
a)
b)
c)
d)
La respuesta es la del inciso d.
11. Qu nmero completa la siguiente serie?
625, 25, 5, 1, ____
a) 10
1
b)
4
1
c)
5
1
d)
3
1
La respuesta es la del inciso c.
12. Qu nmero completa la siguiente serie?
1.9, 2.8, ____, ____, 5.5, 6.4, 7.3
a) 3.7, 4.6
b) 3.6, 4.7 c) 3.8, 4.6 d) 3.5 , 4.8
La respuesta es la del inciso a.
13. Un nio tiene el mismo nmero de hermanas que de hermanos, y
una de sus hermanas tiene la mitad de hermanas que de hermanos.
Cuntos nios hay en la familia? Cuntos son hombres y cuntas
mujeres?
a) 5, 3
hombres y
2 mujeres
b) 4, 2
hombres y
2 mujeres
c) 7, 4
hombres y
3 mujeres
d) 7, 3
hombres y 4
mujeres
La respuesta es la del inciso c.