Goguen, Categorical Manifesto

7/29/2019 Goguen, Categorical Manifesto

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A C a t e g o r i c a l M a n i f e s t o

J o s e p h A . G o g u e n

P r o g r a m m i n g R e s e a r c h G r o u p , U n i v e r s i t y o f O x f o r d

S R I I n t e r n a t i o n a l , M e n l o P a r k C A

A b s t r a c t : T h i s p a p e r t r i e s t o e x p l a i n w h y a n d h o w c a t e g o r y t h e o r y

i s u s e f u l i n c o m p u t i n g s c i e n c e , b y g i v i n g g u i d e l i n e s f o r a p p l y i n g s e v e n

b a s i c c a t e g o r i c a l c o n c e p t s : c a t e g o r y , f u n c t o r , n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n ,

l i m i t , a d j o i n t , c o l i m i t a n d c o m m a c a t e g o r y . S o m e e x a m p l e s , i n t u i t i o n ,

a n d r e f e r e n c e s a r e g i v e n f o r e a c h c o n c e p t , b u t c o m p l e t e n e s s i s n o t a t -

t e m p t e d . S o m e a d d i t i o n a l c a t e g o r i c a l c o n c e p t s a n d s o m e s u g g e s t i o n s f o r

f u r t h e r r e s e a r c h a r e a l s o m e n t i o n e d . T h e p a p e r c o n c l u d e s w i t h s o m e

p h i l o s o p h i c a l d i s c u s s i o n .

0 I n t r o d u c t i o n

T h i s p a p e r t r i e s t o e x p l a i n w h y c a t e g o r y t h e o r y i s u s e f u l i n c o m p u t i n g s c i e n c e . T h e

b a s i c a n s w e r i s t h a t c o m p u t i n g s c i e n c e i s a y o u n g e l d t h a t i s g r o w i n g r a p i d l y , i s

p o o r l y o r g a n i s e d , a n d n e e d s a l l t h e h e l p i t c a n g e t , a n d t h a t c a t e g o r y t h e o r y c a n

p r o v i d e h e l p w i t h a t l e a s t t h e f o l l o w i n g :

F o r m u l a t i n g d e n i t i o n s a n d t h e o r i e s . I n c o m p u t i n g s c i e n c e , i t i s o f t e n m o r e

d i c u l t t o f o r m u l a t e c o n c e p t s a n d r e s u l t s t h a n t o g i v e a p r o o f . T h e s e v e n

g u i d e l i n e s o f t h i s p a p e r c a n h e l p w i t h f o r m u l a t i o n ; t h e g u i d e l i n e s c a n a l s o b e

u s e d t o m e a s u r e t h e e l e g a n c e a n d c o h e r e n c e o f e x i s t i n g f o r m u l a t i o n s .

C a r r y i n g o u t p r o o f s . O n c e b a s i c c o n c e p t s h a v e b e e n c o r r e c t l y f o r m u l a t e d i n a

c a t e g o r i c a l l a n g u a g e , i t o f t e n s e e m s t h a t p r o o f s j u s t h a p p e n " : a t e a c h s t e p ,

t h e r e i s a n a t u r a l " t h i n g t o t r y , a n d i t w o r k s . D i a g r a m c h a s i n g s e e S e c t i o n

1 . 2 p r o v i d e s m a n y e x a m p l e s o f t h i s . I t c o u l d a l m o s t b e s a i d t h a t t h e p u r p o s e

o f c a t e g o r y t h e o r y i s t o r e d u c e a l l p r o o f s t o s u c h s i m p l e c a l c u l a t i o n s .

D i s c o v e r i n g a n d e x p l o i t i n g r e l a t i o n s w i t h o t h e r e l d s . S u c i e n t l y a b s t r a c t

f o r m u l a t i o n s c a n r e v e a l s u r p r i s i n g c o n n e c t i o n s . F o r e x a m p l e , a n a n a l o g y b e -

t w e e n P e t r i n e t s a n d t h e - c a l c u l u s m i g h t s u g g e s t l o o k i n g f o r a c l o s e d c a t e g o r y

s t r u c t u r e o n t h e c a t e g o r y o f P e t r i n e t s 5 2 .

D e a l i n g w i t h a b s t r a c t i o n a n d r e p r e s e n t a t i o n i n d e p e n d e n c e . I n c o m p u t i n g s c i -

e n c e , m o r e a b s t r a c t v i e w p o i n t s a r e o f t e n m o r e u s e f u l , b e c a u s e o f t h e n e e d t o

a c h i e v e i n d e p e n d e n c e f r o m t h e o f t e n o v e r w h e l m i n g l y c o m p l e x d e t a i l s o f h o w

t h i n g s a r e r e p r e s e n t e d o r i m p l e m e n t e d . A c o r o l l a r y o f t h e r s t g u i d e l i n e g i v e n

i n S e c t i o n 1 i s t h a t t w o o b j e c t s a r e a b s t r a c t l y t h e s a m e " i t h e y a r e i s o m o r -

p h i c ; s e e S e c t i o n 1 . 1 . M o r e o v e r , u n i v e r s a l c o n s t r u c t i o n s i . e . , a d j o i n t s d e n e

t h e i r r e s u l t s u n i q u e l y u p t o i s o m o r p h i s m , i . e . , a b s t r a c t l y " i n j u s t t h i s s e n s e .

T h e r e s e a r c h r e p o r t e d i n t h i s p a p e r h a s b e e n s u p p o r t e d i n p a r t b y g r a n t s f r o m t h e S c i e n c e

a n d E n g i n e e r i n g R e s e a r c h C o u n c i l , t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n , a n d t h e S y s t e m D e v e l o p m e n t

F o u n d a t i o n , a s w e l l a s c o n t r a c t s w i t h t h e O c e o f N a v a l R e s e a r c h a n d t h e F u j i t s u C o r p o r a t i o n .

1


2/20

F o r m u l a t i n g c o n j e c t u r e s a n d r e s e a r c h d i r e c t i o n s . C o n n e c t i o n s w i t h o t h e r e l d s

c a n s u g g e s t n e w q u e s t i o n s i n y o u r o w n e l d . A l s o t h e s e v e n g u i d e l i n e s c a n h e l p

t o g u i d e r e s e a r c h . F o r e x a m p l e , i f y o u h a v e f o u n d a n i n t e r e s t i n g f u n c t o r , t h e n

y o u m i g h t b e w e l l a d v i s e d t o i n v e s t i g a t e i t s a d j o i n t s .

U n i c a t i o n . C o m p u t i n g s c i e n c e i s v e r y f r a g m e n t e d , w i t h m a n y d i e r e n c t s u b -

d i s c i p l i n e s h a v i n g m a n y d i e r e n t s c h o o l s w i t h i n t h e m . H e n c e , w e b a d l y n e e d

t h e k i n d o f c o n c e p t u a l u n i c a t i o n t h a t c a t e g o r y t h e o r y c a n p r o v i d e .

C a t e g o r y t h e o r y c a n a l s o b e a b u s e d , a n d i n s e v e r a l d i e r e n t s t y l e s . O n e s t y l e o f

a b u s e i s s p e c i o u s g e n e r a l i t y , i n w h i c h s o m e t h e o r y o r e x a m p l e i s g e n e r a l i s e d i n a w a y

t h a t d o e s n o t a c t u a l l y i n c l u d e a n y n e w e x a m p l e s o f g e n u i n e i n t e r e s t . A r e l a t e d s t y l e

o f a b u s e i s c a t e g o r i c a l o v e r k i l l , i n w h i c h t h e l a n g u a g e o f c a t e g o r y t h e o r y i s u s e d

t o d e s c r i b e p h e n o m e n a t h a t d o n o t a c t u a l l y r e q u i r e s u c h a n e l a b o r a t e t r e a t m e n t

o r t e r m i n o l o g y . A n e x a m p l e i s t o d e s c r i b e a G a l o i s c o n n e c t i o n i n t h e l a n g u a g e o f

a d j o i n t f u n c t o r s .

C a t e g o r y t h e o r y h a s b e e n c a l l e d a b s t r a c t n o n s e n s e " b y b o t h i t s f r i e n d s a n d i t s

d e t r a c t o r s . P e r h a p s w h a t t h i s p h r a s e s u g g e s t s t o b o t h i s t h a t c a t e g o r y t h e o r y h a s

r e l a t i v e l y m o r e f o r m t h a n c o n t e n t , c o m p a r e d t o o t h e r a r e a s o f m a t h e m a t i c s . I t s

f r i e n d s c l a i m t h i s a s a v i r t u e , i n c o n t r a s t t o t h e e x c e s s i v e c o n c r e t e n e s s a n d r e p r e -

s e n t a t i o n d e p e n d e n c e o f s e t t h e o r e t i c f o u n d a t i o n s , a n d t h e r e l a t i v e l y p o o r g u i d a n c e

f o r d i s c o v e r i n g e l e g a n t a n d c o h e r e n t t h e o r i e s t h a t t h e y p r o v i d e . S e c t i o n 9 d i s c u s s e s

t h i s f u r t h e r .

C a t e g o r y t h e o r y c a n a l s o b e u s e d i n q u i t e c o n c r e t e w a y s , b e c a u s e c a t e g o r i e s

a r e a f t e r a l l j u s t a n o t h e r a l g e b r a i c s t r u c t u r e , g e n e r a l i s i n g b o t h m o n o i d s a n d p a r t i a l

o r d e r s s e e a l s o E x a m p l e 1 . 4 b e l o w .

T h i s p a p e r p r e s e n t s s e v e n g u i d e l i n e s f o r u s i n g c a t e g o r y t h e o r y , e a c h w i t h s o m e

g e n e r a l d i s c u s s i o n a n d s p e c i c e x a m p l e s . T h e r e i s n o c l a i m t o o r i g i n a l i t y , b e c a u s e

I b e l i e v e t h e u n d e r l y i n g i n t u i t i o n s a r e s h a r e d b y e s s e n t i a l l y a l l w o r k e r s i n c a t e g o r y

t h e o r y , a l t h o u g h t h e y h a v e b e e n p e r h a p s u n d e r s t a n d a b l y r e l u c t a n t t o p l a c e s u c h

d o g m a t i c a s s e r t i o n s i n t e x t b o o k s o r o t h e r w r i t t e n d o c u m e n t s

1

. T h e g u i d e l i n e s a r e

n e c e s s a r i l y i m p r e c i s e , a n d w i l l s e e m e x a g g e r a t e d i f t a k e n t o o l i t e r a l l y , b e c a u s e t h e y

a r e n o t o b j e c t i v e f a c t s , b u t r a t h e r h e u r i s t i c s f o r a p p l y i n g c e r t a i n m a t h e m a t i c a l c o n -

c e p t s . I n p a r t i c u l a r , t h e y m a y s e e m d i c u l t t o a p p l y , o r e v e n i m p o s s i b l e , i n s o m e

s i t u a t i o n s , a n d t h e y m a y n e e d r e n e m e n t i n o t h e r s . A s a r e m i n d e r t h a t t h e y s h o u l d

n o t b e t a k e n t o o d o g m a t i c a l l y , I w i l l c a l l t h e m d o g m a s .

N o a t t e m p t i s m a d e t o b e e x h a u s t i v e . I n p a r t i c u l a r , t h e t e c h n i c a l d e n i t i o n s a r e

o m i t t e d , b e c a u s e o u r p u r p o s e i s t o p r o v i d e i n t u i t i o n , a n d t h e d e n i t i o n s c a n b e f o u n d

i n a n y t e x t b o o k . T h u s , i f y o u a r e a n e w c o m e r t o c a t e g o r y t h e o r y , y o u w i l l n e e d t o u s e

s o m e t e x t i n c o n n e c t i o n w i t h t h i s p a p e r . U n f o r t u n a t e l y , n o e x i s t i n g t e x t i s i d e a l f o r

c o m p u t i n g s c i e n t i s t s , b u t p e r h a p s t h a t b y G o l d b l a t t 3 6 c o m e s c l o s e s t . T h e c l a s s i c

t e x t b y M a c L a n e 4 7 i s w a r m l y r e c o m m e n d e d f o r t h o s e w i t h s u c i e n t m a t h e m a t i c s

b a c k g r o u n d , a n d H e r r l i c h a n d S t r e c k e r ' s b o o k 3 9 i s a d m i r a b l y t h o r o u g h ; s e e a l s o

2 a n d 4 5 . T h e p a p e r 2 2 g i v e s a r e l a t i v e l y c o n c r e t e a n d s e l f - c o n t a i n e d a c c o u n t o f

s o m e b a s i c c a t e g o r y t h e o r y f o r c o m p u t i n g s c i e n t i s t s , u s i n g t h e o r i e s , e q u a t i o n s , a n d

u n i c a t i o n a s m o t i v a t i o n , a n d m a n y e x a m p l e s f r o m t h a t p a p e r a r e u s e d h e r e .

1

A s f a r a s I k n o w , t h e r s t s u c h a t t e m p t i s m y o w n i n 3 4 , w h i c h g i v e s f o u r o f t h e g u i d e l i n e s

h e r e . T h e o n l y o t h e r a t t e m p t t h a t I k n o w i s d u e t o L a m b e k a n d S c o t t 4 5 , w h o g i v e a n u m b e r o f

s l o g a n s " i n a s i m i l a r s t y l e .

2


3/20

1 C a t e g o r i e s

T h e r s t d o g m a i s a s f o l l o w s :

T o e a c h s p e c i e s o f m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e , t h e r e c o r r e s p o n d s a c a t e g o r y

w h o s e o b j e c t s h a v e t h a t s t r u c t u r e , a n d w h o s e m o r p h i s m s p r e s e r v e i t .

I t i s p a r t o f t h i s g u i d e l i n e t h a t i n o r d e r t o u n d e r s t a n d a s t r u c t u r e , i t i s n e c e s s a r y

t o u n d e r s t a n d t h e m o r p h i s m s t h a t p r e s e r v e i t . I n d e e d , c a t e g o r y t h e o r i s t s h a v e

a r g u e d t h a t m o r p h i s m s a r e m o r e i m p o r t a n t t h a n o b j e c t s , b e c a u s e t h e y r e v e a l w h a t

t h e s t r u c t u r e r e a l l y i s . M o r e o v e r , t h e c a t e g o r y c o n c e p t c a n b e d e n e d u s i n g o n l y

m o r p h i s m s . P e r h a p s t h e b i a s o f m o d e r n W e s t e r n l a n g u a g e s a n d c u l t u r e s t o w a r d s

o b j e c t s r a t h e r t h a n r e l a t i o n s h i p s a c c o u n t s f o r t h i s s e e 5 0 , 6 4 f o r s o m e r e l a t e d

d i s c u s s i o n . B y w a y o f n o t a t i o n , w e u s e ; " f o r c o m p o s i t i o n , a n d 1

A

f o r t h e i d e n t i t y

m o r p h i s m a t a n o b j e c t A . N o w s o m e e x a m p l e s :

1 . 1 S e t s . I f w e t a k e s e t s t o b e o b j e c t s , t h e n t h e i r m o r p h i s m s a r e c l e a r l y g o i n g

t o b e f u n c t i o n s . A s e t m o r p h i s m , h o w e v e r , i s n o t j u s t a s e t o f o r d e r e d p a i r s ,

b e c a u s e i t m u s t a l s o s p e c i f y p a r t i c u l a r s o u r c e a n d t a r g e t s e t s . T h i s i s c o n -

s i s t e n t w i t h p r a c t i c e i n c o m p u t a t i o n t h e o r y w h i c h a s s i g n s t y p e s t o f u n c t i o n s .

T h e s e t t h e o r e t i c r e p r e s e n t a t i o n o f f u n c t i o n s i s a n a r t i f a c t o f t h e s e t t h e o r e t i c

f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s , a n d l i k e a l l s u c h r e p r e s e n t a t i o n s , h a s a c c i d e n t a l

p r o p e r t i e s b e y o n d t h o s e o f t h e c o n c e p t i t i s i n t e n d e d t o c a p t u r e . O n e o f t h o s e

p r o p e r t i e s i s t h a t a n y t w o s e t s o f o r d e r e d p a i r s c a n b e c o m p o s e d t o y i e l d a

t h i r d . T h e c a t e g o r y S e t o f s e t s e m b o d i e s a c o n t r a r y p o i n t o f v i e w , t h a t e a c h

f u n c t i o n h a s a d o m a i n i n w h i c h i t s a r g u m e n t s a r e m e a n i n g f u l , a c o d o m a i n i n

w h i c h i t s r e s u l t s a r e m e a n i n g f u l , a n d c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s i s o n l y a l l o w e d

w h e n m e a n i n g f u l i n t h i s s e n s e . S e e 3 6 f o r r e l a t e d d i s c u s s i o n s .

1 . 2 R e l a t i o n s . J u s t a s w i t h f u n c t i o n s , i t s e e m s d e s i r a b l e t o t a k e t h e v i e w t h a t t h e

c o m p o s i t i o n o f r e l a t i o n s i s o n l y m e a n i n g f u l w h e n t h e d o m a i n s m a t c h . T h u s ,

w e m a y d e n e a r e l a t i o n f r o m a s e t A

0

t o a s e t A

1

t o b e a t r i p l e A

0

; R ; A

1

w i t h R A

0

A

1

, a n d t h e n a l l o w i t s c o m p o s i t i o n w i t h B

0

; S ; B

1

t o b e

d e n e d i A

1

= B

0

. T h i s g i v e s r i s e t o a c a t e g o r y t h a t w e d e n o t e R e l , o f w h i c h

S e t c a n b e c o n s i d e r e d a s u b c a t e g o r y .

1 . 3 G r a p h s . A g r a p h G c o n s i s t s o f a s e t E o f e d g e s , a s e t N o f n o d e s , a n d

t w o f u n c t i o n s @

0

; @

1

: E ! N w h i c h g i v e t h e s o u r c e a n d t a r g e t o f e a c h

e d g e , r e s p e c t i v e l y . B e c a u s e t h e m a j o r c o m p o n e n t s o f g r a p h s a r e s e t s , t h e

m a j o r c o m p o n e n t s o f t h e i r m o r p h i s m s s h o u l d b e c o r r e s p o n d i n g f u n c t i o n s t h a t

p r e s e r v e t h e a d d i t i o n a l s t r u c t u r e . T h u s a m o r p h i s m f r o m G = E ; N ; @

0

; @

1

t o G

0

= E

0

; N

0

; @

0

0

; @

0

1

c o n s i s t s o f t w o f u n c t i o n s , f : E ! E

0

a n d g : N ! N

0

,

s u c h t h a t t h e f o l l o w i n g d i a g r a m c o m m u t e s i n S e t f o r i = 0 ; 1 :

E

0

@

0

i

N

0

g

N

@

i

-

-

? ?

E

f

3


4/20

T o s h o w t h a t w e h a v e a c a t e g o r y G r a p h o f g r a p h s , w e m u s t s h o w t h a t a c o m p o -

s i t i o n o f t w o s u c h m o r p h i s m s i s a n o t h e r , a n d t h a t a p a i r o f i d e n t i t y f u n c t i o n s

s a t i s e s t h e d i a g r a m s a n d a l s o s e r v e s a s a n i d e n t i t y f o r c o m p o s i t i o n .

1 . 4 P a t h s i n a G r a p h . G i v e n a g r a p h G , e a c h p a t h i n G h a s a s o u r c e a n d a

t a r g e t n o d e i n G , a n d t w o p a t h s , p a n d p

0

, c a n b e c o m p o s e d t o f o r m a n o t h e r

p a t h p ; p

0

i t h e s o u r c e o f p

0

e q u a l s t h e t a r g e t o f p . C l e a r l y t h i s c o m p o s i t i o n

i s a s s o c i a t i v e w h e n d e n e d , a n d e a c h n o d e c a n b e g i v e n a n i d e n t i t y p a t h "

h a v i n g n o e d g e s . T h i s c a t e g o r y i s d e n o t e d P a G . D e t a i l s m a y b e f o u n d i n

4 7 , 3 4 , 1 9 , a n d m a n y o t h e r p l a c e s .

1 . 5 A u t o m a t a . A n a u t o m a t o n c o n s i s t s o f a n i n p u t s e t X , a s t a t e s e t S , a n o u t p u t

s e t Y , a t r a n s i t i o n f u n c t i o n f : X S ! S , a n i n i t i a l s t a t e s

0

2 S , a n d a n

o u t p u t f u n c t i o n g : S ! Y . W h a t d o e s i t m e a n t o p r e s e r v e a l l t h i s s t r u c t u r e ?

B e c a u s e t h e m a j o r c o m p o n e n t s o f a u t o m a t a a r e s e t s , t h e m a j o r c o m p o n e n t s o f

t h e i r m o r p h i s m s s h o u l d b e c o r r e s p o n d i n g f u n c t i o n s t h a t p r e s e r v e t h e s t r u c t u r e .

T h u s a m o r p h i s m f r o m A = X ; S ; Y ; s

0

; f ; g t o A

0

= X

0

; S

0

; Y

0

; s

0

0

; f

0

; g

0

s h o u l d c o n s i s t o f t h r e e f u n c t i o n s , h : X ! X

0

, i : S ! S

0

, a n d j : Y ! Y

0

,

s u c h t h a t t h e f o l l o w i n g d i a g r a m s c o m m u t e i n S e t :

X

0

S

0

f

0

S

0

i

S

f

-

-

? ?

X S

h i

S

0

g

0

Y

0

j

Y

g

-

-

? ?

S

i

S

S

0

i

f g

?

H

H

H

Hj

*

s

0

0

s

0

w h e r e f g d e n o t e s a n a r b i t r a r y o n e p o i n t s e t w i t h p o i n t . I t m u s t b e s h o w n

t h a t a c o m p o s i t i o n o f t w o s u c h m o r p h i s m s i s a n o t h e r , a n d t h a t a t r i p l e o f i d e n -

t i t i e s s a t i s e s t h e d i a g r a m s a n d s e r v e s a s a n i d e n t i t y f o r c o m p o s i t i o n . T h e s e

c h e c k s s h o w t h a t w e h a v e a c a t e g o r y A u t o f a u t o m a t a , a n d t h e i r s i m p l i c i t y

i n c r e a s e s o u r c o n d e n c e i n t h e c o r r e c t n e s s o f t h e d e n i t i o n s 1 8 .

1 . 6 T y p e s . T y p e s a r e u s e d t o c l a s s i f y t h i n g s , " a n d a c c o r d i n g t o t h e r s t d o g m a ,

t h e y s h o u l d f o r m a c a t e g o r y h a v i n g t y p e s a s o b j e c t s ; o f c o u r s e , d e p e n d i n g o n

w h a t i s b e i n g c l a s s i e d , d i e r e n t c a t e g o r i e s w i l l a r i s e .

A s i m p l e e x a m p l e i s n i t e p r o d u c t t y p e s , w h i c h a r e c o n v e n i e n t l y r e p r e s e n t e d

b y n a t u r a l n u m b e r s , w i t h m o r p h i s m s t h a t d e s c r i b e w h a t m i g h t b e c a l l e d r e g -

i s t e r t r a n s f e r o p e r a t i o n s " a m o n g t u p l e s o f r e g i s t e r s " . T h u s , n 2 ! i n d i c a t e s

a n n - t u p l e h t

1

; : : : ; t

n

i o f d a t a i t e m s i n n r e g i s t e r s , " a n d a m o r p h i s m f : m ! n

i s a f u n c t i o n f 1 ; : : : ; n g ! f 1 ; : : : ; m g i n d i c a t i n g t h a t t h e c o n t e n t o f r e g i s t e r f i

s h o u l d b e t r a n s f e r r e d t o r e g i s t e r i , f o r i = 1 ; : : : ; n . I n f a c t , i f w e i d e n t i f y t h e

n u m b e r n w i t h t h e s e t f 1 ; : : : ; n g a n d 0 w i t h ; , t h e n t h i s c a t e g o r y i s t h e o p -

p o s i t e o f a s u b c a t e g o r y o f S e t ; l e t u s d e n o t e i t N . A v a r i a n t o f N h a s a s i t s

o b j e c t s t h e n i t e s u b s e t s o f a x e d c o u n t a b l e s e t X , a n d a s m o r p h i s m s a g a i n

t h e o p p o s i t e s o f f u n c t i o n s a m o n g t h e s e , s o t h a t w e g e t a n o t h e r o p p o s i t e o f

a s u b c a t e g o r y o f S e t , d e n o t e d s a y X . H e r e , t h e r e g i s t e r s " a r e d e n o t e d b y

v a r i a b l e s y m b o l s " f r o m X , r a t h e r t h a n b y n a t u r a l n u m b e r s . G o i n g a l i t t l e

f u r t h e r , w e c a n a s s i g n s o r t s f r o m a s e t S t o t h e s y m b o l s i n X , a n d r e q u i r e t h a t

t h e m o r p h i s m s p r e s e r v e t h e s e s o r t s . L e t u s d e n o t e t h i s c a t e g o r y X

S

.

4


5/20

1 . 7 S u b s t i t u t i o n s . T w o k e y a t t r i b u t e s o f a s u b s t i t u t i o n a r e t h e s e t o f v a r i a b l e s

i n t o w h i c h i t s u b s t i t u t e s , a n d t h e s e t o f v a r i a b l e s t h a t o c c u r i n w h a t i t s u b s t i -

t u t e s . T h u s , s u b s t i t u t i o n s h a v e n a t u r a l s o u r c e a n d t a r g e t o b j e c t s , e a c h a s e t

o f v a r i a b l e s , a s i n E x a m p l e 1 . 6 a b o v e . C l e a r l y t h e r e a r e i d e n t i t y s u b s t i t u t i o n s

f o r e a c h s e t o f v a r i a b l e s s u b s t i t u t i n g e a c h v a r i a b l e f o r i t s e l f , a n d t h e c o m -

p o s i t i o n o f s u b s t i t u t i o n s i s a s s o c i a t i v e w h e n d e n e d . T h u s , w e g e t a c a t e g o r y

w i t h s u b s t i t u t i o n s a s m o r p h i s m s .

1 . 8 T h e o r i e s . I n h i s 1 9 6 3 t h e s i s 4 9 , F . W . L a w v e r e d e v e l o p e d a v e r y e l e g a n t

a p p r o a c h t o u n i v e r s a l a l g e b r a , i n w h i c h a n a l g e b r a i c t h e o r y i s d e n e d t o b e a

c a t e g o r y T w h o s e m o r p h i s m s c o r r e s p o n d t o e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f t e r m s , a n d

w h o s e o b j e c t s i n d i c a t e t h e v a r i a b l e s i n v o l v e d i n t h e s e t e r m s , a s i n E x a m p l e 1 . 6

a b o v e . I n t h i s a p p r o a c h , t h e o r i e s a r e c l o s e d u n d e r n i t e p r o d u c t s a s d e n e d i n

E x a m p l e 4 . 1 b e l o w . A l t h o u g h L a w v e r e ' s o r i g i n a l d e v e l o p m e n t w a s u n s o r t e d ,

i t e a s i l y e x t e n d s t o t h e m a n y - s o r t e d c a s e , a n d i n m a n y o t h e r w a y s , i n c l u d i n g

t h e s o - c a l l e d s k e t c h e s " s t u d i e d b y E h r e s m a n n , G r a y , B a r r , W e l l s , a n d o t h e r s ;

f o r e x a m p l e , s e e 3 . O f c o u r s e , a l l t h e t h e o r i e s o f a g i v e n k i n d f o r m a c a t e g o r y .

1 . 1 I s o m o r p h i s m

O n e v e r y s i m p l e , b u t s t i l l s i g n i c a n t , f r u i t o f c a t e g o r y t h e o r y i s a g e n e r a l d e n i t i o n

o f i s o m o r p h i s m , s u i t a b l e f o r a n y s p e c i e s o f s t r u c t u r e a t a l l : a m o r p h i s m f : A ! B i s

a n i s o m o r p h i s m i n a c a t e g o r y C i t h e r e i s a n o t h e r m o r p h i s m g : B ! A i n C s u c h

t h a t g ; f = 1

A

a n d f ; g = 1

B

. I n t h i s c a s e , t h e o b j e c t s A a n d B a r e i s o m o r p h i c .

I t i s a w e l l e s t a b l i s h e d p r i n c i p l e i n a b s t r a c t a l g e b r a , a n d n o w i n o t h e r e l d s a s w e l l ,

t h a t i s o m o r p h i c o b j e c t s a r e a b s t r a c t l y t h e s a m e , o r m o r e p r e c i s e l y :

T w o o b j e c t s h a v e t h e s a m e s t r u c t u r e i t h e y a r e i s o m o r p h i c , a n d a n

a b s t r a c t o b j e c t " i s a n i s o m o r p h i s m c l a s s o f o b j e c t s .

T h i s d e m i - d o g m a c a n b e s e e n a s a c o r o l l a r y o f t h e r s t d o g m a . I t p r o v i d e s a n

i m m e d i a t e c h e c k o n w h e t h e r o r n o t s o m e s t r u c t u r e h a s b e e n c o r r e c t l y f o r m a l i s e d :

u n l e s s i t i s s a t i s e d , t h e o b j e c t s , o r t h e m o r p h i s m s , o r b o t h , a r e w r o n g . T h i s

p r i n c i p l e i s s o p e r v a s i v e t h a t i s o m o r p h i c o b j e c t s a r e o f t e n c o n s i d e r e d t h e s a m e ,

a n d t h e X " i s u s e d i n s t e a d o f a n X " w h e n X i s a c t u a l l y o n l y d e n e d u p t o

i s o m o r p h i s m . I n c o m p u t i n g s c i e n c e , t h i s p r i n c i p l e g u i d e d t h e s u c c e s s f u l s e a r c h f o r

t h e r i g h t d e n i t i o n o f a b s t r a c t d a t a t y p e " i n 3 3 .

1 . 2 D i a g r a m C h a s i n g

A u s e f u l w a y t o g e t a n o v e r v i e w o f a p r o b l e m , t h e o r e m , o r p r o o f , i s t o d r a w o n e

o r m o r e d i a g r a m s t h a t s h o w t h e m a i n o b j e c t s a n d m o r p h i s m s i n v o l v e d . A d i a g r a m

c o m m u t e s i w h e n e v e r p a n d p

0

a r e p a t h s w i t h t h e s a m e s o u r c e a n d t a r g e t , t h e n

t h e c o m p o s i t i o n s o f t h e m o r p h i s m s a l o n g t h e s e t w o p a t h s a r e e q u a l . T h e f a c t t h a t

p a s t i n g t w o c o m m u t a t i v e d i a g r a m s t o g e t h e r a l o n g a c o m m o n e d g e y i e l d s a n o t h e r

c o m m u t a t i v e d i a g r a m p r o v i d e s a b a s i s f o r a p u r e l y d i a g r a m m a t i c s t y l e o f r e a s o n i n g

a b o u t e q u a l i t y o f c o m p o s i t i o n s . B e c a u s e i t i s v a l i d f o r d i a g r a m s i n a n y c a t e g o r y

w h a t e v e r , t h i s p r o o f s t y l e i s v e r y w i d e l y a p p l i c a b l e ; f o r e x a m p l e , i t a p p l i e s t o s u b -

s t i t u t i o n s a s i n E x a m p l e 1 . 5 . M o r e o v e r , i t h a s b e e n e x t e n d e d w i t h c o n v e n t i o n s f o r

p u s h o u t s , f o r u n i q u e n e s s o f m o r p h i s m s , a n d f o r c e r t a i n o t h e r c o m m o n s i t u a t i o n s .

5


6/20

O f t e n p r o o f s a r e s u g g e s t e d j u s t b y d r a w i n g d i a g r a m s f o r w h a t i s k n o w n a n d w h a t

i s t o b e p r o v e d . A s i m p l e i l l u s t r a t i o n f r o m E x a m p l e 1 . 3 i s t o p r o v e t h a t a c o m p o s i -

t i o n o f t w o g r a p h m o r p h i s m s i s a n o t h e r g r a p h m o r p h i s m ; a l l w e h a v e t o d o i s p a s t e

t o g e t h e r t h e c o r r e s p o n d i n g d i a g r a m s f o r t h e t w o m o r p h i s m s .

2 F u n c t o r s

T h e s e c o n d d o g m a s a y s :

T o a n y n a t u r a l c o n s t r u c t i o n o n s t r u c t u r e s o f o n e s p e c i e s , y i e l d i n g s t r u c -

t u r e s o f a n o t h e r s p e c i e s , t h e r e c o r r e s p o n d s a f u n c t o r f r o m t h e c a t e g o r y

o f t h e r s t s p e c i e s t o t h e c a t e g o r y o f t h e s e c o n d .

I t i s p a r t o f t h i s d o g m a t h a t a c o n s t r u c t i o n i s n o t m e r e l y a f u n c t i o n f r o m o b j e c t s

o f o n e s p e c i e s t o o b j e c t s o f a n o t h e r s p e c i e s , b u t m u s t a l s o p r e s e r v e t h e e s s e n t i a l

r e l a t i o n s h i p s a m o n g o b j e c t s , i n c l u d i n g t h e i r s t r u c t u r e p r e s e r v i n g m o r p h i s m s , a n d

c o m p o s i t i o n s a n d i d e n t i t i e s f o r t h e s e m o r p h i s m s . T h i s p r o v i d e s a t e s t f o r w h e t h e r

o r n o t t h e c o n s t r u c t i o n h a s b e e n p r o p e r l y f o r m a l i s e d . O f c o u r s e , f u n c t o r i a l i t y d o e s

n o t g u a r a n t e e c o r r e c t f o r m u l a t i o n , b u t i t c a n b e s u r p r i s i n g l y h e l p f u l i n p r a c t i c e .

N o w s o m e e x a m p l e s :

2 . 1 F r e e M o n o i d s . I t i s q u i t e c o m m o n i n c o m p u t i n g s c i e n c e t o c o n s t r u c t t h e

f r e e m o n o i d X

o v e r a s e t X . I t c o n s i s t s o f a l l n i t e s t r i n g s x

1

: : : x

n

f r o m

X , i n c l u d i n g t h e e m p t y s t r i n g . T h i s c o n s t r u c t i o n g i v e s a f u n c t o r f r o m t h e

c a t e g o r y o f s e t s t o t h e c a t e g o r y o f m o n o i d s , w i t h a f u n c t i o n f : X ! Y i n d u c -

i n g f

: X

! Y

b y s e n d i n g t o , a n d s e n d i n g x

1

: : : x

n

t o f x

1

: : : f x

n

.

T h i s f u n c t o r i s c a l l e d t h e p o l y m o r p h i c l i s t t y p e c o n s t r u c t o r " i n f u n c t i o n a l

p r o g r a m m i n g .

2 . 2 B e h a v i o u r s . G i v e n a n a u t o m a t o n A = X ; S ; Y ; f ; g , i t s b e h a v i o u r i s a f u n c -

t i o n b : X

! Y , f r o m t h e m o n o i d X

o f a l l s t r i n g s o v e r X , t o Y , d e n e d

b y b u = g f u , w h e r e f i s d e n e d b y f = s

0

a n d f u x = f x ; f u ,

f o r x 2 X a n d u 2 X

. T h i s c o n s t r u c t i o n s h o u l d b e f u n c t o r i a l . F o r t h i s ,

w e n e e d a c a t e g o r y o f b e h a v i o u r s . T h e o b v i o u s c h o i c e i s t o l e t i t s o b j e c t s b e

p a i r s X ; b : X

! Y a n d t o l e t i t s m o r p h i s m s f r o m X ; b : X

! Y t o

X

0

; b

0

: X

0

! Y

0

b e p a i r s h ; j w h e r e h : X ! X

0

a n d j : Y ! Y

0

, s u c h

t h a t t h e d i a g r a m

X

0

b

0

Y

0

j

Y

b

-

-

? ?

X

h

c o m m u t e s i n S e t . D e n o t e t h i s c a t e g o r y B e h a n d d e n e B : A u t ! B e h b y

B X ; S ; Y ; f ; g = g ; f a n d B h ; i ; j = h ; j . T h a t t h i s i s a f u n c t o r h e l p s t o

c o n r m t h e e l e g a n c e a n d c o h e r e n c e o f t h e p r e v i o u s d e n i t i o n s . S e e 1 8 .

6


7/20

2 . 3 M o d e l s . I n t h e L a w v e r e a p p r o a c h t o u n i v e r s a l a l g e b r a 4 9 , a n a l g e b r a i s a

f u n c t o r f r o m a t h e o r y T t o S e t . H e r e , c o n s t r u c t i o n " t a k e s t h e m e a n i n g o f

i n t e r p r e t a t i o n " : t h e a b s t r a c t s t r u c t u r e i n T i s i n t e r p r e t e d i . e . , c o n s t r u c t e d

c o n c r e t e l y i n S e t , i . e . , t h e s e f u n c t o r s m u s t p r e s e r v e n i t e p r o d u c t s . M o r e g e n -

e r a l l y , i f T i s s o m e k i n d o f t h e o r y , t h e n m o d e l s " o f T a r e f u n c t o r s M : T ! S e t

t h a t p r e s e r v e t h e s t r u c t u r e o f t h e s e t h e o r i e s , e . g . , n i t e p r o d u c t s . M o r e g e n -

e r a l l y , w e c a n t a k e m o d e l s o f T i n a s u i t a b l e c a t e g o r y C w i t h n i t e p r o d u c t s ,

a s n i t e p r o d u c t p r e s e r v i n g f u n c t o r s . F o r e x a m p l e , m a n y s o r t e d a l g e b r a s a r i s e

a s f u n c t o r s f r o m a t h e o r y o v e r t h e t y p e s y s t e m X

S

; E x a m p l e 1 . 5 c a n b e s e e n

a s a n e x a m p l e o f t h i s , b y t a k i n g S t o h a v e t h r e e e l e m e n t s .

2 . 4 F o r g e t I t . I f a l l w i d g e t s a r e w h a t s i t s , t h e n t h e r e i s a f o r g e t f u l f u n c t o r "

f r o m t h e c a t e g o r y o f w i d g e t s t o t h e c a t e g o r y o f w h a t s i t s . F o r e x a m p l e , e v e r y

g r o u p i s a m o n o i d b y f o r g e t t i n g i t s i n v e r s e o p e r a t i o n , a n d e v e r y m o n o i d i s a

s e m i g r o u p b y f o r g e t t i n g i t s i d e n t i t y . N o t i c e t h a t a r i n g w i t h i d e n t i t y i s a

m o n o i d i n t w o d i e r e n t w a y s , o n e f o r i t s a d d i t i v e s t r u c t u r e a n d o n e f o r i t s

m u l t i p l i c a t i v e s t r u c t u r e .

2 . 5 C a t e g o r i e s . O f c o u r s e , t h e s m a l l c a t e g o r i e s a l s o f o r m a c a t e g o r y , w i t h

f u n c t o r s a s m o r p h i s m s . I t i s d e n o t e d C a t .

2 . 6 D i a g r a m s a n d t h e P a t h C a t e g o r y C o n s t r u c t i o n . T h e c o n s t r u c t i o n i n

E x a m p l e 1 . 4 o f t h e c a t e g o r y P a G o f a l l p a t h s i n a g r a p h G g i v e s r i s e t o

a f u n c t o r P a : G r a p h ! C a t f r o m g r a p h s t o c a t e g o r i e s . T h e n a d i a g r a m i n

a c a t e g o r y C , w i t h s h a p e a g r a p h G , i s a f u n c t o r D : P a G ! C . I t i s

c o n v e n t i o n a l t o w r i t e j u s t D : G ! C , a n d e v e n t o c a l l D a f u n c t o r , " b e c a u s e

D : P a G ! C i s i n f a c t f u l l y d e t e r m i n e d b y i t s r e s t r i c t i o n t o G , w h i c h i s a

g r a p h m o r p h i s m ; s e e E x a m p l e 6 . 2 b e l o w .

2 . 7 P r o g r a m s a n d P r o g r a m S c h e m e s . A n o n - d e t e r m i n i s t i c o w d i a g r a m p r o -

g r a m P w i t h p a r a l l e l a s s i g n m e n t s , g o - t o ' s , a n d a r b i t r a r y b u i l t - i n d a t a s t r u c -

t u r e s , i n c l u d i n g a r b i t r a r y f u n c t i o n s a n d t e s t s , c a n b e s e e n a s a f u n c t o r f r o m

a g r a p h G t h e p r o g r a m ' s s h a p e " i n t o t h e c a t e g o r y R e l w h o s e o b j e c t s a r e

s e t s a n d w h o s e m o r p h i s m s a r e r e l a t i o n s . A n e d g e e : n ! n

0

i n G c o r r e s p o n d s

t o a p r o g r a m s t a t e m e n t , a n d t h e r e l a t i o n P e : P n ! P n

0

g i v e s i t s s e -

m a n t i c s . F o r e x a m p l e , t h e t e s t i f X 2 " o n n a t u r a l n u m b e r s c o r r e s p o n d s

t o t h e p a r t i a l i d e n t i t y f u n c t i o n ! ! ! d e n e d i X 2 , a n d t h e a s s i g n m e n t

X : = X , 1 " c o r r e s p o n d s t o t h e p a r t i a l f u n c t i o n ! ! ! s e n d i n g X t o X , 1

w h e n X 0 . T h e s e m a n t i c s o f P w i t h i n p u t n o d e n a n d o u t p u t n o d e n

0

i s

t h e n g i v e n b y t h e f o r m u l a

P n ; n

0

=

S

f P p j p : n ! n

0

2 P a G g .

T h i s a p p r o a c h o r i g i n a t e d i n B u r s t a l l 5 . T e c h n i q u e s t h a t a l l o w p r o g r a m s t o

h a v e s y n t a x a s w e l l a s s e m a n t i c s a r e d e s c r i b e d i n 1 9

2

: A p r o g r a m s c h e m e i s

a f u n c t o r P : G ! T i n t o a t h e o r y T e n r i c h e d " w i t h a p a r t i a l o r d e r s t r u c t u r e

o n i t s m o r p h i s m s e t s T A ; B t h e r e a d e r f a m i l i a r w i t h 2 - c a t e g o r i e s s h o u l d

n o t e t h a t t h i s m a k e s T a 2 - c a t e g o r y . A s e m a n t i c s f o r s t a t e m e n t s t h e n a r i s e s

b y g i v i n g a f u n c t o r A : T ! R e l , t h a t i s , a n i n t e r p r e t a t i o n f o r T , a l s o c a l l e d

a T - a l g e b r a . T h e s e m a n t i c s o f a p r o g r a m i s t h e n c o m p u t e d b y t h e a b o v e

2

O n l y t h e o r i g i n a l 1 9 7 2 c o n f e r e n c e v e r s i o n c o n t a i n s t h i s d e n i t i o n .

7


8/20

f o r m u l a f o r t h e c o m p o s i t i o n P ; A : G ! R e l . T h e r e s e e m s t o b e m u c h m o r e

r e s e a r c h t h a t c o u l d b e d o n e i n t h i s a r e a . F o r e x a m p l e , 2 9 g i v e s a n i n d u c t i v e

p r o o f p r i n c i p l e f o r c o l l e c t i o n s o f m u t u a l l y r e c u r s i v e p r o c e d u r e s , a n d i t w o u l d

b e i n t e r e s t i n g t o c o n s i d e r o t h e r p r o g r a m c o n s t r u c t i o n s i n a s i m i l a r s e t t i n g .

2 . 8 T h e o r y I n t e r p r e t a t i o n s . E x t e n d i n g t h e d i s c u s s i o n i n E x a m p l e 2 . 3 , a n i n -

t e r p r e t a t i o n " o f a t h e o r y T i n a t h e o r y T

0

s h o u l d b e a f u n c t o r F : T ! T

0

w h i c h p r e s e r v e s t h e o r y s t r u c t u r e e . g . , t y p e s a n d n i t e p r o d u c t s . S u c h f u n c -

t o r s a r e t h e s a m e t h i n g a s t h e o r y m o r p h i s m s . I n p a r t i c u l a r , i n t e r p r e t a t i o n s

o f p r o g r a m s c h e m e s , w h i c h o f c o u r s e a r e p r o g r a m s , w i l l a r i s e i n t h i s w a y .

2 . 9 P o l y m o r p h i c T y p e C o n s t r u c t o r s . I f w e t h i n k o f t h e t y p e s o f a f u n c t i o n a l

p r o g r a m m i n g l a n g u a g e a s f o r m i n g a c a t e g o r y T , w i t h o b j e c t s l i k e I n t a n d

B o o l , t h e n p o l y m o r p h i c t y p e c o n s t r u c t o r s , l i k e l i s t , a r e e n d o f u n c t o r s o n T ,

t h a t i s , f u n c t o r s T ! T ; s o m e o t h e r s w o u l d b e s e t a n d l i s t l i s t , t h e

l a t t e r s e n d i n g a t y p e t o t h e t y p e l i s t l i s t .

3 N a t u r a l i t y

T h e t h i r d d o g m a s a y s :

T o e a c h n a t u r a l t r a n s l a t i o n f r o m a c o n s t r u c t i o n F : A ! B t o a c o n -

s t r u c t i o n G : A ! B t h e r e c o r r e s p o n d s a n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n

F G .

A l t h o u g h t h i s l o o k s l i k e a m e r e d e n i t i o n o f t h e p h r a s e n a t u r a l t r a n s l a t i o n , " i t c a n

n e v e r t h e l e s s b e v e r y u s e f u l i n p r a c t i c e . I t i s a l s o i n t e r e s t i n g t h a t t h i s c o n c e p t w a s

t h e h i s t o r i c a l o r i g i n o f c a t e g o r y t h e o r y , s i n c e E i l e n b e r g a n d M a c L a n e 1 1 u s e d i t

t o f o r m a l i s e t h e n o t i o n o f a n e q u i v a l e n c e o f h o m o l o g y t h e o r i e s , a n d t h e n f o u n d t h a t

f o r t h i s d e n i t i o n t o m a k e s e n s e , t h e y h a d t o d e n e f u n c t o r s , a n d f o r f u n c t o r s t o

m a k e s e n s e , t h e y h a d t o d e n e c a t e g o r i e s . T h i s h i s t o r y a l s o e x p l a i n s w h y h o m o l o g y

t h e o r y s o o f t e n a p p e a r s i n c a t e g o r i c a l t e x t s , a n d h e n c e w h y s o m a n y o f t h e m a r e

i l l - s u i t e d f o r c o m p u t i n g s c i e n t i s t s . N o w s o m e e x a m p l e s :

3 . 1 H o m o m o r p h i s m s . A s a l r e a d y i n d i c a t e d , i n t h e L a w v e r e a p p r o a c h t o u n i v e r -

s a l a l g e b r a , a l g e b r a s a r e f u n c t o r s , a n d s o w e s h o u l d e x p e c t h o m o m o r p h i s m s

t o b e n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s ; a n d i n d e e d , t h e y a r e .

3 . 2 N a t u r a l E q u i v a l e n c e . A n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n : F G i s a n a t u r a l

e q u i v a l e n c e i e a c h

A

: F A ! G A i s a n i s o m o r p h i s m . T h i s i s t h e n a t -

u r a l n o t i o n o f i s o m o r p h i s m f o r f u n c t o r s , a n d i s e q u i v a l e n t t o t h e e x i s t e n c e o f

: G F s u c h t h a t ; = 1

F

a n d ; = 1

G

. T h i s i s a l s o e x a c t l y t h e c o n c e p t

t h a t m o t i v a t e d E i l e n b e r g a n d M a c L a n e , a n d i n t h e c o n t e x t o f E x a m p l e 3 . 1 ,

i t s p e c i a l i s e s t o i s o m o r p h i s m o f a l g e b r a s .

3 . 3 D a t a R e n e m e n t . A g r a p h w i t h i t s n o d e s l a b e l l e d b y t y p e s a n d i t s e d g e s

l a b e l l e d b y f u n c t i o n s y m b o l s c a n b e s e e n a s a n i m p o v e r i s h e d L a w v e r e t h e o r y

t h a t h a s n o e q u a t i o n s a n d n o f u n c t i o n s y m b o l s w i t h m o r e t h a n o n e a r g u m e n t .

H o w e v e r , s u c h t h e o r i e s s t i l l a d m i t a l g e b r a s , w h i c h a r e f u n c t o r s i n t o S e t , a n d

h o m o m o r p h i s m s , w h i c h o f c o u r s e a r e n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s . T h e s e a l g e b r a s

c a n b e v i e w e d a s d a t a r e p r e s e n t a t i o n s f o r t h e b a s i c d a t a t y p e s a n d f u n c t i o n s

8


9/20

o f a p r o g r a m m i n g l a n g u a g e , a n d t h e i r h o m o m o r p h i s m s c a n b e v i e w e d a s d a t a

r e n e m e n t s . C o n s i d e r e d i n c o n n e c t i o n w i t h t h e b a s i c p r o g r a m c o n s t r u c t i o n

o p e r a t i o n s o f a l a n g u a g e , t h i s c a n l e a d t o s o m e g e n e r a l t e c h n i q u e s f o r d e v e l -

o p i n g c o r r e c t p r o g r a m s 4 0 . I t w o u l d b e i n t e r e s t i n g t o e x t e n d t h i s t o m o r e

g e n e r a l v a r i a n t s o f L a w v e r e t h e o r i e s s u c h a s m a n y - s o r t e d t h e o r i e s o r s k e t c h e s ,

a n d t o t h e m o r e g e n e r a l d a t a r e p r e s e n t a t i o n s s t u d i e d i n t h e a b s t r a c t d a t a t y p e

l i t e r a t u r e e . g . , 3 3 , 9 .

3 . 4 P r o g r a m H o m o m o r p h i s m s . B e c a u s e E x a m p l e 2 . 7 d e n e s p r o g r a m s a s

f u n c t o r s , w e e x p e c t p r o g r a m h o m o m o r p h i s m s t o b e n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s

b e t w e e n p r o g r a m s . I n d e e d , B u r s t a l l 5 s h o w s t h a t a w e a k f o r m o f M i l n e r ' s

p r o g r a m s i m u l a t i o n s 5 3 a r i s e s i n j u s t t h i s w a y . I n 1 9 , t h i s i s g e n e r a l i s e d t o

p r o g r a m s t h a t m a y h a v e d i e r e n t s h a p e s , a n d t o m a p s f r o m e d g e s t o p a t h s , b y

d e n i n g a h o m o m o r p h i s m f r o m P

0

: G

0

! C t o P

1

: G

1

! C t o c o n s i s t o f a

f u n c t o r F : G

0

! P a G

1

a n d a n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n : P

0

! F ; P

1

. S o m e

t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s f o r t h i s a r e a l s o g i v e n i n 1 9 , i n c l u d i n g t e c h n i q u e s f o r

p r o v i n g c o r r e c t n e s s , t e r m i n a t i o n , a n d e q u i v a l e n c e , b y u n f o l d i n g p r o g r a m s i n t o

e q u i v a l e n t i n n i t e t r e e s .

3 . 5 P o l y m o r p h i c F u n c t i o n s . I f p o l y m o r p h i c t y p e c o n s t r u c t o r s a r e f u n c t o r s a s

i n E x a m p l e 2 . 8 , t h e n p o l y m o r p h i c f u n c t i o n s s h o u l d b e n a t u r a l t r a n s f o r m a -

t i o n s ; a n d i n d e e d , t h e y a r e . E x a m p l e s i n c l u d e

a p p e n d : l i s t l i s t - l i s t

a n d

r e v e r s e : l i s t - l i s t

3 . 6 F u n c t o r C a t e g o r i e s . L e t A a n d B b e c a t e g o r i e s . T h e n t h e r e i s a c a t e g o r y ,

d e n o t e d C a t A ; B , w h o s e o b j e c t s a r e t h e f u n c t o r s f r o m A t o B , a n d w h o s e

m o r p h i s m s a r e n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s . I n p a r t i c u l a r , i f T i s a t h e o r y , t h e n

t h e T - a l g e b r a s a r e a s u b c a t e g o r y o f C a t T ; S e t .

4 L i m i t s

T h e f o u r t h d o g m a s a y s :

A d i a g r a m D i n a c a t e g o r y C c a n b e s e e n a s a s y s t e m o f c o n s t r a i n t s ,

a n d t h e n a l i m i t o f D r e p r e s e n t s a l l p o s s i b l e s o l u t i o n s o f t h e s y s t e m .

I n p a r t i c u l a r , i f t h e d i a g r a m r e p r e s e n t s s o m e p h y s i c a l o r c o n c e p t u a l s y s t e m , t h e n

t h e l i m i t p r o v i d e s a n o b j e c t w h i c h t o g e t h e r w i t h i t s p r o j e c t i o n m o r p h i s m s r e p -

r e s e n t s a l l p o s s i b l e b e h a v i o u r s o f t h e s y s t e m t h a t a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e g i v e n

c o n s t r a i n t s . T h i s i n t u i t i o n g o e s b a c k t o s o m e w o r k o n G e n e r a l S y s t e m T h e o r y f r o m

1 9 6 9 - 7 4 , 1 6 , 2 7 , a n d h a s m a n y a p p l i c a t i o n s i n c o m p u t i n g s c i e n c e :

4 . 1 P r o d u c t s . A n e a r l y a c h i e v e m e n t o f c a t e g o r y t h e o r y w a s t o g i v e a p r e c i s e

d e n i t i o n f o r t h e n o t i o n o f p r o d u c t , " w h i c h w a s p r e v i o u s l y k n o w n i n m a n y

s p e c i a l c a s e s , b u t o n l y u n d e r s t o o d v a g u e l y a s a g e n e r a l c o n c e p t . T h e d e n i t i o n

i s d u e t o M a c L a n e 4 6 .

9


10/20

4 . 2 P r o d u c t T y p e s . G i v e n t y p e s T

1

a n d T

2

, t h e i r p a r a l l e l c o m p o s i t i o n " i s t h e i r

p r o d u c t i n t h e c a t e g o r y T o f t y p e s . T h u s , a m o r p h i s m f : T

1

T

2

! T t a k e s

t w o i n p u t s " i n p a r a l l e l , o f t y p e s T

1

a n d T

2

, a n d r e t u r n s o n e o u t p u t , o f t y p e

T . I t i s u s u a l t o a s s u m e t h a t a c a t e g o r y o f t y p e s u s e d i n d e n i n g s o m e k i n d

o f t h e o r y h a s n i t e p r o d u c t s , i n c l u d i n g a n e m p t y p r o d u c t t h e p r o d u c t o f n o

f a c t o r s , i . e . , a n a l o b j e c t , u s u a l l y d e n o t e d 1 . B o t h N a n d X a r e s u b c a t e g o r i e s

o f S e t

o p

, a n d p r o d u c t s i n t h e m a r e d i s j o i n t u n i o n s i n S e t .

4 . 3 T h e o r i e s . A g e n e r a l i s e d L a w v e r e t h e o r y T : T ! A o v e r a t y p e s y s t e m

T a s s u m e d t o h a v e n i t e p r o d u c t s i s a n i t e p r o d u c t p r e s e r v i n g f u n c t o r t h a t

i s s u r j e c t i v e o n o b j e c t s , f r o m T t o a c a t e g o r y A w i t h n i t e p r o d u c t s . E x c e p t

f o r d e g e n e r a t e " c a s e s , a t h e o r y T : T ! A i s b i j e c t i v e o n o b j e c t s , a n d w e

c a n a s s u m e t h a t j T j = j A j a n d t h a t T i s a s u b c a t e g o r y o f A ; h e n c e , w e m a y

i d e n t i f y T a n d A .

A m o r p h i s m o f t h e o r i e s o v e r T i s a n i t e p r o d u c t p r e s e r v i n g f u n c t o r w h i c h

a l s o p r e s e r v e s T . A n a l g e b r a o f a t h e o r y T : T ! A i s a n i t e p r o d u c t p r e -

s e r v i n g f u n c t o r t o S e t o r m o r e g e n e r a l l y , t o a c a t e g o r y C w i t h n i t e p r o d u c t s .

O f c o u r s e , h o m o m o r p h i s m s o f T - a l g e b r a s a r e n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s , g i v -

i n g a c a t e g o r y o f T - a l g e b r a s . W h e n T = N , w e g e t t h e c l a s s i c a l u n s o r t e d

g e n e r a l a l g e b r a s , i n L a w v e r e f o r m . W h e n T = X , w i t h X S - s o r t e d , w e g e t

S - s o r t e d g e n e r a l a l g e b r a s . 2 2 a l s o d i s c u s s e s c o n g r u e n c e s a n d q u o t i e n t s o f

g e n e r a l i s e d L a w v e r e t h e o r i e s .

4 . 4 E q u a t i o n s a n d u n i c a t i o n . W e c a n t h i n k o f a p a i r f ; g : T ! T

0

o f m o r -

p h i s m s i n a t h e o r y a s a n e q u a t i o n . T h e n , b y t h e f o u r t h d o g m a , t h e m o s t

g e n e r a l s o l u t i o n o f t h i s e q u a t i o n i s g i v e n b y t h e e q u a l i s e r o f f a n d g , i f i t

e x i s t s . F o r t h e c l a s s i c a l c a s e o f u n s o r t e d , a n a r c h i c i . e . , o b e y i n g n o l a w s t h e o -

r i e s , t h e m o r p h i s m s a r e t e r m s , a n d e q u a l i s e r s g i v e m o s t g e n e r a l u n i e r s . M o r e

g e n e r a l k i n d s o f u n i c a t i o n a r i s e b y g o i n g t o m o r e g e n e r a l k i n d s o f t h e o r i e s ;

f o r e x a m p l e , i m p o s i n g a s s o c i a t i v e a n d c o m m u t a t i v e l a w s o n s o m e o p e r a t i o n s

i n t h e t h e o r y l e a d s t o s o - c a l l e d A C - u n i c a t i o n . F o r s o m e t h e o r i e s , o n l y w e a k

e q u a l i s e r s c a n b e f o u n d ; t h e s e w e a k e n t h e t h e r e e x i s t s a u n i q u e m o r p h i s m "

r e q u i r e m e n t t o m e r e e x i s t e n c e . I n f a c t , w e a k e q u a l i s e r s f o r m a l i s e t h e c l a s s i -

c a l d e n i t i o n o f u n i e r s ; n o n e t h e l e s s , t h e s t r o n g e r c o n d i t i o n i s o f t e n s a t i s e d

i n p r a c t i c e . G e n e r a l i s i n g a g a i n , a s y s t e m o f c o n s t r a i n t s i s a d i a g r a m i n a

t h e o r y , a n d i t s m o s t g e n e r a l s o l u t i o n i s g i v e n b y i t s l i m i t , i f i t e x i s t s .

T h e r e a r e m a n y e x a m p l e s o f t h i s s i t u a t i o n : s o l v i n g s y s t e m s o f l i n e a r e q u a -

t i o n s ; p o l y m o r p h i c t y p e i n f e r e n c e ; u n i c a t i o n i n t h e s e n s e o f u n i c a t i o n g r a m -

m a r s " i n l i n g u i s t i c s ; s o l v i n g S c o t t d o m a i n e q u a t i o n s ; a n d l e a s t x p o i n t s . A l l

t h e s e e x a m p l e s a n d s o m e o t h e r s a r e d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l i n 2 2 , a s a r e

s o m e t e c h n i q u e s f o r p r o v i n g t h a t u n i e r s e x i s t . A n o t h e r e x a m p l e i s t h e j u s t i -

c a t i o n o f t h e f o r m u l a i n E x a m p l e 2 . 7 f o r t h e s e m a n t i c s o f a p r o g r a m .

5 A d j o i n t s

T h e f t h d o g m a s a y s :

T o a n y c a n o n i c a l c o n s t r u c t i o n f r o m o n e s p e c i e s o f s t r u c t u r e t o a n o t h e r

c o r r e s p o n d s a n a d j u n c t i o n b e t w e e n t h e c o r r e s p o n d i n g c a t e g o r i e s .

1 0


11/20

A l t h o u g h t h i s c a n b e s e e n a s j u s t a d e n i t i o n o f c a n o n i c a l c o n s t r u c t i o n , " i t c a n

b e v e r y u s e f u l i n p r a c t i c e . T h e e s s e n c e o f a n a d j o i n t i s t h e u n i v e r s a l p r o p e r t y t h a t

i s s a t i s e d b y i t s v a l u e o b j e c t s . T h i s p r o p e r t y s a y s t h a t t h e r e i s a u n i q u e m o r -

p h i s m s a t i s f y i n g c e r t a i n c o n d i t i o n s . I t i s w o r t h n o t i n g t h a t a n y t w o r i g h t , o r l e f t

a d j o i n t s t o a g i v e n f u n c t o r a r e n a t u r a l l y e q u i v a l e n t , i . e . , a d j o i n t n e s s d e t e r m i n e s a

c o n s t r u c t i o n u n i q u e l y u p t o i s o m o r p h i s m . N o w s o m e e x a m p l e s :

5 . 1 P r o d u c t s a n d S u m s . M a n y o f t h e c o n s t r u c t i o n s d e s c r i b e d a b o v e a r e i n t u -

i t i v e l y c a n o n i c a l , a n d h e n c e a r e a d j o i n t s . F o r e x a m p l e , b i n a r y p r o d u c t s i n a

c a t e g o r y C g i v e a f u n c t o r : C C ! C , w h i c h i s l e f t a d j o i n t t o : C ! C C ,

t h e d i a g o n a l " f u n c t o r , s e n d i n g a n o b j e c t C i n C t o t h e p a i r C ; C , a n d s e n d -

i n g a m o r p h i s m c : C ! C

0

i n C t o c ; c : C ; C ! C

0

; C

0

i n C C . M o r e o v e r ,

C h a s c o p r o d u c t s a l s o c a l l e d s u m s " i h a s a r i g h t a d j o i n t . T h i s b e a u t i -

f u l l y s i m p l e w a y t o f o r m a l i s e t w o m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s o f b a s i c i m p o r t a n c e

i s d u e t o M a c L a n e 4 6 , a n d e x t e n d s t o g e n e r a l l i m i t s a n d c o l i m i t s .

5 . 2 F r e e b i e s . A n o t h e r b e a u t i f u l l y s i m p l e f o r m a l i s a t i o n g i v e s a g e n e r a l d e n i t i o n

o f f r e e " c o n s t r u c t i o n s : t h e y a r e t h e l e f t a d j o i n t s o f f o r g e t f u l f u n c t o r s . F o r

e x a m p l e , t h e p a t h c a t e g o r y f u n c t o r P a : G r a p h ! C a t o f E x a m p l e 2 . 6 i s l e f t

a d j o i n t t o t h e f o r g e t f u l f u n c t o r C a t ! G r a p h , a n d t h u s m a y b e s a i d t o g i v e t h e

f r e e c a t e g o r y o v e r a g r a p h .

5 . 3 M i n i m a l R e a l i s a t i o n . A n a u t o m a t o n X ; S ; Y ; f ; g i s r e a c h a b l e i i t s f u n c -

t i o n f : X

! S i s s u r j e c t i v e . L e t A d e n o t e t h e s u b c a t e g o r y o f A u t w h o s e

o b j e c t s a r e r e a c h a b l e a n d w h o s e m o r p h i s m s i ; j ; k h a v e i s u r j e c t i v e . T h e n

t h e r e s t r i c t i o n B : A ! B e h o f B : A u t ! B e h t o A h a s a r i g h t a d j o i n t

w h i c h g i v e s t h e m i n i m a l r e a l i s a t i o n o f a b e h a v i o u r 1 8 . B e c a u s e r i g h t a d j o i n t s

a r e u n i q u e l y d e t e r m i n e d , t h i s p r o v i d e s a c o n v e n i e n t a b s t r a c t c h a r a c t e r i s a t i o n

o f m i n i m a l r e a l i s a t i o n . M o r e o v e r , t h i s c h a r a c t e r i s a t i o n e x t e n d s t o , a n d e v e n

s u g g e s t s , m o r e g e n e r a l m i n i m a l r e a l i s a t i o n s i t u a t i o n s , e . g . , s e e 1 7 .

5 . 4 S y n t a x a n d S e m a n t i c s . O n e o f t h e m o r e s p e c t a c u l a r a d j o i n t s i s t h a t b e -

t w e e n s y n t a x a n d s e m a n t i c s f o r a l g e b r a i c t h e o r i e s , a g a i n d u e t o L a w v e r e i n h i s

t h e s i s ; s e e 4 9 .

5 . 5 C a r t e s i a n C l o s e d C a t e g o r i e s . A C a r t e s i a n c l o s e d c a t e g o r y h a s b i n a r y

p r o d u c t s , a n d a r i g h t a d j o i n t t o e a c h f u n c t o r s e n d i n g A t o A B . I t i s r e -

m a r k a b l e t h a t t h i s c o n c e p t t u r n s o u t t o b e e s s e n t i a l l y t h e t y p e d - c a l c u l u s ;

s e e 4 5 . T h i s c o n n e c t i o n h a s b e e n u s e d , f o r e x a m p l e , a s a b a s i s f o r t h e e f -

c i e n t c o m p i l a t i o n o f h i g h e r o r d e r f u n c t i o n a l l a n g u a g e s 8 . A n a d v a n t a g e i s

t h a t o p t i m i s a t i o n t e c h n i q u e s c a n b e p r o v e d c o r r e c t b y u s i n g p u r e l y e q u a t i o n a l

r e a s o n i n g .

5 . 4 K l e i s l i C a t e g o r i e s . A n o t h e r w a y t o g e n e r a l i s e L a w v e r e t h e o r i e s i s t o v i e w

a n a r b i t r a r y a d j u n c t i o n a s a k i n d o f t h e o r y . S o - c a l l e d m o n a d s a l s o c a l l e d

t r i p l e s a r e a n a b s t r a c t i o n o f t h e n e c e s s a r y s t r u c t u r e , a n d t h e K l e i s l i c a t -

e g o r y o v e r a m o n a d g i v e s t h e c a t e g o r y o f f r e e a l g e b r a s 4 7 . A g a i n , t h e r e

a r e s u r p r i s i n g l y m a n y e x a m p l e s . T h e p a p e r 2 2 s h o w s h o w a K l e i s l i c a t e g o r y

g e n e r a t e s a g e n e r a l i s e d L a w v e r e t h e o r y , a n d t h e n s h o w s t h a t m a n y d i e r e n t

p r o b l e m s o f u n i c a t i o n t h a t i s , o f s o l v i n g s y s t e m s o f e q u a t i o n s c a n b e n a t u -

r a l l y f o r m u l a t e d a s n d i n g e q u a l i s e r s i n K l e i s l i c a t e g o r i e s . E x a m p l e s i n c l u d e

1 1


12/20

u n i c a t i o n i n o r d e r s o r t e d a n d c o n t i n u o u s t h e o r i e s . M o g g i 5 5 u s e s K l e i s l i c a t -

e g o r i e s t o g e t a n a b s t r a c t n o t i o n o f c o m p u t a t i o n " w h i c h g i v e s r i s e t o m a n y

i n t e r e s t i n g g e n e r a l i s a t i o n s o f t h e - c a l c u l u s .

6 C o l i m i t s

T h e s i x t h d o g m a s a y s :

G i v e n a s p e c i e s o f s t r u c t u r e , s a y w i d g e t s , t h e n t h e r e s u l t o f i n t e r c o n n e c t -

i n g a s y s t e m o f w i d g e t s t o f o r m a s u p e r - w i d g e t c o r r e s p o n d s t o t a k i n g t h e

c o l i m i t o f t h e d i a g r a m o f w i d g e t s i n w h i c h t h e m o r p h i s m s s h o w h o w

t h e y a r e i n t e r c o n n e c t e d .

A t l e a s t f o r m e , t h i s i n t u i t i o n a r o s e i n t h e c o n t e x t o f G e n e r a l S y s t e m s T h e o r y 1 6 , 2 7 .

I t m a y b e i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e d u a l i t y b e t w e e n t h e c a t e g o r i c a l d e n i t i o n s

o f l i m i t s a n d c o l i m i t s s u g g e s t s a s i m i l a r d u a l i t y b e t w e e n t h e i n t u i t i v e n o t i o n s o f

s o l u t i o n a n d i n t e r c o n n e c t i o n . N o w s o m e e x a m p l e s :

6 . 1 P u t t i n g T h e o r i e s t o g e t h e r t o m a k e S p e c i c a t i o n s . C o m p l e x i t y i s a f u n -

d a m e n t a l p r o b l e m i n p r o g r a m m i n g m e t h o d o l o g y : l a r g e p r o g r a m s , a n d t h e i r

l a r g e s p e c i c a t i o n s , a r e v e r y d i c u l t t o p r o d u c e , t o u n d e r s t a n d , t o g e t r i g h t ,

a n d t o m o d i f y . A b a s i c s t r a t e g y f o r d e f e a t i n g c o m p l e x i t y i s t o b r e a k l a r g e

s y s t e m s i n t o s m a l l e r p i e c e s t h a t c a n b e u n d e r s t o o d s e p a r a t e l y , a n d t h a t w h e n

p u t b a c k t o g e t h e r g i v e t h e o r i g i n a l s y s t e m . I f s u c c e s s f u l , t h i s i n e e c t t a k e s

t h e l o g a r i t h m " o f t h e c o m p l e x i t y . I n t h e s e m a n t i c s o f C l e a r 6 , 7 , s p e c i -

c a t i o n s a r e r e p r e s e n t e d b y t h e o r i e s , i n e s s e n t i a l l y t h e s a m e s e n s e a s L a w v e r e

b u t m a n y - s o r t e d , a n d w i t h s i g n a t u r e s , a n d s p e c i c a t i o n s a r e p u t t o g e t h e r b y

c o l i m i t s i n t h e c a t e g o r y o f s u c h t h e o r i e s . M o r e s p e c i c a l l y , t h e a p p l i c a t i o n o f a

g e n e r i c t h e o r y t o a n a c t u a l i s c o m p u t e d b y a p u s h o u t . O B J 1 3 , 2 8 , 1 4 , E q l o g

3 0 , a n d F O O P S 3 1 e x t e n d t h i s n o t i o n o f g e n e r i c m o d u l e t o f u n c t i o n a l , l o g i c

i . e . , r e l a t i o n a l , a n d o b j e c t o r i e n t e d p r o g r a m m i n g , a n d i n t h e i r c o m b i n a t i o n s .

I t h a s e v e n b e e n a p p l i e d t o A d a 2 1 , 6 3 .

6 . 2 G r a p h R e w r i t i n g . A n o t h e r i m p o r t a n t p r o b l e m i n c o m p u t i n g s c i e n c e i s t o

n d m o d e l s o f c o m p u t a t i o n t h a t a r e s u i t a b l e f o r m a s s i v e l y p a r a l l e l m a c h i n e s .

A s u c c e s s f u l m o d e l s h o u l d b e a b s t r a c t e n o u g h t o a v o i d t h e i m p l e m e n t a t i o n

d e t a i l s o f p a r t i c u l a r m a c h i n e s , a n d y e t c o n c r e t e e n o u g h t o s e r v e a s a n i n t e r m e -

d i a t e t a r g e t l a n g u a g e f o r c o m p i l e r s . G r a p h r e w r i t i n g p r o v i d e s o n e p r o m i s i n g

a r e a w i t h i n w h i c h t o s e a r c h f o r s u c h m o d e l s 4 3 , 3 2 , 1 5 , 4 1 , a n d c o l i m i t s s e e m

t o b e q u i t e u s e f u l h e r e 1 0 , 5 8 , 4 4 . G r a p h r e w r i t i n g i s a l s o i m p o r t a n t f o r t h e

u n i c a t i o n g r a m m a r s t h a t a r e n o w p o p u l a r i n l i n g u i s t i c s 6 0 , 2 2 . T h e r e s e e m

t o b e m a n y o p p o r t u n i t i e s f o r f u r t h e r r e s e a r c h i n t h e s e a r e a s .

6 . 3 I n i t i a l i t y . T h e s i m p l e s t p o s s i b l e d i a g r a m i s t h e e m p t y d i a g r a m . I t s c o l i m i t

i s a n i n i t i a l o b j e c t , w h i c h i s m o r e s i m p l y e x p l a i n e d a s a n o b j e c t t h a t h a s a

u n i q u e m o r p h i s m t o a n y o b j e c t . L i k e a n y a d j o i n t , i t i s d e t e r m i n e d u n i q u e l y

u p t o i s o m o r p h i s m , s o a n y t w o i n i t i a l o b j e c t s i n a c a t e g o r y a r e i s o m o r p h i c o f

c o u r s e , t h i s c a n a l s o b e s h o w n d i r e c t l y ; h e n c e , i n i t i a l i t y g i v e s a c o n v e n i e n t w a y

t o d e n e e n t i t i e s a b s t r a c t l y " . I t i s a l s o w o r t h m e n t i o n i n g t h a t u n i v e r s a l i t y

c a n b e r e d u c e d t o i n i t i a l i t y i n a c o m m a c a t e g o r y , a n d h e n c e s o c a n c o l i m i t s .

1 2


13/20

6 . 4 I n i t i a l M o d e l S e m a n t i c s . I t s e e m s r e m a r k a b l e t h a t i n i t i a l i t y i s s o v e r y u s e -

f u l i n c o m p u t i n g s c i e n c e . B e g i n n i n g w i t h t h e f o r m a l i s a t i o n o f a b s t r a c t s y n t a x

a s a n i n i t i a l a l g e b r a 2 0 , i n i t i a l i t y h a s b e e n a p p l i e d t o a n i n c r e a s i n g r a n g e

o f f u n d a m e n t a l c o n c e p t s , i n c l u d i n g i n d u c t i o n a n d r e c u r s i o n 3 5 , 5 1 , a b s t r a c t

d a t a t y p e s 3 3 , d o m a i n e q u a t i o n s s e e b e l o w , c o m p u t a b i l i t y 5 1 , a n d m o d e l

t h e o r e t i c s e m a n t i c s f o r f u n c t i o n a l 1 3 , l o g i c i . e . , r e l a t i o n a l , c o m b i n e d f u n c -

t i o n a l a n d r e l a t i o n a l , a n d c o n s t r a i n t l o g i c 3 0 p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s . T h e

l a t t e r i s i n t e r e s t i n g b e c a u s e i t i n v o l v e s i n i t i a l i t y i n a c a t e g o r y o f m o d e l e x t e n -

s i o n s , i . e . , o f m o r p h i s m s , r a t h e r t h a n j u s t m o d e l s . I n g e n e r a l , t h i s r e s e a r c h c a n

b e s e e n a s f o r m a l i s i n g , g e n e r a l i s i n g , a n d s m o o t h i n g o u t t h e c l a s s i c a l H e r b r a n d

U n i v e r s e c o n s t r u c t i o n 3 8 , a n d i t s e e m s l i k e l y t h a t m u c h m o r e i n t e r e s t i n g w o r k

c a n b e d o n e a l o n g t h e s e l i n e s .

6 . 5 S o l v i n g D o m a i n E q u a t i o n s . S c o t t 5 9 p r e s e n t s a n i n v e r s e l i m i t " c o n s t r u c -

t i o n f o r s o l v i n g d o m a i n e q u a t i o n s , a n d r e c o r d s s o m e s u g g e s t i o n s b y L a w v e r e

t h a t c l a r i f y t h i s c o n s t r u c t i o n b y v i e w i n g i t a s a c o l i m i t i n a n a s s o c i a t e d c a t e -

g o r y o f r e t r a c t s . T h e s e i d e a s a r e t a k e n f u r t h e r i n 6 1 , w h i c h a l s o g e n e r a l i s e s

f r o m p a r t i a l o r d e r s t o c a t e g o r i e s a n d s h o w s t h a t l e a s t x p o i n t s a r e i n i t i a l a l -

g e b r a s , a m o n g o t h e r t h i n g s . A k e y c o n s t r u c t i o n i s t h e c o l i m i t o f a n i n n i t e

s e q u e n c e o f m o r p h i s m s , g e n e r a l i s i n g t h e t r a d i t i o n a l c o n s t r u c t i o n

F

n 2 !

F

n

?

o f a l e a s t x p o i n t .

7 C o m m a C a t e g o r i e s

T h e s e v e n t h d o g m a s a y s :

G i v e n a s p e c i e s o f s t r u c t u r e C , t h e n a s p e c i e s o f s t r u c t u r e o b t a i n e d b y

d e c o r a t i n g " o r e n r i c h i n g " t h a t o f C c o r r e s p o n d s t o a c o m m a c a t e -

g o r y u n d e r C o r u n d e r a f u n c t o r f r o m C .

I t s e e m s m o r e d i c u l t t o b e p r e c i s e a b o u t t h i s i n t u i t i o n t h a n t h e o t h e r s , b u t h o p e -

f u l l y s o m e e x a m p l e s w i l l h e l p t o c l a r i f y t h i n g s . T h e f o l l o w i n g a r e j u s t a f e w o f t h e

m a n y e x a m p l e s t h a t c a n b e f o u n d i n c o m p u t i n g s c i e n c e :

7 . 1 G r a p h s . M a n y c a t e g o r i e s o f g r a p h a r e c o m m a c a t e g o r i e s . F o r e x a m p l e , i f 2

d e n o t e s t h e f u n c t o r S e t ! S e t s e n d i n g S t o S S , t h e n t h e c a t e g o r y G r a p h

o f E x a m p l e 1 . 3 i s t h e c o m m a c a t e g o r y S e t 2 .

7 . 2 L a b e l l e d G r a p h s . G i v e n s o m e c a t e g o r y G o f g r a p h s a n d a f o r g e t f u l f u n c t o r

U : G ! S e t , s a y g i v i n g t h e n o d e s e t o f g r a p h s i n G , a n d g i v e n a s e t L t o

b e u s e d f o r n o d e l a b e l s , t h e n t h e c o m m a c a t e g o r y U L i s t h e c a t e g o r y o f

g r a p h s f r o m G w i t h n o d e s l a b e l l e d b y L . I n t h e s a m e w a y , w e c a n d e c o r a t e

e d g e s o f g r a p h s , o r b r a n c h e s o f t r e e s .

7 . 3 T h e o r i e s . I f F P C a t i s t h e c a t e g o r y o f c a t e g o r i e s w i t h n i t e p r o d u c t s , w i t h

n i t e p r o d u c t p r e s e r v i n g f u n c t o r s a s m o r p h i s m s , a n d i f T i s a t y p e s y s t e m i . e . ,

a n o b j e c t i n F P C a t , t h e n t h e c a t e g o r y o f t h e o r i e s o v e r T i s T F P C a t .

C o m m a c a t e g o r i e s a r e a n o t h e r b a s i c c o n s t r u c t i o n t h a t r s t a p p e a r e d i n L a w v e r e ' s

t h e s i s . T h e y t e n d t o a r i s e w h e n m o r p h i s m s a r e u s e d a s o b j e c t s . V i e w i n g a c a t e g o r y

a s a c o m m a c a t e g o r y a l s o m a k e s a v a i l a b l e s o m e g e n e r a l r e s u l t s t o p r o v e t h e e x i s t e n c e

o f l i m i t s a n d c o l i m i t s 2 5 .

1 3


14/20

8 F u r t h e r T o p i c s

A l t h o u g h t h e y a r e p a r t i c u l a r l y f u n d a m e n t a l , t h e s e v e n d o g m a s g i v e n a b o v e f a r f r o m

e x h a u s t t h e r i c h n e s s o f c a t e g o r y t h e o r y . T h i s s e c t i o n m e n t i o n s s o m e f u r t h e r c a t e -

g o r i c a l c o n s t r u c t i o n s , a b o u t e a c h o f w h i c h o n e m i g h t e x p r e s s s u r p r i s e a t h o w m a n y

e x a m p l e s t h e r e a r e i n c o m p u t i n g s c i e n c e .

8 . 1 2 - C a t e g o r i e s . S o m e t i m e s m o r p h i s m s n o t o n l y h a v e t h e i r u s u a l c o m p o s i t i o n ,

i d e n t i t y , s o u r c e a n d t a r g e t , b u t a l s o s e r v e a s o b j e c t s f o r s o m e o t h e r , h i g h e r -

l e v e l , m o r p h i s m s . T h i s l e a d s t o 2 - c a t e g o r i e s , o f w h i c h t h e c a t e g o r y C a t o f c a t -

e g o r i e s i s t h e c a n o n i c a l e x a m p l e , w i t h n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n s a s m o r p h i s m s

o f i t s m o r p h i s m s . T h i s c o n c e p t w a s m e n t i o n e d i n E x a m p l e 2 . 7 , a n d i s a l s o

u s e d i n 2 4 , 2 6 , 4 0 , 5 6 , a m o n g o t h e r p l a c e s , a n d i s m e n t i o n e d i n 6 1 .

8 . 2 M o n o i d a l C a t e g o r i e s . T h e r e a r e m a n y c a s e s w h e r e a c a t e g o r y h a s a n a t u r a l

n o t i o n o f m u l t i p l i c a t i o n t h a t i s n o t t h e u s u a l C a r t e s i a n p r o d u c t b u t n e v e r t h e -

l e s s e n j o y s m a n y o f t h e s a m e p r o p e r t i e s . T h e c a t e g o r y o f P e t r i n e t s s t u d i e d

i n 5 2 h a s a l r e a d y b e e n m e n t i o n e d , a n d a v a r i e t y o f r e c e n t w o r k s u g g e s t s t h a t

m o n o i d a l c a t e g o r i e s m a y b e b r o a d l y u s e f u l i n u n d e r s t a n d i n g t h e r e l a t i o n s h i p s

a m o n g t h e v a r i o u s t h e o r i e s o f c o n c u r r e n c y , e . g . , s e e 1 2 .

8 . 3 I n d e x e d C a t e g o r i e s . A s t r i c t i n d e x e d c a t e g o r y i s j u s t a f u n c t o r B

o p

! C a t .

T h e p a p e r s 6 2 a n d 2 3 g i v e m a n y e x a m p l e s o f i n d e x e d c a t e g o r i e s i n c o m p u t -

i n g s c i e n c e , a n d 6 2 g i v e s s o m e g e n e r a l t h e o r e m s , i n c l u d i n g s i m p l e s u c i e n t

c o n d i t i o n s f o r c o m p l e t e n e s s o f t h e a s s o c i a t e d G r o t h e n d i e c k " c a t e g o r y . M o g g i

5 6 a p p l i e s i n d e x e d c a t e g o r i e s t o p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s , a n d i n p a r t i c u l a r

s h o w s h o w t o g e t a k i n d o f h i g h e r o r d e r m o d u l e f a c i l i t y f o r l a n g u a g e s l i k e M L .

N o n - s t r i c t i n d e x e d c a t e g o r i e s a r e s i g n i c a n t l y m o r e c o m p l e x , a n d h a v e b e e n

u s e d i n f o u n d a t i o n a l s t u d i e s 5 7 .

8 . 5 T o p o i . A p r o f o u n d g e n e r a l i s a t i o n o f t h e i d e a t h a t a t h e o r y i s a c a t e g o r y

a p p e a r s i n t h e t o p o s n o t i o n d e v e l o p e d b y L a w v e r e , T i e r n e y , a n d o t h e r s . I n

a s e n s e , t h i s n o t i o n c a p t u r e s t h e e s s e n c e o f s e t t h e o r y . I t a l s o h a s s u r p r i s i n g

r e l a t i o n s h i p s t o a l g e b r a i c g e o m e t r y , c o m p u t i n g s c i e n c e , a n d i n t u i t i o n i s t i c l o g i c

3 6 , 2 , 4 2 .

9 D i s c u s s i o n

T h e t r a d i t i o n a l v i e w o f f o u n d a t i o n s r e q u i r e s g i v i n g a s y s t e m o f a x i o m s , p r e f e r a b l y

r s t o r d e r , t h a t a s s e r t t h e e x i s t e n c e o f c e r t a i n p r i m i t i v e o b j e c t s w i t h c e r t a i n p r o p -

e r t i e s , a n d o f c e r t a i n p r i m i t i v e c o n s t r u c t i o n s o n o b j e c t s , s u c h t h a t a l l o b j e c t s o f

i n t e r e s t c a n b e c o n s t r u c t e d , a n d a l l t h e i r r e l e v a n t p r o p e r t i e s d e r i v e d , w i t h i n t h e

s y s t e m . T h e a x i o m s s h o u l d b e a s s e l f - e v i d e n t , a s f e w i n n u m b e r , a n d a s s i m p l e , a s

p o s s i b l e , i n o r d e r t o n u r t u r e b e l i e f i n t h e i r c o n s i s t e n c y , a n d t o m a k e t h e m a s e a s y

t o u s e a s p o s s i b l e . T h i s a p p r o a c h i s i n s p i r e d b y t h e c l a s s i c a l G r e e k a c c o u n t o f p l a n e

g e o m e t r y .

T h e b e s t k n o w n f o u n d a t i o n f o r m a t h e m a t i c s i s s e t t h e o r y , w h i c h h a s b e e n v e r y

s u c c e s s f u l a t c o n s t r u c t i n g t h e o b j e c t s o f g r e a t e s t i n t e r e s t i n m a t h e m a t i c s . I t h a s ,

h o w e v e r , f a i l e d t o p r o v i d e a c o m m o n l y a g r e e d u p o n s e t o f s i m p l e , s e l f - e v i d e n t a x i o m s .

F o r e x a m p l e , c l a s s i c a l f o r m u l a t i o n s o f s e t t h e o r y s u c h a s Z e r m e l l o - F r a n k e l h a v e

1 4


15/20

b e e n u n d e r v i g o r o u s a t t a c k b y i n t u i t i o n i s t s f o r n e a r l y e i g h t y y e a r s . M o r e r e c e n t l y ,

t h e r e h a s b e e n d e b a t e a b o u t w h e t h e r t h e G e n e r a l i s e d C o n t i n u u m H y p o t h e s i s i s

t r u e , " f o l l o w i n g t h e o r i g i n a l l y s t a r t l i n g p r o o f b y P a u l C o h e n t h a t i t i s i n d e p e n d e n t

o f o t h e r , m o r e w i d e l y a c c e p t e d a x i o m s o f s e t t h e o r y . S t i l l m o r e r e c e n t l y , t h e r e

h a s b e e n d e b a t e a b o u t t h e A x i o m o f F o u n d a t i o n , w h i c h a s s e r t s t h a t t h e r e i s n o

i n n i t e s e q u e n c e o f s e t s S

1

; S

2

; S

3

; : : : s u c h t h a t e a c h S

i + 1

i s a n e l e m e n t o f S

i

. I n

f a c t , A c z e l 1 a n d o t h e r s h a v e u s e d a n A n t i - F o u n d a t i o n A x i o m , w h i c h p o s i t i v e l y

a s s e r t s t h e e x i s t e n c e o f s u c h n o n - w e l l f o u n d e d s e t s , t o m o d e l v a r i o u s p h e n o m e n a i n

c o m p u t a t i o n , i n c l u d i n g c o m m u n i c a t i n g p r o c e s s e s i n t h e s e n s e o f M i l n e r 5 4 . I t h i n k

i t i s f a i r t o s a y t h a t m o s t m a t h e m a t i c i a n s n o l o n g e r b e l i e v e i n t h e h e r o i c i d e a l o f

a s i n g l e g e n e r a l l y a c c e p t e d f o u n d a t i o n f o r m a t h e m a t i c s , a n d t h a t m a n y n o l o n g e r

b e l i e v e i n t h e p o s s i b i l i t y o f n d i n g u n s h a k a b l e c e r t a i n t i e s " 4 u p o n w h i c h t o f o u n d

a l l o f m a t h e m a t i c s .

S e t t h e o r e t i c f o u n d a t i o n s h a v e a l s o f a i l e d t o p r o v i d e f u l l y s a t i s f y i n g a c c o u n t s o f

m a t h e m a t i c a l p r a c t i c e i n c e r t a i n a r e a s , i n c l u d i n g c a t e g o r y t h e o r y i t s e l f , a n d m o r e -

o v e r h a v e e n c o u r a g e d r e s e a r c h i n t o a r e a s t h a t h a v e l i t t l e o r n o t h i n g t o d o w i t h m a t h -

e m a t i c a l p r a c t i c e , s u c h a s l a r g e c a r d i n a l s . M a c L a n e 4 8 g i v e s a l i v e l y d i s c u s s i o n

o f t h e s e i s s u e s ; s e e a l s o 3 7 f o r a n o v e r v i e w o f v a r i o u s a p p r o a c h e s t o f o u n d a t i o n s .

I n a n y c a s e , a t t e m p t s t o n d a m i n i m a l s e t o f l e a s t d e b a t a b l e c o n c e p t s u p o n w h i c h

t o e r e c t m a t h e m a t i c s h a v e l i t t l e d i r e c t r e l e v a n c e t o c o m p u t i n g s c i e n c e . O f c o u r s e ,

t h e i s s u e n o l o n g e r s e e m s a s u r g e n t a s i t o n c e d i d , b e c a u s e n o n e w p a r a d o x e s h a v e

b e e n d i s c o v e r e d f o r a l o n g t i m e .

T h i s p a p e r h a s t r i e d t o s h o w t h a t c a t e g o r y t h e o r y p r o v i d e s a n u m b e r o f b r o a d l y

u s e f u l , a n d y e t s u r p r i s i n g l y s p e c i c , g u i d e l i n e s f o r o r g a n i s i n g , g e n e r a l i s i n g , a n d d i s -

c o v e r i n g a n a l o g i e s a m o n g a n d w i t h i n v a r i o u s b r a n c h e s o f m a t h e m a t i c s a n d i t s a p -

p l i c a t i o n s . I w i s h t o s u g g e s t t h a t t h e e x i s t e n c e o f s u c h g u i d e l i n e s c a n b e s e e n t o

s u p p o r t a n a l t e r n a t i v e , m o r e p r a g m a t i c v i e w :

F o u n d a t i o n s s h o u l d p r o v i d e g e n e r a l c o n c e p t s a n d t o o l s t h a t r e v e a l t h e

s t r u c t u r e s a n d i n t e r r e l a t i o n s o f v a r i o u s a r e a s o f m a t h e m a t i c s a n d i t s

a p p l i c a t i o n s , a n d t h a t h e l p i n d o i n g a n d u s i n g m a t h e m a t i c s .

I n a e l d w h i c h i s n o t y e t v e r y w e l l d e v e l o p e d , s u c h a s c o m p u t i n g s c i e n c e , w h e r e

i t o f t e n s e e m s t h a t g e t t i n g t h e d e n i t i o n s r i g h t i s t h e h a r d e s t t a s k , f o u n d a t i o n s i n

t h i s s e n s e c a n b e v e r y u s e f u l , b e c a u s e t h e y c a n s u g g e s t w h i c h r e s e a r c h d i r e c t i o n s

m a y b e f r u i t f u l , u s i n g r e l a t i v e l y e x p l i c i t m e a s u r e s o f e l e g a n c e a n d c o h e r e n c e . T h e

s u c c e s s f u l u s e o f c a t e g o r y t h e o r y f o r s u c h p u r p o s e s s u g g e s t s t h a t i t p r o v i d e s a t l e a s t

t h e b e g i n n i n g s o f s u c h a f o u n d a t i o n .

R e f e r e n c e s

1 P e t e r A c z e l . N o n - W e l l - F o u n d e d S e t s . C e n t e r f o r t h e S t u d y o f L a n g u a g e a n d

I n f o r m a t i o n , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , 1 9 8 8 . C S L I L e c t u r e N o t e s , V o l u m e 1 4 .

2 M i c h a e l B a r r a n d C h a r l e s W e l l s . T o p o s e s , T r i p l e s a n d T h e o r i e s . S p r i n g e r , 1 9 8 5 .

G r u n d l e h r e n d e r m a t h e m a t i s c h e n W i s s e n s c h a f t e r , V o l u m e 2 7 8 .

3 M i c h a e l B a r r a n d C h a r l e s W e l l s . T h e f o r m a l d e s c r i p t i o n o f d a t a t y p e s u s i n g

s k e t c h e s . I n M i c h a e l M a i n , A . M e l t o n , M i c h a e l M i s l o v e , a n d D . S c h m i d t , e d i -

t o r s , M a t h e m a t i c a l F o u n d a t i o n s o f P r o g r a m m i n g L a n g u a g e S e m a n t i c s . S p r i n g e r ,

1 9 8 8 . L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , V o l u m e 2 9 8 .

1 5


16/20

4 L u i t z e n E g b e r t u s J a n B r o u w e r . I n t u i t i o n i s t i s c h e b e t r a c h t u n g e n u b e r d e n f o r -

m a l i s m u s . K o n i n k l i j k e A k a d e m i e v a n w e t e n s c h a p p e n t e A m s t e r d a m , P r o c e e d i n g s

o f t h e s e c t i o n o f s c i e n c e s , 3 1 : 3 7 4 3 7 9 , 1 9 2 8 . I n F r o m F r e g e t o G o d e l , J e a n v a n

H e i j e n o o r t e d i t o r , H a r v a r d , 1 9 6 7 , p a g e s 4 9 0 4 9 2 .

5 R o d B u r s t a l l . A n a l g e b r a i c d e s c r i p t i o n o f p r o g r a m s w i t h a s s e r t i o n s , v e r i c a t i o n ,

a n d s i m u l a t i o n . I n J . M a c k A d a m s , J o h n J o h n s t o n , a n d R i c h a r d S t a r k , e d i t o r s ,

P r o c e e d i n g s , C o n f e r e n c e o n P r o v i n g A s s e r t i o n s a b o u t P r o g r a m s , p a g e s 7 1 4 .

A s s o c i a t i o n f o r C o m p u t i n g M a c h i n e r y , 1 9 7 2 .

6 R o d B u r s t a l l a n d J o s e p h G o g u e n . P u t t i n g t h e o r i e s t o g e t h e r t o m a k e s p e c i c a -

t i o n s . I n R a j R e d d y , e d i t o r , P r o c e e d i n g s , F i f t h I n t e r n a t i o n a l J o i n t C o n f e r e n c e

o n A r t i c i a l I n t e l l i g e n c e , p a g e s 1 0 4 5 1 0 5 8 . D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e ,

C a r n e g i e - M e l l o n U n i v e r s i t y , 1 9 7 7 .

7 R o d B u r s t a l l a n d J o s e p h G o g u e n . T h e s e m a n t i c s o f C l e a r , a s p e c i c a t i o n l a n -

g u a g e . I n D i n e s B j o r n e r , e d i t o r , P r o c e e d i n g s , 1 9 7 9 C o p e n h a g e n W i n t e r S c h o o l

o n A b s t r a c t S o f t w a r e S p e c i c a t i o n , p a g e s 2 9 2 3 3 2 . S p r i n g e r , 1 9 8 0 . L e c t u r e

N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , V o l u m e 8 6 ; b a s e d o n u n p u b l i s h e d n o t e s h a n d e d

o u t a t t h e S y m p o s i u m o n A l g e b r a a n d A p p l i c a t i o n s , S t e f a n B a n a c h C e n t e r ,

W a r s a w , P o l a n d , 1 9 7 8 .

8 P i e r r e - L u c C u r i e n . C a t e g o r i a l C o m b i n a t o r s , S e q u e n t i a l A l g o r i t h m s , a n d F u n c -

t i o n a l P r o g r a m m i n g . P i t m a n a n d W i l e y , 1 9 8 6 . R e s e a r c h N o t e s i n T h e o r e t i c a l

C o m p u t e r S c i e n c e .

9 H a n s - D i e t e r E h r i c h . O n t h e t h e o r y o f s p e c i c a t i o n , i m p l e m e n t a t i o n a n d p a r a m -

e t e r i z a t i o n o f a b s t r a c t d a t a t y p e s . J o u r n a l o f t h e A s s o c i a t i o n f o r C o m p u t i n g

M a c h i n e r y , 2 9 : 2 0 6 2 2 7 , 1 9 8 2 .

1 0 H a r t m u t E h r i g . I n t r o d u c t i o n t o t h e a l g e b r a i c t h e o r y o f g r a p h g r a m m a r s . I n

V . C l a u s , H a r t m u t E h r i g , a n d G r e g o r R o z e n b e r g , e d i t o r s , G r a p h G r a m a r s a n d

t h e i r A p p l i c a t i o n t o C o m p u t e r S c i e n c e a n d B i o l o g y , p a g e s 1 6 9 . S p r i n g e r , 1 9 7 9 .

L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , V o l u m e 7 3 .

1 1 S a m u e l E i l e n b e r g a n d S a u n d e r s M a c L a n e . G e n e r a l t h e o r y o f n a t u r a l e q u i v a -

l e n c e s . T r a n s a c t i o n s o f t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , 5 8 : 2 3 1 2 9 4 , 1 9 4 5 .

1 2 G i a n L u i g i F e r r a r i . U n i f y i n g M o d e l s o f C o n c u r r e n c y . P h D t h e s i s , U n i v e r s i t y o f

P i s a , 1 9 9 0 .

1 3 K o k i c h i F u t a t s u g i , J o s e p h G o g u e n , J e a n - P i e r r e J o u a n n a u d , a n d J o s e M e s e g u e r .

P r i n c i p l e s o f O B J 2 . I n B r i a n R e i d , e d i t o r , P r o c e e d i n g s , T w e l f t h A C M S y m p o -

s i u m o n P r i n c i p l e s o f P r o g r a m m i n g L a n g u a g e s , p a g e s 5 2 6 6 . A s s o c i a t i o n f o r

C o m p u t i n g M a c h i n e r y , 1 9 8 5 .

1 4 K o k i c h i F u t a t s u g i , J o s e p h G o g u e n , J o s e M e s e g u e r , a n d K o j i O k a d a . P a r a m -

e t e r i z e d p r o g r a m m i n g i n O B J 2 . I n R o b e r t B a l z e r , e d i t o r , P r o c e e d i n g s , N i n t h

I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n S o f t w a r e E n g i n e e r i n g , p a g e s 5 1 6 0 . I E E E C o m -

p u t e r S o c i e t y , M a r c h 1 9 8 7 .

1 5 J . R . W . G l a u e r t , K . H a m m o n d , J . R . K e n n a w a y , G . A . P a p a d o p o u l o s , a n d

M . R . S l e e p . D A C T L : S o m e i n t r o d u c t o r y p a p e r s . T e c h n i c a l R e p o r t S Y S - C 8 8 - 0 8 ,

S c h o o l o f I n f o r m a t i o n S y s t e m s , U n i v e r s i t y o f E a s t A n g l i a , 1 9 8 8 .

1 6


17/20

1 6 J o s e p h G o g u e n . M a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f h i e r a r c h i c a l l y o r g a n i z e d s y s -

t e m s . I n E . A t t i n g e r , e d i t o r , G l o b a l S y s t e m s D y n a m i c s , p a g e s 1 1 2 1 2 8 . S .

K a r g e r , 1 9 7 1 .

1 7 J o s e p h G o g u e n . M i n i m a l r e a l i z a t i o n o f m a c h i n e s i n c l o s e d c a t e g o r i e s . B u l l e t i n

o f t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y , 7 8 5 : 7 7 7 7 8 3 , 1 9 7 2 .

1 8 J o s e p h G o g u e n . R e a l i z a t i o n i s u n i v e r s a l . M a t h e m a t i c a l S y s t e m T h e o r y , 6 : 3 5 9

3 7 4 , 1 9 7 3 .

1 9 J o s e p h G o g u e n . O n h o m o m o r p h i s m s , c o r r e c t n e s s , t e r m i n a t i o n , u n f o l d m e n t s

a n d e q u i v a l e n c e o f o w d i a g r a m p r o g r a m s . J o u r n a l o f C o m p u t e r a n d S y s t e m

S c i e n c e s , 8 : 3 3 3 3 6 5 , 1 9 7 4 . O r i g i n a l v e r s i o n i n P r o c e e d i n g s , 1 9 7 2 I E E E S y m p o -

s i u m o n S w i t c h i n g a n d A u t o m a t a , p a g e s 5 2 6 0 ; c o n t a i n s a n a d d i t i o n a l s e c t i o n

o n p r o g r a m s c h e m e s .

2 0 J o s e p h G o g u e n . S e m a n t i c s o f c o m p u t a t i o n . I n E r n e s t G . M a n e s , e d i t o r , P r o -

c e e d i n g s , F i r s t I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m o n C a t e g o r y T h e o r y A p p l i e d t o C o m -

p u t a t i o n a n d C o n t r o l , p a g e s 2 3 4 2 4 9 . U n i v e r s i t y o f M a s s a c h u s e t t s a t A m h e r s t ,

1 9 7 4 . A l s o i n L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , V o l u m e 2 5 , S p r i n g e r , 1 9 7 5 ,

p a g e s 1 5 1 1 6 3 .

2 1 J o s e p h G o g u e n . R e u s i n g a n d i n t e r c o n n e c t i n g s o f t w a r e c o m p o n e n t s . C o m p u t e r ,

1 9 2 : 1 6 2 8 , F e b r u a r y 1 9 8 6 . R e p r i n t e d i n T u t o r i a l : S o f t w a r e R e u s a b i l i t y , P e t e r

F r e e m a n , e d i t o r , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y , 1 9 8 7 , p a g e s 2 5 1 2 6 3 , a n d i n D o m a i n

A n a l y s i s a n d S o f t w a r e S y s t e m s M o d e l l i n g , R u b e n P r i e t o - D a z a n d G u i l l e r m o

A r a n g o , e d i t o r s , I E E E C o m p u t e r S o c i e t y , 1 9 9 1 , p a g e s 1 2 5 1 3 7 .

2 2 J o s e p h G o g u e n . W h a t i s u n i c a t i o n ? A c a t e g o r i c a l v i e w o f s u b s t i t u t i o n , e q u a -

t i o n a n d s o l u t i o n . I n M a u r i c e N i v a t a n d H a s s a n A t - K a c i , e d i t o r s , R e s o l u t i o n

o f E q u a t i o n s i n A l g e b r a i c S t r u c t u r e s , V o l u m e 1 : A l g e b r a i c T e c h n i q u e s , p a g e s

2 1 7 2 6 1 . A c a d e m i c , 1 9 8 9 . A l s o R e p o r t S R I - C S L - 8 8 - 2 R 2 , S R I

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