GPGPU によるメッシュ法を用いた磁束クリープ

フローのパラメータ推定における計算の高速化

電子情報工学科 小田部研究室

学籍番号 10232057

鶴田 祐基

平成 29 年 2 月 16 日

電子情報工学科

- i -

目次

目次 ................................................................................................................................... i

序論 .................................................................................................................................. 1

1.1 はじめに........................................................................................................................ 1

1.2 磁束ピンニング ............................................................................................................ 1

1.3 磁束クリープ・フローモデル .................................................................................... 2

1.3.1 磁束クリープによる磁界 .................................................................................... 2

1.3.2 磁束フローによる電界 ........................................................................................ 5

1.3.3 ピンポテンシャル ................................................................................................ 6

1.3.4 磁束クリープ・フローモデル ............................................................................ 8

1.4 不可逆磁界 .................................................................................................................... 9

1.5 メッシュ法 .................................................................................................................. 10

1.6 シンプソン法 .............................................................................................................. 10

1.7 GPGPU (General-purpose computing on graphics processing units) .......................... 12

1.8 GPU の構造 ................................................................................................................. 13

1.8.1 ストリーミングマルチプロセッサ（SM） .................................................... 13

1.8.2 レジスタ .............................................................................................................. 14

1.8.3 共有メモリ .......................................................................................................... 14

1.8.4 テキスチャメモリ .............................................................................................. 14

1.8.5 コンスタントメモリ .......................................................................................... 14

1.8.6 グローバルメモリ .............................................................................................. 14

1.8.7 キャッシュ .......................................................................................................... 14

1.9 CUDA .......................................................................................................................... 15

1.10 GPU における並列化の階層 ..................................................................................... 15

1.11 実験の目的 .............................................................................................................. 15

第 2 章 計算手法 ....................................................................................................... 16

2.1 評価値𝑑の計算方法 ................................................................................................... 16

2.2 プログラムの流れ ...................................................................................................... 17

2.3 実行環境...................................................................................................................... 18

2.4 解析に用いるデータ .................................................................................................. 18

第 3 章 結果・考察 ................................................................................................... 19

- ii -

3.1 CPU と GPU の計算時間の比較 ............................................................................... 19

3.2 GPU で一度に計算する条件について ..................................................................... 22

第 4 章 まとめ ........................................................................................................... 25

謝辞 ................................................................................................................................ 26

参考文献 ........................................................................................................................ 27

図目次 図 1.1 磁束クリープにおける磁束バンドルとエネルギーの関係 ............................ 3

図 1.2 磁束クリープにおける磁束バンドルとエネルギーの関係 ........................ 5

図 1.3 磁束線と平行方向の相関距離と超伝導層の厚さによって変わる磁束バン

ドルの体積 ................................................................................................................... 7

図 1.4 不可逆領域と可逆領域 ........................................................................................ 9

図 1.5 2 つのパラメータを格子状に組み合わせた概略図 ....................................... 10

図 1.6 積分区間を 3 等分した場合のシンプソン法 .................................................. 11

図 1.7 GeForce GTX 960 ................................................................................................ 12

図 1.8 GPU の構造 ......................................................................................................... 13

図 2.1 距離dの模式図 .................................................................................................... 16

図 2.2 プログラムの流れ .............................................................................................. 17

図 3.1 パラメータの分割数と CPU、GPU の計算時間 ............................................ 19

図 3.2 パラメータの分割数と評価値の関係 .............................................................. 20

図 3.3 分割数を変化させた場合の磁束クリープ・フローモデルによる理論値のE-

J特性と実験値のE-J特性との比較 ........................................................................... 21

図 3.4 GPU で一度に計算する条件を変更した結果 ................................................. 23

表目次 表 2.1 パラメータの範囲 .............................................................................................. 16

表.2.2 実行環境 ............................................................................................................... 18

表.2.3 使用する線材の諸元 ........................................................................................... 18

表 3.1 分割数が 8、11、14 の時のdの値 .................................................................... 21

表 3.2 それぞれのプログラムにおける計算条件 ...................................................... 22

- 1 -

序論

1.1 はじめに

1908 年にオランダの Leiden 大学の Kamerlingh Onnes が世界で始めてヘリウムの液

体化に成功した。また、彼は 1911 年に液体ヘリウムを用いて水銀の電気抵抗を測定

する過程において、4.2 K 以下の条件下で電気抵抗がほぼ 0 となることを発見した。

さらに 1933 年には Fritz Walther Meissner によって超伝導体の完全反磁性（Meissner 効

果）が発見されている。この 2 つの現象を超伝導現象と呼ぶ。超伝導体は電気抵抗が

ないため、電流を損失なく通電することができると期待されていた。しかし、超伝導

体はある磁界を越えると超伝導状態を維持できないことが分かった。超伝導状態から

常伝導状態に替わる温度を臨界温度𝑇c、磁界を臨界磁界𝐵𝑐と呼ぶ。超伝導状態になる

条件はあるものの、電気抵抗が 0 となることは有用性が高いため、現在でも研究は続

けられている。

その後も超伝導現象の発現についてはしばらく不透明なままであったが、1977 年

に John Bardeen，Leon Neil Cooper，John Robert Schrieffer の 3 人によって提唱された

BCS 理論によって超伝導現象のメカニズムが明らかにされた。BCS 理論によると、

𝑇cは 30 K を超えないだろうと予想されていた。しかし、1986 年に Johannes Georg

Bednorz と Karl Alex Müllar によって臨界温度が 30 K を超える酸化物超伝導体が発見

された。その 1 年後には常圧下の液体窒素の沸点（77.3 K）を超える酸化物超伝導体

として、YBa2Cu3O7−δやBi2Cr2Ca2Cu3O10+δ(𝛿は微小量)などの酸化物超伝導体が発見

された。これらは銅酸化物超伝導体もしくは高温超電導体と呼ばれ、安価な液体窒素

中で超伝導状態を示すことから応用が期待されている。

また、2001 年に青山学院大学の秋光純教授のグループがMgB2を発見し、2008 年に

は東京工業大学の細野秀雄教授らが鉄ヒ素系超伝導体の発見されている。このように、

現在に至るまで超伝導体の発見や研究が盛んにおこなわれている。

1.2 磁束ピンニング

超伝導体は磁気的な振る舞いによって第一種超伝導体と第二種超伝導体に分類され

る。第一種超伝導体の場合。超伝導状態においては常に完全反磁性を示すが、𝐵cを越え

ると超伝導状態が消失する。第二種超伝導体では、下部臨界磁場𝐵c1までは第一種超伝

導体と同じように完全反磁性を示すが、これ以上の磁場を加えると、超伝導状態と常伝

- 2 -

導状態が混在する混合状態となり、上部臨界磁場𝐵c2を超えると完全に常伝導状態にな

る。

第一種超伝導体の𝐵cと第二種超伝導体の𝐵c1は𝐵c2と比較すると非常に小さい。したが

って、工業用の用途としては、𝐵c1と𝐵c2の間の混合状態で用いられる。混合状態では、

常伝導状態の部分に磁束線が進入する。この状態で電流を流すと、磁束線は Lorentz 力

𝑭Lを受ける。Lorentz 力𝑭Lは超伝導体に流れる電流密度𝐽と進入した磁束密度𝐵を用いて

𝑭L = 𝑱 × 𝑩と表すことができる。𝐹Lを受けた磁束線が速度𝑣で動いたとすると、電磁誘導

によって、𝑬＝𝑩 × 𝒗の電界が生じる。しかし、実際には磁束線の運動を妨げるように

Lorentz 力とは反対向きに同じ大きさの力が働く。この力をピン力といって、ピン力が

働く作用のことを磁束ピンニングという。また、ピンニングに作用する、常伝導析出物

や結晶粒界などの超伝導状態にならない部分のことをピンニングセンターと呼ぶ。単位

面積あたりのピン力を𝐹pとよぶ。𝐽𝐵 = |𝑱 × 𝑩|とすると、𝐽𝐵が𝐹pの最大値を超えなければ

電界は発生しない。したがって、電気抵抗 0 で流すことのできる最大の電流密度𝐽cは、

𝐽c＝𝐹p/𝐵と表すことができる。𝐽cを臨界電流密度といい、超伝導体の応用において、𝑇c

や𝐵c2と同じくらい重要なパラメータである。𝐹pを向上させることにより、𝐽cは増加す

る。ピンニングセンターは超伝導体の不均一さ、つまり欠陥であり、人工的に不純物を

加えてもピンニングセンターとして機能する。ピンニングセンターを人工的に導入する

ことで、より大きな𝐽cを得ることが知られ、人工ピン導入についての研究がなされてい

る[1]。

1.3 磁束クリープ・フローモデル

1.3.1 磁束クリープによる磁界

磁束クリープとは、ピンニングセンターによって固定されている磁束線が熱振動によ

って確率的にピンニングセンターから外れてしまう磁束線の運動のことである。理論的

には外部環境が変化しない限り、超伝導電流は減衰しないと考えられるが、実際に超伝

導電流を長時間測定すると減衰している。外部環境が変化していないにもかかわらず、

超伝導電流が時間によって減衰しており、ピンニングによる超伝導電流が恒常的なもの

でないことを示している。また、高温になると熱運動が盛んになるため超伝導電流の減

衰が著しくなり、高温超伝導体の場合には𝐽cが 0 になることもある。

超伝導体には磁束線が量子化して進入するため、磁束クリープの際にも、磁束線は束

になって移動すると考えられている。この磁束線の束を磁束バンドルという。電流が流

れている状態における一つの磁束バンドルについて考える。この時の磁束バンドルの変

化は図 1.1 のように表すことができる。磁束線は Lorentz 力を受けているため、図のよ

うに右下がりの図のようになる。磁束線がピン止めされた状態から抜け出すためには、

- 3 -

エネルギーバリアの𝑈や𝑈′を超えなければならない。熱振動がなければ、図の状態で安

定となる。

磁束バンドルは温度𝑇の下では、熱エネルギー𝑘B𝑇（𝑘Bはボルツマン定数）に依存し

た確率で𝑈を超える。この確率は、Arrhenius の式より、exp(−𝑈/𝑘B𝑇)で与えられる。超

伝導体に進入した磁束線は、格子間隔afの三角格子を作るので、磁束バンドルはaf移動

することで次の安定状態に移動すると考えられる。したがって、磁束バンドルの熱振動

数を𝑣0とおくと、この時の Lorentz 力方向の平均の磁束線の移動速度𝑣+は、

𝑣+ = 𝑎fν0 exp (−

𝑈

𝑘B𝑇) (1.1)

となる。Lorentz 力の反対方向の磁束バンドルの平均の移動速度も考慮すると、全体で

の移動速度𝑣は、

𝑣 = 𝑎fν0 [exp (−

𝑈

𝑘B𝑇) − exp(−

𝑈′

𝑘B𝑇)] (1.2)

となる。𝑣0とafはそれぞれ、

𝜈0 =

𝜁𝜌f𝐽c02π𝑎f𝐵

(1.3)

𝑎f = (2𝜑0

√3𝐵)

12 (1.4)

で与えられる。ただし、𝜁は、ピンニングセンターの形状によって決まる定数であ

り、点状のピンニングセンターの場合はζ ≅ 2π、ピンニングセンターがaf以上の

非超伝導粒子の場合は、ζ = 4となることが知られている。𝜌fはフロー抵抗であ

り、𝐽c0は磁束クリープがないと仮定した場合の仮想的な臨界電流密度である。

この𝐽c0は、経験的に求められており、

𝑈

𝑎f

𝑈’ 𝑈0

flux Bundle

図 0.1 磁束クリープにおける磁束バンドルとエネルギーの関係

- 4 -

𝐽c0 = 𝐴(1 − (

𝑇

𝑇𝑐)TCN_T

)

𝑚

𝐵𝛾−1 (1 −𝐵

𝐵c2)TCN_B

(1.5)

と表現されている。ここで、𝐴と𝛾はピンニングパラメータと呼ばれるパラメータ、

TCN_T と TCN_B はスケール則内での次数である。例えば、銅酸化物超伝導体におい

ては、TCN_T＝2、TCN_B＝2 である。したがって、𝑬＝𝑩× 𝒗の関係と(1,1)式より、生

じきる電界の大きさは、

𝐸 = 𝐵𝑎fν0 [exp (−

𝑈

𝑘B𝑇) − exp(−

𝑈′

𝑘B𝑇)] (1.6)

となる。すなわち、磁束クリープによって式(1,6)で与えられる電界が生じていること

になる。

磁束バンドルの中心位置𝑥に対するエネルギー変化は、一般的には図 1.1 であらわさ

れる正弦洗濯板状ポテンシャルになり、

𝐹(𝑥) =

𝑈02sin(𝑘𝑥) − 𝑓𝑥 (1.7)

で近似的に与えられる。ただし、𝑈0/2はポテンシャルの振幅、𝑘 = 2𝜋/𝑎fは波数、𝑓 = 𝐽𝐵𝑉

は Lorentz 力である。磁束バンドルが平衡状態にある時を𝑥 = −𝑥0とすると、𝑥 = 𝑥0でエ

ネルギーは極大となる。したがって、それぞれの位置でのエネルギーの変化量は 0 とな

る（𝐹′(𝑥) =0）から、𝑥0は、

𝑥0 =

𝑎f2π

cos−1 (𝑓𝑎f𝑈0π

) (1.8)

と求まる。また、𝑈 = 𝐹(𝑥0) − 𝐹(−𝑥0)であるから、𝑈は、

𝑈 = 𝑈0 sin[cos

−1 (𝑓𝑎f𝑈0π

) ] −𝑓𝑎fπ

cos−1 (𝑓𝑎f𝑈0π

)

= 𝑈0 [{1 − (2𝑓

𝑈0𝑘)2

}

12

−2𝑓

𝑈0𝑘cos−1 (

2𝑓

𝑈0𝑘)] (1,9)

と表される。ただし、sin(cos−1 𝑥) = √1 − 𝑥2を用いた。熱振動がないと仮定すると、𝑈 =

0の理想的な臨界状態となると考えられる。そのための条件は、

2𝑓

𝑈0𝑘=2𝐽c0𝐵𝑉

𝑈0𝑘= 1

を満たすことである。したがって、

2𝑓

𝑈0𝑘=

𝐽

𝐽c0= 𝑗 (1.10)

したがって、(1,9)式は(1,10)式を使うと、

𝑈(𝑗) = 𝑈0 [(1 − 𝑗2)

12 − 𝑗 cos−1(𝑗)] (1.11)

- 5 -

また、𝑘 = 2π/𝑎fと、(1,10)式より、

𝑈′(𝑗) ≅ 𝑈 + 𝑓𝑎f = 𝑈 + π𝑈0𝑗 (1.12)

となる。(1.12)式を利用して、(1.6)式を整理すると、

𝐸 = 𝐵𝑎f𝜈0 exp (−

𝑈

𝑘B𝑇) [1 − exp (−

π𝑈0𝑗

𝑘B𝑇)] (1.13)

となり、磁束クリープによる電界を求めることができる。

1.3.2 磁束フローによる電界

磁束クリープの状態からさらに電流を流すと、ピン力が Lorentz 力を支えきれなくな

り、磁束線が連続的に運動している状態になる。これを磁束フローと呼ぶ。磁束フロー

の状態のとき、図 1.2 に示すようにポテンシャルは変異に対して単調減少する。

磁束フローで発生する電界のみを評価するため、磁束クリープがない状態を考える。

超伝導体に電流が流れ、外部磁界が印加されている時、単位面積当たりの磁束線に働く

Lorentz 力は𝑱 × 𝑩で与えられる。また、1.3.1 節で述べたように、磁束線は Lorentz 力と

逆方向にピンニング力を受ける。Lorentz 力の方向の単位ベクトルを𝛅 = 𝒗/|𝒗|とすると、

つりあいの式は、

𝑱 × 𝑩 − 𝜹𝐹p = 0 (1.14)

となる。この時の電流密度は、𝐽c0となることから、|𝑱| = 𝐹p0/𝐵 = 𝐽C0の関係が得られる。

磁束フローの影響を考えると、粘性力が働くため、

𝑈’ 𝑈0

図 0.2 磁束クリープにおける磁束バンドルとエネルギーの関係

- 6 -

𝑱 × 𝑩 − 𝜹𝐹p −

𝐵

𝜙0𝜂𝑣 = 0 (1.15)

となる。ただし、ηは粘性係数である。𝐽c0＝𝐹p0/𝐵と、𝐸＝𝐵 × 𝑣を使って、𝐽について解

くと、

𝐽＝𝐽c0 +

𝐸

𝜌f (1.16)

となる。ここで、𝜌f = 𝐵𝜙0/𝜂はフロー比抵抗である。また、𝜌fは、常伝導状態の抵抗密

度𝜌0を用いて、𝜌f = 𝜌0𝑇𝐵/𝑇c𝐵c2で求まる。(1.16)式を𝐸について解くと、

𝐸 = 𝜌f(𝐽 − 𝐽c0) (1.17)

となり、磁束フローで発生する電界が求まる。

1.3.3 ピンポテンシャル

ピンニングセンターの持つピンポテンシャルは、磁束クリープによる超伝導電流の緩

和や不可逆曲線を決定する際に重要となる。この、ピンポテンシャルのエネルギー𝑈0は、

単位体積あたりの平均化したピンポテンシャル𝑈0̂と、磁束バンドルの体積𝑉の積で表す

ことができ、

𝑈0 = 𝑈0̂𝑉 (1.18)

となる。この𝑈0̂は、Labusch パラメータαLと、相互作用距離𝑑iを用いて、

𝑈0̂ =

1

2𝛼L𝑑i

2 (1.19)

と表すことができる。ピン力密度𝐹pと𝐽c0の関係は、

𝐹p = 𝐽c0𝐵

= αL𝑑i (1.20)

また、𝑑iは、𝑑i = af/𝜁の関係があるので(1.20)式とこれらの関係から、𝑈0は、

𝑈0 =

1

2𝜁𝐽c0𝐵𝑎f𝑉 (1.21)

と表すことができる。この式から、𝑈0は、ピン力の強さだけでなく、磁束バンドルの体

積にも左右されることが分かる。

磁束バンドルはある領域内で秩序が保たれた磁束線の集団であり、運動する際には、

集団で移動する。この秩序は磁束格子のピンニング相互作用によってもたらされており、

磁束バンドルの大きさはピンニング相関距離によって決定される。磁束線と平行方向お

よび垂直方向の相関距離をそれぞれ、𝐿、𝑅とするとこの 2 つの相関距離によって、磁束

バンドルの体積が求められる。また、磁束バンドルの体積が求まると、式（1.21）から、

理論的な𝑈0の値を求めることができる。この磁束バンドルの体積を模式的に表した図を

図 1.3 に示す。

- 7 -

𝑅は磁束格子間距離afと等しいかその実数倍と考えられており、

𝑅 = 𝑔𝑎f (1.22)

であらわす。𝑔2は磁束バンドル中の磁束線数である。𝑔2は、熱力学的な原理から磁束ク

リープ下での𝐽cが最大となるように決定されると考えられている。その式は、

𝑔2 = 𝑔e

2 [5𝑘B𝑇

2𝑈elog (

𝐵𝑎fν0𝐸c

)] (1.23)

であらわされる。ただし、𝑔e2は、完全格子を組んだ際の𝑔2の値であり、𝑈eは、𝑔2 = 𝑔e

2

のときの𝑈0の値である。また、𝑔e2は、

𝑔e2 =

𝐶660

2π𝐽c0𝐵𝑎f (1.24)

で与えられる。𝐶660 は完全格子の剪断定数であり、

𝐶660 =

𝐵c2𝐵

4𝜇𝐵c2(1 −

𝐵

𝐵c2) (1.25)

であらわされる。ただし、𝐵cは熱力学的磁場である。

一方で、𝐿は弾性理論より、

𝐿 = (𝐶44𝛼L

)

12= (

𝐵𝑎f𝜁𝜇0𝐽c0

)

12 (1.26)

となる。ここで、𝐶44は磁束線の曲げ歪みに対する弾性定数であり、𝐶44 = B2/𝜇0で与え

られる。𝐿は、超伝導体が薄い場合にはその厚さ𝑑に制限がかかる場合があり、バンドル

サイズは、𝐿 < 𝑑と、𝐿 < 𝑑の場合でそれぞれ異なる。𝐿 < 𝑑の場合、ピンニングは三次元

図 0.3 磁束線と平行方向の相関距離と超伝導層の厚さによって変わる磁束バンドルの体積

𝐿

𝑅

𝑅

𝑑

𝐿 < 𝑑

𝐿

𝑅 𝑅

𝑑

𝐿 < 𝑑

𝑩

- 8 -

ピンニングとなり、図 1.3 のように平行方向のバンドルサイズは𝐿となる。したがって、

𝑈0は、

𝑈0 =

0.835𝑔2𝑘B𝐽c01/2

𝜁3/2𝐵1/4 (1.27)

となる。次に、𝐿 < 𝑑の場合には、2 次元ピンニングとなり平行方向のバンドルサイズ

は、𝑑となる。よって、𝑈0は、

𝑈0 =

4.23𝑔2𝑘B𝐽c0𝑑

𝜁𝐵1/2 (1.28)

ただし、

(2/√3)7/4

(𝜙07/𝜇0

2)1/4

2≈ 0.835𝑘B

(2

√3)

32𝜙0

32

2≈ 4.23𝑘B

の数値的関係を用いた。ここで、𝑘Bを用いているのは、𝑈0を熱エネルギー𝑘B𝑇と関連つ

けるためである。

1.3.4 磁束クリープ・フローモデル

以上に述べてきたように、超伝導体で発生する電界については、磁束クリープによる

ものと磁束フローによるものの 2 つがある。この 2 つを考慮して超伝導体に発生する電

界を理論付けする計算モデルが磁束クリープ・フローモデルである。1.3.1 項、1.3.2 項

から、磁束クリープによる電界𝐸cr、磁束フローによる電界𝐸ffは、

𝑗 ≤ 1の範囲では、

𝐸cr = 𝐵𝑎fν0 exp (−

𝑈(𝑗)

𝑘B𝑇) [1 − exp (−

π𝑈0𝑗

𝑘BT)] (1.29)

𝐸ff = 0 (1.30)

𝑗 > 1の範囲では、

𝐸cr = 𝐵𝑎fν0 [1 − exp (−

π𝑈0𝑘BT

)] (1.31)

𝐸ff = 𝜌f(𝐽 − 𝐽c0) (1.32)

と表すことができる。ただし、(1.32)式は𝐸crが残留するためにこのような式であると仮

定されている。これらの 2 つによって生じる電界𝐸′を

𝐸′ = √𝐸cr2 + 𝐸ff

2 (1.33)

とする。

酸化物超伝導体では、超伝導体内部は不均一であるために、ピン力は分布していると

- 9 -

考えられる。したがって、ピン力の分布は正規分布に従うと考えて、

𝑓(𝐴) = 𝐾exp [−

(log 𝐴 − log𝐴m)2

2𝜎2] (1.34)

で表現することにする。ここで、𝐾は規格化定数、𝜎2はピン力の分散、𝐴mはピン力の最

頻値を表す。この𝐴の分布を考慮すると、発生する電界は、

𝐸(𝐽) = ∫ 𝐸′𝑓(𝐴)d𝐴

∞

0

(1.35)

となり、この式を計算することで、理論的な𝐸- 𝐽特性が得られる[2]。

1.4 不可逆磁界

第二種超伝導体は、第一種超伝導体と比較して、超伝導状態を維持することができる。

第二種超伝導体は、混合状態では超伝導部分が残っているために上部臨界磁場𝐵𝑐2まで

に抵抗 0 で流すことができる電流が存在すると考えられていた。実際には、𝐵c2以下で

あってもピンニングが働かなくなり𝐽cが 0 となる。この𝐽c = 0と𝐽c ≠ 0の境界の磁界のこ

とを不可逆磁界𝐵iと呼び、温度ごとの不可逆磁界の値をつないだ曲線のことを不可逆曲

線と呼ぶ。これらをまとめて、図 1.4 に示す。

図 0.4 不可逆領域と可逆領域

𝐵

𝑇

可逆領域

𝐽c = 0

𝐵i(𝑇)

𝐵c2(𝑇)

不可逆領域

𝐽c ≠ 0

- 10 -

1.5 メッシュ法

メッシュ法とは、パラメータの範囲を等間隔で分割し、分割した複数のパラメータを

組み合わせることで多次元の格子状にし、パラメータの全ての組み合わせを計算する手

法である。計算の精度を上げる場合には、メッシュの目を細かくすればいいため、分割

数を大きくするだけで実装できる。ただし、分割数を大きくすると、計算時間も増大す

る欠点がある。具体的には、𝑛種類のパラメータ全てを𝑘分割すると、(𝑘 + 1)𝑛回の計算

が必要となる[3]。

例として、𝐴mと𝜎2の 2 種類のパラメータを利用し、2 次元格子点を形成した図を図

1.5 に示す。今回求めるピンニングパラメータは 4 つであるため、4 次元の格子を設け

る。

メッシュ法を用いる利点としては、パラメータの範囲を分割して計算するだけである

ためアルゴリズムの実装が簡単であり、全体を一様に計算するため、局所解に陥らない

という利点がある。欠点としては、分割数が増大すると、計算時間が指数的に増大する

欠点がある。

1.6 シンプソン法

シンプソン法とは、ある関数𝑓(𝑥)をラグランジュ補間よって多項式に近似し、近似し

た多項式の積分値を求めることで、関数𝑓(𝑥)を数値的に積分する方法である。

𝑓(𝑥)の区間[𝑎, 𝑏]上の点を𝑛等分した場合、生成される多項式𝑃𝑛(𝑥)は、

図 0.5 2 つのパラメータを格子状に組み合わせた概略図

- 11 -

𝑃𝑛(𝑥) = ∑𝑓(𝑥𝑗)𝑙𝑗(𝑥)

𝑛

𝑗=0

(1.36)

(1.36)式の多項式𝑙𝑗(𝑥)は、

𝑙𝑗(𝑥) =

(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)… (𝑥 − 𝑥𝑗−1)(𝑥 − 𝑥𝑗+1)… (𝑥 − 𝑥𝑛)

(𝑥𝑗 − 𝑥0)(𝑥𝑗 − 𝑥1)… (𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1)(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗+1)… (𝑥𝑗 − 𝑥𝑛) (1.37)

で表される。𝑛 = 3の場合の多項式𝑃3(𝑥)を利用すると、積分値は、

∫ 𝑓(𝑥)d𝑥

𝑏

𝑎

≅ ∫ 𝑃3(𝑥)d𝑥𝑏

𝑎

=3ℎ

8[𝑓(𝑎) + 3𝑓(𝑎 + ℎ) + 3𝑓(𝑎 + 2ℎ) + 𝑓(𝑏)] (1.38)

となる。ただし、ℎ = (𝑎 − 𝑏)/3とする。このときの概略を図 1.6 に示す。

図 0.6 積分区間を 3 等分した場合のシンプソン法

シンプソン法の誤差は、積分区間が広がるほど大きくなる。したがって、誤差を小さく

するために、区間[𝑎, 𝑏]を3𝑡（𝑡は自然数）等分して、区間 (𝑥3𝑖, 𝑥3𝑖+3)(𝑥0 = 𝑎, 𝑥3𝑡 = 𝑏)に

シンプソン法を適応し、その和を考えると、

∫ 𝑓(𝑥)d𝑥𝑎

𝑏

≅ ∑3ℎ

8{𝑓(𝑥3𝑖) + 3𝑓(𝑥3𝑖+1) + 3𝑓(𝑥3𝑖+2) + 𝑓(𝑥3𝑖+3)}

𝑛−1

𝑖=0

- 12 -

=3(𝑎 − 𝑏)

8𝑡[𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) +∑{3𝑓(𝑥3𝑖+1) + 3𝑓(𝑥3𝑖+2) + 2𝑓(𝑥3𝑖)}

𝑛−1

𝑖=1

] (1.39)

のようになる。(1.39)式は係数が 3/8 となっているので、シンプソン 3/8 則と呼ばれる。

1.7 GPGPU (General-purpose computing on graphics processing units)

GPU(Graphics Processing Unit)はコンピュータに積まれているユニットで、主に画像処

理や描写につかわれている。GPU の例として、本研究で使用する GeForce GTX 960 を

図 1.7 に示す。GPU には、画像処理に特化したプロセッサが多数詰まれており、一つ一

つのプロセッサの性能は CPU に劣るが、大量にあるプロセッサを生かした並列処理が

得意である。主に画像処理に使われている多数のプリプロセッサを計算やシミュレーシ

ョンなどに利用することを GPGPU と呼ぶ。

図 0.7 GeForce GTX 960

並列化できる箇所を GPGPU により並列化すれば、高速化は達成できる。しかし、

GPGPU による最適化は非常に難しい。GPGPU を扱う上で処理速度に影響しやすい箇所

の例として、分岐処理、メモリアクセスの 2 つを挙げる。

GPU による分岐処理は、条件を考えずに、処理を実行し、条件が不適当な場合は入力

や出力を行わないようにして正しい結果を保証している。しかし、処理が増えるので、

処理時間が余分にかかってしまう。実際のプログラミングにおいては、分岐命令を減ら

すことや実行される頻度の低い部分はできるだけ短くするなどの工夫が必要である。

次に、データ転送について挙げる。GPU 内部で計算や処理を行う場合、CPU のメモ

リに GPU はアクセスできないため、データ転送を行う必要がある。そのため、大規模

なデータが必要な場合にはデータ転送に相応の時間がかかってしまう。また、不連続な

- 13 -

メモリアクセスを多くすると、それだけアクセス時間がかかってしまう。したがって、

できるだけ連続したメモリ領域にアクセスするように変更すると処理時間の向上が見

込める。また、GPU には条件を満たせばデータにまとめてアクセスできるコアレッシ

ングという機能が備わっている。コアレッシングを使うことにより、データ転送の効率

化が見込める。このように、メモリアクセスについては考慮すべき点が多くある。

1.8 GPUの構造

GPU を構成する部品としては、基盤、GPU チップ、DRAM(Dynamic Random Access

Memory)および画像出力端子、電源、冷却装置から構成されている。GPU において演算

を担当している部分が GPU チップである。GPU の概略を図 1.8 に示す[4]。

図 0.8 GPU の構造

1.8.1 ストリーミングマルチプロセッサ（SM）

ストーミングマルチプロセッサとは、GPU チップ上に搭載されている演算部で、

それぞれに、図 1.8 に示すとおりレジスタやキャッシュ、演算装置にあたる CUDA コア

がいくつも備え付けられている。CUDA コアとは、GPU における演算子の最小単位で

ある[5]。

SM (Streaming

Multiprocessor)内部

GPU

テキスチャメモリ

コンスタントメモリ

グローバルメモリ

L1 キャッシュ

共有メモリ

L2 キャッシュ

レジスタ

CUDA Core

SM

Chip

SM SM

SM SM SM

- 14 -

1.8.2 レジスタ

CUDA コアに最も高速にアクセスできるメモリである。主な用途として、カーネルで

使用される変数のための領域である。スレッドごとに独立した領域を持ち、共有ができ

ない。

1.8.3 共有メモリ

シェアードメモリとも呼ばれる、SM 内で共有されるメモリのことである。L1 キャッ

シュと容量を共有している。レジスタよりはメモリアクセス速度は劣るものの、アクセ

スが高速なメモリである。

1.8.4 テキスチャメモリ

テキスチャと呼ばれる最大 3 次元のデータを配置して、そのインデックス（添え字）

を読み込むことでデータの読み込みが可能である。書き込みはできず、読み込み専用で

ある。本研究のプログラムでは利用していないが、連続したデータを保持するために用

いられることがある。

1.8.5 コンスタントメモリ

CPU 側からは書き込みができるが、GPU 側からは読み込みしかできないメモリであ

る。コンスタントメモリの内容は全てコンスタントキャッシュに移動されるため、容量

は非常に小さい。CUDA プログラミングにおいては、定数を保持するためによく用いら

れる。

1.8.6 グローバルメモリ

GPU の主メモリである。GPU メモリチップではなく、GPU の DRAM に備え付けら

れている。容量はレジスタや共有メモリと比較して非常に大きいが、低速である。

1.8.7 キャッシュ

SM 内部に備え付けられており、SM 内でデータが共有されるもの（L1 キャッシュ）

と GPU 内部に備え付けられており、SM 間でデータが共有されるもの（L2 キャッシュ）

がある。キャッシュは、メモリアクセス速度を改善するために使われる。

- 15 -

1.9 CUDA

CUDA とは、NVIDIA 社が提供している C 言語を拡張した総合開発環境である。主に

コンパイラやライブラリなどから構成されている。他に GPGPU を利用する際に使われ

る総合開発環境としては、OpenCL や Direct Compute などがある。これらと比較すると、

CUDA は GPU の性能を引き出しやすくプログラミングできる。また、GPGPU を利用す

るための煩雑な準備を簡単な形で記述できるため、プログラマーはアプリケーションや

アルゴリズムの実装に注力することができる。

1.10 GPUにおける並列化の階層

GPU による並列化の階層として、スレッド(Thread)、ブロック（Block）、グリッド（Grid）

の 3 つの要素がある。スレッドはプログラムが動く最小の単位である。GPU において

は、CUDA コアが該当する。

ブロックはスレッドを集めたものであり、1 ブロックには最大 512 のスレッドを集め

ることができる。ブロックは 3 次元まで拡張させて管理させることができ、1 ブロック

に 512 スレッド、1 ブロックに 16×16 スレッド、1 ブロックに 8×8×8 スレッドのよう

に管理することができる。

グリッドは、ブロックを集めたものである。ブロックと同様に 3 次元的に表すことが

できるが、𝑧方向は 1 に固定されている。グリッド数にも上限があり、𝑥方向と𝑦方向の

積が 65536 となるように設定しなければならない。

1.11 実験の目的

超伝導体の応用のためには、超伝導体材料の電界-電流密度（𝐸-𝐽）特性を知ることが

必要となる。𝐸-𝐽特性を求める手法の一つとして、磁束クリープ・フローモデルがある。

磁束クリープ・フローモデルの計算においては、最適なピンニングパラメータを求める

ことが必要であり、ピンニングパラメータを求める方法の一つとしてメッシュ法がある。

メッシュ法は、各パラメータを分割し、分割したパラメータを組み合わせて格子状に

し、その格子上の全ての点について計算を行うので、局所解に陥らない利点があるが、

パラメータの分割を細かくする程、計算時間が著しく増大する欠点がある。計算時間の

削減には、並列処理が有効であることが知られている。並列処理の手法の 1 つとして

GPGPU がある。

本研究では、GPGPU でメッシュ法を計算することで計算の高速化および精度の向上

を目的とする。

- 16 -

第2章 計算手法

2.1 評価値𝑑の計算方法

ピンニングパラメータの精度を表す評価値として、距離𝑑を用いる。距離𝑑は、

log(𝐸exp) − log(𝐸theo) (2.1)

𝑑 =

1

𝑀∑(log(𝐸exp) − log(𝐸theo))

2 (2.2)

とする。ここで、𝑀はサンプル数、𝐸expは測定値、𝐸theoはピンパラメータを用いて計算

した理論値である。図 2.1 に𝑑を模式的に表したものを示す。

図 2.1 距離𝒅の模式図

今回計算するピンニングパラメータは、𝐴m、𝜎2、𝛾、𝑚の 4 つである。4 つのピンニ

ングパラメータとパラメータの分割数の範囲を表 2.1 に示す。

表 2.1 パラメータの範囲

log𝐴m 𝜎2 𝛾 𝑚 分割数 N

最大値 12 1.5 × 10−2 7.0 × 10−1 6.0 14

最小値 10 5.0 × 10−3 5.0 × 10−1 2.0 8

- 17 -

2.2 プログラムの流れ

本研究で作成したアルゴリズムの概略を図 2.1 に示す。青色が CPU の動作、橙色が

GPU の動作を示す。𝑁の部分のループは𝑚パラメータを設定して計算するためのもので

あり、𝑀の部分のループは、距離𝑑を求めるためのループである。

図 2.2 プログラムの流れ

GPU に利用するデータ領

域を確保

ピンニングパラメータ設定

式 2.1 式を計算

𝑖 = 1; 𝑖 < 𝑁; 𝑖 + +

𝑗 = 1; 𝑖 < 𝑀; 𝑗 + +

GPU のデータをコピー

終了

𝑖が𝑀になるまで繰り返す

𝑖が𝑁になるまで繰り返す

- 18 -

2.3 実行環境

実行環境を表 2.2 に示す。

表.2.2 実行環境

CPU Intel(R) Core(TM) i5-6500 CPU

GPU NVIDIA GeForce GTX 960

2.4 解析に用いるデータ

今回解析に用いた線材の諸元を表 2.3 に示す。この線材は、国際超電導産業技術研

究センター(ISTEC/SRL)によって作製された線材で、GdBa2Cu3O7−𝛿(GdBCO)コー

ト線材にBXOピンを導入したものである。温度は、20 K、30 K のそれぞれの温度の

条件下で磁束密度が 1 T、2 T、3 T の 3 種類のデータを用いて、CPU、および GPU によ

って計算を行う。

表.2.3 使用する線材の諸元

臨界温度 𝑇c [K] 90.3

0 K における上部臨界磁界 𝐵𝑐2 (0 K)[T] 100

常伝導状態における抵抗率 𝜌𝑛[Ω ∙ m] 1.5 × 10−6

ピ

ン

形

状

に

依

る

定

𝜁

6.28

超

伝

導

層

の

厚

𝑡 [m]

1.0 × 10−6

- 19 -

第3章 結果・考察

3.1 CPUと GPUの計算時間の比較

図 3.1 では、縦軸には、秒を単位とした計算時間を表しており、横軸にはパラメータ

の分割数を表している。丸のシンボルが CPU の結果であり、四角のシンボルが GPU の

結果である。CPU の計算時間の近似式を赤線で、GPU の計算時間の近似式を青線で示

している。近似式はパラメータが 8 から 14 までの実行時間で近似したものである。

分割数が 8 の場合には CPU と GPU の計算時間は 200 秒程度と近い値をとっている。

しかし、分割数が 14 の場合には、CPU の計算時間がおよそ 1700 秒であるが、GPU の

計算時間はおよそ 260 秒となっている。したがって、CPU の計算時間の増大は、GPU

の計算時間の増大より大きい。分割数が 8 から 14 における CPU と GPU の計算時間と

分割数の関係を近似式で表すと、式 4.1、式 4.2 のようになる。

図 3.1 パラメータの分割数と CPU、GPU の計算時間

5 100

500

1000

1500

パラメータの分割数 N

実行時間

[s]

CPU

GPU

- 20 -

近似式から、CPU も GPU も計算時間は指数関数的に増大していることが分かる。し

かし、𝑁の次数を比較すると、GPU で計算した場合の近似式の次数が小さい値となって

いるため、GPU で効率よく計算できることが分かる。分割数をさらに増やした場合、結

果から GPU と CPU の計算時間の差はさらに広がると予想されるので、GPU での計算

は分割数が増大するほどに有効であると考えられる。CPU の近似式の係数は GPU の近

似式の係数より小さいから、分割数が小さい場合は CPU の計算が GPU より早いと考え

られる。

パラメータの分割数と評価値𝑑の関係を図 3.2 に示す。

縦軸は評価値であり、横軸は 8 から 14 までの分割数である。分割数が 8 から 14 まで

増加する間に、評価値は、8.36 × 10−2から3.81 × 10−2まで減少している。全体の傾向と

しては、分割数が増大するほど、評価値は小さくなる。したがって、分割数が増大する

と、ピンニングパラメータを精度よく求めることができる。

分割数が 9 の時だけ、全体の傾向から外れている。これは、分割数が小さい場合でも、

図 3.2 パラメータの分割数と評価値の関係

8 10 12 140

0.05

0.1

評価値

d

メッシュ法における分割数 N

CPU: 4.00 × 10−2𝑁4.04 (3.1)

GPU:1.39 × 10𝑁1.22 (3.2)

- 21 -

適切なピンニングパラメータに近いパラメータの組み合わせがあれば評価値は小さ

くなることを示している。

分割数が 8、11、14 のそれぞれについて最適なピンニングパラメータを用いて求めた

𝐸-𝐽特性と実験の特性を比較したものを図 3.3 に示す。また、その時の𝑑の値を表 3.1 に

示す。

図 3.3 分割数を変化させた場合の磁束クリープ・フローモデルによる理論値の𝑬-𝑱特

性と実験値の𝑬-𝑱特性との比較

表 3.1 分割数が 8、11、14 の時の𝒅の値

分割数 8 11 14

評価値𝑑 8.36 × 10−2 5.84 × 10−2 3.81 × 10−2

図 3.3 では、縦軸に電界をとり、横軸に電流密度をとったグラフとなっている。菱形

のシンボル、丸のシンボル、正方形のシンボルがそれぞれ 1 T、2 T、3 T における実験

値となっており、20 K、および 30 K の条件における実験結果は線分で纏めることで示

している。

赤線は分割数が 8 の場合の最適なピンニングパラメータで計算した𝐸-𝐽特性、青線は

101110

−11

10−10

10−9

分割数8

分割数11

分割数14

電流密度 J [A/m2]

電界　

E [

V/m

]

20 K

30 K

1 T

2 T

3 T

- 22 -

分割数が 11 の場合の最適なピンニングパラメータで計算した𝐸-𝐽特性、緑線は分割数が

14 の場合の最適なピンニングパラメータで計算した𝐸-𝐽特性である。

分割数が 8 の場合、1 T、20 K の条件における実験値と計算した𝐸-𝐽特性を比較すると

差が生じている。しかし、分割数が 11、分割数が 14 となるにつれ、実験値と計算した

𝐸 -𝐽特性の差が小さくなっている。別の温度、磁束密度の条件下においても、分割数を

多くして推定したピンニングパラメータで計算した𝐸 -𝐽特性と実験値との差が小さくな

る傾向がある。したがって、分割数が多いほど実験値に合ったピンニングパラメータが

求められていることが分かる。

3.2 GPUで一度に計算する条件について

GPU の計算において、{𝐴𝑚, 𝜎2, 𝛾}のパラメータを並列化しており、𝑚は、パラメータ

を代入する際に引数として決定している。ピンニングパラメータから電界を求めるに

は、他に𝐵, 𝑇, 𝐽のパラメータが必要である。3.1 節において、𝐵, 𝑇, 𝐽のパラメータは GPU

で計算を行う際には、引数として渡している。

電界を求める計算においては、𝐵, 𝑇のパラメータとピンニングパラメータだけで計

算できる箇所が存在する。そのため、𝐽のパラメータを GPU に保持して一度に計算を

行うことによって、計算が行えるのではないかと考えた。これが prog2 である。

prog2 では、𝐽のデータを GPU で保持しているが、CPU で処理を戻す度に、𝐽のデータ

を CPU から GPU にコピーしている。したがって、始めに全ての𝐽のデータを GPU にコ

ピーし、𝐵, 𝑇の条件も GPU に保持して計算することによって、prog2 から計算の効率化

を図ったプログラムが prog3 である。GPU 内部に保持するパラメータを可変のパラメ

ータ、GPU 内部で引数として与えて 1 度の GPU の計算内では変わらないパラメータを

固定するパラメータと呼ぶこととする。これらを纏めたものを表の 3.2 に示す。

表 3.2 それぞれのプログラムにおける計算条件

固定するパラメータ 可変のパラメータ

Prog1 𝐵, 𝑇, 𝐽 なし

Prog2 𝐵, 𝑇 𝐽

Prog3 なし 𝐵, 𝑇, 𝐽

- 23 -

表 3.2 の条件の下での、計算結果を図 3.4 に示す。縦軸は単位を秒とした実行時間を

表しており、横軸は 8 から 14 までのパラメータの分割数を表している。青のユニット

が prog1 の実行時間を表しており、青の実線は prog1 の計算時間の近似式を表してい

る。緑のユニットは prog2 の実行結果を表しており、緑の実線は prog2 の計算時間の

近似式を表している。赤のユニットは prog3 の実行結果を表しており、赤の実線は

prog3 の計算結果の近似式を表している。

求めた近似式を、式 4.3、式 4.4、式 4.5 で示す。

prog2 の計算時間は、全ての分割数において実行時間は一番短く、prog3 の計算時間

が一番長い結果となっている。prog1 では、𝐽 の値によらない箇所も毎回計算していた

が、prog2 では、𝐽 の値によって変化しない箇所は 1 度しか計算していないので、

prog2 の計算回数は、prog1 の計算回数より少ない。計算時間が少なくなったことによ

って、prog2 の計算時間は、prog1 の計算時間より短くなったと考えられる。しかし、

prog2 と同じように計算回数を減らした prog3 では逆に計算時間が長くなった。prog3

では GPU で動作する時間が長いため、その分 GPU に負荷がかかり、計算時間に差が

図 3.4 GPU で一度に計算する条件を変更した結果

prog1:1.39 × 10𝑁1.22 4.3

prog2:1.29 × 10𝑁1.21 4.4

prog3:2.23 × 10𝑁1.11 4.5

8 10 12 140

500

1000

パラメータの分割数 N

計算時間

[s]

prog3

prog2

prog1

- 24 -

出てしまったと考えられる。他に考えられる原因としては、prog3 のプログラムはルー

プ回数が prog1、prog2 よりも多い。ループ回数以外のプログラムには差異はないた

め、ループ処理に時間がかかって、計算時間が増加したと考えられる。

- 25 -

第4章 まとめ

磁束クリープ・フローモデルは、𝐸-𝐽特性を理論的に求める際に利用されている。磁

束クリープ・フローモデルを使うにあたって、最適なピンニングパラメータの推定が必

要となる。

ピンニングパラメータの推定にはメッシュ法が用いられている。ただし、メッシュ法

では、分割数を増やしていくと精度は向上するが、計算時間は著しく増大する欠点があ

る。その欠点を解消するため、GPGPU による計算の並列化を行う。

GPGPU とは、普段は画像処理に使われるプリプロセッサを画像処理以外の目的に利

用することである。多数のプリプロセッサが計算やシミュレーションの並列化を可能に

している。

GPGPU でメッシュ法を計算することで計算の高速化および精度の向上を目的として、

研究を行った。

CPU と GPU も分割数の増大によって、計算時間は増大している。ただし、パラメー

タの分割数と CPU、GPU の計算時間の関係を近似式で表すと、分割数の増大とともに

GPU の計算時間の増加は CPU の計算時間の増加と比較すると小さいことがわかる。し

たがって、GPU による計算の高速化が確認できた。また、分割数を増やしていくほど、

GPU と CPU の計算時間の差が広がる。分割数を増やして計算を行う場合は、GPU を用

いて計算を行ったほうが、計算時間を短縮できる可能性がある。

分割数を増加させると、評価値𝑑は小さくなる傾向にある。よって、パラメータの精

度を向上させるためには、分割数を増加させていくことが必要であることが分かる。

磁束クリープ・フローモデルにおいては、GPU で一度に計算する条件を変更するこ

とによって、計算の一部を省略でき、高速化できる。また、GPU で一度に処理する時間

が長い場合やループ処理が多くなる場合は、計算時間が増大する可能性がある。

- 26 -

謝辞

本研究を進める際に、熱心なご指導や適切な助言をしていただいた九州工業大学情報

工学部電子情報工学科小田部荘司教授、木内勝准教授に心より感謝致しております。

小田部教授には、常日頃から研究者としてのあり方や、研究に関する心構えやルールな

どを細かくご指導いただきました。深く感謝申し上げます。

木内准教授には、超伝導に関する知識や研究者としてのあり方をご教授していただき

ました。深く御礼を申し上げます。

また、九州工業大学大学院先端情報工学専攻電子情報工学分野の田邊裕也氏には、論

文作成から平時の資料作成まで、数多くのご助力を頂きました。心から感謝を申し上げ

ます。

最後に、公私共々お世話になりました、小田部・木内研究室の皆様に深く御礼申し上げ

ます。

- 27 -

参考文献

[1]松下照男(1994)「磁束ピンニングと電磁現象」産業図書

[2] 増田嘉道(2013)「最急降下法を用いた超伝導体の電界-電流密度特性評価の検討」九

州工業大学情報工学部電子情報工学科卒業論文

[3]原田將敬(2016)「超伝導体の電界‐電流密度特性の評価における計算最適化」九州工

業大学情報工学部電子情報工学科卒業論文

[4]青木尊之、額田彰(2009)「はじめての CUDA プログラミング」工学社

[5]秋吉祐弥(2012)「遺伝的アルゴリズムを用いた超伝導体の電界-電流密度特性評価の

GPGPU に よる高速化に関する研究」九州工業大学情報工学部電子情報工学科卒業論

文