Embed Size (px)
Citation preview
!""
#!$
%"
&'
()**+
!" #
……
$ %& %'( !
!
"#$%&"$'&(
#"")*+'#"'"$)*
""#$%&"$'&$&#*
)&& *
+',!- !-
./ / *!
&
0
=
1 . &
# !) ./
# & !
2 . 1
&0 &
!
-# 0
- 343, 335657+
- 0 #
8 9 & . :
;
"
!"#$ %&'&()* #$+
,--(
-". . 343<.#=> : "? 345 ) . !@ A)B> > : !
2 ./ . &
1 0
/
−+
=
1/ !
C # . & & #
!) ./ & 0
+= ) . D& !8
/ / E (
./ # ! ) . &
& !) ./ & 0
& ! . &!$
# & θ & φ # 0
+=
-#0-"
122$$3
). !! 0 $ * ./ & & ! F 0 # . & & !" ./ . / & # + !
2 * & & .
& . 0 -
FFF !
F 6 ./
& ;) . 0
!) #
& & & 0
−=
45)
15 & 4 & !).
! G
&& !
)&& B>. HFH/
/ & 6
I& 4'3!$ &
./
% & !@ ./
&
& 6 !
""&#"")%) "" & )$"/&)
!01'.
0 2'. J 6'K ; J L ,, ; - ..
# ! 9 #
/ B # # & &
M #!
)M B . !F -# *
#")6 7 !9 & &
. / ! 8 B &
#!
, -
,.
/ !
8$#$9:$(;7)4632$202$9-#)06#(
/ ) 6& !GM .
# # ) 6!G
N
0 B 9 # & & ! " # <!#3= 0 . !"B & !- 6 / 5,," O !
#!9 & B &
)6 # )46& !
/ ! 2 M& # & M&
M !).!0$ )46 . )6 & )6
F / /
B 9 # . & M
& 6 !) B9 #
/ & / &/ ! ! !F
& !
34
- 3K5 34 3,633K
& 0
$ 1 ) 6 &/ /
0
B9 # % !8 %
P & #
/ ) 6
# # ! % & /
<##$327*=!G
! $
/ # #
/
. !
ε
8$#$9#" / % * 0 # #
&/ ' / & * * !)
) & !9 4 & # #
/ !Q* R)4R 4! 6 M
/ !G )46 5)46
& !
G 4 4Sε !) 5)6 # & )6 5)46 M
ε -!2 05)665)46S2ε '
12ε ' ε'!C& ε0
1>*
*
55 5
)46)6 εεδ
−=− TU
. δ5S ε )46 0
/ # ' /
# * *5 ?*!).!60$ TU6 !
!
) M 1
# #! ) 0 & &
. &)6 &? ! ) 6
&/ 1 6 ;F
& 0 &/ @ #
&/ !9& #
& . . / !F
@ . . !
0- 9 # 9 9>ε 9>?ε 9(1@ 0$ G! G. 33'% 0<;#*$$#$*-39A7#(/B 7*$3#7#$$##C#$9T U3+(8$(%$$$*$#370*#$#(=(8 % .&M <32#" #$ 3 = T! ! D *E *U M <" * =!2 / V $ F@ A !G / W& W & M !$ M / & # & T! ! U!GM ./ / !) % & 0</*3*#F3#3*$2#3@B =T) G % 33'U!- <*G43)*63#2#9$-3B =!9 . % 0<B 7*H#$3C-3 #993*#F"#2$#$B =(-3+'78373653M % & !GM 0 3'4634K / % !T$ 6 M *ϕ M U!-# D % % +K,0 # / % !) . # / D/. !
# 0 # 33 # -#2" , $# @ - ( ; 3#" #$(/3-2#9--0$9(
) 06
1 ( M .
. )6 !G
. / &
0 * = !) 0
5
6
)
6
) ==
) # !G .
) 6 & 0
IJ6
)
+=
./ !
"""'&+'#"'"$)2)/&'"$%2)&)#
!" 9
) ./
M& 0
6
)
=
1 1 & #
0) ) 6 6T! ! . ) 6U!
) 5,5654X .
! . # &
& !, 5X36+X
# M
. !
G
>ε φ(1ε φ . &/ !@ / δ . ε / δ ε φ !% . δ0 <= <= δ 1M& 0 >δ >δ 0 & !
δ
δ
-#)6(>δ9#*(5-#)6(
9 &
!
V # ./ 0>δ) )>δ) )δ) !$ δ6 !2 # !
Y #
0
:44 9 δδδδ 99 0 9 & 9!
[ ]9
9 δδ =
:44 9 δδδδ91 0 & 9 & & 9!
=
99 δδ
) 2)
" & # !
/ δ # 9 9 9 9 # ! @ #
/ & δ 0
>
6
)
6
)
= δ
∂∂δ
∂∂δδ
@ . δ & δ δ ! " . δ & 0 # & !
)δ δ! ! . # δ ! " & / δ !2. 0
−
>
6
)
6
)
δ∂∂δ
∂∂
∂∂δ
) &N δ #. ) 6!-δ
. & ! ! δ & 66 0
K
∂∂
∂∂
GM M M- ! $ *&
& ! # ) ) 6 6
/ ./ !
).!;0Z 1 . 0 (((
- . !).!< 0V # # . .
- !
).!<7 0G ## 1 . & # . /
!2 . # 1 *. 
1)/&'"$%1)&)#'"/&))''%=' "/&)
"#')**&"*%) )'"/&)%&$"
$ /
"> 37'65'5 3+50!? 0 C & &
!?4 0 )
!) #
0
#
6?4 0" 0 # ' &
# ' &
'!
) #/ @ A 0
&
-!
9 X / 0"#$$ %6;##93$0#$$20$*$
###$3T *#
∧ U#$0
∧
G
6 &
∧
!
6 / @
/ # . #
/ !"#$ % 6. 9 $ 3$
#*# "# @ #$ #*#! "
/ # #/ / @ A!
02 / @ A '/ !-'/ !2 / !G ( & ./ . !
"#$ &'%K;*$2$3#$$*
$2*93$#$$#0
( *#
K*#
G
6) & & 4K ∇
. / & 0$2 #$3 #$
& 5L & 4#*#!
6&/ @ ./
& & / &
!
Y . !)
./ !@ &
!
) ./
6 & 0: ) * 0
. !
:) . # .
. / (
. !2
./ .!
: ) 6
N .
? !) &
& !
: - \
& &
@ A!)&& Q +-335++
& .
#./ . 0<1*92*2(;#$-
3 7 # # 2$#$3 #$3 # #
$ 2$3 7 0 #- $2" 9#=! 9 &
)&& & . !
$ && )&& '/
@ A!G - !"
.
# !
"")#"")%)*#'+'&(+"#&)*
) # !G
. . *&
&? #& .? & !'4?6'+56'' !)
&./ & !
!
;*,3K0$3
α
β
!
;$,03++K0$3
) . .
. / ! )
# ! G
M/ HYFF/ / !
! 9 .9
/ @ . M ! ! .
& &"#
! ! #$ $ 3 -3 $$ $
$-!) / M. 0
F& M .
. δ ! !
# ! ) / M.
M .
δ 0
( LM
@
3
δδ
1 δM &
M & - !
G
!V ' &
#!
@ & 0 LM
3δ /
M. !G
δ
/ . !
. / &
δ !G # !
@ . / @
0 !F
. &&&6 !-& N
&
> /
( !F
. &
!" #
& & &
F 0
F
=+= !"
/ @ 0 N 7
!2
& ! G # δ
N. δ 0
(2 7
@
δ TU
1 2
# & N
50
7
N 2
∂∂
" 0 ( =
δ 2
= #
F
δ Fδ 0 FF =+ δδ !
" & &
δ #
# TU6 1
2 & N!2 &
!2 & 6 !
02 "δ #$% M # 0 δO 1O ∂# ∂
#
!
12 & 0
∂
∂≡∇ ./ &
$ #
δ #
! 8
# !2
#
!2 # * -0
@
%$ %
G & # .&
. / &
. ? !
/ .4
&%
) / & !) / M . # #
# ++!) # 0
1
1 * 1+ ττδδ
+ 1 0
1
1 * 1+ ττδδ
+ & 1!$ δ Kδ ++ !)
# M0
IKK2#K2J# 1+(2#>1+(2# L 3 δβααδδδ π
δ/ . & 1 66 & 0
#1 #1
. !
Y + +
1 1!Q
# !- ./
. #
!
0- & & . ! ! δ & 6δ!) FF / 0 # & . # .!
&(# $
- M # & 0
1(2#>1(2# L 3 δδδ
& δϕ 1 ! 1δ 0 1 1
δϕδ !G /
0 K1 1δϕδ 10
1#K1# L 3 δϕδ
!
6#4
'
) M & 4 # 0
δ4 !) / . & # !
7A)''
)M / 0
N 7
!$ δ # @
δ N!2 &
δ &? )&& 0
P 0
N>LM
3 δλδ
1λ / . δN !G 0
(
N>
@
δ∂∂λ
9
δ
! 8 λ / . / 0λ @
δ
0
N>@
@
∂∂λ
9 # @K
δ 0
N>
∂∂λ
.
δ ]λ N
∂∂ N
"# !
* $ # 0
( ) ( ) FF#2(2#N>LM
3 δλδλδλδλδ ++==+=
! )
3 λ#2F3 =
. !9 λ F. . 0
3 3F =+ 3F = #2 −=λ !)
( ) 2#N 33
−==∂∂ λλ . . !
@!:!) )&& . 6
!
6' B4 @1'47
,#2'47 5565+X& # #./
6 !$9 .
'/ @ A 0
#K
) #K
P M
0
M !- / M M !
) *& M M #
/ M. !
G &M. M/ M 0
&( OPQ,**$$#93$"#90-3 $# 3 #$(),
[ ] (#K LM
@
δδ
) M9 . !F &
. *
δ ! Q .
!2 . .
B! $ #
. . ./ &
. !F ./
& 9 . . !
"""#"")%)0' "$
!%4 04 4
C 4 #> 04 +,K6+3K
M9 . - 0&
M #) 6!
( ) 6
)
6
)
6
)
@
@
(*#
K( L
M
δδδ
9 M & 4
& & . . 0
6
)
6
)
6
)
6
)
@
@
*(*#>(*#K4K L δδδδ
F & / @
0
≡@
9(*#
5
M # 6 0
( )6
)
6
)
6
)
@
(*#K4K5 L
δδδ
) & ; 5K4 M #/M & M &
&& / !
F #
δ M # # ) 6 ! !
# # ) 6! G M9 .
. 0
;6
)
δ
GM B! )& && # &
)!
9 .
#/ @ A B0
+ 0#*#"#
#$ $ 3 $2
"#(
" .
A ! F
&& / ; 5K4 - !
). ! 0 $ - B .
6 . & @
X !
$ & &
/ @ !8
- . ; ' M *
' *
' '!
F & B / &
& !" && / @
0
*R>*5 *;
15 & / R
& / .! ) B
. &? #Q@- 0
*
;
K
;
∂∂
∂∂
G 0
*#K
10
≡
*
R
K
R
∂∂
∂∂
. M B . /
M # R
./ !G *
!
#4 @ D D
" / M & 4
R0
RK*
R(* 4
@
∂∂
)& M &
M & !G
4 KR!
%4 > 4
9 # A &&
!
) @ A #
0 ^6 ; ) 0
#?*
= @ A!
&
!
) )&& # 0
66 && ; ) 0 .
. & ! F
. < =!
: D % . . < =
&& . @ A!-
@ A
B &. 0 &
6
3$# '"* )'#'")
"$$#%$))*))#'"*))*)*')%)$3"&#'"$
$ / @
# F!)
Q@ .
- N / / !8 /
M & . . #
./ ( & (
!9 3 3B 3Q@ . & !
2 . M /
@ Q@ 0 M &!)
/ * &. /
! 3 3 3Q & /
# 6 Q
333Q S !$
#Q@. 3 / Q@>
/ !
)M # T ./ Q@KT &
./ ! . & .
/ M M & >!
2 /
& 33B 3!- B
- 30
3
;
K
3
;
∂∂
∂∂
- & # &
]2 / <.=! - !).6!0$ 0 &
. 3 9T! ! 23U& !Z 6 !
) 333 … 3
& !);- && / #
3 3 & ! )
)&& / !
).60- )&& ./ .
X !G @ A ./ !
2. &0<=!)- .
""$*)/&))*" )%"')*%&3$# '"* )
!+7
F & * #
&& !9 3U !) )&& 3U
. 0
UU
/ 3
;
3
;
∂∂
∂∂
TU
) U3; ∂∂ ]
$ TU . # & U3
K . 3 3 && !) &&
. K &
! @ ./ 6 ./ K6
!
). 66 0- ./ _ &&
* !- 6 && !) # X!X
!) )&& N && 0
. 3 N * # && )&&
!
?49 2
9 )&& /
M & !" ; 0
33
;>3
3
;>
;
;
∂∂
∂∂
∂∂
33
;>3
3
;
>
;
∂∂
∂∂
∂∂
)&&
0
;K ;K
3
;3
∂∂
∂∂
" M & / !*
. 4 4E24 ?49
!G / &&
& 3 ! ) / &&
# / !
). 6; 0 G 6 ./ .
$ '$ X$ ./ _ ( 6 . & /
. 5>4!@ . & # P .
P 0 N #
&& & / !G
&&/ . 3!G
. & !
) # . #
./ ! 9 # D Q$
. 0
&& ( (
0. 3
4 94
0. 3
44
0. 4
14 /
""")"* $&+) )*'&$&#%1&)$*""$%1)/&""#)
$ . #./ /
& . 0. ( Y
0 /
. E
! 9 . 3 ..
& 3 &
& & 0
3
U
3
4
>43
ηηη
1η . !
%
%
%'
η
KK*2$3
$ @ & 3 3B 3
# . .
!) &&
./ & !
!) 9 1 7
) & / @ 3! #
& . 333
… 0
…
>33
4
V
>
3
4>4 4 7
7
7
ηη∂∂
∂η∂∂
10
>3 3 η !G # 0 &6
Q & ! )
# &
&./ !) 0 .
4 #3 333
… !.
& & / ' η0
7
7
77
7
7 4 33
4 4*4
4
∂∂∂ηη
) 9 1 7
@ ' # & / @ 0
≡@
9(*#
5
) # F &
( )
F !8 & # & 3
# & 3
/ . N # 5! "
N # & & 0
=
7
77 33#
5
. & 0
…
∂
∂=
7
7
U
U
U
77 >
3
#>#
5
ηηη
@ / η & η!G . .
& . . . /
66 ./ !$ #
5 ' 0
7
77
7
77 5 # 5*5
5 = ηη
6) 9 1 7
) && / & . ; 5 K 4! )
)&& . / 0
( ) 4>5
7
7777 ηη
" # 7
/
ηB η !G E 0
K
77 / ωη
1/ 7 .
73 ω
. . !F <=
)&& ! Y . / &/ T
0 47 Kω57U B ω! ) / -0
5K45K4
5K45K4
5K45K45K4
ωω
ωω
ωωω
……
…
) . & ω ! G ./ !- ω B # !) ω / !". ω ω. &? ω
0Y D / !G / &/ / G !
/ / . .
!
$ !" ./
.
& 0
!- & & / . 0 3K3 η
G 4W 5W ./ 0
……
…
……
…
55
5
555
5W
44
4
444
4W
47 47 57 57! ! !
6) / 0
( ) 5WK4W ω
1
!V . 0
( ) 5WK4W ω ; " ω
. !
<Q / & . .
!).6< 09 G2 # # + U
/ !
;
3$# '"* )0' "$")
" $ )*$,&&)*)*')%)*0'*)*
$ ; # 3
!)&&
# ! G B 0
./
. / !2 & &
/ 0
9
3
;∂
∂≡
. ( ) 3 & !
).;!0 & 3 0 . $'$X$./
_ ( Y
!
> ./ .
3 & / &
!) 3 . !)
& / 0 .
( ) 3 6 0
/ !) / &
/ !
"* &
./ 3B 3
/ ! ) 6
* ;) 0 ( ) 33 …
+ / !F
& . /
! " .
. / &
& . !
"* / ! C
3B 3 B ! ) 6
/ / ;G !-
3 3 3 0
. !-
!2 .
. / N &.
0 # N
./ !
).;0G ./ $ 3 #
0 & . / ϕ !Q 3 # / !G & 6 / &
3(Q 3 !
""0' "$"))/&'"$*%& $&+) )
!04 ?4
$ X && / . 3
3 0; ;3 3 !" 3
X X3 &&
;
- #
RN :!) & R .
) 4 T 6 0R 5)Y!4U!)
. 5 P ) R & .
. 0 RK5) . 5 4T K!4K)
5U!V . # #. ) 5 & .
3 ./ & 4
. 30
3;3)R4 ↔
3
;
)
R 5
∂∂↔
∂∂
3K; X35)KR 54 ↔
) / & && X
&& !F 6 !8
6 & 0
& / X && & & / ]-
& & :/ 0
≡
9
3;>:
@ . ; 3 3 : 3
!- : ;
& ; : 0 -!
0G ) & 0' 5K'6+XX!- P !
Y :
;0
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
;K
:
3
;K
3
:
3
:
) / 6 !G
3 .
3 !) # 3
!
$ . /
0 && ;/ ;# 3
. ! F # 3 :
/ 3 !
).;60$ / # 7!
) 4 94 D444
$ && . 3
)&& ./ ! F '
# 3 3 /
&!$
. 3 #]8 &
0 )&& 0
K 3
:
3
;
3
;
K
3
;
∂
∂⇔∂∂⇔
∂∂
∂∂
$ / ; :!)
. . 0
./ 3
./ !F !
C # N .
3 !96 !" .
/ B0
∂∂
∂∂
3
:
K 3
:
) / 0
)&& 0
! ) #/ 3 !B /
)&& / +,4 M M. ' 5+46+K5
+X / B .
!).;;0- / # 7!X!G
6 ;[ <= 6@ FF6'!
@ . / *
B 0 ; &
# : 0
:K36
)
=
δ
G 3 .
& δ3 δ!C/ X 0
[ ] 3>33
:KK>
:K3
6
)
6
)
∂∂
∂∂ δδδ
G & #. !-
δ3 δ. / . !
)M& M # M 2
0
6
)
:K3 )
# 7!7 # B
.. . )&& ]-
B & . / 3 ./ !
). ;< 0 Q # .
!$ &
. 3 !Q ./ $*
! ! / & . 3!
"""$*)/&))*" )%"')*%&3$# '"* )
!+7
2. . 0
) . 3 N * #
. &
$ &&
K . ./ 6
./ KK !). ;F 0 - * !
V . ./ 
"+#'*3$#'"$*'$"/&)*@)/&'"$%10'"$,'$"
" &
. ! ) . # #
.
] B6>. !
) #
!G & 0
:3 0
∂∂
∂∂
3
:
K 3
:
. 03KD!
:!
. * 3: ! 0
∂∂
∂∂
!
:
!K
:
$ 0 3 KD !
,7 +,76
+K
" B #
# . 0
:K36
)
δ :K!6
)
δ
0
:K!K:K36
)
δ
@ ! -
*& 0
X6
)
δ
X . 0 [ ] K )66
)δδ
#. !@0
:K!K:K3
TU
9 P>. 3 ! !8 .
N
& . 3 KD ! ! > .
P>. !" . #
. 033!Q P!
!
!D4 ,
-# /& # 3!
- TU . ! 2 / #
0
>
>3
3
∂
∂
∂∂
∂∂
1 0
∂∂
∂∂
∂∂
Q
:K:
K!
3
)& / 0 3
& S .
3 0 37 7 !G & S
. ! !377(-SQ :
: 7 !7 / . ! -
3KD! 0
) % / 3 KD ! ! 2
& !
D4 -E. /
# Q 1
/ & . T 6 ]U! C #
) &
; :!
"-
2 33! . #. !0
!K
,!>
∂∂
- / & . 3KD!0
∂∂
∂∂
∂∂
:K:
!
3
".
2 3Q . 3#. 0
Q 3
,3K ∂∂
1 / & . 3KD!0
∂∂
∂∂
∂∂
:K:
!K
3K
Q
Q
Q
"/
2 3 P ! . 3#. .
#. !0
( )
P 3
!K
,3K!>
∂∂
∂∂
) / & . 3KD! 0
∂∂
∂∂
∂∂
:K:
!
3
P
P
P
).;!0F & . & 0
3 Z
!3
).;!!0- $ . 3!Y /
# ω!- & . & 0
23#
ω
V . ! . 3
(6) 104 ,7
8 & .
#
# 7!!Y . /
. 0
∂∂
∂∂
!
:
!K
:
& 0 . !
]F & .
. 3 ./ !
8 # 66 & . ;"
# / . !@
) N!
) / 0
∂∂
∂∂
∂∂
Q
) :K:
K!
)
3
)
V & /Q( !
: !$.
0: !V 6
Q . . 0
3:>3
)∂
∂
V : . D !8
(F . Q 0
33
)3:>3
)77
∂
∂∂∂
G ./ !2
# & ) !
) 0 / :3 &
3) ∂∂ B6>.)0
3
)3:>
)
∂
∂∂∂
Y. ) & . !)
& # .
!C ). ! &? #
0 3)K ! ∂∂ !F . . 3
!
). . 0α . !0β . !
;#I4 %
@ B6>. # !G
< * = . 3 P /
D # 7!,!
G ! G ./
& . & . α β0α β() / B6>. 0
3#
>
3
)
#
)3#
>
#
:
ω∂∂
∂∂ω
+
" . 0)
>L3(G <= B6>. N
. Dα!Y 0
33#K#K> ) ωαα
) β & 0
3
#K
KK
)K
α
ωω∂α
∂β
). 3. / 0
( )[ ] >
#
KK 3 βω
ωα
. ./ !
-# & α β 6 . !. &? & )!) β / 0β ][α & / & / ] G /
& ! -
./ ./ β P 6 ] 9 .
& / & / &! !G
. 3 &&
&!- <
3= P /
& . & 3 !
<" D
@ ) & & .
!) &
&& !- 6 :
! . TU . FY 0
; :K3 ):K3
)
⇔
" / ) /
!$ :
& / 0: .!2 ) 0
==
3>.K 3>.K )
2 K . # 0
/ / α & / / !
+)$&+))+&$)&)*&)**"$%)#'3$#'"$*'$"/&)*"3"")*"')*
@ /
& / !
!%4
9 ( ) 3 . / !9
>τ . ( )ττ >> 3 /
0
∂∂
∂∂
1>3
:K 1>> >
1>
:>3 1>3>3 3>3 3
>
>
ττττ∆
ττττ∆
τ
τ
1 Q τ : / ! ) /
;
" .
τ/ !2 # 7!, 0
!3 !3
!9 6
N #
# 0
1>X3>3 >
> ττ ττ
1 X & !
V 6 & .
( )ττ >> 3 . &? # 0
∂∂
∂∂
∂∂
Q1>
X :K:
1>
X>3 3
1>3
X>
>>
>
ττ
ττ
ττ
ττ
τ
@ & /
X :!V . # !
$ SQ: . ( )ττ >> 3 !2
:&? Q0
1>
:>
:>3
3
:>3: >3:
>> ττ∆∆τττ ∂∂
∂∂
∂∂
V * 3 ∆∆ # 0
1>
:>3: >3:
>> τττττ ∂∂
V & Q X :!
F S & X :
τ!) ./ # X#>τ!8 & . τ> ↔ &
0
1>
X
X>
3
3
X>
X
X
>
U
>U
>U
>U
>U
ττ
ττ
τ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
1 , τ τ!) 6 0
1>
X>3 3
> τττ ∂
∂
X :/
/ !
<
1''$")$"$ )'"/&)
% ?49 DE 4
14 ?41 D914
")#"")%) $"%#)'"$$&#"")%) '&)#&"*
: )&& B
34+65K4 * 577 M "
0
[;3 * 33 -2# @
3$ $ -2#
3([
) 8
./ ! G WW & / !
8 & W W
! F % < @
99 2 7 # #=! 8 &?
8 - D M
5770
! ) 0 6 ##
-#3$2*2
6
)
*#
*##!
- . M
M ! G N
& / &
!
G D - / . %
& ! G & 6
!
!04 ?49 D
9 ) /
/ !C6 0
[ ] 3>.KK )K)6
)
)6)6 δδδ
@ # # 0
!G . / !
8 & .
3 . ! - : . /
3 . 43>53 !C
: .!
) & / 0
5 3
4K5 ;
4>5 :
3 ;>:
. # 3 : .
B 0
6
)
5δ
1 4 1D
>
& !2 8 -
& !"
!) & 0
*#
5
1* * . & +
!F # B
0
*#
#
# *# 5
6
)
6
)
6
)
6
)
6
)
δδδδδ
) / & . ! " .
# & .
!9 & @
& . !
0 %&
C
!9
. # & .
337 / 3B 30
7
77 332 TU
).<!0- # F(- #
θϕ ρϕF([ 27;) 27 !F . J27I
!-& 27 3 # K!!)*
&! C 6
<. = #
& & !)
&
#4+'36+33!
%&'
"& @ &
& & / !"
. . σ 337 # TU6 !G & / !
- 6 5 FFF6' ! )
. σ & 0
9
5
≡ σ
) & / P
&!
F . # σ
!F 5 '!% 6 .
0
@
# σ
) # "#
0 UF>7>
!8 *&
& 3 0
@
7
77
33 # σ
2 . & σ
& !-
/ ! " &
0 #
6 3 !)
6 !C
& & /
& 6 !
6,7
@
& 8 - !G >.!9
σ . &/ @ !) B#/ 0
5
5
6
)
6
)
6
)
6
)
σδσσδσδδ
) 6 & !)
* .
: . 5>4!9
*5. K4! @ & !)
>.0
1 $ %
&'%
4K.
6
)
σδ
2 σσσσ & & & '3 4&'$ 3*' %
Y 4K. &
σσ 4K. # 0
/ & &
σ!2 & 0 ./ & ./
. * . & &
!
""2''$")$"$)'"/&)
)& 6 B +'+ +X5
VF9 !GM >. . # V
& * !
$
F() &
# . !G
% M>.0
% >.
& ⇐⇐⇐⇐ /
4K.
6
)
6
) ⇐ δδ
% . ./
./ M & 0
4K./ $#
1/ !)
# & M #$!
2 M& 0 &
# & #
# ![M 6 ;-# 66
;) ]"
& ) B6>.! 6
&& / 0
==
3(>.K 3>.K 3>.K )
1
3 !G # φ 0 (U>K
ωφ ! )& N ! @
& / <= .
# # & !-
& # U
∂∂φ
& !F .
P U
!
!2 4 7
"*6 . . &
!) && . 0
( ) ( )F
#
:ZF>>#
; ++
B/& 0
F F
/
) ) / 0
F>>>.K 3(>.K )F
V . )
∂∂ ! )
) / ) 0
F>> .>)F>>>.K ) )FF ⇔
G
0#
/ # ! !
) )!G .>) (
!
(,234
( (
,234
;9$3) )##07#$+(;9
(6#3F30K929+\
9) )*0**ϕ3#$*0**2(
!*ϕ?*2*?(
F # . D
) )!) .
!8
) )
0 & /
& ! G . &? ) 0
# ) )>)
.>)>) (
!) ) / .
) K.1 / !)
) ) #K!-
0 K.>) (
. ) )>)
! .
) .
) ) * !G
! )&
# / !
) & / &
# . 0
#
.
. *
(>.K (>.K )) )
ϕ
⊥⊥
1 ⊥ &
!@ *ϕ
& #
U * ωϕ !
) !-
0
2
.
#
#
.
#
5 *
∂∂
@ *2 *ϕ
* & 0 U *2 ∂∂ω !
@ & & 6
* & 4!G &
6 & ) 3) ∂∂ ]
* !9 &
. & *
!.
% >. & 6 0
$ 4 ⇐⇐⇐⇐ ?4
9 D
" %
6
)
δ
⇐⇐⇐⇐
" >.
6
)
4K.δ
" M
(U>K
ωφ
⇐⇐⇐⇐
9
3(>.K )
Y
U
∂∂φ
⇐⇐⇐⇐
[
3
)
∂∂
Y ⇐⇐⇐⇐
Y
U *
ωϕ
4K.#
.
. *ϕ
Y &
U *2 ∂
∂ω
⇐⇐⇐⇐
Y
4K.#
. *2 ∂
∂
2 **ϕ
⇐⇐⇐⇐ #
. ** 2ϕ
( )4K..
*
*
2
ϕ
) # . 0
( )4K..
#
$#
1 / !G / . FF!). < 0 " 6 $
4?.!Q & & !).<60F& *
0 D E
Q 4'3 / 6
# / I&
0 6
& ;
) & # .
& .
# E # +'' 6 +++! 2
&I0
6 #
;@ 6
& 8 #A # /
;
" # :& I& . &
& 0 Ψ # & 6 B >. &&/
) T/ . !2
" π ) . .
) :& &
. ω !@ ≡T
. 0
$ $ ⇐⇐⇐⇐ $
- 2
.
*
K.
∂∂∆
ϕ
⇐⇐⇐⇐
- Ψ;
" M
(U>K
ωφ
⇐⇐⇐⇐
"
3(>.K )
% &
ω U πλ
⇐⇐⇐⇐
% &
. πλω
9#
E
⇐⇐⇐⇐
9#
$ 4 ⇐⇐⇐⇐ ?4
9 D
" %
6
)
δ
⇐⇐⇐⇐
" >.
6
)
4K.δ
HFH/ / !F # . # D +4+!
F . 1 &
6 Ψ !" I& 0<#"*$-$#"#$30
-02%0#*#$9#C#
(;$#*#$939#7#$333$$
##79$3#32$#$3-$#"
#$T9U 9 $3 9##$33 *0
$3K#C#(=!G Ψ. . 0
*
K
∂Ψ∂∆Ψ
ϕ
1*ϕ & 6 !F *ϕ
6 . 6
0 .K ϕΨ ! Y I&
& . ω0
ϕϕϕ∆ . 4>#
K
G . .K ϕΨ ! !
& . !$ *& !"
. & & Ψ . !" 0
.
.K
∂Ψ∂ΨΨ
∂Ψ∂
. .K * .Ψ # 6 . I& #
& & 40
4>
#K
∂Ψ∂Ψ∆Ψ
) Ψ . #./ & !$ :& Ψ & & ! G . ++' ^ 45, # @. 4K7
4'5 Ψ .. Q
Ψ ..
Q ! G
# !2 Ψ .. .
! ! & . I& ! )
I& ! Y
& 6 0
:W
ΨΨ =
1Ψ :W !
"+'&#)%)'3$"$%1$%)$&#'%)#$'"")
@ & 6
) !2 0
)K ΨΨ
F Ψ I& ! C
/ 0
( )
∇
∇
#
)>4>
#
)
>
#
)*
ΨΨ∆
∂∂
∂Ψ∂
Ψ
) &
& & 0 >7* ∂∂ρ
1 7 &
ρ & !- # .. ])
.. 0
#
) 7 ∇
Ψ
G & )
.. & ..
& !
V . B6>.
)! 2 . # ! $
Ψ # ! F / !
)& 6 .
!
F
)*#$0)*%)$"**$
G & 7! @ #
!
G & X & (
3 0X X3(- X
3 # :
0
X>
3
:
XK
:
3
X X
∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
G X #
X !G *4%5+6+7,
# < " & X
:=! ) / " 4'K6'3
C 074,6453#@. 4X'
. /. &-!
"%)3"""$)#$#"))*%)*#$0)*%)$"**$
%D 0 #& X3 ]3(2
#& X ]0
[ ]
9
3 3
]
XK
]
3
X ]X
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
!"9 9B91 D4
$/ . # . ( ) 3
"!F . # .
!@ 0
. "
]) & & !
$ . !-&
. ( ) 3 #. !(G &
. & QP 7!
0V I& . !$ # I& B . & # / !2I& # !
6 & . &
/ & XX!Z? / . 0
U
U
U
U
3
!K
3
3
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
QP 0
U
U
U
U
U
U
3
!
Z
K
!
3Z
!
3
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
$ 7 6 .
0
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
JI
!! !!
! !
UUUU
UUUU
UUUU
37!7
37!7
737!7
δ
G #! - 6
&0
[ ]
[ ] [ ]
!
!
U U
U
U
U
U
U
UUUUU
!
UUUU
UU
X
]>3X
3
]
]K
3
3
]
!
XK
!
]>
!
3
3
]
X
]
!
XK
!
]
X ]X
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
" # " 6
6 . X ]0 X
3 ]X. / 0
[ ]
!
X X3
UU ∂∂
2 / " 6
0
[ ] [ ] [ ]
!!!
XK 3X3XK X3
UUUUUU ∂∂
T'U
C 0
[ ]
! 3
X X
UU ∂∂
TXU
F # # 0
[ ] [ ]UU 3
! ]X 3
]
XK
]
3
X ]X
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
G !
D . ]&
& &&0 .& . ( ) 3
" #& X ]
. !
4
9 "
6 0
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
]^X>^]X ^X]^]X>^X] ]^X
^]>^X ^]>X^X>]X ^>]X
X]K ]X
XX
@ ] >.0
[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] ]X^>X^]>^]X
9 / 6 "
&/. ) * +7'^+540.&
X] ^ 6
TX]U # X ] !2
44 X ]!
"")*#$0)*%)$"**$)%=' "/&)
!) 4 94
G " [ ] [ ]::3 UU 1: /
0
[ ]
[ ]
UU
UU
:
3 :3
).F!0- !
4 94
5%
@ " .
0 & X
# " X :0
[ ]
X>:X X∂∂
9 . X #
" : X !$ *&
0
[ ]
X>:X#*#X∂∂⇔
F 1 X X3 !
V !). F 0 6 : !?# > 43! G 6 ! X # . 3 ![ 66;. D !
"#$
) / " ..
!F #
/ !
?4 0X ] # "TX]U
!
) / # ! $ 1X ]
# >. / 6 ]!$
1 X ] # 0
) )!).F6 0V ./ X$ & 4([ # !G " #& # 3 !
"#$ &' %
) / & . 0
[ ]
:
:>:: :
∂∂
∂∂
#
. & / !
6 D4 . 44
6#
2 # . "
. 3 !@
" TU!V6
. 0
[ ]
[ ]
[ ]
33
3
7
7
77 δ
$ * / # . 3
&0 "!
) %
" & !$
# "
∧
. !
" 6 0 [ ] [ ] [ ] FFF
$ #
& &
" " #!).F;0C " 6 & !@!:! &#. 3 /& 0 QQ 3K3 L !
Q &
0
[ ] [ ] [ ] F
2
& & !
9 # #
" # 0 ! $ # &
" #
& # & ./ ! 9 # &
"
# & # & ./ !
2 # * 0 " # &
X ] #
X ] # & #
& !
G
%"33&*"$L0)$#")'**"/&)
$ . # . !
) & .
. 6 !) /
. & .
6 !C # 0 # !)
. ..
. !$ #
& !G & #
0 .
. !Q & # # 1
! G /
.
1 . < =
/ . 6 . ! )
& 0 #
/ . H G # !
- #
0 & 4 ! !
! ) /
& ( ! * !
"L0$)'*"/&))#)%)&('#"&)*
2 # N
& !$ & & #
L & # / &
/ !$ 0
& /
! " # #
&/ 0 /
# # &
& &
& . & !@
!
!4? 7?4E9 4 94
@ # # # !G
& * =
** **
=≤ ** **
=≤ !) / *
∆ !9 = # &
**
=≥ **
=≥ & 0 ./
!
) * −=∆ / . ! . .
0 <=
! & # & .
<= ./ !
@ / ! F
/ / /
0
** *#*#*#*#/!
+=+==
N
/ *
# *
! - &
./ 0).G! 0 # !$ / <= !
9 1
Q & N /
!" / &
!9 →
. →
. !2 / &
# 0
" 0 *
LL*#
*#
==− →
" 0 *
LL*#
*#
==− →
'
& 4 1
& * ≤
/ ≥ # !
" 0 ∂∂−== →
(
4(L
" 0 ∂∂−== →
(
4(L
9 '. 0
∂∂−
∂∂−=+=−−+
*
*
(
4(
4LL*#
*#
*#
*#
0
444*#
*#
*#
*#
*
*
−=−=
+−
+
2 / &
& / ! G / & #
/ 0 44 == ! 2
& / 0
+=
+ *
*
*#
*#
*#
*#
G /
!).G0G0& # & # !C # / !-# 0#DD##EE## #* * * ( !
Q # 5!'
. ./ /
/ &!- ./ X
& 7 X L 3
# ./
' X'L7 !
- & /
0
++
+−+
−=
++
+−+
=
'
'''
'
'
'
'''
'
'
##
*#*#**
##
#*
##
*#*#**
##
#*
****
****
τ
τ
1 τ 6
/ ./ !F
! " ./
# !
6 D 7
@ # # &
. ! $
* = *
= !) &
# 4 # !)
&& / 0
4*#
*#
;
−+=
G ./ #
/ & .
!@
. ./ 0
−=
++
=
##
##6
6 /
!) & .
#.
6
! ) # .
.
0
++
=
++
=
6##
#K
6##
#
&& . 0
( ) 4##
##
6##
;
−+
++=
6N . && &
/ ! !20
6##
!6
+
+=
1 6
!
G τ N #& N ./ # &
$ & ./ /
& . 0
( ) 4##
##
6##
.
++
++=
G 6
/
& 4 =
/
/ !"0
τ '' **** −=−= 1 ' **
− / 1 τ &
τ / !$ / !
2. 0
≥+≥+
=
≥+≥+
=
6##
#K*
6##
#*
- # 0
++
+−+
−=
++
+−+
=
****
****
##
*#*#**
##
#*
##
*#*#**
##
#*
τ
τ
. & !9 /
./ # 66 *
* '
**
** '
τ /!) ∆ * &
# ! ) / .
. !
2 & # /
. !" . / # # .
/ 0
++−==
++==
*
*
!##
#*#
!##
#*#
τµ
τµ
1 ( ) #### +=µ / *** ** '
−= !"
/ ! χ &
τ !)
.
# !9 θ θ &
! !@ θθ + & #
/ !2
!
=+ 0
;<299=$9$
F /& ! *** **
−= &
& χ θ θ
=
= !C &
0
−−+
−=
−++
−=
+−−++−+
==
+−+++−+
==
χ
χθ
χ
χθ
χ
χ
**#*#*#
**#2
**#*#*#
**#2
*#*#**#*#*#**###
#*#
*#*#**#*#*#**###
#*#
****
**
****
**
****
**
**
****
**
**
Y # 6 0 6
; ; #
. & ; ( F & a 5
) )!
./ ./ ' 6
/ *
*
& χ ! ./ X N / . / *
*
! - N 1 # / *
1 !2 6
! & !Q
& χ , M .
!Q #
G.&b A ( #
µ∧= </ = < =
& χ !
; D 4
> . ./
# !F & //
1 ! G
& 6
. ! - #
< = -0
( )
( )
−+
−=−+
−=−=
−+
=−+
=−=
τ
τ
M
M
**##
#**
##
#6**
**##
#**
##
#6**
" & 0 #
& ( ) **
− ! ! τ M M !
τ
) & T
( )** **
− ! ! *τ U & /
T ( ) **
− ! ! τ U& 6/!
9 /
0
0) P N . !
/!*#*#
===+
) !9 /
*
*
0
*
#
#*
−=
0
*
* *
#
#*
−=
- M & 0
+=
+ **
*#
*#
*#
*#
'
# / 0
=
=
*
*
**
**
9
& & ! @ θ M& # 6 !θ M& 66 & *τ τ !F N
& N / ! Q
M& χ ,M& θ M !
*τ
τ
θ
$ #.!" / #
!$ #/ & !
""L%)&('#"&)*)")#'"$L%))# "'"$%)1') χ
@ 1 #
c' . ! ) . F6X
0
( )( )
−=
−=−+
−=−
=
+=
+=
+
++=
22
###
2
**##
#*
**##
###
#
*
χπθχπχπ
χπχ
χθ
χχ
θ
χ
χ
0
'
)& θ & &
. ! )& 'θ &
' **
. !-& χ & θ !F & χ !" # 4
!$
FX / && / #
. 6
. !V 66
. 6 µ/ 0
' ' 4; −= µ
G && . µ ! )
ϕ && 0
( ) ' ''' 4; −+= ϕµ
ϕ . )&& . 0
===≡∂∂ ϕµϕ ϕ
/;
- # & . 5>4
0
[ ]''
'
'
4.
µµ
−−±=≡
$ # &
'
−= & ! ) & ^
. # & L
!) #
. ,= !
$ # & ϕ 0
[ ]
'
'
'' −−
±=
4.
µ
ϕ
1 & ^ . ∞=
# = & L # = ∞= !
$ & ϕ∆ &0
[ ]
'
'
'
''
∞
−−
=∆
#
4.
µ
ϕ
2 & ϕ∆ & χ 0 ϕχπ ∆+= & 6
♣!
20
[ ]
'
'
'
''
∞
−−
−=
#
4.
µ
πχ
♣) &
'0
'
6
& !G & ϕ∆ χ & !
" P < & = <
= / # # / #! F &
/ **
∞* 0
''
∞= *. µ
$ #/ #"# 0
& 6 !G
# 6 0
* ∞= µ
G #/ & χ 0
∞
∞−−
−==
*
4
µ
πθχ
1 # # !G
& θχ = ./
# / & 0 θ =
FFF #
!).G6 0 6 1 # . . 0 =χ !
"""L%"33&*"$'#&$)")
!* DDDD
) & θχ =
6 0 '
µ !- & / .
. !
) & / &? 6
!Q #. #
! G &
/ & /
. # !F &
! "
/ & Ω
& 6 !
-# . &
Ω ! ) / # .
Ω
66 # % ♥ 0
ΩΩ
φθσφθ %
=
Ωσ !θ φ & & ! ! / # F &
& 6 & θ M& χ ! φ & ♠0 φθ φ & 6 !
) Ωσ 99
99$ 99! 2 & & * 0
. & .
σ !
G σ% =
6 ! ) &
1 #
!
)& & !
) # & .0 ''7 , # −= !
♥V 0 # &. ♠9 & φ & ϕ
" . φθ
& φθθΩ = &.
/ / & θ / θ!G . & φ% !20
φφΩ
φθσφθ %__%
==
10
Ω= _
_
φθσ
σ . . θ &
N θ N !F N / &
!2 &/
µ # 0
∞
∞−−
−=
*#
4
πθ
%DD # D
@ &
! Y . HH/ / /
/ !Y 4,,> >Q+K3^
47,#@. 4,3 & <&= / &
& & & \& / !
) α B . V ?+
& #
. ! V
. α .!G & #
. 4 !
) / Q α N . . # !C
/ / . /
!8 # ). G G.& B
Z & ++'^47K - 8 V / .&E.
α . & 4,c . . . /
Q( / ,!G
, & / & >
" +5,^47'#@. 4'3!
$ # Z & 8 α ! G & F F S #
O !≈ #? /
. # &
^ ^ O'!G / 0'O
# #
/ αL !$ & . α 0
P
3
^F4
πε==
K3& α !- 4 / . /0
+
−=
∞
∞
*#
^F
*#
^F
πθ 0
2*#
^F
θ
∞=
1 . 0
(
*#
^F
P
θσ
=Ω
∞
G . D. # !
""$#'0")*$ '"#)
6 %%
6,C [.$#+$33[$6"43
6 9 [;*[8 44X
6 )D 8[!-3-$3#,+$3[-8FV4+'
. *9 [89#22--#[-$" ',,'
2
68[5-*9#-[$ .4+3
60 [/+-[96O ".&G
7 , 3 </ #$3 3= ). 9 Z .
0\\AAA!&!.!6& . !\J 6% 8</#$3$=). 9 C ) F0\\AAA! !\!
'4 <+$3/3=$ " C )[ . G0\\ !!!\
+%8 '%
6#% : +$3a:./ 3dZ@ ? "
$ 4K,!>!Z.!443
6C = * 4 [4#3#-[$ .
454
6 ,44[5-*#93##-[8 ZA6B433
6)*K[+$##$3[ '36'5>!Z.!4++
6) <;#$3,$-33$*#=& 04,7!>!Z.
!4+5
0 <;\ #$3 $ # , -$ 2$$ $= /
0 4,K!>!Z.! ',,X!Y . A . ../ 0
0\\&!.!\
(# ##
6E=4 E+[;-[B !!- & 4++
![Total No. of Questions : 12] SEAT No. : P1104 [Total No ... · ˘ ˇˆ˙ ˝ˆ ˆˆ ˇ ˛˚ ˜ ˘ ˝ˆ ˆˆ ˛ ! "ˆ ˆ ˆ˜ ˇ% ˚ˇ ˜ ˛˚ "ˆ ˆ ˜ ˛ ! "ˆ ˆ ˜ ˘ ˝ˆ ˆˆ](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/5e3b3b9961c8a2494967145c/total-no-of-questions-12-seat-no-p1104-total-no-.jpg)
