Gradevinski fakultet

Dalibor Gelo

OCJENA PRIMJENJIVOSTI

NELINEARNE METODE POSTUPNOG

GURANJA NA NISKOJ GRAÐEVINI OD

KAMENA

DOKTORSKI RAD

Mentor:prof.dr.sc. Mladen Meštrovic

27. prosinca 2016.

Sažetak

Ocuvanje gradevina od iznimne kulturne i povijesne važnosti glavna je motivacija zaizradu ovoga rada. Gradevine izgradene od kamena stvaraju inženjerima znacajneprobleme pri odredivanju njihovog ponašanja za staticka i dinamicka djelovanja. Na-cin izgradnje odnosno karakteristike takvih gradevina otežavaju primjenu standardnihnumerickih metoda kao što je metoda konacnih elemenata (MKE). Pri definiranju radapostavljena su dva cilja, odredivanje optimalnog modela i ocjena primjenjivosti metodepostepenog guranja za gradevine izgradene od kamenih blokova. Radnja se sastojiod šest poglavlja. Prvo poglavlje prikazuje pregled dosadašnjih istraživanja, motivacijui metodologiju. Metodologija odnosno istraživanje se svodi na izradu numerickih mo-dela pomocu MKE-a i diskretne metode. Odredivanje optimalnog modela definiranoje usporedbom odgovora numerickih modela s eksperimentalnim istraživanjem drugihautora.Pomocu kompjutorskog programa SAP2000 izraden je model MKE-a. Materijalno po-našanje kamenog zida pretpostavljeno je na dva nacina - pretpostavlja se linearnoponašanje prema kriterijima koje propisuje EC8 i idealno plasticno ponašanje u kom-binaciji s Drucker-Pragerovim kutom trenja. Kalibracija je provedena usporedbom seksperimentalnim rezultatima, a usporeduju se velicina posmicne sile i pomaka vrhaispitivanog zida. Modeli izradeni pomocu MKE-a ukazuju na nestabilnost. Uoceno jeda se primjenom Drucker-Pragerovog kuta trenja može korigirati velicina maksimalneposmicne sile, ali postoji mogucnost da se pojavi problem konvergencije. Takoder jeuocen problem kada parametri koji vrijede za jedan tip opterecenja ne vrijede za drugitip, cime se dovodi u pitanje primjenjivost MKE-a pri modeliranju gradevina izradenihod kamenih blokova.Diskretni model izraden je pomocu programa LMGC90. Svaki kameni blok promatra-nog uzorka definiran je jednim diskretnim elementom. Pretpostavljaju se apsolutnokruti diskretni elementi dok je konata izmedu pojedinih elemenata odreden trenjem,odabrani koeficijent trenja je 0, 62. Rezultati upucuju na dobro podudaranje s ekspe-rimentalnim rezultatima, razlika u maksimalnoj posmicnoj sili izmedu eksperimenta inumerickog modela iznosi 10% do 15%. Velika prednost diskretnog modela je osjetlji-vost na promjenu vertikalnog opterecenja.Za potrebe daljnje analize izradena su dva modela kupole katedrale sv. Jakova u Ši-beniku. Izradeni su takoder pomocu kompjuterskog programa SAP2000 i LMGC90.Buduci da vrijeme trajanja proracuna diskretnog modela ovisi o odabiru parametaraiteracije provedena je analiza optimalnog broja iteracija. Uoceno je da izmedu maksi-malnog broja iteracija 2000 i 8000 nema znacajne razlike u odzivu kupole, ali se vrijemeproracuna smanjuje s 724 min na 280 min.

1

Dinamicka time-history analiza u vremenu je provedena na diskretnom modelu kupole.Rezultati upucuju da se pojavljuju trajne deformacije koje su uzrokovane smicanjem iz-medu pojedinih blokova. Takoder je provedena simulacija metodom postupnog guranjana diskretnom modelu kupole, postupka je proveden nanošenjem prisilnog horizontal-nog pomaka u tjemenu kupole. Vizualnim pregledom rezultata uoceno je da se po-javljuje problem istiskivanja središnjeg kamena i razilaženja kupola uslijed time-historyanalize. Metodom postupnog guranja nije moguce predvidjeti odziv koji proizlazi iztime-history analize, ali maksimalan posmicne sile u bazi kupole se podudaraju u obapostupka. Model izraden pomocu MKE upucuje na znacajne razlike u odnosu na dis-kretni model. Rezultati ukazuju na cinjenicu da je teško uspostaviti korelaciju izmedudiskretnog pristupa i MKE.Na temelju prikazanih rezultata odabir diskretnog modela uz primjenu time-history ana-lize proizlazi kao logican izbor pri modeliranju gradevina izvedenih od kamenih blo-kova.

Kljucne rijeci— metoda konacnih elemenata (MKE), diskretni model, Drucker-Pragerovkut trenja

2

Abstract

Protecting the buildings from very important cultural and historical meaning is mainmotivation of this paper. Buildings built from stone create big problem for engineers topredict their behavior under the static and dynamics loads. The way they have beenconstructed and their characteristics complicate the use of standard numerical modelslike finite element method (FEM). There are two goals in this paper, defining the opti-mal model and grading the usability of the pushover method on the buildings built fromstone blocks. The paper is the divided in six chapters, the first chapter presents previ-ous investigations, motivation and mythology. The mythology is based on the creatingthe numerical models using FEM and discrete method. Defining the optimal model isbased on comparison between the numerical model and experimental results of otherauthors.In computer program SAP2000 is created the FEM model. Material behavior of thestone wall is predicted on the two ways, linear behavior recommended by EC6 andideal plastic in combination with Drucker-Prager friction angle. Calibration is made bycomparison with experimental results, base shear force and displacement of the top.Model created with FEM is unstable. It was noticed that Drucker-Prager friction anglecan correct the maximal base shear force but there is possibility that calculation be-come unstable. It was also noted that values that matches one type of loading cannotbe used for the other type of loading, this conclusion brings the use of FEM under thequestion for the buildings built from the stone blocks.Discrete model is created with computer program LMGC90. Each stone block of ex-perimental sample is defined with one discrete element. It is assumed that infinite stiffdiscrete element but the contact between the elements is defined with friction, valueof the friction coefficient is 0, 62. Results show the good matching with experimentalresults, deflection of the maximum base shear force between experimental and numer-ical model is from 10% to 15%. The big advantage of discrete method is the modelssensibility to changing the size of vertical load. For the further analysis are createdtwo models of dome of St. George cathedral in Šibenik, models are created in com-puter programs SAP2000 and LMGC90. Because that necessary time for calculationof discrete model depends on chosen iteration parameters it has been determined theoptimal number of iteration. It is noticed that no big difference in results is for maximalnumber of iteration of 2000 and 8000 but time of calculation is reduced from 724min to280min.Dynamic time-history analyses are carried out on the dome models. The results showappearance of permanent displacements caused by shear movants between discrete

3

elements. The pushover analysis is carried out on the discrete model of dome, the sim-ulation is created by horizontal department on the top of the dome. Visual examinationshow that problem of vertical displacements of the central stone and opening of domeunder the time-history analysis. Pushover analysis cannot predict same response astime-history analysis but maximal shear forces in base of dome are almost the same inboth analyses. Model created by FEM have a bead results coped with discrete method.Results show that is hard to found the correlation between FEM and discrete method.Based on the results discrete method in combination with time-history analyses is log-ical choice for modeling the buildings made from the stone blocks.

Keywords— finite element method (FEM), discrete model, Drucker-Prager friction an-gle

4

Sadržaj

1 Uvod 71.1 Povijesni pregled analize konstrukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Ciljevi i metodologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Pregled dosadašnjih istraživanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Sadržaj rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Metoda postupnog guranja (engl. pushover ) 152.1 Teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 N2 metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 NSCD metoda (engl. Non-smooth contact dynamic method) 233.1 Jednadžbe gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Interakcija diskretnih elemenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Diskreditacija jednadžbi gibanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Θ metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Aproksimacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6 Kontaktni zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.7 Algoritam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Numericko modeliranje zida 394.1 Ispitivanje i numericko modeliranje zida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Kalibracija modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.1 Numericki model zida izraden pomocu programa SAP2000 . . . 434.2.2 Numericki model zida izraden pomocu programa LMGC90 . . . 47

5 Kupole katedrale sv. Jakova u Šibeniku 515.1 Analiza kupole katedrale sv. Jakova u Šibeniku . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.1 Geometrija kupole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.2 Numericki model kupole pomocu programa LMGC90 . . . . . . . 59

5.2 Analiza iterativnog postupka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2.1 Definiranje kriterija analize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5

5.2.2 Analiza rezultata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.3 Zakljucak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3 Dinamicki odziv kupole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3.1 NSCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.3.2 Odziv kupole pomocu metode konacnih elemenata . . . . . . . . 91

6 Zakljucak 94

6

Poglavlje 1

Uvod

Analiza konstrukcija svodi se na vješto balansiranje izmedu prakticnih iskustava i pra-vila inženjerske struke. Pioniri oblikovanja konstrukcija vodili su se vlastitom intuici-jom koja se temeljila na iskustvu i vještini oblikovanja gradevine. Razvojem matema-tike postavljaju se temelji teoretskog znanja, intuicija je zamijenjena teoretskim pravi-lima.

1.1 Povijesni pregled analize konstrukcija

Ljudska civilizacija u svojim pocecima nije poznavala ustrojen sistem obrazovanja, zna-nje i iskustvo prenosi se s ucitelja na ucenika, a znanje se stjecalo metodom pokušaja ipogreške. Rimski arhitekt Vitruvius u knjizi Then books of Architecture [31] usporedujekvalitetu kamena iz razlicitih kamenoloma i kvalitetu drveta za razlicite botanicke vrste.Takoder proucava stupove, visinu stupova i medusobni razmak. U srednjem vijeku serazvijaju geometrijske tehnike, pojavljuju se planovi i modeli na temelju kojih se klešekamen. Ali u tom razdoblju se jako malo znalo o samoj statici konstrukcije. Bez pozna-vanja matematicke teorije ali uz pomoc geometrijskih vještina u vrijeme gotike grade seimpresivne gradevine. Upotreba kamena kako osnovnog gradevnog materijala dove-dena je do savršenstva. Koliko su znanja posjedovali graditelji Gotickog razdoblja nijepoznato, nisu pronadeni znacajniji dokazi kako bi dobili bolji uvidi u inženjerska znanjatog razdoblja [23].

Temelji moderne analize konstrukcija postavljeni su sredinom 17. st. Galileo Gali-lei, Robert Hooke i Isaac Newton pokrenuli su znanstvenu revoluciju. Godine 1638.Galileo objavljuje Dialogues Relating to Two New Sciences u kojoj se bavi cvrstocommaterijala i gibanjem tijela. Takoder u njegovom se djelu prvi put primjenjuju znans-tvene metode u analizi konstrukcija, razvija teoriju greda. Robert Hooke 1676. opisuje

7

Slika 1.1: Dizajn goticke katedrale [15]

elasticno ponašanje materijala, danas se to ponašanje naziva Hookov zakon. Uz to,bavi se problemima kamenih lukova i uocava da luk ima oblik lancanice za koju je DavidGregory 1698. pronašao matematicko rješenje.

Isaac Newton 1687. objavljuje knjigu Philosophise Naturalis Principia Mathematic, akoja se smatra jednim od najznacajnijih znanstvenih djela. Zakonima gibanja Newtonpostavlja temelje za razumijevanje konstrukcija.

Slika 1.2: Graficka analiza luka [27]

Sljedeci veliki iskorak u analizi konstrukcija pocetak je primjene racunala. Postoji velikibroj diferencijalnih jednadžbi za koje ne možemo pronaci rješenje u zatvorenom obliku.Primjena racunala i razlicite numericke metode omogucuju da se pronadu približna rje-

8

šenja. Vecina racunalnih programa koji se primjenjuju u analizi konstrukcija zasnivajuse na teoriji matematickog kontinuuma odnosno na diskretizaciji kontinuuma. Razvo-jem racunala, odnosno njihove brzine, pocinju se primjenjivati i diskretne metode.

1.2 Ciljevi i metodologija

Od samih pocetaka ljudske civilizacije zidane konstrukcije su prisutne u graditeljskojpraksi. Današnje kapitalne gradevine su pretežno izgradene korištenjem betona i ce-lika, ali kroz veci dio ljudske povijesti zidane konstrukcije su predstavljale glavni kons-truktivni sistem. Zanimljiva je cinjenica da je analiza i dimenzioniranje zidanih konstruk-cija najslabije razvijeno podrucje unatoc svojoj dugoj povijesti. Specificnosti zidanihkonstrukcija zadaju velike probleme prilikom modeliranja. Nehomogenost materijalaodnosno razlika u fizikalnim karakteristikama ispune i veziva znatno otežavaju opisiva-nje materijalnog ponašanja zidanih konstrukcija. Zidane konstrukcije izvedene su odkrhkih materijala, odnosno naglašena je tlacna cvrstoca, dok je vlacna cvrstoca za-nemariva. Navedene karakteristike dovode u pitanje primjenu metode kontinuuma primodeliranju zidanih konstrukcija.

Dinamicko ponašanje zidanih konstrukcija takoder je poprilicno neistraženo podrucje.Danas se primjenjuje staticka i dinamicka analiza pri odredivanju odziva gradevine amogu se definirati kao nelinearna i linearna. Pod dinamickom metodom se misli natime-history analizu s kojom se nastoji prikazati realan odziv za realni potresni zapis,a kao rezultat se dobiva odziv gradevine za vrijeme djelovanja potresa i poslije njega.Time-history analiza je zahtjevna metoda glede potrebne kompjuterske snage i iz tograzloga su razvijene staticke metode. Cilj statickih metoda je dobiti odziv gradevine nabrži nacin odnosno olakšati dinamicku analizu u svakodnevnoj inženjerskoj praksi, alipostavlja se pitanje je li njihova primjena uvijek opravdana.

Osnovni cilj ove radnje je odredivanje optimalnog numerickog modela za konstrukcijeizvedene od kamenih blokova bez upotrebe veziva. Unutar ovog rada nece biti obuhva-ceno eksperimentalno ispitivanje, ocjena optimalnog modela izvršit ce se usporedbomnumerickih rezultata s eksperimentalnim istraživanjem drugih autora. Numericko mo-deliranje ce se provesti pomocu dva matematicka pristupa. Pomocu metode konacnihelemenata i diskretnog modeliranja matematicki se nastoji replicirati eksperimentalnoistraživanje, a usporedba s eksperimentalnim rezultatima omogucuje odredivanje opti-malnog matematickog modela.

Takoder cilj je i odredivanje optimalnih parametara numericke integracije. Ispipavanjece se provesti na modelu kupole katedrale sv. Jakova u Šibeniku. Usporedbom odziva

9

dvanaest numerickih modela s razlicitim parametrima integracije i jednakom dinamic-kom pobudom može se utvrditi utjecaj parametara integracije na odziv gradevine. Zasvaki numericki model mjerit ce se vrijeme trajanja analize i broj iteracija koje su pos-tigle traženu tocnost. Dobiveni rezultati ce omoguciti odabir optimalnih parametaranumericke integracije koji mogu ubrajati i olakšati daljnja istraživanja.

Drugi cilj rada je ocjena primjenjivosti metode postupnog guranja za niske gradevineizveden od kamenih blokova. Metoda postupnog guranja (u nastavku pushover ) je ne-linearni staticki postupak za odredivanje dinamickog odziva gradevina. Pushover ana-liza ima široku primjenu u pravilnim betonskim i celicnim konstrukcijama a uvrštenaje kao standardni postupak u EC8. Ocjena primjenjivosti pushover analize postici cese usporedbom nelinearne time-history analize i pushover analize. Usporedbom od-ziva navedenih analiza moci ce se zakljuciti može li pushover analiza dovoljno dobropredvidjeti ponašanje niske gradevine izvedene od kamenih blokova.

1.3 Pregled dosadašnjih istraživanja

Lourenço P. B., Trujillo A., Mendes N., Ramos L.F. (2012.) provode provjeru seizmickeotpornosti ruševina crkve St. Georgea. Matematicki model je modeliran korištenjemmetode konacnih elemenata. Provedena je metoda postupnog guranja u razlicitimsmjerovima upotrebom dva tipa bocnog djelovanja - u odnosu na masu i oblik grade-vine. Takoder je provedena i time-history analiza. Pojavljuje se znacajno rasipanjerezultata izmedu razlicitih postupaka dinamicke provjere, ali im je zajednicko da suostaci crkve vrlo osjetljivi na potres [21].

Slika 1.3: Ruševina crkve St. Georgea [21]

Betti M., Vignoli A. (2011.) u radu opisuju staticko i seizmicko ponašanje bazilike sv.Marije u blizini Firence. Staticko i dinamicko ponašanje crkve procjenjuje se upotre-bom metode konacnih elemenata, uzevši u obzir nelinearno ponašanje zida. Potresnaanaliza je provedena metodom postupnog guranja, a rezultati su usporedeni s po-jednostavljenom linearnom analizom. Metoda postupnog guranja provedena je u dva

10

(a) Otkazivanje sjevernog procelja [21] (b) Numericki model (metoda konacnih

elemenata) [21]

Slika 1.4: Odziv ruševina crkve St. Georgea

medusobno okomita smjera. Dobiveni rezultati ukazuju na kriticna mjesta, dok se pro-racun zaustavlja u trenutku kada djelovanje dosegne 18% do 20% težine gradevine[3].

Slika 1.5: Pushover krivulja [3]

Galasco A., Lagomarsino S., Penna A. (2006.) proucavaju primjenjivost nelinearnemetode postupnog guranja na realnoj gradevini. Izveden je trodimenzionalni modelza zgradu od zida korištenjem makroelemenata za zidove i ortotropne membrane zaopisivanje mehanickog ponašanja stropova. Ovaj model alternativa je standardnompristupu modeliranja ploca kao krutih tijela [14]. Provedena je simulacija realnog ispiti-vanja pomocu numerickog modela. Ispitivanje je provedeno na modelu realne velicinena Sveucilištu u Paviji. Usporeduju se krivulje kapaciteta i rezultati upucuju na dobrupodudarnost [14].

Peña i drugi autori (2010.) u svom radu opisuju seizmicko ponašanje zidanog tornja

11

Slika 1.6: Makroelement model [3]

Slika 1.7: Usporedba krivulja kapaciteta eksperimenta i numerickog modela [14]

Qutb Minar u Indiji. Istraživanje ukljucuje tri modela razlicite složenosti, a razlikuju sepo odabiru konacnih elemenata. Prvi model je izraden pomocu volumnih konacnihelemenata, drugi model je izveden pomocu plošnih konacnih elemenata, dok se trecimmodelom nastoji aproksimirati ponašanje tornja pomocu štapnih konacnih elemenata.Kombiniranjem triju modela nastojao se dobiti što bolji uvid u ponašanje tornja.

Provedena je nelinearna staticka i nelinearna dinamicka analiza. Uoceno je da sta-ticki i dinamicki pristup daju razlicite rezultate, odnosno da se analize ne podudaraju.Autori preporucuju da se staticki pristup mora koristiti s velikim oprezom na gradevi-nama od zida [13]. Pojavljuje se kontradiktornost izmedu analiza, u statickom pristupunajosjetljiviji dio tornja je baza, a kod dinamicke analize - sam vrh. Razlicito ponašanjepripisuje se znacajnom utjecaju viših tonova.

12

Slika 1.8: Trodimenzionalni model tornja [13]

(a) Staticki odziv [13] (b) Dinamicki odziv [13]

Slika 1.9: Odziv tornja Qutb Minar u Indiji

1.4 Sadržaj rada

Rad je podijeljen u šest poglavlja, u kojima je prikazana i opisana izrada modela gra-devina izradenih od kamenih blokova. Prvo poglavlje je uvodno, u njemu su prikazanadosadašnja istraživanja, ciljevi i metodologija izrade doktorskog rada. Buduci da je ciljrada ocijeniti primjenjivost metode postupnog guranja na gradevini od kamenih blo-kova u drugom poglavlju su prikazane osnove N2 pushover analize koja je ukljucenau EC8. Opisane su osnove N2 postupka s njenim karakteristikama. U trecem po-glavlju opisana je Non-smooth contact dynamic metoda (NSCD). Prikazane su njenetemeljne matematicke i fizikalne formulacije. Takoder je prikazan Θ postupak nume-ricke integracije koji je ukljucen u program LMGC90. Na matematickom primjeru suusporedeni razliciti Θ koeficijenti s ciljem odredivanja optimalnog numerickog modela.U cetvrtom poglavlju testirana su dva razlicita numericka pristupa. Pomocu metodekonacnih elemenata (MKE) i NSCD metode matematicki je opisan model zida. Modelisu izradeni tako da što zornije opišu eksperimentalni model. U radu nisu sadržana eks-perimentalno istraživanje nego se koriste eksperimentalni rezultati drugih autora. MKEje provedena pomocu kompjuterskog programa SAP2000, u obzir su uzeta linearno inelinearno ponašanje materijala. Nelinearno ponašanje materijala opisano je pomocuidealno plasticnog materijala i Drucker-Pragerovog modela. Peto poglavlje prikazuje

13

odziv kupole katedrale sv. Jakova u Šibeniku i ocjenu primjenjivosti pushover ana-lize. Izradena su dva numericka modela, kontinuirani model pomocu MKE-a i diskretnimodel pomocu NSCD metode. Matematicki modeli podvrgnuti su dinamickoj analizi.Usporedeni su rezultati dobiveni pomocu time-history i pushover analize. U šestompoglavlju prikazani su zakljucci cjelokupnog rada.

14

Poglavlje 2

Metoda postupnog guranja (engl.pushover )

U cilju izbjegavanja problema vezanih uz time-history analizu razvijena je staticka ana-liza koja omogucava inženjerima da provode nelinearne proracune. Nelinearnu sta-ticku analizu nazivamo pushover metodom. Metoda se zasniva na odredivanju ek-vivalentnog statickog djelovanja koja se mogu definirati kao sila ili pomak. Pushoveranaliza nema teorijsku osnovu. Odgovor konstrukcije se pretpostavlja u obliku prvogmoda. Takoder pretpostavlja se da oblik moda ostaje nepromijenjen u plasticnom po-drucju odgovora konstrukcije [29]. Pushover krivulja je glavni rezultat analize. Krivuljapredstavlja odnos izmedu horizontalne sile u bazi gradevine (base shear ) i pomakavrha. Krivulja daje važne podatke o globalnoj izdržljivosti gradevine i deformacijskojsposobnosti [1].

2.1 Teorija

Temeljna ideja pushover analize je transformiranje problema s više stupnjeva slobode(MDOF) u ekvivalentni problem s jednim stupnjem slobode (SDOF). Jednadžba gibanjaelasticnog i neelasticnog gibanja sustava s više stupnjeva slobode može se opisatipomocu sljedece diferencijalne jednadžbe

[M ] U+ [C] U+ F = − [M ] 1ug , (2.1)

gdje je [M ] matrica masa, [C] matrica prigušenja, F vektor horizontalnih sila, 1vektor pomaka masa od jedinicnog pomaka tla za slucaj statickog nanošenja i ug ubr-zanje tla.

15

Slika 2.1: Transformacija MDOF u SDOF [29]

Pretpostavlja se funkcija oblika Φ koja opisuje odnos izmedu pomaka središta masa.Funkcija Φ nije ovisna o vremenu. Pomake sustava s više stupnjeva slobode možese opisati izrazom U = Φut, gdje ut odreduje pomake vrha gradevine. Diferenci-jalna jednadžba 2.1 može se zapisati

[M ] Φut + [C] Φut + F = − [M ] 1ug . (2.2)

Referentni pomak u∗ za sustav s jednim stupnjem slobode može se definirati pomocusljedece jednadžbe

u∗ =ΦT [M ] ΦΦT [M ] 1

ut . (2.3)

Ako se jednadžba 2.2 pomnoži s ΦT i uvrsti se umjesto ut izraz 2.3 proizlazi jed-nadžba ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode

[M ]∗ u∗ + [C]∗ u∗ + F∗ = − [M ]∗ ug , (2.4)

gdje je

[M ]∗ = ΦT [M ] 1 , (2.5)

[C]∗ = ΦT [C] Φ ΦT [M ] 1

ΦT [M ] Φ, (2.6)

[F ]∗ = ΦTF . (2.7)

Sada se može provesti nelinearna staticka analiza za sustav s više stupnjeva slobodea rezultat su karakteristike ekvivalentnog sustava s jednim stupnjem slobode. Iz MD-SOF analize proizlazi krivulja kapaciteta odnosno dijagram base shear -pomak vrha.

16

Krivulja kapaciteta daje važne podatke o približnom ponašanju gradevine u plasticnompodrucju. Postoji odredena nesigurnost uz plasticno podrucje krivulje kapaciteta, re-zultati ovise o materijalnim i geometrijskim pretpostavkama modela [29].Krivulja kapaciteta se aproksimira s bilinearnom funkcijom koja je odredena s grani-com tecenja Vy, efektivnim modulom elasticnosti Ke = Vy

uyi krutosti ojacanja Ks = αKe.

Pomocu idealizirane krivulje i jednadžbi 2.7 i 2.3 mogu se odrediti karakteristike ekvi-valentnog SDOF sistema. Period Teq se odreduje pomocu izraza

Teq = 2π

√M∗

K∗(2.8)

gdje je K∗ definirano kao elasticna krutost ekvivalentnog SDOF sistema

K∗ =F ∗yu∗y

. (2.9)

Koeficijent ocvršcavanja α se pretpostavlja da je identican za MDOF i efektivni SDOF.Maksimalni pomak SDOF sistema može se odrediti pomocu elasticnog spektra ili ne-

Slika 2.2: Krivulja kapaciteta za MDOF i SDOF [29]

elasticnog spektra ili time-history analize. Zatim se može definirati odgovarajuci pomakvrha za MDOF sistem pomocu preoblikovanog izraza 2.3

ut =ΦT [M ] 1ΦT [M ] Φ

u∗ . (2.10)

Pomak ut ovisi o odabiru modalnog vektora Φ. Dosadašnja istraživanja su pokazalada odabir prvog modalnog vektora daje dobre rezultate za pomak ut ako je prvi modalnivektor dominantan u odgodu gradevine [29].

Prednosti pushover analize

Seizmicka procjena i projektiranje za nelinearnu staticku analizu provodi se pomocukontrole deformacije konstrukcije.

17

Pushover analiza direktno ukljucuje nelinearno ponašanje gradevine za razliku od line-arnog pristupa gdje se rezultati korigiraju faktorom ponašanja. Cinjenica je da faktoriponašanja nisu tocno definirani za sve tipove gradevina.Nelinearna staticka analiza omogucava da se definira krivulja kapaciteta i identificirajuelementi koji se ponašaju plasticno odnosno i otkazuju. Analiza identificira distribucijupojave plasticnih zglobova odnosno utvrduje pojavu prvog mjesta otkazivanja što možebiti korisno u sanaciji gradevine.

2.2 N2 metoda

Pushover analizu ukljucuje sve veci broj propisa kao standardnu nelinearnu statickuanalizu. N2 metoda je ukljucena u propise Eurocoda 8 i ona ce biti predmet razma-tranja u nastavku rada. Razvoj N2 metode je zapoceo 1980. godine na Sveucilištu uLjubljani. N oznacava nelinearnu analizu, dok 2 oznacava dva matematicka modela.N2 metoda se temelji na odnosu izmedu akceleracije i pomaka odnosno kombinira me-todu spektra kapaciteta i neelasticne spektralne analize. U nastavku ce biti prikazanaanaliza gradevine pomocu N2 metode.

Korak 1Potrebno je izraditi model gradevine koji ukljucuje nelinearno ponašanje konstrukcijskihelemenata za monotono djelovanje. Takoder je potrebno izraditi elasticni spektar zaodgovarajuce seizmicko djelovanje.

Slika 2.3: MDOF model i elasticni spektar akceleracija [1]

Korak 2Za sustav SDOF može se izracunati spektar pomaka iz spektra akceleracija.

Sd =T 2

4π2Se (2.11)

Se i Sd su vrijednosti elasticnog spektra akceleracija i pomaka za odgovarajuci periodT i konstantni stupanj prigušenja.

18

(a) Tradicionalni format (b) ADRS format

Slika 2.4: Spektar elasticnih akceleracija i pomaka [1]

Korak 3Pushover analiza se provodi tako da se nanosi bocno opterecenje koje se postupnopovecava. Bocne sile aproksimiraju inercijalne sile uzrokovane gibanjem tla. Odabirdistribucije bocnih sila znatno utjece na konacne rezultate pushover analize. Eurocode8 preporucuje minimalno dvije distribucije i to jednoliku raspodjelu ili raspodjelu propor-cionalnu prvom modu. Vektor bocnih sila F za prvi mod definiran je izrazom

F = p [M ] Φ , (2.12)

gdje je bocna sila u i-tom nivou proporcionalna Φi za pretpostavljeni mod pomaka Φi masi etaže mi.

F i = pmiΦi (2.13)

Slika 2.5: Pushover analiza za MDOF model [1]

Vektor pomaka Φ potrebno je normalizirati tako da je Φn = 1, gdje n simbolizirakontrolnu tocku odnosno pomak vrha.

19

F n = pmn (2.14)

Za slucaj jednolike raspodjele bocnih djelovanja vektor F uni je definiran izrazom

F uni = p [M ] , (2.15)

odnosno bocna sila je jednaka za sve etaže.

F uni,i = pmi . (2.16)

Kao rezultat koraka 3 proizlazi krivulja kapaciteta za MDOF, gdje N2 metoda preporu-cuje da krivulja kapaciteta treba prikazivati odnos izmedu base sheara i pomaka centramase vrha gradevine.

Korak 4Unutar koraka 4 provodi se transformacija iz MDOF u SDOF. Postupak transforma-cije je opisan u poglavlju 2.1. Eurocode preporucuje pojednostavljenu elasto-plasticnukrivulju kapaciteta odnosno da nema ojacanja, α = 0.

Korak 5Seizmicki zahtjevi za SDOF mogu se izracunati pomocu grafickog postupka koji jeprikazan na slici 2.6.

(a) Kratki periodi (b) Dugi periodi

Slika 2.6: ADRS (spektar odgovora ubrzanje-pomak) krivulja ikrivulja kapaciteta za SDOF [1]

Slika 2.6 prikazuje ADRS spektar i bilinearnu krivulju kapaciteta za SDOF. Krivuljakapaciteta za SDOF se transformira u akceleracija-pomak format tako da se podijelisila u dijagramu sila-pomak (F∗ − d∗) s m∗. Ciljani pomak gradevine za period T ∗ ielasticno ponašanje definirano je izrazom

d∗et = Se (T ∗)

[T ∗

2π

]2 , (2.17)

20

gdje je Se (T ∗) elasticna akceleracija spektra za period T ∗. Za odredivanje ciljanogpomaka d∗t za kratke, srednje i duge periode potrebno je koristiti drukcije izraze. Tc

je granica izmedu kratkih i srednjih perioda i definira prelazak iz podrucja konstantnihakceleracija (kratki periodi) u podrucje konstante brzine (srednji periodi) [1].

Za kratke periode T ∗ ≥ Se (T ∗) ciljani pomak je

d∗t = d∗et . (2.18)

Za nelinearni odgovor vrijedi F∗y

m∗ < Se (T ∗) i tada je ciljani pomak jednak

d∗t =d∗elqu

(1 + (qu − 1)

TcT ∗

), (2.19)

gdje je qu odnos izmedu akceleracije gradevine za elasticno ponašanje Se (T ∗) i gra-nicne cvrstoce F ∗

y

m∗ .

qu =Se (T ∗)m∗

F ∗y(2.20)

Za srednje i duge periode T ∗ ≥ Tc vrijedi

d∗t = d∗et (2.21)

ali d∗t ne smije prelaziti 3d∗et.

Korak 6Ciljani pomak za MDOF sistem se odreduje množenjem ciljanog pomaka za SDOFsistem s faktorom participiranja Γ.

dt = Γd∗t (2.22)

gdje je Γ = ΦT [M ]ΦΦT [M ]1 .

Slika 2.7: Lokalni seizmicki zahtjevi [1]

21

Korak 7Lokalni seizmicki zahtjevi (medukatni relativni pomaci) odreduju se na temelju pusho-ver krivulje za MDOF sistem i vrijednosti ciljanog pomaka odredenog u koraku 6. Natemelju analize dobije se oblik deformacije gradevine.

Korak 8U posljednjem koraku provodi se kontrola svojstava gradevine usporedbom seizmickihzahtjeva (korak 7) i stvarne sposobnosti gradevine.

22

Poglavlje 3

NSCD metoda (engl. Non-smoothcontact dynamic method)

J. J. Moreou je devedesetih godina 20. stoljeca razvio Non-smooth contact dynamicmethod (NSCD). Metoda ima široku primjenu, pokazala se jako uspješnom u mode-liranju grupe krutih i deformabilnih elemenata. Prednost ove metode je u formiranjukontaktnih odnosa izmedu diskretnih elemenata. Metoda jako dobro konvergira što jeinace veliki problem kod modela s velikim brojem elemenata [22]. Metoda je imple-mentirana u program LMGC90 koji je baziran na open source kodeksu. Kod LMGC90je pisan u Fortranu i C-u, a za interface se koristi Python. Važno je napomenuti daprogram radi iskljucivo na operativnom sistemu Linux i podržava OpenMP što mu omo-gucava paralelno racunanje.

3.1 Jednadžbe gibanja

Translacijsko gibanje krutog tijela opisuje se akceleracijom centra mase, promjena semjeri od referentnog koordinatnog sustava X, Y i Z. Jednadžbu translacijskog gibanjamožemo zapisati u vektorskoj formi

∑F = mag (3.1)

ili kao skalarne jednadžbe

23

∑Fx = m(ag)x ,∑Fy = m(ag)y ,∑Fz = m(ag)z .

(3.2)

Djelovanje u jednadžbi 3.1 opisano je izrazom∑

F =∑Fx

#»i +

∑Fy

#»j +

∑Fz

#»z . Opcajednadžba za translacijsko gibanje diskretnog elementa glasi

M(q, t)q = F(q, q, t) + P(t) + r , (3.3)

gdje je P(t) poznato vanjsko djelovanje na diskretni element, F(q, q, t) cine unutarnjesile (deformabilno tijelo) i nelinearni inercijalni clanovi (centrifugalne sile), a r predstav-lja sile na mjestu kontakta. Brzina i akceleracija su izražene deriviranjem generali-ziranih stupnjeva slobode q. Matrica M(q, t) je inicijalna matrica. Potpuno ponašanjesustava može se opisati samo uz uvjet da su poznati pocetni rubni uvjeti. Ako odlucimoproucavati kruto tijelo, mnogo je prikladnije opisati gibanje tijela promatranjem brzinetranslacije i rotacije centra mase. Kruto tijelo nema sposobnost deformiranja, nemo-gucnost deformiranja ima za posljedicu da unutarnje sile išcezavaju. Tada translacijutijela opisujemo Newtonovim jednadžbom gibanja

m 0 0

0 m 0

0 0 m

vx

vy

vz

=

P(t)x

P(t)y

P(t)z

+

rx

ry

rz

(3.4)

odnosno

Mv = P(t) + r (3.5)

Desnu stranu jednadžbe 3.5 cini suma djelovanja, rezultanta vanjskih sila i rezultantakontaktnih sila. Vektor akceleracije centra mase izražen je derivacijom vektora brzinecentra mase krutog tijela. M je dijagonalna matrica masa [22, 17]. Buduci da diskretnielementi nemaju zanemarivu površinu odnosno volumen, moramo uzeti u obzir rotacijukrutog tijela koju opisujemo pomocu Eulerove teorije. Eulerova teorija se zasniva naideji da rotacije oko dvije osi koje prolaze kroz istu tocku možemo zamijeniti s jednomekvivalentnom rotacijom cija os prolazi kroz istu tocku. Bitno je naglasiti da je redoslijednanošenja rotacija važan, odnosno ne vrijedi zakon komutativnosti. Ako pretpostavimoda tijelo rotiramo oko dvije osi za konacne kutove θ1 i θ2, uocavamo da je rezultat ovisano redoslijedu nanošenja konacnih kutova, odnosno da se pojavljuje nejednakost θ1 +

θ2 = θ2 + θ1. Zakljucujemo da rotacije krutog tijela ne možemo promatrati kao vektore.

24

Ako problem rotacije krutog tijela svedemo na infinitezimalne rotacije može se dokazatida vrijedi dθ1+dθ2 = dθ2+dθ1. Iz prethodne jednadžbe vidimo da infinitezimalne rotacijemožemo promatrati kao vektore, odnosno da vrijedi Eulerov teorem, dθ = dθ1 + dθ2

[17].

Rješavanju problema rotacije krutog tijela možemo pristupiti na dva nacina. Prvi pristupje da lokalni koordinatni sustav krutog tijela vežemo uz globalni koordinatni sustav.Buduci da se tijelo rotira oko lokalnih koordinatnih osi, momenti inercije tijela oviseo vremenu što u vecini slucajeva znatno otežava iznalaženje rješenja. Drugi pristupje kada lokalni koordinatni sustav vežemo uz kruto tijelo, tada se lokalni koordinatnisustav giba s njim. Ovakav pristup nam omogucuje da imamo konstantni momentinercije tijela u svim fazama njegovog gibanja. U daljnjem razmatranju ce se koristitiiskljucivo drugi pristup. Švicarski matematicar Leonhard Euler na temelju pretpostavkeo infinitezimalnim rotacijama i koordinatnom sustavu vezanim uz tijelo izvodi jednadžberotacije krutog tijela

∑Mx = Ixωx − (Iy − Iz)ωyωz ,∑My = Iyωy − (Iz − Ix)ωzωx ,∑Mz = Izωz − (Ix − Iy)ωxωy .

(3.6)

Jednadžbe 3.6 mogu se napisati i u matricnoj formi

∑Mx∑My∑Mz

=

Ix 0 0

0 Iy 0

0 0 Iz

ωx

ωy

ωz

+

0 −ωz ωy

ωz 0 −ωx−ωy ωx 0

Ix 0 0

0 Iy 0

0 0 Iz

ωx

ωy

ωz

(3.7)

odnosno

∑M = Iω + Ω (Iω) , (3.8)

gdje je I matrica inercija. Matrica Ω u jednadžbi 3.8 je intervalno simetricno matrica ivrijedi Ω + Ω∗ = 0, Ω∗ je transponirana matrica Ω. Sumu momenata u jednadžbi 3.8možemo zamijeniti s momentom vanjskih sila MP (t) i momentom kontaktnih sila Mr.Sada možemo jednadžbu 3.8 preformulirati u sljedeci oblik

25

Iω = −Ω(Iω + MP (t)

)+ Mr (3.9)

[9, 6, 17].

3.2 Interakcija diskretnih elemenata

Svaki diskretni element mora imati definirane konture, tocke interakcije, materijalnekarakteristike i zakon ponašanja na mjestu kontakta. Kontakt dva diskretna elementaostvaruje se izmedu odabrane tocke interakcije i najbliže tocke potencijalnog interak-cijskog tijela. Radi lakšeg razumijevanja uvodi se pojam candidate koje se odnosi natijelo ciju tocku interakcije promatramo. Takoder je uveden pojam antagonist koje pred-stavlja potencijalno tijelo interakcije.

C

A

candidate

antagonist

nt

Slika 3.1: Ravninski odnos izmedu candidate i antagonist

Na slici 3.1 prikazan je ravninski problem odnosa izmedu candidat i antagoniste. TockeC i A predstavljaju potencijalno mjesto kontakta. Lokalne osi su vezane za tijelo pro-tivljenja, n je normala na tangencijalnu ravninu. Radi lakšeg prezentiranja problem jeprikazan u dvije ravnine, ali se jednostavno može proširiti u tri dimenzije [17, 24]. Svakopotencijalno mjesto kontakta oznacavamo s α i za svaki α moraju se odrediti:

• koordinate tocke kontakta,

• lokalni koordinatni sustav (tα, nα, sα),

• udaljenost izmedu dva tijela (gα),

• relativna brzina izmedu dva tijela (Uα).

U diskretnoj metodi javljaju se dva seta nepoznanica - globalne nepoznanice i lokalnenepoznanice. Globalne nepoznanice vezane su uz centar mase tijela ili tocke mreže.Kao globalne nepoznanice pojavljuju se pomaci (q), brzine (q), rezultirajuce sile i mo-menti (r). Lokalne nepoznanice vežu se uz udaljenost izmedu dva tijela (g), relativnubrzinu izmedu dva tijela U i silu R. Globalne i lokalne nepoznanice mogu se povezatisljedecim jednadžbama

26

g = D (q)

U = H (q) q = ∇qD (q) q(3.10)

U daljnjoj analizi promatrat cemo interakciju izmedu dva kruta tijela. Brzinu tocke kon-takta možemo izraziti jednadžbom

v (M) = v (G) + ω × I (3.11)

gdje je v (G) brzina centra mase dok je relativna brzina tocke kontakta opisana izrazomω × I. Vektor I povezuje centar mase i tocku kontakta.

v(G)

C

I

ωxI

ω

Slika 3.2: Brzina kontaktne tocke krutog tijela

Relativnu brzinu izmedu dva kruta tijela moguce je prikazati jednadžbom

Ux,y,z = v (Mi)− v(Mj

)= v (Gi)− v

(Gj

)+ ωi × Ii − ωj × Ij

(3.12)

indeksi i i j oznacavaju dva tijela. Izraz 3.12 možemo napisati i u matricnom za-pisu

Ux,y,z =

1 Ii −1 Ij

v (Gi)

ωi

v(Gj

)ωj

= H∗i,j (q) q (3.13)

Jednadžbu 3.13 možemo napisati u lokalnom koordinatnom sustavu i tada ona glasi

Ut,n,s =

tT

nT

sT

H∗i,j (q) q = H∗i,j (q) q = H∗α (q) q . (3.14)

Kako bi se odredila veza izmedu lokalnog i globalnog sustava koristi se dvostruki uvjetsnage izražen preko globalnih i lokalnih koordinata.

q · r = Ut,n,s · R

q · r = H∗α (q) q · R

q · r = q ·Hα (q) R

(3.15)

27

Sada se lako može uociti da vrijedi sljedeca veza izmedu globalnog i lokalnog sus-tava

rα = Hα (q) Rα (3.16)

Matrica Hα (q) je transponirana matrica H∗α (q). Kontaktne sile u globalnim koordina-tama oznacavamo s rα a u globalnim koordinatama Rα.

3.3 Diskreditacija jednadžbi gibanja

Glavna karakteristika NSCD metode je u tome da zanemaruje dinamiku gibanja kadase kontakt ostvari. Naglasak je stavljen na glavne karakteristike kontakta. Ovaj pris-tup je pogodan za modele gdje je kontakt izmedu diskretnih elemenata vec ostvaren.Mnogo je prakticnije ako jednadžbu 3.3 napišemo pomocu teorije mjera, tada dobi-vamo

M (q, t) dq = F(q, q, t

)dt+ P (t) dt+ dp (3.17)

q (tt+1) = q (ti) +

∫ ti+1

t1

qdt (3.18)

gdje je dt Lebesqueova mjera, q je diferencijalna mjera koja predstavlja akceleracijskumjeru i dp je diferencijalna mjera kontaktnih sila.

3.4 Θ metoda

Uvodi se pretpostavka da se masa ne mijenja, tada matrica masa M (q, t) ne ovisi ovremenu i prostoru. Ako integriramo jednadžbu 3.17 na intervalu [ti, tt+1] dobiva sesljedeci izraz

M(

˙qi+1 − qi)

=

∫ ti+1

t1

(F(q, q, t

)+ P (t)

)dt+

∫ ti+1

t1

dp . (3.19)

Na desnoj strani jednadžbe 3.19 moramo provesti integralni racun. Integralni racun nijejednostavan postupak, odnosno nisu nam uvijek poznata analiticka rješenja. Realnifizikalni problemi su složeni i nisu nam poznata njihova analiticka rješenja. Ta cinjenicaprisiljava nas na primjenu približnih metoda. Odredivanje približnih rješenja zasniva sena aproksimaciji nepoznatog rješenja u odredenim trenucima.

28

U nastavku ce se promatrati Θ metoda, gdje parametar Θ omogucava korekciju i balan-siranje predvidanja. Ona se koristi kao numericka metoda za integraciju diferencijalnihjednadžbi. Θ metoda se zasniva na trapeznoj aproksimaciji i pretpostavlja se da vrijedijednadžba

∫ ti+1

t1

f(t, u (t)

)dt ≈ hi

2

[f(ti, u (ti)

)+ f

(ti+1, u (ti+1)

)](3.20)

Integralni racun s lijeve strane zamjenjuje se s površinom pravokutnika koji je jednakumnošku koraka hi i srednje vrijednosti izmedu vrijednosti funkcije u trenutku ti i tre-nutku ti+1. Jednadžbu 3.20 možemo preformulirati u opcenitiji zapis koji glasi

∫ ti+1

t1

f(t, u (t)

)dt ≈ hi

[(1−Θ) f

(ti, u (ti)

)+ Θf

(ti+1, u (ti+1)

)](3.21)

Grupiranjem se uvodi dodatno pojednostavljenje u jednadžbu 3.19, uvedemo oznakupfree koja opisuje integral sila djelovanja za vremenski korak hi, korak hi je definirankako razlika izmedu ti+1 i ti, (hi = ti+1 − ti),

pfree =

∫ ti+1

t1

(F(q, q, t

)+ P (t)

)dt (3.22)

Sada jednadžbu 3.19 možemo zapisati na sljedeci nacin

M(

˙qi+1 − qi)

= pfree + pi+1 , (3.23)

gdje je pi+1 =∫ ti+1

t1dp predstavlja velicinu ukupnog impulsa za promatrani korak hi. Ako

sada primijenimo Θ-metodu na integral dobivamo izraz za približno rješenje integralakoji glasi

pfree = hi

[(1−Θ)

(F(qi, qi, ti

)+ P (ti)

)+ Θ

(F(qi+1, ˙qi+1, ti+1

)+ P (ti+1)

)](3.24)

Integral u jednadžbu 3.18 takoder možemo preoblikovati primjenom Θ-metode, tako dadobivamo izraz

q (i+ 1) = q (i) + hi[(1−Θ) qi + Θ ˙qi+1

],

q (i+ 1) = qm + hiΘ ˙qi+1 ,(3.25)

gdje je qm = q (i)+hi (1−Θ) qi. Kombiniranjem izraza 3.23 i 3.22 dobivamo izraz

M(

˙qi+1 − qi)

+ hi (1−Θ)(F(qi, qi, ti

)+ P (ti)

)+

hiΘ(F(qi+1, ˙qi+1, ti+1

)+ P (ti+1)

)+ pi+1 = 0

(3.26)

29

Možemo uociti da se u jednadžbama 3.25 i 3.26 javljaju nepoznate velicine qi+1 i ˙qi+1

koje možemo odrediti iterativnim postupkom, odnosno iterativnom metodom pod nazi-vom uzastopna aproksimacija. Odabirom razlicitih vrijednosti Θ faktora možemo biratikojom cemo metodom rješavati jednadžbe. Ako kažemo da je Θ = 0 tada jednadžba3.26 ima sljedeci oblik

M(

˙qi+1 − qi)

+ hi

(F(qi, qi, ti

)+ P (ti)

)+ pi+1 = 0 , (3.27)

ovaj zapis odgovara eksplicitnoj Eulerovoj metodi. Odaberemo li da je Θ = 1 jednadžba3.26 prelazi u

−M(

˙qi+1 − qi)

+ hi

(F(qi+1, ˙qi+1, ti+1

)+ P (ti+1)

)+ pi+1 = 0 , (3.28)

ovakav zapis odgovara implicitnoj Eulerovoj metodi. Važno je napomenuti da je prora-cun bezuvjetno stabilan ako odaberemo Θ u intervalu od 0, 5 do 1, 0.

3.5 Aproksimacije

Poznavanje povijesti gibanja je iznimno bitno da bismo mogli numericki odrediti slje-dece stanje. Ovi problemi mogu se promatrati numericki i eksperimentalno. Tocnorješenje nama nije poznato, možemo odrediti samo približno rješenje. Na tocnost rje-šenja utjecu mnogi cimbenici. Nacin kako formuliramo matrice, tip kontakta, velicinakoraka samo su neki od cimbenika koji utjecu na tocnost. Važno je napomenuti da nu-mericke simulacije moramo tretirati kao specijalne fizikalne eksperimente provedenena modelu, ali i od njih moramo zahtijevati istu tocnost kao i kod stvarnih fizikalniheksperimenata [9]. Pomocu eksplicitne Eulerove metode racunamo stanje sistema ubuducem vremenu na temelju stanja sustava u trenutnom vremenu i nije potrebno rje-šavati algebarske jednadžbe. Na pocetku proracuna moramo odabrati velicinu korakahi cija velicina odreduje tocnost aproksimacijske funkcije i broj koraka. EksplicitnaEulerova metoda predstavlja niz linearnih funkcija koje približno opisuju tocno rješenje.Možemo reci da je yi tocno rješenje u trenutku t = ti dok je Yi približno rješenje za istitrenutak. Da bismo odredili Yi+1 iz (ti, Yi) koristimo diferencijalnu jednadžbu. Ako jeyt = f (t, y) tada je za tocku (ti, Yi) nagib tangente f (ti, Yi). Eulerova eksplicitna me-toda pretpostavlja da se tocka (ti+1, Yi+1) nalazi na liniji koja prolazi kroz tocku (ti, Yi) snagibom f (ti, Yi). Sada možemo napisati izraz za nagib

Yi+1 − Yihi

= f (ti, Yi) (3.29)

30

ili

Yi+1 = Yi + f (ti, Yi)hi . (3.30)

Ocito je da velicina koraka hi utjece na tocnost rješenja, što je korak manji smanjujese pogreška, odnosno aproksimacija je bolja. Ako se korak prepolovi, tada je i pogre-ška dvostruko manja, ali treba uzeti u obzir da se udvostrucuje i vrijeme proracuna.Odredivanje približnog rješenja implicitnom Eulerovom metodom svodi se na rješava-nje jednadžbe u kojoj se pojavljuju nepoznanice iz trenutnog i buduceg vremena.

Yi+1 = Yi + f (ti+1, Yi+1)hi (3.31)

Nedostatak ove metode je u tome što proracun jednog koraka traje dulje, ali je prednostda možemo koristiti veci korak hi i rješenje je bezuvjetno stabilno [4].

U sljedecem primjeru prikazat ce se usporedba implicitne i eksplicitne Eulerove metodes tocnim rješenjem [4]. Ako nam je zadana sljedeca diferencijalna jednadžba

y′ + 2y = 2− e−4t (3.32)

s pocetnim rubnim uvjetom y (0) = 1, a funkciju promatramo na vremenskom intervalu0 ≤ t ≤ 0, 5. Tocno rješenje jednadžbe 3.32 je

y (t) = 1 + 0, 5e−4t − 0, 5e−2t . (3.33)

U nastavku ce biti prikazana približna rješenja korištenjem Eulerove eksplicitne i im-plicitne metode i Crank-Nicolsonove metode. Koriste se sljedeci parametri za sve trimetode hi = h = 0, 1 i konacno vrijeme tf = 0, 5. U Eulerovoj implicitnoj i Crank-Nicolsonovoj metodi u svakom koraku pojavljuje se sustav linearnih jednadžbi koji jepotrebno riješiti. Sustav linearnih jednadžbi riješen je Gauss-Seidelovom metodom.Gauss-Seidel metoda je modificirana Jacobinova metoda, modifikacija ne otežava pro-racun ali cesto je potrebno manji broj iteracija za isti stupanj tocnosti. U Jacobinovojmetodi pojavljuju se dva uvjeta, sustav linearnih jednadžbi

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...... . . . ...

an1 an2 · · · ann

x1

x2

...xn

=

b1

b2

...bn

Ax = b

(3.34)

31

mora imati jedinstveno rješenje i koeficijenti na dijagonali matrice A ne smiju biti jed-naki nuli. Ako se na dijagonali pojavi nula, tada moramo zamijeniti mjesta redovima ilistupcima da bismo ispunili drugi uvjet. Problem rješavanja sustava linearnih jednadžbisvodi se na sljedeci niz jednadžbi

x1 =1

a11

(b1 − a12x2 − a13x3 − · · · − −a1nxn) ,

x2 =1

a22

(b2 − a21x1 − a23x3 − · · · − −a2nxn) ,

· · · ,

xn =1

ann(bn − an1x1 − an2x2 − · · · − −ann−1xn−1) .

(3.35)

Odabiremo pocetnu aproksimaciju

x0 = (x1, x2, x3, · · · , xn) (3.36)

i uvrštavamo u desno stranu jednadžbe 3.36. Dobivene vrijednosti cine prvu aproksi-maciju, a postupak ponavljamo dok ne pronademo približno rješenje zadovoljavajucetocnosti. U Jacobinovoj metodi, vrijednost xi se ne mijenja do kraja iteracije. U Gauss-Seidelovoj metodi koristi se nova vrijednost xi cim nam je poznata. Kada u prvoj jed-nadžbi odredimo vrijednost, nju koristimo da bismo izracunali x2.

Slika 3.3: Implicitna Eulerova metoda, tocno rješenje, Crank-Nicolsonova metoda,eksplicitna Eulerova metoda

32

Tablica 3.1: Rezultati aproksimativnih metoda i njihova odstupanja od tocnog rješenja

tnYn

eksplicitYn

implicitYn

Crank-NicolsYn

tocnopogreška

eksplicit implicit Crank-Nicols0 1 1 1 1 0 0 0

0,1 0,9 0,9441 0,9241 0,9258 0,0258 0,183 0,00170,2 0,853 0,916 0,887 0,8895 0,0365 0,265 0,00250,3 0,8374 0,9049 0,8734 0,8762 0,0388 0,87 0,00280,4 0,8398 0,9039 0,8736 0,8763 0,0365 0,0276 0,00270,5 0,8517 0,9087 0,8812 0,8837 0,032 0,025 0,0025

Slika 3.3 prikazuje rezultate tocnog rješenja i aproksimativnih metoda. Analiza je pro-vedena pomocu programskog jezika python.

Tablica 3.1 prikazuje rezultate tocnog rješenja i aproksimativnih rješenja, odnosno nji-hovu pogrešku. Dobiveni rezultati nam ukazuju na razlicite tocnosti pojedinih aproksi-macija. Ocito je da implicitna metoda bolje opisuje funkciju 3.32 od eksplicitne metode.Uocavamo da je Crank-Nicolsonova metoda znatno tocnija od implicitnog i eksplicitnopostupka. Srednja pogreška u implicitnoj metodi iznosi 0,018 a u Crank Nicolsono-voj 0,0015, a ako ih usporedimo uocavamo da implicitna metoda daje 10 puta lošijerezultate za isti korak h. Bui (2010.) u clanku Explicit and Implicit methods in sol-ving differential equations pokazuje da se tocnost razlicitih metoda ne mijenja po istomzakonu za razlicite korake h.

Slika 3.4 je graficki prikaz promjene pogreške ovisno o aproksimativnoj metodi i velicinikoraka. Bui u spomenutom radu promatra pogrešku implicitne i eksplicitne metode i toza korake: 0, 1, 0, 05, 0, 025 i 0, 0125. Crank-Nicolsonova metoda je ukljucena u ana-lizu pogreške radi ceste primjene u diskretnoj metodi (engl. discrete element method)u nastavku DEM. Graf prikazuje da najveci nagib ima funkcija pogreške eksplicitnemetode, odnosno ona je najosjetljivija na promjenu koraka h. Slika 3.4 prikazuje daCrank-Nicolsonova metoda ima najmanje odstupanje od tocnog rješenja što nam omo-gucava korištenje vecih koraka h, a da pritom ne gubimo na tocnosti.

3.6 Kontaktni zakoni

Glavna karakteristika DEM-a je da ne zanemarujemo kontaktne sile, odnosno možemomatematicki opisati interakciju izmedu diskretnih elemenata. Interakcija ovisi o fizikal-nim karakteristikama materijala diskretnog elementa i o uvjetima u kojima se nalazi,vlažna ili suha okolina. Trenje je najcešci i najjednostavniji kontaktni problem koji že-

33

Slika 3.4: Promjena pogreške ovisno o velicini koraka h

limo riješiti. Razmak (gap), relativna brzina i reakcija izmedu promatranih elemenataosnovne su varijable pomocu kojih opisujemo kontakt. Složeniji kontaktni problemizahtijevaju uvodenje dodatnih varijabli, ali takve slucajeve necemo promatrati [17, 9].Kruta tijela nemaju sposobnost da se medusobno ispreplicu, odnosno možemo reci daje udaljenost qα uvijek pozitivna i tada vrijedi qα ≥ 0 [9]. Pretpostavlja se da nema me-dusobnog djelovanja izmedu dva tijela ako nema kontakta izmedu njih. Izreceni uvjetinazivaju se Signorinijevim uvjetom kojeg možemo matematicki opisati izrazima

qα (t) ≥ 0 , RN ≥ 0 , qα (t)RN = 0 . (3.37)

U N ili q

RN

Slika 3.5: Signorinijev graf

Iz Signorinijevog grafa se vidi da u trenutku ostvarivanja kontakta sila RN poprima mak-simalnu vrijednost. Takav tip kontakta možemo ocekivati izmedu glatkih i jako krutih

34

tijela [9]. Postoje i fleksibilniji modeli, površina kontakta nikada nije savršeno glatka od-nosno možemo ocekivati nepravilnosti. Posljedica nepravilnosti je u tome da se kontaktostvaruje postupno. Za razliku od Signorinijeva modela, gdje sila RN ima nagli skoksada imamo postepen prirast kontaktne sile RN . Kontakt definiran s nepravilnostimamožemo promatrati kao kontakt izmedu elasticno deformabilnih materijala [9]. Ovakavpristup omogucava da gap qα ima negativnu vrijednost cime je definirano prodiranjeizmedu diskretnih elemenata.

U N ili q

RN

Slika 3.6: Kontaktni zakon koji uzima u obzir fleksibilnost površine

Problem se može opisati i matematicki. Ako je qα ≤ 0, tada je RN = −kqα odnosnoza qα > 0, tada je RN = 0. Pojedini autori ovakav pristup usporeduju s Hertzovomteorijom izmedu dvije elasticne kugle. Zakon trenja je odnos izmedu sile trenja i brzineklizanja. Zakon trenja možemo podijeliti u dvije klase: viskozno ili mokro trenje i suhotrenje. Suho trenje je najstariji i najjednostavniji model kontakta kojeg još nazivamoCoulombovim zakonom. Zakon se može napisati

|RT | ≤ µRN |UT | 6= 0⇒ RT = −µRNUT|UT |

(3.38)

gdje su RT i RN tangencijalna i normalna komponenta reakcije R, µ je koeficijent tre-nja.

RT

μRN

U T

Slika 3.7: Coulombov zakon.

Klizanje izmedu dvije plohe nastupa kada je zadovoljen uvjet RT = −µRNUT

|UT |, treba

napomenuti da brzina ima suprotan smjer od sile trenja.

35

3.7 Algoritam

Iz prethodnih izlaganja vidi se da se problem svodi na rješavanje globalnih i lokalnihnepoznanica. Globalne odnosno kinematske prostorne nepoznanice vežu se uz samotijelo i lokalne nepoznanice koje se odnose na kontakt izmedu tijela. Taj odnos možemoprikazati slikom 3.8.

Rα Uα

r u

H∗α (q)

kontakt

Hα (q)

gibanja

jednadžba

Slika 3.8: Odnos izmedu lokalnih i globalnih nepoznanica

Odnos izmedu lokalnih i globalnih nepoznanica uspostavljamo pomocu operatora H∗α (q)

i Hα (q). J. J. Moreau uvodi sljedecu diskretizaciju prostora i vremena

ui+1 = ufree +M−1ri+1 (3.39)

ui+1 je brzina na kraju koraka, a ufree je brzina tijela bez utjecaja kontakta. Matrica M jeinercijalna matrica koja ovisi o nacinu na koji modeliramo tijelo. Ako se radi o apsolutnokrutom tijelu, tada je M = M. U slucaju deformabilnog tijela vrijedi M = M+hΘC+h2Θ2Kpri cemu M opisuje masu, C viskoznost i K krutost. Rješenje se odreduje iterativnimpostupkom i to nelinearnom Gauss-Seidelovim metodom (NLGS). Jednadžba 3.39 semože prikazati u lokalnim nepoznanicama [9, 5]

Uαi+1 = Ufree +

∑Wαβ (q) Rβ

i+1 (3.40)

gdje je W = H∗M−1H i naziva se Delassovim operatorom. Slika 3.8 osim odnosaizmedu lokalnih i globalnih nepoznanica prikazuje i algoritam. Može se uociti da se ite-racija odvija izmedu lokalnih nepoznanica odnosno želimo pronaci rješenje jednadžbe3.40. Sada možemo promatrati prvi korak iteracije. Poznati su nam pocetni uvjeti u glo-balnim koordinatama (brzina i položaj). Pomocu jednadžbe 3.14 možemo odrediti po-cetnu brzinu u Ufree lokalnom sustavu pomocu brzine ufree u globalnom sustavu.

Vremenska p e t l j a kProra cun slobodne brz ine

(ufree

)Odred i v a n j e k o n f i g u r a c i j e kontakataD e t e k t i r a n j e kontakata

36

I t e r a c i j a NLGS

Korekc i j a b rz ine(

ui+1 = ufree + M−1ri+1

)Až u r i r a n j e k inematsk ih i k o n f i g u r a c i j s k i h v r i j e d n o s t i

K ra j

Iteracija se provodi kroz dvije petlje. Unutarnja petlja iteracije gs_ti1 se provodi bezprovjere konvergencije, a druga petlja gs_ti2 je vezana uz konvergenciju i definira setolerancijom i normom. Ovakav pristup se cesto primjenjuje kada koristimo Gauss-Seidelov algoritam [10].

Odred i v a n j e matr ica Wαβ

Kontro lna p e t l j a gs_ti2I t e r a c i j a gs_ti1Kontakt α

Rješ avanje loka lnog problemaUαi+1 = Ufree +

∑Wαβ (q) Rβ

i+1

Kontakt (gα,Uα,Rα, )

Test konvergenc i je na temel ju t o l e r a n c i j ei odabranog p r a v i l a ( norme )

Tolerancija definira maksimalnu dopuštenu razliku izmedu zadnje dvije iteracije doknorma definira nacin na koji se odreduje odnos izmedu dvije iteracije. Možemo pret-postaviti da su x = (x1, x2, . . . , xx) rješenja i iteracije a y = (y1, y2, . . . , yx) rješenja i− 1

iteracije. Iz niza rješenja odabiremo dva bliska rješenja xα i yα u promatranom kontaktuα. Može se definirati sljedeca norma

maxα=1,...,x = ‖xα − yα‖ , (3.41)

koju nazivamo maksimalna norma. Odabire se maksimalna vrijednost razlike izmedudva bliska rješenja i usporeduje s tolerancijom. Ako je zadovoljen uvjet tolerancije,iteracija se zaustavlja. Definirana je i kvadratna norma√

1

X

∑α=1,...,x

‖xα − yα‖2 , (3.42)

koja funkcionira tako da uspostavlja balans izmedu „dobrih“ i „loših“ rješenja, odnosno„loša“ rješenja se prekrivaju „dobrim“. Pokazalo se da kvadratna norma nema znaca-jan utjecaj na tocnost rješenja, ali znatno usporava proracun [9]. Treba napomenutida je maksimalan broj iteracija definiran odabirom gs_ti1 i gs_ti2 i jednak je njihovomumnošku.

37

Sada kada su nam poznate lokalne koordinate možemo izracunati novo stanje za glo-balne koordinate pomocu jednadžbi 3.12 i 3.39 cime je zatvoren krug algoritma kojiprikazuje slika 3.8. Postupak se ponavlja za sljedeci korak h.

38

Poglavlje 4

Numericko modeliranje zida

4.1 Ispitivanje i numericko modeliranje zida

Zidove izvedene od kamenih blokova bez veziva nije jednostavno opisati numerickimmodelom. Glavni problem predstavlja nelinearno ponašanje zida. Trenje, pojava pu-kotina i razlika izmedu tlacne i vlacne cvrstoce samo su neki od uzroka nelinearnogponašanja. Tocnost pojedinog modela moguce je jedino potvrditi usporedbom s eks-perimentalnim rezultatima. Ovaj rad ne obuhvaca eksperimentalna ispitivanja, ali zapotrebe kalibracije modela koristit ce se eksperimentalni rezultati dobiveni u prijašnjimradovima.

Daniel Vitorino de Castro Oliveira u sklopu svoje disertacije bavi se eksperimentalnimi numerickim problemima zida od kamenih blokova bez morta. U radu su prikazanaispitivanja na zidu širine 1m i visine 1m. Debljina zida je 20cm. Zidovi su podvrg-nuti razlicitim vertikalnim opterecenjima s ciljem postizanja sljedecih stanja naprezanja:0, 15N/mm2, 0, 5N/mm2, 1, 0N/mm2 i 1, 25N/mm2.

Cilj ispitivanja je utvrditi odnos izmedu horizontalnog pomaka vrha i horizontalne sileu podnožju zida za razlicite vertikalno opterecenje. Daniel Vitorino de Castro Oliveirauocava da modul elasticnosti zida ovisi o velicini vertikalnog opterecenja i da je granicaelasticnog odredena s 30% od ukupnog maksimalnog horizontalnog djelovanja [7]. Izslike 4.2 može se uociti da se mijenja modul elasticnosti ovisno o velicini vertikalnogopterecenja. Ova cinjenica dodatno otežava izradu numerickih modela. Metoda ko-nacnih elemenata (MKE) kao najcešce korištena numericka metoda ne može uzeti uobzir promjenu modula elasticnosti u ovisnosti o vertikalnom opterecenju tako da jepotrebno uvesti aproksimaciju. Promjena modula elasticnosti može se vidjeti na slici4.2.

39

Slika 4.1: Shematski prikaz ispitivanog zida [7]

Tablica 4.1: Moduli elasticnosti zida za razlicita vertikalna opterecenja [7]

Vertikalno opterecenje [kN ] Modul elasticnosti [N/mm2]

30 566100 768200 1057250 1202

U knjizi "Computational modelling of masonry, brikwork and blockwork structures" opi-sani su principi modeliranja zidanih konstrukcija. Opisane su i dvije tehnike modeliranjai to na nacin da materijal promatramo kao heterogeni i homogeni [5]. Buduci da su zi-dane konstrukcije heterogene, taj pristup je tocniji, ali i znatno složeniji. Potrebno jedefinirati ispunu i vezivo zasebno. Gradevine izvedene od kamenih blokova dodatnootežavaju modeliranje jer u pravilu izmedu blokova nema veziva ili je loše kvalitetešto ima za posljedicu gubitak kontinuiteta. Diskretno modeliranje može obuhvatiti pret-hodno opisani problem - definiramo elemente ispune, a izmedu njih se odreduju zakoniinterakcije. Primjenom pushover metode Lang testira tocnost diskretne metode, koristise NSCD metodom [20]. Rezultati upucuju na dobru podudarnost s eksperimentalnimistraživanjem i to za linearno i nelinearno ponašanje zida [20].

Homogeni model za razliku od heterogenog zide opisuje kao jednolicnu sredinu, ma-terijalne karakteristike veziva i zida opisuju se pomocu jedinstvenih parametara. Bettii kolege 2015. godine objavljuju rad pod nazivom "Time-History Seismic Analysis ofMasonry Buildings: A Comparison between Two Non-Linear Modelling Approaches", ukojemu usporeduju rezultate izmedu eksperimentalnog pristupa i homogenih numeric-kih modela. Ispitivanje je provedeno na gradevini tlocrtnih dimezija 3, 5m×3, 0m s dvije

40

Slika 4.2: Odnos horizontalnog djelovanja i pomaka [7]

etaže, visina etaže je 2, 2m. Zide je izvedeno od kamene ispune i povezano je mortom.Tlacna cvrstoca kamenih elemenata je fbc = 8, 5N/mm2 dok se za mort pretpostavljasrednja tlacna cvrstoca fmf = 0, 52N/mm2. Buduci da se radi o nepravilnim oblicimaispune nije moguce korisititi Sahlinove formule za zide [12], Betti pretpostavlja tlacnucvrstocu od 2, 0 do 3, 5N/mm2 [2].

Tablica 4.2: Parametri u Bettijevom modelu [2]

Drucker–Prager Plasticity Criterio Willam–Warnke Failure Surfacec (N/mm2) 0,07 fwc (N/mm2) 2,5δ () 20 fwt (N/mm2) 0,65ϕ () 40 βc (−) 0,75- βt (−) 0,15

Vlacnu cvrstocu pretpostavlja 0, 06 do 0, 07N/mm2 na temelju istraživanja drugih autora.Pretpostavljeno je elasto-plasticno ponašanje zida, a korišten je Drucker–Pragerov(DP) model plasticnosti u kombinaciji s Willam–Warnkeovim kriterijem popuštanja (WW).Odabrani parametri za numericki model prikazani su u tablici 4.2. Rezultati koji proiz-laze iz Bettijevog istraživanja upucuju na dobru podudarnost metode konacnih eleme-nata (FEM) s eksperimentom.

41

Slika 4.3: Usporedba pojave pukotina u eksperimentalnom i diskretnom modelu [20]

4.2 Kalibracija modela

Na temelju De Castro Oliveirinih eksperimentalnih rezultata [7] cilj je provesti kalibracijurazlicitih numerickih pristupa. Slika 4.2 prikazuje odnos izmedu horizontalne sile i po-maka i ti rezultati ce se koristiti kao glavno mjerilo tocnosti numerickih modela. Takoderce se usporediti fotografije koje prikazuju oblik otkazivanja zida s oblicima otkazivanjanumerickih modela.

42

4.2.1 Numericki model zida izraden pomocu programa SAP2000

Programski paket SAP2000 specijaliziran je za modeliranje gradevinskih konstrukcijai provjeru istih na utjecaj potresne pobude. Program podržava lineani i nelinearni po-racun. U cilju procjene njegove primjenjivosti pri modeliranju konstrukcija izvedenih odkamenih blokova provest ce se obje analize. U linearnom modelu se pretpostavljajumaterijalne karakteristike prema EC6 [5],

Em = 1000× fwc. (4.1)

Model zida je sastavljen od 100 pravokutnih konacnih elemenata dimenzije 10× 10 cm.Pravokutni elementi su definirani s cetiri cvora i dvadest cetiri stupnja slobode [8]. Ko-nacni elementi su poslagani na nacin da formiraju površinu 100 × 100 cm, a u bazi suoslonjeni na nepomicne ležajeve. Vertikalno djelovanje naneseno je tako da bi se posti-gla pocetna stanja naprezanja kao što je opisano u [7], dok se horizontalno djelovanjenanosi u vidu pomaka vrha zida. Pomaci se definiraju pomocu opcije displacementcontrol. Ako uvrstimo u jednadžbu 4.1 tlacnu cvrstocu za kamen od 57, 0 N/mm2,dobivamo sljedeci modul elasticnosti Em = 57000, 0 N/mm2. Odabrani Poissonov ko-eficijent je 0, 2.

Slika 4.4: Pushover krivulja, SAP2000 linearna teorija, pocetno stanje naprezanja0, 5 N/mm2

Iz slike 4.4 vidi se da maksimalna posmicna sila u bazi ima vrijednost od 60000 kN

što je znatno više od 45 kN dobiveno eksperimentalnim postupkom [7]. Ako umjestomodula elasticnosti koji preporucuje EC6 uvrstimo podatke iz tablice 4.1, dobivamorezultate sa slike 2.4. Unatoc znatnom smanjenju modula elasticnosti, maksimalnahorizontalna sila i dalje znatno premašuje realne vrijednosti. Dobiveni rezultati upucujuda je neophodno koristiti nelinearnu teoriju.

43

(a) Pocetno stanje naprezanja

0, 15 N/mm2, E = 588 N/mm2

(b) Pocetno stanje naprezanja

0, 5 N/mm2, E = 768 N/mm2

Slika 4.5: Pushover krivulja, SAP2000 linearna teorija

Nelinearna materijalna teorija u SAP2000 zasniva se na pretpostavci oblika σ-ε krivulje.Pretpostavlja se jedan oblik krivulje koji vrijedi u svim smjerovima cak i za anizotropnei ortotropne materijale [8]. Tlacna i vlacna strana krivulje mogu se razlikovati. Tlacnastrana krivulje definirana je kao negativna i tada vrijedi

σii(εii) =

σT (εii), εii ≥ 0

σC(εii), εii < 0(4.2)

gdje σT (ε) predstavlja vlacno, a σC(ε) tlacno ponašanje. Slika 4.7 prikazuje σ-ε krivulju,koja je oblikovana na nacin da pri nastupanju maksimalnih vlacnih ili tlacnih naprezanjadolazi do idealne plastifikacije. Pretpostavka idealne plastifikacije nije idealan opis zidaod kamenih blokova bez morta, ali izjava "U slucaju kada bi se pozitivni prirast plasticnedeformacije javio kod negativnog prirasta, odnosno smanjenja naprezanja, radilo bi seo nestabilnom ponašanju materijala" [16] upucuje da negativan prirast može izazvatiprobleme konvergencije u rješavanju problema. Metoda konacnih elemenata svodi sena rješavanje sljedeceg matematickog problema

uK = p, (4.3)

gdje je K matrica krutosti, u vektor pomaka i p vektor vanjskog djelovanja. Iz jednadžbe4.3 vidimo da se problem svodi na rješavanje sustava jednadžbi. Traženje inverzne ma-trice je zahtjevan matematicki problem i zato se pribjegava numerickim postupcima. USAP2000 integrirano je rješavanje problema sustava jednadžbi pomocu funkcije rezi-duala.

f(u) = p− uK (4.4)

44

Traženje nultocke funkcije reziduala provodi se pomocu Newton-Raphsonove metode.Na web stranici [28] objašnjeni su problemi konvergencije Newton-Raphsonove metodeza sustav s jednim stupnjem slobode. Na slici 4.6a prikazana je funkcija reziduala zaslucaj negativne krutosti i lako se može uociti da ne postoji nultocka, odnosno da nepostoji rješenje. Slucaj sa slike 4.6b. takoder ukazuje na problem konvergencije jerpostoji nultocka ali nije ju moguce pronaci Newton-Raphsonovom metodom.

(a) Funkcija reziduala za slucaj negativne

krutosti

(b) Funkcija reziduala za slucaj

diskontinuiranih materijalnih karakteristika

Slika 4.6: Funkcije reziduala [28]

Prikazani problemi konvergencije ukazuju na potrebu korištenja plasticnog ponašanjamaterijala u cilju stabilnosti numerickog proracuna. Predlaže se redukcija maksimalnetlacne i vlacne cvrstoce materijala da bi se smanjio utjecaj plastifikacije.

Buduci da promatramo problem zida bez morta takoder je opravdano umanjenje tlacnei vlacne cvrstoce zida u odnosu na odredene cvrstoce uzoraka. Odabrana tlacna gra-nica tecenja je 6, 0 N/mm2, dok je vlacna granica tecenja 0, 5 N/mm2. Modul elastic-nosti je odabran 768, 0 N/mm2 za slucaj pocetnog vertikalnog opterecenja od 100 kN ,tablica 4.1. U nastavku je cilj prikazati utjecaj Drucker–Pragerova kuta trenja na pu-shover krivulju, odnosno pronaci odgovarajuci kut koji bi što bolje opisao ponašanjeprikazano na slici 4.1. Drucker-Pragerov kut trenja utjece na posmicna naprezanja,odnosno modul posmika se ponaša linearno dok ne dosegne granicna naprezanja[8].

|σ12| ≤ tan(φ)

0, σ ≥ 0

−σ, σ < 0(4.5)

Granicna posmicna naprezanja definirana su pomocu izraza 4.5, pri cemu je φ kut

45

trenja a σ = 12(σ11 + σ22). Tlacno stanje naprezanja je neophodno da bi se pojavila

posmicna otpornost [8].

Slika 4.7: σ-ε krivulje

Tablica 4.3: Odnos izmedu Drucker–Pragerova kuta trenja i base sheara zapromatrani zid

Drucker–Prager kut trenja [] Base shear [kN]1 285 3610 4715 6320 Ne konvergira25 Ne konvergira

Za slucaj kada se zanemaruje Drucker–Pragerov kut trenja base shear poprima vri-jednost od 183 kN . Za kut trenja od 10 base shear se približava eksperimentalnimvrijednostima. Treba obratiti pozornost na rezultate u tablici 4.3, za kutove 20 i 25

Newton-Raphsonova metoda ne konvergira. Jednadžba 4.5 je aproksimacija Drucker-Pragerovog kriterija popuštanja, uputstva programskog paketa SAP2000 ne preporu-cuju upotrebu opcije osim u istraživacke svrhe [8]. Pushover krivulja sa slike 4.8 uka-zuje na dobru podudarnost s eksperimentalnim istraživanjem, ali se javlja problem akose promijene inicijalni parametri. Tablica 4.1 i slika 4.2 ukazuju na promjenu modulaelasticnosti ovisno o vertikalnom opterecenju. Kada se koristi Drucker–Pragerov kuttrenja, usporedba razlicitih modela pokazala je da promjena modula elasticnosti neutjece znacajno na maksimalni base shear. Model ukazuje na probleme, neosjetljiv jena promjenu vertikalnog opterecenja. Za slucaj vertikalnog opterecenja od 30 kN pos-tiže se maksimalni base shear od 34 kN , a ocekivana vrijednost dobivena ispitivanjem

46

iznosi 22 kN što ukazuje na razliku od 54 %.

Slika 4.8: Pushover krivulja za kut trenja 10 i vertikalno opterecenje od 100 kN

(SAP2000)

4.2.2 Numericki model zida izraden pomocu programa LMGC90

LMGC90 je program koji zasniva svoju formulaciju na diskretnom pristupu. Zid je mo-deliran pomocu diskretnih elemenata koji se podudaraju sa stvarnim blokovima zida.Blokovi se smatraju nedeformabilnima, odnosno definiramo ih kao apsolutno kruto ti-jelo. Model je definiran sa sljedecim mjernim jedinicama: metrima, newtonima, kilo-gramima i sekundama. Buduci da se radi o zidu koje nema veziva, kontakt izmedudva bloka opisuje se samo pomocu trenja. Blokovi su dimenzija 0, 2 × 0, 1 × 0, 2 m i0, 1× 0, 1× 0, 2 m dok je gustoca kamena pretpostavljena 2300 kg/m3. Zid je oslonjenna apsolutno kruti i nepomicni blok. Utjecaj preše takoder se simulira pomocu kru-tog bloka položenog na vrh zida. U težištu bloka postavlja se odgovarajuce vertikalnodjelovanje koje simulira pritisak preše. Horizontalni pomak takoder se nanosi na blokpoložen na vrh zida, pomak ima prirast od 0, 0001 m/s. Buduci da je maksimalni po-mak 15 mm, a odabrana velicina korak dt = 0, 001 s, tada je potrebno ukupno 150000

koraka.

Slike 4.10a i 4.10b prikazuju pushover krivulje za vertikalno opterecenje od 30 kN i100 kN . Koeficijent trenja je jednak za oba modela i iznosi 0, 62. Maksimalne po-smicne sile za vertikalna opterecenja 30 kN i 100 kN iznose 19, 7kN i 53, 5 kN . Us-poredimo li rezultate s eksperimentom, uocavamo dobru podudarnost s rezultatimaispitivanja.

Velika prednost diskretnog pristupa je u tome što moramo poznavati jedino koeficijent

47

(a) Diskretni model zida (LMGC90) (b) Fotografija uzorka [7]

Slika 4.9: Numericki i eksperimentalni model zida

Tablica 4.4: Usporedba maksimalne posmicne sile izmedu numerickog modela ieksperimentalnog istraživanja

Vertikalno opterecenje Eksperimentalni rezultati LMGC90 Razlika30 kN 22 kN 19, 7 kN 15%

100 kN 49 kN 53, 5 kN 8%

trenja izmedu blokova, tj. za razlicita vertikalna oprerecenja i za model s istim parame-trima dobivamo dobru korelaciju izmedu modela i eksperimentalnog pristupa.

Diskretni pristup takoder nam omogucava napraviti i vizualnu usporedbu. Slike 4.11b i4.11a prikazuju pomake kamenih blokova. Može se uociti da oba pristupa ukazuju nadijagonalno otkazivanje zida.

Slike 4.12a i 4.12b prikazuju deformacije zida odredene numerickim i eksperimentalnimnacinom. Lako se može uociti da se pojavljuje razlika izmedu dva pristupa koja jeuzrokovana lomom kamenog bloka u eksperimentalnom modelu. Numericki model nepredvida nastanak pukotina odnosno otkazivanje blokova. Mjesto otkazivanja pojednihblokova u numerickom modelu može se odrediti pomocu interakcijskih sila koje sepojavljuju na mjestu kontakta izmedu dva bloka i mogu se javiti samo u uglovima bloka.

LMGC90 omogucava promatranje stanja konstrukcije u svakom trenutku promatranepobude što pak omogucava da se uoci potencijalno mjesto otkazivanja pojedinog bloka.Slika 4.13a prikazuje potencijalno mjesto nastanka pukotine za horizontalni pomak od1 mm. Sila koja se javlja na tom mjestu poprima vrijednost od 80000 N . Ako se podijelisila s pretpostavljenom nalježucom površinom 200 mm× 5 mm, dobiva se naprezanjeod 80 N/mm2 koje prekoracuje tlacnu cvrstocu materijala. Treba napomenuti da se

48

(a) Vertikalno opterecenje 30 kN (b) Vertikalno opterecenje 100 kN

Slika 4.10: Pushover kirvulja za razlicita vertikalna opterecenja (LMGC90)

(a) Numericki model (LMGC90) (b) Eksperiment

Slika 4.11: Vizualna usporedba otkazivanja izmedu eksperimenta i numerickogmodela za slucaj vertikalnog opterecenja od 30 kN

javlja razlika izmedu ocekivane pozicije nastanka pukotine i eksperimenta.To se možepripisati cinjenici da je u numerickom modelu zanemarena upotreba morta izmedu pod-loge i prvog reda blokova te betonske grede i zadnjeg reda blokova.

49

(a) Numericki model (LMGC90) (b) Eksperiment

Slika 4.12: Vizualna usporedba otkazivanja izmedu eksperimenta i numerickogmodela za slucaj vertikalnog opterecenja od 100 kN

(a) Interakcija za horizontalni pomak od 1 mm (b) Interakcija za horizontalni pomak od 15 mm

Slika 4.13: Interakcija izmedu pojedinih blokova zida za slucaj vertikalnog opterecenjaod 100 kN

50

Poglavlje 5

Kupole katedrale sv. Jakova uŠibeniku

5.1 Analiza kupole katedrale sv. Jakova u Šibeniku

Institut za povijest i umjetnost u Zagrebu posjeduje nacrte katedrale sv. Jakova u Ši-beniku [18]. U arhivi se mogu pronaci nacrti u dva mjerila 1:200 i 1:50 koji se cuvajuna pausu, trenutno ne postoji digitalna verzija. U institutu se mogu dobiti nacrti cetirijuprocelja, dva uzdužna presjeka, dva poprecna presjeka i tlocrt. Uzdužni presjeci defini-rani su ravninama koje presijecaju katedralu po osi simetrije i kroz bocni brod. Ravninepoprecnih presjeka presijecaju katedralu kroz tri broda i središte kupole.

Izrada numerickog modela ne zahtijeva "savršenu" preciznost, odnosno odstupanjeod nekoliko centimetara u odnosu na izvedeno stanje - nece znatno utjecati na toc-nost rješenja. U sklopu ovoga rada koriste se nacrti u mjerilu 1:200, te se smatrajudovoljno preciznima za izradu kvalitetnog numerickog modela. Obavljen je i vizualnipregled katedrale cime su prikupljeni dodatni podaci potrebni za izradu modela. Vizu-alnim pregledom utvrdena je pravilnost slaganja kamenih blokova i raspored celicnihzatega.

5.1.1 Geometrija kupole

Za vrijeme Domovinskog rata katedrala sv. Jakova u Šibeniku pretrpjela je dva izravnaprojektilska pogotka. Cuzela 1994. godine objavljuje rad u kojem opisuje prijedlogesanacije kupole. U sklopu rada detaljno je opisana geometrija kupole. Tlocrt kupoleima oblik osmerokuta, stranice u bazi imaju duljinu 330 cm. Visina kupole je definirana

51

od vijenca do akroterija i iznosi 600 cm.

Slika 5.1: Rasporeda osi rebara

Osam rebara spaja se u tjemenu kupole i cini osnovni nosivi sustav. Na slici 5.1 prika-zan je shematski prikaz rasporeda rebara. Rebra su medusobno povezana središnjimblokom koji ih povezuje u cjelinu, a središnji blok s rebrima cini luk. Kut izmedu dvijeosi rebara je 45. Svako rebro sastavljeno je od deset elemenata. Visina rebra je 55cm po cijeloj dužini rebra, dok se širina mijenja. Širina rebara je 50 cm u peti, a 38 cmu tjemenu [30]. Promjena širine rebra u modelu definirana je linearno,

zsirina rebra (x) =dB − dTr − r1

(x− r1) + dT , xε[0, 431, 17

]. (5.1)

dB i dT opisuju širinu rebra u bazi i tjemenu, dok r1 i r definiraju pocetak i kraj rebra.Velicine r1 i r odreduju pocetak i kraj rebra u odnosu na ishodište koordinatnog sustavakao što je prikazano na slici 5.1.

Proucavanjem nacrta utvrdeno je da se oblik rebra može dobro opisati pomocu para-bole. Na slici 5.2 prikazan je odnos izmedu aproksimacijske krivulje i ocitanih vrijed-nosti. Ova tvrdnja omogucava definiranje jednadžbe osi rebra koja glasi

z (x) = − hr2x2 + h , xε

[0, 431, 17

]. (5.2)

Parabola je odredena s dva parametra h i r. Parametri h i r prikazani su na slici5.3. Vrijednost h definira visinu kupole odnosno predstavlja dužinu izmedu ishodišta itjemena parabole, a r je polumjer opisane kružnice osmerokuta. Odabrane vrijednostiparametara h i r su 600,00 cm i 431,17 cm.

Uvidom u dokumentaciju utvrdeno je da se svako rebro sastoji od deset segmenatapodjednake duljine što omogucava da se uvede pretpostavka kako su svi segmenti

52

Slika 5.2: Usporedba ocitanih vrijednosti i aproksimacijske krivulje

Slika 5.3: Oblik osi rebra

jednake duljine. Prethodna tvrdnja omogucava da se postave uvjeti za duljinu pojedi-nog segmenta odnosno njegov položaj. Duljina i položaj pojedinog segmenta definirase pomocu h, r, r1 i brojem segmenata. Parametar r1 definira velicinu središnjeg ka-mena odnosno koordinatu pocetka rebra. Za odredivanje duljine pojedinog segmentapotrebno je prvo izracunati ukupnu duljinu parabole na podrucju od r1 do r. Ukupnoduljinu parabole na podrucju od r1 do r možemo izracunati pomocu izraza

dl (h, r, r1) =0.5r

√4h2

r2+ 1− 0.5r1

√4h2

r4r2

1 + 1− 0.25√h2

r4

asinh

(2r1

√h2

r4

)+

0.25√h2

r4

asinh

2h2

r3

√h2

r4

.(5.3)

53

Izraz 5.3 je odreden pomocu poznate jednadžbe za duljinu luka ravninske krivulje,

S =

∫ b

a

√1− y′ (x)2dx. (5.4)

Granice integracije u izrazu 5.4 definirane su s parametrima r i r1, a krivulja je opisanaizrazom 5.2. Integracija je prevedena pomocu programa Sage [26]. Sad kad je poznataduljina luka za promatrano podrucje jednostavno je odrediti duljinu segmenta, ona seodreduje dijeljenjem ukupne duljine s brojem segmenata.

dsegmenta =dl (h, r, r1)

broj segmenata(5.5)

Takoder je potrebno odrediti pocetak i završetak pojedinog segmenta, drugim rijecimax koordinatu pocetka i kraja pojedinog segmenta. Vrijednost r1 odreduje pocetak lukacime je definiran i pocetak prvog segmenta. Završetak prvog segmenta može se odre-diti rješavanjem sljedece jednadžbe

dsegmenta =0, 5r1

√4h2

r4r2

1 + 1 + 0, 5r2

√4h2

r4r2

2 + 1+

0, 25√h2

r4

asinh

(2r1

√h2

r4

)+

0, 25√h2

r4

asinh

(2r2

√h2

r4

).

(5.6)

Rješavanjem jednadžbe 5.6 odreduje se vrijednost r2 koja definira završetak prvogsegmenta. Proracun je proveden pomocu programa python. Rješenje je izracunatopomocu naredbe nsolve koja je ukljucena u modulu sympy, a zasniva se na numeric-kom pristupu. Broj segmenata odreduje nam koliko je puta potrebno ponoviti prethodnipostupak. Da bi se ubrzalo rješavanje problema napisan je program za racunanje po-cetnih i završnih koordinata pojedinog segmenta. Rezultat algoritma je lista koordinata,a u nastavku teksta bit ce oznacavana kao x1.

x_n=[r1] # x koordinate pocetka i kraja blokova

i =1

while i < n+1: # n odreduje broj broj iteracija

a definiran je brojem segmenata

u=nsolve(-i*dl-1./4.*(2*r1*sqrt(h**2/r**4)*

sqrt((r**4 + 4*h**2*r1**2)/r**4) +

asinh(2*h**2*r1/(r**4*sqrt(h**2/r**4))))

/sqrt(h**2/r**4) +

1./4.*(2*r2*sqrt(h**2/r**4)*sqrt((r**4 + 4*h**2*r2**2)

/r**4)+ asinh(2*h**2*r2/(r**4*sqrt(h**2/r**4))))

54

/sqrt(h**2/r**4), r2,(0,r))

s=float(u)

x_n.append(s)

i=i+1

Poprecni presjek rebra oblikovan je tako da ima utore u koje se umecu ploce pokrova.Vanjske plohe rebra su zakošene pod 22.5 tako da prate liniju nagiba pokrovnih ploca[30]. Oblik poprecnog presjeka prikazan je na slici 5.4 i može se uociti da je vrlo složen.U cilju pojednostavljenja problema i jednostavnije izrade numerickog modela uvode sepromjene u obliku presjeka, aproksimacija je prikazana na slici 5.5. Geometrija je de-finirana sa sedamnaest karakteristicnih tocaka (T1, T2, ..., T17). Pomocu jednadžbe 5.6odreden je pocetak i završetak pojedinog segmenta. Za odredivanje položaja sedam-naest karakteristicnih tocaka poprecnog presjeka potrebno je definirati nagib pravcaokomitog na tangentu u pocetku, kao i završetku segmenta.

z′ (x) = −2h

r2x (5.7)

Iz jednadžbe 5.7 slijedi nagib pravca okomit na tangentu

tan(γ) =r2

2hx(5.8)

odnosno kut γ.

γ = atan

(r2

2hx

)(5.9)

Buduci da se kut mijenja ovisno o položaju segmenta, napisan je kod koji definira kutγ.

def kut_gama(r,h,x): #nagib pravca okomit na tangentu parabole

if x==0.:

return math.pi/2.

else:

a=math.atan(r**2/(2*h*x))

return a

Dimenzije presjeka su definirane pomocu parametara a, b, m, e i hv, kao što je prika-zano na slici 5.5. Velicine a, b, m, e i hv djelomicno su išcitane iz slike 5.4, a djelomicnoiz clanka Prilog obnovi kupole katedrale sv. Jakova u Šibeniku [30]. Širina poprecnogpresjeka mijenja se duž osi rebra, a iz tog razloga se a i b takoder mijenjaju. U bazirebra a iznosi 15cm dok b ima širinu 20cm. Omjer a/b je konstantan po cijeloj dužinirebra, a promjena širine je odredena jednadžbom 5.1.

55

Slika 5.4: Poprecnipresjek rebra [30]

T1T2T3T4

T8

T7T6

T5

T9

T10

T11

T12

T16

T15

T17

T14

T13

a b a

me

y

x

z(x1)T0

hv

Slika 5.5: Aproksimacija poprecnogpresjeka rebra

Koordinate karakteristicnih tocaka (T1, T2, ..., T17) moguce je odrediti pomocu kuta γ,koordinate x1 i parametara a, b, m, e i hv.

γ

mx

mz

m

T0(x1,0,z(x1))

T7(x1+mx,-b/2-a,z(x1)+mz)

Slika 5.6: Koordinate tocke T8

Pozicija karakteristicnih tocaka presjeka odreduje se od referentne tocke T0 koja imakoordinate T0(x1, 0, z(x1)). Položaj tocke T0 prikazan je na slici 5.5. Na slici 5.6 prikazanje nacin odredivanja položaja tocke T7 u odnosu na tocku T0. Pomocu trigonometrijskihfunkcija jednostavno se može odrediti položaj tocke T7. Na isti nacin mogu se odreditipoložaji tocaka T1, T2, T3, T4, T6, T10, T11 i T17 i to za razlicite položaje x1. Napisan jekod u programskom jeziku python koji odreduje koordinate. Rezultat algoritma je listakoordinata karakteristicnih tocaka presjeka za svaki spoj izmedu dva segmenta lukakupole.

for x1 in x_n:

gama=kut_gama(r,h,x1)

T1=[x1,-d(x1)/2,y(x1)]

56

T2=[x1,-(d(x1))*omjer_bd,y(x1)]

T3=[x1,(d(x1))*omjer_bd,y(x1)]

T4=[x1,d(x1)/2,y(x1)]

T6=[x1+math.cos(gama)*m,(d(x1))*omjer_bd,y(x1)

+math.sin(gama)*m]

T7=[x1+math.cos(gama)*m,-(d(x1))*omjer_bd,y(x1)

+math.sin(gama)*m]

delta_x=omjer_ad*d(x1)*math.tan(beta)

delta_z=delta_x*math.tan(kut_gama(r,h,x1))

T5=[x1+math.cos(gama)*m-delta_x,

d(x1)/2,y(x1)+math.sin(gama)*m-delta_z]

T8=[T7[0]-delta_x,-d(x1)/2,T7[2]-delta_z]

T10=[x1+math.cos(gama)*(m+e),(d(x1))*

omjer_bd,y(x1)+math.sin(gama)*(m+e)]

T11=[x1+math.cos(gama)*(m+e),-(d(x1))*

omjer_bd,y(x1)+math.sin(gama)*(m+e)]

T9=[T10[0]-delta_x,d(x1)/2,T10[2]-delta_z]

T12=[T11[0]-delta_x,-d(x1)/2,T11[2]-delta_z]

T14=[x1+math.cos(gama)*(m+e+f),(d(x1))*

omjer_bd,y(x1)+math.sin(gama)*(m+e+f)]

T15=[x1+math.cos(gama)*(m+e+f),-(d(x1))*

omjer_bd,y(x1)+math.sin(gama)*(m+e+f)]

T13=[T15[0]-delta_x,d(x1)/2,T15[2]-delta_z]

T16=[T15[0]-delta_x,-d(x1)/2,T15[2]-delta_z]

delta_x=omjer_bd*d(x1)*math.tan(beta)

delta_z=delta_x*math.tan(kut_gama(r,h,x1))

T17=[x1+h_v*math.cos(gama),0.,

y(x1)+h_v*math.sin(gama)]

o.append([T1,T2,T3,T4,T5,T6,T7,T8,T9,T10,T11,

57

T12,T13,T14,T15,T16,T17])

Kut izmedu dva rebra je 45, transformiranjem tocke T7 u polarne koordinate moguceje jednostavno odrediti koordinate tocke T7 susjednog rebra. Buduci da su poznate ko-ordinate tocke T7 na pocetku i kraju promatranog segmenta i koordinata T7 susjednogrebra, može se odrediti jednadžba ravnine kroz tri tocke. Takoder je moguce odreditijednadžbu pravca koja prolazi rubom rebra odnosno prolazi tockama T1 i T16. TockaT8 mora ležati na definiranoj ravnini i pravcu, ako se odredi probodište pravca i ravninemoguce je odrediti koordinate tocke T8. Isti postupak može se primijeniti za tocke T5,T9 i T12, T13, T14, T15 i T16. Ovaj postupak je vrlo bitan, ako dode do odstupanja u nagibuizmedu ploca pokrova i utora postoji mogucnost da se ne ostvari kontakt izmedu dvaelementa. A ako se ne ostvari kontakt - elementi prolaze jedan kroz drugi.

j=0

print x_n

while j < len(x_n)-1:

print x_n

x4=x_n[j]

T1=o[j][6]

T2=o[j+1][6]

T1_polar=[math.sqrt(T1[1]**2+T1[0]**2),

math.atan(T1[1]/T1[0])]

T3_polar=[math.sqrt(T1[1]**2+T1[0]**2),

-(alfa-2*abs(math.atan(T1[1]/T1[0])))

+math.atan(T1[1]/T1[0])]

T3=[math.cos(T3_polar[1])*T3_polar[0],

math.sin(T3_polar[1])*T3_polar[0],T1[2]]

p1=T1

p2=T2

p3=T3

x1, y1, z1 = p1

x2, y2, z2 = p2

x3, y3, z3 = p3

v1 = [x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1]

v2 = [x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1]

58

cp = [v1[1] * v2[2] - v1[2] * v2[1],

v1[2] * v2[0] - v1[0] * v2[2],

v1[0] * v2[1] - v1[1] * v2[0]]

aa, bb, cc = cp

dd = aa * x1 + bb * y1 + cc * z1

o[j][7][0]=x4*(-2*bb*h*r**2*(o[j][7][1])

- 2*float(cc)*h**2*r**2

+ 2*float(cc)*h**2*x4**2 + float(cc)*r**4

+ 2*dd*h*r**2)/(r**2*(2*aa*h*x4 + float(cc)*r**2))

o[j][7][2]=oty(x4,o[j][7][0])

o[j][4][0]=o[j][7][0]

o[j][4][2]=o[j][7][2]

j=j+1

5.1.2 Numericki model kupole pomocu programa LMGC90

Poglavlje 5.1.1 detaljno prikazuje geometriju kupole, a na temelju tih podataka u nas-tavku ce biti prikazan proces izrade diskretnog 3D modela u kompjutorskom programuLMGC90. Modeliranje u LMGC90 odvija se tako da se koriste iskljucivo predefinirani3d ili 2d elementi. U nastavku ce se koristiti iskljucivo diskretni element oblika cetve-rostrane prizme.

Slika 5.7: Kvadratni diskretni element

2 3

1 4

6 7

5 8

8 5

7 66

5

4

1

02

3

5

67

8

9

10

11

Slika 5.8: Plašt kvadratnog diskretnogelementa

Slika 5.7 prikazuje kvadratni diskretni element koji je definiran s osam tocaka. Plohukvadratnog diskretnog elementa cine dva trokuta, kao što je prikazano na slici 5.8,

59

brojevi u kružicima oznacavaju indekse pojedine plohe.

Numericki model rebra

Slika 5.5 prikazuje oblik poprecnog presjeka rebra. Za postizanje traženog oblika pre-sjeka segment rebra je sastavljen iz šest kvadratnih diskretnih elemenata koji se pona-šaju kao cjelina, odnosno kruto nedeformabilno tijelo.

Rebra su oblikovana pomocu dvostruke petlje, pri cemu jedna petlja definira segmentepo visini, dok druga petlja definira novo rebro rotirano za 45.

Slika 5.9: Model jednog segmenta rebra

## REBRA

s=8

n=len(koordinate)

pocetni_kut=0. ## pocetni kut

kut=2.*math.pi/s ##kut izmedu rebara

i=0

j=0

while j<s:

while i<n-1:

vertices = numpy.zeros([8, 3], ’d’)

# - sommet 1

vertices[0, 0]=koordinate[i+1][1][0]

vertices[0, 1]=koordinate[i+1][1][1]

vertices[0, 2]=koordinate[i+1][1][2]

# - sommet 2

vertices[1, 0]=koordinate[i][1][0]

vertices[1, 1]=koordinate[i][1][1]

vertices[1, 2]=koordinate[i][1][2]

# - sommet 3

vertices[2, 0]=koordinate[i][0][0]

vertices[2, 1]=koordinate[i][0][1]

60

vertices[2, 2]=koordinate[i][0][2]

# - sommet 4

vertices[3, 0]=koordinate[i+1][0][0]

vertices[3, 1]=koordinate[i+1][0][1]

vertices[3, 2]=koordinate[i+1][0][2]

# - sommet 5

vertices[4, 0]=koordinate[i+1][6][0]

vertices[4, 1]=koordinate[i+1][6][1]

vertices[4, 2]=koordinate[i+1][6][2]

# - sommet 6

vertices[5, 0]=koordinate[i][6][0]

vertices[5, 1]=koordinate[i][6][1]

vertices[5, 2]=koordinate[i][6][2]

# - sommet 7

vertices[6, 0]= koordinate[i][7][0]

vertices[6, 1]= koordinate[i][7][1]

vertices[6, 2]= koordinate[i][7][2]

# - sommet 8

vertices[7, 0]=koordinate[i+1][7][0]

vertices[7, 1]=koordinate[i+1][7][1]

vertices[7, 2]=koordinate[i+1][7][2]

# * connectivite des faces

faces = numpy.zeros([12, 3], ’i’)

faces[ 0, 0]=2; faces[ 0, 1]=1; faces[ 0, 2]=3

faces[ 1, 0]=3; faces[ 1, 1]=1; faces[ 1, 2]=4

faces[ 2, 0]=1; faces[ 2, 1]=2; faces[ 2, 2]=6

faces[ 3, 0]=1; faces[ 3, 1]=6; faces[ 3, 2]=5

faces[ 4, 0]=2; faces[ 4, 1]=3; faces[ 4, 2]=7

faces[ 5, 0]=2; faces[ 5, 1]=7; faces[ 5, 2]=6

faces[ 6, 0]=4; faces[ 6, 1]=1; faces[ 6, 2]=8

faces[ 7, 0]=8; faces[ 7, 1]=1; faces[ 7, 2]=5

faces[ 8, 0]=3; faces[ 8, 1]=4; faces[ 8, 2]=8

faces[ 9, 0]=3; faces[ 9, 1]=8; faces[ 9, 2]=7

faces[10, 0]=5; faces[10, 1]=7; faces[10, 2]=8

faces[11, 0]=5; faces[11, 1]=6; faces[11, 2]=7

top_avatar=avatar(type=’RBDY3’, dimension=dim)

top_avatar.addBulk(rigid3d())

top_avatar.addNode(node(type=’NO3xx’,

61

coor=numpy.array([0.,0.,0.]),number=1))

top_avatar.defineGroups()

top_avatar.defineModel(group=’all’, model=mR3D)

top_avatar.defineMaterial(group=’all’, material=stone)

top_avatar.addContactors( group=’all’,type=’POLYR’,

color=’REDxx’, nb_vertices=8, vertices=vertices,

nb_faces=12, connectivity=faces)

vertices[0, 0]=koordinate[i+1][3][0]

vertices[0, 1]=koordinate[i+1][3][1]

vertices[0, 2]=koordinate[i+1][3][2]

# - sommet 2

vertices[1, 0]=koordinate[i][3][0]

vertices[1, 1]=koordinate[i][3][1]

vertices[1, 2]=koordinate[i][3][2]

# - sommet 3

vertices[2, 0]=koordinate[i][2][0]

vertices[2, 1]=koordinate[i][2][1]

vertices[2, 2]=koordinate[i][2][2]

# - sommet 4

vertices[3, 0]=koordinate[i+1][2][0]

vertices[3, 1]=koordinate[i+1][2][1]

vertices[3, 2]=koordinate[i+1][2][2]

# - sommet 5

vertices[4, 0]=koordinate[i+1][4][0]

vertices[4, 1]=koordinate[i+1][4][1]

vertices[4, 2]=koordinate[i+1][4][2]

# - sommet 6

vertices[5, 0]=koordinate[i][4][0]

vertices[5, 1]=koordinate[i][4][1]

vertices[5, 2]=koordinate[i][4][2]

# - sommet 7

vertices[6, 0]= koordinate[i][5][0]

vertices[6, 1]= koordinate[i][5][1]

vertices[6, 2]= koordinate[i][5][2]

# - sommet 8

vertices[7, 0]=koordinate[i+1][5][0]

vertices[7, 1]=koordinate[i+1][5][1]

vertices[7, 2]=koordinate[i+1][5][2]

62

top_avatar.addContactors( group=’all’,type=’POLYR’,

color=’REDxx’, nb_vertices=8, vertices=vertices,

nb_faces=12, connectivity=faces)

vertices[0, 0]=koordinate[i+1][8][0]

vertices[0, 1]=koordinate[i+1][8][1]

vertices[0, 2]=koordinate[i+1][8][2]

# - sommet 2

vertices[1, 0]=koordinate[i][8][0]

vertices[1, 1]=koordinate[i][8][1]

vertices[1, 2]=koordinate[i][8][2]

# - sommet 3

vertices[2, 0]=koordinate[i][9][0]

vertices[2, 1]=koordinate[i][9][1]

vertices[2, 2]=koordinate[i][9][2]

# - sommet 4

vertices[3, 0]=koordinate[i+1][9][0]

vertices[3, 1]=koordinate[i+1][9][1]

vertices[3, 2]=koordinate[i+1][9][2]

# - sommet 5

vertices[4, 0]=koordinate[i+1][12][0]

vertices[4, 1]=koordinate[i+1][12][1]

vertices[4, 2]=koordinate[i+1][12][2]

# - sommet 6

vertices[5, 0]=koordinate[i][12][0]

vertices[5, 1]=koordinate[i][12][1]

vertices[5, 2]=koordinate[i][12][2]

# - sommet 7

vertices[6, 0]= koordinate[i][13][0]

vertices[6, 1]= koordinate[i][13][1]

vertices[6, 2]= koordinate[i][13][2]

# - sommet 8

vertices[7, 0]=koordinate[i+1][13][0]

vertices[7, 1]=koordinate[i+1][13][1]

vertices[7, 2]=koordinate[i+1][13][2]

top_avatar.addContactors( group=’all’,type=’POLYR’,

color=’REDxx’, nb_vertices=8, vertices=vertices,

nb_faces=12, connectivity=faces)

vertices[0, 0]=koordinate[i+1][10][0]

63

vertices[0, 1]=koordinate[i+1][10][1]

vertices[0, 2]=koordinate[i+1][10][2]

# - sommet 2

vertices[1, 0]=koordinate[i][10][0]

vertices[1, 1]=koordinate[i][10][1]

vertices[1, 2]=koordinate[i][10][2]

# - sommet 3

vertices[2, 0]=koordinate[i][11][0]

vertices[2, 1]=koordinate[i][11][1]

vertices[2, 2]=koordinate[i][11][2]

# - sommet 4

vertices[3, 0]=koordinate[i+1][11][0]

vertices[3, 1]=koordinate[i+1][11][1]

vertices[3, 2]=koordinate[i+1][11][2]

# - sommet 5

vertices[4, 0]=koordinate[i+1][14][0]

vertices[4, 1]=koordinate[i+1][14][1]

vertices[4, 2]=koordinate[i+1][14][2]

# - sommet 6

vertices[5, 0]=koordinate[i][14][0]

vertices[5, 1]=koordinate[i][14][1]

vertices[5, 2]=koordinate[i][14][2]

# - sommet 7

vertices[6, 0]= koordinate[i][15][0]

vertices[6, 1]= koordinate[i][15][1]

vertices[6, 2]= koordinate[i][15][2]

# - sommet 8

vertices[7, 0]=koordinate[i+1][15][0]

vertices[7, 1]=koordinate[i+1][15][1]

vertices[7, 2]=koordinate[i+1][15][2]

top_avatar.addContactors( group=’all’,type=’POLYR’,

color=’REDxx’, nb_vertices=8, vertices=vertices,

nb_faces=12, connectivity=faces)

vertices[0, 0]=koordinate[i+1][2][0]

vertices[0, 1]=koordinate[i+1][16][1]

vertices[0, 2]=koordinate[i+1][2][2]

# - sommet 2

vertices[1, 0]=koordinate[i][2][0]

64

vertices[1, 1]=koordinate[i][16][1]

vertices[1, 2]=koordinate[i][2][2]

# - sommet 3

vertices[2, 0]=koordinate[i][1][0]

vertices[2, 1]=koordinate[i][1][1]

vertices[2, 2]=koordinate[i][1][2]

# - sommet 4

vertices[3, 0]=koordinate[i+1][1][0]

vertices[3, 1]=koordinate[i+1][1][1]

vertices[3, 2]=koordinate[i+1][1][2]

# - sommet 5

vertices[4, 0]=koordinate[i+1][16][0]

vertices[4, 1]=koordinate[i+1][16][1]

vertices[4, 2]=koordinate[i+1][16][2]

# - sommet 6

vertices[5, 0]=koordinate[i][16][0]

vertices[5, 1]=koordinate[i][16][1]

vertices[5, 2]=koordinate[i][16][2]

# - sommet 7

vertices[6, 0]= koordinate[i][14][0]

vertices[6, 1]= koordinate[i][14][1]

vertices[6, 2]= koordinate[i][14][2]

# - sommet 8

vertices[7, 0]=koordinate[i+1][14][0]

vertices[7, 1]=koordinate[i+1][14][1]

vertices[7, 2]=koordinate[i+1][14][2]

top_avatar.addContactors( group=’all’,type=’POLYR’,

color=’REDxx’, nb_vertices=8, vertices=vertices,

nb_faces=12, connectivity=faces)

vertices[0, 0]=koordinate[i+1][2][0]

vertices[0, 1]=koordinate[i+1][2][1]

vertices[0, 2]=koordinate[i+1][2][2]

# - sommet 2

vertices[1, 0]=koordinate[i][2][0]

vertices[1, 1]=koordinate[i][2][1]

vertices[1, 2]=koordinate[i][2][2]

# - sommet 3

vertices[2, 0]=koordinate[i][1][0]

65

vertices[2, 1]=koordinate[i][16][1]

vertices[2, 2]=koordinate[i][1][2]

# - sommet 4

vertices[3, 0]=koordinate[i+1][1][0]

vertices[3, 1]=koordinate[i+1][16][1]

vertices[3, 2]=koordinate[i+1][1][2]

# - sommet 5

vertices[4, 0]=koordinate[i+1][13][0]

vertices[4, 1]=koordinate[i+1][13][1]

vertices[4, 2]=koordinate[i+1][13][2]

# - sommet 6

vertices[5, 0]=koordinate[i][13][0]

vertices[5, 1]=koordinate[i][13][1]

vertices[5, 2]=koordinate[i][13][2]

# - sommet 7

vertices[6, 0]= koordinate[i][16][0]

vertices[6, 1]= koordinate[i][16][1]

vertices[6, 2]= koordinate[i][16][2]

# - sommet 8

vertices[7, 0]=koordinate[i+1][16][0]

vertices[7, 1]=koordinate[i+1][16][1]

vertices[7, 2]=koordinate[i+1][16][2]

top_avatar.addContactors( group=’all’,type=’POLYR’,

color=’REDxx’, nb_vertices=8, vertices=vertices

, nb_faces=12, connectivity=faces)

top_avatar.computeRigidProperties()

top_avatar.rotate(type=’Euler’, phi=pocetni_kut, theta=0.,

psi=0., alpha=0., axis=[0., 0., 1.], center=[0., 0., 0.])

bodies +=top_avatar

i=i+1

j=j+1

pocetni_kut=pocetni_kut-kut

i=0

Numericki model središnjeg kamena

Središnji kamen ima funkciju povezivanja rebra u cjelinu odnosno postizanja zatvo-rene strukture. Središnji kamen je modeliran tako da je povezano više standardnih

66

Slika 5.10: Model rebara.

diskretnih elemenata u cjelinu koja se ponaša kao jedan apsolutno kruti diskretni ele-ment.

Slika 5.11: Jedan segment središnjegkamena

Slika 5.12: Model središnjeg kamena

Slika 5.11 prikazuje jedan segment središnjeg kamena koji je definiran s osam tocakai dvanaest trokutastih ploha. Potpuni model središnjeg kamena prikazan na slici 5.12nastaje rotacijom segmenta sa slike 5.11. Os rotacije smještena je u ishodištu koordi-natnog sustava odnosno podudara se sa z koordinatom osi.

## SREDNJI KAMEN

alfa=0.

alfa_T1=math.atan(koordinate[0][0][1]/koordinate[0][0][0])

r_T1=math.sqrt((koordinate[0][0][0])**2

+(koordinate[0][0][1])**2)

alfa_T4=math.atan(koordinate[0][3][1]/koordinate[0][3][0])

r_T4=math.sqrt((koordinate[0][3][0])**2

+(koordinate[0][3][1])**2)

67

alfa_T17=math.atan(koordinate[0][16][1]/koordinate[0][16][0])

r_T17=math.sqrt((koordinate[0][16][0])**2

+(koordinate[0][16][1])**2)

alfa_T16=math.atan(koordinate[0][15][1]/koordinate[0][15][0])

r_T16=math.sqrt((koordinate[0][15][0])**2

+(koordinate[0][15][1])**2)

alfa_T13=math.atan(koordinate[0][12][1]/koordinate[0][12][0])

r_T13=math.sqrt((koordinate[0][12][0])**2

+(koordinate[0][12][1])**2)

alfa_T_1_4rot=(math.pi*2/8)/2

r_T_1_4rot=r1/math.cos(alfa_T_1_4rot)

alfa_T_17_17rot=(math.pi*2/8)/2

r_T_17_17rot=r_T17/math.cos(alfa_T_1_4rot)

h_dolje=koordinate[0][0][2]

h_gore=koordinate[0][16][2]

top_avatar=avatar(type=’RBDY3’, dimension=dim)

top_avatar.addBulk(rigid3d())

top_avatar.addNode(node(type=’NO3xx’,

coor=numpy.array([0.,0.,0.]),number=1))

top_avatar.defineGroups()

top_avatar.defineModel(group=’all’, model=mR3D)

top_avatar.defineMaterial(group=’all’, material=stone)

i=0

s=8

while i<s:

T1=[r_T1,alfa+alfa_T1]

print T1

T4=[r_T4,alfa+alfa_T4]

T17=[r_T17,alfa+alfa_T17]

T1_4=[r1,0.+alfa]

T16=[r_T16,alfa+alfa_T16]

T13=[r_T13,alfa+alfa_T13]

68

T_1_4rot=[r_T_1_4rot,alfa+alfa_T_1_4rot]

T_17_17rot=[r_T_17_17rot,alfa+alfa_T_17_17rot]

alfa=alfa-math.pi*2/8

print math.degrees(alfa_T13)

print math.degrees(alfa+alfa_T13)

print math.degrees(alfa)

vertices = numpy.zeros([8, 3], ’d’)

# - sommet 1

vertices[0, 0]=math.cos(T_1_4rot[1])*T_1_4rot[0]

vertices[0, 1]=math.sin(T_1_4rot[1])*T_1_4rot[0]

vertices[0, 2]=h_dolje

# - sommet 2

vertices[1, 0]=math.cos(T1_4[1]+(math.pi*2/8))*T1_4[0]

vertices[1, 1]=math.sin(T1_4[1]+(math.pi*2/8))*T1_4[0]

vertices[1, 2]=h_dolje

# - sommet 3

vertices[2, 0]=0.

vertices[2, 1]=0.

vertices[2, 2]=h_dolje

# - sommet 4

vertices[3, 0]=math.cos(T1_4[1])*T1_4[0]

vertices[3, 1]=math.sin(T1_4[1])*T1_4[0]

vertices[3, 2]=h_dolje

# - sommet 5

vertices[4, 0]=math.cos(T_17_17rot[1])*T_17_17rot[0]

vertices[4, 1]=math.sin(T_17_17rot[1])*T_17_17rot[0]

vertices[4, 2]=h_gore

# - sommet 6

vertices[5, 0]=math.cos(T17[1]+(math.pi*2/8))*T17[0]

vertices[5, 1]=math.sin(T17[1]+(math.pi*2/8))*T17[0]

vertices[5, 2]=h_gore

69

# - sommet 7

vertices[6, 0]=0.

vertices[6, 1]=0.

vertices[6, 2]=h_gore

# - sommet 8

vertices[7, 0]=math.cos(T17[1])*T17[0]

vertices[7, 1]=math.sin(T17[1])*T17[0]

vertices[7, 2]=h_gore

# * connectivite des faces

faces = numpy.zeros([12, 3], ’i’)

faces[ 0, 0]=2; faces[ 0, 1]=1; faces[ 0, 2]=3

faces[ 1, 0]=3; faces[ 1, 1]=1; faces[ 1, 2]=4

faces[ 2, 0]=1; faces[ 2, 1]=2; faces[ 2, 2]=6

faces[ 3, 0]=1; faces[ 3, 1]=6; faces[ 3, 2]=5

faces[ 4, 0]=2; faces[ 4, 1]=3; faces[ 4, 2]=7

faces[ 5, 0]=2; faces[ 5, 1]=7; faces[ 5, 2]=6

faces[ 6, 0]=4; faces[ 6, 1]=1; faces[ 6, 2]=8

faces[ 7, 0]=8; faces[ 7, 1]=1; faces[ 7, 2]=5

faces[ 8, 0]=3; faces[ 8, 1]=4; faces[ 8, 2]=8

faces[ 9, 0]=3; faces[ 9, 1]=8; faces[ 9, 2]=7

faces[10, 0]=5; faces[10, 1]=7; faces[10, 2]=8

faces[11, 0]=5; faces[11, 1]=6; faces[11, 2]=7

#top_avatar.imposeDrivenDof

(component=[1, 2, 3, 4, 5, 6], dofty=’vlocy’)

top_avatar.addContactors( group=’all’,type=’POLYR’,

color=’REDxx’, nb_vertices=8, vertices=vertices,

nb_faces=12, connectivity=faces)

pocetni_kut=pocetni_kut

i=i+1

print T1

70

top_avatar.computeRigidProperties()

bodies +=top_avatar

Numericki model pokrova

Pokrov kupole izveden je od kamenih blokova trapezastog oblika. Blokovi pokrovaispunjavaju prostor izmedu rebara i oslanjaju se na rebra. U rebrima je izveden utor ukoji se umecu pokrovni elementi. Na spoju dva pokrova elementa pojavljuje se preklop,gornja ploca prelazi preko donje. Pokrovni elementi izvedeni su zakrivljeno kako bi štobolje pratili nagib zakrivljenosti kupole.

Slika 5.13: Presjek kroz pokrovne elemente [30]

Ovako složeni oblik pokrovnih elemenata vrlo je teško numericki opisati. Iz tog razlogauvedena su pojednostavljenja u modelu. Zanemarena su preklapanja na spoju dva po-krovna elementa i zakrivljenost se aproksimira s dvije plohe. Pojedini elementi pokrovadefinirani su pomocu geometrije rebara. Detaljno je definirana geometrija jednog po-krovnog elementa, dok se preostali elementi dobivaju pomocu dvostruke petlje. Prvapetlja definira elemente duž rebra, druga izmedu susjednih rebara.

while i<n-2:

while j<len(list_alfa):

alfa_1 = list_alfa[j]

top_avatar=avatar(type=’RBDY3’, dimension=dim)

top_avatar.addBulk(rigid3d())

top_avatar.addNode(node(type=’NO3xx’,

coor=numpy.array([0.,0.,0.]),number=1))

71

top_avatar.defineGroups()

top_avatar.defineModel(group=’all’, model=mR3D)

top_avatar.defineMaterial(group=’all’, material=stone)

T7_sredina[0]=(koordinate[i][6][0]+koordinate[i+1][6][0])/2

T7_sredina[1]=(koordinate[i][6][1]+koordinate[i+1][6][1])/2

T7_sredina[2]=(koordinate[i][6][2]+koordinate[i+1][6][2])/2

T7_sredina_polar[0]=math.sqrt(T7_sredina[1]**2

+T7_sredina[0]**2)

T7_sredina_polar[1]=math.atan(T7_sredina[1]/T7_sredina[0])

T6_srednje_polar_rot=[math.sqrt(T7_sredina[1]**2

+T7_sredina[0]**2),

-(alfa-2*abs(math.atan(T7_sredina[1]/T7_sredina[0])))+

math.atan(T7_sredina[1]/T7_sredina[0])]

T6_srednje_rot=\\

[math.cos(T6_srednje_polar_rot[1])*T6_srednje_polar_rot[0],

math.sin(T6_srednje_polar_rot[1])*

T6_srednje_polar_rot[0],T7_sredina[2]]

T7[0]=koordinate[i+1][6][0]

T7[1]=koordinate[i+1][6][1]

T7[2]=koordinate[i+1][6][2]

T7_polar=[math.sqrt(T7[1]**2+T7[0]**2),

math.atan(T7[1]/T7[0])]

T6_polar_rot=[T7_polar[0],-(alfa-2*abs(T7_polar[1]))

+T7_polar[1]]

T6_rot=[math.cos(T6_polar_rot[1])*T6_polar_rot[0]

,math.sin(T6_polar_rot[1])*T6_polar_rot[0],T7[2]]

T11_sredina[0]=(koordinate[i][10][0]

+koordinate[i+1][10][0])/2

T11_sredina[1]=(koordinate[i][10][1]

72

+koordinate[i+1][10][1])/2

T11_sredina[2]=(koordinate[i][10][2]

+koordinate[i+1][10][2])/2

T11_sredina_polar[0]=math.sqrt(T11_sredina[1]**2

+T11_sredina[0]**2)

T11_sredina_polar[1]=math.atan(T11_sredina[1]

/T11_sredina[0])

T10_srednje_polar_rot=[math.sqrt(T11_sredina[1]**2+

T11_sredina[0]**2),

-(alfa-2*abs(math.atan(T11_sredina[1]/T11_sredina[0])))+

math.atan(T11_sredina[1]/T11_sredina[0])]

T10_srednje_rot=[math.cos(T10_srednje_polar_rot[1])*

T10_srednje_polar_rot[0],

math.sin(T10_srednje_polar_rot[1])*

T10_srednje_polar_rot[0],T11_sredina[2]]

T11[0]=koordinate[i+1][10][0]

T11[1]=koordinate[i+1][10][1]

T11[2]=koordinate[i+1][10][2]

T11_polar=[math.sqrt(T11[1]**2+T11[0]**2),

math.atan(T11[1]/T11[0])]

T10_polar_rot=[T11_polar[0],-(alfa-2*abs(T11_polar[1]))+

T11_polar[1]]

T10_rot=[math.cos(T10_polar_rot[1])*T10_polar_rot[0],

math.sin(T10_polar_rot[1])*T10_polar_rot[0],T11[2]]

#print T10_rot[0]

vertices = numpy.zeros([8, 3], ’d’)

# - sommet 1

vertices[0, 0]=T7_sredina[0]

vertices[0, 1]=T7_sredina[1]

vertices[0, 2]=T7_sredina[2]

# - sommet 2

73

vertices[1, 0]=T6_srednje_rot[0]

vertices[1, 1]=T6_srednje_rot[1]

vertices[1, 2]=T6_srednje_rot[2]

# - sommet 3

vertices[2, 0]=T6_rot[0]

vertices[2, 1]=T6_rot[1]

vertices[2, 2]=T6_rot[2]

# - sommet 4

vertices[3, 0]=T7[0]

vertices[3, 1]=T7[1]

vertices[3, 2]=T7[2]

# - sommet 5

vertices[4, 0]=(T11_sredina[0]+T7_sredina[0])/2

vertices[4, 1]=(T11_sredina[1]+T7_sredina[1])/2

vertices[4, 2]=(T11_sredina[2]+T7_sredina[2])/2

# - sommet 6

vertices[5, 0]=(T10_srednje_rot[0]+T6_srednje_rot[0])/2

vertices[5, 1]=(T10_srednje_rot[1]+T6_srednje_rot[1])/2

vertices[5, 2]=(T10_srednje_rot[2]+T6_srednje_rot[2])/2

# - sommet 7

vertices[6, 0]=(T10_rot[0]+T6_rot[0])/2

vertices[6, 1]=(T10_rot[1]+T6_rot[1])/2

vertices[6, 2]=(T10_rot[2]+T6_rot[2])/2

# - sommet 8

vertices[7, 0]=(T11[0]+T7[0])/2

vertices[7, 1]=(T11[1]+T7[1])/2

vertices[7, 2]=(T11[2]+T7[2])/2

# * connectivite des faces

faces = numpy.zeros([12, 3], ’i’)

74

faces[ 0, 0]=2; faces[ 0, 1]=1; faces[ 0, 2]=3

faces[ 1, 0]=3; faces[ 1, 1]=1; faces[ 1, 2]=4

faces[ 2, 0]=1; faces[ 2, 1]=2; faces[ 2, 2]=6

faces[ 3, 0]=1; faces[ 3, 1]=6; faces[ 3, 2]=5

faces[ 4, 0]=2; faces[ 4, 1]=3; faces[ 4, 2]=7

faces[ 5, 0]=2; faces[ 5, 1]=7; faces[ 5, 2]=6

faces[ 6, 0]=4; faces[ 6, 1]=1; faces[ 6, 2]=8

faces[ 7, 0]=8; faces[ 7, 1]=1; faces[ 7, 2]=5

faces[ 8, 0]=3; faces[ 8, 1]=4; faces[ 8, 2]=8

faces[ 9, 0]=3; faces[ 9, 1]=8; faces[ 9, 2]=7

faces[10, 0]=5; faces[10, 1]=7; faces[10, 2]=8

faces[11, 0]=5; faces[11, 1]=6; faces[11, 2]=7

top_avatar.addContactors( group=’all’,type=’POLYR’,

color=’REDxx’, nb_vertices=8, vertices=vertices,

nb_faces=12, connectivity=faces)

T7_sredina[0]=(koordinate[i+1][6][0]

+koordinate[i+2][6][0])/2

T7_sredina[1]=(koordinate[i+1][6][1]

+koordinate[i+2][6][1])/2

T7_sredina[2]=(koordinate[i+1][6][2]

+koordinate[i+2][6][2])/2

T7_sredina_polar[0]=math.sqrt(T7_sredina[1]**2

+T7_sredina[0]**2)

T7_sredina_polar[1]=math.atan(T7_sredina[1]

/T7_sredina[0])

T6_srednje_polar_rot=

[math.sqrt(T7_sredina[1]**2+T7_sredina[0]**2),

-(alfa-2*abs(math.atan(T7_sredina[1]/T7_sredina[0])))

+math.atan(T7_sredina[1]/T7_sredina[0])]

T6_srednje_rot=[math.cos(T6_srednje_polar_rot[1])*

T6_srednje_polar_rot[0],

75

math.sin(T6_srednje_polar_rot[1])*

T6_srednje_polar_rot[0],T7_sredina[2]]

T11_sredina[0]=(koordinate[i+1][10][0]

+koordinate[i+2][10][0])/2

T11_sredina[1]=(koordinate[i+1][10][1]

+koordinate[i+2][10][1])/2

T11_sredina[2]=(koordinate[i+1][10][2]

+koordinate[i+2][10][2])/2

T11_sredina_polar[0]=math.sqrt(T11_sredina[1]**2\\

+T11_sredina[0]**2)

T11_sredina_polar[1]=math.atan(T11_sredina[1]

/T11_sredina[0])

T10_srednje_polar_rot=[math.sqrt(T11_sredina[1]**2+

T11_sredina[0]**2),

-(alfa-2*abs(math.atan(T11_sredina[1]/T11_sredina[0])))

+math.atan(T11_sredina[1]/T11_sredina[0])]

T10_srednje_rot=[math.cos(T10_srednje_polar_rot[1])*

T10_srednje_polar_rot[0],

math.sin(T10_srednje_polar_rot[1])*

T10_srednje_polar_rot[0],T11_sredina[2]]

vertices = numpy.zeros([8, 3], ’d’)

# - sommet 1

vertices[0, 0]=T7[0]

vertices[0, 1]=T7[1]

vertices[0, 2]=T7[2]

# - sommet 2

vertices[1, 0]=T6_rot[0]

vertices[1, 1]=T6_rot[1]

vertices[1, 2]=T6_rot[2]

76

# - sommet 3

vertices[2, 0]=T6_srednje_rot[0]

vertices[2, 1]=T6_srednje_rot[1]

vertices[2, 2]=T6_srednje_rot[2]

# - sommet 4

vertices[3, 0]=T7_sredina[0]

vertices[3, 1]=T7_sredina[1]

vertices[3, 2]=T7_sredina[2]

# - sommet 5

vertices[4, 0]=(T11[0]+T7[0])/2

vertices[4, 1]=(T11[1]+T7[1])/2

vertices[4, 2]=(T11[2]+T7[2])/2

# - sommet 6

vertices[5, 0]=(T10_rot[0]+T6_rot[0])/2

vertices[5, 1]=(T10_rot[1]+T6_rot[1])/2

vertices[5, 2]=(T10_rot[2]+T6_rot[2])/2

# - sommet 7

vertices[6, 0]=(T10_srednje_rot[0]+T6_srednje_rot[0])/2

vertices[6, 1]=(T10_srednje_rot[1]+T6_srednje_rot[1])/2

vertices[6, 2]=(T10_srednje_rot[2]+T6_srednje_rot[2])/2

# - sommet 8

vertices[7, 0]=(T11_sredina[0]+T7_sredina[0])/2

vertices[7, 1]=(T11_sredina[1]+T7_sredina[1])/2

vertices[7, 2]=(T11_sredina[2]+T7_sredina[2])/2

# * connectivite des faces

faces = numpy.zeros([12, 3], ’i’)

faces[ 0, 0]=2; faces[ 0, 1]=1; faces[ 0, 2]=3

faces[ 1, 0]=3; faces[ 1, 1]=1; faces[ 1, 2]=4

faces[ 2, 0]=1; faces[ 2, 1]=2; faces[ 2, 2]=6

faces[ 3, 0]=1; faces[ 3, 1]=6; faces[ 3, 2]=5

faces[ 4, 0]=2; faces[ 4, 1]=3; faces[ 4, 2]=7

77

faces[ 5, 0]=2; faces[ 5, 1]=7; faces[ 5, 2]=6

faces[ 6, 0]=4; faces[ 6, 1]=1; faces[ 6, 2]=8

faces[ 7, 0]=8; faces[ 7, 1]=1; faces[ 7, 2]=5

faces[ 8, 0]=3; faces[ 8, 1]=4; faces[ 8, 2]=8

faces[ 9, 0]=3; faces[ 9, 1]=8; faces[ 9, 2]=7

faces[10, 0]=5; faces[10, 1]=7; faces[10, 2]=8

faces[11, 0]=5; faces[11, 1]=6; faces[11, 2]=7

top_avatar.addContactors( group=’all’,type=’POLYR’,

color=’REDxx’, nb_vertices=8,vertices=vertices,

nb_faces=12, connectivity=faces)

top_avatar.computeRigidProperties()

top_avatar.rotate(type=’Euler’, phi=alfa_1,

theta=0., psi=0., alpha=0.,

axis=[0., 0., 1.], center=[0., 0., 0.])

j=j+1

bodies +=top_avatar

i=i+1

j=0

n=len(koordinate)

j=0

Slika 5.14: Jedan element pokrovaSlika 5.15: Pokrovni elementi izmedu dva

rebra

78

5.2 Analiza iterativnog postupka

Veliki nedostatak diskretnog modeliranja predstavlja vrijeme trajanja analize. Velicinaodabranog koraka i maksimalni broj iteracija po koraku utjecu na vrijeme trajanja pro-racuna. Odlucimo li se za premali vremenski korak, težimo tocnijem rješenju, ali namse znacajno produljuje vrijeme analize. U cilju utvrdivanja optimalne velicine korakapotrebno je provesti analizu velicine koraka i maksimalnog broj iteracija po pojedinomkoraku.

5.2.1 Definiranje kriterija analize

Iteracija se provodi pomocu nelinearne Gauss-Seidelove metode (NLGS), a maksi-malni broj iteracija po koraku definiran je s parametrima gs_it1 i gs_it2 [10]. NLGSje definirana s dvije petlje, a broj ponavljanja je odreden parametrima gs_it1 i gs_it2.Prva petlja odredena je s velicinom gs_it2 i nazivamo je kontrolna petlja, u svakomkoraku petlje provodi se kontrola tocnosti, odnosno utvrduje, zadovoljava li rješenjekriterij tocnosti. Ako su zadovoljeni uvjeti tražene tocke, daljnja iteracija se prekida.Druga petlja je podpetlja prve petlje i odredena je vrijednošcu gs_it1. Za razliku odprve petlje, druga petlja nema mogucnost prekidanja iteracije kada se postigne željenatocnost. Ova analiza potvrduje da je potrebno dobro predvidjeti broj iteracija po po-jedinoj petlji. Ako se odabere preveliki broj iteracije unutar prve petlje, smanjuje semogucnost provodenja nepotrebnih iteracija unutar druge petlje. Jer prva petlja imamogucnost prekida iteracije, ali nedostatak ovog pristupa je gubitak vremena uslijedprovjere tocnosti. U slucaju odabira velikog gs_it1 pojavljuje se mogucnost velikogbroja nepotrebnih iteracija.

Odrediti idealan broj iteracija gotovo je nemoguce, ali je potrebno predvidjeti dobar ba-lans izmedu gs_it1 i gs_it2. U cilju uštede na vremenu u buducim analizama u nastavkuce biti prikazani rezultati dobiveni na modelu kupole za razlicite parametre iteracije.Promatrat ce se odziv kupole odnosno relativni pomak izmedu tjemena i baze kupole.Djelovanje na konstrukciju nanosi se na bazu kupole i to prema akcelerometru El Cen-tro. LMGC90 nam omogucava zadavanje dva tipa djelovanja - silu i brzinu. Buduci dasu nam poznata ubrzanja El Centra [11], potrebno je provesti integraciju kako bi dobilibrzine tla, odnosno baze.

Analiza iterativnog postupka provedena je tako da se varira maksimalni broj iteracija,velicina koraka i metoda integracije. Maksimalni broj iteracija kontrolira se tako da sevrijednost gs_it2 mijenja dok je gs_it1 konstantan i to 2000 ponavljanja. Za gs_it2 seodabiru cetiri vrijednosti: 10, 20, 30 i 40. LMGC90 nam omogucava uvid u svaki vremen-

79

Slika 5.16: Potresni zapis El Centra

ski korak, drugim rijecima - daje nam podatak koliko je iteracija provedeno u pojedinomkoraku. Na temelju tih podataka odabrani su parametri gs_it1 i gs_it2 jer je utvrdeno dagotovo u svim koracima ne dosegne maksimalna broj iteracija. Zadana je tolerancijaizmedu dva koraka i ona iznosi 0.1666−3, a provjera se vrši pomocu maksimalne norme.Numericka integracija se obavlja pomocu θ postupka, odabirom θ-e možemo mijenjatimetode integracije. U ovoj analizi provjerit ce se dva integralna postupka - Eulerovimplicit i Crank-Nicolsonov. Eksplicitni postupak nije uzet u obzir jer postoji mogucnostda ne divergira tocnom rješenju. Implicitni postupak numericke integracije provodi seako odaberemo θ = 1, a Crank-Nicolsonov za vrijednost θ = 0, 5. Takoder su variranei velicine vremenskog koraka i to 0, 002s i 0, 001s. Analiza je podijeljena u tri grupe. Usvakoj grupi su zadane fiksne vrijednosti za gs_it1, tolerancija, θ i velicina vremenskogkoraka, dok se unutar grupe mijenja velicina gs_it2.

5.2.2 Analiza rezultata

Proracuni se usporeduju pomocu maksimalnog relativnog pomaka izmedu baze i vrhakupole. Takoder se mjeri vrijeme potrebno za pojedinu analizu kako bismo mogli utvrditiopravdanost smanjivanja koraka, povecanje broja iteracija i odabira θ-e.

Slika 5.19 prikazuje postotak iteracija koje su dosegle maksimalan broj iteracija popojedinoj analizi. Ako sada pogledamo sliku 5.20 koja prikazuje vrijeme potrebno za

80

Tablica 5.1: Ulazni podatci po analizama

analiza tolerancija θ velicina vremenskog koraka gs_it1 gs_it21 0.1666−3 1,0 0,002 200 102 0.1666−3 1,0 0,002 200 203 0.1666−3 1,0 0,002 200 304 0.1666−3 1,0 0,002 200 405 0.1666−3 0,5 0,002 200 106 0.1666−3 0,5 0,002 200 207 0.1666−3 0,5 0,002 200 308 0.1666−3 0,5 0,002 200 409 0.1666−3 0,5 0,001 200 1010 0.1666−3 0,5 0,001 200 2011 0.1666−3 0,5 0,001 200 3012 0.1666−3 0,5 0,001 200 40

pojedinu analizu, možemo uociti da se vrijeme potrebno za pojedinu analizu povecavas povecanjem maksimalnog broja iteracija. Iz slike 5.20 može se zakljuciti da se pojav-ljuje znacajna razlika u vremenu izmedu odabira metode integracije. Ako usporedimoanalizu 4 i 8, vidimo da je za isti broj iteracija vrijeme potrebno za provodenje proracunau analizi 1 132 min duže od onoga u analizi 8. Može se uociti i to da se vremenskarazlika povecava s brojem iteracija. Usporedbom svih dvanaest analiza vidljivo je da uslucaju odabira manjeg koraka, vrijeme potrebno za analizu znacajno raste, a razlikaizmedu analize 1 i analize 9 je 203 min.

Slika 5.21 prikazuje maksimalne relativne pomake za sve provedene analize kupole.Uocava se da su rezultati ujednaceni odnosno da imamo odstupanje od±1mm. Ako seusporedi analiza 1 i analiza 12 vidimo da se dobivaju jako bliski rezultati. Maksimalnirelativni pomak u analizi 1 iznosi 0, 038716m, a u analizi 12 0, 039162m. Razlika izmedudvije analize je zanemariva, ali vrijeme potrebno za provodenje analize 12 724min a zaanalizu 1 280min.

5.2.3 Zakljucak

Na temelju provedenih proracuna uoceno je da se pojavljuju znacajne razlike u trajanjupojedine analize. Dobiveni rezultati upucuju na to da nema znacajne razlike izmedupojedinih analiza odnosno da su maksimalni relativni pomaci približno jednaki za sveanalize. Može se zakljuciti i to da nema potrebe za smanjivanjem koraka, odnosnopovecanjem broja iteracija cime se produljuje potrebno vrijeme za analizu. Buduci da

81

Slika 5.17: Odziv baze i vrha kupole - analiza 4

Slika 5.18: Relativni pomaci izmedu baze i vrha kupole - analiza 4

je pokazano kako nema znacajne razlike u rezultatima, u daljnjim proracunima koristitce se parametri koji odgovaraju analizi broj 5. Odabrani parametri prikazani su na slici5.2.

82

Slika 5.19: Udio iteracija koje su dosegle maksimalni broj iteracija

Slika 5.20: Vrijeme trajanja analize

Tablica 5.2: Odabrani ulazni podaci za daljnje analize

tolerancija θ velicina vremenskog koraka gs_it1 gs_it20.1666−3 0,5 0,002 200 10

83

Slika 5.21: Maksimalni relativni pomaci ovisno o broju iteracija, velicini koraka i θ

5.3 Dinamicki odziv kupole

U nastavku je cilj prikazati i usporediti odziv kupole za razlicite numericke modele iza razlicite dinamicke pristupe proracuna konstrukcija. Cilj je izraditi dva numerickamodela pomocu metode konacnih elemenata i pomocu NSCD metode. Koristile bi sedvije dinamicke metode, time-history i metoda postupnog guranja (pushover ), a ciljje ocijeniti primjenjivost pushover metode na objektima koji su izvedeni iskljucivo odkamena.

5.3.1 NSCD

Postupak izrade modela kupole u programu LMGC90 detaljno je prikazan u poglavlju5.1.1 tako da ce se u nastavku obradivati samo dinamicki odziv kupole.

Pregled dosadašnjih istraživanja

U radu "Application of the NSCD method to analyse the dynamic behaviour of stonearched structures" Ali Rafiee i kolege proucavaju ponašanje luka pod utjecajem si-nusne dinamicke pobude. Njihov cilj je bolje upoznati ponašanje lukova izradenih odblokova pod utjecajem dinamickog djelovanja. Modeliranje provode pomocu programa

84

LMGC90. Prednost je diskretnog pristupa u modeliranju zidanih konstrukcija jer uzi-maju u obzir utjecaj velikih deformacija [25]. Izraduju model luka koji je sastavljen od 13blokova širine i debljine 0, 3m. Luk ima raspon u bazi 4m, dok je visina u tjemenu 1, 5m.Odabrana je gustoca bloka 2000kg/m3. Provode analize varirajuci kontaktne karakte-ristike izmedu blokova. Mijenjaju se staticki i dinamicki koeficijent trenja te normalna itangencijalna kohezija. Izraduju ukupno 10 modela. Rezultate upucuju na podudarnosts eksperimentima provedenim na vibro stolu [25]. Takoder upucuju na cinjenicu da semodeli u kojima je ukljucena kohezija puno bolje odupiru dinamickoj pobudi [25].

Slika 5.22: Mehanizam rušenja luka [25]

U istom radu proucavaju model rimskog akvadukta. Proucavaju njegovo ponašanje podutjecajem dinamicke pobude i uocavaju da dolazi do velikog broja odvajanja blokovapod utjecajem kratkih vibracija [25]. Usporeduju takoder ruševine akvadukta i rezultatesimulacije te tvrde da bi uzrok rušenja mogao biti uzrokovan seizmickom pobudom[25].

85

Slika 5.23: Stanje rimskog akvadukta u 3s [25]

Pomocu programa LMGC90 Lancioni 2014. proucava ponašanje rimskog luka u Bur-numu u Hrvatskoj. Cilj rada je utvrditi seizmicku stabilnost dva ocuvana luka i utvrditiuzrok rušenja glavnog luka. Svaki luk je sastavljen od 19 blokova razlicitih dimen-zija. Duljina bloka se krece od 30 − 50cm dok je visina blokova od 60 do 100cm. Cijeliluk se sastoji od 104 bloka gustoce 2000kg/m3. Pretpostavljaju tri koeficijenta trenjaµ = 0, 2, 0, 5 i 0, 7 izmedu blokova. U bazi se nanosi pobuda i definirana je kao sinuso-ida brzine, [19]

v(t) = A sin(2πft). (5.10)

Pobuda se kontrolira pomocu amplitude (A = 1m, 1, 5m i 2m) i frekvencije (f = 0, 5Hz,1Hz, 1, 5Hz i 2Hz). Lancioni zakljucuje da su frekvencije 0, 5Hz < f < 1, 0Hz naj-opasnije za luk, dok za frekvencije 1, 0 < f < 5, 0Hz luk ima znatno bolji odgovor.[19]

86

Slika 5.24: Primjer rušenja luka u Burnumu. [19]

U sklopu disertacije Piattoni proucava dinamicko ponašanje crkve sv. Marije u Portunu.Crkva je izradena od kamenih komada koji su medusobno povezani mortom. Modelizraduje takoder pomocu programa LMGC90. Zid modelira tako da s krutim tijelomaproksimira grupu manjih kamenih komada povezanih mortom. Ispituje utjecaj velicineaproksimacijskog krutog tijela na konacne rezultate. Takoder varira velicinu koeficijentatrenja izmedu krutih tijela. Kao opterecenje nanosi realni potres i usporeduje stvarnaoštecenja na gradevini s rezultatima modela. Dinamicka analiza i konfiguracija puko-tina upucuju na podudarnost i može se zakljuciti da je oštecenje uzrokovano potresom.[24]

Slika 5.25: Odziv crkve sv. Marije u Portunu [24]

Dinamicki odziv kupole, time-history analiza

Izrada modela kupole prikazana je u poglavlju 5.1. Djelovanje je opisano pomocu br-zina baze, a prikazano je na slici 5.16. Parametri solvera su definirani u tablici 5.2.Pobuda se nanosi samo u smjeru osi x, buduci da se radi o simetricnoj konstrukciji okodvije osi, smatra se da je nepotrebno provjeravati odziv u smjeru y. Rezultati se prika-zuju pomocu ParaView-a koji omogucava pracenje promjene konstrukcije u vremenu.Analizom rezultata u ParaView-u uoceno je da dolazi do trajnih deformacija zbog smi-canja izmedu pojedinih blokova. Slika 5.26 prikazuje zaostale pomake kupole. Može

87

se lako uociti da dolazi do nelinearnih pomaka izmedu prvog i drugog reda elemenatarebara. Slika 5.26 upucuje da ti relativni pomaci poprimaju velicinu i do 4 cm.

Slika 5.26: Horizontalni pomaci

Slika 5.27: Horizontalni pomaci vektorski prikaz

Takoder je uocen problem istiskivanja središnjeg kamena. Uslijed naizmjenicne pro-mjene smjera potresnog djelovanja dolazi do postepenog istiskivanja središnjeg ka-mena. Ovaj problem se ostavlja za daljnja razmatranja u buducim radovima. Uzrokove pojave može biti krivo definirana geometrija središnjeg kamena i loše definiranotrenje izmedu blokova, ali ne iskljucuje se ni mogucnost da je to realno ponašanje ku-

88

pole.U nastavku ce biti prikazane interakcijske sile izmedu pojedinih blokova. Interakcijaizmedu pojedinih blokova u ParaView-eru prikazuje se pomocu tockica dok boja toc-kice pretpostavlja velicinu sile. Iz slike 5.28 vidi se da su normalne interakcijske sileujednacene duž rebara i takvo stanje ostaje za vrijeme cijelog potresnog djelovanja.Ekstremne vrijednosti se pojavljuju na spoju rebara s podlogom. Maksimalna vrijed-nost normalne interakcijske sile koja se pojavljuje u modelu kupole iznosi 43, 2 kN .Primijeni li se analogija iz poglavlja 4.2.2, može se odrediti približna velicina napreza-nja na mjestima maksimalnih normalnih sila. Ako se pretpostavi površina nalijeganjavelicine 50 × 50 mm, naprezanje na mjestu kontakta je 17, 28 N/mm2, što je manje odtlacne cvrstoce kamena.

Slika 5.28: Normalne interakcijske sile izmedu kamenih blokova

Relativni pomak izmedu vrha kuple i baze prikazan je na slici 5.29. Maksimalni relata-tivni pomak iznosi 39 mm. Jedan od osnovnih parametara koji se prikazuju u dimen-zioniranju konstrukcija jest odnos izmedu relativnog pomaka vrha i baze konstrukcijei base sheara. Slika 5.30 prikazuje taj odnos. Iz slike 5.30 je vidljivo da se pojavljujegranica tecenja koja poprima vrijednost od cca 60 kN .

Dinamicki odziv kupole - metoda postupnog guranja

Na istom modelu kupole analizirano je ponašanje za slucaj kontroliranog pomaka vrhakupole. Pomak se nanosi u smjeru osi x brzinom od 1 mm/s. Analiza se provodi dok sene dosegne relativni pomak od 150 mm. Na slici 5.31 prikazana je pushover kirvulja zakontrolirani pomak vrha kupole. Iz dijagrama se zakljucuje da krivulja nema izraženozonu elasticnosti, minimalni pomak vrha kupole uzrokuje maksimalnu posmicnu silu.Vrijednost maksimalne posmicne sile je 40 kN , što je manje od maksimalne posmicne

89

Slika 5.29: Relativni pomak izmedu vrha kupole i baze

Slika 5.30: Relativni pomak - base shear

sile dobivene pomocu time-history analize. Maksimalna normalna kontaktna sila uovome modelu je 43, 9 kN , što je približno jednako kao i u time-history analizi.

Usporede li se pomaci diskretnih elemenata pushover analize za odabrani tip nanoše-nja pomaka s time-history analizom, uocava se znacajna razlika. Rezultati ukazuju dapushover analiza ne može predvidjeti problem istiskivanja središnjeg kamena i poste-penog razilaženja rebara. Na slici 5.32 prikazan je odziv kupole pri postupnom hori-zontalnom guranju tjemena kupole. Slika 5.32 ukazuje na problem popuštanja rebara usamom tjemenu što je kontradiktorno s time-history analizom. Jedan od ciljeva pusho-ver analize je brži proracun konstrukcije. Za parametre iz tablice 5.2 vrijeme trajanja

90

Slika 5.31: Relativni pomak - base shear

analize pomocu pushover metode iznosi 280 min, dok je za time-history analizu 285min. Buduci da je diskretnom metodom obuhvaceno nelinearno ponašanje u oba pris-tupa, i vrijeme trajanja analize je gotovo identicno, a proizlaze nesigurniji rezultati panema opravdanja za korištenje pushover analize.

Slika 5.32: Pomaci diskretnih elemenata kupole od postepenog guranja vrha

5.3.2 Odziv kupole pomocu metode konacnih elemenata

Model kupole je izraden pomocu programskog paketa SAP2000. Kupola je definiranapomocu plošnih i linijskih konacnih elemenata. Linijski elementi se koriste za modeli-

91

ranje rebara dok se pomocu plošnih elemenata opisuje pokrov. Pri oblikovanju plohapokrova korišteni su pravokutni i trokutasti konacni elementi. Geometrija kupole je de-finirana na temelju podataka iz poglavlja 5.1. Rubni uvjeti su definirani nepomocnimležajevima. Materijalne karakteristike kamena su opisane na temelju analize iz poglav-lja 4.2.1, pretpostavlja se modul elasticnosti E = 768 N/mm2. Materijal se definira kaoidealno plastican materijal radi stabilnosti proracuna s maksimalnom tlacnom i vlacnomcvrstocom od 6, 0 N/mm2 i 0, 5 N/mm2.

Slika 5.33: Geometrijske karakteristike poprecnog presjeka

Karakteristike poprecnog presjeka rebara definirane su pomocu standardnog alata zabetonski I profil. Dimenzije presjeka prikazane su na slici 5.33. Pokrov je modeliranpomocu konacnih elemenata tipa layered shell koji uzimaju u obzir nelinearne karakte-ristike materijala.

Slika 5.34: Model kupole SAP2000

Materijalno nelinearno ponašanje u pushover analizi definira se pomocu formiranjaplasticnih zglobova. Inženjeri na temelju iskustva pretpostavljaju potencijalna mjestapojave plasticnih zglobova. Pushover analiza je predvidena za objekte izvedene odcelika i betona i to pravilnog tlocrtnog oblika s izraženim centrima mase. Važno jenapomenuti da nije moguce definirati formiranje plasticnih zglobova u svim tipovima

92

konacnih elemenata, SAP2000 omogucava formiranje plasticnih zglobova samo u linij-skim elementima. Kamen je gradevni materijal koji nema izraženo plasticno ponašanjei primjena teze o formiranju plasticnih zglobova nije moguca na kamenim gradevinama.Nelinearno ponašanje kamenih gradevina ocituje se u trenju izmedu pojedinih blokova.U ovome radu se nelinearno ponašanje kamenih elemenata opisuje pomocu Drucker-Pragerove teorije. Poglavlje 4.2.1 prikazuje primjenu Drucker-Pragerovog koeficijentatrenja na modelu kamenog zida. Na temelju dobivenih rezultata odabire se Drucker-Pragerov koeficijent trenja u iznosu od 10.

Na slici 5.35 prikazana je pushover krivulja za slucaj prisilnog pomaka tjemena kupole.Pomak se kontrolira pomocu opcije displacement control, proracun se zaustavlja kadacvor u tjemenu ostvari pomak od 10cm. Za ovaj slucaj opterecenja maksimalna po-smicna sila u bazi kupole iznosi 3421kN . Ako se usporede rezultati pushover analizediskretne metode i metode konacnih elemenata, uocavaju se znacajne razlike u oblikupushover krivulje i u vrijednosti maksimalne posmicne sile u bazi kupole. Izracunatamaksimalna posmicna sila pomocu metode konacnih elemenata je 100 puta veca odmaksimalne sile odredene pomocu diskretne metode. Pushover krivulja, odredenapomocu metode konacnih elemenata, ima postepen prirast do maksimalne vrijednostidok to kod diskretne metode nije slucaj. Minimalni pomak uzrokuje maksimalnu po-smicnu silu. Rezultati upucuju na cinjenicu da je teško uspostaviti korelaciju izmedudiskretnog pristupa i metode konacnih elemenata.

Slika 5.35: Odziv kupole, metoda postupnog guranja

93

Poglavlje 6

Zakljucak

Ponašanje niskih kamenih gradevina pri potresnom djelovanju poprilicno je neistraženopodrucje. Gradevine izradene od kamenih blokova karakterizira izrazito nelinearnomaterijalno ponašanje za vrijeme horizontalnih djelovanja. Kamen je materijal visoketlacne cvrstoce bez izraženog plasticnog podrucja i iznimno niske vlacne cvrstoce.Takoder cinjenica da dolazi do proklizavanja izmedu pojedinih blokova dodatno otežavanumericku analizu. Navedene materijalne karakteristike jedan su od glavnih cimbenikanedovoljne istraženosti gradevina ovoga tipa. U ovome istraživackom radu postavljenasu dva cilja - odredivanje optimalnog numerickog modela i vrednovanje primjenjivostimetode postupnog guranja na niskim gradevinama od kamena.

Prvi dio rada svodi se na odredivanje optimalne metode modeliranja. Ocjena pojedi-nog matematickog modela postiže se usporedbom s eksperimentalnim istraživanjimakoja nisu dio ovog rada (koriste se poznati rezultati drugih autora). U poglavlju 4 de-taljno je opisan postupak izrade matematickih modela. Primijenjena su dva razlicitanumericka pristupa, diskretna metoda i metoda konacnih elemenata. U diskretnommodelu definirana je geometrija svakog pojedinog kamenog bloka tako da što vjernijeodgovara eksperimentalnom modelu. Medusobni odnos izmedu pojedinih blokova de-finiran je pomocu koeficijenta trenja. Provedena je usporedba za dva razlicita slucajavertikalnog opterecenja i uocena je dobra korelacija izmedu eksperimenta i modela.Za slucaj vertikalnog opterecenja od 30kN i 100kN dobiveno odstupanje u odnosu naeksperiment iznosi 15% i 8%.

Opisivanje nelinearnog ponašanja kamenog zida pomocu MKE-a znatno je složenijiproces. EC6 preporucuje korištenje linearne teorije, ali usporedbom rezultata ukazujena nedostatke te teorije odnosno na pojavu znatno vecih sila od ocekivanih. U radu jeposvecena pozornost materijalnom nelinearnom ponašanju, pretpostavlja se idealnoplasticno ponašanje materijala. Za slucaj pretpostavke da dolazi do otkazivanja ma-

94

terijala nakon dostizanja cvrstoce materijala, numericki proracun postaje nestabilan,odnosno nema konvergencije ka tocnom rješenju. Trenje izmedu pojedinih blokovanastoji se opisati pomocu Drucker-Pragerove teorije. U cilju utvrdivanja odgovarajucegDrucker-Pragerovog koeficijenta trenja proveden je niz proracuna za razlicite koefici-jente. Utvrdeno je da vertikalnom opterecenju od 100 kN odgovara Drucker-Pragerovkoeficijent trenja od 10, ali za vertikalno opterecenje od 30 kN dolazi do znacajnihodstupanja tj. pojavljuje se razlika od 54% u odnosu na eksperimentalne rezultate.Rezultati istraživanja upucuju na neosjetljivost modela na promjenu vertikalnog opte-recenja cime se dovodi u pitanje primjena MKE-a pri modeliranju gradevina od kamenihblokova. Ako se usporede ova dva pristupa uocava se da diskretna metoda daje pouz-danije rezultate i jednostavnije definira nelinearno ponašanje - potrebno je poznavatisamo koeficijent trenja.

U cilju definiranja optimalnog modela u poglavlju 5.2 provedena je analiza nelinearnogGauss-Seidelova iterativnog postupka za diskretni model. Buduci da vrijeme trajanjaproracuna uvelike ovisi o broju iteracija, velicini koraka i traženoj tocnosti, provedena jeanaliza za razliciti broj iteracija, razlicite velicinu koraka i razlicitu traženu tocnost. Pos-tupak je proveden na modelu kupole katedrale sv. Jakova u Šibeniku, a promatra seodziv kupole za potresni zapis prema akcelerografu El Centro. Provedeno je dvanaestrazlicitih analiza s razlicitim parametrima iteracija i usporedeni su sljedeci parametri:vrijeme trajanja proracuna, maksimalni relativni odnos pomaka baze i tjemena kupole,udio koraka koji su dosegli traženu tocnost i vizualna usporedba odziva kupole. Uspo-redbom rezultata analize 1 s najmanjim brojem iteracija i najmanjom tocnosti i analize12 s najvecom tocnosti i najviše iteracije, može se zakljuciti da nema znacajne raz-like u odzivu kupole. Razlika u maksimalnom relativnom odnosu izmedu dvije analizeje 1mm, dok relativni maksimalni pomak prosjecno iznosi 38, 5mm. Vrijeme trajanjaanalize 1 je 280min i 51% iteracija nije postiglo traženu tocnost, dok analiza 12 traje724min a svega 6% iteracija nije postiglo traženu tocnost. Buduci da nema znacajnerazlike u odzivu kupole izmedu analiza, slijedi zakljucak da se i s manjim brojem itera-cija dobivaju jednako dobri rezultati. Za slucaj korištenja NSCD metode u modeliranjugradevina izvedenih od kamenih blokova preporucuju se parametri za Gauss-Seideloviterativni postupak. Parametri su prikazani u tablici 5.2.

U diskretnom modelu na temelju time-history analize kupole uoceni su problemi stabil-nosti. Uslijed promjene smjera realnog potresnog djelovanja uoceno je kako dolazi dorazilaženja kupole u njenoj bazi i postepenog istiskivanja središnjeg kamena. Nave-dene probleme nije moguce predvidjeti u modelu izradenom pomocu MKE-a. Takoderprimjena pushover analize u diskretnom modelu ne može obuhvatiti probleme vezaneuz stabilnost same kupole. Potrebno vrijeme za provodenje pushover analize i time-history analize za diskretni model gotovo je identicno. Pushover analiza se temelji na

95

pretpostavci oblika prvog moda vibriranja. Cinjenica da diskretnom metodom nije mo-guce odrediti modove vibracija, a na temelju dobivenih rezultata uocava se da MKE nijepouzdana, može se zakljuciti da pushover analiza nije pouzdana metoda za proracunkamenih gradevina. Ideja pushover analize je da se ubrza dinamicki proracun u svaki-dašnjoj inženjerskoj praksi. Buduci da je za diskretni model potrebno približno jednakovrijeme za pushover analizu i time-history analizu, nemam opravdanja za primjenupushover analize.

Današnja graditeljska praksa ne prakticira primjenu kamena kao osnovnog konstruktiv-nog sistema. Istraživanja ponašanja kamenih gradevina su u cilju sacuvanja povijesnei kulturne baštine. Takoder cinjenica da takvi objekti imaju nepravilan i razveden oblik sneizraženim centrima mase ne ide u prilog primjeni pushover analize. U cilju njihovogocuvanja preporucuje se izrada diskretnog modela uz primjenu time-history analize,cime se dobiva bolja slika njihovog ponašanja.

Kao nastavak istraživanja predvida se izrada cijelog modela katedrale sv. Jakova uŠibeniku. Takoder se predvida ukljucivanje kohezije cime bi se nastojao opisati lomkamenih blokova.

96

Popis slika

1.1 Dizajn goticke katedrale [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Graficka analiza luka [27] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Ruševina crkve St. Georgea [21] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Odziv ruševina crkve St. Georgea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Pushover krivulja [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Makroelement model [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Usporedba krivulja kapaciteta eksperimenta i numerickog modela [14] . 121.8 Trodimenzionalni model tornja [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9 Odziv tornja Qutb Minar u Indiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Transformacija MDOF u SDOF [29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Krivulja kapaciteta za MDOF i SDOF [29] . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 MDOF model i elasticni spektar akceleracija [1] . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Spektar elasticnih akceleracija i pomaka [1] . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Pushover analiza za MDOF model [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 ADRS (spektar odgovora ubrzanje-pomak) krivulja i krivulja kapaciteta

za SDOF [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7 Lokalni seizmicki zahtjevi [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1 Ravninski odnos izmedu candidate i antagonist . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Brzina kontaktne tocke krutog tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Implicitna Eulerova metoda, tocno rješenje, Crank-Nicolsonova metoda,

eksplicitna Eulerova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Promjena pogreške ovisno o velicini koraka h . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Signorinijev graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6 Kontaktni zakon koji uzima u obzir fleksibilnost površine . . . . . . . . . 353.7 Coulombov zakon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.8 Odnos izmedu lokalnih i globalnih nepoznanica . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1 Shematski prikaz ispitivanog zida [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Odnos horizontalnog djelovanja i pomaka [7] . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Usporedba pojave pukotina u eksperimentalnom i diskretnom modelu [20] 42

97

4.4 Pushover krivulja, SAP2000 linearna teorija, pocetno stanje naprezanja0, 5 N/mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.5 Pushover krivulja, SAP2000 linearna teorija . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6 Funkcije reziduala [28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.7 σ-ε krivulje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.8 Pushover krivulja za kut trenja 10 i vertikalno opterecenje od 100 kN

(SAP2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.9 Numericki i eksperimentalni model zida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.10 Pushover kirvulja za razlicita vertikalna opterecenja (LMGC90) . . . . . 494.11 Vizualna usporedba otkazivanja izmedu eksperimenta i numerickog mo-

dela za slucaj vertikalnog opterecenja od 30 kN . . . . . . . . . . . . . . 494.12 Vizualna usporedba otkazivanja izmedu eksperimenta i numerickog mo-

dela za slucaj vertikalnog opterecenja od 100 kN . . . . . . . . . . . . . 504.13 Interakcija izmedu pojedinih blokova zida za slucaj vertikalnog opterece-

nja od 100 kN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1 Rasporeda osi rebara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2 Usporedba ocitanih vrijednosti i aproksimacijske krivulje . . . . . . . . . 535.3 Oblik osi rebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4 Poprecni presjek rebra [30] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.5 Aproksimacija poprecnog presjeka rebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.6 Koordinate tocke T8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.7 Kvadratni diskretni element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.8 Plašt kvadratnog diskretnog elementa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.9 Model jednog segmenta rebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.10 Model rebara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.11 Jedan segment središnjeg kamena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.12 Model središnjeg kamena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.13 Presjek kroz pokrovne elemente [30] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.14 Jedan element pokrova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.15 Pokrovni elementi izmedu dva rebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.16 Potresni zapis El Centra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.17 Odziv baze i vrha kupole - analiza 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.18 Relativni pomaci izmedu baze i vrha kupole - analiza 4 . . . . . . . . . . 825.19 Udio iteracija koje su dosegle maksimalni broj iteracija . . . . . . . . . . 835.20 Vrijeme trajanja analize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.21 Maksimalni relativni pomaci ovisno o broju iteracija, velicini koraka i θ . 845.22 Mehanizam rušenja luka [25] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.23 Stanje rimskog akvadukta u 3s [25] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

98

5.24 Primjer rušenja luka u Burnumu. [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.25 Odziv crkve sv. Marije u Portunu [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.26 Horizontalni pomaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.27 Horizontalni pomaci vektorski prikaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.28 Normalne interakcijske sile izmedu kamenih blokova . . . . . . . . . . . 895.29 Relativni pomak izmedu vrha kupole i baze . . . . . . . . . . . . . . . . 905.30 Relativni pomak - base shear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.31 Relativni pomak - base shear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.32 Pomaci diskretnih elemenata kupole od postepenog guranja vrha . . . . 915.33 Geometrijske karakteristike poprecnog presjeka . . . . . . . . . . . . . 925.34 Model kupole SAP2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.35 Odziv kupole, metoda postupnog guranja . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

99

Bibliografija

[1] C. Augusto. “Seismic Assessment of Existing Buildings Using Nonlinear StaticProcedures (NSPs) - A New 3D Pushover Procedure”. Disertacija. UniversidadeTecnica de lisboa istituto superior techico, 2011.

[2] M. Betti, L. Galano i A. Vignoli. “Time-History Seismic Analysis of Masonry Buil-dings: A Comparison between Two Non-Linear Modelling Approaches”. Buildings5 (2015), str. 597–621.

[3] M. Betti i A. Vignoli. “Numerical assessment of the static and seismic behaviourof the basilica of Santa Maria all’Impruneta (Italy)”. Construction and BuildingMaterials (2011), 4308–4324.

[4] T. Bui. “Explicit and Implicit Methods In Solving Differential Equations”. HonorsScholar Theses 119 (2010).

[5] J. W. Bull. Computational Modelling of Masonry, Brickwork, and Blockwork Struc-tures. Saxe-coburg publications, 2001.

[6] B. Cambou, M. Jean i F. Radjai. Micromechanics of Granular Materials. ISTE,London, UK, 2010.

[7] D. Vitorino de Castro Oliveira. “Experimental and numerical analysis of blockymasonry structures under cyclic loading”. Disertacija. Universidade do Minho,2003.

[8] CSI. CSI Analy s is Reference Manual. 2015.[9] F. Dubois i M. Renou. Numerical Mo deling of granular materials with multi physics

coupling. 2008.[10] F. Dubois i M. Renouf. Discrete Element Methods for the simulation of divided

media. 2011.[11] El Centro. URL: http://www.vibrationdata.com/elcentro.htm (pogle-

dano 19. 1. 2016).[12] Elastic Modulus of Masonry in Compression. URL: http://www.slideshare.

net/tejaandeiitm/lecture-2-3-compression-condition-assess-

428278 (pogledano 13. 2. 2016).[13] Peña F. i dr. “Numerical models for the seismic assessment of an old masonry

tower”. Eng Struct (2010), 1466–1478.

100

[14] A. Galasco, S. Lagomarsino i A. Penna. “ On the use of pushover analysis forexisting masonry buildings”. Construction and Building Materials (2011), 4308–4324.

[15] Gothic Cathedral Diagram. URL: http://pricehome.design/26055/gothic-cathedral- diagram/gothic- cathedral- diagram- with- gothic-

cathedral/ (pogledano 5. 5. 2016).[16] K. T. Herman. Teorija elasticnosti i plasticnosti. Element, 2008.[17] R. C. Hibbeler. Engineering Mechanics: Dynamics. Prentice Hall, 2012.[18] Tenšek I. i Valjato-Vrus I. “Instituta za povijest umjetnosti”. Planoteka Instituta za

povijest umjetnosti, Zagreb.[19] G. Lancioni, Lenci; S. i E. Quagliarini. “Dynamics of the Roman Arches of Burnum

using the Non-smooth Contact Dynamics Method”. Civil-Comp Press (2014),str. 178.

[20] A. F. Lang i G. Benzoni. “Modeling the nonlinear behavior of confined masonryusing discrete elements”. Tenth U.S. National Conference on Earthquake Engi-neering (2014), str. 21–25.

[21] P. B. Lourenço i dr. “Seismic performance of the St. George of the Latins church:Lessons learned from studying masonry ruins”. Proc First Eur Conf Earthq EngSeismol Jt Event 13th ECEE 30th Gen Assem ESC (2006), str. 501–518.

[22] J. Moreou. “The non-smooth contact dynamics method”. Computer Methods inApplied Mechanics and Engineering 177 (1999), 235–257.

[23] Q. Piattoni. “Experimental analysis and modelling of historical masonries”. An-cona: Università Politecnica delle Marche (2011).

[24] Q. Piattoni. “Experimental analysis and modelling of historical masonries”. Diser-tacija. Università Politecnica delle Marche, 2011.

[25] A. Rafiee, M. Vinches i C. Bohatier. “Application of the NSCD method to analysethe dynamic behaviour of stone arched structures”. International Journal of So-lids and Structures 45 (2008), 6269–6283.

[26] Sage Tutorial. The Sage Development Team.[27] H. Smoljanovic. “Seimicka analiza zidanih konstrukcija metodom konacno-diskretnih

elemenata ”. Disertacija. Sveucilište u Splitu, Fakultet gradevinarstva, arhitekturei geodezije, 2013.

[28] Solving Nonlinear Static Finite Element Problems. URL: https://www.comsol.com/blogs/solving-nonlinear-static-finite-element-problems/

(pogledano 18. 2. 2016).[29] T. Spyridon. “Pushover analysis for seismic assessment and design of structu-

res.” Disertacija. HERIOT-WATT UNIVERSITY, 2008.[30] J. Cuzela. “Prilog obnovi kupole katedrale sv. Jakova u Šibeniku”. Rad. Inst. povij.

umjet. 18 (1994), str. 205–210.[31] Vitruvius. Ten Books on Architecture. 2006.

101