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UNIVERSIDAD DE ALICANTE
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN EMPRESAS
CURSO ACADÉMICO 2014 - 2015
DIVERSIFICACIÓN INTERNACIONAL DE CARTERAS CON RESTRICCIONES
ALEJANDRO ABAD ALGARRA
ÁNGEL MANUEL LEÓN VALLE
MÉTODOS CUANTITATIVOS Y TEORÍA ECONÓMICA
Alicante, Junio de 2015
1
RESUMEN
El presente trabajo trata de analizar las implicaciones que tienen en la diversificación
del riesgo las limitaciones a la libertad de inversión, tales como restricciones a las
ventas en descubierto; a partir de la agregación de mercados por continentes. Para ello
se han obtenido rentabilidades mensuales de índices bursátiles de 17 países que,
ordenados por regiones, se han ido paulatinamente agregando en carteras eficientes bajo
4 posibles escenarios (sin restricciones, restricción a las ventas en corto y bandas
máximas y mínimas de inversión). Además, se ha analizado el efecto que tiene en la
diversificación sustituir la media por la mediana en el cálculo de las covarianzas entre
activos. Los resultados obtenidos muestran que conforme aumenta el número de índices
en los que se puede invertir y disminuyen las restricciones, utilizando la mediana en
lugar de la media; el riesgo soportado para un mismo nivel de rentabilidad esperada es
menor.
PALABRAS CLAVE
Diversificación internacional, Índice, Media-varianza, Restricción, Robustez.
2
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3
2. DATOS Y ANÁLISIS ESTADÍSTICO ........................................................................................... 4
2.1. Base de datos ................................................................................................................. 4
2.2. Estadísticos descriptivos de las series ........................................................................... 6
2.3. Contraste de normalidad a través de los QQ-Plots ........................................................ 7
3. METODOLOGÍA ...................................................................................................................... 9
4. RESULTADOS ....................................................................................................................... 12
4.1. Carteras sin restricciones ............................................................................................. 13
4.2. Carteras mvg sólo con posiciones largas ..................................................................... 17
4.3. Carteras con restricción [0%, 30%] ............................................................................. 20
4.4. Carteras con restricción [5%, 30%] ............................................................................. 22
5. ANÁLISIS DE LA ROBUSTEZ DE LA COVARIANZA ................................................................. 24
6. CONCLUSIONES ................................................................................................................... 27
BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 28
ANEXO 1: PROGRAMA DE MINIMIZACIÓN DE MARKOWITZ ...................................................... 29
ANEXO 2: MATRICES DE VARIANZAS Y COVARIANZAS CONVENCIONAL Y ROBUSTA (PARA
EUROPA) ...................................................................................................................................... 31
3
1. INTRODUCCIÓN
Cuando un inversor decide que va a colocar parte de su renta disponible en el
mercado de capitales, toma en consideración dos variables: el riesgo y la rentabilidad de
los productos financieros en los que invierte. Teniendo esto en cuenta, elegirá un grupo
de activos del mercado y con ellos formará una cartera de inversión. Utilizando un
programa de minimización del riesgo (medido a partir de las varianzas y covarianzas de
dichos títulos) obtendrá un conjunto de ponderaciones resultantes de la combinación de
estos instrumentos financieros (frontera eficiente) de manera que el riesgo total
soportado para cada cartera sea mínimo para un valor de rentabilidad dado. Finalmente,
y en base a sus preferencias por el riesgo, elegirá la cartera que mejor satisfaga sus
necesidades.
La cantidad de activos en los que un inversor puede colocar parte de su riqueza es
amplísima: acciones, bonos, fondos de inversión, futuros, opciones, entre otros.
Además, este número se multiplica por la cantidad de países en los que se puede
invertir.
En el mercado existen restricciones a la libertad de inversión, tales como la
prohibición de las ventas en descubierto; es decir, tomar prestado un activo para
negociar con él en el mercado con la esperanza de que baje de valor en el momento que
se proceda a su recompra y con ello se obtenga una ganancia.
Sabiendo que cuanto mayor es el número de títulos en los que se puede invertir y
menores son las restricciones, menor es también el riesgo soportado para un mismo
nivel de rentabilidad; vamos a estudiar cómo varían las fronteras eficientes obtenidas
con el modelo de Markowitz. Para ello, utilizaremos una base de datos compuesta de
rentabilidades de índices bursátiles de distintos países en la medida en que éstos
agrupan a varios títulos bursátiles (Sección 2) y aplicando el modelo de Markowitz
(Sección 3) procederemos a agregar paulatinamente mercados e incorporar restricciones
a la libertad de inversión (Sección 4). A continuación, analizaremos una variación del
modelo a partir de la robustez de la covarianza (Sección 5) y finalizaremos con unas
reflexiones acerca de los resultados obtenidos (Sección 6).
4
2. DATOS Y ANÁLISIS ESTADÍSTICO
A continuación analizaremos la base de datos utilizada para la elaboración de la
investigación tanto desde un punto de vista teórico como estadístico.
2.1.Base de datos
Para la realización del presente estudio se han empleado las cotizaciones mensuales
de 17 índices agrupados por continentes1:
-IBEX: Índice español compuesto por los 35 valores más líquidos de empresas
españolas cotizados en el Sistema de Interconexión Bursátil de las Bolsas Española.
-DAX: Índice alemán formado por las 30 mayores empresas por volumen de
negociación y capitalización cotizadas en la bolsa de Fráncfort.
-FTSE: Índice de referencia de la Bolsa de Londres formado por las 100 empresas de
mayor capitalización bursátil que cotizan en ella.
-CAC40: Índice de la Bolsa de París formado por las 40 empresas líderes que cotizan
en ésta.
-FTSE MIB: Índice de la bolsa de Milán formado por las 40 acciones más
representativas que cotizan en ella.
-MXX: Se trata del principal índice bursátil de México formado por las 35 empresas
emisoras principales de la Bolsa Mexicana.
-IBOVESPA: Índice más importante de la Bolsa de Brasil formado a partir de los
principales valores que cotizan en la Bolsa de Sao Paulo. Es una cartera de valores
hipotéticamente recomprada cada cuatro meses.
-MERVAL: Índice compuesto a partir de las cotizaciones de las empresas más
líquidas que cotizan en la Bolsa de Buenos Aires (Argentina), en función de su
participación, número de transacciones y volumen de contratación.
1 Véase las páginas web de Yahoo Finance (https://www.finance.yahoo.com/) junto con
http://www.expansión.com y http://www.investing.com. Además, también se puede consultar la obra de
Conde Amo, I. B. y Conde López, A., 2003. Mercados Financieros I: Análisis y gestión de valores
bursátiles. Madrid: Colex.
5
-S&P500: Considerado como el índice más representativo de EE.UU. Está
compuesto por las 500 compañías líderes de la economía estadounidense.
-NASDAQ: Índice bursátil de EE.UU. formado por las 100 empresas
(estadounidenses y extranjeras) con mayor capitalización que cotizan en el mercado
electrónico del Nasdaq de Nueva York.
-RUSSELL2000: Índice estadounidense compuesto por 2000 acciones de baja
capitalización, complementándose con el S&P 500.
-NIKKEI: Índice japonés compuesto por las 225 empresas más líquidas de la Bolsa
de Tokio.
-HSI: Índice compuesto por las 40 compañías principales que cotizan en la Bolsa de
Hong Kong.
-KOSPI: Índice surcoreano compuesto por las compañías negociadas en la Bolsa de
Corea del Sur.
-SSE: Índice bursátil de Shanghái (China) calculado a partir de la cotización de las
20 compañías más grandes y con mayor liquidez de la Bolsa de Shanghái.
-AORD: Índice australiano formado por la cotización de las 500 empresas más
grandes que cotizan en la Bolsa Australiana, donde la liquidez únicamente se tiene en
cuenta para las empresas extranjeras.
-RTSI: Índice de la Bolsa de Moscú formado por la cotización de las 50 compañías
rusas con mayor liquidez.
De estos índices se obtuvo una muestra de 67 cotizaciones mensuales desde junio de
2009 a noviembre de 2014, y a partir de ella se calcularon 66 rentabilidades. La razón
de acotar dicha fecha respondió a la necesidad de evitar la presencia de valores muy
cercanos al inicio de la crisis económica (2008) de tal forma que no dejase de ser
representativa de la evolución de estos índices.
La rentabilidad mensual a partir de los datos se obtuvo con la siguiente fórmula:
𝑅𝑡 = 𝐿𝑜𝑔 (𝑃𝑡𝑃𝑡−1
),
donde Pt es la cotización al cierre.
6
2.2. Estadísticos descriptivos de las series
A continuación (Tabla 1) se muestran algunos estadísticos descriptivos de las
rentabilidades de los índices utilizados de los cuales se pueden extraer varias
conclusiones:
Tabla 1: Estadísticos descriptivos
Media
Desv. Estánd. Mediana
Exceso Curtosis
Coeficiente asimetría
Jarque-Bera Rango
IBEX 0,00084 0,06123 0,00414 0,55019 -0,19109 16,64978 0,30805
DAX 0,01026 0,04878 0,01315 5,80518 -1,32256 40,26115 0,32302
FTSE 0,00684 0,03727 0,00797 -0,3004 -0,12343 29,66607 0,15658
CAC40 0,00463 0,04644 0,00715 -0,3585 -0,44648 32,70863 0,20732
FTSE MIB -0,0001 0,06387 -0,0003 -0,4488 -0,38236 33,79770 0,27357
MXX 0,00920 0,03558 0,00927 -0,3079 0,13504 29,83338 0,16826
IBOVESPA 0,00030 0,05380 -0,0021 -0,0669 -0,09122 25,56465 0,23501
MERVAL 0,02872 0,09693 0,02245 -0,4317 -0,11390 32,03537 0,43066
SP500 0,01226 0,03746 0,01888 0,35741 -0,42872 20,90419 0,18784
NASDAQ 0,01603 0,04301 0,02410 -0,1499 -0,21114 27,35490 0,19963
RUSSELL2000 0,01296 0,05248 0,02412 -0,0144 -0,34682 25,91183 0,26085
NIKKEI 0,00834 0,05386 0,00653 -0,0553 -0,23469 25,87774 0,24480
HSI 0,00398 0,05327 0,00809 0,77436 -0,52647 16,41834 0,27614
KOSPI 0,00531 0,04329 0,00642 0,66185 -0,19532 15,21960 0,23989
SSE -0,0031 0,06470 0,00049 2,36326 -0,65792 5,78736 0,38842
AORD 0,00508 0,03629 0,00727 -0,3164 -0,39260 31,45787 0,15558
RTSI 0,00136 0,08077 0,00641 1,26902 -0,65750 12,79827 0,41165
La mayoría de los índices consultados tienen una rentabilidad media, para el período
estudiado, positiva; salvo el FTSE MIB (Italia) y el SSE (China). De todos destaca el
MERVAL (Argentina) por su mayor rentabilidad; pero también implica que tenga un
mayor riesgo (véase Tabla 1).
A partir del contraste de normalidad Jarque-Bera podemos inferir que, bajo un nivel
de confianza del 90%, ningún índice sigue una distribución normal, puesto que dicho
estadístico de contraste muestra, en todos los casos, un valor superior al punto crítico
con dos grados de libertad: 4,61 (Tabla 1) . Además, también podemos destacar algunos
aspectos interesantes:
- Todos los índices, salvo el índice mexicano (MXX), muestran un coeficiente de
asimetría negativo (Tabla 1). Este matiz se traduce en que es más probable que la
rentabilidad de estos índices se sitúe a la izquierda de la media; es decir, por
debajo de ésta, y por tanto pierden atractivo frente a un potencial inversor. El
7
coeficiente de asimetría distinto de cero hace más recomendable utilizar la
mediana como medida central (Sheskin, 2000).
- En cuanto a la curtosis, podemos comprobar que el DAX (Alemania) presenta
una elevada leptocurtosis dado que el exceso de curtosis es muy superior a 0
(alcanzando el valor de 5,80), y de forma similar ocurre con el SSE (China)
donde el valor del exceso es de 2,36 (véase Tabla 1).
Una situación indeseada para un potencial inversor se dará cuando la distribución de
la variable muestre tanto asimetría negativa como exceso de curtosis positivo
(leptocurtosis). En este caso, la distribución devuelve más pérdidas que ganancias dado
que las colas de la misma son más anchas a la izquierda que en la distribución normal
(Sheskin, 2000). De los índices analizados, curiosamente todos los que presentan exceso
positivo de curtosis también tienen coeficiente de asimetría negativo.
2.3. Contraste de normalidad a través de los QQ-Plots
Otra de las herramientas de las que disponemos para contrastar la normalidad de los
índices seleccionados es a través de la representación gráfica de los percentiles
tipificados de la muestra obtenida en comparación con los percentiles de la distribución
normal tipificada. Es lo que se conoce como gráfico QQ-Plot que se exponen a
continuación (véase fig. 1):
Fig. 1: QQ-Plots
8
9
Como podemos observar, a la vista de los gráficos (fig. 1), no se puede afirmar que
ningún índice (rentabilidad mensual) siga una distribución normal, pues los valores de
la muestra obtenida de los mismos (en azul) se apartan de la tendencia de la distribución
normal tipificada (línea negra).
3. METODOLOGÍA
Para llevar a cabo nuestro estudio hemos seguido el modelo de Markowitz de
fronteras eficientes (Huang y Litzenberger, 1988;Gómez Sala, 2012), utilizando para
ello el programa informático Microsoft Excel y sus herramientas Análisis de datos y
Solver (Jackson y Staunton, 2002). Para ello definimos:
10
- La matriz de varianzas-covarianzas de los activos considerados2: Ω
- El vector de rentabilidades esperadas: E = (𝐸1, 𝐸2, …𝐸𝑛)′
- El vector unitario: 1n = (1, 1, … 1𝑛)′
- El vector de ponderaciones de la cartera p: 𝒘 = (𝑤1, 𝑤2, …𝑤𝑛)′
𝑨 = 1𝑛′ · 𝛺 · 𝐸
𝑩 = 𝐸′ · 𝛺 · 𝐸
𝑪 = 1𝑛′ · 𝛺 · 1
𝑫 = 𝐵 · 𝐶 − 𝐴2
𝒂 =𝐴
𝐷
𝒃 =𝐵
𝐷
𝒄 =𝐶
𝐷
Una vez establecidas las variables, definimos el programa de minimización como:
𝑀í𝑛𝑤1
2𝜎𝑝2 =
1
2𝑤′𝛺𝑤
𝑠. 𝑎 𝐸𝑝 = 𝑤′𝐸
𝑤′1𝑛 = 1 }
Tras desarrollar el programa3 (que se puede consultar en el anexo 1), obtenemos las
siguientes soluciones4:
𝑤 = 𝑔 + ℎ · 𝐸𝑝
𝐸𝑝 = 𝑤′ · 𝐸 𝜎2 = 𝑤′ · 𝛺 · 𝑤
No obstante, todas las carteras de mínimo riesgo no son eficientes. Para cada nivel de
riesgo obtendríamos dos valores de rentabilidad esperada, siendo sólo eficiente el mayor
de ambos (pues cualquier inversor racional prefiere más rentabilidad a menos dado un
mismo nivel de riesgo). Así, podemos obtener la composición de la cartera de mínimo
riesgo global o mínima varianza global (mvg) resolviendo el problema de
minimización sin la primera restricción:
2 Obtenida en Excel con la herramienta Análisis de datos, seleccionando como rango de entrada las
rentabilidades de los índices considerados en cada cartera. 3 La constante ½ no tiene significado económico. Se incluye en el problema para facilitar la posterior
simplificación y no afecta a los resultados. 4 Los valores de “g” y “h” pueden consultarse en el anexo 1.
11
𝑀í𝑛𝑤1
2𝜎𝑝2 =
1
2𝑤′𝛺𝑤
𝑠. 𝑎 𝑤′1𝑛 = 1
}
𝑤𝑚𝑣𝑔 =1𝑛′ 𝛺−1
1𝑛′ 𝛺−11𝑛=1𝑛′ 𝛺−1
𝐶
𝐸𝑚𝑣𝑔 = 𝑤′𝐸𝑚𝑣𝑔 =
1𝑛′ 𝛺−1𝐸
𝐶=𝐴
𝐶 𝜎𝑚𝑣𝑔
2 = 𝑤𝑚𝑣𝑔′ 𝑉𝑤𝑚𝑣𝑔 =
1𝑛′ 𝛺−1𝛺𝛺−11𝑛
𝐶 · 𝐶=1
𝐶
La cartera de mínimo riesgo global (mvg) tiene la propiedad de que no tiene cartera
ortogonal; es decir, para el nivel de riesgo 𝜎𝑚𝑣𝑔2 sólo hay un nivel de rentabilidad Emvg.
Por tanto, a partir de esta cartera, las que tengan mayor rentabilidad serán eficientes. Y
por ello podemos definir la frontera eficiente de carteras como:
𝜎 = √𝑐 · 𝐸𝑝2 − 2𝑎 · 𝐸𝑝 + 𝑏
𝑠. 𝑎 𝐸𝑝 ≥ 𝐸𝑚𝑣𝑔
A través de la resolución de este problema de maximización obtenemos fórmulas
cerradas porque se permiten ventas en descubierto. En caso de querer introducir alguna
restricción, utilizaríamos la herramienta Solver de Excel.
Por otro lado, también resulta interesante obtener la cartera que devuelve la máxima
rentabilidad por unidad de riesgo (cartera d); es decir, la que geométricamente se
encuentra en el punto de la frontera eficiente con mayor pendiente. El programa de
maximización quedaría como sigue:
𝑀𝑎𝑥𝑤𝑑𝐸𝑝
𝜎𝑝 𝑠. 𝑎 𝑤′1𝑛 = 1
}
A partir del desarrollo del programa5, obtenemos las siguientes soluciones:
𝑤𝑑 =𝛺−1𝐸
𝐴 𝐸𝑑 = 𝑤𝑑
′𝐸 =𝐸′𝛺−1𝐸
𝐴=𝐵
𝐴 𝜎𝑑
2 = 𝑤𝑑′𝛺𝑤𝑑 =
𝐸′𝛺−1𝛺𝛺−1𝐸
𝐴 · 𝐴=𝐵
𝐴2
5 El ratio (Ep-Rf/σp) se conoce como Ratio de Sharpe. En este caso, dado que no hemos incluido el activo
libre de riesgo, Rf es igual a 0.
12
4. RESULTADOS
Para estudiar el efecto de la diversificación, hemos comenzado a calcular las carteras
formadas por los índices europeos (IBEX, DAX, CAC40, FTSE MIB y FTSE) y
estadounidenses (NASDAQ, RUSSELL2000 y S&P500) por separado. La razón por la
que se ha procedido de esta manera es por la proximidad geográfica del mercado
europeo (en el caso de la cartera de Europa) y por el mercado de referencia que supone
EE.UU. (para la cartera con la composición únicamente de los índices estadounidenses).
A continuación, se han ido agregando continentes. En primer lugar, se han fusionado
el mercado europeo y estadounidense. En segundo lugar, hemos adjuntado el mercado
de América Latina (MXX, IBOVESPA y MERVAL). Seguidamente el mercado
asiático (NIKKEI, HSI, SSE, KOSPI) y posteriormente Australia (AORD) y Rusia
(RTSI) para finalizar.
Para cada cartera anterior, además, se ha obtenido la composición de la cartera de
mínimo riesgo global en cuatro escenarios distintos:
Caso 1: Sin restricciones.
Caso 2: Sin posibilidad de ventas en descubierto.
Caso 3: Con unos límites de [0, 30%].
Caso 4: Limitado a [5%, 30%]6.
En el primer caso, representamos una situación de completa libertad para un inversor
potencial donde éste puede elegir dónde invertir y en qué proporción hacerlo
libremente. No obstante, y debido a las consecuencias negativas que su masiva e
incontrolada utilización pueden tener, en ocasiones las ventas en descubierto han sido
prohibidas, de ahí que tengamos en cuenta el segundo caso. Sin embargo, en este último
comprobamos que hay valores cuya representación en la cartera se dispara o incluso no
tiene representación. Es por ello que introducimos los casos 3º y 4º.
Una vez obtenidas las carteras de mínimo riesgo global, hemos calculado el riesgo
asociado a cada cartera en función de rentabilidades superiores utilizando la herramienta
6 En el caso de la cartera estadounidense, dado que está compuesta por tres índices, se ha tenido que
ampliar el tope máximo a 40% puesto que en caso contrario no sería posible obtener una solución.
13
Solver. A continuación hemos representado los datos formando las fronteras eficientes.
También se han obtenido las carteras de máxima rentabilidad por unidad de riesgo para
el caso de no haber restricciones a las ventas en descubierto.
Finalmente, y centrándonos en el mercado europeo, se ha realizado un estudio de la
robustez de la covarianza y sus efectos en la diversificación.
4.1. Carteras sin restricciones
Tabla 2: Carteras mvg sin restricciones
Europa EE.UU.
Europa
y
EE.
UU.
Europa,
EE.UU.
y A. L.
Europa,
EE.UU.
A. L y
Asia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
y
Australia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
Australia
y Rusia
IBEX 0,180 0,074 0,026 -0,040 0,009 0,038
DAX 0,182 0,199 0,083 -0,110 -0,001 0,053
FTSE 1,019 0,457 0,253 0,133 -0,037 -0,004
CAC40 -0,027 -0,081 0,045 0,035 -0,035 -0,090
FTSE MIB -0,355 -0,255 -0,129 -0,036 -0,071 -0,082
S&P500 1,829 1,402 0,885 1,031 0,907 0,921
NASDAQ -0,146 -0,149 0,039 -0,115 -0,097 -0,143
RUSSELL -0,683 -0,648 -0,589 -0,597 -0,541 -0,487
MXX 0,519 0,422 0,392 0,359
IBOVESPA -0,116 -0,112 -0,176 -0,134
MERVAL -0,017 -0,047 -0,033 -0,018
NIKKEI 0,130 0,091 0,094
HSI -0,112 -0,203 -0,162
KOSPI 0,345 0,285 0,276
SSE 0,072 0,074 0,060
AORD 0,437 0,416
RTSI -0,096
𝑬𝒎𝒗𝒈 0,0089 0,0112 0,0113 0,0109 0,0077 0,0082 0,0090
𝝈𝒎𝒗𝒈 0,0356 0,0332 0,0314 0,0286 0,0263 0,0251 0,0246
14
Podemos observar, si seleccionamos un índice, cómo varía la composición en cada
cartera a medida que se van agregando otros índices. Así, por ejemplo, el IBEX va
reduciendo su participación progresivamente llegando a venderse en corto en la cartera
formada por Europa, EE. UU. Asia y América Latina. De todos los índices, el que más
representación tiene en todas las carteras es el S&P500 (véase Tabla 2).
Curiosamente, la cartera formada por Europa y EE. UU. tiene tanto mayor
rentabilidad como menor riesgo que las carteras individuales de estos dos mercados.
Este es un efecto de la diversificación.
A partir de la rentabilidad de la cartera de mínimo riesgo global, se pueden introducir
restricciones de rentabilidades superiores en el programa Solver para obtener con ello
otras carteras eficientes y poder representar las fronteras eficientes gráficamente de la
siguiente manera, siguiendo los colores anteriores:
Fig. 2: Fronteras eficientes sin restricciones
Se puede realizar una ampliación de la Fig. 2 alrededor de las carteras de mínima
varianza global, tal y como se puede consultar en la Fig. 3:
15
Fig. 3: Fronteras eficientes sin restricciones
El riesgo medido como la desviación típica asociado a cada cartera, para un nivel de
rentabilidad dado, es diferente conforme agregamos mercados. Podemos apreciarlo en
las gráficas y en la tabla que se muestra a continuación para cada nivel de rentabilidad
(véase Tabla 3):
Tabla 3: Diferentes niveles de riesgo óptimos según la rentabilidad (caso 1)
Europa EE.UU.
Europa
y
EE.
UU.
Europa,
EE.UU.
y A. L.
Europa,
EE.UU.
A. L y
Asia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
y
Australia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
Australia
y Rusia
Ep = 0,015 0,0432 0,0372 0,0327 0,0294 0,0282 0,0268 0,0259
Ep = 0,03 0,0922 0,0900 0,0549 0,0427 0,0405 0,0391 0,0375
Ep = 0,05 0,1694 0,1760 0,0984 0,0709 0,0641 0,0628 0,0604
Ep = 0,07 0,2488 0,2642 0,1448 0,1022 0,0900 0,0888 0,0857
De los datos mostrados en la Tabla 3 destaca una consecuencia básica de la
diversificación. A medida que agregamos mercados e índices, las posibilidades de
minimizar riesgo son mayores. Por eso, para cada nivel de rentabilidad dado, conforme
aumentamos la composición de nuestra cartera, menor es el riesgo que hemos de
soportar. Esto hace que las carteras sean cada vez más interesantes para un inversor a
medida que aumentan sus posibilidades de invertir.
16
Igualmente podemos obtener las carteras de máxima rentabilidad por unidad de
riesgo para poder compararlas entre sí (Tabla 4):
Tabla 4: Carteras con mayor ratio de Sharpe (caso 1)
Europa EE.UU.
Europa
y
EE.
UU.
Europa,
EE.UU.
y A. L.
Europa,
EE.UU.
A. L y
Asia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
y
Australia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
Australia
y Rusia
IBEX 0,3442 -0,0046 0,0758 0,2627 0,2961 0,3553
DAX 1,2438 0,4671 0,3207 0,7388 0,7889 0,8715
FTSE 1,1025 -0,4537 0,1929 0,5180 0,1943 0,2736
CAC40 -0,6563 -0,4966 -0,7094 -1,1085 -1,0526 -1,1114
FTSE MIB -1,0341 -0,4683 -0,5350 -0,8470 -0,7857 -0,7381
S&P500 0,5210 1,9633 1,6498 1,8065 1,4976 1,4741
NASDAQ 1,1684 0,9584 0,9284 1,4205 1,2257 0,9195
RUSSELL -0,6893 -0,9656 -0,8382 -1,0447 -0,8919 -0,6747
MXX 0,2988 0,3776 0,3367 0,2357
IBOVESPA -0,7280 -0,7124 -0,7275 -0,5250
MERVAL 0,3443 0,5346 0,4727 0,4612
NIKKEI -0,2133 -0,2250 -0,1767
HSI -0,1577 -0,2955 -0,1504
KOSPI -0,1224 -0,1503 -0,1288
SSE -0,4527 -0,3736 -0,3650
AORD 0,6901 0,5915
RTSI -0,3124
𝑬𝒅 0,0177 0,0162 0,0264 0,0381 0,0546 0,0486 0,0463
𝝈𝒅 0,0501 0,0399 0,0480 0,0534 0,0700 0,0610 0,0560
17
4.2. Carteras mvg sólo con posiciones largas
Siguiendo la metodología anterior, la composición de las carteras restringiendo las
ventas en corto quedaría de la siguiente manera:
Tabla 5: Carteras de mínimo riesgo global sin ventas en descubierto
Europa EE.UU.
Europa
y
EE.
UU.
Europa,
EE.UU.
y A. L.
Europa,
EE.UU.
A. L y
Asia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
y
Australia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
Australia
y Rusia
IBEX 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
DAX 0,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
FTSE 0,98 0,52 0,36 0,26 0,08 0,08
CAC40 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
FTSE MIB 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
S&P500 1,00 0,48 0,11 0,00 0,00 0,00
NASDAQ 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
RUSSELL 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
MXX 0,53 0,47 0,43 0,43
IBOVESPA 0,00 0,00 0,00 0,00
MERVAL 0,00 0,00 0,00 0,00
NIKKEI 0,11 0,09 0,09
HSI 0,00 0,00 0,00
KOSPI 0,11 0,07 0,07
SSE 0,04 0,03 0,03
AORD 0,30 0,30
RTSI 0,00
𝑬𝒎𝒗𝒈 0,0069 0,0123 0,0094 0,0087 0,0075 0,0071 0,0071
𝝈𝒎𝒗𝒈 0,0370 0,0372 0,0359 0,0322 0,0313 0,0307 0,0307
Resulta curioso cómo, una vez introducida la restricción de las ventas en corto, hay
índices en los que no se invierte nada (véase Tabla 5). En todos los supuestos se repite
el mismo patrón, se invierte mayoritariamente en los índices FTSE (Londres), S&P500
(EE.UU.), MXX (México), KOSPI (Corea del Sur), SSE (Shanghái) y AORD
18
(Australia). La restricción introducida produce cambios importantes en la composición
de las carteras.
Para poder realizar un análisis más minucioso, exponemos a continuación las
fronteras eficientes con esta nueva restricción a las ventas en descubierto (Fig. 4),
correspondiéndose los colores de cada frontera con los de la Tabla 5:
Fig. 4: Fronteras eficientes con posiciones largas (caso 2)
Estos son los niveles de volatilidad relativos a cada valor de rentabilidad esperada de
las carteras:
Tabla 6: Diferentes niveles de riesgo óptimo según rentabilidad (caso 2)
Europa EE.UU.
Europa
y
EE.
UU.
Europa,
EE.UU.
y A. L.
Europa,
EE.UU.
A. L y
Asia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
y
Australia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
Australia
y Rusia
Ep = 0,0085 0,0398 - - - 0,0315 0,0251 0,0246
Ep = 0,009 0,0418 - - 0,0322 0,0317 0,0251 0,0246
Ep = 0,011 - - 0,0363 0,0330 0,0328 0,0254 0,0248
Ep = 0,015 - 0,0406 0,0406 0,0379 0,0379 0,0268 0,0259
19
De la comparación entre las carteras de mínimo riesgo global y las fronteras
eficientes con y sin posibilidad de realizar ventas en corto de los casos 1 y 2 (véase
Tablas 2 y 5 junto a las Figs. 2 y 4) podemos extraer varias conclusiones:
1. El riesgo soportado para un mismo nivel de rentabilidad es mayor si se
introduce una restricción a las ventas en descubierto. Esta limitación produce
que la posible diversificación que se podría llevar a cabo se vea limitada por
la necesidad de invertir en posiciones largas (o no invertir como límite
mínimo) en todos los activos. Podemos apreciar esta consecuencia tanto en
las carteras de mínimo riesgo global (donde, a modo de ejemplo para la
cartera formada por todos los índices, en caso de no haber restricciones, la
cartera de mínimo riesgo global alcanzaría una volatilidad de 0,0246 para una
rentabilidad de 0,09; mientras que sin ventas en descubierto la volatilidad
asciende a 0,0307 para una rentabilidad inferior: 0,071); como en el riesgo
que es necesario asumir para obtener una rentabilidad dada, como por
ejemplo de 0,015, siendo mayor en el caso de estar restringidas las ventas en
descubierto
2. La posibilidad de realizar ventas en corto aumenta las oportunidades de
inversión, y ello se traduce en un incremento de las fronteras eficientes,
implicando la opción para los inversores de alcanzar mayores niveles de
rentabilidad que si éstas se prohíben. Por ejemplo, si comparamos
gráficamente las fronteras eficientes de invertir en la cartera formada por
Europa y EE.UU. así como en todos los índices en ambos escenarios
podemos apreciar este matiz:
Fig. 5: Fronteras eficientes casos 1 y 2
20
3. La ponderación de las carteras introduciendo la restricción a las ventas en
corto varía notablemente. Los índices en los que se invierte en descubierto
cuando no hay restricción dejan de estar representados en la cartera con
restricción a las ventas en corto, comprobando que en la primera destacan el
S&P500 (EE.UU.) que luego pierde toda su relevancia; y el AORD
(Australia). Podemos comprobarlo en la Fig. 6:
Fig. 6: Ponderación de las carteras mvg en los casos 1 y 2
4.3. Carteras con restricción [0%, 30%]
Como hemos explicado anteriormente, la introducción de la restricción a las ventas
en corto puede derivar en una escasa representación de los valores en la cartera
resultante y una concentración en unos pocos. Podemos comprobar este resultado en las
carteras anteriores. Las carteras con restricción [0%, 30%] serían las siguientes (véase
Tabla 7):
21
Tabla 7: Carteras mvg con restricción [0%, 30%]
Europa EE.UU.
Europa
y
EE.
UU.
Europa,
EE.UU.
y A. L.
Europa,
EE.UU.
A. L y
Asia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
y
Australia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
Australia
y Rusia
IBEX 0,10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
DAX 0,30 0,07 0,03 0,00 0,00 0,00
FTSE 0,30 0,30 0,30 0,30 0,15 0,15
CAC40 0,30 0,05 0,00 0,00 0,00 0,00
FTSE MIB 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
S&P500 0,40 0,30 0,30 0,09 0,01 0,01
NASDAQ 0,40 0,28 0,00 0,00 0,00 0,00
RUSSELL 0,20 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
MXX 0,30 0,30 0,30 0,30
IBOVESPA 0,07 0,00 0,00 0,00
MERVAL 0,00 0,00 0,00 0,00
NIKKEI 0,11 0,10 0,10
HSI 0,00 0,00 0,00
KOSPI 0,14 0,09 0,09
SSE 0,06 0,05 0,05
AORD 0,30 0,30
RTSI 0,00
𝑬𝒎𝒗𝒈 0,0066 0,0139 0,0112 0,0099 0,0073 0,0066 0,0066
𝝈𝒎𝒗𝒈 0,0416 0,0409 0,0373 0,0332 0,0317 0,0309 0,0309
Como podemos comprobar (Tabla 7), la composición de las carteras no difiere
mucho de lo ocurrido con las obtenidas a partir de la simple restricción de las ventas en
descubierto, sin limitar superiormente las ponderaciones. Así, salvo el MXX (México)
en el que se invertía un 43% sin límite superior (pasando a un 30% con el límite), el
resto de índices toman valores cercanos o similares.
22
En este punto sería interesante estudiar cuál es el efecto de introducir un nuevo
índice en la cartera, analizando el beneficio añadido para el inversor; usando para ello
un test de spanning de media-varianza (De Roon, et al., 2001; Glabadanidis, 2009). No
obstante, y dada la complejidad del modelo en cuanto a cálculos econométricos, nos
limitamos únicamente a citar esta posibilidad.
Paulatinamente, conforme agregamos índices, se nos permite alcanzar carteras de
mínima varianza inferiores. Así, si comparamos directamente la cartera formada sólo
por Europa con la cartera total, comprobamos que para un mismo nivel de rentabilidad
(0,66%) se tiene que soportar, en el caso de la cartera completa, un riesgo de un 1%
menos.
Los datos de la Tabla 7 se muestran en el siguiente gráfico (Fig. 7):
Fig. 7: Gráfico de composición de carteras mvg según Tabla 7.
4.4. Carteras con restricción [5%, 30%]
Finalmente, también resulta interesante analizar las carteras donde, al menos en un
5%, todos los índices se encuentran representados. Además, continuamos estableciendo
un límite superior para evitar valores extremos.
23
Las carteras de mínima varianza así obtenidas quedarían como siguen (Tabla 8):
Tabla 8: Carteras mvg con restricción [5%, 30%]
Europa EE.UU.
Europa
y
EE.
UU.
Europa,
EE.UU.
y A. L.
Europa,
EE.UU.
A. L y
Asia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
y
Australia
Europa,
EE.UU.
A.L. Asia
Australia
y Rusia
IBEX 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
DAX 0,30 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
FTSE 0,30 0,30 0,25 0,05 0,05 0,05
CAC40 0,30 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
FTSE MIB 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
S&P500 0,40 0,30 0,05 0,05 0,05 0,05
NASDAQ 0,40 0,15 0,05 0,05 0,05 0,05
RUSSELL 0,20 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
MXX 0,30 0,30 0,25 0,20
IBOVESPA 0,05 0,05 0,05 0,05
MERVAL 0,05 0,05 0,05 0,05
NIKKEI 0,05 0,05 0,05
HSI 0,05 0,05 0,05
KOSPI 0,05 0,05 0,05
SSE 0,05 0,05 0,05
AORD 0,05 0,05
RTSI 0,05
𝑬𝒎𝒗𝒈 0,0066 0,0139 0,0096 0,0088 0,0081 0,0079 0,0075
𝝈𝒎𝒗𝒈 0,0420 0,0409 0,0382 0,0361 0,0362 0,0362 0,0379
Como podemos comprobar, la obligación de invertir en todos los índices, al menos,
un 5% implica que desde el momento en que se incluye el índice MXX (México), éste
es el que más porcentaje de inversión recibe, y la posterior inclusión de nuevos índices
disminuirá la participación de MXX (véase Tabla 8).
Así, a partir de la inclusión de los índices asiáticos, mientras que la rentabilidad de
las carteras de mínimo riesgo global decrece, el riesgo soportado medido por la
24
desviación típica aumenta. Esta es una consecuencia derivada de la inclusión del límite
inferior del 5%, cuyo resultado es una disminución de la inversión en el índice
mexicano al imponer que se invierta en todos los índices.
Utilizando el mismo gráfico que en el apartado anterior, se puede resumir la Tabla 8
en la siguiente figura:
Fig. 8: Representación gráfica de la composición de carteras según Tabla 8
Resulta curioso comprobar, a la vista del gráfico, cómo se invierte en muchos índices
únicamente un 5% que es el mínimo exigido; matiz que, sobre todo, cobra protagonismo
en las carteras donde se invierte en todos o casi todos los índices.
5. ANÁLISIS DE LA ROBUSTEZ DE LA COVARIANZA
Además, también puede ser aconsejable estudiar la robustez de la covarianza (Huo,
et al., 2012).
Al realizar el contraste de normalidad Jarque-Bera, hemos inferido de éste que no
podemos afirmar que los índices seleccionados para nuestro estudio sigan una
distribución normal. Esto se debe, básicamente, a la existencia de valores extremos que
25
resultan en una asimetría (generalmente negativa) que hace más recomendable utilizar
la mediana como medida de tendencia central en lugar de la media (Sheskin, 2000).
La razón fundamental que justifica esta medida reside en que se puede demostrar que
la mediana es más estable ante la presencia de valores extremos, y por tanto reduce la
correlación entre los activos, derivando en mayores beneficios procedentes de la
diversificación (Huo, et al., 2012), que es precisamente lo que se busca al construir
carteras eficientes.
Para ello, calcularíamos la nueva matriz de varianzas y covarianzas (que denotamos
ahora como ΩR) a partir de las covarianzas robustas de los índices, que se obtendrían a
partir de la siguiente fórmula (Huo, et al., 2012):
�̂�𝑅 = �̂�[(𝑥𝑡 − �̂�𝑥)(𝑦𝑡 − �̂�𝑦)]
Una vez construida la nueva matriz de varianzas y covarianzas hemos obtenido las
carteras eficientes sustituyendo la matriz de varianzas y covarianzas convencional por la
misma matriz pero robusta (usando la fórmula de �̂�𝑅), dándonos los siguientes
resultados de carteras de mínima varianza global en el mercado europeo:
Como podemos comprobar, los índices IBEX (España) y FTSE (Reino Unido) son
los que más afectados se ven por este cambio en la covarianza, de manera que el
primero de ellos gana protagonismo en la nueva cartera mientras que el segundo lo
pierde. Mientras que la cartera mvg convencional alcanza unos valores para la
rentabilidad esperada y desviación típica de 0,0089 y 0,0356 respectivamente, en la
robusta la rentabilidad esperada es de 0,0022 y la desviación típica de 0,0189.
El efecto de la introducción de la covarianza robusta en el modelo se puede apreciar
más significativamente en las fronteras eficientes (Fig. 9):
mvg - Convencional
IBEX 0,180
DAX 0,182
FTSE 1,019
CAC40 -0,027
FTSE MIB -0,355
mvg - Robusta
IBEX 1,456
DAX -0,304
FTSE 0,613
CAC40 -0,044
FTSE MIB -0,721
26
Fig. 9: Fronteras eficientes para Europa
Como podemos comprobar, utilizando este ejemplo se demuestra lo que se afirmó en
el apartado de metodología: utilizando la matriz de covarianzas robustas en lugar de la
convencional se pueden construir carteras eficientes que, para un mismo nivel de
rentabilidad, impliquen asumir menores niveles de riesgo. Así, por ejemplo, para unos
niveles de rentabilidad dados, el riesgo que se tendría que asumir sería el siguiente:
mvg - C mvg - R
Riesgo
Ep = 0,0089 0,036 0,021
Ep = 0,054 0,185 0,076
Ep = 0,074 0,264 0,103
Por lo tanto, podemos concluir que la sustitución de la covarianza convencional por
la robusta resulta positivo porque la mediana representa, en el caso de índices de los que
no podemos inferir que sigan una distribución normal, una medida de tendencia central
más representativa de la muestra (Sheskin, 2000), y por tanto permite realizar una mejor
diversificación del riesgo.
27
6. CONCLUSIONES
Una vez desarrollado el modelo, podemos extraer las siguientes conclusiones:
En primer lugar, se puede confirmar que, conforme aumentamos el número de
índices que tiene un inversor para poder construir una cartera de inversión, el riesgo que
tiene que soportar es cada vez menor para un mismo nivel de rentabilidad; esto es, al
tener mayores posibilidades de elección, el modelo minimizará de forma más eficiente
el riesgo.
En segundo lugar, la utilización de índices procedentes de distintos países también
contribuye a reducir el riesgo de una cartera eficiente. Esto se explica porque, en una
economía dada, suele existir una fuerte tendencia a que los fenómenos económicos
vayan al unísono, y por tanto la correlación entre los activos sea mayor (Levy y Sarnat,
1970). Por el contrario, si se utilizan índices de distintas economías, la diversificación
del riesgo será mayor en la medida en que existe menos correlación entre estos.
En tercer lugar, la introducción de restricciones en el modelo aumentan la
ineficiencia. Al imponer a un inversor un máximo (o mínimo) de inversión en cada
índice, las posibilidades de reducir el riesgo disminuyen y, por tanto, dado un nivel de
rentabilidad, el riesgo asumido será mayor que en el caso de que se dé plena libertad.
Finalmente, la utilización de la matriz de covarianzas robustas en lugar de la
convencional supone notables diferencias respecto a la metodología tradicional en la
obtención de fronteras eficientes.
28
BIBLIOGRAFÍA
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de valores bursátiles. Madrid: Colex.
De Roon, F. A., Nijman, T. E. & Werker, B. J. M., 2001. Testing for Mean-Variance
Spanning with Short Sales Constraints and Transaction Costs: The Case of
Emerging Markets. The Journal of Finance, LVI(2), pp. 721-742.
García Boza, J., 2013. Inversiones financieras: selección de carteras. Madrid: Pirámide.
Glabadanidis, P., 2009. Measuring the economic significance of mean-variance
spanning. The Quarterly Review of Economics and Finance, Issue 49, pp. 596-
616.
Gómez Sala, J. C., 2012. Dirección Financiera I (Finanzas). Segunda ed. Alicante:
ECU.
Huang, C.-f. y Litzenberger, R. H., 1988. Foundations for Financial Economics.
s.l.:North-Holland.
Huo, L., Kim, T.-H. y Kim, Y., 2012. Robust estimation of covariance and its
application to portfolio optimization. Finance Reserach Letters, Issue 9, pp. 121-
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Jackson, M. y Staunton, M., 2002. Advanced Modelling in finance using Excel and
VBA. s.l.:Wiley.
Levy, H. y Sarnat, M., 1970. International Diversification of Investment Portfolios.
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Sheskin, D. J., 2000. Parametric and nonparametric statistical procedures. Segunda ed.
s.l.:Chapman & Hall/CRC.
https://www.finance.yahoo.com (Consultado el 15 de Noviembre de 2014).
http://www.expansión.com (Consultado el 1 de febrero de 2015).
http://www.investing.com (Consultado el 3 de febrero de 2015).
29
ANEXO 1: PROGRAMA DE MINIMIZACIÓN DE MARKOWITZ
Definimos el programa de minimización como:
𝑀í𝑛𝑤1
2𝜎𝑝2 =
1
2𝑤′𝛺𝑤
𝑠. 𝑎 𝐸𝑝 = 𝑤′𝐸
𝑤′1𝑛 = 1 }
A continuación definimos la ecuación lagrangiana y desarrollamos el problema de
minimización:
𝐿 =1
2𝑤′𝛺𝑤 − 𝜆1(𝑤
′𝐸 − 𝐸𝑝) − 𝜆2(𝑤′1𝑛 − 1)
Condiciones de primer orden:
𝜕𝐿
𝜕𝑤=1
2· 2 · 𝛺𝑤 − 𝜆1𝐸 − 𝜆21𝑛 = 0
𝜕𝐿
𝜕𝜆1= −(𝑤′𝐸 − 𝐸𝑝) = 0
𝜕𝐿
𝜕𝜆2= −(𝑤′1𝑛 − 1) = 0
Partiendo de la primera condición, multiplicamos en ambos lados por Ω-1
(1) y
hacemos prima ambas partes (2):
𝛺𝑤 = 𝜆1𝐸 + 𝜆21𝑛
𝛺−1 · 𝛺𝑤 = 𝛺−1(𝜆1𝐸 + 𝜆21𝑛) (1)
𝑤 = 𝛺−1(𝜆1𝐸 + 𝜆21𝑛)
𝑤′ = (𝜆1𝐸′𝛺−1 + 𝜆21
′𝑛𝛺
−1) (2)
Sustituimos w’ en las ecuaciones de λ1 (3) y λ2 (4):
(𝜆1𝐸′𝛺−1𝐸 + 𝜆21
′𝑛𝛺
−1𝐸) = 𝐸𝑝 (3)
(𝜆1𝐸′𝛺−11𝑛 + 𝜆21
′𝑛𝛺
−11𝑛) = 1 (4)
Definimos a continuación las siguientes variables, y posteriormente despejamos las
ecuaciones anteriores para obtener el valor de λ1 y λ2
30
𝑨 = 1𝑛′ · 𝛺 · 𝐸
𝑩 = 𝐸′ · 𝛺 · 𝐸
𝑪 = 1𝑛′ · 𝛺 · 1
𝑫 = 𝐵 · 𝐶 − 𝐴2
𝒂 =𝐴
𝐷
𝒃 =𝐵
𝐷
𝒄 =𝐶
𝐷
𝜆1 = 𝑐 · 𝐸𝑝 − 𝑎
𝜆2 = 𝑏 − 𝑎 · 𝐸𝑝
Sustituimos a continuación el valor de λ1 y λ2 en w’ (2) transpuesta y simplificamos
(5):
𝑤 = (𝑐 · 𝐸𝑝 − 𝑎)𝛺−1 · 𝐸 + (𝑏 − 𝑎 · 𝐸𝑝)𝛺
−1 · 1𝑛
𝑤 = (𝑐 · 𝛺−1 · 𝐸 − 𝑎 · 𝛺−11𝑛)𝐸𝑝 − 𝑎 · 𝛺−1 · 𝐸 + 𝑏 · 𝛺−1 · 1𝑛 (5)
𝑤 = ℎ · 𝐸𝑝 + 𝑔
A partir de la ecuación de carteras de menor varianza (5) podemos obtener carteras
de mínimo riesgo para cada nivel de rentabilidad Ep. Asimismo, podríamos incluir otro
tipo de restricciones (como acotar las ventas en descubierto, o la inversión máxima
permitida en cada índice) en el programa de minimización (Bodie, Kane y Marcus,
2009); pero dado que el desarrollo manual se complicaría, nos hemos servido de la
herramienta Solver en Microsoft Excel para llevar a cabo el estudio (Jackson y Staunton,
2002).
Obtenidas las carteras de mínimo riesgo, podemos calcular tanto su rentabilidad
esperada como su volatilidad como:
𝐸𝑝 = 𝑤′ · 𝐸 𝜎2 = 𝑤′ · 𝛺 · 𝑤
Así, una vez calculado para cada cartera su rentabilidad y riesgo, podemos
representar ambas variables en el plano y con ello obtener la curva de carteras de
menor varianza, que analíticamente podemos desarrollar partiendo de la fórmula del
riesgo de una cartera:
𝜎2 = 𝑤′ · 𝛺 · 𝑤 = 𝑤′ · 𝛺 · (𝜆1𝛺−1𝐸 + 𝜆2𝛺
−11𝑛) = 𝑤′(𝜆1𝛺 · 𝛺−1𝐸 + 𝜆2𝛺 · 𝛺
−11𝑛)
= 𝜆1𝑤′𝐸 + 𝜆2𝑤
′1𝑛 = 𝜆1𝐸𝑝 + 𝜆21 = (𝑐 · 𝐸𝑝 − 𝑎)𝐸𝑝 + (𝑏 − 𝑎 · 𝐸𝑝)
𝜎 = √𝑐 · 𝐸𝑝2 − 2𝑎 · 𝐸𝑝 + 𝑏
31
ANEXO 2: MATRICES DE VARIANZAS Y COVARIANZAS CONVENCIONAL
Y ROBUSTA (PARA EUROPA)
VCV Convencional
VCV robusta para Europa
IBEX DAX FTSE CAC40 FTSE MIB MXX IBOVESPA MERVAL
IBEX 0,0037 0,0017 0,0015 0,0022 0,0034 0,0008 0,0017 0,0027
DAX 0,0017 0,0023 0,0013 0,0019 0,0022 0,0009 0,0014 0,0021
FTSE 0,0015 0,0013 0,0014 0,0015 0,0017 0,0008 0,0013 0,0013
CAC40 0,0022 0,0019 0,0015 0,0021 0,0026 0,0008 0,0015 0,0023
FTSE MIB 0,0034 0,0022 0,0017 0,0026 0,0040 0,0008 0,0019 0,0034
MXX 0,0008 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0012 0,0012 0,0014
IBOVESPA 0,0017 0,0014 0,0013 0,0015 0,0019 0,0012 0,0028 0,0023
MERVAL 0,0027 0,0021 0,0013 0,0023 0,0034 0,0014 0,0023 0,0093
SP500 0,0014 0,0014 0,0012 0,0014 0,0016 0,0009 0,0013 0,0015
NASDAQ 0,0015 0,0015 0,0013 0,0015 0,0017 0,0009 0,0015 0,0018
RUSSELL2000 0,0016 0,0018 0,0015 0,0017 0,0018 0,0011 0,0017 0,0019
NIKKEI 0,0014 0,0014 0,0009 0,0013 0,0015 0,0006 0,0008 0,0020
HSI 0,0016 0,0016 0,0013 0,0015 0,0017 0,0010 0,0019 0,0021
KOSPI 0,0013 0,0015 0,0010 0,0013 0,0015 0,0007 0,0014 0,0017
SSE 0,0011 0,0011 0,0008 0,0009 0,0011 0,0008 0,0014 0,0023
AORD 0,0012 0,0010 0,0010 0,0012 0,0014 0,0007 0,0014 0,0013
RTSI 0,0026 0,0025 0,0019 0,0023 0,0029 0,0014 0,0027 0,0035
SP500 NASDAQ RUSSELL2000 NIKKEI HSI KOSPI SSE AORD RTSI
IBEX 0,0014 0,0015 0,0016 0,0014 0,0016 0,0013 0,0011 0,0012 0,0026
DAX 0,0014 0,0015 0,0018 0,0014 0,0016 0,0015 0,0011 0,0010 0,0025
FTSE 0,0012 0,0013 0,0015 0,0009 0,0013 0,0010 0,0008 0,0010 0,0019
CAC40 0,0014 0,0015 0,0017 0,0013 0,0015 0,0013 0,0009 0,0012 0,0023
FTSE MIB 0,0016 0,0017 0,0018 0,0015 0,0017 0,0015 0,0011 0,0014 0,0029
MXX 0,0009 0,0009 0,0011 0,0006 0,0010 0,0007 0,0008 0,0007 0,0014
IBOVESPA 0,0013 0,0015 0,0017 0,0008 0,0019 0,0014 0,0014 0,0014 0,0027
MERVAL 0,0015 0,0018 0,0019 0,0020 0,0021 0,0017 0,0023 0,0013 0,0035
SP500 0,0014 0,0015 0,0018 0,0011 0,0013 0,0010 0,0008 0,0010 0,0021
NASDAQ 0,0015 0,0018 0,0019 0,0012 0,0015 0,0012 0,0011 0,0011 0,0022
RUSSELL2000 0,0018 0,0019 0,0027 0,0015 0,0017 0,0015 0,0010 0,0013 0,0028
NIKKEI 0,0011 0,0012 0,0015 0,0029 0,0012 0,0010 0,0008 0,0008 0,0019
HSI 0,0013 0,0015 0,0017 0,0012 0,0028 0,0015 0,0018 0,0014 0,0028
KOSPI 0,0010 0,0012 0,0015 0,0010 0,0015 0,0018 0,0010 0,0010 0,0021
SSE 0,0008 0,0011 0,0010 0,0008 0,0018 0,0010 0,0041 0,0008 0,0016
AORD 0,0010 0,0011 0,0013 0,0008 0,0014 0,0010 0,0008 0,0013 0,0018
RTSI 0,0021 0,0022 0,0028 0,0019 0,0028 0,0021 0,0016 0,0018 0,0064
IBEX DAX FTSE CAC40 FTSE MIB
IBEX 0,0009 0,0007 0,0005 0,0010 0,0014
DAX 0,0007 0,0007 0,0006 0,0008 0,0011
FTSE 0,0005 0,0006 0,0005 0,0007 0,0007
CAC40 0,0010 0,0008 0,0007 0,0010 0,0016
FTSE MIB 0,0014 0,0011 0,0007 0,0016 0,0023