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Graduação em Engenharia Elétrica
MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO – ENE081
PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR E-mail: [email protected]
Aula Número: 05
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR
RESOLUÇÃO GRÁFICA (2 VARIÁVEIS)
RESOLUÇÃO PELO MÉTODO SIMPLEX (N VARIÁVEIS)
Consideração para o uso do Simplex: • O problema deve estar escrito na forma PADRÃO
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Forma Padrão
0},,{:.
≥
≥≤=
=
xbAxas
xczMax T
0:.
≥
=
=
xbAxasxczMax T
Forma Geral Forma Padrão
Os termos independentes das restrições devem ser não negativos;
Todas as restrições, com exceção das de não negatividade, devem ser apresentadas na forma de igualdade;
As variáveis de decisão devem ser não negativas.
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Forma Padrão
Por que da forma padrão ? A álgebra linear trata bem sistemas assim estruturados.
Qualquer que seja a estrutura do problema de programação linear, sempre é possível colocá-la na formar padrão.
0:.
≥
=
=
xbAxasxczMax T
Forma Padrão
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Forma Padrão
Como passar da forma geral para forma padrão ? Como transformar inequações em equações? Resp: Inserção de novas variáveis nas inequações
[ ]
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
≥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0
00
:. 2
1
2
1
2
1
21
22221
11211
2
1
21
nmnmnmm
n
n
n
n
x
xx
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
as
x
xx
ccczMax
e
Forma Padrão Matricial
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Forma Padrão
ü Relação entre inequações e equações
aij x jj=1
n
∑ ≤ bi ≡aij x j
j=1
n
∑ + Si = bi
0 ≤ Si ≤∞
%
&'
('
aij x jj=1
n
∑ ≥ bi ≡aij x j
j=1
n
∑ − Si = bi
0 ≤ Si ≤∞
%
&'
('
Variável de Folga (+S)
Variável de Excesso(-S)
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 04 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Forma Padrão
Problema Original Forma Padrão
Exemplo:
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Forma Padrão
Exercício 1 (sala): Coloque o problema de otimização na forma padrão
minZ = −2x1 + x2 + x3 −3x4 + x5s.ax1 + 2x2 − x3 + x4 +3x5 ≥ 54x1 + x3 − 2x4 − x5 ≤ 0−2x3 + x4 + 2x5 ≥ −73x1 + x2 − x4 + x5 = 8x1, x2, x5 ≥ 0x3 ≤ 0x4 qualquer
minZ = −2x1 + x2 + x3 −3x4 + x5s.ax1 + 2x2 − x3 + x4 +3x5 − s1 = 54x1 + x3 − 2x4 − x5 + s2 = 02x3 − x4 − 2x5 + s3 = 73x1 + x2 − x4 + x5 = 8x3 = −x3
'
x4 = x4' − x4
''
x1, x2, x5, s1, s2, s3, x3' , x4
' , x4'' ≥ 0
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Forma Padrão
ü Observações:
1. A passagem para forma padrão se faz pelo simples acréscimo de uma variável de folga ou excesso para cada inequação existente.
2. A forma padrão resultante sempre consiste em um sistema que tenha uma solução básica inicial mais fácil de ser encontrada.
Solução básica inicial (ESTRATÉGIA):
Anular as variáveis originais e obter os valores das variáveis de
folga e excesso
As variáveis nulas recebem o nome de NÃO BÁSICAS (VNB)
As variáveis não nulas recebem o nome de BÁSICAS(VB)
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Forma Padrão
Exercício 2 (Sala) Encontre uma solução básica factível para:
max Z = 3x1 + 2,5x2 +1,2x3s.ax1 − 2x2 + 4x3 + x4 = 40x1 + x2 + 2x3 + x5 = 602x1 +3x2 + x3 − x6 =15x6 = −x6
*
x1,x2, x3, x4, x5, x6* ≥ 0
VNB = x1, x2, x3{ }⇒ x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0
VB = x4, x5, x6*{ }⇒ x4 = 40, x5 = 60, x6
* =15
Z = 0
max Z = 3x1 + 2,5x2 +1,2x3s.ax1 − 2x2 + 4x3 ≤ 40x1 + x2 + 2x3 ≤ 602x1 +3x2 + x3 ≥15x1,x2, x3 ≥ 0
Solução Básica Factível (SBF) ?
Forma Padrão
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Simplex
Problemas de Programação
Linear
Método de SIMPLEX (1947)
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Simplex
• O método Simplex evita a exploração exaustiva de soluções básicas.
Descrição Geral SIMPLEX
SBF Solução Básica Factível
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Método SIMPLEX
Forma Tableau
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Tableau SIMPLEX
Fluxograma
Maximização
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex - Fluxograma
Início
Fim
Montar tableau Simplex com Solução Básica Inicial Factível
Existe custo (coeficientes) < 0 ?
Não
Escolher variável para entrar na base
Calcular razão ( bi / coluna)
Sim
Solução ótima
Fazer troca de base e recalcular
o tableau
Existe razão ≥ 0 finita ?
Solução ilimitada
Não
Sim
1
1 Escolher variável para sair da base
Variável com coeficiente
mais negativo na FOB
Menor razão positiva
Problema de Maximização
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
0,1823
1224:.
53
21
21
2
1
21
≥
≤+
≤
≤
+=
xxxx
xxas
xxzMax
Exemplo (fixação):
Resolva o Problema de PL via Tableau SIMPLEX
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Max z−3 x1 − 5 x2 = 0s.a : x1 ≤ 4
2 x2 ≤123 x1 + 2 x2 ≤18x1, x2 ≥ 0
0,1823
1224:.
53
21
21
2
1
21
≥
≤+
≤
≤
+=
xxxx
xxas
xxzMax Reescrever a expressão da Função Objetivo
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Max z−3 x1 − 5 x2 = 0s.a : x1 ≤ 4
2 x2 ≤123 x1 + 2 x2 ≤18x1, x2 ≥ 0
Colocar o problema na Forma Padrão
Max z−3 x1 − 5 x2 = 0s.a : x1 + S1 = 4
2 x2 + S2 =123 x1 + 2 x2 + S3 =18x1, x2,S1,S2,S3 ≥ 0
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Achar uma solução básica inicial factível
Max z−3 x1 − 5 x2 = 0s.a : x1 + S1 = 4
2 x2 + S2 =123 x1 + 2 x2 + S3 =18x1, x2,S1,S2,S3 ≥ 0
01801204
3
22
11
==
==
==
zSxSxS
{ } { }32121 ,,, SSSVBxxVNB ==
Observação: A FOB deve ser sempre formada por VNB. (SEMPRE VERIFICAR ESSA CONDIÇÃO)
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
0,,,,1823
1224:.53
32121
321
22
11
21
≥
=++
=+
=+
−−
SSSxxSxx
SxSxas
xxzMax { } { }32121 ,,, SSSVBxxVNB ==
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 b S1 S2 S3 Z
Tableau Simplex
Montar o Tableau SIMPLEX
Variáveis básicas +FOB
Variáveis básicas + Não Básicas+ FOB Termos Constante
das equações
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
0,,,,1823
1224:.53
32121
321
22
11
21
≥
=++
=+
=+
−−
SSSxxSxx
SxSxas
xxzMax { } { }32121 ,,, SSSVBxxVNB ==
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 b S1 S2 S3 Z
Tableau Simplex
Montar o Tableau SIMPLEX
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 b S1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 2 0 1 0 12 S3 0 3 2 0 0 1 18 Z 1 -3 -5 0 0 0 0
Preenchimento pelas linhas do Tableau
Restr.(1)
Restr.(2)
Restr.(3)
FOB
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 b S1 S2 S3 Z
Tableau Simplex – Solução Inicial.
Verificar se a solução é ótima!
(Linha da FOB)
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 b S1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 2 0 1 0 12 S3 0 3 2 0 0 1 18 Z 1 -3 -5 0 0 0 0
5 Variável com coeficiente mais negativo na FOB
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 b S1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 2 0 1 0 12 S3 0 3 2 0 0 1 18 Z 1 -3 -5 0 0 0 0
+inf +6 +9
Entra na Base (X2)
Tableau Simplex
Saída (S2)
A menor razão mais positiva
Variável com coeficiente mais negativo na FOB
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 b S1 0 1 0 1 0 0 4 X2 0 0 2 0 1 0 12 S3 0 3 2 0 0 1 18 Z 1 -3 -5 0 0 0 0
Entrou na Base (X2)
Tableau Simplex
Saíu da Base (S2)
Troca de Base: • Cada nova equação (linha da Tabela)
deve possuir apenas uma VB com coeficiente unitário
• Cada VB deve aparecer em uma só equação
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Zerar a coluna de X2 com exceção da linha referente ao elemento pivô que deve assumir o valor unitário. Para tanto:
Linha 1 = Linha 1
Linha 3’ = Linha 3 - Linha 2
Linha 4’ = Linha 4 + 2,5*Linha 2
Linha 2’ = 0,5* Linha 2
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 b S1 0 1 0 1 0 0 4
X2 0 0 1 0 1/2 0 6 S3 0 3 0 0 -1 1 6 Z 1 -3 0 0 5/2 0 30
Novo Tableau Simplex- Nova Solução
?
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 b S1 0 1 0 1 0 0 4
X2 0 0 1 0 1/2 0 6 S3 0 3 0 0 -1 1 6 Z 1 -3 0 0 5/2 0 30
Novo Tableau Simplex- Nova Solução
Verificar se a nova solução é ótima!
(Linha da FOB)
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 b S1 0 1 0 1 0 0 4
X2 0 0 1 0 1/2 0 6 S3 0 3 0 0 -1 1 6 Z 1 -3 0 0 5/2 0 30
+4 +inf +2
Entrada na Base (X1)
Saída (S3)
Linha 1’ = Linha 1 – (1/3)*Linha 3
Linha 2 = Linha 2
Linha 4’ = Linha 4 + Linha 3
Linha 3’ = (1/3) * Linha 3
Novo Tableau Simplex
Zerar a coluna de X1 com exceção da linha referente ao elemento pivô que deve assumir o valor unitário. Para tanto:
Variável com coeficiente mais negativo na FOB
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 b S1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2 X2 0 0 1 0 1/2 0 6 X1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2 Z 1 0 0 0 3/2 1 36
Novo Tableau Simplex – Nova Solução
Verificar se a nova solução é ótima!
(Linha da FOB)
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 b S1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2 X2 0 0 1 0 1/2 0 6 X1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2 Z 1 0 0 0 3/2 1 36
Tableau Simplex – Nova Solução
Fim do Processo de Maximização
Todos os coeficientes da última Linha (Z) positivos
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
0,1823
1224:.
53
21
21
2
1
21
≥
≤+
≤
≤
+=
xxxx
xxas
xxzMaxVar. Valor X1 2 X2 6 S1 2 S2 0 S3 0 Z 36
Solução Final Tableau Simplex
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
MATLAB
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Tableau SIMPLEX
Fluxograma
Minimização
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex - Fluxograma
Início
Fim
Montar tableau Simplex com solução básica inicial viável
Existe custo (Coeficientes) > 0 ?
Não
Escolher variável para entrar na base
Calcular razão ( bi / coluna)
Sim
Solução ótima
Fazer troca de base e recalcular
o tableau
Existe razão ≥ 0
finita ?
Solução ilimitada
Não
Sim
1
1 Escolher variável para sair da base
Variável com coeficiente mais positivo na FOB
Menor razão positiva
Problema de Minimização
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Exercício:
Utilize o Tableau Simplex para resolver o seguinte problema de programação linear:
x1 =1/ 3; x2 = 0; x3 =13 / 3;
Z = −17
Solução
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
1° Passo: Forma Padrão
Programação Linear – Tableau Simplex
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Entrada na Base (X3)
Saída (X6)
Programação Linear – Tableau Simplex
VNB = x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0{ } VB = x4 = 9, x5 = 2, x6 = 4{ }
Tableau Simplex – Solução Inicial
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Zerar Coluna de X3 com exceção da Linha referente a X6 que deve assumir o valor unitário (pivô). Para tanto:
Linha 1’ = Linha 1 - 4*Linha 4
Linha 2’ = Linha 2 - 2*Linha 4
Linha 3’ = Linha 3 + 1*Linha 4 Linha 4 = Linha 4
Programação Linear – Tableau Simplex
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Entrada na Base (X1)
Saída (X4)
Zerar Coluna de X1 com exceção da Linha referente a X4 que deve assumir o valor unitário(pivô). Para tanto:
Linha 1’ = Linha 1 - Linha 2
Linha 3 = Linha 3
Linha 4’ = Linha 4 + (1/3)*Linha 2
Linha 2’ = (1/3)*Linha 2
Programação Linear – Tableau Simplex
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Fim do Processo de Minimização
Todos os coeficientes da primeira Linha (FOB) negativos
Programação Linear – Tableau Simplex
170
;3/13;6;3/1
642
351
−====
===
Zxxx
xxx
Solução
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Simplex
Soluções Básicas Iniciais devem ser factíveis
Soluções factíveis são diretas quando todas as restrições do modelo são da forma ≤.
Como obter soluções inciais em modelos com restrições na forma ≥ ou = ?
Restrições do modelo na forma ≥ ou =não levam a obtenção direta de soluções iniciais factíveis.
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Simplex
Como obter soluções iniciais em modelos com restrições na forma ≥ ou = ?
Método das
Penalidades (BIG M)
Método das
Duas Fases
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Big M
Este método consiste em acrescentar à FOB do problema original (forma padrão) variáveis artificiais (a) e uma penalidade (M) com coeficientes:
Negativos muito grandes - Problemas de Maximização
Positivos muito grandes - Problemas de Minimização
aMxxzMax −+= 21 32
aMxxzMin ++= 21 32
Na solução final os valores das variáveis artificiais devem ser nulos (VNB).
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Big M
Exemplo: Resolver o seguinte problema de PL
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Big M
Forma Geral
Forma Padrão
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Big M
Forma Padrão
Solução Básica Factível (SBF) inicial para o problema.
VNB = x1, x2{ }⇒ x1 = 0, x2 = 0
VB = x3, x4{ }⇒ x3 = 6, x4 = −8Z = 0
x4 = −8
x4 ≥ 0 ???Não possui
Solução Inicial Trivial
x1 + x2 = 6???
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Big M
Forma Padrão Não possui
Solução Inicial Trivial
Inserção das Variáveis Artificiais e das Penalidades
Adiciona-se as variáveis artificiais nas equações do tipo:
Adiciona-se as variáveis artificiais e as penalidades (M) ao problema
≥ e =( )
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Big M
Forma Padrão Não possui
Solução Inicial Trivial
Inserção das Variáveis Artificiais e das Penalidades Método Big M
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Big M
Identificação das variáveis básicas e não básicas:
VNB = x1, x2, x4{ } VB = x3, x5, x6{ }
A aplicação do Método, a partir daqui, segue a procedimento Simplex.
Ok!! Mas a FOB não deve conter apenas VNB ???
Temos que eliminar x5 e x6 da FOB
Inserção das Variáveis Artificiais e das Penalidades
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Big M
Inserção das Variáveis Artificiais e das Penalidades
Para eliminar X5 e X6 basta substituirmos suas expressões na FOB:
x5 = 8− x1 − 2x2 + x4 x6 = 6− x1 − x2
Z − 2x1 −3x2 +M (8− x1 − 2x2 + x4 )+M (6− x1 − x2 ) = 0
Expressão da FOB em função das VNB:
Z + (−2− 2M )x1 + (−3−3M )x2 +Mx4 +14M = 0
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Big M
Inserção das Variáveis Artificiais e das Penalidades
Solução Básica Factível (SBF) inicial para o problema.
VNB = x1, x2, x4{ }⇒ x1 = 0, x2 = 0, x4 = 0
VB = x3, x5, x6{ }⇒ x3 = 6, x5 = 8, x6 = 6Z = −14M
A partir daqui, segue o procedimento Tableau Simplex.
Z + (−2− 2M )x1 + (−3−3M )x2 +Mx4 +14M = 0
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Método Big M
Tableau Inicial – Simplex- Método Big M
Base Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 Z 1 (-2-2M) (-3-3M) 0 M 0 0
X3 0 -2 +3 1 0 0 0 X5 0 1 2 0 -1 1 0 X6 0 1 1 0 0 0 1
Solução Final.
VNB = x3, x5, x6{ }⇒ x3 = 0, x5 = 0, x6 = 0
VB = x1, x2, x4{ }⇒ x1 =125, x2 =
185, x4 =
85
Z = 785
b -14M
6
8
6
CONFERIR!!!
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Min z = 4 x1 + x2s.a : x1 + x2 ≤ 3
x1, x2 ≥ 0
Exercício (sala):
Resolva o Problema de PL via Tableau SIMPLEX
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Min z = 4 x1 + x2s.a : x1 + x2 ≤ 3
x1, x2 ≥ 0
1) Forma Padrão
Min z− 4 x1 − x2 = 0s.a : x1 + x2 + s = 3
x1, x2, s ≥ 0
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Min z− 4 x1 − x2 = 0s.a : x1 + x2 + s = 3
x1, x2, s ≥ 0
2) Achar uma solução básica inicial factível
VNB = x1 = 0, x2 = 0{ } VB = s = 3{ }
Observação: A FOB deve ser formada apenas por VNB.
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Tableau Simplex
Base Z X1 X2 S b S 0 1 1 1 3 Z 1 -4 -1 0 0
3) Montar o Tableau SIMPLEX
Se todos os coeficientes da FOB são negativos: SOLUÇÃO ÓTIMA
Min z− 4 x1 − x2 = 0s.a : x1 + x2 + s = 3
x1, x2, s ≥ 0
4) Verificar Solução
x1 = 0; x2 = 0;s = 3;Z = 0.
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Exercício (Sala):
Resolva o Problema de PL via Tableau SIMPLEX
Min z = 4 x1 + x2s.a : x1 + x2 = 3
x1, x2 ≥ 0
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Programação Linear – Tableau Simplex
Min z = 4 x1 + x2s.a : x1 + x2 = 3
x1, x2 ≥ 0
1) Forma Padrão
Min z− 4 x1 − x2 −MA = 0s.a : x1 + x2 + A = 3
x1, x2,A ≥ 0
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Min z− 4 x1 − x2 −MA = 0s.a : x1 + x2 + A = 3
x1, x2,A ≥ 02) Achar uma solução básica inicial factível
VNB = x1 = 0, x2 = 0{ } VB = A = 3{ }
FOB formada por VB !!!!
Pergunta: Até aqui algum Problema?
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Min z− 4 x1 − x2 −M (3− x1 − x2 ) = 0onde : A = 3− x1 − x2
Min z+ (M − 4)x1 + (M −1)x2 −3M = 0s.a : x1 + x2 + A = 3
x1, x2,A ≥ 0
2) Achar uma solução básica inicial factível
VNB = x1 = 0, x2 = 0{ } VB = A = 3{ }
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Tableau Simplex -> M=100
Base Z X1 X2 A b A 0 1 1 1 3 Z 1 96 99 0 300
3) Montar o Tableau SIMPLEX
Como existe coeficientes da FOB positivos: Existe solução melhor que:
4) Verificar Solução
x1 = 0; x2 = 0;A = 3;Z = 0.
Min z+ (M − 4)x1 + (M −1)x2 −3M = 0s.a : x1 + x2 + A = 3
x1, x2, s ≥ 0
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Tableau Simplex
Base Z X1 X2 A b A 0 1 1 1 3 Z 1 96 99 0 300
5) Obtenção da nova solução
Entra na Base (X2)
Saída (A)
Zerar Coluna de X2, com exceção da Linha referente a variável “A”, que deve assumir o valor unitário (pivô). Para tanto:
Linha 2’ = Linha 2 - 99*Linha 1 Tableau Simplex
Base Z X1 X2 A b X2 0 1 1 1 3 Z 1 -3 0 -99 3
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
Programação Linear – Tableau Simplex
Se todos os coeficientes da FOB são negativos: SOLUÇÃO ÓTIMA
4) Verificar Solução
Tableau Simplex
Base Z X1 X2 A b X2 0 1 1 1 3 Z 1 -3 0 -99 3
x1 = 0; x2 = 3;s = 0;Z = 3.
x1 = 0; x2 = 3;s = 0;Z = 3.
Nova Solução:
Disciplina “Métodos de Otimização ENE081” – Aula Número: 05 – PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR
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Aula de Exercícios 06-05-2016 Trazer: • Material de consulta (Notas de Aula)
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