Istraživanje funckije f-odredi se područje defincije-odredi se limes funckije u rubnim točkama područja definicije-ispitaju se svojstva parnosti, neparnosti, periodičnosti-odrede se nultočke

Rast i pad funkcije-ako za svaki x iz intervala ⟨a ,b ⟩ vrijedi f ' ( x )>0, onda funckija f raste na intervalu ⟨a ,b ⟩-ako za svaki x iz intervala⟨a ,b ⟩ vrijedi f ' ( x )<0, onda funckija f pada na intervalu ⟨a ,b ⟩

Nalaženje stacionarnih točaka i intervala monotonosti1.riješimo jednadžbu f ' ( x )=0-rješenja su stacionarne točke2.starcionarnim točkama područje definicje podijeljeno je na intervale monotonosti-provjerom predznaka derivacije određujemo jesu li oni intervali rasta ili pada funkcije

Minimum i maksimum funkcije-funkcija f ima u x0 lokalni minimum ako postoji interval ⟨a ,b ⟩ koji sadrži x0 tako da vrijedi f (x0)≤ f (x ) , za svaki x∈ ⟨a ,b ⟩ -funkcija f ima u x0 lokalni maksimum ako postoji interval ⟨a ,b ⟩ koji sadrži x0 tako da vrijedi f (x0)≥ f (x ) , za svaki x∈ ⟨a ,b ⟩-minimum i maksimum su ekstremi funkcije

Nužan uvjet za lokalni ekstrem-(Fermatov teorem) Ako funkcija f poprima u x0 lokalni ekstrem i ako f ima derivaciju i toj točki, tada vrijedi f ' (x0 )=0

Nužan uvjet za globalni ekstrem-na intervalu [a,b] funckija može poprimiti ekstrem samo u točkama u kojima je: -derivacija jednaka nuli, ili -derivacija ne postoji (točke prekida i loma), ili -u krajevima intervala

Ispitivanje karaktera ekstrema pomoću druge derivacije1.nađimo stacionarne točke (f ' ( x )=0)2.a) ako je f ' ' (x0 )>0 , onda je x0 minimum

2.b) ako je f ' ' (x0 )<0 , onda je x0 maksimum

2.a) ako je f ' ' (x0 )=0 , onda karakter točke x0 istražujemo pomoću predznaka prve derivacije

Točka pregiba-riješimo jednadžbu f ' ' ( x )=0-njezina su rješenja moguće pregibne točke

Konveksnost i konkavnost funkcije-ako na nekom intervalu ⟨a ,b ⟩ vrijedi f ' ' ( x )>0 znači da na tom intervalu prva derivacija raste (raste nagib tangente), odnosno raste kut što ga ona zatvara s pozitivnim dijelom x-osi-za funkciju f kažemo da je konveksna na intervalu ⟨a ,b ⟩

-ako na nekom intervalu ⟨a ,b ⟩ vrijedi f ' ' ( x )<0 znači da na tom intervalu prva derivacija opada (opada nagib tangente), odnosno opada kut što ga ona zatvara s pozitivnim dijelom x-osi-za funkciju f kažemo da je konkavna na intervalu ⟨a ,b ⟩

Asimptote-neka se točka T neprekidno giba po grafu funckije f tako da barem jedna od njezinih koordinata teži u ∞ ili −∞-ako pri tom njezina udaljenost do pravca p teži k nuli,onda se taj pravac naziva asimptota funckije

1.vertikalne asimptote

limx→c

f ( x )=±∞

-pravac x=c je vertikalna asimptota

2.horizontalne asimptote k=0

l= limx→∞

f ( x )

-pravac y=l je desna horizontalna asimptota funkcije f

l= limx→−∞

f ( x )

-pravac y=l je lijeva horizontalna asimptota funkcije f

3.kose asimptote-koeficijente pravca koji je kosa asimptota funkcije f određujemo formulama: y=kx+l

k= limx→±∞

f ( x )xl= lim

x→±∞[ f (x )−kx ]

Graf racionalnih funkcija