Upload
others
View
6
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
GRAF PEMBAGI NOL ATAS MODUL
RUSNANDA FARHAN
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI
SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2018 M / 1439 H
GRAF PEMBAGI NOL ATAS MODUL
Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh derajatSarjana Matematika
RUSNANDA FARHAN1113094000006
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI
SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2018 M / 1439 H
PERNYATAAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR
HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SK-
RIPSI ATAU ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANA-
PUN.
Jakarta, Januari 2018
RUSNANDA FARHAN
NIM. 1113094000006
ii
Scanned by CamScanner
Kasih sayang yang tulus untukku dan pengorbanan yang
tak ternilai. Selalu memberikan yang terbaik tanpa
pernah mengeluh. Mereka tak mengharapkan balasan
dariku, hanya berharap kebaikan untukku.
Untuk Mamah dan Papah tercinta
iv
MOTTO
”Karena sesungguhnya bersama setiap kesulitan ada kemudahan. Sesungguhnya
bersama setiap kesulitan ada kemudahan.”
(Q.S. Al-Insyirah:5-6)
v
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Segala puji bagi Allah Subhanahu wa Ta’ala atas rahmat, taufiq, dan hidayah-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini, dengan judul ”Graf Pembagi
Nol Atas Modul”. Shalawat dan salam tak lupa tercurahkan kepada baginda Na-
bi Muhammad SAW, beserta keluarga, dan para sahabatnya, yang telah membawa
umatnya dari zaman jahiliyah ke zaman yang terang benderang.
Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan
program S1 di Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif
Hidayatullah Jakarta. Dalam penulisan skripsi ini penulis mendapat bimbingan dan
bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan terima
kasih kepada:
1. Bapak Dr. Agus Salim, M.Si selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Ibu Dr. Nina Fitriyati, M.Kom selaku Ketua Program Studi Matematika
dan Ibu Irma Fauziah, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Matematika.
3. Ibu Dr. Nur Inayah, M.Si selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Budi Ha-
rianto, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II yang senantiasa menyediakan
waktunya untuk memberikan nasehat, pengarahan, inspirasi, serta saran-
saran dalam penyelesaian skripsi ini.
4. Seluruh Ibu dan Bapak Dosen Program Studi Matematika yang telah mem-
berikan ilmu-ilmunya dan pengalaman yang bermanfaat selama penulis di
masa studi.
vi
5. Kedua orang tua penulis, Bapak Rustio dan Ibu Dewi Nurliana yang tidak
pernah lelah untuk selalu memberikan yang terbaik untuk penulis, senan-
tiasa memberi doa, kasih sayang, semangat, serta dukungan moril maupun
materil sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Saudari kandung penulis,
Nurfitriana, yang telah memberikan perhatian dan dukungan materil ke-
pada penulis. Saudara kembar penulis, Rusnandi Fikri, merupakan orang
yang paling dekat dengan penulis, selalu memberikan nasehat dan memo-
tivasi penulis agar segera menyelesaikan skripsi ini.
6. Cynthia Dhevy Retno Palupi yang telah setia menemani penulis saat pe-
ngerjaan skripsi, selalu memberi semangat dan doa untuk penulis sampai
skripsi ini selesai.
7. Sarah dan Nadya, teman seperjuangan penulis yang telah banyak membe-
rikan pengetahuan dalam penyusunan skripsi.
8. Untuk para sahabat lelaki matematika 2013, Angga, Panjul, Aul, Ady,
Emin, Asfar, Putra, Faiz, Bagus, Andika, yang telah menemani penulis
semasa awal masuk kuliah sampai penulis dapat menyelesaikan skripsi.
9. Seluruh cypress family 2013, serta keluarga besar HIMATIKA yang te-
lah membantu penulis baik dari segi pengetahuan, kekeluargaannya, se-
mangat, dan sarana dalam penyusunan skripsi ini.
Penulis menyadari penulisan skripsi ini tidak sempurna. Dengan kerendahan hati
penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar hasil kedepannya
bisa lebih baik. Penulis juga berharap agar skripsi ini dapat bermanfaat untuk semua
pihak yang membutuhkannya.
Jakarta, Januari 2018
Penulis
vii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iHALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiHALAMAN PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiHALAMAN PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ivHALAMAN MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vKATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viDAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiiDAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixDAFTAR LAMBANG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiI PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Pembatasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Manfaat Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II LANDASAN TEORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1. Grup dan Gelanggang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Modul Dan Modul Multiplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Pembagi Nol Atas Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. Annihilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5. Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1. Graf Pembagi Nol Atas Modul (Γ(RM)) . . . . . . . . . . . . . . . 163.2. Graf Pembagi Nol Atas Modul Multiplikasi Γ∗(RM) . . . . . . . . 203.3. Graf Pembagi Nol Z-modul Z2×Zp (Γ(ZZ2×Zp)), Z-modul Z3×Zp
(Γ(ZZ3 × Zp)), dan Z-modul Zp × Zq (Γ(ZZp × Zq)) . . . . . . . . 213.4. Sifat Dasar Graf Γ(RM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
IV KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
REFERENSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
viii
DAFTAR GAMBAR
2.1 Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Graf Bintang S5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Graf Bipartit K2,4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z4 × Z4 . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z2 × Z8 . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Graf Pembagi Nol Atas Modul Multiplikasi Z8 . . . . . . . . . . . 213.5 Graf Γ(ZZ2 × Z7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 Graf Γ(ZZ3 × Z5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.7 Graf Γ(ZZ5 × Z7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.9 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z4 × Z5 . . . . . . . . . . . . . . . 353.10 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z2 × Z6 . . . . . . . . . . . . . . . 37
ix
DAFTAR LAMBANG
r ∈ R : r anggota R
r /∈ R : r bukan anggota R
r ⊆ R : r himpunan bagian (subset) atau sama dengan R
∀ : untuk setiap (semua)
∃ : terdapat
∅ : himpunan kosong
\ : himpunan komplementari (A\B = {a|a ∈ A dan a /∈ B})
Z : himpunan semua bilangan bulat
R : himpunan semua bilangan real
Q : himpunan semua bilangan rasional
� : akhir suatu bukti
3 : sedemikian sehingga
x
ABSTRAK
Graf Pembagi Nol Atas Modul
Oleh
RUSNANDA FARHAN
1113094000006
Misalkan R adalah gelanggang komutatif dengan identitas dan RM adalah R-modul dengan elemen satuan. Akan dihubungkan sifat modul dengan graf yangdisebut graf pembagi nol atas modul, Γ(RM), dengan titik-titiknya Z∗(RM) =Z(RM)\ {0}, dimana x−y adalah sisi diantara titik berbeda x dan y jika dan hanyajika x ∈ Ann(y)M atau y ∈ Ann(x)M untuk suatu 0 6= y ∈ M . Dalam skripsiini, akan diselidiki graf pembagi nol atas Z-modul Z2 × Zp, Z-modul Z3 × Zp, danZ-modul Zp × Zq, hubungan antara sifat modul RM dengan sifat graf dari Γ(RM),lalu dilihat diameter Γ(RM) ≤ 3 dan girth Γ(RM) ≤ 4.
Kata Kunci : Graf Pembagi Nol, diameter graf pembagi nol, dan girth grafpembagi nol.
xi
ABSTRACT
Zero Divisor Graph of Modules
By
RUSNANDA FARHAN
1113094000006
Let R be a commutative ring with identity and RM be a unitary R-module. Weassociate module properties with a graph called zero divisor of modules,Γ(RM),whose vertices Z∗(RM) = Z(RM)\ {0}, where x − y is an edge between distinctvertices x and y if and only if x ∈ Ann(y)M or y ∈ Ann(x)M for some 0 6= y ∈M . In thid paper, we investigate zero divisor graph of Z-module Z2×Zp, Z-moduleZ3 × Zp, and Z-module Zp × Zq, the interplay between modul properties RM withthe properties of Γ(RM), then we see the diameter of Γ(RM) ≤ 3 and the girth ofΓ(RM) ≤ 4.
Key Word : Zero Divisor Graph, the diameter of zero divisoer graph, and the girthof zero divisor graph.
xii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Menghubungkan graf dengan struktur aljabar merupakan topik penelitian yang
menarik dalam dua puluh tahun terakhir. Ada banyak tulisan tentang penentuan se-
buah graf ke sebuah gelanggang. Kebanyakan fokus pada graf pembagi nol. Konsep
dari graf pembagi nol pada gelanggang R pertama kali diperkenalkan oleh Beck [3],
pada tahun 1988, dimana secara umum dia tertarik pada pewarnaan. Dalam tulisan-
nya, Beck mendefinisikan graf pembagi nol atas gelanggang komutatif R dengan
notasi ΓR(R) adalah graf yang dua titiknya terhubung jika perkalian keduanya nol.
Pembahasan tentang graf pembagi nol dari gelanggang komutatif ini kemudian
dilanjutkan oleh Anderson dan Naseer pada tahun 1993 [1]. Selanjutnya, pada ta-
hun 1999 Anderson dan Livingston [2] menghubungkan sebuah graf, Γ(R), dengan
titik Z∗(R) = Z(R)\ {0}, himpunan dari pembagi nol tak nol dari gelangggang
komutatif R dengan identitas, dan untuk x, y ∈ Z∗(R) yang berbeda, titik x dan y
bertetangga jika dan hanya jika xy = 0. Graf pembagi nol pada gelanggang komu-
tatif telah dipelajari secara terus-menerus oleh banyak penulis, dan menjadi bidang
utama penelitian.
Pada tahun 2002, Redmond meneliti tentang graf pembagi nol atas gelanggang
tak komutatif yang salah satu hasilnya yaitu graf pembagi nol atas gelanggang tak
komutatif adalah graf berarah. Pada tahun 2003, Redmond memperluas graf pem-
bagi nol pada gelanggang komutatif ke graf pembagi nol pada gelanggang komu-
tatif berdasarkan ideal [12], ΓI(R), yaitu sebuah graf tak berarah, dimana I adalah
ideal dari gelanggang R, dengan himpunan titik-titiknya termuat dalam himpunan
{x ∈ R− I|xy ∈ I untuk suatu y ∈ R− I}, dan dua titik berbeda x dan y berte-
tangga jika dan hanya jika xy ∈ I .
Pada tahun 2011, Ghalandarzadeh melakukan penelitian tentang graf pembagi
1
nol atas gelanggang berdasarkan ideal annihilator, dinotasikan dengan ΓAnn(M)(R),
dimana ide awalnya yakni dengan mengganti ideal I pada graf ΓI(R) dengan ideal
annihilator pada suatu R-modul M , menjadi ΓAnn(M)(R). Ghalandarzadeh mende-
finisikan graf ΓAnn(M)(R) merupakan suatu graf sederhana yang titik-titiknya yaitu
{a ∈ R\Ann(M)|abM = 0 untuk suatu b ∈ R\Ann(M)}, dimana titik berbeda a
dan b bertetangga jika dan hanya jika abM = 0. Lalu, pada tahun 2012, Ghalan-
darzadeh melanjutkan penelitiannya dengan meneliti tentang diameter pada graf
ΓAnn(M)(R).
Selanjutnya, banyak penelitian tentang graf pembagi nol untuk gelanggang
komutatif yang telah digeneralisasi ke modul atas gelanggang komutatif, seperti
yang dilakukan Lee [10] dan Safaeeyan [13].
Berdasarkan banyak penelitian tentang teori graf yang dikaitkan dengan teori
aljabar maka penulis tertarik untuk meneliti bagaimana sifat dari graf pembagi nol
atas modul yang ditulis dalam skripsi yang berjudul ”GRAF PEMBAGI NOL
ATAS MODUL”.
1.2. Perumusan Masalah
1. Bagaimana bentuk graf pembagi nol atas modul Z2 × Zp, Z3 × Zp, dan
Zp × Zq dengan gelanggang Z, dimana p dan q adalah bilangan prima.
2. Bagaimana sifat dari graf pembagi nol atas modul, jika diketahui sifat mo-
dulnya.
3. Bagaimana diameter dan girth graf pembagi nol atas modul, jika diketahui
sifat modulnya.
4. Bagaimana sifat dari graf pembagi nol atas modul, jika diketahui RM ada-
lah modul multiplikasi.
1.3. Pembatasan Masalah
Pembahasan pada skripsi dibatasi pada sifat gelanggang komutatif dan lapang-
an, sifat R-modul dengan elemen satuan dan modul multiplikasi, dan graf pembagi
nol adalah graf sederhana.
2
1.4. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari skripsi ini adalah :
1. Mengetahui bentuk graf pembagi nol atas modul Z2 × Zp, Z3 × Zp, dan
Zp × Zq dengan gelanggang Z, dimana p dan q adalah bilangan prima.
2. Mengetahui sifat dari graf pembagi nol atas modul, jika diketahui sifat
modulnya.
3. Mengetahui diameter dan girth graf pembagi nol atas modul, jika diketahui
sifat modulnya.
4. Mengetahui sifat dari graf pembagi nol atas modul, jika diketahui RM
adalah modul multiplikasi.
1.5. Manfaat Penulisan
Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini adalah untuk menyelidiki bentuk
graf pembagi nol atas modul Z2 × Zp, Z3 × Zp, dan Zp × Zq dengan gelanggang
Z dan menyelidiki sifat graf pembagi nol atas modul dalam kaitannya dengan sifat
modul RM dan memperjelas struktur dari Γ(RM).
1.6. Sistematika Penulisan
Skripsi ini ditulis dalam empat bab. Bab 1 sebagai pendahuluan terdiri dari la-
tar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat
penulisan, dan sistematika penulisan skripsi. Pada bab 2 akan dijelaskan tentang
gelanggang, modul dan modul multiplikasi, pembagi nol atas modul, annilhilator,
dan graf. Selanjutnya pada bab 3 akan dijelaskan definisi graf pembagi nol atas
modul dan definisi graf pembagi nol atas modul multiplikasi, dilanjutkan dengan
pembahasan tetang graf pembagi nol atas modul Z2×Zp, Z3×Zp, dan Zp×Zq, la-
lu akan dibuktikan hubungan sifat modul dengan sifat graf Γ(RM), hubungan sifat
modul dengan diameter graf Γ(RM) dan girth Γ(RM), dan hubungan sifat modul
multiplikasi dengan sifat graf Γ∗(RM)
3
BAB II
LANDASAN TEORI
Bab ini berisi teori-teori pendukung yang digunakan sebagai teori penunjang
dalam pembahasan bab berikutnya. Pada bab ini akan dijelaskan tentang grup, ge-
langgang dan gelanggang komutatif, modul atas gelanggang dan modul multiplika-
si, pembagi nol atas modul, annihilator, dan pengertian dasar pada graf.
2.1. Grup dan Gelanggang
Pada bagian ini akan dijelaskan tentang teori grup dan teori gelanggang. Pem-
bahasan akan diawali dengan definisi dari grup dan grup abelian. Kemudian dilan-
jutkan gelanggang dan gelanggang komutatif, beberapa definisi lainnya dan contoh.
Definisi 2.1.1 Grup[7]
Sebuah himpunan tak kosong G dikatakan membentuk grup jika di dalam G ter-
definisi operasi biner, yang disebut product yang dinotasikan dengan ·, sedemikian
sehingga
1. a, b ∈ G mengakibatkan a · b ∈ G.
2. a, b, c ∈ G mengakibatkan a · (b · c)(a · b) · c.
3. Terdapat e ∈ G sedemikian sehingga a · e = e · a = a, untuk setiap a ∈ G.
4. Untuk setiap a ∈ G terdapat a−1 ∈ G sedemikian sehingga a·a−1 = a−1·a = e.
Definisi 2.1.2 Grup Abelian[7]
Sebuah grup G dikatakan abelian (atau komutatif) jika untuk setiap a, b ∈ G, a.b =
b.a.
Definisi 2.1.3 Gelanggang [7]
Sebuah himpunan tak kosong R disebut gelanggang assosiatif jika pada R terdefi-
nisi dua operasi, yaitu + dan ·, sedemikian sehingga ∀a, b, c ∈ R berlaku :
4
1. a + b ∈ R
2. (a + b) + c = a + (b + c)
3. ∃0 ∈ R 3 a + 0 = a,∀a ∈ R
4. ∃(−a) ∈ R 3 (−a) + a = 0
5. a + b = b + a
6. a · b ∈ R
7. a · (b · c) = (a · b) · c
8. a · (b + c) = a · b + a · c dan (b + c) · a = b · a + c · a
Definisi 2.1.4 Gelanggang Komutatif [7]
Gelanggang R dikatakan gelanggang komutatif jika operasi perkalian di R meme-
nuhi ab = ba, untuk setiap a, b ∈ R.
Contoh 2.1.5
1. Himpunan bilangan ril R, himpunan bilangan rasional Q, dan himpunan bilang-
an bulat Z dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa adalah gelanggang
komutatif.
2. Himpunan Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah gelanggang komutatif.
Definisi 2.1.6 Elemen Satuan [7]
Misal R adalah gelanggang. Jika terdapat elemen 1 di R sedemikian sehingga
a · 1 = 1 · a = a untuk setiap a ∈ R maka R disebut gelanggang dengan elemen
satuan. Elemen 1 disebut elemen satuan.
Definisi 2.1.7 Gelanggang Pembagian[7]
Sebuah gelanggang dikatakan gelanggang pembagian jika elemen tak nolnya mem-
bentuk grup di bawah operasi perkalian.
Definisi 2.1.8 Lapangan[7]
Lapangan adalah sebuah gelanggang pembagian komutatif.
5
Definisi 2.1.9 Pembagi Nol(Zero Divisor) [7]
Jika R gelanggang komutatif, maka a 6= 0 ∈ R disebut sebagai pembagi nol (zero
divisor) jika ∃b ∈ R, b 6= 0 3 ab = 0.
Contoh 2.1.10
Misalkan Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah gelanggang komutatif. Pembagi nol dari Z6
yaitu 2, 3 dan 4.
Definisi 2.1.11 Daerah Integral[7]
Misalkan R adalah gelanggang komutatif. R adalah daerah integral jika R tidak
memiliki pembagi nol.
Definisi 2.1.12 Ideal [9]
Misalkan gelanggang R dengan elemen satuan dan I ⊆ R. Himpunan I disebut
ideal pada R jika dan hanya jika I memenuhi tiga sifat berikut :
1. I 6= ∅.
2. Untuk setiap a, b ∈ I maka a + b ∈ I .
3. Untuk setiap a ∈ I dan r ∈ R, maka ar ∈ I .
Contoh 2.1.13
Himpunan 2Z6 = {0, 2, 4} adalah ideal dari gelanggang Z6.
Bukti.
(i) Akan dibuktikan 2Z6 6= ∅.
Terdapat 0 ∈ 2Z6 sedemikian sehingga 2Z6 tak kosong.
(ii) Akan dibuktikan 2Z6 = {0, 2, 4} tertutup terhadap penjumlahan.
Perhatikan
0 + 2 = 2
0 + 4 = 4
2 + 4 = 0
Terbukti 2Z6 tertutup terhadap penjumlahan.
6
(iii) Akan dibuktikan untuk setiap a ∈ 2Z6 dan r ∈ Z6, maka ar ∈ 2Z6.
Perhatikan
0 · 0 = 0 ∈ 2Z6
0 · 1 = 0 ∈ 2Z6
0 · 2 = 0 ∈ 2Z6
0 · 3 = 0 ∈ 2Z6
0 · 4 = 0 ∈ 2Z6
0 · 5 = 0 ∈ 2Z6
2 · 0 = 0 ∈ 2Z6
2 · 1 = 2 ∈ 2Z6
2 · 2 = 4 ∈ 2Z6
2 · 3 = 0 ∈ 2Z6
2 · 4 = 2 ∈ 2Z6
2 · 5 = 4 ∈ 2Z6
4 · 0 = 0 ∈ 2Z6
4 · 1 = 4 ∈ 2Z6
4 · 2 = 2 ∈ 2Z6
4 · 3 = 0 ∈ 2Z6
4 · 4 = 4 ∈ 2Z6
4 · 5 = 2 ∈ 2Z6
Terbukti bahwa untuk setiap a ∈ 2Z6 dan r ∈ Z6, maka ar ∈ 2Z6.
Berdasarkan (i), (ii), dan (iii). Maka terbukti 2Z6 merupakan ideal terhadap gelang-
gang Z6. �
Definisi 2.1.14 Ideal Maksimal [7]
Sebuah ideal I 6= R dalam gelanggang R dikatakan ideal maksimal di R jika untuk
sebarang U ideal di R sedemikian sehingga I ⊂ U ⊂ R, maka R = U atau I = U .
2.2. Modul Dan Modul Multiplikasi
Pada bagian ini akan dijelaskan tentang teori modul. Pembahasan akan diawa-
li dengan definisi dari modul dan submodul. Kemudian dijelaskan definisi modul
7
multiplikasi dan beberapa definisi lainnya serta contoh-contoh.
Definisi 2.2.1 Modul atas Gelanggang [7]
Misalkan R adalah gelanggang. Himpunan tak kosong M adalah R-modul (modul
atas gelanggang R) jika M adalah grup abelian di bawah operasi penjumlahan
sedemikan sehingga ∀ r ∈ R dan m ∈ M terdapat sebuah elemen rm ∈ M yang
memenuhi :
1. r(a + b) = ra + rb
2. r(sa) = (rs)a
3. (r + s)a = ra + sa
Untuk setiap a, b ∈M dan r, s ∈ R.
Selanjutnya modul atas gelanggang disebut R-modul M . Jika terdapat unsur 1 ∈
R, dimana 1.m = m, ∀ m ∈ M maka M dapat dikatakan sebagai R-modul M
dengan elemen satuan, dilambangkan dengan RM .
Contoh 2.2.2
1. Himpunan Zn merupakan modul atas gelanggang Z.
2. Himpunan Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} merupakan modul atas gelanggang Z6 terha-
dap operasi penjumlahan dan perkalian.
Definisi 2.2.3 Submodul [7]
Misalkan M adalah R-modul. Suatu subgrup aditif A dari M disebut submodul
dari M jika untuk setiap r ∈ R dan a ∈ A, maka ra ∈ A.
Untuk suatu submodul N dari suatu R-modul M , himpunan
(N : M) = {r ∈ R|rM ⊆ N}
disebut colon dari N [8].
Contoh 2.2.4
Himpuan 2Z6 = {0, 2, 4} merupakan submodul dari Z6-modul Z6.
8
Definisi 2.2.5 Modul Prima [11]
Misalkan M adalah R-modul. M 6= 0 disebut modul prima jika submodul nol-nya
prima, yaitu rx = 0 untuk x ∈M , r ∈ R berakibat x = 0 atau rM = (0).
Contoh 2.2.6
Z7 modul atas Z merupakan modul prima.
Teorema 2.2.7 Misalkan R suatu gelanggang. Jika N adalah suatu submodul dari
suatu R-modul M , maka (N : M) merupakan ideal dari R [8].
Bukti.
Akan ditunjukan bahwa himpunan (N : M) = {r ∈ R|rM ⊆ N}, merupakan
ideal dari R.
(i) Akan ditunjukan (N : M) 6= ∅
pilih 0 ∈ R, kita perhatikan bahwa 0M = {0} ⊆ N , sehingga berdasarkan
definisi colon, diperoleh 0 ∈ (N : M).
(ii) Akan ditunjukan untuk sebarang a, b ∈ (N : M) berlaku a + b ∈ (N : M).
Ambil sebarang a, b ∈ (N : M), maka berlaku aM ⊆ N dan bM ⊆ N .
Perhatikan :
aM + bM = {am1 + bm2|m1m,2 ∈M}
merupakan himpunan bagian dari N . Kemudian untuk sebarang c ∈ (a+b)M
maka c = (a+ b)m1 = am1 + bm1 untuk suatu m1 ∈M , sehingga diperoleh
(a+ b)M ⊆ aM + bM ⊆ N . Karena (a+ b)M ⊆ N , diperoleh a+ b ∈ (N :
M).
(iii) Akan ditunjukan untuk sebarang a ∈ (N : M) dan r ∈ R, berlaku ra ∈
(N : M). Ambil sebarang a ∈ (N : M) dan r ∈ R, maka aM ⊆ N . Karena
N merupakan submodul dari M , maka diperoleh r(aM) ⊆ N . Dari definisi
modul r(aM) = (ra)M diperoleh (ra)M = r(aM) ⊆ N . Berdasarkan
definisi colon, diperoleh ra ∈ (N : M).
Karena (i), (ii), dan (iii) memenuhi sifat ideal, maka terbukti bahwa (N : M) me-
rupakan ideal dari gelanggang R. �
9
Definisi 2.2.8 Modul Multiplikasi [11]
Misalkan M adalah R-modul. M dikatakan modul multiplikasi jika untuk setiap
submodul N dari M , terdapat sebuah ideal I dari R sedemikian sehingga N =
IM .
Contoh 2.2.9 Z8 adalah Z-modul multiplikasi, karena untuk setiap submodul N =
nZ8 di Z-modul Z8, terdapat ideal I = nZ di gelanggang Z sehingga berlaku
N = IZ8 atau nZ8 = (nZ)Z8.
2.3. Pembagi Nol Atas Modul
Konsep elemen pembagi nol pada gelanggang, telah digeneralisasi ke modul
[11]:
Zdv(RM) = {r ∈ R|rx = 0 untuk suatu x ∈M tak nol} .
Selanjutnya akan didefinisikan himpunan pembagi nol pada modul.
Definisi 2.3.1 Pembagi Nol Atas Modul [11]
Misal M adalah R-modul. Himpunan pembagi nol dari M adalah Z(RM) =
{x ∈M |x ∈ Ann(y)M atau y ∈ Ann(x)M untuk suatu 0 6= y ∈M}.
Contoh 2.3.2 Misalkan Z6 adalah Z-modul. Akan ditentukan pembagi nol pada Z6.
Diketahui Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Perhatikan:
Ann(0) = Z, sehingga Ann(0)M = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Ann(1) = 6Z, sehingga Ann(1)M = {0}.
Ann(2) = 3Z, sehingga Ann(2)M = {0, 3}.
Ann(3) = 2Z, sehingga Ann(3)M = {0, 2, 4}.
Ann(4) = 3Z, sehingga Ann(4)M = {0, 3}.
Ann(5) = 6Z, sehingga Ann(5)M = {0}.
Sehingga Z(Z6) = {0, 2, 3, 4}.
10
2.4. Annihilator
Definisi 2.4.1 Annihilator [9]
Diberikan M adalah R-modul. Ann(M) dikatakan himpunan annihilator dari M
jika
Ann(M) = {r ∈ R|rm = 0,∀m ∈M} .
Ideal (0 : M) disebut annihilator dari M ; untuk x ∈ M , kita dapat tulis
Ann(x) untuk ideal Ann(Rx) [11].
Contoh 2.4.2
Jika diberikan Z6 adalah Z6-modul dengan Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, maka himpunan
Ann(Z6) = {0}.
Teorema 2.4.3 Misalkan R adalah gelanggang komutatif dengan identitas, M ada-
lah R-modul multiplikasi dengan annihilator J , A dan B adalah ideal pada R.
Maka AM ⊆ BN jika dan hanya jika A ⊆ B+J atau M = ((B+J) : A)M [14].
2.5. Graf
Definisi 2.5.1 Graf [6]
Sebuah graf G = (V,E), terdiri dari pasangan himpunan tak kosong dari simpul-
simpul yang dinotasikan dengan V (G) dan himpunan sisi yang mungkin kosong,
yang dinotasikan dengan E(G).
Jumlah titik dari sebuah graf G disebut order dengan notasi |G|; jumlah sisi
dari sebuah graf disebut size dinotasikan dengan ||G|| [5].
11
Gambar 2.1 Graf G
Berdasarkan gambar 2.1, graf G memiliki V (G) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan
E(G) = {{1, 2} , {1, 5} , {2, 5} , {3, 4} , {5, 7}}.
Definisi 2.5.2 Ketetanggaan (Adjacency) [11]
Misal G adalah sebuah graf dengan himpunan titik V (G). Untuk dua titik berbeda
x dan y di V (G) dikatakan bertetangga jika xy adalah sebuah sisi di G. Notasi
x− y artinya x dan y bertetangga.
Untuk x ∈ V (G) kita notasikan dengan NG(x) adalah himpunan dari semua
titik di G yang bertetangga dengan x. Size dari NG(x) dinotasikan dengan degG(x)
adalah derajat dari x [11].
Contoh 2.5.3
Graf G pada gambar 2.1, titik 5 bertetangga dengan 7, 2 dan 1, 3 bertetangga dengan
4, dan 1 bertetangga dengan 2, dengan masing-masing notasi 5 − 7, 5 − 2, 5 − 1,
3− 4, dan 1− 2. NG(5) = {1, 2, 7} dan degG(5) = 3.
Definisi 2.5.4 Jalan (Walk) [11]
Sebuah walk berukuran n di graf G diantara dua titik x, y adalah sebuah barisan
terurut dari titik x = x0, x1, . . . , xn = y sedemikian sehingga xi−1 adalah berte-
tangga dengan xi, untuk i = 1, . . . , n. Dinotasikan walk dengan x0−x1−· · ·−xn.
12
Jika setiap titik di walk berbeda maka mendefinisikan sebuah lintasan di G.
Sebuah cycle adalah lintasan x0 − · · · − xn dengan sebuah sisi tambahan x0 − xn.
Girth dari G dinotasikan dengan gr(G), adalah panjang dari cycle terpendek di G
(gr(G) =∞, jika G tidak memiliki cycle) [11].
Contoh 2.5.5 Graf G pada gambar 2.1, terdapat jalan (walk) yaitu 1 − 2 − 5 − 7,
cycle 1− 2− 5− 1, dan gr(G) = 3.
Definisi 2.5.6 Graf Sederhana dan Graf Tidak Sederhana [6]
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori bergantung pada sudut pan-
dang pengelompokkannya. Pengelompokkan graf berdasarkan ada tidaknya sisi
ganda, graf dibagi menjadi dua jenis, yaitu:
1. Graf Sederhana
Graf sederhana yaitu graf yang tidak memiliki sisi ganda ataupun loop.
2. Graf Tidak Sederhana
Graf tidak sederhana yaitu graf yang memiliki sisi ganda ataupun loop.
Ada dua macam graf tidak sederhana, yaitu graf ganda dan graf semu.
Graf ganda adalah graf yang memiliki sisi ganda. Graf semu adalah graf
yang memiliki sisi ganda dan loop.
Definisi 2.5.7 Graf Terhubung [11]
Suatu graf dikatakan terhubung jika untuk sebarang titik x dan y di G terdapat
sebuah lintasan diantara x dan y.
Definisi 2.5.8 Graf Lengkap[5]
Misalkan G adalah sebuah graf. Jika semua titik di graf G adalah pasangan berte-
tangga, maka graf G adalah graf lengkap. Jika ada sebanyak n titik, maka graf G
dinotasikan dengan Kn.
Definisi 2.5.9 Graf Bintang [15]
Graf bintang, yang dinotasikan dengan Sn, adalah graf dengan n + 1 simpul, me-
miliki satu simpul pusat v0 yang terhubung dengan n simpul lainnya.
13
Derajat dari simpul v0 adalah n sedangkan derajat dari semua simpul lainnya
adalah 1.
Gambar 2.2 Graf Bintang S5
Pada gambar 2.2, graf bintang S5 memiliki titik pusat di v0, dimana titik la-
innya terhubung dengan v0. Derajat v0 adalah 5 sedangkan titik lainnya berderajat
1.
Definisi 2.5.10 Graf Bipartit[4]
Sebuah graf G dikatakan bipartit jika V (G) memuat suatu partisi menjadi dua
kelas sedemikian sehingga titik-titik di kelas partisi yang sama tidak boleh ber-
tetangga. Sebuah graf bipartit sederhana yang setiap dua titik dari kelas partisi
berbeda bertetangga disebut graf bipartit lengkap. Misalkan Km,n notasi graf bi-
partit lengkap atas dua himpunan terpisah tak kosong V1 dan V2 dengan |V1| = m
dan |V2| = n.
Gambar 2.3 Graf Bipartit K2,4
14
Pada gambar 2.3, graf bipartit lengkap K2,4 yang himpunan titiknya dipartisi
menjadi dua kelas partisi. Kelas partisi pertama, V1, beranggotakan titik v1 dan v2,
sedangkan kelas partisi kedua, V2, beranggotakan titik v3, v4, v5, v6, dengan |V1| = 2
dan |V2| = 4.
Definisi 2.5.11 Jarak dan Diameter [11]
Untuk x, y ∈ V (G), jarak antara x dan y, dinotasikan dengan d(x, y), adalah pan-
jang lintasan terpendek antara x dan y. Jarak terbesar antara dua titik sebarang
di G, adalah diameter dari G, dinotasikan dengan diam(G).
Contoh 2.5.12 Pada graf G di gambar 2.1, d(1, 7) = 2 dan diam(G) = 2.
15
BAB III
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas definisi graf pembagi nol atas modul (Γ(RM)), de-
finisi graf pembagi nol atas modul multiplikasi (Γ∗(RM)), graf pembagi nol atas
Z-modul Z2×Zp, Z-modul Z3×Zp, dan Z-modul Zp×Zq, serta sifat Γ(RM) jika
diketahui sifat modulnya.
3.1. Graf Pembagi Nol Atas Modul (Γ(RM))
Definisi 3.1.1 Graf Pembagi Nol Atas Modul [11]
Misal M adalah R-modul. Didefinisikan graf pembagi nol atas modul, dinotasikan
dengan Γ(RM), yaitu graf tak berarah dengan titik-titiknya Z∗(RM) = Z(M)\ {0},
dimana x − y adalah sisi diantara titik x dan y yang berbeda jika dan hanya jika
x ∈ Ann(y)M atau y ∈ Ann(x)M .
Contoh 3.1.2
Berikut ini adalah contoh graf pembagi nol atas modul dengan gelanggangnya ada-
lah Z.
1. Z8 adalah Z-modul.
Diketahui Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Cek ketetanggaan:
Ann(0) = Z, sehingga Ann(0)M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Ann(1) = 8Z, sehingga Ann(1)M = {0}
Ann(2) = 4Z, sehingga Ann(2)M = {0, 4}
Ann(3) = 8Z, sehingga Ann(3)M = {0}
Ann(4) = 2Z, sehingga Ann(4)M = {0, 2, 4, 6}
Ann(5) = 8Z, sehingga Ann(5)M = {0}
Ann(6) = 4Z, sehingga Ann(6)M = {0, 4}
Ann(7) = 8Z, sehingga Ann(7)M = {0}
16
Diperoleh, 4 ∈ Ann(2)M dan 4 ∈ Ann(6)M , sehingga 4− 2 dan 4− 6 adalah
sisi pada Γ(ZZ8). Oleh karena itu, bentuk graf Γ(ZZ8):
Gambar 3.1 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z8
2. Z4 × Z4 adalah Z-modul.
Diketahui Z4 = {0, 1, 2, 3}.
Sehingga
Z4 × Z4 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 0),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
Cek ketetanggaan:
Ann((0, 0)) = Z, sehingga Ann((0, 0))M = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0),
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
Ann((0, 1)) = 4Z, sehingga Ann((0, 1))M = {(0, 0)}
Ann((0, 2)) = 2Z, sehingga Ann((0, 2))M = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2)}
Ann((0, 3)) = 4Z, sehingga Ann((0, 3))M = {(0, 0)}
Ann((1, 0)) = 4Z, sehingga Ann((1, 0))M = {(0, 0)}
Ann((1, 1)) = 4Z, sehingga Ann((1, 1))M = {(0, 0)}
Ann((1, 2)) = 4Z, sehingga Ann((1, 2))M = {(0, 0)}
Ann((1, 3)) = 4Z, sehingga Ann((1, 3))M = {(0, 0)}
Ann((2, 0)) = 2Z, sehingga Ann((2, 0))M = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2)}
Ann((2, 1)) = 4Z, sehingga Ann((2, 1))M = {(0, 0)}
Ann((2, 2)) = 2Z, sehingga Ann((2, 2))M = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2)}
Ann((2, 3)) = 4Z, sehingga Ann((2, 3))M = {(0, 0)}
17
Ann((3, 0)) = 4Z, sehingga Ann((3, 0))M = {(0, 0)}
Ann((3, 1)) = 4Z, sehingga Ann((3, 1))M = {(0, 0)}
Ann((3, 2)) = 4Z, sehingga Ann((3, 2))M = {(0, 0)}
Ann((3, 3)) = 4Z, sehingga Ann((3, 3))M = {(0, 0)}
Diperoleh, (2, 0), (2, 2) ∈ Ann((0, 2))M dan (2, 0) ∈ Ann((2, 2)), sehing-
ga (2, 0) − (0, 2), (2, 2) − (0, 2), dan (2, 0) − (2, 2) merupakan sisi pada graf
Γ(ZZ4 × Z4). Oleh karena itu, bentuk graf Γ(ZZ4 × Z4):
Gambar 3.2 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z4 × Z4
3. Z2 × Z8 adalah Z-modul.
Diketahui Z2 = {0, 1} dan Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Sehingga
Z2 × Z8 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (0, 7), (1, 0),
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (1, 7)}
Cek ketetanggaan:
Ann((0, 0)) = Z, sehingga Ann((0, 0))M = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4),
(0, 5), (0, 6), (0, 7), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (1, 7)}
Ann((0, 1)) = 8Z, sehingga Ann((0, 1))M = {(0, 0)}
Ann((0, 2)) = 4Z, sehingga Ann((0, 2))M = {(0, 0), (0, 4)}
Ann((0, 3)) = 8Z, sehingga Ann((0, 3))M = {(0, 0)}
Ann((0, 4)) = 2Z, sehingga Ann((0, 4))M = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (0, 6)}
Ann((0, 5)) = 8Z, sehingga Ann((0, 5))M = {(0, 0)}
Ann((0, 6)) = 4Z, sehingga Ann((0, 6))M = {(0, 0), (0, 4)}
18
Ann((0, 7)) = 8Z, sehingga Ann((0, 7))M = {(0, 0)}
Ann((1, 0)) = 2Z, sehingga Ann((1, 0))M = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (0, 6)}
Ann((1, 1)) = 8Z, sehingga Ann((1, 1))M = {(0, 0)}
Ann(((1, 2))) = 4Z, sehingga Ann(((1, 2)))M = {(0, 0), (0, 4)}
Ann((1, 3)) = 8Z, sehingga Ann((1, 3))M = {(0, 0)}
Ann((1, 4)) = 2Z, sehingga Ann((1, 4))M = {(0, 0), (0, 2), (0, 4), (0, 6)}
Ann((1, 5)) = 8Z, sehingga Ann((1, 5))M = {(0, 0)}
Ann((1, 6)) = 4Z, sehingga Ann((1, 6))M = {(0, 0), (0, 4)}
Ann((1, 7)) = 8Z, sehingga Ann((1, 7))M = {(0, 0)}
Diperoleh, (0, 2), (0, 4), (0, 6) ∈ Ann((1, 0)), artinya (0, 2) − (1, 0), (0, 4) −
(1, 0), (0, 6)− (1, 0) adalah sisi di graf Γ(ZZ2 × Z8), dan (0, 2), (0, 4), (0, 6) ∈
Ann((1, 4)), artinya (0, 2) − (1, 4), (0, 4) − (1, 4), (0, 6) − (1, 4) adalah si-
si di graf Γ(ZZ2 × Z8). Lalu (0, 4) ∈ Ann((0, 2))M , (0, 4) ∈ Ann((0, 6))M ,
(0, 4) ∈ Ann((1, 2))M , (0, dan4) ∈ Ann((1, 6))M , yang artinya (0, 4)−(0, 2),
(0, 4) − (0, 6), (0, 4) − (1, 2), dan (0, 4) − (1, 6) masing-masing adalah sisi di
graf Γ(ZZ2 × Z8). Oleh karena itu, bentuk graf Γ(ZZ2 × Z8):
Gambar 3.3 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z2 × Z8
19
3.2. Graf Pembagi Nol Atas Modul Multiplikasi Γ∗(RM)
Misalkan M adalah R-modul multiplikasi dan N = IM dan K = JM adalah
submodul dari M dimana I dan J adalah ideal atas gelanggang R. Hasil dari N dan
K, dinotasikan dengan N ∗K, didefinisikan sebagai IJM [11].
Definisi 3.2.1 Graf Pembagi Nol Atas Modul Multiplikasi [11]
Misalkan M adalah R-modul multiplikasi. Didefinisikan graf pembagi nol atas
modul multiplikasi, dinotasikan dengan Γ∗(RM), adalah graf tak berarah dengan
titik-titiknya {0 6= x ∈M |Rx ∗Ry = 0 untuk suatu y ∈M}, dimana titik berbeda
x dan y bertetangga jika dan hanya jika Rx ∗Ry = 0.
Contoh 3.2.2 Misalkan Z8 adalah Z-modul multiplikasi.
Diketahui Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Z1 = Z8.
Z2 = 2Z8 = (2Z)Z8.
Z3 = Z8.
Z4 = 4Z8 = (4Z)Z8.
Z5 = Z8.
Z6 = 2Z8 = (2Z)Z8.
Z7 = Z8.
Cek ketetanggaan:
Z2 ∗ Z4 = (2Z)(4Z)Z8 = 0.
Z6 ∗ Z4 = (2Z)(4Z)Z8 = 0.
Z2 ∗ Z6 = (2Z)(2Z)Z8 = (4Z)Z8 6= 0.
Diperoleh 4 bertetangga dengan 2 dan 6. Sehingga bentuk graf Γ∗(ZZ8):
20
Gambar 3.4 Graf Pembagi Nol Atas Modul Multiplikasi Z8
3.3. Graf Pembagi Nol Z-modul Z2 × Zp (Γ(ZZ2 × Zp)), Z-modul Z3 × Zp
(Γ(ZZ3 × Zp)), dan Z-modul Zp × Zq (Γ(ZZp × Zq))
Teorema 3.3.1 Misalkan Z2 × Zp adalah modul atas gelanggang Z, dimana p pri-
ma. Maka graf pembagi nol atas modul Z2×Zp, dilambangkan dengan Γ(ZZ2×Zp)
adalah graf bintang Sp−1.
Bukti. Diketahui Z2 × Zp adalah modul atas gelanggang Z, dimana p prima. Akan
dibuktikan graf Γ(ZZ2 × Zp) adalah graf bintang Sp−1, yaitu graf Γ(ZZ2 × Zp)
memiliki satu titik pusat yang terhubung dengan p− 1 titik lainnya, dan titik pusat
berderajat p− 1 sedangkan titik lainnya berderajat 1. Untuk melihat titik-titik pada
graf Γ(ZZ2 × Zp) dan melihat ketetanggaan antar titik-titik tersebut, kita buat tabel
ketetanggaan berikut:
Tabel 3.1 Tabel Ketetanggaan Graf Γ(ZZ2 × Zp)
x ∈ Z2 × Zp Ann(x) Ann(x)Z2 × Zp
(1, 0) 2Z{
(0, 0), (0, 1), · · · , (0, p− 1)}
(0, b), dengan 0 6= b ∈ Zp pZ {(0, 0), (1, 0)}
(1, b), dengan 0 6= b ∈ Zp 2pZ {(0, 0)}
Diperoleh (0, b) ∈ Ann((1, 0))(Z2 × Zp) dan (1, 0) ∈ Ann((0, b))(Z2 × Zp),
dengan 0 6= b ∈ Zp, sehingga (1, 0) bertetangga dengan (0, 1), (0, 2), · · · , (0, p− 1).
Oleh karena itu, (1, 0) merupakan titik pusat yang bertetangga dengan titik-titik
(0, 1), (0, 2), · · · , (0, p− 1). Titik pusat (1, 0) berderajat p − 1 sedangkan titik-
21
titik (0, 1), (0, 2), · · · , (0, p− 1) masing-masing berderajat 1. Terbukti bahwa graf
Γ(ZZ2 × Zp) adalah graf bintang Sp−1. �
Contoh 3.3.2
Z2 × Z7 adalah Z-modul.
Diketahui
Z2 × Z7 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 0), (1, 1), (1, 2),
(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}
Cek ketetanggaan:
Ann((0, 0)) = Z, sehingga Ann((0, 0))(Z2 × Z7) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),
(0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6)}
Ann((0, 1)) = 7Z, sehingga Ann((0, 1))(Z2 × Z7) = {(0, 0), (1, 0)}
Ann((0, 2)) = 7Z, sehingga Ann((0, 2))(Z2 × Z7) = {(0, 0), (1, 0)}
Ann((0, 3)) = 7Z, sehingga Ann((0, 3))(Z2 × Z7) = {(0, 0), (1, 0)}
Ann((0, 4)) = 7Z, sehingga Ann((0, 4))(Z2 × Z7) = {(0, 0), (1, 0)}
Ann((0, 5)) = 7Z, sehingga Ann((0, 5))(Z2 × Z7) = {(0, 0), (1, 0)}
Ann((0, 6)) = 7Z, sehingga Ann((0, 6))(Z2 × Z7) = {(0, 0), (1, 0)}
Ann((1, 0)) = 2Z, sehingga Ann((1, 0))(Z2 × Z7) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),
(0, 4), (0, 5), (0, 6)}
Ann((1, 1)) = 14Z, sehingga Ann((1, 1))(Z2 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((1, 2)) = 14Z, sehingga Ann((1, 2))(Z2 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((1, 3)) = 14Z, sehingga Ann((1, 3))(Z2 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((1, 4)) = 14Z, sehingga Ann((1, 4))(Z2 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((1, 5)) = 14Z, sehingga Ann((1, 5))(Z2 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((1, 6)) = 14Z, sehingga Ann((1, 6))(Z2 × Z7) = {(0, 0)}
Diperoleh (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6) ∈ Ann((1, 0))(Z2 × Z7), artinya
(0, 1)−(1, 0), (0, 2)−(1, 0), (0, 3)−(1, 0), (0, 4)−(1, 0), (0, 5)−(1, 0), dan (0, 6)−
(1, 0) merupakan sisi di graf Γ(ZZ2 × Z7). Sehingga bentuk graf Γ(ZZ2 × Z7):
22
Gambar 3.5 Graf Γ(ZZ2 × Z7)
Dari gambar di atas terlihat bahwa graf Γ(ZZ2 × Z7) adalah graf bintang S6.
Karena graf Γ(ZZ2×Zp) adalah graf bintang Sp−1, maka graf Γ(Z2×ZpZ2×Zp)
adalah graf bintang Sp−1 juga.
Teorema 3.3.3 Misalkan Z3 × Zp adalah modul atas gelanggang Z, dimana p pri-
ma. Maka graf pembagi nol atas modul Z3×Zp, dilambangkan dengan Γ(ZZ3×Zp)
adalah graf bipartit lengkap K2,p−1.
Bukti. Diketahui Z3 × Zp adalah modul atas gelanggang Z, dimana p prima. Akan
dibuktikan graf Γ(ZZ3 × Zp) adalah graf bipartit lengkap K2,p−1, yaitu graf yang
himpunan titiknya dipartisi menjadi dua kelas partisi dan untuk setiap titik dari
kelas pertisi yang sama tidak bertetangga, serta untuk setiap dua titik dari kelas
partisi berbeda bertetangga. Untuk melihat titik-titik pada graf Γ(ZZ3 × Zp) dan
melihat ketetanggaan antar titik-titik tersebut, kita buat tabel ketetanggaan berikut:
23
Tabel 3.2 Tabel Ketetanggaan Graf Γ(ZZ3 × Zp)
x ∈ Z3 × Zp Ann(x) Ann(x)Z3 × Zp
(1, 0) 3Z{
(0, 0), (0, 1), · · · , (0, p− 1)}
(2, 0) 3Z{
(0, 0), (0, 1), · · · , (0, p− 1)}
(0, b), dengan 0 6= b ∈ Zp pZ {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}
(1, b), dengan 0 6= b ∈ Zp 3pZ {(0, 0)}
(2, b), dengan 0 6= b ∈ Zp 3pZ {(0, 0)}
Diperoleh (0, b) ∈ Ann((1, 0))(Z3 × Zp) dan (0, b) ∈ Ann((2, 0))(Z3 ×
Zp), serta (1, 0), (2, 0) ∈ Ann((0, b))(Z3 × Zp), dengan 0 6= b ∈ Zp, sehing-
ga (1, 0) dan (2, 0) bertetangga dengan (0, 1), (0, 2), · · · , (0, p− 1). Oleh karena
itu, kita dapat partisi himpunan titik menjadi dua kelas partisi. Kelas partisi perta-
ma beranggotakan (1, 0) dan (2, 0), sedangkan kelas partisi kedua beranggotakan
(0, 1), (0, 2), · · · , (0, p− 1). Dapat dilihat (1, 0) dan (2, 0) tidak bertetangga, begitu
pula dengan titik-titik (0, 1), (0, 2), · · · , (0, p− 1) tidak saling bertetangga. Terbuk-
ti bahwa graf Γ(ZZ3 × Zp) adalah graf bipartit lengkap K2,p−1. �
Contoh 3.3.4
Z3 × Z5 adalah Z-modul.
Diketahui
Z3 × Z5 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),
(2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}
Cek ketetanggaan:
Ann((0, 0)) = Z, sehingga Ann((0, 0))(Z3 × Z5) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),
(0, 4), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}
Ann((0, 1)) = 5Z, sehingga Ann((0, 1))(Z3 × Z5) = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}
Ann((0, 2)) = 5Z, sehingga Ann((0, 2))(Z3 × Z5) = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}
Ann((0, 3)) = 5Z, sehingga Ann((0, 3))(Z3 × Z5) = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}
Ann((0, 4)) = 5Z, sehingga Ann((0, 4))(Z3 × Z5) = {(0, 0), (1, 0), (2, 0)}
Ann((1, 0)) = 3Z, sehingga Ann((1, 0))(Z3 × Z5) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),
24
(0, 4)}
Ann((1, 1)) = 15Z, sehingga Ann((1, 1))(Z3 × Z5) = {(0, 0)}
Ann((1, 2)) = 15Z, sehingga Ann((1, 2))(Z3 × Z5) = {(0, 0)}
Ann((1, 3)) = 15Z, sehingga Ann((1, 3))(Z3 × Z5) = {(0, 0)}
Ann((1, 4)) = 15Z, sehingga Ann((1, 4))(Z3 × Z5) = {(0, 0)}
Ann((2, 0)) = 3Z, sehingga Ann((2, 0))(Z3 × Z5) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),
(0, 4)}
Ann((2, 1)) = 15Z, sehingga Ann((2, 1))(Z3 × Z5) = {(0, 0)}
Ann((2, 2)) = 15Z, sehingga Ann((2, 2))(Z3 × Z5) = {(0, 0)}
Ann((2, 3)) = 15Z, sehingga Ann((2, 3))(Z3 × Z5) = {(0, 0)}
Ann((2, 4)) = 15Z, sehingga Ann((2, 4))(Z3 × Z5) = {(0, 0)}
Diperoleh (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4) ∈ Ann((1, 0))(Z3×Z5) dan (0, 1), (0, 2), (0, 3),
(0, 4) ∈ Ann((2, 0))(Z3×Z5), artinya (0, 1)− (1, 0), (0, 2)− (1, 0), (0, 3)− (1, 0),
(0, 4) − (1, 0) dan (0, 1) − (2, 0), (0, 2) − (2, 0), (0, 3) − (2, 0), (0, 4) − (2, 0) me-
rupakan sisi di graf Γ(ZZ3 × Z5). Sehingga bentuk graf Γ(ZZ3 × Z5):
Gambar 3.6 Graf Γ(ZZ3 × Z5)
Dari gambar di atas terlihat bahwa graf Γ(ZZ3×Z5) adalah graf bipartit leng-
kap K2,4.
Karena graf Γ(ZZ3 × Zp) adalah graf bipartit lengkap K2,p−1, maka diperoleh
graf Γ(Z3×ZpZ3 × Zp) adalah graf bipartit lengkap K2,p−1 juga.
Teorema 3.3.5 Misalkan Zp × Zq adalah modul atas gelanggang Z, dimana p dan
q prima dan p 6= q. Maka graf pembagi nol atas modul Zp × Zq, dilambangkan
dengan Γ(ZZp × Zq) adalah graf bipartit lengkap Kp−1,q−1.
25
Bukti. Diketahui Zp × Zq adalah modul atas gelanggang Z, dimana p dan q prima
dan p 6= q. Akan dibuktikan graf Γ(ZZp×Zq) adalah graf bipartit lengkap Kp−1,q−1,
yaitu graf yang himpunan titiknya dipartisi menjadi dua kelas partisi dan untuk
setiap titik dari kelas partisi yang sama tidak bertetangga, serta untuk setiap dua titik
dari kelas partisi berbeda bertetangga. Untuk melihat titik-titik pada graf Γ(ZZp ×
Zq) dan melihat ketetanggaan antar titik-titik tersebut, kita buat tabel ketetanggaan
berikut:
Tabel 3.3 Tabel Ketetanggaan Graf Γ(ZZp × Zq)
x ∈ Zp × Zq Ann(x) Ann(x)Zp × Zq
(a, 0) dengan 0 6= a ∈ Zp pZ{
(0, 0), (0, 1), (0, 2), · · · , (0, q − 1)}
(0, b), dengan 0 6= b ∈ Zq qZ{
(0, 0), (1, 0), (2, 0), · · · , (p− 1, 0)}
(a, b) dengan 0 6= a ∈ Zp pqZ {(0, 0)}
dan 0 6= b ∈ Zq
Diperoleh{
(0, 1), · · · , (0, q − 1)}∈ Ann((a, 0))(Zp×Zq) dan {(1, 0), (2, 0),
· · · , (p− 1, 0)}∈ Ann((b, 0))(Zp×Zq), akibatnya untuk setiap titik pada {(0, 1),
· · · , (0, q − 1)}
bertetangga dengan semua titik pada {(0, 0), (1, 0), (2, 0), · · · ,
(p− 1, 0)}
. Oleh sebab itu, kita dapat partisi himpunan titik menjadi dua kelas par-
tisi. Kelas partisi pertama beranggotakan{
(1, 0), (2, 0), · · · , (p− 1, 0)}
dan kelas
patisi kedua beranggotakan{
(0, 1), (0, 2), · · · , (0, q − 1)}
. Dapat dilihat {(1, 0),
(2, 0), · · · , (p− 1, 0)}
tidak saling bertetangga, begitu pula dengan {(0, 1), (0, 2),
· · · , (0, q − 1)}
tidak saling bertetangga. Terbukti bahwa graf Γ(ZZp × Zq) adalah
graf bipartit lengkap Kp−1,q−1. �
Untuk Z-modul Zp × Zq, dimana p dan q prima dan p = q tidak dapat mem-
bentuk graf pembagi nol. Karena untuk sebarang (0, 0) 6= (a, b) ∈ Zp × Zq,
Ann((a, b)) = pZ = qZ. Sehingga Ann((a, b))(Zp × Zq) = (0, 0). Akibatnya
Z∗(Γ(ZZp × Zq)) = ∅ sehingga tidak memiliki himpunan titik. Jadi, Z-modul
Zp × Zq, dimana p dan q prima dan p = q tidak dapat membentuk graf pemba-
gi nol.
26
Contoh 3.3.6
Z5 × Z7 adalah Z-modul.
Diketahui
Z5 × Z7 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 0), (1, 1), (1, 2),
(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
(2, 6), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 0), (4, 1),
(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}
Cek ketetanggaan:
Ann((0, 1)) = 7Z, sehingga Ann((0, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0),
(4, 0)}
Ann((0, 2)) = 7Z, sehingga Ann((0, 2))(Z5 × Z7) = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0),
(4, 0)}
Ann((0, 3)) = 7Z, sehingga Ann((0, 3))(Z5 × Z7) = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0),
(4, 0)}
Ann((0, 4)) = 7Z, sehingga Ann((0, 4))(Z5 × Z7) = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0),
(4, 0)}
Ann((0, 5)) = 7Z, sehingga Ann((0, 5))(Z5 × Z7) = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0),
(4, 0)}
Ann((0, 6)) = 7Z, sehingga Ann((0, 6))(Z5 × Z7) = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0),
(4, 0)}
Ann((1, 0)) = 5Z, sehingga Ann((1, 0))(Z5 × Z7) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),
(0, 4), (0, 5), (0, 6)}
Ann((1, 1)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((1, 2)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((1, 3)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((1, 4)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((1, 5)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((1, 6)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((2, 0)) = 5Z, sehingga Ann((2, 0))(Z5 × Z7) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),
(0, 4), (0, 5), (0, 6)}
27
Ann((2, 1)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((2, 2)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((2, 3)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((2, 4)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((2, 5)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((2, 6)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((3, 0)) = 5Z, sehingga Ann((3, 0))(Z5 × Z7) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),
(0, 4), (0, 5), (0, 6)}
Ann((3, 1)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((3, 2)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((3, 3)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((3, 4)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((3, 5)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((3, 6)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((4, 0)) = 5Z, sehingga Ann((4, 0))(Z5 × Z7) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),
(0, 4), (0, 5), (0, 6)}
Ann((4, 1)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((4, 2)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((4, 3)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((4, 4)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((4, 5)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Ann((4, 6)) = 35Z, sehingga Ann((1, 1))(Z5 × Z7) = {(0, 0)}
Diperoleh, {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6)} ∈ Ann((1, 0))(Z5 × Z7),
{(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6)} ∈ Ann((2, 0))(Z5 × Z7), {(0, 1), (0, 2),
(0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6)} ∈ Ann((3, 0))(Z5 × Z7), {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3),
(0, 4), (0, 5), (0, 6)} ∈ Ann((4, 0))(Z5 × Z7) dan {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0)} ∈
Ann((0, 1)), {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0)} ∈ Ann((0, 2)), {(1, 0), (2, 0), (3, 0),
(4, 0)} ∈ Ann((0, 3)), {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0)} ∈ Ann((0, 4)), artinya un-
tuk setiap titik di (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0) akan bertetangga dengan setiap titik di
{(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6)}, sehingga bentuk graf Γ(ZZ5 × Z7):
28
Gambar 3.7 Graf Γ(ZZ5 × Z7)
Dari gambar di atas terlihat bahwa graf Γ(ZZ5×Z7) adalah graf bipartit leng-
kap K4,6.
Karena graf Γ(ZZp×Zq) adalah graf bipartit lengkap Kp−1,q−1, maka diperoleh
graf Γ(Zp×ZqZp × Zq) adalah graf bipartit lengkap Kp−1,q−1 juga.
3.4. Sifat Dasar Graf Γ(RM)
Proposisi 3.4.1 Misalkan M adalah R-modul. Maka pernyataan berikut ekivalen:
1. Γ(RM) = ∅, yaitu Z(M) = {0}.
2. Zdv(M) = Ann(M).
3. M adalah R-modul prima.
Bukti.
(1)⇒ (2) Diketahui Γ(RM) = ∅ yaitu Z(M) = {0}. Akan dibuktikan Zdv(M) =
Ann(M). Berdasarkan definisi Z(M), maka 0 ∈ Ann(y)M untuk suatu 0 6= y ∈
M . Oleh karena itu terdapat r1, . . . , rn ∈ Ann(y) dan m1, . . . ,mn ∈ M sedemi-
kian sehingga 0 = r1m1 + · · · + rnmn. Oleh karena itu rimi = 0 untuk setiap
1 ≤ i ≤ n. Berdasarkan definisi, Zdv(M) = Ann(M).
(2) ⇒ (1) Diketahui Zdv(M) = Ann(M). Akan dibuktikan Γ(RM) = ∅, ya-
itu Z(M) = {0}. Andaikan Γ(RM) 6= ∅, yaitu Z(M) 6= {0}. Artinya terdapat
x, Y ∈ Z∗(RM) sedemikian sehingga x ∈ Ann(y)M . Oleh karena itu terdapat
29
r1, . . . , rn ∈ Ann(y)dan z1, . . . , zn ∈ M sedemikian sehingga x = r1z1 + · · · +
rnzn. Karena riy = 0 maka ri ∈ Zdv(M), untuk setiap 1 ≤ i ≤ n. Akibatnya
ri ∈ Ann(M), untuk setiap 1 ≤ i ≤ n. Oleh karena itu, rizi = 0, untuk setiap
1 ≤ i ≤ n. Akibatnya x = 0. Hal ini kontradiksi dengan asumsi x 6= 0. Maka
pengandaian salah. Haruslah Γ(RM) = ∅, yaitu Z(M) = {0}.
(1) ⇒ (3) Diketahui Γ(RM) = ∅, artinya Z(M) = {0}. Akan dibuktikan M ada-
lah modul prima. Andaikan M bukan modul prima, maka terdapat r ∈ R\Ann(M)
dan elemen tak nol x ∈M sedemikian sehingga rx = 0. Karena r /∈ Ann(M), ma-
ka terdapat elemen tak nol y ∈ M sedemikian sehingga ry = 0. Akibatnya ry − x
adalah sisi di Γ(RM) dan karenanya Γ(RM) 6= ∅. Hal ini kontradiksi dengan asum-
si Γ(RM) = ∅. Maka pengandaian salah. Haruslah M adalah modul prima.
(3) ⇒ (1) Diketahui M adalah R-modul prima, artinya untuk rx = 0 dimana
x ∈ M dan r ∈ R berakibat x = 0 atau rM − 0. Akan dibuktikan Γ(RM) = ∅,
yaitu Z(M) = {0}. Andaikan Γ(RM) 6= ∅, maka terdapat x, y ∈ Z∗(RM) sede-
mikian sehingga x ∈ Ann(y)M . Oleh karena itu terdapat r1, . . . , rn ∈ Ann(y)M
dan z1, . . . , zn ∈ M sedemikian sehingga x = r1z1 + · · · + rnzn. Karena riy = 0
umtuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan M adalah modul prima, kita punya riM = 0, umtuk
setiap 1 ≤ i ≤ n. Akibatnya x = 0. Hal ini kontradiksi dengan asumsi x 6=). Maka
pengandaian salah. Haruslah Γ(RM) = ∅.
(2) ⇒ (3) Diketahui Zdv(M) = Ann(M), artinya Zdv(M) = (0 : M) sehingga
Zdv(M) = {r ∈ R|rM = 0}. Akan dibuktikan M adalah modul prima. Berda-
sarkan definisi, jelas bahwa M adalah modul prima.
(3)⇒ (2) Diketahui M adalah modul prima. Akan dibuktikan Ann(M) = Zdv(M).
Berdasarkan definisi 2.2.5, kita punya rx = 0 untuk suatu x ∈ M , r ∈ R beraki-
bat x = 0 atau rM = (0). Berdasarkan definisi 2.4.1, Ann(M) = (0 : M) =
{e ∈ R|rM = 0}. Karena M modul prima, maka Ann(M) = Zdv(M). �
Akibat 3.4.2 Misalkan R adalah gelanggang. Maka R adalah lapangan jika dan
hanya jika Γ(RM) = ∅ untuk setiap R-modul M .
30
Bukti.
⇒Diketahui R adalah lapangan. Akan dibuktikan Γ(RM) = ∅. Karena R lapangan,
maka R adalah daerah integral sehingga berdasarkan proposisi 3.4.1 mengakibatk-
an Γ(RM) = ∅.
⇐ Diketahui Γ(RM) = ∅, untuk setiap R-modul M . Akan dibuktikan R adalah
lapangan. Andaikan m adalah ideal maksimal tak nol dari R dan 0 6= x ∈ m.
Himpunan M = R/m × R. Maka, (0, x) ∈ Ann(1 + m, 0)M . Oleh karena itu,
(0, x) bertetangga dengan (1 +m, 0). Jadi, Γ(RM) 6= ∅. Hal ini kontradiksi dengan
Γ(RM) = ∅. Maka pengandaian salah. Haruslah m = 0, akibatnya R adalah la-
pangan. �
Lema 3.4.3 Misalkan M adalah R-modul, x, y ∈M dan r ∈ R. Jika x− y adalah
sebuah sisi di Γ(RM), maka ry ∈ {0, x} atau x− ry adalah sisi di Γ(RM).
Bukti. Diketahui x dan y adalah dua titik berbeda di Γ(RM) dan x−y adalah sebuah
sisi di Γ(RM). Akan dibuktikan ry ∈ {0, x} atau x − ry adalah sisi di Γ(RM).
Misalkan ry /∈ {0, x}. Jika x ∈ Ann(y)M , maka x ∈ Ann(ry)M , dan karenanya,
x dan ry adalah bertetangga. Jika y ∈ Ann(x)M , maka ry ∈ Ann(x)M , dan
karenanya x dan ry bertetangga. �
Teorema 3.4.4 Misalkan M adalah R-modul. Maka Γ(RM) terhubung dengan
diam(Γ(RM)) ≤ 3.
Bukti. Diketahui M adalah R-modul dan x, y ∈M adalah titik berbeda di Γ(RM).
Akan dibuktikan diam(Γ(RM)) ≤ 3. Jika x ∈ Ann(y)M atau y ∈ Ann(x)M ,
maka d(x, y) = 1. Jadi, anggap d(x, y) 6= 1. Terdapat sebuah titik x′ di Γ(RM)
sedemikian sehingga x ∈ Ann(x′)M atau x
′ ∈ Ann(x)M . Kita bagi menjadi dua
kasus:
Kasus 1 Terdapat sebuah titik y′ di Γ(RM) sedemikian sehingga y ∈ Ann(y
′)M .
Maka terdapat r1, . . . , rn ∈ Ann(y′) dan z1, . . . , zn ∈ M sedemikian sehingga
y = r1z1 + · · ·+ rnzn. Jika rix′= 0 untuk setiap i, maka x− x
′ − y adalah sebuah
lintasan dengan panjang 2. Jika rix′ 6= 0 untuk suatu 1 ≤ i ≤ n, maka berdasarkan
lema, x− rix′ − y
′ − y adalah sebuah walk, dan karenanya d(x, y) ≤ 3.
31
Kasus 2 Terdapat sebuah titik y′ di Γ(RM) sedemikian sehingga y
′ ∈ Ann(y)M .
Maka terdapat r1, . . . , rn ∈ Ann(y) dan z1, . . . , zn ∈ M sedemikian sehingga
y′= r1z1 + · · ·+ rnzn. Jika rix = 0 untuk setiap i, maka x− y
′ − y adalah sebuah
lintasan dengan panjang 2. Jika rix 6= 0 untuk suatu 1 ≤ i ≤ n, maka berdasarkan
lema, x− x′ − rix− y adalah sebuah walk, dan karenanya d(x, y) ≤ 3. �
Contoh 3.4.5
Z6 adalah Z-modul.
Diketahui Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Cek ketetanggaan:
Ann(1) = 6Z, sehingga Ann(1)M = {0}.
Ann(2) = 3Z, sehingga Ann(2)M = {0, 3}.
Ann(3) = 2Z, sehingga Ann(3)M = {0, 2, 4}.
Ann(4) = 3Z, sehingga Ann(4)M = {0, 3}.
Ann(5) = 6Z, sehingga Ann(5)M = {0}.
Diperoleh, 3 ∈ Ann(2)M dan 4 ∈ Ann(3)M , sehingga 3− 2 dan 4− 3 adalah sisi
pada Γ(ZZ6). Oleh karena itu, bentuk graf Γ(ZZ6):
Gambar 3.8 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z6
Dari gambar di atas, terlihat graf Γ(ZZ6) berdiameter 2.
Teorema 3.4.6 Misal M adalah R-modul. Jika Γ(RM) memuat sebuah cycle, maka
gr(Γ(RM)) ≤ 4
Bukti. Misalkan x0−x1−x2−· · ·−xn−x0 adalah cycle di Γ(RM). Akan dibuktikan
gr(Γ(RM)) ≤ 4. Jika n ≤ 4, maka jelas terbukti. Jadi, kita misalkan n ≥ 5. Kita
32
bagi menjadi dua kasus:
Kasus 1: xn−1 ∈ Ann(xn)M . Maka, ∃r1, . . . , rm ∈ Ann(xn) dan z1, . . . , zm ∈ M
sedemikian sehingga xn−1 = r1z1 + · · · + rmzm. Jika rix1 = 0 untuk setiap 1 ≤
i ≤ m, maka x1−xn−1 adalah sebuah sisi, dan karenanya x1−xn−1−xn−x0−x1
adalah sebuah cycle dengan panjang 4. Misalkan rix1 6= 0 untuk suatu 1 ≤ i ≤ m.
Jika rix1 = x0, maka x0 − x2 adalah sebuah sisi dan karenanya x0 − x1 − x2 − x0
adalah sebuah cycle dengan panjang 3. Jika rix1 = xn, maka x2−xn adalah sebuah
sisi dan karenanya x2 − x1 − x0 − xn − x2 adalah sebuah cycle dengan panjang
4. Jadi, anggap rix1 /∈ {x0, xn}. Maka x0 − rix1 − xn − x0 adalah sebuah cycle
dengan panjang 3.
Kasus 2: xn ∈ Ann(xn−1)M . Maka ∃r1, . . . , rm ∈ Ann(xn−1) dan z1, . . . , zm ∈
M sedemikian sehingga xn = r1z1 + · · · + rmzm. Jika rix1 = 0 untuk setiap
1 ≤ i ≤ m, maka x1 − xn adalah sebuah sisi dan karenanya xn − x0 − x1 − xn
adalah sebuah cycle dengan panjang 3. Anggap rix1 6= 0 untuk suatu 1 ≤ i ≤ m.
Jika rix1 = x0, maka x0 − x2 adalah sebuah sisi dan karenanya x0 − x1 − x2 − x0
adalah sebuah cycle dengan panjang 3. Jika rix1 = xn−1, maka x0 − xn−1 adalah
sebuah sisi dan karenanya x0−xn−xn−1−x0 adalah sebuah cycle dengan panjang
3. Jadi, anggap rix1 /∈ {x0, xn−1}. Maka x0− rix1−xn−1−xn−x0 adalah sebuah
cycle dengan panjang 4. �
Contoh 3.4.7
Z4 × Z5 adalah Z-modul.
Diketahui Z4 = {0, 1, 2, 3} dan Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}.
Sehingga
Z4 × Z5 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),
(2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}
Cek ketetanggaan:
Ann((0, 1)) = 5Z, sehingga Ann((0, 1))M = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0)}.
Ann((0, 2)) = 5Z, sehingga Ann((0, 2))M = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0)}.
Ann((0, 3)) = 5Z, sehingga Ann((0, 3))M = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0)}.
33
Ann((0, 4)) = 5Z, sehingga Ann((0, 4))M = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0)}.
Ann((1, 0)) = 4Z, sehingga Ann((1, 0))M = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4)}.
Ann((1, 1)) = 20Z, sehingga Ann((1, 1))M = {(0, 0)}.
Ann((1, 2)) = 20Z, sehingga Ann((1, 2))M = {(0, 0)}.
Ann((1, 3)) = 20Z, sehingga Ann((1, 3))M = {(0, 0)}.
Ann((1, 4)) = 20Z, sehingga Ann((1, 4))M = {(0, 0)}.
Ann((2, 0)) = 2Z, sehingga Ann((2, 0))M = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4),
(2, 0), (2, 2)}.
Ann((2, 1)) = 10Z, sehingga Ann((2, 1))M = {(0, 0), (2, 0)}.
Ann((2, 2)) = 10Z, sehingga Ann((2, 2))M = {(0, 0), (2, 0)}.
Ann((2, 3)) = 10Z, sehingga Ann((2, 3))M = {(0, 0), (2, 0)}.
Ann((2, 4)) = 10Z, sehingga Ann((2, 4))M = {(0, 0), (2, 0)}.
Ann((3, 0)) = 4Z, sehingga Ann((3, 0))M = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4)}.
Ann((3, 1)) = 20Z, sehingga Ann((3, 1))M = {(0, 0)}.
Ann((3, 2)) = 20Z, sehingga Ann((3, 2))M = {(0, 0)}.
Ann((3, 3)) = 20Z, sehingga Ann((3, 3))M = {(0, 0)}.
Ann((3, 4)) = 20Z, sehingga Ann((3, 4))M = {(0, 0)}.
Diperoleh, (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4) ∈ Ann((1, 0))M ,
(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (2, 0), (2, 2) ∈ Ann((2, 0))M , dan
(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4) ∈ Ann((3, 0))M . Lalu (2, 0) ∈ Ann((2, 1)),
(2, 0) ∈ Ann((2, 2)), (2, 0) ∈ Ann((2, 3)), dan (2, 0) ∈ Ann((2, 4)).
Sehingga (0, 1)− (1, 0), (0, 2)− (1, 0), (0, 3)− (1, 0), (0, 4)− (1, 0), (0, 1)− (2, 0),
(0, 2)− (2, 0), (0, 3)− (2, 0), (0, 4)− (2, 0), (0, 1)− (3, 0), (0, 2)− (3, 0), (0, 3)−
(3, 0), dan (0, 4) − (3, 0), serta (2, 1) − (2, 0), (2, 2) − (2, 0), (2, 3) − (2, 0), dan
(2, 4)− (2, 0) adalah sisi pada Γ(ZZ4 × Z5). Oleh karena itu, bentuk graf Γ(ZZ4 ×
Z5):
34
Gambar 3.9 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z4 × Z5
Dari gambar di atas, terlihat graf Γ(ZZ4 × Z5) memiliki girth sama dengan 4.
Teorema 3.4.8 Misalkan M adalah R-modul. Jika Γ(RM) memiliki lintasan de-
ngan panjang empat, maka Γ(RM) memiliki sebuah cycle.
Bukti. Misalkan x1 − x2 − x3 − x4 − x5 adalah lintasan dengan panjang empat.
Akan dibuktikan Γ(RM) memiliki sebuah cycle. Kita bagi menjadi dua kasus:
Kasus 1: x1 ∈ Ann(x2)M . Maka, terdapat r1, . . . , rn ∈ Ann(x2) dan y1, . . . , yn ∈
M sedemikian sehingga x1 = r1y1 + · · · + rnyn. Jika rix4 = 0 untuk setiap 1 ≤
i ≤ n, maka x1 dan x4 bertetangga dan karenanya x1 − x2 − x3 − x4 − x1 adalah
sebuah cycle. Sekarang misalkan z = rix4 6= 0 untuk suatu 1 ≤ i ≤ n. Maka kita
punya subkasus berikut:
Subkasus 1.1: z = x1. Maka x1 − x2 − x3 − x4 − x5 − x1 adalah sebuah cycle.
Subkasus 1.2: z = x2. Maka x2 − x3 − x4 − x5 − x2 adalah sebuah cycle.
Subkasus 1.3: z = x3. Maka x3 − x4 − x5 − x3 adalah sebuah cycle.
Subkasus 1.4: z = x4. Maka x2 − x3 − x4 − x2 adalah sebuah cycle.
Subkasus 1.5: z = x5. Maka x2 − x3 − x4 − x2 adalah sebuah cycle.
Subkasus 1.6: z /∈ {x1, x2, x3, x4, x5}. Maka x2 − x3 − x4 − x5 − z − x2 adalah
sebuah cycle.
35
Kasus 2: x2 ∈ Ann(x1)M . Maka, terdapat r1, . . . , rn ∈ Ann(x1) dan y1, . . . , yn ∈
M sedemikian sehingga x2 = r1y1 + · · · + rnyn. Jika rix4 = 0 untuk setiap 1 ≤
i ≤ n, maka x2 dan x4 bertetangga dan karenanya x2− x3− x4− x2 adalah sebuah
cycle. Sekarang misalkan z = rix4 6= 0 untuk suatu 1 ≤ i ≤ n. Maka kita punya
subkasus berikut:
Subkasus 2.1: z = x1. Maka x1 − x2 − x3 − x1 adalah sebuah cycle.
Subkasus 2.2: z = x2. Maka x2 − x3 − x4 − x5 − x2 adalah sebuah cycle.
Subkasus 2.3: z = x3. Maka x3 − x4 − x5 − x3 adalah sebuah cycle.
Subkasus 2.4: z = x4. Maka x1 − x2 − x3 − x4 − x1 adalah sebuah cycle.
Subkasus 2.5: z = x5. Maka x1 − x2 − x3 − x4 − x5 − x1 adalah sebuah cycle.
Subkasus 1.6: z /∈ {x1, x2, x3, x4, x5}. Maka x3 − x4 − x5 − z − x3 adalah sebuah
cycle. �
Contoh 3.4.9 Z2 × Z6 adalah Z-modul.
Diketahui Z2 = {0, 1} dan Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Sehingga
Z2 × Z6 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (1, 0), (1, 1), (1, 2),
(1, 3), (1, 4), (1, 5)}
Cek ketetanggaan:
Ann((0, 1)) = 6Z, sehingga Ann((0, 1))M = {(0, 0)}.
Ann((0, 2)) = 3Z, sehingga Ann((0, 2))M = {(0, 0), (0, 3), (1, 0), (1, 3)}.
Ann((0, 3)) = 2Z, sehingga Ann((0, 3))M = {(0, 0), (0, 2), (0, 4)}.
Ann((0, 4)) = 3Z, sehingga Ann((0, 4))M = {(0, 0), (0, 3), (1, 0), (1, 3)}.
Ann((0, 5)) = 6Z, sehingga Ann((0, 5))M = {(0, 0)}.
Ann((1, 0)) = 2Z, sehingga Ann((1, 0))M = {(0, 0), (0, 2), (0, 4)}.
Ann((1, 1)) = 6Z, sehingga Ann((1, 1))M = {(0, 0)}.
Ann((1, 2)) = 6Z, sehingga Ann((1, 2))M = {(0, 0)}.
Ann((1, 3)) = 2Z, sehingga Ann((1, 0))M = {(0, 0), (0, 2), (0, 4)}.
Ann((1, 4)) = 6Z, sehingga Ann((1, 1))M = {(0, 0)}.
Ann((1, 5)) = 6Z, sehingga Ann((1, 1))M = {(0, 0)}.
36
Diperoleh, (0, 3), (1, 0), (1, 3) ∈ Ann((0, 2))M , (0, 3), (1, 0), (1, 3) ∈ Ann((0, 4))M ,
sehingga (0, 3)− (0, 2), (1, 0)− (0, 2), (1, 3)− (0, 2), (0, 3)− (0, 4), (1, 0)− (0, 4),
dan (1, 3) − (0, 4), adalah sisi pada Γ(ZZ2 × Z6). Oleh karena itu, bentuk graf
Γ(ZZ2 × Z6):
Gambar 3.10 Graf Pembagi Nol Atas Modul Z2 × Z6
Dari gambar di atas, terdapat lintasan (1, 0)− (0, 2)− (1, 3)− (0, 4)− (0, 3).
Diketahui (1, 0) dan (0, 2) bertetangga, sehingga (1, 0) ∈ Ann((0, 2))(Z2×Z6) dan
Ann((0, 2)) = 3Z. Perhatikan, 3Z(0, 4) = (0, 0), sehingga (1, 0)− (0, 2)− (1, 3)−
(0, 4)−(1, 0) adalah sebuah cycle. Sekarang, diketahui (0, 2) ∈ Ann(1, 0)(Z2×Z6).
Perhatikan, terdapat 2 ∈ Ann(1, 0) sedemikian sehingga 2(0, 4) = (0, 2) 6= (0, 0).
Oleh karena itu, (0, 2)− (1, 3)− (0, 4)− (0, 3)− (0, 2) adalah sebuah cycle.
Teorema 3.4.10 Misal M adalah R-modul multiplikasi. Maka, Γ(RM) = Γ∗(RM).
Bukti. Misal x dan y dua elemen berbeda dari M dan misal Rx = IM dan Ry =
JM , untuk suatu ideal I dan J dari R. Akan dibuktikan Γ(RM) = Γ∗(RM). Mi-
salkan x − y adalah sisi di Γ∗(RM). Karena Rx ∗ Ry = 0, kita punya IJM = 0
dan karenanya I ⊆ Ann(JM). Sehingga IM ⊆ Ann(JM)M . Oleh karena itu,
Rx ⊆ Ann(Ry)M dan karenanya, x− y adalah sisi di Γ(RM).
Sekarang, misalkan x−y adalah sisi di Γ(RM). mengakibatkan Rx ⊆ Ann(Ry)M .
Sehingga IM ⊆ Ann(JM)M . Berdasarkan [14], kita bagi menjadi dua kasus:
Kasus 1: I ⊆ Ann(JM) + Ann(M). Dalam kasus ini, I ⊆ Ann(JM), karena
Ann(M) ⊆ Ann(JM). Mengakibatkan IJM = 0 dan karenanya, x − y adalah
37
sisi di Γ∗(RM).
Kasus 2: M = ((Ann(JM) + Ann(M)) : I)M . Dalam kasus ini, kita punya
M = (AnnJM) : I)M dan karenanya, IJM = [(Ann(JM) : I)I] (JM) ⊆
Ann(JM)JM = 0. Oleh karena itu, x− y adalah sebuah sisi di Γ∗(RM). �
Contoh 3.4.11 Misalkan Z8 adalah Z-modul sekaligus Z-modul multiplikasi. Ber-
dasarkan gambar 3.1 pada contoh 3.1.2 dan gambar 3.4 pada contoh 3.2.2, jelas
bahwa Γ(ZZ8) = Γ∗(ZZ8).
38
BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab 3, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut
1. Jika Z2 × Zp adalah modul atas gelanggang Z, dimana p prima, maka graf
pembagi nol atas modul Z2 × Zp, dilambangkan dengan Γ(ZZ2 × Zp) adalah
graf bintang Sp−1. Misalkan Z3 × Zp adalah modul atas gelanggang Z, dimana
p prima, maka graf pembagi nol atas modul Z3 × Zp, dilambangkan dengan
Γ(ZZ3×Zp) adalah graf bipartit lengkap K2,p−1. Misalkan Zp×Zq adalah modul
atas gelanggang Z, dimana p dan q prima dan p 6= q, maka graf pembagi nol atas
modul Zp×Zq, dilambangkan dengan Γ(ZZp×Zq) adalah graf bipartit lengkap
Kp−1,q−1. Jika p = q, maka Zp × Zq tidak dapat membentuk graf pembagi nol.
2. Misal M adalah R-modul. Graf Γ(RM) = ∅ jika dan hanya jika Zdv(M) =
Ann(M) dan Γ(RM) = ∅ jika dan hanya jika M adalah R-modul prima. Misal
R adalah gelanggang, maka R adalah lapangan jika dan hanya jika Γ(RM) = ∅
untuk setiap R-modul M . Misalkan M adalah R-modul, x, y ∈ M dan r ∈ R.
Jika x−y adalah sebuah sisi di Γ(RM), maka ry ∈ {0, x} atau x−ry adalah sisi
di Γ(RM). Jika Γ(RM) memiliki lintasan dengan panjang empat, maka Γ(RM)
memiliki sebuah cycle.
3. Misalkan M adalah modul atas gelanggang R, maka Γ(RM) terhubung dengan
diam(Γ(RM)) ≤ 3. Jika Γ(RM) memuat sebuah cycle, maka gr(Γ(RM)) ≤ 4.
4. Misalkan M adalah R-modul multiplikasi, maka Γ(RM) = Γ∗(RM).
4.2. Saran
Saran yang dapat diberikan yaitu untuk penelitian selanjutnya yaitu mengkaji
graf pembagi nol atas modul Zn × Zp dengan n bilangan asli dan p prima dan
mengkaji sifat Γ(RF ), dimana F adalah modul bebas.
39
REFERENSI
[1] Anderson, D.D., Naseer, M. (1993), Beck’s Coloring Of A Commutative Ring.
J. Algebra 159: h.500-514.
[2] Anderson, D.F., Livingston, P. S., (1999)The Zero-Divisor Graph Of A Com-
mutative Ring. J. Algebra 217(2): h.434-447.
[3] Beck, I. (1988), Coloring Of Commutative Rings. J.Algebra 116 (1): h.208-
226.
[4] Bondy, J.A., Murty, U.S.R. (1976), Graph Theory With Applications. Canada:
Department of Combinatorics and Optimization University of Waterloo.
[5] Diestel, Reinhard. (1997), Graph Theory. New York: Springer-Verlag.
[6] Hardsfields, N., Rigel, G. (1994), Pearls in Graph Theory. London: Academic
Press Limited.
[7] Herstein, I.N. (1999), Topics In Algebra, Second Edition. New York: John
Wiley and Sons.
[8] Harianto, Budi. (2016), Beberapa Sifat Gelanggang Komutatif Dan Modul
Multiplikasi Atas Graf Pembagi Nol. Thesis. Pascasarjana Institut Teknologi
Bandung.
[9] Keating, M.E. (1998), A First Course In Module Theory. London: Imperial
College Press.
[10] Lee, S.C., Varmazyar, R. (2012), Zero-Divisor Graphs Of Multiplication Mo-
dules. Honam Math 34 (4): h.571-584.
[11] Naghipour, A.R. (2017), The Zero-Divisor Graph Of A Module. Journal of
Algebraic Systems 4 (2): h.155-171.
40
[12] Redmond, S.P. (2001), Generalization Of The Zero-Divisor Graph Of A Ring,
Doctoral Dissertation. Knoxville: The University of Tennessee.
[13] Safaeeyan, S. (2014), Baziar, M., dan E. Momtahan (2014), A Generalization
Of The Zero-Divisor Graph For Modules. J. Korean Math. Soc.51 (1): h.78-
98.
[14] Smith, P.F. (1998), Some Remarks On Multiplication Modules. Arch. Math.
50: h.223-235.
[15] Sugeng, K.A., Slamet, S., dan Silaban, D.R. (2014), Teori Graf dan Aplikasi-
nya. Indonesia: Departemen Matematika Universitas Indonesia.
41