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Mat. II
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Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
NÚCLEO BARINAS UNEFA
Complemento para evaluar parte de la Unidad III -Matemática II Sección F – Ingeniería de Petróleo Lcdo. Eliezer Montoya -
Coordenadas Polares y graficas polares
Las coordenadas cartesianas están formadas por un par de números, la abcisa y la
ordenada, que representa la distancia dirigida de dos rectas fijas. Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un
punto fijo se denomina polo (u origen) y se puede representar mediante la letra O. El
rayo fijo recibe l nombre de eje polar (o recta polar) la denotaremos como OA. El
rayo OA usualmente se dibuja horizontalmente y se prolonga indefinidamente.( ver
Figura 1)
Plano Polar o trigonométrico
En trigonometría vimos que :
1)cateto opuesto
sin sin .sinhipotenusa
yy r
rθ θ θ= ⇒ = ∴ =
2)cateto adyacente
cos cos .coshipotenusa
xx r
rθ θ θ= ⇒ = ∴ =
3)sin cateto opuesto
tan tan 0cos cateto adyacente
yx
x
θθ θ
θ= = ⇒ = ∴ ≠
Por el teorema de Pitágoras :
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
( .cos ) ( .sin )
cos sin
(cos sin )
x y r r
r r
r
x y r
θ θ
θ θ
θ θ
+ = +
= +
= +
+ =
�������
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
Por tanto: 2 2r x y⇒ = ± +
Ejemplo 1:
Veamos la grafica de 6
1r θπ
= + para 0 2θ π≤ ≤
La tabla de valores seria:
Grados radianes
( )t thetaθ =
0
6
π
3
π
2
π
2
3
π
5
6
π
π 7
6
π
4
3
π
3
2
π
5
3
π
11
6
π
2π
Grados sexagesimales
0º 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º
( )r f θ= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
La grafica de 6
1r tπ
= + hecha en el software graphmática es
-15 -10 -5 0 5 10 15
-10
-5
0
5
10
La grafica anterior de la ecuación polar ( )r f θ= es un una curva en forma de espiral .
I. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES Podemos concluir que si 0a > ( a es una constate positiva) la grafica de
para 0r aθ θ= ≥
Es llamada Espiral de Arquímedes y la gráfica de
ar e θ
=
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
Es llamada espiral logarítmica
Ejemplo 2
Veamos la grafica de (0.3 )tr e= para 0 2θ π≤ ≤ La tabla de valores seria: Grados
radianes
( )t thetaθ =
0
6
π
3
π
2
π
2
3
π
5
6
π
π 7
6
π
4
3
π
3
2
π
5
3
π
11
6
π
2π
Grados
sexagesimales
0º 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º
( )r f θ= 1 1.17 1.37 1.60 1.87 2.19 2.57 3.00 3.51 4.11 4.81 5.63 6.59
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
II .- EL Cardiode: Si a es una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro ecuaciones
( )1 cosr a θ= ± ( )1 sinr a θ= ±
Es una CARDIODE (o tiene forma de CORAZÓN)
Ejemplo 3
Veamos la grafica de 2(1 cos )r θ= − La tabla de valores es:
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
Grados
radianes
( )t thetaθ =
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
5
6
π
π 7
6
π
4
3
π
3
2
π
5
3
π
11
6
π
2π
Grados
sexagesimales
0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º
( )r f θ= 0 0.27 0.59 1 2 3 3.73 4 3.73 3 2 1 0.27 0
La grafica polar de 2(1 cos )r θ= − es
-4 -2 0 2
-2
0
2
Ejemplo 4 Veamos la grafica de 4(1 cos ) 4 4cosr θ θ= + = +
-2 0 2 4 6 8 10
-4
-2
0
2
4
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
La tabla de valores de 4(1 cos )r θ= + queda como ejercicio para el estudiante
Grados
radianes
( )t thetaθ =
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
5
6
π
π 7
6
π
4
3
π
3
2
π
5
3
π
11
6
π
2π
Grados
sexagesimales
0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º
( )r f θ=
Ejemplo 5 Veamos la grafica de 2(1 sin ) 2 2sinr θ θ= + = +
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
La tabla de valores de 2(1 sin ) 2 2sinr θ θ= + = +
Grados
radianes
( )t thetaθ =
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
5
6
π
π 7
6
π
4
3
π
3
2
π
5
3
π
11
6
π
2π
Grados
sexagesimales
0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º
( )r f θ= 2 3 3.41 3.73 4 3.73 3 2 1 0.26 0 0.26 1 2
Ejemplo 6 Veamos la grafica de 3(1 sin ) 3 3sinr θ θ= − = −
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
La tabla de valores de la grafica polar 3(1 sin )r θ= − queda como ejercicio para el
estudiante:
Grados radianes
( )t thetaθ =
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
5
6
π
π 7
6
π
4
3
π
3
2
π
5
3
π
11
6
π
2π
Grados
sexagesimales
0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º
( )r f θ=
III. Limaçon
Si ya b son una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro
ecuaciones
cosr a b θ= ± sinr a b θ= ±
Es un LIMAÇON (palabra francesa que proviene del latín limax que significa CARACOL).
Existen cuatro tipos de caracoles que dependen de la razón ab.
1. Si 0 1a
b< < es decir, 0 a b< < ⇒ caracol con Lazo (interno) –Figura a
2. Si 1a
b= es decir, a b= ⇒ El limaçon es un Cardiode
3. Si 1 2a
b< < es decir, 0
2
ab a< < < ⇒ Caracol con hendidura o muesca -Figura b
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
4. Si 2a
b≤ es decir, 0
2
ab< < ⇒ Caracol convexo (sin hendidura) –Forma un
circulo levemente torcido- Figura c
Ejemplo 7
Grafiquemos 1 2cosr θ= + vemos que ( ) 1ab
< , entonces se trata de un caracol o
limaçon con lazo.
Entonces, la grafica polar de 1 2cosr θ= +
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
IV. LEMNISCATE
Si a es una constante positiva, la grafica polar de:
2 2 cos 2r a θ= o 2 2 sin 2r a θ=
es llamada LEMNISCATE
Ejemplo 9: Graficar: 2 4sin 2 2 sin(2 )r rθ θ= ⇒ =
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
Viendo la grafica 2 4sin 2 2 sin(2 )r rθ θ= ⇒ = en el software graphmatica tenemos:
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Ejemplo 10: Graficar 2 9cos 2 3 cos(2 )r rθ θ= ⇒ =
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Completa la tabla de 2 9cos 2 3 cos(2 )r rθ θ= ⇒ =
Grados radianes
( )t thetaθ =
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
5
6
π
π 7
6
π
4
3
π
3
2
π
5
3
π
11
6
π
2π
Grados 0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
sexagesimales
( )r f θ=
V. N-PETALOS DE ROSA
Si a es una constante positiva, la grafica polar de:
cosr a kθ= o sinr a kθ=
Obtenemos una rosa con N- pétalos, donde:
si es un entero impar
2 si es un entero par
k kN
k k
=
*Si k = 1 entonces las ecuaciones para una rosa tomarían la forma cosr a θ=
sinr a θ= las cuales son ecuaciones de una CIRCUNFERENCIA
Ejemplo 11: Graficar: 3sin 3r θ= (rosa de 3 pétalos) y 5sin 4r θ= (rosa de ocho pétalos)
Completa la tabla de 3sin 3r θ= (usa más intervalos para que logres ver mejor la
grafica-no nos dice mucho la tabla por lo tanto necesitamos dividirla en pequeños partes
Grados
radianes
( )t thetaθ =
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
5
6
π
π 7
6
π
4
3
π
3
2
π
5
3
π
11
6
π
2π
Grados sexagesimales
0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º
( )r f θ= 0 3 2.12 0 -3 0 3 0 -3 0 3 0 -3 0
Si usamos los ángulos opuestos Grados radianes
( )t thetaθ =
0
6
π−
4
π−
3
π−
2
π−
( )r f θ= 0 -3 -2.12 0 3
La grafica polar de 3sin 3r θ= :
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
La grafica de 5sin 4r θ=
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
Su tabla de valores
Grados radianes
( )t thetaθ =
0
12
π
6
π
4
π
3
π
5
12
π
2
π
7
12
π
2
3
π
3
4
π
5
6
π
11
12
π
π
Grados
sexagesimales
0º 15º 30º 45º 60º 75º 90º 105 120º 135 150º 165 180º
( )r f θ= 0 4.3 4.3 0 4.3 4.33 0 4.3 4.3 0 -4.3 -4.3 0
Teorema Si m es la pendiente de la recta tangente a la grafica ( )r f θ= en el punto
( ),r θ entonces:
( ) ( )
( ) ( )
sin .cos ´ sin .cos
´ cos .( sin )cos .sin
dr dyr f fd dm
dr dx f fr
d d
θ θ θ θ θ θθ θ
θ θ θ θθ θ
θ θ
++
= = =+ −
−
Como ( )r f θ= esta definida en ecuaciones paramétricas ( ) cosx f θ θ= y
( )siny f θ θ=
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
RESUMEN DE ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS:
Aquí , yC a b Son constantes
Cθ = Recta que contiene al polo ; forma un ángulo de C radianes con el
eje polar
sinr bθ = Recta paralela al eje polar ; arriba del eje polar si 0b > , debajo del
eje polar si 0b <
cosr aθ = Recta paralela al eje
2
π , a la derecha del eje
2
π si 0a > ; a la
izquierda del eje2
π si 0a < .
r C= Circunferencia ; centro en el polo; radio igual a C unidades
2 .cosr a θ= Circunferencia ; radio a tangente al eje
2
π, centro en el eje polar o
en su prolongación
2 .sinr a θ= Circunferencia; radio b tangente al eje polar ; centro en el eje
2
π
o en su prolongación
Con una tabla como estas puedes construir las graficas de las ecuaciones polares antes
mencionadas construye la tuya en tu cuaderno para discutir luego en clases
Grados
radianes
( )t thetaθ =
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
3
4
π
5
6
π
π
Grados
sexagesimales
0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º
( )r f θ=
Grados
radianes
( )t thetaθ =
7
6
π
5
4
π
4
3
π
3
2
π
5
3
π
7
4
π
11
6
π
2π
Grados
sexagesimales
210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º
( )r f θ=
Los problemas propuestos siguientes son tomadas del capitulo 9.3 se encuentran en
Louis Leithold (1998) El Cálculo 7. Séptima edición Edit. University Oxford pagina
764
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
Lcdo. Eliezer Montoya Gráficas en Coordenadas Polares
Referencias Bibliográficas
[ ]1 L LARSON R. ,HOSTETLER R y EDWARDS B . ( ) Cálculo y Geometría
Analítica, (Sexta Edición -Volumen 1 ) México: Edit Mc Graw Hill
[ ]2 LEITHOLD Louis (1998) Calculo (VII edición ) Edit Oxford
[ ]3 MUNEN & FOULIS (1984) Calculus with Analytic Geometry (Second Edition)
U.S.A -New York Edit Worth Publishers, Inc...1048 Pág.