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Grafos
Antonio Alfredo Ferreira [email protected]
http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 1
[email protected]://www.dcc.ufmg.br/~loureiro
Motivao
Suponha que existam seis sistemas computacionais (A, B, C, D, E, e F) inter-conectados entre si da seguinte forma:
E
A
B
C
DF
Esta informao pode ser representada por este diagrama, chamado degrafo.
Este diagrama identifica unicamente um grafo.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 2
Motivao
Dois objetos especiais: Vrtices Arestas
F
E
B
A C
D
Vrtice
Aresta
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 3
Definio
Um grafo G consiste de dois conjuntos finitos:
1. Vrtices V (G)2. Arestas E(G)
Em geral, um grafo G representado como:
G = (V,E)
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 4
Terminologia
Cada aresta est associada a um conjunto de um ou dois vrtices, chamadosns terminais.
Extremidade de uma aresta: vrtice da aresta. Funo arestaextremidade: associa aresta a vrtices. Lao (Loop): aresta somente com n terminal. Arestas paralelas: arestas associadas ao mesmo conjunto de vrtices. Uma aresta dita conectar seus ns terminais. Dois vrtices que so conectados por uma aresta so chamados de adjacen-
tes. Um vrtice que n terminal de um lao dito ser adjacente a si prprio. Uma aresta dita ser incidente a cada um de seus ns terminais. Duas arestas incidentes ao mesmo vrtice so chamadas de adjacentes. Um vrtice que no possui nenhuma aresta incidente chamado de isolado. Um grafo com nenhum vrtice chamado de vazio.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 5
Terminologia
v
2v 5v 7v
6v1e
4v5e
2e
3e
6e4e
3v
1
Arestas paralelas Vrtice isolado
Lao
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 6
Terminologia
Conjunto de vrtices:{v1, v2, v3, v4, v5, v6}.
Conjunto de arestas:{e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}.
Funo arestavrtice:
Aresta Vrticee1 {v1, v2}e2 {v1, v3}e3 {v1, v3}e4 {v2, v3}e5 {v5, v6}e6 {v5}e7 {v6}
e
3e 3v
1e 4e
2v
1v 4v
6v
5v
6e
5e
7e
2
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 7
Terminologia
e1, e2 e e3 so incidentes av1.
v2 e v3 so adjacentes a v1.
e2, e3 e e4 so adjacentesa e1.
e6 e e7 so laos.
e2 e e3 so paralelas.
v5 e v6 so adjacentes en-tre si.
v4 um vrtice isolado.
e
3e 3v
1e 4e
2v
1v 4v
6v
5v
6e
5e
7e
2
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 8
Terminologia
Seja um grafo especificadocomo: Conjunto de vrtices:{v1, v2, v3, v4}.
Conjunto de arestas:{e1, e2, e3, e4}.
Funo arestavrtice:
Aresta Vrticee1 {v1, v3}e2 {v2, v4}e3 {v2, v4}e4 {v3}
Duas possveis representaes deste grafo:
v4v3e
2e
3v
4e
1e
1v
2
v
2e 3e
2v
3v
4e
1v
1e
4
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 9
Terminologia
Considere os dois diagramas abaixo. Rotule os vrtices e as arestas de talforma que os dois diagramas representem o mesmo grafo.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 10
Terminologia
Uma possvel identificao de vrtices ertulos pode ser:
v
2v
3v4v
5v
1e
4e
3e
2e
5e
1
v
4v
2v
3v
1e
5v
2e
3e
4e
5e
1
Os dois diagramas so repre-sentados por: Conjunto de vrtices:{v1, v2, v3, v4, v5}.
Conjunto de arestas:{e1, e2, e3, e4, e5}.
Funo arestavrtice:
Aresta Vrticee1 {v1, v2}e2 {v2, v3}e3 {v3, v4}e4 {v4, v5}e5 {v5, v1}
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 11
Modelos usando grafosGrafo Vrtice Aresta
Comunicao Centrais telefnicas, Compu-tadores, Satlites
Cabos, Fibra ptica, Enlacesde microondas
Circuitos Portas lgicas, registradores,processadores
Filamentos
Hidrulico Reservatrios, estaes debombeamento
Tubulaes
Financeiro Aes, moeda TransaesTransporte Cidades, Aeroportos Rodovias, Vias areasEscalonamento Tarefas Restries de precednciaArquitetura funcional deum software
Mdulos Interaes entre os mdulos
Internet Pginas Web LinksJogos de tabuleiro Posies no tabuleiro Movimentos permitidosRelaes sociais Pessoas, Atores Amizades, Trabalho conjunto
em filmes
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 12
Modelos usando grafosCircuito eltrico: Leis de Kirchoff
Gustav Kirchoff (18241887), fsico alemo. Foi o primeiroa analisar o comportamento de rvo-res matemticas com a investigaode circuitos eltricos.
i1 + i4 = i2 + i3
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 13
Modelos usando grafosEstruturas de molculas de hidrocarboneto
Arthur Cayley (18211895), matemtico ingls. Logo apso trabalho de Kirchoff, Cayley usourvores matemticas para enumerartodos os ismeros para certos hidro-carbonetos.
HH C
C
H
C C
C
H
C C
C
H
C C
C
H
C
Butano
CH
H
H
H
H
C
C
HC
H
H
CC
H
H
Isobutano
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 14
Modelos usandografosConectividade naInternet
Este grafo mostra a conectividadeentre roteadores na Internet, re-sultado do trabalho Internet Map-ping Project de Hal Burch e BillCheswick.
Atualmente o trabalho est sendodesenvolvido comercialmente pelaempresa Lumeta (www.lumeta.com).
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 15
Modelos usando grafosConectividade na Internet
Este trabalho de StephenCoast (http://www.fractalus.com/steve/stuff/ipmap/) estmedindo e mapeando a estru-tura e desempenho da Internet.Este um de seus trabalhosiniciais.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 16
Modelos usando grafosConectividade na RNP2
A Rede Nacional de Pesquisa(RNP) criou a primeira infra-estrutura de comunicao (back-bone) no Brasil para intercone-xo com a Internet. Atualmente,este backbone conhecido comoRNP2.
O grafo de conectividade daRNP2 tem uma estrutura (topo-logia) basicamente na forma deestrela. Note que diferentes en-laces de comunicao (arestas)possuem diferentes capacidades.
A Internet formada basica-mente por interconexo de Sis-temas Autnomos (AS Autono-mous System), onde cada AS um backbone distinto.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 17
Modelos usando grafosGrafo de derivao sinttica
Noam Chomsky John Backus Peter Naur
Chomsky e outros desenvolveram novas formas dedescrever a sintaxe (estrutura gramatical) de lingua-gens naturais como ingls. Este trabalho tornou-sebastante til na construo de compiladores paralinguagens de programao de alto nvel. Nesteestudo, rvores (grafos especiais) so usadas paramostrar a derivao de sentenas corretas gramati-calmente a partir de certas regras bsicas.
comum representar estas regras, chamadas deproduo, usando uma notao proposta por Bac-kus (1959) e modificada por Naur (1960) usada paradescrever a linguagem de programao Algol. Estanotao chamada de BNF (Backus-Naur Notation).
Notao BNF (subconjunto da gram-tica da lngua inglesa):
sentence ::= noun phraseverb phrasenoun phrase ::= articlenoun |
articleadjectivenounverb phrase ::= verbnoun phrasearticle ::= theadjective ::= youngnoun ::= man | ballverb ::= caught
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 18
Modelos usando grafosVegetarianos e Canibais (1)
Seja uma regio formada por vegetarianos e canibais.
Inicialmente, dois vegetarianos e dois canibais esto na margem esquerda(ME) de um rio.
Existe um barco que pode transportar no mximo duas pessoas e sempreatravessa o rio com pelo menos uma pessoa.
O objetivo achar uma forma de transportar os dois vegetarianos e os doiscanibais para a margem direita (MD) do rio.
Em nenhum momento, o nmero de canibais numa margem do rio pode sermaior que o nmero de vegetarianos, caso contrrio, . . .
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 19
Modelos usando grafosVegetarianos e Canibais (2)
Soluo: Notao para representar cada cenrio possvel. Modelo para representar a mudana de um cenrio em outro vlido.
Notao: ME/MD vvccB/ ME: 2v, 2c e o barco (B); MD: . vc/Bvc ME: 1v, 1c; MD: B, 1v e 1c.
Modelo: grafo Vrtice: cenrio vlido. Aresta: transio vlida de um dado cenrio em outro.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 20
Modelos usando grafosVegetarianos e Canibais (3)
Uma possvel sequncia vlida de cenrios :
/Bvvcc
vv/Bcc
vvc/Bc
cc/Bvv
vvcB/c
vvccB/
c/Bvvc
ccB/vv
vcB/vc
vc/Bvc
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 21
Modelos usando grafosVisualizando grafos
Graph Drawing: Algorithms for the Vi-sualization of Graphs. Giuseppe DiBattista, Peter Eades, Roberto Tamas-sia, e Ioannis G. Tollis. Prentice HallEngineering, Science & Math, 432 pp.,ISBN 0-13-301615-3.
Para muitas aplicaes importante dese-nhar grafos com certas restries: Planares, i.e., no h cruzamento de
arestas
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 22
Grafo simples
Definio: Um grafo simples um grafo que no possui laos nem arestas pa-ralelas. Num grafo simples, uma aresta com vrtices (ns terminais) u e v representada por uv.
Exemplo: Quais so os grafos com quatro vrtices {u, v, w, x} e duas arestas,sendo que uma delas a aresta uv? Dado quatro vrtices, existem C(4,2) = 6 subconjuntos, que definem ares-
tas diferentes: {uv, uw, ux, vw, vx,wx}. Logo, todos os grafos simples de quatro vrtices e duas arestas, sendo uma
delas a uv so:
x
vu
w x
vu
w x
vu
w x
vu
w x
vu
w
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 23
Grafo dirigido (1)
Definio: Um grafo dirigido ou digrafo ou direcionado G consiste de dois con-juntos finitos:
1. Vrtices V (G)2. Arestas dirigidas E(G), onde cada aresta associada a um par ordenado
de vrtices chamados de ns terminais. Se a aresta e associada ao par(u, v) de vrtices, diz-se que e a aresta dirigida de u para v.
v
2v 5v 7v
6v1e
5e
2e
3e
8e4e
3v
4v
7e6e
1
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 24
Grafo dirigido (2)
Para cada grafo dirigido, existe um grafo simples (no dirigido) que obtidoremovendo as direes das arestas, e os loops.
Grafo dirigido:
v
2v 5v 7v
6v
3v
4v1
Grafo no dirigido correspondente:
v
2v 5v 7v
6v
3v
4v1
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 25
Grafo dirigido (3)
A verso dirigida de um grafo no dirigido G = (V,E) um grafo dirigidoG = (V , E) onde (u, v) E sse (u, v) E.
Cada aresta no dirigida (u, v) em G substituda por duas arestas dirigidas(u, v) e (v, u).
Em um grafo dirigido, um vizinho de um vrtice u qualquer vrtice adjacentea u na verso no dirigida de G.
Grafo no dirigido:
v
2v 3v
1
Grafo dirigido correspondente:
v
2v 3v
1
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 26
Grafo completo (1)
Definio: Um grafo completo de n vrtices, denominado Kn, um grafo sim-ples com n vrtices v1, v2, . . . , vn, cujo conjunto de arestas contm exatamenteuma aresta para cada par de vrtices distintos.
Nota: A letra K representa a letra inicial da palavra komplett do alemo, quesignifica completo.
Exemplo: Grafos completos com 2, 3, 4, e 5 vrtices.
vv 1v 2v
3v
2v
3v4v4v
3v5v
1v 2v
5K4K3K2K
1v21
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 27
Grafo completo (2)
Dado o grafo completo Kn temos que
Vrtice est conectado aos vrtices atravs de # arestas(no conectados ainda)
v1 v2, v3, . . . , vn n 1
v2 v3, v4, . . . , vn n 2... ... ...
vn1 vn 1
vn 0
ou seja, se contarmos o nmero total de arestas de Kn temos
n1i=1
i =(n 1) n
2=n2 n
2=
(|V |2 |V |)2
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 28
Grafo completo (3)
Os grafos K2, K3, K4, e K5
vv 1v 2v
3v
2v
3v4v4v
3v5v
1v 2v
5K4K3K2K
1v21
possuem a seguinte quantidade de arestas:
Grafo # arestasK2 1K3 3K4 6K5 10
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 29
Quantidade de grafos distintos com n vrtices (1)
O nmero total de grafos distintos com n vrtices (|V |)
2
n2n2
= 2
(|V |2|V |)2
que representa a quantidade de maneiras diferentes de escolher um subcon-junto a partir de
n2 n2
=(|V |2 |V |)
2possveis arestas de um grafo com n vrtices.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 30
Quantidade de grafos distintos com n vrtices (2)
Exemplo: Quantos grafos distintos com 3 vrtices existem?
Um grafo com 3 vrtices v1, v2 e v3 possui no mximo 3 arestas, ou seja,E = {v1v2, v1v3, v2v3}. O nmero de sub-conjuntos distintos de E dado por P(E), ou seja, o con-
junto potncia de E que vale 2|E|.
P(E) =
,{v1v2},{v1v3},{v2v3},
{v1v2, v2v3},{v1v3, v2v3},{v1v2, v1v3},
{v1v2, v1v3, v2v3}
Cada elemento de P(E) deveser mapeado num grafo com 3
vrtices levando a um grafo dis-
tinto:
v
1v 2v
3
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 31
Quantidade de grafos distintos com n vrtices (3)
Exemplo: Quantos grafos distintos com 3 vrtices existem (continuao)?
Para cada elemento (sub-conjunto) do conjunto potncia deE temos um grafodistinto associado, ou seja, o nmero total de grafos com 3 vrtices :
2
n2n2
= 2
3232
= 23 = 8
v
1v 2v
3v
1v 2v
3v
1v 2v
3v
1v 2v
3v
1v 2v
3v
1v 2v
3v
1v 2v
3v
1v 2v
3
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 32
Grafo ciclo
Definio: Um grafo ciclo de n vrtices, denominado Cn, n 3, um grafosimples com n vrtices v1, v2, . . . , vn, e arestas v1v2, v2v3, . . ., vn1vn, vnv1.
Exemplo: Grafos ciclos de 3, 4, e 5 vrtices.
vv 2v
3v
2v
3v4v4v
3v5v
1v 2v
5C4C3C
11
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 33
Grafo roda
Definio: Um grafo roda, denominado Wn, um grafo simples com n + 1vrtices que obtido acrescentado um vrtice ao grafo ciclo Cn, n 3, econectando este novo vrtice a cada um dos n vrtices de Cn.
Exemplo: Grafos rodas de 3, 4, e 5 vrtices.
vv 2v
3v
2v
3v4v4v
3v5v
1v 2v
5W4W3W
4v5v 6v
11
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 34
Grafo Cubo-n (1)
Definio: Um grafo cubo-n de 2n vrtices, denominadoQn, um grafo simplesque representa os 2n strings de n bits. Dois vrtices so adjacentes sse osstrings que eles representam diferem em exatamente uma posio.
O grafo Qn+1 pode ser obtido a partir do grafo Qn usando o seguinte algoritmo:
1. Faa duas cpias de Qn;2. Prefixe uma das cpias de Qn com 0 e a outra com 1;3. Acrescente uma aresta conectando os vrtices que s diferem no primeiro
bit.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 35
Grafo Cubo-n (2)
Exemplo: Grafos Qn, para n = 1, 2, e 3 vrtices.
100
Q 2Q 3Q
0 1 00
10 11
01
011
110 111
010
101
000 001
1
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 36
Grafo bipartido (1)
Definio: Um grafo bipartido um grafo com vrtices v1, v2, . . . , vm ew1, w2, . . . , wn, que satisfaz as seguintes propriedades:
i, k = 1,2, . . . ,m j, l = 1,2, . . . , n
1. as arestas do grafo, cada aresta conecta algum vrtice vi a algum vrticewj;
2. uma aresta entre cada par de vrtices vi e vk;3. uma aresta entre cada par de vrtices wj e wl;
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 37
Grafo bipartido (1)
Definio: Um grafo bipartido um grafo com vrtices v1, v2, . . . , vm ew1, w2, . . . , wn, que satisfaz as seguintes propriedades:
i, k = 1,2, . . . ,m j, l = 1,2, . . . , n
1. as arestas do grafo, cada aresta conecta algum vrtice vi a algum vrticewj;
2. uma aresta entre cada par de vrtices vi e vk;3. uma aresta entre cada par de vrtices wj e wl;
As duas ltimas propriedades so consequncias da primeira.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 38
Grafo bipartido (2)
Exemplo: Grafos bipartidos.
1w
4v
3w 3v
4w
v 1
2v
3v
4v
1w
2w
3w
7v
8v
v 6
5v
4w
5w
2vv 1
1w 2w 3w 4w 2w 2v
v 1
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 39
Grafo bipartido completo (1)
Definio: Um grafo bipartido completo de m,n vrtices, denominado Km,n, um grafo simples com vrtices v1, v2, . . . , vm e w1, w2, . . . , wn, que satisfaz asseguintes propriedades:
i, k = 1,2, . . . ,m j, l = 1,2, . . . , n
1. uma aresta entre cada par de vrtices vi e wj;2. uma aresta entre cada par de vrtices vi e vk;3. uma aresta entre cada par de vrtices wj e wl;
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 40
Grafo bipartido completo (2)
Exemplo: Grafos bipartidos completos K3,2 e K3,3.
w
2w
1w
K3,2
2v
1
K3,3
v
3v
1w1v
2w2v
3v 3
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 41
Grafo de Petersen
Definio: grafo no dirigido cbico com 10 vrtices e 15 arestas, como ilustradoabaixo. um grafo largamente utilizado como exemplo e contra-exemplo paramuitos problemas em teoria dos grafos.
[Recebe esse nome em homenagem ao matemtico dinamarqus Julius Petersen, que o utilizouem um trabalho publicado em 1898. No entanto, o primeiro registro do uso desse grafo se devea um trabalho de Alfred Kempe, matemtico ingls, 12 anos antes, em 1886.]
Em teoria dos grafos, existem vrios outros grafos que recebem nomes es-peciais sejam eles baseados em nomes de pessoas (e.g, Folkman, Gabriel,Heawood, Turn, Yao) ou em propriedades (e.g., autocomplementar, com-plementar, disco unitrio, intervalar, orientado balanceado, poliedro).UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 42
Multigrafo
Definio: Um multigrafo um grafo que no possui laos mas pode ter arestasparalelas. Formalmente, um multigrafo G = (V,E) consiste de um conjunto Vde vrtices, um conjunto E de arestas, e uma funo f de E para {{u, v}|u, v V, u 6= v}. As arestas e1 e e2 so chamadas mltiplas ou paralelas se f(e1) =f(e2).
e
3e 3v
1e 4e
2v
1v 4v
6v
5v
5e
2
Vrias aplicaes precisam ser modeladas como um multigrafo.UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 43
Pseudografo
Definio: Um pseudografo um grafo que pode ter laos e arestas paralelas.Formalmente, um pseudografo G = (V,E) consiste de um conjunto V de vr-tices, um conjunto E de arestas, e uma funo f de E para {{u, v}|u, v V }.
Pseudografo mais geral que um multigrafo.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 44
Multigrafo dirigido
Definio: Um multigrafo dirigido um grafo que pode ter laos e arestas pa-ralelas. Formalmente, um multigrafo dirigido G = (V,E) consiste de um con-junto V de vrtices, um conjunto E de arestas, e uma funo f de E para{{u, v}|u, v V }. As arestas e1 e e2 so arestas mltiplas se f(e1) = f(e2).
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 45
Hipergrafo
Definio: Um hipergrafoH(V, F ) definido pelo par de conjuntos V e F , onde: V um conjunto no vazio de vrtices; F um conjunto que representa uma famlia e partes no vazias de V .
Um hipergrafo um grafo no dirigido em que cada aresta conecta um nmeroarbitrrio de vrtices.
Seja, por exemplo, o grafo H(V, F )dado por:
V = {v1, v2, v3, v4}F = {{v1, v2, v4}, {v2, v3, v4}, {v2, v3}}
v
1v 2v
3v4
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 46
Terminologia de grafos
Tipo Aresta Arestas mltiplas? Laos permitidos?
Grafo simples No dirigida No No
Multigrafo No dirigida Sim No
Pseudografo No dirigida Sim Sim
Grafo dirigido Dirigida No Sim
Multigrafo dirigido Dirigida Sim Sim
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 47
Grafo valorado
Definio: Um grafo valorado um grafo em que cada aresta tem um valor as-sociado. Formalmente, um grafo valorado G = (V,E) consiste de um conjuntoV de vrtices, um conjunto E de arestas, e uma funo f de E para P , onde Prepresenta o conjunto de valores (pesos) associados s arestas.
Grafo valorado usado para modelar vrios problemas importantes em Ci-ncia da Computao.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 48
Grafo imersvel
Definio: Um grafo imersvel em uma superfcie S se puder ser representadogeograficamente em S de tal forma que arestas se cruzem nas extremidades(vrtices).
Um grafo planar um grafo que imersvel no plano.
As conexes de uma placa de circuito impresso devem ser representadaspor um grafo planar.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 49
Subgrafo
Definio: Um grafo H = (V , E) dito ser um subgrafo de um grafo G =(V,E) sse: cada vrtice de H tambm um vrtice de G, ou seja, V V ; cada aresta de H tambm uma aresta de G, ou seja, E E; e cada aresta deH tem os mesmos ns terminais emG, ou seja, se (u, v) E
ento (u, v) E.
Exemplo: Todos os subgrafos do grafo G:
v
1v2v
1v
3e
1e 1v2v
1v2v
3e
2v
2e
1v2v
2e
1e 1v2v
1e 1v2v
3e
2e
1v2v
3e
2e
1e 1v2v
3e
G
1
2e
1e 1v2v
3e
10
8
3
21
9
4 5
7
11
6
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 50
Grau de um vrtice (1)
Definio: Seja G um grafo e um vrtice v de G. O grau de v, denominadograu(v) (deg(v)), igual ao nmero de arestas que so incidentes a v, comuma aresta que seja um lao contada duas vezes. O grau total de G a somados graus de todos os vrtices de G.
Exemplo: Determinando o grau de v1 no grafo abaixo.
v3v2v
1v v
4
1grau( ) = 5
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 51
Grau de um vrtice (2)
Em um grafo dirigido o grau de um vrtice v o nmero de arestas quem saemdele (out-deg(v)) mais o nmero de arestas que chegam nele (in-deg(v)).
Exemplo: Determinando o grau de v3 no grafo abaixo.
v
1v
2v 5v 7v
6v1e
2e
3e
8e4e
3v
4v
7e6e
5e
3grau( ) = 4
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 52
Grau de um vrtice (3)
Exemplo: Seja o grafoG abaixo. Determine o grau de cada vrtice e o grau totalde G.
e
1e 3v2v
3e
1v
2
grau(v1) = 0, j que no existe aresta incidente a v1, que um vrticeisolado.
grau(v2) = 2, j que e1 e e2 so incidentes a v2. grau(v3) = 4, j que e1, e2 e e3 so incidentes a v3, sendo que e3 contribui
com dois para o grau de v3.
Grau de G = grau(v1) + grau(v2) + grau(v3) = 0 + 2 + 4 = 6 Grau de G = 2 nmero de arestas de G, que 3, ou seja, cada aresta
contribui com dois para o grau total do grafo.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 53
Grau de um vrtice (4)
Teorema (do aperto de mos ou handshaking): Seja G um grafo. A soma dosgraus de todos os vrtices de G duas vezes o nmero de arestas de G. Espe-cificamente, se os vrtices de G so v1, v2, . . . , vn, onde n um inteiro positivo,ento
Grau de G = grau(v1) + grau(v2) + . . . + grau(vn)= 2 nmero de arestas de G.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 54
Grau de um vrtice (5)
Prova:
Seja G um grafo especfico mas escolhido arbitrariamente.
Se G no possui vrtices ento no possui arestas, e o grau total 0, que o dobro das arestas, que 0.
Se G tem n vrtices v1, v2, . . . , vn e m arestas, onde n um inteiro positivoe m um inteiro no negativo. A hiptese que cada aresta de G contribuicom 2 para o grau total de G.
Suponha que e seja uma aresta arbitrria com extremidades vi e vj. Estaaresta contribui com 1 para o grau de vi e 1 para o grau de vj.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 55
Grau de um vrtice (6)
Prova (continuao):
Isto verdadeiro mesmo se i = j j que no caso de um lao conta-se duasvezes para o grau do vrtice no qual incide.
vei
v j
e=iv v j
i 6= j i = j
Assim, a aresta e contribui com 2 para o grau total de G. Como e foi escolhidoarbitrariamente, isto mostra que cada aresta de G contribui com 2 para o grautotal de G.
... O grau total de G = 2 nmero de arestas de G.
Corolrio: O grau total de um grafo par.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 56
Grafo regular
Definio: Um grafo dito ser regular quando todos os seus vrtices tm omesmo grau.
Exemplo: Os grafos completos com 2, 3, 4, e 5 vrtices so grafos regulares.
vv 1v 2v
3v
2v
3v4v4v
3v5v
1v 2v
5K4K3K2K
1v21
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 57
Determinando a existncia de certos grafos (1)
possvel ter um grafo com quatro vrtices de graus 1, 1, 2, e 3?No. O grau total deste grafo 7, que um nmero mpar.
possvel ter um grafo com quatro vrtices de graus 1, 1, 3, e 3?Sim. Exemplos:
dd c
aa b
cd
a b
cd
a b
c
b
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 58
Determinando a existncia de certos grafos (2)
possvel ter um grafo simples com quatro vrtices de graus 1, 1, 3, e 3?No.
Prova (por contradio):
Suponha que exista um grafo simples G com quatro vrtices de graus 1, 1, 3, e 3. Chamea e b os vrtices de grau 1, e c e d os vrtices de grau 3. Como grau(c) = 3 e G nopossui laos ou arestas paralelas, devem existir arestas que conectam c aos vrtices a, be d.
d c
a b
Pelo mesmo raciocnio devem existir arestas que conectam d aos vrtices a, b e c.a b
d c
Mas o grau(a) 2 e grau(b) 2, o que contradiz a suposio que estes vrtices tmgrau 1.
... A suposio inicial falsa e, consequentemente, no existe um grafo simples com quatrovrtices com graus 1, 1, 3, e 3.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 59
Determinando a existncia de certos grafos (3)
possvel num grupo de nove pessoas, cada um ser amigo de exatamentecinco outras pessoas?No.
Prova (por contradio): Suponha que cada pessoa represente um vrtice de um grafo e a aresta
indique uma relao de amizade entre duas pessoas (vrtices).
Suponha que cada pessoa seja amiga de exatamente cinco outras pes-soas.
Ento o grau de cada vrtice cinco e o grau total do grafo 45.
... Isto contradiz o corolrio que o grau total de um grafo par e, consequen-temente, a suposio falsa.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 60
Caracterstica de um grafo
Teorema: Em qualquer grafoG, existe um nmero par de vrtices de grau mpar.
Prova:
Suponha que G tenha n vrtices de grau mpar e m vrtices de grau par, onde n e m sointeiros no negativos. [Deve-se mostrar que n par.]
Se n = 0, ento G tem um nmero par de vrtices de grau mpar. Suponha que n 1. Seja P a soma dos graus de todos os vrtices de grau par, I a soma
dos graus de todos os vrtices de grau mpar, e T o grau total de G. Se p1, p2, . . . , pm so os vrtices de grau par e i1, i2, . . . , in so os vrtices de grau mpar,
P = grau(p1) + grau(p2) + . . . + grau(pm),I = grau(i1) + grau(i2) + . . . + grau(in),T = grau(p1) + grau(p2) + . . . + grau(pm) +
grau(i1) + grau(i2) + . . . + grau(in)= P + I [que deve ser um nmero par]
P par, j que P = 0 ou P a soma de grau(pr), 0 r m, que par. Mas T = P + I e I = T P . Assim, I a diferena de dois inteiros pares, que par. Pela suposio, grau(is), 0 s n, mpar. Assim, I, um inteiro par, a soma de n inteiros
mpares grau(i1) + grau(i2) + . . . + grau(in). Mas a soma de n inteiros mpares par, enton par [o que devia ser mostrado].
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 61
Determinando a existncia de certos grafos (4)
possvel ter um grafo com 10 vrtices de graus 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, e 6?No. Duas formas de provar:1. Este grafo supostamente possui trs vrtices de grau mpar, o que no
possvel.2. Este grafo supostamente possui um grau total = 29, o que no possvel.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 62
O problema das sete pontes de Knigsberg ouO incio da teoria dos grafos (1)
Leonhard Euler (1707-1783) aos 49 anos. Tela em leo pintada porJakob Emanuel Handmann em 1756.
Leonhard Euler, matemtico suo. Considerado um dos maiores matemticos de todos ostempos. Foi um cientista extremamente produtivo contribuindo para muitas reas da matemticacomo teoria dos nmeros, anlise combinatria e anlise, bem como o seu uso em reas comomsica e arquitetura naval. Euler foi o primeiro a usar o termo funo para descrever umaexpresso envolvendo vrios argumentos, ou seja, y = F (x). No total escreveu mais de1100 artigos e livros. Durante os ltimos 17 anos de vida, ele ficou praticamente cego, quandoproduziu quase que metade de seus trabalhos.
A rea de teoria dos grafos comea em 1736 quando publica um artigo (Solutio problematis adgeometriam situs pertinentis) contendo a soluo para o problema das sete pontes de Knigs-berg, na poca uma cidade da Prssia e, atualmente, cidade da Rssia.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 63
O problema das sete pontes de Knigsberg ouO incio da teoria dos grafos (2)
A cidade de Knigsberg foi construda numa regio onde haviam dois braos do Rio Pregel euma ilha. Foram construdas sete pontes ligando diferentes partes da cidade, como mostradona figura:
Problema: possvel que uma pessoa faa um percurso na cidade de tal forma que inicie evolte a mesma posio passando por todas as pontes somente uma nica vez?
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 64
O problema das sete pontes de Knigsberg ouOnde Knigsberg (3)
Referncia: Northern Ger-many as far as the Bavarianand Austrian Frontiers; Hand-book for Travellers by Karl Ba-edeker. Fifteenth Revised Edi-tion. Leipzig, Karl Baedeker;New York, Charles ScribnersSons 1910.
History: Kaliningrad was for-merly the Prussian port of K-nigsberg, capital of East Prus-sia. It was captured by theRed Army in April 1945 andceded to the Soviet Union atthe Potsdam conference. Itwas renamed in honor of se-nior Soviet leader Mikhail Kali-nin, although he never actuallyvisited the area.
Mapa parcial (recente) da ci-
dade.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 65
O problema das sete pontes de Knigsberg (4)
Euler resolveu este problema dando incio teoria dos grafos.
Modelagem proposta por Euler: Todos os pontos de uma dada rea de terra podem ser representados por
um nico ponto j que uma pessoa pode andar de um lado para o outrosem atravessar uma ponte.
Um ponto conectado a outro se houver uma ponte de um lado para ooutro.
Graficamente, Euler representou o problema como:
A
B
C
D
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 66
O problema das sete pontes de Knigsberg (5)
Problema a ser resolvido: possvel achar um caminho que comece e termine num vrtice qualquer
(A, B, C, ou D) e passe por cada aresta, exatamente, e uma nica vez?,ou ainda,
possvel desenhar este grafo que comece e termine na mesma posiosem levantar o lpis do papel?
D
C
A
B
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 67
O problema das sete pontes de Knigsberg (6)
Aparentemente no existe soluo!
Partindo do vrtice A, toda vez que se passa por qual-quer outro vrtice, duas arestas so usadas: a de che-gada e a de sada.
Assim, se for possvel achar uma rota que usa todasas arestas do grafo e comea e termina em A, ento onmero total de chegadas e sadas de cada vrticedeve ser um valor mltiplo de 2.
No entanto, temos: grau(A) = grau(C) = grau(D) = 3; e grau(B) = 5.
Assim, por este raciocnio informal no possvel teruma soluo para este problema.
D
C
A
B
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 68
Caminhamentos em grafosCaminho (1)
Seja G um grafo no dirigido, n 1, e v e w vrtices de G.
Caminho (walk ): Um caminho de v para w uma sequncia alternada devrtices e arestas adjacentes de G. Um caminho tem a forma:
(v =)v0e1v1e2v2 . . . vn1envn(= w)
ou ainda
v0[v0, v1]v1[v1, v2]v2 . . . vn1[vn1, vn]vn
onde v0 = v e vn = w.
e
7
4e
2v 1 3v
2e5e6e
1v 3e 4v
e
Um possvel caminho entre v1 e v4:v1e6v3e2v4e7v2e1v3e2v4e3v1e4v2e5v4
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 69
Caminhamentos em grafosCaminho (2)
No caso de arestas mltiplas, deve-se indicar qual delas est sendo usada.
Vrtices v0 e vn so extremidades do caminho.
Tamanho (comprimento) do caminho: nmero de arestas do mesmo, ou seja,nmero de vrtices menos um.
O caminho trivial de v para v consiste apenas do vrtice v.
Se existir um caminho c de v para w ento w alcanvel a partir de v via c.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 70
Caminhamentos em grafosCaminho fechado (1)
Caminho fechado (Closed walk ): Caminho que comea e termina no mesmovrtice:
(v =)v0e1v1e2v3 . . . vn1envn(= w)
onde v = w.
e
7
4e
2v 1 3v
2e5e6e
1v 3e 4v
e
Um possvel caminho fechado :v1e6v3e2v4e7v2e1v3e2v4e3v1e4v2e5v4e3v1
Um caminho fechado com pelo menos uma aresta chamado de ciclo.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 71
Caminhamentos em grafosCaminho fechado (2)
Dois caminhos fechados
v0v1 . . . vn e v0v1 . . . v
n
formam o mesmo ciclo se existir um inteiro j tal que
vi = vi+j mod n,
para i = 0,1, . . . , n 1.
e
7
4e
2v 1 3v
2e5e6e
1v 3e 4v
e
O caminho fechado v1v2v3v4v1 forma omesmo ciclo que os caminhos fechadosv2v3v4v1v2, v3v4v1v2v3 e v4v1v2v3v4.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 72
Caminhamentos em grafosTrajeto
Trajeto (Path): Caminho de v para w sem arestas repetidas:
(v =)v0e1v1e2v3 . . . vn1envn(= w)
onde todas as arestas ei so distintas, ou seja, ei 6= ek, para qualquer i 6= k.
e
7
4e
2v 1 3v
2e5e6e
1v 3e 4v
e
Um possvel trajeto :v1e6v3e2v4e7v2e1v3
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 73
Caminhamentos em grafosTrajeto simples
Trajeto simples (Simple path): Caminho de v para w sem arestas e vrticesrepetidos.
e
7
4e
2v 1 3v
2e5e6e
1v 3e 4v
e
Um possvel trajeto simples :v1e6v3e2v4e7v2
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 74
Caminhamentos em grafosCircuito
Circuito (Circuit): Trajeto fechado, ou seja, um caminho onde no h arestarepetida e os vrtices inicial e final so idnticos:
(v =)v0e1v1e2v3 . . . vn1envn(= w)
onde toda aresta ei,1 i n, distinta e v0 = vn.
e
7
4e
2v 1 3v
2e5e6e
1v 3e 4v
e
Um possvel circuito :v1e6v3e2v4e7v2e1v3
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 75
Caminhamentos em grafosCircuito simples
Circuito simples (Simple circuit): Trajeto fechado, ou seja, um caminho ondeno h arestas e vrtices repetidos, exceto os vrtices inicial e final que soidnticos.
e
7
4e
2v 1 3v
2e5e6e
1v 3e 4v
e
Um possvel circuito simples :v1e6v3e2v4e7v2e4v1
Um circuito simples tambm chamado de ciclo simples.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 76
Terminologia de caminhamentosAresta Vrtice Comea e termina
Tipo repetida? repetido? no mesmo vrtice?
Caminho (walk ) Pode Pode Pode
Caminho fechado (closed walk ) Pode Pode Sim
Trajeto (path) No Pode Pode
Trajeto simples (simple path) No No No
Circuito (circuit) No Pode Sim
Circuito simples (simple circuit) No v0 = vn Sim
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 77
Caminhamentos em grafosNotao simplificada (1)
Em geral um caminho pode ser identificado de forma no ambgua atravs deuma sequncia de arestas ou vrtices.
e
3e
1e
1v 2v 3v4e
2
O caminho e1e2e4e3 representa de forma no ambgua o caminhov1e1v2e2v3e4v3e3v2
A notao e1 ambgua, se usada para referenciar um caminho, pois poderepresentar duas possibilidades: v1e1v2 ou v2e1v1.
A notao v2v3 ambgua, se usada para referenciar um caminho, pois poderepresentar duas possibilidades: v2e2v3 ou v2e3v3.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 78
Caminhamentos em grafosNotao simplificada (2)
e
1v 2v
3e2e
3v
1
A notao v1v2v2v3, se for associada a um caminho, representa de formano ambgua o caminho v1e1v2e2v2e3v3
Se um grafo G no possui arestas paralelas, ento qualquer caminho em Gpode ser determinado de forma nica por uma sequncia de vrtices.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 79
Identificando o caminhamento (1)
v
e
2e3e
4e
5e
7e
9e
8e
1v
4v3v
6e
6v 5v
e102
1
Que tipo de caminhamento ? v1e1v2e3v3e4v3e5v4
Aresta repetida? No. Vrtice repetido? Sim v3. Comea e termina no mesmo
vrtice? No. Trajeto.
e1e3e5e5e6 Aresta repetida? Sim e5. Vrtice repetido? Sim v3. Comea e termina no mesmo
vrtice? No. Caminho.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 80
Identificando o caminhamento (2)
v
e
2e3e
4e
5e
7e
9e
8e
1v
4v3v
6e
6v 5v
e102
1
Que tipo de caminhamento ? v2v3v4v5v3v6v2
Aresta repetida? No. Vrtice repetido? Sim v2 e v3. Comea e termina no mesmo
vrtice? Sim v2. Circuito.
v2v3v4v5v6v2 Aresta repetida? No. Vrtice repetido? Sim v2. Comea e termina no mesmo
vrtice? Sim v2. Circuito simples.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 81
Identificando o caminhamento (3)
v
e
2e3e
4e
5e
7e
9e
8e
1v
4v3v
6e
6v 5v
e102
1
Que tipo de caminhamento ? v2v3v4v5v6v3v2
Aresta repetida? Sim e3. Vrtice repetido? Sim v2 e v3. Comea e termina no mesmo
vrtice? Sim v2. Caminho fechado.
v1 Aresta repetida? No. Vrtice repetido? No. Comea e termina no mesmo
vrtice? Sim v1. Caminho (circuito) trivial.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 82
Fecho transitivo direto
Definio: O fecho transitivo direto (FTD) de um vrtice v o conjunto de todosos vrtices que podem ser atingidos por algum caminho iniciando em v.
Exemplo: O FTD do vrtice v5 do grafo ao lado o conjunto {v1, v2, v3, v4, v5, v6}. Note queo prprio vrtice faz parte do FTD j que ele alcanvel partindo-se dele mesmo.
2v
4v 6v
7v
5v
3v1v
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 83
Fecho transitivo inverso
Definio: O fecho transitivo inverso (FTI) de um vrtice v o conjunto de todosos vrtices a partir dos quais se pode atingir v por algum caminho.
Exemplo: O FTI do vrtice v5 do grafo abaixo o conjunto {v1, v2, v4, v5, v7}. Note que o pr-prio vrtice faz parte do FTI j que dele podealcanar ele mesmo.
2v
4v 6v
7v
5v
3v1v
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 84
Conectividade (1)
Informalmente um grafo conexo (conectado) se for possvel caminhar de qual-quer vrtice para qualquer outro vrtice atravs de uma sequncia de arestasadjacentes.
Definio: Seja G um grafo. Dois vrtices v e w de G esto conectados sseexiste um caminho de v para w. Um grafoG conexo sse dado um par qualquerde vrtice v e w em G, existe um caminho de v para w. Simbolicamente,
G conexo vrtices v, w V (G), um caminho de v para w.
Se a negao desta afirmao for tomada, possvel ver que um grafo no conexo sse existem dois vrtices em G que no esto conectados por qualquercaminho.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 85
Conectividade (2)
v 6v3v 4v2v
1v
1G
5
Grafo conexo.
v 3v
2v 4v 6v
8v 7v
5v
2G
1v
3v
2v
5v
4v
6v
3G
1
Grafos no conexos.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 86
Conectividade (3)Lemas
Seja G um grafo.
(a) Se G conexo, ento quaisquer dois vrtices distintos de G podem serconectados por um trajeto simples (simple path).
(b) Se vrtices v e w so parte de um circuito de G e uma aresta removidado circuito, ainda assim existe um trajeto de v para w em G.
(c) Se G conexo e contm um circuito, ento uma aresta do circuito pode serremovida sem desconectar G.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 87
Conectividade (4)
Os grafos
v 3v
2v 4v 6v
8v 7v
5v
2G
1v
3v
2v
5v
4v
6v
3G
1
possuem trs partes cada um, sendo cada parte um grafo conexo.
Um componente conexo de um grafo um subgrafo conexo de maior tamanhopossvel.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 88
Componente conexo (1)
Definio: Um grafo H um componente conexo de um grafo G sse:
1. H um subgrafo de G;2. H conexo;3. Nenhum subgrafo conexo I de G tem H como um subgrafo e I contm
vrtices ou arestas que no esto em H.
Um grafo pode ser visto como a unio de seus componentes conexos.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 89
Componente conexo (2)
Os componentes conexos do grafo G abaixo so:
v 2v
3v 4v 8v
6v 7v
5v
1e 2e
5e 3e
4e1
G possui trs componentes conexos:
H1 : V1 = {v1, v2, v3} E1 = {e1, e2}H2 : V2 = {v4} E2 = H3 : V3 = {v5, v6, v7, v8} E3 = {e3, e4, e5}
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 90
Componente fortemente conexo (conectado)
Um grafo dirigido G = (V,E) fortemente conexo se cada dois vrticesquaisquer so alcanveis a partir um do outro.
Os componentes fortemente conexos de um grafo dirigido so conjuntos devrtices sob a relao so mutuamente alcanveis.
Um grafo dirigido fortemente conexo tem apenas um componente fortementeconexo.
v
3v 0v
1v
4v
5v2
Os componentes fortemente conexos do grafo ao lado so:
H1 : V1 = {v0, v1, v2, v3}H2 : V2 = {v4}H3 : V3 = {v5}
Observe que {v4, v5} no um componente fortemente co-nexo j que o vrtice v5 no alcanvel a partir do vrtice
v4.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 91
Circuito Euleriano (1)
Definio: Seja G um grafo. Um circuito Euleriano um circuito que contmcada vrtice e cada aresta de G. uma sequncia de vrtices e arestas ad-jacentes que comea e termina no mesmo vrtice de G, passando pelo menosuma vez por cada vrtice e exatamente uma nica vez por cada aresta de G.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 92
Circuito Euleriano (2)
Teorema: Se um grafo possui um circuito Euleriano, ento cada vrtice do grafotem grau par.
Prova: Suponha que G um grafo que tem um circuito Euleriano. [Deve-se mostrar que
qualquer vrtice v de G tem grau par.]
Seja v um vrtice particular de G mas escolhido aleatoriamente. O circuito Euleriano possui cada aresta de G incluindo todas as arestas inci-
dentes a v. Vamos imaginar um caminho que comea no meio de uma das arestas ad-
jacentes ao incio do circuito Euleriano e continua ao longo deste circuito etermina no mesmo ponto.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 93
Circuito Euleriano (3)
v2v
3v
4v5v
0
1v
Par de arestas entrada/sada
Par de arestas entrada/sada
Comece aqui
Prova (continuao): Cada vez que o vrtice v visitado atravs de uma aresta de entrada, este
vrtice deixado j que o caminho termina no meio de uma aresta. J que cada circuito Euleriano passa em cada aresta de G exatamente uma
nica vez, cada aresta incidente a v visitada uma nica vez neste processo. Como o caminho que passa por v feito atravs de arestas incidentes a v na
forma de pares entrada/sada, o grau de v deve ser mltiplo de 2. Isto significa que o grau de v par. [O que devia ser mostrado.]
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 94
Circuito Euleriano (4)
O contrapositivo deste teorema (que logicamente equivalente ao teorema ori-ginal) :
Teorema: Se algum vrtice de um grafo tem grau mpar, ento o grafo no temum circuito Euleriano.
Esta verso do teorema til para mostrar que um grafo no possui umcircuito Euleriano.
e
7
4e
2v 1 3v
2e5e6e
1v 3e 4v
e
Vrtices v1 e v3 possuem grau 3 e, assim, no possuem um circuito Euleriano.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 95
Circuito Euleriano (5)
Revisitando o problema das sete pontes da cidade de Knigsberg.
A
B
C
D
Problema: possvel que uma pessoa faa um percurso na cidade de tal formaque inicie e volte a mesma posio passando por todas as pontes somente umanica vez?
No. Todos os vrtices tm grau mpar.UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 96
Circuito Euleriano (6)
No entanto, se cada vrtice de um grafo tem grau par, ento o grafo tem umcircuito Euleriano?
No. Por exemplo, no grafo abaixo todos os vrtices tm grau par, mas comoo grafo no conexo, no possui um circuito Euleriano.
v
1v
1e
2e
3v
4v
3e
4e
2
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 97
Circuito Euleriano (7)
Teorema: Se cada vrtice de um grafo no vazio tem grau par e o grafo conexo,ento o grafo tem um circuito Euleriano.
Prova: [Esta uma prova construtivista, ou seja, apresenta um algoritmo para achar um circuitoEuleriano para um grafo conexo no qual cada vrtice tem grau par.]
Suponha que G um grafo conexo no vazio e que cada vrtice de G temgrau par. [Deve-se achar um circuito Euleriano para G.] Construa um circuito C usando o algoritmo descrito a seguir.
PASSO 1:
Escolha qualquer vrtice v de G. [Este passo pode ser executado j que pela supo-sio o conjunto de vrtices de G no vazio.]
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 98
Circuito Euleriano (8)
Prova (continuao):
PASSO 2:
Escolha uma sequncia qualquer de vrtices e arestas adjacentes, come-ando e terminando em v, sem repetir arestas. Chame o circuito resultantede C.
[Este passo pode ser executado pelas seguintes razes: Como o grau de cada vrtice de G par, possvel entrar num vrtice qualquer que no
seja o v por arestas de entrada e sada no visitadas ainda. Assim, uma sequncia de arestas adjacentes distintas pode ser obtida enquanto o vrtice v
no seja alcanado. Esta sequncia de arestas deve voltar em v j que existe um nmero finito de arestas.
]
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 99
Circuito Euleriano (9)
Prova (continuao):
PASSO 3: Verifique se C contm cada aresta e vrtice de G. Se sim, C umcircuito Euleriano e o problema est terminado. Caso contrrio, execute ospassos abaixo.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 100
Circuito Euleriano (10)
Prova (continuao):
PASSO 3A:
Remova todas as arestas do circuito C do grafo G e quaisquer vrtices quese tornaram isolados quando as arestas de C so removidas.
Chame o grafo resultante de G.
[Note que G pode no ser conexo, como ilustrado abaixo, mas cada vrtice de G tem grau
par, j que removendo as arestas de C remove um nmero par de arestas de cada vrtice e a
diferena de dois nmeros pares par.]
G:
uv
w
C
G
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 101
Circuito Euleriano (11)
Prova (continuao):
PASSO 3B:
Escolha qualquer vrtice w comum a ambos C e G.
[Deve haver pelo menos um vrtice deste tipo j que G conexo. Na figura abaixo existem
dois vrtices deste tipo: u e w.]
G:
uv
w
C
G
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 102
Circuito Euleriano (12)
Prova (continuao):
PASSO 3C:
Escolha uma sequncia qualquer de vrtices e arestas adjacentes, come-ando e terminando em w, sem repetir arestas. Chame o circuito resultantede C.
[Este passo pode ser executado j que o grau de cada vrtice de G par e G finito. Veja a
justificativa para o passo 2.]
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 103
Circuito Euleriano (13)
Prova (continuao):
PASSO 3D:
Agrupe C e C para criar um novo circuito C como segue: Comece em v e siga em direo a w. Percorra todo o circuito C e volte a w. Caminhe pela parte de C no percorrida ainda at o vrtice v.
[O efeito de executar os passos 3C e 3D para o grafo anterior mostrado abaixo.]
C
uv
w
G:
C
C
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 104
Circuito Euleriano (14)
Prova (continuao):
PASSO 3E:
Seja C C e retorne ao passo 3.
[Como o grafo G finito, a execuo dos passos deste algoritmo termina, com a construo de
um circuito Euleriano para G. Como diferentes escolhas podem ser feitas, diferentes circuitos
podem ser gerados.]
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 105
Circuito Euleriano (15)
Determine se o grafo abaixo tem um circuito Euleriano. Em caso positivo acheum circuito Euleriano para o grafo.
g
i
d
c
e h
f ja
b
Os vrtices a, b, c, f, g, i, j tm grau 2. Os vrtices d, e, h tm grau 4. Pelo teorema anterior, este grafo possui um circuito Euleriano.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 106
Circuito Euleriano (16)
Seja v = a e seja
C : abcda.
i
bg
jd
c
e h
fa
3
1
4
2
C no um circuito Euleriano para este grafo, mas C possui uma intersecocom o restante do grafo no vrtice d.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 107
Circuito Euleriano (17)
Seja C : deghjid. Agrupe C a C para obter
C : abcdeghjida.
Seja C C. Ento C pode ser representado pelas arestas rotuladas no grafoabaixo:
g
d
c
e h
f j
i
a
b 2
1
5
3
6
7
8
9
10
4
C no um circuito Euleriano para este grafo, mas C possui uma intersecocom o restante do grafo no vrtice e.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 108
Circuito Euleriano (18)
Seja C : efhe. Agrupe C a C para obter
C : abcdefheghjida.
Seja C C. Ento C pode ser representado pelas arestas rotuladas no grafoabaixo:
i
d
c
e h
f ja
bg
92
4
11
5
10
6
13
7
12
8
1
3
C inclui cada aresta do grafo exatamente uma nica vez e, assim, C umcircuito Euleriano para este grafo.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 109
Circuito Euleriano (19)
Teorema: Um grafo G tem um circuito Euleriano sse G conexo e cada vrticede G tem grau par.
Definio: Seja G um grafo e seja v e w dois vrtices de G. Um Trajeto Euleri-ano de v para w uma sequncia de arestas e vrtices adjacentes que comeaem v, termina em w e passa por cada vrtice deG pelo menos uma vez e passapor cada aresta de G exatamente uma nica vez.
Corolrio: Seja G um grafo e dois vrtices v e w de G. Existe um trajeto Eu-leriano de v para w sse G conexo e v e w tm grau mpar e todos os outrosvrtices de G tm grau par.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 110
Trajeto Euleriano (1)
Uma casa possui uma diviso representada pela planta abaixo. possvel umapessoa sair do cmodo A, terminar no cmodo B e passar por todas as portasda casa exatamente uma nica vez? Se sim, apresente um possvel trajeto.
K
J
IA
B
C D
G
F
H
E
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 111
Trajeto Euleriano (2)
A planta da casa pode ser representada pelo grafo abaixo:
J
I
E
K
H
F
G
DC
B
A H
F
G
DC
B
A
J
I
E
K
Cada vrtice deste grafo tem um grau par, exceto os vrtices A e B que tmgrau 1. Assim, pelo corolrio anterior, existe um trajeto Euleriano de A para B.
AGHFEIHEKJDCBUFMG/ICEx/DCC MD Grafos 112
Circuito Hamiltoniano (1)
William Hamilton (1805
1865), matemtico irlands. Contri-
buiu para o desenvolvimento da p-
tica, dinmica e lgebra. Em particu-
lar, descobriu a lgebra dos quaterni-
ons. Seu trabalho provou ser signifi-
cante para o desenvolvimento da me-
cnica quntica.
Em 1859, props um jogo na forma de umdodecaedro (slido de 12 faces).
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 113
Circuito Hamiltoniano (2)Jogo proposto por Hamilton
Cada vrtice recebeu o nome de uma cidade: Londres, Paris, Hong Kong, NewYork, etc. O problema era: possvel comear em uma cidade e visitar todasas outras cidades exatamente uma nica vez e retornar cidade de partida?
O jogo mais fcil de ser imaginado projetando o dodecaedro no plano:
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 114
Circuito Hamiltoniano (3)Jogo proposto por Hamilton
Uma possvel soluo para este grafo :
Definio: Dado um grafo G, um Circuito Hamiltoniano para G um circuitosimples que inclui cada vrtice de G, ou seja, uma sequncia de vrtices adja-centes e arestas distintas tal que cada vrtice de G aparece exatamente umanica vez.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 115
Comentrios sobre circuitos Euleriano eHamiltoniano (1)
Circuito Euleriano: Inclui todas as arestas uma nica vez. Inclui todos os vrtices, mas que podem ser repetidos, ou seja, pode no
gerar um circuito Hamiltoniano.
Circuito Hamiltoniano: Inclui todas os vrtices uma nica vez (exceto o inicial = final). Pode no incluir todas as arestas, ou seja, pode no gerar um circuito
Euleriano.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 116
Comentrios sobre circuitos Euleriano eHamiltoniano (2)
possvel determinar a priori se um grafo G possui um circuito Euleriano.
No existe um teorema que indique se um grafo possui um circuito Hamil-toniano nem se conhece um algoritmo eficiente (polinomial) para achar umcircuito Hamiltoniano.
No entanto, existe uma tcnica simples que pode ser usada em muitos casospara mostrar que um grafo no possui um circuito Hamiltoniano.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 117
Determinando se um grafo no possui um circuitoHamiltoniano (1)
Suponha que um grafo G tenha um circuito Hamiltoniano C dado por:
C : v0e1v1e2 . . . vn1envn
Como C um circuito simples, todas as arestas ei so distintas e todos osvrtices so distintos, exceto v0 = vn.
Seja H um subgrafo de G que formado pelos vrtices e arestas de C, comomostrado na figura abaixo (H o subgrafo com as linhas grossas).
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 118
Determinando se um grafo no possui um circuitoHamiltoniano (2)
Se um grafo G tem um circuito Hamiltoniano ento G tem um subgrafo H comas seguintes propriedades:
1. H contm cada vrtice de G;2. H conexo;3. H tem o mesmo nmero de arestas e
de vrtices;4. Cada vrtice de H tem grau 2.
Contrapositivo desta afirmao: Se um grafo G no tem um subgrafo H com propriedades (1)(4) ento G
no possui um circuito Hamiltoniano.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 119
Determinando se um grafo no possui um circuitoHamiltoniano (3)
Prove que o grafo G abaixo no tem um circuito Hamiltoniano.
a
e
c
d
b
Se G tem um circuito Hamiltoniano, ento G tem um subgrafo H que:
1. H contm cada vrtice de G;2. H conexo;3. H tem o mesmo nmero de arestas e de vrtices;4. Cada vrtice de H tem grau 2.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 120
Determinando se um grafo no possui um circuitoHamiltoniano (4)
a
e
c
d
b
Em G, grau(b) = 4 e cada vrtice de H tem grau 2; Duas arestas incidentes a b devem ser removidas de G para criar H; Qualquer aresta incidente a b que seja removida far com que os outros vr-
tices restantes tenham grau menor que 2;
Consequentemente, no existe um subgrafo H com as quatro propriedadesacima e, assim, G no possui um circuito Hamiltoniano.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 121
O Problema do Caixeiro Viajante (1)
Em ingls, Traveling Salesman Problem, ou TSP.
Suponha o mapa abaixo mostrando quatro cidades (A,B,C,D) e as distn-cias em km entre elas.
A
C
D
B
40
50 35
25
30
30
Um caixeiro viajante deve percorrer um circuito Hamiltoniano, ou seja, visitarcada cidade exatamente uma nica vez e voltar a cidade inicial.
Que rota deve ser escolhida para minimizar o total da distncia percorrida?
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 122
O Problema do Caixeiro Viajante (2)
Possvel soluo: Enumere todos os possveis circuitos Hamiltonianos comeando e termi-
nando em A; Calcule a distncia de cada um deles; Determine o menor deles.
Rota Distncia (km)
ABCDA 30+ 30+ 25+ 40 = 125
ABDCA 30+ 35+ 25+ 50 = 140
ACBDA 50+ 30+ 35+ 40 = 155
ACDBA 50+ 25+ 35+ 30 = 140
ADBCA 40+ 35+ 30+ 50 = 155
ADCBA 40+ 25+ 30+ 30 = 125
A
C
D
B
40
50 35
25
30
30
Assim, tanto a rota ABCDA ou ADCBA tem uma distncia total de 125km.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 123
O Problema do Caixeiro Viajante (3)
A soluo do TSP um circuito Hamiltoniano que minimiza a distncia to-tal percorrida para um grafo valorado arbitrrio G com n vrtices, onde umadistncia atribuda a cada aresta.
Algoritmo para resolver o TSP: Atualmente, fora bruta, como feito no exemplo anterior. Problema da classe NP-Completo.
Exemplo: para o grafo K30 existem
29! 8,84 1030
circuitos Hamiltonianos diferentes comeando e terminando num determinadovrtice.
Mesmo se cada circuito puder ser achado e calculado em apenas 1s, serianecessrio aproximadamente 2,8 1017 anos para terminar a computaonesse computador.UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 124
Representao de um grafo
Dado um grafo G = (V,E): V = conjunto de vrtices. E = conjunto de arestas, que pode ser representado pelo subconjunto deV V .
O tamanho da entrada de dados medido em termos do: Nmero de vrtices |V |. Nmero de arestas |E|.
Se G conexo ento |E| |V | 1.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 125
Representao de um grafoConvenes
Conveno I (Notao): Dentro e somente dentro da notao assinttica os smbolos V e E signifi-
cam respectivamente |V | e |E|. Se um algoritmo executa em tempo O(V +E) equivalente a dizer que
executa em tempo O(|V |+ |E|).
Conveno II (Em pseudo-cdigo): O conjunto V de vrtices de G representado por V [G]. O conjunto E de arestas de G representado por E[G]. Os conjuntos V e E so vistos como atributos de G.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 126
Representao de um grafoEstruturas de dados
Matriz de adjacncia: Forma preferida de representar grafos densos (|E| |V |2). Indica rapidamente (O(1)) se existe uma aresta conectando dois vrtices.
Lista de adjacncia: Representao normalmente preferida. Prov uma forma compacta de representar grafos esparsos (|E| |V |2).
Matriz de incidncia: Representao que inclui vrtice e aresta.
As duas primeiras formas acima so as principais formas de representar umgrafo.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 127
Representao de um grafoMatriz de adjacncia e grafo dirigido (1)
Seja o grafo dirigido abaixo:
e
2e
4e 5e
6e
1v
2v
3v
3e
1
Este grafo pode ser representado por uma ma-triz A = (aij), onde (aij) representa o nmerode arestas de vi para vj. Matriz de Adjacncia
v1 v2 v3
v1
A = v2v3
1
1
1
0
1
0
0
2
0
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 128
Representao de um grafoMatriz de adjacncia e grafo dirigido (2)
Definio: Seja G um grafo dirigido com vrtices v1, v2, . . . , vn. A matriz deadjacncia de G a matriz A = (aij) (A[1 . . . n,1 . . . n]) definida como:
aij = # de arestas de vi para vj, i, j = 1,2, . . . , n.
Valor diferente de zero na diagonal principal: lao.
Valor igual a 1 na entrada (aij): uma nica aresta de vi a vj.
Valores maiores que 1 na entrada (aij): arestas paralelas de vi a vj.
Espao: O(V 2).
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 129
Representao de um grafoMatriz de adjacncia e grafo dirigido (3)
v
3v
1e
3e
4e
5e
2v
2e
1
v1 v2 v3
v1
A = v2v3
0
0
2
0
1
1
0
1
0
v
1e
2e 3e
4e
5e
1v3v
2
v1 v2 v3
v1
A = v2v3
1
1
0
1
0
0
0
2
0
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 130
Representao de um grafoMatriz de adjacncia e grafo dirigido (4)
Dada a matriz de adjacncia de umgrafo:
v1 v2 v3 v4
A =
v1
v2
v3
v4
0
1
0
2
1
1
0
1
1
0
1
0
0
2
1
0
Um possvel desenho deste grafo :
v
4v3v
v1 2
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 131
Representao de um grafoMatriz de adjacncia e grafo no dirigido
Definio: Seja G um grafo no dirigido com vrtices v1, v2, . . . , vn. A matrizde adjacncia de G a matriz A = (aij) sobre o conjunto dos inteiros nonegativos tal que
aij = # de arestas conectando vi a vj, i, j = 1,2, . . . , n.
Dado o grafo:
v
3e
4e5e
3v4v
2v2e
7e
6e
1e
1
A matriz de adjacncia correspon-dente :
v1 v2 v3 v4
A =
v1
v2
v3
v4
0
1
0
1
1
1
2
1
0
2
0
0
1
1
0
1
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 132
Representao de um grafoMatriz de adjacncia e componentes conexos
Dado o grafo:
v3v
2v
3e
2e
4e
1e
1
v4v
6e
5e
5
v
6v
7e 8e
7
A matriz de adjacncia correspondente :
A =
1 0 1 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 2 0
A matriz A consiste de blocos de diferentes tamanhosao longo da diagonal principal, j que o conjunto de vr-tices disjunto.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 133
Representao de um grafoMatriz de adjacncia: Anlise
Deve ser utilizada para grafos densos, onde |E| prximo de |V |2 (|E| |V |2).
O tempo necessrio para acessar um elemento independente de |V | ou |E|.
muito til para algoritmos em que necessitamos saber com rapidez se existeuma aresta ligando dois vrtices.
A maior desvantagem que a matriz necessita O(V 2) de espao.
Ler ou examinar a matriz tem complexidade de tempo O(V 2).
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 134
Representao de um grafoUso de matriz de adjacncia
Quando usada, a maior parte dos algoritmos requer tempo O(V 2), mas exis-tem excees.
Seja um grafo dirigido que contm um vrtice sink, ou seja, um vrtice com: Grau de entrada (in-degree) = |V | 1 Grau de sada (out-degree) = 0 No existe uma aresta loop
Apresente um algoritmo para determinar se um grafo dirigido possui um vr-tice sink em tempo O(V ) usando uma matriz de adjacncia.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 135
Representao de um grafoNmero de vrtices sink num grafo dirigido
Quantos vrtices sink um grafo dirigido G = (V,E) possui no mximo? No mximo 1.
Prova por contradio: Suponha que si e sj sejam vrtices sink. Deve existir uma aresta de todos os ns do grafo G para si e sj, exceto loops. Em particular deve existir uma aresta (si, sj) e uma aresta (sj, si) j que si
e sj so vrtices sink. Isto no pode ocorrer j que o grau de sada de um vrtice sink 0.
Logo, se existir um vrtice sink no grafo G no mximo 1.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 136
Representao de um grafoMatriz de incidncia
Definio: Seja G um grafo no dirigido com vrtices v1, v2, . . . , vn e arestas e1, e2, . . . , em. Amatriz de incidncia de G a matriz M = (mij) de tamanho n m sobre o conjunto dosinteiros no negativos tal que
mij =
{1 quando a aresta ej incidente a vi.0 caso contrrio.
Dado o grafo:
v
3e
4e5e
3v4v
2v2e
7e
6e
1e
1
A matriz de incidncia correspondente :
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
M =
v1
v2
v3
v4
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 137
Representao de um grafoLista de adjacncia
Vetor Adj de |V | listas, uma para cada vrtice de V .
Para cada vrtice u V , a lista Adj [u] contm apontadores para todos osvrtices v tal que a aresta (u, v) E (todos os vrtices adjacentes a u emG). Definio vale para grafos no dirigidos e dirigidos.
|V |i=1 comprimento da lista de adjacncia, vale:
Grafo dirigido = |E|, cada aresta aparece uma nica vez na lista. Grafo no dirigido = 2|E|, cada aresta aparece duas vezes na lista (entrada
de u e entrada de v).
Espao: O(V + E).
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 138
Representao de um grafoLista de adjacncia e grafo dirigido (1)
Seja o grafo dirigido abaixo:
e
2e
4e 5e
6e
1v
2v
3v
3e
1
Este grafo pode ser representado por uma listade adjacncia Adj :
Adj[v1] = [v1]
Adj[v2] = [v1, v2, v3, v3]
Adj[v3] = [v1]
Adj
v
3v
1v 1v
1v
3v3v2v1v2
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 139
Representao de um grafoLista de adjacncia e grafo dirigido (2)
v
3v
1e
3e
4e
5e
2v
2e
1
Este grafo pode ser representadopela lista de adjacncia:
Adj[v1] = []
Adj[v2] = [v2, v3]
Adj[v3] = [v1, v1, v2]
v
1e
2e 3e
4e
5e
1v3v
2
Este grafo pode ser representadopela lista de adjacncia:
Adj[v1] = [v1, v2]
Adj[v2] = [v1, v3, v3]
Adj[v3] = []
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 140
Representao de um grafoLista de adjacncia e grafo no dirigido
Dado o grafo:
v
3e
4e5e
3v4v
2v2e
7e
6e
1e
1
Uma lista de adjacncia correspon-dente :
Adj[v1] = [v2, v4]
Adj[v2] = [v1, v2, v3, v3, v4]
Adj[v3] = [v2, v2]
Adj[v4] = [v1, v2, v4]
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 141
Contando caminhos de tamanho n (1)
O tamanho (comprimento) de um caminho o nmero de arestas do mesmo,ou seja, nmero de vrtices menos um.
Dado o grafo
e 4e
2v
3v
1v
1e
2e
3
O caminho
v2e3v3e4v2e2v2e3v3
tem tamanho 4.
Quantos caminhos distintos de tamanho 2 exis-tem conectando v2 a v2?
v2e1v1e1v2v2e2v2e2v2v2e3v3e4v2v2e4v3e3v2v2e3v3e3v2v2e4v3e4v2
Existem seis caminhosdistintos.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 142
Contando caminhos de tamanho n (2)
Quantos caminhos distintos de tamanho n existem conectando dois vrtices deum dado grafo G? Este valor pode ser computado usando multiplicao de matrizes.
Seja o grafo:
e 4e
2v
3v
1v
1e
2e
3
A matriz de adjacncia correspondente :
v1 v2 v3
v1
A = v2v3
0
1
0
1
1
2
0
2
0
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 143
Contando caminhos de tamanho n (3)
O valor de A2 dado por: 0 1 01 1 20 2 0
0 1 01 1 20 2 0
= 1 1 21 6 22 2 4
Observe que a22 = 6, que o nmero de caminhosde tamanho 2 de v2 para v2.
e 4e
2v
3v
1v
1e
2e
3
Se A a matriz de adjacncia de um grafo G, a entrada aij da matriz A2
indica a quantidade de caminhos de tamanho 2 conectando vi a vj no grafoG.
Este resultado vlido para caminhos de tamanho n calculando An.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 144
Isomorfismo de grafos (1)
Os desenhos abaixo
v
2v
3v4v
5v
1e5e
4e 2e
3e
1v
4v
2v5v
3v
1e
2e
3e
4e
5e
1
representam o mesmo grafo G: Conjuntos de vrtices e arestas so idnticos; Funes arestavrtice so as mesmas.
Grafos isomorfos (do grego, o que significa a mesma forma).UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 145
Isomorfismo de grafos (2)
G Gv
2v
3v4v
5v
1e5e
4e 2e
3e
1 v
3v
5v4v
2v
1e4e
2e 3e
5e
1
Vrtices de
v
1v
2v
3v
4v
5v
1v
3v
4v
5v
Vrtices de G G
2
G
e
1e
2e
3e
4e
5e
1e
3e
4e
5e
Arestas de Arestas de G
2
Estes grafos so diferen-tes apesar de possurem osmesmos conjuntos de vrti-ces e arestas.
As funes arestavrticeno so as mesmas.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 146
Isomorfismo de grafos (3)
Definio: Sejam os grafos G e G com conjuntos de vrtices V (G) e V (G)e com conjuntos de arestas E(G) e E(G), respectivamente. O grafo G isomorfo ao grafo G sse existem correspondncias um-para-um
g : V (G) V (G)
h : E(G) E(G)
que preservam as funes aresta-vrtice de G e G no sentido que
v V (G) e E(G)
v um n terminal de e g(v) um n terminal de h(e).
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 147
Isomorfismo de grafos (4)
Os grafos
G G
v
3v
4v
1e
4e
5e
7e
6e
2v
5v
3e2e1
w
5w
2f
2w
4f
5f
3f
7f
1f
3w
4w6f
1
so isomorfos?
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 148
Isomorfismo de grafos (5)
Para resolver este problema,devemos achar funes
g : V (G) V (G)e
h : E(G) E(G)tal que exista a correspon-dncia como mencionadoanteriormente.
Grafos G e G so iso-morfos.
G G
v
3v
4v
1e
4e
5e
7e
6e
2v
5v
3e2e1
w
5w
2f
2w
4f
5f
3f
7f
1f
3w
4w6f
1
g
w
1v
2v
3v
4v
5v
1w
3w
4w
5w
V(G) V(G)
2
E(G)
f
1e
2e
3e
4e
5e
1f
3f
4f
5f
7e
6e 6f
7f
hE(G)
2
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 149
Isomorfismo de grafos (6)
Os grafos
G G
v
2v3v
4v 5v
0v
2e
3e 1e
4e
6e
5e7e
0e
10e
9e
11e
8e
7v 6v
1
w 2w3w
7w4w
0w0f 1f 2f
3f
4f 5f 6f
7e
8f 9f 10f 11f
5w 6w
1
so isomorfos?
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 150
Isomorfismo de grafos (7)
Para resolver este problema,devemos achar funes
g : V (G) V (G)e
h : E(G) E(G)tal que exista a correspon-dncia como mencionadoanteriormente.
Grafos G e G so iso-morfos.
G Gv
2v3v
4v 5v
0v
2e
3e 1e
4e
6e
5e7e
0e
10e
9e
11e
8e
7v 6v
1
w 2w3w
7w4w
0w0f 1f 2f
3f
4f 5f 6f
7e
8f 9f 10f 11f
5w 6w
1
V(G)
w
1v
2v
3v
4v
5v
1w
3w
4w
5w
6v 6w
g
0v 0w
V(G)
2
E(G)
e
7e
8e
9e
10e
11e
0e
1e
2e
4e
5e
3e
7f
6f
8f
9f
10f
11f
1f
0f
2f
3f
4f
5f
hE(G)
6
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 151
Isomorfismo de grafos (8)
Isomorfismo de grafos uma relao de equivalncia no conjunto de grafos.
Informalmente, temos que esta propriedade : Reflexiva: Um grafo isomorfo a si prprio. Simtrica: Se um grafo G isomorfo a um grafo G ento G isomorfo aG.
Transitiva: Se um grafo G isomorfo a um grafo G e G isomorfo a G
ento G isomorfo a G.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 152
Representantes de classes de isomorfismo (1)
Ache todos os grafos no isomorfos que tm dois vrtices e duas arestas.
(a) (b) (c) (d)
Existe um algoritmo que aceita como entrada os grafos G e G e produz comoresultado uma afirmao se estes grafos so isomorfos ou no? Sim. Gere todas as funes g e h e determine se elas preservam as fun-
es arestavrtice de G e G.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 153
Representantes de classes de isomorfismo (2)
Se G e G tm cada um n vrtices e m arestas, o nmero de funes g n!e o nmero de funes h m!, o que d um nmero total de n! m! funes.
Exemplo para n = m = 20. Temos 20! 20! 5,9 1036 pares a verificar. Assumindo que cada combinao possa ser achada e calculada em ape-
nas 1s, seria necessrio aproximadamente 1,9 1023 anos para termi-nar a computao nesse computador.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 154
Invariantes para isomorfismo de grafos (1)
Teorema: Cada uma das seguintes propriedades uma invariante para isomor-fismo de dois grafos G e G, onde n,m e k so inteiros no negativos:
1. Tem n vrtices;2. Tem m arestas;3. Tem um vrtice de grau k;4. Tem m vrtices de grau k;5. Tem um circuito de tamanho k;6. Tem um circuito simples de tamanho k;7. Tem m circuitos simples de tamanho k;8. conexo;9. Tem um circuito Euleriano;
10. Tem um circuito Hamiltoniano.
Isto significa que seG isomorfo aG ento seG tem uma destas propriedadesG tambm tem.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 155
Invariantes para isomorfismo de grafos (2)
Os grafos
GG
so isomorfos?
No. G tem nove arestas e G tem oito arestas.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 156
Invariantes para isomorfismo de grafos (3)
Os grafos
HH
so isomorfos?
No. H tem um vrtice de grau 4 e H no tem.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 157
Isomorfismo de grafos simples (1)
Definio: Se G e G so grafos simples (sem arestas paralelas e sem laos)ento G isomorfo a G sse existe uma correspondncia g um-para-um doconjunto de vrtices V (G) de G para o conjunto de vrtices V (G) de G quepreserva a funo arestavrtice de G e de G no sentido que
vrtices u, v G
uv uma aresta de G {g(u), g(v)} uma aresta de G.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 158
Isomorfismo de grafos simples (2)
Os grafos
z
b
c
d
a w y
G G
x
so isomorfos?
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 159
Isomorfismo de grafos simples (3)
z
b
c
d
a w y
G G
x
Sim, so isomorfos.
z
V(G) V(G)g
a
b
c
d
w
x
y
A funo g preserva a funo arestavrticede G e de G:
Arestas de G Arestas de G
ab yw = {g(a), g(b)}ac yx = {g(a), g(c)}ad yz = {g(a), g(d)}cd xz = {g(c), g(d)}
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 160
rvore
Definio: Uma rvore (tambm chamada de rvore livre) um grafo no diri-gido acclico e conexo.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 161
Floresta
Definio: Uma floresta um grafo no dirigido acclico podendo ou no serconexo.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 162
rvore geradora (1)
Suponha que uma companhia a-rea recebeu permisso para voarnas seguintes rotas:
C
D
N
S L
I
M
A
No entanto, por questes de econo-mia, esta empresa ir operar ape-nas nas seguintes rotas:
C
D
N
S L
I
M
A
Este conjunto de rotas interconectatodas as cidades.
Este conjunto de rotas mnimo? Sim! Qualquer rvore deste grafo possui oito vrtices e sete arestas.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 163
rvore geradora (2)
Definio: Uma rvore geradora de um grafo G um grafo que contm cadavrtice de G e uma rvore.
Esta definio pode ser estendida para floresta geradora.
Proposio: Cada grafo conexo tem uma rvore geradora. Duas rvores geradores quaisquer de um grafo tm a mesma quantidade
de arestas.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 164
rvore geradora (3)
Seja o grafo G abaixo
v0v 2v
3v4v5v
1
Este grafo possui o circuito v2v1v4v2.
A remoo de qualquer uma das trs arestas docircuito leva a uma rvore.
Assim, todas as trs rvores geradoras so:
v0v 2v
3v4v5v
1 v0v 2v
3v4v5v
1 v0v 2v
3v4v5v
1
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 165
rvore geradora mnima ouMinimal Spanning Tree (1)
O grafo de rotas da companhia a-rea que recebeu permisso paravoar pode ser rotulado com as dis-tncias entre as cidades:
83
D
N
S
I
M
A
C695
242
355
74
262
269
348
306230
151
L
Suponha que a companhia desejavoar para todas as cidades masusando um conjunto de rotas queminimiza o total de distncias per-corridas:
230
D
N
S
I
M
A
C
242
355
74
262
151
L83
Este conjunto de rotas interconectatodas as cidades.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 166
rvore geradora mnima (2)
Definio: Um grafo com peso um grafo onde cada aresta possui um pesorepresentado por um nmero real. A soma de todos os pesos de todas asarestas o peso total do grafo. Uma rvore geradora mnima para um grafocom peso uma rvore geradora que tem o menor peso total possvel dentretodas as possveis rvores geradoras do grafo.
Se G um grafo com peso e e uma aresta de G ento: w(e) indica o peso da aresta e, e w(G) indica o peso total do grafo G.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 167
Algoritmos para obter a rvore geradora mnima
Algoritmo de Kruskal.
Algoritmo de Prim.
Grafo inicial:
83
D
N
S
I
M
A
C695
242
355
74
262
269
348
306230
151
L
rvore geradora mnima:
230
D
N
S
I
M
A
C
242
355
74
262
151
L83
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 168
Algoritmo de Kruskal (1)
Idia bsica: Seleciona a aresta de menor peso que conecta duas rvores de uma flo-
resta. Repita o processo at que todos os vrtices estejam conectados sempre
preservando a invariante de se ter uma rvore.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 169
Algoritmo de Kruskal (2)
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 170
Algoritmo de Kruskal (3)
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 171
Algoritmo de Prim Idia bsica:
Tomando como vrtice ini-cialA, crie uma fila de priori-dades classificada pelos pe-sos das arestas conectandoA.
Repita o processo at quetodos os vrtices tenhamsido visitados.
UFMG/ICEx/DCC MD Grafos 172