Graph Matic A

Universidad Interamericana Curso: Matemática para Administradores Prof. Lic. Jose Eduardo Badilla Mora

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. Manual General para el Uso del Software Graphmatica .

http://www.graphmatica.com/espanol/grmat20n.html

Graphmatica es un software de uso libre muy fácil de utilizar y que puede ser descargado de Internet sin dificultad alguna. Sin embargo se requiere conocer algunas generalidades del mismo. Con este programa se pueden llevar a cabo representaciones gráficas de seis tipos:

• Coordenadas Cartesianas • Coordenadas Polares • Coordenadas Paramétricas • Aproximaciones Campo – Tangentes • Aproximaciones de Valor Inicial para Ecuaciones Diferenciales

En nuestro caso daremos énfasis sobre el funcionamiento para graficar en Coordenadas Cartesianas, pues este será nuestro campo de interés. Este software permitirá llevar a cabo múltiples representaciones gráficas de funciones por lo que se tendrá la posibilidad de estudiar diferentes funciones desde puntos de vista algebraicos y gráficos. Graficar una función: para llevar a cabo la representación gráfica de una función, se debe incluir:

• una única variable dependiente , x y ó r .

• un único operador de igualdad o desigualdad; , , , ó= > < .

• alguna breve expresión en cada lado del signo de igualdad. Además se pueden incluir:

• tantas veces como sea necesario la variable independiente; x ó t . • variables libres especiales; , y a b c .

• constantes; números decimales, (se escribe pi), d,e . Todas estas constantes son válidas.

• operaciones matemáticas básicas: : , : , *: ; / : , :suma resta multiplicación división+ exponentes

Multiplicación Implícita:

• paréntesis anidados de cualquier expresión. • funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras. • un dominio que puede ser acotado en ambos extremos.


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• comentarios.

. Representaciones Graficas de Funciones .

Para graficar una función simplemente digite la ecuación que desee y presione " "enter . Algunas ecuaciones deben digitarse con diferentes " "comandos . Así por

ejemplo para una expresión de la forma nx debe digitarse x ^ n . Si el teclado no

posee el símbolo ^, este puede llamarse con el comando " 94"Alt . Se puede ampliar esta lista de comandos revisando la lista de funciones que soporta el programa en el ícono de ayuda y luego " "tabla de operadores , o

directamente con la tecla 1F .

OPERADORES Graphmatica usa un léxico casi idéntico al de BASIC, con varias cosas más para hacerlo más potente y fácil en su uso. Casi todas de las funciones matemáticas proporcionadas en la librería de C están disponibles. Los operadores, funciones y variables soportadas son las siguientes: Operador Significado ========== =============================== = signo igual


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< > desigualdad estricta <= >= menor o igual, mayor o igual + suma - resta * multiplicación / división ^ Exponenciación [( )] Paréntesis * ; (punto y coma) Separa mitades de una ecuación paramétrica ' (comilla simple) Hace que el resto de una ecuación sea un comentario {m, n} Especifica el dominio ** * Los paréntesis deben ser anidados de cualquier extensión, pero el analizador sintáctico no diferenciará entre (y [. ** m es el inicio del dominio y n es el final. Cualquiera de los dos extremos puede ser abierto omitiendo un operando. Función Significado ========== =============================== abs Valor absoluto acos, asec Arco coseno (inversa del coseno), Arco secante asin, acsc Arco seno, Arco cosecante atan, acot Arco tangente, Arco cotangente cos Coseno cosh Coseno hiperbólico cot Cotangente csc Cosecante exp Exponencial int Parte entera (la notación [x] no es soportada) ln, log Logaritmo natural, logaritmo decimal sin Seno sinh Seno hiperbólico sec Secante sqrt (sqr) Raíz cuadrada tan Tangente tanh Tangente hiperbólica Variables Uso ================ =============================== x, y Coordenadas rectangulares r, t r y q en coordenadas polares x, y, t x e y como funciones de t en forma paramétrica t, x, dx Ecuaciones diferenciales, resuelve EDO de primer orden* x, y, dy (notación alternativa) d2x, d3x para EE.DD.OO. de grado superior **


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t,x,y,z,w,dxdw sistemas de EE.DD.OO. t,x1x4,dx1dx4 (notación alternativa) a, b, c uso de variables libres * dx es normalmente dx/dt en dx/dt = f(x,t) ** d2x es d x/dt Constante Valor ========== =============================== D Convierte grados en radianes = p / 180 e Número de Euler = 2.7182... pi (o p) p = 3.14159... Nota: por defecto, todas las funciones trigonométricas trabajan en radianes, no en grados. Puedes convertirlos usando la constante d: p.e. sin(45d) = sin (p/4) cos (x*d) = coseno de x, en grados (deberías cambiar el rango de x desde 0 hasta 360 para obtener la gráfica completa) . Algunos Ejemplos .

Función Representada Algebraicamente

Debe Digitarse

01. ( ) 2 1f x x= + 2 1y x= +

02. ( ) 35 2 2f x x x= + 5 ^3 2 2y x x= +

03. ( ) 3 1f x x= ( )3 1y sqrt x=

04. ( )3 2

2

2.1 10.2 4

2.5 9

x x xf x

x x

+ +=

+ ( ) ( )^3 2.1 ^2 10.2 4 / ^2 2.5 9y x x x x x= + + +

05. ( ) 53 1f x x= ( ) ( )3 1 ^ 1/5y x=

06. ( ) mnf x x= ( ) ( )^ /y x m n=

07. ( )

2

25

3

xf x

x

=

+

( ) ( )2 / 5 2 /3y x sqrt x= +

08. ( )( )( )

2

2 3 1f x

x x= ( )( )( )2/ 2 3 1y x x=

09. ( ) 3 22

xf x e= ( )2 ^ 3 - 2y e x=

10. ( ) ( )2

log 2 1f x x= ( )log 2 1 ^2y x=


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11. ( ) ( )3log 2f x x= ( ) ( )log 2 ) / log 3y x=

12. ( ) 2 2

2log

xf x

x= ( )log((2 ) /( ^ 2)) / log 2y x x=

13. ( ) 4 2f x x= + ( )2 ^ 2 3 5y abs x= +

. Definir Dominio . Se puede llevar a cabo la representación gráfica de una función bajo un dominio específico. Para ello debe indicarse claramente el dominio deseado. Se digita la función que se desea graficar y seguidamente se indica el dominio, el

cual se escribe de la forma { },a b donde a es el extremo inferior y b el extremos

superior. Recuerde que se debe cumplir que a b< . En caso de que su teclado no tenga este comando directo puede recurrirse al

comando " 123"Alt para digitar { y al comando " 125"Alt para llamar al símbolo

}.

Ejemplo: 1. Supongamos que deseamos efectuar una representación grafica de la función

( ) 24f x x= con dominio [ ]2,3 .


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Nótese que se digita { }^ 2 4 -2,3y x= y obtenemos la representación grafica

de la función deseada en un respectivo intervalo. Observación: estudie con cuidado cada uno de los íconos de la barra de herramientas, para que observe más funciones interesantes que el programa le ofrece y amplié su conocimiento y manejo del software. Así tenemos que:

• “limpiar pantalla”: borra todas las graficas presentes en la pantalla. • “borrar grafica”: borra la grafica que sea seleccionada con el cursor. • “zoom dentro” y “zoom fuera”: Amplia o disminuye el tamaño de la

gráfica. • “cuadrícula por defecto”: muestra el tamaño normal de la gráfica que el

programa establece desde el inicio de la graficación. • “cursor de coordenadas”: muestra el par ordenado de cualquier punto en el

plano cartesiano. • Una función interesante es colocar el cursor de coordenadas sin darle clic

sobre algún punto de la gráfica y moverlo con ayuda de las teclas dirección.

• “ver papel gráfico”: puede cambiar a papel logarítmico, trigonométrico y coordenadas polares”.


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• “opciones. Mostrar tablas”: muestra una tabla de la función grafica. Aquí

puede observar los pares ordenados ( ),x y que desee.

• “opciones. Mostrar barras de desplazamiento”: muestra barras con las cuales se puede desplazar en el plano cartesiano.

• “punto evaluar”: calcula el valor de la imagen y al darle algún valor a la

preimagen x . • “punto: introducir dominio”: permite redefinir o definir el dominio de la

función seleccionada con el cursor.

Zoom dentro y Zoom fuera Una función importante es el zoom pues podemos seleccionar un área específica de estudio en el plano cartesiano con el cursor y luego presionar zoom dentro o zoom fuera. Esto permite ampliar o disminuir la región seleccionada. Se puede aplicar esto para obtener un acercamiento o alejarse con el propósito de observar quizá algún punto de intersección de dos o inclusive varias gráficas.


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. Estudio de Límites . En el estudio de límites se requiere determinar si existe o no un limite de una función cuando la variable independiente tiende a algún valor específico. Para ello se requiere de algunos métodos algebraicos si la función se nos presenta de forma algebraica.


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Graphmatica permite realizar una representación gráfica de la función lo cual nos permite interpretar lo que esta sucediendo. Veamos algunos ejemplos generales:

1. Supongamos que requerimos estudiar el siguiente límite 0

lim(2 1)x

x + , si existe.

Graficamos la función y obtenemos que:

Con ayuda de la representación gráfica podemos concluir que 0

lim(2 1) 1x

x + = , lo

cual lo podemos comprobar algebraicamente pues este es un límite de sustitución directa:

0lim(2 1) 2 0 1 1x

x + = + =

2. Hallar el 3 2

22

2.1 10.2 4lim

2.5 9x

x x x

x x

+ +=

+, si existe.


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Se pude apreciar que el 3 2

22

2.1 10.2 4lim

2.5 9x

x x x

x x

+ +=

+, es aproximadamente 1.57

3. Determine 0

1limx x

, si existe.

Se puede apreciar que este límite no existe. . Estudio de Derivadas .

+


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Con ayuda de graphmatica se puede graficar la función ( )f x y al mismo tiempo

se puede trazar su respectiva derivada ( )d

f xdx

= . Al sobreponer el cursor sobre

la gráfica de la derivada de ( )f x se muestra en la pantalla de edición de

ecuaciones la respectiva ecuación de ( )d

f xdx

= con lo cual podemos comprobar

si se a derivado correctamente cualquier función. Veamos algunos ejemplos:

1. Dada la función ( ) 22 2 1f x x x= + . Halle ( )

df x

dx= .

En la pantalla de edición de ecuaciones y=2 + 4*x ' derivada de y=2x^2+2x-1. Podemos concluir entonces que:

( ) 4 2f x x= + , es la derivada de la función ( ) 22 2 1f x x x= + .

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