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7/21/2019 graueradiano
http://slidepdf.com/reader/full/graueradiano 1/2
ONDE USAR O GRAU? ONDE USAR O RADIANO?
Autor: Alzir Fourny Marinhos
As vezes ficamos perguntando: Por que os livros didáticos não apresentam as
justificativas para o uso das medidas angulares em radiano? Essa pergunta surge nosestudos da Trigonometria e em alguns tópicos da Geometria Plana. Na trigonometria osângulos são definidos, de um modo geral, em radiano. Na geometria, como umexemplo, podemos citar o problema: Ache a área do setor circular de raio 2 cm e ângulocentral igual a 60 0.
A fórmula da área do setor circular é:2
2
1r x xS
Poderíamos fazer assim?
20
4602
1cm x xS = 120
0 .
cm2
Graus . cm 2 é unidade de área? Não é. Logo, não podemos fazer desta maneira.
Seja a figura em que definimos um arco AB:
A unidade radiano determina quantas vezes o raio está no arco AB. Esse valor é igual ao ângulo central.
Por exemplo: Achar a medida, em radianos, do arco AB, de comprimento4,8 cm, num círculo de raio 2 cm.
Se dividirmos o comprimento do arco, 4,8 cm, pelo comprimento do raio, 2 cm,estaremos achando um número que estabelece quantas vezes o raio está no arco.
Arco AB = rad cm
cm4,2
2
8,4 (rad é abreviatura de radiano).
Significa que o arco tem 2 vezes o raio mais 2/5 do raio.
Observe que simplificamos as unidades de comprimento gerando o número 2,4.Este número não tem dimensão.
7/21/2019 graueradiano
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Consequëntemente, para medir um ângulo em radianos, convém calcular adivisão entre o comprimento do arco e o raio , ou seja, calcular quantos radianos
mede o arco . Portanto, como consequência da definição de radiano, podemosestabelecer a seguinte relação:
e devem estar na mesma unidade de comprimento.
Agora vamos definir um radiano: É um arco de circunferência cujo comprimentoé igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido.
Como fazer uma relação entre as medidas dos arcos na unidade grau e emradiano?
Por exemplo, quando fazemos a leitura de um arco, que tem o seu ângulo centralde 360 0, num círculo de raio r, podemos ter, na forma de radiano:
2..2
r
r ( sem dimensão, já que simplificamos os raios e consequentemente as
unidades de comprimento). Significa dizer que 3600 mede 2 rad ou 6,28aproximadamente. Isso indica que qualquer circunferência tem, como comprimento,aproximadamente 6,28 vezes o seu raio.
Voltando ao exercício da área do setor circular:
Vamos definir o ângulo central 60 0como .3rad
( rad 3
é a medida do arco que
corresponde o ângulo central de 600).
Então:
S = 2)2(
32
1cm
= 2
432
1cm
= 2
3
2cm
.
Se substituirmos por 3,14 teremos a área do setor circular igual,aproximadamente, a 2,09 cm2.
Devemos usar a unidade grau quando estamos definindo um ângulo formado pordois segmentos de reta ou duas semi-retas. Como exemplo: Os ângulos do triângulo são60 0, 110 0 e 10 0. Devemos usar a unidade radiano quando estamos definindo umângulo central que representa um arco de circunferência. Como exemplo: O ângulo doarco de meia volta da circunferência é rad.