Grcka

Poglavlje 3

Grcka matematika

Geografski, anticka Grcka uz danasnju Grcku obuhvaca i zapadnu Tursku (Jonija),juznu Italiju sa Sicilijom, a kasnije i Aleksandriju.

Poceci grcke matematike pojavljuju se u Joniji, pokrajini s najvecim utjecajemstarih civilizacija. Razvoj se nastavlja u juznoj Italiji, kamo su stigli mnogi politickiemigranti iz Jonije, a poslije rata s Perzijancima i poraza Perzije 490. pr. Kr. kul-turni i znanstveni centar postaje Atena. Kasniji znanstveni centar je Aleksandrija,osnovana 331. pr. Kr., koja je poziciju znanstvenog centra zadrzala sve do oko 500.n. e. Jedan od glavnih izvora o starogrckoj matematici su komentari Euklidovih Ele-menata koje je napisao Proklos, zadnji veliki grcki filozof, koji je zivio u 5. stoljecun. e.

3.1 Predeuklidsko doba

3.1.1 Tales

Prvi poznati grcki matematicar je filozof, znanstvenik i inzinjer Tales iz Mileta(ca. 624.− 547. pr. Kr., Milet, danasnja Turska). Filozof miletske skole, vjerovao jeda je voda izvor svega. Nijedno njegovo djelo nije opstalo pa se ne zna je li uopceista pisao, a ako i jest, ta su djela nestala vec prije Aristotela. Prema Proklosu, Talesje iz Egipta prenio geometrijska znanja u Grcku. Pripisuje mu se tocno predvidanjepomrcine Sunca u svibnju 585. pr. Kr. Poznato je i njegovo koristenje svojstavaslicnih trokuta za racunanje udaljenosti broda od obale i visine piramide (koju je

15

16 POGLAVLJE 3. GRCKA MATEMATIKA

prema vise izvora izmjerio cekajuci da sjena covjeka bude jednaka njegovoj visini,tako da to i nije bitno matematicko dostignuce). Pripisuju mu se iducih pet teorema:

1. Svaki dijametar raspolavlja krug.

2. Kutevi uz osnovicu jednakokracnog trokuta su jednaki.

3. Vrsni kutevi su jednaki.

4. KSK-teorem o sukladnosti trokuta (dva trokuta su sukladna ako imaju jednujednako dugu stranicu i jednake njoj prilezece kuteve).

5. Talesov teorem: Kut nad dijametrom kruga je pravi.

Dokaz ovog teorema, koristeci poznavanje cinjenice da je suma kuteva u trokutujednaka dva prava kuta (sto vjerojatno nije bilo poznato Talesu), ide ovako:s donje slike vidimo da je α + β = 2γ + α = 2δ + β = π pa je γ + δ =12(2γ + 2δ + α + β − α− β) = 1

2(π + π − π) = π

2.

Sve gornje teoreme su empirijski sigurno znali vec i Egipcani i Babilonci, ali jeTales (vjerojatno) prvi koji je ove teoreme dokazao. Prva cetiri teorema pripisuje muProklos, a peti mu se pripisuje na osnovi odjeljka u knjizi Diogenesa Laertiusa (2. st.n. e.) Vrijedi napomenuti da u opisu drugog teorema Proklos koristi rijec znacenjavise

”slican” nego

”jednak” i vjerojatno je da Tales nije imao nacina za mjerenje

kuteva. Cetvrti teorem mu se pripisuje jer je Eudemos tvrdio da je Tales sigurnomorao znati taj teorem za svoju metodu nalazenja udaljenosti broda od obale, iakoje ista metoda mogla biti nadena i eksperimentalno, bez svijesti o cetvrtom teoremu.

3.1.2 Pitagorejci

Pitagora sa Samosa (ca. 570. − 500. pr. Kr.) se cesto navodi kao prvi pravimatematicar, ali se zapravo dosta malo zna o njegovim matematickim dostignucimajer nijedno njegovo djelo nije opstalo. O njegovu zivotu postoje biografije koje koristeoriginalne izvore, ali uglavnom od autora koji mu pridaju bozanske moci. Niti zajedan pitagorejski teorem ne moze se sa sigurnoscu reci da je Pitagorin jer su pitago-rejci sva svoja matematicka otkrica pripisivali njemu. Bitni dogadaji iz Pitagorinogzivota se uglavnom dadu rekonstruirati, ali oko datuma postoje velika razilazenja(i do dvadeset godina). Roditelji su mu bili s otoka Samosa, otac trgovac iz Tire.Pitagora ja kao dijete puno putovao sa svojim ocem, vjerojatno u Tiru, Italiju i

3.1. PREDEUKLIDSKO DOBA 17

drugdje. Bio je dobro obrazovan, a na njega su u njegovoj mladosti osobit utjecajimali tri filozofa: Ferekid, njegov ucitelj, te Tales i njegov ucenik Anaksimandar(oba su zivjela u Miletu), koji su ga upoznali s matematickim idejama. Tales ga jevjerojatno zainteresirao za matematiku i astronomiju i savjetovao mu da putuje uEgipat da bi vise o njoj naucio. Anaksimandra je zanimala geometrija i kozmologijai njegove ideje su sigurno utjecale na Pitagoru. Oko 535. pr. Kr. Pitagora odlaziu Egipat, koji je u to doba bio u bliskim kontaktima sa Samosom, gdje je posjetiomnoge hramove i razgovarao sa svecenicima. Mnogi obicaji iz Egipta vide se unjegovoj kasnijoj zajednici, pitagorejskoj skoli, npr. tajnost svecenistva, odbijanjegraha kao hrane, vegetarijanstvo (cak nisu htjeli nositi koznu odjecu) i teznja cistoci.Godine 525. pr. Kr. Perzijanci osvajaju Egipat i Pitagora pada u zarobljenistvo tega odvode u Babilon. Oko 520. pr. Kr. Pitagora se vraca u Samos (ne zna se tocnokako je osloboden). U Samosu ce osnovati i skolu,

”polukrug”. Oko 518. pr. Kr.

odlazi u juznu Italiju (po nekima i puno ranije), mozda jer njegov nacin naucavanjanije bio dobro prihvacen, a vjerojatno i iz politickih razloga. U Krotonu (danasCrotone, juzna Italija) osniva filozofsko – religioznu skolu poznatu kao pitagorejskaskola, koja je imala mnogo sljedbenika. Clanovi njenog uzeg kruga zvali su semathematikoi, sto je prva upotreba rijeci matematika, ali njeno moderno znacenjedao joj je tek Aristotel. Mathematikoi su bili stalni clanovi koji su zivjeli u tojzajednici, bez osobnog vlasnistva i vegetarijanci. Bitna vjerovanja bila su da jestvarnost u biti matematicka, da se filozofijom moze procistiti duh, da se dusa mozeuzdici do jedinstva s bozanskim, da neki simboli imaju misticko znacenje i da sviclanovi reda moraju postivati strogu lojalnost i tajnost. U zajednici je bilo i zena,cak su mnoge kasnije pripadnice pitagorejske skole postale poznati filozofi. Sirikrug zajednice, akousmatikoi, cinili su ljudi koji su zivjeli u svojim kucama, smjeliimati svoje stvari i nisu morali biti vegetarijanci, a u skolu su dolazili preko dana.Neovisno o matematickim rezultatima samog Pitagore, skola je svakako dala bitnematematicke doprinose.

Pitagorejce su zanimali osnovni principi matematike, kao npr. koncept broja,trokuta ili drugog lika, te apstraktna ideja dokaza. Tako oni dolaze do nama danasprirodne apstrakcije u kojoj 2 vise nije 2 broda ili 2 jabuke, nego apstraktna velicinakoja je sama po sebi objekt. Pitagorejci su vjerovali da je sve broj tj. da se sve mozeshvatiti preko (prirodnih) brojeva i njihovih omjera (tj. razlomaka). To ucenje kaoposljedicu ima ocekivanje da je (ako je zadana jedinicna duzina) svaka duzina cjelo-brojna ili racionalna, odnosno: sve duzine su sumjerljive jedinicnoj (dvije velicine susumjerljive ako im je omjer racionalan broj). Napomenimo da je svaki pitagorejskibroj imao osobnost, tj. pitagorejci su vjerovali u numerologiju.

Pitagorejci su otkrili postojanje iracionalnih brojeva, iako se to protivi spomenu-toj filozofiji. Konkretno, pokazali su da

√2 nije racionalan tj. da dijagonala kvadrata

nije sumjerljiva stranici kvadrata. Dokaz da postoje nesumjerljive duzine mozese naci kod Aristotela, ali je to pitagorejsko otkrice koje su zbog kontradikcije svjerovanjem clanovi skole pokusali zadrzati u tajnosti. Tako je navodno Hippasus izMetaponta oko 470. pr. Kr. istjeran iz skole jer svoje otkrice dodekaedra nije pripisaoPitagori, a po predaji se utopio za kaznu sto je izdao tajnu o nesumjerljivosti stranicei dijagonale kvadrata. Dokaz te nesumjerljivosti je uobicajeni dokaz iracionalnosti


broja√

2 koji koristi svojstva parnih, neparnih i kvadratnih brojeva (opisana nize uodjeljku o pitagorejskoj aritmetici).

Teorem 2 Stranica kvadrata nije sumjerljiva njegovoj dijagonali.

Dokaz:Neka je dan kvadrat s vrhovima 1, 2, 3, 4. Neka su polovista njegovih stranicaA,B,C, D. Kao i 1234, tako je i ABCD kvadrat. Ucrtajmo i dijagonale AC iBD, neka je njihovo sjeciste (i time srediste oba kvadrata) S. Sad imamo jedanveliki kvadrat 1234 koji je po povrsini ocito dvostruki ABCD i cetverostruki 1ASD:

1 2

34

A

BD

C

S

Pretpostavimo da su stranica i dijagonala kvadrata sumjerljive. To znaci dapostoje prirodni brojevi m, n i duljina d takvi da je |BD| = md i |AD| = nd.Ako bi brojevi m i n bili oba parni, mogli bismo uzeti 2d umjesto d, dakle mozemopretpostaviti da je bar jedan od brojeva m i n neparan. Kako je povrsina od 1234dvostruka povrsina od ABCD, slijedi m2d2 = 2n2d2 pa m mora biti paran (jer jeparan kvadratni broj cetverostruki kvadratni). Stoga je |SD| = kd za neki priro-dan k. Sad pak jer je povrsina od ABCD dvostruka povrsina od 1ASD slijedin2d2 = 2k2d2 pa n mora biti paran. Dakle su i m i n parni, sto je kontradikcija spretpostavkom. ¤

Pitagorejska dostignuca osobito su znacajna u cetiri podrucja: aritmetici (s os-novama teorije brojeva), geometriji, astronomiji i glazbi. Vecina njihovih rezultataskupljena je u Euklidovim Elementima, o kojima ce biti rijeci u iducem poglavlju.

U astronomiji pitagorejci uce da je Zemlja sfera (vjerojatno jer je sfera ”savrsena”)u sredistu svemira. Uocili su nagib Mjeseceve orbite prema Zemljinom ekvatoru ida je vecernjaca isto sto i jutarnja zvijezda (Venera).

U glazbi je poznato da su pitagorejci (vjerojatno Pitagora) uocili da vibrirajucezice daju harmonicne tonove ako su im omjeri duljina cjelobrojni.

Oko 508. pr. Kr. pitagorejska je skola napadnuta i vjerojatno je Pitagora pobje-gao u Metapont i tamo umro, a po misljenju nekih povjesnicara se ubio. Drugi izvoritvrde de se Pitagora kasnije vratio u Kroton. Sigurno je da je skola jos dugo opstalai prosirila se i u druge talijanske gradove. Mnogi izvori tvrde da je Pitagora doziviooko sto godina. Iza 500. pr. Kr. skola se prosirila, ali i postala vise politicka i ras-pala se na frakcije. Godine 460. pr. Kr. je ponovno napadnuta, a mnogi pitagorejcipobijeni.

Pitagorejska aritmetika

Pitagorejci su proucavali razne vrste prirodnih brojeva: svojstva parnih i neparnihbrojeva, zatim savrsene i prijateljske brojeve te razne figurativne brojeve. Poznavalisu i odnos izmedu aritmeticke, geometrijske i harmonijske sredine dva broja.


Figurativni brojevi su prirodni brojevi koje mozemo prikazati slaganjem ka-mencica u geometrijske likove.

Trokutni brojevi su oblika

Tn = 1 + 2 + . . . + n =n(n + 1)

2

tj. npr. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21:

◦◦ ◦◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Medu trokutnim brojevima i brojevima uopce, pitagorejci su osobitu paznju pri-davali broju 10 = 1 + 2 + 3 + 4 koji je predstavljao cetiri elementa (vatra, voda,zrak, zemlja). Pokazali su da je zbroj dva uzastopna trokutna broja jednak sumiuzastopnih neparnih brojeva:

Tn + Tn+1 = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n + 1).

Kvadratni brojevi su oblika n2 i pitagorejci su pokazali da se mogu prikazatikao

n2 = 1 + 3 + . . . + (2n− 1)

Na primjeru 52 dokaz te tvrdnje bi izgledao ovako:

• ◦ • ◦ •◦ ◦ • ◦ •• • • ◦ •◦ ◦ ◦ ◦ •• • • • •

Kvadratni brojevi su jednaki zbroju dva uzastopna trokutna broja:

◦ ◦ ◦ ◦ •◦ ◦ ◦ • •◦ ◦ • • •◦ • • • •• • • • •

Pitagorejci su pokazali i da je parni kvadratni broj cetverostruki kvadratni (tj.ako je kvadratni broj djeljiv s 2 onda je djeljiv i s 4), a da je neparni kvadratni brojosmerostruki trokutni uvecan za 1 (tj. ako je broj n neparan, onda 8 dijeli n2 − 1).

Pravokutni brojevi su oblika

n(n + 1) = 2 + 4 + . . . + 2n


Formula Tn = n(n+1)2

za trokutni broj lako se graficki pokaze jer tvrdi da je pra-vokutni broj dvostruki trokutni:

n(n + 1) = 2 · (1 + 2 + . . . + n)

• • • • ◦• • • ◦ ◦• • ◦ ◦ ◦• ◦ ◦ ◦ ◦

Razlikuju se i ravninski brojevi (slozeni) i pravcasti brojevi (prosti). Odfigurativnih brojeva spominju se i pentagonalni (1 + 4 + 7 + . . . + (3n− 2) = 3n2−n

2)

i heksagonalni (1 + 5 + 9 + . . . + (4n− 3) = 2n2 − n), te prostorni brojevi (kockastitj. oblika n3, piramidalni tj. sume uzastopnih kvadratnih brojeva i tetraedalni tj.sume uzastopnih trokutnih brojeva).

pentagonalni brojevi

15

1222

35

heksagonalni brojevi

16

1528

45

Savrseni brojevi su prirodni brojevi koji su jednaki zbroju svih svojih pravihdjeljitelja i pripisivana su im magicna svojstva. Savrseni brojevi

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

su vjerojatno poznati vec mnogo ranije. Moze se reci da su savrseni brojevi oni bro-jevi koji su prijateljski sa sobom (prijateljski brojevi su parovi prirodnih brojevatakvi da je svaki jednak sumi pravih djeljitelja drugog, npr. 220 i 284 – to je vjero-jatno jedini takav par kojeg su pitagorejci poznavali). U Euklidovim Elementima(EE IX 36) nalazi se rezultat koji je vjerojatno pitagorejski:

Teorem 3 Ako je p = 2m − 1 prost broj, onda je n = 2m−1p savrsen.

Dokaz:Ako je p = 2m−1 prost, onda n ima djeljitelje: 1, 2, 22, . . . , 2m−1, p, 2p, 22p, . . . , 2m−1p(slijedi iz osnovnog teorema aritmetike o jedinstvenoj faktorizaciji prirodnih brojevana proste faktore, kojeg je dokazao tek Gauss 1801, no u Euklidovim Elementima(EE IX 14) je dan dokaz za potreban specijalni slucaj, a koji je vjerojatno takoderpitagorejski rezultat). Slijedi da je suma svih djeljitelja od n jednaka (1+p)(1+2+. . .+2m−1) = (1+p)p = 2n. Kako smo ukljucili i n medu djeljitelje, oduzimanjemn dobivamo da je suma pravih djeljitelja od n jednaka n. Koristena formula za


sumu geometrijskog niza se takoder moze naci u Euklidovim Elementima (EE IX35) i vjerojatno je bila poznata pitagorejcima. ¤

Prosti brojevi oblika 2m−1 danas su poznati kao Mersenneovi brojevi, a naz-vani su po Marinu Mersenneu koji je u 17. stoljecu koristeci gornji teorem pronasaoprvih osam savrsenih brojeva (za n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31). Do danas nije poznatopostoji li beskonacno mnogo Mersenneovih brojeva.

Vezano za Pitagorin teorem (vidi nize), pitagorejci su proucavali pitagorejsketrojke spomenute vec u poglavlju o Babiloncima. Lako se vidi da pitagorejskihtrojki ima beskonacno mnogo (za svaki broj n ∈ N brojevi 2n, n2 − 1 i n2 + 1 cinepitagorejsku trojku). U Euklidovim Elementima nalazi se

Teorem 4 (Teorem o pitagorejskim trojkama) Ako su a, b, c relativno prostiprirodni brojevi takvi da je

a2 + b2 = c2

a = 2mn

b = m2 − n2

c = m2 + n2

za neke m,n ∈ N, onda je tocno jedan od m i n paran, a drugi neparan. Jedinepitagorejske trojke (a, b, c) s a, b, c relativno prostima su gornjeg oblika.

Dokaz:Kad bi i m i n bili parni, onda bi i a, b i c bili parni, sto je nemoguce jer su relativnoprosti. Ako bi pak oba bili neparni, onda bi lijeva strana jednakosti a2 + b2 = c2 pridijeljenju s 4 davala ostatak 2, a desna ostatak 0, sto je takoder nemoguce. ¤

Pitagorejska geometrija

Kao sto je spomenuto, teorem danas poznat kao Pitagorin bio je poznat Babiloncimaoko 1500 godina ranije, no Pitagora (ili koji drugi pitagorejac) je prvi koji ga jedokazao. Takoder je bitno istaknuti da je pitagorejcima poznat potpun teorem,ukljucivsi i obrat:

Teorem 5 (Pitagorin teorem) Zbroj kvadrata nad katetama pravokutnog trokutajednaka je kvadratu nad hipotenuzom. Obratno, ako neki trokut ima svojstvo da jezbroj kvadrata nad dvije njegove stranice jednaka kvadratu nad trecom, onda se radio pravokutnom trokutu.

Pod kvadratima pitagorejci, kao i ostali starogrcki matematicari podrazumije-vaju ne potencije brojeva (duljina stranica), nego geometrijske likove. Stoga jeizvorno shvacanje teorema bilo: u pravokutnom trokutu zbroj povrsina kvadratanad katetama je jednaka povrsini kvadrata nad hipotenuzom (a povrsine su jednakeako je jednu moguce rastaviti na dijelove od kojih se moze sastaviti druga).


Dokaz (da za pravokutni trokut vrijedi da je zbroj kvadrata nad katetama jednakkvadratu nad hipotenuzom):

Promotrimo iducu sliku.

A

A1

A2

C1

B1

B2

C2

B

E

D

C

Pokazuje se da je pravokutnik AA2ED po povrsini jednak kvadratu ACC2A1,i (analogno) da je pravokutnik DEB2B jednak kvadratu BB1C1C, pa je zbrojspomenutih kvadrata jednaka kvadratu AA2B2B. Pravokutnik AA2DE ima dvostru-ku povrsinu kao trokut AA2C jer imaju istu bazu (AA2) i istu visinu (DA je dugakao visina spustena iz C na AA2). Kvadrat ACC2A1 ima dvostruku povrsinu kaotrokut ABA1 jer imaju istu bazu (A1A) i istu visinu (CA je duga kao visina spustenaiz B na A1A). Trokuti AA2C i ABA1 su sukladni (dvije jednake stranice i kut medunjima) pa slijedi jednakost povrsina prvog para pravokutnik – kvadrat. Analognose vidi i jednakost povrsina drugog para pravokutnik – kvadrat. Kako je ocito zbrojpravokutnika jednak kvadratu nad hipotenuzom, slijedi teorem. ¤

Ovakvo geometrijsko shvacanje operacija s brojevima poznato je kao geometrij-ska algebra, koja je karakteristicna za citavo razdoblje klasicne grcke matematike.Osnovna ideja je da dva poligona imaju jednaku povrsinu - ”jednaki su” - ako sejedan moze rastaviti na trokute od kojih se moze sastaviti drugi. Tako se npr.linearne i kvadratne jednadzbe rjesavaju geometrijski.

Primjer 1 Rjesenje jednadzbe ax = b2 geometrijskom algebrom dobije se kao naiducoj slici (uocimo homogenost dimenzija u jednadzbi – lijeva i desna strana jed-nadzbe su dimenzije 2). Buduci dijagonala raspolavlja pravokutnik, a ociti su parovisukladnih trokuta, slijedi jednakost kvadrata b2 i pravokutnika ax tj. x je trazenaduljina.

b

b

a

x

b2

ax

Jedan od povijesno najpoznatijih problema geometrijske algebre je konstrukcijadijeljenja duzine u omjeru zlatnog reza. Ako je zadana duzina duljine a potrebnoje na njoj odrediti tocku tako da se cijela duzina odnosi prema vecem od dobivenadva dijela duzine (x) kao taj dio prema manjem dijelu (a− x):

a : x = x : (a− x)


Suvremenim zapisom vidimo da se radi o rjesavanju kvadratne jednadzbe

x2 + ax− a2 = 0

cija rjesenja su

x1,2 =−a±

√5a2

2= a

−1±√5

2.

Od ta dva rjesenja samo pozitivno rjesenje

x = a

√5− 1

2

ima geometrijski smisao. Geometrijskom algebrom, to se rjesenje dobiva iducomkonstrukcijom:

a/2

a5_2

a/2

a

x

Geometrijskom algebrom dokazani su i razni drugi algebarski identiteti. Nekecemo predstaviti i u opisu Euklidovih Elemenata u kojima se nalazi niz pitagorejskihrezultata. Primjera radi, ovdje cemo prikazati jos jedan geometrijsko – algebarskiidentitet.

Primjer 2 Dokaz da je

(2a + b)2 + b2 = 2a2 + 2(a + b)2

geometrijskom algebrom dan je iducom slikom:F E

A B

CD

G

a a

a

b

b

Sa slike se vidi da je

|AG|2 = |AD|2 + |DG|2 = |AF |2 + |FG|2 = (|AB|2 + |BF |2) + (|EF |2 + |EG|2)

Osim rezultata iz geometrijske algebre, postoji i niz drugih geometrijskih rezul-tata pitagorejaca. Vjerojatno je da su pitagorejci prvi dokazali da je zbroj kuteva utrokutu jednaka dva prava kuta, a pokazali su i generalizaciju tog teorema.

Teorem 6 Suma kuteva u trokutu iznosi dva prava kuta. Suma kuteva u n-terokutuiznosi 2n− 4 prava kuta.


Dokaz:Da je zbroj kuteva u trokutu jednak dva prava kuta vidi se s iduce slike (gornjipravac je paralelan donjoj stranici trokuta).

a

a

b

bg

Buduci se n-terokut moze rastaviti na n−2 trokuta povlacenjem svih dijagonalaiz jednog njegova vrha, zbroj kuteva u n-terokutu je 2n− 4 prava kuta. ¤

Pitagorejci su poznavali i pet Platonovih tijela tj. pravilnih poliedara. SamPitagora je vjerojatno znao konstruirati samo prva tri: tetraedar, kocku i oktaedar.Konveksan poliedar je pravilan ako su mu sve strane medusobno sukladni pravilnipoligoni takvi da se u svakom vrhu sastaje isti broj tih poligona. To su iducih petPlatonovih tijela, nazvanih po filozofu Platonu koji u dijalogu Timej govori kako jesvemir stvoren iz tih pet tijela:

• tetraedar (4 pravilna trokuta i po 3 brida kroz svaki vrh) pripisan vatri,

• kocka (6 kvadrata i po 3 brida kroz svaki vrh) pripisana zemlji,

• oktaedar (8 pravilnih trokuta i po 4 brida kroz svaki vrh) pripisan zraku (ovatri tijela se pojavljuju u prirodi kao celije kristalnih resetaka),

• ikozaedar (20 pravilnih trokuta i po 5 bridova kroz svaki vrh) pripisan vodi i

• dodekaedar (12 pravilnih peterokuta i po 3 brida kroz svaki vrh) pripisancjelokupnom svemiru.

Povjesnicari teoriju Timeja pripisuju Pitagori odnosno pitagorejcima. Dokaz dapravilnih poliedara ima tocno pet moze se naci u Euklidovim Elementima. Bitno jeuociti da su anticki Grci sva osnovna svojstva tih tijela znali dokazati bez trigono-metrije i matematicke analize.

Proucavanje Platonovih tijela je u uskoj vezi s danas razvijenom granom poploca-vanja ravnine i popunjavanja prostora pravilnim ili polupravilnim likovima odnosnotijelima, a koja ima primjene u kristalografiji i umjetnosti. Pitagorejci su znalida postoje tocno tri nacina za prekrivanje (bez preklapanja) povrsine pravilnimpoligonima: buduci je suma kuteva u n-terokutu 2n − 4 prava kuta, znaci da je upravilnom n-terokutu svaki kut jednak α = 2n−4

npravih kuteva. Ako se u nekoj

tocki ravnine sastaje m pravilnih n-terokuta (tj. njihovih vrhova), mora biti

mα = m · 2n− 4

n· π

2= 2π


a

a

a

a

a

a

aa

Ispitivanjem raznih kombinacija za m i n (koji moraju biti prirodni brojevi!)dobije se da su jedine mogucnosti za n = 3 i m = 6, za n = 4 i m = 4 te zan = 6 i m = 3 tj. moguce je prekrivanje samo pravilnim trokutima, cetverokutimai sesterokutima.

3.1.3 Peto stoljece prije Krista

Tokom 5. st. pr. Kr. grcki matematicari ponajvise se bave s tzv. tri klasicna problemakojima je posveceno iduce poglavlje. Uz rad na tim problemima, istaknuti su ifilozofski pristupi matematici, od kojih treba spomenuti dva.

Grcki filozof Zenon iz Eleje (490. − 425. pr. Kr.) za matematiku je zanimljivzbog svojih 40 paradoksa. Svi proizlaze iz dvije pretpostavke: ako se neka velicinamoze podijeliti na dva dijela, to se moze uciniti beskonacno mnogo puta; ne mozepostojati stvar bez velicine. Najzanimljiviji njegovi paradoksi vezani su za kretanje:da bi se stiglo do kraja puta, mora se doci do njegove polovine; da bi se doslo dopolovine, mora se doci do njene polovine tj. cetvrtine polaznog puta itd. Iz togaZenon zaljucuje da gibanje ne moze ni poceti (suma 1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . nikadne postize vrijednost 1). Najpoznatiji je paradoks o Ahilu i kornjaci: brzonogiAhil ne moze stici sporu kornjacu. Recimo da je Ahil dvostruko brzi od kornjace.Ako je na pocetku kornjaca na nekoj udaljenosti ispred Ahila (recimo 10 metara) ioboje pocinju trcati u istom smjeru u istom trenu, onda kad je Ahil presao pocetnuudaljenost od 10 metara, kornjaca je 5 metara ispred njega. Dok Ahil prede tih5 metara, kornjaca ih je presla jos 2, 5. Dok Ahil prede tih 2, 5 metara, kornjacaje opet ispred njega za 1, 25 metara i tako unedogled: kad god Ahil dode na nekuprethodnu kornjacinu poziciju, ona je jos malo ispred njega. Ahilov put bismo danasopisali konvergentnim geometrijskim redom 10+5+2, 5+1, 25+ . . . = 10

∑12n = 20,

a kornjacin je put 5 + 2, 5 + 1, 25 + . . . = 10∑

12n = 10; kako je na pocetku Ahil bio

10 metara iza, slijedi da ce oboje u beskonacnosti doci na isto mjesto, a za dovoljnovelik n udaljenost medu njima bit ce dovoljna za sve prakticne potrebe :-).

Prema opisanom vidi se da su Zenonova razmatranja bitna za razvoj teorijeinfinitezimalnih (beskonacno malih) velicina. Uz Zenona, vazan je i Demokrit izAbdere (460. − 370. pr. Kr.), poznat po svojoj teoriji da se materija sastoji odosnovnih, nedjeljivih cestica - atoma - koje su u stalnom pokretu i izmedu kojihnema nicega. Pisao je i matematicka djela, od kojih nije nijedno opstalo. Demokritje postavio pitanje iz kojeg je, mozda, proizasla ideja izracunavanja volumena stoscakako je to kasnije ucinio Arhimed. Pitanje je:

”Ako je stozac presjecen ravninom


paralelnom bazi (time misli ravninom beskonacno bliskom bazi, op.a.), kako da sizamislimo plohe presjeka? Jesu li jednake ili razlicite? Jer, ako su razlicite, znaci daje stozac neravan kao s puno udubina, poput stepenica, i neravnina; a ako su jednake,stozac ce izgledati poput valjka sastavljen od jednakih, a ne razlicitih, krugova, stoje vrlo besmisleno.”

Znameniti filozof Platon (427.− 347. pr. Kr.) bio je ucenik Sokrata i pitagore-jca Teodora iz Kirene. Platon je neko vrijeme proveo u Egiptu, te Libiji (gdjese nalazi Kirena) i Italiji, gdje je upoznao Arhitu iz Tarenta. U Atenu se vratiooko 380. pr. Kr. i osnovao svoju Akademiju na cijem je ulazu stajao natpis: Nekaovamo ne ulazi nitko tko ne zna geometriju. Prema Papusu, Platon je uveo zaht-jev da se geometrijske konstrukcije rade iskljucivo ravnalom i sestarom, a za razvojmatematike je znacajan i zbog inzistiranja na jasnim definicijama, hipotezama ipostulatima, koncentracije na ideju dokaza i poticanja ucenja matematike. U svojojfilozofiji Platon matematiku smjesta u nematerijalni svijet, skupa s nepromjenjivim,Bogom, dobrim, hrabrosti i dusom. Platon razlikuje stvarni kvadrat (nematerijalantj. ideju kvadrata) od nacrtanog kvadrata (koji spada u materijalni svijet). Po pla-tonistickoj filozofiji matematicki objekti postoje neovisno o ljudskom razumu, dakleim se svojstva otkrivaju, a ne stvaraju. U njegovim se djelima mogu naci infor-macije o tadasnjoj matematici, osobito u dijalozima Timej i Teetet. U Timeju senalazi opis Platonovih tijela tj. pravilnih poliedara, a u Teetetu opis iracionalnihkvadratnih korijena. Izvor za Teetet je spomenuti Teodor iz Kirene (465. − 398.pr. Kr.) koji je dokazao iracionalnost

√2,√

3,√

5,√

6,√

7,√

8,√

10,√

11,√

12,√13,

√14,

√15 i

√17 (tj. nesumjerljivost stranice i dijagonale za kvadrate povrsine

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17). Nije poznat njegov dokaz, no vjerojatno seradi o generalizaciji vec ranije poznatog dokaza za

√2 koja daje i moguci razlog

zasto je stao bas na√

17: na donjoj se slici vidi da podizanjem okomica duljine1 redom na hipotenuze

√2,√

3, . . . dobivamo hipotenuze√

3,√

4, . . . i puni krugprelazimo tocno nakon hipotenuze

√17:

1

1

11

1

1

1

1

1

11 1

1

1

1

1

1

2

325

6

7

8

3

1011

1213

14

15

4

17

Generalizacija dokaza za√

2 na√

3 bila bi iduca: pretpostavimo da je katetaa pravokutnog trokuta kojem je druga kateta 1, a hipotenuza 2 (dakle a =

√3)

sumjerljiva s 1. Ako imamo pitagorejsku trojku a2 + b2 = c2 u kojoj je jedan od


brojeva neparan (u nasem slucaju b = 1), lako se vidi da su onda tocno dva odbrojeva a, b, c neparna. Kako je c = 2, slijedi da je a neparan. S druge strane, akoimamo pitagorejsku trojku a2 + b2 = c2 u kojoj je c paran, lako se vidi da a i bmoraju biti parni, pa bi a morao biti i paran, sto je kontradikcija.

Spomenimo jos da je za razvoj matematicke logike znacajan i Aristotel (384−322 pr. Kr.), koji je postavio zahtjev da svaka matematicka tvrdnja mora biti istinitaili lazna. Njegova materijalisticka filozofija primijenjena na matematiku povlacilaje promatranje iskljucivo konkretnih objekata. Tako npr. po Aristotelu pravac nijebeksonacan jer iako ga se moze nacrtati po volji dugog, nije ga moguce realiziratikao beskonacnog. Takoder, rijec npr.

”dva” po Aristotelu nije imenica koja opisuje

apstraktan objekt, nego pridjev koji opisuje konkretan objekt.

3.1.4 Tri klasicna problema

Tokom 5. st. pr. Kr. u radovima grckih matematicara iskristalizirala su se tri, za njihnerjesiva, problema. Ti su problemi imali izuzetno velik utjecaj na razvoj geometrije.To su:

1. Problem udvostrucenja kocke.

2. Problem kvadrature kruga.

3. Problem trisekcije kuta.

Pravilo, koje je vjerojatno ustanovila Platonova akademija (387. pr. Kr. – 529.n. e.), uvjetovalo je da se sve geometrijske konstrukcije moraju izvesti iskljucivoravnalom i sestarom, i to tako da se ravnalo koristi iskljucivo za spajanje dvijetocke, a sestar iskljucivo za crtanje kruznice sa zadanim sredistem i radijusom (teda se kao tocke mogu odrediti presjeci tako nastalih pravaca i kruznica).

Primjer 3 Bisekcija kuta tj. podjela kuta na pola ravnalom i sestarom je izvedivakako se vidi na slici:

Primjer 4 Simetrala duzine se takoder moze konstruirati ravnalom i sestarom:

A B


Primjer 5 Pravilni trokut zadane stranice se konstruira ravnalom i sestarom kakose vidi na iducoj slici

Primjer 6 Paralela sa zadanim pravcem kroz zadanu tocku i okomica na zadanipravac iz zadane tocke takoder se mogu konstruirati ravnalom i sestarom.

Anticki Grci znali su pomocu ravnala i sestara prikazati tzv. racionalne operacijes duzinama (zbrajanje, oduzimanje, mnozenje, dijeljenje, vadenje kvadratnog kori-jena):


a ba b+

a

ba-b

a

b

1

ab

1

ab

a b:

1a

a

Kad su na taj nacin pristupili spomenutim trima problemima, nasli su se uteskocama. Prije objasnjenja nemogucnosti tih konstrukcija slijedi opis pokusajagrckih rjesenja tih problema. Usprkos neuspjesima, ova tri problema postala suvazan motor razvoja matematike i pokusaji njihova rjesenja doveli su do niza novihotkrica.

Problem udvostrucenja kocke

Problem udvostrucenja kocke ili Delijski problem bio je najpoznatiji od spomenutatri problema. O njegovoj prvoj pojavi govore dva izvora. Po Teonu iz Smirne, kojicitira Eratostena, Atenjani su u doba epidemije kuge oko 430. pr. Kr. potrazili savjetprorocista na Delosu te dobili odgovor da trebaju izraditi oltar dvostruko veci odtadasnjeg kockastog oltara. Drugi izvor je Eutocius, koji u komentaru Arhimedovadjela O kugli i valjku govori da je kralj Minos zelio udvostruciti kockasti grob pjesnikaGlaukusa.

Sigurno je da su Grci vec dosta rano znali udvostruciti kvadrat:

Udvostrucenje proizvoljnog pravokutnika opisano je u drugoj knjizi EuklidovihElemenata. Prvi bitan napredak oko problema udvostrucenja kocke postigao jeHipokrat s Hiosa (ca. 470. − 410. pr. Kr.). Hipokrat je bio trgovac brodovimaiz Jonije te je jednom prilikom pri napadu gusara izgubio svu imovinu. Cekajuciodstetu, razdoblje od otprilike 450. − 430. pr. Kr. proveo je u Ateni i tokom togboravka studirao filozofiju i matematiku. Uz problem duplikacije kocke, bavio se iproblemom kvadrature kruga, kako ce biti opisano nize. Napisao je danas izgubljenodjelo Elementi geometrije koje je gotovo sigurno bilo osnova za prve dvije knjige Eu-klidovih Elemenata. Hipokrat je pokazao da se kocka (stranice a) moze udvostrucitiukoliko se mogu konstruirati srednje geometrijske proporcionale izmedu a i 2a. Sred-nje geometrijske proporcionale izmedu duzina a i b su duzine x i y takve da je

a : x = x : y = y : b

Uz b = 2a vidimo da je x = a 3√

2 tj. trazena stranica. Moguce je da je vecu Hipokratovo doba promatran i opcenitiji problem odredivanja kocke ciji omjer


(volumena) prema zadanoj je jednak omjeru dviju zadanih duzina a i b. NakonHipokrata svi pokusaji rjesenja ovog problema usmjereni su na odredivanje srednjihgeometrijskih proporcionala izmedu a i 2a.

Arhita iz Tarenta (ca. 428. − 350. pr. Kr.) bio je predstojnik pitagorejskogdrustva svog doba. Bavio se harmonijskom sredinom brojeva (od njega joj i potjeceime), i to inspiriran pokusajem rjesenja problema udvostrucenja kocke. Srednjegeometrijske proporcionale izmedu a i 2a odredio je koristenjem presjeka valjka,stosca i torusa. Jezikom danasnje analiticke geometrije, radi se o presjeku tijela sjednadzbama

x2 + y2 = 2ax

x2 + y2 + z2 = 4x2

x2 + y2 + z2 = 2a√

x2 + y2

Presjek tih tijela s x− y−ravninom vidi se na iducoj slici:

1

1

Kvadriranjem prve jednadzbe i uvrstavanjem druge u kvadriranu prvu dobivamo

(x2 + y2)2 = 4a2x2 = a2(x2 + y2 + z2)

odnosno

x2 + y2 = a√

x2 + y2 + z2

(buduci se bavimo duzinama, potrebni su nam samo pozitivni korijeni). Dijeljenjemposljednje jednadzbe s

√x2 + y2, te trece od polaznih jednadzbi s

√x2 + y2 + z2,

dobivamo

a :√

x2 + y2 =√

x2 + y2 :√

x2 + y2 + z2 =√

x2 + y2 + z2 : 2a

Kako tocka (x, y, z) koja zadovoljava prve tri jednadzbe lezi na presjeku tih tijela,slijedi da za njene koordinate vrijedi da su

√x2 + y2 i

√x2 + y2 + z2 trazene srednje

geometrijske proporcionale.Rjesenje Eudoksa s Knida (408. − 355. pr. Kr.) izgubljeno je, no zna se da

je bitno doprinio teoriji omjera i razmjera te pocecima integracije. Njegova teorijaomjera i metoda ekshaustije bit ce opisane u Euklidovim Elementima, za ciju petui dvanaestu knjigu su upravo Eudoksovi rezultati glavni izvor.

Menehmo (ca. 380.−320. pr. Kr.) je bio Eudoksov ucenik, a po nekim izvorimaucitelj Aleksandra Velikog. Navodno je Aleksandar od Menehma trazio da mu ovajpokaze neki lak nacin da nauci geometriju, a Menehmov je odgovor bio:

O kralju, za putovanje zemljom postoje privatni putevii kraljevski putevi, ali u geometriji postoji samo jedan put za sviju.


Menehmu se pripisuje otkrice konika (elipse, hiperbole i parabole) upravo vezanoza pokusaj rjesenja udvostrucenja kocke. Njegovo je rjesenje za nalazenje sred-njih geometrijskih proporcionala izmedu a i b, opisano jezikom danasnje analitickegoemetrije, iduce: ako je a : x = x : y = y : b znaci da je

x2 = ay

y2 = bx

xy = ab

Za slucaj a = 1 i b = 2 te krivulje vidimo na iducoj slici:y=2/x

y=x

y =2x

2

2

Prema tome, trazene x i y mozemo dobiti kao koordinate presjeka jedne od prvedvije parabole s hiperbolom kojoj odgovara treca jednadzba, ili pak kao sjecisteparabola. Nije poznato kako je Menehmo konsturirao svoje krivulje, ali zna se daje otkrio da se elipsa, hiperbola i parabola dobivaju kao presjeci stosca ravninamakoje nisu paralelne bazi.

Jedno od mehanickih rjesenja duplikacije kocke poznato je kao Platonov stroj,koji gotovo sigurno ne potjece od samog Platona, koji se protivio mehanickim kon-strukcijama. Pricu o tom stroju prenio je autor jednog drugog mehanizma (zvanogmezolabij) za rjesenje ovog problema, Eratosten iz Kirene (276. − 194. pr. Kr.).To ce rjesenje biti opisano u poglavlju 3.2.2.

Problem kvadrature kruga

Problem kvadrature kruga je medu spomenuta tri problema onaj koji je najduzezadrzao fascinantnost za matematicare. Problemi vezani za broj π jos i danas zani-maju kako profesionalne, tako i matematicare amatere. Po starogrckom shvacanjuovaj se problem sastoji u konstrukciji (ravnalom i sestarom) kvadrata koji ima istupovrsinu kao zadani krug. Usprkos priznavanja samo tog nacina kao matematickipravilnog, Grci su korstili i razne mehanicke konstrukcije (npr. pomocu konika) kojeprobleme rjesavaju bar u prakticnim situacijama.

Prvi poznati matematicar koji se bavio problemom kvadrature kruga bio jeAnaksagora iz Klazomene (499. − 428. pr. Kr.). Dospjesi u zatvor jer je tvr-dio da Sunce nije bog i da Mjesec reflektira Sunceve zrake, tokom boravka u zatvorupoceo je rjesavati problem kvadrature kruga. Problem je izgleda ubrzo postao vrlopopularan te ga se cak spominje u Aristofanovoj drami Ptice napisanoj oko 414. pr.Kr. Sofist i Sokratov suvremenik Antifont (480.−411. pr. Kr.) za rjesenje predlazeupisivanje pravilnih poligona u krug, pocevsi od kvadrata, preko osmerokuta redomuz udvostrucavanje broja stranica. Ideja je da ce se ostatak tj. razlika do stvarne


povrsine kruga iscrpsti kad dodemo do dovoljno velikog broja stranica. Time je onprethodnik Eudoksove metode ekshaustije i konacnog Arhimedova rjesenja.

Hipokrat s Hiosa (ca. 470.−410. pr. Kr.) je prvi koji je tocno odredio povrsinunekog lika obrubljenog krivuljama. Trazeci kvadraturu kruga, nasao je povrsineHipokratovih mjeseca. Pritom je koristio svoj teorem da se povrsine krugovaodnose kao kvadrati njihovih radijusa (dokaz tog teorema moze se naci u Eukli-dovim Elementima i koristi metodu ekshaustije). Pod mjesecom se podrazumijevageometrijski lik omeden lukovima dviju kruznica razlicitih sredista (A i B) i polu-mjera (r i R).

A B E

F

C

D

Sa slike se vidi da je povrsina mjeseca jednaka razlici povrsina kruznih odsjecaka:

P = P (CFD)− P (CED)

Veci kruzni odsjecak ima srediste B i ima povrsinu P (CFD) jednaku razlici povrsinepripadnog kruznog isjecka i trokuta. Analogno vrijedi za manji odsjecak. Suvre-menim zapisom dobiva se da je povrsina mjeseca jednaka

P =R2 sin(2α)− r2 sin(2β)

2

Uzmemo li da je jednostavnosti radi r = 1 imamo

P =R2 sin(2α)− sin(2β)

2

Postoji pet mjeseca kojima se povrsina (tj. kvadrat jednake povrsine) moze kon-struirati ravnalom i sestarom. Hipokratu su bila poznata tri od njih. Pritom sestandardno pod odredivanjem kvadrature podrazumijeva konstrukcija poligona istepovrsine jer je (vidi poglavlje o Euklidovim Elementima) geometrijskom algebrombilo moguce svaki poligon pretvoriti u kvadrat iste povrsine. Hipokratovi mjesecibili su iduci:

1. Mjesec koji je omeden polukruznicom nad hipotenuzom jednakokracnog pra-vokutnog trokuta te kruznicom kojoj je srediste vrh pri pravom kutu kojaprolazi kroz druga dva vrha:


Povrsina ovog mjeseca jednaka je povrsini trokuta. Naime, ta je povrsinajednaka povrsini trokuta (P ) plus povrsina polukruga nad hipotenuzom (P1)minus povrsina isjecka jednakog povrsini P2 cetvrtine kruga kojem je radijusjednak kateti trokuta (recimo duljine 1). Kako je omjer P1 : 2P2 jednak omjerupripadnih kvadrata dijametara 2 : 1, slijedi da je P1 = P2 tj. povrsina mjesecaP + P1 − P2 je jednaka povrsini trokuta P .

2. Mjesec kojem jedan rub nastaje tako da se jednakokracnom trapezu ABCDkojem su krakovi i jedna baza duljine 1, a druga baza AB duljine

√3, opise

kruznica, a drugi rub je luk kruznice prolazi kroz B i D i ima srediste S nasimetrali trapeza tako da su dijagonale trapeza tangente na nju (u A i B):

R

S

TV

U

Ako su mali odsjecci redom povrsina R, S i T (ocito jednake jer pripadajuistoj kruznici i imaju jednake tetive duljine 1), a veliki odsjecak povrsine U(koja je 3 puta veca od bilo koje od njih), imamo

R + S + T = U

Kako je povrsina mjeseca jednaka povrsini trapeza plus R + S + T minuspovrsina U , slijedi da mjesec ima istu povrsinu kao trapez ABCD.

3. Promatra se 5 tetiva od kojih su dvije jednake a, a druge tri jednake c i pritomje 2a2 = 3c2. Stoga je povrsina dva veca odsjecka jednaka povrsini tri manja.Hipokrat dobiva da je mjesec EKBGF po povrsini jednak zbroju povrsina tritrokuta.

Napomenimo da Hipokrat nije pokazao da je moguce naci kvadraturu proizvoljnogmjeseca obrubljenog lukovima kruznica i vrlo je vjerojatno bio svjestan da njegovemetode ne rjesavaju problem kvadrature kruga.

Hipija iz Elide (ca. 460 − 400 pr. Kr.) je bio drzavnik i filozof. Zaradivaoje putujuci i drzeci predavanja iz poezije, gramatike, povijesti, politike, arheologije,matematike i astronomije. Platon ga opisuje kao tastog, umisljenog i arogantnogcovjeka sa sirokim, ali povrsnim znanjem. Njegov jedini doprinos matematici je


otkrice krivulje kvadratise oko 420.pr. Kr. Ta se krivulja moze iskoristiti za rjesenjekvadrature kruga i trisekcije kuta. Njen opis te opis primjene na kvadraturu krugamoze se naci kod Papusa.

B C

DA

B’ C’

E

F

Kvadratisa je krivulja koja je geometrijsko mjesto tocaka F koje su sjecistastranice kvadrata BC koja se jednolikom brzinom spusta na stranicu AD te drugestranice AB istog kvadrata koja jednoliko rotira do polozaja AD i to tako da sestranica BC padne na AD tocno kad i AB. Kvadratisa spada u tzv. mehanickekrivulje koje nije moguce konstruirati ravnalom i sestarom te tako naravno i ovorjesenje ne zadovoljava uvjet konstrukcije.

Pomocu kvadratise problem je pokusao rijesiti i Dinostrat (ca. 390 − 320.pr.Kr.). Najveci napredak u rjesenju ovog problema, tj. dokaz da je povrsina krugajednaka povrsini pravokutnog trokuta kojem je jedna kateta jednaka radijusu, adruga opsegu kruga, dao je Arhimed. Njegovo rjesenje bit ce opisano u poglavljuo euklidskom dobu.

Problem trisekcije kuta

Problem trisekcije kuta bitno je drugaciji od prethodna dva jer je u nekim slucajevimarjesiv konstrukcijom ravnalom i sestarom. Primjera radi, trisekcija pravog kuta mozese izvesti pomocu slike:

Postoji i niz drugih kuteva (npr. 27◦) za koje je konstrukcija moguca. Buducise svaki tupi kut moze rastavit na sumu pravih kuteva i jednog siljastog, problemse svodi na problem trisekcije siljastog kuta. Napomenimo da je bisekcija kuta bilaopce poznata u doba pojave ovog problema. Vjerojatni razlog pojave problematrisekcije kuta je vezan za konstrukcije pravilnih poligona, za koje je bilo potrebnokuteve dijeliti u proizvoljnom omjeru.

Hipokratu je bila poznata slijedeca mehanicka konstrukcija:


F C E

G

B

H

DA

Ako je zadan kut CAB nacrta se okomica CD na AB i dopuni do pravokutnikaADCF . Stranica FC se dovoljno produlji te se na njoj nalazi tocka E tako da sjecisteH od AE s CD bude takvo da je |HE| = 2|AC| (to je u praksi lako izvedivo, iakonije izvedivo kao konstrukcija ravnalom i sestarom). Tada je kut EAB trecina kutaCAB.Zadatak: Koristeci gornju sliku (G je poloviste duzine |HE|) dokazite da je kutEAB trecina kuta CAB.

Kako vidimo, ovakva je konstrukcija u praksi lako provediva, sto objasnjavamanju popularnost ovog problema od ostala dva. Vise zanimljivih mehanickihrjesenja dano je u 3. i 2. stoljecu pr. Kr., a najpoznatije je Arhimedovo. Hipijinakvadratisa se za trisekciju kuta moze iskoristiti ovako:

B C

DA

B’ C’

E

F

H

P Q

Ako je dan kut EAD odreden jednim polozajem rotirajuce stranice AB i pri-padna tocka F kvadratise, odredi se tocka P na okomici FH na AD takva da je|FP | : |PH| = 2 : 1. Paralela kroz P sa stranicom AD sijece kvadratisu u tocki Q.Tada je kut QAD trazena trecina kuta EAD. Uocimo da su, izuzev konstrukcijekvadratise, sve ostale ovdje koristene konstrukcije izvedive ravnalom i sestarom.

3.1.5 O nemogucnosti rjesenja tri klasicna problema

Zasto Grci nisu uspjeli naci trazene konstrukcije za gornja tri problema? Danasnemogucnost tih konstrukcija mozemo objasniti teorijom prosirenja polja, kako cebuti opisano nize. Nemogucnost rjesenja (tj. konstrukcije ravnalom i sestarom) zaduplikaciju kocke i trisekciju kuta prvi je pokazao P. L. Wantzel godine 1837., atranscendentnost broja π koja povlaci nemogucnost konstrukcije kvadrature krugaprvi je pokazao F. von Lindemann godine 1882.

1. Krug radijusa r ima istu povrsinu kao kvadrat stranice r√

π. Kako se produkti kvadratni korijen mogu konstruirati, problem kvadrature kruga svodi se nakonstrukciju duzine duljine π, ako je zadana jedinicna duzina. Podsjetimo se ida anticki Grci za dva lika smatraju da imaju istu povrsinu samo ako se jedanmoze rastaviti na dijelove koje mozemo presloziti u drugi.

2. Udvostrucenje kocke tj. nalazenje stranice kocke dvostrukog volumena odzadanje svodi se na konstrukciju 3

√2 (ukoliko je zadana jedinicna duzina).


Ako je dana kocka stranice a, trazimo kocku dvostrukog volumena, stranice x,pa zapravo rjesavamo jednadzbu x3 = 2a3 tj. x = 3

√2a.

3. Kut mozemo konstruirati ako mozemo konstruirati njegov kosinus, vidi sliku:

cos(x)

x

Buduci je cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α, problem trisekcije kuta se svodi narjesavanje kubne jednadzbe, npr. za α = 60◦ jednadzbe x3 − 3x − 1 = 0 tj.na pitanje kad se korijeni ove jednadzbe mogu prikazati pomocu racionalnihoperacija.

Uz gornja tri problema cesto se navodi i njima srodan, ali nesto manje popularan,cetvrti problem konstrukcije pravilnog sedmerokuta. Kako su najkasnije u dobapitagorejaca bile poznate konstrukcije pravilnog trokuta, cetverokuta, peterokuta isesterokuta, prirodno se namece pitanje konstrukcije pravilnog sedemerokuta.Za konstrukciju pravilnog sedmerokuta je potrebno konstruirati sedminu punog kutatj. kut α takav da je 7α = 2π. Buduci je po de Moivreovoj formuli

(cos α + i sin α)7 = cos(7α) + i sin(7α) = 1

uz z = cos α + i sin α imamo jednadzbu

z7 = 1

tj.(z − 1)(z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1) = 1

Kako nam rjesenje z = 1 ne odgovara (ono odgovara kutu 0) ostaje jednadzba

z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 1

Dijeljenjem sa z3 dobivamo

z3 +1

z3+ z2 +

1

z2+ z +

1

z+ 1 = 0

Kako je (z + 1z)3 = z3 + 3z + 31

z+ 1

z3 i (z + 1z)2 = z2 + 2 + 1

z2 , gornju jednadzbumozemo zapisati u obliku

x3 − 3x + x2 − 2 + x + 1 = 0

tj.x3 + x2 − 2x− 1 = 0


gdje je x = z + 1z

= 2 cos α. Za pravilni peterokut je potrebno konstruirati petinupunog kuta (tj. kut od 72◦), a ta je konstrukcija moguca. Naime, ako je φ = 72◦ =2π5

, onda kao gore iz de Moivreove formule i uz supstituciju

x = z +1

z= 2 cos φ

dobivamo kvadratnu jednadzbu

x2 + x− 1 = 0

cija rjesenja su

x1,2 =−1±√5

2

Odabirom pozitivnog rjesenja dobivamo da se

2 cos φ =

√5− 1

2

moze konstruirati.Za razliku od transcendentnosti broja π, dokaz cega nadilazi obim ove knjige,

dokaz nemogucnosti konstrukcija rjesenja kubnih jednadzbi

x3 − 2 = 0

x3 − 3x− 1 = 0

x3 + x2 − 2x− 1 = 0

koje redom odgovaraju problemima duplikacije kocke, trisekcije kuta od 60◦ i kon-strukcije pravilnog sedmerokuta posljedica je osnovnih rezultata u teoriji polja ipolinoma.

Za polje racionalnih brojeva Q i neki njegov element x (takav da√

x /∈ Q),njegovo prosirenje po

√x je

F1 = Q[√

x] = {a + b√

x : a, b ∈ Q}

Lako se provjeri da je taj skup takoder polje. Buduci se radi o polju, slijedi da suta prosirenja zatvorena obzirom na cetiri osnovne racunske operacije tj. da jedinaracionalna operacija cije djelovanje na element x polja Q ili F1 ne mora dati rezultatu istom polju jest kvadratni korijen. No, rezultat je onda u iducem prosirenjuF2 = F1[

√x]. Zakljucujemo: realan broj x se moze izraziti pomocu racionalnih

operacija (tj. duzina x se moze konstruirati ravnalom i sestarom) tocno onda akopostoji konacan niz prosirenja polja Q = F0 ⊆ F1 ⊆ F2 ⊆ . . . ⊆ Fn tako da jeFi+1 = Fi[

√xi] s xi ∈ Fi za i = 0, 1, . . . , n − 1 i tako da je x ∈ Fn. U slucaju

kubnih jednadzbi, za njihova rjesenja x ispada da nije potrebno graditi prosirenja:ili je rjesenje racionalno ili se ne moze konstruirati. Preciznije:


Propozicija 2 Neka je f(x) = x3 + a2x2 + a1x + a0 polinom s koeficijentima

a0, a1, a2 ∈ F (gdje je F bilo koje polje, npr. neko iz gore opisanog niza prosirenja).Ukoliko jednadzba f(x) = 0 ima rjesenje u nekom prosirenju F[

√c] (za neki c ∈ F),

onda postoji i rjesenje u F.

Dokaz:Element iz F[

√c] ima oblik a + b

√c s a, b ∈ F. Pretpostavimo da je x1 = a + b

√c

rjesenje jednadzbe f(x) = 0 tj. da je

f(a + b√

c) = 0.

Imamo da je

x1 − a = b√

c

tj.

(x1 − a)2 = b2c

pa je x1 ujedno rjesenje kvadratne jednadzbe oblika

x2 + px + q = 0

s p = −2a ∈ F i q = a2 − b2c ∈ F. Po teoremu o dijeljenju polinoma je

f(x) = (x2 + px + q)(x + d) + ex + f

za neke d, e, f ∈ F. Uvrstavanje x = x1 daje

0 = ex1 + f

Ako je e 6= 0, onda je x1 = −fe∈ F, a ako je e = 0, onda je i f = 0 pa x + d dijeli

f(x) pa je x2 = d ∈ F jedno rjesenje od f(x) = 0.Iz propozicije i razmatranja ispred nje slijedi

Korolar 1 Ukoliko broj koji se moze izraziti racionalnim operacijama zadovoljavakubnu jednadzbu s racionalnim koeficijentima, onda ta jednadzba ima bar jednoracionalno rjesenje.

No, poznat je kriterij kad polinomijalna jednadzba s cjelobrojnim koeficijentimaima racionalno rjesenje:

Propozicija 3 Neka su a0, a1, . . . , an ∈ Z. Ako je

anxn + an−1xn−1 + . . . a1x + a0 = 0

za neki x = pq∈ Q, onda p dijeli slobodni clan a0, a q dijeli vodeci clan an. Speci-

jalno, ako je an = 1, jedina moguca racionalna rjesenja su cjelobrojni djeljiteljislobodnog clana.

3.2. EUKLIDOVO DOBA – DOBA HELENIZMA 39

Dokaz:Mozemo pretpostaviti da je p

qmaksimalno skracen razlomak tj. da su p i q relativno

prosti cijeli brojevi. Iz

an

(p

q

)n

+ an−1

(p

q

)n−1

+ . . . a1p

q+ a0 = 0

mnozenje s qn daje

anpn + an−1p

n−1q + . . . a1pqn−1 + a0q

n = 0

Svi brojevi u ovoj sumi su cijeli. Buduci je dio sume bez prvog clana djeljiv s q,slijedi da i prvi clan anp

n mora biti djeljiv s q. Kako su p i q relativno prosti, slijedida je an djeljiv s q. Analogno, prvi dio sume - bez zadnjeg clana - je djeljiv s p, paje i zadnji clan djeljiv s p i dobivamo da p dijeli a0.

Promotrimo sad ponovno jednadzbe koje odgovaraju nasim problemima:

x3 − 2 = 0

x3 − 3x− 1 = 0

x3 + x2 − 2x− 1 = 0

Prema zadnjoj propoziciji, jedina moguca racionalna rjesenja su im djeljiteljislobodnih clanova. Dakle, za prvu u obzir dolaze ±1 i ±2, a za drugu i trecu ±1.Uvrstavanjem se odmah vidi da se ne radi o rjesenjima, dakle te jednadzbe nemajuracionalnih rjesenja. No, sad korolar povlaci da ne mogu imati rjesenja ni u trazenomnizu prosirenja polja Q, dakle se njihova rjesenja ne mogu konstruirati ravnalom isestarom.

3.2 Euklidovo doba – doba helenizma

3.2.1 Euklid i Euklidovi Elementi

Doba helenizma pocinje dobom Aleksandra Velikog, cija osvajanja izvan Grcke traju332 − 323.pr. Kr., a zavrsava negdje oko prijelaza era. Nakon smrti AleksandraVelikog Grcka se raspala na pojedine zemlje, ali su sve zadrzale jako grcko kul-turno nasljede. Znanstveni centar helenizma je Aleksandrija, osnovana 331.pr. Kr.od Aleksandra Velikog, grad na sjeveru Egipta kamo je Aleksandar naselio Grke,Egipcane i Zidove. Poslije Aleksandrove smrti Egiptom je vladao Ptolomej I (os-nivac dinastije Ptolomejevica ciji zadnji vladar je bila poznata Kleopatra), a sredisteegipatskog kraljevstva je Aleksandrija.

Aleksandrija vise od 600 godina zadrzava poziciju glavnog znanstvenog cen-tra. Sam centar znanosti bio je museion, univerzitet i biblioteka u jednom, ukom su radili tadasnji najveci zanstvenici, a sadrzavao je vise od 700000 manuskri-pata. U museionu dolazi do procvata egzaktnih znanosti, osobito matematike. Prvi”sef” matematike u museionu bio je Euklid (330-275), o cijem zivotu se malo


zna. Napisao je vise knjiga iz optike, glazbe, astronomije te matematike. Naj-znacajnije Euklidovo djelo su njegovi Elementi (u daljnjem oznaceni s EE), u origi-nalu Stoicheia. Oni predstavljaju sintezu sve dotad poznate matematike u 13 knjiga(velicine poglavlja). U kasnijem razdoblju tim su knjigama pridodane jos dvije(cetrnaesta u 2.st.n.e., pisac je Hipsikl, te petnaesta u 6.st.n.e., pisac je Izidor izMileta, obje bez matematickog znacaja). EE su znacajni i zbog stila pisanja: teo-remi su logicki poredani tako da svaki slijedi iskljucivo iz vec dokazanih ili pak izosnovnih tvrdnji (23 definicije, 5 aksioma i 5 postulata) danih na pocetku, a za-kljucci se izvode strogo deduktivno. Ideja EE je izvesti cijelu matematiku iz malogbroja pocetnih pretpostavki. Razlika aksioma i postulata je da su kod Euklida ak-siomi vise opcematematicke, a postulati geometrijske pretpostavke. Neovisno o tomda su prikazani rezultati uglavnom drugih matematicara, ta je logicka organizacijasvakako Euklidov doprinos, vrlo bitan za daljni razvoj matematike. Sve do dvadese-tog stoljeca EE ce biti apsolutni uzor matematickog djela i udzbenici ce biti radenina temelju EE. Od teorema danih u EE, niti za jedan se ne moze sa sigurnoscu recida je Euklidov. Vecina rezultata pripisuje se pitagorejcima (knjige I,II,VI-IX i XI),Hipokratu (III i IV), Eudoksu (V i XII) te Teetetu (X i XIII). Od drugih Euklidovihmatematickih djela spomenimo Data (vrsta repetitorija i djelomicno upotpunjenjeEE, izgubljeno) i Porizmi (Stavci; takoder vrsta repetitorija, ali vaznijeg sadrzaja -radi se o primjeni EE sa samostalnim znacajem. Tako npr. na teorem ”Ako je dankrug, dano je i srediste” iz EE ovdje nadovezuje zadatak konstrukcije sredista. UPorizmima se moze naci vise teorema o transvezalama i nizovima tocaka koji ce bititemelj za projektivnu geometriju koju je u 17.st. utemeljio Desargues).

Slijedi opis nekih rezultata iz EE.Primjera radi, od definicija navedimo prve tri: Tocka je ono sto nema dijela.

Duzina je duljina bez sirine. Krajevi duzine su tocke.Znamenitih pet Euklidovih postulata su (u modernoj formulaciji):

1. Dvije tocke odreduju duzinu.

2. Duzina se moze produziti u svakom smjeru.

3. Kruznica je zadana sredistem i radijusom.

4. Svi pravi kutevi su jednaki.

5. Postulat o paralelama: Ako pravac sijece dva pravca tako da je zbroj un-utrasnjih kuteva s iste strane manji od dva prava kuta, onda se ta dva pravca(ako se dovoljno produze) sijeku tj. nisu paralelni.

Dok su prva cetiri postulata neupitna, peti postulat odnosno pitanje njegove neo-visnosti o prva cetiri dovest ce do nastanka neeuklidske geometrije u devetnaestomstoljecu (Lobacevski, Bolyai, Beltrami). Pokusaji dokaza tog postulata iz preostalihrezultirali su nizom njemu ekvivalentnih tvrdnji. Neki od najpoznatijih su Play-fairov (on je dobio ekvivalentnu formulaciju petog postulata: kroz svaku tocku iz-van pravca postoji jedinstvena paralela s tim pravcem), Wallisov (slicni trokuti nemoraju biti sukladni) te tri Legendreova (svakom trokutu se moze opisati kruznica;


postoji trokut cija suma unutrasnjih kuteva je dva prava kuta; nad svakom duzinomse moze konstruirati kvadrat).

Pet aksioma Euklidovih elemenata su (u modernoj formulaciji):

1. Jednakost je tranzitivna relacija.

2. Ako je a = b i c = d, onda je a + c = b + d.

3. Ako je a = b i c = d, onda je a− c = b− d.

4. Ono sto se podudara je jednako.

5. Cjelina je veca od dijela.

U knjizi EE I nalazi se 48 propozicija elementarne geometrije. Istaknimoneke od njih:EE I 1: Konstrukcija pravilnog trokuta zadane stranice.EE I 4, 8, 26: Poucci o sukladnosti trokuta (SKS,SSS,KSK).EE I 5, 6: Teoremi o jednakokracnim trokutima: Dvije stranice trokuta su jednakeako i samo ako su im nasuprotni kutevi jednaki.EE I 9: Bisekcija kuta (konstrukcija simetrale kuta).EE I 10: Bisekcija duzine (konstrukcija simetrale duzine).EE I 11, 12: Konstrukcija okomice na pravac kroz tocku na pravcu odnosno kroztocku izvan pravca.EE I 16: Vanjski kut trokuta je veci od oba njemu nasuprotna unutrasnja kuta.EE I 20: Nejednakost trokuta (zbroj dvije stranice je veci od trece).EE I 22: Konstrukcija trokuta zadanih stranica.EE I 29: O kutevima pri transverzali dva paralelna pravca.EE I 31: Konstrukcija paralele zadanom pravcu kroz zadanu tocku izvan pravca.EE I 32: Vanjski kut u trokutu je suma nasuprotnih unutrasnjih kuteva. Sumaunutrasnjih kuteva trokuta je dva prava kuta.

a b

ga b

a+g

EE I 42: Konstrukcija paralelograma zadanog kuta jednakog (po povrsini) zadanomtrokuta:

P=polovište stranice trokuta

P

EE I 45: Konstrukcija paralelograma zadanog kuta jednakog (po povrsini) zadanompoligonu.EE I 47, 48: Pitagorin teorem s obratom: trokut je pravokutan ako i samo ako


je suma kvadrata nad dvije stranice jednaka kvadratu nad trecom. Dokaz je dangeometrijskom algebrom kako je opisano kod pitagorejaca.

U knjizi EE II nalazi se 14 propozicija geometrijske algebre, kao npr.EE II 4: Geometrijski dokaz formule (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.

x y

x

y

x2 xy

xy y2

EE II 5: Geometrijski dokaz formule (x + y)(x − y) = x2 − y2, tocnije njoj ek-

vivalentne(

a+b2

)2 − (a−b2

)2= ab. Uz oznake kao na iducoj slici dobiva se da je

pravokutnik ab jednak razlici kvadrata (gnomonu) sa stranicama a+b2

i a−b2

:

b

a b

(a+b)/2

A CBS

D

E F

| |=(a-b)/2EF

G

H

Imamo naime da je pravokutnik ab ocito zbroj dva pravokutnika visine b, jednogstranice AS, a drugog stranice SB (S je poloviste duzine AC duljine a + b). PoEEI43 je drugi od ta dva pravokutnika jednak pravokutniku FGDH. Ocito jei da je pravokutnik SEGC jednak pravokutniku sa stranicama AS i SE. Zatoje pravokutnik ab jednak zbroju pravokutnika ba+b

2+ ba−b

2sto je jednako zbroju

pravokutnika SEGC i FGDH, a to je trazena razlika kvadrata.

EE II 6: Geometrijsko rjesenje jednadzbe (b− x)x = c.EE II 11: Dijeljenje duzine u omjeru zlatnog reza tj. rjesenje jednadzbe x2−a2 = ax(kako je opisano u poglavlju o pitagorejcima).EE II 12, 13: Kvadratne jednadzbe koje odgovaraju teoremu o kosinusima beztrigonometrijske formulacije.EE II 14: Nalazenje kvadrata jednakog (po povrsini) zadanom poligonu. Ideja jepoligon pomocu EEI45 pretvoriti u pravokutnik, a zatim pravokutnik u kvadrat.Pravokutnik u kvadrat pretvaramo prema iducoj slici:

U knjizi EE III nalazi se 37 propozicija o planimetriji kruznice i kruga.Neke od njih su:

EE III 1: Odredivanje sredista dane kruznice.


EE III 3: Pravac kroz srediste kruznice koji raspolavlja tetivu okomit je na nju.EE III 7, 8: Od spojnica tocke izvan kruga i tocaka na pripadnoj kruznici najdulja,odnosno najkraca, dobiju se na pravcu kroz srediste.EE III 16: Kut izmedu kruznice i tangente/dijametra je manji/veci od svakog ostrog(tj. pravocrtnog) kuta. Iz moderne perspektive takvi kutevi (omedeni krivuljom ipravcem) problematicni su za usporedivanje s uobicajenim pravocrtnim kutevimajer se po Arhimedovom aksiomu za usporedljivost dvije velicine zahtijeva da jevisekratnik jedne veci od druge.

Euklid razmislja ovako: ako bi postojao ostri (pravocrtni) kut manji od kutaizmedu tangente i kruznice, postojao bi pravac p kroz A izmedu tangente i kruznice:

A

S

p

B

C

Ako povucemo okomicu iz sredista S na p, dobivamo tocku C kao njeno sjecistes p, a B kao njeno sjeciste s kruznicom. Tada je ocito |SC| > |SB| = |SA|. Kako jeu trokutu SCA kut pri C pravi tj. |SA| je hipotenuza, a u pravokutnom trokutu jehipotenuza najdulja stranica, imamo kontradikciju.

EE III 17: Konstrukcija tangente na kruznicu iz tocke izvan kruga: ako je danatocka 1 izvan kruga sa sredistem S, prvo se odredi sjeciste 2 spojnice 1S s kruznicom.U tocki 2 povuce se okomica na 1S i presijece s kruznicom sa sredistem S i radijusom|1S|. Time se dobije tocka 3, a sjeciste 4 spojnice 3S s polaznom kruznicom jediraliste trazene tangente.

1

S2

3

4

t

EE III 20: Obodni kut je pola pripadnog sredisnjeg kuta.EE III 31: Talesov teorem.EE III 35: Ako se ucrtaju dvije tetive u isti krug, onda je produkt segmenata(odredenih sjecistem tetiva) jedne tetive jednak produktu segmenata druge.EE III 36: Ako se iz tocke izvan kruga povuku sekanta i tangenta, onda je kvadrat


udaljenosti tocke do diralista jednak produktu duzina od tocke do sjecista sekante skruznicom. Specijalno su produkti tih duzina za svake dvije sekante jednaki.

U knjizi EE IV obradene su konstrukcije pravilnih poligona. Sastoji se od16 propozicija:

EE IV 1: Kako u danom krugu povuci tetivu zadane duzine.EE IV 2, 3, 4, 5: Upisivanje i opisivanje trokuta sa zadanim kutevima zadanojkruznici te upisivanje i opisivanje kruznice trokutu.EE IV 6, 7, 8, 9: Upisivanje i opisivanje kvadrata zadanoj kruznici te upisivanje iopisivanje kruznice kvadratu.EE IV 10: Konstrukcija jednog trokuta koji je potreban za konstrukciju pravilnogpeterokuta.EE IV 11, 12, 13, 14: Upisivanje i opisivanje pravilnog peterokuta zadanoj kruznicite upisivanje i opisivanje kruznice pravilnom peterokutu. Konstrukcija stranice a5

pravilnog peterokuta upisanog u zadanu kruznicu vidi se na iducoj slici (1 je polovistelijevog radijusa, a 3 se dobije spustanjem duzine 12 na drugi radijus):

S1

2

3

a5

EE IV 15: Konstrukcija pravilnog sesterokuta.EE IV 16: Konstrukcija pravilnog petnaesterokuta (to je vrhunac u konstrukcijamapravilnih poligona sve do doba Gaussa, koji je 1796. otkrio konstrukciju pravilnogsedamnaesterokuta). Sredisnji kut pravilnog petnaesterokuta dobije se kao polarazlike sredisnjih kuteva pravilnog trokuta i peterokuta:

2π

15=

1

2

(2π

3− 2π

5

)


2 /15p

Knjiga EE V obraduje Eudoksovu opcu teoriju omjera i razmjera s 25propozicija. Tu su i definicije omjera i razmjera odnosno jednakosti omjera. Defini-cija 5 kaze: ako su a, b, c, d istovrsne geometrijske velicine, onda je a : b = c : d akoza sve prirodne brojeve m, n vrijedi

- ako ma < nb, onda mc < nd;

- ako ma = nb, onda mc = nd;

- ako ma > nb, onda mc > nd.

Definiran je i dvostruki omjer (definicija 9: ako je dan omjer a : b njegov dvostrukiomjer je a : c takav da je a : b = b : c) i trostruki omjer (definicija 10: ako je danomjer a : b njegov trostruki omjer je a : d takav da je a : b = b : c = c : d za neke b ic). Medu propozicijama istaknimo:EE V 2: Distributivnost mnozenja prema zbrajanju.EE V 3: Asocijativnost mnozenja za prirodne brojeve.EE V 5: Komutativnost mnozenja.EE V 11: Tranzitivnost jednakosti omjera.

Knjiga EE VI bavi se slicnosti i geometrijskim omjerima tj. primjenom opceteorije omjera i razmjera na planimetriju. Sastoji se od 33 propozicije, a udefiniciji 1 dana je definicija slicnih likova. Od propozicija isticemo:EE VI 1: Povrsine trokuta i paralelograma iste visine su proporcionalne osnovi-cama.EE VI 2: ”Talesovi” teoremi o proporcionalnosti: paralela s osnovicom trokutasijece stranice u jednakim omjerima.EE VI 3: Simetrala kuta u trokutu sijece nasuprotnu stranicu u omjeru jednakuomjeru tom kutu susjednih stranica. Ako je polazni trokut ABC i uzeta sime-trala AD njegova kuta α, onda se uzme paralela kroz B sa tom simetralom i nanjoj odredi sjeciste E s pravcem AC. Tada jer AB sijece paralelne pravce ADi BE slijedi da je ∠ABE = ∠DAB = α

2, a jer AC sijece paralele AD i BE

je ∠AEB = ∠CAD = α2. Dakle je ∠AEB = ∠ABE pa je trokut AEB jed-

nakokracan tj. |AB| = |AE|. Kako je AD paralelan s BE slijedi (po EEVI2) da je|CD| : |DB| = |CA| : |AE| = |CA| : |AB|, sto je i trebalo dokazati.


A B

C

D

E

EE VI 4, 5, 6, 7: Teoremi o slicnosti trokuta.EE VI 8: Okomica na hipotenuzu dijeli pravokutni trokut na dva njemu (i medusobno)slicna pravokutna trokuta.EE VI 9: Kako podijeliti danu duzinu na odreden broj jednakih dijelova.

slika 39

EE VI 10: Kako podijeliti duzinu u zadanom omjeru.EE VI 11: Nalazenje trece geometrijske proporcionale duzina a i b (duzine x takoda je a : b = b : x).

slika 40

EE VI 12: Nalazenje cetvrte geometrijske proporcionale duzina a, b i c (duzine xtako da je a : b = c : x).

slika 41


EE VI 13: Nalazenje srednje geometrijske proporcionale duzina a i b (duzina x takoda je a : x = x : b).

slika 42

EE VI 16: Ako su cetiri duzine proporcionalne, w : x = y : z, onda je pravokutnikodreden vanjskim (w i z) iste povrsine kao pravokutnik odreden unutrasnjim (x i y)tj. wz = xy.EE VI 31: Generalizirani Pitagorin teorem: Ako su nad stranicama pravilnogtrokuta konstruirani medusobno slicni pravilni poligoni, suma (povrsina) onih nadkatetama jednaka je (po povrsini) liku nad hipotenuzom.

Knjige EE VII, VIII, IX predstavljaju rezultate pitagorejske aritmetike.Knjiga VII bavi se teorijom brojeva u 39 propozicija. Tu je npr. i definicija prostogbroja (definicija 11). Od propozicija zanimljive su npr.EE VII 1: Provjera jesu li dva broja relativno prosta Euklidovim algoritmom (an-tenaresis).EE VII 2: Euklidov algoritam za odredivanje najveceg zajednickog djeljitelja dvabroja.EE VII 3: Euklidov algoritam za odredivanje najveceg zajednickog djeljitelja tribroja.EE VII 29: Ako prost broj ne dijeli zadani broj, onda je s njim relativno prost.EE VII 30: Ako prost broj dijeli produkt dva broja, onda dijeli (bar) jednog odnjih.EE VII 31: Svaki slozen broj moze biti izmjeren prostim brojem (tj. visekratnik jenekog prostog broja).EE VII 34: Odredivanje najmanjeg zajednickog visekratnika.Knjiga VIII daje 27 propozicija iz teorije brojeva, npr.

EE VIII 14: a2|b2 ako i samo ako a|b.EE VIII 15: a3|b3 ako i samo ako a|b.EE VIII 26: Slicni ravninski (tj. slozeni) brojevi ab i cd imaju omjer kao kvadratni(ab i cd su slicni ako a : c = b : d).Knjiga IX sadrzi jos 36 propozicija iz teorije brojeva kao sto su:

EE IX 14: Najmanji zajednicki visekratnik skupa prostih brojeva (ne spominjese da je to njihov produkt) nije djeljiv nijednim drugim prostim brojem (teoremo jedinstvenoj faktorizaciji za brojeve koji su produkt razlicitih prostih brojeva tj.kojima se nijedan faktor ne pojavljuje s potencijom vecom od prve; tek Gauss ce1801. dokazati opcu verziju osnovnog teorema aritmetike).EE IX 20: Postoji beskonacno mnogo prostih brojeva. Dokaz: Pretpostavimosuprotno. Tada medu njima postoji najveci, oznacimo ga s p. Neka je M produkt


svih tih prostih brojeva uvecan za 1 (M = 2 · 3 · . . . · p+ 1). Tada je M > p, dakle jeslozen pa je djeljiv s nekim prostim brojem. No, M ocito nije djeljiv niti s jednimprostih brojeva 2, 3, . . . , p, pa bi morao postojati prost broj veci od p, kontradikcija.EE IX 21− 34: Pitagorejsko ucenje o parnim i neparnim brojevima.EE IX 35: Formula za sumu prvih n clanova geometrijskog niza: ako imamoproduljeni razmjer a1 : a2 = a2 : a3 = ... = an−1 : an = an : an+1, onda jea1 + ... + an = a1

an+1−a1

a2−a1.

EE IX 36: Formula za parne savrsene brojeve (ako je p prost broj oblika 2n+1 − 1,onda je broj 2np savrsen; za dokaz vidi poglavlje o pitagorejcima; Euler je u 18.stoljecu pokazao da su jedini parni savrseni brojevi oni koji su ovog oblika).

U EE X dana je klasifikacija kvadratnih iracionalnosti. Knjiga ima 117propozicija. U definiciji 1 dana je definicija sumjerljivosti. Medu propozicijamatreba istaknuti:EE X 1: Eudoksova lema (metoda ekshaustije): Ako od neke velicine oduzmemovise od njene polovine, od ostatka vise od njegove polovine itd. onda ce, ako sepostupak ponovi dovoljan broj puta, ostatak biti manji od bilo koje velicine.EE X 2: Ako dvije velicine nisu sumjerljive, onda u Euklidovom algoritmu nijedandobiveni ostatak ne dijeli manju (tj. onu s kojom se u doticnom koraku dijeli).EE X 12: Tranzitivnost sumjerljivosti.

Opcenito je cilj ove knjige vidjeti kada se izraz oblika√

a + b√

c moze zapisatiu obliku d +

√e. Uz zadanu osnovnu duzinu r (recimo r = 1), kazemo da je neka

duzina racionalna ako je sumjerljiva kvadratu od r. Suma dvije racionalne duzinezove se binomijal, a razlika apotom. Euklidovim iracionalnostima zovemo brojeve

oblika√√

A +√

B.Zadnje tri knjige bave se stereometrijom. Opca stereometrija nalazi se u EE

XI. Medu 39 propozicija isticemo:EE XI 3: Presjek dvije ravnine je pravac.EE XI 6: Pravci okomiti na istu ravninu su paralelni.EE XI 14: Ravnine okomite na isti pravac su paralelne.EE XI 21: Prostorni kut je sadrzan u kutevima medu ravninama cija suma je manjaod cetiri prava kuta.EE XI 31: Paralelepipedi iste baze (po povrsini) i visine su jednaki (po volumenu).EE XI 32: Omjer volumena paralelepipeda iste visine jednak je omjeru njihovihbaza.

Knjiga EE XII obraduje primjenu metode ekshaustije na stereometrijuu 18 propozicija. Navedimo neke:EE XII 2: Povrsine krugova su proporcionalne kvadratima njihovih promjera.EE XII 5: Dva tetraedra su jednaka (po volumenu) ako imaju iste baze i visine(dokaz nije moguc bez Eudoksove leme ili njoj ekvivalentnog teorema!).EE XII 6, 7: Trostrana prizma se moze podijeliti na tri piramide istog volumena.Slijedi da je volumen piramide trecina volumena prizme iste baze i visine.EE XII 10: Volumen stosca je trecina volumena valjka iste baze i visine.EE XII 18: Omjer volumena kugli je trostruki omjer njihovih dijametara (tj. vol-umen kugle je proporcionalan kubu njena dijametra).

U zadnjoj knjizi tj. u EE XIII nalazi se teorija pravilnih poliedara. Sastoji


se od 18 propozicija.EE XIII 1: Ako se duzina a podijeli u omjeru zlatnog reza, onda je kvadrat nadvecim dijelom x uvecanim za pola cijele duzine peterostruki kvadrat nad polovinompocetne duzine: (x + a/2)2 = 5(a/2)2. Propozicije 2− 6 takoder govore o dijeljenjuduzine u omjeru zlatnog reza.EE XIII 7: Ako su u jednakostranicnom peterokutu neka tri kuta jednaka, ondaje to pravilni peterokut.EE XIII 8: Dijagonale pravilnog peterokuta se medusobno (sjecistem) dijele uomjeru zlatnog reza, a dobiveni veci dijelovi dijagonala su jednaki stranicama togpeterokuta.EE XIII 9: Omjer stranica pravilnog sesterokuta i deseterokuta upisanih u istukruznicu je omjer zlatnog reza.EE XIII 10: Ako su u istu kruznicu upisani pravilni peterokut, sesterokut i de-seterokut, onda je kvadrat nad stranicom peterokuta suma kvadrata nad stranicamasesterokuta i deseterokuta (tj. te tri duzine cine pravokutni trokut).EE XIII 12: Kvadrat nad stranicom pravilnog trokuta je trostruki kvadrat nadradijusom njemu opisane kruznice.EE XIII 13: Konstrukcija pravilnog tetraedra upisanog u sferu, s dokazom da jedijametar te sfere 1, 5-struki kvadrat stranice tetraedra.EE XIII 14: Konstrukcija oktaedra upisanog u sferu, s dokazom da je kvadratdijametra te sfere dvostruki kvadrat stranice oktaedra.EE XIII 15: Konstrukcija kocke upisane u sferu i dokaz da je kvadrat dijametra tesfere trostruki kvadrat stranice kocke.EE XIII 16: Konstrukcija ikozaedra upisanog u sferu i racun veze njegove stranicei dijametra sfere (povezuje se s kvadratnim iracionalnostima).EE XIII 17: Konstrukcija dodekaedra upisanog u sferu i racun veze njegove stranicei dijametra sfere (povezuje se s kvadratnim iracionalnostima). Kao korolar dobivase da se dijeljenjem stranice kocke u omjeru zlatnog reza kao veci dio dobije stranicadodekaedra.EE XIII 18: Usporedba stranica pet pravilnih poliedara i dokaz da su to jedinipravilni poliedri (koristi EE XI 21).

Radi preglednosti, slijedi tablica pravilnih poliedara:

broj broj broj omjer stranice i volumen/kub stranicevrhova bridova strana promjera opisane sfere

tetraedar 4 6 4√

6/3√

2/12

kocka 8 12 6√

3/3 1

oktaedar 6 12 8√

2/2√

2/3

dodekaedar 20 30 12√

3(√

5− 1)/6 (15 + 7√

5)/4

ikozaedar 12 30 20 2/√

10 + 2√

5 5(3 +√

5)/12


slika 43 - Platonova tijela

3.2.2 Euklidovi suvremenici

U 3. stoljecu pr. Kr. matematicka skola u Aleksandriji koju je osnovao Euklid bilaje vrlo aktivna. Medu njenim predstavnicima najznacajniji su Aristarh, Arhimed,Eratosten i Apolonije.

Aristarh sa Samosa (310.− 250. pr. Kr.) se bavio primjenom matematike naastronomiju. Najpoznatiji njegov rezultat je izracun udaljenosti Zemlje do Sunca teusporedba velicine Zemlje i Mjeseca.

Za izracun udaljenosti Zemlje od Sunca, koristio je cinjenicu da je trokut Zemlje,Mjeseca i Sunca kad je Mjesec u prvoj cetvrti pravi, s pravim kutem pri Mjesecu:

Napomenimo samo da je jos od Demokrita bilo poznato da Mjesec reflektiraSunceve zrake, a u Aristarhovo je doba bilo poznato i da Mjesec rotira oko Zemlje.Prema Plutarhu, Aristarh je predlagao hipotezu da se Zemlja krece oko Sunca, i to pokruznici i istovremeno rotira oko svoje osi. Kut pri Zemlji u spomenutom trenutkuAristarh je izmjerio i dobio da je taj kut 29/30 pravog kuta tj. 87◦. Iz toga slijedi daje omjer krace katete i hipotenuze jednak 1 : 19, tj. da je udaljenost Zemlje do Suncapriblizno devetnaesterostruka udaljenost Zemlje do Mjeseca. Dobiveni rezultat imadosta veliku gresku zbog pogreske u mjerenju - izmjereni kut iznosi oko 89◦57′, pada je primijenio isti postupak na njega dobio bi se puno tocniji rezultat (faktor 400umjesto faktora 19). Napomenimo da je Aristarh svoje racune provodio bez, tad josnepoznate, trigonometrije.

Aristarhova usporedba velicine Zemlje i Mjeseca koristi svojstva pomrcine Sunca.Za vrijeme pomrcine Sunca vidimo da su gledajuci sa Zemlje prividne velicineMjeseca i Sunca jednake. Iz tog slijedi da im je omjer promjera jednak omjeru nji-hovih udaljenosti od Zemlje. Gledajuci sjenu Mjeseca za vrijeme pomrcine Mjeseca,dobio je usporedbu velicine Zemlje i Mjeseca (buduci je Sunce jako daleko, velicinaZemlje je priblizno jednaka velicini sjene). Iz tog je dobio da je omjer promjeraZemlje i Mjeseca priblizno 7 (tocniji rezultat bi bio priblizno 4).

Arhimed iz Sirakuze (287 − 212) se smatra najznacajnijim primijenjenimmatematicarem i fizicarem prije Newtona. Poznata je anegdota kako je uzviknuo

”Heureka!” kad je otkrio jednostavan nacin za izracunavanje omjera zlata i srebra u

predmetu koji je izraden od mjesavine ta dva elementa:


Kralj Hieron iz Sirakuze ima 10kg tesku zlatno-srebrnu krunu. U vodi je masa tekrune 93, 55% mase na zraku. Ako je poznato da zlato u vodi ima masu manju za4/77 nego na zraku, a srebro za 911

21%, koliko zlata odnosno srebra je u kruni?

Za vrijeme rimske opsade Sirakuze Arhimed je konstruirao razna obrambenasredstva (npr. dizalice za dizanje i bacanje brodova, vrstu katapulta za bacanjevelikog kamenja idr.). Kad je 212. pr. Kr. Sirakuza pala, rimski general Marcellusnaredio je da mu dovedu Arhimeda neozlijedenog, ali cini se da ta naredba nije bilapostovana te je Arhimeda ubio nepoznati vojnik.

Arhimed je pisao o nizu tema. Glavna djela su mu O kugli i valjku, O mjerenjukruznice i kruga (u tom djelu je izracunata povrsina kruga), O plovecim tijelima,O ravnotezi u ravnini, O kvadraturi parabole, O konoidama i sferoidama (radi se otijelima koja nastaju rotacijom konika oko osi, npr. pravukutna konoida je rotacioniparaboloid; u tom djelu je nasao kvadraturu elipse), O spiralama, Metoda, Pjescanik(govori o oznacavanju velikih brojeva; ideja je da je broj zrnaca pijeska u svemirutakoder broj te bi ga se moglo nekako oznaciti), . . .

Za mnoge svoje rezultate koristi Eudoksovu metodu ekshaustije (koja je de factointegriranje). U mnogim aspektima su Arhimedovi dokazi egzaktniji od Newtonovihi Leibnizovih. Uvid u Arhimedovo koristenje metode ekshaustije daje njegovo pismoEratostenu (pronadeno 1906.): infinitezimalnim rastavljanjem lika u paralelne duzine(odnosno tijela u paralelne ravninske likove) se odreduje teziste lika (odnosno ti-jela) i onda se pomocu zakona poluge usporeduje njegova povrsina (odnosno volu-men) s nekim vec poznatim. Nakon takvog fizikalnog pristupa, Arhimed jos provodiodnosno zahtijeva ekshaustijski dokaz za postizanje potpune preciznosti.

Upisujuci odnosno opisujuci krugu pravilni 96-erokut Arhimed je dobio ocjenuza vrijednost broja π:

31

7< π < 3

10

71.

Greska lijeve ocjene je reda velicine 10−3, a desne 10−4. Arhimed je bio svjestan dase moze dobiti proizvoljno dobra aproksimacija upisivanjem poligona sa sve vecimbrojem stranica.

Za dokaz da je povrsina kruga jednaka povrsini pravokutnog trokuta kojem jejedna kateta radijus, a druga opseg tog kruga, Arhimed koristi iduce pretpostavke iteoreme:

1. Krug i kruzni odsjecak imaju povrsinu.

2. Povrsina skupa u parovima disjunktnih trokuta i kruznih odsjecaka je jednakazbroju njihovih povrsina. Specijalno, ako krug rastavimo na disjunktne trokutei kruzne odsjecke povrsinu kruga mozemo dobiti kao zbroj njihovih povrsina.Takoder imamo da je povrsina kruga veca od zbroja povrsina bilo kog pravogpodskupa tih trokuta i odsjecaka.

3. Za svaki krug postoji duzina veca od opsega bilo kojeg tom krugu upisanogpoligona i manja od opsega bilo kojeg tom krugu opisanog poligona: to jeopseg kruga (ime π za opseg kruga radijusa 1 potjece od Williama Jonesa,1706).


4. Arhimedov aksiom: Za svake dvije povrsine P i S postoji prirodan broj mtakav da je mP > S. Ovaj teorem se nalazi na pocetku djela O kugli i valjku,ali ga se moze naci i u petoj knjizi Euklidovih Elemenata (dakle i kod Eudoksa)te u Aristotelovoj Fizici.

5. Pravilni 2n-terokut upisan u krug pokriva vise od 1−2−(n−1) njegove povrsine,a pravilni 2n-terokut opisan krugu ima povrsinu manju od 1+2−(n−2) povrsinekruga.

6. Povrsina kruga je proporcionalna kvadratu njegova promjera.

Koristeci ovih sest pretpostavki, Arhimed daje iduci dokaz:

• ako bi povrsina kruga P bila veca od povrsine S pravokutnog trokuta kojemje jedna kateta radijus, a druga opseg tog kruga, onda 4. i 5. pretpostavkapovlace da postoji prirodan broj n takav da je

P − povrsina upisanog 2n − terokuta < P − S

pa je S manji od povrsine upisanog 2n-terokuta. Ako je AB stranica togupisanog 2n-terokuta i N njeno poloviste, spojnica sredista kruga O s N bitce okomita na AB pa je |ON | < r gdje je r radijus kruga.

slika 45 - povrsina kruga je veca od povrsine upisanog poligona

Prema 3. pretpostavci slijedi da je povrsina upisanog 2n-terokuta jednaka

2n |AB| · |ON |2

= |ON |2n|AB|

2<

ro

2= S,

gdje je s o oznacen opseg kruga.

• ako bi bilo P < S, onda 4. i 5. pretpostavka povlace da postoji prirodan brojn takav da je S veca od povrsine opisanog 2n-terokuta. Ako je AB stranicatog opisanog 2n-terokuta, prema 3. pretpostavci slijedi da je povrsina opisanog2n-terokuta jednaka

2n |AB|r2

>ro

2= S.

slika 46 - povrsina kruga je manja od povrsine opisanog poligona


• Buduci dakle nije ni P < S ni S < P , prema Aristotelovom logickom zakonu(princip iskljucenja treceg) slijedi P = S.

Napomenimo ovdje da je Arhimed znao izracunati i niz drugih povrsina omedenihkrivuljama (npr. kubikama) te volumene raznih tijela (kugle i rotacionog elipsoida,odsjecka kugle, paraboloida i hiperboloida, presjeka dva jednaka medusobno okomitauspravna valjka idr.). Arhimedova spirala je putanja tocke koja se krece jednolikopo pravcu koji jednoliko rotira oko polazista te tocke. Prema tome je njena polarnajednadzba

r = aφ

2πgdje je a udaljenost tocke od polazista O nakon jednog punog okreta. Arhimed jeizracunao da povrsina dijela te spirale koji nastaje tokom jednog punog okreta iznosia2π3

. Promotrimo iducu sliku:

slika 47 - Arhimedova spirala, jedan okret

Podijelimo puni kut na n dijelova i promatramo upisane odnosno opisane kruzneisjecke (OAC i ODB na slici). Neka je S zbroj svih povrsina upisanih kruznihisjecaka, a S zbroj svih povrsina opisanih kruznih isjecaka. Kruzni isjecak OACima povrsinu jednaku pola radijusa rA puta duljina luka AC. Kako je φA = 2iπ

n,

rA = aφA

2π= ai

n, a duljina luka AC iznosi rAφA (za i = 0, 1, . . . , n − 1) imamo da je

ta povrsina jednaka πn· ( ia

n

)2pa je

S =n−1∑i=0

π

n·(

ia

n

)2

=πa2

n3

n−1∑i=0

i2 =πa2

n3· (n− 1)n(2n− 1)

6<

πa2

3

Analogno je

S =n∑

i=1

π

n·(

ia

n

)2

=πa2

n3· n(n + 1)(2n + 1)

6>

πa2

3

Kako je ocitoS < S < S

i

S <πa2

3< S

za sve n, slijedi da je (jer je S−S = πa2

nsto se s rastucim n priblizava nuli) trazena

povrsina

S =πa2

3


Uocimo da je ovaj postupak u biti eksplicitno racunanje Darbouxovih suma za ek-vidistantne subdivizije podrucja integracije.

Za Arhimeda su osobito karakteristicne veze matematike i fizike. Za to je tipicnopitanje odredivanje tezista tijela. Za teziste trokuta Arhimed je pokazao da se nalazina sjecistu tezisnica na iduci nacin: dovoljno je pokazati da je teziste na bilo kojojtezisnici. Pretpostavimo da teziste T nije na tezisnici AD. Tada se nalazi lijevo ilidesno od nje, npr. desno. Duzinu DC uzastopno raspolavljamo i ucrtavamo tezisniciparalelne pravce kao na iducoj slici

A

B CD

T

E

sve dok se T ne nade desno od neke od pruga. Recimo da je za to trebalo n koraka.To znaci da je DC podijeljena na n dijelova te je |DE| = |DC|

n. Dopunimo sad sliku

tako da trokut bude rastavljen na sukladne paralelograme i dva tipa trokuta:

A

B CD

T

E

1 6

243

5

O

R

S

Tada je povrsina trokuta 1A6 jednaka zbroju povrsina trokuta 123 i 456. Svitrokuti na lijevoj strani su medusobno sukladni, a isto tako i svi desno. Sad Arhimedkoristi dvije cinjenice: teziste paralelograma je sjeciste njegovih dijagonala, a tezisteproizvoljnog lika je teziste skupa tezista likova na koje smo taj lik rastavili (drugatvrdnja slijedi iz principa poluge). Neka je sad O teziste skupa paralelograma saslike. Ono je na AD jer su svi paralelogrami sukladni i lijevo od AD ih ima kolikoi desno. Neka je R teziste skupa svih trokutica. Tada mora biti T ∈ OR. Kako sepovrsina skupa svih trokutica prema povrsini cijelog trokuta ABC odnosi kao 1 : n,a povrsina skupa svih paralelograma se prema povrsini cijelog trokuta ABC ondaodnosi kao (n− 1) : n, slijedi da je |OT | : |TR| = 1 : (n− 1). Ako je sad S sjecistepravca OTR s p (paralela s AD povucena kroz C) slijedi da je |OT | : |TS| > |DE| :


|EC| = 1 : (n − 1) = |OT | : |TR|, dakle je |TS| < |TR| sto je nemoguce jer bi toznacilo da se teziste R skupa trokutica koji je lijevo od p nalazi desno od p.

Uz izracunavanje povrsine kruga sigurno najpoznatiji Arhimedov rezultat jeodredivanje volumena kugle. Tu se osobito ocituje Arhimedova kombinacija eksperi-mentalnog pristupa s egzaktnom provjerom putem ekshaustije. Opisat cemo ”ekspe-rimentalni” dio. Neka su dani valjak radijusa r i visine 2r, uspravni stozac radijusa 2ri visine 2r te kugla radijusa r. Jos u Euklidovim Elementima mogu se naci volumeniprva dva tijela (VV i VS = 1

3VV ). Arhimed pokazuje da je volumen kugle VK jednak

23

volumena valjka. Rezultat je opisan u djelu O kugli i valjku. Pojednostavljenoreceno, ta se tri tijela postavljaju tako da budu u ravnotezi te se promatraju njihovipresjeci ravninama paralelnima bazi na istoj visini (zapravo, gledaju se vrlo tankireznjevi izmedu po dvije takve ravnine, s tim da se pretpostavlja da su reznjevidovoljno tanki da ih mozemo smatrati uspravnim valjcima). Ako je 4x debljinatakvog reznja i on se nalazi na visini x od dna tijela,

slika 50 - racunanje volumena kugle

onda su volumeni tih reznjeva redom:

• rezanj kugle ima volumen π(2r − x)x4x, sto se dobiva iz slicnosti trokutaMKA, MBK i KBA;

• rezanj valjka ima volumen πr24x;

• rezanj stosca ima volumen π(2r − x)24x, sto se dobiva iz jednakosti duljina|ML| i |AM |

Promatrajuci sad momente tih reznjeva oko tezista u kojem su tijela objesenaArhimed dobiva da je kombinirani moment reznjeva kugle i stosca jednak cetvero-strukom momentu odgovarajuceg reznja valjka. Kad se usporede svi reznjevi nasvim mogucim visinama x (sto odgovara integraciji od 0 do 2r njihovih povrsina)dobivamo da je

2r(VK + VS) = 4rVV

tj.

VK =2

3VV

U poglavlju o trisekciji kuta spomenuto je da je jedna od najpoznatijih mehanickihkonstrukcija bila Arhimedova, slicna Hipokratovoj. Ako je zadan kut CAB, nacrtase kruznica sa sredistem A koja prolazi kroz B i C. Iz C se povuce pravac koji sijecepravac BA u E, a kruznicu u F , s tim da se taj pravac bira tako da bude |EF |


jednak radijusu kruga. Iako neizvedivo ravnalom i sestarom, taj se uvjet u praksilako postize. Ako je AX radijus paralelan s EC, onda je XAB trecina kuta CAB.

Eratosten iz Kirene (275 − 195.pr. Kr.) je bio glavni knjiznicar u Aleksan-driji. Osim matematikom i filozofijom, bavio se poezijom, povijesti, zemljopisom,astronomijom i filologijom. Njegov mezolabij jedno je od najpoznatijih mehanickihrjesenja problema duplikacije kocke. Radi se o mehanizmu za odredivanje srednjihgeometrijskih proporcionala: ako su dane dvije paralelne fiksirane letve AB i CD ina njih pricvrscena tri sukladna pravokutna trokuta tako da im po jedna kateta lezina AB, ako trokute dovedemo u polozaj kao na slici (K je poloviste od BD, tockeA,N, L, K su kolinearne, onda je |DK| : |ML| = |ML| : |NO| = |NO| : 2|DK|),onda ako je |DK| = a, stranica kocke dvostrukog volumena je |ML|.

slika 52 - mezolabij

Osim po mezolabiju, Eratosten je najpoznatiji po Eratostenovom situ i metodiizracunavanja opsega Zemlje. On je i autor Julijanskog kalendara (kojim su uvedeneprijestupne godine). Eratostenovo sito je metoda za nalazenje prostih brojeva.Ispisu se svi prirodni brojevi koje provjeravamo, osim broja 1. Prvo odaberemo 2,dakle je prost, pa prekrizimo sve njegove visekratnike. Prvi iduci neprekrizen broj,3, je prost. Prekrizimo sve njegove visekratnike. Iduci neprekrizen broj je 5, dakleprost. Prekrizimo njegove visekratnike itd.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 . . .3 5 7 9 11 13 . . .

5 7 11 13 . . .7 11 13 . . .

...

Eratostenova metoda izracuna opsega Zemlje koristila je iduce pretpostavke:

1. Sunce je jako daleko od Zemlje pa mozemo smatrati da su zrake njegova svjetlakoje padaju na Zemlju medusobno paralelne.


2. U gradu Syene (danas Aswan), tada poznatom mjestu na putu karavana izAleksandrije na jug, na dan 21.06. se u podne odraz Sunca vidi u svakombunaru tj. u tom je trenutku Sunce tocno iznad tog mjesta.

3. U tom istom trenutku u Aleksandriji zrake padaju pod kutem jednakim pedese-tini punog kuta.

4. Prema EEVI33 je duljina luka kruznice proporcionalna sredisnjem kutu.

slika 53 - Eratostenov racun opsega Zemlje

Eratosten je utvrdio da je udaljenost Aleksandrije do Syene 5000 stadija (jedanstadij je priblizno 180 metara). Uz pretpostavku da je Zemlja okrugla, slijedi da seopseg Zemlje prema 5000 odnosi kao pun kut prema svojoj pedesetini, iz cega slijedida je opseg zemlje 250000 stadija tj. oko 45000 kilometara (uocimo da je dobivendosta tocan rezultat).

Apolonije iz Perge (260 − 190.pr. Kr.) poznat je po razvoju teorije konika(koje je otkrio Menehmo). Njegovo glavno djelo obraduje konike u 8 knjiga s oko400 propozicija. Od tih 8 knjiga cetiri su opstale na originalnom grckom jeziku, tri uarapskom prijevodu, a jedna (zadnja, vjerojatno je sadrzavala zadatke) je izgubljena.Apolonije u tim knjigama starije (Menehmove te Aristejeve i Euklidove) rezultatenadopunjava vlastitim. Kod Apolonija se prvi put pojavljuju pojmovi elipsa, hiper-bola i parabola. Njihove jednadzbe izrazava geometrijskom algebrom, a koristi vrstukoordinatnog sustava s kosokutnim koordinatama. Novost kod Apolonija je da nepromatra samo presjeke uspravnog stosca, nego i kosih stozaca, i to proizvoljnomravninom (dok je Menehmo promatrao samo normalne presjeke uspravnih stozacatj. presjeke ravninama okomitim na izvodnice i tako dobio tri tipa presjeka ovisno okutu pri vrhu stosca). U prvoj od navedenih knjiga obraduje opca svojstva konika, udrugoj asimptote hiperbole te dijametre i tangente konika, u trecoj sekante i fokuse,u cetvrtoj presjeke i dodire dvije konike, u petoj povlacenje normala na koniku, usestoj jednake i slicne konike te u sedmoj konjugirane promjere i komplementarnetetive. Spomenimo, primjera radi, samo jedan njegov rezultat: Produkt duljinamedusobno konjugiranih tetiva u konici je konstantan.

Vecina drugih Apolonijevih djela su izgubljena. O dodirima se bavi poznatimApolonijevim problemom: za tri dana objekta u ravnini (svaki je tocka, pravacili kruznica) naci objekt (tocku, pravac ili kruznicu) koji ih sva tri dira. Djelo Ogeometrijskim mjestima u ravnini se bavilo skupovima tocaka koje zadovoljavajuneke uvjete, djelo Neuseis se bavilo mehanickim konstrukcijama, a O usporedbi do-dekaedra i ikozaedra promatra ta dva tijela upisana u istu sferu i dobiva npr. rezultatda im se oplosja odnose kao volumeni.


3.3 Postklasicno razdoblje

Poslije pada Sirakuze (212. pr. Kr.), Rimljani nastavljaju s osvajanjem Grcke. Takoje do 146. pr. Kr. osvojeno gotovo cijelo grcko kopno i pri tom mnogo toga unisteno.Godine 31. pr. Kr. Rimljani zauzimaju Aleksandriju i pritom spaljuju velik diobiblioteke u museion-u. Znanstveni rad zamire, a novi rezultati u ovom periodu po-javit ce se gotovo iskljucivo kao rjesenja pojedinih problema ili upotpunjavanje djelaranijih matematicara. Matematika ovog doba je izuzetno povezana s astronomijom,te ce tako u ovom razdoblju doci do pojave trigonometrije i sferne geometrije teproucavanja krivulja viseg reda. Najpoznatiji matematicari ovog doba su Heron,Ptolomej, Diofant i Papus.

Hiparh iz Niceje (ca. 180. − 125. pr. Kr.) bio je astronom i matematicar.Izracunao je trajanje godine s tocnoscu do na 6 minuta te kut izmedu ekliptikei ekvatora, otkrio je godisnju precesiju ekvinocija i izracunao koordinate mnogihzvijezda. Bilo mu je poznato da je Mjeseceva putanja oko Zemlje samo pribliznokruznica. Hiparh je utemeljitelj trigonometrije. Izradio je prvu poznatu tablicusredisnjih kuteva i pripadnih tetiva (na jedinicnoj kruznici). Sa slike

se vidi da je duljina tetive tet(α) dvostruki sinus polovine sredisnjeg kuta α:

tet(α) = 2 sinα

2

tako da se u biti radi o prvoj tablici sinusa. Tako je npr. tet(30◦) = 31,0660

. Zakonstrukciju svoje tablice Hiparh je koristio pravila koja danas zovemo adicionimteoremom za sinus i formulu 2 sin2 α

2= 1 − cos α. Hiparh se bavio i geometrijom

na kugli te je koristio stereografsku projekciju: nebesku kuglu iz jednog njena polapreslikava na ekvatorsku ravninu.

Mnogima najpoznatiji matematicar ovog razdoblja je Heron iz Aleksandrijekoji je zivio najvjerojatnije u 1. stoljecu pr. Kr. Njegovo glavno djelo Metricasastoji se od tri knjige koje se bave ravnim i zaobljenim plohama, volumenima tedijeljenjem likova i tijela u zadanom omjeru. U biti se ne radi o novim rezultatima,vec o rekapitulaciji Euklidovih i Arhimedovih. Poznatu Heronovu formulu zapovrsinu trokuta

P =√

s(s− a)(s− b)(s− c)

gdje su a, b, c stranice trokuta i s poluopseg znao je vec Arhimed. Heronovametoda za vadenje kvadratnog korijena je, kao sto je vec napomenuto, bilapoznata jos kod Babilonaca:

√N ≈ 1

2

(N

n+ n

).

3.3. POSTKLASICNO RAZDOBLJE 59

gdje je n =[√

N]

(s [.] je oznacena funkcija najvece cijelo). Tako npr. za N = 28

imamo n = 5 i√

28 ≈ 5, 3. Uocimo da ta formula daje tocan rezultat ako je Nkvadrat prirodnog broja.

Menelaj iz Aleksandrije (1. − 2. st.n.e.) poznat je po svom djelu Sphaericau kojem se bavi sfernom trigonometrijom. U tom se djelu mogu naci teoremi osukladnosti za ravninske i sferne trokute te

Teorem 7 (Menelajev teorem) Zadan je trokut ABC. Na pravcima BC, AC iAB redom je odabrana po jedna tocka A1, B1 i C1. Ukoliko su tocno dvije ili paknijedna od tocaka A1, B1, C1 na stranicama trokuta, vrijedi: tocke A1, B1 i C1 sukolinearne ako i samo ako vrijedi

|BA1| · |CB1| · |AC1| = |CA1| · |AB1| · |BC1|.

Ptolomej Aleksandrijski (umro 168. n. e.) usavrsava Hiparhove i Menela-jeve rezultate. Ptolomej je osobito poznat kao astronom. Njegov Tetrabiblos je zaastronomiju ono sto su EE za matematiku, no jos je znamenitiji njegov Almagest(arapski prijevod nestalog originala) u kojem daje matematicku teoriju kretanjanebeskih tijela. To ce djelo sve do renesanse biti osnova zapadne astronomije. Unjemu se nalazi i tablica tetiva s pripadnim kutevima za kuteve od 0, 5◦ do 90◦

u koracima od po pola stupnja. Pritom je Ptolomej prvo izracunao lagane tetivekuteva od 30◦, 60◦, 72◦, 90◦ i 120◦ te uspio izracunati tet(0, 5◦), a ostale je izveo iznjih koristeci

Teorem 8 (Ptolomejev teorem) U tetivnom cetverokutu je produkt dijagonalajednak zbroju produkata nasuprotnih stranica.

Dokaz:Neka je dan tetivni cetverokut ABCD kojem su stranice a = AB, b = BC, c = CDi d = DA. Dijagonale su e = AC i f = BD. Neka je α kut DBC. Odaberemo Pna AC tako da kut ABP bude takoder α.

A

B

C

D

P

Tada su trokuti ABP i DBC slicni jer imaju dva zajednicka kuta (drugi je kutCDB jednak kutu CAB jer su to obodni kutevi nad istom tetivom BC). Stoga


je |AB| : |AP | = |BD| : |CD| tj. ac = |AP |f . S druge strane je trokut PBCslican trokutu ABD jer je kut ABD jednak kutu PBC i kutevi ACB i ADB suobodni kutevi nad AB, dakle jednaki). Slijedi da je |BC| : |PC| = |BD| : |AD|tj. bd = |PC|f . Zbrajanje ac = |AP |f s bd = |PC|f daje trazenu jednakostac + bd = ef .

Ptolomej za brojeve, kao i mnogi njegovi suvremenici, koristi alfabetsku notacijukoja koristi grcka slova za brojeve 1, . . . , 10, 20, . . . , 100, 200, . . . , 900, s tim sto ko-riste i tri fenicka slova jer treba 27 simbola, a grcka abeceda ima 24 slova.

Za razdvajanje izmedu stupnjeva, minuta i sekunda u kutevima koristi se |, npr.120◦8′35′′ se pise ρκ|η|λε. Tetive se, kao i kutevi, biljeze u seksagezimalnom sustavu.

Ptolomej nije sistematski izlozio ravninsku trigonometriju, ali je zato detaljnoobradio sfernu trigonometriju. Tako kod njega mozemo naci sve bitne teoreme opravokutnom sfernom trokutu.

Najveci matematicar postklasicnog razdoblja i posljednji veliki evropski matema-ticar prije Fibonaccija je Diofant Aleksandrijski (3. st. n. e.) Njegova Arithmeticau trinaest knjiga bavi se rjesavanjem raznih algebarskih problema oblika jednadzbii njihovih sustava. Neke od tih jednadzbi i sustava su neodredeni i imaju nejedin-stvena rjesenja te Diofant trazi sva racionalna rjesenja. Danas pod diofantskimjednadzbama podrazumijevamo algebarske jednadzbe s vise nepoznanica s cjelobro-jnim koeficijentima kojima se traze cjelobrojna rjesenja. Tipican primjer diofantskejednadzbe je trazenje pitagorejskih trojki tj. trojki cijelih brojeva x, y, z takvih da jex2 + y2 = z2. Neki od Diofantovih problema do danas nisu rijeseni, a kopije njegoveknjige imale su izuzetan utjecaj na mnoge renesansne i novovjeke matematicare (npr.de Fermata). Primjera radi, navest cemo dva Diofantova zadatka iz druge knjigeArithmetice.

• Za zadan prirodan broj a treba odrediti racionalne brojeve x, y takve da je

3.3. POSTKLASICNO RAZDOBLJE 61

x2 + y2 = a2. Jasno je da ako je (x0, y0) neko konkretno rjesenje, onda (x0 +t, y0+kt) za racionalan k uvrstavanjem u jednadzbu daje kvadratnu jednadzbuza t i time mogucnost konstrukcije novog rjesenja. Recimo da je a = 4 tj.jednadzba je x2 + y2 = 16. Uzmimo x0 = 0 i y0 = −4. Tada za x = t iy = kt − 4 imamo x2 + y2 = (k2 + 1)t2 − 8kt + 16 = 16 tj. t = 8k

k2+1pa

dobivamo beskonacno mnogo novih racionalnih rjesenja.

• Ako su zadani a i b (npr. a = 2, b = 3), traze se racionalni x i y takvi da jex2 + y2 = a2 + b2. Ako supstituiramo x = x + a i y = mx − b (uz a = 2,b = 3) dobivamo (x + 2)2 + (mx − 3)2 = 13 tj. (m2 + 1)x2 + (4 − 6m)x = 0.Odabirom razlicitih m dobivamo razlicite x tj. razna rjesenja (x, y). Npr. zam = 2 dobijemo x = 18

5, y = 1

5.

Diofant je sistematski koristio alfabetsku notaciju, koju prosiruje za dobivanjesimbolickog zapisa algebarskih izraza.

slika 56 - Diofantova alfabetska notacija brojeva

Tako npr. suvremeni 3x2 + 12 kod Diofanta izgleda kao ∆νγ oM

ιβ.Papus iz Aleksandrije (4. st.n.e.) djeluje kao usamljeni izuzetak u tada vec

potpuno izumrloj aleksandrijskoj matematickoj skoli. Glavno djelo mu je Kolekcija,vrsta enciklopedije koja predstavlja skup starijih matematickih djela. Njegov jeznameniti teorem, koji je po Hilbertu osnovni teorem euklidske geometrije, a ujednoje fundamentalan i za projektivnu geometriju:

Teorem 9 (Papusov teorem) Dana su dva pravca i na njima po tri tocke: A, B,C odnosno A′, B′, C ′. Neka je tocka 1 sjeciste AB′ i A′B, tocka 2 sjeciste AC ′ iA′C te tocka 3 sjeciste BC ′ i B′C. Tada su tocke 1, 2 i 3 kolinearne.

slika 57 - Papusov teorem

Dokaz:(za slucaj da pravci ABC i A′B′C ′ nisu paralelni i da medu spojnicama tocaka


A,B,C s tockama A′, B′, C ′ nema paralela): Neka je s U oznaceno sjeciste A′B sB′C, s V sjeciste AC ′ i A′B te s W sjeciste B′C s AC ′. Na trokut UV W primijenimoMenelajev teorem pet puta:

• buduci su A′, C i 2 kolinearne imamo

|V 2| · |WC| · |UA′| = |2W | · |CU | · |A′V |,

• buduci su B, C ′ i 3 kolinearne imamo

|V C ′| · |W3| · |UB| = |C ′W | · |3U | · |BV |,

• buduci su A, B′ i 1 kolinearne imamo

|V A| · |WB′| · |U1| = |AW | · |B′U | · |1V |,

• buduci su A′, B′ i C ′ kolinearne imamo

|V C ′| · |WB′| · |UA′| = |C ′W | · |B′U | · |A′V |,

• buduci su A, B i C kolinearne imamo

|V A| · |WC| · |UB| = |AW | · |CU | · |BV |.

Pomnozimo prve tri jednakosti i dobivenu jednakost podijelimo s jednakosti kojanastaje mnozenjem zadnje dvije. Rezultat ce biti da je

|V 2| · |W3| · |U1| = |2W | · |3U | · |1V |,

sto (opet po Menelajevom teoremu) povlaci da su tocke 1, 2 i 3 kolinearne.Uz Papusov teorem poznat je i Papusov zadatak: Dan je odreden broj pravaca

u ravnini. Potrebno je odrediti geometrijsko mjesto tocaka T sa svojstvom da jeprodukt udaljenosti T do odredenih medu zadanim pravcima jednak produktu uda-ljenosti do ostalih pravaca.

Hipsikl (2.st.n.e.) je prvi podijelio krug na 360◦, a pocevsi od njega za sfernugeometriju i trigonometriju se standardno koristi seksagezimalni sustav.

Medu zenama matematicarima grckog doba, kojih je bio nemalen broj (premaJamblihu (250 − 330 n.e.), koji je sastavio katalog 218 pitagorejaca, medu njimaje bilo 17 zena) osobito je istaknuta Hipatija (370− 415 n.e.), kci Teona Aleksan-drijskog koji je izdao jedno izdanje Euklidovih Elemenata i komentar PtolomejevaAlmagesta. Hipatija je napisala komentare o Apoloniju i Diofantu. Ubijena je tokomjedne pobune krscana protiv pogana.

Neoplatonist Proklos (410 − 485 n.e.) studirao je u Aleksandriji, a djelovao uAteni. Njegovi komentari Euklidovih Elemenata su jedan od glavnih izvora saznanjao antickoj grckoj matematici.

3.4. MATEMATIKA U RIMSKOJ DRZAVI 63

3.4 Matematika u rimskoj drzavi

U antickom Rimu paznja se posvecivala iskljucivo prakticnoj matematici: geometrijipotrebnoj za arhitekturu, izracunavanje povrsina zemljista i sl. te pitanja nasljedi-vanja i kamatnog racuna. Samostalnih matematickih doprinosa nije bilo, a mnogigrcki izvori preneseni su odnosno prevedeni iskrivljeno i bez razumijevanja materije.U skolama se uci racunanje na prste, u glavi i pomocu abakusa. Rimski brojevnisustav koristio je oznake:

I za 1

V za 5

X za 10

L za 50

C za 100

D za 500

M za 1000

Racunanje je zbog tog zapisa bilo dosta nespretno.Jedino znacajno ime u rimskoj matematici je Anicius Manlius Severinus

Boethius (475−524 n.e.), koji je studirao u Ateni, a zivio u Rimu. Glavna djela sumu Aritmetika, koja je u biti prijevod istoimenog Nikomahova djela, i Geometrija;oba djela su na nivou standardnih srednjevjekovnih skolskih udzbenika. Boethiusprvi koristi pojam quadrivium za cetiri slobodna umijeca (artes liberales): arit-metiku, geometriju, astronomiju i glazbu. Ovaj se pojam prenosi u srednji vijek,kad mu je dodan trivium gramatike, retorike i dijalektike, cime je uspostavljen stan-dardni popis sedam artes liberales srednjeg vijeka.

Documents

Grcka