Gráficos por Computadora

MSC J. Fco. Jafet Pérez L.

Conceptos Geométricos – Objetos Básicos

Objetos básicos

Punto, Línea, Plano y Espacio

Punto: Ubicación, sin longitud, anchura nialtura. (El punto representa solo posición y no tiene dimensión, es decir,

largo cero, ancho cero y altura cero) .

Línea: Sucesión de puntos. Si unimos diferentespuntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas,rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirselos puntos, siguen distintas direcciones; rectas, sillevan la misma dirección; mixtas, si mezclan ambas;y poligonales, si están formadas solamente portrozos de rectas.

Plano: Tiene ancho y largo, sin altura nigrosor. Un plano es una superficie en dosdimensiones, se puede pensar como unconjunto de puntos infinitos en dosdimensiones.

Espacio: El espacio geométrico puedeconsiderarse como el conjunto de todoslos puntos del universo físico. Así, todopunto, recta y plano está en el espacio.

Recta y segmento de recta

Recta: Es una línea continua que estaformada por infinitos puntos en la mismadirección, la recta no tiene inicio ni fin.(Podemos imaginar una recta como la líneamas delgada que se puede dibujar, unarecta es una idea o abstracción)

Segmento de recta: Si tomamos 2 puntosen una recta (T y S), el segmento de rectaserá el conjunto de puntos comprendidosentre T y S.

•Es una porción o parte de una recta.•Es la menor distancia posible entre dospuntos.•Tiene un principio y un final, por ende essusceptible de ser medido.

Objetos geométricos planosTriángulo.

Un triángulo ABC es una figura plana limitadapor tres rectas que se cortan dos a dos,determinando los segmentos AB, AC y BC queson los lados del triángulo. Para que tressegmentos formen un triángulo ABC esnecesario que cada uno de ellos sea menorque la suma de los otros dos y mayor que sudiferencia.

La suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180º.

Los triángulos que tienen los tres lados iguales se llaman equiláteros.Esto implica que tengan tres ángulos iguales y tres ejes de simetría.Los triángulos que tienen dos lados iguales se llaman isósceles. Eneste caso los lados iguales se llaman lados y el lado desigual sellama base. Los ángulos que tienen a la base como lado son iguales.Los triángulos isósceles sólo tienen un eje de simetría.Los triángulos que no tienen lados iguales se llaman escalenos, susángulos son desiguales y no tienen ningún eje de simetría.Los triángulos que tienen los ángulos agudos se llaman acutángulos.Los triángulos que tienen un ángulo recto de llaman rectángulos. Loslados del ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulorecto se llama hipotenusa.Los triángulos que tienen un ángulo obtuso se llaman obtusángulos.

Nomenclatura de los triángulos

Los triángulos se nombran por sus vértices, A, B y C. El lado opuestoa cada vértice se llama como él, en minúscula: el vértice A es opuestoal lado a, el B al b y el C al c. Los ángulos pueden llamarse como elvértice: , con la letra griega o indicando ordenadamente ,donde A es el vértice.

Paralelogramo.

Un paralelogramo es un cuadrilátero quetienen los lados paralelos dos a dos.

Se clasifican en:

Cuadrados.Un cuadrado es un paralelogramo que tiene los 4lados iguales y los 4 ángulos rectos.

Rectángulos.Un rectángulo es un paralelogramo que tiene ladosiguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.x.

Rombos.Un rombo es un paralelogramo que tiene loscuatro lados iguales y ángulos iguales dos ados.

Romboides.Un romboide es un paralelogramo que tienelos lados y ángulos iguales dos a dos

Cónicas.

Una superficie cónica de revolución estáengendrada por la rotación de una recta alrededorde otra recta fija, llamada eje, a la que corta demodo oblicuo.

La generatriz es una cualquiera de las rectasoblicuas.

El vértice es el punto central donde se cortan lasgeneratrices.

Las hojas son las dos partes en las que el vérticedivide a la superficie cónica de revolución.

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un conocon un plano que no pasa por su vértice. En función de la relaciónexistente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación delplano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentessecciones cónicas

Tipos de superficies Cónicas.

Elipse. La elipse es la sección producida en unasuperficie cónica de revolución por un planooblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatrizy que forme con el mismo un ángulo mayor que elque forman eje y generatriz.

α < β <90º

La elipse es una curva cerrada.

Circunferencia. La circunferencia es la secciónproducida por un plano perpendicular al eje.

β = 90º

La circunferencia es un caso particular de elipse.

Parábola. La parábola es la sección producida enuna superficie cónica de revolución por un planooblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.

α = β

La parábola es una curva abierta que se prolongahasta el infinito..

Hipérbola. La hipérbola es la sección producida enuna superficie cónica de revolución por un planooblicuo al eje, formando con él un ángulo menor alque forman eje y generatriz, por lo que incide enlas dos hojas de la superficie cónica.

α > β

La hipérbola es una curva abierta que se prolongaindefinidamente y consta de dos ramas separadas.

Polígonos.

Un polígono es la región del plano limitada por treso más segmentos.

Elementos de un polígono• Lados. Los lados de un polígono son los

segmentos que lo limitan.• Vértices. Los vértices de un polígono son los

puntos donde concurren dos lados.• Ángulos interiores de un polígono. Los ángulos

interiores de un polígono están determinados pordos lados consecutivos.

Suma de ángulos interiores de un polígonon = número de lados de un polígono.

S = (n − 2) · 180°

Diagonal. Las diagonales de un polígono son lossegmentos que unen dos vértices no consecutivos.

Número de diagonales de un polígono

n = número de lados de un polígono.

Número de diagonales = n · (n − 3) : 2.

Tipos de Polígonos.

Regulares.

Irregulares.

Inscritos.

Circunscritos.

Estrellados.

Los polígonos regulares tiene sus lados y ángulos iguales. Lospolígonos regulares están inscritos en una circunferencia.

Elementos de un polígono regular

• Centro. El centro es el punto interior queequidista de cada vértice.

• Radio. El radio es el segmento que va delcentro a cada vértice.

• Apotema. La apotema es la distancia delcentro al punto medio de un lado.

Los polígonos irregulares no tiene todos sus lados iguales. Susvértices no están inscritos en una circunferencia.

Se clasifican atendiendo al número de lados:

TriángulosCuadriláteros

Pentágonos …

Un polígono está inscrito en una circunferencia cuando todos susvértices son puntos de la circunferencia y todos sus lados estánincluidos dentro del círculo que ésta define.

• Todo polígono regular está inscrito en una circunferencia.• El centro de un polígono inscrito es el centro de la circunferencia circunscrita

en él.• El radio del polígono inscrito es el radio de la circunferencia circunscrita en

él.

Un polígono está circunscrito en una circunferencia, si sus vérticesestán situados fuera de la circunferencia, y sus lados son tangentes a lacircunferencia.

• El polígono circunscrito toca en el punto medio de cada lado a lacircunferencia inscrita.

• El centro de la circunferencia inscrita equidista de todos los lados delpolígono circunscrito.

• La apotema del polígono circunscrito es el radio de la circunferencia inscrita.

Un polígono regular estrellado se construye uniendolos vértices no consecutivos, de un polígono regularconvexo, de forma continua.

Poliedros

Un poliedro es un sólido que tiene todas las carasplanas.

Sólidos

Un poliedro es la región del espacio limitada porpolígonos.

Caras. Las caras de un poliedro son cada uno de lospolígonos que limitan al poliedro.

Aristas. Las aristas de un poliedro son los lados delas caras del poliedro. Dos caras tienen una aristaen común.

Vértices. Los vértices de un poliedro son losvértices de cada una de las caras del poliedro. Trescaras coinciden en un mismo vértice.

Ángulos diedros. Los ángulos diedros estánformados por cada dos caras y tienen una arista encomún.

Ángulos poliédricos. Los ángulos poliédricos estánformados por tres o más caras del poliedro y tienenun vértice común.

Diagonales. Las diagonales de un poliedro son lossegmentos que unen dos vértices no pertenecientesa la misma cara.

Tipos de poliedros

Poliedro convexo. En un poliedro convexo una rectasólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.

Relación de Euler. En todos los poliedros convexos se verifica siempre que: Nº de caras + Nº de vértices = Nº dearistas + 2.

Poliedro cóncavo. En un poliedro cóncavo una rectapuede cortar su superficie en más de dos puntos,por lo que posee algún ángulo diedro entrante.

Poliedros regulares

Un poliedro regular tiene todos sus ángulos diedrosy todos sus ángulos poliedros iguales y sus carasson polígonos regulares iguales.

Sólo existen cinco poliedros regulares:

Tetraedro (4 caras)

Hexaedro(cubo, 6 caras)

Octaedro (8 caras)

Dodecaedro(12 caras)

Icosaedro (20 caras)

Poliedros irregulares

Un poliedro irregular está definido por polígonosque no son todos iguales.

Poliedros irregulares - Prismas

Prismas son los poliedros que están limitados pordos bases que son polígonos iguales y por caraslaterales que son paralelogramos.

Los prismas se nombran según el polígono de labase:

prisma triangular

prisma cuadrangular

prisma pentagonal

prisma hexagonal

Poliedros irregulares – Prismas ortoedros

El prisma cuyas caras son todas rectangulares sellama ortoedro. Tiene seis caras planas y todos susángulos son rectos. (El nombre "ortoedro" viene de orto-, que

significa "recto", y -edro, que significa "cara".)

Si todas las aristas de un ortoedro tienen la misma longitud, entonces se trata de un cubo

(y es un poliedro regular). Todas sus caras son cuadrados iguales.

Prisma recto es el que tiene lasaristas laterales perpendiculares alas bases.

En el prisma oblicuo las aristaslaterales no son perpendiculares alas bases.

Prismas regulares: son los prismascuyas bases son polígonosregulares.

Hay un prisma regular, el cubo, que también es unpoliedro regular.Los demás prismas regulares son poliedrosirregulares.

Prismas irregulares: son losprismas cuyas bases son polígonosirregulares.

Poliedros irregulares – Pirámide.

Los elementos fundamentales de una pirámide soncaras, aristas y vétices.

Las caras pueden ser:- Base de la pirámide, que es un polígono cualquiera.- Caras laterales de la pirámide, que son triángulos.

Las aristas pueden ser:- Aristas básicas, que son los lados de la base.- Aristas laterales, que son los lados de las caras laterales que no son aristasbásicas.

Los vértices pueden ser:- Vértices de la base, que son los vértices del polígono de la base.- Vértice o cúspide de la pirámide, que es el punto en el que se encuentran lasaristas laterales.

La altura es la distancia del vértice a la base.

Poliedros irregulares – Clases de Pirámides.

Las pirámides se puede clasificar de forma análoga alos prismas.

Una pirámide es recta si todas sus caras lateralesson triángulos isósceles. Si no es así, decimos quees oblicua.

Decimos que una pirámide es regular si es recta ytiene por base un polígono regular. Si no cumpleestas condiciones, se denomina irregular. En unapirámide regular, las caras laterales son triángulosisósceles iguales.

Hay una pirámide regular, el tetraedro, que es también un poliedro regular. Las demáspirámides regulares son poliedros irregulares.

Pirámide recta Pirámide oblicua

Pirámide regular Pirámide irregular

Según el número de lados del polígono de la base, lapirámide será triangular, cuadrangular, pentagonal,etc.

Tronco de pirámide

Si cortamos una pirámide por un plano, obtenemosun tronco de pirámide, que será recto u oblicuo,según que el plano sea o no paralelo a la base. Fíjateen que las caras laterales de un tronco de pirámideson trapecios y cuando éste es regular, entonces lostrapecios son isósceles iguales y su altura coincidecon la apotema del tronco de pirámide. Por otraparte, las bases son polígonos semejantes.

No poliedros

Un poliedro es un sólido que tiene todas las carasplanas. Algunos sólidos tienen superficies curvas(todas o sólo algunas) así que no son poliedros.

No poliedros - Cono

El cono es un cuerpo geométrico generado por untriángulo rectángulo al girar en torno a uno de suscatetos. (Es un sólido de revolución)

El cono tiene una cara basal plana y una cara lateralcurva. Posee una arista basal y un vértice llamadocúspide.

Elementos de un cono recto:

Eje: es el cateto AC. Alrededor de élgira el triángulo rectángulo.Base: es el círculo que genera larotación del otro cateto, AB. Por lotanto AB es el radio del cono. Labase se simboliza: O (A, AB).Generatriz: es la hipotenusa deltriángulo rectángulo, BC, que generala región lateral conocida comomanto del cono.Altura: corresponde al eje del cono,porque une el centro del círculo conla cúspide siendo perpendicular a labase.

Tipos

Si la alturacoincide con sueje, el cono esrecto. Si el eje yla altura nocoinciden, el conoes oblicuo.

No poliedros - Cilindro

El cilindro es el cuerpo geométrico generado por unrectángulo al girar en torno a uno de sus lados (Esun sólido de revolución). El cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas ycongruentes. 1 cara lateral que es curva y 2 aristasbasales.

Elementos de un cilindro:

Eje: lado AD, alrededor del cual gira elrectángulo.

Bases: son los círculos paralelos ycongruentes que se generan al girar loslados AB y CD del rectángulo. Cada uno deestos lados es el radio de su círculo ytambién, el radio del cilindro.

Altura: corresponde al mismo eje AD; esperpendicular a las bases y llega al centrode ellas. Esta es la razón por la que elcilindro es recto.

Generatriz: es el lado BC, congruente con ellado AD, y que al girar forma la cara lateral

o manto del cilindro.

No poliedros - Esfera

La esfera es el sólido generado al girar unasemicircunferencia alrededor de su diámetro (Es unsólido de revolución). La esfera tiene una sola caracurva. Todos los puntos que forman la superficieesférica equidistan de uno fijo llamado centro, y quecorresponde al centro de la semicircunferencia quegira.

Elementos de una esfera:

Centro. Punto interior que equidista decualquier punto de la superficie de la esfera.

Radio. Distancia del centro a un punto de lasuperficie de la esfera.

Cuerda. Segmento que une dos puntos de lasuperficie esférica.

Diámetro. Cuerda que pasa por el centro.

Polos. Son los puntos del eje de giro quequedan sobre la superficie esférica.

Circunferencias en una esfera

Paralelos. Circunferencias obtenidas al cortar la superficieesférica con planos perpendiculares al eje de revolución.

Ecuador. Circunferencia obtenida al cortar la superficieesférica con el plano perpendicular al eje de revolución quecontiene al centro de la esfera.

Meridianos. Circunferencias obtenidas al cortar la superficieesférica con planos que contienen el eje de revolución.