8
Group Chromatic Number of Graphs without K 5 -Minors Hong-Jian Lai 1 and Xiankun Zhang 2 Department of Mathematics, West Virginia University, Morgantown, WV 26506, USA e-mails: 1 hjlai, 2 [email protected] Abstract. Let G be a graph with a ®xed orientation and let A be a group. Let F G; A denote the set of all functions f : EG 7! A. The graph G is A-colorable if for any function f 2 F G; A, there is a function c: V G 7! A such that for every directed e uv 2 EG, cu cv 6 f e. The group chromatic number v 1 G of a graph G is the minimum m such that G is A-colorable for any group A of order at least m under a given orientation D. In [J. Combin. Theory Ser. B, 56 1992), 165±182], Jaeger et al. proved that if G is a simple planar graph, then v 1 G 6. We prove in this paper that if G is a simple graph without a K 5 -minor, then v 1 G 5. 1. Introduction Graphs in this note are ®nite and simple. We follow Bondy and Murty [1] for unde®ned terms. Thus vG, dG and jG denote the chromatic number, the minimum degree, and the connectivity of a graph G, respectively. We use H G to denote the fact that H is a subgraph of G. Let G be a graph and let X be a set of edges with ends in V G, then G [ X denotes the simple graph with vertex set V G and edges set EG[ X . For a subset X EG, the contraction G=X is the graph obtained from G by identifying the two ends of each edge in X and deleting the resulting loops and deleting all but one edge in each equivalence class of parallel edges. Thus the contraction of a simple graph is again simple. Let G V ; E be a graph and A a non-trivial group, and let F G; A denote the set of all functions f : EG! A. Denote by D an orientation of G. An oriented edge directed from u to v is called an arc uv. The graph G under the orientation D is sometimes denoted by DG. For a function f 2 F G; A, an A; f -coloring of G under the orientation D is a function c: V G 7! A such that for any arc e uv 2 EG, cu cv 6 f e; the graph G is A-colorable under the orientation D if for any f 2 F G; A, G has an A; f -coloring. The group chromatic number v 1 G of a graph G is the minimum integer m such that G is A-colorable for any group A of order at least m under the orientation D. Graphs and Combinatorics 2002) 18:147±154 Graphs and Combinatorics Ó Springer-Verlag 2002

Group Chromatic Number of Graphs without K5-Minors

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Group Chromatic Number of Graphs without K5-Minors

����� ������� ����� �� ����� ����� ���������

��������� �� ��� ���� �� ������

���������� �� ������������ ���� �������� ��� �����!� ��������"�� �� �#$%#� �&'�����(�) �*(��� �+ ,����-����." �.���

������ �� � /� � ����� "��� � 0+�� ����������� ��� (�� � /� � �����. �� � ����������� ��� ��� �� �(( ��������� � ) ���� ���. 1�� ����� � �� ���������� �� ��� ��! ��������� � � ������ ����� �� � �������� �) � ��� ��� ���� ���� ��� � ��! �������� � � � �������� � ��� �� � ���. 1�� ����� ������� ������ ���� �� � ����� � �� ��� ������� � �������� � �� ����(���/(� ��� ��! ����� � �� ����� �� (���� � ����� � �� �� ����������� �.2� 3�. 4��/��. 1����! &��. 5� $# 677�8� #$9:�;� ������ �� ��� ��� �� ���� �� � �� �

����(� �(���� ������ ���� ���� #. �� ��� � �� ���� ����� ���� �� � �� � ����(� �����"������ � $������� ���� ���� $.

�� ����������

<����� �� ���� ���� ��� 0���� ��� ����(�. �� ��((�" 5���! ��� ����! 3; �������0��� �����. 1��� ����� ���� ��� ���� ������ ��� ��������� ���/��� ���������� ������� ��� ��� �������� ��! �� � ����� �� �������� �(!. �� ��� � ��� ������ ��� ���� ���� � �� � ��/����� �� �. �� � /� � ����� ��� (�� � /� � ��� ������� "��� ���� �� � ���� ���� � � � ������� ��� ����(� ����� "��� ����+ ���� ��� ��� ����� ��� ���� � � .

=�� � ��/��� � ����� ��� �������� ��� �� ��� ����� �/������ ���� � /!�������!��� ��� �"� ���� �� ���� ���� �� � ��� ��(����� ��� ����(���� (���� �����(����� �(( /�� ��� ���� �� ���� �>�� �(���� �(��� �� ����((�( �����. 1��� �������������� �� � ����(� ����� �� ����� ����(�.

�� � � �� ��� /� � ����� ��� � � ������� ��( ������ ��� (�� � ����� ��������� ��� �� �(( ��������� � ) ���� � �. ������ /! � �� ����������� �� �. '� ������������ �������� ���� �� �� ��((�� �� �� . 1�� ����� � ����� ��� ����������� ��� ��������� ������� /! ����.

=�� � �������� � � � ������ �� ��� � ���������� �� � ����� ��� ����������� � �� ��������� �) � ��� ��� ���� ���� ��� ��! ��� � � � ����� ��� � ��� �� � ���? �������� � �� ���������� ����� ��� ����������� � �� ��� ��! � � � ������ � ��� ����� � ����(�����. 1�� ����� ������� ������ ���� �� � ����� � �� ��� �������������� � ���� ���� � �� ����(���/(� ��� ��! ����� � �� ����� �� (���� � ����� �������������� �.

<����� ��� 4��/��������� 6�%%�8 :)@A9$@

������ ����� ���� ��� &�����������(�� �%%�

Page 2: Group Chromatic Number of Graphs without K5-Minors

2� �� ���! �� ��� ���� ���� ����� ��� ��! ����� �. ��"� ������� � ���� ��� /� ��/������(! (����� �� ����� �� 3$;. 2� 3@;� ��� ��((�"��� ����� ��.

������� ��� � ����! "����! #$�! �� ����! %&'(� �� � � � ���� ����� � �������� ���� #.

�� /� � �����. �� ��! ���� � ����� � ��� �� ������ �� � ��� � ��/����� �"���� ��� /� ���������� �� . ' ����� � �� ������ ���� �� �� ���� ��� �� � � ������. 5! B�����"� �C� ������� 3; 6�(�� ��� 3D; ��� 3:;8� �(���� ������ ��� $������ ���� ������. 2� ���� ������ "� �����! ��� ������>��� �� 1�������� 3A;��� &E �� � � � 3#; �� ��� � ���� 1������ . ��� /� ������(�,�� �� $������ ���������� "��� � /����� /����.

������� ��)� ��� � �� � $���� � �� ���� � ���� ���� ���� $.

1�� ����� �� ��� ���� ����(� ��� �"� �����. =�((�"��� ����(�� ����� ��1�������� 3A; ��� &E �� � � � 3#;� � �������� ������ �� 1������ .� �� 0������ �� ��� �(���� ������ �� ��� ��+� �������� "���� �� ���(��� �� ��� � ��� $������ ���� ���� �� ��� (��� �������.

)� #��� �����

�� � /� � �(��� ����� "���� ��� �� (���� �� ��(���(� �����. 4�(( � � ������������� �� � ��! ���� �� � ����� ���� ��� �+������ ���� �� � D��!�(�. ' �!�(� ��� � �(��� ����� � �� ������� �� /��� ��� �������� ��� �+������ �� � ������� ������� �� �.

�� � ��� �� /� �"� ���� "��� ������� � ��� ��� �������� �(!. '����� �������� � ����� ��� ��! � � � � ��. 2� � ��� ���� �� �� �� �*������ �� �? ���"� �(�� "���� �� �

� �. F��� ���� �� ���� � ����� ��� � ��! � � � � ��� ������� ���

���� � ���� �� � � �

����� �� � � ��

�� � "�(( ��0��� ��� "��� ������ � � ��. 2� ���� ����� "� ��! ���� � �� �������$ ��������� � �� ��.

������� )��� ��� ���� � � � ��� �� ����������� ���� �� � ��������� � ��� ������ �� �� ����� ����� � � � � � � �. ��� � �� � � ��� ���� � � $ ���� � � �����. ��� �� �� � � ��� ���� � � �� �� � ���� ��� ��� �D��@� � � � ��� ������ �� � ��� ���� �D � � D� ��� �� � � �� @ � �. ���� ��� � � ����� � ������ ��� � � � ��� ��� ��� ���� ��� � �� ���� � �� ��� ���� �����D � �.

@: �.��. �� ��� �. �����

Page 3: Group Chromatic Number of Graphs without K5-Minors

� ���� �� ����� /! ��������� �� � ��� . '����� 0��� ���� � ��� � D ���� � �D �� � �������� D��!�(�. &���� � � $ ��� �D � �� ����� �� �� �(������D � �� �� � � �D�� �� � � ��D�� � �D. 1��� ��� ��� � � � ��� ��� �� �� /!���� � �� � � D8 �� ��� ������� ��� � ����(�����.

F�" "� ������ ���� � ��� � @. 2� �+������ �!�(� � ��� � ����� ��� "����� � �� � � � � 6��������� �� � �� ���� � ��� �"� �!�(�� � �� � � � ���� � � � ��� �� � ���� � � � ���. �� � ������ ��� �(��� �����"���� �� ��� �������� �� � 6�������� "��� �8� ��� �� ������ ��� �(��� �����"���� �� ��� �������� �� �� 6�������� "��� ��8. F��� ���� � � �� �� ��� ���� ����� � � � � ��.

�� �% � �� �� ��� /� �� �� /! �%��� � ��� 6 � �8. '��(!��� ��������� ���� �% ��� /� �+������ �� � � � ��� ���� ���� ���� ���� ����� D � � ���� � �. 1��� ���(!��� ��������� �� ��� � ����� ��� /� �+������ ���� � � ���� ���� ���� ���� ����� ����� �� � �� .

1��������� � ������� ��� � ����(����� ��! /� �/������ /! ���/����� � ��� ��.'����� ��" ���� � ��� �� �����. �� � � �� � � � � �� �� /� ��� �����/���

�� � �� ���� �(�� "��� ����� ������ �. &���� � �� � ���� �������(������ ��� ������ ��� �� ������ �� � � � � � ����� � � � � �� ��� �+������ �!�(� �� ��� �(�������� �� � �� �.

������� (��� �� ������(��!� "� ������ ���� �� � � � � � ����� � � � � ��� �������� �!�(� ��� ���� ���� �� ��� �������� ���� � �� �� ��� ���� � "��� � �. 4����� �� �� � �� ��� ��� � �� � ��� "��� � �� ��� ��� (���

�� � �� ���� � �� � ���� � ���� ��� � � � �� � � � ��.5! ���������� ����� �+���� �� ��� � ���������(����� � � � ���� ��� ���� ����

��� � �� ���� � ��� ���� ����� D � � � � ���

���� ������ � �� ��

&���� ��� ��� � ������ � � ������ �� �� "� ��! ������ ���� � �� ������� �����. ��0�� � � � ��� ��� �� ��((�"�)

���� � ���� �� � �� ��� �� � � �.

����

1��� /! 68� 6�8 ��� /! ��� ������ �� �� � �� ������ �� ��� � ����(����� �� �������!��� ��� ����(������ �� 1������ �.. 1��� ����(���� ��� �����. �

�� � � /� ������� ��� � /� � �����. <� �� �� � � � ������ �� ��� ����� � ��������(����� �% �� � � ����� �� �� ��� � ����(����� � �� � ���� ���� � �� ���+������� �� �%� ���� "� ��! ���� �% �� �*����� � �. 2� ��! ��� � ��������(����� �%�� � ��� /� �+������ �� �� ��� � ����(����� �� ���� "� ��! ���� 6��� 8 �� ��� � ���*�������. 2� ��� ��! � � � ������ ����� �� ��� � ���+�����/(�� ���� ����� �����*�������.

�������$ )�)� ��� � �� � ���� ����� � ��� ��� ��� � � �� � ��� ������ ���� �� � � � � D. ���� �� ��� � ��� � ���� � � $� ����� � �������������

<���� 4�������� F��/�� �� <����� "������ $������� @7

Page 4: Group Chromatic Number of Graphs without K5-Minors

� ���� �� � � � ����� ��� �% � � ��� ��� /� �� �� ���� ���� �% �� �� ��� � ��������(�����. �� ���(( ���" ���� �% ��� /� �+������ �� �� ��� � ����(������ � � ��� ���.

2� � � �� ���� "� ��! ������ ���� � ��� � �� ��� ��� ���� �� �� �(������/������ �� �� ��� ��(! ���� �� ���� �� �� ��� �+������ �!�(� �� �� ��� "������(��� �� ������(��!� ������ ���� � �� � ���� �������(�����. 5! 1������ �.� "��� �����C� ��/������(! ������� �% ��� /� �+������ �� �� ��� � 8���(����� �� �.

1��� "� ������ ���� � � D. 2� � �� � ���������� �!�(� �� �� ���� "� ��� ���(!��������� �� �+���� �% �� ��� �������� �� � � ��� ���� �� ��� �+������ �� � � �����/!�/������� �� ��� � ���+������� �� �% /! ���/����� ����� �"� �+�������� �� �%.

����� "� ������ ���� � � D �� ��� � ���������� �!�(�. ������� (��� ��������(��!� "� ��! ������ ���� � ��� �� ����������� ���� ���� � �� ��� �+�������������� �!�(� � � �D.

�� �� � �%���� "���� � � �� �� D�. &���� �% �� �� ��� � ��������(������ �D ���� � � �D�� �� � � ��D��. 1�������� �D � �� ��D� � � � �D�� �� � � �� D����� �+���(! � � D �(������. 5! 1������ �.� �% ��� /� �+������ �� �� ��� � ����(����� �� �. 1��� ����(���� ��� �����. �

�������$ )�+� ��� � �� � ���� ����� � ��� ��� ��� � � �� � ��� ��� ���� ���� �� � @. ���� �� ��� � ��� � ���� � � $� ����� � ������������

� ���� G�/�� � �� ��� �(��� �� ���� ���� @ ��������� ���� �(��� ���� @ �������.4���((��! �.D �/����� /! ���(!��� 4���((��! �.� �� ���� �� ����� �������. �

�������$ )�&� ���� $ �� ��� � ���� ����� � ��� �.

+� ���������,��� �����

2� ���� �������� "� ���(( ��� � � �������� ������ �� 1������ .�. �� ���� �"������� ����(�� �� ��� �����.

������� +�� �-���� %.'! /�����0� %�'! 1��$ �� ��� %+'(� � ��� � � ����� �� ��� ���� �� � �� �� $���� � D�D���� �

������� +�) �1��� %)'(� ��� � @���������� ��������� � ��� ������� $ � ���� �

������� +�+� ��� � �� � ��������� $���� � �� � ��� ��� ��� � �� � � ��� ���� � � $. ����� ���� � � � ��� ��� �� � ��� ���� �� � � D. ���� ����� �������������

� ���� �� � � � ����� ��� �% /� �� ��� � ��������(����� /� �� ��. �� ���(( ���"/! ��������� �� � ��� ���� �% ��� /� �+������ �� �� ��� � ����(����� �� �.

$% �.��. �� ��� �. �����

Page 5: Group Chromatic Number of Graphs without K5-Minors

5! 4���((��! �.�� "� ��! ������ ���� � �� ��� �(����. &���� � �� $����������� "� ��! ������ ���� � ��� � #? ��� /! 1������ D.�� ���� D.

�� ����� /! ���������. '����� 0��� ���� � ��� � #. &���� � �� ��� �(���� ����� $������ ����� /! 1������ D.�� � �� ������� /! � D�D. �� �� �� D� ����������D� /� ��� /���������� �� ���� D�D. ������� (��� �� ������(��!� "� ���������� � ��� � ���� �� � ��� � ������ �� � � �� ��� � ��� � ������� ��� � D. 2� �� ����+ �� � ��� � � ��� ��� ������ �� ���� @ �� �� �������� �� D�� � D ��� �� � ������� � $� �������! �� ��� ���������� ���� � �� $������ ����. 1��� �� � ��� ��� � ����+ �� ������ �� ���� @ �� �. �/�( ���� ����+ �� #. &���� � �� ����(�� "� ��� (�/�( � ��� �� �� �� D� @� $� #� ���� ���������� �� � � � � ���� @� ��� ���� � "��� � � #� ��� ���� ���� � ��� � �� ���� � ��� � �� ��� � ��� � �� �� D� �� � ��� � D. F�" �� �� ���! �� ��� ���� ���� � � ������ "� ��� �("�!� ��(�� ������� ��� /! ��� �� ��� ����� ���! ������ ������ ��� ����(���� ��(����� �� �� ��� � ����(�����.

'����� ���� ���� � ��� � #� ��� ���� ��� ������� ��(�� ��� ������ "������((�� �(��� �� � ��� .

�� � � ���� ��� � � ��� � � � � ��� /� � ������� ����+ ��� �� �. 5! ������������� ���� � �� ��������� ��� /! ���� D� � D.

�� � ��� �� /� ������� ��/������ �� � ���� ���� � � �� � ��� ��� � � ���� � � ��� � ���� � � ��D��� �� �� � � � �. '����� ���� � �. =��� � ��� �� (�� ��

� � �� �� � � ? (�� ��� � �� � ����� �� � � �? ��� (��

��� � �� � ����� ���D� �D�� �� � � D. �� �� � ��

� ��� ��� �+���� � ��

� � � � ������ ��/������(!.���� �� !� �� ��� ���� � � D.

2� � � �� �� ���� �� ��� ��

� ��� $�����������. &���� � ���� � � ��� ���

� ����� � � ��� � ��� /! ��������� 6�� ���� ���� � � � ��� ���� � � � �� "� ��(��

������� ����+ � ��*����� �� � �� �� "��� ��(�� �%��� ���� �����%��� � �%��� �� � ����8� ����� �� �� ��� � � ����

�����(����� � � � ���

� ��� "����

�+����� �%? ��� �� ��� � � ����������(����� �� � � ���

�� ��� "���� �+����� � � . 2�

��((�"� ���� �� ��� � ����(����� � � � ��� ��� "���� �+����� �% �� �/������ /!���/����� � ��� ��. 1��� ��� �� 4(��� .

���� )� "� ���� � � �� ��� �� �� �� �D� ���� �� �� � ��� ��� ����� ��� ������ ����� �� � D ��� ���� ��� ���� ������ ���� �� ��� �� �� �� ���� �� ��� D

������� �� �� ��� �D� �����������

�� ��(! ��� � ���� ���� "��� � � . 1�� ���� "��� � � � �� ����(��. &���� ��������� �� =����� ��� /� ���������� �� � D ������!��� ��� ����(����� �� 4(��� ��"� ���(( ���" ���� � �������� � ��/����� "���� �� � ��/�� ����� �� � ��������������� �� ��� �� ��� ������ �� =����� .

�� �� ��� � � � � �� /� ��� ���������� �� � � � . 5! 4(��� � ���� � D� ��� ������� ��� �� (���� ����� ����� ���� ���� ��������� �� 6 � �8 �� � "���� ����������� "��� �� �� ��� �D �������� �(!.

2� ����� �� �� �� "� ��! ������ ���� ���D � ����. 1��� ������ �������� ���/����� ���������� �� 6�8 �� =����� .

<���� 4�������� F��/�� �� <����� "������ $������� $

Page 6: Group Chromatic Number of Graphs without K5-Minors

&������ ���� ����� �� � � ��� � � �. 1��� ����� � ��� �������� � ��/������ ���������� �� 6/8 �� =����� .

&������ ���� ����� �� � � ��� � � . &���� � �� �D� � �� � � � � �. H�� � ����+ � � �� � � �. 5! ���� � D� � ��� � �� ������� �� � �� �������� ����� � �� �D������ �� ���� ���� � ���� � � ���� � �� "���� �� � �� �.

#�� $� '����� 0��� ���� ����� �� � ����+ � � ��� � � "��� ��� ����� �� ��������� ��C�� ��� �� ���� � ���� ���� � � ���� � � � ���� ��� � � �� . ��� � ���D

������� � ����. 1��� � �� � ��/�� ����� �� � ����� ���������� �� 6�8�� =����� .

#�� %� '����� 4��� ���� ��� ��(�. &���� � ��� � � � �� ����� �� �� � � ��� � ��D

��� ����� ��� � �� . 5! ���� � D� � ��� � ��� ������� � �� �

��� �������� � �� ��� � ��� �D������ � �

D ���� ���� � �� �� � � � �� �

�� � �� "���� ��� �� �.

&���� 4��� ���� ��� ��(�� ���� �� � ��� �

��� � ��D�������� � � . 2� ��((�"� ����

����D�������� � ���� �

� � ��� ����� �� � ��/�� ����� �� � ����� ���������� �� 6�8 ��

=����� . 1��� ����(���� ��� ����� �� 4(��� �.

4(��� D /�(�" ��((�"� ����(! /! 4(��� �.

���� +� �� �� �� �D� ���� ��D�� � $���� � ��� ��� � � � � �.

���� &� !� �� ��� ����� � � �D � �� � �D.

2� ��� /��� � � ��� �� �� �� �D� ���� /! 4(��� D� ��D�� �� $�����������. &����

� ���� � � ��D��� � %� � ����� � � ���� � � ��� . 5! ���������� �% ��� /�

�+������ �� �� ��� � � ���������(����� �? ��� ���� � � ��� /� �+������ �� ��

��� � � ����������(����� ��. 1���� �� ��� � �����(����� � �� �� �+������� ���� �% ��� /�

�/������ /! ���/����� � ��� ��. &���� � �� � ��/����� �� �� ��� ������ � ���� � � � � �� �(�� �� ��� � ����(����� �� �. 1��� ��� �� 4(��� @.

2� �� � �D� (�� � ���� � ��� ��� �D� �� ��� � � � ����� ���D� ������

� � � ����� ���D�. 6&�� 6�8 �� =����� �8. 1��� ��� �� $����������� ����� ��

��� /� ���������� �� � ���� � � ����D. G+���� � �� � �� � � ������� ��/������(!. 5!���������� �% ��� /� �+������ ���� � �� ���

� ���� ���� ��� �� ��� �����

,��� �� 1�� �"� ������ �� ��� ����� �� 4(��� �

$� �.��. �� ��� �. �����

Page 7: Group Chromatic Number of Graphs without K5-Minors

��� � D � � . 1��� �� ��� � ������(����� � �� ��� �+������� ���� �% �� �/������.&���� � �� � ��/����� �� ���� � �� �(�� �� ��� � ����(����� �� �.

2� � � �D� "� ������ ���� � ��� � �� �� ��� �D�. �� ��� � � � ����� ���D�����

� � � ����� ���D� ��� ���� � �� � ����� ���D�. 6&�� 6/8 �� =����� �.8

1��� ���� �� $������ ���� ����� � ��� /� ���������� �� � ���� � � ����D ���

����� � �� ������� �� /� $������ ����. &���� � � ��� � � �D� � ���� /� � �� ��� �� "� ��! ������ ���� � � ���� ��� ��� ���� �%��� � ��� �� � ���.G+���� �% �� � � � �� � �D� ��� ��� �+���� � �� � �� � � ������� /! ��� ��((�"�������� 6�896���8.

6�8 ��0�� � ������� � � ��/������(!.6��8 G+���� �% ���� � �� � � �� �� ��� ��� �� ������ �� ���� /! ��������

����� � �� ��%�� � � ����� �%��� � � ������.6���8 ��0�� � ����D��� � �%�� � � ��D� � �%����.5! ���������� � ������ ��� /� �+������ �� �� ��� � �� �����

������(����� �� �� ���

�. I/����� /! ���/����� � ��� ��. &���� ����D� � ������ � ����D� � ����� �� �%���� ��D� � ������ ��� ����� ������ � ������ "� �� � ����D� � ��� �� � ��D�. 4���/��� � ��� �� �� ��� �� ��� � ����(����� � �� � "���� �+����� �%. 1��� ��� ��1������ D.D. �

2���������

. 5���!� �. '.� ����!� �. &. J.) <���� �����! "��� ���(��������. F�" K�� ) '�������G(�� ��� 7A#

�. ��(��� J.) �L /�� ����� ���, �� B. ������ ,�� ������/�����/(��. ����. '��. ��+�@A9#� 67#@8

D. �����!� =.� 1����� �.) ' ���( ���� �� B�����"� �C� 1������. 4��. ����. 5�((. .�A9�% 67#$8

@. ������� =.� ����(� F.� H�!��� 4.� 1����� �.) <���� �������� ��! �� ������ 9 ' ��������������� ���(���� �� ��"�����,��� M�" ����������. �. 4��/. 1����!� &��. 5 �3�#$9:� 677�8

$. ��� �.��.� ������ �.) <���� ��(���/�(��! �� ������. '�� 4��/�������� 6��������8#. &E �� � � �� J.) 4�����/�(��! �� $������ ���� ������. �������� ����. �45� ��D9��#

677:8

,��� )� �� � �D �� � � �D

<���� 4�������� F��/�� �� <����� "������ $������� $D

Page 8: Group Chromatic Number of Graphs without K5-Minors

A. 1��������� 4.) G ��! �(���� ����� �� $�������/(�. �. 4��/. 1����!� &��. 5 3)� :%9:677@8

:. ������� B.) �L /�� ���� ����������� ��� �/���� ���(�+�. ����. '��. �&&� $A%9$7%67DA8

7. ������ 4.�N.) 2������ M�"� ��� �!�(� �� ��� �� ������. F�" K�� ) �����( �� �� 77A

J���� ��) '����� :� 777=���( ������ ����� ��) �����/�� �� �%%%

$@ �.��. �� ��� �. �����