63

Group Theory Lecture Notes James Binney

  • Upload
    005235

  • View
    100

  • Download
    7

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Group Theory Lecture Notes James Binney

������������ ������

������������������� �"!�!�#%$&(' �)�*��+-,.!��0/1#%��23�045$

Page 2: Group Theory Lecture Notes James Binney

���������

����2 4���� 4�#��� 4�#%���� �� ����4��"2�� ��� ��23# �"2�� � /1#%��# + �"!������������! "�$#&%('*)+��,#.-/,10 $���� � �324�&�"�"�*4345 � �76 �98: <;=0 #%�:>?�@ ��A���&�&�� *!�B � ,.!��)�*�34��!� 4�#A�0$DC 4�#��� 4�#%���� �� �"2 2FE���#< *+ � /1#%�*0 �*4 /1���&�G� # 2��� 4��"2 4"; �+H /1���&�G� #�; �*�JIKC� ��04����GL� 4�#:�� �M �*���045$�;(�&�&��0 # �)����!�+ �"!�N���� ��O��

P �#%��#� ��#Q��23# �.�G� 23#A�%4��"��!�2 ��!RL*�����SE 4�# �*�3$ �"!-23#%/1#%�/ ��T� ���UE # !�+��� ���!R�� 4�#A�� 4��&�< ��E�1$ 23�&� 2AC �)�*� # ' ��UE��"#WVX)��1Y�ZS�[)��/�\ZS�[#.-/,1]+^_'*)+��,#.-/,1Z�%�`ba_)��/��#c,<�! "�d0 $$e �K�@ �L�# !� �� 56 � � ���$� �JE�1$f>gN* *!Wh.��2 43�/ *!�+Wi(# �"!G����"+�B �

Page 3: Group Theory Lecture Notes James Binney

� ��������� � � � ���� �

����� ��� ��������� �g��!f�" L*�����SE �"2 �23#%4$# ����#A�"#A� # !14�2&%�')(*',+,+,++ *!�+U 0 �"!� �3$ ��E #%�/ 4��"��!.- ���G�04��cE��"�&�< 4��"��!0/ 2J�G�/�4� 4O��1%2(.�"2 �"!3#546%�')(*78 �:9W *! �"+�# !14��045$ #A�"#A� # !14:; 2J�G�/-4� 41%2;=<>;?4@%�7A �=���G�04��cE��"�&�< 4��"��! �"2 *2323� � �� 4��0/1#CB >D%2(ABFEG<>%K>D(HEAB�4@%�')(*')E*7I � #< ��/-#A�"#A� # !14:%\ *2 *! �"!1/1#%��23#J%LK�M(2J�G�/-4� 4:%2%LK�M$<>;

P �# !9�G��0 #%� ��� #A�"#A� # !14�2ON �"2 4�#:� �QP�R2� ���S# �TN\�� $ !��*4=0 #VU !��04�#*�

WR�LX R�YZ #f ��"23�d� /1#5%LK�M)%[<\;]B_^ #%4a` 0 # 4�# �"!1/1#%��23# ���b%LK�MAC � � #*�c%LK�Md`e<f;�� P �# !%LK�M)%a< >D%LK�Mg%SBF;h<i%LK�M�>D%2%LK�M/Bj`5<i%LK�Md`5<i;�� k �&� �&�� ��0$( *2323� � �� 4��0/ �045$-# !�2J� ��# 2 4� 4%2;=<>; l ;m%b<n;��

o �p��!q�Tr Rs�����P �# �"!14�#AL�#%��2O+,+,+H',t 8 ',t:O]')uv'<O]',+,+,+ �)�*�� �L*�����SE���� �"!vU !��04�# �*��+�#%� ��!�+�#%�4 *+�+��04��"��!�;(�04u 4�# �"+�# !14��045$1�

o �p��!q�Tr Rs���xw,.!�+�#%�1 *+�+��04��"��! 4�# �"!14�#AL�#%��2Vuv',+,+,+y'gz{t O�� � +G�G�"�|z~}�u �)�*�1 �L*�����SE �:�54��"2��< ��&�"# +��� C�4�#J�C� ��r����a� � ����� ��� �*��+�#%�1z �

o �p��!q�Tr Rs�����P �# � ���UE��"# ' !9�G��0 #%��2 #m�F�]� �)� � ;(�04�ub�_�b�_z �)�*�� 4�#�L*�����SE ��� ��!�+�#%� ���G�04��cE��"� H�< 4��"��! �

o �p��!q�Tr Rs�����P �#����*4/ 4��"��!�2�; ��&�/�0����"!GLR ��#AL��G�� ��zRH L���! �"!14��W� ���"!G� �"+�# !G� #U;(�04 �04�23#A�"� �)�*�� 4�#L*�����SE ��� ��� ! 4�# �< *23#hz�< A 4�# L*�����SE � *2 A � #A��0 #%��2AC 2 $�� M Cp� � *!�+q;�C�0 # �"!GL���*4/ 4��"��!�2 0 $ 8Q���CA C I ���CA *!�+5u �/ *+��� *!�2AC ��# 2FE #A�%4��0/1#A�0$1� P �#U���G�04��cE��"�&�< 4��"��!�4/ +0��"#��"24�# !

; � M � �; ; � M � �� M � M � � ;� � � � ; � M

WR�LX R � Y> �.B�� ! *!1$ ���G�04��cE��"�&�< 4��"��! 4/ +0��"#�C�#%/1#%�3$ ��� ; *!�+d� ���&�G� ! ����2 4U� ��!14/ *�"! #%/1#%�3$ #A�"#A� # !14

# ' ��%4�0$ ��!G� #*�> �"�.B P �# 4/ +0��"#@ +0 � /1# �"2 2 $S��� #%43���&�W0 #A�< ���23# ��� �"2W *!>�.� R r�������� � �����*C � � #*�&C1�,�D�y��<

�y�,�,� 4 ¡d'j¢ �

Page 4: Group Theory Lecture Notes James Binney

� a_)�Z�� �"�/ ������=Z+,#.-�a4]+%�-A�� �!,o �p��!q�Tr Rs����

" � R2� !6� Xm��X*�g��� ���Sz }�u���0SM #A�%4�2c` M ',+,+,+y'd` � �"2 *!1$@O �3OQ�� +EGE �"!GL���� 4�# 23#%4��,`������!14����04�23#A�"��� " � ��!1/1# !��"# !14.!��*4/ 4��"��! �)�*� �E #%���� 4/ 4��"��! �"2

� <�� O]' 8 ' +,+,+H' z` M ' ` � ' +,+,+H' ` ��� +

P �#Q�H� !5! R X � ���3� � ������� � �"2 4�#1L*�����SE �)�*�� # +�0 $W ��&� 2J�G�/RE #%���� 4/ 4��"��!�2 �

o � R2� ���?� R��y���*Yk �� ; 4� 4 M � O]' 8 ' A8 '<O]' A � � O]' 8 ' AA ' 8 '<O � <�� O]' 8 ' AA '<O]' 8 � +

o �p��!q�Tr Rs�����P �# ���*4/ 4��"��!�2 �"!� *!�+���� 4 ����4�#*E��� *!�# ; ��&�/�0����"!GL: ��#AL��G�� �TzRH L���! �"!14�� � ���"!G� �"+�# !G� #;(�04��04�23#A�"� �)�*�� 4�# P � � RvP�� ��r � � �����"! � ��^T +0 #A��4�# /1#%�34��&� # 2=O t|z *2�$1���UL��Q *!14�� H�A�"� �I ;(�"23# ������!�+ 4�#OzRH L���! � P �# ! /1#%�34�# ' O �< *!�0 #*� � /1# + 4�� 4�# 23�04�# ���� *!1$ /1#%�34�# ' C *!�+�4�# ��#A�� *�"!��"!GL /1#%�34��&� # 2 �< *!U0 # �� *�"+�+�� ;(! # �04�#%� *!14�� H �A�"� �I ;(�"23#(�*�4�A�"� �I ;(�"23#*� k �4�# �*��+�#%� ���#! � �"21N3< 8 z � ��� �"2��A�"#< ��0$ #A��0 # +�+�# +@;(�04��"!$! � *2: \�,���S� � �����*C� � #*�&C� �2J�S0 23#%4.��� #A�"#A� # !14�2 4� 4(�)�*�� 2= L*�����SER0 $ �04�23#A�"���

o � R2� ���?� R��gw%�*Y& ��!�2 43��G�%4 4�#����G�04��cE��"�&�< 4��"��!�4/ +0��"# ���'!�(� *!�+b�# !G� # 2J�� ; 4� 4 4��"2QL*�����SE �"2 !��*4" 0 #A�"�� *! �

��� *!�+)! � ��#\0 �*4 �A�"#< ��0$ 2J�S0�L*�����SE 2 ���*� � � P ��"2��"2U 2FE #A� ��U�� # ' ��UE��"# ��� ;(�"+�# H �/ *!GL��"!GL�4�# �*��#A�3B �

+ � R � �*R ! �)�-, � � r R � �.0/��/ "�21D ]43�� #c,65.#c, ]���]� 7��)G#.-Q�"]98�Z:� �/ J�23S� ZS�[#.]+%;1D ]43��=<> � ���%? Y " 2323� � �� 4�# ;(�04 #< ��/-#A�"#A� # !14:(.���S# 4�# E #%���� 4/ 4��"��!

�A@CB � % M ' % � ' +,+,+H' % �(H% M ' (H% � '�+,+,+H' (H% � � +

P �# ! 4�#:E #%���� 4/ 4��"��! �A@ �AD �� +E 21%C�0E EH%C�FE (HEH%C�����54(�"2 4�#%��# �)�*��# #�G �� �� 4�� �A@7D + HM6IKJMLNJPORQSJPTUJML7VCWSORXYORZ []\�J^SJ`_MWSONJ`acbdLRe OfZ e�ORQgXYO�[]\"ORQSJPLRZ h]Q�OMikj�[�V'JlX WSORQS[ LRe�Wge JlORQSJP[ TgTU[]eNZ ONJ_[]\�m]J`\�ORZ []\ni�po�OqZ eA_[]\�m]J`\�ORZ []\gX rgON[CX r r [-s2Z e [�V'[ LNTdQgZ _Kh LN[]WSTdeAON[utUJvagZ e ORZ \g_OMi%wxWSOAZ ynsqJvXYLNJvON[uagZ e ORZ \Sh]WgZ eNQ0tUJMOzsqJMJ`\LNJMTgLNJ`e J`\�ORXYORZ []\geKX \ga{Wg\gaSJMLRr |SZ \Sh*XYtde ONLRX _OKh LN[]WSTde}�Z Ove JMJ-V~e�\gXYORWSLRX r�ON[�LNJMh]XYLRa{Z e [�V'[ LNTdQgZ _uh LN[]WSTdevX eKOzsq[LNJMTgLNJ`e J`\�ORXYORZ []\ge�[ y�X�eNZ \Sh]r JCh LN[]WST�i

Page 5: Group Theory Lecture Notes James Binney

��<�� a4]�, ���!,�� -���Z+,J, �/, �

���xw ��R � R2� ��X � � �����2 4�L*�����SE 2 �� $\0 #J� R � R2� ��X RvP 0 $R 2J�� ��&� 2J�S0 23#%4���� #A�"#A� # !14�2 �����*� # ' ��UE��"#�Cx��t:O]'<OU�L�# !�#%�/ 4�# 2.4�# �"!14�#AL�#%��2AC3; ��&�"#l��t 8 ' 8 ��L�# !�#%�/ 4�# 2 4�# 2J�S0 23#%4 ��� 4�# #%/1# !��"!14�#AL�#%��2 �.#m�F�]� � (L�# !�#%�/ 4�# 2 � (*�o � R2� ���?� R��d�A�*Y

Z � 4 �"2 4�# 2J�� ��&�"# 2 4 23#%4 4� 4 L�# !�#%�/ 4�# 2 !�(o �p��!q�Tr Rs�����

Z # �< *! � ��!�2 43��G�%4 4�# 2 $S��� #%43�3$ L*�����SE� �� ��� 4�# �A�S0 # > 4�# ?j�Sr�r��p�CXm�%� RvP�� ��r� � �����_B_0 $��� +0 #A�"�"!GL 4�#��Q� �*��!�#%��2�O ���� *!�+ 4�# !\� ��!�23�"+�#%���"!GL�E #%���� 4/ 4��"��!�2 ��� 4�#A�-�Z # +�#HU !�#

% B � O]' 8 ' A ' I '��2'��v'��2'��8 ' A ' I ' O]'��v'��2'��v'�� �

( B � O]' 8 ' A ' I '��2'��v'��2'��O]' I '��v'��2' 8 ' A '��2'�� �

E B � O]' 8 ' A ' I '��2'��v'��2'���2'��v'��2'��v' O]' 8 ' A ' I �

% ���*4/ 4�# 2�0 $ ���]8 +0 ��� 4W /1#%�34��&�< ��� ' �"2AC:( ���*4/ 4�# 2�0 $ 8Q���CA +0 ��� 4 4�#�+��� �L���!� �� ' �"24 �����GL� O�C *!�+ E �"2� ��#�� #A�%4��"��! +0 ��� 4 4�#W��*����� ��!14/ �� � �"+ H[E��� *!�#*��Z #-2J� ��&� 23# #-4� 4�*%�')(*')ES�:L�# !�#%�/ 4�# 2� ������� , �3� R X���� ��r����<� R �^ #%4�� 0 #U 2J�S0�L*�����SE ���$# � P �# ! �)�*� #< ��/5%! # 4�#�23#%4 ����#A�"#A� # !14�2���% 4� 41�< *!@0 #��0�4/ *�"!�# + 0 $����G�04��cE��0$ �"!GLR W� #A��0 #%� ���"� 0 $5%��"21�< ��&�"# +b 3r R ? X����3� R X ���#���"!5# � P �#� ���A� X����3� R XJ%$� �"2 23�&� �&�� ��0$ +�#HU !�# + �&Z #:� /1#+ � R � �*R ! w

V"%_]&�.� ^ � -A]�, ���!, ]+^�� #&%h#@Z+ � � #!�[)��/ #.`G� %��[#.- Z'��]� *` #c,)( ]+#&%��`<_�S#c��#���Z+ *� �,+G�-%_] # 19)��T-A]�, ���!,]+^.� #&%a# Z+ �:� #!�[)��/ #.`G� %��[#.- Z'�T]� �` #c,)( ]+#&%��`<> � ���%? Y k �SEGE ��23#0/v� %@<1/��m( � P �# ! %q<2/ K�M� /��m(�C 23���)�*� *!1$3/546 7� ; #�� /1#0/54C%q<

/54$/ K�M� /��m(�<8/59�(�C � ����� ; ��&�/ �04 �)���&�"� ;(2.4� 4&��%;:<��( ��k �&� �&�� ��0$DC=��(>:?��%�C 23�@��%a<��(*+ Ho � R2� ���?� R�� �x�*Y

k �� ; 4� 4 �)�*�(#< ��/��"# � 4 � ��23#%4���%�4�#%��#��"2= ���&L�14 � ��23#%4:(A� � ���UE����"23�"!GL 4�#��"!1/1#%��23# 2��� 4�# #A�"#A� # !14�2(���B��%�� P ��"2 ��# 2J�G�04 # 2 4/ +0��"�"2J�# 2 WO HO ��#A�� 4��"��!�2J��cER0 #%4"; # # !(�"# � 4� *!�+���&L�14 � ��23#%4�2 �P �# !9�G��0 #%� ��� #A�"#A� # !14�2(�"!R � ��23#%4 �"2=�A�"#< ��0$ 4�# �*��+�#%� ���.���$k � ; #1� /1#+ � R � �*R ! � �DC �L� � ����� R �VX)��1]� `G�/ ]+^XZ�,S35Eg1D ]43��F� ]+^S# #c, Z ^gZD-��"]� �]+^*�[)��:]� `G�/ ]+^S#~<P �# �)���&�"� ;(�"!GL�2J�� ;(2 4� 4 � ��2 4=L*�����SE 2 � /1# E�����E #%� 2J�S0�L*�����SE 2G�1H #$B

Page 6: Group Theory Lecture Notes James Binney

� a_)�Z�� �"�/ ������=Z+,#.-�a4]+%�-A�� �!,+ � R � �*R ! �� ���S# ES�=Z{1D ]43��$]+^�]� `G�/ C1D � ZS�"�/ �[)�Z�%\]+%��g< VX)�� %�#&^ # )�Z+,*%�]:,S35Eg1D ]43��@] �[)��/ �[)�Z�%#!�!, ���&^ Z�%�`.;'+X�[)�� %a#d#c, Z���%G#!�"�1-F�K-��&#.-*1D ]43��f]+^q�K #c��� ]� `G�/ 9<> � ���%? Y & ��!�23�"+�#%� 4�# #A�"#A� # !14�(��< ;�� P �# ! 4�#�23#%4$�*;]')(*')( � ')( ( ',+,+,+ � �)�*�� 2\ f�%$S�A�"�&�

L*�����SE *!�+ 4��"2�����2 4�� ���"!G� �"+�#(;(�04�# ��� ��4��"2�L*�����SE ; #%��#���� �"!vU !��04�#��*��+�#%�<C 4�#�23#%4�*;]')(�*')(��C',+,+,+ ��; ���G�"+ �)�*�� bE�����E #%�-2J�S0�L*�����SE�C � ��!143�/ �3$ 4�� 1$ E �*4�# 23�"2 � � � 4�#6U !��04�#�*��+�#%�����1# � *+ ��g ��%4��*�b� C�4�# ! 4�# 23#%4;�*(y�C')(�F�Q',+,+,+ ��; ���G�"+ �)�*�� RE�����E #%��2J�S0�L*�����SE�C� ��!143�/ �3$ 4��U1$ E �*4�# 23�"2 � Ho �p��!q�Tr Rs����

P �# #A�"#A� # !14�2=%�')(���� 4�# �.�G�&� � �%4/ ��# + �/ ��TL*�����SE�+�#HU !�# + �"!(2 ' ��UE��"# � L�# !�#%�/ 4�# 4�#�p�CXm�%� RvP�� ��r&� � ����� �C� �2J�S0�L*�����SE ��� ���4� 4 4/ +I1# 2 *!1$ /1#%�34�# ' �"!14��� *!1$ �*4�#%�,B

O�tAE 8 tAE A tAE I @tAE ��tAE � t%E ��tAE � tAE � @t%E 8 ��tAE O]+

P �# #A�"#A� # !14�2.;]')(*')(� 4� 4��"#< /1# O �"! E��� �� #-�)�*�� 2J�S0�L*�����SE7� M ��� ��Z #(�< *!+�#A� ���UE ��23# �"!14�� � ��23#%4�2 0 $\���G�04��cE��0$ �"!GL � M 0 $ #A�"#A� # !14�2 4� 4=� � /1#�O�2J�G�A� # 2323�0/1#A�0$4�� E ��23�04��"��!�2 8 C A C +,+,+yB

< � M�� %$� M�� % � � M�� % ( � M�� (H% ( � M�� %2(H% ( � M�� % � (H% ( � M�� % ( (H% ( � MP 9��2�4�# �*��+�#%������ �"2 A�� �5< 8 I � P �# ��#�� #A�%4��"��!_E��< *!�!��*4U0 # # ' E���# 2323# + *2 E���� +G�G�%4.���T%\ *!�+�( � � � 4:E�1< O�C�%2Ec<nEH%� *!�+�(HEc<nEH%v�(H%v��C 23��4�#1L*�����SE(L�# !�#%�/ 4�# +0 $ �*%�')(*')ES�Q�< *!R0 # +�#A� ���UE ��23# +��"!14�� � E � P ��"2 L*�����SE �"2� ��%4�� ��&�0$ 4�#Q; ����"# ��� ���C

���<< � E |'23� �� �"2 ��� �*��+�#%� I � �

� �T9�`; �# 2J�G�/ 4� 41%b<�` K�M)()`TC 4�# !3%\ *!�+3(� ��# 2 *�"+ 4���0 #��������m������X R #A�"#A� # !14�2 �P ��"2 �"2.��0 / �"����2J�0$R 2 $S��� #%43���&����#A�� 4��"��!$ *!�+ �04.�"2(��#�� # ' �0/1#CBc%�< ;CK�M)%2;��c�54.�"2AC3� �*��# � /1#%�<C ��"23� 43�/ *!�23�04��0/1#CB��"�S(� *!�+�E� ��#:� ��!�MF�GLD 4�#�C�4�# !�9�� 2 � 4 �L(G<���K�M)E�� �&k �|%b<�` K�M���K�M)E�� `�<>�� `�B)K�MgE�>�� `�B � P �#c��r����<���=>D%SB �"2 4�# 23#%4����� ��&� ��� 4�� ��&�0$1� ��!�MF�GLD 4�# #A�"#A� # !14�2 4� 4_� ��!14/ *�"!�2%��TZ # 2J� ��&� 23# #�4� 4 �"!\E��/ ��%4��&�< ��� +EGE��"�&�< 4��"��!�2 �04 �"2 ��� 4�# ! # !����GL� 4���I !�� ; ; � 4=�A�� *232= *!#A�"#A� # !14=0 #A�"��!GL�2 4����

WR�LX R � Y> �.B�; �"2 ��c; $ 2 �"!R �A�� *232=0 $ �04�23#A�"��� P ��"2 �A�� *232 �"2 +�# !��*4�# +�� �> �"�.B|� !( *! " 0 #A�"�� *!WL*�����SE�C #%/1#%�3$ #A�"#A� # !14 � ��!�2 4��04� 4�# 2 �A�� *232 �

o �p��!q�Tr Rs����P �#�+��&�# + �/ �� L*�����SE !�( � *2 4 ��# #��A�� *2323# 2B�> �.B��*;U�DC > �"�.B(4�#�23#%4 �������*4/ 4��"��!�2��"! 4�#43���� *!GL��"#C/ 2�E��� *!�#�C�> �"�"�.B ���*4/ 4��"��!�2�; ���23#W ' �"2 �"�"# 2 �"! 4�#�E��� *!�#*� & !�# +�# !��*4�# 2�4�# 23#�A�� *2323# 2=0 $���C 8! (1 *!�+ A" � �

Page 7: Group Theory Lecture Notes James Binney

�F%��! ] `q3D-��[#.]+% �"]�� ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S, �o � R2� ���?� R��-%�*Y

����� /1# 4�#= +0 � /1# 2 4/ 4�#A� # !14�2 +0 ��� 4#!�(*0 $ 2J�� ;(�"!GLGC1�)�*��# ' ��UE��"#�C*4� 4 � � < � K�MM � M � M C; �#%��#a��� ��# E���# 23# !14�2����*4/ 4��"��!b0 $ 8��0���CA *!�+ � � �"2 4�# ���*4/ 4��"��!f0 $ � 4� 4U�"#< /1# 2/1#%�34�# ' � ��!�+��"2FE��� �� # + �

o �p��!q�Tr Rs������P �#1�A�� *2323# 2(��� 4�# � �%4/ ��# + �/ ���L*�����SEF > 23# #12 ' ��UE��"#��DB ��# +�# !��*4�# + ��C � (�C A" � C� � C�� � � P � 4� ��&� 4 ��# # H��)���"+ ���*4/ 4��"��!�2� +0 ��� 4� +��� �L���!� �� �)�*�� �A�� *232AC �)���&�"� ;(20 #A�< ���23#�C �"!�4�# !��*4/ 4��"��!����32 ' ��UE��"#��SC3> �.B *!1$ ���*4/ 4��"��!U +0 ��� 4* �+� �L���!� ���(� 2 4��"2FU # 2# �04�#%�G(��<�` K�M)()` �*�G(��<�` K�M)(�)`TC9; �#%��#:` �"2* ���*4/ 4��"��!�4� 4*0����"!GL�2�4���O 4�#(/1#%�34�# ' +0 ��� 4 ; ��&�/�(�����*4/ 4�# 24 *!�+(> �"�.BT(G< ��K�Mg(���3CD; �#%��# � �"2���#�� #A�%4��"��! �"!�4�#:O t A t@�Tt@�E��� *!�#*� P �#%��#Q ��# �)��� � +��� �L���!� ��"2 *!�+ 4"; ��4 ��# # H��)���"+ ���*4/ 4��"��!�2 ������!�+-#< ��/�C�23��4��"2�A�� *232 � ��!14/ *�"!�2�� #A�"#A� # !14�2 ��k �&� �&�� �� �L��G� # !14�2.2J�� ; ; 1$-4"; �+H��)���"+����*4/ 4��"��!�2� +0 ��� 4#< ��/ ��� 4 ��# #� ' # 2 4 �����GL� 4�#U� �"+�+G�"# 2 ��� �g �� # 2 �)�*�� W�A�� *232ACX *2 +�� 4�#�4"; �+H��)���"+���*4/ 4��"��!�2 +0 ��� 4(#< ��/-��� 23� ' ' # 2 4 �����GL� 4�#1� �"+ H[E ���"!14�2 ��� # +GL�# 2(#%4�*�6��0/1# ! 4"; �:L*�����SE 2&# M *!�+|# � ; # �< *!��)�*�� .4��0��+ L*�����SE|#q( B # M � # � B 4�# � #A��0 #%��2���1#q(\ ��# ��� 4�#�E� *�0��2 � B >D% M ')% � B C ; �#%��#�% � >#��FC�¡�< O]' 8 *!�+ 4�#�E���� +G�G�%4���� 4"; �

#A�"#A� # !14�2���� #q( �"2�+�#HU !�# +@0 $���� < >D% M ( M ')% � ( � B �V#q( �"2 4�# P � �*R �CX�� � � P �S�CX ���&# M *!�+# � �

o �p��!q�Tr Rs�������P �#.�.�G�&� � �%4/ ��# + �/ ��3L*�����SE0 �� �"2�4�#.+��0��#A�%4*E���� +G�G�%4 ��� 4�# � �%4/ ��# + �/ ��3L*�����SE *!�+4�#1L*�����SE2� � �)�*�� # +�0 $a;� *!�+ 4�# #A�"#A� # !14:E.���X2 ' ��UE��"# � �

o � R2� ���?� R��`�A�*Yk �� ; 4� 4 4�#1�A�� *2323# 2(���S# M � # � ��# 23�&�UE��0$�E� *�0��2�> � M ' � � B ���X�A�� *2323# 2 � �����T#�� �

� � �� �� � V�|� � � � � � �

" ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ���� @L*�����SE # �"2� @�� +EGE �"!GL ���:# �"!14�� 4�# 23#%4 ��� �"�"!�#< ��43�/ *!�23�)�*��� �H4��"��!�2�� ���� /1#A�%4��*� 2FE� �� #��UC�4� 4RE���# 23#%�3/1# 2-4�#fL*�����SEp/ 2WE���� +G�G�%4�2 43��G�%4� ��#*� P 9��2 ��# E���# 23# !14/ 4��"��! *2323�&L�!�2 4�� #< ��/�% # �"�"!�#< � 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!���>D%SB 2J�G�/ 4� 4��>D%SB���>D(ABT<���>D%2(AB 4 %�')(G �# �

& !G� #U; #U� /1# �/���23# !b �� � �*��+��"!� 4�#�2 $ 2 4�#A� �)�*� �UC #< ��/�E ���"!14 �"!�� #�� #A�%4��0/1#A�0$$0 # H� ��� # 2� E ��23�04��"��! /1#A�%4��*��� C *!�+ #< ��/ �"�"!�#< � 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��! ����� 0 #A� ��� # 2� f�� 43��� '+ B

��E�� < +! � �*� �"!W� ���UE ��!�# !14(�)�*�� " � <$#�� � ��",�]+ > 8 �&O�B

����# 23#%�3/� 4��"��! ��� 4�#:L*�����SERE���� +G�G�%4 �&�UE��"�"# 2 4� 4

#�� � � >D%SB��L�A4S>D(AB�<�� �)4�>D%2(AB > 8 � 8 B

o �p��!q�Tr Rqw ���P �#R�� +EGE �"!GL ���=# !�# # + !��*4U0 # O �3O]7 4�#aX � �%�p����r �*R � �*R � R � Xm��X*�g��� 23�&�UE��0$ �� +E 2

Page 8: Group Theory Lecture Notes James Binney

� a_)�Z�� �"�/ ��4� � ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,#%/1#%�3$ #A�"#A� # !14�����# �"!14��.4�# ��!��04_�� 43��� '�� � " O �3O ��# E���# 23# !14/ 4��"��!��"2 �< ��&�"# + F? ���xXg�v?j�Sr�*R � �*R � R � Xm��X*�g�����

o �p��!q�Tr Rqw �xwP �#1�� 43��� ' 4� 4 ���*4/ 4�# 2 4�#�>�`�'��GB4E��� *!�# 0 $ ���]8 �"2

� u t:OO u � '

23��4��"2 �"2 8 H�+��&� # !�23�"��!� �� ��# E���# 23# !14/ 4��"��!-��� � � B

;FE � O uu O �

� M E � u t:OO u � ' � � <>� �M E � t:O u

u t:O � ' �S(1< � ( M E � u Ot:O u � +

> 8 � A B

w ��� o�� �S�%�v��r R � X �*R � �*R � R � Xm��X*�g���X�6��0/1# ! ��!�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��! + >D%SB C�; #��< *!(L�# !�#%�/ 4�#��� *!1$ �*4�#%��2B �"#%4 �d0 #� *!1$-�"!1/1#%�34��c0��"#�"�"!�#< � 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��! � P �# !�% E + [>D%SB B�� S+ >D%SB � K�M=E���� / �"+�# 2 ��# E���# 23# !14/ 4��"��!0B+ >D%SB S+ >D(AB�< � S+ >D%SB � K�M � S+ >D(AB � K�M < � S+ >D%SB S+ >D(AB � K�M < + >D%2(ABy+i(# E���# 23# !14/ 4��"��!�2���#A�� 4�# +d *2 + >D%SBQ *!�+ + >D%SBQ ��#�C* ��#��< ��&�"# + R � �S�%�v��r R � X �*R � �*R � R � Xm�X*�g���X�*�_2CG ���0/� ��"# !G� # �"2 ��#�� # ' �0/1#1 *!�+ 43�/ *!�23�04��0/1#���#A�� 4��"��!W *!�+ 23�UL*�����SE 2 ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2�"!14�� �A�� *2323# 2 ��Z # � ��!G� # !143�/ 4�# ��!3�S�S�xXm� � � �*R � �*R � R � Xm��X*�g���X��C � � #*�&C ��!�# 2 4� 4 �� +Ea# �"!14����!��04/ �3$��� 43���&� # 21> +�� < + K�M B40 #A�< ���23#1; #1� /1#+ � R � �*R ! �� ���,�d�T� R �.0/��/ "�$-���Z+,J,�]+^X���%3�#N/ Z'�.� %��_ ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,�]+^XZ ��%G#!�"�*1D ]43��6# -A]+%�� Z�#&%S,�3�%G#!� Z+ "�� ����

�/, � %�� ZS�[#.]+%S,9<> � ���%? Y ^ #%4 � � B�� + ��>D%SB -+ >D%SBy7 � � �"2*e.#%�� �04��� *!�C 23� �04 �< *!�0 # +��� �L���!� ��"��� # +�CG *!�+ �04�22`G �� ��# ��� �*4 � +�#HU !�# +� *2 4�#1>?e.#%�� �04��� *!�B��� 43��� ' ;(�04 4�# 2 �� # # �&L�# ! H /1#A�%4��*��2 *!�+�# �&L�# ! H/� ��&��# 2(4� 4 ��# 4�# 2`G �� ��# ��� �*4�2(��� 4���23# ��� � � �:k �"!G� # � � � � �5< � �� + >D%SB � � �V}>u4 � C !���# �&L�# ! H /� ��&��# ��� � ���< *! /� *!��"2J( *!�+ � � *2 *! �"!1/1#%��23#*�4h.� ;+ � >D(AB � � S+ >D(AB�<$#

+ � >D(AB S+ � >D%SB S+ >D%SB S+ >D(AB

< � � '> 8 � I B

23�"!G� #� *2J%-���!�2 4 �����GL�5#*C + >D%SB U+ >D(AB:< + >D%2(AB(���!�2 4 �����GL�f ��&� 4�#U�� 43���&� # 2 �"! 4�#��# E���# 23# !14/ 4��"��! *2 2J� ��#A�0$d *2 + >D%SB +�� # 2 � ����# H� *!�+ E ��2 4FH ���G�04��cE��0$ �"!GL > 8 � I B10 $ � K�MAC*; #��0�4/ *�"! � � K�M S+ � >D(AB ��� � � S+ >D(AB � K�M � < � > 8 ����B; ��&�/WE���� /1# 2 4� 4 + >D(AB B�� S+ >D(AB � K�M(�"2=��!��04/ �3$1� H

Page 9: Group Theory Lecture Notes James Binney

�4< � � � %��/ /ZS�[#.]+%$]+^T#&%����%3�#N/ Z'�.� %��_ ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S, �w �xw ��R � R2� ��X*�g���d�%?=��� R � �S�%�v��r R � X �*R � �*R � R � Xm��X*�g���X�h.� ; � ��!�23�"+�#%�( 2J�/�#A� # �)�*� 4� ��!��"!GLd ��# E���# 23# !14/ 4��"��! �"!14��d *! �"!�#�G ���0/� ��"# !14 ��!�#*� " !��0 / �"����2*L�# !�#%�/ ��"���< 4��"��! ��� > 8 � A B $ �"#A�"+�2 8 H�+��&� # !�23�"��!� �� ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� ��� > �*�<C �"!�+�# # +�C���K! � ByB

�4:E � >��SB B � � ��2 > 8 � ��� z�B 23�"! > 8 � ��� z�Bt-23�"!T> 8 � ��� z�B � ��2 > 8 � ��� z�B � + > 8 � �DB

Z #Q�< *!R��23# 4�# 23#Q�� 43���&� # 2 4��U�� +I1#:� � �*��+��"!� 4�#1�/� *!GL�# 2 �/ 4�#%�(4� *!RE ���"!14(43�/ *!�23�)�*��� �H4��"��!�2B � ` � � E � ` � � B � >��SB � ` � � + > 8 ����B

h.� ; � ��!�23�"+�#%�(4�# #�� #A�%4 ��� 4��"2=� � �*��+��"!� 4�# 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��! ��!R 6G �� *+ �/ 4��&� �)�*��� >�`�'��GB B % MgM ` � � 8 % M � ` � � % �g� � � + > 8 � �DB

k �S0 2 4��04� 4��"!GLUE����&� # + �)�*� ��!SE����&� # +R� � �*��+��"!� 4�# 2ACG; #:L�#%4

� >�` '�� B�<>% MgM ` � � 8 % M � ` � � % �g� � �<>% MgM >�� MgM ` � � M � � B � � 8 % M � >�� MgM ` � � M � � BA>�� �HM ` � � �g� � B � % �g� >�� �HM ` � � �g� � B �<�% MgM � �MgM � 8 % M � � MgM � �HM�� % �g� � ��HM � ` �� 8

�% MgM � MgM � M � � % M � >�� MgM � �g� � � M � � �HM B � % �g� � �HM � �g� � ` �

�% MgM � �M � � 8 % M � � M � � �g� � % �g� � ��g� � � � ' > 8 ���DB

; �#%��#h�,� ���"2�2J��*�34� *!�+ �)�*���,� �9> t��SB � & ���UE� ���"!GL\� � #�� �"# !14�2 �"!�4�#bU���2 41 *!�+��� *2 4 �"�"!�# 2AC; # 23# # 4� 4(��� �(�*���&L��"!� ����� 43��� ' �"!�+G�G� # 2� �"�"!�#< � 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��! ��� 4�#1� � #�� �"# !14�2:% � �]B

�pE � B �� % MgM% M �% �g�

�<�� � �MgM � MgM � �HM � ��HM� MgM � M � � MgM � �g� � � M � � �HM � �HM � �g��]�M � � M � � �g� �]��g�

���� % MgM% M �% �g�

�+ > 8 �&OmuDB

P � 23# # 4� 4 4�# 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!q�)E � 4� ��!�2 4��04� 4�# 2� -��# E���# 23# !14/ 4��"��! ���c#*C ; # !�# # + � �*��#: +0 2 43�/ ��%4 !��*4/ 4��"��! �TZ #:�< *!W; ���04�#�4�#�G �� *+ �/ 4��&���)�*�� � >�`�'��GB* *2G� � �� �_C�; �#%��#

� B � ` � � ' � B � % MgM % M �% M � % �g� � + > 8 �&O�O�B

h.� ;� � �� � <�� � �� �

<�� � � � >D% K�M B �� � >D% K�M B � + > 8 �&O 8 B

k � ; # +�#HU !�#� *! ��E #%�/ 4��*��� ��! 4�#1�� 43���&� # 2 � ���vG �� *+ �/ 4��&� �)�*�� 2=�"�cI1#.4��"2B� <���>D%SB � B � � >D% K�M B �� � >D% K�M B

< � >D%SB �� � � >D%SBy' > 8 �&O A B

Page 10: Group Theory Lecture Notes James Binney

� a_)�Z�� �"�/ ��4� � ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,; �#%��#���23#�� *2 0 # # !@�� *+�# ��� 4�#���!��04/ ���045$-��� � >D%SB � P �# ! ��!�2J�G�A� # 2323�0/1#A�0$@ +EGE��0$ �"!GL 4�#�"�"!�#< � 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2 ��# E���# 23# !14��"!GL 4"; ��L*�����SE-#A�"#A� # !14�21%�')( ; #1� /1#

��>D(AB ��>D%SB � < � >D(AB � >D%SB �� � � >D%SB � � >D(AB< � >D(H%SB �� � � >D(H%SB< ��>D(H%SB � + > 8 �&O I B

; ��&�/ +�#A� ��!�2 43�/ 4�# 2 4� 4(4�#� ��%4��"��! ��� � ��! 4�#Q�� 43���&� # 2 � E���# 23#%�3/1# 2�L*�����SE$���G�04��cE��"� H�< 4��"��!R *!�+ 4�#%��# �)�*��#:E���� / �"+�# 2 ��# E���# 23# !14/ 4��"��! �

o � R2� ���?� R��*�%�*Y����� /1# 4� 4(4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��! > 8 �&O A B �"2=��!��04/ �3$ �"! 4�# 23# !�23# 4� 4=%v�MgM � 8 %v� M � � %v��g��"2 �"!1/� ���� *!14 ��54 �"2�#< *2 $-4�� 23# # 4� 4�4�# 2J�/�#A� # MF��2 4 +�# 2J�%���c0 # + L�# !�#%�/ ��"��� # 2.43���0/ �� ��&�0$ 4�� G �� *+ �/ 4��&�

�)�*�� 2.�"!� *!1$�!9�G��0 #%� ����/� ���� +0��"# 2B 2 4/ �34��"!GL � ����� *! � H�+��&� # !�23�"��!� �� ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�C�; #�< *!��&��� # +��� 4�#A�0$ +�#%���0/1# M� � > � � O�B H�+��&� # !�23�"��!� �� ��# E���# 23# !14/ 4��"��!$0 $(� ��!�23�"+�#%���"!GL 43�/ *!�2 H�)�*��� 4��"��!�2 ��� G �� *+ �/ 4��&���)�*�� 2 ��� � /� ���� +0��"# 2 �

e.#%��#C/ 2: *!��*4�#%� 2J�/�#A� # �)�*�:L�# !�#%�/ 4��"!GL !�# ; ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2 � ����� ���"+0B(2J�SEGE ��23# 4�#� � � �� 43���&� # 2 � >D%SB�E���� / �"+�# ��!�#���# E���# 23# !14/ 4��"��! ���c#*C *!�+ 4�# � � � �� 43���&� # 2 + >D%SBE���� / �"+�#U *!��*4�#%� ��# E���# 23# !14/ 4��"��! � P �# !f 4��0��+�C � � H�+��&� # !�23�"��!� ��!C ��# E���# 23# !14/ 4��"��! �"2�4�#P � �*R �CX � � � P �S�CX �*R � �*R � R � Xm��X*�g������< � � ��B

� >D%SB ��� �6< > � >D%SB �TB�� > + >D%SB � By+ > 8 �&O ��Be.#%��#�� �"2� *! � H � ���UE ��!�# !14 /1#A�%4��*�� *!�+3� �"2 *! � H � ���UE ��!�# !14 ��!�#� *!�+�� 2 4/ *!�+�2 �)�*� 4�#- 4�# !�23�*�_E���� +G�G�%4,/1��� 4�# /1#A�%4��*��2 0 #A�"��!GL��"!GL�4���4�# 4"; � 2FE� �� # 2 � > P �# 4�# !�23�*�_E���� +G�G�%4���� 4"; �/1#A�%4��*��2:�4C � �"2 4�#:E� *�0� >D�&' �XB � � ���q< ���� M� ���R�� M��� �"�"# 2 �"!( *! � H�+��&� # !�23�"��!� �� 2FE� �� #� *!�+�6< � ���� M "Q���R�� ���� �"�"# 2 �"!W *! � H�+��&� # !�23�"��!� �� 2FE� �� #�C�4�# !3����� �"�"# 2 �"! 4�# � � H�+��&� # !�23�"��!� ��2FE� �� #.2FE� *!�!�# +\0 $�4�# /1#A�%4��*��2 >��R�� M��� '��R�� ���� B C ;(�04���# 2FE #A�%4 4��1; ��&�/ �04�2*� ���UE ��!�# !14�2 ��#(4�#!9�G��0 #%��2 � ",�1�7B P ��"2����: /� ��"�"+ ��# E���# 23# !14/ 4��"��!R0 #A�< ���23#:; #1� /1#

� � ��� � � � 4�� 9 � >D%SB�< � �)4�>D%SB��L�A9">D%SB > 8 �&O�DB *!�+ �

� >D%SB � >D(AB � � ��� � � � � � � < # 4 9 � � ��� � � � 4�� 9 � >D%SB�� � 4�� 9 � � � � � >D(AB< #4 9� �)4G>D%SB � 4 � >D(AB��L�A9">D%SB�� 9! �>D(AB

< � � � >D%2(AB��L�� �>D%2(AB<"� � ��� � � � � � � >D%2(ABy+

> 8 �&O ��B

o �p��!q�Tr Rqw ���& ��!�23�"+�#%� ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ���T# 0 $ 23��� # 8���8 � ���UE��"# ' �� 43���&� # 2 >D%SB � P �# 23#Q ��%4��!R� ���UE��"# ' 8 H /1#A�%4��*��2$#$B

# E%# B >D%SB # > 8 �&O�� DB

Page 11: Group Theory Lecture Notes James Binney

�4<�� � J �A`q3D- # E'�.�� ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S, �

P �#1� ���UE��"# ' � ��!�MF�GLD 4�# ��� $ �"#A�"+�2 ��#A�� 4�# + ��# E���# 23# !14/ 4��"��!

# E # < �� >D%SB #$+ > 8 �&O�+03B

& ��!�23�"+�#%��4�# +��0��#A�%4 E���� +G�G�%4���# E���# 23# !14/ 4��"��!�� � � � � P ��"2 ��%4�2���!��)��� �FH � ���UE ��!�# !14/1#A�%4��*��2 # ��� CG; ��&�/R�< *!�0 #1� ��!1/1# !��"# !14�0$�; ���0434�# ! �"!W�� 43��� ' �)�*��

# ����<��� M�LM � M�2�� ��LM � ��2� � + > 8 �&O �DB

" EGE��0$ �"!GL� 45$ E �&�< �� #A�"#A� # !14(��� 4�# � � � � ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�C�; #?U !�+

# ���cE > # ��� B < � � M M � M �� � M � � � �

� > # ��� B � � <�� � � � � � ��� <� > # ��� B � B � �]+

> 8 � 8 uDB

>?h.�*4��&� # 4�# 23�&� �&�� ���045$\;(�04 #�G �� 4��"��! > 8 �&O A B �7B P �#�E�1$ 23�&�< �� � �*4��0/� 4��"��!-����4��"2.# ' H ��UE��"# �"2 4��"2 � ^ #%4

�e< � E�� ��� `�t � �` � � � E��St � � � � � � <>E � � � tq` � t � � t � � + > 8 � 8 O�B

P �# !��*� B E���d�Vt�`0�Vt����Vt � �-�"2 �"!1/� ���� *!14���!�+�#%� 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2����.4�#-�)�*��� E�� < � � ;(�04 � � < O������*��# � /1#%�<C3; # 2J� ��&� 23# # 4� 4�#%/1#%�3$3^ �*��# !14*�43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!$�< *!$0 #U *2323� � �� 4�# +$;(�04@ +�� � #%��# !141�� 43��� ' C 23� 4��"2��"2: �g *�04��.�G���# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� 4�#:^ �*��# !14*��L*�����SE � P 9��2 4�#%��#.�"2* Q�A�"��23# � ��!�!�#A�%4��"��!�0 #%4"; # # ! 4�#^ �*��# !14*�1L*�����SE( *!�+ 4�#:L*�����SE ����> 8 ' � B��)�*�� # +�0 $ 4�# 8���8 �� 43���&� # 2 ;(�04W��!��04+�#%4�#%�� �"!� *!14 �

o � R2� ���?� R�� �A�*Yk �� ; 4� 4 4�# 2J�S0�L*�����SE � �U> 8 B ��� ����> 8 ' � B 4� 4 � ���UE����"23# 2 ��!��04/ �3$(�� 43���&� # 2 L�# ! H#%�/ 4�# 2(2FE� 4��� �� ���*4/ 4��"��!�2 0 $ 4�#1� #A�/� *!��"2J� ���X2 ' ��UE��"# A ��� e.�"!14,B � ��!�23�"+�#%� P ��>��WB � �

w ��� � �*�*RvP �S�����Tr R��*R � �*R � R � Xm��X*�g���X����&�I ��!�# /1#A�%4��*� � � ����� 4�# 2FE� �� # � ��%4�# + ��! 0 $ 4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��! + >D%SB� *!�+ � ������041L�# !�#%�/ 4�#�4�#�23#%4P� + >D%SB �#�.%6 �# � P �#�/1#A�%4��*��2 ����4��"2 23#%4 2FE� *!b /1#A�%4��*� 2FE� �� # � ����*�U� ��2 4 �/����&� # 2���� � C � < � � k ��� #%4��&� # 2AC �� ; #%/1#%�<C � ;(�&�&�*0 # ��� �"� ; #%��+��&� # !�23�"��!4� *!�� � P � 4(�"2AC � ;(�&�&�K0 #Q �2J�S0 2FE� �� # ��� � �"! 4�# 2 �� # ; $ 4� 4 4�#�>�`�'��GB E��� *!�# �"2 8 H�+��&� # !�23�"��!� �� 2J�S0 2FE� �� # ��� A H�+��&� # !�23�"��!� ��4>�`�'���' � B�2FE� �� #*�

���*� # ' ��UE��"#�CD; �# ! 4�# �� 43���&� # 2���� > 8 �&OmuDB_ ��%4 ��!�4�#0G �� *+ �/ 4��&� �)�*�� ��� B `0� � ���+C4�#(��# 2J�G�04��"!GL1E ���0$ !���� �� �� � � �"2* ��c; $ 2�4�# 2 �� #C714� 4 �"2AC �"�0% MgM <>% �g� < O�C2% M � <>uSC 4�# !% MgM <>% �g� < O�CL% M � <>u !�� �� 434�#%� ; � 4=�� 43��� ' ��� 4�#���# E���# 23# !14/ 4��"��!f> 8 �&OmuDB ; # #A�UE��"� $1�Z # 2 $ 4� 4 ��� �)�*�� 2 *!���� �v� � ����� XU�,��� ��S��� R ��!�+�#%� 4�#Q ��%4��"��! ��� 4�#:L*�����SE � � ! 4��"2�< *23# � �"2 4�# O H�+��&� # !�23�"��!� �� 2FE� �� # 2FE� *!�!�# +R0 $ ��� �

Page 12: Group Theory Lecture Notes James Binney

��� a_)�Z�� �"�/ ��4� � ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,& !G� #� *! �"!1/� ���� *!14 2J�S0 2FE� �� # ������+��&� # !�23�"��! � � � C 2 $DC�� *2 0 # # ! +�#%4�#A�%4�# +�C �04��"2

!� 4� �/ �� 4�� ��23# 0� *23�"2 /1#A�%4��*��2 2J�G�/ 4� 4 4�#=U���2 4 � ��� 4�# 23# 2FE� *! �UC� *!�+ 4�� � ���UE��"#A� # !144�# 23#10 $ � t � 0� *23�"2 /1#A�%4��*��2 4� 4 ��# #< ��/WE #%�JE # !�+��&�A�G�� � 4�� #%/1#%�3$ /1#A�%4��*� �"!���� P �# 23#�� *2 4 /1#A�%4��*��2 2FE� *!W; � 4(�"2=�< ��&�"# + 4�#:� � Xg�T����������rO����!q�Tr R ! R � X ��� � �"! � �

P �#4�� 43���&� # 2 + >D%SB ��# E���# 23# !14��"!GL?#R ��#_0��"� �I +��� �L���!� ��1�"! 4��"2 0� *23�"2B P �# U���2 4X� ���&�G� !���X ��� 43��� ' L��0/1# 2 4�# �&�� �L�#���� 4�#?U���2 4=0� *23�"2 /1#A�%4��*� �R M < > O]')uv',+,+,+ B C 4�# 23#A� ��!�+R� ���&�G� !L��0/1# 2 4�# �&�� �L�#���� �R � < >Duv'<O]')uG+,+,+ B #%4�*� k �"!G� # �R M 4 �����GL� �R �"�"# �"! 4�# �"!1/� ���� *!142J�S0 2FE� �� # �UC 4�# �0� �&�� �L�# 2 +�� 4�� �GC 23� 4�# 23# ����2 4=� /1#./� *!��"2J��"!GL � ���UE ��!�# !14�2 E� �/ ��&�"#A� 4���R � K �� M 4 �����GL� �R �KC 4� 4 �"2AC 4�# �0� �� *2 4 � t � � ���UE ��!�# !14�2 /� *!��"2J�CG *!�+ 49��2 4�# 0 �*434�����"# � 4FH � *!�+ � �*��!�#%����� #%/1#%�3$ + �"2JU��&�"# +f;(�04 � #%����2 �@k �&� �&�� ��0$DC �)�*� � } � C �R 4W�"�"# 2 �"! 4�#�*�34���L���!� ���� ���UE��"#A� # !14(��� ��� h.� ; �"#%4$¢|� � *!�+ ��} � *!�+W� ��!�23�"+�#%�

� B �R � S+ >D%SB �R 4V< > + � >D%SB �R ��B �R 4< > + >D% K�M B �R ��B �R 4 ' > 8 � 8]8 B

; �#%��#�; #�� /1# # ' E��"���04�# + 4�#���!��04/ ���045$ ��� 4�#���# E���# 23# !14/ 4��"��! � � ����� 4�# U���2 4 #�G �� ��"�045$�04��)���&�"� ;(2.4� 4 � �"2.4�#�� ���UE ��!�# !14Q ��"��!GL �R � ����4�# �&�� �L�#���!�+�#%� + >D%SB(��� �R 4 � P �# �� *2 4#�G �� ��"�045$ 2J�� ;(2 4� 4 4��"2 /� *!��"2J�# 2 � e.# !G� # 4�# 4���E-���&L�14FH � *!�+R� �*��!�#%�.��� #%/1#%�3$W�� 43��� ' +�"2GU��&�"# +W;(�04 � #%����2 �

P �#U0��"� �I +��� �L���!� ���2 43��G�%4� ��# ��� + � #< *!�2 4� 4 4�# � H�+��&� # !�23�"��!� �����# E���# 23# !14/ 4��"��!E���� / �"+�# +(0 $ + >D%SB +�#A� ���UE ��23# 2.�"!14�� 4"; �\� ���UE��"#%4�#A�0$ �"!�+�# E # !�+�# !14 ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2�����+�� H� # !�23�"��! � *!�+ � t � ��Z #:; ���04�#

� <�� � M����� � � ��� > 8 � 8CA B

4��.�"!�+��&�< 4�# 4��"2 �g ��%4<C�; �#%��# � � M�� 2 $S��0 ���"��� # 2 4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�E���� / �"+�# +�0 $ 4�# �� 43���&� # 24� 4 �)�*�� 4�#��SEGE #%� �"# � 4Q0��"� �I 2 ��� #< ��/ + >g; ��&�/ 43�/ *!�23�)�*�� � �"!14����04�23#A�"�B C *!�+�� � ���2 $S��0 ���"��� # 2 4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!WE���� / �"+�# +W0 $ 4�#:�� 43���&� # 2 4=�"� ; #%�(���&L�14(��� #< ��/ + �

k ��� #%4��&� # 2 4�# �"!1/� ���� *!14 2J�S0 2FE� �� #�� �< *! �04�23#A�"� 0 #$0�����I1# ! +�� ;(! �"!14�� 2J�� ��&�"#%��"!1/� ���� *!14 2J�S0 2FE� �� #W *!�+ �04�2 �*�34���L���!� ��4� ���UE��"#A� # !14 �(2�/1# !14�� ��&�0$DC 4����GL��C 4�# �*���&L��"!� ����# E���# 23# !14/ 4��"��! 2FE� �� # � ;(�&�&�_� /1#U0 # # ! 0�����I1# ! �"!14��( 23#%���"# 2 ���O� �*�*RvP �S�����Tr R C���� 4�� ��&�0$�*�34���L���!� �� 2J�S0 2FE� �� # 2 � � M��d',+,+,+y'�� �� �JC 2J�G�/ 4� 4 � � � � �"2�2FE� *!�!�# +�0 $ � � ' + >D% M B � ' + >D% � B � ',+,+,+ �DCT; �#%��# �< �� � � �.�"2� ��� /1#A�%4��*�<C_ *!�+s% M ',+,+,+ �"2Q -2J� �� �"# !14 23#%4 ��� #A�"#A� # !14�2 ���G# �P �#���# E���# 23# !14/ 4��"��! ���G# �)�*�� # +�0 $ 4�# ¡����W0��"� �I 2 ����4�# + >D%SB >g; ��&�/ 43�/ *!�23�)�*���� � � ��"!14����04�23#A�"�B �)�*�� *!�� �*�*RvP �S�����Tr R3�*R � �*R � R � Xm��X*�g��� ���S#*C �*� *!�� �*�*R � �)�*� 2J��*�34 �

o �p��!q�Tr Rqw ���& 0 / �"����2J�0$ 4�# O H�+��&� # !�23�"��!� �� ��# E���# 23# !14/ 4��"��!-2FE� *!�!�# +(0 $ ��� >�`�'��GBT< `0� � �����)�*�� 2 *! �0�3��# E ��� ��� � �54 �"23!0/ 4 /1#%�3$ �"!14�#%��# 2 4��"!GL ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�C\0 # �"!GL 4�# 43���0/ �� ����# E���# 23# !14/ 4��"��! � P �#��*�34���L���!� �� � ���UE��"#A� # !14 ��� ��� � ��!�23�"2 4�2 ���:G �� *+ �/ 4��&� �)�*�� 2� >�`�'��GB@<f% MgM `0� � 8 % M � ` � � % �g� ��� 2J�G�/ 4� 4�% MgM � % �g� <\uSC�� � #*�&C���!�# 2 ��� 4�#�)�*�� � <~% K ` � � 8 %

�` �3tn% K � � � & ��!1/1# !��"# !14W0� *23�"2 /1#A�%4��*��2 �)�*� 4��"2 2J�S0 2FE� �� #

��# � K B `0� t ���� *!�+ �� B 8 ` � � ��� �)�*�� 2 *! �"!1/� ���� *!14 2J�S0 2FE� �� #:��!�+�#%� 4�#.��# ESH

Page 13: Group Theory Lecture Notes James Binney

�F%��! ] `q3D-��[#.]+% �"]���-J)A3+ �� ,&�.�/���\Z+, Z�%�`W]� <�[)�]S1S]+%�Z'�&#!�c�W ����ZS�[#.]+%S, � �

��# 23# !14/ 4��"��! ��� � � E���� / �"+�# +U0 $�4�# �� 43���&� # 2����_> 8 �&OmuDB � � � 44��!�+�#%� 4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!��� � ( ��0�4/ *�"!�# +-��!�E�� 434��"!GL z < A �"!14��(> 8 � �DB C 4�#%$ 43�/ *!�23�)�*�� �"!14���#< ��/-�*4�#%�,B

� M <� t M� � (

�t � (� t M��� ' � � <

� t M� t � (�� (

� t M��� '

� M <��� M�

t � (�

(�� (

�t M� t � (

�(� � (

�M�

��' � � <

��� M� � (

�(�t � (

�t M� � (

�(�

t � (�

M�

��+

> 8 � 8 I B

e.# !G� # � M � K <[t M� ` � �� A ` � � M� � � <[t M� � K � � (� � �� M � � <[t � (

�` � tq` � � � (

�� � <[t � (

�� K t M� � �

> 8 � 8 ��B

� � 4 4�# 2FE� �� # 2FE� *!�!�# +R0 $ ��� �"23!0/ 4 �0�3��# +G�G� �c0��"#CB�4�#:E ���0$ !���� �� ��"2� � B >�` � � �GB � < � K � � � � > 8 � 8 �DB

��# 23�&�UE��0$W���G�04��cE��"�"# +R0 $$ �E�� *23# �g ��%4��*��# �g�]� 4 � ( ; �# !d>�`�'��GB= ��# 43�/ *!�23�)�*�� # +(;(�04� M �*� � � � k � 4�# A H�+��&� # !�23�"��!� �����# E���# 23# !14/ 4��"��! � ��� � ((��0�4/ *�"!�# +�� ����� > 8 �&OmuDB +�#A� ��� HE ��23# 2(�"!14���4�# 2J�G� ��� 4 ��# # �0�3��# E 2

� <�� � � � �� � � � � �� � � K � ' > 8 � 8 ��B

; �#%��# � � � � �"2 4�# 43���0/ �� �� ��# E���# 23# !14/ 4��"��!RE���� / �"+�# +�0 $ ��� C� *!�+�� � � � ��#�4�# �g *�04��.�G���# E���# 23# !14/ 4��"��!�2 E���� / �"+�# +W0 $ � � �

o �p��!q�Tr Rqw ��^ #%4,/ 2 # !G�� �L�# 4�#1L*�����SE���� 4�#1�� *2 4 # ' ��UE��"# � ����� � ( 4��6!�(*� P �# # ' 4�# !�23�"��!R�< *!R0 # ��A� ���UE��"�"2J�# +W0 $W *+�+��"!GL�4��;�m� M � 4�#:L�# !�#%�/ 4��*�

� M B � t:O uu O � + > 8 � 8 �DB

P �#1�� 43��� ' � � L�# !�#%�/ 4�# +W0 $ � M 4 �����GL�b> 8 �&OmuDB�4� ��!�2 � � �"!14�� � K&B� � � � < > tG` � � �GB � < � K + > 8 � 8 �DB

e.# !G� # � � ��"��!�#�+�� # 23!0/ 4 �)�*�� ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ���'!�( �|� ! �g ��%4 4�# 8 H�+��&� # !�23�"��!� ��2FE� �� # 2FE� *!�!�# +R0 $ � � �)�*�� 2 8 H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E ���K!�(*�

o � R2� ���?� R�� �A�*YZ ���04�#���� 4 4�# �� 43���&� # 2 ��� � M *!�+ � � �"! 4�#�0� *23�"21> ��� ' � � ' � K B* *!�+ 49��2 # ' �� �"!�#4�#Q0��"� �I9H�+��� �L���!� �� 2 43��G�%4� ��# ���_ ���# E���# 23# !14/ 4��"��!(; �# !��04 � *2 0 # # ! ��# +G�G� # + 4�� 4�#2J�G� ��� �0�3��# E 2 �

Page 14: Group Theory Lecture Notes James Binney

�d� a_)�Z�� �"�/ �� � ��-J)A3+ �� ,&�.�/���\Z+,=Z�%�`R]� <�[)�]S1S]+%�Z'�&#!�c�W ����ZS�[#.]+%S,� �a� � ����� ��� ���� ��� � � ������������� � � �,� � � �� �� � � � � �

k �/9� �,/ 21�"�0434�"# 4�# �*��#A� 2�E���� / �"+�# 4�#�I1#%$ 4�� ��# +G�G� �"!GL( \L��0/1# !���# E���# 23# !14/ 4��"��! 4�� �04�2 � ��! H2 4��04��# !14 �0�3��# E 2 � P �#%$$� ��!G� #%��! \�"�"!�#< �:�� +E � 0 #%4"; # # ! 4"; � �0�3��# +G�G� �c0��"# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!2FE� �� # 2 � M *!�+ � � >g; ��&�/��� $ � ���"!G� �"+�# B���� +��&� # !�23�"��! � M *!�+ � � C ��# 2FE #A�%4��0/1#A�0$1�SZ �# !�; #�/�� ��23#:0� *23# 2(�)�*� � M *!�+ � � C � ;(�&�&��0 #���# E���# 23# !14�# +(0 $W � � � � M �� 43��� ' ���+ � R � �*R ! � � � �d�p� � � �

� ��� � ES�QZ�%@#c J �� ]+^�# ]+%b�[)��:,7��ZD-A� � Z�%�` �.��� � ES��Z �&#&%�� Z+ ��\Z�� ]+^�� #&%��"]�#!�!, ���&^,S3D-J)f�[)�ZS� + >D%SB �e<>� S+ >D%SB�4 %� �#~< VX)�� %$� #!�[)��/ 65.# 8=�e<�� � +�]� 65.#&# 8:�e<>u�<� !-�*4�#%�=; �*��+�2AC��"� $1���WL�#%4 4�# 2 �� #.��# 2J�G�04 L����"!GL�4"; � ; $ 2 ������!�+ 4��"2 +��� �L*�/ ��RC

� �K�� ���� ���� �K�� �

> A �&O�B

4�# !�� �"2 # �04�#%� U���G�04��cE��"#���� 4�# �"+�# !14��045$DC��*�G� #%�����> � ���%? Y ^ #%4 � 0 #Q *! # �&L�# ! H /1#A�%4��*� ���T��B � �6<�� ��� P �# !-�)�*� *!1$3%� �#� S+ >D%SB �6< + >D%SB � ��<�� + >D%SB � + > A � 8 B

P 9��2U ��&��/1#A�%4��*��2h� ��� 4�# �)�*�� ��< + >D%SB � ��# # �&L�# !1/1#A�%4��*��2����1� ;(�04 # �&L�# ! H /� ��&��#� �?� ��� �< uSC 4�# 23# /1#A�%4��*��2�2FE� *!� 2J�S0 2FE� �� #���� � 4� 4��"2.�"!1/� ���� *!14 ��!�+�#%�J# �Jk �"!G� # � �"2�0�3��# +G�G� �c0��"#�C 4��"2 2J�S0 2FE� �� #Q����2 4 � ���"!G� �"+�#:;(�04 �(� H+ � R � �*R ! � � � �d�p� � � � �

� ��� � � � � 5.#���� + �S8 ES���-%_]�#&%����%3�#N/ Z'�.� %�� #c J ��K,Q]+^ # ]+% �[)��1,7��ZD-A�/, �&�=Z�%�` �.��� �2ES��Z�&#&%�� Z+ =�\Z�� � M E � � ,S3D-J)f�[)�ZS� + � ���/>D%SB �e<n� S+ � M��/>D%SB�4 % �#~<�VX)�� %3��<>u�<> � ���%? Y P �#�/1#A�%4��*��2:� � � ��� 4�# �)�*��

�6< + � ��� >D%SB � �6<>� 9+ � M�� >D%SB � > A � A B

�)�*�|% n# *!�+ *!1$sU ' # + �� � M �)�*�� �2J�S0 2FE� �� # � H � � ; ��&�/ �"2��"!1/� ���� *!14 ��!�+�#%�# �>k �"!G� # � � �"2��0�3��# +G�G� �c0��"#�C � ����2 4 # �04�#%��0 #-!9�G�&��> � � < uDB��*��4�#W; ����"#-��� � � �� ��� < � � C4; #�����2 4U� /1# � M�� � � �s� � � M < � � CO� ; ���G�"+d� /1#R *! �"!1/1#%��23#R *!�+ 4�# !+ � ���/>D%SB�< � n+ � M��/>D%SB ��K�M<C *!�+ 4�# � � � ��; ���G�"+b0 # #�G ���0/� ��"# !14<C_; ��&�/ 4�#%$ ��# !��*4 �e.# !G� # # �04�#%�b� <eu �*� � M } � � � � � 4 �"! 4�#��� 434�#%�Q�< *23#.� ����2 4Q�� +Ef� #%�34/ *�"! /1#A�%4��*��24��!� #%��� *!�+ 0 $ > A � A B 4�# 2FE� �� # 2FE� *!�!�# +d0 $ 2J�G�/ /1#A�%4��*��2�; ���G�"+ 0 #W �2J�S0 2FE� �� #-����� M�"!1/� ���� *!14 ��!�+�#%�?#*C�� ��!143�/ �3$ 4��� *232J�G�UE�4��"��! �_e.# !G� #J��<>u �+ � R � �*R ! �

� ES���&#�Z�%;1D ]43��K, ]+%5� �()�Zn/��f� � ` #c��� %S,#.]+%�Z'��#c J ��K,> � ���%? Y Z �# !b# �"2 " 0 #A�"�� *!�C� ��&����# E���# 23# !14��"!GL��� 43���&� # 2 � ������� 4�#CB + >D%SB + >D(ABT< + >D%2(ABT<+ >D(H%SBT< + >D(AB 7+ >D%SB 4�(& �# � e.# !G� # + >D%SB 2 4��"2FU # 2�4�# ��#�G ���0��#A� # !14�2 P �# �*��#A� � �&�UE ��23# 2��! �$C 23� �04�����2 4U0 #( ����G�04��cE��"# ��� 4�# �"+�# !14��045$ � � � � 4 �"�.#%/1#%�3$ + >D%SB�; #%��#( ����G�04�� H+��&� # !�23�"��!� �� �"+�# !14��045$DC�4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!$; ���G�"+R0 # ��# +G�G� �c0��"#*�?k �"!G� # �04 �"2 !��*4 ��# +G�G� �c0��"#�C4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!R����2 4=0 # ��!�# H�+��&� # !�23�"��!� �� � H

Page 15: Group Theory Lecture Notes James Binney

� < � a_)�Z+ /ZD-��"�/ J, ]+^ ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S, � �

�0��� � � Xg�T����������r��xXy� �*R r���X*�g���X�^ #%4� 0 # *!1$��� 43��� ' 4� 4 �� +E 2�/1#A�%4��*��2 � ����� �

�4�� ���KC ; �#%��# 0 �*4 �1/ 2 ��# �0�3��# +G�G� �c0��"#

2FE� �� # 2 � P �# ! 4�#1�� 43��� '

� B # @���� + � � � >D(AB � 9+ �� � >D( K�M B > A � I B

2 4��"2FU # 2 4�#11$ E �*4�# 23# 2(��� 4�# �*��#A� 2G�U *!�+ �2B

+ � � � >D%SB �e<!#@���� + � � � >D%SB S+ � � � >D(AB � 9+ �� � >D( K�M B<!#@���� + � � � >D%2(AB � S+ �� � � >D%2(AB K�M � S+ �� � >D%SB<n� S+ �� � >D%SBy'

> A ����B

; �#%��#:; #:� /1# # ' E��"���04�# + 4�# �g ��%4(4� 4<C��)�*�cU ' # +�%�CL%2((���!�2(� /1#%�:# *21(.+�� # 2 � e.# !G� #:0 $4�# �*��#A� 2G�U *!�+;�

�=� �=< # @���� # � � � �� �� � >D(AB�� � � �� � j� >D( K�M B <��

���H� �]+ > A � �DB

^ #%4,/ 2 �/�� ��23#�� 23��4� 4(�04=� *2(��!G�0$ ��!�# !���! H � #%��� # !143�3$DC !� �� #A�0$ 4� 4(�"! 4�# � ��� ��� ; *!�+� ��� � ���&�G� !0B�� � 1<� � 9� � 8����"!GL 4�# 2J�G� 2 � /1#%� � *!�+���; # !�� ;nU !�+

# @���� � � � ��)9 >D(AB�� �� � �

>D( K�M B�<�����H� �]+ > A ����B

h.�*4��&� #�4� 4 !���!�# ��� 4�# 2J�S0 2J�%���cE�4�2.��! 4�#1�"# � 4� ��# 2J�G��� # + � P �hU !�+-4�# /� ��&��# ��� ��C�; #23#%4 � <�� C�¡S<�¢� *!�+-2J�G� � /1#%�1¡dB

� ��< # @���� # � � �� � �

>D( K�M B�� �� ��)9 >D(AB

< # @���� 9< N� 9 +

> A � �DB

k �S0 2 4��04� 4��"!GL�4��"2 0� ��I �"!14��(> A ����B CS; #1� /1#

# @���� � � � ��)9 >D(AB�� �� � �

>D( K�M B�< N � � � � ��H� �� 9 + > A ���DBZ �# ! + �"2*��!��04/ �3$\ �.� �34�#%� 23�&�UE��"��U��< 4��"��! �"2*E ��2323�c0��"#.23�"!G� # + >D(mK�M/B�< + K�M�>D(AB�< +�� >D(AB �,.23�"!GL�4��"2 �"!b> A ���DB�$ �"#A�"+�2

# @���� � � � ��)9 >D(AB�� �� � �� >D(AB�< N � � � � ��H� �� 9 + > A �&OmuDB

P ��"2 �"2 4�# �.��!�+� �� # !14/ �� �*�34���L���!� ��"�045$ ��#A�� 4��"��! �)�*� ��!��04/ �3$ ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2 ���XL*�����SE 2 �

Page 16: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ �� � ��-J)A3+ �� ,&�.�/���\Z+,=Z�%�`R]� <�[)�]S1S]+%�Z'�&#!�c�W ����ZS�[#.]+%S,o �p��!q�Tr R@�0���

� (Q� *2 4�#Q��!��04/ �3$ �0�3��# E6;V< O�C�� M < #m�F�]� � ( C�� � < # �g�]� � ( �ck #%4 � <�� C�¡T< ¢h< O� *!�+� < � < O �"! > A �&OmuDB � P �# ! 4�# �"# � 4 23�"+�# L��0/1# 2 O � #m�F�]� �

( #QK0�F�]� � ( � # �g�]� � ( #QK �g�]� � ( < A C *2(+�� # 2 4�# ���&L�14(23�"+�#*�

o � R2� ���?� R��y��q�*YN�#%���"� $ 4�# �*�34���L���!� ��"�045$ ��#A�� 4��"��!f> A �&OmuDB��)�*�(4"; ��+�� � #%��# !14 �0�3��# E 2(���v!�( �

�0�xw , ��� � ���CX R2� ���%? �*R � �*R � R � Xm��X*�g���X�P �#-43�/ �� # ��� + >D%SB C P ��> + B��"2 �"!1/� ���� *!14���!�+�#%� 23�&� �&�� ���045$ 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2 + E + B� K�M U+ � �1e.# !G� #�4�# 43�/ �� # �"2�4�# 2 �� # �)�*�1 ��&� #�G ���0/� ��"# !14���# E���# 23# !14/ 4��"��!�2�>�� 8 �&O�B *!�+�"2 4�# 2 �� # �)�*��#%/1#%�3$ + 4� 4.��# E���# 23# !14�2�4�# #A�"#A� # !14�2���� *!1$(L��0/1# !$�A�� *232 >��<O�� A B � P �# 23#E�����E #%�34��"# 2 �� +I1# P � > + B* *! �&�UE �*�34/ *!14 !9�G��0 #%� *!�+ �04 � *2 �04�2 � ;(! !� �� #CB 4�#V�d��� � ���CX R2�� �� � >D%SB ���V% # �"! 4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��! � �>k #%434��"!GL �b< ¡� *!�+s¢_< � �"! > A �&OmuDB *!�+2J�G��� �"!GL�� /1#%�1¡* *!�+|¢�CG; # ��0�4/ *�"!R *! �*�34���L���!� ��"�045$ ��#A�� 4��"��! �)�*� �/� �/ ��%4�#%��2

#� ����� �������� �� �

E � � �� � > � B � �� � � > � B�< N�

�� + > A �&O�O�B

�0��� ��RvP �S�CX*�g���d�%? �*R � �*R � R � Xm��X*�g���X�P �# �*�34���L���!� ��"�045$ ��#A�� 4��"��! > A �&O�O�B # !� +0��"# 2 ��2 4���+�#%4�#%�� �"!�# �"�X *! �0�3��# E-� �A�A� ��2 �"!R �L��0/1# !��# E���# 23# !14/ 4��"��!�C9 *!�+�C*�"��23�GC*4�# !9�G��0 #%� � �

��� 4��&� # 2 �04 � �A�A� ��2 � k �"!G� # 4�#�43�/ �� # �"2 �"!1/� ���� *!14��!�+�#%� 4�# 23�&� �&�� ���045$ 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��! 4� 4W0����"!GL�2( dL��0/1# ! ��# E���# 23# !14/ 4��"��! + 4��d0��"� �I+��� �L���!� �� �)�*��RCS0 $ 4/ +I �"!GL 4�# 43�/ �� # ��� 4�# 0��"� �I9H�+��� �L���!� �� �)�*�� �04(�)���&�"� ;(2 4� 4

� > + >D%SBJB�<$#�� � � � � � >D%SBy7 � � #*�&C � > � B�<$#

�� � � � � � > � By+ > A �&O 8 B

Z #1���G�04��cE��0$ 4 �����GL�W0 $aE � � �� � � > � B *!�+-2J�G� � /1#%� �A�� *2323# 2 �#

� ����� �������� ����E � � �� � � > � B � > � B�< # � � � #

�E � � �� � � > � B � � � � > � B

< � �N +

> A �&O A B

P 9��2 *2 23� ��!b *2Q; #�I !�� ; 4�#��/� �/ ��%4�#%��2 � � > � B ��� #%/1#%�3$f�A�� *232 �"! #%/1#%�3$ �0�3��# E�C ; #��< *!+�#%4�#%�� �"!�# � �

C�4�# !9�G��0 #%� ��� 4��&� # 2 4�# � ��� ��# E���# 23# !14/ 4��"��! � �A�A� ��2(�"! + >D%SB �

�0��� + � R��*R ���Sr�� ���*R � �*R � R � Xm��X*�g���P �#:I1#%$ 4��hU !�+��"!GL\ ��&� �0�3��# E 2(�"2 �+G�G��0-��# E���# 23# !14/ 4��"��! � P �# �*R ���Sr�� �.�*R � �*R � R � Xm��X*�g����"2 4�#:N � N9H�+��&� # !�23�"��!� �����# E���# 23# !14/ 4��"��! �"!\; ��&�/ ��� ;(2= *!�+�� ���&�G� !�2= ��# �� +0 #A�&�"# +\0 $ 4�##A�"#A� # !14�2 ���T# *!�+-#< ��/ ��� ; �*� � ���&�G� ! ��� + >D%SB*� *2 # ' ��%4�0$ ��!�# !���! H � #%��� # !143�3$ B

� ��� �� @ >DEAB <�

� @7D � � ��� � >DEAB�<$#

� D < N� D � �,+ > A �&O I B

Page 17: Group Theory Lecture Notes James Binney

� <�� VX)��� �-1A3'��Z+ = ��K �/, � %�� ZS�[#.]+% � �� � #*� �"! 4�# ��#AL��G�� �.��# E���# 23# !14/ 4��"��!�C 4�#��/� �/ ��%4�#%������#%/1#%�3$ #A�"#A� # !14��*4�#%�.4� *!6; �"2&� #%���GC; ��&�"#�4�#1�/� �/ ��%4�#%� ���S; �"2ON �

P �# +�#A� ���UE ��23�04��"��! ��� � ��� � �"!14����04�2=� ��!�2 4��04��# !14 �0�3��# E 2(�"2 !�� ; 2 43�/ *�&L�14��)�*�J; ��+ � Z #���G�04��cE��0$

� ��� � >D%SBT< #�� � � � � � >D%SB > A �&O ��B

0 $ � �� � � >D%SB *!�+-2J�G� � /1#%�:%� �#$B

# ���

� �� � � >D%SB � ��� � >D%SB�< � � N

< � �N +

> A �&O�DB

P 9��2 � �< �

� *!�+ #< ��/ ��# E���# 23# !14/ 4��"��! � �A�A� ��2 4�#.2 �� # !9�G��0 #%� ��� 4��&� # 2 *2 �04�2 +��&� # ! H

23�"��! � ���*��# � /1#%�<C�� ����� > A �&O ��B4;(�043%b<>;1; #1� /1#=N < � � � ���C 23�

N < #�� ��+ > A �&O ��B

� !WE� �34��&�A�G�� �<C 4�# !9�G��0 #%� ��� �0�3��# E 2(���X *!1$.U !��04�#1L*�����SE �"2GU !��04�#*�

o �p��!q�Tr R@�0�xwN�>z!�(<B3< �b *!�+ ; #$I !�� ; ��� �0�3��# E 2 ��� +��&� # !�23�"��!� ��"�045$ � < O� *!�+ � < 8 � k �"!G� #O*� � 8 �c<?� C�4�#%��#:����2 4=0 #Q �23#A� ��!�+ O H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E �+ � R � �*R ! �VX)�� %A3+� ES�/ � � ]+^T#c J ��K, ]+^S# #c,����%3�Z'�_�"]\�[)�� %A3+� ES�/ � D ]+^ -���Z+,J, �/,�#&%a#> � ���%? Y 2CG �� 4��"��!(> A �&OmuDB_�< *!�0 # �"!14�#%�JE���#%4�# +� *2 # ' E���# 2323�"!GL 4�# ��� 4�� ����*�34���L���!� ��"�045$����

N /1#A�%4��*��2X �� � � � B #

� �� �� � >D%SB �R' > A �&O�� DB

; �#%��#:; #1� /1#1 *2323� � �� 4�# +W;(�04 #< ��/�%� �#d *!R +0 2 43�/ ��%4 ��!��04(/1#A�%4��*� �RB

�R �R @ <

@ + > A �&O�+03B

P �# 23#%4 ���X�/� �/ ��%4�#%��2 �"! 4�# �0�3��# E � �"2 *2323� � �� 4�# +W;(�04R E� �34��&�A�G�� � �"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��!��� 4�#VX�/ 2AC 4�#J�d��� � ���CX R2� � R �CX � �

� �� � B ���#��� M

X �� � � � <$#

� �� � >D%SB �R � � �� � >D%SB�< �R � �� � + > A �&O �DB

k �"!G� # ��&� #A�"#A� # !14�2 �"! 4�# 2 �� #4�A�� *232T� /1#�4�# 2 �� # �/� �/ ��%4�#%�<C�; #4� /1#��R � �� ��< �R D � �� �

; �# !�#%/1#%�c% *!�+.E= ��# �"! 4�#(2 �� # �A�� *232 �&k �� *!1$U�"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��!���� 4�# � �� �X ��"23�Q� *2#�G �� ��D� ���UE ��!�# !14�2T ��"��!GL ��&� �R / 2 ���S =L��0/1# !1�A�� *232 � & ��!�23#�G ��# !14�0$DC 4�# � �� � �)�*� � < O]',+,+,+y' � ��< *!�!��*4 2FE� *! 4�# ; ����"#=N9H�+��&� # !�23�"��!� �� 2FE� �� # ��� 4�# �R

Page 18: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ �� � ��-J)A3+ �� ,&�.�/���\Z+,=Z�%�`R]� <�[)�]S1S]+%�Z'�&#!�c�W ����ZS�[#.]+%S,h.� ;�4�#W�/� �/ ��%4�#%��/1#A�%4��*��2 � �� � > �.BQ�"�"# �"! 4�# � D H�+��&� # !�23�"��!� �� 2J�S0 2FE� �� #�� D ��� ��&�

/1#A�%4��*��2 � 4� 4�� /1# #�G �� ��=� ���UE ��!�# !14�2� ��"��!GL #%/1#%�3$ �R���� �L��0/1# !d�A�� *232AC *!�+ > �"�.B� ��#

�"�"!�#< ��0$-�"!�+�# E # !�+�# !14:0 $-4�# �*�34���L���!� ��"�045$ ��#A�� 4��"��! > A �&O�O�B � P �# 23# �g ��%4�2 4���L�#%4�#%���&�UE��0$� � � � D �SZ � 44; #(!�� ; 2J�� ; �"2�4� 4�4�# �/� �/ ��%4�#%��/1#A�%4��*��2��)�*�� 0� *23�"2��)�*� � D C *!�+�49��24� 4 � � < � D �

" !1$�� �� D �"2 2J�G�/-4� 4�R �6< �R D � ' ; �#%��# %h<>(HEH( K�M ' > A � 8 uDB

23��2J�G��� �"!GL�� /1#%�:(& �#b; #1L�#%4

�R ��< O

N # @���� �R D � >D%�� ��!�2 4/ *!14<C�E�>D(AB /� �3$ �"!GL9B

< ON # @ �R D #

�� �"�� �X �� � � �

< ON #�� �"�� � # @ �R D X �� � � �

< ON #�� �"�� � # @ � �� �� � >DEAB

< ON #�� �"�� � # @ � �� �� � >D( K�M %2(AB

< ON #�� �"�� � #� # @ � �� �� � >D( K�M B�� �� �� >D%SB�� �� � j� >D(AB

< ON #

��"�� � #

>xN � � � B�� �� � � >D%SBy'

> A � 8 O�B

; �#%��# �"! ��0�4/ *�"!��"!GL 4�# �� *2 4=�"�"!�#:��23#:� *2 0 # # !W�� *+�#���� 4�#��*�34���L���!� ��"�045$ ��#A�� 4��"��! > A ���DB ��$�G�04��cE��0$ �"!GL$> A � 8 O�B 4 �����GL�W0 $ �R

C�2J�G��� �"!GL�� /1#%�?%� *!�+ # ' E���# 2323�"!GL 4�# ��# 2J�G�04 �"!-4�#%�� 2

��� 4�#1�/� �/ ��%4�#%�(/1#A�%4��*��2ACG; #VU !�+

�6<$#�

O��

� #�"�� ��� � �� � + > A � 8]8 B

P ��"2�+�#A� ��!�2 43�/ 4�# 2.4� 4: *!1$ /1#A�%4��*� �"! ��� � � D H�+��&� # !�23�"��!� �� 2J�S0 2FE� �� #U�< *!$0 #�; ���0434�# !@ *2 �"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��! ��� 4�# � � �/� �/ ��%4�#%�(/1#A�%4��*��2AC� *!�+ 49��2(4� 4 � � < � D � H

k �"!G� #5# � *2R *2��� *!1$ �0�3��# E 2R *2��A�� *2323# 2AC.4�#q�d��� � ���CX R2� Xm�L�Tr R C=; ��&�/ L��0/1# 2 4�#�/� �/ ��%4�#%� ��� #A�"#A� # !14�2��"!�#< ��/��A�� *232��"!�#< ��/ �0�3��# E�C �"2�2`G �� ��#*��,.2J�� ��&�0$ #< ��/���� ; L��0/1# 2�+� 4/ �)�*� UL��0/1# ! �0�3��# E�C� *!�+-#< ��/R� ���&�G� !�� �*�3��# 2FE ��!�+�2(4��� L��0/1# !W�A�� *232B

� 8! ( A" �� M O O O� � O O t:O� 8 t:O u& � �/ ��%4�#%�(4/ +0��"# ���K!�(

Page 19: Group Theory Lecture Notes James Binney

�F%��! ] `q3D-��[#.]+% �"] � ��� �&#.- ZS�[#.]+%S,1�"] �%3�Z�%��-3+� ���A-J)�Z�%G#.-/, � �& !�# H 4"; �+H 4 ��# # H *!�+ �)��� �FH�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E 21 ��# +�# !��*4�# +@0 $ ��C ��C � *!�+���C ��# 2FE #A� H4��0/1#A�0$1�

�0�� ��RvP �S�CX*�g���d�%?:� P � �*R �CX � � � P �S�CX �*R � �*R � R � Xm��X*�g���2CG �� 4��"��!W> 8 �&O ��B +�#HU !�# 2�4�# +��0��#A�%4 E���� +G�G�%4 � � � B � ��� 4"; ����# E 2 �@ *!�+ � �SZ # 2J�SEGE ��23#4�# 23#U ��# 4�#��0�3��# E 2 � �� �= *!�+ � � � �JC ��# 2FE #A�%4��0/1#A�0$DC� *!�+ *2FI(; � 4��0�3��# E 2 � � � � ��!14/ *�"!�2 �� ����� #�G �� 4��"��!�> 8 �&O�DB3; #�23# #�4� 4 �"! � � �1C]%� �#W� *2T�/� �/ ��%4�#%� � ���� � � < � �� � >D%SB � � � � >D%SB �k ��4/ +I �"!GL�4�#�43�/ �� # ���

� �� � � � � � � < �# � � � � � � � ' > A � 8CA B

; #1� /1#� ���� � � >D%SBT<!#

�� � � � � � >D%SBy+ > A � 8 I B

Z �04f> A �&O�O�B �04(�)���&�"� ;(2 4� 4

� � <ON #� ����� �������� �� �

E � � � � � �� � �� �� � � � �� + > A � 8 ��B

���*� # ' ��UE��"#�C 4�# I H�+��&� # !�23�"��!� �����# E � � � ��0�4/ *�"!�# + 0 $ 4/ +I �"!GL 4�#�+��0��#A�%4QE���� +G�G�%4 ���4�# 8 H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E � ���=!�(:;(�04-�04�23#A�"� +�#A� ���UE ��23# 2.�"!14���4"; � ��!�# H�+��&� # !�23�"��!� ��X *!�+ 4"; �+H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E 2 *2 �)���&�"� ;(2B

� ��� >�� � � B�< M� > O � I � 8�� O � A � uDB < O]'� ��� >�� � � B�< M� > O � I � 8�� O � A � uDB < O]'��� >�� � � B�< M� > O � � � 8�� > t:O�B � A � uDB < O]+

> A � 8 �DB

� � �,��1� � � � � � ����� � � �|��� � � � � � � ��1�

� ! G �� *!14�G� � #A�/� *!��&� 2 4�#�2 4/ 4�#����* 2 $ 2 4�#A� �"2�+�# 2J�%���c0 # + 0 $�4�#�I1#%4 � �� C � ����� ; ��&�/ *!1$ G ��# 2 4��"��!b +0 ��� 4 4�#�2 $ 2 4�#A� �< *! 0 #� *!�2F; #%��# + *21; #A�&�4 *2 �"219�G�� *!G�0$@E ��2323�c0��"#*�@���*� *!1$-2 $ 2 4�#A� ; #Q�< *! +�#HU !�# *! ��E #%�/ 4��*����> �� '��DB= *2323� � �� 4�# +W;(�04-���*4/ 4��"!GL�4�# 2 $ 2 4�#A� 0 $ *!GL��"#��U +0 ��� 4 4�#1��!��04 /1#A�%4��*� ��&7 4� 4(�"2AC�� � �� +�# 2J�%���c0 # 2� 2 4/ 4�# ��� 4�# 2 $ 2 4�#A� �"! #%/1#%�3$��# 2FE #A�%4 4�#�2 �� # *2�4� 4 +�# 2J�%���c0 # +�0 $ � �� C # ' � # E�4 4� 4�4�#bU���2 4 2 4/ 4�# �"2.���*4/ 4�# +@;(�04��# 2FE #A�%4(4���4�# 23#A� ��!�+ �

P �#���E #%�/ 4��*��2���> �� '��DB(�)�*�� ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ����4�# L*�����SE��@> A B ��� A H�+��&� # !�23�"��!� �����*4/ 4��"��!�27 4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��! 2FE� �� # � �"2 4�#�e.�&�c0 #%�34.2FE� �� # ��� ��&� E�1$ 23�&�< ��&�0$$ *+G� �"2323�c0��"#I1#%4�2 � �� �P �#��S� � �xXy� ��� R2� ��X � ��� �"2 +�#HU !�# + 0 #�2J�G�/ 4� 4 4�#�2 4/ 4�# � � �� +�# 2J�%���c0 # 2 4�#2 4/ 4�#Q; #Q; ���G�"+ 23# # �"� ; # ��0 23#%�3/1# + ��� �:�� +0 �*�/ 4��*�3$ �"!@ �� �0�3���*� ��>?�@ 4�#A�� 4��&�< ��&�0$DC � � ���"2 ��0�4/ *�"!�# + � ����� � �� 0 $ �"!1/1#%�34��"!GLb ��&� 2FE� 4��� �� � � �*��+��"!� 4�# 2� *!�+ 4/ +I �"!GLf ��A� ����!14 ��� 4�#�"!143���"!�23�&��E� ���04��"# 2 ��� #%/1#%�3$$E� �34��&�A�"#��"! 4�#�2 $ 2 4�#A�-�7B � E���� / �"+�# 2Q ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ���C� � �

Page 20: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ � � � ��� �&#.- ZS�[#.]+%S,1�"] �%3�Z�%��-3+� ���A-J)�Z�%G#.-/,

P �# ��E #%�/ 4��*��2 ��> ���'��DB *!�+ � #%4� �)�*�� .��# E���# 23# !14/ 4��"��! ����4�#=L*�����SE ��> A B ��� �*�34���L���!� ��A H�+��&� # !�23�"��!� �� 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2 �

���*��# L�# !�#%�/ ��&�0$DC��"��; #= +EGE��0$ 4��.4�# I1#%4 � �� 4�# ��E #%�/ 4��*� � *2323� � �� 4�# +�;(�04 =^ �*��# !14*�43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�C ; #���0�4/ *�"! 4�#�I1#%4 4� 4 +�# 2J�%���c0 # 2 2 $ 2 4�#A� 4� 4 �"2 0 � ��2 4�# +� *!�+ ���*4/ 4�# +;(�04 ��# 2FE #A�%4 4�� 4�#��*���&L��"!� ��12 $ 2 4�#A�-� P �#���E #%�/ 4��*��2 � �*�3��# 2FE ��!�+��"!GL 4�� ��&��E ��2323�c0��"#&^ �*��# !14*�43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2 E���� / �"+�#Q ��# E���# 23# !14/ 4��"��!-��� 4�#:L*�����SE�� ����^ �*��# !14*� 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2 �

� #A�< ���23#�4�#�2FE� �� # ��� I1#%4�2 �"2 �"!vU !��04�# H�+��&� # !�23�"��!� ��!C*G �� *!14�G� � #A�/� *!��&� 2\E���� / �"+�# 2E�1$ 23�&�< ���� ��!14�# ' 4�2��)�*�* ���G�/ ;(�"+�#%���/ *!GL�# ��� ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2�4� *!�+�� # 2_�A�� *2323�&�< ��GE�1$ 23�&� 2 �P ��"2 ;(�"+�# �/ *!GL�#:�� +I1# 2 �2 4��+ $ ���TE ��2323�c0��"# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2=; �*�34D; ��&�"#*�

� ��� � �S�S�CX*�g��� ��S��� R �^ #%4,/ 2��"� ��IW 4 4�#Q; $-�"!R; ��&�/$��&L� H�+��&� # !�23�"��!� �� ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2 �< *!@ ���"23# �"!-4�# 23�&� HE��"# 2 4�G �� *!14�G� �< *23#�C 4� 4 ���4 23�"!GL��"# 2FE �"! H � #%���WE� �34��&�A�"#*� P �# ! 4�#�I1#%4 � �� �< *!@0 # ��# ESH��# 23# !14�# +f0 $� �; /1# �.��!G�%4��"��! >��TB B�� � � �� �Uh.� ; 2J�SEGE ��23#U; #�� /1#� ��# E���# 23# !14/ 4��"��! �����23��� #QL*�����SEq# �"! �*��+��"!� �3$-4 ��# # H�+��&� # !�23�"��!� �� 2FE� �� # � ( � P � 4.�"2AC 4�� #%/1#%�3$�% 5#d; #� /1#Q �� +EGE �"!GL � ( E � (

�"E � B + >D%SB ��+ > I �&O�BP � #< ��/�����4�# 23# �� +EGE �"!GL�2 4�#%��#=� �*�3��# 2FE ��!�+�2* �� +EGE �"!GL ��!�4�# 2FE� �� # ����; /1# �.��!G�%4��"��!�2B

E B����>D%SB ; �#%��# >�� B B >��TB�< � + >D% K�M B � � + > I � 8 B

P �# ��E #%�/ 4��*��2 �� �)�*�� ��# E���# 23# !14/ 4��"��!-���T#$B����>D%SB ���>D(AB � >��TB <

����>D(AB � > + >D% K�M B �TB

< � + >D( K�M B S+ >D% K�M B � �

< � + >D( K�M % K�M B � �

< � + >J>D%2(AB K�M B � �

<����>D%2(AB � >��TBy+

> I � A B

h.�*4��&� #.4�# ; $ �"!�; ��&�/ 4�#1 +EGE� ��# !14�0$�L*�/ 4���04�����2 �"!143��� +G�G�%4��"��! ��� 4�#��"!1/1#%��23# �"! > I � 8 B# !�2J� ��# 2(4� 4 4�# ��E #%�/ 4��*��2 �� E���� / �"+�#1 ��# E���# 23# !14/ 4��"��! �

o �p��!q�Tr R�� ���� ! � 8 ; # 2 4��+��"# + 4�#(��# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� ��� �"!�+G�G� # + �"! 4�# 2FE� �� # ��� �.��!G�%4��"��!�2 ��! 4�#E��� *!�# 4� 4 ��#:G �� *+ �/ 4��&� �"! 4�#1� � �*��+��"!� 4�# 2 �

o �p��!q�Tr R�� �xwk �SEGE ��23#�; #�� /1#\ *! �"!�2J�G�� 4��"!GL 2FE��#%��#� *!�+ 4� 4 �04�2 2J� ���g �� #�0 #< ��2 #A�"#A�%43���&���/� �L�#��� +�# !�23�045$4> �v'��KB � P �# !( *� 4�#%�=; #:� /1# ���*4/ 4�# + 4�# 2FE��#%��# 4 �����GL�R *!GL��"#�� � +0 ��� 44�#� ' �"2 ��4C 4�# �/� �L�#�+�# !�23�045$ ��! 4�#�2FE��#%��#U� *2Q !�# ; �.��!G�%4��"��!� ����)�*�� > �v'��KB �k9E #A� ��U��< ��&�0$

> �v'��KBT<����> �� ',t � � BA> �v'��KB � + > I � I B

Page 21: Group Theory Lecture Notes James Binney

� < � a4]����23S�[#&% 1�]�E+, �/ 9/ Z5E'�.�/, � �

k �"!G� # ��> �� ',t � � BV< � K�M > ��&'�� � B C 4�# �"!1/1#%��23#\ ���"23# 2 !� 4� �/ ��&�0$ �"! 4��"21E�1$ 23�&�< ����&�&�&��2 H43�/ 4��"��! �k 4/ �34��"!GL � ����� *!1$R�/� �L�# +�# !�23�045$ _C�; #Q�< *!(L�# !�#%�/ 4�#� ���# E���# 23# !14/ 4��"��!���� �@> A B 0 $���*4/ 4��"!GL���� �(2FE��#%��# #%/1#%�3$�; ��&�/W; $1� P �#���# E���# 23# !14/ 4��"��!RL�# !�#%�/ 4�# +�;(�&�&�K0 #?U !��04�# H+��&� # !�23�"��!� �� ��!G�0$ �"� 4�# �"!��04��� ��4�/� �L�# +�# !�23�045$ �"2 2FE #A� �� �� �"! 4� 4 *!1$ +��"2 43���c0�� 4��"��!; # ��0�4/ *�"!�0 $ ���*4/ 4��"!GL 4�#�2FE��#%��#1�< *!\0 #�# ' E���# 2323# +( *2= ��"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��! ���SMF��2 4 �)# ; 0� *23�&� +��"2 43���c0�� 4��"��!�2 �b> & �"#< ��0$DC R��!��"�)�*�� +��"2 43���c0�� 4��"��! 43���0/ �� ��&�0$ 2 4��"2FU # 2 4��"2� ��!�+��04��"��! �7B

� �xw , ��!5!6� X*�����f��� � R2� �v�L�Tr R �h.� ; � ��!�23�"+�#%� 23��� #���0 23#%�3/� +0��"# � ; ��&�/-�"2 !�#A� # 232 ���&�0$ 4�# 2 �� #��)�*� �2 $ 2 4�#A� +�# 2J�%���c0 # +0 $ � �� *!�+ �)�*� 4�#3- ���*4/ 4�# +0/ 2 $ 2 4�#A� +�# 2J�%���c0 # +b0 $ � � �� CT; �#%��# � < ��>D%SB��"2� 45$ E �&�< ��� #A��0 #%� ��� 23��� # ��# E���# 23# !14/ 4��"��!����_ �L*�����SE6# �c^ #%4 4�#QI1#%4�2 � � � �)�*�� �� ���UE��"#%4�# 23#%4.���# �&L�# !SI1#%4�2(��� � � P �# !R��!�+�#%�.��� � 1$ E �*4�# 23�"2 ��#ALD ��+��"!GL �

� � � � < � � � � � � � >%� � � � BT< � � >%� � � � BT< � � � � � + > I ����B

k �"!G� # 4�#�23#%4 � � � � ���"2:� ���UE��"#%4�#�C �04 �)���&�"� ;(2.4� 4 � *!�+ � � ������� 4�#CB � � ' ��S<iu � � �����> I ����B��04� ��"23� �)���&�"� ;(2 4� 4 � � ' ��&<�u � � � � *!�+�� � � � 0 �*4 $ �"#A�"+ /� ��&��# � � ��!b R� #< �H2J� ��#A� # !14 ��� � �T� ! �*4�#%� ; �*��+�2AC��"!1/� ���� *!G� #����T *! ��0 23#%�3/� +0��"# � ��!�+�#%�:# �"2 #�G ���0/� ��"# !14 4��� � ' ���<>u��)�*�� *!1$ ��# E � ���T# �

Z # � /1# 23# # ! 4�# �&�UE �*�34/ *!G� # ��� 2J�S0SH�2FE� �� # 2�4� 4_ ��# �"!1/� ���� *!14_��!�+�#%��4�# ��E #%�/ 4��"��!�2���: fL*�����SE � P �#�# 2323# !G� # ����k �/9� �,/ 2��"#A���� *2 �"2 4�# �"+�#< 4� 4�; �# ! *!1$ ��E #%�/ 4��*� �� ������� 4�# 2�;(�041 ��&� 4�#���E #%�/ 4��*��2 ��>D%SB ��� ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�C 4�#�2J�S0SH�2FE� �� # ��> ��B� *2323� � �� 4�# +;(�04 #< ��/-# �&L�# ! H /� ��&��# � ��� � ����2 4 0 # �"!1/� ���� *!14=��!�+�#%�(4�#:L*�����SE( *!�+ 4�#%��# �)�*��#:E���� / �"+�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!-���T#$B � >%� � � � BT<���> � � � � B�< �G>%� � � � By+ > I � �DB

� � 4�# +��&� # !�23�"��!� ��"�045$ +��&���\> ��B � �"2QL*��#< 4�#%� 4� *!b��!��045$DC � �"2��A�"#< ��0$ -+�#AL�# !�#%�/ 4�#

# �&L�# ! H /� ��&��#*� & � 4�# ! ��> ��B E���� / �"+�# 2= *! �0�3��# E ��� #*C�23��+��&����> ��B � < � � �)�*� 23��� # � �_e.# !G� # $I !�� ; �"# +GL�# ��� 4�# �0�3��# E 2����:# �"#< *+�2�4��� $I !�� ; �"# +GL�# ���(4�#\E ��2323�c0��"# +�#AL�# !�#%�/ �� �"# 2 ���� / 2 # �&L�# ! H /� ��&��# 2 �6Z �# ! +��&�

���> ��B � �< �

��)�*��23��� # � C���!�# 2 $ 2 4� 4 4�# +�#AL�# !�#%�/ ��%$

�"2�-7 ��A� �"+�# !14/ ��D/"��� ! ��#< ��"�045$ 4��"2 �"2 ��� 4�# ! 4�# 23�&L�!� ��(4� 4 � � ������� 4�# 2�;(�04 ��E #%�/ 4��*��2��# E���# 23# !14��"!GL� �0 �&L�L�#%�=L*�����SE�# ��� ; ��&�/3# �"2 � #%��#A�0$� 2J�S0SH L*�����SE�C3 *!�+ 4� 4(+��&�

���> ��B �

#�G �� ��"2 4�# +��&� # !�23�"��!� ��"�045$ ��� ��!�# ��� 4�# �0�3��# E 2(���S# ����*� # ' ��UE��"#�C 4�# 4��*4/ ��K *!GL��G�� � � ��� # !14�G� ��E #%�/ 4��*��� � <�� �

� � � �� � � �� � ������� 4�# 2;(�04 #%/1#%�3$ ��> ���'��DB C 23�"!G� # 4"; � 2 $ 2 4�#A� 2 ; ��&�/f ��#��"+�# !14��&�< ����"!� ��&� ��# 2FE #A�%4�2 # ' � # E�4 4�# �0��*���"# !14/ 4��"��!f�A�"#< ��0$ � /1# 4�# 2 �� #�4��*4/ ��4 *!GL��G�� ��� ��� # !14�G�-�.Z # 2J� ��&��23# # 4� 4 �@> A B� *2 �0�3��# E 2 ��� +��&� # !�23�"��! 8 ¢ � O��)�*�=¢3< uv' M� '<O]',+,+,+7CT *!�+ 4��"21�� +I1# 2��04 !� 4� �/ ���4� 4 4�## �&L�# ! H /� ��&��# 2$¢3> ¢ � O�B��/ � ����S� ��#�> 8 ¢ � O�B H��)���"+ +�#AL�# !�#%�/ 4�#*�

o �p��!q�Tr R�� ���^ #%4,/ 2 L���0� ��I 4�� ��� �=�/� �L�# + 2FE��#%��#1 *!�+ 2J�SEGE ��23#�4� 4 ��� � �"!��04��� ��3�/� �L�# +�# !�23�045$

Page 22: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ � � � ��� �&#.- ZS�[#.]+%S,1�"] �%3�Z�%��-3+� ���A-J)�Z�%G#.-/,

�< *!\0 #�# ' E� *!�+�# +R *2 ��"�"!�#< � 2J�SE #%�JE ��23�04��"��! ��� 2FE��#%���&�< ���� �� ��!��&� 2�� 9 ��� 4�#�2 �� #�*��+�#%� � � P �# !-� ������^ #AL�# !�+ ��#C/ 2 #�G �� 4��"��!�; #:I !�� ; 4� 4

� � B t$� O23�"! �

�� �

� 23�"! � �� � � �O

23�"! � �� �� � � � �<��J> � � O�B 0+ > I ����B

� � 4�0 $fL*���"!�+��"!GL� <; $ 4�� � �*��+��"!� 4�#��/� *!GL�# 2(> �v'��KB�E > � D'�� �Bb< ��> �v'��KB ; #\�< *!2J�� ; 4� 4 4�#���E #%�/ 4��*� � � �"� ��I 2 4�#�2 �� # �"! *!1$�2 $ 2 4�#A� ����2FE��#%���&�< �� E ���� ��2 �hk ��O� �<��O� �< �J> � � O�B R *!�+ �04��)���&�"� ;(2�4� 4 ��< *!� ��"23�:0 #(# ' E� *!�+�# + �"!�4�#%�� 2���� 4�## �&L�# !��.��!G�%4��"��!�2 ��� �O�:;(�04 # �&L�# !1/� ��&��# �J> � � O�B � P � 4��"2AC �04.�)���&�"� ;(2 4� 4 �"2 ��"23�\ �"�"!�#< � 2J�SE #%�JE ��23�04��"��! ��� 4�#�� 9 �)�*�$U ' # + � � P ��"2 +�#A� ��!�2 43�/ 4�# 2�4� 4 �"! 4��"2*�< *23# 4�#��# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� �@> A B:L�# !�#%�/ 4�# + 0 $ ��� ���/� �L�# + 2FE��#%��# �"2\> 8 � � O�B H�+��&� # !�23�"��!� �� �Z # 2J� ��&� 23# # 4� 4(�04 �"2 ��%4�� ��&�0$� *! �0�3��# E �

o � R2� ���?� R��y�����*YP �# �0�3��# E ��0�4/ *�"!�# + ; �# ! ��< O �"2�#�G ���0/� ��"# !14�4���4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!dE���� / �"+�# + 0 $�*��+��"!� �3$ A H�+��&� # !�23�"��!� �� /1#A�%4��*��2 � k �� ; 4��"2 *2 �)���&�"� ;(2BT; ���04�#�� MgM < > � � 8 B 23�"! �*#� �3C� M � < � � ��2 �SC�� MdK�M < tQ> � � 8 B 23�"! �*#QK�� ��C ; �#%��# �kB�� A�� I � � k �� ; 4� 4�4�#& �34�# 23�� *!f� � �*��+��"!� 4�# 2�>�`�'���' � B ��� 4�#UE ���"!14�� ��! 4�#���!��04 2FE��#%��# 4� 4 ��# E���# 23# !14�2> �v'��KB ��# �� `

�< � K�M �

�� � MgM� M �� MdK�M

�; �#%��# � B �� M� � u K�M� �K��� � u K��� �u O u

�+ > I � �DB

N�#%���"� $ 4� 4�� �"2���!��04/ �3$1� ^ #%4�>�` D'���' � .B 0 #-4�#(� � �*��+��"!� 4�# 2 ���.4�#RE ���"!14�> �v'��KB;(�04 ��# 2FE #A�%4 4�� ���*4/ 4�# +\ ' # 2ACS *!�+�> � �'�� .B 0 # 4�# � �*�3��# 2FE ��!�+��"!GL�E ���� � *!GL��"# 2 � P �# !� �< � �_C�; �#%��# � �"2 ���*4/ 4��"��!��� 43��� ' � k �� ; 4� 4�� �� MgM�� M ��� MdK�M

�< � � � �

�� � MgM� M �� MdK�M

�' > I ���DB

; �#%��#��� MgM B � MgM > � �'�� .B #%4�*�@e.# !G� # 2J�� ; 4� 4 �"� ; # # ' E� *!�+ 4�#\�/� �L�# +�# !�23�045$4> �v'��KB *2

4> �v'��KBT< M# � K�M

� M > �v'��KBy' > I �&Omu� DB

; #1� /1# 4� 4 > � '�� B < M#

� K�M � M > � '�� By' > I �&Omu+03B

; �#%��# � B #

>��

� � � �RB �|< #>�� � � � � B �

< #>� � � �$B � '

> I �&Omu�� B

; �#%��# � B � � �"2 ��!��04/ �3$1�

Page 23: Group Theory Lecture Notes James Binney

� <���� ��%�Z+��#.- Z'�3,"���������! #.�/, � �� ��� � � ����!5���]��r �H� !5! R X � � R �P �#�+ $ !� �� �&� 2����* ;G �� *!14�G� H � #A�/� *!��&�< �� 2 $ 2 4�#A� �"2�# !G� � +�# + �"! �04�2 e �� �&�04���!��� *!�� �J� !E� �34��&�A�G�� �<C + $ !� �� �&�< �� 2 $S��� #%43���"# 2���� 4�# 2 $ 2 4�#A� ��# # !G� � +�# + �"!�� � ���*� # ' ��UE��"# #A�UE�45$2FE� �� #.�"240 #A�"�"#%/1# + 4��Q0 # �"23�*43����E �&��C 23�� *! �"23���� 4�# +� 4���� �< *!�0 #(���*4/ 4�# + 4 �����GL�\ *!1$� *!GL��"#;(�04���� 41�/� *!GL��"!GL-�04�2�# !�#%�L*$1� & ��!�23#�G ��# !14�0$DC�� � ������� 4�# 2�;(�04 4�# e �� �&�04���!��� *!�� ��� *!1$ �"23���� 4�# + 2 $ 2 4�#A�37 � ��' � �L<>u �

k �\�"��!GL\ *2 ; #< +I-�"!14�#%�/ ��%4��"��!�2 ��# !��*4.�"!RE��� $DC�4�#�� �0�3���*� 2 4/ 4�# � � � � ���_ *!1$ # �&L�# ! H2 4/ 4�# � � � ����� ;(�&�&�� ��"23� 0 #1 *!-# �&L�# ! H[I1#%4(�����bC�23� � ��' � �L<>u �� $ 4�#� �L��G� # !14�2 ��� 4�#\�� *2 4 2J�S0 23#A�%4��"��!�C�4�# # �&L�# ! H /� ��&��# 2����� ��#\�"�� +0��"# 4��(0 #

+�#AL�# !�#%�/ 4�# ;(�04 +�#AL�# !�#%�/ ��%$ #�G �� �� 4�� 4�#�+��&� # !�23�"��!� ��"�045$�����4�#��0�3��# E 2 ��� �@> A B� *!�+� �*�� � � ���*� # ' ��UE��"#�C14�# # !�#%�L*$��"#%/1#A�"2 ��� �"23���� 4�# +\ 4���� 24 ��# ; #A�&��I !�� ;(! 4��10 # > 8 ¢ � O�B H��)���"++�#AL�# !�#%�/ 4�#*� ( � $ � ��!143�/ *2 4<C14�#(�0�3��# E 2���� 4�# " 0 #A�"�� *!UL*�����SEl� � ��# ��&��O H�+��&� # !�23�"��!� ��!C *!�+4��"2��"2���#�� #A�%4�# + �"! 4�#-# !�#%�L*$ �"#%/1#A�"2���� E� �34��&�A�"# 2�4� 4�� � /1# �"! #%/1# ! ��!�# H�+��&� # !�23�"��!� ��E �*4�# !14��� ��"2=0 # �"!GL !���! H�+�#AL�# !�#%�/ 4�#�> 4�#QL*������!�+ 2 4/ 4�# �"2 L�# !�#%�/ ��&�0$ ��� #%/1# ! H[E� ���045$�B � e.#%��#C/ 2 �"# 232 43���0/ �� ��� +EGE��"�&�< 4��"��!+ � R � �*R ! �� � �hrg�p�d� �

VX)��/ �Q#c, Z�-A]��f� �.���"� , ���=]+^�% Zn/�� ^�3�%�-��[#.]+% >��TB�]+^ Z���Z+ <�[#.-��.�Q]+^�%_����� � `G� ��%��A`�� %��/ M1+�#&%RZ�� �/ #.] ` #.-~� ] �"� %��[#�Z'� �\>��TB�% )G#.-J)(Z'���K,/ZS�[#c,^ �

>��TB�< # � �� � >��at5�3By' 5 � < ��� 8% )��/ �=�(#c, Z�%+�;��ZS�J�[#.-A��/��A-��"]� Z�%�`\�f#c,=, ]�����/��A-��"]� 9<> � ���%? Y P �#WE� �34��&�A�"#C/ 2Ue �� �&�04���!��� *! �"2 �"!1/� ���� *!14���!�+�#%� 4�# " 0 #A�"�� *!dL*�����SE�# ���.+��"2 H

E��� �� #A� # !14�2:0 $ �� 434��&� # /1#A�%4��*��2 ��e.# !G� #�4�#�# �&L�# ! H��.��!G�%4��"��!�2 ��� �L��0/1# ! # !�#%�L*$@;(�&�&���)�*�� ��# E ���* *! " 0 #A�"�� *!�L*�����SE �|k �"!G� #�4�#��0�3��# E 2 ���O# ��#WO H�+��&� # !�23�"��!� ��!C�; #U�< *!��/�� ��23#� � ���UE��"#%4�#�23#%4 ��� # !�#%�L*$ # �&L�# ! H��.��!G�%4��"��!�2 4� 4 #< ��/ �)�*�� 2 4�#U0� *23�"2 �)�*�� �O H�+��&� # !�23�"��!� ���0�3��# E ��� # � ^ #%4 ��>��3B_0 #.4�# ��!��04/ �3$ ��E #%�/ 4��*�= *2323� � �� 4�# +�;(�04 +��"2FE��� �� #A� # !14 0 $� ��� 434��&� #/1#A�%4��*�1� � P �# !W0 $ 4�#UO H�+��&� # !�23�"��!� ��"�045$ ��� 4�# �0�3��# EW; #1� /1#

>��at5�3B�<���>��3B � >��TB<�� >��3B >��TBy'

> I �&O 8 B

; �#%��#�� �"2�23��� # !9�G��0 #%� � ���*��# � /1#%�<C*0 $ 4�#R��!��04/ ���045$ ��� �1C� ����2 4U0 # ��� 4�# �)�*����< #� � � � ����� $�� ���UE ����!�+��"!GL�+��"2FE��� �� #A� # !14�2=0 $��( *!�+a�b; # 23# # 4� 4

�X>�� � �_B�< �X>��3B � �X>��_By+ > I �&O A B

k ��X>��3B <[tQ>��

�%� � �

�%� � �

�%�B ; �#%��# ��<>%

�R� � %

�R� � %

�R�

> I �&O I B# ' E���# 2323# 2a� *2W b�"�"!�#< ��� ����0 �"!� 4��"��! ����4�#$0� *23�&�@�� 434��&� #�+��"2FE��� �� #A� # !14�2 R � � Z ���04��"!GL��< � � �C� � R � ; �#%��# � R � B R

�� R��� > R � R � � R � B #%4�*�&C�� ���UE��"#%4�# 2 4�# E���� ����� H( IK|SaSLN[ h J`\�� e J`\SJMLNh |Cr JMm]J`r e XYLNJ�� X _M_MZ aSJ`\�ORX r r |��]aSJMh J`\SJMLRXYONJxtUJ`_MX Wge JKQ�|SaSLN[ h J`\�� e���Z e X _ORWgX r r |~Z \�mYXYLRZ X \�OWg\gaSJML������ �qLRXYORQSJML�ORQgX \�!NWge O#"$�&%'�7i

Page 24: Group Theory Lecture Notes James Binney

��� a_)�Z�� �"�/ � � � ��� �&#.- ZS�[#.]+%S,1�"] �%3�Z�%��-3+� ���A-J)�Z�%G#.-/,

� �"� �/0/ 2 4�# �*��#A� *232J� ��# 2 ��2 4� 4=; #:�< *!W�� +0 #A� #< ��/ # !�#%�L*$ # �&L�# !��.��!G�%4��"��!-���X �E #%��� H� +��&� E �*4�# !14��� ���0 $ 4�# /1#A�%4��*� � 4� 4 �/� �/ ��%4�#%����� # 2 �04�2 �0�3��# E ��� 4�# E �*4�# !14��� ��D/ 2�43�/ *!�2J�� 4��"��!L*�����SE ���54 � *2 ��23# �.�G�T� �*�����&�� �3$, � � ��r�r�� � �

VX)�� % Zn/�� ^�3�%�-��[#.]+% >��TB=]+^TZ{��Z+ <�[#.-��.��]+^#%_����� � `G� ��%��A`R� %��/ M1+�R#&%WZ{� �/ #.] ` #.-'� ] �"� %��[#�Z'��\Z � ES�>%_ #!�J�"� %

>��TB�< # � �� � >��TB % )��/ � >��TB < >��at5�3B 5 � < ����8% #!�[)��$Z�%+� ��ZS�J�[#.-A�f/��A-��"]� 9<> � ���%? Y 8�#HU !�# >��TB B #QK�� �� � >��TB � P �# !

>��3tq�3B�< # � �� � �CK�� � >���t5�3By+

Z �04f> I �&O�O�B�4�# � � � 2 � �&��� # +��� 4�#A�0$���# +G�G� # 2(4�� >��TB � Ho �p��!q�Tr R�� ���

P �# 2 4/ 4��"��!� �3$�2 4/ 4�# 2 ���� *! �"23���� 4�# +� 4���� �< *!�0 #(4/ +I1# !�4��10 # 2 4/ 4�# 2����K; #A�&��+�#HU !�# +4��*4/ ��� *!GL��G�� �=� ��� # !14�G�i¢�C� *!�+ 4�# 2 4/ 4�# 2 ���X L��0/1# ! # !�#%�L*$ � ��2J�� ��&�0$�� ��!�2 4��04� 4�#0� *23�"2 /1#A�%4��*��2 �)�*�� *! �0�3��# E�� � � � ��� �@> A B �" ! 4������"!d @�%�3$ 2 4/ �� # ' E #%���"# !G� # 2� *! #A�"#A�%43����2 4/ 4��&�.U #A�"+ 4� 4U�� ��I 2 4�# �.�G�&���@> A B2 $S��� #%43�3$ ��� #A�UE�45$ 2FE� �� #C7 4�#?U #A�"+0/ 2 ���*4/ 4��"��!� �� 2 $S��� #%43�3$�L*�����SE-�"2XMF��2 4(4�# E ���"!14L*�����SE # ��� 4�# �� 434��&� #�C ; ��&�/ �"2R U !��04�# H�+��&� # !�23�"��!� �� 2J�S0SH L*�����SE ��� �@> A B � P �#� *!�+��.�G�����_�� 43���&� # 2.�"!�� � � � 4� 4 � �*�3��# 2FE ��!�+�4�� #A�"#A� # !14�2���� �@> A B 4� 4: ��#� ��"23� �"!#d�A�"#< ��0$�E���� / �"+�#� ���# E���# 23# !14/ 4��"��!�����# � P ��"2�� � � ����# E���# 23# !14/ 4��"��!�����# �"2 ��!G�"�cI1#A�0$4���0 #� *!��0�3��# E$0 #A�< ���23# 4�#%��#� ��# 23���� *!1$-�)# ; #%��#A�"#A� # !14�2.�"!6# 4� *!��"! �@> A B � �����; ��&�/�4�� +�#%���0/1# 4�# ��E #%�/ 4��*��2_; #(!�# # + �"��; # ��# 4�� 0 # +0��"# 4���4� ��!� *!1$ L��0/1# !�/1#A�%4��*��"!14��� *!1$ �*4�#%�<C3 *2 ��#�G ���0��# +W0 $ 4�# +�#HU !��04��"��! ��� *! �0�3��# E �� � 4�# 2J��"� 4�2 �"! 4�#� 4����3/ 2 # !�#%�L*$ 4� 4 ��#�E���� +G�G� # + 0 $ 4�# �"!143��� +G�G�%4��"��! ��� 4�#�%�3$ 2 4/ ��SU #A�"+� ��# 2J�� ��&�X� ���UE� ��# +(;(�04�4�# +�� � #%��# !G� # 2 �"! # !�#%�L*$$0 #%4"; # # ! 2 4/ 4�# 2����4�# ��!SE #%�34� �J0 # +R 4���� ��� +�� � #%��# !14&¢�C 4�# 23#�2J��"� 4�2 �� $U0 # �< ��&�A�G�� 4�# +�0 $�U���2 4FH��*��+�#%�<C+�#AL�# !�#%�/ 4�#:E #%�34� �J0� 4��"��! 4�# �*�3$���23�"!GL���!G�0$ 4�# 2 4/ 4�# 2 ��� 23��� # L��0/1# !|¢ � P � 4(�"2AC�4�� .��#< *23��!� +0��"# +EGE���� ' �&�� 4��"��!�C 4�#%��#= ��# 8 ¢ � O # �&L�# ! H�2 4/ 4�# 2 � '� � ��� 4�#=e �� �&�04���!��� *!4� 4 �"!G�A�&��+�# 2�4�# �%�3$ 2 4/ ���U #A�"+@; ��&�/ ��#��"�"!�#< �:� ����0 �"!� 4��"��!�2.����4�# 8 ¢ � O�2 4/ 4�# 2

� �G�C' � � ���X��!SE #%�34� �J0 # + # !�#%�L*$ �G�]B

� '� � <�# � K �

% 4 � �G�C' � � + > I �&O�DB

h.� ; ; # I !�� ; 4� 4 �"�� *!1$UE #%�34� �J0 # + # !�#%�L*$ � 4 �"2 +�#AL�# !�#%�/ 4�#�C 4�# # �&L�# ! H[I1#%4�2 > I �&O�DB *2323� � �� 4�# + ;(�04 �04 ;(�&�&� 2J�SEGE �*�34� ���# E���# 23# !14/ 4��"��! >! *!�+ E�����0� +0��0$ *! �0�3��# E3B ���(4�#E ���"!14QL*�����SE # �.k � 4�#lG ��# 2 4��"��! �"2AC ; � 4 �0�3��# E 2 ���O# �< *! ; #U� ��!�2 43��G�%4Q0 $ 4/ +I �"!GL�"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��!�2 ��� 4�#:0� *23�"2 /1#A�%4��*��2 ��� 4�#�� � � ����# E���# 23# !14/ 4��"��!-���T#

Page 25: Group Theory Lecture Notes James Binney

� <�� V"%_] � ��Z+ <�[#.-��.� ,<� ZS�"�/,�� a �.� E+, -J)�� � ]� `G]+%@-A] ����- #.� %��!, � �� � 4 4��"2 �"2QE���#A� �"23#A�0$ 4�#;G ��# 2 4��"��!f; #\ *+�+ ��# 2323# + �"! � A B ; � 4 �0�3��# E 2 +�� # 2� (L��0/1# !��# E���# 23# !14/ 4��"��!W� ��!14/ *�"!= P �#: *!�2F; #%� �"�"# 2 �"! 4�# �/� �/ ��%4�#%� 4/ +0��"#.����# � ^ #%4,/ 2= *232J�G� #4� 4�4�#��%�3$ 2 4/ �� �"2 \�A�S0 �&����!�#*� P �# !q# ;(�&�&�T0 # 4�# � �%4/ ��# + �/ ��XL*�����SE ����# ' ��UE��"#�SCG; ���23#1�/� �/ ��%4�#%�(4/ +0��"# �"2 4��"2B

� � ( A" � � � � �� M O O O O O� � O O O t:O t:O� 8 t:O 8 u u� M A u t:O t:O O� � A u t:O O t:O

> I �&O ��B

& � �/ ��%4�#%�(4/ +0��"# ��� � *2 ��!�# HC 4"; �+H* *!�+ 4 ��# # H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E 2 � Z ���04��"!GL

� � � � < �#�� � � �� � �� � ' > I �&O�DB

*!�+R��23�"!GL�4�# 2 4/ *!�+� ��+-�*�34���L���!� ��"�045$ ��#A�� 4��"��! > A �&O�O�B CS; #VU !�+

� � � �� < ON #� ����� �������� ����

E � � �� � � > � B � � � � > � By+ > I �&O �DB

P ��� ���UE��"#%4�#�4�# �< ��&�A�G�� 4��"��!Q; # !�# # + 4�� I !�� ; 4�# �/� �/ ��%4�#%��2 ��� #A�"#A� # !14�2 ��� �"! 4�#2FE �"! H�¢ ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� �@> A B �S� ! �A� ; #(2J� ��&��23# # 4� 4* ��&� ���*4/ 4��"��!�2 4 �����GL�� *!GL��"# �� /1#:�/� �/ ��%4�#%� 23�"! > ¢ � M� B � � 23�"! M� � � P ��"2 # !� +0��"# 2 ��2 4���2J�� ; > 23# #:2 ' #%�� �"23# O 8 B C��)�*�# ' ��UE��"#�C 4� 4 4�# 2FE �"! H A ��# E���# 23# !14/ 4��"��! +�#A� ���UE ��23# 2���!�+�#%� �"!14�� � � �� � M �� � � C *!�+ 4�#@� H��)���"+ +�#AL�# !�#%�/ ��%$ ��� *! �"23���� 4�# + 2FE �"! H A 4���� > �TH �"#%/1#A���"! �"+��"�*4��&��2FE #A�%43���+H2J� ��E �&�(!��*4/ 4��"��!�B 2J����G�"+U0 #(2FE��"�0440 $U 1�A�S0 �&� �%�3$ 2 4/ ���U #A�"+ �"!14��Q 23�"!GL��"#%44�"#%/1#A�� *!�+�4"; �43���cE��"#%4�2 �" �%4�� ��&�0$ 4�# �� *2 4 2 4/ 4�#A� # !14 �"2�4�� � 2F; # # E �"!GL 4��\0 # 43���#�23�"!G� #��041 *232J�G� # 2 4� 4�4�#

2FE��"�0434��"!GL�24E���� +G�G� # +\0 $�4�#��%�3$ 2 4/ ��LU #A�"+� ��# 2J�� ��&��� ���UE� ��# +�;(�04 4�#.# !�#%�L*$ +�� � #%��# !G� # 20 #%4"; # # ! 2 4/ 4�# 2 ��� +�� � #%��# !14 4��*4/ �� *!GL��G�� �Q� ��� # !14�G��¢ � P ��"21� ��!�+��04��"��! �"2 2 4��"2FU # + �"!4�#:�< *23# ��� 4�#��/ ��# H�#< �34�2ACG; ��&�/R� /1# �"!G� ���UE��"#%4�# I � 2J�#A�&�"2 0�� ���"# +-�"!�23�"+�#1� ���UE��"#%4�# � � *!�+;� � 2J�#A�&�"2ACG0�� 4 �"!W� ��2 4=�< *23# 2(�04(+�� # 2(!��*4 ����"+ �

� ! � ��2 4��< *23# 2 4�#R0 # 2 4 2J�/�#A� # �"2 4� 4 �"! ; ��&�/ ��!�#$ *232J�G� # 2 4� 4 #A�"#A�%43����2 4/ 4��&��"!14�#%�/ ��%4��"��!�240 #%4"; # # ! #A�"#A�%43����!�2*�"� �I�4�# �0� �*�J0 �04/ ��� *!GL��G�� � � ��� # !14/ .4���L�#%4�#%� 23� 4� 4�4�#2 $ 2 4�#A� �"2��/� �/ ��%4�#%����� # + 0 $ �; #A�&� +�#HU !�# + 4��*4/ ��(�*�J0 �04/ �� *!GL��G�� �\� ��� # !14�G� �(� P �#�%�3$ 2 4/ ��SU #A�"+�4�# ! +��0/ �"+�# 2�4�#W> 8 � � O�B H��)���"+ +�#AL�# !�#%�/ 4�#�# !�#%�L*$$�"#%/1#A�_ *2323� � �� 4�# +@;(�04 ��"!14�� ���G�04��cE��"#%4�2AC� *!�+�U !� ��&�0$ 2FE �"! H��*�J0 �04 � ���SE��"�"!GL�2FE��"�04�2 �SE 4�# 23# ���G�04��cE��"#%4�2 �"!14����"!�+��0/ �"+G�� ��2 4/ 4�# 2 �

o � R2� ���?� R��y��w%�*Yk �� ; 4� 4 4�#d�/� �/ ��%4�#%��2 ��� 4�# �A�� *2323# 2 ���0 �"! 4�# � � ( � �0�3��# E ��� �@> A B� ��#> �2'<O]',t:O]',t:O]',t:O�B �"! 4�# �*��+�#%�UL��0/1# ! �"! 4�#��/� �/ ��%4�#%��4/ +0��"#W +0 � /1#*�fe.# !G� # /1#%���"� $4�# +�#A� ���UE ��23�04��"��! ��� � � ( � ��!�+�#%� L��0/1# ! �"!W2 ' ��UE��"# I �

Page 26: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ � � � ��� �&#.- ZS�[#.]+%S,1�"] �%3�Z�%��-3+� ���A-J)�Z�%G#.-/,

� ��� +�� � g�S� � X*����r R �HXm��X R � � , r R � �,�d��� � � �QP ��� ��� R�� ��� R � X��" 43���&�I-��� 4�# ! #A�UE��"� $1# + �"!(E�1$ 23�&� 2.�"2 4���0���#< +I$ 2 $ 2 4�#A� & +�� ;(!��"!14�� 4"; � 23�&�UE��"#%�.2J�S0SH2 $ 2 4�#A� 2AC " *!�+���C�; ���23# + $ !� �� �&� 2X�< *!�0 # # ' ��%4�0$ 23���0/1# +�CD *!�+ 4�# ! 4��.43��#< 4 4�# �*���&L��"!� ��2 $ 2 4�#A� *2 ��!�# �"!�; ��&�/ " *!�+�� �"!14�#%�/ ��%4 ; #< +IS�0$1��Z �# !�; # *+���E�4 4��"2 4/ ��IQ; # ��# E���# 23# !142 4/ 4�# 2 ��� & *2 � ���UE ����!�+�2 ��� 2 4/ 4�# 2 ��� " *!�+ �.�2^ #%4 4�#�I1#%4�2 � � 'g¡ � C � � 'j¢ � *!�+ ��# E���# 23# !142 4/ 4�# 2?¡ *!�+a¢ ��� " *!�+ �.� P �# ! � ����� 4�#�E���� +G�G�%4���G�"# �)�*�:� ����0 �"!��"!GL�E�����0� +0 �&�"�04��"# 2.�04�)���&�"� ;(2 4� 4 4�#:I1#%4�2

� ¡d'j¢ � B � � 'g¡ � � � 'j¢ � > I � 8 uDB��# E���# 23# !14 2 4/ 4�# 2 ��� 4�# # !14��0��# 2 $ 2 4�#A� & � ���*� # ' ��UE��"#�C " *!�+ � � �&L�14 0 �*4�0 #.#A�"#A�%43����!�2� � / �"!GL��"!R � # !143�/ �� & ���G�"����0�E �*4�# !14��� ��!C�23��4� 4 & �"2 � � +�#A� ���X �#A�"�&�G� 4����-�

h.� ; 2J�SEGE ��23# 4�# 23#%42� � � 'g¡ � ¡�< O]',+,+,+ �WE���� / �"+�# 2�4�# � �0�3��# E ���=#*C4; ��&�"# 4�# 23#%4� � � 'j¢ � ¢J< O]',+,+,+ � E���� / �"+�# 2 4�# � �0�3��# E ��� # � P �# ! �04 �"2 �A�"#< � 4� 4 ��!�+�#%�1# 4�# I1#%4�2 � ¡d'j¢ �43�/ *!�23�)�*�� �� ��!GL�2 4 4�#A� 23#A�0/1# 2 ��A� �*��+��"!GL�4�� 4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�� ���� � � B��>D%SB � ¡d'j¢ � <�� �� ��)4 >D%SB�� � � ��A9 >D%SB � � '� � � � ' � �

<�� ���� � �� � � � � 4 9 � >D%SB � � '� � � � ' � � +> I � 8 O�B

� ����� 4�#�4�# �*�3$ ��� � A ���\; #UI !�� ; 4� 4 4�#�+��0��#A�%4QE���� +G�G�%4 ��# E���# 23# !14/ 4��"��!b�< *! 0 #+�#A� ���UE ��23# + �"!14�� �0�3��# E 2 ����# � P � 4 �"2AC 4�#$�� 43���&� # 2 + ���� � ���< *! 0 #�23�&���G�04/ *!�# ����2J�0$��# +G�G� # + 4���0��"� �I +��� �L���!� ����)�*�� 0 $ 2J���04/ +0��"#U��!��04/ �3$ 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��! + ���� � �*E , � + ���� � � , � P ��"2 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��! �"2 ��A� ���UE��"�"2J�# +�0 $Q��23�"!GL: *2T0� *23�"2 /1#A�%4��*��2 �"! 4�# e.�&�c0 #%�342FE� �� #.��� & / 24I1#%4�24�"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��!�2���� 4�# I1#%4�2 � ¡d'j¢ � +�#HU !�# +\0 $(> I � 8 uDB � P �# !�# ; 0� *23�"2/1#A�%4��*��2 ��#

� � ' �y'� � <$# � � > � ' �y'��7 � ' � 'g¡d'j¢ B � � 'g¡ � � � 'j¢ � + > I � 8]8 B

P �#@I1#%4 � � ' �y'� � �"2 4�# � ��� 0� *23�"2 /1#A�%4��*�-��� 4�# � ��� � ��E $ ��� 4�#��0�3��# E ����# �"! 4�#

+�#A� ���UE ��23�04��"��! ��� � ���� � �3�:� !$� ��2 4 E��/ ��%4��&�< ��X +EGE��"�&�< 4��"��!�2AC 4�# +�#A� ���UE ��23�04��"��! +�� # 2.!��*4� ��!14/ *�"!1� �*��#�4� *! ��!�#4� ��E $ ���S *!1$���# E���# 23# !14/ 4��"��!�CD *!�+ 4�# ���� +0 #A���"2 �)�*��� ��&�0$ ��# +G��!�+� *!14 �e.� ; #%/1#%�<C #%/1# ! 4�# ! �04 23#%�3/1# 2�4�� �"!�+��&�< 4�# 4� 4 �04�2 I1#%4 �"2 ��!�#(4� 4 +�# 2J�%���c0 # 2 2 4/ 4�#(��� 4�## !14��0��# 2 $ 2 4�#A� & C��/ 4�#%� 4� *!-��� 4�#1� ���UE ��!�# !14(2 $ 2 4�#A� 2 " *!�+ �.�

P �#�!9�G��0 #%��2 >�' �y'��7 � ' � 'g¡d'j¢ B 4� 4 �)�*�� 4�#U�� 43��� ' , �< *!�0 #�+�# +G�G� # + � �����

I !�� ; �"# +GL�#�����4�#��0�3��# E 2 ���O# ��"��!�#�C 4� 4 �"2AC�;(�04���� 4 ��# �)#%��# !G� # 4�� 4�#�2FE #A� ��U�� 2 $ 2 4�#A� 2" C � *!�+ & > 23# # ��� �)�*��4��"2 �"!�4�#��< *23# # < �@> A BJB � P �#%$� ��#��< ��&�"# + & �"# 0 2J�/��G6��*��+���!� � #�� �"# !14�2 �WR�LX R�Y

P �#�!��*4/ 4��"��! ��23# +Q�#%��#��"2 !���! H�2 4/ *!�+� ��+ � P �#_� ��!1/1# !14��"��!� ��1!��*4/ 4��"��!��)�*� >�' �y'��7 � ' � 'g¡d'j¢ B

�"2 > � � ��y'g¡x¢ �SB*0�� 4 4��"2(23# #A� 2 4�����0 2J�A� ��# 4�# !� 4� �/ ���L*�����SE �"!GL���� 4�# �"!�+��&� # 2 �

o �p��!q�Tr R�� ��" 4"; �+H�#A�"#A�%43����!��"��!(� *2.�*�J0 �04/ ��X *!GL��G�� ��� ��� # !14�G� �T< O *!�+��"2 E ���� ����� # +�23� 4� 4 ��&� 4��"2 *!GL��G�� �_� ��� # !14�G� �"2TE� �/ ��&�"#A� 4�� 4�# � ' �"2 > � < O�B � & ! # !�#%�L�#%4��&� L*������!�+�2AC

Page 27: Group Theory Lecture Notes James Binney

� < � ��# 19%��/ ��U. -���Z+ <�=�[)��A]� �/� � ��04 �"2 4����GL�14(4� 4 ��!�# ��� 4�# �"��!0/ 2(#A�"#A�%43����!�2 �"2(�"!( �2 4/ 4�#:;(�04���< O� *!�+-4�# �*4�#%�� *2 �?< 8 � & !�#\;(�"2J�# 2 4��(I !�� ; 4�#�E�����0� +0 �&�"�045$ 4� 4 4�# �?< 8 #A�"#A�%43����! � *2 ��&��04�2 *!GL��G�� ��� ��� # !14�G� E� �/ ��&�"#A� 4���4�# � ' �"2�> � � #*��� /1# � < 8 B �$Zb /1# �.��!G�%4��"��!�2.����*�J0 �04/ ��S *!GL��G�� �_� ��� # !14�G� ��E���� / �"+�# 4�# � � 9 � ��# E���# 23# !14/ 4��"��!���� �@> A B � P �# � #A��0 #%���� 4�# �S< O �0�3��# E$E���� / �"+�# +R0 $-4�# �"��!0/ 2 #A�"#A�%43����!��&�1; /1# �.��!G�%4��"��!@�< *!R0 # # ' E���# 2323# + *2 �"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��! ��� 23�"!GL��"# H�#A�"#A�%43����!W; /1# �.��!G�%4��"��!�2� ��A� �*��+��"!GL�4��(> I � 8]8 ByB

� O]' �y'<O � <M#

��� K�M

�#��� K0�

> O]' �y'<O]7<O]' 8 'g¡d'j¢ B � O]'g¡ � � 8 ' ¢ � ' > I � 8CA B

; �#%��#�4�# / 2Q ��#�4���23#� +EGE�����E����� 4�#�4����@> A B � P �#UE�����0� +0 �&�"�045$@; #���#�G ���0��# �"2 4�#� � + H�2`G �� ��# ��� 4�#1� � #�� �"# !14 ��� � 8 ' 8 � �P �# ��!��04/ ���045$ ��� 4�# �� 43��� ' # !�2J� ��# 2 4� 4 4�#�I1#%4�2 � � ' �y'� � �)�*� 2 $ 2 4�#A� & 4� 4= ��#

+�#HU !�# + 0 $d> I � 8]8 B� ��#��*�34���L���!� �� �)�*� 4"; �-+�� � #%��# !14 /� ��&��# 2 ������� � 4Q 4�4��"2 2 4/ �L�#��04 �"2

!��*4 23#A�"�&H�#%/ �"+�# !14 4� 41I1#%4�2 �)�*� 2 $ 2 4�#A� " �*� � 4� 410 #A�"��!GL 4�� 4"; � +�� � #%��# !14 �0�3��# E 2 ���G# ��# �*�34���L���!� �� �SZ # 2J� ��&� 23# # 4� 44; �# !�# �"2 Q� ���UE� ��%4$^ �"# L*�����SE�C 4��"2 �*�34���L���!� ��"�045$��"2L��� �/ *!14�# # +Q0 $�4�#�# ' �"2 4�# !G� #����G & *23�&� �0� ��E #%�/ 4��*� �B���*�X GU !��04�#4L*�����SE 4�#�+�#A� ��!�2 43�/ 4��"��!��� �*�34���L���!� ��"�045$@L�� # 2:�"�cI1#�4��"2 �|^ #%4 ��� 'g¡d'�� � B ��>D%SB ��� 'g¡ � C 4�# ! 0 $ 4�#���!��04/ ���045$ ����4�#�0�3��# E 2AC��)�*� *!1$a% �#b; #1�< *!�; ���04�#

��� 'g¡ � � '� � < ��� 'g¡d'�� � � '��'�� � <$# �A9 � �� � �� � >D%SB�� � � �4 9 >D%SB ��� 'j¢ � � ' � � + > I � 8 I B

h.� ; ; #\ /1#%�/ �L�# 0 �*4 23�"+�# 2 ��� 4�# #�G �� 4��"��! � /1#%�� ��&��#A�"#A� # !14�2 ���G# *!�+f��23# ��� �Q0� *23�&��*�34���L���!� ��"�045$ ��#A�� 4��"��! > A �&OmuDByB

��� 'g¡ � � '� � < # �A9 ON #

� �� � �� � >D%SB�� � � �4 9 >D%SB ��� 'j¢ � � ' � �<

���H�)4 O�

�#� ���

'j¢ � � 'j¢ � +> I � 8 ��B

P ��"2.+�#A� ��!�2 43�/ 4�# 2�> �.B 4�# ��#�G ���0��# +��*�34���L���!� ��"�045$ ���XI1#%4�2 0 #%4"; # # ! �0�3��# E 2AC� *!�+ > �"�.B 4� 4��� 'g¡ � � 'g¡ � +�� # 2�!��*4 +�# E # !�+ ��! � �d>�Z �04bE�����E #%��0$ !��*��� ��"��� # +fI1#%4�2 4�#\�� *2 4��"2� *!1$ ; $��0 / �"����2AC�0�� 4 4�#�+�#A� ��!�2 43�/ 4��"��!� +0 � /1#U *232J�G� # 2 !��*4��"!GLR +0 ��� 4 !��*��� ��"���< 4��"��!�C� *!�+�; #2J� ��&��E���# 23# !14�0$�U !�+ 4��"2(�&�UE �*�34/ *!14 �7B

� �� � ����� R2� � o ���v� � X Xg� R � �*R !P �&�&� !�� ; ; # � /1#�0 # # !�� ��!G� # !143�/ 4��"!GL ��! 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2 0 #%4"; # # !�I1#%4�2.4� 4.��# E���# 23# !14+�� � #%��# !14 > �"� E�1$ 23�&�< ��&�0$ ��#A�� 4�# +�B�2 $ 2 4�#A� 2 � � ! 4��"2 2J�S0 23#A�%4��"��! ; #$� ��!�23�"+�#%� ��# E���# 23# !14/ �H4��"��!�2 4� 4� ���"23# � ����� @�/� *!GL�#-��� � � �*��+��"!� 4�# 2 $ 2 4�#A�-� ���*��# ' ��UE��"#�C ; �# ! ; # ���*4/ 4�#��� � & �34�# 23�� *! ' # 2AC �04��� $ 0 #R� ��!1/1# !��"# !14 4��f��23# !�# ; 0� *23�"2UI1#%4�2AC �)�*� # ' ��UE��"# 4���23#; ��&�/R� �*�3��# 2FE ��!�+ 4���2 4/ 4�# 2 ��� ; #A�&� +�#HU !�# +$ *!GL��G�� � � ��� # !14�G� ������!�+ 4�# !�# ; � H" ' �"2 �

Page 28: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ � � � ��� �&#.- ZS�[#.]+%S,1�"] �%3�Z�%��-3+� ���A-J)�Z�%G#.-/,

P �# 23# !�# ; 0� *23�"2QI1#%4�21;(�&�&�_0 #��"�"!�#< ��� ����0 �"!� 4��"��!�2 ��� 4�# ���"+�C *!�+ 4�#��� 43���&� # 2 +�#HU ! H�"!GL�4�# 23#W�"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��!�2��)�*�U ��&�*E ��2323�c0��"# ��# �*���"# !14/ 4��"��!�2����(��� �� ' # 2�;(�&�&�*E���� / �"+�#��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2 �����@> A B �

k �&� �&�� ��0$DC ��!G� #�; #C/ /1#.���*4/ 4�# +� ' # 2ACS; #C/ �&�3; *!14 4���; �*�JI�;(�04 !�# ; � ��� # !14�G� ��E #%�FH 4��*��2 � � 4� 4 ��#1�"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��!�2 ��� 4�# ���"+ ��!�# 2B

� � < # � �?� � � ��+ > I � 8 �DB

P 9��2 �"!� *+�+��04��"��! 4�� 4�#6G ���"!14�# 2323# !14��� ��=G �� *!14�G� H � #A�/� *!��&�< �� ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2 �.� ��!��"2J�# +0 $ 4�#Qe.�&�c0 #%�34 2FE� �� # ���TI1#%4�2AC�; #� ��"23�U� /1# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2 0 $-23#%4�2(��� ��E #%�/ 4��*��2 � P �# 23#�� 434�#%� ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2� ��# 4�# ��!G�0$ ��!�# 2=I !�� ;(! 4��U�A�� *2323�&�< ���E�1$ 23�&� 2 �

" 0 2 43�/ ��%4��"!GL�� ����� 4�# # ' ��UE��"#� +0 � /1#�C �"#%4���2 2J�SEGE ��23# 4� 4Q; #�� /1#\ -23#%4p� � � 'g¡ � ����TI1#%4�2 4� 4(43�/ *!�23�)�*�� ��A� �*��+��"!GL�4���4�# � �0�3��# E ���T#*C3 *!�+$ �23#%4�� � �� ��� ��E #%�/ 4��*��2 4� 443�/ *!�23�)�*�� ��A� �*��+��"!GL�4���4�# � �0�3��# E ���S#$B

��>D%SB � �p< #�� �� �� � >D%SB � �C+ > I � 8 ��B

> k �G�/R *! ��E #%�/ 4��*� 23#%4 �"2 �< ��&�"# + �0�3��# +G�G� �c0��"#*�7B P �# ! 4�#�I1#%4�2 ��0�4/ *�"!�# +\0 $� +EGE��0$ �"!GL � � 4��� � 'j¢ � 43�/ *!�23�)�*�� ��A� �*��+��"!GL�4�� 4�# � �� � � � � � ����# E���# 23# !14/ 4��"��!0B

��>D%SB� � � � � 'j¢ � � < # 4 9 � �� ��)4 >D%SB�� � � ��A9 >D%SB � 4 � � ' � �

< #4 9� ���� � �� � � � � 4 9 � >D%SB � 4 � � ' � � +

> I � 8 �DB

P �# �� 43��� ' >�' �y'��7 � ' � 'g¡d'j¢ B��"!143��� +G�G� # + �"! #�G �� 4��"��! > I � 8]8 B�0��"� �I9H�+��� �L���!� ��"��� # 2 4�#

�� 43���&� # 2 + ���� � �>D%SB C 23� �04�L��0/1# 2�4�#R�"�"!�#< ��� ����0 �"!� 4��"��!�2���� 4�#-��0SM #A�%4�2 � � � � 'j¢ � 4� 443�/ *!�23�)�*�� ��A� �*��+��"!GL�4���#< ��/-�0�3��# E ���T# � ^ #%4,/ 2 +�# !��*4�# 4�# 23# ��0SM #A�%4�2 � m' �y'j¢L7 � � � P �# !� 4 � � ' � � < #� � � � �

� > m' �y'j¢L7 � ' � '��' �[B � m' �y'j¢L7 � � + > I � 8 �DB� !@ !9�G��0 #%�����XE��/ ��%4��&�< ��X +EGE��"�&�< 4��"��!�2 ��!�#Q;(�"2J�# 2 4����< ��&�A�G�� 4�# 4�#Q�� 43��� ' #A�"#A� # !14

� �'g¡ � � � � � '� � �_8��*434��"!GL(> I � 8 �DB�4 �����GL�W0 $ � � 'g¡ � ; #:� /1#

� �'g¡ � � 4 � � ' � � < #

� � � � � � > m' �y'j¢L7 � ' � '��' �[B � � 'g¡ � m' �y' ¢L7 � � + > I � A uDB

h.� ; 4�#(2 �� # �"�"!�#(��� ��#< *23��!��"!GL 4� 44; *24��23# + 4�� +�#%���0/1#�> I � 8 ��B �< *!U0 # +�# E��"� $1# + 4�� 2J�� ;4� 4(4�#Q�� 43��� ' #A�"#A� # !14 ��! 4�# ��2 ���=> I � A uDB /� *!��"2J�# 2 �)�*�

��< *!�+� �*�=¡ �< ¢ �$� !-�g ��%4<C

23�"!G� # � m' �y'j¢L7 � � 43�/ *!�23�)�*�� 2=��!�+�#%�=# ��A� �*��+��"!GL�4���4�# �0�3��# E�CG; #1� /1#

� �'g¡ � m' �y'j¢L7 � � <� � � H� �

O� �#� �' � � m' �y' � 7 � � + > I � A O�B

Page 29: Group Theory Lecture Notes James Binney

�F%��! ] `q3D-��[#.]+% �"] � �f� ]� <� Z�%�� �T#.� � ]43��K, � �P ��"2 2J�� ;(2 !��*4 ��!G�0$ 4� 4 4�# �"# � 4 23�"+�#./� *!��"2J�# 2=��!G�"# 232

�<�� *!�+�¡S<�¢�C 0�� 4 ��"23� 4� 4 �04

�"2 �"!�+�# E # !�+�# !14.��� ¡ � �"! �*4�#%� ; �*��+�2 �04�2 ��!G�0$ !���! H /� *!��"2J��"!GLU� ���UE ��!�# !14 �"2 �.��!G�%4��"��! ���� ��"��!�#*� & !�#Q��2J�� ��&�0$�; ���04�# 2

� �'g¡ � m' �y'j¢L7 � � < � � H� � � � � � � � � ��� !���2J�G� ��!

�+ > I � A�8 B

P ��"2���23# �.�G� ��# 2J�G�04��"2��< ��&�"# + 4�# � ����� R2� o ���v� � X6Xg� R � �*R ! � � � � � � � � ��� �"2��< ��&�"# + �*R P �S� RvP !q��X � �x� R r R ! R � X ��� � ���4�&�GL�L��"!GL(> I � A�8 B40� ��I �"!14��(> I � A uDB4; #:� /1#

� �'g¡ � � 4 � � ' � � < # �

>�' �y'g¡d7 � ' � '��' �[B � � � � � � � � � + > I � A]A B

� !\� ��2 4 +EGE��"�&�< 4��"��!�2 ��!G�0$ ��!�#(/� ��&��#.��� �* ���"23# 2 �T� !� *!1$ #%/1# !14<C 4�# E�1$ 23�&�< ��&�0$ �"!14�#%��# 2 4��"!GL�� 43��� ' #A�"#A� # !14 ��! 4�# �"# � 4 �"2 +�#%4�#%�� �"!�# +�0 $ 4�# & �"# 0 2J�/ H 6��*��+���!W� � #�� �"# !14�2=�SE 4�� ��!�#!��*��� ��"��� �"!GL�!9�G��0 #%�=E #%� �0�3��# E

��

� � � � ����� � �|��� � ��������� �

" ^ �"#1L*�����SE �"2 �23#%4(4� 4<C �"!( *+�+��04��"��! 4���2 4��"23� $ �"!GL�4�#1L*�����SE$ ' �"��� 2 ��� �<O�C�� *2 ��&� 4�#2 43��G�%4� ��# ��� �+�� � #%��# !14��� +0��"#1�� *!��"�)���"+0B��R�� �S�xX*�g��� Y

" ^ �"#QL*�����SE �"2� 23#%4?# 2J�G�/ 4� 4,B1> �.Bc# �"2� �L*�����SEp7_> �"�.Bc# �"2� *!$ *!� ��0$ 4��&�1�� *!��"�)���"+07> �"�"�.B�4�#1�� +EGE �"!GLR>D%�')(AB=E %2(.���S# � # �"!14��|# �"2 *!� ��0$ 4��&�*�& �"#< ��0$�# �"2 *! �"!vU !��04�# L*�����SE � � P �#��"!14�#%�JE��� $�0 #%4"; # # ! �04�2 4"; � /1#%�3$ +�� � #%��# !14(2 43��G�%4� ��# 2��4�# ��&L�# 0��/ *�&�.2 43��G�%4� ��#���� 4�#�L*�����SEW *!�+ 4�# *!� ��0$ 4��&� 2 43��G�%4� ��#���� 4�#��� *!��"�)���"+6��� *2

�g �FH ��#< ��/��"!GL�� ��!�23#�G ��# !G� # 2 �o �p��!q�Tr R ���

P �#�> " 0 #A�"�� *!�B L*�����SE���� 43�/ *!�2J�� 4��"��!�2(�"! � ( �"2� ^ �"#QL*�����SEp7� *!1$ 43�/ *!�2J�� 4��"��!R�< *!R0 #�� +0 #A�&�"# +�0 $ 4�# /1#A�%4��*�G��; ��&�/\; # *+�+ 4�� 4�# E ��23�04��"��! H /1#A�%4��*� ��� *!1$�E ���"!14 �"! �*��+�#%�4��U� � /1#��04<C� *!�+ 4�#1� ���UE ��!�# !14�21%

�#%4� �����R� ��!�2 4��04� 4�#1 R>?L��"��0� ��&�0$9H /� ��"�"+�B4�/� �34(�)�*�

4�#1L*�����SE � P 9��2AC��� ��� *!��"�)���"+�C 4��"21^ �"#:L*�����SE �"2 �"+�# !14��&�< ���;(�04 � ( �o �p��!q�Tr R �xw

P �#�L*�����SE �@> A B ��� 4 ��# # H�+��&� # !�23�"��!� ������*4/ 4��"��!�2 �"2� 3^ �"#�L*�����SE � P �# #A�"#A� # !14�2 ����@> A B ��# 4�#����*4/ 4��"��!�2 ��> ���'��DB40 $R *!GL��"#�� +0 ��� 4 4�#Q ' �"2 ������54(�"2 #< *2 $ 4���23# # 4� 4

��> �� '��DB � < > �� � B �� � � ��2 ��> � t > �� � B �� B � 23�"! ��> �� � � By+ > � �&O�B

�54(�"2 ��� 4�# !R� ��!1/1# !��"# !14 4�� ; ���04�#

��>��3B B ��> ���'��DB ; �#%��# � B � �� + > � � 8 B

P �# 4 ��# #\> �"!�+�# E # !�+�# !14 B � ���UE ��!�# !14�2(���T�(� ��!�2 4��04� 4�#� U�/� �34.�)�*���@> A B �ck ���"� �< ��&�0$�@> A B��"24���� # ��� �*�JE���&� 4���� ( � 6 �"��0� ��&�0$��04��"2CG ���04�# ��!G�"�cI1# � ( 0 #A�< ���23# ��> ���' 8 � � B�<;?4"��&' � �

��v\gr J`eNe}UX~TUJ`agX \�O�sq[]Wgr aFTU[]Z \�OK[]WSOM}dZ OvZ e�[ y agZ V'J`\geNZ []\ �MJMLN[gi

Page 30: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ ��� � �f� ]� <� Z�%�� �T#.� � ]43��K,o �p��!q�Tr R ���

P �# � � ����� �%? ���T���X��X � ���X��? � � !q��X*�g���X��� ���UE����"23# 2�4�# 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2�����4�#� ���UE��"# ' E��� *!�#

� E � <% � � (E � ���

; �#%��# %�')(*')E*' � � *!�+ % � ts(HEG< O]+ > � � A B

P ��"2|^ �"#RL*�����SE � *2 � ��#< �� +��&� # !�23�"��!�2U0 #A�< ���23# �04�2��)��� ��� ���UE��"# ' E� �/ �� #%4�#%��2� ��#� ��!�2 43�/ *�"!�# +W0 $�O #�G �� 4��"��!f>g; ��&�/W� *2=0 �*4R ��#< �� *!�+( *! �&�� �L��"!� �3$�E� �34 B �

o � R2� ���?� R��y�v�A�*Y����� /1#�4� 4 4�# 23#%4(���X����0 �&��2 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2 �)�*�� 2 L*�����SE �

o �p��!q�Tr R ���� ��> � ' ��B.�"2 4�#�23#%4 ��� ��&� � � � ��#< �� �� 43���&� # 2 ;(�04 !���! H � #%��� +�#%4�#%�� �"!� *!14 � �54�)�*�� 2� *! � �/H�+��&� # !�23�"��!� ��c^ �"#RL*�����SE ��!�+�#%�\���G�04��cE��"�&�< 4��"��!d *!�+ �"2��< ��&�"# + 4�# �*R ��r� R � R2� ��r=r���� R � � � � ����� � " !� ��"��L�����2J�0$ � ��> � ' � B.�"2 4�#|����!q�Tr R �n� R � R2� ��r?r���� R � �� � ����� *!�+ � *2 ��#< �� H�+��&� # !�23�"��!� ��"�045$ 8�� � � � ��> � ' ��B �"2 +��0/ �"+�# +d0 $ 4�#R� ��!�+��04��"��!

� � �<iu �"!14�� 4"; � +��"2J� ��!�!�#A�%4�# +f� ���UE ��!�# !14�2AC 4� 4 �"!@; ��&�/ � � }[uSCT *!�+ 4� 4 �"!; ��&�/ � � � u � � ��> � ' � B �"2�!��*4�23� +��0/ �"+�# + 0 #A�< ���23#� � ���UE��"# ' H /� ��&��# + � � �< *!UE� *2322J� � �*4G�0$ � ��������#< ���E ��23�04��0/1#�/� ��&��# 2 4�����#< �� !�#ALD 4��0/1#�/� ��&��# 2 �

o �p��!q�Tr R ��P �# �� R ������r�r���� R � � � � ����� ����> � ' ��B��"2�4�#.2J�S0 23#%4 ��� � ��> � ' ��B��"!�; ��&�/ � � < O���54\� *2 +��&� # !�23�"��! � ��t O�� ����> � ' � B��"2 23�&� �&�� ��0$ +�#HU !�# + *!�+ � *2 ��#< �� H�+��&� # !�23�"��!8�� � t 8 � 2 ' ��UE��"# A 2J�� ; # +R�� ; 4�#�#A�"#A� # !14�2 ��������> 8 ' � B L�# !�#%�/ 4�#?^ �*��# !14*��43�/ *!�2 H�)�*��� 4��"��!�2 �

o �p��!q�Tr R ���P �# ��#< �� �*�34���L���!� ��TL*�����SE ��> � B �"2 4�# 2J�S0 23#%4 ��� � ��> � ' ��B �"!R; ��&�/ � < K�M �� !R� ���UE ��!�# !14(�)�*���4�# #�G �� 4��"��! � < � ��#< *+�2

�=�)4 B #��q�g���q�A4V<�H�)4v+ > � � I B

P ��"2 �&�UE ��23# 2 M� � > � � O�B �"!�+�# E # !�+�# !14 � ��!�+��04��"��!�2 ��! 4�#�� ���UE ��!�# !14�2 ��� >?� �"2!�#A� # 232 ���&�0$ 2 $S��� #%43���&� B � & ��!�23#�G ��# !14�0$DC 4�# L*�����SE�� *2 +��&� # !�23�"��! � �Tt M� � > � � O�B�<M� � > � t O�B �$� !RE� �34��&�A�G�� � �)�*� � < A �04�2(+��&� # !�23�"��!-�"2 A �"!$ �L*��# #A� # !14 ;(�04R2 ' ��UE��"#8 C�; ��&�/ +��"2J�A��2323# 2 4�# � ���UE ��!�# !14 �"!$; ��&�/ � � < � O�� P +I �"!GL 4�# 43�/ �� # ��� > � � I B; #�� /1# � � � � �� � < � C9; ��&�/ +�#A� ��!�2 43�/ 4�# 2�4� 4�4�#.#A�"#A� # !14�2 ��� ��> � B ��#�� ��!vU !�# +4�� 4�#�> � �pt$O�B H�2FE��#%��# � � � � K�M�� �"! � �H�+��&� # !�23�"��!� ���2FE� �� #*� ���*��# � /1#%�<C �04 �"2�4�#(�"!1/1#%��23#�&�� �L�# ��� 4�#1�A�"��23# +�� 23#%4�� � ����!�+�#%�.4�#1� ��!14��"!9������2 �� +E ��� � ��> � ' ��B 4�� �04�23#A�"� 4� 4

���qr []e J`a{Z eKQSJMLNJ#Wge J`aFZ \FORQSJ#e J`\ge J#[ y4h J`\SJMLRX rnON[ TU[]r [ h |]}dsKQgZ _�Q0LNJ`_[ h]\gZ �MJ`ex[ TUJ`\Fe JMORe}d_Mr []e J`a{e JMORe�X \gae JMORe'ORQgXYO~XYLNJ0tU[ ORQP[ TUJ`\lX \gal_Mr []e J`ani��v\P[ TUJ`\Pe JMO�Z e'[]\SJFeNWg_�Q6ORQgXYO~JMm]JMLN|�TU[]Z \�O Z \6ORQSJFe JMO�eNZ ORe~Z \lX\SJ`Z h]Q�tU[]WSLRQS[�[9a � � \gQga�� �A[ y�TU[]Z \�ORev[ y�ORQSJCe JMOMi� _Mr []e J`a:e JMOvZ eKORQSJu_[�V'Tdr J-V'J`\�O�[ y X \{[ TUJ`\{e JMOMi��Q9WgeKORQSJeNWStde JMOx[ y�ORQSJ#_MZ LR_Mr J ��������������%��#Z ex[ TUJ`\ tUJ`_MX Wge J#\S[�V~XYONONJMLxQS[-s2_Mr []e J��CZ exON[CJ`Z ORQSJML��#[ L %S}SORQSJMLNJ XYLNJX r sxX`|SeKTU[]Z \�ORe _Mr []e JMLve ORZ r r }ne [ sqJ'V~X`|*bU\ga{X eRV~X r r Z \�ONJMLNmYX r � \gQga �xZ \{sKQgZ _�Q���eNZ ORei��QSJC_[�V'Tdr J-V'J`\�OKe JMO�����������C[ L��� %��uZ ev_Mr []e J`ani

Page 31: Group Theory Lecture Notes James Binney

� < � �x3+���\Z+ "�(]+^*�[)����[)��A]� "� � ��"2 ��0�4/ *�"!�# +�0 $�� ���UE ����!�+��"!GL 4��"2 23#�G ��# !G� #������� +E 2B E > ' B=E > ' �BuE � �&k �"!G� # 4�#��"!1/1#%��23# H��&�� �L�# ��� ��A�"��23# + 23#%4 ��!�+�#%� �� ��!14��"!9������2 �� +E �"2 �A�"��23# +�C4��"2 �&�UE��"�"# 2 4� 4 ��> � B �"2: ��A�"��23# + 2J�S0 23#%4 ��� � � � � K�M��3� P �# 23# 4"; � �g ��%4�2 �&�UE��0$-4� 4 \> � B��)�*�� 2 �� ���UE� ��%4 �� *!��"�)���"+ � � �54�2 � ���UE� ��%4�!�# 232 � *2 �g �FH ��#< ��/��"!GL � ��!�23#�G ��# !G� # 2 �

o �p��!q�Tr R ���P �# �� R ������r � � Xg�T����������r1� � ������� ��> � B �"2 4�# 2J�S0�L*�����SE ��� ��> � B �)�*�� # +(0 $(�� �H43���&� # 2 ;(�04 � � < � O�� ���*� � < A �04 � ���"!G� �"+�# 2=;(�04 �@> A B �

o �p��!q�Tr R ��P �#1�S�S�xXm� � ��� � ����� �U> � B �"2�4�# 2J�S0 23#%4���� � ��> � ' � B �"!�; ��&�/ � < K�M � P �# � ��H+��� �L���!� ���� ���UE ��!�# !14�2���� 4�# � ��!�2 43�/ *�"!14 #�G �� 4��"��!U� B � < � �&�UE ��23# 2 � > � t(O�B��#< ��_� ��!�+��04��"��!�2 ��! 4�# � ���UE ��!�# !14�2 ��� >?� �"2 !�#A� # 232 ���&�0$�e.#%�� �04��� *!�B CK; ��&�"# 4�#+��� �L���!� ���� ���UE ��!�# !14�2 �&�UE ��23#: �.� �34�#%� � � ��!�2 43�/ *�"!14�2�> 4�#�+��� �L���!� ���� ���UE ��!�# !14�2 ���� ��#�!�#A� # 232 ���&�0$ ��#< ��.B �Te.# !G� # �U> � B�� *2 ��#< �� H�+��&� # !�23�"��!� ��"�045$ 8�� �Ct � > � t�O�B,t � < � � �

o �p��!q�Tr R ��P �#@�� R ������r �S�S�xXm� � � � � ����� � �U> � B��"2 4�# 2J�S0 23#%4 �����U> � B��"! ; ��&�/ � � < O��P ��"2 �"2�4�#W� ��2 4��&�UE �*�34/ *!14 ^ �"#WL*�����SE �)�*�UE�1$ 23�&� �"2 4�2 �_�54U� *2 +��&� # !�23�"��! � �Vt O�C23��� �U> 8 B C��"�cI1# ��> A B � *2(+��&� # !�23�"��! A C� *!�+W; # 2J� ��&�pU !�+-4� 4 4�# 23# 4"; ��L*�����SE 2 ��#�A�"��23#A�0$ ��#A�� 4�# + � P �#c^ �*��# !14*�=L*�����SEU;(�&�&�SE���� /1# 4�� 0 # �+��0��#A�%4 E���� +G�G�%4���� � �U> 8 BT;(�04�04�23#A�"��� P �#�2 4/ *!�+� ��+ #A�"#A�%43��� ; #< +I@� � +�#A� �"2 0����&�04Q ������!�+ +��0��#A�%4:E���� +G�G�%4 ��� �U> O�B *!�+ � �U> 8 B � & ����� � + $ !� �� �&� 2AC 4�# 4�# �*�3$ ��� �� ; � *+ ����!�2� ��#10����&�04 �SE���� G �� �JI 2AC�"2�0����&�04U ������!�+ � �U> A B �@h.�*4 23�@�"��!GL� �L����04 23# #A� # + 4� 4 � �U> ��B1� �&L�14�E���� / �"+�#� ��!���U # +-4�# �*�3$ ��� 2 43����!GLGCG; #< +IW *!�+-#A�"#A�%43������ �L�!�#%4��&���"!14�#%�/ ��%4��"��!�2 �

� �� V�� �� � � ���� ������ ��� � � ��������� �

P �#1�"�04�#%�/ 4� ��# ��!3^ �"#1L*�����SE 2(2J� � #%��2 � ����� I �"!�+ ��� 2J�/���� ��E� ��# !��� �"! 4� 4(4�#%��# �"2 /1#%�3$�"�0434�"#�� /1#%��� +E:0 #%4"; # # !1E�� ��# H �� 4�#A�� 4��&�< ��&�0$.�*���"# !14�# +:0 � ��I 2 *!�+ 4���23# ��23# +10 $ E�1$ 23�&� �"2 4�2 �P �#��)�*�� #%�1� ��!14/ *�"!�L�# !�#%�/ ���4�# �*�3$� *!�+ �)# ; ��23# �.�G����# 2J�G�04�2AC ; ��&�"# 4�#U�� 434�#%�1 ��#��.�G�&�����- �04=�� $�0 # 2J�� ;(!0/�2 4/ 4�#A� # !14�2 *!�+ !9�G� #%������2 ��23# �.�G� ��# 2J�G�04�2 �

24�&�"�"�*434 5 8: <;=0 #%� �"2X L�� � + # ' ��UE��"#���� 4�#*�� 434�#%�XL�# ! ��#*�S�0U !�+ �04 �/ 4�#%� ��!�2 4��"23� $ �"!GL�"! 4� 41> �.B�4�#.+��"2J�A��2323�"��! �"2 ��&� ��2 4 # !14��0��#A�0$ �"! 4�#%�� 2 ��� ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2 �/ 4�#%� 4� *! 4�#��!�+�#%��0$ �"!GLRL*�����SE�CX *!�+ > �"�.B �04 �"2 �0�3���04/ 4��"!GL 4���E #%�JE #%4�� ��&�0$���#< *+�- �04:�� $(0 #�2J�� ;(! 4� 4,/;(�04���� 4 � / �"!GL�4�#:�"#< *2 4 �A�&��#����� 4�# +�#A� ��!�2 43�/ 4��"��!�� �&L�14 ���! �

P ��"2�23#A�%4��"��! ��# E���# 23# !14�2� *!d 434�#A�UE�4 4��$0����"+GL�# 4��"2���!��)�*�34��!� 4�#�L��G�"� 0 #%4"; # # ! 4�#�"!14�#A�&�"#A�%4�� ���; �*��"+�2 ���T�� 4�#A�� 4��&� �� *!�2 *!�+WE�1$ 23�&� �"2 4�2 ��� �� 0 $ !��U� #< *!�2 2 4��"2FU # +W;(�04# �04�#%� 4�# 2 43��# !GL*4 �*� 4�#\ ��A� # 2323�c0 �&�"�045$ ��� � $�0����"+GL�#*� � � 4 4�#�L��G�"� �"210 �*4f;(�"+�#\ *!�++�# # E�C3 *!�+R� $�E � ; #%��2=E���!1$1�

� � $1���� ��# !��*4 2 4���� 4�0$ 2J�� +�;(�04\ ����0���2 4 I !�� ; �"# +GL�#.����� � �*��+��"!� 4�# H�� ��# #�+�� � #%��# !14��� ��L�# ��� #%43�3$DC�� ��#A� ����� # !�+ 4� 4 �/ 4�#%� 4� *! 2 43��GL�L��"�"!GL 4��(�A�� ���0 #%� � /1#%��� $�0����"+GL�#�C $1��� ��&�"� ; $1��� ��23#A�"� 4�� 0 #1�� �L��&�< ��&�0$U; *� 4�# +-� /1#%�(4�#:L��G�"� C� *!�+-2FI �cE 4�� ��� �� �� ��������������������������Z e []\SJKeNWg_�Q'ORQgXYO%JMm]JMLN|#[ TUJ`\�_[-m]JMLRZ \Sh#_[]\�ORX Z \ge%XvbU\gZ ONJveNWSt ��_[-m]JMLMi�o�\~J"!�J`_OM}X�_[�V'TdX _OKV~X \gZ y []r a:aS[�J`eN\�� OKQgX`m]Jue TdX _J#y [ LKX \{Z \9bU\gZ ONJC\9WdVutUJMLx[ y�LNJ`X e []\gXYtdr |FagZ e ! []Z \�Ov[ TUJ`\Fe JMORei

Page 32: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ � � � � %��/ /Z'�_�[)��A]� "�@]+^��T#.� � ]43��K,���2� ��Y �b���,���D� �%? � ��� R2�*R � X*����r ��R ��! R X � �

^ #%4 � 0 #( �� *!��"�)���"+ � " �d��� � Xa` �)�*�\ *! ��E # ! 23#%4�� H � �"2� dO HO�C �� +EGE �"!GL`�B�� E � � ����� �"!14��(24�G�A�"�"+�#< *! � H�2FE� �� #*� P �#�� � �*��+��"!� 4�# 2�` � > � B���� 4�# �&�� �L�#E ���"!14 ��#�� 4�#:� � �*��+��"!� 4�# 2(��� � �"! 4�#:�/� �341`���

P �# *!� ��0$ 4��&��C*��#< �� H /� ��&��# + �.��!G�%4��"��!�2���! � �)�*�� *!�bH�+��&� # !�23�"��!� �� /1#A�%4��*��2FE� �� #� > � B � P �#&Xm����� R � X � R �CX � � � 4 � ��# +�#HU !�# + 4�� 0 #�4�#*�"�"!�#< � ��E #%�/ 4��*��2 "|B � E �4� 4(2 4��"23� $

"K> � � � �0N�B�< � "K> ��B � � "K>xN�By'"K> �LN�BS< "K> ��B N�> � B � � > � B "K>xN�By7 � ' � ���' ��'FN � > � By+ > ��O��&O�B

P �#JU���2 4�� ��!�+��04��"��! 2 4/ 4�# 2 �"�"!�#< ���045$DC�4�# 23#A� ��!�+ 4� 4 4/ *!GL�# !14 /1#A�%4��*��2 ; �*�JIW�"�cI1# +��"�&H�)#%��# !14��� �� ��E #%�/ 4��*��2 ��� ! �g ��%4<C��"!W� � �*��+��"!� 4�# �)�*�� "\�< *!�0 # # ' E� *!�+�# +

"b<�#��� M"Q� �� ` � � "K> ��BT<

�#��� M"Q� � �� ` � ' > ��O�� 8 B

; �#%��# ���"2 4�#1� � �*��+��"!� 4�# �)�*�� ��� ���"! 4�#:�/� �341` � P � 4(�"2AC � > � B�< ���4> � B � �

" � R �CX � � �TR r P � >! � I � �c- �"!vU !��04�# 23�&�� �� 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!0/7B��"2� f�� +EGE �"!GL � B� > � B#E�� > � B�4� 4(2 4��"2FU # 2 � ��!�+��04��"��!�2 *!� ��"��L�����2 4��(> ��O��&O�B

��> � � � �0N�B�< � �\> ��B � � ��>xN�By'�\> �LN�BS<$�\> ��B N � � ��>xN�By7 � ' �6 ���' ��'FN � > � By+ > ��O�� A B

� � � �"2R 23#A� ��!�+ /1#A�%4��*�aU #A�"+�C.4�#�� ���UE ����!�+ > � ��B �"2R ��"23�d �"�"!�#< �W�� +E � � B� > � BuE � > � B CG0�� 4 �04(�"2(!��*4� �/1#A�%4��*�cU #A�"+R0 #A�< ���23# �04(+�� # 2 !��*4 2 4��"23� $ 4�# 23#A� ��!�+���G� ��!�+��04��"��!�2 > ��O�� A B � P �#*� ������� 4/ 4��*� � �O'�� � B � �at�� � �"2X /1#A�%4��*�SU #A�"+�C��� ; #%/1#%�,B� �O'�� �"> �LN�BT<"� ��> �LN�B t�� �U> �LN�BT<"�

���> ��B N � � ��>xN�B � t�� � �U> ��B N � ���U>xN�B �

<"����> ��B � N � �\> ��B��U>xN�B � �U> ��B ��>xN�B � ���

��\>xN�B �

t ���U> ��B � N�t �U> ��B ��>xN�B t���> ��B��U>xN�B t � �

��U>xN�B �

< � �O'�� �"> ��B NJt ��� �O'�� �">xN�By+> ��O�� I B

� �O'�� � �"2=�< ��&�"# + 4�# C � R � � � P �S�CX ��� � *!�+ ���^ #%4Vz 0 # 23#A� ��!�+��� *!��"�)���"+@ *!�+ /@ \�� +EGE �"!GL0/@B � Efz � P �# ! /��"!�+G�G� # 2

�� +EGE �"!GL�/ ��B � � > � B#E � � � � � >�z�B40 #%4"; # # ! 4�#�4/ *!GL�# !14 2FE� �� # 2(���T�� +EGE # +\E ���"!14�2 �� !�+�# # +�CD�"#%4 "� � � > � B � P �# !W> /��"SB" �� � � � � >�z�B �"2 +�#HU !�# +�0 $ �04�2 ��%4��"��! ��! �.��!G�%4��"��!�2� � >�z�ByB

> /�� "SBA> ��BT< "K> ���G/�B B " � � > /�>[BJB � + > ��O�����B/�� "\� #< *2J� ��# 2 4�#1L*�/ *+��"# !14 �"! 4�# +��0��#A�%4��"��! ��� " ��� 4�#1� ���UE ��23�04�# �.��!G�%4��"��!����G/aB� E �

Page 33: Group Theory Lecture Notes James Binney

� < � �x3+���\Z+ "�(]+^*�[)����[)��A]� "� � �

�0��� � �S!5!q� � � �%?cXg� R Xg� R � � �P �#*I1#%$ �)#< 4� ��# ���� :^ �"#*L*�����SE �"2 4� 4 �04�2 2 43��G�%4� ��# �"2X�� �L�#A�0$ +�#%4�#%�� �"!�# +Q0 $ �04�2 2 43��G�%4� ��#�"! !G�+ ���$;�� & ��!�23#�G ��# !14�0$DC�; #�2J� ��&� 0 #U +0��"# 4����/� �/ ��%4�#%����� # ^ �"# L*�����SE 2 0 $�4/ +I �"!GL� �A�"��23#��"� ��I� 4 4�# 2 43��G�%4� ��# ��� 4�#�4/ *!GL�# !14 2FE� �� #\ 4�;�� P ��"2 +�# E # !�+�# !G� # ��� 4�# # !14��0��#2 43��G�%4� ��# ��!( �!G�+-���S;� ���"23# 2=0 #A�< ���23#Q ' �"��� > �"�"�.B +0 � /1# # !�2J� ��# 2(4� 4 4�#1�� +E

�B # E #$7 �

(c<>%2( > � �&O�B

� ��!�2 4��04� 4�# 2: ����� # ��� �*�JE���"2J� 0 #%4"; # # ! !G�+ ���&(Q *!�+� !G�+ ���&%2( � P 9��2�4/ +I �"!GL.( 4���"�"#��"!f !G�+ ���O;�C ; #���0�4/ *�"!f ����� # ��� �*�JE���"2J� 0 #%4"; # # ! !G�+ ���O;� *!�+f !G�+ ����4�# �J0 �043�/ �3$�E ���"!14h%�� & ! ��A� ����!14���� 4��"2����� # ��� �*�JE���"2J�RC 4�# /� ��"�"+��045$ ��� �� *!1$ ��# 2J�G�04�2�< *!W0 # �&��� # +��� 4�#A�0$ # ' 4�# !�+�# +-� ����� !G�+�2 ���T; 4���4�#:L*�����SE$ *2 �; ����"#*�

� ! ��� 4�"�"!�# 4�#1 �L��G� # !14 ���!�2 *2 �)���&�"� ;(2C� � � ' O +�#HU !�# 2 ���G�/ ��� 4�# !��*4/ 4��"��!� *!�+2J�G���� ����� # 2 4�#1��!�+�#%��0$ �"!GL�+�� � #%��# !14��� �� L�# ��� #%43�3$1�S� !( *+�+��04��"��!�; # !�# # +��R�� �S�xX*�g��� Y

" ^ �"#� ��&L�# 0��/ �"2� /1#A�%4��*� 2FE� �� # � ��! ; ��&�/ W0 �"!� �3$@E���� +G�G�%4 � ' ���"2 +�#HU !�# + 4� 4> �.B��"2= *!14��"2 $S��� #%43���&��> � ��'�� � <[t�� �&' � �gB CK> �"�.B��"2 �"�"!�#< � �"! #< ��/ 2J�"�*4Q> � � � � ���&'����<� � ��'��� � � � �&'���gB CG *!�+b> �"�"�.B 2 4��"2FU # 2 4�#��0�������T�O� P�R � X*�xXy��B

� � ��'�� � '��� � � � �&'��� ' � � � � � �1' � � '�� ��<>uv+ > � � 8 B

� Z # ��23#�4�#_���� # ��� �*�JE���"2J� > � �&O�B 4�� *2323� � �� 4�# /1#A�%4��*�pU #A�"+ ��*;(�04 #%/1#%�3$�" �� �+>D#_B �P �# 23#%4(��� ��&� 2J�G�/-/1#A�%4��*�cU #A�"+�2=; #1�< ��&� � >D#_B ���54(�"2 /1#A�%4��*� 2FE� �� #*�� Z #�2J�� ; 4� 4 4�#?^ �"#�E���� +G�G�%4�� ��' �� � ���T *!1$ 4"; ����� 4�# 23#./1#A�%4��*�GU #A�"+�2 �"2 �04�23#A�"� 4�#/1#A�%4��*�=U #A�"+ ��� ���X *2323� � �� 4�# +(;(�04$ �/1#A�%4��*��� " � � �+>D#_B � P ��"2.# 2 4/ +0��"�"2J�# 2.4� 4 � >D#_B �"2 b^ �"#1 ��&L�# 0��/ � P �#:�� +E > ' "SB#E � " ���� +I1# 2 � �+>D#_B b^ �"#1 ��&L�# 0��/ ��"23���T�54(�"2 �"23��� �*�JE���&�4�� � >D#_B CG *!�+ �04,/ 2 ��� 4�# !�� ��!1/1# !��"# !14 4�� ��#ALD ��+�# + �04<C �/ 4�#%� 4� *! � >D#_B CG *2G#$/ 2O^ �"#: ��&L�# 0��/ �� ^ #%4�; M ',+,+,+y');�� �)�*�� \0� *23�"2 ��� � �+>D#_B � P �# ! � ;,� ;y���[C�0 # �"!GLR *! #A�"#A� # !14 ��� � �+>D#_B C �< *!0 # # ' E���# 2323# +$ *2 �"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��! ��� 4�#�;,�dB

� ;,� ;y��� < #4E 4� � ;42+ > � � A B

P �#1� � #�� �"# !14�2:E 4� � ��#1�< ��&�"# +3#$/ 2 �HX � �S�CX*� �*R �����X�HXm��� X��*�� Z # 2J�� ; 4� 4 �)�*� #%/1#%�3$ /1#A�%4��*��U #A�"+ � � >D#_B�; #U�< *!@U !�+b 3����!q�Tr R X R ��� X R � � ��r��� � � R ;��G> �JB 4 �����GL�@;R> �& ���B � P � 4 �"2AC3; #��< *!�U !�+� �E� 4 � ����� ; 4 �����GL�@# ; ���23#4/ *!GL�# !14 4 *!1$:E ���"!14T;��S> �JB �"2 4�#4�"� �< ���/� ��&��# � ��� � � � ��� ��� �"! 4�#%�� 2 ��� 4�#*�� +E�;���B � E #; #1� /1#

; � � ++ � <$� ��� � � � + > � � I BP ��"2 E� 4-�"2=� ���UE��"#%4�# �"! 4�# 23# !�23# 4� 4:; � > �JB �"2 +�#HU !�# + �)�*� ��&� � �� P �#(+�# E # !�+�# !G� # ��� ;��S> �JB ��! �_ *!�+ " �"2�2J�G�/�4� 4$;��S> �JB�<n; � � �T� ! ���!���� � ��� 4��"2���# 2J�G�04; #:; ���04�# # ' ET> � "SB B ; � > �JB �TZ #1� /1#

# ' ET>Du "SB�<>;=4 " �� �+>D#_B *!�+# ' E

�> � M�� � � B " � < # ' ET> � M "SB # ' ET> � � "SB 4 � M � � ���' > � ����B

Page 34: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ � � � � %��/ /Z'�_�[)��A]� "�@]+^��T#.� � ]43��K, *2 4�# # ' E ��!�# !14��� �� !��*4/ 4��"��! 2J�GL�L�# 2 4�2 � P �#1�� +E�; � �"2 �< ��&�"# + 4�# R �p� ��� R � X*����r !q�L� �� �54 �)���&�"� ;(2 4� 4-4�� #< ��/!" � �+>D#_B 4�#%��# � �*�3��# 2FE ��!�+�2$ O H�+��&� # !�23�"��!� �� 2J�S0�L*�����SE� � H # � P ��"2 �"2 4�# " 0 #A�"�� *!WL*�����SE-�)�*�� # +�0 $ 4�# #A�"#A� # !14�21%� �# 4� 4=�"�"# ��! 4�# E� 4;�� 4 �����GL��;]B

� � < �*; � > �JBy7 � ��c��+ > � � �DB

� 2�/1#%�3$@O H�+��&� # !�23�"��!� �� 2J�S0�L*�����SE ���T#bE���� /1# 2 4�� 0 #1 �23#%4 ��� 4�# �)�*���*%b< # ' ET> � "SBy' "|U ' # +x��+ > � ����BZ �# !�# �"2 � ���UE� ��%4 *!�+(� ��!�!�#A�%4�# +�C #%/1#%�3$ #A�"#A� # !14=% �# �"2(��� 4�# �)�*�� %h< # ' ET> "SB �)�*�23��� # "� �� �+>D#_B �� P �#��� +E # ' EqB � �+>D#_B E � H�#$7�";E # ' ET> "SB C3; �#%��#�� �"2: @>gE�����0� +0��0$(�� �L�# B !G�+���S;�C�E���� /1# 2 4�� 0 #1 �+�� � # ��� �*�JE���"2J� ��� 4�#:�"�"!�#< � /1#A�%4��*�(2FE� �� # � �+>D#_B *!�+�# �� P �# �� +E �

��;���B � E�#$7 �#E�%2;��S> �JB_E���� / �"+�# 2 *! �"!14�#AL*�/ ��3�A� �3/1#.��� � B �� 4 �����GL�

*!1$\E ���"!14:% �#$B> ��G; � B � ++ � <$� ��� � � � + > � � �DB

P �# 23# ��# 2J�G�04�2�2J�� ;�4� 4|# �"2 4��� @L*��#< 4�# ' 4�# !14��/� �/ ��%4�#%����� # + 0 $ �04�2b^ �"#R ��&L�# 0��/ � >D#_B � P ��"2 ��# +G�G� # 2� �E�����0��"#A� �"! +�� � #%��# !14��� �� L�# ��� #%43�3$ 4�����!�# �"!R ��&L�# 0��/ ��0�xw > � ���%? �%? � R � �*R �,�SrxX��� $�> ��O�����B�4�#1�� +EGE �"!GL �

+�#HU !�# +R0 $f> � �&O�B �"!�+G�G� # 2� �� +EGE �"!GL���B � @ >D#_B#E � 9�� � @ � >D#_B <�� @ >D#_By+ > � ���DB

k �UE�� 434��"!GL|(c<>;1; # 23# # 4� 4 *!1$�" �� �+>D#_B �< *!W0 # # ' 4�# !�+�# +-4��U �/1#A�%4��*�cU #A�"+ �� /� ��"�"+4 �����GL����� 4=#$B

� � B �

� " 4�" �#$+ > � �&OmuDB

��R�� �S�xX*�g��� Y" r R ? X|��� �v� � ����� X�/1#A�%4��*�cU #A�"+�� �"2 ��!�# 2J�G�/ 4� 4

�� � < � 4@%� �#$+ > � �&O�O�B

+ � R � �*R ! ���� � #c,��.� ^ �_#&%%/ Z+ #�Z�%��`<_Y ]� �A]�/��/ �+K�g/��/ "� �.� ^ � �!#&%%/ Z+ #�Z�%�� �3���.`�#c, ]+^ �[)�� ^?]� J� � � ^?]� , ]����" �� �+>D#_B]<> � ���%? Y k �"!G� # �)�*�: *!1$ � � >D#_B C

�� D �1> � � "SB � > ��BO< > �

� "SBA> ��� � D BG< "K> ��� � D � � BG<"K> ��� � D B�< � D � "K> ��B CS; #:� /1# 4� 4��� �"2=�"# � 4 �"!1/� ���� *!14,B

> � D � � � B D < � D � � � < � D � > � � "SB�< � D � "�+ > � �&O 8 B� � � �"2=�"# � 4FH��"!1/� ���� *!14<C 4�# ! �

< �� � �O<�� �

CG; �#%��#V` B � � � H

P ��"2 4�# �*��#A� 2J�� ;(2 4� 4 4�#.2FE� �� # � >D#_B������"# � 4FH��"!1/� ���� *!14OU #A�"+�2 �"2 �"23��� �*�JE���&� ;(�04� �+>D#_B ��� !�E� �34��&�A�G�� �<C�4�# 23# 4"; ��2FE� �� # 2 � /1#�4�# 2 �� #?U !��04�# +��&� # !�23�"��! �

Page 35: Group Theory Lecture Notes James Binney

� <�� a4]+%�-/ ���"�1- Z'�.-d3'��ZS�[#.]+%S, � �+ � R � �*R ! ��wVX)�� �T#.�~�K ] `q3D-�� ]+^ Z�%+�f�-%_]>�.� ^ � �!#&%%/ Z+ #�Z�%�� �3���.`9, #c, #!�!, ���&^B�.� ^ � �!#&%%/ Z+ #�Z�%��> � ���%? Y

> �� � ��'�� �gBA> ��BT<

��� > � ��B � > ��B�t � � � > � ��B � > ��B

< ���\> ��� �

B � t �

�� > ��� �

B �

< ���� �\> ��B � t �

��� � > ��B �

< > � �nt � ��BA> ��BS< � ��'�� �"> ��By+ H> � �&O A B

k �"!G� #�#%/1#%�3$ �"# � 4FH��"!1/� ���� *!14�U #A�"+ �"2 ���.4�# �)�*�� �� �)�*� 23��� # "< � �+>D#_B C �)�*� #< ��/ ' "3 � �+>D#_B 4�#%��# �"2� (��!�� G ��# /1#A�%4��*� � " � �� �+>D#_B 2J�G�/ 4� 4 ��� ���O< � �L' �� � � P ��"2 *2323� � �� 4��"��!W�� +I1# 2 � �+>D#_B �"!14��� h^ �"#1 ��&L�# 0��/ �

k �"!G� # � >D#_B �"2@ U !��04�# H�+��&� # !�23�"��!� �� /1#A�%4��*��U #A�"+�C1; #f�< *! �/�� ��23# d0� *23�"2������"# � 4FH�"!1/� ���� *!14�U #A�"+�2�� M ',+,+,+y'�� � � P �#5^ �"#�E���� +G�G�%4�� �:� '��G� �[C 0 # �"!GL �"# � 4FH��"!1/� ���� *!14<C1�< *! 0 ## ' E���# 2323# +$ *2 �"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��! ��� 4�# �&4 B

� �:� '��G� ��<$#4E 4� � �&42' > � �&O I B

; �#%��#(4�#=E 4� � ��#(4�# 2 43��G�%4� ��# � ��!�2 4/ *!14�2 �"!143��� +G�G� # + �"!@> � � A B �X2CG �� 4��"��!$> � �&O I B # ' E��� *�"!�2; 1$ 4�#%$ ��#��< ��&�"# + - � ��!�2 4/ *!14�2/ B 4�#f� � #�� �"# !14�2R�#%��#f� ���G�"+ �"! E����"!G� �cE��"# /� �3$ ;(�04E ��23�04��"��! �"!3#*CG0�� 4(4�#%$ +���!��*4 �

o � R2� ���?� R��y� �x�*Y����� /1#�4� 4

E ��A4 E 9� �E � 4

E 9� � � E � �E 9�)4 <>uv+ > � �&O ��B

P �# E���� ��� 4� 4 4�#.# ' E ��!�# !14��� ��K�� +E # ' ET> � "SB �< *!�0 #.#%/� ��&�� 4�# + �)�*�= �J0 �043�/ ���&�0$U�� �L�#� �"2 4�# +��"����2AC�0�� 4 4�#:0� *23�&� �"+�#< ��"2 23�&�UE��"#CB�� $ # ' E���# 2323�"!GL�4�# #�G �� 4��"��!

; � � ++ ���� �<�� � ��� � � � > � �&O�DB

�"!R� � �*��+��"!� 4�# �)�*��RC�� ; #1�� $ 2J�� ; 4� 4 �04 �< *!W0 # 23���0/1# +-�"!( �2J� �� �"# !14�0$ 2J�� ��&� !G�+ ����&;��1e.# !G� #�; # �� $( *232J�G� # 4� 4V;��G> �JB(�"2�+�#HU !�# + �)�*� � � � ����} u � P �# !@; # 2J�� ; 4� 4�)�*� � � M � ' � � � � ��� �]8 Cp;��G> � M BF;��S> � � Bc< ;��G> � M � � � B *!�+@L�� ��! 4��� �L���# 4� 4��)�*���V� � � � � � �; #1�� $ +�#HU !�#J;��G> �JB 4�� 0 #

; � > �JB�< � ; � > � ��� B � � ' > � �&O ��B

4� 4(�"2AC� *2 4�# � ��� E � ; #%� ���S;��G> � ��� B �

� �QgZ evZ e � a��-a� �� � � � ����� � ����� � ��� � � � � ��� ��� �� � � ����� � �7}SsKQSJMLNJ � �� � � ����� ��� � @ �� ��� � @ � � @ � �

Page 36: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ � � � � %��/ /Z'�_�[)��A]� "�@]+^��T#.� � ]43��K,�0��� , ���S� �*R X R �]��r����Sr���X*�g���X�" � 4�#%� 4��"2 2J� �3/1#%$ ��� 4�# L�# !�#%�/ �� 4�# �*�3$ ��� ^ �"# L*�����SE 2AC�4�# �"��L��&�< �� !�# ' 4 2 4�# E-�"2 4�����0�4/ *�"!� � �*��+��"!� 4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2.��� 4�#�G �� *!14��04��"# 2=; #Q� /1# # !G� ����!14�#%��# +@ ��"��!GL�4�#1; $p� 4�#�"# � 4FH��"!1/� ���� *!14 U #A�"+�2 ��9C 2 43��G�%4� ��#R� ��!�2 4/ *!14�2�E 4� � C # ' E ��!�# !14��� ��=�� +E #%4�p� �)�*��4�#W� ��2 4�&�UE �*�34/ *!14(��� 4�#QL*�����SE 2 �"�"2 4�# +-�"! ��� � ,.!��)�*�34��!� 4�#A�0$DC3 4(4��"2(2 4/ �L�#:; #1� ��� #1�SE@ �LD *�"!�2 4 �0��"� �I B��)�*� !�#< ��0$� ��&� 4�# 23#1L*�����SE 2(�04 �"2GU # !�+��"2JG�0$ +�� ��A�G�04 4���# ' E���# 232 4�#���# 2J�G�04 ��� 4�#L*�����SEUE���� +G�G�%4$Ec<>%2( �"!�4�#%�� 2�����4�#=L*�����SEp/ 2�!� 4� �/ ����/� �34 � ���*��# ' ��UE��"#�C1�"!�4�#=�< *23# ����@> A B�4�# !� 4� �/ ����/� �34(�"2 E���� / �"+�# +�0 $ 4�#�4 ��# #:� ���UE ��!�# !14�2 ��� 4�#�/1#A�%4��*�c� +�#HU !�# +-�"!> � � 8 B CS *!�+ 4���E���� � # # +\; #.!�# # + 4�� ��0�4/ *�"! 4�#.�.��!G�%4��"��!� �� +�# E # !�+�# !G� #V� >�� �'g�3B_; �#%��#.4�#�p/ 2* ��#(+�#HU !�# +�0 $ ��>�� &B < ��>�� �B ��>��3B � P ��"2 E�����0��"#A� ��� +�#%4�#%�� �"!��"!GL 4�#:����!q� �3�,�xX*�g���?j�S�S�CX*�g��� �)�*� 4�#UL*�����SE �"! 4�#�!� 4� �/ �� �/� �34 �"21 \; #A�&� H�+�#HU !�# +f0�� 4Q��2J�� ��&�0$ # ' � # 2323�0/1#A�0$!� *2 45$\E�����0��"#A�-�

h.� ; ��&� 4�#:L*�����SE 2(��� ���� ��# 2J�S0��� *!��"�)���"+�2Q>! *!�+ 2J�S0�L*�����SE 2/B ��� # �04�#%� � ��> � ' ��B��*�� ��> � ' � B � P �# � � L*�����SE 2 ��# !��*4 � #%��#Q�� *!��"�)���"+�27 #< ��/6%0 � ��> � ' ��B �"2 #�� #A�%4��0/1#A�0$( �� 43��� ' �$C+ *!�+��� 43���&� # 2��< *!Q0 #4���G�04��cE��"�"# + 0 $ !9�G��0 #%��2 *!�+� *+�+�# + � k �(4�# � �@L*�����SE 2X ��#�"�"!�#< ��/1#A�%4��*��2FE� �� # 2 � & ��!�23#�G ��# !14�0$DC �"! 4�# �0�4�< *23# 4�#=�� ��/��"!�#%�3$ ��� +�� � #%��# !14��� ���L�# ��� #%43�3$�"2 !��*4 !�#A� # 232 �3$ B�#%/1#%�3$ 4/ *!GL�# !14 2FE� �� #��"2 �"23��� �*�JE���&�(4�� 4�# # !14��0��#��� *!��"�)���"+.#*CG *!�+ 23�"!G� #; #1�< *! !�� ; +�� � #%��# !G� # #A�"#A� # !14�21% �#*CG; #1�< *!R *2323� � �� 4�# #< ��/ "� � �+>D#_B4;(�04 4�# 2J�"��E #+L% � + �-��� �E� 43%K> �3B � ������; 4 �����GL��# �

���*��# � /1#%�<C �)�*�.4�# � � L*�����SE 2.4�#�E�����0��"#A� ����+�#%4�#%�� �"!��"!GL 4�#�� � �*��+��"!� 4�# �)�*�� ���4�#�� ���UE ��23�04��"��! �.��!G�%4��"��! �"2 2 43�/ *�&L�14��)�*�J; ��+ � P �# !� 4� �/ ��X�/� �34��"2 E���� / �"+�# +$0 $-4�# � �� ���UE ��!�# !14�2 ��� 4�#��� 43��� ' � 4� 4 ��# E���# 23# !14�2 4�#�#A�"#A� # !14c%�BT` � ��� � �/>D%SB�< �=� ���_e.# !G� #.4�#� ���UE ��23�04��"��! �.��!G�%4��"��!-�"2 43���0/ �� ��DB �"�TEG<n%2(�C 4�# !

� �=< #4�=�)4 ��4g�C+ > � �&O�DB

� ��%�')(*')E � +EGE # !$ ��&� 4�� 0 #A�"��!GL�4��� �2J�S0�L*�����SE � H � ��> � ' ��B C��)�*�.# ' ��UE��"#.4�� �@> A B C4�# !b> � �&O�DB 2 4��&�&��E���� / �"+�# 2 �/� ��"�"+ ��#A�� 4��"��!�2J��cER0 #%4"; # # !-4�#1� ���UE ��!�# !14�2(��� 4�#1�� 43���&� # 24� 4 ��# E���# 23# !14 4�# 23#�#A�"#A� # !14�2 ���54 �"2SMF��2 4 4� 4 4�#4�� 43��� ' #A�"#A� # !14�2T ��# !0/ 4X ��&���"!�+�# E # !�+�# !14<C *!�+ 4�#%��# �)�*��# +���!0/ 4QE���� / �"+�#� /� ��"�"+f�/� �34 �)�*� 4�# 2J�S0�L*�����SE � P �#U; $�; #�L�#%4� ������!�+4��"2 E�����0��"#A� �"2 4��U�< ��&�A�G�� 4�#:G �� *!14��04��"# 2 �)�*� #A�"#A� # !14�2 ���B�1H � ��> � ' ��B �"! 4�# �0� �< +E� �� �045$ *2 #A�"#A� # !14�2(��� � ��> � ' ��B �+ � R � �*R ! �v�

� ���J# H � ��> � ' ��B ES�WZ �T#.�l1D ]43��B+ Z�%�` ' " !� �+>D#_B )�Zn/��W-A]��f� ]+%�� %��!, � �]' "Q� �#&% �[)���%�ZS�-3+ /Z'�4-J)�Z+ <� ]+^ � ��> � ' ��B]<WVX)�� %d�[)�� -A]��f� ]+%�� %��!,�]+^ � " �" � �+>D#_B Z+ ���[)�����.�/��� %��!, ]+^4�[)����\ZS�! #���� ��t � �'<� ! �*4�#%� ; �*��+�2AC 4�#�� ���UE ��!�# !14�2 ��� 4�# /1#A�%4��*� � " � � �+>D#_B�4� 4 L�# !�#%�/ 4�# 2 4�#��"# � 4FH�"!1/� ���� *!14TU #A�"+ � ��' �� ���)�*�� 4�# � ������� 4/ 4��*� ��� 4�# �� 43���&� # 2 �)�*�� # +�0 $ 4�# � ���UE ��!�# !14�2

��� *!�+�"��> � ���%? Y k �"!G� #�> �.B�� �+>D#_B H � �+> � ��> � ' ��BJB C=> �"�.B1 ��&��#A�"#A� # !14�2 ���1# ��#� ��"23��#A�"#A� # !14�2 ���� ��> � ' ��B CK *!�+ > �"�"�.B ���G�04��cE��"�&�< 4��"��!-�"!6#d� ���"!G� �"+�# 2�;(�04(���G�04��cE��"�&�< 4��"��!-�"! � ��> � ' ��B C�; #�< *!:E���� � # # +Q��!�+�#%� 4�#* *232J�G�UE�4��"��!�4� 4 #%/1#%�3$ 4��"!GL ; #���#�G ���0��#_E #%�34/ *�"!�2 4�� � ��> � ' ��B � Z #

Page 37: Group Theory Lecture Notes James Binney

�F%��! ] `q3D-��[#.]+% �"] �F% ��%G#!�"�/,#c�\Z'�q1S� %��/ /ZS�"]� J, � �U���2 4TU !�+ 4�# � � �*��+��"!� 4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!���� � � �)�*� " �� �

�� ��> � ' ��B � � ":�< *!�0 # ; ���0434�# !� *2

��"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��! ��� +�#%���0/� 4��0/1# 2 � � � � � � ;(�04 ��# 2FE #A�%4 4�� �"!�+��0/ �"+G�� ��K�� 43��� ' #A�"#A� # !14�2� � �]B

"b< #4 9"'4 9 �� � 4 9

������ ���+ > � �&O �DB

h.� ; �"#%4 �(0 #1 *!( �J0 �043�/ �3$ �.��!G�%4��"��!-��! � ��> � ' ��B � P �# !R0 $ > � �&OmuDB

� ��a<$#

� �A4 9"'4 9 � �X>?�UB� �=� �

� �=� �� � 4 9

���� � ���' ; �#%��# � B � + > � � 8 uDB

2�/� ��&�� 4��"!GL 4�# +�#%���0/� 4��0/1# ���T� 4 < � C�; # #< *23�&�0$.U !�+� ��a<$#

�)4 9"'4 9 �=�)4 � �X>D�WB� �=�)9 + > � � 8 O�B

h.� ; 4� 4 ; #�� /1#.4�# � � �*��+��"!� 4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� ��:; # �< *! #%/� ��&�� 4�#.�04�2O^ �"#�E���� +G�G�%4;(�04 ��B

� � ' � � ����> ��B�<�� ��� � > ��B � t � � � � � > ��B �

< 4 9 �=�)4�� �=�)9 � " � � �c� � � �� �c�

�� ���� � ��� t > "�� B

<� 4 9 " � � t�"'4 9 � � � H�)4 H� � 9 � � �� �c�

���� � ���< > 4 � " � � t "'4 � � � � � �� ��4

���� � ���< >D� �3t�� � BD4

� �� ��4

���� � ���+ H

> � � 8]8 B

+ � R � �*R ! � ��F%��[)�� %�ZS�-3+ /Z'� -J)�Z+ <�S� ]+^ � ��> � ' ��BA+��[)��:� �n� ]+%�� %��[#�Z'�K�\Z��$#c,=^?]� "� �#3H � ��> � ' ��B19#N/�� %6E �

��# ' ET> � "SB � < � � � � � M��� > � �XB � � � � + > � � 8CA B> � ���%? Y ^ #%4 � > �JB*0 # 4�#1L��0/1# !�E � ; #%� 23#%���"# 2 � P �# ! + � � + � < � > �JB �b *!�+ � >DuDB < � � & !

4�# �*4�#%� � *!�+�C 4�#:� � �*��+��"!� 4�#���# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� ��� � � � �"2

"Q� � �� � � �

�� 4 9 > �JB � 9 � < "Q� � � 4 9 > �JB�H�)9 g�

<� � > �JB � �4 +

> � � 8 I B

P 9��2 � > �JB[< �4>D;��� B 2 4��"2FU # 2 4�# � � �*��+��"!� 4�# �)�*�� ��� 4�# #�G �� 4��"��! ;��� ��> + � + �JB[<�� � � � � � + H

Page 38: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ ��S� �F% ��%G#!�"�/,#c�\Z'�q1S� %��/ /ZS�"]� J,� � ���q� � �� ��� � � � �� V�� �� � ����� �

Z #�!�� ; �"� ��I@ 4 4�#h^ �"#� ��&L�# 0��/ *2 � ����4�#U� ��2 4 �&�UE �*�34/ *!14?^ �"#UL*�����SE 2J# ��� ��� �b� ! �A�; #�2 <; 4� 4 �04 �"2 � ��2 4 � ��!1/1# !��"# !14 4�� 43��#< 4 4�#�#A�"#A� # !14�2 ��� ��&� 4�# 23# L*�����SE 2 *2 #A�"#A� # !14�2����4�#�#A��0 # +�+��"!GL � ��> � ' B L*�����SE�C ; ��&�/ # !� +0��"# 2Q��2 4��R *2323� � �� 4�#�#< ��/s%F �# *!�+ #< ��/" � >D#_B*;(�04R *! � � � �� 43��� ' � �*� ���

� $ 4�# �*��#A� O I C #%/1#%�3$ 2J�G�/ � �"2� *2323� � �� 4�# + ;(�04 4�#�O H�+��&� # !�23�"��!� �� 2J�S0�L*�����SE ���� ��> � ' ��BQ; ���23# #A�"#A� # !14�2� ��#a��> �JB < # ' EX> � �XB ��k � �"�=; #W� +EGE # ! 4��@I !�� ; ���(2J�G�/ 2J�S0�L*�����SE�C�; #1�< *! ��#A� � /1#%�(�04�21��� � �S�xX R �,��!q��r � R � R2� ��X � � � 4 �����GL�

�6< +L�+ �

���� � � � + > � �&O�B

� ��� + � R;C � R ��r�� R � � � � > �@> A BJB& ��!�23�"+�#%�(4�# 2J�S0�L*�����SE ��� ���*4/ 4��"��!�2 4 �����GL�( *!GL��"# � ������!�+ 4�# � H" ' �"2 � Z #:� /1#��> �JB�<

�� � ��2 � t-23�"! � u23�"! � � ��2 � uu u O

�� � B ��(:< �� u t:O u

O u uu u u

�+ > � � 8 B

k �&� �&�� ��0$DC +�� � #%��# !14��� 4��"!GL�4�#:�� 43���&� # 2 �)�*� ���*4/ 4��"��!�0 $W *!GL��"# 2 � +0 ��� 4 4�#?`@ *!�+��DH" ' # 2AC; #VU !�+-� ����� > � �&O�B�4�# �0� L�# !�#%�/ 4��*��2 4�� 0 #

� M <�� u u uu u t:Ou O u

�' � � <

�� u u Ou u ut:O u u

�+ > � � A B

� ����� � ���Q *!�+ �1; # I !�� ; 4� 4 � > �@> A BJB��"2 A H�+��&� # !�23�"��!� �� � e.# !G� #.4�# 23# 4 ��# #�L�# !�#%�FH 4��*��2=E���� / �"+�#� 0� *23�"2 �)�*� � > �@> A BJB � � ����� 4�# �*��#A� O A ; #:I !�� ; 4� 4(4�#�^ �"#1E���� +G�G�%4.��� ' "� � >D#_B �"2XMF��2 4(4�#1� ������� 4/ 4��*� ��� 4�#1�� 43���&� # 2c�&' ����Z # #< *23�&�0$.U !�+

� �0�d' ��� � < �d� �A4 � 4 >�¡d'j¢]'�� �DO]' 8 ' A �+By+ > � � I B

o � R2� ���?� R��y��%�*YN�#%���"� $\0 $ # ' E��"�&� �04 �< ��&�A�G�� 4��"��! 4� 4 4�#1�� 43��� ' # ' ET> � ��( B � ���"!G� �"+�# 2=;(�043� �"!f> � � 8 B �

� �xw + � R;C � R ��r�� R � � � � > � �U> 8 BJB���*� /1#%�3$ 2J�� ��&� � C���> �JB�< # ' ET> � �XB�� � � � ����� �T� �"2 4���0 #A�"��!GL�4�� � �U> 8 B CS; #1����2 4 � /1#

� � � < � � � < > � � � � � � � B > � � � � � � � � B � � � � � <>u > � ����B� !�; �*��+�2AC�4�# �"!vU !��04�# 23�&�� �� L�# !�#%�/ 4��*� �W����2 4X0 # 2FI1# ; H e.#%�� �04��� *! � Z # ��#�G ���0��#�C�� �*��# � /1#%�<C4� 4

� � � < O �����O � � " MgM�� � � � " M � � � � tQ> � " M � � � � B � O � � " �g� � � �

���� � " MgM�� " �g� <>uv+ > � � �DB

Page 39: Group Theory Lecture Notes James Binney

�S<�� VX)�� �T#.� Z'� 1S� E+ /Z � > � �U> A BJB � ����2� w Y + � R ��R r���X*�g��� � R X � R2R � � �U> 8 B���� P �@> A B

k9E� 4��� ������*4/ 4��"��!�21� � /1# E ���"!14�2� ������!�+ 2FE��#%��# 2 � & ��!�23�"+�#%� 4�# 2FE��#%��# ��� �/ *+��&��2 ���� ��23�04��"��!�2���! 4��"2�2FE��#%��# ��# � ��2 4�23�&�UE��0$�+�# 2J�%���c0 # +�0 $�2 4�#%��# ��L*�/ +E���&�< ��&�0$ E����+M #A�%4��"!GLE ���"!14�2�>�`�'���' � B(��! 4�# 2FE��#%��#�4��\E ���"!14�2�> ��'��&')uDB �"! 4�#�E��� *!�# � < u � � ��23�04��"��!�2��"!4��"2=E��� *!�#1 ��#1L��0/1# !�0 $�� B > � � � ��B � �hB

` � � �h< 8 � �

O � ��� �7 � < �

OGt���� �O � ��� �

'

Z ���04��"!GL��J< � � � � M CG; #?U !�+

` � � �h< 8 � � �M � �� � M � � � � � � � �

7 � < � � � M � �$t � � � � �� � M � � � � � � � �+

Z #1U ' 4�# �"# !GL*4 ��� 4�# � ���UE��"# ' 8 H /1#A�%4��*� # B > � M ' � � B 0 $ 23#%434��"!GL ��< � � M � � � � � � � � �P ��"2 !��*��� ��"���< 4��"��! �"21�A�"#< ��0$ �"!1/� ���� *!14���!�+�#%����!��04/ �3$ 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2 # E # B # �_���*��# � /1#%�<C ��!�# �� $ #< *23�&�0$�2J�� ; 4� 4�4�# 2`G �� ��# + +��"2 4/ *!G� #�>�` M t|` � Bd� � >�� M t� � Bd� � > �]M t �*� Bd��0 #%4"; # # ! *!1$ 4"; �RE ���"!14�2 � M *!�+ � � ��! 4�# 2FE��#%��# �"2Q��!G�/� *!GL�# +; �# ! � M �"2\�� +EGE # + 4�� � M *!�+ � � 4�� � � 0 $ 4�#���E #%�/ 4��"��! # E # � k �b��!��04/ �3$43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2 ��� 4�#�4"; �+H�+��&� # !�23�"��!� ��9� ���UE��"# ' 2FE� �� # ��� 4�# #$/ 2TL�# !�#%�/ 4�#����*4/ 4��"��!�2��� 4�# 2FE��#%��#*� " � ���UE��"# ' 8 H /1#A�%4��*� # �"2=�< ��&�"# +R � R � r ��T���T� � �

P 9��2 � �"2 ��� 4�# �)�*��

�6< � � � � �� t � � < � � u � �

� u � � � � � � O uu t:O � ' > � ����B

; �#%��# � �"2 � ���UE��"# ' *!�+ ����#< �� � h.� ; ; ���04��"!GL �q< �

� � � � � > � � ��B C�; #1�� $ ��# ; ���04�#> � ����B �"! 4�# �)�*���6< �

������ � � ���� � � ��� � � ' > � � �DB

; �#%��#�4�#��= ��# 4�# ��2J�� ����_ ��G�"�_�� 43���&� # 2 � P 9��2 4�#��_ ��G�"� �� 43���&� # 2��)�*�� \0� *23�"2 �)�*�

4�#�^ �"#1 ��&L�# 0��/ ���� � �U> 8 B �+ � R � �*R ! ��� > � �U> 8 BJB #c, #c, ]���]� 7��)G#.-��"] � > �@> A BJB> � ���%? Y 8�#HU !�# �0� B t �� � � � P �# !�0 $W> � � �DB 4�# �0� �)�*�� 0� *23�"2��)�*� � > � �U> 8 BJB �X���*��# � /1#%�

� ����� 4�# ��2J�� ���� ������� 4/ 4��"��! ��#A�� 4��"��! ���F'�����< 8 � �d� �A4

�4 ��� 4�#(�_ ��G�"���� 43���&� # 2ACD; # � /1#

� �0�F' ������< �d� �A4�� 4SCD; ��&�/ �"2_E���#A� �"23#A�0$�4�# � ������� 4/ 4��"��! ��#A�� 4��"��!�2J��cE$> � � I B ��� � > ��> A BJBy+ Hk �"!G� # 4�# 2 43��G�%4� ��# ���3 =^ �"# L*�����SE��"2 /1#%�3$ !�#< ��0$ +�#%4�#%�� �"!�# +�0 $ �04�2�^ �"#= ��&L�# 0��/ SC*4��"2

�"23��� �*�JE���"2J� ��� � > � �U> 8 BJB= *!�+ � > �@> A BJB �&�UE��"�"# 2 4� 4��@> A B �"2 �A�"��23#A�0$ ��#A�� 4�# + 4�� � �U> 8 B �� � ' 8 ��#A�� 4�# 2 4�#:L*�����SE 2=0 $R *! # ' E��"�&� �04=� ��!�2 43��G�%4��"��! �

Page 40: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ �� � � ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,:]+^ �T#.�01D ]43��K,� ��� + � R;C � R ��r�� R � � � � > � �U> A BJB" ! �L��G� # !14 �A�"��23#A�0$ *!� ��"��L�����2 4���4� 4�+�# E��"� $1# + �"! 4�#��< *23# ��� � �U> 8 B 2J�� ;(2 4� 4 L�# !�#%�/ 4��*�(��� � �U> A B*����2 4=0 # ��� 4�# �)�*��

��< ��� � � � � �� � ��

� Oct � t

�' > � ���DB

; �#%��# � ' � *!�+$ ��&� 4�# �*4�#%�.!9�G��0 #%��2� ��#Q� ���UE��"# ' � " !1$R�� 43��� ' ��� 4�# �)�*�� > � ���DB�< *!W0 # ; ���0434�# !R *2 �"�"!�#< �(2J�SE #%�JE ��23�04��"��! ��� 4�#:�� 43���&� # 2

� M <[t ���� u O uO u uu u u

�' � � < t ��

�� u t �~u� u uu u u

�' ��(:<[t ��

�� O u uu t:O uu u u

�> � �&Omu� DB

� � < t ���� u u Ou u uO u u

�' � � <[t ��

�� u u t �u u u� u u

� � < t ���� u u uu u Ou O u

�' � � <[t ��

�� u u uu u t �u � u

� ' ���:<[t ���� M� u uu M� uu u t:O

�> � �&Omu+03B

k �"!G� # 4�# �0� �)�*�b¡J� A ��#:MF��2 4 4�# �_ ��G�"�4�� 43���&� # 21;(�04b *! # ' 43�/ ��� ; *!�+b� ���&�G� ! ���� #%����2 4/ ��I1# + ��!�C��04 �"2 �A�"#< � 4� 4 4�# 23# L�# !�#%�/ 4��*��2 �)�*�� 2J�S0� ��&L�# 0��/ ���� � > � �U> A BJB_; ��&�/�"2 �"23��� �*�JE���&��4�� � > � �U> 8 BJB � P ��"2 2J�S0� ��&L�# 0��/ -�"2Q *2323� � �� 4�# +�;(�04f 2J�S0�L*�����SE ����� �U> A B4� 4,/ 2 �"23��� �*�JE���&� 4���� �U> 8 B ��k �&� �&�� ��0$DC � � � ' � � '�> ���:t M� ��( BY�� *!�+)� � � ' � � '�> ��� � M� ��( BY�L�# !�#%�/ 4�# 2J�S0� ��&L�# 0��/ *2��"23��� �*�JE���&� 4�� � > � �U> 8 BJB 4� 4� ��#W *2323� � �� 4�# + ;(�04 �*4�#%� � �U> 8 B2J�S0�L*�����SE 2 ��� � �U> A B �

� � �� �� � V�|� � � � � � � ��� � � ��������� �

+ � R � �*R ! �4�.0/��/ "� ��K �/, � %�� ZS�[#.]+% ]+^1Z �T#.� 1D ]43�� # H � ��> � ' B�#&% �"�/ J��,W]+^ �&#&%�� Z+ W]]� �/ /ZS�"]� J,��>D%SBJB � E � ]+%fZ /��A-��"]� 1,7��ZD-A� � �K ]�/+#.`G�/,�Z\ ��K �/, � %�� ZS�[#.]+% ]+^��[)���1D ]43�� � , �T#.�Z'� 1S� E+ /Z � >D#_B]<> � ���%? Y P �# #A�"#A� # !14�2 "� �� �+>D#_B ��� � >D#_BT ��# #�� #A�%4��0/1#A�0$ 4�# 2 �� #4I �"!�+ ��� � � � �� 43���&� # 2

*21 ��# 4�#�#A�"#A� # !14�2�%! # ��e.# !G� # ;(�04 #< ��/ "! � �+>D#_B ; #U�< *! *2323� � �� 4�#U *! ��E #%�/ 4��*���> �XB|B � E � 0 $fE���#A� �"23#A�0$ 4�# ��G�"#�0 $f; ��&�/�% n# �"2 ��# E���# 23# !14�# + *2 *! ��E #%�/ 4��*� ����*��# � /1#%�<C 0 $�4�#(��#�G ���0��#A� # !14 4� 4*� ���UE ��23�04��"��! ��� 4�# ��E #%�/ 4��*��2 � 0 # � ���UE� 4��c0��"#=;(�04L*�����SE(���G�04��cE��"�&�< 4��"��!�C9; #1� /1#

��> � " �gBT<���>D� �3t � � B�< ��>D� B���> �XB�t ��> �XB���>D� By+ H > � �&O�B

P �# � ��!1/1#%��23# ��� 4�# �� *2 4 4�# �*��#A� � 4� 4�#%/1#%�3$ ��# E���# 23# !14/ 4��"��!���� � >D#_BTL��0/1# 2 ���"23# 4��: ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ���L#;� �"2 ��&� ��2 4 0�� 4 !��*4 G ���04�#�43���#*� � P �# ��E #%�/ 4��*��2T�e< # ' E

���> �XB � ;(�04

��� r r Z [ ONO���=X`s�tUJMLqXYLNJ QS[ TUJ`r J`eNeNr |*_[]\Sy Wge J`a XYtU[]WSOqORQgZ ei� \�T�i �����uORQSJM|~_MZ ONJ�% � ORQSJM[ LNJ-V~e � i �QSJKbdLRe OZ evV'J`X \gZ \Sh]r J`eNei�QSJue J`_[]\gaFZ e�ONLRWSJ#tdWSO�sqJ`X��U}gORQSJ#ORQgZ LRaFZ e�y X r e J]i

Page 41: Group Theory Lecture Notes James Binney

� < � � ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,:]+^ � > � �U> 8 BJB�< � > �@> A BJB � �

" � >D#_B �)�*�� �L*�����SE6# ��!�+�#%� ���G�04��cE��"�&�< 4��"��!�C3 *!�+ �"! 4�# !G�+���� ;�C0# �"2 �"23��� �*�JE���&�;(�043# � P �#1L��"��0� �� 2 43��G�%4� ��# ���T# *!�+�# ��� $ +�� � #%�<C��� ; #%/1#%� ��0��� ��R � �*R � R � Xm��X*�g���X�Q�%? � > � �U> 8 BJB�< � > �@> A BJBZ #�!�� ; � ��!�2 43��G�%4_ ��&�]U !��04�# H�+��&� # !�23�"��!� ��1��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2 ��� � > � �U> 8 BJB C�; ��&�/10 $ 4�# �*��#A�O �-�"2 �"23��� �*�JE���&� 4�� � > �@> A BJB � P �#\�� *�"!b�"�"!�# 2 ��� 4�#� �L��G� # !14�;(�&�&�40 # �g �� �&�"�� � � �����#A�"#A� # !14/ �3$$G �� *!14�G� � #A�/� *!��&� 2 � ��� ��23# 2 ��Z #�2J�SEGE ��23# 4� 4�4�# ��# E���# 23# !14��"!GL ��E #%�/ 4��*��2��> �XB ��%4(��!R �2FE� �� # � ; ���23# #A�"#A� # !14�2(�04 �"2 � ��!1/1# !��"# !14(4���4/ +I1#�4�� 0 # I1#%4�2 � �� �Z # 2 4/ �34=0 $ +�#HU !��"!GL�4�#1e.#%�� �04��� *! ��E #%�/ 4��*��2

� � B � ��> �0�"B ' � � B (#��� M

� �� ' � � <�� M � � � � ' > � � 8 B

; �#%��#�¡�< O]' 8 ' A *!�+ 4�# �0�: ��# 4�# �"!vU !��04�# 23�&�� ��*L�# !�#%�/ 4��*��2 ��� 4�# �*��#A� O � � � $ 4�#2 �� #�4�# �*��#A�RC 4�# !�# ; ��E #%�/ 4��*��2 2 4��"23� $ 4�#:� ������� 4/ 4��"��! ��#A�� 4��"��!�2

� � �F' � 4 ��< � �d� �A4 � 4 ' � � �F' � � � <>u ' � � � ' � � ��<nu ' � � (Q' � � � < � � � + > � � A B

�54(�"2 ��"23��2 43�/ *�&L�14��)�*�J; ��+ 4���2J�� ; 4� 4

� � <���� K�� � �( t � (

<�� K � � �� �( � � (C+ > � � I B

k �"!G� # � (� *!�+ �S�Q� ������� 4�#�C�; #��� $R�/�� ��23#� �0� *23�"2.�)�*� � � ��!�23�"2 4��"!GL ��� I1#%4�2 � � ' � �; ��&�/( ��#:��� 4�� �� # �&L�# !SI1#%4�2 ���� (1 *!�+ �S�*B� ( � � ' � � < � � � ' � � ' � � � � ' � � <�� � � ' � � + > � ����B

k �"!G� #�� � K ' �S���J< uSC � K � � ' � � �"2\ ��"23�b *! # �&L�# !SI1#%4 ��� �S��;(�04 # �&L�# !1/� ��&��# ���n�54 �"2\ *!# �&L�# !SI1#%4(���� (�C�4����GL��;(�04 # �&L�# !1/� ��&��# � t O �/ 4�#%� 4� *! � B

� (D> � K � � ' � � B <�� K > � ( � � ' � � B � � � (C' � K � � � ' � �< > � t O�BA> � K � � ' � � By+> � � �DB

e.# !G� #� K � � ' � � < � K >�� ' � B � � ' � t O � ' > � ����B

; �#%��# � K >�� ' � B �"2* !��*��� ��"���< 4��"��!�� ��!�2 4/ *!14*�/���23# ! 23� 4� 4�#%/1#%�3$ � � ' � � � *24��!��04�!��*��-��$�G�04��cE��0$ �"!GL�0 �*4-23�"+�# 2(��� > � ����B40 $ �"2 *+�M ���"!14<CG; #VU !�+W;(�04f> � � I B

� � K >�� ' � B < � � ' � � � � � K � � ' � �<���t � > � t O�By+ > � � �DB

Page 42: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ �� � � ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,:]+^ �T#.�01D ]43��K,k �G�A� # 2323�0/1#A�0$W���G�04��cE��0$ �"!GL � � ' � � 0 $ � K *!�+ ��# !��*��� ��"��� �"!GLGC ; #:�< *!R�A�"#< ��0$\L�# !�#%�/ 4�#

!9�G��0 #%� ���K0� *23�"2 /1#A�%4��*��2 � P ��L�#%4 23��� #(�*4�#%��2AC ; #����G�04��cE��0$�0 $ ���TZ #1U���2 4 E���� /1# 4� 4

4��"2 ��#%/1#%��23# 2(4�#1 ��%4��"��! ���X���G�04��cE��0$ �"!GL�0 $ � K B

��� K � � ' � � < � K >�� ' � B � � � � ' � tdO �< > � � t � �( � � (<B � � ' � �< >���t � > � t O�BJB � � ' � � +

> � ���DBP �# ! �04��"2�2 43�/ *�&L�14��)�*�J; ��+ 4�� 2J�� ; 4� 4U +EGE��0$ �"!GL �

�4�� � � ' � � ; #�L�#%4� $���G�04��cE��"# ���� � ' � � O � B � (D> �

� � � ' � � B�<�� � � ( � � ' � � � � � (C' � � � � � ' � �< > � � O�BA> �� � � ' � � By+

> � �&OmuDB

e.# !G� #�� � � ' � � < � � � � ' � � O � ' ; �#%��# � �

�<���t � > � � O�By+ > � �&O�O�B

Z # � /1# # 2 4/ +0��"�"2J�# + 4� 4 2 4/ �34��"!GL.� ����� .23�"!GL��"#*I1#%4 � � ' � � ; # �< *!�L�# !�#%�/ 4�# ��� *+�+�#%���� I1#%4�2 4� 4 +�� � #%���"! 4�# �0��# �&L�# !1/� ��&��# 2�;(�04 ��# 2FE #A�%4�4�� � (*��� � +��&�$> �1B �"2 4��R0 #�U !��04�#�C4�#W�� *+�+�#%������2 4�� /1#R 4���E *!�+ @0 �*434����RC ; ��&�/ �04 ;(�&�&� ��!G�0$ �"� � �

/� *!��"2J�# 2 �)�*� �2J� �� �"# !14�0$W�� �L�#: *!�+ � K /� *!��"2J�# 2 �)�*� � 2J� �� �"# !14�0$ 2J�� ��&�DB

� �>�� '���� ��� B <>u � ��t � � ��� > � � ��� � O�B�<>u

� K >�� '���� � � B <>u � ��t � � � � > � � � � t O�B�<>uv+ > � �&O 8 B

k �S0�43�/ ��%4��"!GL 4�# ���&L�14FH � *!�+ #�G !�2 ���*> � �&O 8 B ; #.#< *23�&�0$ U !�+ 4� 4 � � ��� <[t � � � � B ¢ ��� � 4� � ��� t � � � � �"2* *! �"!14�#AL�#%�<C 23�=¢ �"24 *! �"!14�#AL*�/ �� !9�G��0 #%� ���K� ��"�&H��"!14�#AL�#%��2 ��+��&�(> �1B�< 8 ¢ � O�"2 4�# !( *! �"!14�#AL�#%� �

h.� ; ; #4 ��#��"!Q E ��23�04��"��!.4��=� ��!�2 43��G�%4 ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2 ��� � > � �U> 8 BJB ��� *!1$�+��&� # !�23�"��!8 ¢ � O��TZ # *+���E�4�4�#(# �&L�# !SI1#%4�2 � ¢]' � � B � � ' � � ��� � ( *2���� �40� *23�"2_I1#%4�2 � P �# !�4�#=�� 43��� '��� � ( �"2

� (1< +��� �L���!� ��[> ¢]'j¢Vt O]',+,+,+y',t&¢ By+ > � �&O A BP �# # !143���"# 2(�"! 4�#1�� 43��� ' ��� � � ��#�4�# !9�G��0 #%��2

> � � B �|< � � ' � � � � � � ' � �< � � >�� ' � B� � � � M +> � �&O I B

P �#���# E���# 23# !14��"!GL��� 43��� ' ��> �XB ���X *!1$ " � > � �U> 8 BJB4�< *! !�� ; 0 #:� ��!�2 43��G�%4�# +W0 $ 4/ +I �"!GL4�#Q +EGE�����E����� 4�#:�"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��! ��� ��> ��( B C ��> �

�B *!�+���> � K B �

P �# � ��!�2 43��G�%4��"��! MF��2 4 +�# 2J�%���c0 # + +�� # 2 !��*4 L�# !�#%�/ 4�#������ � ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� � > � �U> 8 BJB �� !�+�# # +�C�; # � ���G�"+W� /1#: *2323�&L�!�# + 23��� #�# �&L�# !1/� ��&��# � � ��� � (.4"; ��# �&L�# !SI1#%4�2AC�2 $ � ¢]' � � ' � � *!�+ � ¢]' � � ',t � C1�"! ���E # 2����3� ��!�2 43��G�%4��"!GLQ ���# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� +��&� # !�23�"��!� ��"�045$�L*��#< 4�#%��4� *!8 ¢ � O�� � � 4.4�# ! � ����� #< ��/ ��� � ¢]' � � ' � � C � � *!�+ � K ; ���G�"+�� /1#�L�# !�#%�/ 4�# + *! # !14��0��#�� *+�+�#%� ���GI1#%4�2 � ¢]' � ' � � *!�+� 4 4�# # !�+ ��� 4�# +� $1; #*� ���G�"+�� /1# �*��+�#%��# + 4�# # �&L�# !1/1#A�%4��*��223� 4� 4(4�#1�� 43��� ' > � (<B ��; *2 0��"� �I9H�+��� �L���!� ��!C�#< ��/ ��� 4�# 4"; �U0��"� �I 2=0 # �"!GL\ U� ��E $-������ �(�)�*�� #%� �� 43��� ' > � ( B �KC� *!�+-23�&� �&�� ��0$ �)�*� 4�#1�� 43���&� # 21> � � B � �

Page 43: Group Theory Lecture Notes James Binney

� < � a_)�Z+ /ZD-��"�/ J, ]+^4�[)�� � � � �4#c J ��K, � �

P ��"2U �L��G� # !14��� +I1# 2 �04�E��� ���23�c0��"# 4� 4���� � � ��!�2 43��G�%4��"��! $ �"#A�"+�2 ��&��4�# ��# E���# 23# ! H4/ 4��"��!�2 ��� � > � �U> 8 BJB\ *2323� � �� 4�# + ;(�04 �0�3��# E 2-����� �U> 8 B C *!�+ 4��"2 �"2 �"! �g ��%4 4�# �< *23#*����*��# � /1#%�<C ; #��< *! L�� ��! 4��@� ��!�2 43��G�%4�4�# �0�3��# E 2 4�#A� 23#A�0/1# 2�0 $ # ' E ��!�# !14��� 4��"!GL #%/1#%�3$��#< ��X�"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��!�����4�# � �:>�¡$< O]' 8 ' A B � P �#W> 8 ¢ � O�B ��� ��# E���# 23# !14/ 4��"��! � � � � ��0SH4/ *�"!�# +-�"! 4��"2=; $ �"2 �< ��&�"# + 4�#1��T��� j¢���# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� � �U> 8 B ��� � ��I 2 2J�G�/$ *2 24�&�"�"�*4345 8: <;=0 #%��>�� 8 u ����B L��0/1#.4�#1�� 43���&� # 2 4� 4 ��# 2J�G�04 � ������4�# # ' E ��!�# !14��� 4��"��! �

Z �# !h¢ �"2* *! �"!14�#AL�#%�<C � � � � �"2�!��*4 �g *�04��.�G� ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� � �U> 8 B ��� !�E� �34��&�A�G�� �<C0 �*46; *!�+ 4�# #A�"#A� # !14 *2323� � �� 4�# +(;(�04 4�#��� 43��� ' � t:O u

u t:O � ��#��� +EGE # + �"!14�� 4�#> 8 ¢ � O�B H�+��&� # !�23�"��!� �� �"+�# !14��045$��� 43��� ' � ���*��#=L�# !�#%�/ ��&�0$DC�;(�04�¢1 *!��"!14�#AL�#%� � �

� � �� +E 2X0 �*4# ' ET> � �XB *!�+ # ' E

�> � � � B � � �"!14�� 4�#�2 �� # �� 43��� ' CD; �#%��# �6< � � � � �0� ;(�04 � � � < O��"2=

�"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��! ��� 4�#:L�# !�#%�/ 4��*��2(��� 4�# �*��#A� O � �e.� ; #%/1#%�<C�;(�04:¢ } u *! �"!14�#AL�#%�<C�� � � � +�� # 2�E���� / �"+�#4 �g *�04��.�G�1��# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� �@> A B �

� ! �g ��%4 � � M����"2 #�G ���0/� ��"# !14 4�� 4�#���# E���# 23# !14/ 4��"��!:E���� / �"+�# +:0 $ �*��+��"!� �3$ A H /1#A�%4��*��2AC 0 # �"!GL 4�#��# E���# 23# !14/ 4��"��!�E���� / �"+�# +�0 $ 4�#�� M 2 4��+��"# +��"! # ' #%�� �"23# O�O�� ���*� !���! H��"!14�#AL*�/ ���¢�C � �

� � +�� # 2!��*4 E���� / �"+�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� �@> A B � P �\��!�+�#%��2 4/ *!�+ 4�#�E�����0��"#A�RC�� ��!�23�"+�#%�1 45$ E �&�< ��O H[E� �/ �� #%4�#%� 2J�S0�L*�����SE ��� �@> A B C 2 $2� # ' ET> � "SBY��;(�04 " �� � � �@> A B � � P �#.#A�"#A� # !14�2 ��� 4��"22J�S0�L*�����SE ��# E���# 23# !14 ���*4/ 4��"��!�2: +0 ��� 4 23��� # ' �"2AC 4 �����GL� *! *!GL��"# 4� 4 �"2 E�����E �*�34��"��!� ��4���� � " 2�� �"2 �"!G�%��#< *23# +�C3; #�� � /1#VU���2 4 <; $-� �����{;�CK *!�+ 4�# !-��#%4� ��! 4�� �04 ; �# ! �$< � � C2 $1��Z �04 4�#(� �*�3��#A�%4\�/����&� # ����L�# !�#%�/ 4��*� � C # ' ET> � "SB �"2 ��# E���# 23# !14�# + �"! � � � � 0 $ 4�#�� 43��� ' # ' ET> � �XB � ���*� �"!14�#AL�#%�&¢ ; #:� /1# # ' ET> � � �XB�< � CG0�� 4(�)�*� !���! H��"!14�#AL�#%�O¢�C�# ' ET> � � �XB <t � 7��"! 4��"21�< *23#�; �"2:0 # �"!GLR�� +EGE # + �"!14��( W�� 43��� ' �*4�#%� 4� *! � C *!�+ 4��"2 / �"���� 4�# 2�4�#��# E���# 23# !14/ 4��"��! ��#�G ���0��#A� # !14 4� 4 + >D;�B S+ >D%SBT< + >D;m%SBT< + >D%SB �

�54.�"2.��� 4�# !�2 *�"+ 4� 4.�)�*�.!���! H��"!14�#AL�#%�1¢�C � � � �*E���� / �"+�# 2 3- +����S0��"# H /� ��&��# + ��# E���# 23# !14/ �H4��"��!0/ ��� �@> A B CT0�� 4 4��(� $ � �"!�+ 4��"2 �"2� *!f��!�!�#A� # 232 �3$ *!�+b� ��!��.��23�"!GL@� �0��A�G���"� �A� 4��"��! ��@> A BT *!�+ � �U> 8 B ��# +�� � #%��# !14_L*�����SE 2 #%/1# ! 4����GL� 4�#%$ 2J� ��# 4�# 2 �� #$^ �"# ��&L�# 0��/ � � � � � ��c; $ 2 E���� / �"+�# 2 *! �0�3��# E ��� � �U> 8 B C�4����GL� 4�# �0�3��# E �"2 �g *�04��.�G� ��!G�0$-�)�*�.!���! H��"!14�#AL�#%�1¢ �P �#U��!��g *�04��.�G���0�3��# E 2 ����� �U> 8 B� ��#��g *�04��.�G���0�3��# E 2 ��� �@> A B 0 #A�< ���23# �@> A B.�"2 #�G ���0/� ��"# !144�� � �U> 8 B4;(�04�E ���"!14�2 �"+�# !14���U # + �"!�E� *�0��2 �

�0�xw , ��� � ���CX R2� ���%?1Xg� R � � � �:� �*�*R � �+ � R � �*R ! �5�VX)��1-���Z+,J, �/, ]+^��@> A B -A]��f�K #c, � ] � ZS�[#.]+%S, Z5ES]43S�4Zf19#N/�� %RZ�% 1,�.� �v<> � ���%? Y ^ #%4G%�')EG ��@> A B_0 # L��0/1# ! � P �# ! 4�#(���*4/ 4��"��!� ' # 2 R

' R D ��� 4�# 23#(���*4/ 4��"��!�2* ��#

��!�� G ��#A�0$ +�#HU !�# +�0 $@% R< R

C�E R D < R D �b^ #%4J(Q0 #U ���*4/ 4��"��! 4� 4 43�/ *!�23�)�*�� 2 R D �"!14��

RBJ( R D < R

� P �# ! >D( K�M %2(AB R D < R D C 23�b>D( K�M %2(AB.�"2Q ���*4/ 4��"��!� +0 ��� 4 R D � � $@�/�� ��23�"!GL

� � �*��+��"!� 4�# 2 2J�G�/ 4� 4 ���"�"# 21 ��"��!GL R D C *!�+ ��# E���# 23# !14��"!GLb>D(mK�M)%2(AB *!�+qE �"!��� 43��� ' �)�*��

��K�M � � *!�+ , C ; #�23# #�4� 4 4�# 23#����*4/ 4��"��!�21 ��#��"+�# !14��&�< ���� � 4�# �0� ���*4/ 4��"��! *!GL��"# 2� ��# #�G �� �� �=���*��# � /1#%�<C P ��>D�WB$< O � 8 � ��2 �

< P � >?��K�M � �UB � e.# !G� # 4�# �0� ���*4/ 4��"��!

*!GL��"# 2 ��# #�G �� �� � � �< � D � P 9��2VE?< (mK�M)%2( �)�*��23��� #b(�C� *!�+ 49��2V%W *!�+@EQ ��# �"! 4�#

2 �� #:�A�� *232AC � �@%\ *!�+3E: ��#����*4/ 4��"��!�2 4 �����GL� 4�# 2 �� #: *!GL��"#*� H+ � R � �*R ! � �VX)��1-J)�Z+ /ZD-��"�/ � � � � ]+^XZ� ] � ZS�[#.]+%��[)S ]43g19)RZ�% 1,�.� �@#&%��[)�� � � � �4#c J �� #c,

Page 44: Group Theory Lecture Notes James Binney

��� a_)�Z�� �"�/ �� � � ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,:]+^ �T#.�01D ]43��K,���2� �0Y + � R + ��� ��rg���L� �%? � �U> 8 B>��� P �@> A B

� �U> 8 B.�"2 +�� � # ��� �*�JE���&� 4�� 4�# A H�2FE��#%��# � ( � & !�#��< *! � ��!G� # E�4�� ��"��� #�� ( *2Q 23���"�"+2FE��#%��# ��� �/ *+��&��2 8 ;(�04 �04�2 2J� ���g �� #���< 8 �"+�# !14���U # +@ *2� 23�"!GL��"#1E ���"!14 �G� � ; � � �"�"# 2 4V��<iuSC 4�# !q�|< 8 �"2.4�#�#A�"#A� # !14 ;�� t � � �@> A B.�"2: *2323� � �� 4�# +@;(�04�4�# � ��"������ �U> 8 BT 4���� O*;(�04 +��� �� #%43���&�< ��&�0$ ��EGE ��23# +�E ���"!14�2 ��! 4�#=- #�G �� 4��*�,/Q�V< O �"+�# !14���U # +07E ���"!14�2 ��! ��< O\� �*�3��# 2FE ��!�+ 4�� ���*4/ 4��"��!�2 4 �����GL� � *!�+ 4�# �"+�# !14���U��< 4��"��! ���"23# 20 #A�< ���23#� ���*4/ 4��"��!\0 $@t � �"2 #�G ���0/� ��"# !14 4��� ���*4/ 4��"��!\0 $ � +0 ��� 4 4�# 2 �� #: ' �"2 �

P �#�2FE��#%��# ��� � �U> 8 B��"2 23�&�UE��0$ � ��!�!�#A�%4�# + 0�� 4 �@> A B��"2 !��*4,B " E� 4 ; ��&�/E� *2323# 2 � ����� �q< u�4�� 4�# #�G �� 4��*�U 4�23��� #\E ���"!14 � C* *!�+ 4�# ! #A� #%�L�# 2�� ������4�#+��� �� #%43���&�< ��&�0$ ��EGE ��23# +$E ���"!14 4�� ��#%4� ��! 4��.;�CK�< *!�!��*4 0 #�� ��!14��"!9������2J�0$(� ��!143�/ ��%4�# + 4�� �E ���"!14 �

� � 0 $ *! # ' 4�# !�23�"��! ��� 4�# �"+�# !14���U��< 4��"��! ���=E ���"!14�2 ��! 4�# #�G �� 4��*�h�@< O�C ; #�"+�# !14��"� $-#%/1#%�3$�E ���"!14 4:�h} OQ;(�04 4�# +��� �� #%43���&�< ��&�0$ ��EGE ��23# +RE ���"!14� 4:� � O�C 4�# !� �U> 8 B*E���� / �"+�# 2 .- +����S0��"#1� � /1#%���"!GL�/ ��� �@> A B �

� � � � > �KB <23�"! > ¢ � M� B �23�"! M� �

+ > � �&O ��B

> � ���%? Y � $ 4�#��� *2 4 4�# �*��#A� �04 2J� �� # 2 4��(� ��!�23�"+�#%� ���*4/ 4��"��!�2Q +0 ��� 4 4�# � H" ' �"2 � P �#�� 43���&� # 2 ��� 2J�G�/-���*4/ 4��"��!�2= ��# ��� 4�# �)�*��# ' ET> t ��� ��( B�< +��� �L���!� ��

�# K�� � � '�# K�� � � K�M�� � ',+,+,+y'�# � � � By+ > � �&O�DB

P �# 2 4/ 4�# + ��# 2J�G�04 !�� ; �)���&�"� ;(2-� ����� 4�# ��2J�� �� �)�*����G�� �)�*�-4�# 2J�G� ���� L�# ��� #%43���&�E�����L*��# 2323�"��! �

�0��� � � X R � � ��X*�g��� � � R2� � C � R � � �����k #%/1#%�/ �� ��� 4�# E���� ���)2(��� � �<O � I �"!1/1���0/1#�4/ +I �"!GLU /1#%�/ �L�# 2 ��� �.��!G�%4��"��!�2 ����!�#$B

� � � B ON # @���� � >D(ABy+ > � �&O ��B

Z �# !|#$� *2 ��!G� ����!14/ +0��0$ �� *!1$ #A�"#A� # !14�2AC�4�#=� #< *!��"!GL�����2J�G�/ 2J�G� 2 �"2�!��*4��&��� # +��� 4�#A�0$#%/ �"+�# !14 �_e.� ; #%/1#%�<C �"!�2FE #A�%4��"��! ��� 4�# �0� � �A�A� �3��# !G� # 2 ;(�&�&��2J�� ; 4� 4*; � 4 �"2���#�G ���0��# + �"2 > �.B4� 4 � � � < O:; �# !�� B OQ *!�+b> �"�.B�4� 4(�)�*� *!1$ �.��!G�%4��"��! � ��!�#

� � � <ON #@���� � >D%2(AB\4@%� �#$+ > � �&O�DB

e.# !G� #:; �# !�# �"2 h^ �"#:L*�����SER; #���# E��� �� #�> � �&O ��B4;(�04

� � � <� +��,�4>D(AB >D(AB � >D(ABy' > � �&O �DB

Page 45: Group Theory Lecture Notes James Binney

� <�� �F%��"�-1D /ZS�[#.]+%(]�/��/ Z��T#.�01D ]43�� � �

; �#%��#V� �"2 �/� �34 �)�*�:# *!�+ >D(AB �"2?- /1���&�G� #�#A�"#A� # !14,/�4� 4(2 4��"2FU # 2 4�# 23#1� ��!�+��04��"��!�2B� +���4>D(AB >D(ABT< O� +��,�4>D(AB >D(AB � >D%2(AB�<

� +���4>D(AB >D(AB � >D(ABf4 ����!3#d *!�+3% �#$+> � � 8 uDB

P �#VU���2 4 � ��!�+��04��"��!R�< *!�0 # 2 4��"2FU # +-��!G�0$ �"� 4�#:L*�����SE �)�*�� 2 � ���UE� ��%4=�� *!��"�)���"+ �Z # 43���0/ �� ��&�0$�� /1#

� + � �4>D%2(AB >D%2(AB � >D%2(AB�<� + � �4>D(AB >D(AB � >D(ABy' > � � 8 O�B

*!�+W0 $ 2 4/ *!�+� ��+R�< ��&�A�G�&��2

+���4>D%2(AB�< +���4>D(AB ���4>D%2(AB ����4>D(AB � ' > � � 8]8 B

; �#%��#.4�# � � �*��+��"!� 4�# 2O�4>D(AB�����( ��#�0 # �"!GL ��23# +R *2 ��04�#%��!� 4��0/1#�� � �*��+��"!� 4�# 2 �)�*� 4�#�E ���"!14%2(\ *!�+ 4�# � �/ ��%4��"��!d� ��!14/ *�"!��"!GL � / 2��"2 4�#W� �*�3��# 2FE ��!�+��"!GL �D �� ��0 �� *! � Z �04 > � � 8 O�B C�4�#23#A� ��!�+ #�G �� 4��"��! ��� > � � 8 uDB �"2 49��2(#�G ���0/� ��"# !14 4���4�# ��#�G ���0��#A� # !14 4� 4

���4>D%2(AB ����4>D(AB � >D%2(ABT< >D(ABy+ > � � 8CA B

k #%434��"!GLb(c<>;�; #.��0�4/ *�"!\ *! # ' E���# 2323�"��! �)�*� #%/� ��&�� 4�# +� 4 QL�# !�#%�/ ���E ���"!14 �"! 4�#%�� 2 ��� �04�2/� ��&��#1 4:;]B

>D%SBT< >D;�B�� ���4>D%2(AB ����4>D(AB �

���� @ � � + > � � 8 I B

P �# !9�G��0 #%� >D;�B �"2 ��0 / �"����2J�0$ +�#%4�#%�� �"!�# +�0 $ 4�#?U���2 4 ���X� ��!�+��04��"��!�2Q> � � 8 uDB �^ #%4,/ 2 23# #:�� ; 4��"2*; �*�JI 2 ��� 4 �"! 4�#�2FE #A� ��U��:�< *23#���� �@> A B �_2CG �� 4��"��!�> � � 8 B�+�#HU !�# 2

2J���04/ +0��"#*�/� �34 ��� �S; #*��23#4E ���� �X� � �*��+��"!� 4�# 2 4�� +�# 2J�%���c0 # 4�#�/1#A�%4��*�T��C 4�# ! �04 �"2 ��#< *23��!� +0��0$��0 / �"����2�4� 4 + ( �4>D%SB >D%SBc< > � � � B + � � � +�� C3; �#%��#�+�� �"2: *! #A�"#A� # !14 ����23���"�"+� *!GL��"#C7 4� 4�"2AC +�# E # !�+�2(��!G�0$ ��! 4�#: *!GL��"#.��� 4�#.���*4/ 4��"��!�%�C !��*4 ��! 4�#�+��0��#A�%4��"��! ��� �04�2 ' �"2 � P ��"2��0 23#%�3/� 4��"��! # !� +0��"# 2:��2�4�� 4/ +I1#b��4��\0 # ���*4/ 4��"��!@ +0 ��� 4�4�# � H" ' �"2 � P �# !@; #�� /1# 4���< ��&�A�G�� 4�#�4�# /1#A�%4��*�:� ; ��&�/R�/� �/ ��%4�#%����� # 2(4�# E���� +G�G�%4 ���

�.<�� � ��2�% t-23�"!1% u23�"!1% � ��2�% uu u O

�> � � 8 ��B

;(�04�@< � � �0� Q(y�F' > � � 8 �DB

; �#%��#$¡S< O]' 8 ' A *!�+ 4�# �0�K ��#�4�#��"!vU !��04�# 23�&�� ��DL�# !�#%�/ 4��*��2 ��� �@> A B � � �"!� ��&�0$�; # 2J�S0�43�/ ��%4� ����C�+��0/ �"+�#.4 �����GL��0 $ #< ��/3(y� �"! 4� ��!R *!�+W�< ��&�A�G�� 4�#.4�# +�#%4�#%�� �"!� *!14 ��� 4�#���# 2J�G�04��"!GL�� 43��� ' � 23# # � " I � A ���T24�&�"�"�*434 5 8: <;=0 #%� �)�*�(+�#%4/ *�&�"2 � P �# ��# 2J�G�04(�"2

>D%SBT<23�"! � M� �8Q� � + > � � 8 ��B

Z #� ��# � ��2 4�0$��"!14�#%��# 2 4�# + �"! �.��!G�%4��"��!�2� >D%SBX; ��&�/� ��#� ��"23� ��!G�0$��.��!G�%4��"��!�2 ��� � � � 0 #A�< ���23#4�#%$b ��# �.��!G�%4��"��!�2���!G�0$ ��� �A�� *232AC4 *!�+ �"! 4��"2��< *23# +�� �< *!b0 # �&��� # +��� 4�#A�0$ �"!14�#AL*�/ 4�# +��� 4 �

Page 46: Group Theory Lecture Notes James Binney

�"� a_)�Z�� �"�/ �� � � ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,:]+^ �T#.�01D ]43��K,o � R2� ���?� R��y�4�A�*Y

N�#%���"� $ 4� 4O�� ��+ ��23�"! � > M� �KB � �

� � � > �KB � � � � � > �KB�<�g� � � � + > � � 8 �DB

2 ' E��� *�"!�; 1$ 4�# �"!14�#AL*�/ ��D/ 2 �SEGE #%���"�&� �04 �"2 !��*4 8Q� �

�0��� , ���,��!5� � ��� R2� ��X � � �� ! ��� �&O�4�#���E #%�/ 4��*� �S� E��� $1# +� *! �&�UE �*�34/ *!14 � ����"# ��04����GL� �04 �"2 !��*4X =L�# !�#%�/ 4��*� ��� � �U> 8 B ��54�21M ��0 �"2 23�&�UE��0$ 4�� 4�#A�&����2�; ��&�/ �0�3��# E ��� � �U> 8 B� bL��0/1# ! I1#%4\0 #A�"��!GL�2 4���B �S� � �� <¢3> ¢ � O�B � �� �"� � �� �"2\ f�"�"!�#< �\� ����0 �"!� 4��"��! ��� 0� *23�"2�I1#%4�2 ����4�#�� � � � �0�3��# E ��� � �U> 8 B �& E #%�/ 4��*��2 ;(�04 4��"2 E�����E #%�345$ ��� �"+�# !14��"� $ �"!GL 4�# �0�3��# E *!1$ I1#%4U0 #A�"��!GL�2�4��GC* ��#W�< ��&�"# +, ���,��!5� � ��� R2� ��X � � �*� � �U> 8 B_� *2 ��!G�0$���!�# & *23�&� �0����E #%�/ 4��*�<C90�� 4 � �*��#=� ���UE��"# ' L*�����SE 2� /1#1� �*��#.4� *! ��!�#C7��)�*�(# ' ��UE��"# � �U> A B*� *2 4"; ���

o � R2� ���?� R��y�5�%�*YP �# I1#%$ E�����E #%�345$ ���S & *23�&� �0� ��E #%�/ 4��*� �"2 4� 4 �04T� ������� 4�# 2�;(�04 #%/1#%�3$���# E���# 23# !14��"!GL��E #%�/ 4��*� ��>D%SB ������� /1#�4� 4 4�# ��E #%�/ 4��*�

B #� �N � � ��> �0� B���> ����B > � � 8 �DB

� *2 4��"2dE�����E #%�345$DC(; �#%��# 4�#$�0�b ��#�#$/ 2 �"!vU !��04�# 23�&�� ��WL�# !�#%�/ 4��*��2AC�� �0�F' �����n<� 4 E 4� � � 4SC *!�+ N � � �"2�4�# �"!1/1#%��23#-��� 4�#6- � #%43���&�C/ 4�# !�23�*� N]� � B � 4 9 E 4�)9 E 9�A4 � � e.�"!14,BU���2 4QE���� /1#�C �"!b *! ��0 / �"����2 !��*4/ 4��"��!�C 4� 4 � ' � � �$< N � � E 4� � >%� � � 4 � � 4 � � B C 4�# !f��23#> � �&O ��B�4���2J�� ; 4� 4:Ey� �A4 B N]� � E � �A4 �"2 4��*4/ ��&�0$\ *!14��"2 $S��� #%43���&�*� �

o � R2� ���?� R��y� �A�*Yk �� ; 4� 4(�)�*� � �U> 8 B 4�# ��E #%�/ 4��*� ��� 4�#:E���#%/ �"����2 # ' #%�� �"23# ��# +G�G� # 2(4�� �S� �

Page 47: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � �� �� � V�|� � � � � � � ��� � �U> A B2CG �� 4��"��!�2R> � �&OmuDBQL��0/1# �"!vU !��04�# 23�&�� �� L�# !�#%�/ 4��*��2 �0�FC$¡b< OJt �SC ��� � �U> A B � ^ #%4 � �� +E#A�"#A� # !14�2.��� � �U> A B �"!14�� ��E #%�/ 4��*��2.��!$ 2FE� �� # � ��� I1#%4�2 � �� � P �# ! � �� +E 2 4�# �0� �"!14����E #%�/ 4��*��2 ��! � 4� 4=� /1# 4�# 2 �� # � ������� 4/ 4��"��! ��#A�� 4��"��!�2 *2 � /1#�4�# �0�3�TZ # +�#HU !�#

� B � ��> � ( ��� B�9( B � ��> ��( B '�� � B � ��> � M � � � � B

�#( B (���t M� �9( ' � � B � ��> � � � � � � B�%( B t (���t M� �9( ' � � B � ��> � � � � � � B=+ > � �&O�B

�54 �"2 2 43�/ *�&L�14��)�*�J; ��+ 4��f�/�#A�I 4� 4 4�#���C ��C= *!�+�� 23#%4�2 ������E #%�/ 4��*��2� ��&� # !�M � $ 4�#� ������� 4/ 4��"��! ��#A�� 4��"��!�2 *2323� � �� 4�# +�;(�04�� �U> 8 B*L�# !�#%�/ 4��*��2B

� �9(Q'�� � � < ��� � ' � �#(Q'�� � ��< � � � ' � �%(Q'�� � ��< � � � + > � � 8 B" �"23�GC�� � ������� 4�# 2�;(�04 ��&�(4 ��# #��� ��E #%�/ 4��*��2AC *!�+�C(23�"!G� #� ��&�(4�#��*4�#%� 2J�S0 2J�%���cE�4FH A��E #%�/ 4��*��2� ��#1�"�"!�#< ��� ����0 �"!� 4��"��!�2(��� � *!�+��9(�C��04.�)���&�"� ;(2 4� 4 ��&� 4�# ��E #%�/ 4��*��2(�"!-4�#23#%4�� �&'��9(m'��#(Q'��%(d�Q� ������� 4�#�;(�04 ��!�#Q *!��*4�#%� � ���*� 4�# ��# 2 4<CG; #1� /1#

� �9(Q'�� � ��<�� M� � � ' � �&'�� � ��< � � �� �9(Q'�� � ��<�� M� � � ' � �&'�� � ��<� � � > � � A B

� ������4�#�� �U> 8 B H �"�cI1# � ������� 4/ 4��"��! ��#A�� 4��"��!�2(��� 4�#��C � *!�+ � �g �� �&�"�"# 2 �04(�)���&�"� ;(2 4� 44�#:E ��2323�c0��"# # �&L�# !1/� ��&��# 2 �����9(�C��#(1 *!�+��%(1 ��#h+,+,+H',t:O]',t M� ')uv' M� '<O]',+,+,+ �o � R2� ���?� R��y� �A�*Y

k �� ; 4� 4 � ��'�� K � <>u �

Z #��< *! *232J�G� # 4� 4 4�#\0� *23�"2�I1#%4�2����(��� ���0�3��# E ��#���� 4�� �� # �&L�# !SI1#%4�2���� ��&� 4�#��E #%�/ 4��*��2 �"! 4�#�23#%4P� �&'��9(*'��#(Q'��%(g�1� Z #�4/ +I1# 4�#��"!�+�# E # !�+�# !14 ��E #%�/ 4��*��2 ����4�#�23#%4 4��0 #��9(� *!�+ � � & � � 0� *23�"2�I1#%4�2��< *! 4�# ! 0 #W �3�/ *!GL�# + *2�E ���"!14�2��"! (E��� *!�#�;(�04 >�`�'��GB� � �*��+��"!� 4�# 2�L��0/1# ! 0 $ 4�# �0� # �&L�# !1/� ��&��# 2�; � � � 4 �:> �9(Q'���B �i� ! 4��"2\E��� *!�#@I1#%4�2��"�"# ��! 4�#�"!14�#%��23#A�%4��"��!�2(��� 4�#�4 ��# # 23#%4�2(���T�"�"!�# 2

�9(1< 9� '

�#(:< (���t M� �9(1< � '�%(:<[t (���t M� �9(1< �

� '> � � I B

; �#%��# � ' � ' � ��#1 �J0 �043�/ �3$ �"!14�#AL�#%��2 �

Page 48: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ ��n� � ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,:]+^�� �U> A B

& ! /1#%�34��&�< ����"�"!�# 2 � �*�3��# 2FE ��!�+��"!GL 4�� �"!14�#AL�#%� �9(�C 4�# ��&�"� ; # + /� ��&��# 2 ��� � ��#G+,+,+H',t �( ')uv' �( ' � ( ',+,+,+ �Z �# !��9(��"2=� ��"�&H��"!14�#AL�#%�<C 4�#Q ��&�"� ; # + /� ��&��# 2(��� � ��# +,+,+y' M( '<O]' �( ',+,+,+ �

" !-�0�3��# E �"2=L�# !�#%�/ 4�# +R0 $ 2 4/ �34��"!GL� 4 *!1$R ��&�"� ; # +WE ���"!14 *!�+R� � / �"!GL�� ����� 4�#%��#:0 $ +EGE��0$ �"!GL 4�#���E #%�/ 4��*��2 ��� 4�#���# E���# 23# !14/ 4��"��! ���14�# ^ �"# " �&L�# 0��/ �Tk �"!G� #* *!1$ 2J�G�/ ��E #%�/ 4��*��� $ 0 #.# ' E���# 2323# +R *2 Q�"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��! ��� 4�#.# �&L�14 ��E #%�/ 4��*��2 �&' �9(C' � � '�� � ' � � C ; #� /1#���!G�0$ 4���� ��!�23�"+�#%�Q�� ; ; # � � /1#���!�+�#%� 4�#U ��%4��"��!�2�����4�# �� *+�+�#%� ��E #%�/ 4��*��2�����4��"223#%4 � �

�� � /1# 2 ��!�#1��*����� ��!14/ ��&�0$ 4���4�# ���&L�14<C �

�� � /1# 2 ��!�#1�SE$ *!�+ 4���4�#1�"# � 4<C3 *!�+��

�� � /1# 2���!�# +�� ;(!� *!�+ 4�� 4�# �"# � 4 ��� *23�&� 43���� *!GL��"# 2* ��# L�# !�#%�/ 4�# +�0 $�2J�G�A� # 2323�0/1#A�0$� +EGE��0$ �"!GL��C � � *!�+�� � C # �04�#%� �"! 4�#-�*��+�#%� �

������*� �"! 4�#-�*��+�#%� �

������ P �#WE ���"!14�2

*2323� � �� 4�# + ;(�04d @L��0/1# ! �0�3��# E ��&� �"�"# ��! 4�# /1#%�34��&� # 2����(2J�G�/ 43���� *!GL��"# 2�; �# ! 4�#%$ ��#��23# + 4�� 4�# 2323#A�&�� 4�#�4�#UE��� *!�#*� P ��# #�4�# 2323#A�&�� 4��"��!�2Q ��# E ��2323�c0��"#�CX� �*�3��# 2FE ��!�+��"!GL-4�� 4�# A��� 4�� ��&�0$ �"!14�#%��23#A�%4��"!GL�43���� *!GL��"# 2 4� 4 � /1# /1#%�34��&� # 2 4

# �04�#%� >Duv')uDBy'1> M� '<O�By'Q> O]')uDB�*� >Duv' �( By'�> OC' �( By'Q> M� ',t M( B�*� > t M� ' M( By'Q> M� ' M( By'Q>Duv',t �( B=+

" 4 23��� # E ���"!14_ *2 ��!�#*� � /1# 2X <; $ � ����� 4�# �*���&L��"!10 $� +EGE��0$ �"!GL(4�#*�� *+�+�#%����E #%�/ 4��*��2AC��!�#C/ 2 E�����L*��# 232 ;(�&�&��0 #Q� ��04�# +W0 $( U�� *+�+�#%�.��E #%�/ 4��*�� *!�!��&��&�� 4��"!GL�4�#Q�A� �3��# !14�2 4/ 4�#�C�#*� L��&C

Page 49: Group Theory Lecture Notes James Binney

�F%��! ] `q3D-��[#.]+% �"]�� ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,:]+^ � �U> A B � ��� � �� <euv7���!�#�� *2 ��#< ��/�# + 4�#U0 ����!�+� �3$ ��� 4�# �0�3��# E �.�54 �"2Q� ��!1/1# !14��"��!� ���4��R�A�� *2323�"� $ *!-�0�3��# E�� ����� �40 $ 4�# /� ��&��# 2 � B 8 �9(+C�� B 8 �#(1 *2323� � �� 4�# +W;(�04 4�# 4���ESH ���&L�14 � �*��!�#%�.���4�# �0�3��# Ep7 4�# 4���ESH ���&L�14�� �*��!�#%��0 # �"!GL +�#HU !�# +�4��U0 # 4�#QI1#%4 � L�; � ;(�04 4�#��� �L�# 2 4(/� ��&��#��� ��C� *!�+ �)�*� 4� 4 � H /� ��&��#�C�4�#1�� �L�# 2 4 /� ��&��# �����9(*� � L�; � �"2=�< ��&�"# + 4�#1� R XU�%?1� �*R ��X R �HX� R ���A� X�7 0 $ +�#HU !��04��"��!-��!�#1� *2 �

� � L�; � < N K � L�; � < , � � L�; � <nu �� ���5<iuSC � L�; � � *2 !�� � H�2FE �"!�C 23� $1���@�< *!0/ 4:� � /1#�h:Z ��k 2 � ����� � L�; � 0 $� +EGE��0$ �"!GL

� � � � �����< *! ��!G�0$�� � /1#bZ �*�bk Z 0 $f +EGE��0$ �"!GL-# �04�#%� � K �*� � � *!�+ 4�# �0�3��# E �)�*�� 2 43���� *!GL��"#*��� ����}[uSC $1���@�< *!�� � /1# # �04�#%��k 2 C Z �*�Jk Z *2.$1���$E��"#< *23#�CT *!�+ 4�#��0�3��# E�)�*�� 2 �# ' �L���! �

� ���6} uSC $1���W�< *! ��#< ��/ 4�# E ���"!14 4� 4 �"�"# 21k Z ��� � L�; � # �04�#%�(+��0��#A�%4�0$�0 $W +EGE��0$ �"!GL��C*�*� $1���Q�< *! ��#< ��/ �04T0 $Q +EGE��0$ �"!GL(4�# E���� +G�G�%4 � K � K � P ; � +�� � #%��# !14 I1#%4�2X ��#4L�# !�#%�/ 4�# +0 $ 4�# 4"; ��+�� � #%��# !14(����� 4�# 2 �

o � R2� ���?� R��gw �q�*Y,.23# 4�# ��# 2J�G�04 ��� 2 ' #%�� �"23#@O ��4�� 2J�� ; 4� 4 � � � B � K � L�; � �"2�2J�G�/ 4� 4 � � � � � <u �Re.# !G� # +�# +G�G� # 4� 4 � � � *!�+ � K � K � L�; � +�� � #%� �"! 4�# �0� # �&L�# ! H /� ��&��# 2Q; � � � 4 ��� � B�v�M � �v�� � �v�( ��k �� ; �.� �34�#%� 4� 4 �"� �b�

� � L�; � *!�+ ���K � L�; � ��# !���! H � #%���GC� � � � I1#%4�2� �*�3��# 2FE ��!�+-4���4�#:�"� �< 4��"��! ��! 4�#:L*���"+ ��� � �� � L�; � �46�# !�#%�/ ��"��� # 4��"2 ��# 2J�G�04 �P �# �.��!�+� �� # !14/ ��!C A H�+��&� # !�23�"��!� ��!C �0�3��# E-�"2 � � M � � �3� P �#�4"; ���*4�#%�=E�1$ 23�&�< ��&�0$ �&�UE �*�FH

4/ *!14(�0�3��# E 2 ��# 0 �*4WL�# !�#%�/ 4�# +R0 $ 4�# 23#A� ��!�+ 43���� *!GL��"#1 +0 � /1#CB

� � MgM�� � � ( � �P �# �# ' �L���!� �� �0�3��# E � � MgM�� � *2 4"; � 0� *23�"2 I1#%4�2 4 4�# �*���&L��"! *!�+��"2 49��2 ��H

+��&� # !�23�"��!� ��!C ; ��&�"# 4�# 43���� *!GL��G�� � �0�3��# E � � ( � � � *2 ��!�#�0� *23�"2�I1#%4 4 4�# �*���&L��"!�C_ *!�+ �"249��21Omu�H�+��&� # !�23�"��!� �� �

� !WL�# !�#%�/ �� 4�#��0�3��# E 2=� /1# +��&� # !�23�"��!@O]' A 'A�v'A�v'<Omuv'<O �2' 8 I ' 8 �2'+,++� *!�+ �04 �"2= *! �&�UE �*�FH4/ *!144E�����0��"#A� 4�� # ' E��� *�"!U; 1$���!G�0$�4�#QO]'A�Q *!�+(Omu�H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E 2 �)#< 4� ��# �"!�h 4� ��#*�

" 2 �"! 4�#1�< *23# ��� � �U> 8 B C 4�#:� ���UE��"# ' H � ��!�MF�GLD 4�# 2(���T�� 43���&� # 2 ���X *!-�0�3��# E-��� � �U> A BE���� / �"+�# +�� � #%��# !14 �0�3��# E ��� � �U> A B �Xh.� ; 4�# A H�+��&� # !�23�"��!� ����� 43���&� # 2���� 4�#(�.��!�+� �� # !14/ ���0�3��# Eb ��#�����4�#��)�*�� � < # ' ET> � �XB C�; �#%��# � �"21 ��#< ��_�"�"!�#< �1� ����0 �"!� 4��"��! ����4�# �0� ���#�G �� 4��"��!�2�> � �&OmuDB �Ok ��� ���UE��"# ' H � ��!�MF�GLD 4��"!GL�4�#�� �"2(#�G ���0/� ��"# !14(4���� ���UE��"# ' H � ��!�MF�GLD 4��"!GL4�#��0� �3� ������#�G 2(> � �&OmuDB1; # 23# # 4� 4�4��"2U�/� *!GL�# 2�4�# 23�&L�! ��� ��(W *!�+ ����C *!�+ 49��2AC0 $ 4�#$�"�"!�#< ���045$ ����4�#-��# E���# 23# !14��"!GL �.��!G�%4��"��!���>[B C �04\�/� *!GL�# 2 4�# 23�&L�! ��� �9($ *!�+ � �& ��!�23#�G ��# !14�0$DC�4�#�U�L�� ��# 2��"! 4�#f> �9(Q'���BQE��� *!�# �)�*�� # + 0 $ 4�#�0� *23�"2�I1#%4�2���� � ���UE��"# ' H

Page 50: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ ��n� � ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,:]+^�� �U> A B� ��!�MF�GLD 4�# �0�3��# E 2AC��< *!(0 # ��0�4/ *�"!�# +�� ����� 4�#JU�L�� ��# 2 ��� 4�# �*��+��"!� �3$ �0�3��# E 2 0 $ �"!1/1#%�34��"!GL#%/1#%�3$ 4��"!GL 4 �����GL� 4�# �*���&L��"! � k �"!G� #@ ��&�1U�L�� ��# 2� ��# 2 $S��� #%43���&� ��! ��#�� #A�%4��"��! �"! 4�#�:H" ' �"2AC ��#�� #A�%4��"��! 4 �����GL� 4�# �*���&L��"! �"2 #�G ���0/� ��"# !14(4�� 4� ��!��"!GL�4�#?U�L�� ��#1�SESH�23�"+�# H�+�� ;(! ��0��� � ��� � ���h��� P � �U> A B" G �� �JIR� *2 4 ��# #|- �� /1��� �,/ 2 4/ 4�# 2B �04��< *!(0 #� *!$�SE�G �� �JIKCK +�� ;(!"G �� �JI-�*�: 2 43�/ *!GL�#G �� �JI �1^ #%4 � � C � � � *!�+ � � � 0 # 4�#QI1#%4�2.+�# 2J�%���c0 �"!GL 4�# 23# 4 ��# # 2 4/ 4�# 2 � " L�# !�#%�/ �� G �� �JI2 4/ 4�# �"2 �"�"!�#< �(2J�SE #%�JE ��23�04��"��!-��� 4�# 23#��� /1��� �(# �&L�# !�2 4/ 4�# 2B

� �� < #4 � � � � �

4 � � � + > � ����B L��0/1# 2 4�#1 ��UE��"�04��+�#.�)�*� 4�#{G �� �JI 4���0 #: *!��SESH7G �� �JIKC � 4�#: ��UE��"�04��+�#.�)�*� �04 4���0 # �+�� ;(! H7G �� �JIKC� *!�+ �

4�#1 ��UE��"�04��+�# �)�*�(�04 4���0 #Q �2 43�/ *!GL�# H7G �� �JI �24�"#A� # !14�21%� � �U> A B ��# 2J�SEGE ��23# +-4���43�/ *!�23�)�*�� �� /1��� ��2(�"!14�����!�#1 *!��*4�#%�,B

� � B ��>D%SB � � < #4 � � � � �

� 4 >D%SB � � � + > � � �DB& ��!�23#�G ��# !14�0$�; #:� /1# ��

� �

�< + >D%SB

�� � �

�+ > � ����B

P �#�G �� �JI / 2Xe �� �&�04���!��� *! �"2 !��*4 ��%4�� ��&�0$ �"!1/� ���� *!14_��!�+�#%��2J�G�/�43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2AC+0�� 4�04(�"2 2J� �� �"# !14�0$ !�#< ��0$ 23� �)�*� 4�# 23# 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2 4�� 0 # ���TE�1$ 23�&�< �� �"!14�#%��# 2 4 �& �"#< ��0$ G �� �JI 2 E���� / �"+�#1 A H�+��&� # !�23�"��!� �� ��# E ��� � �U> A B C� *!�+-�04(�"2 !� 4� �/ �� 4��� *232J�G� #4� 4 4��"2 �"2� *! �0�3��# E ��Z #�I !�� ; ��� 4"; � A H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E 2 ��� � �U> A ByB � � M � � *!�+ �04�2� ��!�MF�GLD 4�#�� � � M�� �_Z #$ *232J�G� # 4� 4 4�#cG �� �JI 2��.� ��!��"2J 4�# � � M � � �0�3��# E *!�+ 4�#( *!14�� HG �� �JI 2(4�# � � � M�� �0�3��# E �c� ! 4�#%�� 2(���_� ���UE ��!�# !14�2AC3; #� ��#QE ��2 4�G�� 4��"!GL�4� 4 > � � �DB 2J����G�"+0 #:E� *�0��# +�;(�04

��>D%SB � � < #4 � � � � �

� �4 � � � ' > � � �DB; �#%��#Q �0� �(�"!�+��&�< 4�# 2 *!( *!14�� H7G �� �JI �

� ! 4�#�> �&'��9(AB*E��� *!�#:; #1� /1#

Page 51: Group Theory Lecture Notes James Binney

�n< ���:3�Z+ �S,�Z�%�` � �U> A B � �

Z #.�"+�# !14��"� $��9( ;(�04 �"23��2FE �"!� *!�+ � ;(�04�1$ E #%��/� �L�#�C 23� 4� 4 �"! �04�2*� H�2 4/ 4�#: �G �� �JI�� *2G �� *!14�G� !9�G��0 #%��2 �[< M( '��9(1< M� '��b< M� CD; ��&�"#(�"!��04�2�2 H�2 4/ 4�#(�044� *2 �[< t �( '��9(c< �h<>u �Z � 4�#%/1#%���04�2.2 4/ 4�# �04�� *2�� < A *!�+��04�2 �/� �L�# �"2 � < �9( � M� � �:�54.�"2.2 43�/ *�&L�14��)�*�J; ��+4���23# # 4� 4

� K � � < � � � ' �� � � � < � � ' � � � � � <>uv'

�� � � < � � � ' � K � � � < � � ' � � � � � <>uv'� K � � � < � � � ' �

� � � � < � � � ' � � � � <>uv' *!�+

�� � � < � � � ' � K � � � < � � ' � � � � � <>uv'� K � � < � � � ' �

� � � � < � � ' � � � � � <>uv'�� � � � < � � � ' � K � � � < � � � ' � � � � <>uv+

Page 52: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ ��n� � ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,:]+^�� �U> A B��# 23��!�2 ��# 2J�SEGE ��23# + 4��R0 #�0 ����!�+ 2 4/ 4�# 2 ���= cG �� �JIf *!�+ *! *!14�� H7G �� �JI � & ��!�23# HG ��# !14�0$ 4�#QL�# !�#%�/ �� � # 23��!W; /1# �.��!G�%4��"��!��"2 � *2��U� ���UE ��!�# !14�2ACK *!�+R��!�+�#%� � �U> A B 4�# 23#

43�/ *!�23�)�*�� ��A� �*��+��"!GL�4���4�# +��0��#A�%4FH[E���� +G�G�%4(��# E���# 23# !14/ 4��"��! >?� ���T> � ����BJB� � � < #

4�� 9 � � � � �� �)4�� ��A9 � 4 9 + > � ���DB

k �"!G� # 4�# 23# 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�21�/� *!GL�# 4�#��"�cI1#A�0$ !� 4� ��# ��� 4�#�� ��!�2 4��04��# !14fG �� �JI 2AC 4�#%$� �*�3��# 2FE ��!�+ 4�� �� +EGE �"!GL � ����� 2 4/ 4�# 2 �"! ; ��&�/ 4�#$� # 23��! �"2\�"�cI1#A�0$ 4��b0 #�C(2 $DC �� �E� �34��&�A�"#�C�4�����!�# �"!�; ��&�/-�04(�"2AC 2 $DC� *! � �

2 ' E #%���"# !G� # 2 4�#< ��/�# 2 4� 4 I1#%4�2 � �*�3��# 2FE ��!�+��"!GL(4�� +�#HU !��04�#�#A�"#A� # !14/ �3$�E� �34��&�A�"# 2 2J����G�"+E���� / �"+�#�4�#40� *23�"2 I1#%4�2 �����0�3��# E 2 � P � 4 �"2AC*�"� ; #�2 4/ �34T;(�04� I1#%4 *2323� � �� 4�# +1;(�04 4�#*� # 23��!+�#HU !��04�#A�0$@0 # �"!GLR �� � *!�+ 43�/ *!�23�)�*�� 4��"2 2 4/ 4�#�;(�04 #%/1#%�3$ /� *�&�� +0��"# � �U> A B.��E #%�/ 4��*�<C; #�# ' E #A�%4 4�� # ' E��"�*��# *! � ��� ������� �.�"!1/� ���� *!14 2J�S0 2FE� �� #*� P ��"2 �&�UE��"�"# 2�4� 4 �04 �"2 E ��2323�c0��"#4�� L*�����SEW� # 23��!�2 �"!14�� ���G�04��cE��"#%4�2 2J�G�/ 4� 4 4�# � # 23��!�2 �"! #< ��/W���G�04��cE��"#%4 � ��!�2 4��04� 4�#.4�#0� *23�"2=I1#%4�2 ���X *!-�0�3��# E-��� � �U> A B �

P �# 23#$���G�04��cE��"#%4�2�2J����G�"+ E��� �� # #< ��/ #A�"#A� # !14/ �3$ E� �34��&�A�"#( 4\ ; #A�&�(+�#HU !�# + E ���"!14�"! 4�#d> �9(Q'���BUE��� *!�#��"! ; ��&�/ ; # +��"2FE��� $ �0�3��# E 2 ��� � �U> A B � k �"!G� #�4�#(E� �34��&�A�"# 2 �"! L��0/1# ! �0�3��# E 2J����G�"+ ��&� � /1# 4�# 2 �� #U0� �3$1��! !9�G��0 #%� ��C_ *!�+ 2 43�/ *!GL�# !�# 232 �"2�L��0/1# ! 0 $�n< � t ��C ��0SM #A�%4�2Q� ��!14/ *�"!��"!GL 2 43�/ *!GL�#lG �� �JI 2�> �n<{t:O�B ;(�&�&�_�"�"# 0 #A�"� ; ��0SM #A�%4�2Q;(�04� #%��� 2 43�/ *!GL�# !�# 232 �Jk �"!G� #��/� �L�# � < �9( � M� ��CK�/� �L�# + ��0SM #A�%4�2�;(�&�&�T�"�"#��SE9; ��+�2: *!�+�4��4�# ���&L�14 �

Z #QI !�� ; 4� 4.+��0��#A�%4�E���� +G�G�%4.��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2: ��# �/ ��#A�0$-�0�3��# E 2 �?k ��; # # ' E #A�%4.4�#� # 23��!�2 4�� � ��!�2 4��04� 4�# (2J�� ��&�"#%�T���G�04��cE��"#%4 4� *!� ���H 4�SE��"#*� P � +��"2J� � /1#%�X; � 4T; # +�� # ' E #A�%4<C; #1� /1#�4���+�#A� ���UE ��23# 4�# +��0��#A�%4 E���� +G�G�%4(��# E-�"!14����0�3��# E 2 �

P �#�2 �� #_E�����0��"#A� ��� 4�#�+�#A� ���UE ��23�04��"��! ���G +��0��#A�%4TE���� +G�G�%4 ��# E� ���"23# 2 �"!1� ��!�!�#A�%4��"��!;(�04 4�#U0� �3$1��!�2AC ; ��&�/ ��#�2J�SEGE ��23# + 4��W0 # 0 ����!�+ 2 4/ 4�# 2 ��� A G �� �JI 27X� ��!�23#�G ��# !14�0$DC4�#:0� �3$1��!��&� ; /1# �.��!G�%4��"��! 43�/ *!�23�)�*�� 2=��!�+�#%� � �U> A B *2 4��0��+ H �/ *!SI 4�# !�23�*�,B

� �A4 < #9 � � � � � � � �

� �)9 �L� � 4�� 9 � + > � �&OmuDB�0�xw � ���S��� �&�bXm�L�Tr R ��� �P �#�I1#%$ 4�� +�#A� ���UE ��23�"!GL��"!14����0�3��# E 2 4�# +��0��#A�%4�E���� +G�G�%4 ��# E 2�E���� / �"+�# +b0 $f� # 23��! *!�+0� �3$1��!bU #A�"+�2��"2�2 $S��� #%43�3$1��!�+�#%��# ' �/� *!GL�# �����"!�+��&� # 2 � P �# 23�04�� 4��"��! �"2 �A�"��23#A�0$ *!� ��"��L�����24�� 4�# �g �� �&�"�� �4�< *23#.��� �*��+��"!� �3$�4�# !�23�*��27 4�#���H�+��&� # !�23�"��!� �����# E ��� �@> A B_E���� / �"+�# +�0 $�4�#23#A� ��!�+ H �/ *!SI 4�# !�23�*��2 � � � +�#A� ���UE ��23# 2 �"!14��-4�# � H�+��&� # !�23�"��!� ����1< 8 �0�3��# EfE���� / �"+�# +f0 $2 $S��� #%43���&��C 43�/ �� #A�"# 232 4�# !�23�*��2AC 4�# A H�+��&� # !�23�"��!� ����0�3��# E ��� *!14��"2 $S��� #%43���&� 4�# !�23�*��2\>! ' �� ��/1#A�%4��*��2/B *!�+ 4�# 2J�< ��� ���0�3��# E@ *2323� � �� 4�# +(;(�04-4�# 4�# !�23�*�,/ 2 43�/ �� #*� P 9��2.#< ��/ 2 $S��� #%43�3$�A�� *232���� 4�# !�23�*��2 E���� / �"+�# 2 *!��0�3��# E ��� �@> A B � P �#(2 �� # +EGE��"�"# 2��"!�4�# �< *23#(��� � �U> A B � ����� �# ' #%�� �"23# 2 �� $ 4�# �)����!�+� 4��"��!-��� 4�#�4�# �*�3$ B

o � R2� ���?� R��gw ���*Yk �� ; 4� 4 �"� � �A4 �"2�2 $S��� #%43���&��>! *!14��"2 $S��� #%43���&� B=��!�+�#%� 4�#�# ' �/� *!GL�# ¡ �~¢�C 4�# !23� �"2 4�# ��0SM #A�%4 +�#HU !�# +R0 $ > � �&OmuDB �

Page 53: Group Theory Lecture Notes James Binney

�n< � ��]43�% 1 � ,1� Z5E'�.� Z�3 � � �o � R2� ���?� R��gw�w%�*Y

k �� ; 4� 4 4�#&^ #%/ � H & �0/ �04/ 2 $S��0 ��� �d� �A4 �"2 �"!1/� ���� *!14T��!�+�#%� � �U> A B � P � 4 �"2AC 2J�� ; 4� 4�"� �d� �A4 �"2.+�#HU !�# + �"! 4�#���2J�� ��X; $DC 4�# ! 4�# G �� *!14��045$ � +�#%���0/1# + � ����� �04: ��A� �*��+��"!GL4��(> � �&OmuDB*� *2 4�# 2 �� # E� 434�#%��! ��� � #%����2 *!�+-��!�# 2 � � e.�"!14,B��)�*� *!1$ A �3A �� 43��� ' C

� � � � � < �d� �A4 � � ��� j��� � 4 � �

o � R2� ���?� R��gwL�A�*Y6��0/1# ! 4� 4 4�#� *!14��"2 $S��� #%43���&�:�� 43��� ' `��A4�43�/ *!�23�)�*�� 2� ��A� �*��+��"!GL 4�� � � M � � � � � M � � C2J�� ; 4� 4c`�� B �d� �A4Q`��A4 43�/ *!�23�)�*�� 2 ��A� �*��+��"!GL�4���4�#1� ��!�MF�GLD 4�# �0�3��# E � � M � � � �

o � R2� ���?� R��gwv�x�*Y6��0/1# ! 4� 4�4�#(2 $S��� #%43���&� �� 43��� ' `��A4�43�/ *!�23�)�*�� 2* ��A� �*��+��"!GL 4�� � � M � � � � � M � �JC 2J�� ;4� 4 P � >�`�� ��B �"2 !��*4.�"!1/� ���� *!14 ��!�+�#%� � �U> A B �1k �� ; 4� 4 P � >�`�� ��B ; ���G�"+R0 # �"!1/� ���� *!14�"��`��A4 43�/ *!�23�)�*�� # +R ��A� �*��+��"!GL�4�� � � M � � � � � M � � � �2 ' #%�� �"23# 8 O.+�#A� ��!�2 43�/ 4�# 2 4� 4 �0�3��# E 2 ����2 4*0 #�� ��!vU !�# + 4��� QL��0/1# ! 2 $S��� #%43�3$ �A�� *232 �

� ! �g ��%4 4�#%$d� ���"!G� �"+�#W;(�04 4�#-2 $S��� #%43�3$b�A�� *2323# 2\ *2 ; #(�< *! 2J�� ; 0 $d� ���UE� ���"!GL 4�#�� 434�#%�,/ 2 +��&� # !�23�"��!�2 ;(�04 4���23#�����4�# � �U> A B �0�3��# E 2 ��2 ' #%�� �"23# 8CA ��"!14�21�� ; ; #�2J����G�"+� *!�+G�"# ��# E 2.4� 4.�"!1/1���0/1# 4�#�� ��!�MF�GLD 4�# �0�3��# E 2B ; �# !�+�#< ��"�"!GL�;(�04 2 $S��� #%43�3$��A�� *2323# 2��04�"2��#A�cE �.�G� �)�*�1 ��&� �"!�+��&� # 2.4�� 43�/ *!�23�)�*�� �"! 4�# 2 �� #1; $1��k ��; # ��# E��� �� # *!��"!�+�# ' ; ��&�/43�/ *!�23�)�*�� 2 ��A� �*��+��"!GL 4�� � � M � � � 0 $@ *!� *!14��"2 $S��� #%43����� # +RE� *�0�.4� 4�43�/ *!�23�)�*�� ��A� �*��+��"!GL4�� � � M � �3�

P # !�23�*��2 4� 4 43�/ *!�23�)�*�� ��A� �*��+��"!GL 4�� � � M � � � � � M � �Q0���#< +I �"!14�� 4"; � �A�� *2323# 2AC(4�#2 $S��� #%43���&�.��!�# 2 *!�+ 4�#1 *!14��"2 $S��� #%43���&�.��!�# 2 � P �#:�� 434�#%� E���� / �"+�#1 A H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E> � � M � � � B C� *!�+�4�# �)�*�� #%��E���� / �"+�#� @��H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E�C � � � � �3� P ��"2.2 4/ 4�# ��� ��� *�0��2.�"2��# E���# 23# !14�# +(0 $ ��!�# ��� � ����!GL�/ 2 4/ +0��"#< �� ' B

H � H < H0H �HH > � �&O�O�B

2* ��/ 0��"� �I 2 4/ *!�+�2 �)�*�$ *! �"!�+�# ' ��� !�+��&� # 2��"! ��*����� ��!14/ ��&�0$ *+�MJ �� # !14$0��"� �I 2( ��# 2 $S� H� #%43����� # +�C�4���23# �"! /1#%�34��&�< ��&�0$ 2 4/ ��I1# +W0��"� �I 2 ��#Q *!14��"2 $S��� #%43����� # + �

h.� ; � ��!�23�"+�#%� 4�# !�23�*��2�4� 4�43�/ *!�23�)�*�� ��A� �*��+��"!GL 4�� � � M � � � � � � M � �3��Z # !�� ; 2 4/ �34;(�04 4 ��# # �"!�+��&� # 2AC 4"; ����� ; ��&�/( ��#Q ��0��#< *+ $� *!14��"2 $S��� #%43����� # +0B

HH � H�<HHH �

HFHH > � �&O 8 BP ��"2.4/ +0��"#< �� 2 $ 2.4� 4.4�# # ' 43�/ �"!�+�# ' �< *! # �04�#%� 0 # *!14��"2 $S��� #%43����� # +(;(�04 4�# �*4�#%�4"; � > 4�#W� ���&�G� !�B �*� 0 #-2 $S��� #%43����� # +b;(�04 ��!�#-���(4�# �*4�#%��4"; � > 4�#W�SE 2 H�23�"+�# H�+�� ;(!^XB � P �#�� ���&�G� ! E���� / �"+�# 2� O H�+��&� # !�23�"��!� ����0�3��# E > 4�#%��# �"2 ��!G�0$ ��!�# � ��# #\� ���UE ��!�# !14 ��� 4��*4/ ��&�0$@ *!14��"2 $S��� #%43���&� A ��+ �/ *!SI 4�# !�23�*� B: *!�+ 4�# ^ E���� / �"+�# 2 4�# ��H�+��&� # !�23�"��!� ����0�3��# E� � MgM��3�

o � R2� ���?� R��gw%%�*Y����2 4��"� $ 4�#��� *2 41�A�� *�&� *2 �)���&�"� ;(2 ��^ #%4 � �A4\0 #� *!14�� H�2 $S��� #%43���&� �"! 4�# U���2 4QE� *�0� ���

Page 54: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ ��n� � ��K �/, � %�� ZS�[#.]+%S,:]+^�� �U> A B�"!�+��&� # 2� *!�+-2 $S��� #%43���&�.�"! 4�# 23#A� ��!�+RE� *�0� �Ok �� ; 4� 4(�04(�"2(2 $S��� #%43���&���"! 4�# 4��0��+E� *�0� �&k �� ; 4� 4= ��&� 8 �Q� ���UE ��!�# !14�2 �< *!\0 #�; ���0434�# ! +�� ;(! ��!G� #.4�# /� ��&��# 2 ��� ��� /1#0 # # ! +�#%4�#%�� �"!�# + �<� �"!� ��&�0$ 2J�� ; 4� 4 4�# 23# � /� ��&��# 2 2 4��"23� $ f�"�"!�#< �\� ��!�2 43�/ *�"!14 �� e.�"!14,B�4�#:�� 434�#%�(�"!1/1���0/1# 2 �d� �A4 � �� �"!� ��&�0$�; #1� ��!�23�"+�#%�(4�# !�23�*��2 4� 4 43�/ *!�23�)�*�� *2 � � M � � � � � M � � � � � M � �3�

H � H � H <HHH �

H0HH � HFH0H > � �&O A BP �#cU���2 4�4"; � �0�3��# E 2���!�4�# ���&L�14 ; # ��#A� ��L�!���� #�C *!�+�4�# 4��0��+��"2�4�#1Omu�H�+��&� # !�23�"��!� ����0�3��# E� � ( � �_E���� / �"+�# +W0 $ 4��*4/ ��&�0$ 2 $S��� #%43���&� A ��+ �/ *!SI 4�# !�23�*��2 �WR�LX R�Y

P �#%��#��"2: *! �"!�+�# E # !�+�# !14Q� ���UE ��!�# !14 ����2J�G�/ 4�# !�23�*� �)�*� #%/1#%�3$�!9�G��0 #%� ����� �A�A� �FH��# !G� # 2����:O�C 8 C A �"! 23#%4�2���� 4 ��# # +��&L��04�2 ��Z #\�< *! �/�� ��23#@O�uSC&O�C 8 �*� A 4��&� # 2 ��� � ; #�/�� ��23#WO u 4��&� # 2ACK; # �< *!��/�� ��23# 8 uSC&O�C 8 �*� A 4��&� # 2: *!�+ �"! #< ��/ �< *23# 4�#�!9�G��0 #%���� A 2�; # !�# # + 4����� +I1#��SE ��� � 23#%4 ����4 ��# # +��&L��04�2��"2�+�#%4�#%�� �"!�# + �bk �&� �&�� ��0$DC �"�=O��"2�/���23# ! ��!G� #�C�; # �< *!��/�� ��23# 8 uSC&O��*� 8 4��&� # 2 �V� ! 4��"2 ; $(; #U �3���0/1# 41 4��*4/ �� ���4�# !-��E�4��"��!�2 �P �# 2FE �"! H M� 0� �3$1��!�21U��&� ��� 4 4�# ��H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E�� � MgM��* *!�+-4�# 2FE �"! H

(� 0� �3$1��!�2U��&� ��� 4 4�#UOmu�H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E � � ( � �3�

�0��� , ��rg��� �Z 1$ �"2�4�#%��#-!��6��H 4�SE��"#-��� � # 23��!�2U� �*�3��# 2FE ��!�+��"!GL 4�� � � � � �:; �# ! 4�#W� �*��#�� ���UE��"# '� � MgM�� �0�3��# E �"2 ��#< ��"��� # + �"!fh 4� ��#�� & 8 *!�2F; #%��2 4��"2fG ��# 2 4��"��! 0 $ E ��2 4�G�� 4��"!GL 4� 4� 23#A� ��!�+ � �U> A B�L*�����SEb ��%4�2 ��! G �� �JI�U #A�"+�2AC *!�+ 4� 4 4�#� ��%4��"��!�� + � � � ��� 4�# 23#hU #A�"+�2�"2 2J�G�/ 4� 4 ��!G�0$�4�#�43���0/ �� ��*O H�+��&� # !�23�"��!� ����0�3��# E ����4��"2:L*�����SEf�< *!�0 #���0 23#%�3/1# + � P ��"2E ��2 4�G�� 4�# ��# 2 43���&�%4�2(4�#Q� ����0 �"!� 4��"��!�2(���=G �� �JI 2(�"!�23�"+�#Q� *+ ����!�2 4���4���23#1; ��&�/$L��0/1# ���"23#4���+��0��#A�%4=E���� +G�G�%4(��# E 2(��� � �U> A B �� � ���� ; ��&�/R� ��!14/ *�"! 4�# 43���0/ �� �� �0�3��# E-��# E���# 23# !14�# +R0 $HHH +

k �"!G� # 4�#:� ����0 �"!� 4��"��! ��G�"# 2 ��� � �U> A B� �� ���� ��#�4�# 2 �� #: *2 4���23# �)�*� � �U> A B �� � ���� C�04 �)���&�"� ;(2 4� 4 4�#���!G�0$����G�04��cE��"#%4�2 # ' E #A�%4�# +R ��#.4���23#�2J�SEGE �*�34��"!GL��0�3��# E 2 ����� �U> A B� �� ����4� 4�� �A�A� � �"!$� ��!�MF��!G�%4��"��!$;(�04 4�# 43���0/ �� �� �0�3��# E �Jk �"!G� # 4�# ��# +G�G�%4��"��! ��� � � M � � � � � M � �+�� # 2�!��*4 � ��!14/ *�"! 4�# 43���0/ �� �� �0�3��# E�C�� ��� # 23��!�2 +�� !��*4�� �A�A� �<C9 *!�+ 4�#%��# �)�*��# 4�# � � � � � �0�3��# E��� � �U> A B� �� ���� CG; ��&�/ 4�#%$\; ���G�"+ 2J�SEGE �*�34<C�+�� # 2(!��*4(� �A�A� �(# �04�#%� �

P �# 4 ��# #10� *23�&�1� ���"��� ��2 ��#���# +�C�L*��# # !$ *!�+W0��&��#Q *!�+ 4�# � �U> A B �� � ���� 23�"!GL��"#%4 I1#%4(�"24��*4/ ��&�0$\ *!14�� H�2 $S��� #%43���&����!�+�#%� *! # ' �/� *!GL�# ���T� ���"��� ��2 0 #%4"; # # !-4�#�G �� �JI 2ACS0 # �"!GL

� � B M� � #� �A4 � � � @ �d� �A4 � ¡x¢ � � ' > � �&O I B

Page 55: Group Theory Lecture Notes James Binney

�n<�� a4] �.]43+ �'�; �#%��# � ¡x¢ � � B � ¡ � � ¢ � � � � �"2 4�# I1#%4�+�# 2J�%���c0 �"!GL 4�# 2 4/ 4�# �"!�; ��&�/ 4�#GU���2 4uG �� �JI�� *2_� ���"��� �¡JC 4�#(23#A� ��!�+�� ���"��� �T¢� *!�+ 4�# 4��0��+�� ���"��� � ��� k �"!G� #0G �� �JI 2* ��#(�)#%�� �"��!�2AC �04 �)���&�"� ;(2�4� 4; � 4�#%/1#%� �g ��%4��*��2 ���G�04��cE��0$�4�#�� ���"��� � � ���UE ��!�# !14 ��� 4�# ; /1# �.��!G�%4��"��!�����2 4 4���L�#%4�#%� 0 #�"!1/� ���� *!14(��!-# ' �/� *!GL�# ���vG �� �JI��� +0 #A�"2 �

P ��# # �g ��%4��*��2U ��# # ' E #A�%4�# +0B 4�#@�� /1��� ��I1#%4<C�4�# 2FE �"!bI1#%4U *!�+ 4�# 2FE� 4��� ��*; /1# H�.��!G�%4��"��! � ���*��4�#R�"� ; H �0$ �"!GL 2 4/ 4�# 2 ���.�"!14�#%��# 2 4<C 4�#cG �� �JI 2�� /1#0� #%��� �*�J0 �04/ ��= *!GL��G�� �� ��� # !14�G�RC 23� 4�#��� *2 4 ��� 4�# 23#��"2�4��*4/ ��&�0$�2 $S��� #%43���&�*�Xe.# !G� # 4�# E���� +G�G�%4 ��� 4�# �� /1��� � *!�+-2FE �"!WI1#%4�2 2J����G�"+W0 # 4��*4/ ��&�0$ 2 $S��� #%43���&�*�

" 2FE �"! H ( � ��0SM #A�%4=�< *!�0 # � ��!�2 43��G�%4�# + � ����� A 2FE �"! H M� ��0SM #A�%4�2 �"! ��!G�0$ ��!�#�; $DC 4� 4 �"20 $ �)�*�� �"!GL�4�#�4��*4/ ��&�0$ 2 $S��� #%43���&� I1#%4

� ( � (� � < ��� � ��� � ��� � > � �&O ��B

*!�+�4�# !U��23�"!GL�4�#=��2J�� ����� *+�+�#%����E #%�/ 4��*��2�4�� � ��!�2 43��G�%4 � ( � M� � #%4�*�T�54��"2�#< *2 $ 4�� 2J�� ; 4� 4 ��&��4�# 23#�I1#%4�2 ��# 4��*4/ ��&�0$�2 $S��� #%43���&�*�Xe.# !G� #.4�#&�� /1��� � I1#%4�2 ����E� �34��&�A�"# 2 ��� 4�#�Omu�H 4�SE��"#��� 2FE �"! H ( � 0� �3$1��!�2 ����2 4=0 # 4��*4/ ��&�0$ 2 $S��� #%43���&� 4�� ��� � !-�g ��%4<C�4�#:I1#%4 ��� 4�# ��0SM #A�%4� 4 4�#Omu�H 4�SE��"#C/ 2 4���E-���&L�14FH � *!�+R� �*��!�#%� �"2

� � � � � < � � � � + > � �&O�DB" EGE��0$ �"!GL � K ; #1L�#%4 *!��*4�#%� 4��*4/ ��&�0$ 2 $S��� #%43���&� I1#%4,B

� � � � < M� ( � K � � � � � < M� ( � � � � � � � � � � � � � � � + > � �&O ��BP �# �� /1��� ��I1#%4�2.��� 4�# # !14��0��#�Omu�H 4�SE��"#��< *!(0 # ��0�4/ *�"!�# +(0 $ �.� �34�#%�: +EGE��"�&�< 4��"��!�2.��� � K C� K C #%4��C� *!�+ 4�#%$W ��#Q ��&� 4��*4/ ��&�0$ 2 $S��� #%43���&�*�

h.� ;f; � 4X +0 ��� 4 4�#_E����*4���!0/ 2 �� /1��� � I1#%4� P �# E����*4���!1�"�"# 2T 4 4�#�4���ESH ���&L�14T� �*��!�#%� ��� *! � �%4�#%4<C *!�+U; #=I !�� ; 4� 4�2J�G�/ �0�3��# E 2* ��#=E���� / �"+�# +U0 $���0SM #A�%4�2�4� 4 ��# *!14��"2 $S��� #%43���&��"! ��!�# E� *�0� ��� �"!�+��&� # 2� *!�+ 2 $S��� #%43���&� �"! 4�#���#A�� *�"!��"!GL 4"; ���ak �R; #U�"� ��I �)�*� !9�G��0 #%��2� ' � ' �

2J�G�/ 4� 4

� �� B � � � � � � � � � � � � � � � � > � �&O�DB�"2U *!14��"2 $S��� #%43���&����!�+�#%� # ' �/� *!GL�# ���(4�#�U���2 4�4"; �!�� /1��� ��2� *!�+ 2 $S��� #%43���&����!�+�#%� 4�## ' �/� *!GL�# ��� 4�# 23#A� ��!�+-4"; ��� P � 4(�"2AC

t � �� < � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� < � � � � � � � � � � � � � � � � +

> � �&O �DBP �#�U���2 4 #�G �� 4��"��!-�&�UE��"�"# 2 � < t � *!�+

�<nuSC�; ��&�"# 4�# 23#A� ��!�+��&�UE��"�"# 2 �@<

��Gk ��4�#

4"; � 4���L�#%4�#%� ��#�G ���0��# � < � <�<[u �1� !��*4�#%��; �*��+�2ACK; #��< *!�!��*4 � ��!�2 43��G�%41 UI1#%4�;(�04

4�# ��#�G ���0��# + 2 $S��� #%43�3$ � ����� 4�#\L��0/1# !fE �"#A� # 27 ; #\����2 4�� ��!�23�"+�#%� �"�"!�#< ��� ����0 �"!� 4��"��!�2; ��&�/-�"!G�A�&��+�# 2 43�/ *!GL�#�G �� �JI 2 �

P �# 23#\� ����0 �"!� 4��"��!�2� ��# !��*4QE�1$ 23�&�< ��&�0$ �"!14�#%��# 2 4��"!GLGC_�� ; #%/1#%�<C 0 #A�< ���23# 4�#\� ����0 � H!� 4��"��! ��� 4�# 2FE �"!b *!�+ �*�J0 �04/ ��_I1#%4�21;(�04 ; ��&�/ 4�#%$ � /1#�4��R0 #�� ����0 �"!�# + 4��$ ��/��"#%/1#� /1#%�/ ��&� 2 $S��� #%43�3$ ��� 4�# !���! H � ���"��� �=E� �34(��� 4�# I1#%4<C� ��#: *2323� � �� 4�# +�;(�04��� �L�# # !�#%�L��"# 2 �

Page 56: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ ����n� VX)�� � ]� � %���� � ]43��K,P �# ��#< *23��! �"2 4� 4�4�#\E���� +G�G�%4 � 2FE �"! � � �*�J0 �04 � ; ���G�"+ !�# # + 4��@0 #W *!14��"2 $S��� #%43���&����!�+�#%�# ' �/� *!GL�# ��� ��!�#:E� *�0� ��� G �� �JI 2 *!�+-2 $S��� #%43���&� ��!�+�#%�.# ' �/� *!GL�# ��� 4�# �*4�#%� 4"; � E� *�0��2 �h.� ; �04(�"2 #< *2 $ 4��U�/�#A�I 4� 4(!��U�"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��! ��� 4�# 4"; � �q< M� �/�C � < M� �/�I1#%4�2��

� M� ' M� 7)u � B M� � � ��� � � � � t � � � ��� � � � � �� M� ' M� 7<O � B M� � � 8 ��� � � � t � � � � � t � � � � � � > � � 8 uDB� *2 4�#���#�G ���0��# + 2 $S��� #%43�3$1�|k �-�"�*; #� ��#�4��W���G�04��cE��0$$I1#%4�2 � ����� *! � �U> A B.� �%4�#%410 $ � ����0 �"!� 4��"��! � 2FE �"! � � �*�J0 � 4� 4�# !�2J� ��# 2 � /1#%�/ ��&� 2 $S��� #%43�3$DC+; # ��# L����"!GL 4��1� /1# 4�� #A�UE��"� $ *! �*�J0 �04/ ��4I1#%4 ;(�04 !���! H 43���0/ �� �� 2 $S��� #%43�3$1�qk �G�/ �*�J0 �04/ ��*I1#%4�2 � �*�3��# 2FE ��!�+ 4�� 2 4/ 4�# 2 �"!; ��&�/-4�#�G �� �JI 2 � /1# !���! H � #%���� *!GL��G�� � � ��� # !14�G� +0 ��� 4(4�# � /1#%�/ ��&��� # !143��# ���X�� *232AC *!�+ 49��2 4�� 2 4/ 4�# 2 �"! ; ��&�/ ��� ��� ���UE ��23�04�#�E� �34��&�A�"#R� *2\ +EGE���#A� �� +0��"# �"!14�#%��!� �� I �"!�#%4��&�# !�#%�L*$1� P �# 23# 2 4/ 4�# 2 ��# E���# 2J�G�� +0��0$���!�2 4/ +0��"#*�

" ! � < M� �/fI1#%4�;(�043� #%��� �*�J0 �04/ �� *!GL��G�� ��� ��� # !14�G� 4� 4 �"2 4��*4/ ��&�0$ 2 $S��� #%43���&���!�+�#%�.4�# # ' �/� *!GL�# ���=G �� �JI 2AC � �$0 #�� ��!�2 43��G�%4�# +(; �# !(; #Q� � ' 2FE �"!$ *!�+ �� /1��� �.�"!( !���! H 43���0/ �� ��K; $ 7�4�# !-��� �=E �"#A� # 2 ��#

� � � �� � �� � � �� �� �� � � � � � �� � � � �� � � � �

+ > � � 8 O�BZ #�U���2 4 � ��!�2 43��G�%4 I1#%4�2 � � � � � � *!�+ � � � � � � ; ��&�/$ ��#�>! DB 4��*4/ ��&�0$ 2 $S��� #%43���&��"! 4�#cG �� �JI 2U *!�+ >g03B 2J�G�/ 4� 4�4�#2G �� �JI �"! 4�# + H�2 4/ 4�#-�"2� ��c; $ 2�2FE �"! H�+�� ;(!�C= *!�+ ��c; $ 2 2FE �"! H �SE�C ��# 2FE #A�%4��0/1#A�0$1���54(�"2 #< *2 $ 4���23# # 4� 4

� � � � � � <� M(�� � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� '� � � � � � <� M� � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� � � � � � � � � � ��� � � � � +

> � � 8]8 B

h.� ; ; #\ �L���# 4� 4 � � � < � ��2 � � � � � � � � 23�"! � � � � � � � �)�*� 2J���04/ +0��"# �( *!�++�#%4�#%�� �"!�#���� ������4�#1� ��!�+��04��"��! 4� 4 �9( � � � <>u � P ��"2=L��0/1# 2

� � � < �( � � � � � � t M( � � � � � � + > � � 8CA Bh.�*4��&� #�4� 4 4��"2 /� *!��"2J�# 2(�"� ; # 23#%4� ��&� 4�# 2FE �"! H[I1#%4�2 4��U��!��045$1�

o � R2� ���?� R��gw �A�*Y8�#%4�#%�� �"!�#�4�#:I1#%4 � � � ��� 4�# !�#A� 43����! �� �QSJ bdLRe Oq[ y ORQSJ � JMORe����Si ���'�AZ eq[ tgORX Z \SJ`a0t9|�X agagZ \Sh�XCy WSLNORQSJMLqTdXYLNORZ _Mr J=ON['ORQSJ=e TdZ \ � �MJMLN[~_[�VutdZ \gXYORZ []\[ y#ORQSJ:[ ORQSJML Ozsq[g}xsKQgZ r J�ORQSJ�e J`_[]\ga;e ORXYONJ�Z e [ tgORX Z \SJ`a;t9|pX agagZ \ShlXfy WSLNORQSJML TdXYLNORZ _Mr J�ON[6ORQSJ�e TdZ \ ��[]\SJ_[�VutdZ \�tdXYORZ []\F[ y4ORQSJ#[ ORQSJML�Ozsq[�Z \{eNWg_�QFX~sxX`|*X e�ON[ X _�QgZ JMm]J=[-m]JMLRX r r�e TdZ \ ��QgX r yzi

Page 57: Group Theory Lecture Notes James Binney

�F%��! ] `q3D-��[#.]+% �"]WVX)�� � ]� � %���� � ]43��K, � ���� ��� � ���� V�|��� ��������� �

^ �*��# !14*� 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2= ��#.4�#:�"�"!�#< � 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2O�"E � �<�� ��; ��&�/WE���# 23#%�3/1#4�# �"!�!�#%�=E���� +G�G�%4

� � B ` � � � t@` M � M tq` � � � t@` ( � (< � # � B ` � � ��� � �

> Omu �&O�B

�"!-4�# 23# !�23# 4� 41� � <n� �q4���'d��� P �# 23# 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2 �A�"#< ��0$ �)�*�� UL*�����SE �G�54� *2(�)��� �(+��"2 4��"!G�%4 � ���UE ��!�# !14�2B> �.B P �#b� � ��� R2� � � Xg�T�p�d� � ���T���X�|X � ���X��? � � !q��X*�g���X�� ��# 4���23# �)�*��; ��&�/ +�#%4+>���BG< O

*!�+ � � � � O�� P �# 23#-43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2��)�*�� 4�#W� ���UE ��!�# !14 � ;(�04��"! ; ��&�/ 4�#�"+�# !14��045$a; 23�04�2 �

> �"�.B P �#�43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2�;(�04 +�#%4+>���B�<[t:O *!�+ � � � � O ��&�1�"!1/1���0/1#�2FE� �� #��"!1/1#%��23�"��!� *!�+�)�*�� �23#A� ��!�+(� ��!�!�#A�%4�# +$� ���UE ��!�# !14 ��� #A�< ���23# 4��"2=� ���UE ��!�# !14 +�� # 2(!��*4(�"!G�A�&��+�#�;�04(+�� # 2(!��*4=0 $ �04�23#A�"� �)�*�� L*�����SE�CG0�� 4 �< *!�0 #Q *+�+�# + 4�� � 4����)�*�� L*�����SE��

��

> �"�"�.B P �# 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2 ;(�04�+�#%4+>���B�<[t:O *!�+ � � � � O ��&���"!1/1���0/1# 4��&� # �"!1/1#%��23�"��!� *!�+�)�*�� -4��0��+ � ��!�!�#A�%4�# +d� ���UE ��!�# !14 � P ��"2 � ���UE ��!�# !14�+�� # 2 !��*4��"!G�A�&��+�#a; # �04�#%�<C0�� 4 �< *!W0 #1 *+�+�# + 4�� � 4����)�*�� L*�����SE�� ���

> �0/�B|Z �# ! #A�"#A� # !14�2 � ����� 4�#��� *2 4 4"; �$� ���UE ��!�# !14�2 ��#����G�04��cE��"�"# + 4���L�#%4�#%�<C �)��� �34� ���UE ��!�# !14-�"2RL�# !�#%�/ 4�# + 4� 4W� ���UE����"23# 2 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!�2\;(�04 +�#%4�>���B@< Of *!�+� � � � O�� " �&� �)��� � � ���UE ��!�# !14�2 4/ +I1# ! 4���L�#%4�#%�(�)�*�� 4�#�?j�Sr�r C � �*R � X �

� � ����� ��

���

o � R2� ���?� R��gw=�%�*Yk �� ; 4� 4��"� � � � < � � � �)�*��#%/1#%�3$ I H /1#A�%4��*�T�_C�; �#%��#O� B � � #%4�*�&C�4�# !b� � �< � ��)�*� #%/1#%�3$.�_C��4CP �#����*4/ 4��"��!�L*�����SE �@> A B.�"21�A�"#< ��0$ 2J�S0�L*�����SE ��� ��&���)��� �J^ �*��# !14*��L*�����SE 2 ��2* ��/

���*4/ 4��"��! �"2:�/� �/ ��%4�#%����� # + 0 $�4�# A H /1#A�%4��*��� 4� 4 2FE #A� ��U # 2 �04�21 ' �"2: *!�+f *!GL��"#*� " 0 � ��2 4�"2=�"�cI1# ;(�"23#:�/� �/ ��%4�#%����� # +W0 $W A H /1#A�%4��*�1� 4� 4(2FE #A� ��U # 2(�04�2 +��0��#A�%4��"��! �� *!�+ /1#A�"� � �045$ � � � �P �#1�� 43��� ' ���X �0 � ��2 4=E� �/ ��&�"#A� 4�� 4�#V` M H" ' �"2 �"2

� >D(*')uv')uDBS< ��� � ��2J1( t-23�"!G:( u ut-23�"!G:( � ��2J1( u u

u u O uu u u O

��> Omu � 8 B

P �#1�� 43��� ' ���X L�# !�#%�/ ���0 � ��2 4 �< *!�0 # +�# +G�G� # + � �����

� >��_B ��<��3t >�` � 'd` @ ��_B � � ` � � ��2J:($t@` @ 23�"!G1(*'�> tG` � 23�"!G1( � ` @ � ��2J1(AB �� � '; �#%��# ` @ B � ��$+ > Omu � A B

" !1$� �� $�0 # ; ���0434�# !� *2 1E���� +G�G�%4 � >��_B � >��3B ���� :0 � ��2 4 *!�+\ ���*4/ 4��"��!0BX8�#HU !�#�R � B > O]')uv')uv')uDB *!�+$�"#%4��R B � �R � � P �# ! > Omu � A B $ �"#A�"+�2 � >��_B �R � < >?� ��2J1(*',t-23�"!G1( �� B C23�|9���!�� G ��# � >��_B�2J�G�/ 4� 4 �R < � >��_B �R � �_h.� ; �R � < � K�M � �R � C 23� � K�M � ����2 4 0 # �E�� ��# ���*4/ 4��"��! � >��3B �_e.# !G� #

� < � >��_B � >��3B > Omu � I B

Page 58: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ ����n� VX)�� � ]� � %���� � ]43��K, *2:; *2:�A�� *�&� # + �b�54 �)���&�"� ;(2�4� 4 4�#U� ���UE ��!�# !14�2 ���$�f *!�+q� � ��!�2 4��04� 4�#� ��/� �34 �)�*� � C *!�+ 4� 4 4�#:�� 434�#%�(�"2 ��H�+��&� # !�23�"��!� ��0^ �"#1L*�����SE �$k �"!G� # � � � �"2=��!D0 ����!�+�# +�C�4�#1L*�����SE-�"2!��*4:� ���UE� ��%4 � & ��!�23#�G ��# !14�0$DC��@ *2J�/SI1#C/ 2�4�# �*��#A� +�� # 2 !��*41 +EGE��0$@ *!�+$; # �< *!�!��*4 �"!�23�"2 4��! ��# E���# 23# !14/ 4��"��!�2 0 # �"!GL���!��04/ �3$1�

��p��� + � R;C � R ��r�� R � � � � > � B� > � B��"2 L�# !�#%�/ 4�# +�0 $ � �"!vU !��04�# 23�&�� ��3L�# !�#%�/ 4��*��2 � P ��# # ��� 4�# 23# ; # � /1#1 ��0��#< *+ $ �"! 4�#L�# !�#%�/ 4��*��2 �0����� � > �@> A BJB:> 23# # ��� �&O�B � " �.� �34�#%� A L�# !�#%�/ 4��*��2 ��#

� � B + � >D( �R �[B+L(

���� @ � � ¡S< O]' 8 ' A + > Omu ����B

� ����� > Omu � A B ��!�# #< *23�&�0$.U !�+�2

� M <��� u t:O u ut:O u u uu u u uu u u u

��' � � <

��� u u t:O uu u u ut:O u u uu u u u

��' � (1< ��� u u u t:O

u u u uu u u ut:O u u u

��+

> Omu � �DBP �# 23#:0 � ��2 4 L�# !�#%�/ 4��*��2AC���!G�"�cI1# 4�#����*4/ 4��"��! ��!�# 2AC� ��# !��*4 2FI1# ; H�2 $S��� #%43���&�*�

P �#1� ������� 4/ 4��"��! ��#A�� 4��"��!�2 ��#� �0�F' ������< �d� �A4�� 4v' � � � ' � � � <[t �d� �A4 � 42' � �0�d' � � ��< �d� �A4 � 42+

P �#1�"�"!�#< � � ����0 �"!� 4��"��!�2�.� B M� > �0� � � � � B > Omu ����B

*!�+ 4�# �0�Q� ���UE��"# ' H � ��!�MF�GLD 4�# 2�� �� � /1#�4�#�2 �� #U� ������� 4/ 4��"��!���#A�� 4��"��!�2Q *2 4"; �-�"!�+�# HE # !�+�# !14.23#%4�2(���TL�# !�#%�/ 4��*��2(��� � > � �U> 8 BJByB

� �.� ')� � ��< �d� �A4C� 42' � �.� ')� �� ��<nuv' � � �� ')� �� ��< �d� �A4C� �4 + > Omu � �DB" 2 ;(�04 *!1$ �*4�#%��^ �"# L*�����SE�CT *!1$���# E���# 23# !14/ 4��"��! � ��� � �� 4����� 4��&�< ��&�0$-�.� ��!��"2J�# 2

��# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� 4�#?^ �"#: ��&L�# 0��/ � > � B* *!�+\; # �< *!���23#�4�#��&�� �L�# 2 ��>D�.� B* *!�+ ��>D� �� B��� 4�#���/ 2 ��!�+�#%� 4�# ��# E���# 23# !14��"!GL\�� +E 4�� �"+�# !14��"� $�; ��&�/-��# E���# 23# !14/ 4��"��!(; #1� /1#*� P �#E���� � # +G� ��# �"2�4��"2 �hZ #�+�#HU !�# ��E #%�/ 4��*��2 ��! ��� � ��# E���# 23# !14��"!GL 2FE� �� #�� >g; ���23#�#A�"#A� # !14�2; # +�# !��*4�# � �� B40 $ � � B � ��>D�.�[By' ��� B � ��>D� �� By'

� � B � M � � � � ' � � B � M � � � � + > Omu ���DBk �"!G� # � ( � ������� 4�# 2\;(�04 �;(+C�; # �< *! E �&�I ��� 4( � ���UE��"#%4�# 23#%4 ���Q��� 4�� �� # �&L�# !SI1#%4�2

� � �]' � 4 � CG; �#%��# 4�#:�� +0 #A�"2 ��# 4�#���#A�"#%/� *!14 # �&L�# !1/� ��&��# 2B� ( � � �]' � 4 � < � � � � �]' � 4 � ' �;( � � �]' � 4 � < � 4 � � �]' � 4 � + > Omu �&OmuDB

" �L����"!GL *2 �"! ��� �&O�C ; # +�#A� ��!�2 43�/ 4�# 4� 4 ��! +EGE��0$ �"!GL � � 4�� � � �]' � 4 � C ; #$L�# !�#%�/ 4�# !�# ; # �&L�# !SI1#%4 � � � � O]' � 4 � C *!�+ 23�&� �&�� ��0$ �)�*� � � �[� � +��&�(> �1B��"2 4��b0 #�U !��04�#�C � � *!�+ � 4R����2 4�� /1#�� �"!��&���G� *!�+b�� ' �&���G� /� ��&��# 2ACp¢ B � �9>?�� ' BJ< t � � >?� �"!�B1 *!�+� B � 4G>?�� ' B:<�t � 4�>?� �"!�B C�;(�043¢R *!�+ �R; ����"# � ��"�&H��"!14�#AL�#%��2 � P �#�+��&� # !�23�"��! ������� ���# E���# 23# !14/ 4��"��! �"2 4�# ! +��&�(> �1B < > 8 ¢ � O�BA> 8 � � O�B= *!�+W; #Q�< *!R�� +0 #A� 4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��!0 $ 4�#:E� *�0��> ¢]'�SB �

Page 59: Group Theory Lecture Notes James Binney

���n< � VX)�� � ]� � %����:1D ]43�� % #!�[)W#&%%/��/ J,#.]+%S, � �o � R2� ���?� R��gw �A�*Y

k �� ; 4� 4�4�# I � I ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� � L��0/1# ! 0 $�4�#=��2J�� �� � �� 43���&� # 2��"2�4�#Q> M� ' M� B��# E���# 23# !14/ 4��"��!�0 $\�< ��&�A�G�� 4��"!GL 4�# �� 43���&� # 2 ��� 4�# & *23�&� �0� ��E #%�/ 4��*��2 �S�� *!�+ �q� �"!4��"2 ��# E���# 23# !14/ 4��"��! �P �#�0 # 2 4������ 4�# 4�� 4�# �0�3��# E 2���� � 2 4/ �34�2�� ����� 2 ' ��UE��"# A � P ��"2�2J�� ;(2�4� 4�#%/1#%�3$

#A�"#A� # !14 ��� ����> 8 ' � BX� �*�3��# 2FE ��!�+�2�4��Q *! #A�"#A� # !14 ��� � �SZ # ��0��#< *+ $�I !�� ; � ����� � � ' 8 4� 4 *!1$ ���*4/ 4��"��! �< *! 0 #=L�# !�#%�/ 4�# +U0 $U :��!��04/ �3$�� #A��0 #%����� ����> 8 ' � B 23� 4�� +�#A� ��!�2 43�/ 4�# 4� 4 *!1$ #A�"#A� # !14 ��� � �< *!@0 #UL�# !�#%�/ 4�# + �04 2J� �� # 2 4�� 2J�� ; 4� 4Q *!1$$0 � ��2 4Q ��"��!GLGC 2 $DC 4�#� H" ' �"2=�< *!W0 #Q ��A� ���UE��"�"2J�# + �

o � R2� ���?� R��gw �A�*Y& ���UE��"#%4�#�4��"2 +�#A� ��!�2 43�/ 4��"��!\0 $ 2J�� ;(�"!GL�4� 4 <�� #QK @ �)� u

u # @ �)� � ��A� ���UE��"�"2J�# 2 �0 � ��2 4 4���2FE # # + "b<>E 4/ *!G1( E� �/ ��&�"#A� 4���4�# � H" ' �"2 �

o � R2� ���?� R��d� �q�*Y" L�# !�#%�/ �� #A�"#A� # !14 ��� � �< *!W0 # ��0�4/ *�"!�# +W0 $-# ' E ��!�# !14��� 4��"!GL� �2J���04/ +0��"#1�"�"!�#< � � ��� H0 �"!� 4��"��! ��� �:/ 2 23� ' L�# !�#%�/ 4��*��2 �0�FC � 4 �5k �� ;�4� 4 4�#\� �*�3��# 2FE ��!�+��"!GL #A�"#A� # !14��������> 8 ' � B �"2=L��0/1# !�0 $ < # ' E�� �� >�� � � �_B ��� + > Omu �&O�O�B& �#A�I 4� 4=;(�04a�@<>u � �*�3��# 2FE ��!�+�2(4��� ���*4/ 4��"��! 4 �����GL�( *!GL��"# � � � �

o � R2� ���?� R��d�0���*Y& ��&�A�G�� 4�#-4�# & *23�&� �0� ��E #%�/ 4��*��2 �S�( *!�+ �q�-�"! 4�#-��# E���# 23# !14/ 4��"��! E���� / �"+�# + 0 $����> 8 ' � B= *!�+ 49��2.2J�� ; 4� 4 4��"2.�"2(4�#�> M� ')uDB �0�3��# E � P �#�� ���UE��"# ' H � ��!�MF�GLD 4�# ��# ESH��# 23# !14/ 4��"��! � � �"2 4�#�>Duv' M� B �0�3��# E �� ! �g ��%4 ����> 8 ' � B 2 4/ *!�+�2 �"! 4�# 2 �� # ��#A�� 4��"��! 4�� � 4� 4 � �U> 8 B(+�� # 2.4�� �@> A ByB(�04��"2

4�#Q��!��0/1#%��2 �� � � /1#%���"!GL�L*�����SE���� � *!�+ #< ��/ #A�"#A� # !14 ��� � � �*�3��# 2FE ��!�+�2 4�� � � ��#A�"#A� # !14�2��� ����> 8 ' � ByB *!�+qt ��c; $ 2=L�# !�#%�/ 4�# 4�# 2 �� # #A�"#A� # !14(��� � �

Z #��� $ � ��!�2 43��G�%4R��&L��#%�FH�+��&� # !�23�"��!� ����0�3��# E 2�0 $ � ��!�23�"+�#%���"!GL ��0SM #A�%4�2\;(�04 � �*��#4� *! 4"; � 2FE �"!��*�(�"!�+��&� # 2 �#���*�(# ' ��UE��"#�CG�"#%4 � ���� �� � /1# 4�#�43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!W�� <;

� E � < # � �� � � � M � �

� � � � �� �� � � �� � � �� � + > Omu �&O 8 B

" 2 �#%��#�C 2FE �"!��*� �"!�+��&� # 21 ��# ��� 4�# !@; ���0434�# !��"!$�< +E �04/ ��"2 4�� +��"2 4��"!GL����"2J�4�#A� � ����� ��#AL��G�� �4�# !�23�*� �"!�+��&� # 2ACD *!�+ �"!�+��&� # 2 4� 4 2J����G�"+Q0 #�43�/ *!�23�)�*�� # +Q;(�04 � �/ 4�#%� 4� *!Q;(�04 ��#+��*434�# + � & 0SM #A�%4�2.4� 4�� /1# 4�# 43�/ *!�23�)�*��� 4��"��!R�� <; ��� > Omu �&O 8 B*E���� / �"+�#� ���# E���# 23# !14/ 4��"��!��� � 4� 4 � ��!14/ *�"!�2 4�#�> M� '<O�B���# E���# 23# !14/ 4��"��!�C3 *!�+-23�&� �&�� ��0$ �)�*� �*4�#%� /� ��&��# 2(��� > ¢]'�SB �

Page 60: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ ����n� VX)�� � ]� � %���� � ]43��K,WR�LX R�Y

� ! 4�# !��*4/ 4��"��! ���:> Omu �&O 8 B.#< ��/ I H /1#A�%4��*��" � � �*�3��# 2FE ��!�+�2 4�� 4�# 4"; �+H��"!�+�# ' 2FE �"!��*�" ���� C �)�*�� # +�0 $ 4�#1�� 43��� '

� " � � " ( "�M t � "v�"�M � � "v� " � t�" ( � +

��p�xw + � R;C � �*R � X �� � ����� � �xXg� ��� � R2� �,�g���X�

^ #%4:¡# ��� �*�3��# 2FE ��!�+-4���2FE� 4��� �� �"!1/1#%��23�"��!�2 �&� !-4�#1��2J�� �� 4�# !�23�*�.!��*4/ 4��"��!�C�4��"2 � *2 4�#

�� 43��� '

� <��� O u u uu t:O u uu u t:O uu u u t:O

��+ > Omu �&O A B

�41$ 23�&�< ��&�0$ �04 �"2��A�"#< � 4� 4b¡ � >��_B ¡?< � > tc�_B C 4� 4 �"2AC 4� 4 +����"!GL@ *! �"!1/1#%��23�"��!�C 4�# ! 0 � ��2 4� ��"��!GL|� *!�+-4�# !$ *!��*4�#%�.�"!1/1#%��23�"��!�CK� *2(4�# 2 �� # #�� #A�%4: *2(+����"!GL\ U0 � ��2 4� ��"��!GLtc� � � ����� > Omu �&O A B 4��"2 �� $R0 # ��#< *+��&�0$(�/�#A�I1# +f ��&L�# 0��/ *�&�< ��&�0$1�Jk ��¡ +�� # 2 !��*4:� ������� 4�#;(�04�0 � ��2 4�2 � & ! 4�# �*4�#%� � *!�+�C��04 +�� # 2 � ������� 4�#�;(�04 ���*4/ 4��"��!�2B�¡ ��>��3B ¡�< ��>��3B �

Z ���04��"!GL � >��_B|< ; � >�� �� B � � � *!�+ ��>��3B < ; � >�� �XB � � � ; # +�# +G�G� #-4�#�&�UE��"�&�< 4��"��!�2 ���X ��&� 4��"2(�)�*� 4�# ��#A�� 4��"��!�2 ����¡* *!�+ 4�#1L�# !�#%�/ 4��*��2 � *!�+ � B M �

� ¡S<[tc¡ �� ¡S< ¡ � l �.¡S< ¡ � �

� � ¡S< ¡ � > Omu �&O I B

� $��/� *!GL��"!GL�4�# 23�&L�! ��� � C ; ��&�/-�"2 4�#��&�� �L��"!� �3$�� ���UE ��!�# !14(��� 4�# � �U> 8 B4L�# !�#%�/ 4��*��$CL¡ �/� *!GL�# 2=� �"!14���4�# �*4�#%� � �U> 8 B L�# !�#%�/ 4��*�<C�� � �

h.� ; �"#%4 � � � � 4 � 0 #� 1I1#%4 �"! 4�#�> ¢]'�SB ��# E���# 23# !14/ 4��"��! ��� � � P �# ! 4�# ��E #%�/ 4��*� ��>�¡"B4/ +I1# 2 4��"2 �"!14��U �I1#%4 ��� 4�#U>���'j¢ B���# E���# 23# !14/ 4��"��! � P � 2J�� ; 4��"2ACS; #:�< ��&�A�G�� 4�#.4�#1 ��%4��"��!��� � ( ��!���>�¡"B � � � � 4 � B

� (���>�¡"B � � � � 4 � < � ��> �{(H¡"B � � � � 4 �< � ��>�¡ � �( B � � � � 4 �<���>�¡"B �;( � � � � 4 �< � 4���>�¡"B � � � � 4 � +> Omu �&O ��B

P �#1�A�� *�&� # + ��# 2J�G�04 !�� ; �)���&�"� ;(2 0 #A�< ���23#1; #:I !�� ; 4� 4 4�#%��#1 ��# 8 � � O /� ��&��# 2(��� � 4 �� �v¢��< ��C1�04��"2 �A�"#< ��4� 4 ��>�¡"B � � � � 4 � �"24 �0��/ *!�+�!�# ; I1#%44 *!�+�!��*4 �"�"!�#< ��0$ +�# E # !�+�# !14

��!�4�# � � � � 4 � CK; ��&�/ 2FE� *! 4�# ��# E���# 23# !14/ 4��"��! 2FE� �� #���� � �?Z #�� ��!G�A�&��+�#�4� 4.4�� #< ��/�0�3��# E ��� � ;(�045¢ �< � 4�#%��#R� �*�3��# 2FE ��!�+�2\ *! �0�3��# E ��� ��4� 4�� *2�+��&� # !�23�"��! 8 > 8 ¢ �O�BA> 8 � � O�B � ���*��# ' ��UE��"# 4�# 8 H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E@> M� ')uDB ��� �bE���� / �"+�# +U0 $ ����> 8 ' � B $ �"#A�"+�2

M � IKJMLNJ�ORQSJ�tU[]r ag\SJ`eNe%[ y��"aS[�J`e%\S[ O%Z \gagZ _MXYONJKORQgXYO%Z OAZ e%XuV~XYONLRZ ^n} tdWSO%ORQgXYO%Z OAZ e%X m]J`_ON[ L � sKZ ORQ V~XYONLRZ _J`ey [ LK_[�V'TU[]\SJ`\�ORe �7i

Page 61: Group Theory Lecture Notes James Binney

���n<�� VX)���'4]+#&%�- Z+ ���*1D ]43�� � � I H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E-��� �

�4� 4 �"2 ��"23� +�# !��*4�# +b> M� ')uDB � P �# I1#%4�2 ��� 4�# �� 434�#%� �0�3��# ER ��#�< ��&�"# + � � � ���R��T���T� � �*�

Z �# ! ¢ < ��C ��>�¡"B � � � � 4 � ��� �"�"!�#< ��0$ +�# E # !�+�# !14 ��! 4�# � � � � 4 � C 23� *+�+��"!GL ¡+�� # 2�!��*4 +����S0��"# 4�# +��&� # !�23�"��! ����4�#��0�3��# E � P �\E���� /1# 4��"2�; #�� ��!�23�"+�#%� 4�#R> 8 ¢ � O�Bd�H+��&� # !�23�"��!� �� 2FE� �� # � 2FE� *!�!�# +R0 $ 4�#:I1#%4�2

� � � � 4v7�� � B � � � � 4 � � ��>�¡"B � � 4 � � � + > Omu �&O�DB

>?h.�*4��&� #�4� 4 �)�*� ��&� 4�# � � � � 427�� � 4��U0 #:; #A�&� +�#HU !�# +(; # ��#�G ���0��#:¢h< ���7B�� �"2(�"!1/� ���� *!14��!�+�#%� ��>�¡"B �_���*��# � /1#%�<C� ( � � � � 427�� � < � �

�� � � � 4 � � ��>�¡"B � � 4 � � � �

�� � � � � 427�� � < ¢3> ¢ � O�BSt � �9> � � � O�B

�� � � � O � 4 � � ��>�¡"B � � 4 � � � O � �

� K � � � � 427�� � < ¢3> ¢ � O�BSt � �9> � �ct O�B�� � �1tdO � 4 � � ��>�¡"B � � 4 � �ct O � � '

> Omu �&O ��B

23� � �"2.�"!1/� ���� *!14 ��!�+�#%�1 ��&�S%0 � ��e.# !G� #�� 2J�SEGE �*�34�2: $> 8 ¢ � O�Bd�H�+��&� # !�23�"��!� �� �0�3��# E ����

� *!�+$����2 4�� ���"!G� �"+�#Q;(�04 ��� �.�*���&L��"!� �� ��# E���# 23# !14/ 4��"��! 2FE� �� # �)�*� � � P �# �g ��%4.4� 4 4�#

��2J�� �� I H /1#A�%4��*��2 E���� / �"+�# 4�#W> M� ' M� B(�0�3��# E 2���� 0 �*4 � *!�+ ���"2 �E� �34��&�A�G�� � �< *23# ��� 4��"2

L�# !�#%�/ �� ��# 2J�G�04 �

��p��� + � R > �����S�]� ���R � � ������ !b *+�+��04��"��! 4��-���*4/ 4��"��!�2Q *!�+f0 � ��2 4�2AC 2FE� �� # H 4��&� # �"2 �"!1/� ���� *!14���!�+�#%� 43�/ *!�2J�� 4��"��!�2 � P �#� ���"!G�< ���#QL*�����SEpMgM�� �"2(4�#QL*�����SE��)�*�� # +R0 $( *+�+��"!GL 43�/ *!�2J�� 4��"��!�2 4�� �

��3� P �#� ��%4��"��! ���

43�/ *!�2J�� 4��"��! �"2 23�&�UE��0$�"E � < �F��<�� �� ' > Omu �&O�DB

; �#%��# � �"2= I H /1#A�%4��*� �� � *2:Omu�E� �/ �� #%4�#%��2C� 4�# ��E� �/ �� #%4�#%��2 ��� � *!�+ 4�# I � ���UE �+H!�# !14�2(��� � �

P �# �0�3��# E 2(����� ��# ��� �"!14�#%��# 2 4 0 #A�< ���23# 4�#�^T �L*�/ *!GL��� *!-+�# !�23�045$ ��� *!1$ � ��# #�U #A�"+-�"2�"!1/� ���� *!14T��!�+�#%� *!1$ � �� ;(�04�4�# � ��!�23#�G ��# !G� #�4� 4X *!1$=U #A�"+ ��0�4/ *�"!�# +:0 $�43�/ *!�23�)�*�� �"!GL \L��0/1# ! 23���&� 4��"��! ����4�#bU #A�"+ #�G �� 4��"��!�2�;(�04� *! #A�"#A� # !14 ����UC �"2: ��"23�W 23���&� 4��"��!�����4�#U #A�"+ #�G �� 4��"��!�2 �@e.# !G� # �04 �"2 !� 4� �/ ���4���23# # I 23���&� 4��"��!�2 ��� 4�#�U #A�"+ #�G !�2 4� 4 4���L�#%4�#%��)�*�� 4�# 0� *23�"2 �)�*�Q *! �0�3��# E ��� ��� k �G�/ 23#%4�2 ��� U #A�"+�2Q ��#��.��!�+� �� # !14/ ���4��\E #%�34� �J0� 4��0/1#U #A�"+ 4�# �*�3$DC� *!�+( ��#:�A�"��23#A�0$ �"+�# !14���U # +R;(�04 4�#1� ��!G� # E�4 ��� .- E� �34��&�A�"#C/"�

P �# 43�/ *!�2J�� 4��"��!�2 �)�*�� *! " 0 #A�"�� *! 2J�S0�L*�����SE�� H���� P �#���G�"# �)�*� �"!14�#%��/� *!GL��"!GL� � *!�+ � �� �"2 +�# +G�G� # +$ *2(�)���&�"� ;(2B

� �F�6<�� >�� ��� B<�� � � � �< > � � B � ��+

> Omu �&O �DBMgM �ui �Ui XSigORQSJ � ��� ��������� ��� ������� ����� � � �!��� ��� �Ai

Page 62: Group Theory Lecture Notes James Binney

� � a_)�Z�� �"�/ ����n� VX)�� � ]� � %���� � ]43��K,P � 4��"2AC 43�/ *!�2J�� 4��"!GL�0 $ � *!�+ 4�# !�43�/ *!�23�)�*�� �"!GL�;(�04 � � *2 4�# 2 �� # #�� #A�%41 *2 43�/ *!�2 H�)�*�� �"!GL�;(�04 � *!�+ 4�# ! 43�/ *!�2J�� 4��"!GL 0 $ � � �

� ����� > Omu �&O �DB4; #1�< *!-+�# +G�G� # 4�#1� ������� 4/ 4��"��! ��#A�� 4��"��!�2 0 #%4"; # # !-4�# �"!vU !��04�# 23�&�� ��L�# !�#%�/ 4��*��2 ��� 4�# 43�/ *!�2J�� 4��"��!�2 �

� *!�+ 4���23# �

�C 2 $DC ��� � >?�#%��# � < O]',+,+,+y'A� *!�+� M B ��> " M B C 2 $�B �TZ #1� /1#

��> �/B�< � � � � � � � � � ' ��> � >��3BJB�< � � % � � � � � � > Omu � 8 uDB

h.�*4��&� # 4� 4 �� *!�+ �

� ��#���E #%�/ 4��*��2 ��! 4�#.��# E���# 23# !14/ 4��"��! 2FE� �� # ��CG *!�+ 4� 4c�W *!�+ � ��# 2J�� ��&� �

uJ<���> � B���> �/BSt ��> � � B���> � B< > � � % � � � BA> � � � � � � BSt > � � � � � >��3B � � � � BA> � � % � � � B > Omu � 8 O�B

Z ���04��"!GL � � � >��3B � �� �% � " ��

�C3; �#%��# 4�# I � I �� 43��� ' � M �"2(4�#�`�H L�# !�#%�/ 4��*����� � *!�+

� � < � M �"2 4�#:L�# !�#%�/ 4��*� ��� `�H[0 � ��2 4�2 #%4��CX> Omu � 8 O�B���# +G�G� # 2(4��

uJ<>% � � �� �

� � � t � � � � BSts% � " ���� � �

�+ > Omu � 8]8 B

8�#A�"#%4��"!GL���# +G��!�+� *!14.�"!vU !��04�# 23�&�� ��"2 ; #:� /1#VU !� ��&�0$

� ��' ����< " �� � � � + > Omu � 8CA B

P ��"2.# ' E���# 2323# 2.4�#Q� ������� 4/ 4��*� ��� 4"; �\L�# !�#%�/ 4��*��2 ����� *2� ��"�"!�#< ��� ����0 �"!� 4��"��!-��� 4�#L�# !�#%�/ 4��*��2AC 23��4�# !9�G��0 #%��2 " ��

� ��# 23��� # ����� / 2 2 43��G�%4� ��#Q� ��!�2 4/ *!14�2 �

o � R2� ���?� R��d��w%�*Y8�� # 2 *!1$ �

�� ������� 4�#�;(�04R *!1$ ��� 4�# �

�& ��G� �� ��&�0$DC14�#.!�# ; L�# !�#%�/ 4��*��2 +�� !��*4 � ������� 4�#=;(�04�4�# & *23�&� �0����E #%�/ 4��*��2 �S�+C �q�

��� � � P ��"2 4�#A�&�"2 ��2.4� 4.4�# ���� +E(I1#%4�2 4� 4�0 #A�"��!GL 4�� +�� � #%��# !14 �0�3��# E 2.��� � �"!14�� ��!�#

*!��*4�#%�<CG;(�04 4�# ��# 2J�G�04 4� 4 4�# �0�3��# E 2(����� ��# 0 �&L�L�#%� 4� *! 4���23# ��� � �^ #%4 � 0 #(4�# 2FE� �� #.��!�; ��&�/ 4�# ��E #%�/ 4��*��2 ��> � B����� *! �0�3��# E ��� � ��%4 � P �#(43�/ *!�2J�� �H

4��"��!�2 �)�*�� *! " 0 #A�"�� *! 2J�S0�L*�����SE�� H�� *!�+\; # I !�� ; 4� 4= ��&� �0�3��# E 2 ��� " 0 #A�"�� *!�L*�����SE 2 ��# O H�+��&� # !�23�"��!� �� �S^ #%4 � � � �� E���� / �"+�#= *!��0�3��# E���� � � P �# ! 0 $ 4�#= �L��G� # !14�2�+�# E��"� $1# +�"! 4�#:E���� ��� ��� � �"� �/0/ 2 4�# �*��#A� > #�G �T> I �&O�O�BJB C ; #1� /1# �)�*� � ��

��> �/B � � � < # � �� � � � � ' > Omu � 8 I B

; �#%��# ; #4� /1#* *232J�G� # + 4� 4 ��� � I1#%4X� *2 0 # # !Q�� +0 #A�&�"# +10 $�4�# I H /1#A�%4��*�X��4� 4 +�#%4�#%�� �"!�# 2�04�2 ��# 2FE ��!�23# 4���#< ��/ ��> �/B �

k �"!G� # � �"2(�0�3��# +G�G� �c0��"#�C3 *!1$�I1#%4 �"!-�04 �< *!W0 #QL�# !�#%�/ 4�# +W0 $( +EGE��0$ �"!GL� *!( +EGE�����E����� 4�#��> � B 4���23��� # �/���23# ! 2 4/ �34��"!GL I1#%4 � � � � �_h.� ;

��<�� � � � � � � <���> � B � � � � + > Omu � 8 ��B

Page 63: Group Theory Lecture Notes James Binney

���n<�� VX)���'4]+#&%�- Z+ ���*1D ]43�� � �P ��23# # 4� 4 4��"2 �"2 23�GCG; #Q +EGE��0$ ��> �/B 4�� ��> � B � � � � B

��> �/B���> � B � � � � <���> � B���> � K�M � B � � � � ' > Omu � 8 �DB

; �#%��#�> Omu �&O �DB4� *2 0 # # !W��23# + �42�/� ��&�� 4��"!GL 4�#.� � � 2 �S;(�04 > Omu � 8 I B_; #?U !�+ 4� 4 ��> � B � � � �2 4��"2FU # 2 4�# +�#HU !��"!GL���#A�� 4��"��! ��� � � � B��> �/B

���> � B � � � � � < # � ���' ��� � �

���> � B � � � � �< # � � � ����� �

���> � B � � � � �< # � �� �

���> � B � � � � � +

> Omu � 8 ��B

2CG �� 4��"��! > Omu � 8 ��B�+�#A� ��!�2 43�/ 4�# 2 4� 4 �)�*� � �<nu 4�# �0�3��# E 2(��� � ��# bH�+��&� # !�23�"��!� ��D7 ��&� 4�# � � � ��0�4/ *�"!�# + � ����� bL��0/1# ! � � � � ����2 4�0 #$�"�"!�#< ��0$ �"!�+�# E # !�+�# !14 ��� #< ��/ �*4�#%�0 #A�< ���23# 4�#%$ #< ��/R� /1#Q �+�� � #%��# !14 # �&L�# !1/� ��&��#:; � � � 4 ��23��� # ��> �/B �

Z #�� /1# 23# # ! 4� 4 4�# ��# E ��� 2J�S0�L*�����SE � H�# �.� ��!��"2J�# + 0 $ *! �0�3��# E ���:# �"2��2J�� ��&�0$ ��# +G�G� �c0��"#*�.�54,/ 2 �"!14�#%��# 2 4��"!GL-4��( *2FI��� ; 2J�� ��&� � H�� ����2 410 #��"� *! �0�3��# E ��� ��"2 4��-��# +G�G� # 4��3U !��04�# H�+��&� # !�23�"��!� ����0�3��# E 2 �W2CG ! � > Omu � 8 ��B�2J�� ;(2 4� 4 �8H � �"2 2 4��&�&��4�� ��� �L�#*� P �#��0�3��# E � � ������# +G�G� #�4��( *! �"!vU !��04�#�!9�G��0 #%� ���&U !��04�# H�+��&� # !�23�"��!� ����0�3��# E 2:; �# !; #\� ��!�23�"+�#%� 4�#.r��xX,X*r R � � ����� � � ��� � � P ��"2 �"2 4�# 2J�S0�L*�����SE ��� � ��!�+�#%� ; ��&�/ � �"2�"!1/� ���� *!14 �V� � � �"2.4��&� # H �"�cI1#�C � � �"24MF��2 4 4�#�L*�����SE �@> A B ���4 ��&� ���*4/ 4��"��!�2.�"!�4�# � �/ �� # �"!; ��&�/$�q< > � � � ')uv')uv')uDB C � � #*�&C3�T/ 2 ��# 2 4FH�� �/ �� #*�1Z #1I !�� ; 4� 4 4�# �0�3��# E 2.��� 4��"2 L*�����SE� ��#4�# > 8 ¢ � O�B H�+��&� # !�23�"��!� �� ��!�# 2= *2323� � �� 4�# +�;(�04 2 4/ 4�# 2 ��� +�#HU !��04�#: *!GL��G�� � � ��� # !14�G�-��� �� �"2 !9�G�&�!C 4�#��"�0434�"# L*�����SE �"2 23�&� �&�� ��4�� 4�#�4"; �+H�+��&� # !�23�"��!� �� 24�G�A�"�"+�#< *!fL*�����SE *!�+ 4�#�0�3��# E 2 ��# ��!�# H�+��&� # !�23�"��!� �� �

P ; � & *23�&� �0� ��E #%�/ 4��*��2:�< *!�0 #U� ��!�2 43��G�%4�# + �)�*� ��� & !�# �"2 � � � � *!�+ +�#%4�#A�%4�2 4�#/� ��&��# ��� � � � *2323� � �� 4�# +�;(�04�4�# �0�3��# E � P �# �*4�#%���"2 � �*��# � ���UE��"# ' ���54���# E �*�34�2�4�# !� 4� ��#���X�T/ 2 �"�0434�"# L*�����SEW0 $ ��#%4� ��!��"!GL # �04�#%�(4�# 4��*4/ �� 2FE �"! � �.4� 4 �/� �/ ��%4�#%����� # 2(���*4/ 4��"��!�2 �"!�T/ 2 ��# 2 4(� �/ �� #�C �*�(�"�T� �"2 !9�G�&� *!�+ 4�#%��# �"2 !�����# 2 4(� �/ �� #�C�4�#:�#A�"�&� �045$1�

o � R2� ���?� R��d���A�*Y� �"!�+ 4�#1 ��%4��"��! ��� � � � � ��! � � � �