Gruber József, a hidrodinamikai szingularitások művelője

Czibere Tibor

Személyes kapcsolatom Gruber professzorral: Egyetemi tanulmányaimat a miskolci Nehézipari Műszaki Egyetemen végezvén nem hallgathattam egyetemi előadásait. Kiváló előadó képességét, szakmai felkészültségét csak később különféle tudományos rendezvényeken, konferenciákon ismerhettem meg. 1956 márciusában kerültem a budapesti Ganz Vagon- és Gépgyár Hajtómű Tervezési Osztályára, ahol a hidrodinamikus nyomatékváltókban kialakuló áramlási folyamatok kutatása és számítása lett a feladatom, amivel Varga József műszaki igazgató bízott meg, aki később a BME Vízgépek Tanszékének lett a vezetője. Borbély Samu egykori professzorom ekkor már a BME Gépészmérnöki Kara Matematikai Tanszékének a vezetője volt, és így az ő közvetítésével kerültem szakmai kapcsolatba Gruber professzorral. A nyomatékváltókban kialakuló áramlások számítására sikerült egy eljárást kidolgoznom, aminek segítségével a Ganz-nyomatékváltók hatásfokát javítani lehetett. Ezután áthelyeztek a gyár Vízgép Kutatási Osztályára, hogy az új számítási eljárást a gyár szivattyú- és vízturbina-gyártmányai tervezési-fejlesztési munkái során is hasznosítani lehessen. Ez a Ganz- és a MÁVAG-gyár egyesítésének időpontjában történt, amikor Varga József a BME Vízgépek Tanszékének a vezetője lett. A Magyar Tudományos Akadémia Műszaki Tudományok Osztályának keretében 1967-ben megalakult az Áramlás- és Hőtechnikai Bizottság, amelynek mindhárom említett professzor a tagja lett; Gruber és Varga professzorok a bizottság társelnökei lettek, én pedig − miután 1963 óta már a műszaki tudományok kandidátusa is voltam − a bizottságnak a titkára lettem. Ettől kezdve Borbély, Gruber és Varga professzorok a szakmai fejlődésem jelentős tényezői lettek.

Az áramlástechnikai gépek lapátozásának tervezése és a lapátterekben kialakuló áramlások számítása terén Gruber professzor jelentős − a határainkon túl is elismert − tudományos eredményeket ért el, és tett közzé hazai és külföldi folyóiratokban. Ez irányú eredményes tevékenysége nyomán a múlt század 60-as éveiben kialakult hazánkban egy kutatói közösség, amelyet a külföldi szakmai-tudományos körökben „magyar iskola” névvel illettek. A kutatási munkájuk középpontjában a hidrodinamikai szingularitások elméletének az áramlástechnikai gépek lapátozott terében kialakuló áramlások számítására való alkalmazása állt. Az összenyomhatatlan és súrlódásmentes közegek síkbeli (kétdimenziós) áramlásai komplex függvénytani módszerekkel ismert módon matematikailag jól kezelhetőek. A iyxz komplex koordinátával rendelkező yx, síkon ugyanis minden reguláris (folytonos és differenciálható) )(zW komplex függvény felfogható úgy, mint egy síkbeli áramlás potenciálfüggvénye, amelyből a sebesség a

iyxz komplex változó szerinti (közönséges) differenciálással származtatható, miszerint a zv konjugált komplex sebesség:

dz

dWyxivyxvzv yx ,, .

Az alábbi ábrán megadjuk a párhuzamos áramlás, az origóban elhelyezett örvény és az origóban elhelyezett forrás áramvonalrendszerét és )(zW komplex potenciálfüggvényét

zevzW i)( zizW ln

2)(

zQzW ln2

)(

1. ábra. Párhuzamos áramlás, örvény- és forrás-áramlás áramvonalrendszere

Ha egy görbe-szakaszon a görbe síkjára merőlegesen álló örvényvonal-köteget rögzítünk, és azt egy olyan párhuzamos áramlásba helyezzük, amelynek sebesség-vektora a görbe-szakasz síkjában van, és a görbe-szakaszt úgy választjuk meg, hogy az egyben áramvonal is legyen, akkor a 2. ábrán vázolt áramkép valósul meg. A görbe-szakasz mentén folytonos eloszlású örvényerősség esetén örvény-felületről beszélünk, amelyen az áramlásra merőleges irányban felhajtóerő ébred; s ezzel beláthatóan el is jutottunk a repülőgép-szárny egyfajta modelljéhez. Az örvényeloszlást hordozó (S) görbe-szakasz kezdő- és vég-pontjában az örvényeloszlás értéke zérus, mert csak ez esetben lesz a rá-áramlás az örvény-felületre és a róla való le-áramlás sima, vagyis az örvény-felületre érkező és az onnan távozó áramvonal érintőleges az örvényeloszlást hordozó (S) görbe-szakaszhoz.

2. ábra. Párhuzamos áramlásba helyezett örvényfelület által keltett áramlás áramvonalrendszere és az (S) görbeszakaszon elhelyezett folytonos örvényeloszlás

A örvényeloszlást (hidrodinamikai szingularitás-eloszlást) hordozó (S) görbe-szakasz felső oldalán az örvények az áramlást gyorsítják, az alsó oldalán pedig lassítják, aminek következtében az alsó oldalon a nyomás nagyobb, a felső oldalon pedig kisebb lesz, mint eredetileg − az örvényfelület áramlásba helyezése előtt − volt. Az örvényfelület felső (domború) oldala a szívott oldal és az alsó (homorú) oldala a nyomott oldal; mindennek következtében az (S) görbe-szakasszal értelmezett örvényfelületen az y tengely irányába mutató felhajtóerő ébred.

Az előbbi ábrán vázolt örvényfelület vastagsága zérus; ámde a repülőgép-szárnynak van vastagsága, mégpedig elöl lekerekített és hátul fokozatosan elvékonyodó keresztmetszettel rendelkezik. A repülőgép-szárny hidrodinamikai modellezéséhez tehát az örvényfelületet „fel kell fújni” úgy, hogy annak a keresztmetszete szárnyprofil-alakú legyen. Ennek érdekében az (S) hordozó görbe-szakaszra a örvényeloszlás mellé még egy olyan q forrás-nyelő eloszlást is el kell helyezni, amelynek az (S) görbeszakaszra vonatkozó integrálja zérus, azaz a források eredő erősségének a nyelők eredő erősségével meg kell egyeznie, mert csak ez esetben záródik hátul a szárny-profil. A repülőgép-szárny hidrodinamikai modellezéséhez tehát az (S) görbe-szakaszra egy az s ívhossz-koordinátától függő folytonos )()( sisq komplex szingularitás-eloszlást kell elhelyezni, amelynek valós része forrás-nyelő eloszlás, a képzetes része pedig örvény-eloszlás; ezért honosodott meg a műszaki gyakorlatban a hidrodinamikai szingularitások elnevezés. Egy síkbeli párhuzamos áramlásban az (S) görbeszakaszra helyezett komplex szingularitás-eloszlás által indukált sebességi mezőnek a komplex potenciálja és annak deriváltja − amely az áramlás konjugált komplex sebesség-vektorát szolgáltatja − az alábbi integrálokkal határozható meg:

S

sS dszziqzvzW

0

)ln()(21)(

dszziqv

dzdWzv

S

s S

02

1

ahol S a komplex szingularitás-eloszlást hordozó (S) görbe-szakasz ívhossza, szS az (S) görbe-szakasz pontjaihoz tartozó komplex helyvektor. A hidrodinamikai szingularitások elvi alapjainak rövid összefoglalása után szólnom kell arról, hogy a repülőgép-szárny körüli áramlás és az áramlástechnikai gépek lapátozott terében egy lapát körüli áramlás a lényegét tekintve csak abban különbözik egymástól, hogy amíg a repülőgép-szárny a végtelen kiterjedésű áramlási térben egyedül áll, addig az áramlás-technikai gépekben a lapátok nem egyedül, hanem együttesen szerepelnek, kölcsönösen hatnak egymásra. Az axiális átömlésű gépek lapátkoszorúinak koaxiális hengermetszeteit síkba kiterítve adódik a végtelen sok lapátot magába foglaló egyenes lapátrács, amelyben a relatív áramlás konjugált komplex sebessége az alábbi integrál-kifejezéssel határozható meg:

dszzT

iqT

wzwS

sS

0

)(coth)(21 ,

ahol T a lapátosztás (két szomszédos lapát kerületi irányban mért távolsága), w a lapátrács előtti és mögötti relatív sebességek vektorikus középértékének a konjugált komplex alakja.

A háromdimenziós lapátkoszorúk alkalmasan választott koaxiális forgás-felületekkel részcsatornákra bonthatók, A forgásfelületeken adódó lapátmetszetek alkotta lapátrács konformisan leképezhető egy síkbeli − végtelen sok lapátból álló − egyenes lapátrácsra, és az itt kialakuló áramlás a részcsatorna változó szélességének figyelembe vételével számítható. Gruber József az 1960-as években ezzel a témakörrel foglalkozott, és összenyomhatatlan közeggel működő áramlástechnikai gépek lapátterében kialakuló áramlás számítására kidolgozott egy számítási eljárást. „Radiális átömlésű, végtelen vékony, hátrahajló lapátozású, forgó lapátkörrácsok számítása” címmel 1963-ban írt és a Magyar Tudományos Akadémiára benyújtott értekezését 1964-ben sikeresen megvédve elnyerte a műszaki tudományok doktora c. hazánkban legmagasabb tudományos fokozatot. A hidrodinamikai szingularitások problémakörével, különösen annak áramlástechnikai gépek lapátjainak tervezésére való alkalmazásával már az 1950-es évek kezdetétől foglalkozott; ami nem volt véletlen, mert tudományos munkásságát még 1940-ben a budapesti Műegyetem Aerodinamikai Tanszékén adjunktusként kezdte, ahol volt lehetősége megismerkedni a repülőgép-szárny körül kialakuló áramlás problémakörével. 1950-ben intézeti tanárrá nevezték ki, majd Abody Előd professzor halála után a tanszék vezetője lett, amely időközben Áramlástan Tanszék nevet kapta. Tanszékvezetőként volt lehetősége egy kutató csoport kialakítására, amelynek tevékenységét a hidrodinamikai szingularitások elméletének az áramlástechnikai gépek lapátrácsaiban kialakuló áramlások számítására való alkalmazása képezte. Ebből fejlődött ki a − külföldi szakmai körök által elismert és általuk így megnevezett − magyar iskola, amelynek e sorok írója is tagja lett az 1960-as években. Egy személyes megjegyzéssel szeretném folytatni: én ugyan nem lehettem Gruber professzor tanítványa, mert engem 1949-ben − a Budapesti Műszaki Egyetemen sikeresen abszolvált felvételi vizsga után − a Miskolcon akkor létesített Nehézipari Műszaki Egyetemre irányítottak. De a hidrodinamikai szingularitások elméletének alkalmazásához én is a szárnyprofil-elmélet közvetítésével jutottam. Miskolcon ugyanis annak a már említett Borbély Samu professzornak lehettem a tanítványa, majd pedig tanársegéde, aki az 1930-as évek második felében a Berlin-Charlottenburgi Műszaki Egyetem Repüléselméleti Intézetének volt a matematikusa, és ott a repülőgép-szárny rezgése (un. flatter-jelenség) témakörében szerzett Dr.-Ing. tudományos fokozatot. És amikor én a Ganz-gyárban a hidrodinamikus nyomatékváltók lapátozásával kapcsolatos kutatási feladatot kaptam, és tanácsért egykori tanítómesteremhez fordultam, ő akkor nekem a repülőgép-szárny körül kialakuló áramlás szakirodalmának tanulmányozását javasolta, s így jutottam el a hidrodinamikai szingularitásokhoz, és azok alkalmazásával az említett feladat sikeres megoldásához, és ezek után fogadott soraiba engem is a Gruber professzor környezetében kialakult magyar iskola. Annak igazolására, hogy a külföldi mértékadó szakmai körök nemcsak elismerték ennek a magyar iskolának a tudományos tevékenységét és elért eredményeit, hanem az általa képviselt kutatási irányt a maguk számára követendőnek is tartották, szeretném most emlékezetünkbe idézni egy 1966-ban megjelent lengyel szakkönyv néhány oldalát. A könyv címe: Nowoczesne kierunki w pomp wirowych (magyarul: Korszerű irányzatok az örvény-szivattyúk tervezésében) és szerzői: Szczepan Łazarkiewich és Adam T. Troskolański, aki annak idején a Wroclawi Műszaki Egyetem professzora és rendszeres résztvevője volt a Budapesten négy évenként rendezett Nemzetközi Vízgép Konferenciáknak.

3. ábra. Az 1966-ban megjelent lengyel könyv, amelyben többek között a magyar iskola eredményei is közölve lettek

4. ábra. A könyvnek azon oldala, ahol a magyar iskola és alapítója Gruber József

először van említve

5. ábra. A könyvben utalás Gruber számítási módszerére

6a. ábra. A könyv elméleti I. fejezete irodalomjegyzékének első része

6b. ábra. Az I. fejezet irodalomjegyzékének második része

6c. ábra. Az I. fejezet irodalomjegyzékének harmadik (befejező) része

7. ábra. A szóban forgó könyv Gruber és Czibere társszerzők

által írt II. fejezetnek az első oldala

A hidrodinamikai szingularitások elméletén alapuló számítási eljárások az áramlástechnikai gépek tervezési-fejlesztési munkálatai során a mai mérnöki gyakorlatban is használatosak, és jelentőségük továbbra sem csökken. Miután a hidrodinamikai szingularitások elmélete nem veszített a jelentőségéből, ezért legyen szabad nekem Gruber professzor emléke előtti tiszteletemet most azzal is leróni, hogy e megemlékezéshez csatolom a hidrodinamikai szingularitások módszerének egy szerény kiegészítését, amit a következőkben szeretnék bemutatni. Körgyűrű-alakú örvénysáv perdületes forrás-áramlásban. Az áramlástechnikai gépek lapátozott járókerekében kialakuló áramlás hidrodinamikai modellje lehet az a síkbeli áramlás, amely egy − a komplex sík origójában elhelyezett − Q erősségű forrás és cirkulációjú örvény által keltett áramlás (nevezhetjük ezt perdületes forrás-áramlásnak) és egy origó-közepű körgyűrű-alakú folytonos eloszlású örvénysáv által indukált áramlás szuperpozíciójával jön létre.

8. ábra. Körgyűrű-alakú örvénysáv perdületes forrás-áramlásban

Ennek a folytonos eloszlású − felületi sűrűségű − örvénysávnak a felületelemére jutó örvényerősség: d dF rdrd .

A szóban forgó perdületes forrásnak és vele koncentrikus körgyűrű-alakú örvénysávnak a szuperpozíciójával adódó síkbeli potenciálos áramlásnak a W z( ) komplex potenciálja a z x iy komplex síkon:

W z Q i z i r z re rdrdi

r r

r

B

K

( ) ln ( ) ln( )

2 2 0

2

, (1)

ahol z annak a pontnak a komplex koordinátája, amelyben a komplex potenciál (később pedig a sebesség) meghatározandó (számítási pont); r, pedig az integráció futópontjához tartozó síkbeli poláris koordináta-pár. A komplex potenciál z szerinti deriválásával adódik a konjugált komplex sebességi mező egyenlete:

2

0

)( 2 2

)(K

B

r

rriyx drd

rezrri

ziQ

dzdWivvzv . (2)

Az előbbi kettős integrálban a szerinti integrál z rei esetében elvégezhető, és akkor az örvénysáv indukálta konjugált komplex sebesség az alábbi alakot ölti:

rdrrreziz

drdrez

rrizvK

B

K

B

r

rr

ir

rriS )( )ln( 2

21)(

2)(

2

0

2

0

. (3)

Ezek szerint a szerinti integrálás eredménye attól függ, hogy a z számítási pont hol helyezkedik el (9. ábra).

9. ábra. A (3) egyenletben fellépő integrál futópontja a kör kerületén,

amikor a z pont "belső pont" (a), és amikor "külső pont" (b)

a) b)

Az örvénysáv indukálta konjugált komplex sebességre három eset lehetséges: a) A z pont az örvénysávon belül van: | |z rB , akkor a szerinti integráláskor a szög változási tartománya: 0 0 2 , és akkor a következő adódik: v zS ( ) 0 ; | |z rB b) A z pont az örvénysávon kívül van: r zK | | , akkor a szerinti integráláskor a szög 0 -ról indul, és egy m maximum elérése után visszatér az indulási 0 értékre, és így

z

idrr

zizv

K

B

r

rrS 2

)( 0

; r zK | |

ahol 0 a körgyűrű-alakú örvénysáv eredő erőssége:

drrK

B

r

rr

20

c) Ha a z pont az örvénysávban van: r z rB K | | , akkor a (2) egyenletben a szerinti integrálást előbb az r r zB | | tartományra (amikor z "külső pont") és utána a | |z r rK tartományra (amikor z "belső pont") elvégezve a következők adódnak:

2 2

0

2i z re rdr i rdri

r r

z

r r

z

B B

ln( )| | | |

2 0

0

2i z re rdri

r z

rK

ln( )

| |

,

és ezek után az örvénysáv indukálta komplex sebesség az örvénysáv pontjaiban így alakul:

drrzizv

z

rrS

B

||

)( ; r z rB K | |

Ha az örvénysávot az origóból eredő Q i erősségű perdületes forrás-áramlásba helyezzük, akkor az eredő áramlásnak a konjugált komplex sebessége az említett három esetben:

az örvénysávon belül: v z Q iz

( ) 2

; | |z rB (4a)

az örvénysáv pontjaiban: v z Q i i rdrzr r

r

B

( )

2

1

; r z rB K | | (4b)

az örvénysávon kívül: v zQ i

z( )

( )

0

2 ; r zK | | (4c)

Az áramvonalak meghatározását illetően az örvénysávon belül illetve azon kívül eljárhatunk úgy, hogy előbb felírjuk az áramlás komplex potenciálját, amit a v z( ) konjugált komplex sebesség z szerinti integrálásával nyerünk:

W z Q i z( ) ln 2

; | |z rB

W zQ i

z( )( )

ln 0

2 ; r zK | | .

Ezután a W z( ) komplex potenciál, valamint a ( , )x y sebességi potenciál és a ( , )x y áramfüggvény között érvényes W z x y i x y( ) ( , ) ( , ) összefüggés alapján felírjuk az áramfüggvényeket az örvénysávon belül és azon kívül:

( , ) lnx y r Q

2 2 ; | |z rB

W zQ i

z( )( )

ln 0

2 ; r zK | | .

Az egyes áramvonalak mentén: ( , )x y const , következésképpen az r, síkbeli poláris koordinátarendszerben az áramvonalak egyenletei az örvénysávon belül így alakulnak:

2Q Q

rB k , ln ; r rB (5a)

A k-adik áramvonal B k, paramétere a Q forráserősséggel áll a következő összefüggésben: B k kQ K, ; ( k K 0 1 2 1, , ,..., ), ahol K az (összes) áramvonalak száma, amelyek az origóban lévő forrásból erednek. Az örvénysáv pontjaiban kialakuló konjugált komplex sebesség (4b) egyenlete alapján rövid számolás után nyerjük az abszolút sebességnek az r, síkbeli poláris koordinátarendszerben a sugár- ill. kerület-irányú komponenseit:

v Qrr 2

; vr r

r rdrr

r

B

2

1

( ) ,

s ezekkel adódik az örvénysávban az abszolút áramvonal alábbi alakú differenciálegyenlete:

rddr

vv Q Q

r rdrA

r r

r

B

2 ( ) . (5b)

Az örvénysávon kívül az áramvonalak egyenlete

2 0

Q QrK k

, ln ; r rK (5c)

Az itt fellépő K k, konstansok értéke csak az örvénysávban kialakuló áramvonalak meghatározása után állapítható meg, mert az azonos sorszámú áramvonalaknak az örvénysáv határán szükségképpen folytonosan kell egymáshoz illeszkedniük.

A ( )r fajlagos örvényeloszlást úgy kell megválasztani, hogy a ( ) ( )r rB K 0 feltétel teljesüljön, és a maximuma az örvénysáv belső részén (az rB -hez közelebbi szakaszon) legyen; ezeknek a feltételeknek − példának okáért − a következő eloszlás megfelel:

( )( )

rr r r

r r rr rK B

B K

K B

21

202

2

, (6)

amelyet az (5b) egyenletbe behelyettesítve és abban az r szerinti integrálást is elvégezve nyerjük az örvénysávban az (abszolút) áramvonalalak differenciálegyenletét:

ddr Qr Qr

r r rr r

r r rr r

r r rr r

A B K

K B

B K

K B

B K

K B

0

22

12 2

2 arcsin (7)

Az áramlástechnikai gépek lapátozott járókerekében kialakuló áramlás modelljében az örvénysáv minden pontja az origóban levő tengely körül az óramutató járásával megegyező irányú egyenletes körmozgást végez, és a lapátgörbe az együttmozgó relatív rendszerben a relatív áramvonallal esik egybe, amelynek a differenciálegyenlete:

rddr

ww

v rv Q Q

r rdr rQ

R

r r r

r

B

2 2 2

( ) ,

és ebből az (5b) egyenletre tekintettel adódik a következő differenciálegyenlet:

ddr

ddr

rQ

R A

2 . (8)

Ha az origóban forrás van, akkor Q 0 , ha pedig nyelő, akkor Q 0 ; 0 esetben az örvény forgásiránya az óramutatóéval megegyezik. Szivattyú-modell esetén az áramlás centrifugális irányú és Q 0 ; turbina-modell esetén az áramlási irány általában centripetális és ekkor Q 0 ; de kivételesen lehet az átáramlás centrifugális is, ekkor Q 0 . Szivattyú járókerekében az átáramló folyadék perdülete – a bevitt teljesítmény arányában – növekszik, turbina esetében pedig – a kinyert teljesítmény arányában – csökken.

Ha mind szivattyú, mind turbina esetén a járókerék (és a neki megfelelő örvénysáv) az óramutató járásával megegyező irányban forog, akkor az alábbi esetek lehetségesek: centrifugális átömlésű szivattyú-modell: Q 0 , tetszőleges ; ( )r 0 és 0 0 az örvénysávon kívül: K 0 0 ; centripetális átömlésű turbina-modell: Q 0 , tetszőleges ; ( )r 0 és 0 0 az örvénysávon kívül: K 0 0 ; centrifugális átömlésű turbina-modell: Q 0 , 0 ; ( )r 0 és 0 0 az örvénysávon kívül: K 0 . A perdületes forrásáramlásba helyezett folytonos eloszlású örvénysáv által keltett abszolút áramlás sebességkomponenseinek a számítására szolgáló formulák az r, síkbeli poláris koordináta-rendszerben:

az örvénysávon belül: r

Qvr 2 ;

rv

2 ; Brr 0

az örvénysávban: r

Qvr 2 ; )(

1

r 2 r

rB

rdrrr

v

; KB rrr

az örvénysávon kívül: r

Qvr 2 ;

rv

20

; rrK .

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

10. ábra. Centrifugális átömlésű szivattyú járókerekében kialakuló abszolút áramlás modellje

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

11. ábra. Centripetális átömlésű turbina járókerekében kialakuló abszolút áramlás modellje perdületmentes kilépés esetén

A 10. ábrán egy centrifugális átömlésű szivattyú (végtelen sok és vastagság nélküli lapátokkal rendelkező) járókerekének a hidrodinamikai modellje látható, amelyet egy origó közepű perdületmentes forrás-áramlásba helyezett körgyűrű-alakú folytonos eloszlású örvénysáv által keltett síkbeli áramlás áramvonal-serege valósít meg. A 11. ábrán egy centripetális átömlésű turbina járókerekének hidrodinamikai modellje látható, amelyet egy origó közepű perdületes nyelő-áramlásba helyezett örvénysáv indukál. Az örvénysáv eredő örvényerőssége megegyezik a nyelő-áramlás perdületének a negatívjával ( 0 ) és így a járókerékből a folyadékáram perdületmentesen lép ki, és ömlik az origóbeli nyelőbe.

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

12. ábra. Centrifugális átömlésű turbina járókerekében kialakuló abszolút áramlás modellje perdületmentes kilépés esetén

A 12. ábrán vázolt centrifugális átömlésű turbina egy hidrodinamikus nyomatékváltó turbina-lapátkoszorújában kialakuló abszolút áramlás áramvonalainak a képét mutatja. A turbina járókerekén belüli perdületes forrás-áramlást egy − a 10. ábra szerinti − szivattyúval lehet előállítani.

Könnyű belátni, hogy a 10. és a 12. ábrán vázolt áramlások szuperpozíciójával egy hidrodinamikus nyomatékváltó egymást követő szivattyú- és turbina-járókerekében kialakuló abszolút áramlás áramképe állítható elő, mindkét esetben a járókeréknek végtelen sok és vastagság nélküli lapátja van. Ámde a nyomatékváltó szivattyú-járókereke előtt mindig van egy vezetőlapát-koszorú, aminek következtében a szivattyú-járókerékbe az áramló folyadék mindig perdülettel lép be, és ezért a nyomatékváltó szivattyú-járókerekének modelljében mindig egy origó közepű perdületes forrás-áramlást kell szerepeltetni.

KÖSZÖNÖM A FIGYELMÜKET