Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik ... · Technische Informatik I 3 Von der Funktion zur Schaltung Funktioneller Zusammenhang f. . . y x 1 x 2 x n? Digitale

Grundlagen der Digitaltechnik

Grundlagen der Informatik 2Grundlagen der Informatik 2Grundlagen der DigitaltechnikGrundlagen der Digitaltechnik

2. Digitale Schaltfunktionen 2. Digitale Schaltfunktionen und Normalformtheorieund Normalformtheorie

Prof. Dr.Prof. Dr.--Ing. Jürgen TeichIng. Jürgen TeichDr.Dr.--Ing. Christian Ing. Christian HaubeltHaubelt

Lehrstuhl für HardwareLehrstuhl für Hardware--SoftwareSoftware--CoCo--DesignDesign

Technische Informatik I 2

Von der Funktion zur SchaltungVon der Funktion zur Schaltung

FunktionellerZusammenhang

f

. . . y

x1x2

xn

Wichtige Fragen: Wie beschreibt man logische Schaltungen?Wie analysiert man logische Schaltungen?Wie realisiert und optimiert man logische Schaltungen?




f. . . y

x1x2

xn

? DigitaleSchaltung. .

. y

x1x2

xn

• Antwort: – Beschreibung der Schaltung durch eine Schaltfunktion

f: (x1,x2,…,xn) −> y– Implementierung der Schaltfunktion durch logische Gatter



• Beispiel: Addierer für zwei Binärzahlen S=A+Bmit S=(s4, s3, s2, s1, s0), A=(a3, a2, a1, a0) und B=(b3, b2, b1, b0)

s0s1s2s3s4

0c0c1c2c3+b0b1b2b3

a0a1a2a3

B

FunktionalerZusammenhang

f

AS

VAa0b0

0

c0

s0c0

VAa1b1

s1c1

s0

0

b0

a0

VAa2b2

s2c2

s1

c1+b1

a1

VAa3b3

s3c3 s4



• Beispiel: Addition zweier Binärzahlen S = A+BAufbau einer Volladdiererzelle (VA)

VAaibi

ci-1 si

ci

1 11 1 1

0 11 1 0

0 11 0 1

1 01 0 0

0 10 1 1

1 00 1 0

1 00 0 1

0 00 0 0si cici-1 ai bi

Beschreibung des funktionalen Zusammenhangs der Voll-addiererzelle durch eine Funktionstabelle



• Beispiel: Addition zweier Binärzahlen S = A+BAufbau einer Volladdiererzelle

1 11 1 1

0 11 1 0

0 11 0 1

1 01 0 0

0 10 1 1

1 00 1 0

1 00 0 1

0 00 0 0si cici-1 ai bi

ai

bi

ci-1si

ci


FragenFragen

• Gibt es eine Systematik zur Abbildung von Funktionstabellen auf logische Schaltungen (kanonische Formen)?

• Wieviele Gatter besitzt die kleinste Schaltung, die diese Funktion realisiert (Logikminimierung)?

• Welche elementaren Gatter(funktionen) gibt es?• Ist es immer möglich, die kleinste Schaltung zu finden?


AntwortenAntworten

• Schaltalgebra:– Spezielle Interpretation der Booleschen Algebra– Basis für die formale Entwicklung binärer Digitalschaltungen

• Schaltfunktion:– 2n Zuordnungen xj → fj (xj Belegung, fj zugeordneter

Funktionswert)– Begriffe:

Nullstellenmenge N, Einsstellenmenge E, Redundanzmenge R


FunktionsbegriffFunktionsbegriff

– Definition einer Schaltfunktion (s ist das Argument, t der Funktionswert):

Angabe aller Paare (s, t) mit s ∈ { 0, 1 }n (= Belegung) und t ∈ { 0, 1 }


f

. . . y

x1x2

xn

X = (xn, ... , x2, x1 )

xi ∈ { 0, 1 }

y ∈ { 0, 1 }


FunktionsdefinitionFunktionsdefinition

Abbildungsvorschrift: Funktionsdarstellung:

(a3 a2 a1) f

→ y

(0, 0, 0) → 0 (0, 0, 1) → 1 (0, 1, 0) → 1 (0, 1, 1) → 0 (1, 0, 0) → 1 (1, 0, 1) → 0 (1, 1, 0) → 0 (1, 1, 1) → 1

j0 a3 a2 a1 y 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1


Klassen von SchaltfunktionenKlassen von Schaltfunktionen

• häufig gilt: nicht allen Belegungen kann/muss ein Funktionswert zugeordnet werden– solche Zuordnungen: -> Redundanz- oder Freistellen der

Funktion-> Kennzeichnung: xj → - (sogenanntes don´t care)-> Stelle kann wahlweise mit 1 oder 0 belegt werden

• Also: 3 Teilmengen von Belegungen:- Nullstellenmenge N = { xj | xj → 0 }- Einsstellenmenge E = { xj | xj → 1 }- Redundanzmenge R = { xj | xj → - }

• Beispiel: Funktion mit Freistellen-> Funktion für BCD Zahlen, wobei Eingangskombinationen,

die Pseudotetraden entsprechen, mit Freistellen belegt werden



-111117

-011116

-101115

-001114

-110113

-010112

Pseudotetraden

11001119

00001108

0111077

1011066

0101055

0001044

1110033

0010022

0100011

0000000

ya0a1a2a3j0Ziffer



• Reale technische Anwendungen

- Freistellen überwiegen häufig gegenüber 0- / 1-Stellen- Man definiert daher zwei Hauptklassen von Funktionen:

- eine vollständig definierte Schaltfunktionordnet allen Belegungen xj einen Funktionswertaus fj ∈ { 0, 1 } zu

- eine unvollständig definierte Schaltfunktionordnet mindestens einer Belegung xj keinenFunktionswert aus fj ∈ { 0, 1 } zu

- Wegen |{0, 1}n| = 2n gilt:Bei unvollständigen Schaltfunktionen lässt sich aus jeweils zwei Teilmengen die fehlende dritte Teilmenge bestimmen


Graphische Darstellung von FunktionenGraphische Darstellung von Funktionen

• Neben tabellarischer Darstellung: es existieren graphisch orientierte Darstellungen

– Tafelmethoden (sogenannte KV-Diagramme)vor über 100 Jahren von Karnaugh und Veitch vorgeschlagen

– Nachteile von KV-Diagrammen bei Werten n > 4 (unübersichtliche Darstellung!)



• Beispiel: Darstellung der Schaltfunktion y = f(a3,a2,a1,a0) (durch 3 teilbare BCD-Zahl) mittels Symmetriediagramm

--10

----

1010

0000

14151110

16171312

6732

4510

a3

a2

a1

a0

y


SymmetriediagrammeSymmetriediagrammeEntwicklung einesSymmetriediagramms•0

V1

n=0 n=1

n=2 n=3

n=4 n=5

n=6

122 −+= altneu jj

•3•2

•1•0

H1

x1

H1x2

•1•0

x1

V1

112 −+= altneu jj

•6•7•3•2

•4•5•1•0

V2

x1

x2

x3

V2

132 −+= altneu jj

•14•15•11•10

•16•17•13•12

•6•7•3•2

•4•5•1•0

H2

x1

x2

x3

H2x4142 −+= altneu jj •30•31•35•34•14•15•11•10

•32•33•37•36•16•17•13•12

•22•23•27•26•6•7•3•2

•20•21•25•24•4•5•1•0

V3

x2

x1 x1

x4

x5

x3

V3

152 −+= altneu jj

•60•40

•77

•70•50

•30•31•35•34•14•15•11•10

•32•33•37•36•16•17•13•12

•22•23•27•26•6•7•3•2

•20•21•25•24•4•5•1•0

H3

x1 x1

x5

x2

x2x6

x3

H3x4

162 −+= altneu jj



• Spezifikation / Schaltfunktionen: Funktionstabelle stellt bei großen Werten von n keine besonders effizienteDarstellungstechnik dar, da die Spaltenzahl mit n, die Zeilenzahl jedoch mit 2n wächst

-> Es existieren weitere Möglichkeiten zur Darstellung von Schaltfunktionen in Form spezieller Graphen

z.B. Binary Decision Diagrams (BDDs)



• Beispiel für die Darstellung mittels BDD:

0

b

1

b

a

c

1

1

11

0

0

00

⇔

beide Darstellungen repräsentieren die gleiche Funktion

a

0 0

a

0 1

b

a

0 1

a

1 1

b

c

j0= 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0

0

1 1

1



• Binary Decision Diagrams (BDDs)

- Funktionen lassen sich kanonisch (eindeutig) darstellen

Diese Eigenschaft von BDDs lässt für Äquivalenzprüfungen von Funktionen ausnutzen -> Isomorpie-Test

- darüber hinaus: es existieren eine Reihe von Verfahren, welche die rechnergestützte Verarbeitungvon in BDD-Form dargestellten Funktioneneffizient ermöglichen


SchaltfunktionenSchaltfunktionen

– Eigenschaft: Mit der Anzahl n von binären Variablen wächst dieAnzahl möglicher Schaltfunktionen (MF) explosionsartig!

– Gesucht: Grundsätzliche Konstruktionsvorschrift für Schaltfunktionen (unabhängig von n)?

– Ziel: Hardware-Realisierung von Schaltfunktionen

n = 0 MF = 2

n = 1 MF = 4

n = 2 MF = 16

n = 3 MF = 256.

n = 10 MF = 21024 ≈ 10308

Beispiele:


MMöglicheögliche Schaltfunktionen bei n=2Schaltfunktionen bei n=2

n = 2: MF = 16 y = f(x2, x1)

111111110000000011111100001111000001110011001100110010101010101010101000

y17y16y15y14y13y12y11y10y7y6y5y4y3y2y1y0x1x2

neg .

Dis

junk

tion

(neg

. Im

plik

atio

n)

neg

. Im

plik

atio

n

Ant

ival

enz

neg.

Kon

junk

tion

Äqu

ival

enz

Impl

ikat

ion

(Impl

ikat

ion)

Dis

junk

tion

Kon

junk

tion


MMögliche Schaltfunktionen bei n=2ögliche Schaltfunktionen bei n=2

Eigene Symbole und Namen:

y10 : &, ∧ Konjunktion, UND-Verknüpfung, AND

y16 : +, V Disjunktion, ODER-Verknüpfung, OR

y7 : ,~& neg. Konjunktion, neg. UND-Verknüpfung, NAND (NOT AND)

y1 : V ,~V neg. Disjunktion, neg. ODER-Verknüpfung, NOR (NOT OR)

y6 : ≡ ,~≡ Antivalenz XOR

y11 : ≡ Äquivalenz

y13 : → Implikation, x2 impliziert x1, x2 → x1

(analog: y15 : x1 impliziert x2, x1 → x2)

&


HerleitungHerleitung derder NormalformtheoremeNormalformtheoreme

• Besondere Funktionen: Konjunktion und Disjunktion

– Null- und Einsstellenmenge teilen sich extrem auf, jeweils in: 1 zu 2n-1 Belegungen

Konjunktion: (1, 1) → 1 , sonst → 0 Disjunktion: (0, 0) → 0 , sonst → 1

– entsprechen den Operatoren der sog. Schaltalgebra, einer speziellen Variante der Booleschen Algebra



Symmetriediagramme:

6732

4510

0100

0000

x3

x2

x1y

n = 3 y = x 3 & x 2 & x 1

6732

4510

1111

1110

x3

x2

x1y

y = x 3 V x 2 V x 1

n = 2

32

10

10

00

x2

x1y

y = x 2 & x 1

32

10

11

10x2

x1y

y = x 2 V x 1



• Gesucht: Grundsätzliche Konstruktionsvorschrift für Schaltfunktionen (unabhängig von n)?

– Bauprinzip in Anlehnung an die Reihenentwicklung in der Mathematik

– geeignete (z.B. orthogonale) Basisfunktionen bk(x) und Koeffizienten Ak

• Frage: Gibt es Basisfunktionen und geeignete Koeffizienten für beliebige Schaltfunktionen?

∑−

=−−

⋅=⋅++⋅+⋅==1N

0kkk1N1N1100 )x(bA)x(bA)x(bA)x(bA)x(fy K



• Notwendig: Konjunktion / Disjunktion -> Funktionswert1(0) beliebiger Belegung zuordnen können

• Beispiel: n=3

Konjunktion: y = x3 & x2 & x1

x1

6732

4510

0100

0000

x3

x2

y

Beliebige Einsstelle: y = ?

x1

6732

4510

0000

1000

x3

x2

yModifikation der Konjunktion

123 x&x&xy =

Abbildung der

Belegung



• Beispiel: n=3

Disjunktion:Beliebige Nullstelle: y = ?

x1

6732

4510

1111

0111

x3

x2

yModifikation der Konjunktion

123 xxxy ++=

Abbildung der

Belegung

x1

6732

4510

1011

1111

x3

x2

y

123 xxxy ++=



• Ergebnis: Belegungsabbildung -> beliebige Eins- / Nullstelle für jede Belegung -> Minterm- und MaxtermfunktionenAllgemein gilt für n = beliebig:

1Mm0M&mmMMm

12k,j0,kj1MM0m&m

xxMx&&xm

0fürx1fürx

xxxxxy

0fürx1fürx

xx&x&&x&xy

jjjj

jjjj

n

kjkj

1nj

1nj

121nn

121nn

=∨=

==

−≤≤≠=∨=

∨∨=

=

⎩⎨⎧

=∨∨∨∨=

⎩⎨⎧

==

−

−

&&K&&

&&K&&

&&&&&&K&&&&

&&&&&&K&&&&

0x&x&x&xm&m

x&xm,x&xm,x&xm,x&xm

2n:Beispiel

121221

123122

121120

==

==

===

Minterm(funktion)Maxterm(funktion)


HerleitungHerleitung derder NormalformtheoremeNormalformtheoreme• Gesucht: Grundsätzliche Konstruktionsvorschrift für

Schaltfunktionen (unabhängig von n):Verwendung orthogonaler Minterm- und Maxtermbasisfunktionen möglich?

• Mögliche Funktion: Disjunktion aller Minterme

71111000000016011010000001510100100000140010001000013110000010001201000000100111000000001010000000000011j0x1x2x3y = m0 v m1 v m2 v m3 v m4 v m5 v m6 v m7


HerleitungHerleitung derder NormalformtheoremeNormalformtheoreme• Erweiterung: Einführung von Koeffizienten Aj für

Minterm- und Maxtermbasisfunktionen.– Dadurch: Darstellung beliebiger Funktionen möglich– Reihenentwicklung: Gewichtung der Basisfunktionen mj mit Aj

∈ {0, 1}

7111A70000000A7

60110A6000000A6

510100A500000A5

4001000A40000A4

31100000A3000A3

201000000A200A2

1100000000A10A1

00000000000A0A0

j0x1x2x3y = A0&m0 v A1&m1 v A2&m2 v A3&m3 v A4&m4 v A5&m5 v A6&m6 v A7&m7


Beispiel: VolladdiererBeispiel: Volladdierer

1 11 1 10 11 1 00 11 0 11 01 0 00 10 1 11 00 1 01 00 0 10 00 0 0si cici-1 ai bi

)b&a&c()b&a&c()b&a&c()b&a&c(s ii1iii1iii1iii1ii −−−− ∨∨∨=

VAaibi

ci-1 si

ci

)b&a&c()b&a&c()b&a&c()b&a&c(c ii1iii1iii1iii1ii −−−− ∨∨∨=

DNF:


Beispiel: VolladdiererBeispiel: Volladdierer

1 11 1 10 11 1 00 11 0 11 01 0 00 10 1 11 00 1 01 00 0 10 00 0 0si cici-1 ai bi

)bac(&)bac(&)bac(&)bac(s ii1iii1iii1iii1ii ∨∨∨∨∨∨∨∨= −−−−

VAaibi

ci-1 si

ci

KNF:

)bac(&)bac(&)bac(&)bac(c ii1iii1iii1iii1ii ∨∨∨∨∨∨∨∨= −−−−


NormalformtheoremeNormalformtheoreme• Normalformen einer Schaltfunktion

-> kanonische Formen

)Mf(y

)Mf(&)Mf(&&)Mf(&)Mf(y

)m&f(y

)m&f()m&f()m&f()m&f(y

jj

1n2

0j

00112n22n21n21n2

jj

1n2

0j

00112n22n21n21n2

&

V

∨=

∨∨∨∨=

=

∨∨∨∨=

−

=

−−−−

−

=

−−−−

K

K

Konjunktive Normalform (KNF):

DisjunktiveNormalform (DNF):

oder kürzer

oder kürzer

Ergebnis: Allein mit den 3 Grundverknüpfungen (Operatoren) Konjunktion, Disjunktion und Negation ist es möglich, jede beliebige Schaltfunktiondarzustellen. Man sagt: [&, V,

_] ist ein Basissystem der Schaltalgebra


NormalformtheoremeNormalformtheoreme

• Hauptsatz der Schaltalgebra:

– Jede beliebige vollständig definierte Schaltfunktiony = f (xn, ... , x1) lässt sich als Disjunktion von Mintermen<Konjunktion von Maxtermen> eindeutig darstellen.

– In der Disjunktion <Konjunktion> treten genau diejenigen Minterme <Maxterme> auf, die zu den Einsstellen <Nullstellen> der Schaltfunktion gehören.


DerDer HauptsatzHauptsatz derder SchaltalgebraSchaltalgebra

Beispiel: y = f(x4, x3, x2, x1) = 1, wenn die entsprechende Oktalzahldurch 3 teilbar ist

)(&)(&)(&)(&)(&)(&)(&)(&)(&)(&)(:

12341234

123412341234

123412341234

123412341234

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy

∨∨∨∨∨∨

∨∨∨∨∨∨∨∨∨

∨∨∨∨∨∨∨∨∨

∨∨∨∨∨∨∨∨∨=KNF

)&&&()&&&()&&&()&&&()&&&(:

12341234

123412341234

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy

∨

∨∨∨=DNFx3

114015111010

016117013012

16071302

04050100

x4

x2

x1y


Beziehungen zwischen den BegriffenBeziehungen zwischen den Begriffen

)11,,,0(:Bsp.

xxx

2xj

j1j2nj

n

1i

1iij

K

K=

⋅= ∑=

−

Index

12n

j1j2nj

ijn

1ij

x&x&&x:Bsp.

x&x&&x

xm &

K

&&&&K&&

&&

=

==

Minterm

12n

j1j2nj

ijn

1ij

xxx:Bsp.

xxx

xM V

∨∨∨

∨∨∨=

==

K

&&&&K&&

&&

Maxterm

1jfjjj

1n2

0jmV)m&f(f V =

−

===

DNF

0jfjjj

1n2

0jM&)Mf(&f

=

−

==∨=

KNF

( )( )1,1,0,:Bsp.

x,x,,xX j1j2njj

K

K=

Belegung

( ) ( ){ }jjjj Xfff,X:f =

Funktionstabelle

⎩⎨⎧

=

==

0xwenn,x1xwenn,x

xijij

ijij

ij&&

jj Mm = jj mM =


NormalformtheoremeNormalformtheoreme: : PraktischePraktische AnwendungAnwendung

• Notwendig: für jeden Operatortyp eine passende technische Realisierung

• Mindestens Schaltglieder (Gatter) für Konjunktion, Disjunktion und Negation notwendig.

• Definition: Schaltnetz (angelehnt an DIN IEC 748)Ein Schaltnetz ist eine Digitalschaltung, in der es für jede mögliche Kombination von digitalen Signalen an den Eingängen eine - und nur eine - Kombination von digitalen Signalen an den Ausgängen gibt.

SNF YX



• Gattersymbole nach DIN-Norm (DIN 40900):

&

UND-Glied :abcd

y = a & b & c & d

≥1

ODER-Glied :abcd

y = a v b v c v d

1a y = a

Negationsglied:

1a y = a

(Zum Vergleich alte Norm)abcd

y

abcd

y

a y

a y



• Gattersymbole (internationale Norm):

„0“

„1“

AND

OR

XOR

NAND

NOR

XNOR

Treiber

Negation

Funktion Symbol

1

≥1

=1

&

1

&

≥1

=1

Symbol (DIN)

0

1


Normalformtheoreme: Praktische AnwendungNormalformtheoreme: Praktische Anwendung

• Ableitung einer Schaltung aus der DNF am Beispiel Volladdierer:

)b&a&c()b&a&c()b&a&c()b&a&c(s ii1iii1iii1iii1ii −−−− ∨∨∨=

VAaibi

ci-1 si

ci


Normalformtheoreme: Praktische AnwendungNormalformtheoreme: Praktische Anwendung

• Ableitung einer Schaltung aus der KNF am Beispiel Volladdierer:

VAaibi

ci-1 si

ci

)bac(&)bac(&)bac(&)bac(s ii1iii1iii1iii1ii ∨∨∨∨∨∨∨∨= −−−−



• Normalformorientierte Strukturen:– DNF als Beispiel– 2n UND-Glieder in der 1. Stufe und ein bzw. mehrere

ODER-Glieder in der 2 StufeBeispiel 1: ULA (Universal Logic Array)

ODER-Matrix

(fest)

x1

2n Mintermfunktionen

DNFm1

UND-Matrix

(fest) m2n

x2

xn

m2

Y = f(X)


NormalformtheoremeNormalformtheoreme: : PraktischePraktische AnwendungAnwendungBeispiel: y = m1 v m4 v m5 v m6 v m7

Personalisierung (Programmierung):Möglich beim Bilden der Minterme in der 1. Stufe und/oder Auswählen der Minterme in der 2. Stufe.

& & & && & &&

1

1

1

V

1

x1x2x2x3x3

10

y = f(X)

X

0 m1 0 0 m4 m5 m6 m7

0x1

(Einsstellenmenge)(Nullstellenmenge)



• Normalformorientierte Strukturen:

Beispiel 2: ROM (Read Only Memory)

ODER-Matrix

(progr.)

x1

2n Mintermfunktionen

DNFm1

UND-Matrix

(fest) m2n

x2

xn

m2

Y = f(X)



Beispiel: y = m1 v m4 v m5 v m6 v m7

& & & && & &&

1

1

1

V

x1

x2x2x3x3

y = f(X)

X

m1 m4 m5 m6 m7

x1

Personalisierung erfolgt hier in der 2. Stufe


LogikoptimierungLogikoptimierung

• Beispiel Volladdierer:Direkte DNF-Realisierung

• Gesamtkomplexität: 10 Gatter mit bis zu 4 Eingängen (Inverter noch nicht einmal mitberücksichtigt!)

VAaibi

ci-1 si

ci

si ci


LogikoptimierungLogikoptimierung

• Beispiel Volladdierer:Optimierte Schaltung

• Gesamtkomplexität: 5 Gatter mit maximal 2 Eingängen

VAaibi

ci-1 si

ci

ai

bi

ci-1si

ci

ci

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