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Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Grundlagen der Smoothed ParticleHydrodynamics
Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst
Kooperation Waschepflege
28. Februar 2017
Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege
Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 1 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Einleitung
Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege
Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 2 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Inhalt
1 Mathematische Grundlagen
2 Fehlerbetrachtung
3 Fluide
4 Zeitintegration
5 Randbedingungen
6 Ausblick
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 3 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Inhalt
1 Mathematische GrundlagenDirac-DistributionDirac-FolgeDiskretisierungDirac-Folge - beschrankte TeilmengeDifferenzierbarkeitZusammenfassung
2 Fehlerbetrachtung
3 Fluide
4 Zeitintegration
5 Randbedingungen
6 Ausblick
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 4 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Dirac-Distribution
Dirac-Distribution:
δ(r − ra) =
∞ fur r = ra0 fur r 6= ra
∫Ωδ(r − ra) dΩ = 1
Faltung:
f (ra) = (f ∗ δ)∣∣r=ra
=
∫Ωf (r) δ(r − ra) dΩ
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 5 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Dirac-Distribution
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 6 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Dirac-Folge
Approximation des Dirac-Impulses mit einer Dirac-Folge
Mittelung
δh(r − ra) ≥ 0 ∀ (r , ra, h)
Normierung∫Ωδh(r − ra)dΩ = 1 ∀ (r , ra, h)
Approximation
limh→0
δh(r − ra) = δ(r − ra)
f (ra) = [ f ]c (ra) +O(h2) =
∫Ω
f (r) δh(r − ra) dΩ +O(h2)
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 7 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Dirac-Folge
Gaussfunktion: δh(r − ra) =1√πh
exp
(−|r − ra|2
h2
)
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 8 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Diskretisierung
kontinuierliche Approximation
f (ra) = [ f ]c (ra) +O(h2) =
∫Ωf (r) δh(r − ra) dΩ +O(h2)
Diskretisierung
Volumenelement dΩ = Vb = mbρb
Anzahl an Partikeln im Rechengebiet N
f (ra) = [ f ]d (ra) + O(h2) + O(
( ∆rh )β
)=
N∑b=1
mb
ρbf (rb) δh(rb − ra) + O(h2) + O
(( ∆r
h )β)
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 9 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Diskretisierung
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 10 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Dirac-Folge - beschrankte Teilmenge
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 11 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Dirac-Folge - beschrankte Teilmenge
Menge der Partikel im Kernelsupport ist beschrankte Teilmengealler Partikel in Ω
Kernelfunktionen wh
B-Spline
Wendland (kein Pairing)
wh(r − ra) =
αnhn (1− r−ra
2h )4(1 + 2 r−rah ) fur |r − ra| ≤ 2h
0 fur |r − ra| > 2h
α1 =3
4, α2 =
7
4π, α3 =
21
16π
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 12 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Differenzierbarkeit
Ableitung der Funktion f kann analytisch berechnet werden:
[ ∇f ]c(ra) = −∫
Ωf (r)∇wh(r − ra)dΩ
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 13 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Differenzierbarkeit
g(ra) ≈∫
Ωg(r)wh(r − ra)dΩ
∇r f (r) := g(r)
∇r f (r)
∣∣∣∣r=ra≈∫
Ω∇r f (r)wh(r − ra)dΩ
=
∫Ω
[− f (r)∇rwh(r − ra) +∇r (f (r)wh(r − ra))
]dΩ
= −∫
Ωf (r)∇rwh(r − ra)dΩ +
∫Ω∇r
(f (r)wh(r − ra)
)dΩ
= −∫
Ωf (r)∇rwh(r − ra)dΩ +
∮∂Ω
f (r) wh(r − ra) nr dS︸ ︷︷ ︸=0 fur vollen Kernel
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 14 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Differenzierbarkeit
[ ∇f ]c(ra) = −∫
Ωf (r)∇wh(r − ra)dΩ
andere Formulierungen
symmetrisch: ∇f = ∇(ρk
f
ρk
)= ρk ∇
(f
ρk
)+
f
ρk∇(ρk)
antisymmetrisch: ∇(f ρk)
= ρk ∇f + f ∇ρk
⇒ ∇f =1
ρk∇(f ρk)− f
ρk∇(ρk)
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 15 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Differenzierbarkeit
konstante Bezugsgroße ra
∇rwh(r − ra) = −∇rawh(r − ra)
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 16 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Differenzierbarkeit
Rotationssymmetrie des Kernels
wh(rab) = wh(rab)
∇rawab = w′abeab
rab := |rab|rab := rb − ra
eab :=rabrab
wab := wh(rab)
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 17 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Zusammenfassung
f (ra) ≈N∑
b=1
mb
ρbf (rb) wab
∇f (ra) ≈N∑
b=1
mb
ρbf (rb) w
′abeab
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 18 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Inhalt
1 Mathematische Grundlagen
2 FehlerbetrachtungApproximations- und DiskretisierungsfehlerAbgeschnittene Kernelfunktion
3 Fluide
4 Zeitintegration
5 Randbedingungen
6 AusblickJohanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege
Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 19 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Approximations- und Diskretisierungsfehler
”Damit eine Methode konsistent ist, muss der Abbruchfehler
gegen null streben, wenn die Diskretisierung unendlich fein wird.“
[Ferziger, J. Peric,M. Numerische Stromungsmechanik, 2008, S.38]
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 20 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Approximations- und Diskretisierungsfehler
Approximationsfehler
O(h2)
f (ra) = [ f ]c (ra) +O(h2)
Herleitung uberTaylorapproximation∫
Ωδh(r − ra)dΩ = 1
∫Ω
(r − ra) δh(r − ra)dΩ = 0
Diskretisierungsfehler
O(( ∆r
h )β)
Abb.: Wendlandkernel mit h = 1m, ∆r = 1m
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 21 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Approximations- und Diskretisierungsfehler
Diskretisierungsfehler O(( ∆r
h )β)
Abb.: Wendlandkernel mit h = 1m, ∆r = 12m Abb.: Wendlandkernel mit h = 2m, ∆r = 1m
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 22 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Approximations- und Diskretisierungsfehler
Approximationsfehler DiskretisierungsfehlerO(h2) O
(( ∆r
h )β)
”Damit eine Methode konsistent ist, muss der Abbruchfehler
gegen null streben, wenn die Diskretisierung unendlich fein wird.“[Ferziger, J. Peric,M. Numerische Stromungsmechanik, 2008, S.38]
Kopplung von ∆r und h
1 ≤ h
∆r≤ 2 Violeau
h = 1.2 ∆r Price (Pairing)
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 23 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Abgeschnittene Kernelfunktion
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 24 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Abgeschnittene Kernelfunktion
Unterschatzung der SPH-Summation∫Ω wh(r − ra)dΩ 6= 1
Hullintegral ungleich null∮∂Ω wh(r − ra) nr dS 6= 0
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 25 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Abgeschnittene Kernelfunktion
Renormalisierung Konsistenzbedingung 0. Ordnung
wh(rab) =wh(rab)∑b Vbwh(rab)
hohere Konsistenzordnungen sind rechenlastig
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 26 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Inhalt
1 Mathematische Grundlagen
2 Fehlerbetrachtung
3 FluideNavier-Stokes-GleichungenDiskretisierungWeakly Compressible SPH
4 Zeitintegration
5 Randbedingungen
6 AusblickJohanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege
Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 27 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Navier-Stokes-Gleichungen
Massenbilanz
∂ρ
∂t= −∇ · (ρ v) = 0
Impulsbilanz
∂v∂t
+ v · ∇v = −1
ρ∇p + ν∆v + g
Lagrange Ansatz
dρ
dt= −ρ∇ · v
dvdt
= −1
ρ∇p + ν∆v + g
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 28 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Navier-Stokes-Gleichungen
Lagrange Ansatz - physikalische Deutung
dΦ
dt=∂Φ
∂t+ v · ∇Φ
konvektive Beschleunigung: v · ∇Φ
lokale Beschleunigung: ∂Φ∂t
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 29 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Diskretisierung
Disekretisierung der Massenbilanz
dρ
dt= −ρ∇ · v
⇓symmetrischer Operator
D1aAb = − 1
ρa
∑b
mb(Aa − Ab) · w ′abeab ≈ (∇ · A)a
dρadt
=∑b
mb(v a − vb) · w ′abeab
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 30 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Diskretisierung
Diskretisierung der Impulsbilanz
dvdt
= −1
ρ∇p + ν∆v + g
⇓anti-symmetrischer Operator
G 1aAb = ρa
∑b
mb
(Aaρ2a
+ Ab
ρ2b
)w
′abeab ≈ (∇A)a
dv a
dt= −
∑b
mb
(paρ2a
+pbρ2b
)w
′abeab + [ν∆v ]d + g
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 31 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Diskretisierung
Kunstliche Viskositat
Term fur kunstliche Viskositat Πab nach Monaghan/Gingold
Πab =
∑b
−αcabφab+βφ2ab
ρabv ab · r ab < 0
0 v ab · r ab ≥ 0
φab =hv ab · r abr2ab + η2
Einbindung von Πab in diskretisierte Impulsgleichung
dv a
dt= −
∑b
mb
(paρ2a
+pbρ2b
+ Πab
)w
′abeab + g
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 32 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Diskretisierung
Viskositat
Berechnung nach Lo und Shao
[ν∆v ]c(r a) ≈∑b
4mb(µa + µb)v ab
(ρa + ρb)2(r2ab + η2)
rabw′ab
Einsetzen in die diskretisierte Impulsgleichung
dv a
dt=−
∑b
mb
(paρ2a
+pbρ2b
)w
′abeab
+∑b
4mb(µa + µb)v ab
(ρa + ρb)2(r2ab + η2)
rabw′ab
+ g
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 33 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Weakly Compressible SPH
Druckberechung - Cole Gleichung
pa(ρa) =ρ0c
20
γ
((ρaρ0
)γ− 1
)+ p0
kunstliche Schallgeschwindigkeit c0
|δρ|ρ≈ |v |
2
c2= Ma2
c0 = 10vmax
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 34 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Inhalt
1 Mathematische Grundlagen
2 Fehlerbetrachtung
3 Fluide
4 ZeitintegrationZeitschrittkriterienVerlet-Algorithmus
5 Randbedingungen
6 AusblickJohanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege
Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 35 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Zeitschrittkriterien
CFL-Bedingung:
∆t ≤ 0.25h
c
Einfluss der Partikelbeschleunigung:
∆t ≤ 0.25
√h
max(|dvadt |)
Einfluss der Viskositat:
∆t ≤ 0.125h2
max(νa)
min(∆t) wird als Zeitschritt verwendet
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 36 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Verlet-Algorithmus
Position-Verlet
Berechnung der Positionen zum halben Zeitschritt:
r(t +
∆t
2
)= r(t) +
∆t
2v(t)
Berechnung der Geschwindigkeiten zum nachsten Zeitschritt:
v(t + ∆t) = v(t) + a(t +
∆t
2
)∆t
Berechnung der Positionen zum nachsten Zeitschritt:
r(t + ∆t) = r(t +
∆t
2
)+
∆t
2v(t + ∆t)
Konsistenz 2. Ordnung
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 37 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Verlet-Algorithmus
Velocity-Verlet
Berechnung der Geschwindigkeiten zum halben Zeitschritt:
v(t +
∆t
2
)= v(t) +
∆t
2a(t)
Berechnung der Positionen zum nachsten Zeitschritt:
r(t + ∆t) = r(t) + v(t +
∆t
2
)∆t
Berechnung der Geschwindigkeiten zum nachsten Zeitschritt:
v(t + ∆t) = v(t +
∆t
2
)+
∆t
2a(t + ∆t)
Konsistenz 2. Ordnung
Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege
Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 38 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Inhalt
1 Mathematische Grundlagen
2 Fehlerbetrachtung
3 Fluide
4 Zeitintegration
5 Randbedingungenmethodische UnterteilungRandpartikel fur vollen Kernelabstoßende RandpartikelRandintegral
6 Ausblick
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 39 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
methodische Unterteilung
Randpartikel furvollen Kernel
abstoßendeRandpartikel
Randintegral
[Abb.: Violeau, D., Fluid mechanics and the SPH method, 2012, Oxford University Press, Seite 426]
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 40 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Randpartikel fur vollen Kernel
gespiegelte Partikel - ghost particles
Spiegelung randnaher Partikel
Dichte und Druck identisch
normale Geschwindigkeitskomponenteentgegengesetzt
tangentiale Geschwindigkeitskomponenteabhangig von Wandhaftung
Berechnung neu fur jeden Zeitschritt
nicht fur komplexe Geometrien geeignet
[Abb.: Violeau, D., Fluidmechanics and the SPH method,
2012, Oxford University Press,Seite 426]
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 41 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Randpartikel fur vollen Kernel
Dummy-Partikel nach Adami, Hu und Adams (2012)
mehrreihige feste Randpartikel
vw -Dummy bei Wandhaftung:
vw = 2vν −∑
f v f wwf∑f wwf
Dummy-Druck:
pw =
∑f pf wwf + g ·
∑f ρf rwf wwf∑
f wwf
[Abb.: Adami, S.; Hu, X.Y.; Adams, N.A., Ageneralized wall boundary condition for
smoothed particle hydrodynamics, Journal ofComputational Physisc, Vol. 231, 2012, Seite
7061]
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 42 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
abstoßende Randpartikel
nach Monaghan und Kajtar (2009)
einreihige feste Randpartikel
sehr gut fur komplexe Geometrien
Kraft auf den Fluidpartikel nurabhangig von dessen Abstand zurWand
radiale besser als normale Krafte
[Abb.: Violeau, D., Fluid mechanics and theSPH method, 2012, Oxford University Press,
Seite 426]
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 43 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Randintegral
nach Kulasegaram et al. (2004) und Ferrand et al. (2013)
Einteilung des Randes in Segmente
Volumen des Eckpartikels: Ve = θ2πVf
Genauigkeit der Massenbilanz wird erhoht
Renormalisierungsfaktor:
γa =
∫Ωwh(r a − r)dΩ
∇r f (r)
∣∣∣∣r=ra
=1
γa
∫Ωf (r)∇rwh(r a − r)dΩ
− 1
γa
∮∂Ω
f (r) wh(r a − r) n dS
[Abb.: Ferrand et al., Unifiedsemi-analytical wall boundary
conditions for inviscid, laminar orturbulent flows in the meshless
SPH, Int. J. Num. Meth. Fluids,Vol. 71, 2013, Seite 451]
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 44 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Inhalt
1 Mathematische Grundlagen
2 Fehlerbetrachtung
3 Fluide
4 Zeitintegration
5 Randbedingungen
6 Ausblick
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 45 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 46 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Anhang
∇rwh(r − ra︸ ︷︷ ︸X
) = ∇rwh(X )
=∂wh(X )
∂X∂X∂r︸︷︷︸=1
=∂wh(X )
∂X= −∂wh(X )
∂X· (−1)
= −∂wh(X )
∂X∂X∂ra︸︷︷︸=−1
= −∇rawh(X )
= −∇rawh(r − ra)
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 48 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Impulserhalt (1D, stationar, adiabat, reibungsfrei):
udu +1
ρ
∂p
∂ρdρ = 0
isentrop: c2 =∂p
∂ρ
udu +1
ρc2 dρ = 0
−M2 du
u=
dρ
ρ
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 49 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
[ f ]c(ra) =
∫Ω
f (r) δh(r − ra)dΩ
=
∫Ω
[(f (ra) +
∂f
∂r(ra) · (r − ra) +
1
2(r − ra)T · ∂
2f
∂r 2(ra) · (r − ra)
+O(|r − ra|3
))δh(r − ra)
]dΩ
= f (ra)
∫Ω
δh(r − ra)dΩ
+∂f
∂r(ra) ·
∫Ω
(r − ra) δh(r − ra)dΩ
+∂2f
∂r 2(ra) ·
∫Ω
1
2(r − ra)T · (r − ra) δh(r − ra)dΩ
+
∫Ω
O(|r − ra|3
)δh(r − ra)dΩ
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 50 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Verlet-Algorithmus
SPH-Velocity-Verlet
v(t +
∆t
2
)= v(t) +
∆t
2
dvdt
(t)
r(t +
∆t
2
)= r(t) +
∆t
2v(t +
∆t
2
)ρ(t + ∆t) = ρ(t) + ∆t
dρ
dt
(t +
∆t
2
)r(t + ∆t) = r
(t +
∆t
2
)+
∆t
2v(t +
∆t
2
)v(t + ∆t) = v
(t +
∆t
2
)+
∆t
2
dvdt
(t + ∆t)
SPH-Position-Verlet
r(t +
∆t
2
)= r(t) +
∆t
2v(t)
ρ
(t +
∆t
2
)= ρ(t) +
∆t
2
dρ
dt(t)
v(t + ∆t) = v(t) + ∆tdvdt
(t +
∆t
2
)r(t + ∆t) = r
(t +
∆t
2
)+
∆t
2v(t + ∆t)
ρ(t + ∆t) = ρ
(t +
∆t
2
)+
∆t
2
dρ
dt(t + ∆t)
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Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 51 / 52
Mathematische Grundlagen Fehlerbetrachtung Fluide Zeitintegration Randbedingungen Ausblick
Pradiktor-Korrektor-Methode
v(t +
∆t
2
)= v(t) +
∆t
2
dvdt
(t)
r(t +
∆t
2
)= r(t) +
∆t
2v(t)
ρ
(t +
∆t
2
)= ρ(t) +
∆t
2
dρ
dt(t)
v(t + ∆t) = v(t) + ∆tdvdt
(t +
∆t
2
)r(t + ∆t) = r(t) + ∆tv
(t +
∆t
2
)ρ(t + ∆t) = ρ(t) + ∆t
dρ
dt
(t +
∆t
2
)Johanna Thomsen, Johannes Gutekunst Kooperation Waschepflege
Grundlagen der Smoothed Particle Hydrodynamics 52 / 52