Grundpraktikum Physik I und II...7 Nach Beendigung des Versuches ist der Arbeitsplatz aufgeräumt und sauber zu ver-lassen. 8 Essen und Trinken ist in den Praktikums-räumen nicht

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MARTIN-LUTHER-UNIVERSITÄTHALLE-WITTENBERG

Institut für Physik

Grundpraktikum

Grundpraktikum Physik

I und II

für die Studiengänge

Physik, medizinische Physik

und Physik Lehramt

18. Auflage (2019)

Vorwort

Das Physikalische Grundpraktikum für Physik- und Medizinphysik-Bachelor erstreckt sichüber das 1. bis 4. Fachsemester des Regelstudiums. Grundpraktikum I (Einführung zum Grund-praktikum) und Grundpraktikum II sind Bestandteil des Moduls Experimentalphysik A. Grund-praktikum III und IV sind Bestandteil des Moduls Experimentalphysik B.

Der regelmäßige und erfolgreiche Besuch des Praktikums ist entsprechend der Studienordnun-gen Bedingung für den erfolgreichen Abschluss des Moduls.

Die Einführung zum Grundpraktikum besteht aus Vorlesungen und praktischen Übungen ingrößeren Gruppen; dazu gehören 4 Pflichtversuche im Umfang von 2 h. In den GrundpraktikaII-IV im 2. bis 4. Semester sind jeweils 10 Versuche mit einem Zeitumfang von 4 h in Zweier-gruppen durchzuführen. Die Reihenfolge der Versuche wird durch Aushang im Praktikum undim Intranet bekannt gegeben.

Studierende der Physik-Lehramt besuchen eine eigene Praktikumsveranstaltung, die sich überdas 3. und 4. Fachsemester des Regelstudiums erstreckt und zum Modul ExperimentalphysikLA-B gehört. Das 3. Semester beinhaltet eine Einführungsvorlesung in den ersten 4 Wochenund 10 ausgewählte Versuche aus dem gesamten vorliegenden Heft.

In den einführenden Kapiteln dieses Heftes finden Sie Hinweise zu Praktikumsablauf und Leis-tungskontrollen, Versuchsführung sowie zur Protokollierung und Auswertung der Messergeb-nisse. Kontrollfragen und Literaturangaben am Ende jeder Versuchsanleitung sind als Hilfe-stellung zur Vorbereitung gedacht. Weitere Hinweise finden Sie in Stud.IP und auf derHomepage des Praktikums.

Herausgeber:Martin-Luther-Universität Halle-WittenbergInstitut für PhysikPhysikalisches GrundpraktikumTel.: 0345 55-25551, -25550Fax.: 0345 55-27300Mail: [email protected]://www.physik.uni-halle.de/praktika/gp/

Autoren:K.-H. Felgner, W. Fränzel, H. Grätz, J.Leschhorn, M. Stölzer

Praktikumsleiter: Dr. Mathias Stölzer

18. Auflage Halle, September 2019

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Inhaltsverzeichnis

Allgemeine Einführung

Laborordnung für das Praktikum..................................................................................................1

Hinweise zum Ablauf des Praktikums..........................................................................................2

Richtlinien für die Protokollführung.............................................................................................4

Fehlerrechnung und Statistik........................................................................................................5

Versuche im Grundpraktikum I

M 2 Dichtebestimmung...........................................................................................................11

M 17 Statistische Auswertung...................................................................................................14

W 1 Lineare Ausdehnung........................................................................................................17

W 4 Wärmekapazität eines Kalorimeters................................................................................19

Versuche im Grundpraktikum II

M 4 Oberflächenspannung von Flüssigkeiten.........................................................................20

M 6 Mathematisches und physikalisches Pendel....................................................................23

M 9 Erzwungene Schwingungen............................................................................................25

M 10 Adiabatenexponent nach Quincke und Rüchardt............................................................28

M 13 Dehnung...........................................................................................................................32

M 14 Viskosität.........................................................................................................................35

M 15 Torsion.............................................................................................................................39

W 5 Kondensations- und Schmelzwärme von Wasser............................................................42

W 6 Spezifische Wärmekapazität von Metallen.....................................................................45

W 10 Dampfdichte nach Dumas...............................................................................................48

W 12 Luftfeuchtigkeit...............................................................................................................51

W 16 Wärmeleitfähigkeit von Metallen....................................................................................55

W 21 Reales Gas.......................................................................................................................57

E 7 Innenwiderstände von Spannungsquellen.......................................................................61

E 8 Leitfähigkeit von Elektrolyten.........................................................................................65

E 10 Thermospannung.............................................................................................................69

Anhang

Hinweise zur Bedienung von CASSY........................................................................................72

Kurzanleitung zur Software ORIGIN.........................................................................................75

Einige Naturkonstanten...............................................................................................................78

x

Einführung Laborordnung für das Praktikum

Laborordnung für das Praktikum

Allgemeines Verhalten

1 Die Praktikanten haben sich in den Prak-tikumsräumen so zu verhalten, dass Personennicht gefährdet sowie Einrichtungen, Geräteund Versuchsaufbauten nicht beschädigt wer-den.

2 Die von den betreuenden Assistenten,vom Praktikumspersonal sowie die in denVersuchsanleitungen gegebenen Hinweise zurHandhabung der Geräte und Versuchsanord-nungen sind unbedingt zu beachten.

3 Störungen und Unregelmäßigkeiten beider Durchführung der Versuche, Beschädi-gungen und Funktionsstörungen an Gerätensowie Unfälle sind sofort zu melden. Es istnicht zulässig, Geräte selbst zu reparieren!

4 Für grob fahrlässig verursachte Schädenan Geräten und Arbeitsmaterialien können diePraktikanten zur Verantwortung gezogen wer-den.

5 Den Praktikanten steht jeweils nur dieam Arbeitsplatz befindliche Ausrüstung zurVerfügung. Es ist nicht gestattet, Geräte vonfremden Arbeitsplätzen zu benutzen.

6 Zur Auswertung von Messergebnissenkann jeder freie Computer genutzt werden.Dazu haben sich die Praktikanten mit derVersuchsbezeichnung anzumelden und beiBeendigung der Arbeit wieder abzumelden.

7 Nach Beendigung des Versuches ist derArbeitsplatz aufgeräumt und sauber zu ver-lassen.

8 Essen und Trinken ist in den Praktikums-räumen nicht erlaubt. Rauchen ist im gesam-ten Gebäude untersagt.

9 Die Benutzung von Handys ist in denPraktikumsräumen untersagt!

10 Das Praktikum beginnt pünktlich zu derim Stundenplan angegebenen Zeit. Mehr als15 Minuten nach Praktikumsbeginn könnenkeine Versuche mehr begonnen werden.

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen

11 Der Auf- und Abbau elektrischer Schal-tungen hat stets im spannungslosen Zustandzu erfolgen (Stromversorgungsgeräte aus,Batterien und Steckernetzteile nicht ange-schlossen). Die Schaltungen sollen übersicht-lich aufgebaut werden.

12 Bei elektrischen Messgeräten ist auf dierichtige Polung, auf die Einstellung des rich-tigen Messbereiches und die Verwendung derrichtigen Messeingänge zu achten. (Überlas-tungsgefahr!)

13 Elektrische Schaltungen müssen vor derInbetriebnahme vom zuständigen Betreuerüberprüft werden!

14 Unter Spannung stehende Anlagen müs-sen ständig überwacht werden.

15 Spannungsführende Teile dürfen nichtberührt werden. Gefährliche Spannungen (>42 V) sind in der Regel durch Schutzvorrich-tungen vor Berührung gesichert. Es ist unter-sagt, solche Schutzvorrichtungen außer Be-trieb zu setzen!

16 Bei Unfällen ist die Spannung sofort ab-zuschalten (Notausschalter: gelb-rote Tast-schalter in jedem Raum). Der Unfall mussunverzüglich gemeldet werden.

Arbeiten mit Chemikalien

17 Bei der Arbeit mit Chemikalien ist aufSauberkeit zu achten. Verwenden Sie Trichterzum Umfüllen und Fließpapierunterlagenbeim Abwiegen von Chemikalien!

18 Mit dem Versuchszubehör ausgegebeneArbeitsschutzmittel (z. B. Schutzbrille) müs-sen getragen werden!

19 Bei Unfällen oder bei Verschütten ge-fährlicher Substanzen (z. B. Quecksilber)muss sofort ein Betreuer verständigt werdenEs sind keine eigenständigen Beseitigungs-versuche zu unternehmen!

1

Einführung Laborordnung für das Praktikum

20 Alle Chemikalien befinden sich in Gefä-ßen mit eindeutiger Kennzeichnung des In-haltes. Dies ist besonders zu beachten, wennChemikalien nach der Verwendung in dieAufbewahrungsgefäße zurückgegossen wer-den müssen.

21 Nach Beendigung des Versuches sindalle verwendeten Gefäße (außer Vorratsgefä-ßen) sorgfältig auszuspülen.

Arbeiten mit radioaktiven Präparaten

22 Im Praktikum wird ausschließlich mitumschlossenen Präparaten unterhalb der Frei-grenze laut Strahlenschutzverordnung gear-beitet. Die Strahlenbelastung während einesVersuches ist 100...1000 mal geringer als beieiner Röntgenaufnahme.

23 Vermeiden Sie trotzdem jede unnötigeBestrahlung. Abstand ist der beste Strahlen-schutz! Halten Sie radioaktive Präparate nichtunnötig in der Hand. Halten Sie während der

Messung einen Abstand von 0,5 m zum Prä-parat ein.

24 Es ist untersagt, die Präparate aus ihrenAcrylglashüllen zu entfernen.

Brandschutz

25 Bunsenbrenner und elektrische Heizge-räte sind so aufzustellen, dass sich keine be-nachbarten Gegenstände entzünden können.Offene Flammen und eingeschaltete Heizge-räte müssen ständig beaufsichtigt werden!

26 Vorsicht beim Umgang mit brennbarenFlüssigkeiten (z. B. Ethanol)! Sie sind von of-fenen Flammen fernzuhalten.

27 Wird ein Brand bemerkt, so ist dies so-fort zu melden und es sind nach MöglichkeitLöschmaßnahmen einzuleiten.

28 Jeder Praktikant hat sich über die Lageund Funktionsweise der Handfeuerlöscher so-wie über die vorhandenen Fluchtwege zu in-formieren.

Hinweise zum Ablauf des Praktikums

1 Vorbereitung

Das Versuchsthema ist der Praktikums-Homepage im Internet oder dem Aushang imPraktikum (nur am vorherigen Praktikums-tag) zu entnehmen. Zu Hause werden die physikalischen Grund-lagen zum Versuch studiert (Literaturangabenam Ende jeder Versuchsanleitung) und dasProtokoll vorbereitet (siehe auch „Richtlinienfür die Protokollführung“).

2 Versuchsausgabe

Das benötigte Zubehör wird an der Ausgabegegen Hinterlegung eines Studentenauswei-ses pro Versuchsgruppe abgeholt.

3 Kontrolle der Vorbereitung

Vor Versuchsbeginn kontrolliert der zuständi-ge Betreuer die Protokollvorbereitung undführt ein kurzes mündliches Antestat durch.Bei ungenügender Vorbereitung (kein Proto-koll, keine Kenntnisse) darf der Versuch nichtdurchgeführt werden und muss zu einem spä-teren Termin innerhalb der Vorlesungszeit deslaufenden Semesters nachgeholt werden.Hierzu ist ein Termin zu vereinbaren!

4 Versuchsdurchführung

Die Versuche werden in der Regel in Zweier-gruppen durchgeführt, notfalls allein. JederStudent führt ein eigenes Protokoll. Der Ab-lauf gliedert sich wie folgt:

- Selbständiger Aufbau des Versuchs

2

Einführung Hinweise zum Ablauf des Praktikums

- Prüfung elektrischer Schaltungen vor Inbe-triebnahme vom Betreuer

- Durchführung der Messungen und Proto-kollführung (siehe nächstes Kapitel).

- Kontrolle der Messwerte und Kurzunter-schrift des Betreuers.

5 Versuchsauswertung

Die Versuchsauswertung wird, wenn möglich,noch während der Praktikumszeit durchge-führt bzw. begonnen. Sie ist bis zum nächstenPraktikumstermin fertigzustellen.Hinweise zur Auswertung geben die „Richtli-nien zur Protokollführung“.Es werden Taschenrechner, Lineal, evtl. Kur-venlineal und Millimeterpapier benötigt.Computer können eingesetzt werden und ste-hen im Praktikum zur Verfügung. Millimeter-papier und zu manchen Versuchen erforderli-che Spezialpapiere können im Praktikum er-worben werden.

6 Abschluss des Versuchs

Die Bestätigung der erfolgreichen Versuchs-durchführung erfolgt nach Kontrolle derAuswertung durch die Eintragung von Note,Datum und Langunterschrift des zuständigenBetreuers in das Protokoll, in der Regel zumnächsten Praktikumstermin. Der Betreuerkann einmal eine Nachbesserung der Auswer-tung verlangen.Ist der Versuch nicht spätestens am über-nächsten Praktikumstag abgeschlossen, soverschlechtert sich die Bewertung um eineNote für jede weitere angefangene Woche.

7 Fehlversuche

Für einen erfolgreichen Abschluss müssenSie alle Praktikumstermine wahrnehmen.Zum Nachholen versäumter oder nicht be-standener Versuche werden jedem Studieren-

den zwei zusätzliche Praktikumstermine ga-rantiert. (ein „Nachholtermin” für alle am Se-mesterende, weitere Termine nach Möglich-keit im laufenden Semester) In jedem Fallmüssen Sie den Termin an der Versuchsaus-gabe vereinbaren, damit sichergestellt ist,dass der Arbeitsplatz frei und die Betreuunggewährleistet ist! Zu einem Praktikumsterminkann jeweils nur ein Versuch durchgeführtwerden.Kann das Praktikum aufgrund fehlender Ver-suche im laufenden Semester nicht mehr er-folgreich beendet werden, so ist es im nächs-ten Jahr zu wiederholen. Bereits erfolgreichabgeschlossene Versuche müssen dabei nichtnoch einmal durchgeführt werden.

8 Leistungskontrollen

Das Bestehen eines kurzen Antestates zu Be-ginn des Praktikums (siehe oben) ist Voraus-setzung für die Zulassung zum Versuch.Zu jedem Versuch wird während der Prakti-kumszeit ein benotetes mündliches Testatdurchgeführt, ohne Wiederholmöglichkeit.Für jeden Versuch wird eine Gesamtnote zwi-schen 1 und 5 gebildet, wobei die Testatnotesowie die Einschätzung der Versuchsdurch-führung, der Protokollführung und der Aus-wertung berücksichtigt werden. Die Note 5bedeutet „nicht bestanden”.

9 Abschluss des Praktikums

Aus den Gesamtnoten der Versuche wird eineAbschlussnote für das Praktikum gebildet.Das Praktikum gilt als erfolgreich absolviert,wenn die geforderte Anzahl Versuche (imNormalfall 4 im 1. Semester und je 10 im 2.-4. Semester) bestanden wurden. In der Regel wird die Praktikumsleistungnicht auf Papier bescheinigt, sondern in dieDatenbank der MLU (Löwenportal) eingetra-gen. Eine Bescheinigung kann aber auf An-trag ausgestellt werden.

3

Einführung Richtlinien für die Protokollführung

Richtlinien für die Protokollführung

1 Allgemeines

Jeder Student führt während des Versuchesund unmittelbar ein Protokoll. Das Protokollenthält

- die Versuchsvorbereitung,

- alle Messwerte und Beobachtungen in chro-nologischer Reihenfolge (Messprotokoll),

- die Auswertung.

Führen Sie das Protokoll handschriftlich miteinem nicht löschbarem Stift. Bleistift ist nurfür Diagramme und Skizzen zulässig. Fehl-messungen werden mit Angabe des Grundesdurchgestrichen und dürfen nicht unlesbar ge-macht werden. Fehler sind Teil der Arbeit;das Ausradieren oder Löschen von Messdatenist schlechter wissenschaftlicher Stil!

Alle Protokolle des Praktikums sind in einemgebundenen Heft oder in einem Schnellhefterder Größe A4 zu führen und zu jeder Veran-staltung mitzubringen.

Lose Blätter (z.B. Computerausdrucke) sindmit Name und Datum zu beschriften und indas Protokoll einzufügen.

2 Vorbereitung zu Hause

Jedes Protokoll muss enthalten:

- Name und Datum,

- Versuchsbezeichnung und Aufgabenstellung(wörtlich),

- kurze Beschreibung des Versuches (prinzi-pielle Vorgehensweise) einschließlich derfür Verständnis und Auswertung wichtigenGleichungen, sowie Beschreibung des Ver-suchsaufbaus, wenn möglich mit Skizze,

- vorbereitete Urlisten (Tabellen) für die Auf-nahme der Messdaten und, soweit sinnvoll,der aus diesen zu berechnenden Daten.

Dieser Teil des Protokolls ist Bestandteil derVersuchsvorbereitung und wird vor Versuchs-beginn vom Betreuer kontrolliert.

3 Während des Versuches

Notieren Sie alle verwendeten Geräte undMaterialien, soweit nicht schon bei der Be-schreibung des Versuchsaufbaus geschehen.

Halten Sie das Protokoll übersichtlich undgut lesbar, am besten durch eine klare Gliede-rung mit Zwischenüberschriften (z.B. „Mes-sungen zu Aufgabe 1” ...).

Alle physikalischen Größen müssen vollstän-dig mit Zahlenwert und Einheit angeben wer-den. Tabellen müssen eine Überschrift oderLegende besitzen, die Spalten sind mit physi-kalischer Größe und Einheit zu beschriften.

Grundsätzlich werden alle Messdaten vor jeg-licher rechnerischer Aufbereitung protokol-liert (Urlisten).

Neben den Messwerten selbst müssen auchInformationen zu deren Genauigkeit proto-kolliert werden (Herstellerangaben zur Mess-genauigkeit der Geräte und eigene Beobach-tungen, die zur Abschätzung der Messgenau-igkeit dienen).

Das Messprotokoll ist dann vollständig, wennnur mit seiner Hilfe auch eine Person, die denVersuch nicht selbst durchgeführt hat, dievollständige Auswertung des Versuches vor-nehmen kann!

4 Auswertung

Alle Rechnungen müssen anhand der For-meln und der Messdaten im Protokoll nach-vollziehbar sein. Das erreicht man am ein-fachsten durch übersichtliche Tabellen.

Diagramme sollen die Ergebnisse in über-sichtlicher, leicht erfassbarer Form präsentie-ren. Sie werden in der Regel am Computererstellt, dürfen aber auch von Hand (nur sau-ber mit Lineal auf Millimeterpapier) gezeich-net werden. Die Achsen müssen mit Größeund Einheit beschriftet und geeignet skaliertsein. Die Voreinstellungen der Software sind

4

Einführung Richtlinien für die Protokollführung

hierbei nicht immer sinnvoll! Vermeiden SieZahlen mit vielen Nullen, verwenden Sie stattdessen Einheitenvorsätze oder Zehnerpoten-zen. Wenn Diagramm mehrere Messkurvenenthält, ist eine Legende ist erforderlich.

Zu jedem Versuch gehört eine Fehlerdiskussi-on. Dabei sind die Unsicherheiten aller Mess-größen stets quantitativ anzugegeben. Wannimmer es sinnvoll ist, muss die Unsicherheitder Ergebnisse mit Hilfe einer Fehlerfortflan-zungsrechnung (siehe nächstes Kapitel) aus

den Unsicherheiten der Messgrößen berech-net werden.

Am Ende werden die Versuchsergebnisse,wenn möglich zusammen mit ihren Messun-sicherheiten, in einem Ergebnissatz oder einerErgebnistabelle aufgelistet und kurz bewertet.Dabei sollen sie bezüglich ihrer Genauigkeitund der Übereinstimmung mit den Erwartun-gen eingeschätzt und wenn möglich mit Lite-raturwerten verglichen werden.

Fehlerrechnung und Statistik

Jede Messung einer physikalischen Größe istmit mehr oder weniger großen „Messfehlern”behaftet. Misst man eine Größe mehrmals, soweichen die Ergebnisse im Allgemeinen so-wohl voneinander als auch vom zu bestim-menden „wahren Wert“ ab. Ziel der Auswer-tung einer Messung ist das Ermitteln des bes-ten Schätzwertes für den wahren Wert (dasMessergebnis) und für die Größe der Abwei-chung vom wahren Wert (die Messunsicher-heit). Beide Informationen zusammen bildendas „vollständiges Messergebnis”.

1 Begriffsbestimmungen

Messgröße:Die zu messende physikalische Größe, z. B.Spannung U, Strom I, Masse m

Messwert:Der gemessene Wert einschließlich Einheit,z.B. I = 2,0 A; l = 1254 mm

Messergebnis:Das aus mehreren Messwerten berechnete Er-gebnis, z.B. P = U · I = 231 V · 2,0 A = 462 W

Messabweichung:Differenz zwischen einem Messwert oderMessergebnis und dem wahren Wert. Der

wahre Wert ist eine Idealvorstellung, in derRegel nicht exakt definiert und nicht bekannt.Daher ist auch die Messabweichung ist imAllgemeinen unbekannt. Meist besteht sie auseinem zufälligen und einem systematischenAnteil.

Zufällige (statistische) Messabweichungen:Sie treten unregelmäßig auf; sie schwankenin der Größe und im Vorzeichen. Hervorgeru-fen werden sie z. B. durch nicht beeinflussba-re unsystematische Änderungen der Ver-suchs- und Umgebungsbedingungen sowiedurch Unvollkommenheiten beim subjektivenErfassen von Messwerten. Durch mehrfachesMessen und Bildung des arithmetischem Mit-telwertes kann der Einfluss zufälliger Mess-abweichungen verringert werden.

Systematische Messabweichungen:Sie beeinflussen bei gleichen Versuchsbedin-gungen die Messung in der gleichen Weise.Hervorgerufen werden sie z. B. durch Unvoll-kommenheiten der Messgeräte, der Maßver-körperungen und der Messverfahren sowiedurch systematische Änderungen der Ver-suchsbedingungen. Sie können sich aus ei-nem bekannten und einem unbekannten An-teil zusammensetzen. Das Messergebnis istum bekannte systematische Messabweichun-gen zu korrigieren.

5

Einführung Fehlerrechnung und Statistik

ToleranzMaximale Messabweichung. Wird meist vomHersteller eines Messgerätes in der Bedie-nungsanleitung angegeben. Bezeichnet mandie Toleranz eines Messwertes x mit t (x), soliegt der wahre Wert mit Gewissheit im Inter-vall x ± t (x).

(Mess)unsicherheit u:Sie kennzeichnet die Streuung der Werte, dieder Messgröße vernünftigerweise zugeordnetwerden können. Die Unsicherheit u(x) desMesswertes oder Messergebnisses x kann alsSchätzung der Messabweichung angesehenwerden. Der wahre Wert liegt mit relativ gro-ßer Wahrscheinlichkeit im Intervall x ± u(x). Die Messunsicherheit wird entweder m.H.statistischer Methoden aus den Messwertenermittelt (Methode A) oder, wenn dies nichtmöglich ist, auf der Grundlage aller vorlie-genden Informationen zu den Messgerätenund Messverfahren geschätzt (Methode B).Beispiel (für den Messwert l = 1,254 m):

u(l) = 0,005 m (absolute Unsicherheit), u(l)/l = 0,4% (relative Unsicherheit)

Vollständiges MessergebnisMessergebnis mit Messunsicherheit. Die Un-sicherheit wird mit 1...2 Stellen angegeben.Mögliche Schreibweisen sind:

l = 1,254 m ± 5 mml = (1,254 ± 0,005) ml = 1,254(5) ml = 1,254 m und u(l)/l = 0,4 %

2 Ermittlung von Messunsicher-heiten

Zur Abschätzung der Genauigkeit von Mes-sungen dienen verschiedene Informations-quellen, z.B. die Messwertstatistik (→Metho-de A), Herstellerangaben und Zertifikate zuden verwendeten Messgeräten oder einfacheSchätzung (→Methode B). Damit die auf ver-schiedenen Wegen ermittelten Unsicherheitenquantitativ vergleichbar sind, sollen siegrundsätzlich immer die Bedeutung einerStandardabweichung haben. Man nennt siedaher auch Standardunsicherheiten.

2.1 Ermittlungsmethode AWird eine Messgröße x n mal gemessen, sostreuen die einzelnen Messwerte xi (i = 1 ... n)aufgrund der zufälligen Messabweichungenum einen Erwartungswert μ. Die Verteilungder Messwerte ist meist näherungsweise eineNormalverteilung (Abb.1). Der beste Schätz-wert für μ ist dann der arithmetische Mittel-wert

1

1n

i

i

x xn

=

= å . (1)

Ein Maß für die Streuung der Messwerte istdie Standardabweichung σ. Der aus denMesswerten berechnete beste Schätzwert fürσ ist die experimentelle Standardabweichung

2

1

( )

1

n

i

i

x x

sn

=

-

=-

å . (2)

Genügen die Messwerte einer Normalvertei-

lung

2

2

( )

21( )

2

x

x em

sjs p

-

= mit dem Mittel-

wert µ (siehe Abb.1), so beträgt die Wahr-scheinlichkeit, einen Messwert im Intervall μ± σ anzutreffen, etwa 68 %. Für das Intervallμ ± 2σ beträgt diese Wahrscheinlichkeit etwa95 %.

Wenn zufällige Messunsicherheiten dominie-ren, d.h. systematische Unsicherheitsanteilevernachlässigt werden können, ist die Unsi-cherheit eines Einzelmesswertes gleich derStandardabweichung: u(x) = s.Der Mittelwert x aus n Einzelmesswerten istgenauer als ein einzelner Messwert. Man

6

m

j(x)

x

s s

Abb. 1: Normalverteilung mit dem Mittelwertµ und der Standardabweichung σ


kann sich vorstellen, viele Messreihen derMessgröße x vom selben Umfang n aufzu-nehmen. Die Mittelwerte aller dieser Mess-reihen werden sich etwas voneinander unter-scheiden. Sie sind ebenfalls normalverteilt,das Maß für ihre Streuung ist die Standard-abweichung des Mittelwertes

x

ssn

= . (3)

Ist das Messergebnis ein Mittelwert einerMessreihe mit ausreichend vielen (n ≥ 10)Messwerten xi und können dabei die systema-tischen Unsicherheitsanteile gegenüber denzufälligen vernachlässigt werden, so ist dieUnsicherheit des Mittelwertes

( )

2

1

( )

( 1)

n

i

ix

x x

u x sn n=

-

= =× -

å . (4)

Weitere Beispiele, wie Messunsicherheitenm.H. statistischer Methoden als Standardab-weichungen berechnet werden, finden sich inAbschnitt 3 (Regression).

2.2 Ermittlungsmethode BWenn die Berechnung einer Standardabwei-chung nicht möglich ist (z.B. weil systemati-sche Unsicherheiten immer in gleicher Weisewirken oder weil nur ein Messwert vorhan-den ist), wird die Standardunsicherheit aufder Basis aller vorliegenden Informationengeschätzt.

2.2.1 Herstellerangaben zu MessgerätenIn Bedienungsanleitungen von Messgerätenfindet man Angaben zu maximalen Messab-weichungen (Messtoleranzen) oder garantier-ten Messgenauigkeiten. Beispiele:

- 0,7 K + 0,1 % (für ein Thermometer)

- 0,5 % vom Messwert + 3 dgt

- Genauigkeitsklasse 1

Oft werden absolute und relative maximaleMessabweichungen (in Einheiten der Mess-größe bzw. in % von angezeigten Wert) ge-trennt angegeben; beide Beiträge sind zu ad-dieren. 1 dgt (für Digit) ist die kleinste digital

angezeigte Stelle der Messgröße. Die Genau-igkeitsklasse ist die maximale Messabwei-chung in % vom Endwert des Messbereichs(nicht vom Messwert!) bzw. vom Wert derMaßverkörperung.Bezeichnet man die Toleranz eines Messwer-tes x mit t (x), so ergibt sich daraus seineStandardunsicherheit entsprechend

( ) ( ) 3u x t x= . (5)

Erklärung: Einzige Information ist die Garan-tie, dass die Messabweichung nicht größer istals t (x). Daher ordnet man der Messgröße xeine Gleichverteilung der Breite 2t zu. Deren

Standardabweichung ist 3t .

2.2.2 Unsicherheit von ZählrohrmessungenZählt man zufällige Ereignisse in einem Zeit-intervall (z.B. bei Messung mit einem Gei-gerzähler) und werden N Ereignisse gezählt,so ist die Messunsicherheit (ohne Berücksich-

tigung systematischer Einflüsse) ( )u N N= .

Erklärung: siehe Versuch O16

2.2.3 Schätzung der MessunsicherheitBei sehr einfachen Messgeräten liegen oftkeine Angaben zur Messgenauigkeit vor.Dann ist die Standardunsicherheit (nicht diemaximale Messabweichung!) zu schätzen.Sie setzt sich zusammen aus der Ungenauig-keit des Messgerätes selbst und der Ungenau-igkeit beim Ablesen des Wertes. Beispiele:

- Ablesen von Skalen (Lineal, Thermometer,Winkelmesser, ...): u(x) ≈ 0,5 Skalenteile

- Längenmessungen mit einem Messschieber(Noniusablesung): u(l) = 1 Skalenteil desNonius

- Messung eines Zeitintervalls mit einerHandstoppuhr: u(t ) ≈ 0,1 s

2.3 Die Unsicherheit von Messergebnissen(„Fehlerfortpflanzung”)

Es sei y = f (x1, x2, ..., xn) ein Messergebnis,das aus den Messwerten x1, x2, ..., xn mit denUnsicherheiten u1, u2, ..., un zu berechnen ist.Wie groß ist dann die Unsicherheit u(y) desMessergebnisses?

7


2.3.1 Maximale UnsicherheitEine kleine Änderung Δxi des Messwertes xi

würde im Messergebnis etwa die Änderung

i i

i

yy x

x

¶D = D

¶ hervorrufen;

y

x

¶

¶ bezeichnet da-

bei die partielle Ableitung der Funktion y =f (x1, x2, ..., xn) nach xi. Wenn man also vor-aussetzt, dass die Unsicherheiten der Mess-werte im Vergleich zu den Messwerten selbstklein sind, ergibt sich durch Addition derAuswirkungen aller Messunsicherheiten aufdas Ergebnis die maximale Unsicherheit desMessergebnisses:

1

1 1

( )n

n i

n ii

y y yu y u u u

x x x=

¶ ¶ ¶= + + =¶ ¶ ¶åL (6)

Gl. (6) kann in einfachen Fällen (wenigeMesswerte) zur groben Abschätzung der Un-sicherheit des Ergebnisses dienen.

2.3.2 UnsicherheitsfortpflanzungsgesetzIm Allgemeinen werden sich die einzelnenUnsicherheitskomponenten nicht immer ad-dieren, sie können sie sich auch teilweise ge-genseitig kompensieren. Die exakte mathe-matische Behandlung dieses Problems nachC. F. Gauß ergibt das Unsicherheitsfortpflan-zungsgesetz

2

2

1

( )n

c i

ii

yu y u

x

¶¶

=

æ ö= ç ÷

è øå . (7)

uc(y) heißt kombinierte Messunsicherheit.Gl.(7) setzt voraus, dass die Messgrößen xi

voneinander statistisch unabhängig sind. Dasist im Grundpraktikum in der Regel der Fall.Daher ist die Messunsicherheit des Ergebnis-ses in den meisten Fällen nach (7), (9) oder(11) zu berechnen.

2.3.3 Besonders einfache FälleOft besitzt die Gleichung y = f (x1, x2, ..., xn)eine sehr einfache Struktur. In bestimmtenFällen lässt sich der Rechenaufwand zur Be-stimmung von uc(y) nach (7) deutlich verrin-gern. Im eigenen Interesse sollte jeder davonGebrauch machen.

Fall 1: 1 1 2 2y c x c x= ± (8)

(c1, c2 Konstanten) Durch Einsetzen in (7) ergibt sich

2 2 2 2

1 1 2 2y c x c xD = D + D . (9)

Fall 2: 1 2

m ny c x x= × × (10)

(c, m und n reelle Konstanten)Einsetzen von (10) in (7) ergibt eine einfacheGleichung für die relative kombinierte Unsi-cherheit des Ergebnisses:

2 2

2 21 2

1 2

( )cu y u um n

y x x

æ ö æ ö= +ç ÷ ç ÷

è ø è ø(11)

Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewe-gung s = a/2 ∙ t2 ; Weg s und Zeit t werdengemessen mit einer relativen Messunsicher-heit von jeweils 1 %, die Beschleunigung aist zu berechnen:

( ) ( )

1 2

2

2 2

2

2 22

2 2

( ) ( ) ( )2

1% 2 1% 2,3%

c

sa s tt

u a u s u t

a s t

-= × = × ×

æ ö æ ö= +ç ÷ ç ÷

è ø è ø

= + × »

3 Anpassung einer Funktion an eine Messreihe (Regression)

3.1 Lineare RegressionHäufig besteht zwischen verschiedenenMessgrößen x und y ein linearer Zusammen-hang

( )y f x a b x= = + × (12)

oder es wird ein solcher vermutet.

Beispiel: Bei der thermischen Ausdehnung von Metal-len gilt für die Länge l = l0 + α⋅l0⋅ΔT, α istder lineare thermische Ausdehnungskoeffizi-ent, l0 die Länge bei der TemperaturdifferenzΔT=0 (siehe Versuch W1).

Die eigentliche Messaufgabe besteht in der

8


Bestimmung der (konstanten) Parameter aund b in Gl. (12). Grundsätzlich könnten aund b durch Messung von zwei Wertepaaren(x, y) bestimmt werden. Meist wird jedocheine ganze Messreihe mit n Wertepaaren (xi,yi) (i = 1...n) aufgenommen, um zunächst denlinearen Zusammenhang nachzuweisen, ehea und b ermittelt werden.

Werden die Messwerte grafisch dargestellt, sostreuen die Messpunkte wegen der unver-meidlichen statistischen Messabweichungenum eine ausgleichende Gerade. Die Aufgabebesteht nun darin, die Gerade zu finden, die„am besten“ zu den Messpunkten „passt”(siehe Abb.2). Hierfür gibt es ein auf C. F.Gauß zurückgehendes mathematisches Ver-fahren, welches man als lineare Regression,Ausgleichsrechnung, Geradenanpassung oderauch (englisch) linear curve fit bezeichnet.Nach der Gaußschen Methode der kleinstenQuadrate (bei der vereinfachend angenom-men wird, dass nur die yi fehlerbehaftet sind)ist für die am besten angepasste Gerade dieSumme der Abweichungsquadrate minimal:

( )

2

1

2

1

( , )

min

n

i

i

n

i i

i

F a b y

y a bx

=

=

= D

é ù= - + ®ë û

å

å(13)

Diese Summe ist eine Funktion der Parametera und b; zur Lösung des Problems sind also

die partiellen Ableitungen ∂F/∂a = 0 und ∂F/∂b = 0 zu setzen. Dies führt zu dem Ergebnis

( )

( )

( )

2

22

22

1

i i i i i

i i

i i

i i i i

i i

x y x x ya

n x x

y b xn

n x y x yb

n x x

-=

-

= -

-=

-

å å å åå å

å å

å å åå å

(14)

(alle Summen von i = 1 bis n ). Die durch(13) und (14) bestimmte Gerade heißt Re-gressionsgerade oder Ausgleichsgerade.Die Standardabweichungen sa und sb der Pa-rameter a und b können aus der mittlerenquadratischen Abweichung (der Varianz derAbweichungen Δyi)

2 2

1

12

n

i

i

s yn

=

= D- å (15)

berechnet werden: Es ergibt sich

( )

( )

2 2

2

22

22

22

i

a

i i

b

i i

s xs

n x x

s ns

n x x

×=

-

×=

-

åå å

å å

(16)

Wenn systematische Messabweichungen ge-genüber den zufälligen vernachlässigbar sind,dann sind diese Standardabweichungengleich den Unsicherheiten der geschätztenParameter:

u(a) = sa und u(b) = sb (17)

3.2 Regression mit anderen FunktionenGrundsätzlich kann die Gaußsche Methodeder kleinsten Quadrate (13) nicht nur auf einelineare Funktion (12), sondern auf beliebigeFunktionen mit mehreren Parametern ange-wendet werden. Im Allgemeinen ist diesesProblem jedoch nicht mehr analytisch lösbar,sondern muss mit Hilfe numerischer Metho-den iterativ gelöst werden. Die im Praktikumeingesetzten Computerprogramme Origin und

9

o u

o u

y yb

x x

-=

-

xo

xu

yu

yo

Dyi

x

y

0

y = a + b·x

a

Abb. 2: Lineare Regression. Δyi = yi−(a+b·xi)ist die „Abweichung“ eines Messpunktes vonder Geraden.


CassyLab bieten diese Möglichkeit. (Stich-worte: Nichtlinearer Fit bzw. Freie Anpas-sung)Einige nichtlineare Funktionen können linea-risiert, d.h. durch Transformation in eine line-are Funktion überführt werden (z.B. y = a·xb

und y = a·ebx durch Logarithmieren). In sol-chen Fällen kann die lineare Regression mitder transformierten Funktion durchgeführtwerden. Dies wird z. B. im Versuch O16 (Ra-dioaktivität) benutzt, um die Halbwertsdickevon Blei für Gammastrahlung des IsotopsCo-60 zu ermitteln.

3.3 Praktische HinweiseDie Formeln (14) und (16) muss man sichnicht einprägen, dafür gibt es Software. Es istausreichend, das Regressionsverfahren imPrinzip sowie die Bedeutung der Parameter a,b, sa und sb zu kennen. Lineare Regression lässt sich auch mit vielenTaschenrechnern durchführen (lesen Sie inder Bedienungsanleitung nach). Die Stan-dardabweichungen sa und sb werden jedoch inder Regel nur von Computerprogrammen be-rechnet. In Programmen und in der Literatur werdendie Begriffe Regression, Ausgleichsrechnung,Anpassung und Fit (englisch) synonym ver-wendet.Wenn keine geeigneten Rechenhilfsmittel zur

Verfügung stehen, nimmt man die Anpassunggrafisch (mit Bleistift auf Millimeterpapier)vor, wie in Abb.2 gezeigt. Dabei wird die Re-gressionsgerade mit einem durchsichtigen Li-neal „nach Augenmaß“ eingezeichnet, a undb werden abgelesen und ihre Unsicherheitengeschätzt.

4 Richtige Angabe von Messergeb-nissen

Es ist immer das vollständige Messergebnismit absoluter und relativer Unsicherheit (so-fern bekannt) anzugeben:

y ± u(y) und u(y) / y . (18)

Dabei ist auf richtiges Runden zu achten:

Die Messunsicherheit, die ja meist auf Schät-zungen und Näherungen beruht, ist auf nurein oder zwei zählende („signifikante”) Zif-fern zu runden, wobei in der Regel aufgerun-det werden soll. Das Messergebnis ist mit derselben Genauigkeit (mit der selben AnzahlNachkommastellen) anzugeben wie dieMessunsicherheit, wobei mathematisch exaktgerundet werden muss.

Beispiele:

y = (431 ± 5) mm; u(y)/y = 1,2 %

U = (20,00 ± 0,25) V; u(U)/U = 1,3 %

R = 2,15 kΩ ± 0,07 kΩ; u(R)/R = 4 %

10

Grundpraktikum I Dichtebestimmung M2

Dichtebestimmung M2

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Dichte eines Probekörpers ist ausseiner Masse und seinem Volumen zu bestim-men.

1.2 Die Dichte eines Probekörpers ist nachder Auftriebsmethode zu bestimmen.

1.3 Die Dichte von Wasser ist mit der Dich-tewaage nach Mohr-Westphal zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die Dichte ρ eines homogenen Stoffes ist dasVerhältnis seiner Masse m zu seinem Volu-men V:

mV

r = (1)

2.1 AnalysenwaageDie Bestimmung der Masse zählt zu den ge-nauesten Messverfahren der Physik. Mit denAnalysenwaagen im Praktikum lassen sichrelative Genauigkeiten bis zu 10-6 erzielen!Bei solchen Präzisionsmessungen muss derAuftrieb in Luft berücksichtigt werden. Jeder Körper, der sich in einem Medium(Flüssigkeit oder Gas) befindet, erfährt einenAuftrieb. Die Auftriebskraft FA ist gleich derGewichtskraft des vom Körper verdrängtenMediums (Archimedessches Prinzip):

A M MF m g V gr= × = × × (2)

Dabei sind mM die Masse und ρM die Dichtedes vom Körper verdrängte Mediums, V seinVolumen und g = 9,81 m/s2 die Fallbeschleu-nigung.Bei einer Analysenwaage (Balkenwaage)wirkt der Auftrieb in Luft der Dichte ρL so-wohl auf den zu wiegenden Körper (Massem, Dichte ρ) als auch auf die Wägestücke(Masse mN, Dichte ρN). Im Kräftegleichge-wicht ist

L N N Lm g V g m g V gr r× - × × = × - × × (3)

bzw. mit V = m/ρ und VN=mN/ρN

1 /

1 /L N

N

L

m mr r

r r

-= ×

- . (4)

Diese Formel für die Korrektur des Luftauf-triebs gilt auch für moderne elektronischeAnalysenwaagen. Hier werden zwar bei derWägung keine Gewichtstücke mehr benutzt,jedoch wird die Anzeige der Waage (ent-spricht mN) mit Hilfe von Normalgewichtstü-cken mit der standardisierten Dichte von ρN =8000 kg/m3 geeicht bzw. justiert.

2.2 AuftriebsmethodeMit Hilfe des Auftriebes lässt sich relativ ein-fach die Dichte eines Körpers mit unbekann-tem Volumen V bestimmen. Dazu wird derKörper mit Hilfe einer Analysenwaage anLuft und in Wasser eingetaucht gewogen.m1 bezeichne den Anzeigewert der Waage beiWägung in Luft. Nach (4) ist

1

1 /.

1 /L

L N

m mr r

r r

-= ×

-(5)

Danach wird der Körper völlig unter Wassergetaucht und erneut gewogen, Anzeige m2:

2

1 /.

1 /W

L N

m mr r

r r

-= ×

-(6)

(ρW - Dichte des Wassers).Aus den Gleichungen (5) und (6) folgt:

1 2

1 2

.W Lm m

m m

r rr

-=

-(7)

2.3 Mohr-Westphalsche WaageDie Mohr-Westphalsche Waage ist eine un-gleicharmige Hebelwaage. Der rechte Hebel-arm ist durch Kerben in 10 gleiche Teile ge-teilt. Am Ende des Hebelarmes befindet sichein Senkkörper mit sehr genau definiertemVolumen. Wird der Senkkörper in eine Flüs-sigkeit getaucht, erfährt er einen Auftrieb, derdurch die Gewichtskraft entsprechend aufge-legter Reiter kompensiert werden kann. Zuroriginal Mohr-Westphalschen Waage (Abb.1) gehören große, mittlere und kleine Reiter,

11


deren Gewichtskräfte sich wie 100 : 10 : 1verhalten. Die relative Dichte ergibt sich ausder Position der Reiter in den Kerben 1 bis10.Die moderneren, im Praktikum eingesetztenDichtewaagen verwenden einen in 100 Teileeingeteilten Wägebalken, zwei Reiter im Ver-hältnis 100 : 1 und ein zusätzliches Anhänge-gewicht. Die Dichte kann direkt an der Stel-lung der Reiter abgelesen werden.

3 Versuchsaufbau

3.1 Geräte zu Aufgabe 1:- Analysenwaage- Messschieber- Probekörper

3.2 Geräte zu Aufgabe 2:- Analysenwaage mit Dichtebestimmungsein-

richtung (Tauchkorb, Brücke, Becherglas)- Probekörper- Pinzette- Spritzflasche mit H2O dest.

3.3 Geräte zu Aufgabe 3:- Dichtewaage mit Senkkörper- Senkglas (ca. 130 ml)- Thermometer


Die Analysenwaage mit einer Auflösung von0,1 mg erreicht die vom Hersteller angegebe-ne maximale Messabweichung von 0,2 mgnur im günstigsten Fall, d.h. ohne Dichtebe-stimmungseinrichtung, richtig justiert, bei Ar-

beit mit äußerster Sauberkeit und Vermeidungvon Erschütterungen, Luftbewegungen undTemperaturschwankungen. Arbeiten Sie be-sonders sorgfältig und schätzen Sie ggf. einegrößere Messunsicherheit!Zu Versuchsbeginn wird die Analysewaagepositioniert und mittels der verstellbarenFüße nivelliert. Anschließend wird die Waagemit der „cal“-Taste kalibriert. Beim Wiegensollten immer alle Türen der Waage geschlos-sen sein.

4.1 Masse und VolumenZur Bestimmung der Masse wird der Probe-körper in Luft gewogen. Das Volumen wirdaus den mit Hilfe eines Messschiebers ermit-telten Werten für Höhe und Durchmesser desProbekörpers berechnet. Protokollieren Sieauch die Messunsicherheiten für Masse,Höhe und Durchmesser.

4.2 AuftriebsmethodeFür diesen Teilversuch wird die Analysewaa-ge wie folgt umgebaut: Wägeteller durch dasGestell zur Dichtebestimmung ersetzen, Brü-cke hineinstellen, Tauchkorb einhängen.

Zur Bestimmung der Dichte nach der Auf-triebsmethode wird der Probekörper zunächstin Luft gewogen (Bestimmung von m1). Da-nach wird das Becherglas mit Wasser auf dieBrücke gestellt, der Tauchkorb vorsichtig ein-gehängt und die Waage auf Null abgeglichen(„Tare“-Taste). Jetzt stellt man den Probekör-per mit der Pinzette auf den Tauchkorb, sodass der Körper völlig im Wasser eintaucht.Das Ablesen der Waage ergibt m2. Die Reproduzierbarkeit der Messungen mitdem etwas wackeligem Gestell zur Dichtebe-stimmung ist nicht so gut wie mit der normalausgestatteten Waage. Bei der Wägung inWasser können durch Luftbläschen und Sprit-zer größere Fehler entstehen. Achten Sie dar-auf! Führen Sie alle Wägungen mindestens 3mal durch und schätzen Sie die Messunsi-cherheit.

4.3 DichtewaageZunächst wird die Nullpunktseinstellung derDichtewaage kontrolliert und ggf. nachjus-tiert. Verfahren Sie hierzu entsprechend der

12

Abbildung 1: Mohr-Westphalsche Waage


ausliegenden Bedienungsanleitung. Für dieBestimmung der Dichte muss der Senkkörpervollständig in die Flüssigkeit eingetauchtsein. Vermeiden Sie Luftbläschen sowie dieBerührung der Gefäßwand! Die Waage wirddurch Verschieben der Reiter abgeglichen.Dabei bleibt das Anhängegewicht eingehängt(bei Dichten > 1 g/cm3 muss es ausgehängtwerden). Protokollieren Sie neben dem Mess-wert auch dessen Unsicherheit.Messen Sie die die Temperatur des Wassersund notieren Sie den Tabellenwert der Dichtevon Wasser bei dieser Temperatur.

5 Auswertung

5.1-2 Die Dichte des Probekörpers ist ent-sprechend der Aufgabenstellung nach denGleichungen (1) bzw. (7) zu berechnen. Fürdie Dichte von Wasser bei Raumtemperaturist der Wert aus der Messung mit der Dichte-waage zu verwenden. Die Dichte von Luftbeträgt bei 20 °C etwa ρL = 0,0012 g/cm3. Berechnen Sie für beide Messverfahren diekombinierte Messunsicherheit uC(ρ).Vergleichen Sie die Ergebnisse miteinanderund mit Tabellenwerten. Um welches Materi-al könnte es sich handeln?

5.3 Vergleichen Sie die mit der Dichtewaagegemessene Dichte des Wassers ρW mit demTabellenwert und diskutieren Sie möglicheAbweichungen.

Statistische Auswertung M 17

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Schwingungsdauer eines Fadenpen-dels ist 300 mal zu messen. Aus dieser Mess-reihe sind die empirische und die theoretischeVerteilung der Messwerte zu bestimmen.

1.2 Die Fallbeschleunigung g ist zu ermit-teln.

2 Grundlagen

2.1 Wird die Schwingungsdauer T eines Fa-denpendels n mal gemessen, so streuen dieMesswerte Ti (i = 1…n) auf Grund von zufäl-ligen Fehlern um den wahren Wert μ (statis-tisch: Erwartungswert).Als Maß für diese Streuung wird die Stan-dardabweichung σ definiert:

( )2

iT

n

ms

-=å (1)

Da im Allgemeinen der wahre Wert μ einerMessgröße weder bekannt noch exakt be-

stimmbar ist, wird als Näherung für dieseGröße das arithmetische Mittel T eingeführt.Mit dieser Näherung ergibt sich dann für dieempirische Standardabweichung s der Einzel-messung:

( )2

1

iT Ts

n

-=

-

å (2)

Für die Ermittlung der empirischen Vertei-lung werden die Messwerte in Klassen mitder Klassenbreite ΔT zusammengefasst undabgezählt. Ist nk die Anzahl der Messwertein der k-ten Klasse, so ist die relative Häufig-keit

kk

nh

n= . (3)

Sie gibt an, welcher Anteil (Prozentsatz) derMesswerte sich in der k-ten Klasse befindet.Da die relative Häufigkeit von der (willkür-lich) gewählten Klassenbreite abhängt, wirddie relative Häufigkeit pro Klassenbreite fk

eingeführt:

13

Grundpraktikum I Statistische Auswertung M 17

k kk

h nf

T n T= =D ×D

(4)

Die Größe fk hat die Bedeutung einer empi-rischen Verteilungsdichte. Sie wird in Abhän-gigkeit von der Messgröße T als Histogrammgrafisch dargestellt (Treppenkurve, sieheAbb. 1).Unter der absoluten Summenhäufigkeit Hk

1

k

k i

i

H n=

= å (5)

versteht man die Gesamtzahl der Messwerte,die sich in den Klassen 1 bis k befinden. Un-ter der relativen Summenhäufigkeit Fk

1 1

k k

k i i

i i

F h f T= =

= = Då å (6)

versteht man den Anteil (Prozentsatz) der ge-samten Messwerte, der in den ersten k Klas-sen liegt.

Vergrößert man dem Umfang der Messreihen, so steigt auch die Anzahl nk der Messwertein einer Klasse. Dabei nähert sich die relativeHäufigkeit hk mit wachsendem n einemGrenzwert, der statistische Wahrscheinlich-keit. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlich-keit ein Messwert T in der k-ten Klasse ange-troffen wird, bzw. wieviel Prozent der gesam-ten Messwerte auf die k-te Klasse entfallen.Verfeinert man zusätzlich die Klasseneintei-lung (n → ∞ und ΔT → 0), so gelangt manzur theoretischen Verteilung der stetigen

Messgröße T. Die dazugehörige Verteilungs-dichte ist

( )( )

dF Tf T

dT= (7)

und F(T) ist die Wahrscheinlichkeit dafür,dass ein Messwert kleiner als T auftritt:

( ) ( )T

f T f t dt-¥

= ò . (8)

Die theoretische Verteilungsdichte f(T) isteine Wahrscheinlichkeitsdichte und entsprichtder relativen Häufigkeit pro Klassenbreite f1

(sie ist deren Grenzwert für n → ∞). Die Grö-ße F(T) heißt auch Verteilungsfunktion, sieentspricht der relativen SummenhäufigkeitFk.Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten ei-nes Messwertes im Intervall T1 ≤ T ≤ T2 ergibtsich zu

2

1

1 2( , ) ( )T

T

P T T f t dt= ò . (9)

Dieser Wert entspricht der relativen Häufig-keit hk in diesem Intervall (er ist dessenGrenzwert für n → ∞).

Nimmt man an, dass die stetige Messgröße Tnur zufällige Fehler aufweist, so ist T in derRegel normalverteilt. Die Verteilungsdichteder Normalverteilung ist nach Gauss:

( )2

221( )2

T T

sf T es p

--

= × (10)

14

Abb. 1: Histogramm, empirische Häufigkeits-verteilung

DT T

n k o

der

f k


Die graphische Darstellung dieser Normal-verteilungsdichte f(T) ist die Gausssche Glo-ckenkurve (Abb. 2).Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten ei-nes Messwertes in einem Intervall (T1, T2) istproportional dem Flächeninhalt, der durch (9)bestimmt wird (Abb.2).Im Intervall T−s ≤ T ≤ T+s liegen 68,3 %der Fläche unter der Glockenkurve, d.h.68,3 % aller Messwerte liegen in diesem In-tervall, d.h. die Wahrscheinlichkeit, einenMesswert in diesem Intervall anzutreffen, ist68,3 %.Im Intervall T−2s ≤ T ≤ T+2s liegen 95,5 %und im Intervall T−3s ≤ T ≤ T+3s liegen99,7 % aller Messwerte.Werden aus einer normalverteilten Grundge-samtheit mit dem Erwartungswert T und derStandardabweichung s viele Stichproben vomUmfang n entnommen, so sind die Mittelwer-te dieser Stichproben ebenfalls normalver-teilt, und zwar mit dem gleichen Erwartungs-wert T und mit der Standardabweichung sT

des Mittelwertes:

( )2

( 1)

i

T

T Tssn nn

-= =

-

å (11)

Diese Standardabweichung des Mittelwerteswird häufig als Messunsicherheit für den Mit-telwert solcher Messwerte gewählt, bei denennur zufällige Fehler auftreten.

2.2 Das Fadenpendel lässt sich in guter Nä-herung als „mathematisches Pendel” be-schreiben. Dabei denkt man sich die gesamteMasse im Massenmittelpunkt vereinigt unddie Aufhängung der Länge l als masselos. DieBewegungsgleichung (Gleichung für denAuslenkwinkel φ) dieses Pendels lautet

2

2sin 0

gdldt

jj+ = . (12)

Für kleine Auslenkungen ist sin φ ≈ φ und(12) wird zu einer einfachen homogenen line-aren Differentialgleichung mit der Lösung

( )0 0cos cos 2 ttT

j j w j p= × = × . (13)

Die Bewegung des Pendels ist demnach eineharmonische Schwingung mit der Kreisfre-quenz ω und der Schwingungsdauer

2 lTg

p= . (14)

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Fadenpendel- Stahlbandmaß- Computer mit Software Origin


4.1 Die Schwingungsdauer T des Fadenpen-dels wird 300 mal einzeln gemessen. Dabeiist darauf zu achten, dass das Pendel nichtmehr als 6° ausgelenkt wird, damit dieSchwingungsdauer unabhängig von der Am-plitude ist. Die Messungen sollte nur voneiner Person durchgeführt werden, damit diesubjektiv bedingte Streuung der Messwerteetwa konstant bleibt.Als Stoppuhr dient der Computer mit der Da-tenanalyse-Software Origin. Starten Sie hier-zu das Icon „Stoppuhr“ auf der Windows-oberfläche. Die gestoppten Zeiten werden au-tomatisch in das Programm übernommen undstehen dort für die Auswertung zur Verfü-gung. Eine Kurzanleitung gibt das Stoppuhr-Arbeitsblatt, für weitere Hilfe nutzen Sie dieOnline-Hilfe zu Origin oder fragen Sie denzuständigen Betreuer.

4.2 Bestimmen Sie die Pendellänge undschätzen Sie ihre Messunsicherheit.

5 Auswertung

5.1 Alle Rechnungen sollen in Origin ausge-führt werden. Die Ergebnisse der Auswertung(Grafiken, Tabelle mit an den Klassenmittel-punkten berechneten Werten) können für dasProtokoll ausgedruckt werden. Die 300 Mess-werte sollen nicht ausgedruckt werden!

15


Berechnen Sie den Mittelwert T, die empiri-sche Standardabweichung s nach (2) und dieStandardunsicherheit des Mittelwertes u(T) =sT nach (11). Fassen Sie die Messwerte in etwa 10…20Klassen zusammen (in Origin mittels „Häu-figkeit zählen“). Die Klassenbreite ΔT ist ge-eignet zu wählen. Berechnen Sie aus der Klassenanzahl die em-pirische Verteilungsdichte fk nach (4) undstellen Sie diese in Abhängigkeit von T alsTreppenkurve oder Säulendiagramm (vgl.Abb.1) grafisch dar.Berechnen Sie auch die theoretischen Vertei-lungsdichte f(T) an den Klassenmittelwertennach (10). Zeichnen Sie die Funktion f(T) indie gleiche grafische Darstellung wie die em-pirische Verteilungsdichte fk als stetige Kurve

ein und vergleichen Sie beide Verteilungs-dichten miteinander.Bestimmen Sie, wieviel Prozent der Mess-werte innerhalb der Intervalle T ± s sowieT ± 2s liegen und vergleichen Sie die Ergeb-nisse mit den Erwartungswerten für normal-verteilte Messwerte. Diese Aufgabe löst manam schnellsten durch Sortieren und Abzählender Messwerte. Um die Originalmesswertenicht zu verändern, sollte das Sortieren aneiner Kopie der Werte durchgeführt werden.

5.2 Berechnen Sie aus der Pendellänge l unddem Mittelwert der Schwingungsdauer mitHilfe von Gl. (14) die Fallbeschleunigung gund deren Unsicherheit.

Lineare Ausdehnung W1

1 Aufgabenstellung

Der lineare Ausdehnungskoeffizient zweierunbekannter Materialien ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

In Festkörpern und Flüssigkeiten führen dieTeilchen (Atome bzw. Moleküle) temperatur-abhängige Schwingungen aus. Wegen der un-symmetrischen Potentialkurve der zwischen-atomaren Bindung werden die mittlerenAtomabstände mit zunehmender Schwin-gungsamplitude größer. Das äußert sich ineiner Volumenausdehnung, in festen Körpernauch in einer Längenausdehnung. Diese ist inhomogenen und isotropen Festkörpern (Me-tall, Polymere, Glas) in alle Richtungengleich groß.Bei der Erwärmung bzw. Abkühlung einesStabes ändert sich seine Länge mit der Tem-peratur T. Ist l0 die Länge des Stabes bei derAnfangstemperatur T0, so ist die Längenände-rung Δl = l − l0

( )0 0l l T TaD = × × - . (1)

Dabei ist α der lineare Ausdehnungskoeffizi-ent (SI-Einheit: 1/K), eine Materialgröße. Mitder Abkürzung ΔT = T−T0 ergibt sich für dieLänge l des Stabes bei der Temperatur T:

( )0( ) 1l T l Ta= × + × D . (2)

Der lineare Zusammenhang (1) bzw. (2) giltstreng genommen nur für nicht zu großeTemperaturdifferenzen ΔT.1 Weil aber α sehrklein ist (≈10-5 K-1 für Metalle, ≈10-4 K-1 fürPolymere) und bei den meisten Stoffen nurwenig von der Temperatur abhängt, wird inder Praxis meist nur mit diesen linearen Glei-chungen gerechnet. Auch im vorliegendenVersuch ist diese Näherung gerechtfertigt.

1 Exakt definiert man den temperaturabhängigen Längenausdehnungskoeffizienten α(T) mittels

( )dl

l TdT

a= × .

16

Grundpraktikum I Lineare Ausdehnung W1

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Halterung mit zwei eingespannten Rohren,

jeweils mit Messuhr (0,01 mm) zur Erfas-sung der Längenänderung

- Stahlbandmaß- Umwälzthermostat (Genauigkeit 0,1 K)

Die Rohre sind in der Halterung einseitig ein-gespannt. Im Abstand l0 von der Einspannungdrückt jedes Rohr gegen den Stift einer Mess-uhr, so dass die Längenänderung Δl mit einerAuflösung von 1/100 mm gemessen werdenkann. Die Temperaturveränderungen werdenmit Hilfe eines Thermostaten erzeugt, dertemperiertes Wasser durch die Rohre pumpt.


Studieren Sie die am Arbeitsplatz ausliegendeKurzanleitung zum Thermostaten. SchaltenSie auf keinen Fall die Thermostatheizungein, bevor die richtige Solltemperatur einge-stellt ist. Bei Fehlbedienung kann das Wasser-bad sehr schnell zu heiß werden!

Der Thermostat wird ohne Heizung (vorge-wählte Temperatur unterhalb der Raumtem-peratur) in Betrieb genommen, damit dieRohre die Temperatur annehmen, die dasThermometer am Thermostaten anzeigt. Die-se Temperatur wird abgelesen und die Mess-uhren auf Null gestellt.Die Längen l0 zwischen der Einspannung undder Stirnseite der Rohre sind mit dem Band-maß zu messen.

Danach wird am Thermostat eine Temperatureingestellt, die etwa 10 K höher ist als dieAusgangstemperatur. Etwa 5 min nach Errei-chen der Solltemperatur werden die Tempera-tur T und die dazugehörigen Längenänderun-gen Δl abgelesen.Die Temperatur wird in Schritten von ca.10 K weiter erhöht; dabei sind jeweils dieTemperatur und die Längenänderungen ingleicher Weise zu messen, bis eine Tempera-tur von ca. 80°C erreicht ist.Während der gesamten Messungen müssengroße Erschütterungen vermieden werden,die Messeinrichtung sollte am besten nichtberührt werden.

5 Auswertung

Entsprechend der Gleichung (1) ist die Län-genänderung Δl in Abhängigkeit von derTemperatur T (in °C) grafisch darzustellen.Der Anstieg der Kurve ist durch lineare Re-gression zu ermitteln. Aus dem Anstieg istder lineare Ausdehnungskoeffizient α zu be-rechnen.Aus der statistischen Unsicherheit des Anstie-ges und der geschätzten Messunsicherheit derLänge l0 ist die Unsicherheit des Ergebnissesu(α) zu berechnen (Fehlerrechnung).Anhand des Ausdehnungskoeffizienten unddes Aussehens der Rohre ist das vermuteteMaterial zu bestimmen.

17

Grundpraktikum I Wärmekapazität eines Kalorimeters W 4

Wärmekapazität eines Kalorimeters W 4

1 Aufgabenstellung

Die Wärmekapazität eines Kalorimeters (sein“Wasserwert”) ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die Wärmekapazität C ist definiert als dasVerhältnis zwischen der dem Körper zuge-führten Wärme Q und der dadurch hervorge-rufenen Temperaturerhöhung ΔT. Die spezifi-sche Wärme c ist die Wärmekapazität proMasseneinheit:

QCcm m T

= =D

. (1)

Um eine Substanz der Temperatur T1 auf eineTemperatur T2 = T1 + ΔT zu erwärmen, mussihr die Wärmemenge

( )2 1fxQ C T T m c T= × - = × × D (2)

zugeführt werden.

Die Messung der spezifischen Wärme vonFlüssigkeiten und festen Körpern geschieht inder Regel in einem (Flüssigkeits-)Kalorime-ter. Ein Kalorimeter ist einfach ein gut wär-meisoliertes Gefäß, das dem Idealfall einesadiabatischen Systems möglichst nahe kom-men soll. Bei der Messung muss berücksich-tigt werden, dass auch das Kalorimetergefäßselbst eine gewisse Wärmemenge aufnimmt,wenn sich seine Temperatur ändert. Die Wär-mekapazität eines Kalorimetergefäßes nenntman auch seinen Wasserwert.Im durchzuführenden Versuch befindet sichin einem Kalorimeter mit der Wärmekapazi-tät CK Wasser der Masse m und der bekanntenspezifischen Wärmekapazität c. Durch eineelektrische Heizung im Kalorimeter kanndem Wasser definiert Wärme zugeführt wer-den.Gefäß und Wasser haben zunächst die Tempe-ratur T1. Wird die Heizung eingeschaltet, sowerden Kalorimeter und Wasser bis zur Tem-

peratur T2 erwärmt. Dabei ist die von der Hei-zung in der Zeit t abgegebene Wärmemenge

Q U I t= × × , (3)

wobei U die Spannung und I die Stromstärkesind. Die vom Wasser aufgenommene Wär-memenge QW und die vom Kalorimeter auf-genommene Wärmemenge QK sind nach derEnergieerhaltung gleich Q:

( ) ( )2 1 .

W K

W W K

Q Q Q

m c C T T U I t

+ =

× + × - = × ×(4)

Daraus ergibt sich für die Wärmekapazitätdes Kalorimeters zu

2 1K W W

U I tC m cT T× ×= - ×- . (5)

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Kalorimeter (vakuumisoliert) mit- elektrischer Heizung (ca. 10 Ω)- Digitalthermometer (Auflösung 0,01 K)- Laborwaage (Genauigkeit 0,1 g)- Stoppuhr- Magnetrührer, Magnetrührstäbchen- Stromversorgungsgerät (Gleichspannung)- Vielfachmessgeräte - Schalter- Verbindungskabel

Das Kalorimeter besteht aus einem doppel-wandigen Edelstahlgefäß und einem durch-

18

Abb. 1: Schaltbild des Versuchsaufbaus

Heizung

A

V

U=

Grundpraktikum I Wärmekapazität eines Kalorimeters W 4

sichtigen Deckel mit angestecktem Heizwi-derstand und einem passenden Loch zur Auf-nahme des Thermometers. Abb. 1 zeigt dasSchaltbild für den Anschluss der Heizung.


Die Masse des Kalorimetergefäßes (ohne De-ckel) mK ist zu bestimmen. Das Gefäß ist mitetwa 500 ml Wasser zu füllen. Die Wasser-temperatur soll zu Versuchsbeginn etwagleich der Raumtemperatur sein; zu kaltesWasser kann später (vor dem eigentlichenVersuch) mit der Kalorimeterheizung noch et-was erwärmt werden. Die Wassermasse m istmit der Waage zu bestimmen.Die elektrische Schaltung wird entsprechendAbb. 1 aufgebaut. Die Schaltung ist demÜbungsleiter vor Inbetriebnahme vorzufüh-ren!Der Rührer muss während des gesamten Ex-periments langsam und gleichmäßig laufen.Die Heizung wird zur Probe kurz eingeschal-tet. Es ist eine Heizspannung von 12 V einzu-stellen; anschließend wird der Strom mit demSchalter ausgeschaltet. Das Stromversor-gungsgerät bleibt eingeschaltet, Strom- undSpannungsregler unverändert.Die Temperatur im Kalorimeter und dieRaumtemperatur sind zu notieren. Die Diffe-renz sollte kleiner als 2 K sein.

Die Temperatur wird bei laufendem Rührerund ausgeschalteter Heizung etwa eine Minu-

te lang beobachtet und ihr Wert T1 wird no-tiert. Nun wird die Stoppuhr gestartet und dieHeizung für eine Dauer von 5 Minuten einge-schaltet. Strom und Spannung werden aller30 s notiert. Einige Sekunden nach dem Aus-schalten der Heizung wird die Temperaturkonstant. Notieren Sie diesen Wert als T2. Beobachten Sie die Temperatur noch mindes-tens eine Minute lang. Falls sie sich (sehrlangsam) ändert, kann daraus der systemati-sche Fehler abgeschätzt werden, der durchden unvollständigen adiabatischen Abschlussdes Kalorimetergefäßes entsteht.Nach Beendigung des Versuches ist das Kalo-rimeter auszuleeren und zum Trocknen offenstehen zu lassen!

5 Auswertung

Berechnen Sie die Wärmekapazität des Kalo-rimeters CK und deren Messunsicherheit nachGleichung (5). Es ist sowohl die absolute alsauch die relative Unsicherheit anzugeben.Für die Einschätzung der Messunsicherheit

ist es günstig, die beiden Terme 2 1

U I tT T× ×- und

mW·cW sowie deren Unsicherheit zunächst ge-trennt zu berechnen. Die TemperaturdifferenzT2−T1 kann zur Vereinfachung der Fehler-rechnung als eine Messgröße ΔT mit derMessunsicherheit u(ΔT) betrachtet werden.Die spezifische Wärmekapazität des Wassersbeträgt 4187 J kg-1 K-1.

19

Grundpraktikum II M 4 Oberflächenspannung von Flüssigkeiten

20

Abb. 1: Kohäsionskräfte und Oberflächen-energie von Flüssigkeitsmolekülen.

D DW A= ×s . (1)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Oberflächenspannung von ver-schiedenen Flüssigkeiten ist mit Hilfe derAbreißmethode zu bestimmen.

1.2 Die Oberflächenspannung ist mit Hilfeder Steighöhe in Kapillaren zu bestimmen.

2 Grundlagen

2.1 Oberflächenspannung:Jedes einzelne Molekül einer Flüssigkeitwirkt innerhalb eines gewissen kugelförmigenBereiches anziehend auf seine Nachbarmole-küle (Kohäsion). Ein Molekül im Inneren derFlüssigkeit übt nach allen Seiten gleicheanziehende Kräfte aus und wird von denumgebenden Molekülen ebenfalls gleich-mäßig angezogen, so dass die Resultierendedieser Kohäsionskräfte gleich Null ist. Befin-det sich das Molekül an der Oberfläche derFlüssigkeit, so werden die Kräfte nicht voll-ständig durch die Wechselwirkungskräfte mitdem angrenzenden Medium (Adhäsion)kompensiert (Abb.1). Es ergibt sich eineresultierende Kraft in das Innere der Flüssig-keit. Möchte man jetzt ein Molekül aus demInneren an die Oberfläche bringen, muss mandie nach innen wirkenden Kräfte überwinden.Ein Molekül an der Oberfläche besitzt des-halb eine höhere potentielle Energie. DieEnergie der Gesamtheit aller in der Oberflä-che sitzenden Moleküle ist der Größe derOberfläche proportional und kann als Ober-flächenenergie bezeichnet werden. Will mandie Oberfläche um ΔA vergrößern, muss mander Flüssigkeit Energie zuführen, also ArbeitΔW verrichten:

Dabei ist σ die Oberflächenspannung, einevon der Temperatur abhängige Materialgröße.

Die SI-Einheit ist N/m. In der Natur ist jedesSystem bestrebt, den Zustand kleinster poten-tieller Energie zu erreichen. Die Oberflächeeines Flüssigkeitsvolumens wird daher immereinen möglichst kleinen Wert annehmen.

2.2 Kapillarität:An einer Grenzfläche zwischen zwei Medienüben auch die verschiedenartigen MoleküleAnziehungskräfte aufeinander aus. Im Gegen-satz zur Kohäsion bezeichnet man die Anzie-hungskraft zwischen den Molekülen ver-schiedener Stoffe als Adhäsion.Die Oberfläche eines Festkörpers wird voneiner Flüssigkeit benetzt, wenn die Adhä-sionskräfte größer sind als die Kohäsions-kräfte innerhalb der Flüssigkeit. Die Flüssig-keit versucht dann, sich möglichst weit aufder Oberfläche auszubreiten. Taucht man eineKapillare mit dem Innendurchmesser 2r ineine benetzende Flüssigkeit (z.B. Glas inWasser), so steigt diese in der Kapillare nachoben (Kapillaraszension im Gegensatz zurKapillardepression bei nicht benetzendenFlüssigkeiten). Das ist folgendermaßen zuerklären:Die Benetzung der Kapillarinnenwand führtzu einer Vergrößerung der freien Flüssigkeits-oberfläche und damit der Oberflächenenergie.Durch das Aufsteigen der Flüssigkeit imInneren der Kapillare wird die Größe der

Oberflächenspannung von Flüssigkeiten M 4


21

2 2 .A r hpD = × × D (5)

D DW F h= × . (6)

sp

=× ×

F

r4. (7)

D D DW A r h1 2= × = ×s s p . (2)

D D DW m g h r h g h2

2= × × = × ×p r . (3)

hr g

=2s

r. (4)

freien Oberfläche wieder verringert, dafürerhöht sich aber die potentielle Energie. DerGleichgewichtszustand ist der Zustand mini-maler Energie. Die Höhe der Flüssigkeits-säule im Gleichgewicht kann man deshalb mitfolgender Überlegung berechnen:Steigt die Flüssigkeit um den kleinen BetragΔh, so verringert sich die freie Oberfläche umden Betrag 2πrΔh und damit nach (1) dieOberflächenenergie um

Dabei vergrößert sich die potentielle Energiedurch das Anheben der Flüssigkeit in derKapillare um

(Δm ist der Massenzuwachs und ρ die Dichteder Flüssigkeit in der Kapillare, g = 9,81 m/s2

die Fallbeschleunigung.)Im Energieminimum ist ΔW = ΔW2 ΔW1 = 0,daraus ergibt sich die Steighöhe h zu

Gl. (4) kann auch mit Hilfe des Gleichge-wichtes aus dem Druck durch die gekrümmteOberfläche und dem Schweredruck derFlüssigkeitssäule hergeleitet werden (sieheLiteraturangaben).

2.3 Die Oberflächenspannung spielt beiweiteren im Alltag beobachtbaren Phänome-nen eine wichtige Rolle: Die Randkrümmung eines Flüssigkeits-spiegels in einem Gefäß hängt mit der Benet-zung zusammen. Oberflächenaktive Stoffe (z.B. Tenside)verringern die Oberflächenspannung undverbessern die Benetzung - wichtig in Wasch-mitteln und in biologischen Systemen.Die Größe von Tropfen (z.B. an einer Pipette)wird durch Oberflächenspannung und Dichteder Flüssigkeit bestimmt. Ein Tropfen reißtab, wenn seine Gewichtskraft die ihn haltendeKraft überschreitet. Letztere ist proportionalzur Oberflächenspannung. Daher könnenFlüssigkeiten sehr einfach mittels Pipette

durch Tropfenzählung dosiert werden. Umge-kehrt benutzt man die Zählung der Tropfen,die sich aus einem bestimmten Flüssigkeits-volumen ergeben, zur Messung der Ober-flächenspannung mit dem Stalagmometer. Der Druck in Blasen (z.B. Seifenblasen) wirddurch Oberflächenspannung und Krüm-mungsradius bestimmt.

3 Versuchsaufbau

Geräte:Federkraftmesser 50 mNGlasgefäß für SeifenlösungGlasgefäß für andere FlüssigkeitenMessring, mittlerer Radius (14,85 ± 0,05) mmhöhenverstellbarer Tisch2 Kapillaren (Ø ca. 0,6...1,2 mm)Gefäße mit Seifenlösung, Ethanol, ...

3.1 Zur Messung der Oberflächenspannungnach der Abreißmethode wird ein Messringmit dem Durchmesser 2r verwendet, derzunächst völlig in die Flüssigkeit eingetauchtund damit vollständig benetzt wird. Beimlangsamen Herausziehen aus der Flüssigkeitbildet sich am Ring ein zylindrischer Flüssig-keitsfilm mit dem Durchmesser 2r und derHöhe Δh. Da sich der Film sowohl an derInnen- als auch an der Außenfläche desRinges bildet, ergibt sich die Vergrößerungder Flüssigkeitsoberfläche zu:

Die dafür erforderliche Arbeit ist:

Setzt man Gleichung (5) und (6) in (1) ein,erhält man:

Die Kraft F wird mit einem Federkraftmessergemessen.

3.2 Die verwendeten Glaskapillaren dürfennach erstmaliger Verwendung nicht austrock-nen. Deshalb werden sie in destilliertem


22

Wasser gelagert. Der Innendurchmesser istder Auslage am Arbeitsplatz zu entnehmen.


4.1 Um Verunreinigungen auszuschließen,sollten Messring und Glasgefäß zu Beginnunter heißem Wasser gründlich abgespültwerden.Der trockene Messring (evtl. Tropfen abtup-fen) wird an den Federkraftmesser angehängt.Der Federkraftmesser ist durch Verschiebendes Außenmantels auf Null (oder, falls nichtmöglich, auf einen ganzen Wert, z. B. 10 mN)zu stellen. Das mit der zu untersuchendenFlüssigkeit gefüllte Glasgefäß wird auf denhöhenverstellbaren Tisch gestellt. DurchAnheben der Tischfläche lässt man denMessring vollständig in die Flüssigkeiteintauchen.Zur Messung wird der Tisch langsam undohne Erschütterung abgesenkt und dabei dieAnzeige des Federkraftmessers beobachtet.Beim Abreißen der Verbindung zwischenFlüssigkeit und der Unterkante des Mess-ringes wird die Kraft F abgelesen. Die Mes-sung ist für jede Flüssigkeit 10 mal durch-zuführen. Beim Wechsel der Flüssigkeit sindGefäß und Bügel gründlich abzuspülen.

4.2 Die Kapillaren werden sorgfältig unterfließendem Wasser gespült und dann voll-ständig entleert (schräg halten und das Was-ser mit feuchtem Papierhandtuch aussaugen).Wenn sie verschmutzt sind, so dass kleineTröpfchen darin zurückbleiben, können sie inder Ausgabe getauscht werden.Zur Messung taucht man die Kapillare in dieMessflüssigkeit. Die Höhe der senkrechtenFlüssigkeitssäule über der äußeren Flüssig-keitsoberfläche wird mit einem Lineal be-stimmt. Die Messung ist mit beiden Kapilla-ren und mit jeder Flüssigkeit je fünf maldurchzuführen.

Die Messflüssigkeiten (außer Wasser) sindnach Versuchsende wieder in die Vorrats-behälter zurück zu füllen!

5 Auswertung

5.1 Aus den zehn Messwerten für die Kraftist jeweils der Mittelwert zu bilden und nachGleichung (7) die Oberflächenspannung σund die zugehörige Messunsicherheit zuberechnen. Der mittlere Radius des Mess-ringes beträgt r = ( 14,85 ± 0.05 ) mm.

5.2 Aus den Mittelwerten der gemessenenSteighöhen ist mit Hilfe von Gl. (4) jeweilsdie Oberflächenspannung zu berechnen. DieDichte von Wasser und Seifenlösung beträgt1,00 g/cm3, die von Ethanol 0,79 g/cm3.

Vergleichen Sie alle Ergebnisse und Messun-sicherheiten miteinander!

6 Literatur

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin etc. 2006

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1. de GruyterBerlin NewYork 2008

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Form nimmt ein Wassertropfenan, wenn keinerlei äußere Kräfte auf ihnwirken? Warum? Worauf beruht die „norma-le“ Tropfenform?

7.2 Wovon hängt die Steighöhe einer Flüs-sigkeit in einer Kapillare ab?

7.3 Was ist Benetzung, wovon hängt sie ab?

Grundpraktikum II M 6 Mathematisches und Physikalisches Pendel

23

M m g s= - × × × sin .j (1)

J m g s× = - × × × sinj j (3)

M J= × j (2)

j j+× ×

× =m g s

J0 (4)

TJ

m g s=

× ×2p . (5)

J m l s l= × =2 und . (6)

Tlg

= 2p . (7)

TJ

m g s

l

gr=

× ×=2 2p p . (8)

= =T T l lr r, . (10)

Abb.1 a - c: Physikalisches Pendel

lJ

msr = . (9)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Erdbeschleunigung g ist mit Hilfeeines Fadenpendels (mathematisches Pendel)zu bestimmen.

1.2 Die Erdbeschleunigung g ist mit Hilfeeines physikalischen Pendels zu bestimmen.

2 Physikalische Grundlagen

Ein physikalisches Pendel ist ein starrerKörper, der drehbar um eine Achse A , dienicht durch den Massenmittelpunkt (Schwer-punkt) geht, gelagert ist (Abb.1). Wird dasPendel aus der Gleichgewichtslage um denWinkel ausgelenkt, so ergibt sich einrücktreibendes Drehmoment M:

Dabei bedeuten: m = Masse des Pendels, s =Abstand Schwerpunkt-Drehachse, g = Erdbe-schleunigung (9,81 m/s ² )Die Bewegungsgleichung des schwingendenPendels lautet:

wobei J das Trägheitsmoment des Pendels,bezogen auf die Drehachse A ist.Aus (1) und (2) folgt

und für kleine Winkel ( < 6°)

die Differenzialgleichung einer harmonischenSchwingung.Aus der Lösung dieser Differenzialgleichungergibt sich die Schwingungsdauer T :

Für ein mathematisches Pendel (ein Masse-punkt mit der Masse m hängt an einemmassenlosen Faden mit der Länge l ) ist

Die Schwingungsdauer des mathematischenPendels ist dann

Als reduzierte Pendellänge lr eines physika-lisches Pendels bezeichnet man die Pendel-länge eines mathematischen Pendels, das diegleiche Schwingungsdauer hat wie das ent-sprechende physikalische Pendel. Aus

ergibt sich

Lässt man das physikalische Pendel um eineDrehachse A' schwingen, die zur Achse Aparallel ist und von ihr den Abstand lr hat(siehe Abb.1b), so ergibt sich die gleicheSchwingungsdauer wie bei der Schwingungum A:

Beweis: J0 bezeichne das Trägheitsmoment

Mathematisches und Physikalisches Pendel M 6

Grundpraktikum II M 6 Mathematisches und Physikalisches Pendel

24

lr c s

sr =+ + ×

×

3 12

12

2 2 2

. (11)

für die Drehachse durch den Schwerpunkt.

Nach dem Satz von STEINER ist J J ms= +02

und somit . Mit lJ

ms

J

mssr = = +0 l s sr = +

ergibt sich daraus (*). =sJ

ms0

Analog ist für die Schwingung um den Dreh-

punkt A' . Ersetzt man s' mit =+ l

J

mssr

0

(*), so wird . = + =lJ ms

m J

J

mslr r

0

0

0

Mit Hilfe der Gleichheit der Schwingungs-dauer ist eine experimentelle Bestimmung derreduzierten Pendellänge möglich. Hieraufbasiert das Reversionspendel, welches früherzur Präzisionsbestimmung von g benutztwurde.Bei bekannter Masseverteilung des physika-lischen Pendels kann die reduzierte Pendel-

länge mit aus (9) berechnetJ r m= ò 2d

werden. Für einen homogenen zylindrischenStab entsprechend Abb.1c ergibt sich:

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Fadenpendel(mathematisches Pendel)- physikalisches Pendel- Bandmaß- Messschieber- Stoppuhr

3.1 Das mathematische Pendel wird durchein Fadenpendel annähend realisiert. MitHilfe einer verschiebbaren Einspannungkönnen verschiedene Pendellängen eingestelltwerden. Die absolute Messung der Pendellän-ge ist wegen der räumlichen Ausdehnung derPendelkugel relativ ungenau, jedoch kann dierelative Änderung der Pendellänge mit Hilfeeiner Markierung an der Einspannung an

einem fest angebrachten Metalllineal sehrgenau abgelesen werden. Durch ein geeigne-tes Auswerteverfahren (siehe 5.2) kann damiteine hohe Genauigkeit bei der Bestimmungvon g erzielt werden.

3.2. Als physikalisches Pendel wird ein Stabmit kreisförmigen Querschnitt verwendet,dessen Drehachse durch eine verschiebbareSchneide gebildet wird. Die Stabmitte(Schwerpunkt) und die Lage der erstenDrehachse (A in Abb.1b) sind durch eineneingravierten Ring markiert. Die Massebeträgt ca. 3,5 kg.


4.1 Es werden mindestens fünf verschiedenePendellängen des Fadenpendels eingestellt,die entsprechenden Stellungen der Einspan-nung auf der Skale abgelesen und die da-zugehörigen Schwingungsdauern aus denZeiten für jeweils 20 Schwingungen ermittelt.Dabei dürfen die maximalen Amplituden 6°nicht überschreiten.

4.2. Die Schneide des physikalischen Pen-dels wird zunächst auf die äußere Ringmarkeeingestellt, der Abstand s0 zwischen Dreh-achse und Schwerpunkt (d. h. zwischenbeiden Ringmarken) bestimmt und die da-zugehörige Schwingungsdauer T0 aus der Zeitfür 50 Schwingungen ermittelt. Dann wird die Schneide auf der anderenHälfte des Stabes befestigt und die Schwin-gungsdauer T in Abhängigkeit von s gemes-sen; s wird dabei in 5 cm Schritten von 10 bis60 cm variiert. Zur Bestimmung von T wer-den die Zeiten für jeweils 20 Schwingungengestoppt; die maximalen Amplituden dürfennicht größer als 6° sein. Der Durchmesser 2r des Stabes wird mit demMessschieber gemessen und die Länge c(Abb.1c) mit dem Bandmaß.

Grundpraktikum II M 9 Erzwungene Schwingungen

25

( )Tg

l hE

224

= +p

. (12)

TJ m s

m g sc sg s

=+ ×

× ×=

+×

2 202 2

p p (13)

5 Auswertung

5.1. Bezeichnet man den an der Einspannungabgelesenen Wert mit lE, so ist die Pendellän-ge l = lE + h, wobei h eine unbekannteKonstante ist. Mit Gl. (7) ist

Zur Bestimmung der Erdbeschleunigung gwird das Quadrat der Schwingungsdauer inAbhängigkeit von lE graphisch dargestellt.Nach (12) ergibt dies eine Gerade mit demAnstieg 4π2/g. Dieser wird mittels linearerRegression ermittelt und daraus die Erd-beschleunigung g berechnet.

5.2. Die Schwingungsdauer T des physika-lischen Pendels wird in Abhängigkeit vomAbstand s zwischen Drehachse und Schwer-punkt grafisch dargestellt.Aus dieser Darstellung wird der Abstand s'ermittelt, bei dem T = T0 und s' s0 ist. Diereduzierte Pendellänge ist dann: lr = s0 + s'.Die Erdbeschleunigung g wird mit Hilfe derGleichung (8) bestimmt (mit T =T0).Die reduzierte Pendellänge lr wird außerdemnach der Gleichung (11) berechnet, wobeis = s0 gesetzt wird. Mit diesem Wert für lr

wird ebenfalls g aus (8) bestimmt.

Vergleichen Sie die auf verschiedenen Wegenermittelten Werte der Erdbeschleunigung undderen Messunsicherheiten miteinander!

Zusatzaufgabe:Mit Hilfe des STEINERschen Satzes wird ausGleichung (5):

mit J0 dem Trägheitsmoment für s = 0 undc = J0/m einer Konstante. Bestimmen Sie g mit Hilfe von (13) durchnichtlineare Regression!

6 Literatur

W. Schenk, F. Kremer: Physikalisches Prakti-kum. Springer, 2014

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin u.a. 2006

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1 Mechanik, Akustik,Wärme. de Gruyter, Berlin u.a., 2008

7 Kontrollfragen

7.1 Warum soll die Auslenkung des Pendelsnicht größer als 6° sein?

7.2 Wie wird das Trägheitsmoment einesstarren Körpers für eine beliebige Drehachseberechnet?

7.3 Wie ist ein Reversionspendel aufgebaut?

1 Aufgabenstellung

1.1 An einem Drehpendel sind die Schwin-gungsdauer und die Dämpfungskonstante beizwei verschiedenen Dämpfungen zu be-stimmen.

1.2 Für beide Dämpfungen sind die Am-plituden des Drehpendels in Abhängigkeit von

der Erregerfrequenz des Motors zu ermitteln(Resonanzkurven).


2.1 Die Bewegungsgleichung für die ge-dämpfte Schwingung eines Drehpendels(Herleitung und Lösung sind in der unten

Erzwungene Schwingungen M 9


26

0J C Dj j j× + × + × = (1)

2

02 0j j w j+ × × + × = (2)

( )

( )

(( 1) )

n TT

n T T

n T e en T e

jj

- × ××

- × × +

×= =

+ ×(6)

w

w p

= ×

=

=

C J

D J

T

/ ( ) ,

/ ,

/ .

2

2

02

0 0

(3)

( )ln

(( 1) )

n TT

n T

j

j

×æ ö× = ç ÷+ ×è ø

(7)

202 sin( )B tj j w j w+ × × + × = × (9)

0 cos( )t

de tj j w- ×= × × (4)

sin( ) .A tj w j= × - D (10)

2

2 2 2 2 2

0

.( ) 4

BA

w w w=

- + × ×(11)

angegebenen Literatur ausführlich beschrie-ben) lautet:

bzw.

mit

Es bedeuten: φ = Auslenkwinkel; = Win-jkelgeschwindigkeit; = Winkelbeschleuni-jgung; J = Trägheitsmoment des Drehpendels;C = Reibungskonstante; D = Direktions-moment der Feder; δ = Dämpfungskonstante;ω0 = Eigenkreisfrequenz und T0 = Schwin-gungsdauer der ungedämpften Schwingung. Eine Lösung der Differentialgleichung (2) ist:

mit

ωd ist die Eigenkreisfrequenz der gedämpftenSchwingung, Td = 2π/ωd seine Schwingungs-dauer und φ0 der Maximalwert der Amplitudezur Zeit t = 0.Das Verhältnis zweier aufeinander folgenderAmplituden ist konstant:

Der Ausdruck

heißt logarithmisches Dekrement; es charakte-risiert die Dämpfung.

2.2 Ein Drehpendel (siehe Abb. 1) habe dieEigenfrequenz f0 . Ein Motor mit einer ver-änderlichen Drehzahl (Frequenz f , Kreisfre-quenz ω = 2π f ) übt auf das Drehpendel ein

äußeres Drehmoment M = M0sin(ωt) ausund regt es so zum Mitschwingen an. DasPendel vollführt dann erzwungene Schwin-gungen, seine Bewegungsgleichung lautet

bzw.

mit B = M0/J. Nach dem Abklingen eines Ein-schwingvorganges schwingt das Drehpendelmit der Erregerfrequenz f . Für diesen Fall istdie Lösung der inhomogenen Differential-gleichung (9)

Für die Amplitude A des Drehpendels gilt

Die Amplitude erreicht ein Maximum bei

man spricht von Resonanz. Bei kleinerDämpfung (δ ω) ist also im Resonanzfalldie Erregerfrequenz ω gleich der Eigen-frequenz ω0. Die Phasenverschiebung zwi-schen den Schwingungen des Erregersystemsund des erregten Systems ist im ResonanzfallΔ = 90°.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Drehpendelgerät nach R. W. Pohl- regelbare Spannungsquelle für Motor und

Dämpfungsmagnetspule- Multimeter, analog- Schalter- Stoppuhr- Verbindungsleitungen- Diktiergerät

3.1 Beim Drehpendelgerät nach R. W. Pohl(Abb. 1) ist das Drehpendel, ein massivesRad aus Kupfer, über eine Feder und einGestänge mit dem Motor gekoppelt. Eine

2 2

0 .dw w = - (5)

0 sin( )J C D M tj j j w× + × + × = × (8)

2 2 20 2 ,w w = - (12)


27

1.f

T= (13)

Konstantspannungsquelle liefert die Betriebs-spannung (24 Volt) für den Motor; seineDrehzahl (Frequenz f ) wird durch zweiWiderstände (“grob” und “fein”) geregelt. DieDämpfung des Drehpendels erfolgt durchWirbelströme, die mit Hilfe eines Elektro-magneten erzeugt werden. Eine regelbareGleichspannungsquelle liefert den Spulen-strom, der maximal 1 A bei etwa 5 V betragendarf und mit dem Multimeter gemessen wird.Die Umlaufdauer T des Motors ist mit einerStoppuhr zu messen; die Frequenz f ergibtsich dann aus


4.1 Zu Beginn wird die SchwingungsdauerT0 des ungedämpften Pendels durch Messungder Zeit für mindestens 10 Schwingungenmöglichst genau bestimmt.Die regelbare Gleichspannungsquelle (0...5 V)wird über das Multimeter mit der Dämpfungs-magnetspule verbunden, der Spulenstromwird zunächst auf 250 mA eingestellt.Die Ruhelage des Zeigers am Drehpendel istauf Null zu bringen. Dann wird das Dreh-pendel aus seiner Ruhelage ausgelenkt undlosgelassen; die aufeinander folgenden Am-plituden A (in Skt) auf einer Seite sind ab-zulesen. Es ist empfehlenswert, die Messwerteauf das Diktiergerät zu sprechen, da dieMessung sehr schnell vonstatten geht.

Die Schwingungsdauer T1 ist durch Messungder Zeit für möglichst viele Schwingungen zubestimmen.Die Messung der Amplituden und derSchwingungsdauer T2 wird für den Spulen-strom 500 mA wiederholt.

4.2 Die Resonanzkurve soll ebenfalls fürdie beiden Dämpfungen mit den Spulen-strömen 250 mA und 500 mA gemessenwerden.Die Spannungsquelle ist auf 24 V einzustel-len und über einen Schalter mit dem Motorzu verbinden.Zur Aufnahme einer Resonanzkurve wird mitHilfe der Regelwiderstände “grob” und“fein” die Motorfrequenz f zwischen 0,1 Hzund 1 Hz variiert. Für jede eingestellteDrehzahl ist die Umlaufzeit T des Motorsund die Amplitude A des Drehpendels zumessen. Zur Bestimmung dieser Amplitudenmuss man warten, bis die jeweiligen Ein-schwingvorgänge abgeklungen sind. Diedafür mindestens erforderliche Zeit kann ausden Messungen zu 4.1 abgeschätzt werden.In der Nähe der Resonanzfrequenz sollten dieMessungen in kleinen Schritten erfolgen.Für die kleinste Frequenz, für die größteFrequenz und für die Resonanzfrequenzwerden die jeweiligen Phasenwinkel Δφzwischen dem erregten System (Drehpendel)und dem Erregersystem (Motor) abgeschätzt.

5 Auswertung

5.1 Die bei verschiedener Dämpfung ge-messenen Schwingungsdauern und dieFrequenzen des Drehpendels und ihre Mes-sunsicherheiten sind anzugeben.Für die Dämpfung mit 250 mA und 500 mAsind die maximalen Auslenkungen A inAbhängigkeit von der Zeit t grafisch dar-zustellen. Die logarithmischen Dekrementeδ·T und die Dämpfungskonstanten δ sindnach Gl. (7) zu bestimmen.

Alternativ: Ermitteln Sie das logarithmischeDekrement aus dem Anstieg der FunktionlnA (t).

Abb. 1: Drehpendel nach W. Pohl mit Wirbel-strombremse W und Motor M

Grundpraktikum II M10 QUINCKE'scher Versuch

28

( )1 0 siny y t k xw= × - (1)

( )2 0 sin .y y t k xw= - × + (2)

( ) ( )

( ) ( )

1 2

0

0

2 cos sin

2 22 cos sin .

y y y

y t k x

y t xT

w

p p

= +

= ×

= ×

(3)

5.2 Die Amplituden A des Drehpendels sindfür beide Dämpfungen in Abhängigkeit vonder Erregerfrequenz f des Motors grafischdarzustellen (Resonanzkurven). VergleichenSie die Resonanzfrequenzen mit der Eigen-frequenz des ungedämpften Pendels unddiskutieren Sie Ihre Ergebnisse unter Be-zugnahme auf Gleichung (12).Geben Sie die Phasenwinkel Δ zwischenerregtem System (Drehpendel) und erregen-dem System (Motor) für die kleinste und diegrößte Frequenz sowie für die Resonanz-frequenz an.

Zusatzaufgabe:Bestimmen Sie die Konstanten B, f0 und δdurch nichtlineare Regression der Resonanz-kurven mit der Modellgleichung (11). Dafürist in (11) ω = 2π f und ω0 = 2π f0 zu ersetzen.Vergleichen Sie die auf verschiedenen Wegenerhaltenen Werte für f0 und δ.

6 Literatur

Wolfgang Schenk: Physikalisches Praktikum.14., überarb. u. erw. Aufl., Springer 2014

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin etc. 2006

Paul A. Tippler: Physik für Wissenschaftlerund Ingenieure. 7. Aufl. Springer 2015

7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Resonanz, Dämpfung, Phasen-verschiebung?

7.2 Wovon hängen Höhe und Breite desResonanzmaximums ab?

7.3 Welche weiteren Lösungen der Differen-tialgleichung (1) gibt es außer (4) noch?

1 Aufgabenstellung

1.1 Mit dem Resonanzrohr nach QUINCKE

ist die Schallgeschwindigkeit in Luft zubestimmen.

1.2 Aus der Schallgeschwindigkeit ist derAdiabatenexponent von Luft zu bestimmen.

1.3 Der Adiabatenexponent von Luft ist mitder Methode nach RÜCHARDT zu messen.

2 Grundlagen

2.1 Trifft eine in x-Richtung laufende ebeneSchallwelle der Amplitude y1

auf eine akustisch "harte" Grenzfläche (z.B.aus der Luft auf eine Wasseroberfläche), so

wird die Welle reflektiert. Es entsteht einezurücklaufende Welle y2:

Hierbei ist ω = 2π/T die Kreisfrequenz, T diePeriodendauer, k = 2π/λ die Wellenzahl und λdie Wellenlänge. Das negative Vorzeichen in(2) entspricht einem Phasensprung von π, derbei dieser Reflexion auftritt. Die beiden Schallwellen überlagern sich unterAnwendung der Identität

zusin sin 2 cos sin2 2

a a a

+ -- = ×

Adiabatenexponent nach QUINCKE und RÜCHARDT M 10


29

Abb.1: Stehende Wellen in einer Luftsäule miteinem geschlossenen und einem offenen Ende[nach Hellenthal: Physik]

c f= × (5)

p p T

Tr r= 0

0 0

. (7)

.p

c

r= (6)

ln

= ×+

2 1

4(4)

Die resultierende Welle ist eine stehendeWelle; an den Stellen x = λ/2, 2λ/2, 3λ/2, ...ist zu jeder Zeit y = 0. Die Luftteilchen sindalso an diesen Stellen immer in Ruhe, manspricht von Schwingungsknoten. Jeweils inder Mitte zwischen den Knoten befinden sichdie Stellen maximaler Auslenkung, dieSchwingungsbäuche. Bedeutung haben stehende Wellen z.B. beider Ausbildung von Eigenschwingungeneiner Luftsäule mit einem geschlossenen undeinem offenen Ende (gedackte Pfeife, Abb.1).Bei der vom geschlossenen Ende (harteGrenzfläche) her gebildeten stehenden Welletritt am Ende stets ein Knoten auf, da diereflektierte Welle gegenüber der einlaufendenum π = 180° phasenverschoben ist. Bei derReflexion am offenen Ende der Säule kommtes ebenfalls zur Ausbildung einer stehendenWelle, bei der an der Grenzfläche stets einSchwingungsbauch auftritt. Die von beidenEnden resultierenden stehenden Wellenüberlagern sich. Das Resultat ist wieder einestehende Welle, wenn die Resonanzbedin-gung erfüllt ist, d. h. wenn der Abstandzwischen den Enden gerade so groß ist, dassdie Knoten der beiden Wellen jeweils angleichen Orten entstehen. Wird, wie in einer Pfeife, die Luftsäule vonaußen her durch einen Luftstrom zum Mit-schwingen angeregt. so werden nur solcheSchallfrequenzen hörbar sein, für welche die

Länge l der Luftsäule gerade gleich dem(2n+1)/4 fachen der Wellenlänge λ ist. Im QUINCKEschen Resonanzrohr wird da-gegen durch eine äußere Schallquelle eineWelle mit einer definierten Frequenz f in dieLuftsäule eingestrahlt. Durch Variation derLänge der Luftsäule können Resonanzzustän-de („Schwingungsmoden”) mit

eingestellt werden, bei denen die Luftsäulemit maximaler Amplitude schwingt. Damitkann die Wellenlänge λ und mit

die Ausbreitungsgeschwindigkeit c derSchallwelle in Luft bestimmt werden.

2.2 Die Ausbreitung einer Schallwelle inLuft ist ein adiabatischer Vorgang, da dieDruckänderungen in der Welle so schnell vorsich gehen, dass kein Wärmeausgleich mitder Umgebung erfolgen kann. Die Aus-breitungsgeschwindigkeit c des Schalls hängtdeshalb von der Dichte ρ, vom Druck p undvom Adiabatenexponent κ ab:

Der Adiabatenexponent κ = cp /cV eines Gasesist das Verhältnis der spezifischen Wärme-kapazitäten bei Prozessführung unter kon-stantem Druck cp bzw. konstantem VolumencV. Es gilt stets cp > cV, da das Gas währendder Erwärmung bei konstantem Druck zusätz-lich Ausdehnungsarbeit leisten muss. DerWert des Adiabatenexponenten hängt nachder kinetischen Gastheorie davon ab, ob essich um ein-, zwei- oder mehratomige Gasehandelt.Betrachtet man Luft als ideales Gas, so hängtder Quotient p/ρ und damit die Schallge-schwindigkeit von der Temperatur ab:

Dabei bedeuten:


30

2

0 0

0

.p

V

c T c

c p T

r = = (8)

T = Temperatur in Kρ0 = Dichte der Luft unter Normalbedingun-gen T0 und p0,ρ0 = 1,293 kg m-3 ; T0 = 273,15 K = 0°C ; p0 = 0,1013 MPa = 760 Torr.

Aus den Gleichungen (6) und (7) folgt für dieBestimmung von κ:

2.3 Auch die wesentlich langsameren unddaher direkt beobachtbaren Schwingungeneiner Masse auf einer Gasfeder erlauben dieBestimmung von κ. Im Experiment nach E.RÜCHARDT (siehe Abb.3) befindet sich das zuuntersuchende Gas (hier Luft) im einer Glas-flasche mit dem Volumen V. Nach oben istdie Flasche durch ein Präzisionsglasohr mitdem Querschnitt A abgeschlossen, in demeine passgenaue Stahlkugel der Masse mnahezu luftdicht abschließend und reibungs-arm gleiten kann. Lässt man die Kugel vonoben in das Rohr fallen, so wird das Gasdarunter verdichtet und übt eine Gegenkraftauf die Kugel aus, so dass sie auf dem Luft-polster einige Schwingungen ausführt, ehe siewegen der unvermeidbaren Undichtigkeitlangsam nach unten sinkt.Sieht man von der Sinkbewegung ab, sobefindet sich die Kugel in Ruhelage, wennder Druck p gleich der Summe aus demäußerem Luftdruck pL und dem durch dasKugelgewicht hervorgerufenen Druck ist:

Schwingt die Kugel um den Weg z über dieRuhelage hinaus, so ändert sich der Druck umΔp, und es wirkt eine Kraft AΔp auf dieKugel. Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt

Wegen seiner Schnelligkeit ist der Vorgangadiabatisch. Aus

folgt durch Differentiation:

Mit ΔV = Az wird für hinreichend kleine Δp

Aus (10) und (13) erhält man die Differential-gleichung einer harmonischen Schwingung

mit der Kreisfrequenz

Die Schwingungsdauer T lässt sich im Expe-riment leicht messen; daraus ergibt sich fürden Adiabatenexponent

3 Versuchsaufbau

Geräte:

- QUINCKEsches Resonanzrohr mit Lautspre-cher und Hörschlauch

- Funktionsgenerator FG250D- Glasflasche (ca. 11 L) mit Schwingungs-

röhre (d = 16,03 mm ± 0,01 mm; 600 mmlang) und Stahlkugel (d = 16,00 mm)

- Magnetstab, Reinigungsstab und -Tücher

3.1 Der Lautsprecher ist mit dem Generatorverbunden, an dem die Frequenz f und dieLautstärke variiert werden können. In einemoffenen Glasrohr (Resonanzrohr nach QUIN-CKE) befindet sich Wasser, dessen Oberflächevertikal verschoben werden kann, so dasseine Luftsäule mit veränderlicher Längeentsteht (Abb.2).

3.3 Die Schwingungsröhre ist ein Präzi-sionsglasrohr, in das die Stahlkugel exakthineinpasst. Eine Gummiplatte in der Glasfla

L

m gp p

A

×= + (9)

2

2.d zA p m

dtD = (10)

const.p V × = (11)

.p

dp dVV

= - (12)

.p A z

pV

D = - (13)

22

20

p Ad z zm Vdt

+ = (14)

22 .

p A

T mV

pw = = (15)

2

2 2

4 .p

V

c mVc A pT

p = = (16)


31

Abb.2: QUINCKEsches Resonanzrohr

sche schützt diese vor der herabfallendenStahlkugel. Das exakte Volumen ist auf derFlasche angegeben. Der Magnetstab dientzum Herausnehmen der Kugel durch dieuntere Öffnung.


4.1 Der Generator wird eingeschaltet, dieSignalform auf Sinus und die Frequenz auff1 = 600 Hz eingestellt. Durch vertikales Ver-schieben der Wasseroberfläche werden dieResonanzstellen aufgesucht. Die Lautstärkesollte so gewählt werden, dass der Ton aus

dem Lautsprecher kaum zu hören ist, dieResonanzstellen in dem aus Schlauch undTrichter bestehenden Hörrohr hingegendeutlich wahrnehmbar sind. Jede Resonanzstelle wird mindestens dreimalaufgesucht und die jeweilige Lage der Was-seroberfläche an der Skale abgelesen. Esempfiehlt sich, den Wasserbehälter zunächstrelativ schnell zu verschieben, und die sogefundenen Resonanzstellen danach durchlangsameres Verschieben genau auszumes-sen.Die Messungen sind anschließend für f2 = 800Hz und f3 = 1000 Hz zu wiederholen.Die Raumtemperatur T ist zu ermitteln.

4.3 Für die Messung der Schwingungsdauermüssen Schwingungsröhre und Stahlkugelmöglichst staubfrei sein. Die Röhre ist daherimmer mit einem Stopfen zu verschließen,wenn sie nicht verwendet wird. Die Stahlkugel wird mit dem Magnetstabüber die untere Öffnung aus der Flascheentnommen. Anschließend ist die Öffnungmit dem Stopfen dicht zu verschließen.Bestimmen Sie die Masse der Kugel sowieden Luftdruck und notieren Sie das Volumender Flasche.Lassen Sie die Kugel vorsichtig von oben indie Glasröhre fallen und messen Sie mit derStoppuhr die Zeit für etwa 10 Schwingungen.Die Messung ist fünf mal durchzuführen.Bei niedrigem Luftdruck wird die Kugelmöglicherweise nicht schwingen, sonderngleich in die Flasche fallen (leider hat derHersteller die Schwingungsröhre etwas kurzbemessen). In diesem Fall lassen Sie dieKugel nicht von ganz oben fallen, sondernhalten Sie sie mit dem Magneten von außenfest und starten den Fall 2...3 cm unterhalbder Rohröffnung. Wenn die Bewegung der Kugel durch Staub-partikel behindert wird, müssen Rohr undKugel mit einem fusselfreien Tuch abge-wischt werden. Ziehen Sie ein Tüchlein durchdie Öse des Reinigungstabes und wischen Siedamit das Glasrohr vorsichtig unter leichterDrehbewegung aus.

Abb. 3: Schwingungsröhre zurBestimmung von cp /cV

nach der Methode vonRÜCHARDT

Grundpraktikum II M 13 Dehnung

32

s =FA

. (1)

5 Auswertung

5.1 Aus den Einzelmessungen der Reso-nanzstellen werden die Mittelwerte gebildet.Für jede Frequenz werden die Orte der Reso-nanzstellen l in Abhängigkeit von derenNummer n grafisch dargestellt. Nach Glei-chung (4) liegen die Punkte auf einer Gera-den. Aus dem Anstieg der Geraden, der durchlineare Regression ermittelt wird, ist mit Hilfevon Gleichung (5) die Schallgeschwindigkeitzu berechnen.

5.2 Der Adiabatenexponent κ ist anhand desMittelwertes für die Schallgeschwindigkeit,der absoluten Temperatur T sowie der Wertefür T0, ρ0 und p0 nach (8) zu errechnen.

5.3 Der Adiabatenexponent κ ist nach (16)aus dem Mittelwert der gemessenen Schwin-gungsdauern zu berechnen. Dabei muss zumVolumen der Flasche noch das (kleine)Volumen des Glasrohres bis zur Ruhelage derKugel addiert werden. Näherungsweise kannman hierfür 1/3...1/2 des gesamten Rohrvolu-

mens annehmen. Der Druck p ist nach (9) zuberechnen!

6 Literatur

Walcher, W.: Praktikum der Physik. Vieweg+Teubner 2006

Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer,Berlin u.a., 2010

7 Kontrollfragen

7.1 Unter welchen Voraussetzungen kommtes bei der Interferenz zweier Wellen zu a)Auslöschung, b) Verstärkung, c) Ausbildungeiner stehenden Welle?

7.2 Wovon hängt die Schallgeschwindigkeitc in einem Gas ab?

7.3 Welche Bedeutung hat der Adiabaten-exponient κ und wie wird seine Größe nachder kinetischen Gastheorie erklärt?

1 Aufgabenstellung

Es ist der Elastizitätsmodul E von zweiMetallen und von Polyamid (Perlon) durchDehnungsmessungen zu bestimmen.


Eine wichtige Eigenschaft von Festkörpern istdie Elastizität. Ein Körper ist elastisch, wenner nach einer durch äußere Kräfte hervor-gerufenen Gestaltsänderung seine ursprüng-liche Gestalt wieder annimmt, sobald dieseKräfte wegfallen.Die elastischen Formänderungen könnendurch Dehnung, Stauchung, Biegung oder

Drillung (Torsion) auftreten.Unter (mechanischer) Spannung versteht mandas Verhältnis aus Kraft und der Quer-schnittsfläche, an der die Kraft angreift:

Bei Normalspannungen σ steht die Kraft Fsenkrecht auf der Fläche A (Abb.1 links), beiTangentialspannungen τ verläuft sie parallelzur Fläche (Abb.1 rechts). Normalspannun-gen können als Zug- oder Druckspannungenwirksam werden, Tangentialspannungen alsScher- oder Torsionsspannungen.

Dehnung M 13


33

Abb. 2: Spannungs-Dehnungs-Diagramm(schematisch)

1 Verhalten nach Hookeschem Gesetz2 Metall im Bereich (a) elastischer und (b)

plastischer Verformung3 Blutgefäß. (c) Verhalten nach Hookeschem

Gesetz, (d) Verfestigung

Abb. 1: Dehnung (Zug) und Scherung

s=1

E. (3)

=D l

l0

. (2)

Die relative Längenänderung Δl/l0 bei Wir-kung einer Zugspannung (vergl. Abb.1) nenntman Dehnung:

Das elastische Verhalten bei Zug- und Druck-belastungen wird im Spannungs-Dehnungs-Diagramm (Abb.2) dargestellt. Innerhalb des Proportionalitätsbereiches giltdas HOOKEsche Gesetz:

Die elastische Verformung ist der verformen-den mechanischen Spannung proportional.

Feste Körper haben eine Elastizitätsgrenze.Bei Überschreiten dieser Grenze kommt es jenach Material zu unterschiedlichen Abwei-chungen vom HOOKEschen Gesetz. Bei

Metallen tritt meist eine irreversible Verfor-mung auf (Plastizität). Bei biologischenMaterialien und bei Polymeren ist bei hohenSpannungen aufgrund des makromolekularenAufbaus oft eine Verfestigung zu beobachten.Das Überschreiten der Zerreißgrenze führtzum Materialbruch.Die meisten Polymere und viele Biomateria-lien (z. B. Muskelfasern) zeigen kein reineselastisches sondern sogenanntes viskoelasti-sches Verhalten. Im Materialinneren tretengeschwindigkeitsabhängige Reibungskräfteauf (vergl. Versuch M14: Viskosität). DieDehnung hängt nicht nur von der Spannungsondern auch von der Zeit ab, wobei diemaximale Dehnung bei Wirkung einer kon-stanten Spannung asymptotisch erreicht wird.

Der Elastizitätsmodul E ist eine Material-größe. Im Bereich der Gültigkeit des HOO-KEschen Gesetzes stellt sein Kehrwert denProportionalitätsfaktor zwischen der relativenDehnung Δl/l0 eines Stabes und der anlie-genden mechanischen Spannung F/A dar.Mit (1) und (2) ergibt sich eine allgemeineForm des HOOKEschen Gesetzes zu:

Mit der Längenausdehnung verbunden isteine Verringerung des Querschnitts, die mitHilfe der elastischen MaterialkonstantenPOISSONsche Querkontraktionszahl beschrie-ben werden kann.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Wandhalterung mit Messuhr- Inbusschlüssel für die Messuhr- 2 Metalldrähte und Perlonfaden mit Haken

und Messmarke- Bandmaß- Mikrometerschraube- Massestücke- mit Schaumstoff gefüllter Eimer


34

Der zu vermessende Draht bzw. Faden kannin die obere Aufhängung der Apparatureingehängt werden. Auf ihm ist eine Mess-marke befestigt, diese wird unter den Fühlerder Messuhr geklemmt. Dazu ist der Fühlervorsichtig von Hand anzuheben. Sollte derMessbereich der Messuhr (0 bis 10 mm) nichtausreichen, so kann sie mittels einer Klemm-schraube in der Höhe verstellt werden. Am unteren Ende des Drahtes ist ein Hakenzum Einhängen der Massestücke angebracht.


Der zu vermessende Metalldraht wird einge-hängt und mit einem Massestück von 500 gvorbelastet. Es ist darauf zu achten, dass derMessbereich ausreicht, gegebenenfalls mussdie Messuhr in ihrer Höhe verstellt werden.Diese Stellung der Messuhr entspricht Δl = 0.Die Anfangslänge l0 wird mit dem Bandmaßbestimmt (freie Drahtlänge von der Klemm-schraube der oberer Aufhängung bis zurKlemmschraube der Messmarke). Der Durch-messer des Drahtes d wird an 5 verschiedenenStellen mit der Mikrometerschraube be-stimmt.Nun wird der Draht mit verschiedenen Mas-sestücken (200g bis 2000g in 200g-Schritten)belastet und die zugehörigen Längenänderun-gen Δl gemessen (Δl bezieht sich hierbeiimmer auf die Stellung der Messuhr imvorbelasteten Zustand l0).Der gesamte Messvorgang ist für beideMatalldrähte durchzuführen.

Die Längenänderung des Perlonfadens istwesentlich größer als die der Metalldrähte, siewird nicht mit der Messuhr gemessen sondernan einem Stahllineal abgelesen, welches unterder Messuhr angebracht ist. Der Perlonfadenwird eingehängt und mit 100 g vorbelastet.Sein Durchmesser wird an 5 verschiedenenStellen mit der Mikrometerschraube und dieLänge l0 mit dem Bandmaß bestimmt.

Es kann vorkommen, dass der Perlonfadenreißt! Stellen Sie deshalb den Eimer mitSchaumstoff-Füllung unter die Apparatur,ehe Sie weitere Massestücke anhängen!

Die Position der Messmarke a ist am Stahl-lineal abzulesen. Dieser Wert entspricht Δl=0.Danach wird der Faden schrittweise belastet(400 g bis 2000 g in 400 g-Schritten) und(nach 5 min) die Position a bestimmt. Unmittelbar nach dem Anhängen der Mas-sestücke kann man beobachten, dass dieLänge nicht sofort konstant ist, sondern,immer langsamer werdend, noch etwasanwächst (Viskoelastizität). Zwischen jederÄnderung der Gewichte und dem Ablesenvon a ist deshalb eine Wartezeit von 5 mineinzuhalten.

5 Auswertung

Aus den Mittelwerten der Drahtdurchmessersind die Querschnittsflächen zu berechnen.Im Fall des Perlonfadens sind aus den gemes-senen Werten für a die Längenänderungen Δlzu berechnen.Für jeden Messschritt werden die anliegendeZugspannung σ nach (1) und die Dehnung nach (2) berechnet. Die Kraft in Gleichung(1) ist die Gewichtskraft der Massestücke(g = 9,81 m/s2).Für jedes Material wird die Zugspannung σals Funktion der Dehnung des grafischdargestellt und der Elastizitätsmodul E alsKurvenanstieg aus dem Diagramm ermittelt.Mit Hilfe der ausliegenden Tabelle ist aus denermittelten Werten auf das Material derMetalldrähte zu schließen.

Hinweis zur Fehlerrechnung:Die Standardabweichung des Anstieges derFunktion σ(ε) enthält alle zufälligen Abwei-chungen der einzelnen Messpunkte. Systema-tische Messabweichungen und solche, die alleMesspunkte in gleicher Weise beeinflussen,müssen zusätzlich berücksichtigt werden.

Grundpraktikum II M 14 Viskosität

35

6 Literatur



Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.1. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft

7 Kontrollfragen

7.1 Was bedeutet elastisches Material-verhalten?

7.2 Was besagt das HOOKEsche Gesetz?Welche Arten der elastischer Verformunggibt es?

7.3 Welche Formen nichtlinearen elasti-schen Verhaltens können auftreten?

1 Aufgabenstellung

Es ist die Viskosität η von Rhizinusöl alsFunktion der Temperatur mit einem HÖPP-LER-Viskosimeter (Kugelfallmethode) zubestimmen.

2 Grundlagen

Reale Flüssigkeiten und Gase sind durchWechselwirkungskräfte zwischen den Mole-külen innerhalb des Stoffes (Kohäsion) undzu Molekülen anderer Stoffe an Grenzflächenwie z.B. festen Wandungen (Adhäsion) ge-kennzeichnet. Bei idealen Flüssigkeiten undGasen werden solche Kräfte vernachlässigt.Die Kohäsionskräfte bewirken Reibungs-kräfte zwischen den Molekülen einer Flüssig-keit. Als Maß für diese innere Reibung wirddie Viskosität η („eta”) mit Hilfe des Gedan-kenexperiments in Abb.1 definiert:

In einer Flüssigkeit wirke auf die Fläche A imAbstand d von der festen Wand eine kon-stante Scherkraft F. Dann bewegt sich A miteiner von der Reibung abhängigen Geschwin-digkeit v, in der Flüssigkeit stellt sich einlineares Geschwindigkeitsprofil ein. Mandefiniert

Strömt eine benetzende reale Flüssigkeitdurch ein zylindrisches Rohr, so stellt sich imFalle einer laminaren stationären Strömungein parabolisches Strömungsprofil ein. DurchAdhäsionskräfte haftet die Flüssigkeit amRand und strömt in der Mitte am schnellsten.Zur Modellierung stellt man sich die Strö-mung als ineinander gleitende Zylinder vor,zwischen denen die innere Reibung wirkt.Für ein langes dünnes Rohr wird das proZeiteinheit hindurchfließende Volumen (derVolumenstrom) bei einer gegebenen Druck-differenz Δp zwischen den Enden des Rohresdurch das Gesetz von Hagen und Poisseuillebeschrieben:

(l: Länge, r: Radius des Rohres). Die unge-wöhnlich starke Abhängigkeit vom RadiusAbb. 1: Zur Definition der Viskosität

.F A

v d = (1)

4

8

r pVt l

pD

= (2)

Viskosität M 14


36

( )2

1 2

2 .9

r gts

r r= - (11)

( )1 2 .K t r r= - (12)

Abb. 2: Laminare Strömung durch ein Rohr

F F FG R A= + . (4)

3

2

4.

3AF r gp r= (5)

3

1

4.

3GF m g r gp r= × = (6)

6RF rvp= (7)

3 3

1 2

4 46

3 3r g rv r gp r p p r= + (8)

( )3

1 2

46 .

3rv r gp p r r= - (9)

( )2

1 2

2 .9

r gv

r r= - (10)

ergibt sich durch die inhomogene Geschwin-digkeitsverteilung, siehe Abb.2. In Analogie zum OHMschen Gesetz in derElektrik scheibt man Gleichung (2) auch

wobei R = 8ηl/(πr4) Strömungswiderstandgenannt wird. Für Volumenstrom I undDruckdifferenz Δp gelten die KIRCHHOFF-schen Regeln ebenso wie für den elektrischenStrom I und die Spannung U.

Eine Flüssigkeit, bei der die Viskosität nichtvon der Strömung selbst sondern nur von derTemperatur abhängt, nennt man eineNEWTONsche Flüssigkeit. Beispiele für nicht-newtonsche Flüssigkeiten sind Wandfarbe(leicht streichbar, nicht tropfend) und Blut.

Messung der Viskosität:Sinkt ein kugelförmiger Körper (Radius r,Dichte ρ1) in einer viskosen Flüssigkeit(Dichte ρ2), so wirken die Gewichtskraft FG,die Auftriebskraft FA und die ReibungskraftFR und es gilt im stationären Zustand:

Nach ARCHIMEDES ist der Auftrieb gleichdem Gewicht des von der Kugel verdrängtenFlüssigkeitsvolumens:

Für die Gewichtskraft FG gilt:

Da die Reibungskraft FR entsprechend dem

Gesetz von STOKES

proportional zur Geschwindigkeit v der Kugelist, stellt sich nach kurzer beschleunigterBewegung ein stationärer Zustand mit kon-stanter Fallgeschwindigkeit ein (wenn FR =FG FA erreicht ist). Aus Gl. (4) folgt:

und:

Aus der Fallgeschwindigkeit v einer Kugel ineiner unendlich ausgedehnten ruhendenNEWTONschen Flüssigkeit kann demnach dieViskosität η der Flüssigkeit bestimmt werden.Die Umstellung von Gleichung (9) nach ηliefert:

Ersetzt man die Geschwindigkeit v durch denFallweg s und die Fallzeit t [v = s/t], so erhältman:

Alle unveränderlichen Größen können ineiner Konstanten K vereinigt werden, so dassfolgt:

In einem HÖPPLER-Viskosimeter fällt dieKugel nicht in einer unendlich ausgedehntenFlüssigkeit, sondern in einer Röhre, derenDurchmesser wenig größer als der Kugel-durchmesser ist. Um eine definierte Abroll-bewegung zu erzielen, wird die Röhre um 10°gegen die Normale geneigt. Beides beein-flusst die Kugelkonstante K, so dass beiindustriell gefertigten Viskosimetern experi-mentell bestimmte Kugelkonstanten angege-ben werden.

,pV I

t RD

= = (3)


37

j eE

k TA

~ .- (13)

= ×0 eE

k TA

. (14)

Mikroskopisch lässt sich die Viskosität (wieauch einige andere Eigenschaften) von Flüs-sigkeiten mit Hilfe der Platzwechseltheorieverstehen. Die Teilchen werden durch Bin-dungskräfte an ihrem Platz gehalten undvollführen dort thermische Schwingungen miteiner sich ständig ändernden kinetischenEnergie. Um auf einen benachbarten Platz zugelangen, muss ein Teilchen eine Potential-schwelle überwinden, d. h. seine kinetischeEnergie muss größer als eine gewisse Anre-gungsenergie EA sein. Die Geschwindigkeitder Teilchen genügt der MAXWELL-BOLTZ-MANN-Verteilung, deshalb gilt für die Anzahlder Platzwechselvorgänge j :

Greift eine äußere Kraft an der Flüssigkeit an,so finden Platzwechsel bevorzugt in Richtungdes durch diese Kraft erzeugten Potentialge-fälles statt - die Flüssigkeitsschichten werdengegeneinander verschoben. Je größer j ist,desto schneller ist die Verschiebung. Deshalbgilt näherungsweise für die Viskosität:

Zur Herleitung von (13) siehe GRIMSEHL Bd.IV §132 und §140.Im Gegensatz zu Flüssigkeiten steigt in Gasendie Viskosität mit zunehmender Temperatur

sogar an, es gilt . ~ T

3 Versuchsaufbau

GeräteHÖPPLER-Viskosimeter2 StoppuhrenThermostat

3.1 Das HÖPPLER-Viskosimeter ist einPräzisionsmessinstrument. Es besteht auseinem drehbar gelagerten geneigten zylindri-schen Fallrohr, das mit der zu untersuchendenFlüssigkeit gefüllt ist. Das Fallrohr wird voneinem Wasserbad umgeben, dessen Tempera-

tur durch einen Thermostaten geregelt wird.Am Fallrohr befinden sich ringförmigeMessmarken, der Abstand zwischen derobersten und der untersten beträgt 100 mm.Das Instrument kann in die Messlage (Ther-mometer oben) oder in die Rücklauflage ge-schwenkt werden und rastet dabei am In-strumentenfuß jeweils definiert in 10°-Positi-on ein. Im Praktikum kann mit ausreichenderGenauigkeit in beiden Richtungen gemessenwerden. Das Fallrohr ist am oberen Ende durch einenHohlstopfen verschlossen, der etwas Luftenthält. Dadurch wird ein zu hoher Druckdurch die Ausdehnung der Messflüssigkeitbei Erwärmung vermieden. Bei Änderung derTemperatur und bei Versuchsende soll sichder Stopfen immer oben befinden (Messlage),damit die Luftblase im Stopfen bleibt.Das Viskosimeter wird mit einem Satz von 6Kugeln für verschiedene Viskositätsbereichegeliefert. Im Versuch wird Kugel Nr. 4verwendet. Jedes Viskosimeter hat eineeigene Prüfbescheinigung mit etwas unter-schiedlichen Kugelkonstanten!


Studieren Sie die am Arbeitsplatz ausliegen-den Kurzanleitungen zum Thermostaten undzum Viskosimeter. Schalten Sie zu Beginnauf keinen Fall die Thermostatheizung ein,das Wasserbad benötigt viel Zeit um wiederabzukühlen!Die Viskosität soll im Temperaturbereich vonRaumtemperatur bis 50°C bestimmt werden(etwa ein Messpunkt aller 5 K).Das Viskosimeter ist m. H. der Libelle hori-zontal auszurichten. Vor der ersten Messungmuss die Kugel einmal die Messstreckedurchlaufen, um die Messflüssigkeit zudurchmischen.Die Messung der Fallzeiten zwischen deroberen und der unteren Ringmarke wird vonbeiden Studenten durchgeführt. Damit siesich gegenseitig nicht beeinflussen, startet


38

(stoppt) der erste Student seine Uhr, wenn dieKugel mit ihrer unteren Fläche die obere(untere) Ringebene berührt. Der zweiteStudent beginnt die Messung, wenn die obereFläche der Kugel die obere Ringebene ver-lässt.Die Messungen sind bei jeder Temperaturvier mal durchzuführen, dabei sind alle 8Messwerte (von beiden Studenten) zu proto-kollieren. Falls das Fallen der Kugel durcheine sehr große Luftblase behindert wird, istder zuständige Assistent zu verständigen. Siedürfen das Viskosimeter nicht selbst öffnen!

Man beginnt zweckmäßigerweise bei Raum-temperatur. Der Thermostat ist einzuschalten,die Solltemperatur wird auf einen Wert unterRaumtemperatur gestellt, damit der Thermo-stat nur umwälzt. Falls erforderlich, muss vorder Messung ein Temperaturausgleich zwi-schen Thermostat und Viskosimeter abgewar-tet werden (etwa 10 min). Danach wird die Temperatur schrittweise (inSchritten von etwa 5 K) bis auf 50°C erhöhtund die Fallzeiten werden bestimmt. Nachjedem Erreichen der Solltemperatur amThermostaten muss mindestens noch weitere5 Minuten abgewartet werden ehe mit derMessung begonnen wird, damit auch dieFlüssigkeit im Messzylinder die Temperaturdes umgebenden Wasserbades annimmt.Während dieser Wartezeit soll die Kugeleinmal (ohne Zeitmessung) die Fallstreckedurchlaufen.

5 Auswertung

Berechnen Sie die Mittelwerte und die sta-tistischen Unsicherheiten der gemessenenFallzeiten, sowie aus den mittleren Fallzeiten

jeweils die Viskosität η nach Gleichung (12).Stellen Sie η als Funktion der Temperaturgrafisch dar.

Die Dichte der Kugel ρ1 und der Wert derKonstanten K sind der am Messplatz aus-liegenden Prüfbescheinigung zu entnehmen(Kugel Nr 4).Dichte von Rhizinusöl: ρ2 = 0,96 g cm -3

Stellen Sie ln(η) in Abhängigkeit von 1000/Tgrafisch dar („Arrhenius-Plot”; T in Kelvin).Bestimmen Sie EA entsprechend Gl.(14) ausdem mittels linearer Regression ermitteltenAnstieg der Kurve und diskutieren Sie dasErgebnis. Um die Größenordnung zu beur-teilen, sollte man EA nicht in J sondern besserin eV und in kJ/mol angeben!

6 Literatur


Dieter Meschede: Gerthsen Physik, SpringerBerlin, 2010

Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.IV. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft

7 Kontrollfragen

7.1 Wodurch unterscheiden sich reale undideale Flüssigkeiten?

7.2 Wie ist die Viskosität definiert undwelche Messverfahren gibt es dafür?

7.3 Wie beeinflusst innere Reibung dieStrömung in einem Rohr?

Grundpraktikum II M 15 Torsion

39

Abb.1: Scherbelastung Abb.2: Torsion eines zylindrischen Stabes

a= ×G . (1)

=FA

. (2)

d d dM r F r A

r G r dr

= × = × ×

= × ×

a p2(3)

= × = × s r lj a . (4)

MG

lr r

G r

l

r

= =ò2

23

0

4p j pjd . (5)

DG r

l=p 4

2(6)

1 Aufgabenstellung

1.1 Das Direktionsmoment und der Tor-sionsmodul dreier Metallstäbe verschiedenerDicke ist zu bestimmen.

1.2 Das Direktionsmoment und der Tor-sionsmodul zweier Metalldrähte sind anhandder Schwingungsdauer eines Torsionspendelszu bestimmen.

2 Grundlagen

Greift an einem an seiner Unterseite fest-gehaltenen Würfel eine Kraft F (Schub- bzw.Scherkraft) tangential zur Deckfläche an, sowird er um den Winkel α geschert (Abb.1).Für kleine Winkel gilt das HOOKEsche Gesetzmit dem vom Material abhängigen Torsions-modul (auch Schub- oder Schermodul) G alsProportionalitätsfaktor:

Hierbei ist die Scherspannung τ der Quotientaus angreifender Kraft und Angriffsfläche:

Abb. 2 zeigt die Verdrillung eines obeneingespannten Stabes, dessen Länge l großgegen seinen Radius r sein soll, um denTorsionswinkel . Dabei wird eine ursprüng-lich senkrechte Faser des Zylindermantels umden Scherwinkel α verdreht.

Wir betrachten zunächst einen Hohlzylindermit dem Radius r' und der Dicke dr'. Zuseiner Verdrillung ist ein Drehmoment dMerforderlich, welches sich mit (1) und (2) zu

ergibt.Für den Bogen s' gilt bei kleinem Winkel α':

Durch Einsetzen in Gl. (3) und Integrationberechnet man das zur Verdrillung des Stabesnotwendige Drehmoment:

Dieses ist (im Bereich der Gültigkeit desHOOKEschen Gesetzes) proportional zumTorsionswinkel . Die Proportionalitätskon-stante

wird als Direktionsmoment bezeichnet undhat die Bedeutung einer Federkonstante füreine Torsionsfeder. D ist sowohl vom Materi-

Torsion M 15


40

Abb.3: Torsionspendel

M J Jt

= × = ×ajd

d

2

2 . (7)

= - ×M D j (8)

d

d

2

2 0j

jt

DJ

+ = . (9)

( )j j w = × +0 sin t (10)M m g s= × × × cos .j (13)

TJD

= =2

2

w

. (11)

DJ

T=

4 2

2

, (12)

al als auch von der Geometrie des Stabesabhängig.Zur Bestimmung des Torsionsmoduls nachGl. (5) kann man einfach das Drehmoment Mmessen, welches zur Verdrillung eines Stabesum einen bestimmten Winkel φ führt (stati-sche Methode). Bei einem Draht (dünner langer Stab) istdieses Drehmoment jedoch sehr klein, des-halb ist die dynamische Methode mit Hilfeder Messung der Schwingungsdauer einesTorsionspendels besser geeignet.Für die Drehbewegung des Torsionspendelsnach Abb.3 gilt (analog zum NEWTONschenGrundgesetz F=ma) das Grundgesetz

Hierbei sind J das Trägheitsmoment des

Pendels und die durch Ma j= d d2 2t

erfahrene Winkelbeschleunigung. Entsprechend (5) wirkt der Auslenkung umden Winkel φ das Drehmoment

entgegen. Das negative Vorzeichen berück-sichtigt die zu φ entgegengesetzte Richtungvon M'.Aus M = M' ergibt sich die Differentialglei-chung einer harmonischen Schwingung:

Die Lösung von (9) ist die harmonischeSchwingung

mit der Schwingungsdauer

Somit lässt sich aus der Schwingungsdauerdes Torsionspendels das Direktionsmomentdes Drahtes berechnen:

welches entsprechend Gl. (6) durch denTorsionsmodul G und die Abmessungen desDrahtes bestimmt ist.

3 Versuchsaufbau

Geräte- Torsionsgerät mit Winkeleinteilung und

Hebelstange mit Zeiger- 3 Metallstäbe- Stativmaterial zum Einspannen der Stäbe- Wandhalterung mit Torsionspendel und

Schutzgehäuse- Stoppuhr- Bandmaß- Mikrometerschraube- Analysenwaage- 8 Massestücke (ca. 50 g) mit Haken

3.1 Das Torsionsgerät gestattet die Ver-drillung der eingespannten Stäbe durchangehängte Massestücke und die Messungdes Drehwinkels. Wird am Hebelarm s dieMasse m angehängt und dabei der Hebelarmum den Winkel φ aus der Horizontalenverdreht, so wirkt ein Drehmoment

3.2 Das Torsionspendel (siehe Abb.3)besteht aus einem am oberen Ende einge-spannten Draht mit der Länge l und demDurchmesser d = 2r und einer am unterenDrahtende befestigten Achse mit zwei Mas-sestücken (Gesamtmasse m, Abstand vonAchsmitte s). Diese Massestücke lassen sichauf der Achse verschieben, so dass unter-schiedliche Trägheitsmomente J eingestelltwerden können.


41

TJ

D

m

Ds2

2

0

2

24 4

= +p p

. (15)

J J m s= + ×0

2 , (14)

Das Trägheitsmoment ergibt sich zu

wobei J0 das Trägheitsmoment des Torsions-pendels ohne Massestücke ist und s derAbstand der Massestücke von der Drehachse.Zu jedem Abstand si erhält man also einTrägheitsmoment Ji und eine Schwingungs-dauer Ti.


4.1 Die Längen l der Stäbe werden mit demBandmaß und deren Durchmesser d mit derMikrometerschraube bestimmt.Die Stäbe werden nacheinander auf einerSeite eingespannt und auf der anderen Seitemit dem Torsionsgerät verbunden. Im unbe-lasteten Zustand soll der Winkelzeiger aufNull stehen (horizontaler Hebelarm).Jeder Stab wird mit fünf verschiedenenDrehmomenten belastet, wobei der Torsions-winkel φ mindestens 10° höchstens 60°betragen soll. Die verwendete Hebelarmlänges, die Masse m und der Drehwinkel φ sind zuprotokollieren. Die genaue Masse wirdjeweils mit der Waage bestimmt.

4.2 Für jeden Torsionsdraht wird die Längel mit dem Bandmaß und der Durchmesser dan 5 verschiedenen Stellen des Drahtes mitder Mikrometerschraube gemessen.Die Gesamtmasse m der Massestücke wirdmit der Analysenwaage bestimmt.Auf der Achse sind durch Kerben vier Ab-stände s1...s4 vom Mittelpunkt festgelegt(20 mm, 30 mm, 40 mm, 50 mm). Für dieseAbstände werden die zugehörigen Schwin-gungsdauern T1...T4 ermittelt. Dazu wird mitder Stoppuhr die Zeit für 20 Schwingungengemessen und daraus T bestimmt.

5 Auswertung

5.1 Für jede Einzelmessung wird das Direk-tionsmoment D = M/φ mit Hilfe von Gl.(13) berechnet und für jeden Stab wird ausden Ergebnissen der Mittelwert gebildet.

Die Direktionsmomente D der Stäbe sind inAbhängigkeit vom Radius r graphisch dar-zustellen.Der Torsionsmodul G der Metallstäbe istnach Gleichung (6) für jeden der Stäbe zuberechnen und zu vergleichen. Aus einerTabelle ist das vermutliche Material der Stäbezu ermitteln.

5.2 Zur Bestimmung der Direktionsmomen-te wird das Quadrat der Schwingungsdauer T2

in Abhängigkeit vom Abstandsquadrat derMassestücke s2 für beide Drähte in einemgemeinsamen Diagramm dargestellt. Aus (12) und (14) ergibt sich:

Durch linearer Regression sind jeweils dasDirektionsmoment D und das Trägheits-moment J0 zu bestimmen.Aus D wird nach Gleichung (6) der Torsions-modul G berechnet.Aus den Torsionsmoduln wird an Hand vonTabellenwerten das vermutete Material derDrähte bestimmt.

6 Literatur


Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin u.a.. 2006


7 Kontrollfragen

7.1 Welche Arten der elastischen Verfor-mung gibt es, welche Materialkonstantenspielen dabei eine Rolle?

7.2 Warum ist bei dem Versuch auf kleineAuslenkungen zu achten?

7.3 Was kennzeichnet harmonische Schwin-gungen?

Grundpraktikum II W 5 Kondensations- und Schmelzwärme von Wasser

42

( )2 1 ,dp

Q T V VdT

= - (5)

.Q U p VD = D + D (1)

( ) .V G Fl G FlQ U U p V V= - + - (2)

( )1 .VV G Fl G Fl

Qr U U p V V

m mé ù= = - + -ë û (3)

1 Aufgabenstellung

Die spezifische Kondensationswärme vonWasserdampf und die spezifische Schmelz-wärme von Eis sind zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die meisten Stoffe können verschiedeneAggregatzustände einnehmen (fest, flüssig,gasförmig). Da neben den Änderungen dieserAggregatzustände auch noch innerhalb desfesten Zustandes Änderungen der Modifikati-on möglich sind, spricht man allgemein vonPhasenumwandlungen.

Zur Beschreibung der Phasenumwandlunggasförmig-flüssig (Kondensation) mit Hilfeder VAN-DER-WAALSschen Zustandsglei-chung sowie zum Begriff Sättigungsdampf-druck siehe Kapitel Grundlagen zum VersuchW21 (Reales Gas).

Die Änderung eines Aggregatzustandes istsowohl mit einer Volumenänderung verbun-den als auch mit einer Änderung der innerenEnergie U des Stoffes. Diese enthält nebender kinetischen Energie der Teilchen aucheinen Anteil, der die Wechselwirkungen derTeilchen untereinander berücksichtigt. Dabeim Verdampfen eine Arbeit gegen dieseKräfte verrichtet wird (d. h. die innere Ener-gie in der Gasphase UG ist größer als in derflüssigen Phase UFl), muss beim Verdampfeneines Stoffes Energie - die Verdampfungs-wärme QV - zugeführt werden. Die gleicheEnergie wird als Kondensationswärme frei,wenn der Dampf wieder verflüssigt wird.Die selbe Betrachtung gilt für das Schmelzenfester (kristalliner) Stoffe. Die zugeführteEnergie - die Schmelzwärme QS - dient hierzur Überwindung der Bindungskräfte imKristallgitter. Die regelmäßige Ordnung inder festen Phase geht in den weniger ge-ordneten Zustand der flüssigen Phase über.

In amorphen festen Stoffen (Glas, Wachs,viele Kunststoffe) existiert keine regelmäßigeatomare Ordnung, daher gibt es auch keinegenau definierte Schmelztemperatur. DieseStoffe erweichen mit steigender Temperaturallmählich.

Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamikist

Mit den Indizes G für die Gasphase und Fl fürdie flüssige Phase ergibt sich

Dividiert man Gleichung (2) durch die Massem des Stoffes, so folgt

Die Größe rV heißt die spezifische Verdamp-fungswärme (oder Kondensationswärme)eines Stoffes und hat die Einheit J/kg.Bei der Phasenumwandlung fest-flüssig istdie Volumenänderung in der Regel ver-nachlässigbar klein. Daher gilt für die spezi-fische Schmelzwärme rS :

Siede- und Schmelztemperatur sind abhängigvom Druck. Die CLAUSIUS-CLAPEYRONscheGleichung

die meist nur für die Verdampfung formuliertwird, gilt auch für andere Phasenumwand-lungen. Sie verknüpft die Umwandlungs-wärme Q mit dem Anstieg der Druckkurve imPhasendiagramm (Dampfdruck- bzw.Schmelzdruckkurve) und der Volumen-änderung bei Umwandlung von Phase 1 inPhase 2. Eine Flüssigkeit siedet, wenn ihr Dampfdruck

1 .SS Fl fest

Qr U U

m mé ù= = -ë û (4)

Kondensations- und Schmelzwärme von Wasser W 5


43

Q Q Q QV A W K+ = + (6)

( ) ( )2 1 2 .W W KV W S

D

m c Cr T T c T T

m

+= - - - (8)

( )

( ) ( )2

2 1 2 1

V D D W S

W W K

r m m c T T

m c T T C T T

+ - =

- + -(7)

(der Sättigungsdampfdruck pS) gleich demäußeren Luftdruck p0 ist. Die Siedetemperaturergibt sich aus der Dampfdruckkurve an derStelle pS = p0 und steigt deshalb mit zuneh-mendem Luftdruck deutlich an.Beim Schmelzen ist die Volumenänderungsehr klein und kann sowohl positiv (bei denmeisten Stoffen) als auch negativ (z.B. beiWassereis) sein. Aus (5) ergibt sich damit,dass die Druckabhängigkeit der Schmelz-temperatur dT/dp sehr klein ist und außerdembeide Vorzeichen annehmen kann, da dieSchmelzwärme immer positiv ist. Eis schmilzt z.B. bei 100 bar und -0,76 °C.Bei den üblichen Luftdruckschwankungenmuss daher die Temperaturabhängigkeit desSchmelzpunktes nicht berücksichtigt werden.

3 Versuchsaufbau

Geräte- Kalorimeter (vakuumisoliert)- Laborkocher mit Siedegefäß- Magnetrührer, Rührstäbchen- Stativ mit Schlauch, Glasrohr zum Ein-

leiten des Dampfes und Kondenswasser-behälter (Erlmeyerkolben)

- Becherglas- Digitalthermometer- Stoppuhr- Waage (Genauigkeit 0,1 g)- Papierhandtücher zum Trocknen des Eises

3.1 Für die experimentelle Bestimmung derspezifischen Kondensationswärme rV desWasserdampfes wird ein Kalorimeter mitWasser der Masse mW und der Temperatur T1

gefüllt. Wird eine Menge Wasserdampf derMasse mD mit der Siedetemperatur TS in dasWasser eingeleitet, so kondensiert der Dampfdort und gibt dabei die KondensationswärmeQv=mDrV ab. Dann kühlt sich die Masse deskondensierten Wasserdampfes auf die Misch-temperatur T2 ab, wobei die Wärme QA =mD cW (TST2) abgegeben wird. Bei diesemVorgang werden das Wasser mit der MassemW und das Kalorimeter auf die Mischtempe-ratur erwärmt, sie nehmen die Wärmemengen

QW = mwcw(T2-T1) bzw. QK = CK(T2T1) auf.Aus der Energiebilanz

ergibt sich für die spezifische Kondensations-wärme rV:

3.2 Für die Bestimmung der spezifischenSchmelzwärme rS = QS/m wird Eis der MassemE mit der Temperatur TE = 0°C in dasKalorimeter gegeben. Das Wasser der MassemW im Kaloriemeter kühlt sich dabei von derTemperatur T1 auf die Mischtemperatur T2 ab.Bezeichnet man die Schmelzwärme mit QS,die vom geschmolzenen Eis aufgenommeneWärme mit QA und die von Wasser undKaloriemeter abgegebenen Wärmen mit QW

und QK, so ergibt sich analog zu 3.1 aus derEnergiebilanz


4.1 Das Siedegefäß (Wasserkessel) sollteetwa zu ¾ mit Wasser gefüllt sein.Bringen Sie das Wasser bei Schaltstufe 9 zumSieden. Der entstehende Dampf wird zu-nächst in das Becherglas geleitet, bis dieDampfleitung etwa die Temperatur desDampfes angenommen hat. Die Heizleistungwird dann auf Schaltstufe 3 reduziert und biszum Versuchsende nicht mehr geändert. Nacheiner Wartezeit von mindestens 3 min kannmit dem Einleiten von Dampf in das Kalori-meter begonnen werden. Das Dampfrohr soll möglichst tief in dasWasser im Kalorimeter eintauchen. Die

S A W KQ Q Q Q+ = + (9)

( ) ( )1 2 2 .W W KS W E

E

m c Cr T T c T T

m

+= - - - (10)


44

Dampfleitung muss so verlaufen, dass in derLeitung kondensierender Dampf nicht in dasKalorimeter sondern in den Kondenswasser-behälter läuft. Die Dampfleitung darf imheißen Zustand nicht angefasst werden. Siewird mit dem gesamten Stativ bewegt. DieserVorgang sollte vorher bei kalter Dampf-leitung geübt werden.

Mit Hilfe der Waage sind zu bestimmen: DieMasse m0 des kompletten Kalorimeters (mitDeckel und Rührstäbchen) ohne Wasser unddie Masse m1 des kompletten Kalorimetersmit Wasser. Das Kalorimeter ist mit etwa 500ml möglichst kaltem Wasser zu füllen.

Der Rührer muss während des ganzen Experi-mentes gleichmäßig laufen. Zur Bestimmungvon rV wird insgesamt 18 min lang der Tem-peraturverlauf im Kalorimeter registriert,indem alle 30 s die Temperatur abgelesenwird:

- 5 min bevor der Dampf eingeleitet wird,

- 8 min während Dampf eingeleitet wird,

- 5 min nach Beendigung der Dampfein-leitung.

Die Masse mD des kondensierten Wasser-dampfes ist abschließend durch eine erneuteWägung des Kalorimeters zu ermitteln (Mas-se m2 des kompletten Kalorimeters). Für diegenaue Bestimmung der Siedetemperatur TS

wird der Luftdruck am Barometer abgelesen.

4.2 Das Eis für die Bestimmung derSchmelzwärme muss in großen Stücken(Eiswürfel) vorliegen und eine Temperaturvon 0 °C haben. Es wird in einem Isolierge-fäß zur Verfügung gestellt und muss vor derVerwendung mindestens 15 min in Eiswasserliegen, damit es auf 0 °C erwärmt wird.Das erwärmte Wasser aus dem 1. Versuchs-teil bleibt im Kalorimeter. Die Wassermasseist durch die letzte Wägung (m2) und dieWägung des leeren Kalorimeters (m0) bereitsbekannt. Alternativ (wenn der Versuch nichtunmittelbar nach 4.1 durchgeführt wird) sindetwa 500 ml 40...45 °C warmes Wassereinzufüllen und zu wiegen.) Der Rührer mussgleichmäßig laufen.

Die Temperatur ist wie im 1. Versuchsteil alle30 s abzulesen. Nach 5 min geben Sie gutabgetrocknete Eisstücke in das Kalorimeter,bis die Temperatur etwa 20 °C erreicht.Danach registrieren Sie die Temperatur nochweitere 5 min.Abschließend wird die Masse m3 = m2 + mE

durch eine nochmalige Wägung des kom-pletten Kalorimeters bestimmt.

Alternative VersuchsdurchführungDie Temperaturmessung in beiden Versuchs-teilen kann auch automatisch alle 2 s mitHilfe eines Mobile CASSY 2 erfolgen. DieMesswerte werden im internen Speicheraufgezeichnet und später an einem Computermit dem Programm CassyLab2 ausgelesen. Esist auch möglich, das Mobile CASSY 2 überWLAN mit einem weiter entfernten stehen-dem PC zu verbinden und die Messung vondort mit CassyLab2 durchzuführen.Vorgehensweise: Den Sensor des Digitalther-mometers (Ni-CrNi-Thermoelement) in diepassende Buchse des Mobile-Cassys stecken.Cassy einschalten, nur die Messgröße aktivieren, mittels das Messintervalleinstellen und die Messung starten. ZumSchluss mit Messung stoppen und Mess-werte speichern. (Beim Ausschalten gehennicht gespeicherte Messwerte verloren!)Cassy per USB mit PC verbinden und die imOrdner Examples gespeicherten Messwertda-teien mit CassyLab2 öffnen und auswerten.

5 Auswertung

5.1 Der Temperaturverlauf T(t) im Kalori-meter wird in Abhängigkeit von der Zeitgrafisch dargestellt. Da die Mischung eineendliche Zeit beansprucht und in dieser Zeitauch ein Wärmeaustausch mit der Umgebungstattfindet, kann die Mischtemperatur T2 nichtunmittelbar gemessen werden. Der Wert fürT2, der sich im Falle eines sehr schnellen(d. h. adiabatischen) Temperaturausgleichseinstellen würde, sowie der Wert für dieTemperatur T1 unmittelbar vorher könnenentsprechend Abb.1 aus dem Temperatur-

Grundpraktikum II W 6 Spezifische Wärmekapazität von Metallen

45

Abb.1: Temperatur-Zeit-Diagramm

cCm

Q

m T= =

D. (1)

Zeit-Diagramm ermittelt werden. Dazu ist diesenkrechte Gerade BD so einzuzeichnen, dassdie Flächen ABC und CDE etwa gleich großsind. Aus diesem Diagramm werden dieTemperaturen T1 und T2 in den Punkten B undD abgelesen. Die Siedetemperatur TS ist für den gemesse-nen Luftdruck einer Tabelle zu entnehmen.Die Massen mW und mD sind aus den Massenm0…m2 zu berechnen. Die spezifische Kondensationswärme desWasserdampfes und ihre Messunsicherheitsind nach Gl.(8) zu berechnen.

Wärmekapazität CK des Kalorimetergefäßesmit Rührer: CK = (70 ± 8) J K1

spezifische Wärmekapazität des Wassers: cW = 4187 J kg-1 K-1

5.2 Auch für die Bestimmung der spezi-fischen Schmelzwärme sind die Temperatu-ren T1 und T2 aus einem Temperatur-Zeit-Diagramm entsprechend Abb.1 (jedoch mitfallendem Temperaturverlauf) zu ermitteln.Die Berechnung erfolgt nach Gl. (10).

Vergleichen Sie beide Ergebnisse mit denLiteraturwerten!

6 Literatur



7 Kontrollfragen

7.1 Beschreiben isotherme, isobare, adiaba-tische Zustandsänderungen!

7.2 Erläutern Sie den ersten und zweitenHauptsatz der Thermodynamik!

7.3 Wann ist die Zustandsgleichung desidealen Gases und wann die VAN-DER-WAALS-Gleichung anwendbar?

7.4 Was besagt die Clausius-Clapeyron-Gleichung?

1 Aufgabenstellung

Die spezifische Wärmekapazität von dreiverschiedenen Metallen ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die Wärmekapazität C ist definiert als dasVerhältnis zwischen der dem Körper zu-

geführten Wärme Q und der dadurch hervor-gerufenen Temperaturerhöhung ΔT. Diespezifische Wärmekapazität c ist die Wärme-kapazität pro Masseneinheit:

Für einfache Stoffe wie Gase und Metalleergibt sich die spezifische Wärme mit guter

Spezifische Wärmekapazität von Metallen W 6


46

( )

( ) ( )2

2 1 2 1

M W K

M M H

W W K

Q Q Q

m c T T

m c T T C T T

= +

- =

- + -

(4)

( ) ( )( )

2 1

2

.W W K

M

M H

m c C T Tc

m T T

+ -=

-(5)

( )Q C T T m c T= × - = × ×2 1 D (3)

Genauigkeit aus der klassischen kinetischenWärmetheorie. Danach beträgt die mittlerekinetische Energie der Teilchen pro Freiheits-grad der Bewegung 1/2 kT. Nimmt man 6Freiheitsgrade für die Metallatome an, soergibt sich die Regel von DULONG und PETIT

für die molare Wärmekapazität (Wärme-kapazität pro Stoffmenge) cm = C/n:

(NA: Avogadrokonstante, k: Boltzmannkon-stante R: Gaskonstante)

Um eine Substanz der Temperatur T1 auf eineTemperatur T2 = T1 + ΔT zu erwärmen, mussihr die Wärmemenge

zugeführt werden.Die Messung der spezifischen Wärmekapazi-tät geschieht in einem Mischungskalorimeter.Das Kalorimetergefäß hat die Wärmekapazi-tät CK. Im Kalorimetergefäß befindet sichWasser der Masse mW und der spezifischenWärmekapazität cW. Gefäß und Wasser habenzunächst die Temperatur T1. Dann wird einheißes Metallstück der Masse mM mit derTemperatur TH in das Kalorimeter eingeführt.Durch Wärmeaustausch stellt sich nacheiniger Zeit die Mischtemperatur T2 ein.Bei diesem Vorgang gibt der Metallkörper dieWärmemenge QM ab, das Wasser nimmt dieWärmemenge QW und das Kalorimeter dieWärmemenge QK auf. Nach dem Energie-erhaltungssatz gilt:

Für die spezifische Wärmekapazität cM desMetalls ergibt sich daraus:

3 Versuchsaufbau

Geräte- Kalorimeter (vakuumisoliert)- Magnetrührer, Rührstäbchen- Digitalthermometer (Auflösung 0,01 K)- 3 Probekörper- Gefäß zur Erwärmung der Probekörper- Laborkocher- Stoppuhr- Laborwaage (Genauigkeit 0,1 g)

3.1 Das Kalorimeter besteht aus einemdoppelwandigen Edelstahlgefäß und einemdurchsichtigen Deckel mit einem passendenLoch zur Aufnahme des Thermometers. Derherausnehmbare innere Teil des Deckelsbesitzt einen Schlitz zum Einhängen desProbekörpers.


Zunächst werden die Massen der ProbekörpermM bestimmt. Die Masse des Kalorimeters (mit Rührstäb-chen) wird in leerem Zustand und nach demEinfüllen von etwa 500 ml Wasser bestimmt;die Wassermasse mW ergibt sich als Differenzaus diesen beiden Wägungen. Die Wasser-temperatur sollte etwa bei Raumtemperaturoder wenig darunter liegen.Üben Sie einmal, einen Probekörper mög-lichst schnell und ohne anzustoßen in dasKalorimeter einzuhängen.

Die Probekörper sind in siedendem Wasser zuerwärmen. Es ist darauf zu achten, dass dieKörper vollständig eintauchen und genügendlange (etwa 10 min) im Wasserbad verweilen,damit die Zuordnung der Siedetemperatur beigegebenem Luftdruck zur Körpertemperaturdes erwärmten Probekörpers gerechtfertigt ist.Die Probekörper dürfen weder den Rand nochden Boden des Gefäßes berühren.Während des gesamten Experiments muss derRührer gleichmäßig laufen.

Bei der Bestimmung der Temperaturen T1 undT2 für alle drei Probekörper soll der Wärme-

-1 -16 3 24,9 J mol K2m Ac N k R= × = = (2)


47

austausch zwischen Kalorimeter und Umge-bung wie in Versuch W5, Abb.1, berück-sichtigt werden. Deshalb ist der Temperatur-verlauf im Kalorimeter über einen längerenZeitraum zu registrieren, indem in Abständenvon 30 Sekunden die Anzeige des Thermo-meters protokolliert wird. Am besten gehtman nach folgendem Plan vor:

t / min

0 Beginn der Temperaturmessung(Vorperiode)

5 Körper 1 in Kalorimeter tauchen

10 Körper 1 herausnehmen


16 Körper 2 herausnehmen


23 Ende der Messung (Nachperiode)

Nach Beendigung der Messreihe wird dieMasse des wassergefüllten Kaloriemeters (imgleichen Zustand wie bei der Wägung zuBeginn) noch einmal bestimmt, um denEinfluss des mit den Probekörpern ver-schleppten Wassers abzuschätzen.Für die Bestimmung der Siedetemperatur TB

wird der Luftdruck am Barometer im Raumabgelesen und aus der Umrechnungstabelledie Siedetemperatur ermittelt.

5 Auswertung

Zur Bestimmung der Temperaturdifferenzen(T2 T1) wird der tatsächliche Temperatur-anstieg auf eine sehr kleine Anstiegszeitkorrigiert. Hierzu geht man analog zu Ver-such W5 vor (vergl. W5, Abb.1).Der Temperaturverlauf im Kalorimeter wirdin Abhängigkeit von der Zeit grafisch dar-gestellt. Aus diesem Diagramm werden dieTemperaturen T1 und T2 ermittelt wie inAbb.1 (Versuch W5) gezeigt. Die Auswer-tung kann für alle drei Probekörper in einem

gemeinsamen Diagramm erfolgen. Die spezifische Wärmekapazität der Metalleist nach Gleichung (4) (5) zu berechnen.Dabei sind folgende Werte zu verwenden:

spezifische Wärmekapazität des Wassers: cW = 4187 J kg-1 K-1

Wärmekapazität des Gefäßes mit Rührer: CK = (70 ± 8) J K-1

Die Siedetemperatur des Wassers ist anhanddes gemessenen Luftdrucks einer Tabelle zuentnehmen.Mit Hilfe der Messergebnisse (und unterBerücksichtigung von Aussehen und Ge-wicht) sind die unbekannten Metalle zubestimmen.Berechnen Sie aus der spezifischen Wärme-kapazität die molare Wärmekapazität der dreiMetalle und diskutieren Sie das Ergebnis.

6 Literatur



7 Kontrollfragen

7.1 Erläutern Sie die Begriffe Wärmekapazi-tät, Temperatur, abgeschlossenes thermo-dynamisches System, thermodynamischesGleichgewicht!

7.2 Nennen Sie Temperaturmessverfahren!

7.3 Erläutern Sie den ersten und zweitenHauptsatz der Thermodynamik!

7.4 Welche Modellvorstellungen gibt es zurmolaren Wärmekapazität?

Grundpraktikum II W 10 Bestimmung der Dampfdichte nach DUMAS

48

.L L

MD

M

r

r= = (2)

g28,97 .

molM D= × (3)

LA LF V g m g

rr

r= × × = × × (4)

38gcmL L

a am g m g m g m gr r

r -× - × × = × - × × (5)

3

1.

1 8 gcmL

a

L

m mr r

r -

-= ×

-(6)

1 1

2 2

.M

M

r

r= (1)

1 Aufgabenstellung

Die relative Dampfdichte und die Molmassevon Ethanol sind zu bestimmen.


Nach der Formulierung des AVOGADROschenGesetzes 1811 (alle Gase besitzen bei glei-chem p und T die gleiche Teilchenzahl proVolumen) leistete JEAN B. A. DUMAS mit sei-nem Verfahren zur Bestimmung der Dampf-dichte 1826 einen wichtigen Beitrag auf demWeg zum Periodensystem der Elemente(MENDELEJEW 1869). Das Verfahren besitztheute keine praktische Bedeutung mehr,eignet sich aber gut zu Übungszwecken.

Die Dichten zweier idealer Gase verhaltensich wie ihre Molmassen:

Die relative Dampfdichte D eines Gases istdas Verhältnis der Dichte ρ des Gases zurLuftdichte ρL bei gleicher Temperatur undgleichem Druck:

Die Molmasse von Luft beträgt 28,97 g/mol,somit gilt:

Die Molmasse M eines Stoffes kann mit Hilfeder Bestimmung der relativen Dampfdichte Dermittelt werden.Zur Bestimmung der Massen wird eineelektronische Analysenwaage verwendet. Beisehr genauen Wägungen (wenn eine relativeGenauigkeit besser als 10-3 erwünscht ist)muss die Auftriebskraft berücksichtigt wer-

den, die der zu wägende Körper der Masse mund Dichte ρ in Luft mit der Dichte ρL erfährt.Die Auftriebskraft FA ist gleich der Gewichts-kraft der vom Körper verdrängten Luft:

V = m/ρ: verdrängtes Volumen; g = 9,81 m/s².

Ebenso erfährt das Prüfgewicht bei der Justie-rung der Waage einen Auftrieb. Die Dichtevon Prüfgewichten für Präzisionswagen iststandardisiert und beträgt 8000 kg/m3. Bezeichnet man die Anzeige der Waage mitma , so ist wegen des Kräftegleichgewichts

bzw.

Bei dem Verfahren nach DUMAS zur Be-stimmung der Dampfdichte befindet sich ineinem Glaskolben mit angesetztem Rohrzunächst Luft der Umgebungstemperatur T1.Nun wird eine ausreichende Menge der zuuntersuchenden Substanz (Ethanol) in denKolben gegeben und im Wasserbad erhitzt,bis sie restlos verdampft ist. Dabei verdrängtder Ethanoldampf die im Kolben verbliebeneLuft, so dass am Ende der Kolben vollständigmit Ethanoldampf der Temperatur T2 desWasserbades gefüllt ist. In diesem Zustandwird der Kolben durch Abschmelzen ver-schlossen, abgekühlt und gewogen. Danachwird der Kolben unter luftfreiem Wassergeöffnet. Dabei füllt das einströmende Wasserden Kolben fast vollständig; anhand seinerMasse kann das Volumen des Kolbens be-stimmt werden.Der Glaskolben habe die Masse mk, dieDichte ρk und das innere Volumen V. Mit ihmsind im Verlauf des Experimentes drei Wä-

Bestimmung der Dampfdichte nach DUMAS W 10


49

22

1

.E E

T

Tr r= × (13)

( ) ( )

( )

2 1 3 2

2

3 1 1

w

E L

L

m m m mT

Dm m T

r

r r

r

- + -

= = ×-

(14)1 3

1

1 8 gcmL K

k

L

m mr r

r -

-= ×

-(7)

0 1 0

0 1

L

p T

p T

rr

× ×=

×(15)

2 3

22 3

1

1 8gcm

1

1 8gcm

L Kk

L

L EE

L

m m

V

r r

r

r rr

r

-

-

-= ×

-

-+ × ×

-

(8)

3 3

3

1

1 8gcm

1

1 8gcm

L Kk

L

L WW

L

m m

V

r r

r

r rr

r

-

-

-= ×

-

-+ × ×

-

(9)

( ) ( )2 1 3 2

2

3 1

.

w

E L

L

m m m m

m m

r

r r

r

- × + -

=-

(10)

1 1 2 2

1 2

p V p V

T T

× ×= (11)

1 2

1 1 2 2

.p p

T Tr r=

× ×(12)

gungen durchzuführen; m1, m2 und m3 be-zeichnen die von der Waage angezeigtenWerte:

1. Wägung: offener Kolben mit Luft bei derTemperatur T1:

2. Wägung: verschlossener Kolben mitEthanol, ρE2 = Dichte von Ethanoldampf beider Temperatur T2:

3. Wägung: Kolben mit Wasser gefüllt, ρw =Dichte des Wassers bei T3 (T3T1):

Aus den Gleichungen (7), (8) und (9) folgt:

Da die relative Dampfdichte D das Verhält-nis der Dichten bei gleicher Temperatur undgleichem Druck ist, muss die Dichte vonEthanol entsprechend umgerechnet werden.Es gilt (für ideale Gase):

bzw.

Mit T1 der Raumtemperatur, T2 der Tempera-tur des gasförmigen Ethanols und p1 = p2

ergibt sich für die Ethanoldichte ρE bei T1:

Aus Gleichung (10) wird damit:

Die Dichte der Luft für die RaumtemperaturT1 und den Luftdruck p1 berechnet man nach

mit ρ0 = 0,001293 g /cm³: Dichte der Luft beiT0 = 273,15 K (= 0°C) und p0 = 101325 Pa.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Kolben mit Ansatzrohr- Stativ mit Halterung für den Kolben- Bunsenbrenner- Kocher mit Wassertopf- Wasserbehälter mit Thermometer- Pinzette- Fläschchen mit Ethanol (Reinheit 99,5 %)- 2 Waagen (0,1 mg und 0,1 g)

3.1 Für die 1. und 2. Wägung wird eineelektronische Analysenwaage mit einerGenauigkeit von 0,1 mg, für die 3. Wägung(Kolben mit Wasser) eine Waage mit einerGenauigkeit von 100 mg verwendet.Für das Füllen des Kolbens mit Wasser (3.Wägung) steht ein großer, mit Wasser gefüll-ter Behälter zur Verfügung. Es darf keinfrisches Leitungswasser verwendet werden, dadieses noch gelöste Gase enthält.


Arbeitsschutzhinweise:Arbeiten Sie nicht unmittelbar neben der


50

offenen Flamme mit Ethanol!Nachdem der Kolben in 4.2 aus dem Was-serbad entnommen wurde, darf er nichtwieder in die Flamme gehalten werden!Bei Undichtigkeiten könnte Luft angesaugtwerden; Gemische von 3,5…15 Vol%Ethanoldampf mit Luft sind explosiv!Während der Arbeit mit dem Brenner istdie Schutzbrille zu tragen!

Das Ansatzrohr des Kolbens wird am offenenEnde mit dem Bunsenbrenner erhitzt und dasRohrende mit der Pinzette zu einer Kapillareausgezogen. Die Kapillare wird an geeigneterStelle mit der Pinzette abgebrochen, optimalist ein Durchmesser von etwa 0,5 mm an derÖffnung. Die Masse des offenen Kolbens(mit Luft) ist zu bestimmen: 1. Wägung (m1).

Zum Einfüllen von etwa 2 ml Ethanol in denKolben wird dieser leicht erwärmt, die Kapil-lare in das Ethanol eingetaucht und dasEthanol durch Abkühlung des Kolbensangesaugt. Der Kolben ist nun mit der Halte-rung in das Wasserbad zu bringen, wobei derkugelförmige Teil des Kolbens völlig unter-tauchen muss. Das Wasser wird mit demKocher bis zum Sieden erwärmt; es muss biszum Abschmelzen der Kapillare weitersieden. Wenn das Ethanol vollständig ver-dampft ist (aus der Kapillare strömt nichtsmehr aus), wird die Öffnung der Kapillaremit dem Bunsenbrenner zugeschmolzen.Nach Trocknung und Abkühlung wird dieMasse des geschlossenen Kolbens mit Etha-nol bestimmt: 2. Wägung (m2).

Danach bringt man den Kolben in den gro-ßen, mit Wasser gefüllten Behälter und brichtdie Spitze unter Wasser ab. Der Kolben fülltsich mit Wasser, wobei das Ansatzrohrimmer unter Wasser bleiben muss!Die Masse des abgetrockneten Kolbens mit

Wasser ist zu bestimmen: 3. Wägung (m3).Außerdem sind die Werte für die Raum-temperatur T1 , die Wassertemperatur T3 undden Luftdruck p1 zu ermitteln.

5 Auswertung

Die Siedetemperatur des Wassers T2 beimherrschenden Luftdruck p1 und die Dichte desWassers ρw bei der Temperatur T3 sind ausTabellen zu entnehmen. Die relative Dampfdichte D wird mit Hilfeder Gleichungen (14) und (15) berechnet unddie Molmasse M wird nach Gleichung (3)ermittelt.In der Fehlerbetrachtung sollen nicht nur dieUnsicherheiten der Messungen sondern auchalle systematischen Fehlerquellen (Es gibtmehrere!) quantitativ abgeschätzt werden.

6 Literatur

Ilberg: Physikalisches Praktikum. B.G. Teub-ner 1974

7 Kontrollfragen

7.1 Bei der 2. Wägung (nach dem Ab-schmelzen) ist zu beobachten, dass sichFlüssigkeit im Kolben befindet. Warum?

7.2 Warum wird zum Füllen des Kolbensvor der 3. Wägung kein (frisches) Leitungs-wasser benutzt, sondern abgestandenesWasser aus einem Behälter?

7.3 Nach dem Füllen bleibt eine kleineGasblase im Kolben. Warum? Schätzen Sieden Fehler ab, der dadurch entsteht!

Grundpraktikum II W 12 Luftfeuchtigkeit

51

U TT = ×a D . (1)

Abb.1: Kupfer-Konstantan-Thermoelement f

p

pr

d

S

= . (3)

fm

Va

d= . (2)

1 Aufgabenstellung

1.1 Ein Kupfer-Konstantan-Thermoelementist zu kalibrieren.

1.2 Die relative Luftfeuchtigkeit ist mitHilfe eines Taupunkt-Hygrometers zu be-stimmen.

1.3 Das RAOULTsche Gesetz (Dampfdruck-erniedrigung in Lösungen) ist qualitativ zubestätigen.


2.1 Thermoelement: In einem (isolierten)elektrischen Leiter wird durch einen Tempe-raturgradienten eine elektrische Potentialdif-ferenz erzeugt (absoluter SEEBECK-Effekt),die jedoch nicht unmittelbar messbar ist.Vereinfacht gesehen, verhalten sich dieLadungsträger im Leiter wie die Teilcheneines idealen Gases: Ladungsträger von derwärmeren Seite mit höherer kinetischerEnergie diffundieren schneller zur kaltenSeite als umgekehrt; auf diese Weise entstehtauf der kalten Seite ein Überschuss an La-dungsträgern, der durch die entstehendePotentialdifferenz begrenzt wird.Verbindet man zwei verschiedene Leiter, z.B. Kupfer und Konstantan wie in Abb.1, zueinem Stromkreis und bringt die beidenKontaktstellen auf verschiedene Temperatu-ren T0 und T1, so entstehen in den beidenLeitern unterschiedliche innere Potentiale.Zwischen den Punkten A und B tritt die

Differenz der beiden Potentiale auf, diesogenannte Thermospannung UT. Dies wirdals SEEBECK-Effekt bezeichnet.(Damit wirklich nur die durch Cu und Kon-stantan erzeugte Thermospannung gemessenwird, müssen alle anderen Verbindungenzwischen verschiedenen Leitern im Strom-kreis, also die Punkte A und B und dasMessgerät, isotherm sein.) In vielen älteren Lehrbüchern wird die Ther-mospannung falsch als „Kontaktspannung“erklärt. Dies ist nicht richtig! (siehe Litera-turhinweis)

Die Thermospannung UT ist näherungsweiseproportional zur Temperaturdifferenz ΔT =T1 - T0 :

Der Koeffizient α heißt Thermokraft oderSeebeckkoeffizient und ist von beiden Mate-rialien abhängig.Thermoelemente werden häufig zur Tempera-turmessung verwendet. Sie sind preiswert,schnell (kleine Wärmekapazität) und bietenden Vorteil, dass sich die Thermospannungenunmittelbar als Eingangssignale für Compu-ter, Steuer- und Regelgeräte nutzen lassen.

2.2 Luftfeuchtigkeit nennt man den Gehaltder Luft an Wasserdampf. Die absolute Luftfeuchtigkeit fa ist dieWasserdampfmasse md pro Volumen V derLuft:

Die relative Luftfeuchtigkeit fr ist das Ver-hältnis der vorhandenen Wasserdampfmengezur Sättigungsmenge bzw. das Verhältnis desvorhandenen Dampfdruckes pd zum Sätti-gungsdampfdruck pS bei der vorliegendenTemperatur T :

Luftfeuchtigkeit W 12


52

fp T

p T

p

p Tr

d

S

S

S

= =( )

( )

( )

( ).

(5)

Dp

p

p p

px

n

n nS

S S L

S

=-

= =+

,.2

1 2

(4)

Die relative Luftfeuchtigkeit wird meist inProzent angegeben.In einem geschlossenen Gefäß, in dem sichreines Wasser und darüber Luft befinden,verdampft ein Teil des Wassers, bis der Raumoberhalb der Flüssigkeit mit Wasserdampfgesättigt ist. Es bildet sich im thermodyna-mischen Gleichgewicht der Sättigungsdampf-druck pS aus, der nur von der Art der Flüs-sigkeit (hier Wasser) und von der Temperatur(etwa exponentiell) abhängt. Die relativeLuftfeuchtigkeit beträgt in diesem Fall100 %. Ist die Flüssigkeit im geschlossenen Gefäßeine wässrige Lösung, so ist der Sättigungs-dampfdruck über der Lösung entsprechenddem RAOULTschen Gesetz um Δp verringert.Diese Dampfdruckerniedrigung ist unabhän-gig von der Art des gelösten Stoffes, sie hängtnur von der Anzahl der gelösten Teilchen ab:

Dabei ist x der Molenbruch des gelöstenStoffes (n2: Menge der gelösten Teilchen, n1:Teilchenmenge des Lösungsmittels), pS ist derSättigungsdampfdruck des reinen Lösungs-mittels und pS,L der der Lösung. Bei derBestimmung von x muss die Dissoziation desgelösten Stoffes berücksichtigt werden. DasRaoultsche Gesetz gilt nur für n2 n1, beihöheren Konzentrationen x ist die beobachte-te Dampfdruckerniedrigung geringer. Infolgedes Raoultschen Gesetzes ist die Luftfeuch-tigkeit über einer Lösung kleiner als 100 %.

Ist bei der Temperatur T die Luftfeuchtigkeitim Raum kleiner als 100 %, so kann man100 %ige Luftfeuchtigkeit erreichen, indemman die Temperatur erniedrigt. Ab einerbestimmten Temperatur τ, dem Taupunkt,kondensiert der Wasserdampf und scheidetsich z. B. auf einer Oberfläche ab. Dies dientzur Messung der Luftfeuchtigkeit mit einemTaupunkthygrometer: Anhand der Tempera-tur τ kann der zugehörige Sättigungsdampf-druck pS(τ) ermittelt werden, der gleich demDampfdruck pd(T) ist. Die relative Luftfeuch-tigkeit fr ergibt sich dann aus

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Taupunkthygrometer (Alu-Grundkörper

mit Peltierkühler, Metallspiegel, Thermo-element und Lichtschranke, Abdeckhaube)

- Steuergerät für Lichtschranke- Stromversorgungsgerät für Peltierkühler- Kupfer-Konstantan-Thermoelement, eine

Lötstelle in Röhrchen mit Gallium- Becherglas, Isoliergefäß, flache Schale- Flasche mit 3 molarer CaCl2-Lösung- Sensor-Cassy mit μV-BOX

- Computer, CassyLab-Software

3.1 Zur Kalibrierung des Kupfer-Konstantan-Thermoelementes dienen zweiFixpunkte: der Schmelzpunkt von Wasserund der von Gallium (TS = 29,76 °C). DieThermospannung wird mittels Sensor-Cassy/μV-Box und Computer gemessen.Eine Kurzanleitung zur Benutzung der Cassy-Lab Software befindet sich im Anhang.

3.2 Das Taupunkthygrometer (Abb.2)besitzt eine abkühlbare, spiegelnde Metallflä-che (polierter Aluminiumblock), deren Tem-peratur gemessen und deren Bedeckung mitkondensiertem Wasserdampf beobachtetwerden kann. Zur Temperaturerniedrigungdient ein Halbleiterkühlelement (Nutzung desPeltier-Effektes), das mit Hilfe eines Strom-versorgungsgerätes als Konstantstromquellemit 0,1...1 A betrieben wird. Die Temperatur-messung erfolgt mit einem Kupfer-Konstantan-Thermoelement, dessen Mess-stelle sich im Aluminiumblock befindet unddie Vergleichsstelle bei 0°C in einem Eis-Wasser-Gemisch. Die Thermospannung wirdmit der μV-Box des Sensor-Cassy gemessenund mit Hilfe des Computers registriert.Zur reproduzierbaren Beobachtung derWasserdampf-Kondensation dient eineReflexlichtschranke mit Anzeige-LED undRelaisausgang. Das Relais der Lichtschranke


53

Abb.2: Versuchsaufbau zur Be-stimmung der Luftfeuchte

ermöglicht eine einfache Temperaturregelungzum Erreichen des Taupunktes, indem es denKühlerstrom entsprechend der Betauung desSpiegels automatisch ein- und ausschaltet.

3.3 Das Taupunkthygrometer befindet sichzusammen mit einer Schale mit Wasser bzw.3 molarer CaCl2-Lösung unter einer Plastik-haube.


4.1 Die Schaltung wird entsprechend Abb. 1aufgebaut. Als Spannungsmesser dient dieμV-Box des Sensor-Cassy. Starten Sie dasProgramm CASSYLab-W12 erst, nachdemdas Messgerät mit Strom versorgt ist. AlleEinstellungen im Programm (Messbereich,Messintervall etc.) sind bereits richtig vor-eingestellt. Mit der Taste F9 oder Mausklick

auf wird die Aufzeichnung einer Mess-reihe gestartet und auch wieder beendet.

Das Isoliergefäß wird mit gestoßenem Eisund (nicht zuviel) Wasser gefüllt, das Becher-glas mit heißem Wasser. Die Vergleichs-Lötstelle des verwendeten Thermoelementswird in das Eis-Wasser-Gemisch getaucht.Zur Kalibrierung des Kupfer-Konstantan-Thermoelementes wird eine Messreihegestartet und das Röhrchen mit Gallium indas heiße Wasser getaucht. Bei einer Tempe-ratur von T1 = 29,76°C schmilzt das Gallium,so dass die Spannungs-Zeit-Kurve einenHaltepunkt aufweist, bis das gesamte Galliumgeschmolzen ist. Bringt man danach dasRöhrchen in das Becherglas mit dem Eis-Wasser-Gemisch, so zeigt der Spannungsver-

lauf bei T1 = 29,76°C wieder einen Halte-punkt (evtl. erst nach einer Unterkühlung derGalliumschmelze). Aus dem Mittelwert derHaltepunkte beim Schmelzen und beimErstarren des Galliums wird mit (1) derSeebeck-Koeffizient α des Kupfer-Konstantan-Thermoelementes berechnet.

4.2 Die Versuchsanordnung ist entsprechendAbb.2 aufzubauen. Die Vergleichs-Lötstelledes Thermoelements des Taupunkthygro-meters muss sich im Eis-Wasser-Gemischbefinden. Die Thermospannung wird wieunter 4.1 mit Hilfe des Computers registriert.Der Schaltzustand der Lichtschranke wirddurch eine LED signalisiert. Die Komparator-schwelle wird so eingestellt, dass bei nichtbeschlagenem Spiegel gerade noch Reflexionangezeigt wird (LED leuchtet), bei beschlage-nem Spiegel jedoch die LED erlischt. Die Stromversorgung des Kühlers wird ersteinige Zeit nach dem Start einer Messreihe inCassyLab eingeschaltet, um auch die Ther-mospannung bei Raumtemperatur zu regi-strieren. Ein geeigneter Kühlerstrom (maxi-mal 1 A) ist mittels Stromregler einzustellen.Die LED der Lichtschranke leuchtet. Wennder Taupunkt unterschritten wird, erlischt dieLED und der Kühlerstrom wird durch dasRelais unterbrochen. Die Temperatur imTaupunkthygrometer steigt wieder; der Belagauf der Spiegelfläche verdampft, so dass dieLED wieder aufleuchtet und der Kühlerautomatisch wieder eingeschaltet wird. Aufdiese Weise ergeben sich „Regelschwingun-gen“ um die Thermospannung, die demTaupunkt entspricht. Die Regelung funktio-niert am besten, wenn der Kühlerstrom so


54

n nV n M

M1 = =-

H2O

CaCl2 CaCl2

H2O

r. (7)

r =+

=+

m m

V

n M n M

V

CaCl2 H2O

CaCl2 CaCl2 H2O H2O .

(6)

n n2 3= × CaCl2 . (8)

eingestellt wird, dass Abkühl- und Aufheiz-geschwindigkeit etwa gleich sind. (Warum?)Es werden etwa 10 Regelschwingungenaufgezeichnet. Nach Beendigung der Mes-sung ist der Kühler auszuschalten.Die Thermospannung am Taupunkt kanndurch Mittelwertbildung im ProgrammCassyLab bestimmt werden.

4.3 Zum Nachweis des Raoultschen Ge-setzes wird neben das Hygrometer eineSchale mit Wasser gestellt, dessen Tempera-tur gleich der Raumtemperatur ist. Hygro-meter und Wasserschale werden gemeinsammit der Plastikhaube abgedeckt. Die Luft-feuchtigkeit unter der Haube wird nun lang-sam bis auf nahezu 100 % ansteigen. Nach20…30 min wird die Messung gestartet undder Kühlerstrom eingeschaltet (günstig sindhier etwa 0,1…0,3 A). Die Thermospannungwird solange aufgezeichnet, bis sich derTaupunkt nicht mehr ändert (etwa 5 min). Der Versuch wird wiederholt, wobei dieSchale nun mit 3 molarer CaCl2-Lösunggefüllt ist. Die o.g. Wartezeit ist wiedereinzuhalten; die Messkurve wird in das selbeDiagramm geschrieben.Die Thermospannungen am Taupunkt werdendurch Mittelwertbildung im ProgrammCassyLab bestimmt.

Die CaCl2-Lösung wird nach Versuchs-ende wieder in die Flasche zurück gefüllt!

5 Auswertung

5.1 Das Messdiagramm UT(t) ist auszudru-cken. Der Seebeck-Koeffizient α des Kupfer-Konstantan-Thermoelementes ist nach Gl. (1)zu berechnen.

5.2 Das Messdiagramm UT(t) ist auszudru-cken. Die Raumtemperatur und der Taupunktsind aus UT zu ermitteln. Die relative Luft-feuchtigkeit fr wird nach (5) berechnet, wobeidie Sättigungsdampfdrücke der beiliegendenTabelle entnommen werden.

5.3 Die Taupunkte und die relativen Luft-feuchtigkeiten über Wasser und 3 molarer

CaCl2-Lösung (Dichte: 1,25 g cm-3, Dissozia-tionsgrad 100%) werden wie unter 5.2 er-mittelt. Die durch Dampfdruckerniedrigungnach dem Raoultschen Gesetz zu erwartendeLuftfeuchtigkeit über der CaCl2-Lösung istmit Hilfe Gl. (4) zu berechnen. Die gemesse-nen Luftfeuchtigkeiten sind mit den theore-tisch erwarteten Werten zu vergleichen.

Hilfe zur Berechnung des Molenbruches:mCaCl2 und mH2O sind die Massen, nCaCl2 undnH2O die Stoffmengen und MCaCl2 und MH2O

die Molmassen der CaCl2- und der H2O-Moleküle in V = 1 l Salzlösung. Dann ist dieDichte der Lösung

Daraus ergibt sich die Teilchenmenge desLösungsmittels

Wegen der Dissoziation ist die Menge dergelösten Teilchen

6 Literatur


Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin u.a.. 2006

http://www.uni-konstanz.de/FuF/Physik/Jaeckle/papers/thermospannung/

7 Kontrollfragen

7.1 Erklären Sie die Entstehung von Wetter-erscheinungen wie Regen, Nebel, Tau!

7.2 Wie funktioniert ein Thermoelement?

7.3 Bei welcher Temperatur siedet eineSalzlösung (in Wasser)?

Grundpraktikum II W 16 Wärmeleitung von Metallen

55

Abb. 1: Stationärer Temperaturgradient

=ddQt

(1)

= -ATx

dd

. (2)

= =J m

s m K

WK m

.2 (3)

= --

-A

T T

x x2 1

2 1

. (4)

1 Aufgabenstellung

1.1 Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit vonEisen und Messing nach dem stationärenAbsolutverfahren.

1.2 Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit vonMessing nach dem stationären Vergleichs-verfahren.

2 Grundlagen

Auf der ungeordneten, thermischen Bewe-gung der Moleküle eines Körpers (BROWN-sche Bewegung) beruhen zwei grundlegendephysikalische Phänomene, die allgemein alsTransportvorgänge bezeichnet werden: dieWärmeleitung und die Diffusion. Während bei der Wärmeleitung thermischeEnergie vom wärmeren zum kälteren Bereichtransportiert wird, handelt es sich bei derDiffusion um einen auf einen Konzentrations-ausgleich gerichteten makroskopischenTeilchenstrom. Beide Prozesse sind mit einerZunahme an Entropie verbunden.Als Wärmestrom

bezeichnet man die pro Zeiteinheit trans-portierte Wärmemenge Q.Besteht in einem Material ein Temperatur-gradient (in x-Richtung), so fließt durch einenQuerschnitt A der Wärmestrom

Das Minuszeichen in (2) berücksichtigt, dassdie Wärmeleitung entgegengesetzt zumTemperaturgradient erfolgt. Die Materialkon-stante λ heißt Wärmeleitfähigkeit und hat dieSI-Einheit

Gleichung (2) ist analog zum 1. FICKschenGesetz der Diffusion (siehe Versuch W25).In Abb.1 sind zwei Wärmereservoire unter-schiedlicher aber fester Temperatur T1 und T2

(T1 > T2) gezeigt, die über einen Stab derLänge Δx = x2 - x1 thermisch miteinanderverbunden sind. Nach einiger Zeit stellt sichein stationäres Temperaturgefälle (T2-T1)/(x2-x1) über die gesamte Stablänge ein, d. h. derTemperaturgradient dT/dx = ΔT/Δx ist orts-unabhängig und der Wärmestrom ist zeitlichkonstant. Damit wird aus (2):

3 Versuchsaufbau

Geräte- Anordnung von Metallstäben mit Thermo-

elementen und Heizung (Abb.2)- Stromversorgungsgerät- 2 Vielfachmesser- Nanovoltmeter

Wärmeleitung von Metallen W 16

Grundpraktikum II W 16 Wärmeleitung von Metallen

56

Abb.2: Messanordnung zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit

DT UT= ×1a

(5)

- Messstellenumschalter- Verbindungsleitungen- Thermometer

3.1 Den Aufbau der Messanordnung zeigtAbb.2. Mit Hilfe des Heizers wird ein kon-stanter Wärmestrom Φ erzeugt, der durch denEisen- und Messingstab in die große Metall-platte (großes Wärmereservoir) fließt und sofür ein nahezu konstantes Temperaturgefällesorgt. Mit Hilfe der fest eingebauten Kupfer-Konstantan-Thermoelemente werden dieTemperaturdifferenzen ΔT = T2 - T1 ent-sprechend (4) gemessen, Δx ist der Abstandzwischen den Lötstellen der Thermoelemente.Die Temperaturdifferenzen ergeben sich ausden mit einem hochempfindlichen Nanovolt-meter gemessenen Thermospannungen UT

entsprechend

(siehe auch Versuch E10). Der schwachtemperaturabhängige Seebeck-Koeffizient αist einer Grafik zu entnehmen; die mittlereTemperatur der Thermoelemente ist hierfürzu schätzen.


Die Schaltung nach Abb.2 wird aufgebaut.Die Messungen werden bei zwei verschiede-nen Heizleistungen durchgeführt. Zuerst wirdeine Heizspannung von etwa 10 V eingestellt.Alle 2 Minuten sind die ThermospannungenUT, Fe und UT, Ms der beiden Thermoelementezu protokollieren. Nach Erreichen des statio-nären Zustandes (nach mindestens 30 Minu-ten) sind die Temperatur am Messaufbausowie Strom I und Spannung U am Heizer zumessen.Die Messung wird bei einer Heizspannungvon etwa 20 V wiederholt. Dabei muss wiederder stationäre Zustand abgewartet werden.

5 Auswertung

Für beide Messungen (10 V und 20 V) sinddie Thermospannungen UT, Fe und UT, Ms inAbhängigkeit von der Zeit graphisch dar-zustellen und zu diskutieren.Die Temperaturdifferenzen ΔTFe und ΔTMs imstationären Zustand sind nach Gl. (5) zuermitteln, wobei der Seebeck-Koeffizient α

Grundpraktikum II W 21 Reales Gas

57

= ×U I . (6)

=U I x

A T

D

D. (7)

D

D= -Fe

Fe Fe

Fe

A T

x. (8)

Ms Fe

Fe Fe Ms

Ms Ms Fe

A T x

A T x=

D D

D D. (9)

bei der geschätzten mittleren Temperatur desEisen- bzw. des Messingstabes eingesetztwerden muss.

Zur Berechnung der Wärmeleitfähigkeit gibtes bei der gegebenen Versuchsanordnungzwei Möglichkeiten:

5.1 Beim stationären Absolutverfahren gehtman davon aus, dass die elektrisch erzeugteHeizleistung nahezu vollständig durch Wär-meleitung durch den Eisen- und Messingstaban die Grundplatte abgeführt wird:

Damit ergibt sich aus (4):

5.2 Beim stationären Vergleichsverfahrennutzt man die Tatsache, dass der Eisen- undder Messingstab thermisch in Reihe ge-schaltet sind. Sie werden im stationärenZustand vom gleichen Wärmestrom durch-flossen. Ist die Wärmeleitfähigkeit von Eisenbekannt, so ergibt sich der Wärmestrom zu

Setzt man Φ in Gleichung (4) ein, so erhältman

Die Wärmeleitfähigkeiten von Eisen und

Messing sind für beide Heizleistungen nachbeiden Verfahren (5.2 nur für Messing) zuberechnen.Die Ergebnisse sind miteinander und mitLiteraturwerten zu vergleichen. Die für beideVerfahren unterschiedlichen systematischenFehler sind abzuschätzen.

Für die Berechnung sind folgende Werte zuverwenden:dFe = dMs = 30 mm (Durchmesser der Stäbe)

ΔxFe = 4,0 cm; ΔxMs = 5,0 cm

λFe = 52,3 W m-1 K-1 (für 5.2).

6 Literatur



7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Wärmeleitung? Welche Prozes-se spielen dabei eine Rolle?

7.2 Welche systematischen Fehler erkennenSie in der Messanordnung?

7.3 Erklären Sie die Funktionsweise einesThermoelements!

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Isothermen eines realen Gases(Schwefelhexafluorid SF6) sind für fünfverschiedenen Temperaturen aufzunehmenund der kritische Punkt ist aufzusuchen.

1.2 Aus den Messdaten sind die kritischenDaten pk, Vk und Tk, die Stoffmenge und dievan-der-Waals-Koeffizienten zu ermitteln.

1.3 Aus der Dampfdruckkurve pS(T) ist diespezifische Verdampfungswärme zu be-stimmen.

Reales Gas W 21


58

p V N k T n R T× = × × = × × (1)

p V R Tm× = × . (2)

( )pn aV

V nb n R T+æèç

öø÷ × - = × ×

2

2 (3)

( )pa

VV b R T

mm+

æ

èç

ö

ø÷ × - = ×2 . (4)

Abb.1: Isothermen eines realen Gases nachVAN DER WAALS (Clapeyron-Diagramm)

2 Grundlagen

Im Modell des idealen Gases werden dieGasteilchen als Punktmassen betrachtet, dienur durch ihre Masse und ihre Geschwindig-keit charakterisiert werden. Mit Hilfe derkinetischen Gastheorie findet man in diesemsehr einfachen Modell die Beziehung

zwischen den Zustandsgrößen Druck p,Volumen V und Temperatur T . Dabei bedeuten N : Teilchenanzahl k : Boltzmannkonstante n : Stoffmenge R = NA k : molare Gaskonstante NA : Avogadrokonstante

Führt man das Molvolumen Vm = V / n ein,so vereinfacht sich (1) zu

In vielen Fällen wird das Verhalten realerGase durch (2) recht genau beschrieben. Beigroßen Dichten (d. h. große Drücke oderkleine Temperaturen) gibt es jedoch deutlicheAbweichungen vom “idealen” Verhalten, diedurch das in diesem Fall nicht mehr ver-nachlässigbare Eigenvolumen der Teilchenund durch die vor allem bei kleinen Ab-ständen merklichen attraktiven Wechsel-wirkungen zwischen den Teilchen hervor-gerufen werden.Um zu einer für reale Gase besser geeigneteZustandsgleichung zu gelangen, muss man in(1) bzw. (2) entsprechende Korrekturenanbringen. Damit erhält man die Zustands-gleichung nach VAN DER WAALS

bzw. mit Hilfe des Molvolumens vereinfacht

Die Korrekturen berücksichtigen den Binnen-druck (Kohäsionsdruck) a/Vm

2 sowie das van

der Waals'sche Kovolumen b (das vierfacheEigenvolumen der Teilchen, welches für ihreBewegung nicht zur Verfügung steht).Die van-der-Waals-Gleichung beschreibtauch noch die flüssige Phase zufrieden-stellend. Die Isothermen im p-V-Diagramm(Abb.1) sind Hyperbeln 2. Grades. Für Tem-peraturen T1 < Tk verläuft eine reale Zu-standsänderung im ThermodynamischenGleichgewicht zwischen den Punkten A undB entlang einer Geraden (der “Maxwell-geraden”). Dabei kondensiert das Gas zurflüssigen Phase; in A ist nur Gas, in B nurFlüssigkeit vorhanden. Für T = Tk entartet derBereich zwischen A und B zu einem Punkt.Oberhalb Tk, der kritischen Temperatur, findetkein Phasenübergang mehr statt. Der graueBereich in Abb.1 kennzeichnet das Koexis-tenzgebiet von Flüssigkeit und Gas.

Am kritischen Punkt verschwinden dieUnterschiede in den physikalischen Eigen-schaften zwischen Flüssigkeit und Gas. Aus den kritischen Zustandsgrößen pk, Vk undTk, die experimentell bestimmt werden kön-nen, lassen sich die van-der-Waals-Koeffi-zienten a und b bestimmen. In diesem Punkt

sind 1. und 2. Ableitung und Null¶¶

p

V¶

¶

2

2

p

V

(Horizontalwendepunkt). Aus Gl.(4) folgtdamit:


59

a p V b Vk m k m k= =313

2, ,, (5)

( )limV

p V n R T®¥

× = × × (6)

( )Q Tdp

dTV VG Fl= - (7)

Abb.2: Gerät zur Untersuchung des kriti-schen Punktes

mit Vm,k = Vk / n.Die Stoffmenge n kann mit Hilfe folgenderÜberlegung bestimmt werden: Mit wachsen-der Verdünnung (V ) nähern sich dieEigenschaften des realen Gases denen desidealen Gases immer mehr an. Es gilt also

Trägt man pV über 1/V graphisch auf undextrapoliert nach 1/V = 0 (gleichbedeutendmit V ), so kann man aus (6) die Stoff-menge n berechnen.

Im Bereich der Koexistenz von flüssiger undgasförmiger Phase herrscht (im thermodyna-mischen Gleichgewicht) ein konstanterDruck. Dieser heißt Sättigungsdampfdruck pS;er hängt von der Temperatur (und natürlichvom Stoff) ab. Trägt man die bei verschiede-nen Temperaturen gemessenen Sättigungs-dampfdrücke über der Temperatur auf, soerhält man die Dampfdruckkurve.Mit der CLAUSIUS-CLAPEYRON-Gleichung

kann aus der Dampfdruckkurve p(T ) und derDifferenz zwischen Gas- und Flüssigkeits-volumen (siehe Abb.1) die Verdampfungs-wärme Q bestimmt werden. Am kritischenPunkt wird VG = VFl , folglich wird die Ver-dampfungswärme dort Null. Für VG VFL istsie dagegen näherungsweise konstant.

3 Versuchsaufbau

Geräte:- Gerät zur Untersuchung des kritischen

Punktes - Umwälzthermostat

3.1 Das Gerät zur Untersuchung des kriti-schen Punktes (Abb.2) besteht aus einer mitQuecksilber gefüllten Kompressionskammermit aufgesetztem Messrohr aus besonders

druckfestem Glas. Das zu untersuchende GasSF6 wird mit einem Handrad in dieses Rohrhinein komprimiert. Am Messrohr ist eineSkale zur Volumenmessung angebracht, mitder Kompressionskammer verbunden ist einManometer zum Messen des Druckes bismaximal 50 bar = 50 105 Pa.Das Messrohr ist von einer transparentenWasserkammer umgeben, welche die Be-obachtung des Testgases gestattet. Die Tem-peratur des Wassers kann mit Hilfe desUmwälzthermostaten geregelt und mit einem(in Abb.2 nicht gezeigten) genauen Thermo-meter gemessen werden.

Die kritische Temperatur von SF6 ist 45,6 °C.


Achtung!

Der Maximaldruck von 50 bar darf nichtüberschritten werden. Die Temperaturdarf 60 °C nicht übersteigen.

Nach Beendigung des Versuches ist einVolumen von etwa 4 cm3 einzustellen.


60

Die Isothermen sollen bei 4 Temperaturenunterhalb und einer oberhalb des kritischenPunktes aufgenommen werden (etwa 24 °C,31 °C, 38 °C, 45 °C und 55 °C). Warten Sienach Erreichen der Solltemperatur nocheinige Minuten, bis das Gas in dem dickwan-digen Glasrohr die Temperatur der Umge-bung angenommen hat.Beginnen Sie mit der Messung von p und Vbei V = 4 ml und verringern Sie das Volumenanfangs in Schritten von 0,4 ml. Bei V < 2 mlsollte die Schrittweite auf 0,2 ml und in derUmgebung der Punkte A und B (Abb.1) auf0,1 ml oder noch kleinere Werte verringertwerden. Die Messreihen sind bis zu einemDruck von annähernd 50 bar fortzusetzen(letzter Messpunkt: p = 50 bar einstellen undV ablesen).

Beobachten Sie die Effekte, die in der Nähedes kritischen Punktes auftreten. Beschreibenund erklären Sie Ihre Beobachtungen. Variie-ren Sie hierzu die Temperatur geringfügig(höchstens ± 1 K) um den kritischen Wert.Versuchen Sie, durch geschicktes Experimen-tieren die Veränderung bis nahe an dasvöllige Verschwinden der Phasengrenze zuverfolgen. Folgendes können Sie unter Ande-rem beobachten: übersättigten Dampf, kriti-sche Opaleszenz, Verringerung der Ober-flächenspannung und der Reflektivität derPhasengrenze.

Die kritischen Werte TK, pK und VK sind zuprotokollieren!

5 Auswertung

5.1 Die Isothermen sind in einem p-V-Diagramm graphisch darzustellen und derkritische Punkt ist einzuzeichnen.

5.2 Für die Bestimmung der Stoffmengetragen Sie in einem zweiten Diagramm füralle Messreihen pV über 1/V auf. Auf derlinken Seite (große Volumina, System istvollständig gasförmig) verlaufen diese Kur-ven annähernd linear. Extrapolieren Sie denlinearen Teil der Kurven bis 1/V =0 und

berechnen Sie aus den Werten von pV andieser Stelle jeweils die Stoffmenge n nachGl. (6), sowie deren Mittelwert. Die Extra-polation kann von Hand mit dem Lineal oderin Origin mittels linearer Regression dergeraden Kurventeile erfolgen.Berechnen Sie nach Gl. (5) die van-der-Waals-Koeffizienten a und b.Berechnen Sie die theoretische p-V-Kurveeines idealen Gases der gleichen Stoffmengebei 55 °C im untersuchten Volumenbereich(etwa 0,5...4,5 ml) und zeichnen Sie diesezusätzlich in das Diagramm mit den Mess-kurven aus 5.1 ein.

5.3 Zeichnen Sie die DampfdruckkurvepS (T ) und bestimmen Sie näherungsweiseden Anstieg der Kurve in jedem Messpunkt.Berechnen Sie mit Hilfe von Gl.(7) an jederMesstemperatur T < Tk die molare Verdamp-fungswärme Qm = Q/n. Dabei sind die Volu-mina VG und VFl dem p-V-Diagramm zuentnehmen. Die ermittelten Größen T, pS,dp/dT, VGVFl und Qm sind übersichtlich ineiner Tabelle darzustellen.

Diskutieren Sie alle Ergebnisse und verglei-chen Sie, soweit möglich, mit Literatur-werten.

6 Literatur

Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer,Berlin u.a., 2010


7 Kontrollfragen

7.1 Worin unterscheidet sich ein reales vomidealen Gas?

7.2 Welche Phänomene treten in der Nähedes kritischen Punktes auf?

7.3 Wie ist die „kritische Opaleszenz” zuerklären?

Grundpraktikum II E 7 Innenwiderstand von Spannungsquellen

61

Abb.2: Strom-Spannungs-Kennlinie einerSpannungsquelle mit konstantem Innenwider-stand.

Abb.1: Einfacher Stromkreis mit Ersatz-schaltbild einer Spannungsquelle

0 .i LU I R I R= × + × (1)

U I RK L= × . (2)

0 .K iU U I R= - × (3)

IU

R RL i

=+

0 . (4)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Strom-Spannungs-Kennlinienverschiedener Gleichspannungsquellen sindaufzunehmen.

1.2 Die Innenwiderstände dieser Spannungs-quellen sind zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die Spannung UK an den Klemmen einerrealen Spannungsquelle ist in der Regel nichtkonstant, sondern abhängig von der Stärkedes Stromes I, den die Quelle liefert. (Da-neben gibt es natürlich noch weitere Einfluss-größen wie z.B. Temperatur, Ladezustand desAkkus oder Beleuchtungsstärke der Solar-zelle.) Die Spannung U0 der unbelasteten Span-nungsquelle (I = 0) nennt man Urspannungoder Leerlaufspannung (früher auch elektro-motorische Kraft, EMK). Jede Spannungs-quelle besitzt durch ihren inneren Aufbaueinen Innenwiderstand, den man in vielenFällen näherungsweise als konstant ansehenkann. Abbildung 1 zeigt das Ersatzschaltbildeiner realen Spannungsquelle: eine Reihen-schaltung der idealen Spannungsquelle U0 mitdem Innenwiderstand Ri.Mit dem Maschensatz ( KIRCHHOFFscheGesetze) folgt für den Stromkreis in Abb.1:

Der Spannungsabfall am Lastwiderstand istgleich der Klemmenspannung:

Damit ergibt sich aus (1):

Für den Strom folgt aus (2) und (3):

Aus Gl. (3) ist zu erkennen, dass die Klem-menspannung linear mit der Strombelastungsinkt. Der Strom wird gemäß Gl. (4) durchden veränderlichen Lastwiderstand RL und dieEigenschaften der Spannungsquelle (U0, Ri)bestimmt. Die grafische Darstellung desZusammenhangs zwischen Klemmenspan-nung und Strom wird als Strom-Spannungs-Kennlinie bezeichnet. Abbildung 2 zeigt eine solche Kennlinie füreine Spannungsquelle mit konstantem Innen-widerstand. Aus der Darstellung geht hervor,dass bei I = 0 die Klemmenspannung UK

gleich der Urspannung U0 ist. Mit abnehmen-dem Lastwiderstand RL steigt der Strom unddie Klemmenspannung sinkt, bis der Span-nungsabfall über Ri den Wert der Urspannung

Innenwiderstand von Spannungsquellen E 7


62

2

0 .g i Li L

UP P P

R R= + =

+(8)

1.

1

L L

iG i L

L

P R

RP R R

R

= = =+

+(9)

P U IL K= × (5)

( )

2

0

2.L L

i L

UP R

R R= ×

+(6)

( )

2

02

.i i

i L

UP R

R R= ×

+(7)

erreicht hat. Jetzt ist der Lastwiderstand Nullund der Spannungsabfall am InnenwiderstandRi ist gleich der Urspannung U0. Diesen Fallnennt man Kurzschluss. Im Kurzschlussfallwird UK Null und es fließt der maximalmögliche Strom, der Kurzschlussstrom IK.Derartige Kennlinien weisen zum BeispielBatterien (Primärelemente) und Akkumulato-ren (Sekundärelemente) auf, da sie einenrelativ konstanten Innenwiderstand besitzen.Die Kennlinie einer Solarzelle ist nichtlinear,da sie keinen konstanten Innenwiderstandbesitzt. (Solarzellen sind spezielle Halbleiter-dioden, deren Physik im Rahmen diesesExperiments nicht näher betrachtet wird.)

Zur Messung der Spannung U0 werden dieKlemmen der Spannungsquelle mit einemVoltmeter verbunden (Abb.1: Voltmeter anStelle des Lastwiderstandes). In diesem Fallwird der Lastwiderstand RL durch den Innen-widerstand des Voltmeters gebildet. Die vomVoltmeter angezeigte Spannung UK kannunter Umständen signifikant kleiner sein alsdie zu messende Urspannung U0! Dies mussvor allem bei schwachen Spannungsquellenmit großen Innenwiderständen (z.B. Biopo-tentiale, EKG-Signal) berücksichtigt werden.Wenn die Größenordnung von Ri bekannt ist,kann man meist ein geeignetes Spannungs-messverfahren bzw. Messgerät auswählen,bei dem RL Ri ist. Dann gilt IRi UK

bzw. UK U0, d. h. die Urspannung U0 wirdnahezu unverfälscht gemessen. Alternativkann man die Leerlaufspannung auch mitHilfe einer Kompensationsschaltung unmit-telbar bei I = 0 messen (siehe Versuch E10).

Die von einer Spannungsquelle gelieferteelektrische Energie soll der Verbraucher(Widerstand RL) nutzen. Da der Verbraucher-oder Laststrom I aber auch durch die Span-nungsquelle fließt, nimmt diese (über denInnenwiderstand Ri) einen Teil der am ge-samten Umsatz beteiligten Leistung auf. Diean den Verbraucher abgegebene Leistung

kann mit Hilfe der Gleichungen (2) und (4)

umgeformt werden zu:

Analog gilt für die in der Spannungsquelleumgesetzte Leistung:

Die gesamte von der Spannungsquelle gelie-ferte Leistung ist damit:

Für den Wirkungsgrad η, das Verhältnis vonNutzleistung zur Gesamtleistung, folgt:

Nach Gleichung (9) steigt der Wirkungsgradmit wachsendem Verhältnis von RL zu Ri an.Um die Verluste innerhalb der Spannungs-quelle gering zu halten, sollte die BedingungRL Ri eingehalten werden, d.h. es muss inLeerlaufnähe gearbeitet werden. Diese Forde-rung gilt für Batterien und Akkus wegenderen endlicher Kapazität (entnehmbareLadung), die üblicherweise in Ah (Ampere-stunden) angegeben wird und die nicht mitder Kapazität eines Kondensators verwech-selt werden sollte.Anders ist die Situation bei Solarzellen, dadie Sonne ja ständig Energie nachliefert. Hierbesteht das Ziel darin, der Quelle eine mög-lichst große Leistung zu entnehmen. DerStrom, für den die Leistung PL maximal wird,ergibt sich aus der Bedingung dPL/dI = 0.Aus (5) folgt sich unter der Berücksichtigung,dass UK von I abhängt und mit (2):

Die Nullstelle und somit die maximaleLeistung ist bei

L K KK L

dP dU dUU I I R

dI dI dI

æ ö= + = × +ç ÷

è ø(10)


63

Abb.3: Versuchsschaltung

Diesen Fall nennt man (Leistungs-)Anpas-sung. Bei linearer Strom-Spannungs-Kenn-linie (Ri ist konstant) ergibt sich für denAnpassungsfall aus (11) und (3) die einfacheBeziehung RL = Ri.

3 Versuchsaufbau

Geräte:verschiedene Gleichspannungsquellen:

Alkali-Mangan-Batterie, Bleiakku, Solarzellenmodul

verschiedene Lastwiderstände:Schiebewiderstand 140 Ω, Drehwider-stand 5 Ω, 4 Dekadenwiderstände 1/10/100/1000 Ω

2 Digitalmultimeter1 SchalterVerbindungsleitungen

3.1 Schaltungsaufbau:Zur Aufnahme der Strom-Spannungs-Kenn-linie dient die Schaltung nach Abb.3. AlsSpannungsmesser wird ein Messgerät mithohem Eingangswiderstand verwendet, sodass die Spannungsquelle bei geöffnetemSchalter nur mit einem vernachlässigbarkleinem Strom belastet wird.


Achtung!Bleiakkus liefern sehr hohe Ströme. Durcheinen Kurzschluss können Kabel ver-schmelzen! Falsch angeschlossene Mess-

geräte können beschädigt werden! LassenSie die Schaltung vor dem Anschließen derSpannungsquellen kontrollieren!

Wenn die Urspannung des Akkus 1,96 Vund die der Batterie 1,4 V ist, dürfen sienicht mehr verwendet werden und müssenausgetauscht werden!

Machen Sie sich zunächst mit der Funktions-weise der zu verwendenden Lastwiderständevertraut. Dazu stehen Ihnen die Multimeterzur Verfügung, mit denen Widerstände direktgemessen werden können.Die ungefähren Leerlaufspannungen U0 desBleiakkus und der Batterie stehen aufge-druckt an den Geräten. Damit diese beidenSpannungsquellen während der Messungnicht zu stark entladen werden, muss derStrom begrenzt werden auf 3 A für denBleiakku und 200 mA für die Batterie. Be-rechnen Sie aus diesen Werten die erforderli-chen Lastwiderstände RL und entscheiden Siedann, welche Widerstände Sie für die Batterieund den Akku verwenden wollen. Bauen Sie die Schaltung gemäß Abb.3 auf.Stellen Sie die veränderlichen Widerständevor Beginn der Messung so ein, dass diegenannten Ströme in keinem Fall überschrit-ten werden. Für die Kennlinie des Akkus werden minde-stens 10 etwa äquidistante Messpunktezwischen 0 und 3 A gewählt. Die dazugehöri-gen Klemmenspannungen Uk sowie dieUrspannung U0 (bei I = 0) sind zu messen.Für die Kennlinie der Batterie werden eben-falls mindestens 10 etwa äquidistante Mess-punkte zwischen 0 und 200 mA gewählt. Diedazugehörigen Klemmenspannungen Uk unddie Urspannung U0 sind zu messen.

Das Solarzellenmodul darf (im Gegensatz zuBatterie und Akku) bis zum Kurzschlussbelastet werden. Als Lastwiderstand werdendie vier Dekadenwiderstände (0 … 10000 Ω)verwendet. Das Modul muss während dergesamten Messzeit gleichmäßig beleuchtetwerden, da U0 und Ri von der Beleuchtungs-stärke abhängen! Es ist die gesamte I-U-

.L KR dU dI= - (11)


64

Kennlinie, d. h. von der Leerlaufspannung biszum Kurzschlussstrom, aufzunehmen. Dabeisollen etwa 20, bezüglich der Stromstärkeetwa äquidistante Punkte gemessen werden.Messen Sie zuerst den Kurzschlussstrom undentscheiden Sie dann, bei welchen Strom-stärken die weiteren Messpunkte liegensollen. Neben der Stromstärke I und derKlemmenspannung Uk sind auch die Werteder zugehörigen Lastwiderstände RL zuprotokollieren.

5 Auswertung

Für alle Gleichspannungsquellen werden dieStrom-Spannungs-Kennlinien wie in Abb.2grafisch dargestellt.Für die beiden galvanischen Spannungs-quellen sind die Innenwiderstände aus demAnstieg der Regressionsgeraden in dengrafischen Darstellungen zu ermitteln. Aus dem Schnittpunkt der Geraden mit derOrdinate wird die Urspannung U0 bestimmtund dann aus diesen beiden Werten derKurzschlussstrom berechnet. Vergleichen Siedie so bestimmte Urspannung mit dem ge-messenen Wert! Wie ist die Genauigkeit desberechneten Kurzschlussstromes zu be-werten?Für den Solarzellenmodul werden die Innen-widerstände anhand der Messpunkte nachGleichung (3) und die abgegebene LeistungPL nach (5) berechnet. Der InnenwiderstandRi, der Lastwiderstand RL sowie die LeistungPL sind in Abhängigkeit vom Strom grafisch

darzustellen. Zeichnen Sie alle drei Kurven inein Diagramm (linke y-Achse: Widerstand,rechte y-Achse: Leistung) und diskutieren Siedie Lage des Maximums der Leistungskurve!

Zusatzaufgabe: Berechnen Sie mit Origin dendifferentiellen Innenwiderstand des Solarmo-duls dUK/dI, zeichnen Sie ihn als zusätzlicheKurve in das Diagramm ein und verifizierenSie Gleichung (11)!

6 Literatur


7 Kontrollfragen

7.1 Erklären Sie den Unterschied zwischender Klemmenspannung und der Urspannungeiner Spannungsquelle!

7.2 Erläutern Sie das Ersatzschaltbild einerSpannungsquelle!

7.3 Erläutern Sie die Begriffe Leerlauf,Kurzschluss und Anpassung.

7.4 Sie haben die Aufgabe, mit einemVoltmeter die Urspannung einer Spannungs-quelle mit dem Innenwiderstand Ri = 500 kΩzu bestimmen. Wie groß muss der Innen-widerstand des Messgerätes mindestens sein,damit der Messwert um nicht mehr als 1%vom wahren Wert abweicht?

Grundpraktikum II E 8 Leitfähigkeit von Elektrolyten

65

Abb.1: WHEATSTONE-Brückenschaltung

,lRA

r= × (3)

C

C

R

Rx

1

3

4

= . (2)

R

R

R

RX

1 3

4

= . (1)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Zellenkonstante Κ einer elektrolyti-schen Zelle ist zu bestimmen.

1.2 KCl -Lösungen verschiedener Konzen-tration sind herzustellen und ihre elektrischeLeitfähigkeit σ ist zu bestimmen.

1.3 Die molare Leitfähigkeit Λ der Lösun-gen ist zu berechnen.

2 Grundlagen

2.1 Für eine genaue Widerstandsmessungund für die Bestimmung von kleinen Wider-ständen werden häufig Brückenschaltungenverwendet. Die Grundschaltung jeder Mess-brücke ist die Wheatstone-Brücke (Abb.1). Zwischen den Punkten A und B sowie zwi-schen C und D liegt die Spannung U an.Ohne Galvanometer zwischen den Mess-punkten E und F wird das Potential in diesenPunkten durch die Verhältnisse R1 : RX sowieR3 : R4 bestimmt (Spannungsteiler zwischenA und B sowie zwischen C und D).Besteht zwischen E und F kein Potential-unterschied, so sagt man, Brücke ist abgegli-chen. Über das Galvanometer (ein hoch-empfindliches Amperemeter) wird dann keinStrom fließen. In diesem Fall muss die fol-gende Bedingung erfüllt sein:

Wenn zwischen E und F ein Potentialunter-schied besteht, so fließt über das Galvano-meter ein Strom. Das Prinzip der Brücken-messung besteht darin, durch Änderung derbekannten Widerstände R1, R3 und R4 denabgeglichenen Zustand der Brücke zu finden.Die Größe des unbekannten Widerstandes RX

lässt sich dann nach (1) berechnen.

Soll eine Messbrücke mit Wechselstrombetrieben werden, so ist eine mögliche Pha-senverschiebung zwischen Strom und Span-nung zu berücksichtigen. Für den Brücken-abgleich müssen in diesem Fall Betrag undPhase der Spannung zwischen E und F abge-glichen werden. Zu diesem Zweck wird dieeinfache Wheatstone-Schaltung durch einezusätzliche Kapazität ergänzt, siehe Ver-suchsschaltung Abb.2.Da die elektrolytische Zelle neben demWiderstand Rx auch eine Kapazität Cx besitzt,müssen für den Abgleich der Brücke zweiBedingungen erfüllt sein: der Amplituden-abgleich (1) und der Phasenabgleich

(1) und (2) gelten gleichzeitig, wenn dieBrücke vollständig abgeglichen ist.Die Brückenschaltung in Abb.2 wird alsWien-Brücke bezeichnet. Sie kann nach Gl.(2) auch zur Messung von Kapazitäten einge-setzt werden.

2.2 Der elektrische Widerstand eines Leitersmit der Länge l und dem Querschnitt A ist

er wird neben den geometrischen Größen lund A durch eine Materialkonstante, denspezifischen elektrischen Widerstand ρ

Leitfähigkeit von Elektrolyten E 8


66

.AGl

s= × (4)

(griechisches rho) bestimmt. Der Kehrwertdes elektrischen Widerstandes G = 1/R heißtelektrischer Leitwert, seine SI-Einheit ist dasSiemens: [G] = 1/Ω = S. Analog zu (3)schreibt man

σ = 1/ρ heißt spezifische elektrische Leit-fähigkeit und hat die Einheit [σ] = S/m. DieAngabe eines Leitwertes ist insbesondere beielektrisch leitenden Flüssigkeiten üblich.Mit Hilfe der elektrischen Leitfähigkeit, derStromdichte j = I/A und elektrischen Feld-stärke E = U/l lässt sich das OHMscheGesetz I = U/R = UG auch schreiben als:

Elektrolyte sind elektrisch leitende Flüssig-keiten, bei denen der Ladungstransport durchIonen der Ladung ze erfolgt (z: Wertigkeit,Ladungszahl). In einem elektrischen Feld E wirkt auf dieIonen die Kraft FE = zeE . Bei ihrer Bewe-gung in der viskosen Flüssigkeit erfahren siezudem eine zu ihrer Geschwindigkeit propor-tionale Reibungskraft FR (STOKEsche Rei-bung, siehe Versuch M14). Im Resultatbewegen sich die Ionen in Richtung deselektrischen Feldes mit der konstanten Ge-schwindigkeit

Die Größe µ = v/E heißt Beweglichkeit. Siewird durch die Viskosität des Lösungsmittelsund die Größe der Ionen bestimmt, daherhängt von den beteiligten Stoffen ab undwächst mit zunehmender Temperatur.In einem elektrolytischen Leiter mit demQuerschnitt A fließe der Strom I = dq/dt.Hierin ist dq ist die Menge im Volumen-element vdtA enthaltenen Ladungen, alson z e v dt A (n: Teilchenkonzentration cNA, c:Stoffmengenkonzentration). Ersetzt man nochv=µE und dividiert durch A, so ergibt sich

Der Vergleich mit (5) ergibt

Die elektrische Leitfähigkeit wird also be-stimmt durch die Konzentration der Ionen,ihre Ladung und ihre Beweglichkeit.

Bei genauerer Betrachtung muss berücksichtigt werden,dass Anionen (+) und Kationen () im Allgemeinenunterschiedliche Beweglichkeiten, Ladungen undKonzentrationen besitzen. Aus Gl. (8) wird dann σ = e (n+ z+ µ+ + n z µ) .

Die Leitfähigkeit von Elektrolyten steigt mitder Temperatur (wegen µ) und mit der Ionen-konzentration an. In stark verdünnten Salzlö-sungen ist die elektrische Leitfähigkeit zurKonzentration proportional.Die molare Leitfähigkeit ist definiert als

ihre SI-Einheit ist Sm2/mol. Die von c istmol/m3, meist wird jedoch mol/l verwendet.Λ ist nicht konzentrationsunabhängig, wieman vielleicht erwarten könnte. Bei schwa-chen Elektrolyten wird die Ionenkonzen-tration n in (8) durch den konzentrations-abhängigen Dissoziationsgrad α beeinflusst.Bei starken Elektrolyten (wie NaCl und KClin diesem Versuch) gilt immer α = 1. Hierhängt aber die Beweglichkeit µ in (8) von derKonzentration ab. Durch elektrostatischeWechselwirkung behindern sich die wandern-den Ionen gegenseitig, wodurch ihre Be-weglichkeit und damit die molare Leitfähig-keit mit zunehmender Konzentration ab-nimmt. Bei sehr starker Verdünnung (großeAbstände zwischen den Ionen) ist die Wech-selwirkung vernachlässigbar. Die molareLeitfähigkeit ist dann von der Konzentrationunabhängig und wird als molare Grenzleit-fähigkeit Λ0 bezeichnet.Für starke Elektrolyte gilt näherungsweise

(k: Konstante. KOHLRAUSCHsches Quadratwurzel-

gesetz, DEBYE-HÜCKEL-ONSAGER-Theorie).

.j Es= × (5)

.v Em= × (6)

.j n z e Em= × × × (7)

n z es m= × × (8)

,cs

= (9)

0 k c = - × (10)


67

Abb.2: Schaltung zur Leitfähigkeitsmessungin Elektrolyten (Wienbrücke).

GR K

= = ×1 1

s . (11)

.x

KR

s = (12)

2.3 Eine elektrolytische Zelle, die mit einemElektrolyten gefüllt ist, hat den elektrischenWiderstand R. Für den elektrischen LeitwertG der Zelle schreibt man

In dieser Gleichung wurden gegenüber Gl. (4)die Größen A und l zur Zellkonstanten Kzusammengefasst. Ihre Einheit ist Κ =1/m.Die Zellkonstante K wird nur vom Aufbau(Größe und Form) der elektrolytischen Zellebestimmt, während die elektrische Leitfähig-keit σ nur von der Art des gelösten Stoffes,seiner Konzentration und von der Temperaturabhängt. Zur Bestimmung der elektrischen Leitfähig-keit σ wird der Widerstand Rx der elektrolyti-schen Zelle gemessen. Aus (5) ergibt sich

Die Zellkonstante Κ wird durch Messungeines Elektrolyten bekannter Leitfähigkeit(hier gesättigte NaCl-Lösung) ermittelt.Die Leitfähigkeit von Elektrolyten mussgrundsätzlich mit Wechselstrom gemessenwerden, damit das Messergebnis nicht durchdie Elektrodenpolarisation verfälscht wird.Die Widerstände Rx der gefüllten elektrolyti-schen Zelle werden deshalb mit Hilfe einerWechselstrombrücke (Abb.2) ermittelt.

3 Versuchsaufbau

Geräte- elektrolytische Zelle mit Halterung- Sinus-Generator 1 kHz 1...6 V- Vielfachmesser- Widerstandsdekaden 0,1 Ω - 1 MΩ (1 %)- Kapazitätsdekaden 0,1 nF - 10 µF (5 %)- 2 Festwiderstände 100 Ω (0,2 %)- Thermometer- Flasche mit NaCl-Lösung- Flasche mit KCl- 3 Messzylinder 100 mL, 25 mL, 10 mL- Becherglas, Trichter, Spatel, Glasstab

3.1 Abb.2 zeigt den Schaltungsaufbau. AlsSpannungsquelle dient ein Sinus-Generatormit der festen Frequenz 1 kHz und einerSpannung von Ueff = 2 V. Für R3 und R4

werden die beiden Festwiderstände mit je 100Ω, für R1 die Widerstandsdekade und für C1

die Kapazitätsdekade verwendet. Zur Anzeigedes Brückenstromes dient ein empfindlicherVielfachmesser mit veränderlichen Mess-bereichen.


Die Brückenschaltung ist nach Abb.2 auf-zubauen. Der Generator soll während des Versuchesnicht ausgeschaltet werden, weil Gleich-spannungsspitzen beim Ein- und Ausschaltendurch Elektrodenpolarisation zu leicht ver-fälschten Messwerten führen können.

4.1 Bestimmung der Zellkonstante: AmVielfachmesser wird zunächst ein unempfind-licher Messbereich (etwa 100 mA) eingestellt.Generator und Vielfachmesser sind ein-zuschalten. Die elektrolytische Zelle wird mitder gesättigten NaCl-Lösung gefüllt, dieTemperatur T der Lösung wird gemessen.Nun werden der Widerstand R1 und dieKapazität C1 abwechselnd verändert, bis derBrückenstrom ein Minimum erreicht, wobeidie Messbereiche am Vielfachmesser immerempfindlicher geschaltet werden. Wenn dieBrücke abgeglichen ist, sollte der Brücken-strom kleiner als 2 μA sein. Der dazugehörige


68

Widerstand R1 = Rx (folgt aus (1), wennR3 = R4) ist abzulesen und zu protokollieren.

Achtung! Nach jeder Widerstandsmessungmuss am Vielfachmesser wieder ein un-empfindlicher Messbereich eingestelltwerden, damit beim Wechsel der Elek-trolyte keine Überlastung des Messgerätesauftritt.

4.2 Bestimmung der elektrischen Leitfähig-keit von KCl-Lösungen der Konzentration1 mol/L; 0,5; 0,2; 0,1; 0,05 und 0,02 mol/L:Zunächst werden 100 mL KCl-Lösung derKonzentration c = 1 mol/L hergestellt. Diemolare Masse von KCl beträgt 74,55 g/mol.Die erforderliche Menge KCl ist abzuwiegenund im Messzylinder in etwa 90 ml deioni-siertem Wasser aufzulösen (Rühren mitGlasstab). Danach wird die Lösung mitdeionisiertem Wasser auf 100 mL aufgefüllt.Die elektrolytische Zelle ist mit dieser Lö-sung zu füllen, die Temperatur und derWiderstand werden wie oben beschriebengemessen.Anschließend wird die KCl-Lösung zurweiteren Verwendung in einem Becherglasaufbewahrt; die Reste können nach Abschlussdes Versuches entsorgt werden.Je 100 mL KCl-Lösung der Konzentration0,5; 0,2; 0,1; 0,05 und 0,02 mol/L werdendurch Verdünnung eines Teils der 1 mol/L-KCl-Lösung aus dem Becherglas hergestellt.Der Widerstand und die Temperatur dieserLösungen in der elektrolytischen Zelle wer-den gemessen. Anschließend sind die Lösun-gen zu verwerfen.Alle gemessenen Werte sind übersichtlichtabellarisch zu erfassen.

Hinweis:Es muss sauber gearbeitet werden. Die elek-trolytische Zelle und die Elektroden sind beijedem Umfüllen sorgfältig zu spülen.Die gesättigte NaCl-Lösung wird nach derMessung in die Vorratsflasche zurückgegos-sen.

5 Auswertung

5.1 Die Zellenkonstante K ist mittels (12) zuberechnen. Die elektrische Leitfähigkeit σ dergesättigten NaCl-Lösung ist anhand dergemessenen Temperatur T einer Tabelle zuentnehmen.

5.2 Die elektrischen Leitfähigkeiten σ derKCl-Lösungen werden nach Gl. (12), diemolaren Leitfähigkeiten Λ nach (9) berechnet.beide sind in Abhängigkeit von der Konzen-tration c der KCl-Lösung grafisch darzustel-len und zu diskutieren.

Zusatzaufgabe: Mittels nichtlinearer Regression der Ergeb-nisse für Λ mit Gl. (10) ist die Gültigkeitdieser Gleichung nachzuweisen. Die molareGrenzleitfähigkeit von KCl ist anzugeben.

Hinweis zur Fehlerrechnung:Die Messunsicherheit muss für jede Konzen-tration getrennt berechnet werden. Um dieKonzentrationsabhängigkeit der molarenLeitfähigkeit von den Messunsicherheitenunterscheiden zu können, sollen letztere alsFehlerbalken zu jedem Punkt in die Grafikeingezeichnet werden.

6 Literatur

Wedler, G. und Freund, H-J.: Lehrbuch derPhysikalischen Chemie. Wiley-VCH, 2012

Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer,Berlin u.a. 2010

7 Kontrollfragen

7.1 Erläutern Sie das Prinzip der Wider-standsmessung mit einer Brückenschaltung!

7.2 Was versteht man unter Amplitude undPhase eines Wechselstromes?

7.3 Welche Größen bestimmen die elektri-sche Leitfähigkeit und wie hängt sie von derTemperatur ab?

7.3 Wie wird die molare Leitfähigkeitdefiniert und wovon hängt sie ab?

Grundpraktikum II E 10 Thermospannung

69

Abb.2: Kompensationsschaltung

U TT = ×a D . (1)

Abb.1: Kupfer-Konstantan-Thermoelement

1 Aufgabenstellung

Der SEEBECK-Koeffizient eines Thermo-elementes ist mit Hilfe einer Kompensations-methode zu bestimmen.

2 Grundlagen

2.1 Thermoelement: In einem (isolierten)elektrischen Leiter wird durch einen Tempe-raturgradienten eine elektrische Potentialdif-ferenz erzeugt (absoluter SEEBECK-Effekt),die jedoch nicht unmittelbar messbar ist.Vereinfacht gesehen, verhalten sich dieLadungsträger im Leiter wie die Teilcheneines idealen Gases: Ladungsträger von derwärmeren Seite mit höherer kinetischerEnergie diffundieren schneller zur kaltenSeite als umgekehrt; auf diese Weise entstehtauf der kalten Seite ein Überschuss an La-dungsträgern, der durch die entstehendePotentialdifferenz begrenzt wird.Verbindet man zwei verschiedene Leiter zueinem Stromkreis (Abb.1) und bringt diebeiden Kontaktstellen auf verschiedeneTemperaturen T0 und T1, so entstehen in denbeiden Leitern unterschiedliche innere Poten-tiale. Zwischen den Punkten A und B tritt dieDifferenz der beiden Potentiale auf, diesogenannte Thermospannung. Dies wird alsSEEBECK-Effekt bezeichnet.(Damit wirklich nur die durch Cu und Kon-

stantan erzeugte Thermospannung gemessenwird, müssen alle anderen Verbindungenzwischen verschiedenen Leitern im Strom-kreis, also die Punkte A und B und das Mess-gerät, isotherm sein.)

In vielen älteren Lehrbüchern wird dieThermospannung falsch als „Kontaktspan-nung“ erklärt. Dies ist nicht richtig! (sieheLiteraturhinweis) Die Thermospannung UT ist näherungsweiseproportional zur Temperaturdifferenz ΔT =T1 - T0 :

Der Koeffizient α heißt Thermokraft oderSeebeckkoeffizient und ist von beiden Mate-rialien abhängig.Thermoelemente werden häufig zur Tempera-turmessung verwendet. Sie sind preiswert,schnell (kleine Wärmekapazität) und bietenden Vorteil, dass sich die Thermospannungenunmittelbar als Eingangssignale für Compu-ter, Steuer- und Regelgeräte nutzen lassen.

2.2 Kompensationsschaltung: Die Messungder Urspannung einer Spannungsquelle ist nurmöglich, wenn der Quelle dabei kein Stromentnommen wird (siehe Versuch E 7). Strom-lose Spannungsmessungen lassen sich mitHilfe einer Kompensationsschaltung vorneh-men (Abb.2). Hierzu werden neben der zu messenden

Thermospannung E10


70

1 2

10 1

1 2

.

h

h

U I R I R

RU I R U

R R

= × + ×

= × = ×+

(2)

Abb.3: Versuchsaufbau

.hh

UI

R= (3)

11 1 .h h

RU R I U

R= × = × (4)

Spannungsquelle U0 eine Hilfsspannungs-quelle Uh (genau bekannte Spannung, gerin-ger Innenwiderstand), ein Spannungsteiler(bestehend aus den Teilwiderständen R1 undR2) und ein Galvanometer (hochempfindli-ches Amperemeter, Nullinstrument) benötigt.Wird jetzt durch Veränderung des Verhält-nisses zwischen R1 und R2 erreicht, dass derSpannungsabfall über R1 gleich der SpannungU0 ist, so wird der Spannungsquelle U0 keinStrom entnommen.Für die beiden Maschen in der Schaltung inAbb.2 gilt in diesem Fall nach der KIRCH-HOFFschen Regel:

Mit Hilfe des Galvanometers kann die Kom-pensationsschaltung genau abgeglichenwerden; U0 wird dann nach (2) berechnet.

3 Versuchsaufbau

Geräte- Halterung mit Thermoelement- Heizplatte mit Magnetrührer, Rührstäbchen- Isoliergefäß- kleiner Topf- Digitalthermometer- Stöpselwiderstand (Genauigkeit: 0,1 %)- elektron. Galvanometer (Nullinstrument)- Akkumulator- Digitalmultimeter (Spannungsmesser)- Verbindungsleitungen

3.1 Zur Bestimmung der Thermospannun-gen UT wird eine Kompensationsschaltungnach Abb.3 verwendet. Die linke Lötstelledes Thermoelementes wird mit Hilfe einesEis-Wasser-Gemisches im Isoliergefäß aufder konstanten Temperatur T0 = 0C gehalten;die Temperatur der rechten Lötstelle T1 kanndurch die Erwärmung des Wasserbades (imTopf) verändert werden. Für T1T0 = ΔT 0entsteht eine Thermospannung UT .Die Widerstände R (Gesamtwiderstand) undR1 (ein kleiner Teilwiderstand von R) werdendurch den Präzisions-Stöpselwiderstandgebildet. Dieser besteht aus einer Reihen-schaltung von vielen Einzelwiderständen(0,1 Ω; 0,2 Ω; 0,5 Ω; 1 Ω; ... ; 50 000 Ω).Durch Einstecken von Metallstöpseln kannman jeden Einzelwiderstand kurzschließenund damit den Gesamtwiderstand R ver-ändern. Außerdem kann mit Hilfe zweierAbgriffstöpsel über einem beliebigen, genaudefinierten Teilwiderstand R1 eine Spannungabgegriffen werden.Der Stöpselwiderstand ist an einen Akku mitder (Hilfs-) Spannung Uh angeschlossen, esfließt ein Strom Ih:

Uh wird mit einem genauen Voltmeter gemes-sen. Der Spannungsabfall U1 am WiderstandR1 zwischen den verstellbaren Abgriffspitzen(Abb.3) beträgt

Mit dieser (Gegen-) Spannung U1 kann dieThermospannung UT kompensiert werden: Esist U1 = UT, wenn der vom Galvanometer Gangezeigte Thermostrom IT gleich Null ist.


Achtung! Bevor der Akku an den Stöpsel-widerstand angeschlossen wird, muss dieSchaltung vom Betreuer überprüft werden!


71

a =d

d

U

TT . (5)

Beim Auf- und Abbau des Versuches sowiebeim Messen darf das Galvanometer nichtüberlastet werden!

Bauen Sie die Schaltung nach Abb.3 auf. DerGesamtwiderstand R des Stöpselwiderstandesist durch Einstecken von Stöpseln so ein-zurichten, dass der Strom Ih etwa 0,05 mAbeträgt. Dazu ist R mit Hilfe der aufgedruck-ten Akku-Spannung Uh zu berechnen.

Das Isoliergefäß ist mit einer Eis-Wasser-Mischung zu füllen, so dass die linke Löt-stelle eine Temperatur von T0 = 0C an-nimmt. Der Topf ist mit Wasser von ca. 5°Czu füllen (etwas Eis hinzugeben). Die Spannung Uh ist zu messen; Uh und derGesamtwiderstand R sind zu protokollieren!Der Widerstand R1 zwischen den Abgriff-stöpseln wird so gewählt, dass am Galvano-meter G ein negativer Ausschlag entsteht, d.h.U1 > UT. Erwärmt man dann das Wasserbad langsamunter ständigem Rühren, so steigt T1 unddamit die Thermospannung UT. Wenn IT = 0ist (Nulldurchgang am Galvanometer), istUT = U1. In diesem Moment ist die Tempera-tur T1 abzulesen. Danach wird die Gegen-spannung U1 mit Hilfe von R1 wieder erhöht(Linksausschlag am Galvanometer). Die weitere Erwärmung führt erneut zu IT = 0(also UT = U1), wobei beim Nulldurchgangdes Zeigers am Galvanometer wieder dieTemperatur T1 gemessen wird. Dieses Ver-fahren wird bis zur Siedetemperatur fortge-setzt. Zur Einstellung der Gegenspannungen U1

empfiehlt es sich, folgende Widerstandswertefür R1 zu wählen: 5Ω, 10Ω, 15Ω, 20Ω, …

5 Auswertung

Für alle Messpunkte wird die Thermospan-nung UT = U1 nach (4) berechnet und in

Abhängigkeit von der Temperatur T1 grafischdargestellt. Aus der grafischen Darstellung ist die Ther-mokraft (der Seebeckkoeffizient) α durchlineare Regression zu ermitteln. VergleichenSie das Ergebnis mit Literaturwerten!

Wurden die Messungen sehr sorgfältig durch-geführt, so sollte aus der Grafik zu erkennensein, dass die Thermospannung nicht exaktlinear mit der Temperatur ansteigt. Passen Sieeine Parabel oder einen Polynom höherenGrades an die Messwerte an und berechnenSie den Seebeckkoeffizient als Funktion derTemperatur durch Differenzieren:

Stellen Sie α als Funktion der Temperaturgrafisch dar.

6 Literatur

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.2 Elektromagnetismus. deGruyter, Berlin u.a., 2008

http://www.uni-konstanz.de/FuF/Physik/Jaeckle/papers/thermospannung/

7 Kontrollfragen

7.1 Wie entsteht eine Thermospannung?

7.2 Welche Vorteile hat ein Thermoelementverglichen mit anderen Temperaturmess-verfahren?

7.3 Warum verwendet man zur Messung derThermospannung eine Kompensationsschal-tung?

Anhang Hinweise zur Bedienung von CASSY

72

Hinweise zur Bedienung des computergesteuerten Mess-werterfassungssystems CASSY

Allgemeines

Cassy-S, ein für die Lehre in Schulen und Universitäten konzipiertes universelles Messwert-Erfassungssystem, besteht aus verschiedenen Geräten mit serieller oder USB-Schnittstelle sowieder Windows-Software CASSY Lab 2. Im Praktikum kommen zum Einsatz:

• Sensor-Cassy ist ein zweikanaliges Messgerät für Strom und Spannung mit einer Auflösungvon 12 bit (1:4096) und einer maximalen Messrate von 100 kHz (105 Messwerte proSekunde). Mit Hilfe von Zubehör (aufzusteckende „Sensorboxen“ und verschiedeneSensoren) können damit fast alle denkbaren physikalischen Größen gemessen werden.

• Pocket-Cassy besitzt die gleiche Funktionalität, jedoch nur einen Messkanal, misst nur 104

Werte pro Sekunde und benötigt kein Netzteil (Stromversorgung über USB).

• Mobile-Cassy 2 ist ein sehr leistungsfähiges (ähnlich Sensor-Cassy) Akku-betriebenes Hand-messgerät. Es kann Messdaten im internen Speicher ablegen und per USB oder WLAN mitallen Praktikumsrechnern sowie mit Laptops, Tablets und Handys kommunizieren.

• Power-Cassy ist ein Leistungs-Funktionsgenerator, also eine computersteuerbare Strom- oderSpannungsquelle, die bei einer Abtastrate von 100 kHz maximal 10V / 1A liefert.

• Cassy-Display ist ein großformatiges Anzeigegerät. Es zeigt in Verbindung mit Sensor-Cassy(ohne Computer) gleichzeitig zwei Messwerte mit Einheit an.

Die Software CASSY Lab 2 steuert die Messung, stellt die Messergebnisse grafisch dar undbietet viele Möglichkeiten zur mathematischen Auswertung. Die Bedienung ist relativ einfachund erfordert nur wenige Grundkenntnisse. Die Software ist beim Hersteller unterhttp://www.ld-didactic.de frei verfügbar und kann daher auch zuhause zur Auswertung vomMessungen aus dem Praktikum verwendet werden.

Quick Start: Einschalten und Konfigurieren des Systems

Stellen Sie sicher, dass alle benötigten Cassy-Module zusammengesteckt, mit dem PCverbunden und mit Strom versorgt sind. Starten Sie nundas Programm “CASSY Lab 2". Das Fenster CASSYs

wird präsentiert und zeigt die vorgefundene Geräte-konfiguration.Um eine Messung durchzuführen, muss der entsprechen

de Eingang oder Ausgang angeklickt werden. Es er-scheint das Fenster Einstellungen (siehe nächste Seite).Im oberen Teil dieses Fensters bietet eine BaumstrukturZugriff auf alle Bereiche der Software: Unter CASSYs

sind alle Einstellungen zu den verwendeten Messgerätenzu finden, unter Rechner können aus den Messgrößenneue physikalische Größen berechnet werden, unterDarstellungen können die Messwerttabellen und Dia-gramme angepasst werden sowie neue Diagrammeangelegt werden.


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Im unteren Teil des Fensters stehen die Einstel-lungen des in der Baumstruktur markierten Kno-tens (hier wird z.B. der Messbereich einer Mess-größe eingestellt) und die Messparameter. Vor Aufnahme einer Messreihe sollte man hierden richtigen Messbereich einstellen und sinnvolleMessparameter auswählen: Aufnahme: automatisch bedeutet, dass der Com-puter mehrere Messpunkte nacheinander aufzeich-net. Neue Messreihe anhängen bewirkt, dass ineiner Grafik mehrere Messreihen (Messkurven)dargestellt werden können. Die wichtigste Größe,die hier auf einen sinnvollen Wert eingestelltwerden muss, ist das Mess-Intervall. Bei 10 μsentstehen pro Sekunde 100.000 Messwerte! AusIntervall und Messzeit ergibt sich die Anzahl derEinzelmessungen. Wenn bei Messzeit kein Werteingetragen ist, wird die Messreihe so langefortgesetzt, bis sie manuell gestoppt wird.Die Aufnahme einer Messreihe kann nun mit F9

oder durch Klick auf den Start/Stopp-Buttonbegonnen werden.

Grundlegende Bedienelemente

Buttonleiste mit Buttons für die Anzeigeinstrumente aller gemessenen und berechnetenGrößen

Anzeigeinstrument. Rechts-Klick: Messgröße und Messbereich einstellen

Umschalten zwischen mehreren Darstellungen. Durch Ziehen mit der Maus freieAnordnung auf dem Bildschirm.

Die Messwerte-Tabelle kann editiert werden. Rechts-Klick: Messwerte und Messreihenlöschen

Im Diagramm werden Punkte und Kurvenbereiche mit der Maus markiert. Rechts-Klick:Diagramm-Menü


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Skala der Diagrammachsen mit Maus verschieben, mit Rechts-Klick ändern

Umschalten zwischen verschiedenen y-Achsen

Trennlinie verschieben

F4 Neue Messung (aktuelle Messung löschen)

F3 Gespeicherte Messung (mit allen Einstellungen und Auswertungen) laden

F2 Aktuelle Messung (mit allen Einstellungen und Auswertungen) speichern

Diagramm oder Tabelle ausdrucken

F9 Eine Messreihe starten oder beenden (Einzelmessung bei manueller Aufnahme)

F5 Cassy-Module anzeigen (wie bei Programmstart)

F5 (2× drücken) Einstellungen bzw. Messparameter anzeigen

F6 Inhalt der Statuszeile (z. B. das Ergebnis einer Rechnung) groß darstellen

F7 Alle Anzeigeinstrumente ein/aus schalten

Das Anzeigeinstrument UA1 ein/aus schalten, Rechts-Klick: Einstellungen

Tipps und Tricks zu CASSY Lab 2

• Die Messparameter lassen sich am schnellsten durch Rechts-Klick auf den Start/Stopp-Button anzeigen, die Einstellung des Messbereiches durch Rechts-Klick auf dasentsprechende Messinstrument

• Mit Alt+T fügen Sie Text in das Diagramm ein, dabei ist immer das Ergebnis der letztenAuswertung voreingestellt. Machen Sie viel von dieser Möglichkeit Gebrauch!

• Skalierung der Achsen: Rechts-Klick auf eine Achse.

• Die Zoom-Funktion wird mit Alt+Z aufgerufen, Alt+A zeigt wieder alles an.

• Unter Einstellungen - Rechner - Formel kann eine neue physikalische Größe erzeugt werden,die aus Messgrößen berechnet oder manuell in die Wertetabelle eingetragen werden kann.Auf diese Weise kann z. B. aus Strom I(t) und Spannung U(t) der Widerstand R(t) alsFunktion der Zeit berechnet werden.

• Weitere Diagramme zur Darstellung gemessener und berechneter Größen werden unterEinstellungen - Darstellungen angelegt. Beispiel: Erzeugen Sie eine neue Darstellung mitdem Namen “Kennlinie”, dem gemessenen Strom auf der x-Achse und dem berechnetenWiderstand auf der y-Achse

• Die Auswertefunktionen (z. B. Mittelwertbildung, Regressionsanalyse, Integration) sindausführlich in der Hilfe zum Programm dokumentiert. Jede mathematische Auswertungbezieht sich immer auf einen Kurvenbereich, der mit der Maus markiert werden muss.

• Das Programm ist frei verfügbar (s.o.), Sie können Ihre Messergebnisse aus dem Praktikum(*.labx Dateien) auch am eigenen PC zuhause auswerten. Messwerte können als *.txtDateien exportiert werden (Datei speichern und Dateityp Textexport auswählen) und mitanderen Programmen (Origin, Excel, ...) importiert werden.

Anhang Kurzanleitung zur Software ORIGIN

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Mobile-Cassy über WLAN verwenden

• Cassy einschalten. Es arbeitet als WLAN Access Point mit demNetzwerknamen GP-MCx (x = fortlaufende Nummer).

• Computer bzw. Handy mit den WLAN des Cassys verbinden,falls erforderlich das Passwort im Praktikum erfragen. UnterWindows sollte das Netzwerk als privat (nicht öffentlich)deklariert werden, sonst blockiert eventuell die Firewall dieKommunikation.

• Unter Windows CASSY Lab 2 bzw. unter Android oder iOS dieCASSY App starten und mit dem Cassy verbinden.

Kurzanleitung zur Software ORIGIN

Für die Auswertung von Messergebnissen und die Anfertigung grafischer Darstellungen steht inallen Physikpraktika die professionelle Visualisierungs- und Datenanalysesoftware Origin 2016- 2018 zur Verfügung. Die Uni Halle besitzt eine Campuslizenz dieser Software, die sich auchvon zuhause aus (mit VPN) nutzen lässt. Den Link zum Download und eine Installations-anleitung finden Sie auf der Seite des IT-Servicezentrums der Uni origin.itz.uni-halle.de, Hilfezum VPN unter itz.uni-halle.de/dienstleistungen/virtual_private_netwok.

Grundsätzliches

• Alle Daten, Rechnungen und Grafiken werden zusammen in einer Projektdatei gespeichert.Ein leeres Projekt (bei Programmstart) enthält nur die Arbeitsmappe Book1 mit einer x- undeiner y-Spalte zur Eingabe der Daten. Weitere Spalten erzeugt man mittels Rechtsklick in

den leeren Bereich oder mit ., weitere Arbeitsmappen mit Datei - Neu... oder .

• Die Sprache kann im Hilfe Menü kann auf Deutsch oder Englisch eingestellt werden.

• Eine Grafik erhält man am schnellsten, indem man eine oder mehrere y-Spalten markiert (in

den Spaltenkopf klicken) und Zeichnen wählt oder auf einen der Buttons klickt.

• Alle Objekte (z.B. Spaltennamen, Beschriftungen von Achsen, Skalierung von Achsen,Aussehen einer Kurve, Legende) kann man bearbeiten, indem man darauf doppelklickt.

Arbeitsmappen

• Die Dateneingabe funktioniert wie in Excel. Weitere Spalten erhält man mit .

• In den Spaltenkopf sollte man immer Langname und Einheiten eingetragen - sie werdenautomatisch in die Achsen-Beschriftung und in die Legende einer Grafik übernommen.

• Spalten als X, Y oder Y-Fehler setzen: Spalte markieren, Rechtsklick und Setzen als

auswählen, oder anklicken.


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• Rechnen mit Spalten: Formel in das Feld F(x)= eintragen oder Rechtsklick in markierteSpalte und Spaltenwerte errechnen... wählen.

Syntax: Spalte A Spalte B A - B (Großbuchstaben!) oder col(A) - col(B)

a b / (c + d) a * b / (c + d)

x2 x^2

x sqrt(x)

ex exp(x)

π pi

Grafiken

• Grafik-Fenster enthalten ein oder mehrere Koordinatensysteme, in Origin Layer genannt.

• Verschönern einer Grafik: Doppelklick auf die zu ändernden Dinge (siehe oben).

• Hinzufügen einer weiteren Kurve zu einem bereits existierenden Layer:

Weg1: in der Arbeitsmappe die zu zeichnenden Spalten auswählen und am rechten Rand mitder Maus in die Grafik ziehen

Weg 2: Doppelklick auf das “Layersymbol” links oben im Graph öffnet den DialogLayerinhalt. Dort links die Daten auswählen und den Button klicken.

• Hinzufügen eines weiteren Koordinatensystems oder einer zweiten Achse zu einer bestehen-

den Grafik: Grafik - Neuer Layer (Achsen) wählen oder einen der Buttons drücken.

• Eine Legende hinzufügen oder die bestehende Legende aktualisieren: Grafik - Legende

wählen oder drücken.

• Beliebigen Text in eine Grafik schreiben: drücken und in die Grafik klicken. Text

formatieren mit Format-Buttonleiste (z.B. hoch, tief, griechisch mit )

• Werte aus einer Grafik ablesen mit den Werkzeugen Bildschirmkoordinaten und

Datenkoordinaten .

• Glatte (runde) Kurven durch die Messpunkte zeichnen: Kurve doppelklicken; denDiagrammtyp “Linie + Symbol” wählen; Linie - Verbindung - Spline oder B-Spline

einstellen. Lineare Regression: Analysis - Anpassen - Linearer Fit wählen. Bei mehrerenKurven vorher im Menü Daten die richtige Kurve auswählen. Soll nur ein Teil der Kurve

angepasst werden, dann vorher mit den Werkzeugen Daten-Selektor und Punkte

maskieren den Bereich einschränken. Mit Linearer Fit: Grundpraktikum-Standard

wird die Regression sofort ausgeführt, alle Parameter sind bereits für die meistenAnwendungsfälle im Praktikum sinnvoll eingestellt.


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Ausdruck von Grafiken und Arbeitsmappen

• Prüfen Sie Ihre Grafiken vor dem Ausdruck genau, vermeiden Sie mehrfache Korrektur-drucke! Im Praktikum werden mehrere 10.000 Seiten pro Jahr gedruckt - das kostet Geld undbelastet die Umwelt. Arbeitsmappen mit sehr vielen Daten (mehrere Seiten) sollen imPraktikum nicht gedruckt werden. Solche mit nur drei Zahlen können Sie abschreiben!

• Mehrere Grafiken und/oder Arbeitsmappen und Text auf einem A4-Blatt anordnen:

Datei - Neu... Layout wählen oder klicken; Rechtsklick auf die Layoutseite um Grafikenoder Arbeitsmappen hinzuzufügen.

• druckt eine Grafik, Arbeitsmappe oder ein Layout unmittelbar auf ein A4-Blatt.

Anhang Naturkonstanten

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Einige Naturkonstanten

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 2,997 924 58 108 m/s 300 000 km/s

Gravitationskonstante γ = 6,674 30(15) 1011 N m2 kg2

Fallbeschleunigung im Grundpraktikum g = 9,812 03(2) m/s2

Elementarladung e0 = 1,602 176 634 1019 C

Elektronenruhemasse me = 9,109 383 7015(28) 1031 kg

Atomare Masseneinheit u = 1,660 539 066 6(5) 1027 kg( )121C

12m

elektrische Feldkonstante ε0 = 8,854 187 817 1012 A s V1 m1

(Dielektrizitätskonstante des Vakuums)

magnetische Feldkonstante μ0 = 1,256 637 062 12(19) 106 V s A1 m1

(Permeabilität des Vakuums)

Planck-Konstante h = 6,626 070 15 1034 J s(Planckschen Wirkungsquantum) = 4,135 667 70 1015 eV s

Avogadro-Konstante NA = 6,022 140 76 1023 mol1

Boltzmann-Konstante k = 1,380 649 1023 J/K

molare Gaskonstante R = 8,314 462 618 153 24 J mol1 K1

Faraday-Konstante NA e0 F 9,648 533 212 331 104 C/mol

Quelle und weitere Daten: https://physics.nist.gov/cuu/

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Grundpraktikum Physik I und II...7 Nach Beendigung des Versuches ist der Arbeitsplatz aufgeräumt und sauber zu ver-lassen. 8 Essen und Trinken ist in den Praktikums-räumen nicht