Grupy Coxetera i diagramy Coxetera Dynkinajustus/conf/wyk_szczecin_coxeter-d.pdf · istnieje dokładnie jedna t-baza systemu Φ; każda t-baza systemu Φ jest bazą liniową przestrzeni

Grupy Coxetera i diagramy Coxetera–Dynkina

Grupy Coxetera i diagramy

Coxetera–Dynkina

Justyna Kosakowska

Szczecin, kwiecień 2013


Cel wykładu

Omówimy klasyfikację oraz pewne własności skończonych grupCoxetera.

Wstęp

Skończone grupy Coxetera odgrywają ważną rolę m.in. w

klasyfikacji półprostych algebr i grup Liego;teorii grup algebraicznych.klasyfikacji wielościanów foremnych;

Znana jest klasyfikacja skończonych grup Coxetera(wykorzystująca systemy pierwiastków oraz grafyCoxetera).


Oznaczenia

Mn(R) – algebra n × n-macierzy o współczynnikachw ciele R;

e1, . . . , en – baza standardowa p. lin. Rn;

〈−,−〉 : Rn ×Rn → R – standardowy iloczyn skalarny;

O(n) = O(n,R) = {A ∈Mn(R) ; A · Atr = E} grupa

macierzy ortogonalnych (pełna grupa ortogonalna);

grupa O(n) jest izomorficzna z grupą O(Rn) wszystkichliniowych ortogonalnych przekształceń f : Rn → Rn

(tzn. 〈f (u), f (v )〉 = 〈u, v〉);dalej będziemy utożsamiać te grupy;


Definicja

Przekształcenie liniowe s : Rn → Rn nazywamy odbiciem,

jeśli istnieje hiperpłaszczyzna P w Rn (tzn. podprzestrzeńliniowa wymiaru n − 1) taka, że s(x) = x, jeśli x ∈ P orazs(x) = −x, jeśli x ∈ P⊥.Niech 0 6= α ∈ P⊥. Wtedy odbicie względem P jest postaci

sα(x) = x −2〈x , α〉

〈α, α〉α.

Oczywiście sα ∈ O(n).

Problem

Opisać skończone podgrupy w O(n) generowane przez odbicia.


Odbicia

Każde odbicie s wyznacza jednoznacznie hiperprzestrzeń Poraz prostą

L = P⊥ = αR , 0 6= α ∈ P⊥.

Będziemy stosować oznaczenia s = sα, P = Pα oraz L = Lα.

Wektor α (tzw. pierwiastek) NIE jest jednoznaczniewyznaczony przez s (sα = sλα dla 0 6= λ ∈ R).

Pα

Lα

α


Dwa przykłady

Niech �m będzie m-kątem foremnym w R2 (o środku ciężkościw (0, 0)) oraz niech

Hm := O(�m) = {A ∈ O(2) ; A(�m) = �m}

= {E ,Rθ,R2θ, . . . ,Rm−1

θ,T ,Rθ · T ,R

2θ· T , . . . ,Rm−1

θ· T},

gdzie

Rθ =

(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

, T =

(

1 00 −1

)

.

oraz θ = 2π/m, (grupa dyhedralna).

Grupa Hm jest generowana przez dwa odbicia: T oraz Rθ · T .


Grupy H4, H6 oraz H5

θ

1

2

θ

1

2 θ

1

2

Rθ = s2 · s1


Dwa przykłady

Niech Sn będzie grupą symetryczną. Wtedy Sn →֒ O(n)(permutacje wektorów bazowych).

Transpozycja (ij) działa jak odbicie: przeprowadza ei − ejw −(ei − ej) oraz jest niezmiennicze na przestrzeniprostopadłej do ei − ej .

Zatem grupa Sn jest generowana przez odbicia (i , i + 1),1 ¬ i ¬ n − 1.

Wiadomo, że (Rn)Sn = (e1 + e2 + . . .+ en)R. Zatem Sn działarównież na Rn−1 oraz Sn →֒ O(n − 1).


Uwaga

Niech W ⊆ O(n) będzie podgrupą oraz niech

V0 = V0(W ) = (Rn)W

Wtedy Rn = V0 ⊕ V⊥0 oraz W (V0) = V0, W (V⊥0 ) = V

⊥0 .

Zatem W →֒ O(m), gdzie m = dimR V⊥0 . Bez straty ogólności

można założyć, że V0 = 0.

Definicja

Skończoną podgrupę W ⊆ O(n) generowaną przez odbiciaoraz taką, że V0(W ) = 0 będziemy nazywać grupą Coxetera.


Definicja

Niech W będzie grupą Coxetera oraz niech

Φ = ΦW = {α,−α ; ‖ α ‖= 1 oraz sα ∈ W }.

Zbiór Φ nazywamy systemem pierwiastków grupy W .

Systemy pierwiastków grup H4, H6 oraz H5

••

•

••

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

••

•

•


Niech t ∈ Rn będzie taki, że 〈t, r〉 6= 0 dla każdego r ∈ Φ.Definiujemy

Φ+ = Φ+t = {r ∈ Φ ; 〈t, r〉 > 0}

oraz Φ−t = −Φ+t . Wtedy Φ = Φ+

t ∪ Φ−t oraz |Φ

+t | = |Φ

−t |.

Ustalamy Φ+. Niech ∆ ⊆ Φ+ będzie minimalnym podzbioremo tej własności, że każdy r ∈ Φ+ jest kombinacją liniowąo nieujemnych współczynnikach elementów z ∆. Taki zbiór ∆nazywamy t-bazą (krótko: bazą) systemu Φ.

Niech ∆ = {r1, . . . , rn} będzie bazą systemu Φ (jest torównież baza liniowa Rn). Pierwiastki r1, . . . , rn nazywamyprostymi pierwiastkami natomiast odpowiadające im odbicias1, . . . , sn fundamentalnymi odbiciami w W .


Systemy pierwiastków grup H4 oraz H6

Φ+

Φ−

t×

•

•

•

•

•

•

•

•t×

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Φ+

Φ−

Φ = {•, •, •} , Φ+ = {•, •} , ∆ = {•}.


Twierdzenie

Niech W ⊆ O(n) będzie grupą Coxetera. Wtedy

istnieje dokładnie jedna t-baza systemu Φ;

każda t-baza systemu Φ jest bazą liniową przestrzeni Rn;

jeśli ∆, ∆′ są odp. t, t ′-bazami, to istnieje w ∈ W takie,że w(∆) = ∆′.

Twierdzenie (Coxeter, 1934)

W ∼= 〈s1, . . . , sn ; (sisj)pij = 1 , i , j = 1, . . . , n〉,

gdzie pij jest rzędem elementu sisj w grupie W .

Uwaga

Grupą Coxetera nazywa się też każdą grupę posiadającą takąprezentację (wymagamy pii = 1, ale dopuszczamy pij =∞).


Definicja

Skończony graf nieskierowany Q = (V ,E ) z waluacjąω : E → N nazywamy grafem Coxetera, o ile dla każdejkrawędzi i j jej waga ωij = ω( i j ) jest liczbąnaturalną > 2.

Definicja

Niech W będzie grupą Coxetera generowaną przez{s1, . . . , sn}. Graf QW = ({1, . . . , n},E ) z waluacjąp : E → N, p( i j ) = pij , gdzie

E = { i j ; pij > 2}, nazywamy grafem Coxeteragrupy W.

QHn = Hn2 : ◦ n ◦


Twierdzenie

Niech W1,W2 ⊆ O(n) będą grupami Coxetera. JeśliQW1 = QW2, to istnieje T ∈ O(n) taki, że TW1T

−1 = W2.

Dowód

Niech ∆1, ∆2 będą bazami (odpowiednio systemu ΦW1 orazΦW2), które wyznaczają graf QW1 = QW2. Stąd

∆1 = {r1, . . . , rn} oraz ∆2 = {r′

1, . . . , r′

n},

gdzie 〈ri , rj〉 = 〈r′i , r′j 〉 = − cos(

π

p′ij

) ( ⇐⇒ pij = p′ij) dla i , j .

Def. p. lin. T : Rn → Rn przez T (ri) = r′i . Mamy

〈T (ri),T (rj)〉 = 〈r′

i , r′

j 〉 = 〈ri , rj〉,

więc T ∈ O(n).


Dowód

Niech si , s′i będą odbiciami odpowiadającymi odpowiednio

pierwiastkom ri , r′i . Mamy s

′i = TsiT

−1. Istotnie,

TsiT−1(r ′i ) = Tsi(ri) = T (−ri) = −r

′

i

oraz dla x takiego, że 〈x , r ′i 〉 = 0 zachodzi

0 = 〈T−1(x),T−1(r ′i )〉 = 〈T−1(x), ri〉.

StądTsi(T

−1(x)) = T (T−1(x)) = x .

Ponieważ odbicia s1, . . . , sn oraz s′1, . . . , s

′n generują

odpowiednio grupy W1 oraz W2, więc W2 = TW1T−1. �


Definicja

Grupę Coxetera W nazywamy nieprzywiedlną, jeśli nie jestona produktem dwóch nietrywialnych grup Coxetera.

Stwierdzenie

Niech W będzie grupą Coxetera oraz QW jej grafem Coxetera.

Grupa W jest nieprzywiedlna wtedy i tylko wtedy, gdygraf QW jest spójny.

Jeśli Q1, . . . ,Qm są spójnymi składowymi grafu QW , toW =W1 × . . .×Wm oraz QWi = Qi (i = 1, . . . ,m).

Wniosek

Wystarczy podać klasyfikację nieprzywiedlnych grup Coxetera.


Twierdzenie

Jeśli W jest nieprzywiedlną grupą Coxetera, to QW jestjednym z poniższych grafów Coxetera-Dynkina.

Dla każdego grafu Coxetera-Dynkina Q istnieje grupaCoxetera W taka, że QW = Q.

Uwaga

Piszemy ipijj , jeśli pij > 3 oraz i j , jeśli pij = 3.


Grafy Coxetera-DynkinaAn : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ (n 1 wierzchołków)

Bn : ◦4◦ ◦ ◦ ◦ (n 2 wierzchołków)

◦

Dn : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ (n 4 wierzchołków)

F4 : ◦ ◦4◦ ◦ H

n2: ◦

n◦ (n 5)

I3 : ◦5◦ ◦ I4 : ◦

5◦ ◦ ◦

◦

E6 : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

◦

E7 : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

◦

E8 : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦


Idea dowodu

Z grafem Coxetera stowarzysza się macierz symetrycznątzw. macierz Coxetera.

Graf Coxetera nazywamy dodatnio określonym, jeśliodpowiadająca mu macierz jest dodatnio określona.

Pokazuje się, że graf Coxetera grupy Coxetera jestdodatnio określony.

Dowodzi się, że jedynymi dodatnio określonymi grafamiCoxetera są te wymienione powyżej.

Dla każdego z powyższych grafów Coxetera wskazuje się(konstruuje) odpowiednią grupę Coxetera.


Wielościany/wielokomórki foremne wypukłe

wielokąty foremne wypukłe �m w R2;

bryły platońskie w R3;

w R4:

24-ścian (ścianami są trzywymiarowe ośmiościany);120-ścian (ścianami są trzywymiarowe dwunastościany);600-ścian (ścianami są trzywymiarowe czworościany);

n-wymiarowe sympleksy w Rn;

n-wymiarowe kostki w Rn;

n-wymiarowe 2n-wielokomórki;



Typ Hn2 : ◦n ◦

Grafem Coxetera grupy Hn ∼= O(�n) jest Hn2.

Typ An : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Grafem Coxetera grupy Sn−1 jest An.

S3 ∼= H3 ∼= O(�3);

S4 ∼= O(T4) (permutuje wierzchołki czworościanuforemnego T4);

Sn+1 ∼= O(∆n) (permutuje wierzchołki sympleksu ∆nwymiaru n);

Typ Bn : ◦4 ◦ ◦ ◦ ◦

Grupa Coxetera: O(I n), gdzie I n jest n-wymiarową kostką(I 3 = T6 oraz O(T6) = O(T8)).


Typ ◦

Dn : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Grupa Coxetera: grupa symetrii n-wymiarowej demi-kostki.

Typ I3 : ◦5 ◦ ◦

Grupa Coxetera: O(T12) = O(T20) jest I3.

Typ I4 : ◦5 ◦ ◦ ◦

Grupa Coxetera: grupa symetrii foremnego 4-wymiarowego120-ścianu (lub 600-ścianu).


Typ F4 : ◦ ◦ 4 ◦ ◦

Grupa Coxetera: grupa symetrii foremnego 4-wymiarowego24-ścianu.

Typ E6, E7, E8 ◦

E6 : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Grupy Coxetera: grupy symetrii półforemnych wielościanówopisanych w 1900 roku przez T. Gosseta. Są to tzw. 6-ic, 7-icoraz 8-ic półforemne wielościany.

Documents

Grupy Coxetera i diagramy Coxetera Dynkinajustus/conf/wyk_szczecin_coxeter-d.pdf · istnieje dokładnie jedna t-baza systemu Φ; każda t-baza systemu Φ jest bazą liniową przestrzeni