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FUNCIONES TRASCENDENTES

¿QUÉ SON LOS FENÓMENOS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICOS?

Los fenómenos en los que una cierta magnitud tiene un ritmo constante de variación pueden describirse mediante rectas y la pendiente de la recta indica el ritmo de cambio. Pero si el ritmo al que varía con el tiempo una magnitud es proporcional a su cantidad presente, entonces el cambio será tanto más rápido cuanta más cantidad haya disponible, con lo que el proceso se acelera más y más. Las funciones que dan cuenta de este tipo de comportamientos son las exponenciales. Sirven de modelo a fenómenos tan dispares como la evolución de poblaciones, desintegración radiactiva, intereses de capital, catenaria, número áureo, etcétera.

Las funciones inversas de las exponenciales se denominan logarítmicas. El término logaritmo proviene de las raíces griegas logos y arithmos, y viene a significar «números para calcular». Durante siglos fueron instrumento esencial a la hora de realizar cálculos complicados. La regla de cálculo, hoy desplazada por las calculadoras electrónicas, se basaba en ellos. Los logaritmos varían muy lentamente, lo que les hace ser escala numérica adecuada para medir fenómenos naturales que implican números muy grandes, tales como la intensidad del sonido, la de los movimientos sísmicos, la datación de restos arqueológicos, etc.

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función exponencial es muy importante en matemáticas. Es la función con más presencia en los fenómenos observables. Así presentan comportamiento exponencial: la reproducción de una colonia de bacterias, la desintegración de una sustancia radiactiva, algunos crecimientos demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero colocado a interés compuesto, etc.

Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma f(x) = ax o y = ax, donde la base de la potencia "a" es constante (un número) y el exponente la variable x.

Definición.Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax

se llama función exponencial de base a y exponente x.

Como ax > 0, para todo x , la función exponencial es una

función de en +.

GRÁFICA

1ª característica:El DOMINIO de la función exponencial son todos los números reales.

Dom f (x) =

2ª característica:El RANGO de la función exponencial son todos los números reales positivos.

Ran f (x) = +

Esto quiere decir, que la función exponencial SIEMPRE TOMA VALORES POSITIVOS para cualquier valor de x.

3ª característica:Corta al eje de ORDENADAS (eje Y) en el punto (0,1).

4ª característica:La función es CRECIENTE si a > 1 (FIGURA 1) y si 0 < a < 1 es DECRECIENTE (FIGURA 2).

5ª característica:El eje X es una ASÍNTOTA HORIZONTAL (Hacia la izquierda si a > 1 y hacia la derecha si a < 1)

La Función Exponencial GeneralSe dice que P es una función exponencial de t con base a si

P = P0at,

Siendo Po la cantidad inicial (cuando t = 0) y a un factor de cambio de P cuando t aumenta en 1. Si a > 1, se trata de un crecimiento exponencial; si 0 < a < 1, se trata de una disminución exponencial.

El máximo dominio posible de la función exponencial es el conjunto de los números reales, siempre y cuando a > 0.

Para ver si una tabla de valores de t y P proviene de una función exponencial P = P0a

t, se determina si los valores de lasrelaciones de P son constantes cuando los tiempos t tienen igual espaciamiento entre si.

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función logarítmica es muy importante en matemáticas. Constituye un poderoso instrumento en la práctica del cálculo numérico. Por ser la recíproca de la exponencial, esta función es una de las de más presencia en los fenómenos observables.Así aparece en la reproducción de una colonia de bacterias, la desintegración de una sustancia radiactiva, algunos crecimientos demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero colocado a interés compuesto, etc.

Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma f(x) = loga(x) donde "a" es constante (un número) y se denomina la base del logaritmo.

DefiniciónLa función logaritmo se puede definir como la función inversa de la exponencial. Es decir:

Ln x = y si x = ey.

La función logarítmica que más se utiliza en matemáticas es la función "logaritmo neperiano o natural" y se simboliza normalmente como Ln (x), (la función logaritmo en base 10 se simboliza normalmente como log(x)).

GRÁFICA

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1ª característica:El DOMINIO de la función logarítmica son los reales

positivos «+» o el intervalo (0, +). Es decir:

Dom f (x) = +

2ª característica:El RANGO de la función exponencial son todos los números reales.

Ran f (x) = .

La función TOMA VALORES POSITIVOS, NEGATIVOS o CERO para cualquier valor de x.

3ª característica:Corta al eje de ABSCISAS (eje X) en el punto (1,0).

4ª característica:La función logarítmica SIEMPRE ES CRECIENTE (FIGURA 3)

5ª característica:El eje Y es una ASÍNTOTA VERTICAL.

OBSERVACIÓN

Las funciones exponencial y logarítmica se dice que son una inversa de la otra, porque gráficamente se observa viendo que son simétricas respecto a la recta y = x, como se ve en laescena (FIGURA 4).

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Ejemplo 1. Interés Compuesto. Un capital de $12’000.000 está colocado al 3% fijo anual. Calcula la expresión que nos da el capital acumulado al cabo de t años.Sol.Se trata de una función de crecimiento exponencial.El capital en el primer año se convertirá 12000000 +12000000 0,03= 12000000 (1+0,03)

=12000000 1,03= C1,El capital al cabo de 2 años se convertirá C1 + C1 0,03 = C1 (1,03) =12000000. (1,03)2 ...y al cabo de t años

C(t) = 12000000 (1,03)t, t ≥ 0

Ejemplo 2. Fechamiento por radiocarbonoEn la naturaleza ocurren fenómenos de decaimiento exponencial. Por ejemplo, los elementos radiactivos como el radio, el uranio o el carbono radiactivo, decaen. Es decir, losátomos de esos elementos se transforman en átomos más estables. El carbono radiactivo cuyo peso molecular es 14, por lo que se le designa como carbono 14, decae en carbono

estable, de peso molecular 12, llamado carbono 12. El proceso ocurre a diferentes velocidades, según el material radiactivo de que se trate. Por ejemplo, el contenido de cobalto 60 se reduce a la mitad en 5.3 años; a este periodo se le conoce como la vida media del cobalto 60. El carbono 14 tiene una vida media de 5370 años, es decir, el contenido de este carbono radiactivo en una sustancia se reduce a la mitad en ese número de años. Este es un fenómeno que podemos aprovechar en muchos sentidos,pero muy especialmente para el fechamiento de objetos antiguos.

Resulta que la naturaleza tiene una regla virtualmenteinquebrantable con respecto a todos los seres vivos que la inte-gran: Una parte importante del organismo de un ser vivo está formada por átomos de carbono; esta parte de carbono de los seres vivos consta de una parte grande de carbono estable, es decir de carbono 12, y una parte mínima de carbono 14. El carbono 14 se forma en las capas superiores de la atmósfera: se integra en cada ser vivo mediante distintos procesos biológicos durante su vida, en una proporción que se ha mantenido fija, almenos en los últimos 100000 años. Al momento de morir unser vivo, cambia la proporción de carbono 14, ya que deja deintegrarse en el material que conforma a ese ser. Puesto que elcarbono 12 se mantiene estable, pero el 14 decae en carbono 12, resulta que después de 5 730 años —la vida media del carbono 14—, la proporción de carbono 14 se reduce a la mitad.

Más exactamente, se tiene que por cada 100 gramos de carbono en un animal o en un vegetal, decaen alrededor de 16 átomos de carbono 14 por minuto. Cuando ese ser muere, ya no sereintegra la proporción de carbono 14, por lo que su cantidad comienza a disminuir. Es posible medir tal disminución: si la proporción de carbono 14 se ha reducido a la mitad, digamos, en la madera con la que esta hecha una mesa, eso significa que el árbol del que se hizo la mesa fue cortado hace 5730 años.

Veamos un ejemplo. En una pequeña porción del cuerpo momificado del emperador egipcio Ramsés II se midió la pro-porción de carbono 14 y se detectó que ésta se había reducido a 0.677056, es decir, a 67.7% aproximadamente del que nor-malmente hay en los seres vivos.

¿Cómo podemos hacer uso de las exponenciales para poder estimar hace cuanto tiempo falleció Ramsés II? Hay un numero A tal que AT es la proporción de carbono 14 que queda después de un número T de años de muerto un ser, con respecto a la cantidad que hay en un ser vivo. Ese número A puede calcularse a partir de la vida media, puesto que sabemos que si llamamos M al número de años de la vida media, entonces AM = ½. De aquí, usando logaritmos, obtenemos que

M log A = log ½ == 0.30103,de donde

0,30103Log A

M ó

0,30103

10 MA

En el caso del carbono 14, A resulta aproximadamente igual a 1.0001209754. De este modo, ya que en el cuerpo momificado de Ramsés II la proporción es conocida (se sabe que en el año 2000 fue de aproximadamente 67.7%), tenemos que

AT = 0.677,por lo que, tomando logaritmos, resulta que Log (1.0001209754) = Log (0.677);usando la calculadora, y cambiando signos en cada miembro, obtenemos que

0.0000525358 T = 0.169411.Por lo tanto,

0,1694113224

0,0000525358T años.

Esto nos indica que Ramsés II debió haber muerto hacía unos 3224 años, es decir, por el año 1225 antes de Cristo.

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APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

1. En un experimento para controlar y estudiar el crecimiento de las bacterias, se inicia con una cantidad de 300. El investigador observa que cada hora que transcurre el número de bacterias se duplica. De acuerdo con lo anterior, establece:

a. una tabla de valores donde aparezcan el número de bacterias existentes durante cada hora transcurrida (de 0 a 4 horas)

b. la ecuación que permita determinar el número de bacterias después de t horas.

c. el número de bacterias que tendría el investigador para un valor de t = 0.25hs.

2. La expresión

1082.625 67.69t

T e

describe el calentamiento de la leche en determinadas condiciones. ∆T es la temperatura de la leche y t es el tiempo, en minutos, de calentamiento. Calcula la temperatura de la leche cuando el tiempo de calentamiento es de ¼ , ½ y ¾ de hora.

3. Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La dosis inicial es 10mg y la cantidad en el cuerpo t horas después de haber tomado el medicamento está dado por:

A(t) = 10(0.8)t

a. Calcula la cantidad de fármaco restante en el organismo 8 horas después de haberlo tomado.

b. Realiza un gráfico.

4. El crecimiento de cierto cultivo de bacterias está dado por la ecuación:

f(t) = 600(3)t/2

Si el número de bacterias se incrementa de 600 a 1800 entre las 7 a.m. y las 9 a.m.:

a. calculo el número de bacterias a las 8 a.m.b. calculo el número de bacterias a las 10 a.m.c. trazo la gráfica de f desde t = 0 hasta t = 5 horas.

5. El número de bacterias en un cultivo después de t horas está dado por:

q(t) = 200e0.25t

a. hallo el número inicial de bacterias.b. Encuentra el número de bacterias después de 25 minutos, y

después de 20 horas.c. Grafica la función q(t).

6. La tasa de crecimiento del interés compuesto del capital invertido es regulada por las leyes de crecimiento exponencial. La fórmula está dada por:

M = C0( 1 + i )nt,donde:M = monto acumulado después de un tiempo t; C0 = capital inicial invertido; i = tasa interés anual; n = número de veces al año que se acumula el interés y t tiempo.

Colocamos un CDT (Certificado de Depósito a Término) de $1’000.000, ganando un interés compuesto semestral del 3%, durante 7 años.

a. Averiguo el monto acumulado.b. Si el interés es 35.4% anual y se coloca al mismo tiempo,

¿cuál será el monto acumulado?

7. Cierta cantidad de dinero fue prestada al 30% de interés compuesto anual con capitalización semestral, por 4 años. Al terminar el plazo se canceló una suma de $6’118.000. ¿Cuánto fue el capital prestado?

8. Una sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegración de 15 años. Tenemos 10 gramos de esa sustancia. Encontrar la función que nos da la cantidad de sustancia radiactiva en función del tiempo transcurrido

9. Un virus se reproduce por división transversal: en 2 horas cada virus se divide en tres. En el día 0 se ha contado un millón de virus de ese tipo y se estudia la evolución de esta población en función del tiempo.

a. Encontrar la expresión de la población en función del tiempo, en horas.

b. ¿Cuál es el efectivo de la población en la primera hora?c. ¿Cuánto tiempo tardará en doblarse? ¿Y en multiplicarse por

10?

10. El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede ser modelado con la

siguiente ecuación 0ktA t A e . Si inicialmente habían

1000 mosquitos y después de un día la población de éstos aumenta a 1800, ¿cuántos mosquitos habrán en la colonia después de 3 días? ¿Cuánto tiempo tendría que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos?

11. Un pollo que tiene una temperatura de 40ºF es movido a un horno cuya temperatura es de 350ºF. Después de 4 horas la temperatura del pollo alcanza 170ºF. Si el pollo está listo para comer cuando su temperatura llegue a 185ºF, ¿Cuánto tiempo tomará cocinarlo?

12. El crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la siguiente ecuación

0.37

230

1 56.5 tP t

e

.

¿Cuántas abejas habían inicialmente? ¿Cuánto tiempo le tomará a las abejas tener una población igual a 180? ¿Cuál será la población de las abejas cuando t → ∞?

13. En 1970, la población de la URSS era aproximadamente de 335’000.000 de habitantes y ha ido creciendo a razón de 0.5% por año. Un analista del país mostró que la población P(t) a t años más tarde, se podía expresar como una función exponencial de base natural, tomando como referencia la población inicial de ese año(1970) y la razón de crecimiento anual. Con base en lo anterior establece la ecuación de crecimiento y con ella estima la población para este año 2004.

¡Quiz!1. La tasa de crecimiento de la población en México se estima

que es de 1.9%. Si actualmente hay 100 millones de habitantes y esta tasa se mantiene, calcula la población quehabrá en el país en los años 2025, 2050 y 2100.

2. En muestras tomadas del sudario de Turín se encontró en1988 una proporción de alrededor de 92% de carbono 14 respecto del contenido normal. Estima la fecha de fabricación del sudario usando el método exponencial.

3. En un esqueleto de mamut se detectó un contenido de 30% de carbono 14. Estima cuándo vivió ese mamut.

4. Se presume qué un fósil vegetal tiene 15000 años de anti-güedad. De ser ése el caso, ¿qué proporción de carbono 14tendrá respecto de la proporción normal en el correspon-diente vegetal vivo?

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Ejemplo 1. En la escala de Richter, la intensidad M de un terremoto, se relaciona con su energía E (en Ergios) por medio de la fórmula:

11.4 1.5LogE M .

Si un terremoto tiene 1000 veces más energía que otro, ¿cuántas veces mayor es su índice de Richter M?¿Cuál es la razón de la energía del terremoto de San Francisco, ocurrido en 1906 (M = 8.3), con la del Eureka de 1980 (M = 7))?

Sean E1 y E2, las energías de los dos terremotos y tales que

2 11000E E (1).

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Entonces,

2 1 2 11000 3LogE Log E LogE LogE (2)

Pero,

2 211.4 1.5LogE M (3)

y, también,

1 111.4 1.5LogE M (4)

Sustituyendo (3) y (4) en (2), se obtiene:

2 111.4 1.5 3 11.4 1.5M M Simplificando la última igualdad, se deduce que:

2 12M M .

Este último resultado indica que la intensidad del terremoto de mayor energía tenía dos unidades más que la intensidad del primero.Si E1 denota la energía del terremoto de San

Francisco 1 8.3M y E2 la energía del Eureka 2 7M ,

entonces:

11.4 1.5 8.31 111.4 1.5 8.3 10LogE E (5).

11.4 1.5 72 211.4 1.5 7 10LogE E (6).

Dividiendo miembro a miembro las igualdades (5) y (6), se obtiene:

11.4 1.5 8.31.5 8.3 7 1.951

11.4 1.5 72

1010 10 89

10

E

E

¿Cómo interpreta usted este resultado?

INFORMACIÓN OPTATIVA

FUNCIÓN EXPONENCIALEn la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

El ajedrez y los granos de trigoUna conocida leyenda oriental ofrece una descripción muy exacta de una función exponencial. Cuentan que un rey quiso premiar las dotes adivinatorias del sumo sacerdote que había predicho una extraordinaria victoria en una batalla. El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez, 4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote... hasta que comprobó la magnitud de su petición:

264+ 263 + ... + 22 + 2 granos de trigo,una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino. Los sumandos de esta expresión responderían, en la notación matemática actual, a la función 2x, para el dominio x = 1, 2, 3, ..., 64.

El interés continuoEl capital obtenido de la inversión de un capital inicial C0 a un interés compuesto r en n periodos anuales sigue la fórmula:

C = C0 (1 + r / n)nt,siendo t el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión. Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo exponencial:

C = C0 · ert.

Desintegración radiactivaLas sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es

de tipo exponencial decreciente, de manera que si R0 es la cantidad inicial de sustancia y k la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo t será:

R = R0 × e-kt.

Crecimiento demográficoLas curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial, siendo P0 la población inicial e i el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial:

P = P0 × eit.

FUNCIÓN LOGARÍTMICAComo la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.

Escalas de intensidad sísmicaLas escalas de medida de la intensidad de los terremotos más comúnmente utilizadas son de tipo logarítmico. Así, la escala de Richter utiliza una escala logarítmica de base 10, con lo que cada aumento de grado en esta escala no se corresponde con un aumento lineal de la magnitud de un seísmo, sino exponencial: un terremoto de grado seis es diez veces menos intenso que uno de grado siete, y cien veces menos que uno de grado ocho.

La intensidad sonoraLas unidades utilizadas comúnmente para medir los niveles de intensidad de un sonido, llamadas belio y decibelio, son en realidad relativas y de naturaleza logarítmica. Así, un decibelio se define en acústica como la décima parte del logaritmo decimal del cociente entre la intensidad de un sonido y una intensidad umbral tomada como referencia.

Datación de vestigios arqueológicosLas sustancias radiactivas se desintegran con el paso del tiempo, siguiendo una ley exponencial del tipo R = R0 e-kt, siendo R0 la cantidad de sustancia inicial, k una constante característica del elemento químico de que se trata, y R la cantidad en un instante t. Para datar restos arqueológicos se usa con frecuencia el método del isótopo C-14 (carbono 14), que resuelve la anterior ecuación mediante la aplicación de logaritmos, de manera que, conocida la constante k del carbono 14 y el periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducir su cantidad inicial a la mitad) de este elemento, es posible determinar el tiempo t.