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Guía de Ejercitación - Matemáticas
FJCC.
Guía Teórico Práctica N° 3
Geometría de Proporciones – Teorema de Euclides
Objetivos: Identificar segmentos en un triángulo. Reconocer los teoremas relativos a propiedades
métricas en un triángulo rectángulo. Resolver problemas de la matemática utilizando teoremas de
Euclides.
Contenidos: Teoremas de Euclides referente a una altura y referente a un cateto. Teorema de Pitágoras
para triángulos rectángulos.
Habilidades: Reconocer, Representar, Aplicar, Calcular, Determinar, Identificar, Analizar.
Teorema de Euclides.
Sean triángulo rectángulo en y es altura. Los
triángulos y son semejantes. Entonces:
1. Referente a una altura: La altura correspondiente a la
hipotenusa es media proporcional geométrica entre las
proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
pqhc =2
2. Referente a los catetos: Cada cateto es media
proporcional geométrica entre la hipotenusa y la
proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
pca =2
qcb =2
Dada la siguiente figura, resuelve los siguientes ejercicios:
i. CD = 6 cm; AD = 3 cm; área del triángulo ABC = ?
ii. AD = 3,5 cm; BD = 1,5 cm.; AC = ?
iii. BD = 3,2 m.; AB = 5 m.; BC = ?
iv. AD = 2 cm; BD = 4 cm; CD = ?
v. AD = 16 cm; AB = 52 cm; CD = ?
vi. AB = 12 cm; AD = 9 cm; BC = ?
vii. AC = 5 cm; BC = 10 cm; CD = ?
viii. CD = 2 m; AC = m; BC = ?
ix. AD = 5 cm; AC = 8 cm; área del triángulo ABC = ?
x. AC = 12 cm; BC = 9 cm; CD = ?
xi. BD = 6m; CD = 5 m; AB = ?
xii. AB = 10 cm; AC = (p + 2) cm; BC = 2p cm; CD = ?
xiii. Demuestra que = AD · AB
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Miscelánea de enunciados:
i. En un triángulo rectángulo ABC se sabe que y .
Calcula las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura (desde el vértice
) del triángulo.
ii. ¿Es posible calcular todos los lados de un triángulo rectángulo, si se conocen y ?
iii. Un cateto de un triángulo rectángulo mide , se sabe que el largo de la hipotenusa
excede al del otro cateto en un centímetro. Calcula la longitud del otro cateto y de la
hipotenusa.
iv. En un triángulo rectángulo en , un cateto mide 8 centímetros, la proyección del otro
cateto sobre la hipotenusa mide 6,4 centímetros. Encuentra las longitudes de los otros dos
lados, la proyección faltante sobre la hipotenusa y la altura .
v. Demuestra que si es la altura de un triángulo equilátero de lado , entonces es igual a
.
vi. Demuestra que si es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de
lado , entonces es igual a .
“No hay un camino real para la Geometría”
“Lo que es afirmado sin prueba puede ser negado sin prueba”
(Ευκλείδης)
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