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abcd = ⇔ a 1 b 1 c 1 d % ;ab- es

;ab- - 1 ab 1 >; %

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=)n(abcde )n(den +

)n(cden +

PROBLEMAS

0-. "n los @?0 primeros números enteros positivos9u5ntos son múltiplos de =E9u5ntos son múltiplos de --E

a) - 0 y =@ b) - y =c) - 0 y =; d) - y =@ e) - y =;

0 . "n un club se parrandean 00 personas y se observa $ue de lasmu eres la s4ptima parte posee vestido blanco, J> son casadas yla tercera parte est5n bailando. ara tal e'ecto, cu5ntos varonesno bailanEa) ?0 b) ;> c) > d) < e) >>

0 . 7os docentes del 9. .U. #an trasladado a un grupo entre ?00 y =00 óvenes de visita a la 7omas de 7ac#ay y observan $ue si losagrupan de > en >G de = en =G de < en < siempre sobran

9u5ntos óvenes 'ueron de visitaEa) ?-> b) ?< c) ? d) ? 0 e) ?>=

0;. +io8= (8)20n6 (8)462n × , entonces el valor de 3n6

esa) 0 b) ; c) d) > e) @

0>. 9alcula la suma de los valores de 3a6 de modo $ue el capicúaa77a al ser dividido entre ; la división es e&acta.a) -0 b) - c) ? d) @ e) 0

0?. 9u5ntos números naturales de tres ci'ras son múltiplos de = pero no de >Ea) -0@ b) -0 c) --; d) ->; e) --0

0=. 9u5ntos números múltiplos de > pares de cuatro ci'ras e&istenEa) iv. -- v.

Cu4 proposiciones son verdaderasEa) +ólo v b) i, ii c) i, iii, vd) ii, iii, iv, v e) /odas son verdaderas

- . !etermina un numeral capicúa de cuatro ci'ras, $ue al ser divididoentre ? , da como resta . !ar como respuesta el producto de susci'ras di'erentes.a) = b) -@ c) -> d) ? e) ;

-;. "n una ca a se tiene de ?00 a ?>0 cani$uitasG si se cuentan de = en= sobran >G pero si se cuentan de ; en ; ó de > en >G sobrar*a unabolita. Falla la cantidad de bolitas $ue #ay en la ca a y dar comorespuesta la suma de ci'ras de dic#a cantidad.a) @ b) < c) -0 d) -- e) -

->. Falla 396G si (< ),>-; c) ? d) = e)

-?. 9on tres d*gitos distintos y di'erentes de cero se 'orman todos losnúmeros posibles de tres ci'ras distintas. ara tal e'ecto, la sumade todos estos números de tres ci'ras es múltiplo dea) = b) < c) d) > e) @

-=. +i se cumple $ue!"#!"#"#! ++= . Falla 9 1U.

a) - b) 0 c) d) ? e) -@. Un docente del 9. .U. nació en el siglo DD en una aNo, tal $ue,

dividido por < y -- los restos son ; y ?, respectivamente. 9u5l es

el resto por e&ceso $ue resulta al dividir dic#o aNo de nacimientopor =Ea) b) c) ? d) ; e) >

-, sin incluir el ceroEa)

− n2n2,5 b)

− 12n2,5

c)

+ 12n2,5 d)

+ n22n2,5 e7

+ n2n2,5

0. 7uis podr*a a#orra +J. 0,00 diarios, pero cada veH $ue sale con suamiga 9arla gasta +J. - ,00 y cuando sale con su novia gasta +J.@,00. +i todos los d*as sale con una de ellas y ya tiene a#orrado +J.?;0,00. 9u5ntos d*as salió con 9arlaEa) - b) < c) -@ d) ? e) -

T!re! D+3#"#-#!r#!:

0-. +i 468 3 al ser dividido entre < el resto obtenido es @. Falla3D6.a) - b) c) ; d) > e) ?

0 . Falla el residuo de dividir 8

54365 ÷

5

a) - b) c) d) ; e) >

0 . +i02

3 773 3 2 2

b b a a = ÷ ÷ ÷ ÷ or $u4 número ser5 divisible el numeral de la 'orma

$a $aa$ +++ Ea) > b) = c) @ d) -- e) -

0;. +iº5"#!" = ,

O

U9( ;) ;− = ,o9#"! =

Falla (91 U).a) - b) c) d) ; e) >

0>. 7a di'erencia del cubo de un número entero y el número mismo essiempre un múltiplo dea) ? b) < c) = d) -- e) -

0?. Un número al dividirlo por -0 da un resto de b) > c) > d) 0 e) 0

Pág. Nº 42

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TEMA Nº 0)NUMEROS PRIMOS

NUMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO"s a$u4l número $ue tiene únicamente dos divisores 7a unidad y 4lmismo.E8e -+:8úmeros primos menores $ue -00

> = -- - -= -< < - = ;- ; ;= > >< ?- ?= =- = =< @ @< , se tiene

8úmero !ivisores0 - G G ; G > G -0 G 0

-@ - G G G ? G < G -@-> - G G > G ->

+e observa $ue el único divisor común de los tres números es la unidad(-)G por lo tanto son "+Q.

N9MEROS PRIMOS ENTRE S DOS A DOS ;PESI 2 ! 27!ado un con unto de tres o m5s números, diremos $ue son "+Q a Gcuando al agruparlos de dos en dos resultan ser "+Q, respectivamente." emplo 7os números @G < y > son "+Q a G puesto $ue

• @ y < son "+Q• @ y > son "+Q• < y > son "+Q

REGLA PARA DETERMINAR SI UN N9MERO ES PRIMOara saber si un número dado es primo o no, se deben seguir los

siguientes pasosa) "&traer la ra*H cuadrada, apro&imadamente por de'ecto.b) "numerar los números primos menores a esta

apro&imación.c) Aplicar las condiciones de divisibilidad del número por

cada uno de estos números primos. +i en ninguno de los casoses divisible, se dice $ue el número es primo.

E8e -+- "s - < número primoES+- "#$%:

a) 11,... 139 ≈b) 8úmeros primos menores $ue --,P p % R G G > G =

G --S

c) 7uego ≠ 00000

11,7,5,3,2 139 es decir, - <

no es divisible por G G >G = y --.

∴ - < es un número primo." emplo "s =- número primoE

+olucióna) 19,... 371 ≈b) p % R G G > G = G -- G - G -= G -

P( α )- P ( α ) P (< α )

P>( α )

> P>( α ) P>(< α )

Ejemplo 1 Falla todos los divisores de -@00, luego determinaa) !ivisores paresb) !ivisores primosc) !ivisores compuestosd) !ivisores con d*gitose) !ivisores múltiplos de >') !ivisores cuadrados per'ectos

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN N9MERO+ea 386 un número compuesto, con descomposición canónica

D+%,e:• A, B, 9 T actores o divisores primos• γ β α ,, T "&ponentes enteros positivos. +e de'inen

1. C!%*#,!, ,e ,# #s+res ,e % %= er+ N

Ejemplo 2: 9alcula la cantidad de divisores de 612 .2. S ! ,e -+s ,# #s+res ,e % %= er+

N

Pág. Nº 43

?0 % . . >

N =

( ) =

' ( )

...1

..1*

111 −−=

+++ C B γ β α

1 2 4 8 3 6 12 24 9 18 36 72 5 10 20 40

15 30 60 12045 90 180 360

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Ejemplo 3: "ncuentra la suma de los divisores de - ?0.3. S ! ,e -! #% ers!s ,e -+s ,# #s+res

,e % %= er+ N

Ejemplo 4: Falla la suma de las inversas de todos los divisores de?0.

&. Pr+, "*+ ,e -+s ,# #s+res ,e %%= er+ N

Ejemplo 5 : !etermina el producto de todos los divisores de ;@0.

CANTIDAD DE PRESAR UN NUMERO?N@ COMO EL PRODUCTO DE DOS

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?. +i ba -@&? tiene == divisores. Fallar el valor de 3a.b6.a) -> b) - c) -0 d) ? e) @

=. 9u5ntos números positivos de ci'ras tienen e&actamente divisoresEa) ? b) = c) ; d) > e) ?

@. 9alcule la suma de todos los números primos absolutos de la'orma )>(bc .a) ;? b) ; @ c) ;@ d) ; e) ;>

00Fallar

9antidad de divisores impares.9antidad de divisores $ue son múltiplos de > pero no de >.

a) 0 y -? b7 1) 12 c) 0 y =?d) =? y -? e) =? y 0

-0. "l número )-00 tiene ;0 divisores compuestos.9u5ntos de ellos son múltiplos de ?E

a) -@ b) = c) -0 ,7 20 e) ;

--.

9u5ntos números menores $ue >00 son "+Q con 4lEa) ->0 b) -> "7 200 d) 0@ e) - >

- . +i 3a6 es el número de divisores de ->0 $ue son múltiplo de , y 3b6es el número de divisores de -0 coprimos con =.Fallar 3a 1 b6a) ? b) = "7 1& d) -- e) ->

- . 9alcular las dos últimas ci'ras $ue se obtienen en el desarrollo de- c) = d) - e7 6/

-;. "l popular 3!on uNo6 agrupaba sus ?0 monedas en grupos de3n6G luego en grupos de 3n ;6 y al 'inal en grupos de 3n 1 ;6,

obteniendo siempre grupos e&actos. Fallar la suma de ci'ras de 3n6.a) b) ? "7 / d) ; e) -

->. +e construye la tabla de los divisores de un número, y se observa$ue es de 'ilas por columnas y $ue la suma de los divisores dela diagonal $ue contiene a - es ;? . Fallar dic#o número.!7 &&1 b) -;; c) - - d)

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⇒ !ivisores 9omunes -G G ;

"l Mayor∴ M9! (@G- ) % ;

Obser !"#$%:

"l número de divisores comunes de un con unto de números, esigual al número de divisores del M9! de dic#os números."l M9! est5 contenido en los números.

1.1 ;S+- "#$%:

; 2 ;@ 2 >; - 2 ; 2 =

= 2 @ 2 <

"+Q∴ M9! (; G ;@G >;) % & % ?

1.1.2 Des"+ +s#"#$% C!%$%#"!:E8e -+:+ean los números

;>? >..A =; =.>.B =

⇒ M9! (AGB) % ; > &

EH -#"!"#$%: 3+e toman los 'actores primos comunes, elevados asus menores e&ponentes6.

1.1.3 D# #s#+%es S "es# !s + A-4+r#* + ,e E "-#,es.

C!s+ Ge%er!-: 9alcular el M9! de A y BG dondeA B.

$- $ $ $; 9ocientes A B r- r r M9! r- r r 0 Iesiduos

E8e -+: 9alcular el M9! de ?0 y ? - - ?0 ? ; - M9! ; - 0

∴ M9! (?0G ?) % -

1.2 Pr+ #e,!,es.-. +i A, B y 9 son "+Q.

⇒ M9! (A, B, 9) % -

. . +i A %0B , se cumple $ue

M9! (A, B) % B

. . +i M9! (A, B, 9) % d, entonces A % d α B % d β son "+Q 9 % d γ

.;. +i M9! (AG B) % D M9! (9G ") % W"ntoncesM9! (AG BG 9G ") % M9! (DG W)

.>. !ados los númerosA % &m 2-B % &n 2-

9 % &p 2-+e cumple $ue M9! (AG BG 9) % &M9! (m, n, p) 2-

2. MINIMO COMUN MULTIPLO ;M.C.M.7+e denomina as* al menor de los múltiplos en común de ó m5snúmeros enteros positivos.

E8e -+:8úmeros Múltiplos

@ @G -?G ;G G ;0G ;@G . . . . .- - G ;G ?G ;@G ?0G = G. . . .

⇒ !ivisores 9omunes ;G ;@G =

"l Menor∴ M9M (@G - ) % ;

Obser !"#$%:

7os múltiplos comunes de un con unto de números son iguales alos múltiplos del M9M de dic#os números."l M9M contiene a los números.

2.1 .S+- "#$%: 0 2 -> ; > 2 -> > - 2 - 2 -

∴ M9M ( 0G ->) % ; & > & % ?0

2.1.2 Des"+ +s#"#$% C!%$%#"!:E8e -+:+ean los números

;>? >..A =; =.>.B =

⇒ M9M (AGB) % ;>? =&>&&EH -#"!"#$%:3+e toman los 'actores primos comunes y no comunes,elevados a sus mayores e&ponentes6.

2.2 Pr+ #e,!,es:.- +i A y B son "+Q

⇒ M9M (AG B) % A.B

. +i A %0B G +e cumple $ue

M9M (A, B) % A. +i 8 %0A ± r

8 %0B ± r

8 %09 ± r

"ntonces 8 %0

)9,B,A(M9M ± r

III. Pr+ #e,!, %,! e%*!-:ara dos números A y BG si

M9! (A, B) % dM9M (A, B) % m

+e cumple

m % d.α . β A. B % m. d

!onde α y β son "+Q.

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E ERCICIOS DE APLICACI N

01. S#: MCD 2656

,32

,7

=

A A A . !--!r -! s ! ,e "# r!s

,e- e%+r A +s#b-e.a) -> b) -@ c) <d) -0 e7 12

02. S# -+s "+"#e%*es s "es# +s +b*e%#,+s e% -! ,e*er #%!"#$%,e- MCD ,e A B e,#!%*e e- !-4+r#* + ,e E "-#,esJ K!%s#,+ 1& 1 1 1 2 res e"*# ! e%*e s# ! b+s %= er+ss+% r# +s e%*re s J C - es -! s ! ,e s*+s !7 125 b) - 0 c) --=d) - > e) - 0

03. !--!r MCM ;AJB7 s#:MCM ;2A &B7 Q 600

MCM 25002

+4 =

B A

a) ?00 b) > 000 c) 000d) - 00 e7 & 000

0&. C %*+s =-*# -+s "+ %es ,e & , 4#*+s *#e%e% -+s%= er+s 2&J 50 )0a) - b) - "7 15d) -? e) -@

05. L! s ! ,e- MCM e- MCD ,e ,+s %= er+s es #4 !- ! &/)6. De -+s %= er+sJ e- e%+r es -! *er"er! !r*e ,e-

! +r. !--!r -+s %= er+s ,!r "+ + res es*! -! s ! ,e "# r!s ,e- %= er+ ! +r.a) -; b) -> c) -?d) -= e7 16

0). !--!r 2 %= er+s *!-es e e- MCM e- MCD s+% 252 12res e"*# ! e%*e.a) - y ;@ b7 ? y @; c) - y >@d) @=0 y - 0 e7 &6 26

0 . E- MCM ,e: 2/ 1 212 1 es:D!r "+ + res es*! -! s ! ,e "# r!s ,e %+ ,e s s

!"*+res r# +s. a) < b7 10 c) -d) - e) -;

06. Se K!% "+-+"!,+ +s*es #4 !- e%*e es !"#!,+s e% e-"+%*+r%+ ,e % "! + *r#!%4 -!r " +s -!,+s #,e% 210J2 0 300 res e"*# ! e%*e. S!b#e%,+ e K! +s*ese% "!,! r*#"e e -! ,#s*!%"#! e%*re +s*e +s*e es*"+ re%,#,! e%*re 10 20 . C!-" -!r " %*+s +s*es se"+-+"!r+%.a) >0 b) >- c7 >d) ;@ e) ?0

0/. E% %! ! e%#,! e +see " !,r!s ,e 100 "!,! %!J se,ese! -!%*!r rb+-es ,e !%er! e e% "!,! " !,r! -! ,#s*!%"#! e%*re rb+- rb+- se! -! #s ! ; % %= er+e%*er+ ,e e*r+s7 e- %= er+ ,e rb+-es ,# ere%*e !-"!b+ ,e / " !,r!s C %*+s rb+-es se K!br % -!%*!,+;! ! b+s -!,+s ,e -! ! e%#,!7.!7 &52 b) -= "7 23)d) ; e) ;

10. C !*r+ b!r"+s ,e %! e res! %! #er! s!-e% !- #s +*#e + ,e- C!--!+ se s!be e e- 1r+. ,e e--+s *!r,! 25, !s e% re4res!r er !%e"e !%"-!,+ 3 , !s e- 2,+. &5 5 , !s e- 3r+. 32 3 , !s e- &*+. )0 10 , !sres e"*# ! e%*e. C!,! " %*+ *#e + !r !% -+s b!r"+s ! -! ea) >0 d b) -00 c) - ;00d) - =-> e7 00

11. C %*!s "!8!s "=b#"!s "+ + H# + se +,r % *#-#!r! e ! e*!r 2& 500 b!rr!s ,e 8!b$% " !s,# e%s#+%es s+% 20 " J 1& " J 10 " J ,e +,+ e*+,!s es* % "+ -e*! e%*e --e%!sa) 0 b) c) ;,7 25 e) =

12. Se #ere -!%*!r ! -+ -!r4+ ,e -!s +r#--!s ,e % *erre%re"*!%4 -!rJ "#er*+ %= er+ ,e r+s!-esJ #4 !- e%*ees !"#!,+sJ ,e !%er! e -! ,#s*!%"#! ,e % r+s!- !-s#4 #e%*e se!J "+ + %# + 1 "+ + H# + 2

e K! ! % r+s!- e% "!,! %4 -+ ,e- *erre%+. L! -+%4#*,e es*e es 1&J6& -! !%"K r! 10J)0 . C %*+sr+s!-es s+% %e"es!r#+sa) ;> b) ;? c) ;=,7 &6 e) ;<

13. L! ,#s*!%"#! e%*re ,+s - %e! ,e %! ere,! es 1J20 . S#se e #e ! ! "! #%!r #s!%,+ -! r! ! "+% e-+"#,!, ,e3 s 5 " ,e -+%4#* , ,e !s+. C %*+ *#e + s,ebe "! #%!r K!s*! #s!r -! r! ! +r 3&! ! e s# see e $ ! "! #%!r "+% -! ,ere"K!

a) ?0s b) ? c) ?>d) ? e7 ))

1&. !--!r -! s ! ,e ,+s %= er+s %+ ,e 20 ,# #s+res +*r+ ,e 12 ,# #s+resJ s!b#e%,+ e e- MCM es 20.a) 0 c) >d) =?@ e7 330

15. S# MCM ;AJ B7 Q 2A MCD ;AJ B7 Q A 3.!--!r e- !-+r ,e ?A@ s!b#e%,+ !,e s e A ( B Q 1)6.

a) >;0 b7 50& c) >;>d) >0> e) >0?

1). U% %= er+ e%*er+ ,e 3 "# r!s s "+ -e e%*+!r#* *#"+ *#e%e% "+ + MCD ! 200. C %*+s %=" -e% "+% es*! "+%,#"#$%a) - b) c) ,7 & e) >

1 . A- "!-" -!r e- MCD ,e % % er!- ,e 210 "# r!s *+,!s e--!s& ,e -! b!se / +*r+ ,e 160 "# r!s *+,!s e--!s *! b# % &,e -! b!se /. C!-" -!r -! s ! ,e "# r!s ,e- MCD ,e,#"K+s %= er+s. D!r "+ + res es*! e% -! b!se 10.a) @- b) -;; c) ;,7 120 e) ->0

16. S# MCD 82

5,3 =

B A MCD 2

72

,4

=

B A .

!--!r -! s ! ,e "# r!s ,e- ! +r B +s#b-e ,e 3 "# r!s.a) 0 b) > "7 23d) - e) -@

1/. A- "!-" -!r e- MCD ,e A B e,#!%*e e- !-4+r#* + ,e

E "-#,esJ -+s ,+s r# er+s res#, +s er+% 5& 3)J s# -s ! ,e -+s "+"#e%*es es 10. !--!r e- H# + !-+r+s#b-e ,e A.

a) @-0 b) ??= "7 6&)d) ==; e) =--

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TAREA DOMICILIARIA

01. S# 309

6+

75

+3

=

A A A MCD . !--!r e- !-+r ,e A.

D!r "+ + res es*! -! s ! ,e s s "# r!sa) - b) -@ c) -;,7 / e) -0

02. S# MCD ;AJ B7 Q &&JMCD ;BJ C7 Q 33 A B C Q 2 5J

!--!r MCM ;AJ BJ C7.a) < b) >0 c) =>d) ;

0&. S# se s!be e MCD( 19,33 = N a . !--!r " %*+s!-+res e,e *+ !r N s# es ! +r e 200 er+ e%+r

e 500.!7 15 b) - c) -0d) -@ e) -=

05. E- MCM ,e ,+s %= er+s es 266 e"es e- MCDJ e- ! +r,e es*+s %= er+s *#e%e ,# #s+res. De*er #%!r -! ,# ere%"#! ,e es*+s %= er+s.a) ;0 b) ; "7 &)d) ;> e) ;@

0). A- e%"+%*r!r e- MCD ,e ,+s %= er+s e,#!%*e e-!-4+r#* + ,e E "-#,esJ se +b* + "+ + "+"#e%*ess "es# +s 3J 1J & 2. !--!r -+s %= er+s s# -! ,# ere%"#! es 310. D!r "+ + res es*! -! s ! ,e "# r!s ,e ! b+s%= er+s.

a) ? b) = c) >,7 6 e) --

0 . S#: MCD ;AJB7 Q

+

22 R

J MCD;CJD7 Q

−

352 R

MCD ;AJBJCJD7 Q /.C!-" -!r R s# es % e%*er+ ! +r e 120 er+ e%+r 130.a) - 0 b) -- c) - @d) -> e7 12&

06. L! ,# ere%"#! e%*re 2 %= er+s es && -! ,# ere%"#! ee- MCM e- MCD es 500. C - es e- ! +r ,e ,#"K+s%= er+sa) @ b) ;@ c) >?,7 2 e) ;

0/. Tres %= er+s s+% "+ + AJ 21 32 ,e e%+r ! ! +r. E-MCD ,e -+s 3 es 6 e- ,e -+s e%+res es 5&). !--!r -! s ! ,e -!s "# r!s ,e- se4 %,+.a) - b7 16 c) -d) -> e) 0

10. 3 "#"-#s*!s !r*e% s# -* %e! e%*e ,e % #s + %"+% e-+"#,!,es ,e 10J 15 1) s. E- r# er+ ,e8! e% e-"! #%+ %! se !- "!,! se4 %,+sJ e- se4 %,+ "!,! 1)se4 %,+s e- *er"er+ "!,! 20 se4 %,+s ' ,#s*!%"#! ,ebe re"+rrer e- r# er "#"-#s*! !r! e%"+%*r!r -!s se !-es,e -+s +*r+s ,+s 8 %*+s!7 ) 20 b) - ;;0 c)

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9uando el denominador es una potencia de -0.

+∈== Wn G-0b Gb

a' n

" emplo -0000

-=0G

-00G

-00=

* Or,#%!r#! + "+ =%:9uando el denominador no es una potencia de -0.

+∈≠= Wn G-0b Gba'n

Ejemplo:@?

=G

-

-@G

=

C. or la cantidad de divisores comunes de sus t4rminos.W Irre, "*#b-e:

9uando sus t4rminos sólo poseen como divisor común ala unidad.

-)b,a(M9! ,"+Q sonbya Gb

a' ==

Ejemplos:;

-G

;<

->G

=

@

* Re, "*#b-e:9uando sus t4rminos tienen m5s de un divisor común.

,a(M9! ,"+Q sonnobya Gb

a' =

D. or grupo de 'racciones.W + +4 %e!s:

/odos los denominadores son iguales.

" emplos->

;-G

->

<G

->

@

W e*er+4 %e!s:or lo menos #ay un denominador di'erente a los dem5s.

" emplos;

G-?<

G->?

G>

-@

1.3 Pr+ #e,!,es:

-. .- +eandc

yba

'racciones irreductibles.

dbentero: d

c

b

a=→=+

1 ! " !adas las 'racciones irreductiblespc

Gnb

Gma

+e cumple $ue

)p,n,m(M9!)c,b,a(M9M

pc

Gnb

Gma

M9M

)p,n,m(M9M)c,b,a(M9!

pc

Gnb

Gma

M9!

=

=

" emplos

# =

=G

;

;>G

--

-@M9!

;;<

),;,--(M9M)=,;>,-@(M9! =

# =

;;

=G

-G

0

<M9M

;

?

);;,,0(M9!

)=,-, -,;

arte arte entera no entera

9oma !ecimal2.2 C-!s# #"!"#$% ,e -+s %= er+s ,e"# !-es2.2.1 De"# !- eH!"*+:

resenta un número limitado de ci'ras en la parte no entera." emplo 0,-; 0, -> ,00>Xbservaciones

Una 'racción propia irreductible, dar5 origen a un decimale&actoG cuando el denominador es una potencia de de > odel producto de potencias de y > únicamente.7a cantidad de ci'ras decimales est5 dada por el mayor

e&ponente de ó > contenido en el denominador de la'racción irreductible." emplo 7as siguientes 'racciones propias son irreductibles

8G origina ci'ras decimales ab,0 .

;>8 G origina ; ci'ras decimales abcd,0 .

; >

8G origina ; ci'ras decimales abcd,0 .

2.2.2 De"# !- I%eH!"*+:osee in'inita cantidad de ci'ras en la parte no entera.

+e presentan dos casosA. Per#$,#"+ P r+:

resenta el per*odo, inmediatamente despu4s de la comadecimal." emplo ...???,0?,0 =

- , > % - , > > >PXbservaciones

"stos números decimales son originados por 'raccionesirreductibles cuyo denominador est5 'ormado por 'actoresprimos di'erentes a y >." emplos

,-; = 0,0> =

7a cantidad de ci'ras periódicas est5 dado por el menornúmero 'ormado únicamente por ci'ras 3nueve6, $ue contienee&actamente al denominador de la 'racción irreductible.

/abla de los 8ueves < %

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y adem5s 'actores primos di'erentes a y >." emplo

0@> ?>,0;-&

=

@

= ==

;,0--&

-;;- ==

ara encontrar la cantidad de ci'ras periódicas y noperiódicas se procede según como se indica en los casosanteriores." emplo7a 'racción es irreductible

;-&>&

8

2.3

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* "'ectuar

...333,2...666,97...3555,24...3555,924

+−=Ε

a) -J b) c) J d) e)-

!eterminar el número decimal de la 'racciónam

, si se cumple

$ue 0,-a %11

m

a) 0, b) 0, - c) 0,>0 d) 0, > e) 0,=>

1 +iab1

% 0,0(a1-)b G 9alcular a

b 1+

a) ; b) c) > d) e) @J

11 +iA % 8úmero de ci'ras decimales $ue origina

la 'racción20021

B % 8úmero de ci'ras periódicas $ue originala 'racción

5742

Fallar B Aa) b) c) = d) 0 e) #ay respuestas

1" +i 0,abc % 0,-?( b) -0 c) - d) -; e) ->

1! !eterminar la suma limite de los t4rminos de la siguiente sucesión

+...1296

5+

2161

+365

+61

a) --J > b) Y c) J d) ;J e) >J

1& +i )7()9( ,, mnpamama = ,Fallar a 1 m 1 n 1 pa) -- b) - c) - d) -; e) ->

1' +i la 'racción)5(

)5(

)1)(1(

)1)(2(

++−−

aa

aa, genera el número

pentaval 0,mn(>). Fallar a1m1na) > b)? c) = d) @ e) <

1 "scribir en base la suma

...5

3

5

1

5

3

5

1

5

3

5

197643 ++++++=S

a) 0,=( ) b) 0,=( ) c) 0,- ( )d) 0,- ( ) e) 0,0=( )

1 +i238

% 0, . . . 9 U 9alcular U P C ++a) > b) - c) = d) < e) -?

1* Fallar a1b1c1d, si

aaaaa ...

43% 0,bbb . . . bbcd=

!onde el denominador de la 'racción y la parte periódica de lae&presión decimal, ambas poseenabcd ci'ras.a) - b) = c) -; d) -@ e)

1 7a 'racción %4

32

+++

a

aa es irreductible, adem5s genera un

#eptaval ine&acto periódico mi&to. +i 3a6 es el menor númeronatural posible, entonces e&presar en base -;a)

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a) 0 b) - c) d) e) ;

-0. 9u5ntas 'racciones de la 'ormaababab

e&isten tal $ue su desarrollo

octaval presenta cuatro ci'ras periódicas y una no periódicaE

a) - b) ; c) > d) = e) <

XX. INGRESO DIRECTO

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