Guia Ceneval No i Para Examen de Bachillerato

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Guia CENEVAL para la acreditacion deL Bachillerato por Dr. ARMANDO ARÉVALO

HERNÁNDEZ

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LIBRO I DE LA GUÍA CENEVAL PARA BACHILLERATO

CONTENIDO DE TODOS LOS LIBROS (1,2,3,4,5, NO LLEVAN ORDEN EN LA PAGINACIÓN PERO SÍ EN EN EL ORDEN DE LOS TEMAS)

Aritmética ..................................................................................................................................... 2 • Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división ............................................... 2

Suma ................................................................................................................................... 2 Resta ..................................................................................................................................... 3 Multiplicación ...................................................................................................................... 4 Division ................................................................................................................................ 6

• Cálculo de porcentajes, regla de tres, potencias y raíces ...................................................... 8 Porcentaje ............................................................................................................................ 8 Regla de tres ........................................................................................................................ 9 potencia y raiz .................................................................................................................... 10

• Propiedades de los números ................................................................................................ 11 Álgebra ....................................................................................................................................... 12

• Literales y exponentes ......................................................................................................... 13 Reglas de los Exponentes: ................................................................................................. 14

• Productos notables y factorización ..................................................................................... 15 • Ecuaciones de primer y segundo grados ............................................................................. 20 • Proporciones y desigualdades ............................................................................................. 23

Geometría ................................................................................................................................... 25 • Cálculo de perímetros, áreas y volúmenes ......................................................................... 27 Probabilidad y estadística básica ........................................................................................... 35 • Población, muestra, medidas de tendencia central, desviación estándar y varianza ......... 35 • Eventos dependientes e independientes, combinaciones y permutaciones ........................ 63

Precálculo ................................................................................................................................... 69 • Propiedades de los números reales ..................................................................................... 69 • Desigualdades ...................................................................................................................... 70 • Función y límite .................................................................................................................. 72

Español ....................................................................................................................................... 77 • Ortografía general (incluye acentuación y homófonos) ..................................................... 77 • Puntuación ........................................................................................................................... 82 Gramática y vocabulario ....................................................................................................... 87 • Concordancia y discordancia de las partes de la oración ................................................. 101 • Autores y obras importantes de la literatura clásica ......................................................... 107

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Matemática: Es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relaciones entre ellas. Algunos matemáticos se refieren a ella como la «Reina de las Ciencias».

Según los Sabios, se dice que la matemática abarca tres ámbitos:

• Aritmética.

• Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas.

• Ánálisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra, la geometría analítica y el cálculo.

Aritmética

Aritmética es la parte de las matemáticas que estudia los números y las operaciones hechas con ellos.

Las cuatro operaciones básicas de la Aritmética son:

• Suma

• Resta

• Multiplicación

• División

• Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división

Todas estas operaciones se verifican a través de su operación inversa: la suma con la resta, la multiplicación con la division

Suma

Se utiliza para juntar, agregar, unir, etc, 2 o mas cantidades contables de la misma magnitud (categoría)

La suma o adición es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) y también sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que tengan su imagen en ellos.

En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "+" para representar la operación formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un módulo que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría de grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma habitual en números, funciones, vectores...

Propiedades de la suma

• Propiedad conmutativa: si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado, de esta forma, a+b=b+a.

• Propiedad asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c

• Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.

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• Elemento opuesto. Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales.

Estas propiedades pueden no cumplirse en casos de sumas infinitas.

Notación

Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leído más). Con esto, la suma de los números 1, 2 y 4 es 1 + 2 + 4 = 7.

También se puede emplear el símbolo "+" cuando, a pesar de no escribirse individualmente los términos, se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los números omitidos. Por ejemplo:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 es la suma de los cien primeros números naturales.

2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 es la suma de las diez primeras potencias de 2.

En sumas largas e incluso sumas infinitas se emplea un nuevo símbolo, que se llama sumatorio y se representa con la letra griega Sigma mayúscula (Σ). Por ejemplo:

es la suma de los cien primeros números naturales.

es la suma de las diez primeras potencias de 2.

Suma de fracciones

Hay dos casos:

Fracciones que tienen el mismo denominador; Fracciones que tienen el distinto denominador Primer caso: la suma de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador común.

Segundo caso: la suma de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla.

Pasos

1º. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores

2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por denominador antiguo

3º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mimos denominador)

Resta

Se utiliza para restar, descontar, disminuir, etc., 2 o mas cantidades contables de la misma magnitud (categoría)

La resta o substracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, y se trata básicamente de la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c-b=a.

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En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.

En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto. Esto es así para otros conjuntos con ciertas restricciones, como los números reales positivos.

En matemáticas avanzadas no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a - b sino a + (-b), donde -b es el elemento opuesto de b respecto de la suma

Resta de fracciones

Resta de fracciones que tienen el mismo denominador

Para restar dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador, sólo hay que restar los numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo:

Resta de fracciones con distinto denominador

1. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores:

(mínimo común múltiplo de 4 y 2)

2. Se calculan los numeradores con la fórmula: numerador antiguo (6) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (4)

( 6*4/4=6 )

Numerador antiguo (1) x denominador común (4) y dividido por denominador antiguo (2)

( 1*4/2= 2 )

3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)

Multiplicación

Se utiliza para resolver problemas donde se suman “n” veces las mismas cantidades.

El producto o la multiplicación es una operación aritmética que se puede explicar como una manera de sumar números idénticos.

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El resultado de la multiplicación de números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente como multiplicando (número a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando).

La multiplicación se suele indicar con el aspa × o el punto centrado ·. En ausencia de estos caracteres se suele emplear el asterisco *, sobre todo en computación

Definición

La multiplicación de dos números enteros n y m se define como:

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión "sumar m a sí mismo n veces". Puede facilitar la comprensión el expandir la expresión anterior:

m×n = m + m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. Así que, por ejemplo:

5×2 = 5 + 5 = 10

2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

4×3 = 4 + 4 + 4 = 12

m×6 = m + m + m + m + m + m

Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualesquiera x e y:

x·y = y·x

La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualesquiera x, y y z, se cumple:

(x·y)z = x(y·z)

En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.

La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque:

x(y + z) = xy + xz

Asimismo:

(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz

También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo:

1·x = x

es decir, la multiplicación tiene un elemento identidad que es el 1.

¿Qué ocurre con el cero? La definición inicial no ayuda mucho porque 1 es mayor que 0. De hecho, es más fácil definir el producto por cero utilizando la segunda definición:

m·0 = m + m + m +...+ m

donde hay cero sumandos. La suma de cero veces m es cero, así que

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m·0 = 0

sin importar lo que valga m, siempre que sea finito.

El producto de números negativos también requiere reflexionar un poco. Primero, considérese el número -1. Para cualquier entero positivo m:

(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Éste es un resultado interesante que muestra que cualquier número negativo no es más que un número positivo multiplicado por -1. Así que la multiplicación de enteros cualesquiera se puede representar por la multiplicación de enteros positivos y factores -1. Lo único que queda por definir es el producto de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1

De esta forma, se define la multiplicación de dos enteros. Las definiciones pueden extenderse a conjuntos cada vez mayores de números: primero el conjunto de las fracciones o números racionales, después a todos los números reales y finalmente a los números complejos y otras extensiones de los números reales.

el producto vacío, es decir, multiplicar cero factores, vale 1.

Una definición recursiva de la multiplicación puede darse según estas reglas:

x·0 = 0

x·y = x + x·(y-1)

donde x es una cantidad arbitraria e y es un número natural. Una vez el producto está definido para los números naturales, se puede extender a conjuntos más grandes, como ya se ha indicado anteriormente.

Division

Se utiliza para determinar “n” partes iguales de una cantidad determinada, dividir una magnitud en partes iguales.

En matemáticas, especificamente en aritmética elemental, la división es una operación aritmética que es la inversa de la multiplicación y a veces puede interpretarse como una resta repetida.

En otras palabras, consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). En la división de números enteros además del dividendo y el divisor intervienen otros números. Así al resultado entero de la división se le denomina cociente y si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un resto, donde:

resto = dividendo - cociente × divisor

Orden de Operaciones

Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas:

1. Primero resolver todo lo que esté dentro de simbolos de agrupación.

2. Evaluar las expresiones exponenciales.

3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.

4. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.

Ejemplo:

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Propiedades de los Números Reales:

• Conmutativa de adición:

La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo.

Por ejemplo:

4 + 2 = 2 + 4

• Conmutativa de multiplicación:

Por ejemplo:

4 . 2 = 2 . 4

• Asociativa de adición:

La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.

Por ejemplo:

(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)

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• Asociativa de multiplicación:

Por ejemplo:

4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9

• Distributiva de multiplicación sobre adición:

Por ejemplo:

4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9

Reglas de los Signos:

1. En suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:

5 + 8 = 13

5 + -8 = -3

2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:

5 - 8 = -3

5 - (-8) = 13

3. En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números son signos opuestos, el resultado es negativo.

Ejemplo:

5 x 8 = 40

5 x -8 = -40

• Cálculo de porcentajes, regla de tres, potencias y raíces

Porcentaje

Un porcentaje es una forma de expresar una proporción o fracción como una fracción de denominador 100, es decir, como una cantidad de centésimas. Es decir, una expresión como "45%" ("45 por ciento") es lo mismo que la fracción 45/100.

"El 45% de la población humana..." es equivalente a: "45 de cada 100 personas..."

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Un porcentaje puede ser un número mayor que 100. Por ejemplo, el 200% de un número es el doble de dicho número, o un incremento del 100%. Un incremento del 200% daría como resultado el triple de la cantidad inicial. De esta forma, se puede apreciar la relación que existe entre el aumento porcentual y el producto.

Confusión en el uso de los porcentajes

Surgen muchas confusiones en el uso de los porcentajes debido a un uso inconsistente o a un mal entendimiento de la aritmética elemental.

Cambios

Debido a un uso inconsistente, no siempre está claro por el contexto con qué se compara un porcentaje. Cuando se habla de una subida o caída del 10% de una cantidad, la interpretación usual es que este cambio es relativo al valor inicial de la cantidad: por ejemplo, una subida del 10% sobre un producto que cuesta 100$ es una subida de 10$, con lo que el nuevo precio pasa a ser 110$. Para muchos, cualquier otra interpretación es incorrecta.

En el caso de los tipos de interés, sin embargo, es práctica común utilizar los porcentajes de otra manera: supongamos que el tipo de interés inicial es del 10%, y que en un momento dado sube al 20%. Esto se puede expresar como una subida del 100% si se calcula el aumento con respecto del valor inicial del tipo de interés. Sin embargo, mucha gente dice en la práctica que "los tipos de interés han subido un 10%", refiriéndose a que ha subido en un 10% sobre el 100% adicional al 10% inicial (20% en total), aunque en la expresión usual de los porcentajes debería querer decir una subida del 10% sobre el 10% inicial (es decir, un total del 11%).

Para evitar esta confusión, se suele emplear la expresión "punto porcentual". Así, en el ejemplo anterior, "los tipos de interés han subido en 10 puntos porcentuales" no daría lugar a confusión, sino que todos entenderían que los tipos están actualmente en el 20%. También se emplea la expresión "punto base", que significa la centésima parte de un punto porcentual (es decir, una parte entre diez mil). Así, los tipos de interés han subido en 1000 puntos base.

Cancelaciones

Un error común en el uso de porcentajes es imaginar que una subida de un determinado porcentaje se cancela con una caída del mismo porcentaje. Una subida del 50% sobre 100 es 100 + 50, o 150, pero una reducción del 50% sobre 150 es 150 - 75, o 75. En general, el efecto final de un aumento seguido de una reducción proporcionalmente igual es:

(1 + x)(1 - x) = 1 - x²

es decir, una reducción proporcional al cuadrado del cambio porcentual.

Los que tenían acciones punto como en el momento de la crisis acabaron comprendiendo que, aunque una acción haya caído un 99%, puede volver a caer otro 99%. Además, si sube por un porcentaje muy grande, seguirá perdiéndolo todo si un día la acción reduce su valor en un 100%, porque entonces no valdrá nada.

Regla de tres

La regla de tres es una relación que se establece entre tres (o más) valores conocidos y una incógnita. Normalmente se usa cuando se puede establecer una relación de linealidad (proporcionalidad) entre todos los valores involucrados (análogo para proporcionalidad inversa).

Normalmente se representa de la siguiente forma:

A - B

X - C

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Siendo A, B y C valores conocidos y X la incógnita cuyo valor queremos averiguar. Esto se lee de la siguiente manera: A es a B como X es a C. La posición de la incógnita puede variar, por supuesto.

Así por ejemplo para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres:

360º - 2 × π

60º - X

potencia y raiz

Notación Exponencial

La notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo número. Es la elevación a la enésima potencia (n) de una base (X).

Ejemplos:

Raíz cuadrada

En matemáticas, la raíz cuadrada de un número real no negativo x es el número real no negativo que, multiplicado con sí mismo, da x. La raíz cuadrada de x se denota por √x. Por ejemplo, √16 = 4, ya que 4 × 4 = 16, y √2 = 1,41421... . Las raíces cuadradas son importantes en la resolución de ecuaciones cuadráticas.

La generalización de la función raíz cuadrada a los números negativos da lugar a los números imaginarios y al campo de los números complejos.

El símbolo de la raíz cuadrada se empleó por primera vez en el siglo XVI. Se ha especulado con que tuvo su origen en una forma alterada de la letra r minúscula, que representaría la palabra latina "radix", que significa "raíz".

Propiedades

Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números positivos x, y:

para todo número real x (véase valor absoluto)

La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; √x es racional si y sólo si x es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados

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perfectos. Si el denominador es 1² = 1, entonces se trata de un número natural. Sin embargo, √2 es irracional.

La función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.

• Propiedades de los números

Un número es un símbolo que representa una cantidad. Los números son ampliamente utilizados en matemáticas, pero también en muchas otras disciplinas y actividades, así como de forma más elemental en la vida diaria.

El número es también una entidad abstracta con la que se describe una cantidad. Los números más conocidos son los números naturales 0, 1, 2, ..., que se usan para contar. Si añadimos los números negativos obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los números racionales. Si incluimos todos los números que son expresables con decimales pero no con fracciones de enteros, obtenemos los números reales; si a éstos les añadimos los números complejos, tendremos todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Podemos ampliar aún más los números, si añadimos los infinitos y los transfinitos. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica. Reciben el nombre de transcendentales. El ejemplo más famoso de estos números es π (Pi), otro ejemplo fundamental e igual de importante es e, base de los logaritmos naturales. Estos dos números están relacionados entre si por la identidad de Euler, también llamada la fórmula más importante del mundo.

Existe toda una teoría de los números. Se distinguen distintos tipos de números:

• Números naturales . conjunto de numeros que utilizamos para contar cantidades enteras positivas

o Tiene como primer elemento el cero

o Cualquier numero puede ser escrito con los numero del sistema decimal

o Es un conjunto infinito

o Todos los numeros tienen su siguente

o No existen numeros intermedios entre un numero y sus siguiente

o Todos los numeros naturales cumplen con las relaciones de orden y comparación.

• Número primo

• Números compuestos

• Números perfectos

• Números enteros

• Números pares

• Números impares

• Números racionales

• Números reales

• Números irracionales

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• Números algebraicos

• Números trascendentes

• Números complejos

• Cuaterniones

• Números infinitos

• Números transfinitos

• Números fundamentales: π y e

El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos de números, la mayoría sin un interés matemático específico. A continuación se indican algunos:

Narcisista: Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos. Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³.

Omirp: Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son primos.

Vampiro: Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos. Ejemplo: 2187 = 27 x 81.

Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de los números, surge otro, más práctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuesto universalmente es la numeración de posición gracias al invento del cero, con una base constante.

Álgebra

El Álgebra es la rama de las matemáticas que tiene por objeto de estudio la generalización del cálculo aritmético mediante expresiones compuestas de constantes (números) y variables (letras).

Etimológicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala)جبر (yebr) (al-dejaber), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de los vectores en el plano y en el espacio tridimensional cartesiano. Aquí, un vector es un segmento, caracterizado por su longitud (o magnitud) y dirección. Los vectores pueden entonces utilizarse para representar ciertas magnitudes físicas, como las fuerzas, pueden sumarse y ser multiplicados por escalares, formando entonces el primer ejemplo de espacio vectorial real.

Hoy día, el álgebra lineal se ha extendido para considerar espacios de dimensión arbitraria o incluso de dimensión infinita. Un espacio vectorial de dimensión n se dice que es n-dimensional. La mayoría de los resultados encontrados en 2 y 3 dimensiones pueden extenderse al caso n-dimensional. A mucha gente le resulta imposible la visualización mental de los vectores de más de tres dimensiones (o incluso los tridimensionales). Pero los vectores de un espacio n-dimensional pueden ser útiles para representar información: considerados como n-tuplas, es decir, listas ordenadas de n componentes, pueden utilizarse para resumir y manipular información eficientemente. Por ejemplo, en economía, se pueden crear y usar vectores octo-dimensionales u 8-tuplas para representar el Producto Interno Bruto de 8 países diferentes. Se puede simplemente mostrar el PIB en un año en particular, en donde se especifica el orden que se desea, por ejemplo, (Estados Unidos, Reino Unido,

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Francia, Alemania, España, India, Japón, Australia), utilizando un vector (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) en donde el PIB de cada país está en su respectiva posición.

Un espacio vectorial (o espacio lineal), como concepto puramente abstracto en el que podemos probar teoremas, es parte del álgebra abstracta, y está bien integrado en ella. Por ejemplo, con la operación de composición, el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo (endomorfismos) tiene estructura de anillo, y el subconjunto de las aplicaciones lineales que son invertibles (los automorfismos) tiene estructura de grupo. El Álgebra Lineal también tiene un papel importante en el cálculo, sobre todo en la descripción de derivadas de orden superior en el análisis vectorial y en el estudio del producto tensorial (en física, buscar momentos de torsión) y de las aplicaciones antisimétricas.

Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como el de los números reales o en el de los números complejos. Una aplicación (u operador) lineal hace corresponder los vectores de un espacio vectorial con los de otro (o de él mismo), de forma compatible con la suma o adición y la multiplicación por un escalar definidos en ellos. Elegida una base de un espacio vectorial, cada aplicación lineal puede ser representada por una tabla de números llamada matriz. El estudio detallado de las propiedades de las matrices y los algoritmos aplicados a las mismas, incluyendo los determinantes y autovectores, se consideran parte del álgebra lineal.

En matemáticas los problemas lineales, aquellos que exhiben linealidad en su comportamiento, por lo general pueden resolverse. Por ejemplo, en el cálculo diferencial se trabaja con una aproximación lineal a funciones. La distinción entre problemas lineales y no lineales es muy importante en la práctica.

Algunos Teoremas Útiles

Todo espacio lineal tiene una base (Esta afirmación es lógicamente equivalente al Axioma de elección)

Una matriz A no nula con n filas y n columnas es no singular (inversible) si existe una matriz B que satisface AB = BA = I donde I es la matriz identidad.

Una matriz es inversible si y solo si su determinante es distinto de cero.

Una matriz es inversible si y solo si la transformación lineal representada por la matriz es un isomorfismo (vea también matriz inversible para otras afirmaciones equivalentes)

Una matriz es positiva semidefinida si y solo si cada uno de sus eigenvalores son mayores o iguales a cero

Una matriz es positiva definida si y solo si cada uno de sus eigenvalores son mayores a cero.

• Literales y exponentes

Una literal es una representación general de una cierta magnitud.

Por ejempo: el area de un rectangualo es igual a : A= bh donde A, b y H son literales.

Expresiones Algebraicas

Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.

monomio = un solo término.

Por ejemplo:

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binomio = suma o resta de dos monomios.

Por ejemplo:

trinomio = suma o resta de tres monomios.

Por ejemplo:

polinomio = suma o resta de cualquier número de monomios.

Reglas de los Exponentes:

• Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes.

Ejemplo:

• Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se queda igual.

Ejemplo:

• En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos , m > n.

Ejemplo:

• En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras palabras lo que difiere es su coeficiente numérico.

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• Productos notables y factorización

Productos Notables

Cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda

Cubo de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera mas el segundo al cubo.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera menos el segundo al cubo.

Cocientes Notables

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

Factorización de Polinomios

Factorizar un polinomio es el primer método para obtener las raíces o ceros de la expresión. Para factorizar se comienza con una regla que te permite desarrollar la destreza, para aplicarla a ejercicios de mayor dificultad. Se buscan dos factores o números cuyo producto sea el último término y a la vez sumados o restados den como resultado el coeficiente del término del medio. Esta regla aplica solo a ecuaciones cuadráticas cuyo coeficiente de la variable elevado al cuadrado es 1. Si el coeficiente de la variable elevada al cuadrado no fuese 1, la manera de factorizar sería tanteando hasta poder lograr la factorización. Muchas veces la factorización es simplemente reconocer factores comunes.

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Se puede utilizar también la inversa de las fórmulas de productos especiales. O sea, expresamos el polinomio como una multiplicación o un producto, usando las fórmulas a la inversa.

Completando el Cuadrado

Completando el cuadrado es el segundo método para obtener las raíces o ceros de un polinomio. El proceso es el siguiente:

1. Primero mueves el tercer término con signo opuesto al lado contrario de la igualdad.

2. Luego, vas a calcular el término que te permite crear tu cuadrado de la siguiente forma: selecciona el coeficiente de la variable que está elevada a la 1, se divide entre dos y elevarlo al cuadrado.

3. Este resultado lo sumarás a ambos lados de la expresión.

4. Después, la raíz cuadrada del primer término, el operador (signo) del medio y la raíz cuadrada del último termino, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de la derecha.

5. Luego, sacas raíz cuadrada a ambos lados, observando que hay dos posibles soluciones, el caso positivo y el caso negativo.

6. Por último despejas por la variable y esas son las raíces o ceros del polinomio.

Como ejemplo vamos a utilizar el ejercicio .

Casos de factorización

Caso 1 - Factor común

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Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común.

Caso 2 - Factor por agrupación de términos

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o mas términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto

Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.

Caso 4 - Diferencia de cuadrados perfectos

Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos.

Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos términos de la diferencia contenga mas de un término.

Caso especial: Se puede dar una expresión de cuatro términos donde tres de ellos formen un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y combinado con el cuarto término se convierta en una diferencia de cuadrados, o pueden ser seis términos que formen dos trinomios cuadrados perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados.

Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

Caso especial: factorar una suma de cuadrados, se suma el término que hace falta para formar un trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, así tendremos un trinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados.

Caso 6 - Trinomio de la forma

x2+bx+c

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Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:

El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.

El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.

El tercer término es independiente (no contiene la variable).

Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer término de cada binomio es la variable y el segundo término en cada uno de los factores (paréntesis), son dos números , uno en cada paréntesis de tal forma que la suma de los dos del coeficiente del segundo término del trinomio y la multiplicación de los dos del tercer término del trinomio, el signo del segundo término de cada factor depende de lo siguiente:

• ° Si el signo del tercer término es negativo, entonces uno será positivo y el otro negativo, el mayor de los dos números llevara el signo del segundo término del trinomio y el otro número llevara el signo contrario. ° Si el signo del tercer término es positivo, entonces los dos signos serán iguales (positivos o negativos), serán el signo del segundo término del trinomio.

Caso 7 - Trinomio de la forma

Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1.

Se procede de la siguiente forma:

Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, de esta forma se convierte en un trinomio de la forma:

y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario y se simplifica con el número que esta como denominador.

Caso 8 - Cubo perfecto de binomios

Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientes condiciones:

• Posee cuatro términos

° El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas).

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° El segundo termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

° El tercer termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último término -multiplicado por la raíz cúbica del primer término.

° Los signos son todos mas o también podría ser positivo el primero y el tercero y negativo el segundo y el cuarto.

Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos.

Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos

Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor esta formado por tres términos así: la priemra raíz al cuadrado, la primera raíz por la segunda y la segunda raíz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos formas acuerdo a lo siguiente:

Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales

Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades:

Para an-bn con n = par o impar la factorización será:

Para an-bn con n = par la factorización será:

Para an+bn con n = impar la factorización será:

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• Ecuaciones de primer y segundo grados

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.

Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1

Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sóla letra (incógnita, normalmente la x).

Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4

Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).

Ejemplos :

3x + 1 = x - 2

1 - 3x = 2x - 9.

x - 3 = 2 + x.

x/2 = 1 - x + 3x/2

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas son aquellas en las que la variable está elevada al cuadrado, el siguiente es un ejemplo de una ecuación cuadrática:

La ecuación solo tiene una incógnita, y ésta se encuentra elevada a la 1 y al cuadrado, además hay términos independientes (números). Las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones o ninguna. Este es un ejemplo de una ecuación cuadrática completa, ya que posee coeficientes distintos de cero en los términos cuadráticos (x^2), lineales (x^1) e independientes (x^0).

Veamos entonces algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

Esta ecuación es muy fácil de resolver, ya que no se encuentra presente el término lineal:

Pero las ecuaciones cuadráticas tienen siempre dos soluciones, o bien ninguna, así que en este caso una raíz cuadrada genera dos soluciones, una con signo positivo y otra negativo:

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Y esto es cierto ya que tanto 2 como -2 elevados al cuadrado dan 4, así que siempre que calculemos la solución de una raíz cuadrada se debe tener en cuenta que ésta genera dos signos. Esto suele expresarse de la siguiente manera:

Esto es un poco confuso pero en realidad nos dice que hay dos soluciones, vemos que ambas soluciones verifican la ecuación inicial. Veamos ahora otro caso, si la ecuación tiene términos cuadráticos y lineales, pero no tiene términos independientes:

En este caso sacamos factor común X y razonamos de la siguiente forma:

Para que el primer miembro se haga 0 solo hay 2 alternativas: x es igual a 0 o (x+4) es igual a 0. De aquí se obtienen las dos soluciones (que llamamos X1 y X2):

Vemos que las soluciones verifican. Finalmente vamos al caso más complejo que es el que teníamos inicialmente:

Es muy difícil despejar x de esta ecuación (pero no imposible como veremos más adelante). Para resolverla se utiliza una fórmula muy famosa, la fórmula de las soluciones de la ecuación de segundo grado, la cual es atribuída a un indú de apellido Baskara, en primer lugar hay que pasar todos los términos a un lado de la expresión de manera que quede igualada a cero. En segundo lugar se identifican tres coeficientes llamados a, b y c (a=coeficiente cuadrático, b=coeficiente linearl, c=término independiente).

La ecuación debe expresarse de la forma:

Por lo tanto operamos con la ecuación hasta llevarla a este formato (a, b y c son números en definitiva).

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Comparando encontramos que:

La fórmula que da las soluciones es la siguiente:

Fórmula de Baskara

Así que reemplazando los valores a, b y c:

Con lo cual obtenemos 2 soluciones, (ambas verifican la ecuación), una con el signo + y otra con el -

Puede darse el caso que la ecuación no tenga solución (cuando queda una raíz negativa).

El tema es: de dónde sacó Baskara esta fórmula?, bueno, en realidad es sencillo, él encontró la forma de construir un trinomio cuadrado perfecto (tercer caso de factoreo), aplicando algunos "truquillos".

Fórmula de Baskara - Demostración

Ahora viene la parte divertida, la demostración. En primer lugar hay que llevar la ecuación a la forma:

Luego se multiplica todo por 4a (la igualdad se mantiene desde luego):

Ahora sumamos y restamos b^2, de esta manera no cambia nada tampoco:

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Ahora observemos los primeros 3 términos, se trata de un trinomio cuadrado perfecto, así que factoreando se obtiene:

Y ahora es fácil despejar X:

Pero como vimos antes una raíz arroja 2 resultados, uno positivo y uno negativo así que queda:

Esta última es la famosa fórmula que nos da las soluciones para X.

• Proporciones y desigualdades

Desigualdades algebraicas

Definiciones:

Ley de la tricotomía:

"Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones:

Propiedades de las desigualdades

Teorema1-Propiedad transitiva:

Ejemplo ilustrativo:

Teorema2-Suma:

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Teorema3-Multiplicación por un número positivo:


Teorema4:


Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<"

Teorema5:

Teorema6:

"Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad, se cambia el sentido de la desigualdad".

Teorema7:

Teorema8:

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Teorema9:

Teorema10:

Teorema11:

Geometría

La geometría es la matemática que estudia idealizaciones del espacio: los puntos, las rectas, los planos y otros elementos conceptos derivados de ellos, como polígonos o poliedros.

Origen y desarrollo de la geometría:

Todo comenzó en Egipto

El ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y definió las operaciones; hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas.

Por medio de lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a diario.

Además de esos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu. Con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría.

El río Nilo

La palabra geometría está formada por las raíces griegas: "geo", tierra, y "metrón", medida, por lo tanto, su significado es "medida de la tierra".

Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la naturaleza nacieron -en forma práctica- a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto.

Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las inundaciones periódicas.

El aporte griego

Quienes dieron carácter científico a la geometría fueron los griegos, al incorporar demostraciones en base a razonamientos.

Tales de Mileto (600 a.d.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes.

Euclides (200 a.d.C.) le dio su máximo esplendor a esta corriente científica. Recogió los fundamentos de la geometría y de la matemática griega en su tratado Elementos.

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Representemos los conceptos

Hay conceptos geométricos que no pueden definirse. Son ideas formadas en nuestra mente a través de la observación del entorno y solamente podemos hacer representaciones concretas de ellas.

Las llamaremos términos primitivos o conceptos primarios y son: espacio, punto, recta y plano.

Espacio

Es el conjunto universo de la geometría. En él se encuentran todos los demás elementos. Dentro de él determinamos cuerpos geométricos como cajas, planetas, esferas, etcétera.

Su símbolo es: E

Punto

El punto tiene posición en el espacio. Su representación más cercana es el orificio que deja un alfiler en una hoja de papel o en un granito de arena, pero debemos tener en cuenta que no tiene grosor.

En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayúscula y para reconocerlos

usaremos o x.

Por ejemplo:

A se lee punto A, x M se lee punto M.

Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si llevan la misma dirección; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si están formadas solamente por trozos de rectas.

Plano y Recta:Infinitos puntos

La unión de infinitos puntos da origen a los otros dos principios básicos de la geometría: plano y recta.

La representación más cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un lápiz en un papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos.

La identificaremos con el dibujo

Una recta puede tener dirección:

Horizontal: como la línea del horizonte.

Vertical:

como el hilo a plomo.

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Oblicua: cuando es distinta a las dos anteriores.

Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas y sobre ellas se anota su símbolo. Por ejemplo: AB, se lee recta AB.

También se usa una L ó una R, especialmente en los casos en que deban distinguirse varias rectas.

Veamos:

DE es una recta oblicua.

L es una recta vertical.

Plano

Lo más parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero lo diferencia con ésta, el hecho que es ilimitado y no tiene grosor.

El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma dirección, es decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella.

El símbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompañado de, por lo menos, tres puntos.

Las paredes de nuestra casa, el pavimento de las calles, la superficie de una laguna, son representaciones de planos.

Es importante saber que en un plano podemos encontrar puntos y rectas, y obtener figuras geométricas.

Hay planos horizontales, verticales y oblicuos.

Cuando en una superficie no quedan rectas totalmente incluidas en ella, decimos que es curva. Una representación de esto sería una bandera flameando

• Cálculo de perímetros, áreas y volúmenes

El perímetro de una figura bidimensional es la distancia que hay alrededor de ella.

El perímetro de un polígono es igual a la suma de todos sus lados. El perímetro de un polígono regular es igual a la la longitud de uno de los lados multiplicada por el número de lados.

La longitud de una circunferencia, o su perímetro, es igual a 2×π×r, donde r es el radio y π es una constante que tiene un valor aproximadamente igual a 3,1416.

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Llamamos área o superficie a la medida de la región interior de un polígono. Recordemos que la región interior es la parte del plano que queda encerrada por los lados del polígono. Observa:

Este polígono de 9 lados, es decir, un eneágono, tiene pintada de azul su región interior.

Los puntos de la región interior no se intersectan con la región exterior, porque tienen una frontera: los lados que forman el polígono.

Una necesidad y un problema

El hombre tuvo necesidad de medir la superficie de los terrenos que sembraba. Para hacerlo, ideó un sistema utilizando los elementos que tenía a su alcance. El método consistió en colocar cada elemento sobre la tierra para ver cuántas veces cabía en la superficie que quería medir, como si pusiera baldosas sobre ella.

Pero se le presentó una dificultad, debido a que las medidas que usaba eran arbitrarias. Es decir, cada persona tenía una base diferente, y media de acuerdo a su propio parecer, sin ponerse de acuerdo con los demás.

Por ejemplo...

Para que entiendas mejor lo anterior, lo veremos graficado con un ejemplo.

Vamos a medir el área de una figura, utilizando elementos diferentes.

Esta es nuestra figura:

Primero mediremos el área de este rectángulo, tomando como medida base una baldosa roja.

La baldosa roja cabe 9 veces en nuestro rectángulo, entonces su área es de 9 baldosas rojas.

Ahora, mediremos con una baldosa diferente, la que identificaremos con el color verde. Así:

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La baldosa verde cabe 16 veces en el rectángulo. El área corresponde a 16 baldosas verdes.

El rectángulo es el mismo, pero las baldosas son diferentes. Por lo tanto, los resultados de la medición también fueron distintos.

Cuadrados y rectángulos

Dibujaremos un cuadrado de 3 cm. y colocaremos sobre él centímetros cuadrados.

Obtuvimos 9 cm2, lo mismo que si multiplicamos lado por lado, de este modo:

3 cm · 3 cm = 9 cm2

Si llamamos a al lado del cuadrado, podemos concluir que:

el área de un cuadrado es a · a = a2

El área de un rectángulo se calcula de forma semejante; lo único que cambia es que las medidas de los lados son distintas. Al largo, lo denominaremos a, y al ancho, b. Calcularemos el área del siguiente rectángulo con centímetros cuadrados.

El área equivale a 8 cm2.

Matemáticamente se puede obtener multiplicando largo por ancho.

En fórmula, el área de un rectángulo es a · b

Rombos y romboides

Estos paralelógramos no tienen ángulos rectos, por lo que en ellos no se puede aplicar la misma fórmula. Para calcular su área, recurriremos a un elemento secundario: la altura, un segmento perpendicular (forma ángulos de 90°) que une un lado con su vértice opuesto.

En el rombo y romboide dibujados, DE corresponde a la altura.

¿Por qué necesitamos la altura para calcular el área?

Trazaremos una paralela a la altura desde C y prolongaremos el lado AB hasta obtener F.

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Se formó un BFC, congruente con AED y nos quedó el rectángulo EFCD

El rectángulo formado tiene como largo el lado del rombo o romboide, y su ancho es la altura dibujada. Entonces, concluimos que:

El área del rombo o romboide = b · h ---> b= base, y h = altura

En resumen, cualquier paralelógramo tiene una sola fórmula para calcular su área, ya que en el cuadrado y en el rectángulo un lado es la base y el otro, la altura. Entonces:

Área de un paralelógramo = b · h

Calcularemos el área de un rombo que tiene 4,6 cm. por lado y su altura es de 3 cm. Aplicamos la fórmula:

Área rombo = b · h

Área rombo = 4,6 cm · 3 cm.

Área rombo = 13,8 cm2

Trapecios

Sabemos que los trapecios son cuadriláteros que tienen un par de lados paralelos llamados bases. Sus lados, es decir, los no paralelos, no son perpendiculares a las bases, salvo el trapecio rectángulo que tiene perpendicular uno de ellos. Para el cálculo de su área también necesitamos considerar la altura.

Para formar un rectángulo trazamos la paralela a DE desde B y prolongamos DC hasta formar F. Nos

queda el AED CFB y nuestro rectángulo es EBFD

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El rectángulo tiene como largo la mitad de la suma de las bases del trapecio y su ancho es la altura que trazamos. El área del trapecio se puede calcular aplicando la fórmula:

Área del trapecio = base mayor + base menor · h

_______________________________

2

Calcularemos el área de nuestro trapecio.

Área del trapecio = 8 cm + 4 cm · 3,6

___________________

2

Área del trapecio = 12 cm · 3,6

_______________

2

Área del trapecio = 21,6 cm2

El área de los triángulos

El cálculo de área de un triángulo cualquiera, se relaciona con el área de un romboide, cuya fórmula era base · altura

¿Cómo podemos relacionar triángulo y romboide?

Lo haremos a través del siguiente dibujo

A nuestro ABC, le trazaremos una paralela al lado AC a partir de B, y una paralela a AB a partir de C.

Se ha formado un romboide donde el ABC es la mitad de él.

Para calcular el área del romboide necesitábamos la altura, porque su fórmula es b · h.

Como el es la mitad del romboide obtenemos que el área del es igual a la mitad del área del romboide.

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Su fórmula es:

Área del triángulo = b · h_______2

AB= 5 cm AC= 3,2 cm

BC= 4 cm CD= 3 cm

Calculemos el área de este triángulo. Comenzamos, aplicando la fórmula.

Triángulo rectángulo

Si el es rectángulo, su área se puede calcular por medio de sus catetos, que son los lados perpendiculares, porque un cateto es la altura del otro. Entonces, la fórmula para su cálculo sería:

Área del triángulo = cateto · cateto

_____________________

2

Aplicaremos esta fórmula en el siguiente triángulo rectángulo.

AB= 4 cm

BC= 5 cm

AC= 3 cm

Los catetos miden 3 y 4 cm

En el círculo

El círculo es la región interior de una circunferencia.

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El área de un círculo se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

Área del O = · r2

= 3,14 r = radio de la circunferencia

Recordemos que es un número decimal infinito que, para efectos de cálculo, lo dejamos en 3,14 ó 3.

Aplicaremos la fórmula para calcular el área de un círculo de 3 cm. de radio.

Apliquemos el teorema de Pitágoras

El gran matemático griego Pitágoras descubrió una situación muy especial que se produce en el triángulo rectángulo y que se relaciona con sus lados.

Su teorema dice: "El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, equivale a la suma de los cuadrados construidos sobre sus catetos"

Demostraremos este teorema a través de un dibujo.

Hemos construido un cuadrado sobre cada lado del triángulo rectángulo.

Pitágoras dice que el cuadrado 1 tiene su área igual a la suma de los cuadrados 2 y 3.

De acuerdo al cuadriculado, el cuadrado 1 tiene un área de 25 cuadros. Al sumar los 9 cuadros del cuadrado 2 y los 16 cuadros del 3 obtenemos 25. Entonces, se cumple:

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Este teorema nos sirve para calcular la medida desconocida de un lado de un triángulo rectángulo, puede ser un cateto o su hipotenusa.

Por ejemplo: si la hipotenusa mide 5 cm y uno de sus catetos es 4 cm, ¿cuánto mide el otro cateto?

Aplicamos la fórmula.

Áreas achuradas

Son una forma de aplicación del cálculo de áreas de diferentes figuras que están relacionadas entre sí. Para distinguir la parte que se debe calcular como resultado final se procede a achurarla, es decir, se pinta o raya imitando texturas.

Algunas veces, la parte achurada está formada por la unión de áreas de figuras, por lo tanto, hay que descomponerla, luego hacer el cálculo de cada parte, y finalmente, sumarlas para encontrar el área total.

Veamos el siguiente ejemplo:

Esta figura se descompone en medio círculo y un rectángulo. Primero, tendremos que calcular el área del círculo; luego, dividirla por 2. Buscaremos, también el área del rectángulo y después sumaremos ambos resultados para obtener el área total.

Hay ejercicios, que tienen unas figuras dentro de otras y la parte achurada se relaciona con un sector formado por la intersección de ellas. En estos casos, la solución se encuentra buscando la diferencia entre las figuras que forman la intersección. Por ejemplo:

Nuestra figura está formada por un cuadrado con un círculo en su interior. La parte achurada corresponde a la diferencia entre el área del cuadrado y la del círculo

Volumen

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Probabilidad y estadística básica

La probabilidad es la caracteristica de un suceso del que existen razones para creer que se realizará. Los sucesos tienden a ser una frecuencia relativa del numero de veces que se realiza el experimento

La probabilidad p de aparición de un suceso S de un total de n casos posibles igualmente factibles es la razón entre el número de ocurrencias h de dicho suceso y el número total de casos posibles n.

p = P{S} = h / n

La probabilidad es un número (valor) entre 0 y 1. Cuando el suceso es imposible se dice que su probabilidad es 0 y se dice que es un suceso cierto cuando siempre tiene que ocurrir y su probabilidad es 1. La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q donde:

q = P{noS} = 1 − (h / n)

Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por Ω, es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por ω1,ω2, etcétera, son elementos del espacio Ω

La Estadística es una rama de las matemáticas que se utiliza para describir, analizar e interpretar fenómenos donde interviene el azar, y que permite a otras ciencias a generar modelos matemáticos empíricos donde se considera el componente aleatorio. La Estadística se divide en dos grandes ramas:

La Estadística descriptiva, que se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio.

La Estadística inferencial, que se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión.

El Razonamiento Estadístico

Todo problema estadístico opera del modo siguiente:

Se plantea un problema en estudio.

Se realiza un muestreo consistente en la recolección de datos referentes al fenómeno o variable que deseamos estudiar.

Se propone un modelo de probabilidad, cuyos parámetros se estiman mediante estadísticos a partir de los datos de muestreo. Sin embargo se mantiene lo que se denominan hipótesis sostenidas (que no son sometidas a comprobación)

Se valida el modelo comparándolo con lo que sucede en la realidad. Se utiliza métodos estadísticos conocidos como test de hipótesis y pilin de significación

• Población, muestra, medidas de tendencia central, desviación estándar y varianza

Población: Conjunto de todos los elementos incluidos en cierto estudio estadístico.

Muestra: Subconjunto de la población.

Elemento: Unidad mínima de la que se compone la población

MEDIA ARITMÉTICA

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Es la suma de los valores de una variable dividida por, él numero de ellos. La media aritmética, que

se representa con .

La fórmula de la media aritmética es:

Ejemplo:

se obtiene con los siguientes pasos

1. Se suman todos los datos

10 + 3 + 5 + 9 + 6 + 8 + 8 + 7 + 9 + 6 + 8 + 7 =

2. La suma ( ) se divide entre el número de datos (n) :

La media aritmética o promedio de las evaluaciones es 7.16, que es el valor representativo de todos los datos.

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

A veces se asocia a los números x1, x2,...,xn que se quieren promediar, ciertos factores o pesos w1, w2,...,wn que dependen de la significación o importancia de cada uno de los números. Entonces se genera una media aritmética ponderada, que también se representa con equis testada.

Ejemplo

Supongamos que un alumno quiere encontrar el promedio ponderado de sus cinco calificaciones. La segunda calificación vale el doble de al primera, la tercera el triple de la primera, la cuarta vale cuatro veces la primera y la quinta cinco veces. ¿Cuál es su promedio si sus calificaciones son 8.5, 7.3, 8.3, 6.4 y 9.2?

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X1 = 8.5 ; W1 = 1

X2 = 7.3 ; W2 = 2

X3 = 8.3 ; W3 = 3

X4 = 6.4 ; W4 = 4

X5 = 9.2 ; W5 = 5

(8.5*1+7.3*2+8.3*3+6.4*4+9.2*5)

(1+2+3+4+5)

= 119.6/15 = 7.97 es el promedio ponderado de las calificaciones de este alumno

LA MEDIANA

Es la observación que se encuentra en el centro cuando los datos están ordenados, divide a los datos en dos partes iguales.

- Si n es impar:

la mediana es la observación que está en el lugar (n+1)/2, esto es

- Si n es par:

la mediana es el promedio de las observaciones n/2 y n/2+1, esto es

Ejemplo

Encuentra la mediana para el siguiente conjunto de datos

9 12 5 16 8 3 11

Primero se ordenan los datos

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3 5 8 9 11 12 16

Una vez ordenados, como el número de datos es impar (7), se busca el que tiene la posición (n+1)2, o sea (7+1)2 = 4. Este número es el 9 y representa la mediana.

Ejemplo

Calcula la mediana para el siguiente conjunto de datos

8.3 5.7 9.2 3.9 7.4 11.8 10.6 4.3

Nuevamente se ordenan los datos

3.9 4.3 5.7 7.4 8.3 9.2 10.6 11.8

Una vez ordenados, como el númeo de datos es par (8), se busca el número que tiene la posición n/2 y el que tiene la posición n/2+1, o sea 8/2 = 4 y 8/2+1 = 5. Los números que tienen la posición cuarta y quinta son 7.4 y 8.3. Estos números se promedian y el resultado será la mediana.

(7.4+8.3)/2 = 7.85. Este resultado 7.85 representa la mediana para este conjunto de datos

LA MODA

La moda es el dato que aparece con mayor frecuencia en una colección.

Ejemplo

Si se observa cual es el dato que más se repite en las evaluaciones, se tiene:

3, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10

Que es el ocho. Este valor representa la moda de esta colección, por lo tanto, la moda se refiere al dato que tiene mayor frecuencia.

Nota: Si ninguna observación se repite, se dice que esos datos no tienen moda. Si todos los datos se repiten el mismo número de veces, los datos serán multimodales.

Ejemplo

Encuentra la moda de los siguientes datos

4 9 5 6 7

Como los datos sólo existen una vez, este conjunto de datos no tienen moda.

Ejemplo

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Encuentra la moda del siguiente conjunto de datos

9 3 6 7 9 8 5 9 7 3

El 3 se repite dos veces, el 7 se repite también dos veces, pero como el 9 se repite tres veces, este último número es la moda para este conjunto de datos.

Ejemplo

Calcula la moda para los datos que se presentan a continuación

6 7 8 6 9 7 8 5 6 8

El máximo número de veces que se repiten los datos son tres, y hay dos datos que se repiten tres veces, el 6 y el 8. El conjunto de datos es bimodal y sus modas son el 6 y el 8.

Ejemplo

Calcula la moda para estos datos

8 6 5 5 9 6 8 6 5 9 8 9

En este conjunto de datos, todos se repiten tres veces. El 5, 6, 8 y el 9 son moda. No hay ninguno que no lo sea, es un caso multimodal

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

La desviación estándar es la medida de dispersión mas usada en estadística, tanto en aspectos descriptivos como analíticos. En su forma conceptual, la desviación estándar se define así:

Fórmula de trabajo para la población

1


HERNÁNDEZ

[Año]

Fórmula de trabajo para la muestra:

Ejemplo:

x x2

3 9

2 4

3 9

5 25

4 16

3 9

20 72

1


HERNÁNDEZ

[Año]

Cuando se trata de datos agrupados la formula es:

Ejemplo :

x f fx x2 fx2

32 1 32 1024 1024

37 3 111 1369 4107

42 8 336 1764 14112

47 9 423 2209 19881

52 7 364 2704 18928

57 4 228 3249 12996

62 3 186 3844 11532

67 3 201 4489 13467

72 2 144 5184 10368

Sumas 40 2025 106415

1


HERNÁNDEZ

[Año]

Conociendo la desviación estándar, se puede calcular otros estimadores derivados que son de gran utilidad para describir y/o interpretar el comportamiento de los datos

VARIANZA (VARIANCIA) S2

La varianza, , se define como la media de las diferencias cuadráticas de n puntuaciones con respecto a su media aritmética, es decir:

Para datos agrupados en tablas, usando las notaciones establecidas en los capítulos anteriores, la varianza se puede escribir como

Una fórmula equivalente para el cálculo de la varianza está basada en lo siguiente:

1


HERNÁNDEZ

[Año]

Con lo cual se tiene

Si los datos están agrupados en tablas, es evidente que

La varianza no tiene la misma magnitud que las observaciones (ej. si las observaciones se miden en metros, la varianza lo hace en metros2). Si queremos que la medida de dispersión sea de la misma dimensionalidad que las observaciones bastará con tomar su raíz cuadrada.

Por ello se define la desviación típica, , como:

Ejemplo

Calcular la varianza y desviación típica de las siguientes cantidades medidas en metros:

3,3,4,4,5

Para calcular dichas medidas de dispersión es necesario calcular previamente el valor con respecto al cual vamos a medir las diferencias. Éste es la media:

La varianza es:

Siendo la desviación típica su raíz cuadrada:

Las siguientes propiedades de la varianza (respectivamente, desviación típica) son importantes a la hora de hacer un cambio de origen y escala a una variable. En primer lugar, la varianza (resp. Desviación típica) no se ve afectada si al conjunto de valores de la variable se le añade una

1


HERNÁNDEZ

[Año]

constante. Si además cada observación es multiplicada por otra constante, en este caso la varianza cambia en relación al cuadrado de la constante (resp. La desviación típica cambia en relación al valor absoluto de la constante). Esto queda precisado en la siguiente proposición

TASA INTERNA DE RENTABILIDAD O DE RETORNO

Generalmente conocido por su acrónimo TIR, es el tipo de descuento que hace que el VAN (valor actual o presente neto) sea igual a cero, es decir, el tipo de descuento que iguala el valor actual de los flujos de entrada (positivos) con el flujo de salida inicial y otros flujos negativos actualizados de un proyecto de inversión. En el análisis de inversiones, para que un proyecto se considere rentable, su TIR debe ser superior al coste del capital empleado.

El Valor Actual Neto es un criterio financiero para el análisis de proyectos de inversión que consiste en determinar el valor actual de los flujos de caja que se esperan en el transcurso de la inversión, tanto de los flujos positivos como de las salidas de capital (incluida la inversión inicial), donde éstas se representan con signo negativo, mediante su descuento a una tasa o coste de capital adecuado al valor temporal del dinero y al riesgo de la inversión. Según este criterio, se recomienda realizar aquellas inversiones cuyo valor actual neto sea positivo.

El Valor Actual o Valor presente, es calculado mediante la aplicación de una tasa de descuento, de uno o varios flujos de tesorería que se espera recibir en el futuro; es decir, es la cantidad de dinero que sería necesaria invertir hoy para que, a un tipo de interés dado, se obtuvieran los flujos de caja previstos.

CORRELACIÓN LINEAL

Objetivo principal del análisis de correlación lineal es medir la intensidad de una relación lineal entre dos variables. A continuación se estudian algunos diagramas de dispersión que indican diferentes relaciones entre las variables independientes x y las variables dependientes y. Si Y dependientes no existe un cambio definido en los valores de y conforme aumentan los valores de x, se dice que no hay correlación o que no existe relación entre x y y. En cambio, si al aumentar x hay una modificación definida en los valores de y, entonces existe correlación.

En este último caso la correlación es positiva cuando y tiende a aumentar, y negativa cuando y decrece. Si tanto los correlación lineal valores de x como los de y tienden a seguir una dirección recta, existe una correlación lineal.

La precisión del cambio en y conforme x incrementa su valor, determina la solidez de la correlación lineal. Los diagramas de dispersión de la Figura 3-2 ilustran estas nociones.

Hay una correlación lineal perfecta cuando todos los puntos están situados a lo largo de una recta en

1


HERNÁNDEZ

[Año]

forma exacta, como se muestra en la Figura. Esta correlación puede ser positiva o negativa, dependiendo de que y aumente o disminuya conforme x aumenta. Si los datos forman una recta vertical u horizontal no existe correlación, pues una variable no tiene efecto sobre la otra.

PROBABILIDAD Y

TIPOS DE PROBABILIDAD

Históricamente se han desarrollado tres diferentes enfoques conceptuales para definir la probabilidad y para determinar valores de probabilidad:

el clásico,

el de frecuencia relativa y

el subjetivo.

De acuerdo con el enfoque clásico de la probabilidad, si N(A) resultados elementales posibles son favorables en el evento A, y existe N(S) posibles resultados en el espacio muestral y todos los resultados elementales son igualmente probables y mutuamente excluyentes; entonces, la probabilidad de que ocurra el evento A es

N(A)

P(A) = -------------

N(S)

Obsérvese que el enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que cada uno de los resultados es igualmente probable. Debido a que este enfoque (cuando es aplicable) permite determinar los valores de probabilidad antes de observar cualesquiera eventos muestrales, también se le denomina enfoque a priori.

EJEMPLO

1


HERNÁNDEZ

[Año]

En un mazo de cartas bien barajadas que contiene 4 ases y 48 cartas de otro tipo, la probabilidad de obtener un as (A) en una sola extracción es

N(A) 4 1

P(A) = ---------- = ----- = ----

N(S) 52 13

A través del enfoque de frecuencia relativa, se determina la probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en un determinado número de observaciones o experimentos. No hay implícita ninguna suposición previa de igualdad de probabilidades. Debido a que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos, a este enfoque se le denomina también enfoque empírico. La probabilidad de que ocurra un evento A, de acuerdo con el enfoque de frecuencia relativa es

Número de observaciones de A n(A)

P(A) = -------------------------------------- = -------

Tamaño de la muestra n

EJEMPLO.

Antes de incluir la cobertura para ciertos tipos de problemas dentales en pólizas de seguros médicos para adultos con empleo, una compañía de seguros desea determinar la probabilidad de ocurrencia de esa clase de problemas, para que pueda fijarse la prima de seguros de acuerdo con esas cifras. Por ello, un especialista en estadística recopila datos para 10,000 adultos que se encuentran en las categorías de edad apropiadas y encuentra que 100 de ellos han experimentado el problema dental específico durante el año anterior.

Por ello, la probabilidad de ocurrencia es:

n(A) 100

P(A) = ------- = --------- = 0.01, o 1%

n 10,000

Tanto el enfoque clásico como el de frecuencia relativa producen valores de probabilidad objetivos, en el sentido de que señalan la tasa relativa de ocurrencia del evento a largo plazo.

Por el contrario, el enfoque subjetivo a la probabilidad es particularmente apropiado cuando sólo existe una probabilidad de que el evento ocurra, y se da el caso de que ocurra o no esa única vez. De acuerdo con el enfoque subjetivo, la probabilidad de un evento es el grado de confianza que una persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible. Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina también enfoque personalista.

1


HERNÁNDEZ

[Año]

EJEMPLO

Debido a los impuestos y a los posibles usos alternativos de sus fondos, un inversionista ha determinado que la compra de terrenos vale la pena sólo si existe una probabilidad de cuando menos 0.90 de que el terreno obtenga plusvalía por 50% o más en los próximos 4 años. Al evaluar un determinado terreno, el inversionista estudia los cambios en los precios en el área en años recientes, considera los niveles corrientes de precios, estudia el estado corriente y futuro probable de los proyectos de desarrollo inmobiliarios y revisa las estadísticas referentes al desarrollo económico del área geográfica global. Con base en esta revisión, concluye que existe una probabilidad de aproximadamente 0.75% de que se dé la plusvalía que requiere. Como esta probabilidad es menor que la mínima que requiere, (0.90), no debe llevarse a cabo la inversión

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:

BINOMIAL, HIPERGEOMÉTRICA Y POISSON.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS

En contraste con un evento, una variable aleatoria es un evento numérico cuyo valor se determina mediante un proceso al azar. Cuando se asignan valores de probabilidad a todos los valores numéricos posibles de una variable aleatoria X, ya sea mediante un listado o a través de una función matemática, se obtiene como resultado una distribución de probabilidad. La suma de las probabilidades para todos los resultados numéricos posibles debe ser igual 1.0. Pueden denotarse los valores de probabilidad individuales mediante el símbolo f(x), lo cual implica que hay implícita una función matemática; mediante P(x=X), el cual implica que la variable aleatoria puede asumir diversos valores específicos, o simplemente mediante P(X).

Para una variable aleatoria discreta, se pueden enlistar todos los valores numéricos posibles de la variable en una tabla con las probabilidades correspondientes. Existen diversas distribuciones estándar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para una amplia gama de variables aleatorias discretas en aplicaciones de negocios. Los modelos estándar que se describiremos son las distribuciones de probabilidad binomial, hipergeométrica y Poisson.

Para una variable aleatoria continua no es posible enlistar todos los posibles valores fraccionarios de la variable y, por lo tanto, las probabilidades que se determinan a través de una función matemática se ilustran en forma gráfica mediante una función de densidad de probabilidad o curva de probabilidad. Más adelante se describen diversas distribuciones estándar de probabilidad que pueden servir como modelos para variables aleatorias continuas.

EJEMPLO

En la siguiente tabla se muestra el número de camionetas que se han solicitado para renta en una arrendadora de automóviles, en un periodo de 50 días. En la última columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 días, convertidas en probabilidades. Así, puede observarse que la probabilidad de que se hayan solicitado exactamente siete camionetas en un día elegido al azar en ese periodo es de 0.20, y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o más es de 0.20 + 0.20 + 0.08 = 0.56.

Demanda diaria de arrendamiento de camionetas

durante un periodo de 50 días

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HERNÁNDEZ

[Año]

Demanda posible X

Número de días

Probabilidad [P (X)]

3 3 0.06

4 7 0.14

5 12 0.24

6 14 0.28

7 10 0.20

8 4 0.08

50 1.00

EL VALOR ESPERADO Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

De la misma manera en que se hace para conjuntos de datos muestrales y poblacionales, con frecuencia resulta útil describir una variable aleatoria en términos de su media y su varianza. La media (a largo plazo) de una variable aleatoria X se denomina valor esperado y se denota mediante E(X). Para una variable aleatoria discreta, resulta ser el promedio ponderado de todos los valores numéricos posibles de la variable, utilizando las probabilidades correspondientes como pesos. Como la suma de los pesos (probabilidades) es 1.0, puede simplificarse la fórmula de la media ponderada de manera que el valor esperado de una variable aleatoria discreta es

E(X) = ðXP(X)

EJEMPLO

Con base en los datos de la Tabla anterior, se presentan en la Tabla siguiente los cálculos que conducen al valor esperado de la variable aleatoria. El valor esperado es 5.66 camionetas. Observe que el valor esperado de la variable discreta puede ser un valor fraccionario porque representa el valor promedio a largo plazo y no el valor específico de determinada observación.

Cálculo del valor esperado para la demanda de camionetas

Demanda posible X Probabilidad [ P (X) ]

Valor ponderado [ X P (X) ]

3 0.06 0.18

4 0.14 0.56

5 0.24 1.20

6 0.28 1.68

7 0.20 1.40

1


HERNÁNDEZ

[Año]

8 0.08 0.64

1.00 E(X) = 5.66

La varianza de una variable aleatoria X se denota mediante V(X); se calcula con respecto a E(X) como la media de la distribución de probabilidad. La forma general de desviaciones para la fórmula de la varianza de una variable aleatoria discreta es

V(X) = ð[X-E(X)-E(X)]2 P(X)

La forma abreviada para la fórmula de la varianza de una variable aleatoria discreta, que no requiere el cálculo de las desviaciones con respecto a la media, es

V(X) = ð X2 P(X) - [ð XP(X)]2 = E(X2) - [E(X)]2

EJEMPLO

En la siguiente Tabla se presenta la hoja de trabajo utilizada para el cálculo de la varianza de la demanda de renta de camionetas, utilizando la versión abreviada de la fórmula. Tal como se señala enseguida, el valor de la varianza es de 1.74.

V(X) = E(X2}-[E(X)]2 = 33.78-(5.66)2 = 33.78-32.04 = 1.74

Hoja de trabajo para el cálculo de la varianza para la demanda de camionetas

Demanda posible

XProbabilidad [P(X)]

Valor ponderado [XP(X)]

Demanda al cuadrado

(X2)

Valor ponderado al cuadrado [X2P(X)]

3 0.06 0.18 9 0.54

4 0.14 0.56 16 2.24

5 0.24 1.20 25 6.00

6 0.28 1.68 36 10.08

7 0.20 1.40 49 9.80

8 0.08 0.64 64 5.12

E(X) = 5.66 E(X2) = 33.78

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial es una distribución discreta de probabilidad aplicable como modelo a diversas situaciones de toma de decisiones, siempre y cuando pueda suponerse que el proceso de muestreo se ajusta a un proceso Bernoulli. Un proceso Bernoulli es un proceso de muestreo en el que:

1


HERNÁNDEZ

[Año]

(1) Sólo son posibles dos resultados mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación. Por conveniencia, a estos resultados se les denomina éxito y fracaso.

(2) Los resultados del conjunto de ensayos u observaciones, constituyen eventos independientes.

(3) La probabilidad de éxito, que se denota mediante p, permanece constante de un ensayo a otro. Es decir, el proceso es estacionario.

Puede utilizarse la distribución binomial para determinar la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos en un proceso Bernoulli. Se requieren tres valores: el número específico de éxitos (X), el número de ensayos u observaciones (n) y la probabilidad de éxito en cada uno de los ensayos (p). La fórmula para determinar la probabilidad de un número determinado de éxitos X para una distribución binomial, en donde q = (1-p) es:

P(Xðn, p) = nCXpXqn-X

n!

= ----------- px q n-x

X! (n-X)!

EJEMPLO

La probabilidad de que un prospecto de ventas elegido al azar realice una compra es de 0.20. Si un vendedor visita a seis prospectos, la probabilidad de que realice exactamente cuatro ventas se determina de la siguiente manera:

P(X = 4ðn = 6, p = 0.20) = 6C4(0.20)4(0.80)2 = 6! (0.20)4(0.80)2

4!2!

6x5x4x3x2

= ------------- (0.0016)(0.64) = 0.01536 ð 0.015

(4x3x2)(2)

Con frecuencia existe interés en la probabilidad acumulada de "X o más" éxitos o "X o menos" éxitos en n ensayos. En este caso, debe determinarse la probabilidad de cada uno de los resultados incluidos dentro del intervalo designado, y entonces sumar esas probabilidades.

EJEMPLO

En relación con el ejemplo anterior la probabilidad de que el vendedor logre 4 o más ventas se determina de la siguiente manera:

P(X ≥ 4ðn=6, p=0.20) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)

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HERNÁNDEZ

[Año]

= 0.01536 + 0.001536 + 0.000064 = 0.016960 ð 0.017

en donde P(X=4) = 0.1536 (del ejemplo anterior

P(X=5) = 6C5(0.20)5(0.80)1 = 6! (0.20)5(0.80) = 6(0.00032)(080) = 0.001536

5! 1!

P(X=6) = 6C6(0.20)6(0.80)0 = 6! (0.000064)(1) = (1)(0.000064) = 0.00064

6! 0!

(Nota: recuérdese que cualquier valor elevado a la potencia 0 es igual a 1).

Como el uso de la fórmula binomial implica una cantidad considerable de cálculos cuando la muestra es relativamente grande, con frecuencia se utilizan tablas de probabilidades binomiales.

LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Cuando el muestreo se realiza sin reemplazo para cada uno de los elementos que se toman de una población finita de elementos, no se puede aplicar el proceso Bernoulli debido a que existe un cambio sistemático en la probabilidad de éxitos al ir extrayendo elementos de la población. Cuando se utiliza el muestreo sin reemplazo en alguna situación en la que, de no ser por el no reemplazo, se le pudiera calificar como proceso de Bernoulli, la distribución discreta de probabilidad apropiada resulta ser la distribución hipergeométrica.

Si X es el número designado de éxitos, N es el número de elementos de la población, T es el número total de "éxitos" incluidos en la población y n es el número de elementos de la muestra, la fórmula para determinar las probabilidades hipergeométricas es

N - T T

n - X X

P(XðN, Tn) = ----------------

N

n

EJEMPLO

De seis empleados, tres han estado con la compañía durante cinco o más años, si se eligen cuatro empleados al azar de ese grupo la probabilidad de que exactamente dos de ellos tengan una antigüedad de cinco años o más es:

6-3 3 3 3 3 ! 3 !

4-2 2 2 2 2!1! 2!1! (3) (3)

1


HERNÁNDEZ

[Año]

P(X=2ðN=6, T=3 n=4) = ------------- = ------------ = ------------- = ----------

6 6 6! 15

4 4 4!2!

= 0.60

Nótese que en el ejemplo anterior, el valor que se requiere de la probabilidad se calcula determinando el número de combinaciones diferentes que incluirían a dos empleados con antigüedad suficiente y dos con menor antigüedad como cociente del número total de combinaciones de cuatro empleados, tomados de entre los seis. Por ello, la fórmula hipergeométrica es una aplicación directa de las reglas de análisis combinatorio.

Cuando la población es grande y la muestra es relativamente pequeña, el hecho de que se realice el muestreo sin reemplazo tiene poco efecto sobre la probabilidad de éxito en cada ensayo. Una regla práctica conveniente consiste en utilizar la distribución binomial como aproximación a la hipergeométrica cuando n<0.05N. Es decir, el tamaño de la muestra debe ser cuando menos del 5% del tamaño de la población. En diferentes textos pueden encontrarse reglas un tanto distintas para determinar los casos en los que una aproximación como ésta es apropiada.

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

Puede utilizarse la distribución de Poisson para determinar la probabilidad de que ocurra un número designado de eventos, cuando esto ocurre en un continuo de tiempo o espacio. A un proceso como este se le denomina proceso Poisson; es similar al proceso Bernoulli excepto en que los eventos ocurren en un continuo (por ejemplo en un intervalo de tiempo) en vez de ocurrir en ensayos u observaciones fijas. Un ejemplo es la entrada de llamadas en un conmutador telefónico. Al igual que en el caso del proceso Bernoulli, se supone que los eventos son independientes y que el proceso es estacionario.

Sólo se requiere un valor para determinar la probabilidad de que ocurra un número designado de eventos en un proceso de Poisson: el número promedio a largo plazo de eventos para el tiempo o dimensión específico de interés. Por lo general, esta media se representa mediante ð (la letra griega "lambda") o, es posible, mediante ð. La fórmula para determinar la probabilidad de un número determinado de éxitos N en una distribución Poisson es

ðxe-ð

P(Xðð) = --------

X!

Aquí, e es la constante 2.7183 que es la base de los logaritmos naturales.

EJEMPLO

Un departamento de reparación de maquinaria recibe un promedio de cinco solicitudes de servicio por hora. La probabilidad de que se reciban exactamente tres solicitudes en una hora seleccionada al azar es

1


HERNÁNDEZ

[Año]

(5)3e-5 (125)(0.00674)

P(X =3ðð=5.0) = -------- = ------------------- = 0.1404

3! 6

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS:

NORMAL Y EXPONENCIAL

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

A diferencia de una variable aleatoria discreta, una variable aleatoria continua es la que puede tomar cualquier valor fraccionario en un rango determinado de valores. Como existe un número infinito de posibles mediciones fraccionarias, no pueden enlistarse todos los valores posibles con una probabilidad correspondiente. Más bien, se define una función de densidad de probabilidad. Esta expresión matemática da la función de X, y se representa mediante el símbolo f(X), para cualquier valor designado de la variable aleatoria X. A la gráfica de una función de este tipo se le denomina curva de probabilidad y el área entre dos puntos cualesquiera bajo la curva de la probabilidad de la ocurrencia aleatoria de un valor entre esos dos puntos.

EJEMPLO

Para la distribución continua de probabilidad de la figura siguiente, la probabilidad de que un embarque seleccionado al azar tenga un peso neto entre 3,000 y 4,000 kilogramos es igual a la proporción del área total bajo la curva que se encuentra en el área sombreada. Es decir, se define que el área total bajo la función de densidad de probabilidad es igual a 1, y puede determinarse la proporción de esta área que se encuentra entre dos puntos determinados aplicando el método de la integración (del cálculo diferencial e integral) junto con la función matemática de densidad de probabilidad para esa curva de probabilidad.

Existen diversas distribuciones continuas de probabilidad comunes que son aplicables como modelos a una amplia gama de variables continuas en determinadas circunstancias. Existen tablas de probabilidades para esas distribuciones estándar, haciendo que resulte innecesario el método de la integración para determinar las áreas bajo la curva de probabilidad para estas distribuciones. Los modelos comunes de distribuciones de probabilidad continua que se describen son las distribuciones normal y la exponencial.

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD

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HERNÁNDEZ

[Año]

La distribución normal de probabilidad es una distribución continua de probabilidad que es, al mismo tiempo, simétrica y mesokúrtica (que no es plana ni puntiaguda). Con frecuencia se describe a la curva de probabilidad que representa la distribución normal como una campana como se muestra.

La distribución normal de probabilidad es muy importante en inferencia estadística por tres razones principales:

Se sabe que las mediciones que se obtienen en muchos procesos aleatorios tienen esta clase de distribución.

Con frecuencia pueden utilizarse las probabilidades normales para aproximar otras distribuciones de probabilidad tales como las distribuciones binomial y Poisson.

Las distribuciones de estadísticas como la media muestral y la proporción muestral tienen distribución normal cuando el tamaño de la muestra es grande, sin importar la forma de la distribución de la población de origen.

Como se mencionó antes, en el caso de las distribuciones continuas de probabilidad sólo es posible determinar un valor de probabilidad para un intervalo de valores. La altura de la función de densidad, o curva de probabilidad, para un variable con distribución normal está dada por

1 -[(X-ð)2/2σ2]

f(X) = -------- e

2ðσð

en donde ð es la constante 3.1416, e es la constante 2.7183, ð es la media de la distribución y σ es la desviación estándar de la distribución. Como cualquier combinación distinta de ð y σ genera una distribución normal de probabilidad distinta (todas ellas simétricas y mesokúrticas), las tablas de las probabilidades normales se basan en una distribución específica:

La distribución normal estándar. Ésta es una distribución normal en la que ð=0 y σ=1. Cualquier valor X de una población con distribución normal puede convertirse a su valor normal estándar equivalente, z, mediante la fórmula

X-ð

z = -----

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HERNÁNDEZ

[Año]

σ

PUNTOS PERCENTILES PARA VARIABLES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL

Puede recordarse que el punto percentil 90 es el punto de la distribución tal que el 90% de los valores se encuentran por debajo de él y el 10% por encima. Para la distribución normal estándar, es el valor de z tal que la proporción total de área a la izquierda de ese valor, bajo la curva normal, es 0.90.

EJEMPLO

En la siguiente figura se ilustra la posición del punto percentil 90 para la distribución normal estándar. Para determinar el valor requerido de z, se utiliza la tabla correspondiente en el sentido contrario al común, porque, en este caso, el área bajo la curva entre la media y el punto de interés es 0.40, tal como se ha especificado, y se desea determinar el valor correspondiente de z. Se busca en el cuerpo de la tabla el valor más cercano a 0.4000. Este valor resulta ser 0.3997. Determinando los encabezados del renglón y de la columna, se encuentra que el valor de z asociado con esta área es 1.28, y por lo tanto, z 0.90 = + 1.28.

Dado el procedimiento de este ejemplo, que permite determinar un punto percentil para la distribución normal estándar, puede determinarse un punto percentil para una variable aleatoria con distribución normal convirtiendo el valor pertinente de z al valor que se requiere de X, mediante la fórmula

X= ð+zσ

APROXIMACIÓN NORMAL A PROBABILIDADES BINOMIALES

Cuando el número de observaciones o ensayos n es relativamente grande, puede utilizarse la distribución normal de probabilidad para aproximar las posibilidades binomiales. Una regla conveniente consiste en afirmar que esas aproximaciones son aceptables cuando n ≥ ðð, y tanto np ≥ 5 como nq ≥ 5. Esta regla, en combinación con la que se proporciona con respecto a la aproximación de Poisson a las probabilidades binomiales, significa que en los casos en que n ≥ 30, las probabilidades binomiales pueden aproximarse, ya sea mediante la distribución normal o la de Poisson, dependiendo de los valores np y nq. Algunos otros textos pueden utilizar reglas un tanto distintas para determinar los casos en los que esas aproximaciones son apropiadas.

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HERNÁNDEZ

[Año]

Cuando se utiliza la distribución normal de probabilidad como base para aproximar un valor binomial de probabilidad, la media y la desviación estándar se basan en un valor esperado y la varianza del número de éxitos de la distribución binomial, el número promedio de “éxitos” es

ð = np

La desviación estándar del número de “éxitos” es

σ = npq

APROXIMACIÓN NORMAL A PROBABILIDADES DE POISSON

Cuando la media ð de una distribución Poisson es relativamente grande, puede utilizarse la distribución normal de probabilidad para aproximar probabilidades tipo Poisson. Una regla práctica consiste en afirmar que esa aproximación es aceptable cuando ð ≥10.0.

La media y la desviación están dar de la distribución normal de probabilidad se basan en el valor esperado y la varianza del número de eventos de un proceso Poisson. Esta media es

ð = ð

La desviación estándar es

σ = ð

PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN.

ETAPAS BÁSICAS EN PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Al realizar pruebas de hipótesis. se parte de un valor supuesto (hipotético) de un parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media (X), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (ð). Después. se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda, se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

Etapa 1: Plantear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula (H0) es el valor hipotético del parámetro que se compara con el resultado muestral. Se rechaza sólo si el resultado muestral es muy poco probable en el caso de que la hipótesis sea cierta. Se acepta la hipótesis alternativa (H1) sólo si se rechaza la hipótesis nula.

EJEMPLO.

Un auditor desea probar el supuesto de que el valor promedio de todas las cuentas por cobrar en un empresa determinada es $260,000, tomando una muestra de n=36 y calculando la media muestral. Desea rechazar el valor del supuesto de $260,000 sólo si la media muestral lo contradice en forma clara, por lo que debe “darse el beneficio de la duda” al valor hipotético en el procedimiento de prueba. Las hipótesis nula y alternativa para esta prueba son H0: ð = $ 260,000 H1: ðð260,000.

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HERNÁNDEZ

[Año]

Etapa 2: Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia es el estándar estadístico que se especifica para rechazar la hipótesis nula. Si se especifica un nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoriamente con una probabilidad de 0.05 o menos.

Debe observarse que si se utiliza el nivel de significancia del 5%, existe una probabilidad del 0.05 de rechazar la hipótesis nula cuando, de hecho, es cierta. A esto se le denomina error tipo I. La probabilidad del error tipo I es siempre igual al nivel de significancia que se utiliza como criterio para rechazar la hipótesis nula; se le designa mediante la letra griega ð ("alfa") Y, por ello, ð designa el nivel de significancia. Los niveles de significancia que se utilizan con mayor frecuencia en las pruebas de hipótesis son el 5 y el 1%.

Ocurre un error tipo II si se acepta la hipótesis nula cuando, de hecho, es falsa. En la siguiente Tabla se resumen los tipos de decisiones y las consecuencias posibles, al realizar pruebas de hipótesis.

Decisiones posibles

Situaciones posibles

La hipótesis nula es verdadera

La hipótesis nula es

falsa

Aceptar la hipótesis nula

Se acepta correctamente

Error

tipo II

Rechazar la hipótesis nula

Error

tipo I

Se rechaza correctamente

Etapa 3: Elegir la estadística de prueba. La estadística de prueba puede ser la estadística muestral (el estimador no sesgado del parámetro que se prueba) o una versión transformada de esa estadística muestral. Por ejemplo, para probar el valor hipotético de una media poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa población para utilizarla como estadística de prueba. Sin embargo, si la distribución de muestreo de la media tiene distribución normal, entonces es común que se transforme la media muestral en un valor z el cual. a su vez, sirve como estadística de prueba.

Etapa 4: Establecer el valor o valores críticos de la estadística de prueba. Habiendo especificado la hipótesis nula, el nivel de significancia y la estadística de prueba que se van a utilizar, se procede a establecer el o los valores críticos de estadística de prueba. Puede haber uno o más de esos valores, dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos extremos. En cualquier caso, un valor crítico identifica el valor de estadística de prueba que se requiere para rechazar la hipótesis nula.

Etapa 5: Determinar el valor real de la estadística de prueba. Por ejemplo, al probar un valor hipotético de la media poblacional, se toma una muestra aleatoria y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crítico que se establece es un valor de z, entonces se transforma la media muestral en un valor de z.

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Etapa 6: Tomar la decisión. Se compara el valor observado de la estadística muestral con el valor (o valores) críticos de la estadística de prueba. Después, se acepta o se rechaza la hipótesis nula. Si se rechaza ésta, se acepta la alternativa; a su vez, esta decisión tendrá efecto sobre otras decisiones de los administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estándar de desempeño o cuál de dos estrategias de mercadotecnia utilizar.

PRUEBA DE UN VALOR HIPOTÉTICO DE LA MEDIA UTILIZANDO LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Puede utilizarse la distribución normal para probar un valor hipotético de la media poblacional:

Cuando n ≥ 30, utilizando teorema del límite central, o

Cuando n < 30, pero la distribución de la población es normal y se conoce

Se utiliza una prueba de dos extremos cuando lo que interesa es una posible desviación en cualquier dirección, a partir del valor hipotético de la media. La fórmula que se utiliza para establecer los valores críticos de la media muestra! es similar la que se utiliza para determinar los límites de confianza para estimar la media de una población, excepto que el valor hipotético de la media poblacional ð0 es el punto de referencia, y no la media muestral. Los valores críticos de la media muestral para una prueba de dos extremos, dependiendo de si se conoce σ, son:

XCR = ð0 ð Zσx

o XCR = ð0 ð zsx

EJEMPLO

Para la hipótesis nula que se planteó en el ejemplo anterior, determine los valores críticos de la media muestral para probar la hipótesis con un nivel de significancia del 5%. Como se sabe que la desviación estándar de las cuentas por cobrar es σ = 43,000, los valores críticos son:

Hipótesis: H0: ð = $260,000; H1: ð ð $260,000

Nivel de significancia = ð = 0.05

Estadística de prueba: X con base en una muestra de n=36, y con una σ = 43,000

XCR = valores críticos de la media muestral

XCR = ð0 ð Zσx = 260,000 ð 1.96 σ/ ðn = 260,000 ð 1.96 43,000 / ð36

= 260,000 ð 1.967166.67 = 266,000 ð 14,046.67 = $245,953.33 y 274,046.67

Por lo tanto, para rechazar la hipótesis nula, la media muestral debe tener un valor inferior a $245,950 o mayor de $274,050. Así, existen dos regiones de rechazo en el caso de una prueba de dos extremos. Se utilizan los valores de z de ð 1.96 para establecer los límites críticos porque para la distribución normal estándar se tiene 0.05 de proporción del área en los dos extremos (0.025 en cada extremo), lo cual corresponde al valor de ð = 0.05 que se especifica.

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En vez de establecer valores críticos en términos de la media muestral como tal, es común que se especifiquen los valores críticos en las pruebas de hipótesis en términos de valores z. Para el nivel de significancia del 5%, los valores críticos z para una prueba de dos extremos son -1.96 y +1.96, por ejemplo. Cuando se determine el valor de la media muestral, se le transforma en un valor z para que pueda compararse con los valores críticos de z. La fórmula de transformación, dependiendo de si se conoce σ o no, es

X - ð0

z = --------

σx

X - ð0

z = -----------

sx

ERRORES TIPO I y TIPO II EN PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Analizaremos en forma completa los errores tipo I y tipo II con respecto a las pruebas de un extremo sobre una media hipotética. Sin embargo, los conceptos que se ilustran aquí son aplicables también a otros modelos de pruebas de hipótesis.

La probabilidad del error tipo I es siempre igual al nivel de significancia que se utiliza al probar hipótesis nulas. Esto es así porque, por definición, la proporción de área en la región de rechazo es igual a la proporción de resultados muestrales que ocurrirían en esa región, cuando la hipótesis es verdadera.

Por lo general, a la probabilidad del error del tipo II se le designa mediante la letra griega ð ("beta"). La única forma en que se puede determinar es con respecto a un valor especifico incluido dentro del rango de la hipótesis alternativa.

DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO NECESARIO DA LA MUESTRA PARA LAMEDIA

Antes de extraer la muestra, puede determinarse el tamaño que se requiere especificando (1) el valor hipotético de la media; (2) un valor alternativo especifico para la media, de manera que la diferencia con respecto al valor hipotético resulta considerable; (3) el nivel de significancia que debe utilizarse en la prueba; (4) la probabilidad del error tipo II que se permite; y (5) el valor de la desviación estándar para la población, σð La fórmula para determinar el tamaño mínimo que se requiere para la muestra, a fin de probar un valor hipotético de media con base en la distribución normal es.

(z0 - z1)2σð

n =-------------------

(ðð ð ðð)2

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En z0 es el valor critico de z que se utiliza para el nivel de significación especificado (nivel ðð, en tanto que z1 es el valor de z correspondiente a la probabilidad especificada del error tipo II (nivel ðð. El valor de σ debe ser conocido o estimado de alguna manera. Puede utilizarse la formula anterior para pruebas de uno o dos extremos.

El único valor que difiere para los dos tipos de prueba es el valor de z0 que se utiliza.

(Nota: Cuando se está determinando el tamaño mínimo de muestra, siempre se redondean hacia arriba los resultados fraccionarios. Además, si no se conoce σ, o la población no tiene una distribución normal, cualquier tamaño de muestra que se calcule debe aumentarse cuando menos a este valor, porque la fórmula anterior se basa en el uso de la distribución normal.)

EL MÉTODO DEL VALOR p PARA PROBAR HIPÓTESIS NULAS REFERENTES A UNA MEDIA POBLACIONAL

Al seguir el método del valor p en vez de comparar el valor observado de un estadístico de prueba con un valor crítico, se determina la probabilidad de ocurrencia del estadístico de prueba, suponiendo que la hipótesis nula es cierta, y se le compara con el nivel de significancia ð. Se rechaza la hipótesis nula si el valor p es inferior al nivel designado ð.

ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL

OBJETIVOS Y SUPOSICIONES DEL ANÁLISIS DE REGRESIÓN

El principal objetivo del análisis de regresión es estimar el valor de una variable aleatoria (la variable dependiente) conociendo el valor de una variable asociada (la variable independiente). La ecuación de regresión es la fórmula algebraica mediante la cual se estima el valor de la variable dependiente.

El término de análisis de regresión simple indica que se estima el valor de la variable dependiente con base en una independiente, en tanto que el análisis de regresión múltiple se ocupa de la estimación del valor de la variable dependiente con base en dos o más variables independientes.

Las suposiciones generales en las que se basa el modelo de la regresión que se presenta son: (1) la variable dependiente es una variable aleatoria; (2) las variables dependiente e independiente tienen una relación lineal; y (3) las varianzas de las distribuciones condicionales de la variable dependiente, para diversos valores de la variable independiente, son iguales (homoscedasticidad). La primera suposición indica que, aunque puedan controlarse los valores de la variable independiente, los valores de la variable dependiente se deben obtener a través del proceso de muestreo.

Si se utiliza la estimación por intervalos en el análisis de regresión, se requiere una suposición adicional: (4) las distribuciones condicionales de la variable dependiente, para valores diferentes de la variable dependiente, son todas distribuciones normales para la población de valores.

EJEMPLO

Un analista desea estimar el tiempo de entrega de refacciones industriales embarcadas por camión. Desea utilizar el tiempo de entrega como variable dependiente y la distancia como variable independiente. Suponga que elige diez embarques recientes de los registros de la compañía, de manera que las distancias por carretera correspondientes están más o menos equitativamente dispersas entre 100 y 1,000 kilómetros de distancia, y registra el tiempo de entrega para cada

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embarque. Como se va a utilizar la distancia por carretera como variable independiente, esa selección de viajes con distancias específicas resulta aceptable. Por otro lado, la variable dependiente (el tiempo de entrega) es una variable aleatoria en su estudio, lo cual se ajusta a los supuestos del análisis de regresión. El que las variables tengan o no una relación lineal, por lo general se determina construyendo un diagrama de dispersión o una gráfica de residuales. Estos diagramas se utilizan también para observar si la dispersión vertical (varianza) es más o menos igual a lo largo de la línea de regresión.

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

Un diagrama de dispersión es una gráfica en la que se traza cada uno de los puntos que representan un par de valores observados para las variables independiente y dependiente. El valor de la variable independiente se grafica con respecto al eje horizontal, y el valor de la variable dependiente y se traza con respecto al eje vertical.

La forma de la relación representada mediante el diagrama de dispersión puede ser curvilínea y no lineal. Para relaciones que no son lineales, un enfoque utilizado con frecuencia consiste en determinar algún método para transformar los valores de una o ambas variables, de manera que la relación de los valores transformados sí sea lineal. Después, puede aplicarse el análisis de regresión a los valores transformados y pueden transformarse los valores estimados de la variable dependiente, de vuelta a la escala original de medición.

EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS PARA AJUSTAR UNA LÍNEA DE REGRESIÓN

El modelo lineal que representa el modelo de regresión lineal simple es:

Yi = ð0 + ððXi + ði

en donde

Yi - Valor de la variable dependiente en el i-ésimo ensayo u observación.

ðð - Primer parámetro de la ecuación de regresión, que indica el valor de Y cuando X= 0.

ðð - Segundo parámetro de la ecuación de regresión, que indica la pendiente de la línea de regresión.

Xi - El valor especificado de la variable independiente en el i-ésimo ensayo, u observación.

ði - Error aleatorio de muestreo en el i-ésimo ensayo, u observación (E es el griego "épsilon")

RESIDUALES Y GRÁFICAS DE RESIDUALES

Para un valor X dado de la variable independiente. al valor y frecuentemente se le denomina el valor ajustado de la variable dependiente. A la diferencia entre el valor observado y y el valor ajustado y se le denomina residual para esa observación, y se le denota mediante e:

e = Y- y

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EL ERROR ESTÁNDAR DEL ESTIMADOR

El error estándar del estimador es la desviación estándar condicional de la variable dependiente Y, dado un valor de la variable independiente X. Para datos poblacionales, el error estándar del estimador se representa mediante el símbolo σ Y.X. La formula de desviaciones que permite estimar este valor con base en datos muestrales es

(ðY- y)2 ðe2

SY.X = -------------- = ----------

n-2 n-2

INFERENCIAS SOBRE LA PENDIENTE

Antes de utilizar la ecuación de regresión para realizar estimaciones o predicciones, debe determinarse en primer lugar si, de hecho, existe una relación entre las dos variables de la población o, por otro lado, si pudiera ser que la relación que se observa en la muestra haya ocurrido por azar. Si no existe relación en la población, la pendiente de la línea de regresión poblacional sería cero, por definición: ð1 = 0. Por ello, la hipótesis que generalmente se prueba es H0: ð1= 0. También puede plantearse la hipótesis nula, como prueba con un criterio de calificación, en cuyo caso la hipótesis alternativa no es simplemente que las dos variables están relacionadas, sino que la relación es de algún tipo específico (directa o inversa).

Se prueba el valor hipotético de una pendiente calculando la estadística t y utilizando n -2 grados de libertad. Se pierden dos grados de libertad en el proceso de la inferencia porque se incluyen en el análisis de regresión dos estimaciones de parámetros, b0 y b1. La fórmula general es

b1 - (ð1)0

t = --------------

sb1

en donde

SY.X

Sb1 = -----------------

S X2 - nX2

Sin embargo, cuando la hipótesis nula dice que la pendiente es cero, lo cual generalmente es el caso, se simplifica la fórmula y se plantea de la siguiente manera:

b1

t = ---------

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s b1

EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

Aunque el coeficiente de determinación es relativamente fácil de interpretar, no se prueba muy bien en pruebas estadísticas. Sin embargo, la raíz cuadrada del coeficiente de determinación, que se denomina el coeficiente de correlación r sí se presta para las pruebas estadísticas, porque puede utilizarse para definir una estadística de prueba que tiene distribución t cuando la correlación en la población p es igual a 0. El valor del coeficiente puede variar de -1.00 a +1.00. El signo aritmético asociado con el coeficiente de correlación, que es siempre igual al signo de ð1 de la ecuación de regresión, indica la dirección de la relación entre X y Y (positiva = directa; negativa = inversa). El coeficiente de correlación poblacional, teniendo el mismo signo aritmético que ð1 de la ecuación de regresión es:

p = p2

El coeficiente de correlación muestral es

r = r2

En resumen, el signo del coeficiente de correlación indica la dirección de la relación entre las variables X y Y, en tanto que el valor absoluto del coeficiente muestra la medida de la relación. El coeficiente de correlación elevado al cuadrado es el coeficiente de determinación e indica la proporción de la varianza de Y que queda explicada por el conocimiento de X (y viceversa).

SIGNIFICACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

Es común que la hipótesis nula de interés sea que la correlación en la población p = 0, porque si se rechaza esta hipótesis a un nivel especificado ð, se concluiría que existe una relación real entre las variables. También puede plantearse la hipótesis como prueba con un criterio de calificación. Considerando que se satisfacen las suposiciones, la siguiente estadística muestral que incluye a r se distribuye como la distribución t, con gl = n -2, cuando p =0:

r

t = ------------

1-r2

n-2

Probar la hipótesis nula de que p = 0 es equivalente a probar la hipótesis nula de que ð = 0 en la ecuación de regresión.

• Eventos dependientes e independientes, combinaciones y permutaciones

Para aplicar la Regla de Laplace, el cálculo de los sucesos favorables y de los sucesos posibles a veces no plantea ningún problema, ya que son un número reducido y se pueden calcular con facilidad:

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Por ejemplo: Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2. Tan sólo hay un caso favorable, mientras que los casos posibles son seis.

Probabilidad de acertar al primer intento el horóscopo de una persona. Hay un caso favorable y 12 casos posibles.

Sin embargo, a veces calcular el número de casos favorables y casos posibles es complejo y hay que aplicar reglas matemáticas:

Por ejemplo: 5 matrimonios se sientan aleatoriamente a cenar y queremos calcular la probabilidad de que al menos los miembros de un matrimonio se sienten junto. En este caso, determinar el número de casos favorables y de casos posibles es complejo.

Las reglas matemáticas que nos pueden ayudar son el cálculo de combinaciones, el cálculo de variaciones y el cálculo de permutaciones.

a) Combinaciones:

Determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden formar con los "n" elementos de una nuestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen, sin que influya el orden.

Por ejemplo, calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden formar con los números 1, 2 y 3.

Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3). En el cálculo de combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo se cuentan una vez.

b) Variaciones:

Calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc.elementos que se pueden establecer con los "n" elementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos elementos (es lo que le diferencia de las combinaciones).

Por ejemplo, calcular las posibles variaciones de 2 elementos que se pueden establecer con los número 1, 2 y 3.

Ahora tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,3). En este caso los subgrupos (1,2) y (2,1) se consideran distintos.

c) Permutaciones:

Cálcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los elementos de un grupo, por lo tanto, lo que diferencia a cada subgrupo del resto es el orden de los elementos.

Por ejemplo, calcular las posibles formas en que se pueden ordenar los número 1, 2 y 3.

Hay 6 posibles agrupaciones: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1)

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¿Cómo se calculan?

a) Combinaciones:

Para calcular el número de combinaciones se aplica la siguiente fórmula:

El termino " n ! " se denomina "factorial de n" y es la multiplicación de todos los números que van desde "n" hasta 1.

Por ejemplo: 4 ! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

La expresión "Cm,n" representa las combinaciones de "m" elementos, formando subgrupos de "n" elementos.

Ejemplo: C10,4 son las combinaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos:

Es decir, podríamos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos.

b) Variaciones:

Para calcular el número de variaciones se aplica la siguiente fórmula:

La expresión "Vm,n" representa las variaciones de "m" elementos, formando subgrupos de "n" elementos. En este caso, como vimos en la lección anterior, un subgrupo se diferenciará del resto, bien por los elementos que lo forman, o bien por el orden de dichos elementos.

Ejemplo: V10,4 son las variaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos:

Es decir, podríamos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos.

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c) Permutaciones:

Para calcular el número de permutaciones se aplica la siguiente fórmula:

La expresión "Pm" representa las permutaciones de "m" elementos, tomando todos los elementos. Los subgrupos se diferenciaran únicamente por el orden de los elementos.

Ejemplo: P10 son las permutaciones de 10 elementos:

Vamos a analizar ahora que ocurriría con el cálculo de las combinaciones, de las variaciones o de las permutaciones en el supuesto de que al formar los subgrupos los elementos pudieran repetirse.

Por ejemplo: tenemos bolas de 6 colores diferentes y queremos formar subgrupos en los que pudiera darse el caso de que 2, 3, 4 o todas las bolas del subgrupo tuvieran el mismo color. En este caso no podríamos utilizar las fórmulas que vimos en la lección anterior.

a) Combinaciones con repetición:

Para calcular el número de combinaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula:

Ejemplo: C'10,4 son las combinaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían estar repetidos:

Es decir, podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.

b) Variaciones con repetición:

Para calcular el número de variaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula:

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Ejemplo: V'10,4 son las variaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4 elementos:

Es decir, podríamos formar 10.000 subgrupos diferentes de 4 elementos.

c) Permutaciones con repetición:

Para calcular el número de permutaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula:

Son permutaciones de "m" elementos, en los que uno de ellos se repite " x1 " veces, otro " x2 " veces y así ... hasta uno que se repite " xk " veces.

Ejemplo: Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones:

Es decir, tendríamos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos.

Ejercicio

Calcular la probabilidad de acertar los 14 signos de la quiniela:

Solución:

Se aplica la Regla de Laplace (casos favorables / casos posibles). El caso favorable es tan sólo uno (acertar los 14 signos). Los casos posibles se calculan como variaciones con repetición de 3 elementos (1, X y 2), tomados de 14 en 14 (los signos que hay que rellenar).

Son variaciones y no combinaciones ya que el orden influye: no es lo mismo (1,1,X) que (1, X, 1). Y son con repetición, ya que cualquiera de los signos (1, X y 2) se puede repetir hasta 14 veces.

Por lo tanto, los casos posibles son:

Y la probabilidad de acertar los 14 resultados es:

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No demasiado elevada....pero el que la sigue la consigue.

2.- Ejercicio

Y la probabilidad de acertar 12 signos de la quiniela:

Solución:

Aplicamos nuevamente la Regla de Laplace. En este caso los casos favorables se calculan como combinaciones de 14 elementos tomados de 2 en 2, de esta manera obtenemos todas las posibles alternativas de fallar 2 resultados de 14 (lo que equivale a acertar 12 resultados). Utilizamos combinaciones y no variaciones ya que el orden no importa (da lo mismo fallar el 3º y el 6º, que el 6º y el 3º)

Los casos posibles siguen siendo los mismos:

Por lo que la probabilidad de acertar 12 resultados es:

Por lo tanto, tenemos más probabilidades de acertar 12 resultados que 14 (¿será por eso por lo que pagan menos?).

3.- Ejercicio

Calcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedan primeros (sin importar cual de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero).

Solución:

Se aplica la Regla de Laplace. El caso favorable es tan sólo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar. Los casos posibles se calculan como combinaciones de 12 elementos tomados de 3 en 3 (es decir, determinamos todos las posibles alternativas de 3 caballos que pueden entrar en las 3 primeras posiciones). Como el orden de estos 3 primeros caballos no importa, utilizamos combinaciones en lugar de variaciones.

Por lo tanto, los casos posibles son:

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Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:

Algo mayor que en las quinielas.... Eso sí, se paga menos.

4.- Ejercicio

Y si hubiera que acertar, no sólo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su entrada en meta.

Solución:

El caso favorable sigue siendo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar, colocados en su orden correspondiente.

Los casos posibles se calculan ahora como variaciones (ya que el orden influye) de 12 elementos tomados de 3 en 3 (calculamos todas las posibles maneras en que los 12 caballos podrían ocupar las 3 primeras posiciones.

Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:

Menor que en el ejemplo 3º. Ya no vale acertar que 3 caballos entran en primer lugar, sino que tenemos que acertar el orden de su entrada.

Precálculo

• Propiedades de los números reales

Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y numeros enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0) .Podemos verlo en esta tabla:

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Un número real es racionalsi se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal. Existen dos maneras:

* decimales terminales

* decimales que se repiten infinitamente

Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales terminales ni decimales que se repiten infinitamente.

• Desigualdades

Desigualdades Lineales

Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.

Los signos de desigualdad son. Para resolver

una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad 3 > x - 8.

Sumando la misma cantidad a ambos lados:

3 > x - 8

3 + 8 > x - 8 + 8

11 > x

Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.Ejemplo:

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Intérvalos

Un intérvalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Para representar los intérvalos se utilizan los siguientes simbolos:

1. Intérvalo abierto (a, b) = {x/a x b}.

2. Intérvalo cerrado [a, b] = {x/a x b}

En una gráfica, los puntos finales de un intérvalo abierto se representan con un punto abierto ( ) y los de un intérvalo cerrado se representan con un punto cerrado ( ). Por ejemplo, observemos las siguientes figuras:

Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intérvalos abiertos y los corchetes para los intérvalos cerrados. Veamos ahora cuando se utilizan ambas denotaciones a la misma vez. Por ejemplo:

Si tenemos (a, b], la gráfica sería:

Si tenemos [a, b), la gráfica sería:

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Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los números reales mayores que a y se representan con la notación de intérvalo (a, ). El conjunto de todos los números reales menores que a se representan con la notación de intérvalo (- , a).

Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones

Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra negativa. Por ejemplo:

| 10x - 2| 9

• 10x - 2 -910x -9 +210x -710x/10 -7/10x -7/10

• 10x - 2 910x 9 + 210x 1110x/10 11/10x 11/10

• Función y límite

Coordenadas

Llamamos a la coordenada de un punto a cada punto en la recta numérica asociado con un número real. Un par ordenado es un par de números a y b con elementos escritos en forma significante. Dos pares ordenados son iguales si tienen el mismo primer elemento y el mismo segundo elemento. Por ejemplo:El par ordenado (4, 5) es igual al par ordenado (4, 5).

Los números en un par ordenado son llamados coordenadas. En el par (7, 5) la primera coordenada es 7 y la segunda es 5.

Ya hemos visto en la primera sección cómo se construye una recta numérica. La línea horizontal es el eje de x, la vertical es el eje de y y su intersección es el origen. Estos ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes. Veamos la siguiente recta numérica:

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Las coordenadas en el primer cuadrante serán (+, +), las del segundo cuadrante serán (-, +), las del tercer cuadrante serán (-, -) y las del cuarto cuadrante serán (+, -). El primer número de una coordenada representa el lugar horizontal del punto y el segundo número representa el lugar vertical del punto. Por ejemplo:

Distancia Entre Dos Puntos

La distancia entre dos puntos P1 y P2 se calcula usando la siguiente fórmula:

d( P1, P2) = |P1 - P2|

Por ejemplo:

d(4, -6) = |4 - (-6)| = 10

Pero para hallar la distancia entre dos puntos, mediante sus coordenadas P1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2), utilizamos la siguiente fórmula de distancia:

Círculos

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Un círculo es una curva que consiste en un conjunto de puntos equidistantes a un punto en común. El punto en común es llamado el centro del círculo y la distancia desde el centro hasta la curva se conoce como el radio del círculo.

Para determinar la distancia del radio (r), supongamos que las coordenadas del centro son (h, k) y las de un punto cualquiera del círculo son (x, y), la fórmula sería:

Por ejemplo, si el centro del círculo es (6, 4) y uno de sus puntos es (4, 3). Determinar el radio (r).

Si el centro del círculo es el origen, o sea con coordenadas (0, 0), entonces la fórmula sería:

Por ejemplo, si utilizamos el ejercicio anterior pero con centro (0, 0) sería:

Variación

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Existen dos tipos de variación: variación directa y variación inversa. Veamos cada una de ellas:

Variación Directa = es una función que se define por una ecuación que está en la forma y = kx , donde k es una constante no igual a cero. La variable y varía directamente de x. La constante k es llamada la constante de variación. La variación directa establece un único valor de y para cada valor de x. En la variación directa las dos variables aumentan (o disminuyen) juntas. Cuando el dominio es un conjunto de números reales, la gráfica de la variación directa es una línea recta con pendiente k que pasa por el origen.

Variación Inversa = es una función que se define por una ecuación que está en la forma y = k/x, donde x no es igual a cero. La variable y varía a la inversa de x. En la variación invesa el aumento de una de las variables significa la disminución de la otra variable. La gráfica de esta variación es una hipérbola.

Proporción

Una proporción es una ecuación que establece que dos radios son iguales. Una proporción

es en la que el producto entre a con d es igual al producto de b con c. Muchos problemas de aplicación pueden resolverse si se utiliza una proporción adecuada.

Por ejemplo:

Un automóvil gasta 9 galones de gasolina para viajar 120 millas. ¿Cuántos galones de gasolina necesitaría el auto para viajar 550 millas?

9 gal. = 120 mi.

x gal. = 550 mi.

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Funciones

Una función consiste en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada miembro del dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relación entre dos variables x y y es una en la que para cada valor de y hay exactamente un valor de x, se dice que y es una función de x.

Ejemplo:

y = 7x + 1

y = 7(2) + 1 = 15

y = 7(4) + 1 = 29

y = 7(6) + 1 = 43

El dominio D es {2, 4, 6} y el rango R es {15, 29, 43}.

La Gráfica de una Función

Para hacer la gráfica de una función como f(x) = x + 2, lo hacemos igual que si hiciéramos la gráfica de una ecuacióny = x + 2. Buscamos los pares ordenados (x, f(x)), se localizan los puntos en la recta numérica y se conectan.Por ejemplo:

f(x) = x + 2

Utilizando una Gráfica para Definir una Función

Una gráfica determina un conjunto de pares ordenados con números reales correspondientes a las coordenadas de los puntos en la gráfica. Este conjunto de pares ordenados, determinados por la gráfica, puede o no puede definir una función. Es importante recordar que para definir una función, el conjunto de pares ordenados debe obedecer la

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regla que establece que dos pares ordenados no deben tener el mismo primer elemento. Por lo tanto, una línea vertical no puede intersectar la gráfica de una función en mas de un punto.

Figuras:

La figura 1 define una función, mientrás que la figura 2 no define una función.

Los Ceros de una Función

Un cero de una función es la solución de una ecuación f(x) = 0. Los ceros de una función corresponde a los puntos en los cuales la gráfica de la función atraviesa el eje de x. Estos puntos son llamados interceptos en x.

Por ejemplo:

En la figura 1 los interceptos en x son X1, X2 y X3. La figura 2 no tiene ningún intercepto en x.

Español

• Ortografía general (incluye acentuación y homófonos)

Reglas del acento

Llevan acento ortográfico:

Las palabras agudas terminadas en vocal y en las consonantes n - s.

Ejemplo: café, compás, león, manatí.

Las palabras graves o llanas terminadas en consonante, que no sean n - s.

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Ejemplo: árbol, cáliz, carácter.

Todas las palabras esdrújulas.

Ejemplo: cántaro, húmedo, héroe.

Casos particulares más importantes del acento

1. Los monosílabos no llevan acento, menos:

a) Sí (adverbio de afirmación, nombre, pronombre), para no confundirlo con si (conjunción).

Ejemplo: Si me dices que sí, vendrás de paseo.

b) Dé y sé (verbos), para no confundirlos con de (preposición) y se (pronombre).

Ejemplo: Sé que debo estudiar. No se puede.

c) Él - tú - mí (pronombres) para no confundirlos con el (artículo) y tu - mi (adjetivos).

Ejemplo: ¿Tú quieres ir? Eso es para mí.

d) Más (adverbio), para no confundirlo con mas (conjunción).

Ejemplo: Quiero más pan, mas no tostado.

e) La conjunción o llevará acento cuando esté colocada entre números, para no confundirla con el cero.

Ejemplo: Tengo 8 ó 9 estampas.- Iré hoy o mañana.

f) Aún (adverbio de tiempo) llevará acento cuando sea sinónimo de «todavía».

Ejemplo: El yate no ha venido aún al puerto.

2. Los monosílabos verbales fue, fui, vio y dio se escribirán sin acento ortográfico.

Ejemplo: Juan fue al parque, vio los leones y después dio un largo paseo.

3. Las palabras que - quien - cuan - cuando - cuanto-donde-como llevarán acento siempre que se usen en forma admirativa, interrogativa o dubitativa.

Ejemplo: ¡Cuánta gente en la calle! ¿Quién llama? No sé cómo decírtelo. ¿Dónde vives?

4. Cuando una palabra termina en io-ia, sobre la i colocaremos un acento, deshaciéndose el diptongo.

Ejemplo: Alegría, caserío, gentío, María.

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Excepto las palabras graves o llanas terminadas en estas vocales.

Ejemplo: Guardia, garfio, media, radio, feria.

5. Sobre las letras mayúsculas colocaremos acento ortográfico siempre que por las reglas generales del acento les corresponda llevarlo.

Ejemplo: Álvaro. Árbol. Él es muy aplicado.

6. Cuando un vocablo simple entre a formar parte de un compuesto como primer complemento del mismo, se escribirá sin el acento ortográfico que como simple le habría correspondido.

Ejemplo: decimoséptimo, asimismo, piamadre.

Se exceptúan de esta regla los adverbios terminados en -mente, como ágilmente, cortésmente.

Reglas generales

Delante de p y b siempre se escribe m y nunca n.

Ejemplo: Bombilla, lámpara.

Se escribe d a fin de palabra cuando el plural lo hace en des.

Ejemplo: De bondad, bondades.

Se escribe z a fin de palabra cuando el plural lo hace en ces.

Ejemplo: De juez, jueces.

Se escribe y a fin de palabra cuando no sean agudas terminadas en esta vocal.

Ejemplo: Muy, rey, ley, hoy, doy, voy.

Excepciones: Colibrí, manatí, hurí.

Después de las consonantes l-n-s y al principio de palabra, se escribe r aunque se lea como rr.

Ejemplo: Alrededor, honra, Israel, rabia.

Se escriben con mayúscula los nombres propios, al empezar un escrito y después de punto.

Ejemplo: José, Morelia, Ebro, Ibérica.

Las palabras derivadas se escriben con la misma ortografía que las primitivas de donde proceden, menos las siguientes:

• De hueco, oquedad.

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• De huérfano, orfandad, orfanato.

• De hueso, óseo, osario, osamenta.

• De huevo, oval, ovoide, ovíparo.

• De huelva, onubense.

• De huesca, oscense.

Reglas de la h

Se escriben con h:

Las palabras que empiezan por hipo-hidro - hiper, como: hipócrita - hidrógeno - hipérbola.

Las palabras que empiezan por hue - hui - hia - hie, como: hueco - huida - hiato - hielo.

Las palabras que empiezan por hu más m más vocal, como: humedad - humano.

Todos los tiempos de los verbos haber, hacer, hablar, hallar y habitar, como: hubo - hago - hallo - hablo - habito.

Reglas de la g

Se escriben con g:

Las palabras que empiezan por in, menos: injerto - injertar, como: indígena - ingeniero.

Las palabras que empiezan por gen, menos: Jenaro - jenable - jengibre, como: genio - gente.

Las palabras que terminan en gen - gente, menos: comején - jején, como: imagen - urgente.

Las palabras que terminan en ger - gir - igerar, menos: mujer - tejer - crujir - desquijerar, como: proteger - afligir - aligerar.

Reglas de la j

Se escriben con j:

Las palabras que empiezan por aje - eje, menos: agencia, agenda, agente, como: ajedrez, ejercer.

Las palabras que terminan en aje - eje, menos: protege, como: coraje, hereje.

Las palabras que terminan en jero - jera - jeria, menos: aligero-flamígero-belígero-ligero.

Las palabras que terminan en jear, como: canjear - cojear.

Reglas de la m

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Se escribe m a fin de sílaba cuando la sílaba siguiente empieza por na, ne, ni, no, como: columna - alumno - solemne - amnesia, menos: perenne, y los compuestos de las preposiciones en - in - con - sin, como: ennoblecer, innovar, connatural, sinnúmero.

Reglas de la ll

Se escriben con ll:

Las palabras que empiezan por fa - fo - fu, como: falleba - folleto - fullería.

Las palabras que terminan en illo - illa, como: ovillo - pastilla.

Reglas de la x

Se escriben con x:

Las palabras que empiezan por extra, menos: estrada – estrafalario, estragar, estrangular – estratagema, estraza, como: extraño - extravío.

Delante de las sílabas pla - ple - pli – plo - pre - pri - pro, menos esplendor y espliego, como: explotar, expresar, exprimir.

Reglas de la b

Se escriben con b:

Las palabras que empiezan por al, menos: Álvaro - alvéolo - altavoz - altivez, como: albañil, alboroto.

Las palabras que empiezan por es, menos: esclavo - esclavina - esclavitud, como: esbelto, escarbar.

Las palabras que empiezan por ab - ob, como: abdicar, objeto.

Las palabras que empiezan por bu - bur - bus, como: bujía, burbuja, busto.

Las palabras que empiezan por bien, menos: Viena -viento - vientre, como: bienvenido, bienestar.

Las palabras que terminan en bilidad, menos: movilidad - civilidad, como posibilidad.

Las palabras que terminan en bundo - bunda, como: meditabundo, moribunda.

Las palabras que terminan en probar, como: aprobar, comprobar.

Las terminaciones del pretérito imperfecto del indicativo de los verbos, que en infinitivo terminan en ar, y también el mismo tiempo del verbo ir (iba - ibas - iba - íbamos - ibais - iban), como: amaba, rezábamos, llorabais, iban.

Reglas de la v

Se escriben con v:

Las palabras que empiezan por di, menos: dibujo - dibujar - dibujante, como: divino, diversión.

Las palabras que empiezan por vice-villa, menos: billar - bíceps, como: viceversa, villanía.

Las palabras que empiezan por ad, como: adverbio, adversario.

Las palabras que empiezan por lla - lle - llo - llu, como: llave, llevar, llover, lluvia.

Las palabras que empiezan por pre - pri - pro - pol, menos: prebenda - probar - probeta - probo, como: prevenir, privar, provecho, polvo.

Las palabras que terminan en venir, como: convenir, prevenir.

Las palabras que terminan en tivo - tiva - tivamente, como: caritativo, activa, positivamente.

Las palabras que terminan en ava - ave- avo; eva - eve - evo; iva - ive - ivo, menos: haba, jarabe, cabo; prueba, debe, sebo; arriba, caribe, recibo, y algunas más.

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• Puntuación

A) la coma

1º El nombre en vocativo llevará una coma detrás de sí cuando estuviere al principio de lo que se diga, y en otros casos la llevará antes y después: ¡Amigos, ayudadme!; Pedro, ven; Por favor, Rubén, haz lo que te digo.

2º Siempre que en lo escrito se empleen dos o más partes de la oración consecutivas y de una misma clase, se separarán con una coma para que al leerlas haya de hacerse una leve pausa que separe su sentido. Se excepcionan los casos en que mediare alguna de las conjunciones y, ni, o. Roberto, Rubén y Pedro; alto, delgado y rubio; vine, vi y vencí; ni corto ni perezoso; sobresaliente, notable o aprobado.

3º Con la coma también se dividen los distintos miembros independientes entre sí de una cláusula, vayan o no precedidos de conjunción: Todos mataban, todos se compadecían, ninguno sabía detenerse; Al apuntar el alba cantan las aves, y el campo se alegra, y el ambiente cobra movimiento y frescura.

4º Cuando una oración se interrumpe, bien para citar o para indicar el sujeto o la obra de donde se ha tomado o porque se inserta como de paso otra que aclara o amplía lo que se está diciendo, esas palabras, que suspenden momentáneamente el relato principal, se encierran entre dos comas: La esperanza, dice el refrán popular, es lo último que se debe perder; Los vientos del sur, que en aquellas abrasadas regiones son muy frecuentes, ponen en grave conflicto a los viajeros.

5º Igualmente suelen ir precedidas y seguidas de coma las expresiones esto es, es decir, en fin, por último, por consiguiente, sin embargo, no obstante y otras parecidas: Anoche, sin embargo, el cielo comenzó a nublarse; Juan, por consiguiente, sacó su ropa de invierno.

6º Cuando se invierte el orden regular de las oraciones de la cláusula, adelantando lo que había de ir después, debe ponerse una coma al fin de la parte que se anticipa: Donde interviene conocerse las personas, tengo para mí, aunque simple y pecador, que no hay encantamento alguno. Como el orden regular de este ejemplo de Cervantes, Quijote, I, 37, seria: No hay encantamento alguno donde interviene conocerse las personas , importa para la claridad que se haga una breve pausa en personas, la cual se indica con la coma. Es de advertir que en las transposiciones cortas y muy perceptibles no se ha de poner esta señal.

B) el punto y coma.

1º Cuando los miembros de un período constan de más de una oración, por lo cual o por otra causa llevan ya alguna coma, se separarán con punto y coma unos y otros: Vinieron los aquilones de noviembre, glaciales y recios; arrebataron sus hojas a los árboles, llevándolas, ya rodando por la tierra, ya volando entre nubes de grueso polvo. se guareció el rabadán en su cabaña, y el labrador en su alquería; la nieve, descendiendo espesa sobre el monte y el valle, borró los matices del suelo, toda la variedad riquísima de la Naturaleza.

2º En todo período de alguna extensión se pondrá punto y coma antes de las conjunciones adversativas mas, pero, aunque, etc.; verbigracia: Salieron los soldados a media noche y anduvieron nueve horas sin descansar; pero el fatal estado de los caminos malogró la empresa. Cuando la cláusula sea corta, bastará una simple coma antes de la conjunción; como en Vendrá, pero tarde; Lo hizo, aunque de mala gana.

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3.° Siempre que a una oración sigue, precedida de conjunción, otra oración que, en orden a la idea que expresa, no tiene perfecto enlace con la anterior, hay que poner al fin de la primera punto y coma: Pero nada bastó para desalojar al enemigo, hasta que se abrevió el asalto por el camino que abrió la artillería; y se observó que uno solo, de tantos como fueron deshechos en este adoratorio, se rindió a la merced de los españoles (Solís, Historia de Nueva España, III, 7) . Si después de la palabra artillería solo se pusiese coma, la oración y se observó, etc., vendría regida de la preposición hasta y cambiaría el sentido.

C) los dos puntos

1.° Cuando se sienta una proposición general y en seguida se comprueba y explica con otras oraciones, se la separa de estas por medio de los dos puntos: No aflige a los mortales vicio más pernicioso que el juego: por él gentes muy acomodadas han venido a parar en la mayor miseria, y aun en el patíbulo; por él, además del caudal, pierde el hombre la vergüenza y hasta la estimación de sí propio.

2.° Cuando a una o varias oraciones sigue otra que es consecuencia o resumen de lo que antecede, esta se ha de separar con dos puntos: Aquel que por sus riquezas y esplendor fue tan aplaudido como envidiado cuando entraba triunfante por las puertas de Constantinopla, y cuyo nombre era respetado y temido desde la capital del Imperio hasta el confín de los arenales de la Líbia, murió ciego, pobre, olvidado y mendigando su alimento de puerta en puerta:¡raro y espantoso ejemplo de las vicisitudes de la fortuna!

3.° En los decretos y sentencias, bandos y edictos se ponen dos puntos al final de cada motivo o fundamento de la resolución, aunque estos van en párrafos distintos y principian con letra mayúscula. En certificaciones y memoriales también se ponen dos puntos antes de ciertos párrafos con letra inicial mayúscula.

4.° Citando palabras textuales, se han de poner dos puntos antes del primer vocablo de la cita, el cual suele principiar con mayúscula: Cicerón en sus Oficios dice a este propósito lo siguiente: No hay cosa que tanto degrade al hombre como la envidia.

5.° También se emplean los dos puntos después del Muy señor mío y otras expresiones semejantes con que se suele dar principio a las cartas: Muy señor mío: Sírvase usted tomar a su cargo, etc.; Amigo mío: En contestación a la estimada de usted, etc.

Después de los dos puntos se escribe indistintamente con letra mayúscula o minúscula el vocablo que sigue.

D) el punto

1º Se pone punto cuando el período forma sentido completo, en términos de poderse pasar a otro nuevo sin quedar pendiente la comprensión de aquel. Es la mayor pausa sintáctica que la ortografía señala.

En la lectura, la duración de la pausa indicada por el punto puede variar más o menos, según el sentido y la interpretación del lector; pero en todo caso, es mayor que la que señalan la coma y el punto y coma.

En la escritura, se le llama punto y seguido (o punto seguido), cuando el texto continúa inmediatamente después del punto en el mismo renglón, o en el siguiente sin blanco inicial; y punto y

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aparte (o punto aparte), cuando termina párrafo, y el texto continúa en otro renglón más entrado o más saliente que los demás de la plana. Por último, punto final es el que acaba un escrito o una división importante del texto (parte, capítulo, etc.).

2.° Resta advertir que en toda clase de escritos suelen hacerse después del punto final ciertas separaciones o divisiones llamadas párrafos, cada una de las cuales ha de empezar en renglón distinto de aquel en que acabe el anterior, y más adentro que las otras líneas de la plana. Deben principalmente usarse tales divisiones cuando se va a pasar a diverso asunto, o bien a considerar el mismo desde otro aspecto.

E) los puntos suspensivos

1.° Cuando conviene al escritor dejar la oración incompleta y el sentido suspenso, lo denota con los puntos suspensivos: Él concitó la plebe contra los patricios; él acaudilló y juramentó a los mozos más corrompidos y perversos de la República para subvertirla con su auxilio; él sobornó con oro y con promesas... Pero ¿a qué repetir lo que a todos es notorio?

2.° Si en una cláusula de completo sentido gramatical se necesita pararse un poco, expresando temor o duda, o para sorprender al lector con lo inesperado de la salida, se indicará la pausa con puntos suspensivos: ¿Le diré que ha muerto su padre?... No tengo valor para tanto; Se citó a junta, distribuyéronse centenares de esquelas, y llegamos a reunirnos... cuatro personas.

3.° También se usan dichos puntos cuando se copia algún texto o autoridad los cuales no hace al caso insertar íntegros, indicando así lo que se omite.

F) la interrogación y la admiración

1º Los signos de interrogación y de admiración se ponen al principio y al fin de la oración que deba llevarlos: ¿Dónde estás?; ¿A qué vienes?; ¿Te veré mañana?; ¡Qué asombro!; ¡Ay de mí!

2.° Si las oraciones con interrogación o admiración son varias, breves y seguidas, no hay necesidad de que, exceptuada la primera, empiecen con mayúscula: ¿Dónde has estado?, ¿qué has hecho en tantos días?, ¿como no te pusiste en camino, así que recibiste mi carta?; ¡Cuánto engaño!, ¡cuánta perfidia!, ¡qué impudencia!

3.° Cuando lo escrito después de la interrogación o la admiración fuere complemento de la pregunta o de la frase admirativa, no comenzará con letra mayúscula: ¿Digo yo que no tengas razón?, contestó Blas a Diego; ¡A las armas!, gritaron todos.

4.° El signo de principio de interrogación o admiración se ha de colocar donde empieza la pregunta o el sentido admirativo, aunque allí no comience el período: Privado del racional discurso, ¿que es el hombre sino una criatura desvalida, inferior a los brutos? Y si la caprichosa fortuna lo encumbra en alto puesto, ¡cuántas lágrimas y ruina y sangre le cercarán en torno!

5.° El signo de principio de interrogación o admiración refleja el movimiento de la entonación en las frases de este tipo, da claridad a la escritura, y no debe suprimirse por imitar, con mal acuerdo, la ortografía de lenguas extranjeras, que solo usa el signo final.

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6.° Hay cláusulas que son al par interrogativas y admirativas, y en ellas podrá ponerse nota de admiración al principio y de interrogación al fin, o viceversa: ¡Que esté negado al hombre saber cuándo será la hora de su muerte? ¿Qué persecución es esta, Dios mió!

G) El paréntesis

1.° Cuando se interrumpe el sentido y giro del discurso con una oración aclaratoria o incidental y esta es larga o tiene conexión escasa con lo anterior, se encierra dentro de un paréntesis, como en el siguiente ejemplo: Acostados todos en un género de lechos que rodeaban la mesa (pues los romanos comían tendidos y soslayado el cuerpo sobre el codo izquierdo), empezó a echarles en cara la tibieza de su fe, etc.

2.° En este ejemplo se ha puesto como después del paréntesis porque allí finaliza el miembro del periodo con que va unida la oración comprendida en el paréntesis; y al fin de él o dentro se ha de usar, además, la puntuación que la cláusula necesitare. Cuando el paréntesis termine la cláusula de que depende, el punto final irá fuera.

3.° En las obras dramáticas suele encerrarse entre paréntesis lo que los interlocutores dicen aparte. Para que tales paréntesis no se confundan con otros convendría valerse de los rectangulares, en esta forma [ ], que algunos impresores usaban en el siglo pasado. El punto final de los apartes va colocado dentro del paréntesis.

4.° Se emplea también el paréntesis curvo para encerrar en él noticias o datos aclaratorios, explicaciones de abreviaturas, etc.; y el rectangular, para indicar en la copia de códices o inscripciones lo que falta en el original y se suple conjeturalmente. Ejemplos: El hijo del rayo de guerra, Carlos V (D. Juan De Austria); Perdió Boabdil a Granada en la hégira 897 (1492); Imp(eratori) Caes(ari) [Nervae] Traiano [Aug(usto)] p(ontifici) m(aximo). etc.

H) la diéresis o crema

1º El uso de la diéresis solo es preceptivo para indicar que ha de pronunciarse la u en las combinaciones gue, gui: pingüe, pingüino, argüir.

2.°. Queda a salvo el uso discrecional cuando, por licencia poética o con otro propósito, interese una pronunciación determinada.

I) las comillas

1º Para distinguir las palabras sobre las cuales quiere el que escribe llamar particularmente la atención del lector, se subrayan en lo manuscrito; y en lo impreso se ponen de letra cursiva, y a veces con versales u otras que resalten por su figura o su tamaño. Se practica lo mismo con las voces o citas en idioma extranjero, con el texto literal de citas en castellano, con los títulos de libros y con las dicciones y cláusulas que en las obras de enseñanza y otras se ponen por ejemplo. Mas cuando las cláusulas de este género tienen alguna extensión o llenan varias líneas, se les suelen poner comillas inversas al principio de cada uno de los renglones que ocupan: Dice un escritor célebre: «El hombre tiene aptitud, por su naturaleza, para habitar en todos los países del mundo: en los arenales del desierto, en los montes más encumbrados, en los climas polares puede vivir y propagarse. No así los animales, que, sujetos a más estrechos límites, perecen fuera de ellos o arrastran vida penosa.»

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2º Las comillas simples (' ' o , ') se usan al principio y al final de una palabra o frase incluidas como cita o puestas de relieve dentro de un texto entrecomillado más extenso. También se emplean para indicar que una palabra está usada en su valor conceptual o como definición de otra, ejemplo: espiar 'acechar'.

J) El guión

1º Cada vocablo de por sí, ya simple, como guardia, poner, ya compuesto, como salvaguardia, reponer, se ha de escribir aislado, o con entera separación del que le preceda o siga. Sin embargo, en la escritura hay necesidad muchas veces de dividir una palabra, y entonces se ha de observar lo siguiente:

2º Cuando al fin del renglón no cupiere un vocablo entero, se escribirá solo una parte, la cual siempre ha de formar sílaba cabal. Así, las palabras con-ca-vi-dad, pro-tes-ta, sub-si-guien-te, podrán dividirse a fin de renglón por donde señalan los guiones que van interpuesto en dichas voces, mas no de otra suerte.

3º Esto no obstante, cuando un compuesto sea claramente analizable como formado de palabras que por sí solas tienen uso en la lengua, o de una de estas palabras y un prefijo, será potestativo dividir el compuesto separando sus componentes, aunque no coincida la división con el silabeo del compuesto. Así, podrá dividirse no-sotros o nos-otros, de-samparo o des-amparo.

4º Como cualquiera diptongo o triptongo no forma sino una sílaba, no deben dividirse las letras que lo componen. Así, se escribirá gra-cio-so, tiem-po, no-ti-ciáis, a-ve-ri-güéis.

5º Cuando la primera o la última sílaba de una palabra fuere una vocal, se evitará poner esta letra sola en fin o en principio de línea.

6º Cuando al dividir una palabra por sus sílabas haya de quedar en principio de línea con h precedida de consonante, se dejará esta al fin del reglón y se comenzará el siguiente con la h: al-haraca, in-humación, clor-hidrato, des-hidratar.

7º En las dicciones compuestas de preposición castellana o latina, cuando después de ella viene una s y otra consonante además, como en constante, inspirar, obstar, perspicacia, se han de dividir las sílabas agregando la s a la preoposición y escribiendo, por consiguiente, cons-tan-te, ins-pi-rar, obs-tar, pers-pi-ca-cia.

8º La ch y la ll, letras simples en su pronunciación y dobles en su figura, no se desunirán jamás. Así, co-che y ca-lle se dividirán como aquí se ve. La erre (rr) se halla en el mismo caso, y por ello debe evitarse separar los dos signos de que consta, que habrán de ponerse de esta manera: ca-rre-ta, pe-rro.

9º Cuando los gentilicios de dos pueblos o territorios formen un compuesto aplicable a una tercera entidad geográfica o política en la que se han fundido los caracteres de ambos pueblos o territorios, dicho compuesto se escribirá sin separación de sus elementos: hispanoamericano, checoslovaco, afroantillano. En los demás casos, es decir, cuando no hay fusión, sino oposición o contraste entre los elementos componentes, se unirán estos con guión: franco-prusiano, germano-soviético.

K) Las dos rayas

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Este signo se usaba para dividir algunas palabras compuestas; actualmente se emplea solo en las copias, para denotar que en el original se pasa a párrafo distinto.

L) Otros signos auxiliares

a) Apóstrofo (' ). Solía emplearse antiguamente, sobre todo en poesía, colocado a la mayor altura de los palos de las letras, con el fin de indicar la omisión o elisión de una vocal: d'aquel, por de aquel; l'aspereza, por la aspereza; qu'es, por que es. Recientemente, y para evitar dudas al lector, se ha restablecido en algunas reimpresiones de obras antiguas, donde palabras de esta clase aparecen como si fuera una sola; v. gr.: daquel, laspereza, ques.

b) Párrafo (§). Sirvió en lo antiguo para distinguir los diversos miembros de un escrito, y como signatura de pliegos impresos. Ahora se emplea en los libros, seguido del número que corresponda, para indicar divisiones internas de los capítulos: § 12, § 13, etc.

c) Calderón ( ¶ ). Tuvo antiguamente los mismos oficios que el signo anterior. Ahora se emplea en lo impreso para señalar alguna observación especial.

d) Asterisco ( * ). Es una estrellita que se pone sencilla, doble o triple en ciertas palabras del texto, como llamada a nota que en el margen o al pie de la plana va encabezada con el mismo signo. Para igual fin se emplean letras, números, cruces, etc., en vez de asteriscos. En obras de lingüística se coloca delante de las formas cuya existencia se supone sin estar documentada.

e) Llave o corchete ( {} ) . Su oficio es abrazar diversas partidas en una cuenta, varios miembros en un cuadro sinóptico, etc., que deben considerarse agrupados y unidos para determinado fin. f) Manecilla - Puesta al margen o en el texto de un escrito, da a entender que lo señalado por ella es particularmente útil o interesante.

Gramática y vocabulario

Gramática es el estudio de la lengua, en cuanto a forma, estructura, y significado.

También se llama gramática al libro en el que se describe parcialmente una lengua (y que tradicionalmente suele incluir aspectos no lingüísticos, como la ortografía). Estos manuales, o gramáticas, se dividen a su vez dependiendo de los distintos enfoques dados por sus autores:

Gramática pedagógica, cuando se centra en el uso de la lengua.

Gramática descriptiva, cuando sus autores reflejan lo que la gente habla.

Gramática prescriptiva, contrapuesta a la descriptiva y considerada obsoleta por las principales escuelas lingüísticas contemporáneas, trata de fijar las pautas de aquello que debe ser dicho y lo que no. Dentro de este tipo se incluyen las sucesivas gramáticas de la Real Academia Española.

Gramática teórica.

Gramática de un lenguaje, desde el punto de vista de un autómata, un conjunto de reglas que describen secuencias de símbolos pertenecientes a un lenguaje.

Gramática formal.

Clásicamente la gramática, como estudio de la lengua, se divide en tres subdisciplinas:

Sintaxis

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Morfología

Semántica

Existen dos grandes corrientes, la gramática formal y la gramática funcional. Ambas difieren en muchos aspectos. Mientras que la gramática formal observa la lengua como un mecanismo lingüístico innato que existe en todo ser humano, la gramática funcional se centra especialmente en la relación entre el sistema y el uso de dicho sistema. De esta forma, la psicolingüística se desarrolla en relación con la escuela formal de Noam Chomsky, mientras que la sociolingüística está vinculada a la escuela funcional.

Sintaxis

La sintaxis es una subdisciplina de la lingüística. Es la parte de la gramática que se encarga de estudiar las reglas que gobiernan la forma en que las palabras se organizan en sintagmas y, a su vez, estos sintagmas en oraciones

Morfología

es la rama de la lingüística que estudia la estructura interna de las palabras para delimitar, definir y clasificar las unidades de la misma, las clases de palabras a las que da lugar (morfología flexiva) y la formación de nuevas palabras (morfología léxica)

El morfema (llamado formante por otros autores) es la unidad mínima significativa de la primera articulación o división del signo lingüístico: la palabra. Así pues, una palabra está constituida generalmente por dos clases de morfemas: los lexemas y los morfemas gramaticales.Los lexemas son los morfemas, comúnmente conocidos como raíces, que contienen el significado de la palabra. Constituyen casi siempre la parte invariable, autónoma y de significado más concreto de la misma. Forman la parte más numerosa del léxico y su número en toda lengua es siempre muy superior al de morfemas.

Los morfemas gramaticales son las unidades que constituyen la parte variable de la palabra y cuyo significado puede ser o bien complementario o bien de carácter meramente lingüístico y gramatical. No son autónomos sino que se presentan siempre asociados a lexemas. Los morfemas gramaticales se clasifican en:

afijos, son formantes facultativos que matizan o complementan el significado básico. Todos son átonos salvo los sufijos.

aniñados morfema derivativo: a-

inutilizable morfemas derivativos: in-, -able

Según su posición respecto al lexema, se distinguen tres tipos de morfemas gramaticales derivativos:

Sufijos: Van después del radical o lexema y antes de los morfemas dependientes gramaticales. Pueden cambiar la categoría gramatical de la palabra o el género de los sustantivos y son tónicos, es decir, cargan con el acento de la palabra.

repetible sufijo: -able, transforma un verbo en adjetivo

tranquilamente sufijo: -mente, transforma un adjetivo en adverbio

casón sufijo: -on, transforma el género del sustantivo casa.

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Prefijos: Preceden al radical o lexema. Son átonos y poseen significado. Si cargan con acento son en realidad prefijoides o prefijos cercanos a los lexemas.

infranqueable prefijo: in-, significado de negación o privación

monosilábico prefijo: mono-, significado de único o uno solo

infijos o interfijos: Se colocan entre los prefijos y sufijos para evitar la cacofonía entre dos sonidos y las homonimias. Son átonos y no poseen significado. Muchos de ellos funcionaron también como sufijos pero quedaron sin significado perceptible.

humareda infijo: -ar-

Morfemas gramaticales flexivos

Son formantes constitutivos que ocupan siempre la posición final de la palabra y la información que ofrecen es de tipo gramatical, como el género, el número, la persona, el modo, etc.

niños morfemas flexivos: -o, género masculino

-s, número plural

Morfemas libres o independientes

Existe otra clase de morfemas denominados morfemas libres o independientes que no van unidos a ningún lexema pero confieren de significación gramatical a las palabras con las que se asocian. Los determinantes, las preposiciones y las conjunciones puede actuar como morfemas libres. Casi todos ellos son átonos. Por ejemplo, el artículo hace de morfema flexivo para el sustantivo.

Morfema cero

Es aquel morfema que, aunque existe morfológicamente, no se refleja gráficamente. Por ejemplo, en la palabra hombre, el morfema de número no está presente, y esa es precisamente la razón por la cual el número es singular.

Alomorfos

Los alomorfos son las diferentes representaciones fónicas de un determinado morfema. Por ejemplo, -s y -es son alomorfos del morfema de número plural del español. Tambíen son alomorfos: -ble y -bil como en imposible e imposibilidad o nece- y neci como en necio y necedad.

Semántica

La semántica es un subcampo de la gramática y, por extensión, de la lingüística. Proviene del griego "semantikos", que quería decir "significado relevante", derivada de "sema", lo que significaba "signo". Se dedica al estudio del significado de los signos lingüísticos y de sus combinaciones, desde un punto de vista sincrónico o diacrónico.

Funciones del sustantivo dentro de la oración.-

Sujeto: sólo pueden funcionar como sujetos los sustantivos o palabras sustantivadas. Cuando el sujeto está formado por varias palabras existe un sustantivo o palabra sustantivada que es el núcleo del sujeto.

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Predicado: esta función es propia del adjetivo y del verbo pero el sustantivo, al funcionar como predicado toma un valor adjetivo. Por ejemplo: Juan es profesor.

Atributo: el atributo es sustantivo que forma parte del predicado de una oración en la que el verbo es ser, estar o parecer.

La estructura sería esta Sujeto + verbo (ser, estar, parecer) + atributo

Ejemplo: Las tardes tienen armonía.

Tipos.-

Comunes: los nombres comunes son aquellos que indican la clase de objeto a que pertenece lo designado. Ej: casa, perro, hombre.

Propios: aquellos mediante los cuales se identifica a un ser, un individuo, bien entre los de su clase, bien por constituir el único individuo de una clase. Ej: Jaén, Nicolás.

Tradicionalmente se consideran accidentes del nombre el género y el número a los que puede añadirse la comparación. En el caso concreto del español no existe, en realidad, la declinación y, por lo tanto, no hay casos, si exceptuamos las formas de los pronombres personales.

El género.- Los sustantivos pueden ser, según ya hemos indicado, sólo masculinos o femeninos (gato, gata). Sin embargo, existen nombres que tienen género común, es decir, la misma palabra puede servir para referirse a personas de sexo masculino o femenino. Ej: testigo, estudiante.

Para definir si se refiere a un hombre o a una mujer se utiliza el artículo. Ej: el amante, la amante.

El número.- Existen los objetos llamados contables o discretos, como libros o plumas, que se muestran como una multiplicidad de unidades y por otra los llamados compactos o masivos como el trigo o la leche, en los cuales no puede percibirse la suma de unidades. La idea de plural se manifiesta por medio de los sufijos -s o -es.

No todos los sustantivos suelen tener plural. Los nombres propios y los de objetos únicos sólo pueden tenerlo en casos especiales, así como los nombres abstractos como la tolerancia y la sabiduría.

Existen algunas palabras, más conocidas como colectivos que se refieren a lo singular y lo plural a la vez. Ej: tijeras, pantalones. Son formas en plural que hacen referencia a una unidad.

El adjetivo es aquella parte de la oración que se junta al sustantivo para calificarlo o no presenta una forma externa que le distinga de la categoría más afín, que es el sustantivo. Entre una y otra clase de palabras o semantemas existe un constante movimiento: substantivos que se hacen adjetivos, y a la inversa.

El adjetivo se caracteriza por su dependencia del sustantivo y de ahí su función fundamental de atributo, junto a la de predicado nominal.

Colocación del adjetivo.- Cada lengua tiene sus normas para la colocación del adjetivo. En español, se ha dicho que el adjetivo calificativo tiene un valor subjetivo, emotivo, mientras que en la posición

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contraria restringe la significación del sustantivo, o sea actúa como determinativo. Por ejemplo, no es lo mismo decir Saqué los cuadros valiosos que decir En la sala había cuadros valiosos. En el primer caso se refiere a que saqué sólo los cuadros valiosos porque no todos los cuadros lo eran y en el segundo caso se indica que todos los cuadros de la sala son valiosos.

Tipos de adjetivos.- En castellano se distingue entre calificativos y determinativos. Veamos en qué se diferencian.

-Especificativo: en la oración Ana hizo un ramo con las rosas blancas de su jardín el adjetivo blancas califica a rosas distinguiéndola del resto (sólo las rosas de color blanco). Si quitamos el adjetivo, la oración pierde significado.

El adjetivo especificativo es el que expresa una cualidad necesaria del nombre que lo diferencia de los demás. Suele ir detrás del nombre.

El jugador hábil marcó un gol.

-Explicativo:

Ana paseaba sobre la blanca nieve.

En la primera oración el adjetivo blanca va delante del nombre para llamar la atención; ya que indica una cualidad propia de la nieve (la nieve siempre es blanca) y además, si quitásemos el adjetivo no se alteraría el significado de la oración.

El adjetivo explicativo o epíteto es el que expresa una cualidad no necesaria del nombre, pero que añade mayor belleza e interés literario al texto. Suele ir antepuesto al nombre.

El hábil jugador marcó un gol.

El pronombre es la parte de la oración que sustituye al nombre, sin embargo, no es una parte de la oración en el mismo sentido que lo son los sustantivos, el adjetivo, el verbo o el adverbio.

Los pronombres se nos presentan en clases más perfiladas e independientes de las que hemos visto al estudiar los sustantivos y los adjetivos. Distinguiremos los personales, posesivos, demostrativos, relativos, interrogativos e indefinidos.

Pronombres personales.- La denominación personales sólo está parcialmente acertada, ya que existen formas que no designan a personas necesariamente, o a seres personificados. En español las dos primeras personas son realmente personales, pero no la tercera, que puede designar también seres no personales. Se basan en las personas que pueden intervenir en el coloquio, que son por lo menos tres: la que habla, aquella a quien se habla, y aquella de quien se habla y sus respectivos plurales.

Los pronombres demostrativos se caracterizan por su función deíctica o mostrativa que les es esencial.

Los pronombres demostrativos sirven para nombrar y distinguir elementos que ya se han mencionado anteriormente, pero sin repetirlos. La forma de esos pronombres demostrativos varia

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según el género y el numero, así como de los seres o las cosas que representan. La función que ocupan en la frase no conlleva ningún cambio en su forma.

Llámense relativos los demostrativos que reproducen un concepto anterior, y sirven especialmente para enlazar una proposición con otra. El de más frecuente uso es que, adjetivo de todo género, número y persona. En el navío que viene de Londres es de género masculino, número singular y tercera persona; en vosotras que me oís es de género femenino, numero plural y segunda persona. Debemos siempre concebir en él, no obstante su terminación invariable, el género, número y persona del sustantivo reproducido, que se llama su antecedente.

El relativo que.- Que puede ser sujeto, término y complemento. En todos los ejemplos anteriores es sujeto; es complemento acusativo en la casa que habitamos, y término en las plantas de que está alfombrada la ribera.

La proposición especificativa se llama subordinada, y la proposición de que ésta depende subordinante.

La proposición explicativa se llama incidente, y la de que ésta depende principal. Las proposiciones incidentes son en cierto modo independientes, y así es que sin alterar en nada el sentido del anterior ejemplo , se podría decir: Las señoras deseaban descansar y se retiraron.

Se llama Oración toda proposición o conjunto de proposiciones que forma sentido completo: de que está alfombrada la ribera es proposición perfecta, pero no es oración.

Los pronombres relativos pasan a interrogativos acentuándose. ¿Qué pasajeros han llegad?: el qué es aquí adjetivo y forma con pasajeros el sujeto de la proposición. ¿Qué ha sucedido?; el qué hace de sujeto y es un sustantivo, porque envuelve el significado de cosa o cosas.

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De lo dicho se sigue que un complemento puede tener por término, no sólo un sustantivo, un predicado, un adverbio, un complemento, sino también una proposición interrogativa indirecta; pero es porque las proposiciones interrogativas indirectas hacen en la oración el oficio de sustantivos.

El relativo quién.-

En lugar de las expresiones: el que, las que, los que, las que; empleamos muchas veces el sustantivo quien, quienes, cuando el relativo se refiere a persona o cosa personificada: "la culpa no fue tuya sino de quien te aconsejaba".

Quien se hace interrogativo acentuándose. Equivale, entonces a qué persona, y puede ser sujeto, predicado o término: ¿quién ha venido?, ¿Quién era aquella señora?, ¿A quién se llama?, ¿A quién llaman?

El relativo cuyo.- Cuyo, pronombre adjetivo, que es un tiempo posesivo y relativo, equivale a de que o de quien, en el sentido de posesión o pertenencia; como suyo equivale a de él, de ella, de ellos, de ellas, de ello: "El árbol, cuyo fruto comimos...".

Se hace interrogativo acentuándose: ¿Cuyo es aquel hermoso edificio?

Esta práctica es extremadamente limitada, ya porque cuyo debe referirse a personas, ya porque sólo tiene cabida en predicados que modifiquen el verbo ser.

Los pronombres interrogativos, junto con los indefinidos, presentan características peculiares. Los pronombres interrogativos son usados en la interrogación parcial, o sea, aquella en la que se pregunta por el sujeto, el predicado nominal o los complementos.

Algunas lenguas distinguen formas interrogativas animadas, es decir, relativas a seres animados, e inanimadas, como restos de un antiguo estado de cosas en cuanto al género, en el que se distinguen de un modo general, entre dichas categorías. En español, quién, por ejemplo, sólo se emplea con personas y, a la inversa, qué se usa solamente con cosas o ideas. La distinción entre masculino y femenino no existe.

Cómo Quién

Dónde Por qué

Qué Cuando

Cuanto

También encontramos otras formas interrogativas como Para quién o Para qué.

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Los numerales son un tipo de partículas que hay que relacionar con los indefinidos de cantidad y, por otra con los adjetivos calificativos, de cuales se diferencian porque en lugar de expresar cualidad indican cantidad. En realidad forman un grupo dentro de ellos.

Tipos.- Antes de explicar la verdadera naturaleza de los numerales es mejor identificar todas las clases que hay.

Numerales ordinales: se confunden con los adjetivos calificativos. Se pueden colocar o bien delante o detrás del sustantivo y presentan variaciones de género y número según el sistema al que acompaña.

Ejemplos: la última de la fila suspende siempre

El primer autobús sale a las 10.00 horas

Numerales cardinales: tienen un valor puramente adjetivo: uno, dos, tres, etc. Sin embargo, cuando nos referimos al número por sí mismo, el tres, el cuatro, aquí nos encontramos con un sustantivo. No presentan variaciones de género ni número.

Ejemplos: En la caja había tres cartas

En los dos casos se repite la terminación

CARDINALES

1 uno 40 cuarenta

2 dos 50 cincuenta

3 tres 60 sesenta

4 cuatro 70 setenta

5 cinco 80 ochenta

6 seis 90 noventa

7 siete 100 cien

8 ocho 101 ciento uno

9 nueve

10 diez

11 once 200 doscientos, as

ORDINALES1. primero

2. segundo

3. tercero

4. cuarto

5. quinto

6. sexto

7. séptimo

8. octavo

9. noveno

10. décimo

11. undécimo

12. duodécimo

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12 doce 300 trescientos, as

13 trece 400 cuatrocientos, as

14 catorce 500 quinientos, as

15 quince 600 seiscientos, as

16 dieciséis 700 setecientos, as

17 diecisiete 800 ochocientos, as

18 dieciocho 900 novecientos, as

19 diecinueve

20 veinte 1.000 mil

21 veintiuno 2.000 dos mil

22 veintidós 55.000 cincuenta y cinco mil

23 veintitrés 1.000.000 un millón

24 veinticuatro 2.000.000 dos millones

25 veinticinco 1.000.000.000 mil millones

26 veintiséis

27 veintisiete

28 veintiocho

29 veintinueve

30 treinta

31 treinta y uno

32 treinta y dos

13. decimotercero

14. decimocuarto

15. decimoquinto

16. decimosexto

17. decimoséptimo

18. decimoctavo

19. decimonoveno

20. vigésimo

Determinantes partitivos: señalan una parte de la unidad: medio, doceavo, cuarto...

Multiplicativos: doble, triple, cuádruple...

Distributivo: sendos.

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Dual: ambos.

El artículo se antepone al sustantivo para anunciar su género, su número y su función gramatical. Con frecuencia el artículo determina la extensión del sustantivo. Pongamos un ejemplo, las expresiones comprar libros y comprar los libros. En el primer caso queda completamente indeterminado el sustantivo libros; no sabemos a cuántos libros nos referimos; en cambio, cuando decimos comprar los libros, entendemos que se trata de libros conocidos por la persona a quien dirigimos la palabra.

Las formas del artículo son: el, la, lo, para el masculino, femenino y neutro del singular, respectivamente: los, las, para el plural masculino y femenino. Este artículo se llama determinado.

Delante de nombres femeninos que empiezan por a, á o ha, usamos la forma el; por ejemplo: el hada, el agua, el áncora.

Se usa también el artículo indeterminado: un, una, unos, unas. Se llama así porque delimita el concepto del sustantivo mucho menos que el artículo determinado. Basta fijarse en la diferencia que media entre te entregaré un libro y te entregaré el libro. En el primer caso puede ser un libro cualquiera y en el segundo es un libro que ambos sujetos conocen.

Determinados Indeterminados

Masculino Femenino Neutro Masculino Femenino

el la lo uno una

los las unos unas

El verbo es una parte de la oración que expresa acción, presión o estado. El concepto de verbo aparece unido a una importante función dentro de la oración, el predicado. Por ello, la presencia del verbo es indispensable para formar una oración. El verbo suele combinarse con determinados morfemas que indican el tiempo, modo, aspecto, voz, número y persona. La persona es común a los pronombres personales, el número es común al nombre. El tiempo, el modo y el aspecto son en español sólo verbales y también la voz, aunque no existe para ésta un medio de expresión tan claro.

Tipos de verbos.- Al igual que los sustantivos existen verbos simples y compuestos (beber-entresacar); primitivos y derivados (dar, abofetear) derivados de otras categorías: de sustantivos (martirizar); de adjetivos (endulzar) y también de otros verbos (reconstruir). Sin embargo, existen otras distinciones más importantes desde el punto de vista de la forma gramatical.

Verbos transitivos e intransitivos: los primeros admiten un complemento directo a diferencia de los segundos. Una cosa a tener en cuenta en cuenta es que un verbo no puede considerarse ni transitivo ni intransitivo aisladamente; sólo su función en la frase le da dicho carácter. Pongamos algunos ejemplos: llevar, decir y hacer son verbos transitivos que siempre necesitan de un complemento directo, ya que ninguna expresión de llevar, decir o hacer, por sí sola, es completa. Otros verbos, como comer o beber tienen posibilidades transitivas e intransitivas.

Verbos copulativos y auxiliares: el verbo copulativo sirve esencialmente para unir el sujeto con el predicado nominal. Los verbos copulativos por excelencia son ser, estar y parecer. Con ser, el predicado se expresa como una cualidad del sujeto y con estar es un estado lo que se expresa.

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Ejemplos: El canario es amarillo La anciana está sentada

Los verbos transitivos pueden desempeñar, en algún caso, una función copulativa, por ejemplo, tengo a mi padre enfermo equivale a mi padre está enfermo.

Los verbos auxiliares son aquellos que se unen al participio, gerundio e infinitivo formando así perífrases verbales. Ej: ir a comer, tener que estudiar.

La lengua española es rica en construcciones perifráscticas con verbos auxiliares, que le permiten completar la conjugación que podríamos llamar normal en la expresión de ciertos morfemas (voz, aspecto y tiempo)

Los reflexivos: a diferencia de las otras modalidades estos verbos se forman con un verbo y la partícula se. Hay que tener claro que no todos los verbos son capaces de tener la forma reflexiva.

Ejemplos: lavarse, peinarse y ducharse.

los accidentes del verbo, que son los siguientes: el tiempo, el número, la persona y el modo.

El tiempo.- Los tiempos gramaticales son las formas que el verbo toma para dar a conocer el momento en que sucede lo que el verbo significa; ej.: ayer bebí; ahora duermo; mañana trabajaré.

Los tiempos verbales se dividen en dos: simples o compuestos.

-Tiempos simples: son los que constan de una sola forma verbal; ej.: como, cantaré, cerraría. -Tiempos compuestos: son los que tienen una forma verbal auxiliar que normalmente es el haber y del participio del verbo que se conjuga; ej.: he constituido, has dicho, había realizado.

Hay tres tiempos que son fundamentales, y son: presente, pretérito y futuro.-Presente indica la acción o el estado actual; ej.: ahora viajo. -Pretérito da a conocer la acción o el estado en un pasado; ej.: ayer fuí. -Futuro expresa una acción o estado que va a venir; ej.: mañana responderé.

Tabla de los tiempos gramaticales.-

Tiempos simples Tiempos compuestos MODO INFINITIVO (cinco tiempos) Infinitivo simple Infinitivo compuesto Gerundio simple Gerundio compuesto Participio MODO INDICATIVO (ocho tiempos) Presente Pretérito perfecto Pretérito imperfecto Pretérito pluscuamperfecto Pretérito indefinido Pretérito anterior Futuro imperfecto Futuro perfecto

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MODO POTENCIAL (dos tiempos) Simple o imperfecto Compuesto o perfecto MODO IMPERATIVO (un solo tiempo) Presente

MODO SUBJUNTIVO (seis tiempos) Presente Pretérito perfecto Pretérito imperfecto Pretérito pluscuamperfecto Futuro imperfecto Futuro perfecto

El número.- Es la variación del verbo según se refiere a un o a varios sujetos. En español encontramos singular y plural. Singular si el verbo se refiere a un solo sujeto; ej.: yo canto, tú escribes, Marta estudia, El gato come.

Plural si el verbo se refiere a más de un sujeto; ej.: nosotras cantamos, vosotros escribís, Marta y José estudian, El gato y el perro comen.

La persona.- Sirve para señalar la parsona que realiza la acción del verbo. Primera, segunda y tercera persona.

El verbo está en primera persona (1a) cuando éste se refiere a la persona que habla, ej.: yo hablo. El verbo está en segunda persona (2a) cuando éste se refiere a aquélla con la que se habla, ej.: tú estudias. El verbo está en tercera persona (3a) cuando éste se refiere a aquélla persona de quien se habla, ej.: Pedro come

La voz.- Sirve para señalar si la acción del verbo es realizada por el sujeto o éste recibe la acciónEn español hay voz activa y voz pasiva.

El verbo está en voz activa cuando el sujeto realiza la acción que el verbo expresa; ej.: Ernesto camina. El verbo está en voz pasiva cuando el sujeto recibe la acción expresada por el verbo; ej.: Cien años de soledad fue escrito por Gabriel García Márquez; América fue conquistada por los europeos.

Veamos las tres formas nominales del un verbo.

Infinitivo.- El infinitivo es un sustantivo verbal. Puede desempeñar en la oración todos los oficios que corresponden al sustantiv; más no por ello deja de tener cualidades y empleos propios del verbo, con la única restricción de no poder expresar por sí mismo tiempos y personas.

a)El infinitivo como nombre: puede ejercer dos funciones o bien como sujeto o como complemento directo.

El comer bien es importante para la saludMe gusta ir de compras

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b)El infinitivo como verbo: -puede ser activo o pasiv: no me gusta esperar, no me gusta ser esperado-Admite pronombres enclíticos: he venido a verte

Gerundio.- El gerundio expresa coincidencia temporal o anterioridad inmediata respecto al verbo principal. En castellano el gerundio tiene las siguientes funciones:-De adverbio: no me hables gritando -De adjetivo: via Juana paseando, esto es, que paseaba.-Durativo: modal del verbo: la fortuna va guiando nuestros pasos.

Participio.- El participio es un adjetivo verbal. A causa de esta doble naturaleza puede construirse como adjetivo independient, o entrar en construcciones total o parcialmente asimilables a las del verbo conjugado.

Por su forma puede ser regular, cuando termina en -ado, -ido (abandonado, pulido); irregular, si tiene otra terminación (abierto, escrito, hecho). Numerosos verbos presentan un participio regular y otro irregular se emplea como adjetivo y el regular para formar los tiempos compuestos con el verbo haber, por ejemplo agua bendita y el obispo ha bendecido a los fieles.

Todas las palabras que se añaden al verbo para modificarlo, es decir, para expresar alguna cualidad o determinación de la acción verbal, reciben el nombre de adverbios. Estas partículas pueden modificar a un verbo, un adjetivo o a otro adverbio. En la oración funcionan como circunstanciales o formando parte de modificadores. Son invariables, ya que no tienen género ni número. Veamos algunos ejemplos:

-Modifican al adjetivo:Este jardín es muy hermosoLa casa es demasiado alta

-Modifican al verboJuan trabaja bien El nuevo jefe viene hoy

Tipos.- Según su significación, los adverbios pueden ser de lugar, de modo, de tiempo, de cantidad, de orden, de afirmación, de negación y de duda. Ejemplos:

De lugar: aquí, allí, cerca, lejos, dentro, fuera, encimaDe tiempo: hoy, ayer, mañana, antes, después, entonces, luegoDe modo: bien, mal, así, despacio, veloz, buenamente, fácilmente De cantidad: más, bastante, mucho, poco, tan, tanto De orden: primeramente, últimamente, sucesivamente De afirmación: sí, ciertamente, también, verdaderamente De negación: no, nunca, jamás, tampocoDe duda: acaso, quizá o quizás

Existen numerosos adjetivos que pueden ejercer la función de adverbios, como claro, recio, alto, limpio. Es fácil determinar en cada caso si les corresponde una u otra función, dependiendo de si modifican a un sustantivo o a un verbo. Por ejemplo, claro será adjetivo en lenguaje claro, agua clara, pero será adverbio en hablar claro, escribir claro.

Muchos adverbios se forman añadiendo a la forma femenina de los adjetivos la terminación -mente: fácilmente, claramente, etc.

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Los adverbios donde, cuando, cuanto y como equivalen a pronombres relativos; por ejemplo: el barrio donde vivimos es el barrio en que vivimos. Por esto se llaman adverbios relativos. Lo mismo que los pronombres de su clase, los adverbios relativos llevan acento cuando figuran en oraciones interrogativas o exclamativas: ¿cómo está usted?, ¿cuándo has llegado?

Si tenemos dos palabras como venir y casa aisladamente, se observa que una significa una acción y la otra una realidad, pero sin relación alguna entre ellas. No obstante, si queremos conectar ambos significados en una expresión determinada usaremos una serie de elementos invariables que posee la lengua para expresar distintas relaciones. Tales elementos son los enlaces preposicionales, la preposición. De este modo, podemos crear expresiones como venir de casa, venir a casa, venir por casa, venir hacia casa.

Las preposiciones no solamente unen un verbo (venir) y un sustantivo (casa) como hemos visto en los ejemplos anteriores. También pueden unir dos sustantivos casa de ladrillos, tienda de coches; o un adjetivo y un sustantivo, como en la expresión sencillo en gustos. De este modo, podemos decir que la función principal de las preposiciones es enlazar cualquier palabra con un sustantivo que le sirve de complemento.

Las tradicionales preposiciones castellanas son: a, ante, cabe, con, contra, de, desde, en, entre, hacia, hasta, para, por, según, sin, sobre y tras.

Conjunciones.- Las conjunciones son los elementos invariables de la lengua capaces de enlazar oraciones creando distintas relaciones entre ellas. También a veces se puede observar en la expresión que las conjunciones unen palabras aisladas, pero en realidad éstas se pueden considerar como la simplificación expresiva de auténticas oraciones enteras que subyacen en tales palabras.

Las conjunciones pueden ser coordinantes o subordinantes, según establezcan una u otra relación entre las oraciones unidas por ellas.

Coordinantes.- Dentro de las conjunciones coordinantes encontramos cinco variantes.

-Adversativas o correctivas: denotan oposición o diferencia entre las oraciones enlazadas: mas, pero, aunque, sino, sin embargo.-Consecutivas: presentan a una de las oraciones como consecuencia de la otra: pues, pues que, supuesto que, puesto que, luego.-Copulativas: denotan simple enlace sin matices especiales: y, e, ni.-Distributivas: bien...bien, ya...ya -Disyuntivas: expresan contradicción: o, u.

Subordinantes.- Dentro de las conjunciones coordinantes encontramos ocho variantes.

-Causales: indican que una de las oraciones es causa o motivo de la otra: porque, pues, pues que, ya que, como, como que.-Comparativas: así como, así también, de modo que, tal como.-Concesivas: expresan en la subordinada una objeción o dificultad para que se efectúe lo que indica la principal, pero este obstáculo no impidela realización del hecho: aunque, por más que, a pesar de, que.-Condicionales: la subordinada expresa la condición para que se realice lo que se dice en la principal: sí, con tal que, a condición.-Copulativas: enlazan las subordinadas sustantivas. La única que hay es que. -Finales: expresan en la subordinada el fin de la principal: a que, para que, a fin de que.

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-Modales: entra en su composición un adverbio de modo: conforme, como, según, de modo que, de manera que. -Temporales: entra en la composición de algunas un adverbio o expresión de tiempo: cuando, aun no, no bien, desde que, luego que, antes que, después que, mientras que.

• Concordancia y discordancia de las partes de la oración

Sujeto y predicado: elementos de la oración

La oración: "La nave espacial se posó sobre la colina", es una proposición. Su primer miembro, "La nave espacial", indica aquello de lo se va a decir algo. Mientras que el segundo miembro ,"se posó sobre la colina", es lo que se dice de la nave espacial.

Fíjate en las siguientes proposiciones:

SUJETO:

• El mendigo

• La amabilidad

• Marcela y Francisco

• La botella misteriosa

• Los cinco jinetes del viento

PREDICADO:

• vestía un pantalón raído.

• no cuesta dinero.

• se asustaron con el temblor.

• fue arrastrada por las olas.

• cabalgaron hacia el horizonte.

En los cinco ejemplos anteriores, se nombran personas, objetos o cualidades (Sujeto) y se dice alguna cosa de ellos: la forma de vestir, lo que significan, lo que sienten, lo que les pasa, lo que hacen (Predicado).

• SUJETO : MIEMBRO DE LA ORACIÓN DEL QUE SE DICE ALGO.

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• PREDICADO: LO QUE SE DICE DEL SUJETO.

El sujeto puede estar ubicado al inicio de la oración o en cualquier otra posición dentro de ella.

Observa con atención:

¿De quién se dice algo? De "los hombres-rana" (Sujeto).

¿Qué se dice de ellos? Que "encontraron el barco sumergido en el fondo del mar muchos años después" (Predicado).

Cuando el sujeto se ubica al medio de la oración, el predicado queda partido en dos segmentos:

Veamos otros ejemplos: Sujeto Predicado

No olvides que :

• AL CAMBIAR EL SUJETO DE POSICIÓN, NO CAMBIA SU CONDICIÓN DE SUJETO.

Organización Interna del Sujeto:

El Sujeto está formado por un elemento principal llamado núcleo, que puede ir acompañado de otras palabras o frases que lo determinan. El núcleo es indispensable, sin él no hay sujeto. Los determinantes, en cambio, no siempre están presentes: son opcionales.

Ejemplos:

(Det.= Determinante; N= Núcleo)

• EL NÚCLEO ES EL UNICO ELEMENTO CONSTANTE

• DEL SUJETO.

• UN SUJETO PUEDE TENER MÁS DE UN NÚCLEO.

• LOS DETERMINANTES DEL NÚCLEO NO SIEMPRE ESTÁN PRESENTES.

El núcleo del sujeto cumple siempre una función sustantiva (F. Sust.).

La función sustantiva corresponde por lo general a la palabra sustantivo.

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La palabra sustantivo:

En la novela "Cien Años de Soledad" (Gabriel García Márquez) se dice, refiriéndose a una época remota, "En aquellos tiempos, las cosas carecían de nombre y para indicarlas, había que señalarlas con el dedo".Esta afirmación nos permite comprender la importancia de contar con palabras que faciliten asignarle un nombre a las cosas. Cada vez que nombramos algo, usamos un sustantivo. Lee los siguientes ejemplos:

• Sobre el mar, vuelan las gaviotas.

• El amor nos hace ser generosos.

• Mauricio estudia en su pieza.

Todas las palabras en negrita son sustantivos. Con ellas hemos nombrado un elemento del paisaje (el mar); un ave (gaviota); un sentimiento (amor) y le hemos dado nombre propio a una persona (Mauricio).

En realidad, los seres humanos le asignamos nombre a todo lo que está a nuestro alrededor. Sentimos la necesidad de nombrar las cosas para diferenciarlas. Cada vez que conocemos algo nuevo, preguntamos ¿Cómo se llama? Y cuando sabemos su nombre nos parece más cercano y familiar .

Organización interna del predicado

Al igual que el Sujeto, el Predicado tiene un elemento central y constante, llamado núcleo del predicado. En forma opcional, éste puede estar acompañado de determinantes. Veamos algunos ejemplos:

El núcleo del predicado indica lo que hace, dice, siente o piensa el sujeto. Cumple siempre la función verbal, mediante la palabra verbo.

Los verbos expresan acción, sentimientos, estados y existencia respecto de distintas personas y tiempos. Algunos verbos son: Cantar, sufrir, jugar, hacer, etcétera.

De todo lo aprendido no puedes olvidar:

• La proposición es una oración que consta de Sujeto y Predicado.

• El Sujeto y el Predicado están siempre formados por un elemento central y constante, llamado núcleo.

• El núcleo del sujeto cumple la función sustantiva, y el núcleo del predicado cumple la función verbal.

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• Tanto el núcleo del sujeto como el del predicado pueden estar acompañados por determinantes.

Para preguntar, podemos ubicar la acción al inicio de la oración, o utilizar una palabra que indica interrogación.

Leamos estos ejemplos:

-¿Irás al cumpleaños de Enrique?

-¿Encontraste el mensaje que te dejó tu papá?

Estas oraciones interrogativas comienzan por la acción.

Ahora, analicemos estas otras:

-¿Cuál es tu personaje histórico favorito?

-¿Dónde está la clave?.

Las oraciones interrogativas utilizaron las palabras cuál y dónde.

• Algo que no puede faltar en este tipo de oraciones son los signos de interrogación delante y al final de ellas:

¿ ... ?

Estos signos permiten identificar una pregunta.

Algunas palabras que sirven para hacer preguntas son:

¿Qué...? ¿Quién...? ¿Cómo...?

¿Cuándo...? ¿Dónde...? ¿Por qué...?

Las oraciones interrogativas se contestan con oraciones aseverativas, que pueden ser afirmativas o negativas.

• Las oraciones exclamativas expresan sorpresa o admiración.

Llevan siempre signo de exclamación al inicio y al término de ellas.

¡ ... !

¿Por qué se llaman oraciones exclamativas?

Por el tono de vos que utilizamos al decirlas. Tomamos aire y luego hablamos con otro ánimo.

Te presentamos algunos ejemplos:

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-¡Qué linda está la Luna!

-¡Nos vamos de vacaciones!

• Las oraciones imperativas tienen la particularidad de indicar una orden, un mandato o una prohibición, no llevan escrito el sujeto.

Analicemos las siguientes oraciones imperativas:

-Se prohíbe fumar en este recinto.

-No pisar el pasto.

Ambas oraciones indican que se prohíbe realizar una determinada acción.

Veamos otras oraciones imperativas:

-Salgamos rápido.

-Quítate el delantal.

Estas oraciones nos están indicando una orden y mandato.

Algunas veces, para que la orden no sea tan directa, se utilizan palabras como querer, rogar o desear.

Estos son ejemplos:

-Desearíamos que los pasajeros se abrocharan sus cinturones.

-Quisiera que nadie se fuera sin entregar el trabajo

Según si tiene o no verbo, es posible clasificar a la oración en dos tipos:

• Oración unimembre: grupo de palabras que posee un significado, es decir, que transmite información, y no tiene verbo. Tiene una sola parte, o sea, está formada por un solo miembro. Por eso se le llama unimembre Dentro de las oraciones unimembres, están todas las fórmulas de cortesía: expresiones que utilizamos a diario para saludar, despedirse, o simplemente ser correctos con lo demás. Por ejemplo: hola, buenos días, buenas noches, hasta luego, muchas gracias, por favor, etcétera.

• Oración bimembre: grupo de palabras con significado, transmite una información completa, y que además posee verbo. Por esto, puede dividirse en sujeto y predicado, que son las dos partes o miembros por las que está formada. Ello le da su nombre de bimembre, donde bi quiere decir dos, y membre, miembro.

Complementos en la oración

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[Año]

El sujeto tiene los siguientes complementos:

• calificativo: integrado por uno o varios adjetivos calificativos o determinativos. Otorga una cualidad, peculariedad o manera de ser a la palabra que modifica. Ejemplo: Mi papá llegará pronto.

• determinativo o de especificación: formado por un sustantivo que se une al sujeto por medio de una preposición. Ejemplo: Ese computador es muy lento.

• explicativo: meciona datos incidentales, aclara y puede suprimirse sin que varíe el sentido de la oración. Va siempre entre comas. Ejemplo: Cristóbal Colón, osado navegante, descubrió América.

El verbo tiene los siguientes complementos:

• directo: recibe el nombre de complemento directo la persona o cosa que es el objeto de la acción del verbo. Solamente llevan complemeto directo los verbos que denotan acción , son transitivos o activos.Las oraciones se construyen con la preposición a o sin preposición. Ejemplos: Amo a mis padres, Llevaremos los libros.Para identificar el complemento directo basta con preguntar al verbo de la oración: ¿qué?, ¿quién?, ¿a quién?. Ejemplo: A quién amo, amo a mis padres. ¿Qué llevaremos?, los libros.

• indirecto: indica a las personas o cosas que reciben la consecuencias, es decir, el fin, daño o provecho de la acción del verbo. Se construye con las preposiciones a o para. Puede llevar otros complementos o puede construirse solo. Ejemplos: Llevo un libro a mi amigo; Traigo flores para mi madre; Los vecinos compraron una bandera para la escuela.Para identificar el complemento indirecto se hacen las siguientes preguntas: ¿a quién?, ¿para quién?, ¿para qué?. Ejemplos:¿A quién llevo mi libro?, a mi amigo. ¿Para quién traigo flores?, para mi madre.

• circunstancial: indica las diversas circunstancias de tiempo, de lugar, de modo, de causa, de cantidad, de compañía, de fin, de medio, etc.Llegaré de mañana (de tiempo)Llora con ganas (de modo)Puso el libro sobre la mesa (de lugar)Llegaré con mi amigo (de compañía)Respondía la fuerza (de causa)El tren salió para Chillán (de rumbo o destino)Mi amigo llegó a Temuco (de procedencia)

• Los complementos circunstanciales pueden, en otros casos, construirse sin preposición:Estudió todo el día (de tiempo)Lo esperó la vida entera (de tiempo)

• Los adverbios o locuciones adverbiales ejercen las funciones de complementos circunstanciales:Habla lentamente ( de modo)Trabaja poco (de cantidad)Te esperaré aquí (de lugar)Llegó temprano (de tiempo)

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• Autores y obras importantes de la literatura clásica

Cuando hablamos de mundo clásico nos referimos a las civilizaciones griega y romana, cuya influencia perdura hasta nuestros días y constituye el componente fundamental de la cultura occidental.

Muchos aspectos de nuestra vida actual tienen sus remotos orígenes en el mundo clásico. La democracia, la republica, la filosofía, la poesía, la tragedia e inclusive el atletismo, las olimpiadas y la escuela nacieron muchos siglos atrás, en las costas del mediterráneo.

La civilización griega se remonta a la cultura de los aqueos. Esta cultura fue modificada posteriormente con la llegada de nuevos pueblos que, poco a poco, fueron consolidando una gran civilización formada por polis (ciudades-estados). La civilización griega llego a su plenitud alrededor del siglo V a. de. C., cuando Atenas alcanzo un formidable desarrollo artístico y cultural. Por otra parte, los hombres comunes anteriormente excluidos de la política por la nobleza empezaron a participar en ella, convirtiendo a Atenas en la primera democracia de nuestra historia.

LA MITOLIGIA, FUENTE INAGOTABLE DE TEMAS LITERARIOS

Cada cultura tiene una explicación diferente sobre el origen del mundo y del hombre. Los griegos representaron a través de bellísimos mitos.

Los personajes de estos mitos eran los dioses y los héroes. Los dioses eran inmortales y sumamente poderosos, pero también tenían mucho parecido con los humanos inclusive compartían con los hombres sus virtudes y defectos: celos, envidia, rencor, etc. Otros mitos eran protagonizados por los llamados héroes, hombres que tenían cualidades extraordinarias por ser hijos de un dios y un mortal.

Los dioses griegos inagotable fuente de inspiración para los poetas, fueron adoptados posteriormente por los romanos, y desde entonces hasta la actualidad, durante siglos y siglos, los mitos griegos han inspirados muchas manifestaciones artísticas de poetas, escritores, escultores y pintores.

EL ARTE GRIEGO

El arte griego se caracterizó por la búsqueda de la belleza y la perfeccion de los artistas, en especial los escultores se esforzaron por expresar la belleza ideal del cuerpo humano, que estaban en el equilibrio y la armonía.

LA LITERATURA GRIEGA

POESIA EPICA

Los primitivos habitantes de Grecia, los pueblos de las civilizaciones egea y micénica, poseyeron una literatura oral compuesta en su mayor parte por canciones que hablaban de las guerras, las cosechas y los ritos funerarios. Los helenos se apropiaron de estas canciones en el segundo milenio a.C. y, aunque no se conserva ningún fragmento, los cantos de los aedos dedicados a los héroes prefiguran la poesía épica.

La épica griega alcanzó su máximo esplendor con la Iliada y la Odisea de Homero, aunque se cree que pueden ser obra de una sucesión de poetas que vivieron a lo largo del siglo IX a.C. Escritos en dialecto jónico con mezclas eólico, la perfección de sus versos hexámetros dáctilos indica que los

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poemas son la culminación, más que el principio, de una tradición literaria. Los poemas épicos homéricos se difundieron en las recitaciones de cantores profesionales que, en sucesivas generaciones, alteraron el original, actualizando el lenguaje. Esta tradición oral se mantuvo durante más de cuatro siglos.

Otros acontecimientos míticos y heroicos que no se celebran en la obra homérica o que no se narran en su totalidad, se convirtieron en el argumento de varios poemas épicos posteriores, algunos de cuyos fragmentos se conservan. Un grupo de estos poemas épicos, compuestos entre 800-550 a.C., por un número indeterminado de poetas conocidos como poetas cíclicos, tratan de la guerra de Troya y la expedición de Los Siete contra Tebas. Entre los poetas épicos conocidos, casi todos posteriores, se cuentan Pisandro de Rodas, autor de la Heracleia, que trata de las hazañas del héroe mitológico Hércules; Paniasis de Halicarnaso, que escribió una obra también llamada Heracleia, de la que sólo se conservan algunos fragmentos, y Antímaco de Colofón o Claros, autor de la Tebas y considerado fundador de la llamada escuela de poesía épica. Antímaco influyó poderosamente en los poetas épicos alejandrinos posteriores

La crítica textual contemporánea ha establecido que varias de las obras atribuidas en un principio a Homero son de autoría posterior. Las más tempranas son, probablemente, los llamados 34 himnos homéricos, fechados entre el 700 y el 400 a.C., una magnífica serie de himnos a los dioses escritos en hexámetros dactílicos. Entre otros poemas semejantes destaca la burlesca Batracomiomaquia.

Poco después de Homero, el poeta Hesíodo escribió su obra principal, Los trabajos y los días, compuesta también en dialecto jónico con algunas mezclas de eólico. Es el primer poema griego que abandona la leyenda o el mito para centrarse en la vida cotidiana, las experiencias y pensamientos de un granjero beocio. La Teogonía, normalmente atribuida a Hesíodo, aunque algunos críticos la consideran posterior, narra el nacimiento del orden a partir del caos y el de los dioses.

El dístico elegíaco se popularizó en toda Grecia durante el siglo VII a.C. y se utilizó en composiciones de todas clases, desde canciones fúnebres a canciones de amor. El primer autor conocido de elegías fue Calino de Éfeso. Otros famosos poetas elegíacos primitivos fueron Tirteo de Esparta, Mimnermo de Colofón, Arquíloco de Paros, Solón el primer poeta ateniense y Teognis de Megara.

POESIA LIRICA

La lírica procede de canciones acompañadas de la lira, y en la antigua Grecia había dos tipos principales, la personal y la coral.

La lírica personal se desarrolló en la isla de Lesbos. El poeta y músico Terpandro, que había nacido en Lesbos pero que vivió casi toda su vida en Esparta, está considerado como el primer poeta lírico griego porque fue el que antes compuso música y poesía. La mayor parte de sus poemas eran nomos o himnos litúrgicos en honor de Apolo, y cantados por un solo intérprete acompañado de la lira.

Después de Terpandro aparecieron en el siglo VII a.C. los grandes poetas de Lesbos. Los poemas líricos de Alceo, inventor de la estrofa alcea, hablan de temas políticos, religiosos e intimistas. Safo, la poetisa más importante de la antigua Grecia, creó la estrofa sáfica aunque escribió también en otras formas líricas. Sus poemas de amor y amistad se encuentran entre los más apasionados y mejor trabajados de la tradición occidental. Los poetas lésbicos, así como varios poetas líricos posteriores de otras ciudades griegas, compusieron en dialecto eólico.

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En el siglo VI a.C., el poeta Anacreonte escribió alegres poemas sobre el vino y el amor en varios metros líricos; sus obras posteriores, similares en tono y tema, se conocen como anacreónticos. También escribió dísticos (pareados) elegíacos, epigramas y poemas en metros yámbicos.

La lírica coral surgió en el siglo VII a.C. obra de poetas que escribieron en dialecto dórico, dominante en la región de Esparta, y que se utilizó incluso en épocas posteriores cuando los poetas de otros lugares de Grecia adoptaban este género lírico. Los poetas espartanos fueron los primeros en escribir de esta forma canciones para celebraciones públicas religiosas. Más tarde lo hicieron para celebrar triunfos personales, como, por ejemplo, una victoria en los juegos olímpicos.

Taletas, que viajó de Creta a Esparta para sofocar una epidemia con himnos corales a Apolo, fue probablemente el primer poeta lírico coral. Le siguieron Terpandro, que escribió tanto poemas líricos intimistas como corales; Alcmán, autor sobre todo de partheneia, es decir, himnos procesionales corales cantados por un coro de doncellas y de carácter parcialmente religioso, de tono más ligero que los himnos a Apolo; y Arión, posible creador del ditirambo (forma poética en honor a Dioniso) y del estilo trágico, que se utilizó ampliamente en el drama griego. Entre los grandes escritores posteriores de poemas líricos corales se encuentran el poeta siciliano Estesícoro, contemporáneo de Alceo, que introdujo la forma ternaria de la oda coral, consistente en series de grupos de tres estrofas; Íbico de Reggio, autor de un largo fragmento que se conserva de una oda coral ternaria y de poemas líricos personales eróticos; Simónides de Ceos, cuya lírica coral incluye epinicia, u odas corales en honor de los vencedores en los juegos olímpicos, encomia, o himnos corales en honor a personas concretas, y cantos fúnebres, además de poemas líricos personales que incluyen epigramas; y Baquílides de Ceos, sobrino de Simónides, que escribió epinicios, de los que se conservan trece, y ditirambos, cinco de los cuales han llegado hasta la actualidad.

La lírica coral alcanzó su apogeo hacia mediados del siglo V a.C. en las obras de Píndaro, que escribió muchos poemas de este género en todas las formas, incluyendo himnos, ditirambos y epinicios. Se conserva cerca de la cuarta parte de su obra, principalmente epinicios con la estructura trinaria creada por Estesícoro. Las tragedias de la época incluyen muchas odas corales importantes.

EL TEATRO

A inicios de la primavera, las ciudades griegas celebraron fiestas populares en honor a Dionisio, dios del vino. Estas eran parecidas a los carnavales: la gente bailaba cantaba y se emborrachaba en las calles. Unos coros desfilaban por la ciudad, dirigidos por una persona que se llamaba corifeo. Paulatinamente los coros comenzaron a entablar diálogos con el corifeo, lo cual dio origen al establecimiento de parlamentos fijos para cada uno de ellos. De esta manera nació la forma expresiva fundamental del teatro: el dialogo.

Con el paso del tiempo algunos interrogantes del coro se especializaron en la recitación de algunos pasajes del parlamento, con lo cual se dio origen a la figura del actor. Al comienzo el número de actores era muy reducido: dos o tres a lo sumo. Sin embargo , junto con el corifeo y el coro conformaron los elementos básicos de la representaciones teatrales en la Grecia antigua.

El siguiente paso en la evolución del teatro fue la localización especifica de la representación: se abandona la calle como escenario de los diálogos y se creó un lugar especial: el teatro, un espacio destinado exclusivamente para la representación de los diálogos.

Había dos tipos principales de obras, la tragedia y la comedia. Aunque ambas estaban escritas en verso existían entre ellas diferencias notables.

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LA TRAGEDIA

La tragedia, tal y como hoy se la conoce, se cree que fue creada en el siglo VI a.C. por el poeta ateniense Esquilo, que introdujo el papel de un segundo actor, aparte del coro. Sus tragedias, cerca de 90, versan sobre temas tan excelsos como la divinidad y las relaciones de los seres humanos con los dioses. Únicamente siete de sus obras han llegado hasta hoy, entre ellas Prometeo encadenado, que narra el castigo de Zeus al titán Prometeo, y la Orestiada, trilogía que retrata el asesinato del héroe griego Agamenón por su mujer, el de ésta por su hijo Orestes y el posterior destino de Orestes

LA COMEDIA

Uno de los más grandes poetas cómicos fue Aristófanes, cuya primera comedia, Daitaleis, hoy perdida, data del 427 a.C. Empleando la sátira dramática, ridiculizó a Eurípides en Las ranas y a Sócrates en Las nubes. Estas obras representan la antigua comedia de la literatura griega.

La comedia griega posterior se divide en dos grupos, la comedia media (400-336 a.C.) y la comedia nueva (336-250 a.C.). En la media, ejemplificada por las dos últimas obras de Aristófanes, La asamblea de las mujeres y Pluto, ambas escritas entre 392 y 388 a.C., la sátira personal y política se reemplaza por la parodia, la ridiculización de los mitos y la crítica literaria y filosófica. Los principales autores de la comedia media fueron Antífanes de Atenas y Alexis de Thruil. Sólo se conservan fragmentos de sus obras.

En la comedia nueva, la sátira se sustituye por la comedia social, con tramas y personajes cotidianos y familiares, y temas de amor romántico. El principal autor de esta comedia nueva fue Menandro, cuya influencia alcanzó a los dramaturgos latinos de los siglos III y II a.C., sobre todo a Plauto y Terencio. Se conservan una obra completa de Menandro, El tacaño, y fragmentos de otras.

AUTORES

Homero, nombre tradicionalmente asignado al famoso autor de la Iliada y la Odisea, las dos grandes epopeyas de la antigüedad griega. Nada se sabe de su persona, y de hecho algunos ponen en duda que sean de él estas dos obras. Sin embargo, los datos lingüísticos e históricos de que se dispone, permiten suponer que los poemas fueron escritos en los asentamientos griegos de la costa oeste de Asia Menor, hacia el siglo IX a.C.

LA ILIADA

Las dos epopeyas narran hechos legendarios que supuestamente ocurrieron muchos siglos antes de la época en que fueron escritas. La Iliada se sitúa en el último año de la guerra de Troya, que constituye el telón de fondo de su trama. Narra la historia de la cólera del héroe griego Aquiles. Insultado por su comandante en jefe, Agamenón, el joven guerrero Aquiles se retira de la batalla, abandonando a su suerte a sus compatriotas griegos, que sufren terribles derrotas a manos de los troyanos. Aquiles rechaza todos los intentos de reconciliación por parte de los griegos, aunque finalmente cede en cierto modo al permitir a su compañero Patroclo ponerse a la cabeza de sus tropas. Patroclo muere en el combate, y Aquiles, presa de furia y rencor, dirige su odio hacia los troyanos, a cuyo líder, Héctor (hijo del rey Príamo), derrota en combate singular. El poema concluye cuando Aquiles entrega el cadáver de Héctor a Príamo, para que éste lo entierre, reconociendo así cierta afinidad con el rey troyano, puesto que ambos deben enfrentarse a la tragedia de la muerte y el luto.

LA ODISEA

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La Odisea narra el regreso del héroe griego Odiseo de la guerra de Troya. En las escenas iniciales se relata el desorden en que ha quedado sumida la casa de Odiseo tras su larga ausencia. Un grupo de pretendientes de su esposa Penélope está acabando con sus propiedades. A continuación, la historia se centra en el propio héroe. El relato abarca sus diez años de viajes, en el curso de los cuales se enfrenta a diversos peligros, como el cíclope devorador de hombres, Polifemo, y a amenazas tan sutiles como la que representa la diosa Calipso, que le promete la inmortalidad si renuncia a volver a casa. La segunda mitad del poema comienza con la llegada de Odiseo a su isla natal, Ítaca. Aquí, haciendo gala de una sangre fría y una paciencia infinitas, pone a prueba la lealtad de sus sirvientes, trama y lleva a efecto una sangrienta venganza contra los pretendientes de Penélope, y se reúne de nuevo con su hijo, su esposa y su anciano padre.

IMPORTANCIA DE SU OBRA

El merito de Homero no esta en la creación de los argumentos, ya que estos fueron tomados de leyendas muy conocida de su época, si no en el bello lenguaje que emplea para relatarlos. A lo largo de la obra se suceden poéticas descripciones y hábiles recursos con los que Homero da vida a sus personajes. El mas conocido de estos recursos es el empleo de los epítetos con los que acompaña los nombres de sus protagonistas: Aquiles, el de los pies ligeros; odiseo, el destructor de las ciudades, atenea, la de los ojos de lechuza, etc.

Además, sus personajes son recordados a través de los siglos porque son profundamente humanos: sufren pasiones encendidas, odio y venganza, pero también actúan con lealtad, sienten amor y nostalgia y aceptan las limitaciones que les son impuestas por unos seres superiores: los dioses.

SOFOCLES

Sófocles nació en Colono Hípico (hoy parte de Atenas) alrededor del año 496 a.C. Hijo de Sofilo, un acomodado fabricante de armaduras, Sófocles recibió la mejor educación aristocrática tradicional. De joven fue llamado a dirigir el coro de muchachos para celebrar la victoria naval de Salamina en el año 480 a.C. En el 468 a.C., a la edad de 28 años, derrotó a Esquilo, cuya preeminencia como poeta trágico había sido indiscutible hasta entonces, en el curso de un concurso dramático. En el 441 a.C. fue derrotado a su vez por Eurípides en uno de los concursos dramáticos que se celebraban anualmente en Atenas. Sin embargo, a partir del 468 a.C., Sófocles ganó el primer premio en veinte ocasiones, y obtuvo en muchas otras el segundo. Su vida, que concluyó en el año 406 a.C., cuando el escritor contaba casi noventa años, coincidió con el periodo de esplendor de Atenas. Entre sus amigos figuran el historiador Herodoto y el estadista Pericles. Pese a no comprometerse activamente en la vida política y carecer de aspiraciones militares, fue elegido por los atenienses en dos ocasiones para desempeñar una importante función militar.

SUS TEMAS Y PERSONAJES

Lo mas importante para Sófocles era el estudio del alma humana. Sus personales son seres humanos sacudidos por hondas pasiones (el sufrimiento, la traición, la venganza, el deshonor, etc) y agitados por un destino que no pueden controlar con su voluntad.

Sófocles no se muestra ajeno al sufrimiento de los hombres sino que los expone con dramática claridad.

Uno de los aspectos más interesantes del estilo de Sófocles es la presentación de la psiquis de los personajes. El conflicto trágico en Sófocles no es el carácter absoluto, es decir, no se plantea en función del cumplimiento de un destino inexorable, sin o que surge el interior del alma humana como

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una contraposición entre el sujeto y el mundo. En este sentido, los conflictos de las tragedias de Sófocles tiene una dimensión muy interesante. Esta forma básica del conflicto será retomada siglos después en otros géneros típicamente modernos tales como la novela y el drama

LITERATURA ROMANA

LA INFLUENCIA GRIEGA

A la llegada de los conquistadores romanos, Grecia ya había alcanzado el punto más alto de sus logros culturales e iniciaban la decadencia. Los romanos, entusiasmados por una cultura muy superior a la suya, empezaron por copias los modelos griegos de la arquitectura y escultura. Es así como construyeron templos con columnas y frontis, y también esculpieron retratos realistas al estilo griego.

Incluso la mitología griega se trasladó al mundo romano con ligeras modificaciones: cambiaron los nombres de los dioses, pero no las virtudes y poderes que los caracterizaba.

Esta adaptación del mundo griego sirvió como fundamento para el florecimiento de las formas artísticas de expresión al interior del imperio.

En cuanto a la literatura, los romanos se esforzaron por adaptar a su lengua, el latín, los modelos griegos del teatro, la poesía épica y la lírica. Por eso la literatura romana se considera una prolongación de la griega, pero revitalizada con la energía y la lengua del joven pueblo romano.

PRINCIPALES PERIODOS DE LA LITERATURA LATINA

La literatura anterior a la conquista de Grecia era bastante rudimentaria. No existían aun los tres géneros literarios clásicos (épica, lírica y teatro) y consistía en pequeñas composiciones poéticas denominadas carmina que se interpretaba en los actos públicos y en las ceremonias religiosas.

SIGLO III Y II a. de C.: EL FLORECIMIENTO DEL TEATRO

El natalicio de la literatura latina suele ubicarse en el año 240 a. de. C. Ese año, los magistrados romanos encargaron al Livio Andrónico, un esclavo griego, que tradujera y adaptara una comedia y una tragedia griegas para ofrecerlas al pueblo romano como un espectáculo más de los juegos públicos. El éxito determinó que desde entonces la representación de este tipo de obras se hiciera habitual.

Pero el teatro romano tenía un objetivo muy diferente al del teatro griego: no pretendía la catarsis o purificación de las pasiones, sino que era un espectáculo más, como el circo , cuyo fin era divertir y hacer reír al público.

Esto se debe fundamenta a que en el alma romana no existía una conciencia clara del valor ritual que para los griegos tenían las representaciones dramáticas: la puesta en escena de los acontecimientos vividos por los personajes no tenía un sentido trascendental sino que se contemplaba desde el exterior, sin lograr la identificación que provocaba la catarsis.

Por eso, los romanos prefirieron la comedia a la tragedia; y en especial, l presentación de la costumbres situaciones amorosas y de la vida diaria, con presencia de los “personajes tipo” y que culminaba con un final feliz.

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LA EPOCA DE AUGUSTO: LA EDAD DE ORO DE LA POESIA LATINA

A diferencia de la poesía griega, compuesta para ser recitada o cantada, la romana fue creada para ser leída y difundida a través de un manuscrito.

La poesía latina vivió sus momentos mas fructíferos y brillantes durante la época del emperador augusto (de finales del siglo I a. de c. A principios del silgo I d. de. c.) ello se debió en gran parte al propio augusto y también a su ministro mecenas, quienes dieron considerable protección a los escritores de la época, tanto épicos como líricos.

LA EPICA: las epopeyas griegas despertaron en los romanos deseos de tener una poesía épica nacional, que explicara los orígenes de roma. Entonces Virgilio, poeta romano emprendió la tarea de escribir la eneida. En esta obra se ubican los orígenes de roma en el admirado mundo griego.

LA LIRICA: durante siglos, los poetas latinos se esforzaron para crear una lengua poética tan rica y expresiva como el griego; pero sus versos no conseguían la gracia y la musicalidad de los versos escritos de la lengua griega. En la poesía lírica, este esfuerzo culmino en el siglo I a de c. Con Virgilio y Horacio, inspirándose en los poetas griegos, lograron una poesía lírica propiamente latina y de plenitud.

Las obras de estos poetas son, hasta hoy pieza maestra de la literatura universal.

AUTORES

VIRGILIO

próximo a Mantua. Su padre era un humilde campesino. Virgilio estudió en profundidad las literaturas griega y romana, además de retórica y filosofía, en Cremona, Mediolanum (hoy Milán), Roma y Nápoles. Gracias a la protección del político romano Cayo Mecenas, Virgilio se vio libre de preocupaciones económicas y pudo entregarse plenamente al estudio y a la literatura. Pasó la mayor parte de su vida en Nápoles y Nola, y entre sus amigos más íntimos figuran su protector y mecenas, Octavio, que más tarde se convertiría en el emperador Augusto, y muchos eminentes poetas, como Horacio y Lucio Vario Rufo. En el año 19 a.C. emprendió un viaje por Grecia y Asia, con la intención de revisar su obra maestra, la Eneida, prácticamente terminada para entonces, y dedicar el resto de su vida al estudio de la filosofía. En Atenas, se reunió con Augusto y regresó con él a Italia. Virgilio enfermó antes de embarcar y murió poco después de su llegada a Brindes (hoy Brindisi). En su lecho de muerte, Virgilio ordenó a Augusto que destruyera la Eneida; sin embargo, el poema fue revisado y publicado por Vario Rufo y Plotio Tuca.

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