Guia de Material Basico Para Trabajar Con Fracciones Comunes4

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GUIA DE MATERIAL BASICO

PARA TRABAJAR CON FRACCIONES COMUNES.

FRACCIONES COMUNES

M. Luca Briones P. Profesora de Matemticas. Universidad de Chile.

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FRACCIONES COMUNES. conocimientos previos indispensables para operar con fracciones.

MULTIPLICACIN Y MLTIPLOS.

Recuerda que el conjunto de los nmeros Naturales es { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8. 9. 10. 11.....} Si queremos obtener los mltiplos de un nmero cualquiera, basta con multiplicar dicho nmero , por cada uno de los naturales. Ej: Queremos obtener los mltiplos de 2 y tambin los de 7. Hacemos lo siguiente: 2 x 1 = 2 7 x 1 = 7 2 x 2 = 4 7 x 2 = 14 2 x 3 = 6 7 x 3 = 21 2 x 4 = 8 7 x 4 = 28 2 x 5 = 10 7 x 5 = 35 2 x 6 = 12 7 x 6 = 42 2 x 7 = 14 7 x 7 = 49 2 x 8 = 16 7 x 8 = 56 2 x 9 = 18 7 x 9 = 63 2 x 10 = 20 7 x 10 = 70 2 x 11 = 22 7 x 11 = 77 2 x 12 = 24 7 x 12 = 84 ................... .................... Y as podemos seguir hasta infinito. Ejercicios: Completa con el nmero pedido en cada caso.

1) Mltiplos de 6, mayores que 10 y menores que 25

2) Mltiplos de 3 , mayores que 19 y menores que 28

3) Mltiplo de 7 , menor que 30 y mayor que 21

4) El cuarto mltiplo de 5

5) Mltiplos de 4 mayores que 54 y menores que 66

6) 3 veces el cuarto mltiplo de 8

7) Dos veces el mltiplo de 2 , mayor que 2 y menor que 6

8) El mltiplo de 10 entre 990 y 1.010, disminuido en 999

9) Escribe los mltiplos de 12 menores que 120

10) Escribe los mltiplos de 5 menores que 50

3

11) Los mltiplos de 7 menores que 60

12) Los mltiplos de 10 entre 50 y 100.

MINIMO COMUN MLTIPLO.( M.C.M )

A que se llama mnimo comn mltiplo? Imagina que queremos saber cul es el M.C.M. entre los nmeros 8 y 12- Escribimos los mltiplos de 8 y en otra fila, los mltiplos de 12, hasta 80 por ejemplo. Vemos los que se repiten y los marcamos. M8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80 M12 = 12,24, 36, 48, 60, 72 Escribimos en una nueva linea los que se repitieron. Mltiplos Comunes = 24, 48, 72 y ahora hemos destacado el ms pequeo de todos ellos que es el 24. Ese es el Mnimo Comn Mltiplo. Pero ese mtodo se usa slo para explicar de dnde proviene, dado que existe otra forma que llamaremos Forma Prctica y que veremos a continuacin. Ejemplo: Calcular el M.C.M. entre 15 y 25. 15 - 25 3 5 - 25 5 M.C.M. = 3 x 5 x 5 = 75 1 - 5 5 1 Calcula el Mnimo Comn Mltiplo de cada grupo de Nmeros: 1) 8, 6 y 12 2) 16 y 24 3) 12 y 16 4) 9, 27 y 54 5) 16 y 24 6) 10,15 y 150 7) 30 y 45 8) 4, 20 y 32 9) 25 y 100 10) 6, 30 y 45

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Resolver los siguientes problemas: Un avin viaja a U.S.A. cada 10 das y otro cada 15 das. Si ambos salen juntos el da 05 de Agosto.Cul es la fecha siguiente en la que ambos volvern a salir juntos? Clculos Respuesta La moto de Diego se llena con Bencina cada 5 das y la de Alonso cada 7 das. Si el Lunes llenaron ambos estanques. Dentro de cuntos das coincidirn nuevamente? Clculos Respuesta

FACTORES O DIVISORES Y MLTIPLOS.

Recuerda que si multiplicamos una pareja de nmeros, ellos se llaman factores y el resultado de la multiplicacin se llama producto. Podemos multiplicar muchos nmeros, pero siempre de dos en dos, por lo cual la operacin multiplicacin se dice que es binaria Ejercicios: Expresa cada uno de los siguientes nmeros como producto de dos factores, en que alguno de ellos no sea 1. 1.- 18 2.- 24 3.- 36 4.- 1 5.- 100 6.- 120 7.- 245 8.- 300

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Escribe los primeros 8 mltiplos de cada uno de los nmeros siguientes: 1.- Mltiplos de 5 = { 2.- Mltiplos de 8 = { 3.- Mltiplos de 11 = { Recuerda que el M.C.M. de dos o ms nmeros, corresponde al menor de los mltiplos comunes de dichos nmeros. Ejercicios: Calcular el M.C.M. de los siguientes nmeros: 1.- 4 y 8 2.- 5 y 20 3.- 12 y 48 4.- 7 y 5

Problemas.-

1.- Una alumna necesita comprar la misma cantidad de papel lustre en colores amarillo y verde. Si el papel amarillo viene en paquetitos de 6 unidades y el papel verde en otros de 4 unidades Cul es la menor cantidad de papel lustre que puede comprar? 2.- La doctora Leticia le da a Alonso la siguiente receta. Cada 8 horas tomar el anti- inflamatorio, cada 6 horas el analgsico y cada 4 horas el jarabe para la tos. Si Alonso comienza a tomar los tres remedios a las 14 horas, A qu hora volver a tomar los tres remedios juntos?

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3.- Si Diego visita a su ta cada 15 das y su hermana Vernica la va a ver cada 20 das y ambos fueron juntos el da Mircoles, En cuntos das ms se volvern a encontrar donde la ta? 4.- Alejandro tiene un negocio en el cual vende tortas y pasteles. Una bandeja de 6 dulces chilenos, tiene un valor de $ 1.200. Si vendi en un da 32 de estas bandejas Cunto dinero reuni con esta venta? 5.- Un mueble del dormitorio tiene 5 cajones. En cada cajn hay guardadas 12 camisas y cada camisa tiene 8 botones. Cuntos botones hay en cada cajn? 6.- Una fotocopiadora saca 10 fotocopias por minuto. Qu clculo hay que hacer para saber cuntas fotocopias se sacan en 5 minutos? a) 10 + 5 b) 10 x 5 c) 10 x 1 + 5 d) 10 x 5 + 1 7.- Cuntas tenidas diferentes se pueden hacer con 3 blusas y 4 pantalones distintos? a) 7 b) 12 c) 14 d) 34 8.- En la casa de Francisco compraron 3 juegos de loza para 4 personas a $ 9.990 c/u, 4 sets de 6 vasos a $ 1.490 c/u y 2 juegos de cuchillera para 6 personas a $ 14.990. Si pagaron con 14 billetes de $ 5.000, Cunto dinero les sobr?

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Piensa cuidadosamente:

a) Qu datos son importantes para resolver el problema? b) Qu operaciones vas a realizar para encontrar la solucin?

c) Cul es la respuesta al problema?

DIVISIBILIDAD DE LOS NUMEROS. Un nmero es divisible por 2 si termina en cifra 0 o par.- Ej: 2346 ; 36980 Un nmero es divisible por 3 si la suma de sus dgitos es mltiplo de 3; Ej 3963+9+6= 18 Un nmero es divisible por 4 si sus dos ltimas cifras son mltiplos de 4; Ej: 4520 y 8700 Un nmero es divisible por 5 si termina en 5 o en 0 Ej: 3795 y 2580 Un nmero es divisible por 6, si lo es por 2 y por 3 a la vez Ej: 4592364 Un nmero es divisible por 8, si sus 3 ltimas cifras son mltiplos de 8: Ej. 523.816 Un nmero es divisible por 9 si la suma de sus cifras es mltiplo de 9. Ej. 981 9 + 8 + 1= 18 Un nmero es divisible por 10 si termina en 0 Ej: 2850 y 4500 Un nmero es divisible por 25 si termina en 00 ; 25; 50; o 75 Ejercicios:

2 3 4 5 6 8 9 10 25 376.200

283.425

183.624

453.645

124.680

657.428

8

NUMEROS PRIMOS.

1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 22 23

8 9 10 11 12 13 14 18 19 110 111 112 113 114 24 33 25 26 27 34

15 16 17 18 19 20 21 115 116 117 118 119 120 121 3 5 2 8 2 9 210 3 7 4 4 3 6 4 5

22 23 24 25 26 27 28 1 22 1 23 1 24 1 25 1 26 1 27 1 28 2 11 2 12 5 5 2 13 3 9 2 14 3 8 4 7 4 6 4 7

29 30 31 32 33 34 1 29 1 30 1 31 1 32 1 33 1 34 2 15 2 16 3 11 2 17 3 10 4 8 5 6 NUMEROS PRIMOS: son los que slo son divisibles por 1 y por s mismos, o sea por slo 2 factores distintos. ( Por eso el 1 no es primo, porque sus factores son iguales: Factores primos entre s: son aquellos que no tienen ningn factor comn, fuera del 1. Ejemplos: 8 y 15 ; 10 y 27 ; 14 y 36. 1 8 1 15 1 10 1 27 1 14 1 36 2 4 3 5 2 5 3 9 2 7 4 9

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MXIMO COMN DIVISOR ( M.C.D.-

Cul es el Mximo Comn Civisor entre 18 y 12? Formemos los conjuntos de divisores de cada nmero:

18 12 1 18 1 12 2 9 2 6 3 6 3 4

D18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } Se repiten { 1, 2, 3, 6 } y el mayor de ellos es el 6 = M.C.D. D12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } Es el ms grande de los divisores comunes. Forma prctica: Se va descomponiendo cada nmero en sus factores primos como un arbolito.

18 12 2 9 2 6

2 3 3 2 2 3 2 32 22 3

2 3 = 6 M.C.D. Se multiplican las potencias de igual base que tienen menor exponente que nos resulten en cada descomposicin.-

Calcular el M.C.D. entre: 36 y 24 42 y 63

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FRACCIONES COMUNES.-

La primera fraccin representa el disco entero, o sea un entero. Vamos a colorear y a completar los nombres de los dems discos, que representarn respectivamente : la mitad o un medio ( ); la tercera parte o 1 ; la cuarta parte o ( ) laquinta parte 3 o 1 ; etc. 5 Para obtener 1 tendramos que dividir el disco en 6 partes iguales y tomar unaparte. 6 Si se divide un entero, por ejemplo una torta en 4 partes iguales , ya vimos que cada parte

es 1 . Eligiendo 3 de estas partes, obtenemos tres cuartos ( ) . 4 Definicin: ( 3 ) son 3 partes de un entero que se ha dividido en 4 partes iguales. 4 Una fraccin se compone de dos trminos:

3 Numerador 4 Denominador

El denominador indica el nmero de partes iguales en que se ha dividido el entero. El numerador seala cuntas de esas partes se han elegido. DEF,.FRACCIONES PROPIAS: son aquellos menores que el entero ( Su numerador es menor que el denominador). Ej: 1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 45 ; 89 ; ............ En la figura 2 3 6 10 100 128 pinta DEF.- FRACCIONES IMPROPIAS.- Son aquellas mayores o iguales al entero. (Su numerador es mayor o igual al denominador)

1

11

Ej.- 5 ; 9 ; 15 ; 3 ; 164 ; 9 ;.................. 2 4 8 3 23 9 La figura siguiente, representa 5 2 DEF.- NUMEROS MIXTOS.- Son los que estn compuestos de un entero y una fraccin propia.- Ej.- .- 1 3 15 14 4 2 10 20 100 9 Transformar un nmero mixto a fraccin impropia.- Ej.- 3 4 1 entero = 4 1 entero = 4 3 En total vemos 11 4 4 4 4 Es decir: El nmero mixto 3 es equivalente a la fraccin impropia 11 . 4 4 Forma prctica de efectuar la transformacin:

Se multiplica el entero por el denominador y a ese producto se le suma el numerador.

Se conserva el mismo denominador que tena la fraccin acompaante. Ejercicios; Transformar a fraccin impropia: 1 9 1 5 14 3 2 10 2 6 1100 5

Transformar una fraccin impropia a nmero mixto.-

10 = 1 10 : 3 = 3 3 3 1 Se divide el numerador por el denominador, quedando como indica el ejemplo.

3 8 14 10 25

2

2

3 8 1 4 9

3

12

Ejercicios: Transformar a nmero mixto.- 36 28 130 220 45 150 89 14 10 15 5 9 13 17 100 5 91 48 1243 346 96 16 2 7 12 251 23 3

AMPLIFICACIN DE FRACCIONES.- DEF: Amplificar una fraccin es multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo nmero sin que cambie su valor. Ejemplos: Amplificar la fraccin 3 por 2, 3, 4, 6, 10. 4 3 2 = 6 3 3 = 9 3 4 = 12 3 6 = 18 4 2 8 4 3 12 4 4 16 4 6 24 3 10 = 30 Con las fracciones amplificadas se puede formar un 4 10 40 Conjunto de fracciones equivalentes.- 3 = 6 = 9 = 12 = 18 = 30 =........................... 4 8 12 16 24 40 Ejercicios: Amplificar por 3, 5, 7, 9, las fracciones 2 , 5, 9 . En el espacio que sigue. 3 7 11

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SIMPLIFICACIN DE FRACCIONES.-

DEF.-Simplificar una fraccin es dividir tanto el numerador como el denominador por un mismo nmero, sin que cambie su valor. (Debe encontrarse el nmero que est contenido exactamente en ambos trminos ) (Ver divisivilidad de los nmeros ).-

Ejemplos.- Simplificar 36 ( Se puede slo por 2, 3, 4, 6, 12. Por eso el conjunto es finito ) 48 36 : 2 = 18 36 : 3 = 12 36 : 4 = 9 36 : 6 = 48 : 2 24 48 : 3 16 48 : 4 12 48 : 6 36 : 12 = 3 Con las fracciones simplificadas se puede formar un conjunto de 48 : 12 4 Fracciones equivalentes 36 = 18 = 12 = 9 = 6 = 3 48 24 16 12 8 4 Ejercicios: Simplificar dejando la fraccin en su mnima expresin.- 27 12 30 20 49 50 1 45 15 36 55 56 60 2 72 33 24 21 16 30 2 80 77 32 28 48 45 4

EJERCICIOS DE APLICACIN.

Unidad de Fracciones ( bsicas) Recuerda.

Obtenemos una fraccin despus de haber dividido el entero en partes iguales y tomar alguna (s) de ella (s).

FRACCIONES PROPIAS.

Son aquellas menores que el entero, es decir , su numerador es menor que el denominador.

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Ejemplos: 3 ; 7 ; 85 ; 94 ; 138 5 9 90 100 425

FRACCIONES IMPROPIAS.-

Son aquellas mayores o iguales al entero; es decir su numerador es mayor o igual al denominador. Ejemplos: 7 11 43 96 278 4 11 21 96 100 Las fracciones son nmeros de la forma a , en que b es de 0 b b es el denominador y nos indica en cuantas partes se ha dividido el entero a es el numerador y nos indica cuantas partes del entero se han tomado.

Ejercicios:

1) Inventa 4 fracciones propias y represntalas (Haciendo las divisiones y pintando)

2) Inventa 4 fracciones Impropias y represntalas:

15

3) 3 fracciones que representen al entero cuyo denominador sea de 1

4) 3 fracciones que representen al entero , cuyos denominadores sean 3 y sus mltiplos

5) 3 fracciones que representen al entero, cuyo denominador sea 5 y sus mltiplos Recordar: De toda fraccin impropia se obtiene un nmero mixto, es decir 1 entero acompaado de una fraccin. Ejemplos: 14 = 27 =

8 8 462 = 18 =

24 18

150 = 1720 = 23 56

749 = 4500 = 21 50

174 = 2848 = 32 24

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No olvidar: Entre el entero y la fraccin en un nmero mixto existe una adicin.

Ejemplos: 4 + = 2 + 9

5 + 6 + Expresar cada nmero mixto como fraccin impropia

233 =

574 =

356 =

798 =

569 =

345 =

137 =

470 =

FRACCIONES EQUIVALENTES. Son las fracciones que representan la misma parte de un entero. Estn situadas en

el mismo lugar de la recta numrica.

Para obtener una fraccin equivalente a otra dada, basta con amplificar o

simplificar la fraccin dada. Ejemplo:

Dada la fraccin 3 y amplificada por 4, obtenemos 3 4 = 12 entonces, 5 5 4 20 3 es equivalente con 12 5 20

5 7

7 9

8 19

6 15

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Otro ejemplo: Dada la fraccin 36 y simplificada por 12, obtenemos la fraccin 36 : 12 = 3 , 48 48 : 12 4 36 es equivalente con 3

48 4 Resuelve los siguientes problemas: a) En un curso hay 36 nios, 17 son morenos, 10 son castaos y 9 son rubios.

Qu fraccin del curso son morenos? Qu fraccin son castaos? Qu fraccin son rubios?

b) Roberto tiene 9 metros de gnero. Qu fraccin del gnero representa 1 m?

4 m? 5 m? 7 m? Escribe las fracciones? c) Luz quiere darle una galleta a cada uno de los compaeros de su curso. El

curso tiene 38 alumnos. Si cada paquete tiene 20 galletas Qu fraccin representa darle galletas a todo el curso? Qu tipo de fraccin es?

COMPARACION DE NMEROS FRACCIONARIOS.-

4 3 6 6

Las dos regiones estn divididas en 6 partes iguales. En la primera regin se han tomado 4 partes y en la segunda se han tomado 3 partes. Luego decimos : cuatro sextos es mayor que tres sextos y anotamos 4 >>>> 3

6 6

De dos nmeros fraccionarios que tienen el mismo denominador, es mayor el que tiene mayor denominador.

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3 VII Para cada una de las fracciones dadas, forma un conjunto con 4 fracciones equivalentes a ella. 1) 1

2 3 5 4 7 3 10 2) Completa el cuadrado para que sean fracciones equivalentes entre s. a) 3 = ___ b) 100 = ____ c) 4 = ____ 4 20 200 20 5 40 3) Usando dos enteros del mismo tamao, uno bajo el otro, muestra que 1 = 2

2 4

b) Muestra que 1 = 2 3 6

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3) En una recta numrica, ubica las siguientes fracciones: a) 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

2 2 2 2 2 2 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

b) 1 , 3 , 5 , 2 , 0 , 7 3 3 3 3 3 3 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | c) 3 , 8 , 0 , 1 , 5 4 4 4 4 4 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | d) 4 , 5 , 8 , 0 , 7 , 3 5 5 5 5 5 5 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Ejercicios.- Ubica en una recta numrica las siguientes fracciones: 1) 1 , 3 , 5 , 12 , 5 , 7 2 4 8 4 2 8 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

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2) 5 , 3 , 4 , 7 , 8 , 9 , 7 2 6 12 3 6 2 12 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Usa distintos colores y distinta longitud. Del ejercicio 2) vemos que 4

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Recordemos que existe otro mtodo para comparar fracciones son o no equivalentes cuando dos o decidir cual es mayor o cual es menor. ( Con este mtodo nos evitamos igualar los denominadores.

Ejemplo. (Colocar >>>> , > 10 3 >>>> 2

5 7 Vamos a comprobar igualando denominadores en los siguientes ejercicios: 3 >>>> 2 5 - 7 5

5 7 1 - 7 7 21 10 35 35 M.C.M.= 35

Ejercicios:

1) 3 2 6) 144 284

4 5 2) 5 2 7) 27 3 3 7 5 3 3) 1 3 8) 16 33 2 4 1 15 * 4) 2 10 9) 5 7 3 15 * 2 4 5) 13 26 * 10) 8 24 * 5 10 5 15 Notar que las fracciones que marcamos con * son equivalentes entre si. ( son iguales ). Por lo tanto: si y slo si

Dos fracciones son equivalentes entre si su producto cruzado es el mismo.

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a = c a d = b c , b d 0

b d Ejemplo: 2 = 10 2 15 = 30 3 15 3 10 = 30 Ejercicios: Compara los siguientes pares de fracciones y seala cual es mayor y cual menor.- a) 3 1 b) 2 3 c) 5 6 4 4 7 7 125 125 Transforma cada par de fracciones en fracciones equivalentes de igual denominador y Compralos poniendo dentro de la , los signos > , o ==== . a) 4 5 b) 1 1 c) 3 8 5 5 2 5 10 15 ___ ___ ___ ___ ___ ___ d) 5 3 e) 7 8 f) 4 5 12 8 32 28 18 16 ___ ___ ___ ___ ___ ___ Dentro del rectngulo, escribe el dgito o cifra que corresponda. 1) 3

5 56 5 2) 2

9 98 7

23

3) 1

2 24 3 4) 7

3 32 4 5) 9

5 54 5 6) 7

3 36 8 7) 1

2 29 8 8) 3

4 410 6 9) 1

2 28 3 10) 2

5 53 2 11) 8

5 54 5 12) 7

5 59 10 13) 1

7 73 14) 2

3 34 1

24

15) 23 310 5

16) 3

9 94 2 II.- Completa cada con ====, >>>>,

25

Ejercicios. 1) 3

26

2) 7

59

3) 9

45

4) 8

35

5) 10

88

6) 9

67 4) Ordena en forma CRECIENTE los elementos de este conjunto. Mtodo: 1.- Iguala en primer lugar los denominadores, buscando el M.C.M. 2.- Conviertes las fracciones en equivalentes y las comparas. 3.- Escribe las respuestas. A = { 3 , 1 , 3 , 1 } B = { 3 , 2 , 7 , 4 } 5 2 4 10 5 3 15 30 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ 5) Ordena en forma DECRECIENTE los elementos del conjunto dado. J = { 1 , 2 , 3 , 1 , 5 } K = { 3 , 1 , 13 , 7 , 3 } 6 3 4 3 12 4 2 8 16 2 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ____ ____ ____ ___ ___ ___ ___ ___ ___

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6) Ubica sobre la recta numrica 1 , 3 , 5 , 4 2 4 2 4 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 2 , 5 , 7 , 8 3 6 3 6 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 6) Resuelve cada operacin, pero antes recuerda: Para sumar fracciones de igual denominador, Sumas los numeradores y mantienes el mismo denominador. Ejemplos: 2 + 8 + 1 = 12 5 5 5 5

1 3 5 94 4 4 43 8 7 18

Para restar fracciones de igual denominador, restas los numeradores y mantienes el mismodenominador. Ejemplo: 2 - 1 = 1 3 3 3

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Ejercicios:

a) 4 + 2 + 15 = e) 2 3 85 5 54 7

9 3 18

b) 2 13 35 8 f) 9 - 5 + 7 - 5 =

2 2 2 2 d) 17 - 5 =

7 7

d) 15 - 8 + 11 = g) 324 1 52 28

4 4 4

1 35 54 2

Puedes restar los enteros, pero no puedes restar 1 - 3 por ahora 5 2 Tenemos 2 caminos para resolver el problema: 1.- Transformo ambos nmeros mixtos a fraccin impropia y resto. 21 - 13 = 8 5 5 5 No usaremos el 2 mtodo.

2.- Al minuendo 154 le quito 1 entero, transformado en quintos y se lo

agrego a 1 , entonces tu ejercicio se transforma as. 5

1 65 53 4 3 6 35 53 2 351

se suprime el 4 y queda

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Ejercicios:

a) 1 34 47 5

b) 2 5

7 78 3 c) 1 7

10 109 4 d) 2 4

7 75 3 e) 4 6

5 58 1 f) 1 2

3 34 2 5 g) 2 3 4

9 9 99 5 2 Ejercicios: Recordar.- Adicin y sustraccin de fracciones de = denominador. No olvidar: Tu respuesta debe quedar en la mnima expresin:

29

1) 3 + 2 + 7 = 2) 8 + 5 + 20 4 4 4

9 9 9

3) 5 + 8 + 7 + 4 = 12 12 12 12 4) 1 7

5 52 3 5) 1 4 7

5 5 56 2 3 6) 1 2 7

3 3 34 2 5 7) 4 3

7 73 2 8) 3 2

5 59 4

9 1 32 23 1

10) 2 3

5 54 1 11) 2 3 8

9 9 97 5 4 Recordar .- Adicin y sustraccin de fracciones con denominador. No olvidar que debemos igualar los DENOMINADORES ANTES de empezar la operacin. Para igualar denominadores usamos la tabla de los divisores primos que nos permite encontrar el M.C. M.

30

Una vez encontrado el M.C.M. se transforma cada fraccin del ejercicio a otra equivalente, cuyo denominador es el M.C.M. Luego se suman o restan los numeradores. Ejemplo: 4 - 3 = 16 - 9 = 7 3 - 4 2 3 4 12 12 12 3 - 2 2 3 - 1 3 1 Ejercicios: Sumarlos todos los de las dos columnas. 1 1 1 1 3 8 4 3 2 2 1 8 1 4 1 3 3 2 Restar a c/u de los elementos de arriba del cuadro, c/u de los de la izquierda. 1 1 1 1 8 6 5 4 3 8 5 3 3 5 4 7 Si a = 3 b = 2 c = 1 5 9 15 Calcula: a) a + b + c b) ( a + b ) c c) ( a c ) + b d) a ( b + c )

31

Calcula: a) 1 b) 3

4 25 6 c) 1 d) 1

9 37 7 e) 3 f) 3

4 712 18 Resuelve las operaciones combinadas: a) 7 3 1

16 8 4 b) 28 1 3

35 7 5 c) 10 3 1 5

16 8 12 8 d) 8 2 7

13 26 39 e) 12 1 17 3

25 5 25 50 f) 1 1 1 1

5 8 5 8 Problemas.-

1) Tengo 48 calugas. 5 de ellas las pienso comer. Calcula (planteando ) cuntas me 6 pienso comer, que fraccin de calugas me sobra y cuntas son.

32

2) Cunto ms pesado es el perro de Claudia ( 5 kg ) que el gato de Pedro ( 2 kg y125 gr)?

3) Cordel 1 mide 3 m. Cordel 2 mide m ms que cordel 1 y cordel 3 mide m

menos que cordel 1 . Calcula la longitud de cada cordel y luego responde: Si los unes, cunto falta o sobra para igualar la cuerda de Ignacio, que mide 25 m.

4) Marta trabaja 5 horas en la maana y 4 horas en la tarde. Cuntas horas trabaja al da?

5) Carolina compra una caja de lpices de colores. Ya le ha sacado punta a 3 de los

lpices Qu parte le queda por afilar? 4 6) En un autobs viajan 48 personas. del total van sentadas. Calcular cuntas

personas van sentadas y cuntas de pi. 7 ) Un nio pesa kg menos que su primo. El primo pesa 1 kg ms que su vecino. Su vecino pesa 24 kg. Cunto pesan los otros nios del problema?

33

Prueba Parcial de Matemticas.-

I Ubica sobre la recta numrica 3 y 5 . Usa colores diferentes. 2 4

II Completa lo pedido:

1) 3)

18 = 5 = 7 7 3

2)35 54

III Coloca , ==== segn corresponda: 1) 9 98

10 108 2) 4 32

3 24 3) 4 5

7 8 IV Ordena en forma decreciente: A = { 5 , 1 , 2 , 3 } Incluye proceso y escribe respuesta: 4 6 3 V Resuelve: 1) 1 3

5 57 2 2) 3 1

4 46 5

34

3) 4 5 55 3 15

4) 2 1

7 25 3 5) 1 2

6 38 4 VI Resuelve los siguientes problemas:

1) El perro de Roberto pesa 127 kg y el de Sofa pesa 3 kg ms que el perro de

Roberto. Cunto pesan entonces los dos? 4 2) Compras: 1 kg de salame y 250 gr de jamn.Es correcto afirmar que mi paquete pesa 375 grs Por qu? 3) Compras: 500 gr de pan; 2 kg de naranjas y kg de paltas. Nio A dice que para saber el peso de mi bolsa debo efectuar:

1 1 12 4 22

Nio B dice que para saber el peso de mi bolsa debo efectuar:

500 1 14 22

Elige quien tiene la razn y resuelve para saber el peso de mi bolsa. Clculos: Elijo el nio------- Respuesta. Lo hago:

35

MULTIPLICACION DE FRACCIONES.-

Vemos en el dibujo que la mitad de 1 del dibujo 1 3 6 es 1 del total, o sea 1 1 = 1

6 2 3 6 Representaremos 2 de 3 y comprobaremos que es igual a 6 3 5 15 Tengo 3 5 Representa la siguiente situacin: Roco tiene medio pan. De esa porcin decide regalar la 3 parte. Qu fraccin respecto del pancompleto es 1 de 1 ? 3 2 Equivale a 1 1 = 1 1 de 1

3 2 6 3 2

1 de pan 2

Me quedan 3 de una casata. Me comer los 2 de lo que queda. Qu fraccin del 5 3 entero mecomido?

Lo achurado doblemente representa 6 15 De todo el entero ya que 6 = 2

15 5

2 3 = 2 3 5 5

Ejercicios: Representa: a) 3 de 1 b) 2 de 1 c) 2 de 4 4 2 5 2 3 5

36

d) 1 de 1 * e) 3 de 2 = 2 2 3 5 3 5 Compara el ejmplo * con las respuestas que se dieron. Qu puedes concluir? Al comparar ambos ejercicios, vemos que se est cumpliendo la propiedad Conmutativade la multiplicacin en Q0

+ ( Racionales positivos incluyendo el 0). Todos los ejemplos representados graficamente, nos permiten concluir que:

Una fraccin de otra, es igual al producto de ambas. a de c = a c = ac a , c Q0+ , b d 0 b d b d bd b d Ejercicios: 1) 3 2 = 6 2) 2 4 1 = 8 5 7 35 3 5 3 45 3) 4 1 = 4) 4 1 10 = 3 9 7 2 3 5) 4 5 = 6) 2 1 3 = 7 3 3 2 4 Probaremos que la multiplicacin de fracciones es Asociativa.- 4 1 10 = 4 1 10 = 7 2 3 7 2 3 4 10 = 4 10 = 7 6 14 3 40 40

42 42 Atencin: 1 1 1 1 2 1 a) 3 2 = 1 b) 7 4 3 = 1 6 10 10 14 9 18 27 2 5 2 3 9 1

37

1 1 1 3 1 3 6 c) 4 18 = 1 d) 2 30 60 = 6 6 12 3 20 10 1 3 1 2 1

1 1

1 2 2 1

e) 10 16 50 = 2 8 25 100 5

1 5 2 1 Te diste cuenta cuantas simplificaciones se pueden hacer en una multiplicacin de fracciones para disminuir el trabajo? En esa forma te quedan slo nmeros chicos para multiplicar. Hazlo t lo mejor posible.

A) 3 2 = B) 7 4 3 = 6 10 14 9 18 C) 4 18 = D) 2 30 60 = 6 12 3 20 10 E) 10 16 50 = 8 25 100

Fracciones II ( bsicas ) Resolver los siguientes problemas:

Ejemplo: 2 7 2 143 1 3 37

38

1) 45 8

2) 7

104 3) 2 1

5 28 6 4) 1 1

4 53 2 5) 2 1

5 33 8 6) 2

76 3 7) 3 1

4 58 2 8) 3 2 9

4 6 5 9) 4 2 7 3

3 5 2 41 2 Ejercicios: 1) 3 15 1

5 24 24

39

2) 3 12 4

4 5 37 3) 2 10 3

5 4 55 1 Problemas:

1) Juan pesa 348 Kg. Su primo pesa el triple de Juan y su pap pesa 10

veces lo que pesa Juan.Cunto les falta entre los 2 nios para igualar el peso del pap? 2) Joaqun tiene 24 bolitas. Arnaldo tiene 36 bolitas y Agata tiene 28 bolitas.

Si Joaqun regala a Toms 1 de ellas, Arnaldo le regala 5 y Agata le regala 3 de las suyas: 6 9 4 Con cuntas bolitas se queda cada uno de los nios?

3) La mam de Camila compra 126 kg de naranjas. La mam de Pedro

compra el doble que la mam de Camila, y la mam de Paula compra la mitad de las naranjas que la mam de Pedro. Cuntos kg compran entre los 3?

Si el cajn de naranjas pesaba 3448 kg Cuntos kg hay an en el

cajn? Si el kg vale $ 300 Cunto paga cada mam?

40

DIVISION DE FRACCIONES.- ( bsicas )

Ejemplo.

a) Tenemos 1 li. de yogur para repartir entre 4 nios.Cunto le toca a cada nio? 2

Planteo: 1 : 4 = 1 : 4 = 1 1 = 1 2 2 1 2 4 8 Ejercicios: b) Y si se reparte entre 4 alumnos y un profesor? 1 : 5 = 1 : 5 = 1 1 = 1 2 2 1 2 5 10

b) Qu parte del litro de yogur le correspondera a cada uno si se reparte 2 de litro entre 9 nios? 5

ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO ( 1 ) 1 de un litro de leche = 1 1

2 2 2 de un kg de manjar = 2 1

3 3 Qu sucede cuando multiplicamos una fraccin por uno?-------------------------------- Recuerda que esta propiedad de la multiplicacin se llama elemento neutro multiplicativo Al existir el elemento neutro multiplicativo, es posible definir el elemento inverso Multiplicativo para cada fraccin. El inverso multiplicativo de 3 es 4 porque 3 4 = 1 1 ( neutro multiplicativo) 4 3 4 3 En general, el inverso multiplicativo de una fraccin cualquiera a es b pues a b = 1 b a b a La multiplicacin con respecto a la divisin son operaciones inversas. Al existir los Inversos Multiplicativos, la divisin se hace posible.

41

Ejercicios: 1) 3 litro : litro : 1

4 49 1 2) 3 litro : 1 7 kg : 2

5 2 8 3 3) litro : 1 litro : 1

4 51 1 4) litro : 1 kg : 1

8 81 2 5) metros : 1

83 Recuerda: 1 kg = 1.000 gr 1 kg = 500 gr 2 1 kg = 250 gr 1 kg = 125 gr 4 8 Problemas.

a) Con 1 kg de manjar Cuntas bolsitas de 125 gr se pueden regalar?

b) Con 5 kg de manjar Cuntas bolsas de 500 gr se obtienen? Para dividir 2 fracciones, la divisin se convierte a su operacin multiplicacin. Se multiplica la fraccin dividendo por el inverso multiplicativo de la fraccin divisor.

42

Ejemplo:

3 litro 2 3 5 15 74 5 4 2 8 81

En general: a N a = a fracciones Si a pertenece a los nmeros Naturales

1 entonces a pertenece a las fracciones. 1

Ejercicios: 1) 2 2

5 33 5 2) 1 1

3 44 2 3) 1 1

2 34 2 Problemas:

1) Mi gato pesa 341 kg El tuyo, 125 gr mas. Cunto pesan entre los dos?

2) Tengo 123 kg de azcar para envasarla en bolsas de 18 kg.Cuntas

bolsas obtengo?

3) En mi poder hay 3 cajas con las siguientes caractersticas.

La caja I pesa 342 kg.

La caja II pesa el doble que la caja I. La caja III tiene 1 del peso de la caja II. 5 Cunto pesan entre las tres?

43

4) Tengo 154 kg de dulces. Me regalan 12 kg ms. Me como 14 kg .

Cunto tengo ahora? A cuntos kg equivalen los dulces?

5) Tengo 100 calugas. Regalo los 2 a Florencia. Del resto, 1 se lo regalo a

Daniela. 5 3 Cuntas calugas regalo a Florencia? Cuntas a Daniela? Cuntas dejo para m?

Ejercicios de divisin de fracciones: ( Divide c/u de las de arriba por c/u de las que se encuentran al costado izquierdo del cuadro.

1 1 2 1 5 2 5 3 4 7 3 4 4 9

2 5 7 8 5 6

44

Encuentra el trmino que falta en cada operacin: Ejemplo.- a) x : 5 = 4 x = 4 5 = 20 13 9 9 13 117 b) 1 p = 3 x = 2 10 5 c) x 5 = 7 x =

8 10 d) 4 : y = 2 y = 3 7 e) q 15 = 30 q = 18 Otros ejercicios: a) 2 : 1 = x x = 3 4 b) 4 : x = 1 x = 5 2 c) x : 4 = 5 x = 7

d) 3 5

7 92 2 e) 5 1 1

18 3 33

45

Otros ejercicios. a) 2 1

3 66

10 113 41

1 110 384 2

3 17 212

PRUEBA DE MATEMTICAS.-

Resuelve los siguientes ejercicios:

1) 2 65 53

2) 5 3 96 4 10

III Si al doble de la suma de 1 5 le agregas 6, obtienes..............

4 6 Si al cuociente entre 4 1 le quitas 6 obtienes.......... 9 4 Si a la diferencia entre 5 1 la divides por 2, obtienes.................

3 2

46

Resuelve los siguientes problemas : Si se tienen 3 cajas, de las cuales:

La caja I pesa 124 kg

La caja II pesa el doble que la caja I La caja III pesa 5 kg ms que la caja 5

a) Calcular cuanto pesa cada una.

b) Cunto pesan entre las 3?

c) Cunto ms que la caja 2 pesa un cajn de 128 kg?

d) Cuntos gramos le faltan a la caja I para completar 346 kg?

Si una persona slo puede cargar 20 kg. Podr llevar las 3 cajas juntas?

47

SOLUCIONARIO.

48

MULTIPLICACIN Y MLTIPLOS.

Recuerda que el conjunto de los nmeros Naturales es { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8. 9. 10. 11.....} Si queremos obtener los mltiplos de un nmero cualquiera, basta con multiplicar dicho nmero , por cada uno de los naturales. Ej: Queremos obtener los mltiplos de 2 y tambin los de 7. Hacemos lo siguiente: 2 x 1 = 2 7 x 1 = 7 2 x 2 = 4 7 x 2 = 14 2 x 3 = 6 7 x 3 = 21 2 x 4 = 8 7 x 4 = 28 2 x 5 = 10 7 x 5 = 35 2 x 6 = 12 7 x 6 = 42 2 x 7 = 14 7 x 7 = 49 2 x 8 = 16 7 x 8 = 56 2 x 9 = 18 7 x 9 = 63 2 x 10 = 20 7 x 10 = 70 2 x 11 = 22 7 x 11 = 77 2 x 12 = 24 7 x 12 = 84 ................... .................... Y as podemos seguir hasta infinito. Ejercicios: Completa con el nmero pedido en cada caso.

13) Mltiplos de 6, mayores que 10 y menores que 25 = { 12, 18, 24 }

14) Mltiplos de 3 , mayores que 19 y menores que 28 = { 21, 24, 27 }

15) Mltiplo de 7 , menor que 30 y mayor que 21 = { 28 }

16) El cuarto mltiplo de 5 = { 20}

17) Mltiplos de 4 mayores que 54 y menores que 66 = { 56, 60. 64 }

18) 3 veces el cuarto mltiplo de 8 = 3 32 = 96

19) Dos veces el mltiplo de 2 , mayor que 2 y menor que 6 = 2 4 = 8

20) El mltiplo de 10 entre 990 y 1.010, disminuido en 999 = 1.000 999 1= 1

21) Escribe los mltiplos de 12 menores que 120 = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,108}

22) Escribe los mltiplos de 5 menores que 50 = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45}

49

23) Los mltiplos de 7 menores que 60 = { 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 }

24) Los mltiplos de 10 entre 50 y 100 = { 60, 70, 80, 90 }

MINIMO COMUN MLTIPLO.( M.C.M )

A que se llama mnimo comn mltiplo? Imagina que queremos saber cul es el M.C.M. entre los nmeros 8 y 12- Escribimos los mltiplos de 8 y en otra fila, los mltiplos de 12, hasta 80 por ejemplo. Vemos los que se repiten y los marcamos. M8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80 M12 = 12,24, 36, 48, 60, 72 Escribimos en una nueva linea los que se repitieron. Mltiplos Comunes = 24, 48, 72 y ahora hemos destacado el ms pequeo de todos ellos que es el 24. Ese es el Mnimo Comn Mltiplo. Pero ese mtodo se usa slo para explicar de dnde proviene, dado que existe otra forma que llamaremos Forma Prctica y que veremos a continuacin. Ejemplo: Calcular el M.C.M. entre 15 y 25. 15 - 25 3 5 - 25 5 M.C.M. = 3 x 5 x 5 = 75 Si alguno de los nmeros est contenido en

1 - 5 5 otro del grupo, no se toma en cuenta 1 Calcula el Mnimo Comn Mltiplo de cada grupo de Nmeros: 8 12 : 2 4 - 6 : 2 1) 8, 6 y 12 MCM = 24 2) 16 y 24 48 2 - 3 : 2 1 - 3 : 3 3) 12 y 16 48 4) 9, 27 y 54 54 1 M.C.M. 1) 5) 16 y 24 48 6) 10,15 y150 150 2223=24 7) 30 y 45 90 8) 4, 20 y 32 160 Los dems se hacen igual 9) 25 y 100 100 10) 6, 30 y 45 90 dividiendo slo por Nos.Primos

50

Resolver los siguientes problemas: Un avin viaja a U.S.A. cada 10 das y otro cada 15 das. Si ambos salen juntos el da 05 de Agosto.Cul es la fecha siguiente en la que ambos volvern a salir juntos? Clculos Respuesta 10 15 : 2 5 - 15 3 Volvern a salir juntos 5 - 5 5 1 - 1 el 5 de Septiembre 2 3 5 = 30 La moto de Diego se llena con Bencina cada 5 das y la de Alonso cada 7 das. Si el Lunes llenaron ambos estanques. Dentro de cuntos das coincidirn nuevamente? Clculos Respuesta 5 7 = 35 Coincidirn dentro de 35 das

FACTORES O DIVISORES Y MLTIPLOS.

Recuerda que si multiplicamos una pareja de nmeros, ellos se llaman factores y el resultado de la multiplicacin se llama producto. Podemos multiplicar muchos nmeros, pero siempre de dos en dos, por lo cual la operacin multiplicacin se dice que es binaria. Ejercicios: Expresa cada uno de los siguientes nmeros como producto de dos factores, en que alguno de ellos no sea 1. 1.- 18 2.- 24 3.- 36 4.- 14 2 9 2 12 2 18 2 7 3 6 3 8 3 12 4 6 4 9 5.- 100 6.- 120 7.- 245 8.- 300 2 50 2 60 5 49 2 150 4 25 3 40 7 35 3 100 5 20 4 30 4 75 10 10 5 24 5 60 6 20 6 50 8 15 10 30 10 12 15 20

51

Escribe los primeros 8 mltiplos de cada uno de los nmeros siguientes: 1.- Mltiplos de 5 = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.} 2.- Mltiplos de 8 = { 8, 16, 24, 32. 40, 48, 56, 64..} 3.- Mltiplos de 11 = { 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88} Recuerda que el M.C.M. de dos o ms nmeros, corresponde al menor de los mltiplos comunes de dichos nmeros. Ejercicios: Calcular el M.C.M. de los siguientes nmeros: 1.- 4 y 8 = 8 2.- 5 y 20 = 20 3.- 12 y 48 = 48 4.- 7 y 5 = 35

Problemas.-

1.- Una alumna necesita comprar la misma cantidad de papel lustre en colores amarillo y verde.Si el papel amarillo viene en paquetitos de 6 unidades y el papel verde en otros de 4 unidades Cul es la menor cantidad de papel lustre que puede comprar? 6 4 : 2 3 - 2 : 2 12 paquetitos 3 - 1 : 3 1 2.- La doctora Leticia le da a Alonso la siguiente receta. Cada 8 horas tomar el anti- inflamatorio, cada 6 horas el analgsico y cada 4 horas el jarabe para la tos. Si Alonso comienza a tomar los tres remedios a las 14 horas, A qu hora volver a tomar los tres remedios juntos?

52

8 6 4 : 2 4 - 3 : 2 Resp: Despus de 24 Horas = 2 - 3 : 2 1 - 3 : 3 A 14 horas del da siguiente.las 1 3.- Si Diego visita a su ta cada 15 das y su hermana Vernica la va a ver cada 20 das y ambos fueron juntos el da Mircoles, En cuntos das ms se volvern a encontrar donde la ta? 15 20 : 2 Resp: En 60 das ms, es decir, en 2 meses. 15 10 : 2 15 - 5 : 3 5 - 5 : 5 1 - 1 4.- Alejandro tiene un negocio en el cual vende tortas y pasteles. Una bandeja de 6 dulces chilenos, tiene un valor de $ 1.200. Si vendi en un da 32 de estas bandejas Cunto dinero reuni con esta venta? 1.200 32 = $ 38.400 5.- Un mueble del dormitorio tiene 5 cajones. En cada cajn hay guardadas 12 camisas y cada camisa tiene 8 botones. Cuntos botones hay en cada cajn? 12 8 En cada cajn hay 96 botones 96 6.- Una fotocopiadora saca 10 fotocopias por minuto. Qu clculo hay que hacer para saber cuntas fotocopias se sacan en 5 minutos? Resp: b a) 10 + 5 b) 10 x 5 c) 10 x 1 + 5 d) 10 x 5 + 1 7.- Cuntas tenidas diferentes se pueden hacer con 3 blusas y 4 pantalones distintos? a) 7 Resp: b) 12 c) 14 d) 34 8.- En la casa de Francisco compraron 3 juegos de loza para 4 personas a $ 9.990 c/u, 4 sets de 6 vasos a $ 1.490 c/u y 2 juegos de cuchillera para 6 personas a $ 14.990. Si pagaron con 14 billetes de $ 5.000, Cunto dinero les sobr?

53

Piensa cuidadosamente:

d) Qu datos son importantes para resolver el problema? e) Qu operaciones vas a realizar para encontrar la solucin?3 9.990 = 29.970

4 1.490 = 5.960 f) Cul es la respuesta al problema? 2 14.990 = 29.980

$ 65.910 14 5.000 = 7 0.000 = pago - 65.910 = gasto 4.090 = sobr

DIVISIBILIDAD DE LOS NUMEROS. Un nmero es divisible por 2 si termina en cifra 0 o par.- Ej: 2346 ; 36980 Un nmero es divisible por 3 si la suma de sus dgitos es mltiplo de 3; Ej 3963+9+6= 18 Un nmero es divisible por 4 si sus dos ltimas cifras son mltiplos de 4; Ej: 4520 y 8700 Un nmero es divisible por 5 si termina en 5 o en 0 Ej: 3795 y 2580 Un nmero es divisible por 6, si lo es por 2 y por 3 a la vez Ej: 4592364 Un nmero es divisible por 8, si sus 3 ltimas cifras son mltiplos de 8: Ej. 523.816 Un nmero es divisible por 9 si la suma de sus cifras es mltiplo de 9. Ej. 981 9 + 8 + 1= 18 Un nmero es divisible por 10 si termina en 0 Ej: 2850 y 4500 Un nmero es divisible por 25 si termina en 00 ; 25; 50; o 75 Rellenar cada cuadrito con SI o NO segn el N dado sea o no divisible por el rojo. Ejercicios:

2 3 4 5 6 8 9 10 25 376.200

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

283.425

NO SI NO SI NO NO NO NO SI

183.624

SI SI SI NO SI SI NO NO NO

453.645

NO SI NO SI NO NO SI NO NO

124.680

SI SI SI SI SI SI NO SI NO

657.428

SI NO SI NO NO NO NO NO NO

54

NUMEROS PRIMOS.

1 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 17 22 23

8 9 10 11 12 13 14 18 19 110 111 112 113 114 24 33 25 26 27 34

15 16 17 18 19 20 21 115 116 117 118 119 120 121 3 5 2 8 2 9 210 3 7 4 4 3 6 4 5

22 23 24 25 26 27 28 1 22 1 23 1 24 1 25 1 26 1 27 1 28 2 11 2 12 5 5 2 13 3 9 2 14 3 8 4 7 4 6 4 7

29 30 31 32 33 34 1 29 1 30 1 31 1 32 1 33 1 34 2 15 2 16 3 11 2 17 3 10 4 8 5 6 NUMEROS PRIMOS: son los que slo son divisibles por 1 y por s mismos, o sea por slo 2 factores distintos. ( Por eso el 1 no es primo, porque sus factores son iguales) Factores primos entre s: son aquellos que no tienen ningn factor comn, fuera del 1. Ejemplos: 8 y 15 ; 10 y 27 ; 14 y 36. 1 8 1 15 1 10 1 27 1 14 1 36 2 4 3 5 2 5 3 9 2 7 4 9

55

MXIMO COMN DIVISOR ( M.C.D.-

Cul es el Mximo Comn Civisor entre 18 y 12? Formemos los conjuntos de divisores de cada nmero:

19 12 1 18 1 12 2 9 2 6 3 6 3 4

D18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } Se repiten { 1, 2, 3, 6 } y el mayor de ellos es el 6 = M.C.D. D12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } Es el ms grande de los divisores comunes. Forma prctica: Se va descomponiendo cada nmero en sus factores primos como un arbolito.

19 12 2 9 2 6

2 3 3 2 2 3 2 32 22 3

2 3 = 6 M.C.D. Se multiplican las potencias de igual base que tienen menor exponente que nos resulten en cada descomposicin.- Calcular el M.C.D. entre: 36 y 24 42 y 63 6 6 4 6 6 7 9 7 32 32 2223 237 33 7 22 32 23 3 237 32 7 22 3 = 12 3 7 = 21

56

FRACCIONES COMUNES. La primera fraccin representa el disco entero, o sea un entero. Vamos a colorear y a completar los nombres de los dems discos, que representarn respectivamente : la mitad o un medio ( ); la tercera parte o 1 ; la cuarta parte o ( ) laquinta parte 3 o 1 ; etc. 5 Para obtener 1 tendramos que dividir el disco en 6 partes iguales y tomar una parte. 6 Si se divide un entero, por ejemplo una torta en 4 partes iguales , ya vimos que cada parte es 1 . Eligiendo 3 de estas partes, obtenemos tres cuartos ( ) . 4 Definicin: ( 3 ) son 3 partes de un entero que se ha dividido en 4 partes iguales. 4 Una fraccin se compone de dos trminos:

4 Numerador 5 Denominador

El denominador indica el nmero de partes iguales en que se ha dividido el entero. El numerador seala cuntas de esas partes se han elegido. DEF,.FRACCIONES PROPIAS: son aquellos menores que el entero ( Su numerador es menor que el denominador). Ej: 1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 45 ; 89 ; ............ En la figura 2 3 6 10 100 128 pinta

57

DEF.- FRACCIONES IMPROPIAS.- Son aquellas mayores o iguales al entero. (Su numerador es mayor o igual al denominador) Ej.- 5 ; 9 ; 15 ; 3 ; 164 ; 9 ;.................. 2 4 8 3 23 9 La figura siguiente, representa 5 2 DEF.- NUMEROS MIXTOS.- Son los que estn compuestos de un entero y una fraccin propia.- Ej.- .- 1 3 15 14 8 2 10 20 100 9 Transformar un nmero mixto a fraccin impropia.- Ej.- 3 4 1 entero = 4 1 entero = 4 3 En total vemos 11 4 4 4 4 Es decir: El nmero mixto 3 es equivalente a la fraccin impropia 11 . 4 4 Forma prctica de efectuar la transformacin:

Se multiplica el entero por el denominador y a ese producto se le suma el numerador. Se conserva el mismo denominador que tena la fraccin acompaante.

3 8 14 1

2

2

2

58

Ejercicios; Transformar a fraccin impropia: 1 9 1 5 14 3 2 10 2 6 1100 5

Transformar una fraccin impropia a nmero mixto.-

10 = 1 10 : 3 = 3 3 3 1 Se divide el numerador por el denominador, quedando como indica el ejemplo. Ejercicios: Transformar a nmero mixto.- 36 28 130 220 45 150 89 14 10 15 5 9 13 17

2 2 8 44 5 11 5 100 5 91 48 1243 346 96 16 2 7 12 251 23 3

2 13 4 4 15 32

AMPLIFICACIN DE FRACCIONES.- DEF: Amplificar una fraccin es multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo nmero sin que cambie su valor. Ejemplos: Amplificar la fraccin 3 por 2, 3, 4, 6, 10. 4 3 2 = 6 3 3 = 9 3 4 = 12 3 6 = 18 4 2 8 4 3 12 4 4 16 4 6 24 3 10 = 30 Con las fracciones amplificadas se puede formar un 4 10 40 Conjunto de fracciones equivalentes.- 3 = 6 = 9 = 12 = 18 = 30 =........................... 4 8 12 16 24 4

3 8 1 4 9

3

239

22 14

1 2

8 10

10 15

7 13

4 17

4 16 6

1 23

59

Ejercicios: Amplificar por 3, 5, 7, 9, las fracciones 2 , 5, 9 . 3 7 11 2 3 = 6 2 5 = 10 2 7 = 14 2 9 = 18 3 3 9 3 5 15 3 7 21 3 9 27 5 3 = 15 5 5 = 25 5 7 = 35 5 9 = 45 7 3 21 7 5 35 7 7 49 7 9 63 9 3 = 27 9 5 = 45 9 7 = 63 9 9 = 81 11 3 33 11 5 55 11 7 77 11 9 99

SIMPLIFICACIN DE FRACCIONES.-

DEF.-Simplificar una fraccin es dividir tanto el numerador como el denominador por un mismo nmero, sin que cambie su valor. (Debe encontrarse el nmero que est contenido exactamente en ambos trminos ) (Ver divisivilidad de los nmeros )

Ejemplos.- Simplificar 36 ( Se puede slo por 2, 3, 4, 6, 12. Por eso el conjunto es finito ) 48 36 : 2 = 18 36 : 3 = 12 36 : 4 = 9 36 : 6 = 6 48 : 2 24 48 : 3 16 48 : 4 12 48 : 6 8 36 : 12 = 3 Con las fracciones simplificadas se puede formar un conjunto de 48 : 12 4 Fracciones equivalentes 36 = 18 = 12 = 9 = 6 = 3 48 24 16 12 8 4 Ejercicios: Simplificar dejando la fraccin en su mnima expresin.- 3 4 5 4 7 5 27 12 30 20 49 50 1 45 15 36 55 56 60 2 5 5 6 11 8 6 9 3 3 3 1 2 1 72 33 24 21 16 30 2 80 77 32 28 48 45 4 10 7 4 4 3 3 2

60

EJERCICIOS DE APLICACIN.

Unidad de Fracciones ( bsicas) Recuerda: Obtenemos una fraccin despus de haber dividido el entero en partes iguales y tomar alguna (s) de ella (s).

FRACCIONES PROPIAS.

Son aquellas menores que el entero, es decir , su numerador es menor que el denominador.

Ejemplos: 3 ; 7 ; 85 ; 94 ; 138 5 9 90 100 425

FRACCIONES IMPROPIAS.-

Son aquellas mayores o iguales al entero; es decir su numerador es mayor o igual al denominador. Ejemplos: 7 11 43 96 278 4 11 21 96 100 Las fracciones son nmeros de la forma a , en que b es de 0 b b es el denominador y nos indica en cuantas partes se ha dividido el entero a es el numerador y nos indica cuantas partes del entero se han tomado.

Ejercicios:

1) Inventa 4 fracciones propias y represntalas (Haciendo las divisiones y pintando)

3 7 2 5 4 14 4 8

61

2) Inventa 4 fracciones Impropias y represntalas:

5 2

20 4

13 3

28 8

3) 2 fracciones que representen al entero cuyo denominador sea de 1

2 ; 4 2 4

5) 3 fracciones que representen al entero , cuyos denominadores sean 3 y sus mltiplos. 3 6 9 3 6 9

5) 3 fracciones que representen al entero, cuyo denominador sea 5 y sus mltiplos Ojo! Este es un caso que no se puede ejecutar Porque a las figuras no es posible dividirlas en partes iguales, por lo tanto no se puede formar una Fraccin. Recordar: De toda fraccin impropia se obtiene un nmero mixto, es decir 1 entero acompaado de una fraccin.

62

Ejemplos: = 1 = 3

= 18 = 1

= 6 = 30

= 34 = 90 = 5

No olvidar: Entre el entero y la fraccin en un nmero mixto hay una suma

6 + = 6 6 + = = 6

Expresar cada nmero mixto como fraccin impropia

233 =

574 =

798 =

569 =

12 25

5 9

3 8

8 19

6 15

11 3

33 7

79 9

59 6

23 4

27 8

14 9

462 25

4500 50

6 24

9 33

18 18

150 24

749 22

1 22

40 56

1720 56

174 33

8 19

6 15 15

63

345 =

137 =

470 =

FRACCIONES EQUIVALENTES. Son las fracciones que representan la misma parte de un entero. Estn situadas en

el mismo lugar de la recta numrica.

Para obtener una fraccin equivalente a otra dada, basta con amplificar o

simplificar la fraccin dada. Ejemplo:

Dada la fraccin 3 y amplificada por 4, obtenemos 3 4 = 12 entonces, 5 5 4 20 3 es equivalente con 12 5 20

Otro ejemplo: Dada la fraccin 36 y simplificada por 12, obtenemos la fraccin 36 : 12 = 3 , 48 48 : 12 4 36 es equivalente con 3

49 4 Resuelve los siguientes problemas: e) En un curso hay 36 nios, 17 son morenos, 10 son castaos y 9 son rubios.

Qu fraccin del curso son morenos? Qu fraccin son castaos? Qu fraccin son rubios? 17 morenos 10 castaos 9 rubios

36 36 36 f) Roberto tiene 9 metros de gnero. Qu fraccin del gnero representa 1 m?

4 m? 5 m? 7 m? Escribe las fracciones? 1 ; 4; 5; 7 9 9 9 9

22 3

4 7

64

g) Luz quiere darle una galleta a cada uno de los compaeros de su curso. El

curso tiene 38 alumnos. Si cada paquete tiene 20 galletas Qu fraccin representa darle galletas a todo el curso? Qu tipo de fraccin es?

Para que alcance para todo el curso debe abrir 2 paquetes, con lo cual tendra 40 galletas, de las cuales repartir 38. La fraccin sera 40 ( impropia )

38

COMPARACION DE NMEROS FRACCIONARIOS.-

4 3 6 6

Las dos regiones estn divididas en 6 partes iguales. En la primera regin se han tomado 4 partes y en la segunda se han tomado 3 partes. Luego decimos : cuatro sextos es mayor que tres sextos y anotamos 4 >>>> 3

6 6

De dos nmeros fraccionarios que tienen el mismo denominador, es mayor el que tiene mayor denominador.

Para cada una de las fracciones dadas, forma un conjunto con 4 fracciones equivalentes a ella. 4) 1 = 2 = 4 = 8 = 16

2 4 8 16 32 3 = 9 = 27 = 81 = 243 5 15 45 135 405 4 = 8 = 12 = 16 = 20 7 14 21 28 35 3 = 15 = 30 = 6 = 21 10 50 100 20 70

65

5) Completa el cuadrado para que sean fracciones equivalentes entre s. a) 3 = 15 b) 100 = 10 c) 4 = 32 4 20 200 20 5 40 3) Usando dos enteros del mismo tamao, uno bajo el otro, muestra que 1 = 2

2 4

b) Muestra que 1 = 2 3 6 6) En una recta numrica, ubica las siguientes fracciones: a) 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 0| 1 2 3 4 5

2 2 2 2 2 2 b) 1 , 3 , 5 , 2 , 0 , 7 3 3 3 3 3 3 0 1 2 3 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 0 2 3 5 7 3 3 3 3 3 c) 3 , 8 , 0 , 1 , 5 4 4 4 4 4 0 1 2 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 0 1 3 5 8 4 4 4 4 4

66

d) 4 , 5 , 8 , 0 , 7 , 3 5 5 5 5 5 5 0 1 2 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |___| 0 3 4 5 7 8 5 5 5 5 5 5 Ejercicios.- Ubica en una recta numrica las siguientes fracciones: no alcanza

1) 1 , 3 , 5 , 12 , 5 , 7 2 4 8 4 2 8 0 1 2 |___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___| 1 5 3 7 5 2 8 4 8 2 2) 5 , 3 , 4 , 7 , 8 , 7 , 7 2 6 12 3 6 2 12 0 1 0 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |___| | 4 3 7 8 12 12 6 12 6 2 3 |___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___|___| 7 5 7 3 2 2 Usa distintos colores y distinta longitud. Del ejercicio 2) vemos que 4

67

Ordena en forma decreciente: 3 , 1 , 1 , 5 2 4 2 4 0 1 2 3 4 5 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 1 5 3 4 2 4 2 Resumiendo: 3 ; 5 ; 1 ; 1 2 4 2 4 El conjunto de las fracciones positivas incluyendo el 0 ( Q+0 ) es un conjunto infinito y adems un conjunto ordenado, lo que significa que en este conjunto se pueden establecer las relaciones >>>> ( mayor que ) o > 3 >>>> 7 >>>> 8 10 - 2 - 5 - 1 : 2 2 4 10 20 5 - 1 - 5 : 5 1 - 1 - 1

M.C.M = 2 2 5 = 20

Recordemos que existe otro mtodo para comparar cuando dos fracciones son o no equivalentes o decidir cual es mayor o cual es menor. ( Con este mtodo nos evitamos igualar los denominadores).

Ejemplo. (Colocar >>>> , > 10 3 >>>> 2

5 7 Vamos a comprobar igualando denominadores en los siguientes ejercicios: 3 >>>> 2 5 - 7 5

5 7 1 - 7 7 21 10 35 35 M.C.M.= 35

Ejercicios: 17 34 4 8

68

1) 3 > 2 6) 144 284

4 5 34 34 15 8 8 8 20 20 2) 5 > 2 7) 27 > 3 3 7 5 3 35 6 81 15 21 21 15 15 3) 1 3 8) 16 33 2 4 1 15 * 2 3 240 33 4 4 1 15 4) 2 = 10 9) 5 > 7 3 15 * 2 4 10 10 10 7 15 15 4 4 5) 13 = 26 * 10) 8 = 24 * 5 10 5 15 26 26 24 24 10 10 15 15 Notar que las fracciones que marcamos con * son equivalentes entre si. ( son iguales ). Por lo tanto: si y slo si

Dos fracciones son equivalentes entre si su producto cruzado es el mismo.

a = c a d = b c , b d 0 b d Ejemplo: 2 = 10 2 15 = 30 3 15 3 10 = 30 Ejercicios: Compara los siguientes pares de fracciones y seala cual es mayor y cual menor.- a) 3 > 1 b) 2 < 3 c) 5 < 6 4 4 7 7 125 125

=

69

Transforma cada par de fracciones en fracciones equivalentes de igual denominador y Compralos poniendo dentro de la , los signos > , o ==== . a) 4 < 5 b) 1 > 1 c) 3 < 8 5 5 2 5 10 15 4 5 5 2 9 16 5 5 10 10 30 30 d) 5 > 3 e) 7 < 8 f) 4 < 5 12 8 32 28 18 15 10 9 49 64 20 30 24 24 224 224 90 90 Dentro del rectngulo, escribe el dgito o cifra que corresponda. 8 1) 3

5 56 5 11 2) 2

9 98 7 3 3) 1

2 24 3 1 4) 7

3 32 4 4 5) 9

5 54 5 1 6) 7

3 36 8 3 7) 1

2 29 8 19 8) 3

4 410 6 11

70

9) 12 28 3

7 10) 2

5 53 2

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Guia de Material Basico Para Trabajar Con Fracciones Comunes4