Guia de Proposiciones

7/25/2019 Guia de Proposiciones

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INSTITUCIN EDUCATIVA COLEGIO PUERTO SANTANDERResolucin de Reconocimiento No.9013 del 14 de Noviembre de 2014Decreto de Funcionamiento No.000861 del 30 de Se tiembre de 2002

D!N"# 2$4001004%61 N&'# 890$04234(1

Gua De Matemticas: Proposiciones Tema: Introduccin al CalculoResponsable: Magister Daro Antonio Roln

Daz

! Periodo

Reconocer y aplicar los conectores lgicos en distintas proposiciones formuladas. Resolver atravs de tablas de verdad la verosimilitud de distintas proposiciones. Resolver desafos queinvolucren los contenidos de lgica en su resolucin.

"ombre del #studiante$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$Grado!$$$$$$$

LOGICA MATEMATICA%

CONCEPTOS FUNDAMENTALES %&a &gica Matemtica es una RAMA ms de &A'MAT#MATICA' como lo son( por e)emplo( &aAritm*tica( #l Algebra( &a Geometra( etc%+ con suselementos propios de traba)o( con sus operacionesparticulares bien de,nidas - .ue solo son /lidasen su conte0to - con sus problemas espec,cos -.ue es lo .ue en con)unto caracteriza a cada unade ellas% &os elementos de traba)o de &a &gicaMatemticas( es decir( los entes matemticos conlos cuales - sobre los cuales /a a operar son lasPR1P1'ICI1"#'% &as proposiciones son a la &gicaMatemtica lo .ue los "aturales son a laAritm*tica+ los Racionales al Algebra+ las 2uncionesal Clculo( etc% -( al igual .ue en estos casos( lasproposiciones tienen su de,nicin( .ue es:

PROPOSICIN %3 #s toda 4rase u oracin .ue seutiliza en nuestro lengua)e de la cual se puededecir si es /erdadera 567 o 4alsa 527 #n general lasproposiciones se indican mediante las letrasmin8sculas a partir de la 9p ( por e)emplo:p: #l ; es un n8mero PAR%.: #l < es un n8mero PRIM1%r: #l


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>%3 'e represente mediante el smbolo 9 9 - selee como 9 o 9% As: p .: se lee como: 9p o . 9%;%3 #l resultado es 1TRA proposicin( caracterstica

eredada por ser una 1peracin Jinaria% :b7%3 p p ; :

c7%3 p=

p< :d7%3 p> p? :e7%3 p< p< :47%3 p p= :g7%3 p? p :

7%3 p= p? :i7%3 p ; pB :

)7%3 p? p< :

PR1JMA' D# &A &1GICA MAT#MATICA%&os problemas de la &gica Matemtica( en unaprimera instancia( son los RAK1"AMI#"T1' en sums pura acepcin% #s decir( no como un procesosimple de e/ocacin o de recuerdo( sino como unproceso JI#" estructurado( 4ormado porproposiciones en el .ue el resultado ,nal debe seralgo 8til para .ue tenga sentido%#s de todos sabido( - alguna /ez emos ec o usode tal recurso( .ue cuando .ueremos desacreditaro rec azar algo( el recurso inmediato es decir .ueese algo 9"1 TI#"# &1GICA % &o .ue esto signi,ca(desde el punto de /ista lgico( es .ue ese algo .ueestamos rec azando no puede soportar un procesoriguroso de anlisis lgico( ec o a partir - con losconocimientos .ue asumimos todos poseemos%#n todo caso( aceptar o rec azar el conocimiento.ue continuamente nos est llegando - ante elcual 4orzosamente tenemos .ue reaccionar implicanecesariamente un proceso de anlisis lgico mu-minucioso% 'olamente as estaremos en posibilidadde rec azar o aceptar como /erdadero talconocimiento% 2inalmente casi siempre talconocimiento est e0presado mediante unaproposicin%Por otro lado( puesto .ue la /erdad "1 es absoluta- menos la cotidiana( -a .ue su /alor se encuentracontaminado de alguna 4orma por el conte0toparticular de cada indi/iduo( aceptar o rec azar losconocimientos como /erdaderos muc as /ecesllega a ser una cuestin personal en la .ue losaspectos sub)eti/os son determinantes%2inalmente( - de acuerdo con los estudios de laconstruccin del conocimiento como el ,lso4oLant( solamente las /erdades .ue se e0traenmediante las matemticas son absolutas( por lotanto( - como el ttulo lo indica( los conocimientosde nuestro inter*s - los .ue ,nalmentemodelaremos sern 8nica - e0clusi/amente losconocimiento matemticos% #s decir( solamenteproposiciones .ue in/olucren conocimiento de lasmatemticas sern los .ue estudiaremos -e/entualmente /alidaremos%A ora bien( Cmo saber si un razonamiento escorrectoN% Dado .ue el resultado de unrazonamiento /a a estar e0presado mediante unaproposicin - esta proposicin /a a ser 4actible dee0presar mediante las operaciones lgicas(


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entonces( si la tabla de /erdad asociada a laoperacin es correcta( el razonamiento tambi*n loser desde el punto de /ista de la lgica%#s decir( toda e0presin de la lgica matemtica

.ue in/olucre proposiciones( con)unciones(dis-unciones -Oo negaciones representa unrazonamiento -( como -a lo emos mencionado( la/alidacin de tales operaciones se realizamediante la correspondiente tabla de /erdad( porlo tanto:

Toda conocimiento como resultado de unrazonamiento( debe ser e0presable mediante( lasoperaciones de la lgica matemtica( #s decir(toda e0presin de la lgica matemtica .uein/olucre proposiciones( con)unciones(dis-unciones -Oo negaciones representa unrazonamiento -( como -a lo emos mencionado( la/alidacin de tales operaciones se realizamediante la correspondiente tabla de /erdad( porlo tanto: n razonamiento ser /erdadero( si sutabla de /erdad tambi*n lo es independientementede los /alores de /erdad o 4alsedad de las

proposiciones in/olucradas en el( 5Razonamiento Tautolgico o tautologa7 ser 4also( si su tabla de/erdad tambi*n es 4alsa independientemente delos /alores de /erdad o 4alsedad de lasproposiciones in/olucradas en el( 5Razonamientocontradictorio o absurdo7 a ora .ue si su /alor de/erdad depende de las proposiciones( in/olucradasse dice .ue el razonamiento es contingente( Por loanteriormente dic o solamente los razonamientostautolgicos sern de nuestro inter*s% Pero: Cmopodemos modelar un razonamientoN% Para lograr loanterior es necesario identi,car( en primerainstancia( el razonamiento MA' elemental .ue

pueda e0istir% #sto signi,ca algo as comoidenti,car el razonamiento mnimo posible .ue sepueda dar% Tal razonamiento mnimo es laI"2#R#"CIA MAT#RIA& llamada tambi*nsimplemente in4erencia lgica( la cual se de,necomo:

I"2#R#"CIA MAT#RIA&%

Es la forma ms elemental que adopta unaRazonamiento en la Lgica Matemtica. Se de neentre DOS proposiciones !na" la primera" llamada

Antecedente o #iptesis $ otra" la segunda"%onsecuente o &esis. Dado que es la cone'in

entre DOS proposiciones entonces nos da comoresultado otra proposicin que ser ( si am)as son( o si el Antecedente es * independientemente del%onsecuente. Se representa mediante el s+m)olo ,

, $ se lee ,Si . . .Entonces . . . - as+ en lainferencia ,p q- la leemos Si p entonces q.

De acuerdo con la de,nicin anterior( tendremos lasiguiente Tabla de 6erdad .ue nos permite /alidaruna In4erencia%

#)emplo:Con las siguientes proposiciones constru-a lasIn4erencias .ue se piden% 6aldelas%p: ; - son n8meros pares%.: ; es un n8mero Par%a7%3 p .: 'i ; - son Pares( entonces ; esPar% 5 A F 6 - C F 6 6 7b7%3p .: 'i ; - "1 son pares entonces ;

es Par% 5 A F 2 - C F 6 6 7

c7%3 p .: 'i ; - son pares entonces ; "1 es par% 5 A F 6 - C F 2 2 7d7%3p .: 'i ; - "1 son pares entonces ;

"1 es par% 5A F 2 - C F2 67e7%3 . p: 'i ; es PAR entonces ; - sonpares% 5 A F 6 - C F 6 6 747%3 . p: 'i ; es PAR entonces ; - "1son pares% 5 A F 6 - C F 2 2 7%g7%3. p: 'i ; "1 es par entonces ; - son pares% 5 A F 2 - C F 6 6 7%

7%3. p: 'i ; "1 es par entonces ; - "1 son pares% 5A F 2 - C F2 67

EJERCICIOS No. %.Con las siguientes proposiciones constru-a lasIn4erencias .ue se piden% 6aldelas%p: < - B son n8meros impares%.: < 0 B es un n8mero impar%a7%3 p .:b7%3p .:c7%3 p .:d7%3p .:e7%3 . p:47%3 . p:g7%3. p:

7%3. p:

DE* / % O/Dos e'presiones de la Lgica Matemtica son

equi0alentes $ representan el mismorazonamiento si tiene la misma ta)la de 0erdad.

Es decir" si para la misma com)inacin de 0aloresde 0erdad de las proposiciones in0olucradas

el resultado tiene tam)i1n el mismo 0alor de0erdad.

&a de,nicin anterior nos permite obtener elModelo Matemtico de la In4erencia &gica% 'inentrar en detalles diremos .ue tal Modelo estdado por la e0presin: p .'i empleamos las de,niciones .ue emos dadopara obtener la Tabla de 6erdad de esta e0presin/eremos .ue es id*ntica a la de la In4erencia&gica( por lo tanto( ambas son e.ui/alentes por lo.ue la In4erencia la podemos e0presar( para

e4ectos de anlisis mediante esta ecuacin%EJERCICIOS No. &.1bteniendo la Tabla de 6erdad /eri,.ue laidentidad entre la In4erencia &gica - la #cuacinanterior% A ora s -a estamos en posibilidad deModelar Razonamientos% 'in embargo: Cmopodemos traducir un razonamiento a una #cuacinde la &gicaN% #sto lo /eremos en el puntosiguiente%

LA LOGICA DE LA DEMOSTRACION.&a &gica de la Demostracin es una de las pocasramas de las Matemticas .ue an trascendido atra/*s del desarrollo de la umanidad - tiene comoob)eti/o:

%O/*ER RLE A LOS %O/O% M E/&OS

MA&EMA& %OS LA %A&E2OR A DE (ERDADES

A3SOL!&AS E/ S! 4AR& %!LAR %O/&E5&O.

#sto signi,ca .ue todo conocimiento matemtico.ue se desarrolla - por consecuencia se enuncia

como nue/o a medida .ue la ciencia a/anza(4orzosamente debe caber en el pa.uetecognosciti/o .ue en su momento es aceptadocomo tal - debe a/enirse a las reglas del )uego .ueen su momento estn establecidas% Cuando no se

# ' # '

6 6 6

6 2 2

2 6 6

2 2 6


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da este caso( casi siempre la luc a para .ue talconocimiento se preser/e a sido a costa de lapropia /ida de los impulsores%#ntonces( cuando un nue/o conocimiento esenunciado( la inercia a aceptarlo es ele/ada -( enprimera instancia( se busca desacreditarlomediante lo .ue /endra a ser #l Primer M*todo deDemostracin .ue es:

EL %O/&RAE6EM4LO

%onsiste )sica en presentar un e7emplo queniegue la

ase0eracin que el conocimiento est enunciando.

An()isis *!) M+,o*o :%3 #strictamente ablando este M*todo no es un

M*todo para demostrar .ue A&G1 es /erdadero(sino para e/idenciar .ue ese A&G1 es 4alsomediante el 4cil recurso de dar un e)emplo .uein/alida el conocimiento( de a su nombre deContrae)emplo%#H#MP&1:p : Todos los peces son o/paros%p@: Todos los seres umanos tiene D1' brazos%P>: Toda 4uncin continua es deri/able%P; : Todo cuerpo .ue se de)e a la libre accin de lagra/edad tiende a caer %

&a 4orma ms acabada( en el sentido de laper4eccin( de un razonamiento es el .ue se da enla Demostracin de un enunciado matemtico%Demostrar .ue una proposicin .ue encierra unconocimiento matemtico es /erdadera( ser enprimera instancia( el punto de nuestro inter*s% #sdecir( nuestro traba)o ser e4ectuar unademostracin - /eri,car .ue el razonamientoin/olucrado es lgicamente correcto% De acuerdocon los estudiosos del Tema( demostrar .ue unaproposicin es 6#RDAD#RA es la principalacti/idad del &gico%

na /ez .ue el enunciado a superado la pruebacontinua de los Contrae)emplos( es decir( una /ez.ue tal enunciado 9tiene /isos de ser /erdadero (entonces /iene el proceso de Demostracin% As(dependiendo del enunciado en particular seemplear el M*todo de Demostracin msadecuado( sin embargo( el t*rmino adecuado enocasiones implica .ue ninguno otro M*todo esaplicable por las caractersticas intrnsecas delenunciado mismo%

#l M*todo por e0celencia de la demostracin

matemtica es:ME&ODO D RE%&O

4arte del consecuente o #iptesis $ empleadode niciones"

propiedades $8o conocimientos pre0iamentedemostrados" a

partir de ella" formamos una cadena de nferenciasLgicas

la quede manera natural nos lle0a a la &esis.

An()isis *!) M+,o*o.

%3 #s el M*todo de Demostracin por e0celenciade la Matemtica%@%3 'e dice .ue es un m*todo constructi/ista( -a.ue el conocimiento se constru-e mediante lademostracin%>%3 "os lle/a directamente de la Qiptesis a la

Tesis%;%3 &a Qiptesis siempre es /erdadera% : 51btenida dep@7 % % % pn . : 51btenida depn7 $$$$$$$$$

. 5Tesis7%

B7%3 #l M*todo se lee seg8n se muestra enseguida:

[ p 5 p p 7 5 p p@7 5 p@ p> 7 % % % 5 pn . 7 ] .

7%3 De acuerdo con nuestra de,nicin la#cuacin correspondiente es:

[ p 5p p 7 5p p@7 5p@ p> 7% % %5pn . 7 ] .

#H#MP&1' #H#RCICI1'%3a7%3 tilizando el M*todo Directo de demostracin(demuestre las siguientes proposiciones:p : &a suma de dos n8meros pares es un n8meropar%p@: &a suma de dos n8meros impares es un n8meropar%p>: #l producto de dos n8meros pares es unn8mero par%

p; : #l producto de dos n8meros impares es impar%

b7%3 Muestre .ue el razonamiento utilizado en elM*todo Directo es una tautologa%Como -a mencionamos( el m*todo directo es elm*todo por e0celencia de la demostracinmatemtica( -a .ue nos lle/a directamente de laQiptesis a la Tesis( sin embargo este m*todo nosiempre es aplicable( -a .ue en muc os casos la

iptesis se resiste a proporcionarnos lain4ormacin necesaria para construir lademostracin de a la importancia del segundo

m*todo .ue /iene a ser *l:


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ME&ODO /D RE%&O.

Este M1todo es seme7ante al M1todo Directo con la0ariante

de que la &esis negada se con0ierte en #iptesis $ esta negada

en aquella de niendo as+ lo que se conoce comonferencia

%ontrapositi0a a partir de la cual se efect9a lademostracin.

An()isis *!) M+,o*o %% 'e parte de la In4erencia del M*todo Directo

dada por: p .@%3 'eg8n la de,nicin la in4erencia utilizada es: .

p>%3 Ambas son anlogas en el sentido de .ue sutabla de /erdad es id*ntica%;%3 "o se demuestra .ue .:( la tesis( sea/erdadera%


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p>: &a suma de los primeros < naturales es (@?


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