Guia de Vectores

Gua de MateriaVectores nivel segundo Medios

1 . Magnitudes FsicasLas magnitudes fsicas o variables se clasifican en dos grandes grupos:

Las escalares: Son aquellas que quedan definidas exclusivamente por un mdulo, es decir, por un nmero acompaado de una unidad de medida. Es el caso de masa, tiempo, temperatura, distancia. Por ejemplo, 5,5 kg, 2,7 s, 400 C y 7,8 km, respectivamente.

Las vectoriales: Son aquellas que quedan totalmente definidas con un mdulo, una direccin y un sentido. Es el caso de la fuerza, la velocidad, el desplazamiento. En estas magnitudes es necesario especificar hacia dnde se dirigen y, en algunos casos, dnde se encuentran aplicadas. Todas las magnitudes vectoriales se representan grficamente mediante vectores, que se simbolizan a travs de una flecha.

1.1 Vectores

Un vector tiene tres caractersticas esenciales: mdulo, direccin y sentido. Para que dos vectores sean considerados iguales, deben tener igual mdulo, igual direccin e igual sentido.Los vectores se representan goemtricamente con flechas y se le asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequea flecha de izquierda a derecha como se muestra en la figura.

Mdulo: est representado por el tamao del vector, y hace referencia a la intensidad de la magnitud (nmero). Se denota de la siguiente manera:

Vectores de igual mdulo. Todos podran representar, por ejemplo, una velocidad de 15 km/h, pero en distintas direcciones, por lo tanto todos tendran distinta velocidad. (ver figura 1)

Vectores de distinto mdulo. Se espera que el vector de menor tamao represente por ejemplo una velocidad menor que la de los dems.

Vectores de distinto mdulo: As, los vectores de la figura podran representar velocidades de 20 km/h, 5 km/h y 15 km/h, respectivamente.

Profesor: David Valenzuelawww. fisic.ch

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Vectores con igual mdulo, pero distinta direccin y sentido

Vectores con igual direccin y sentido, pero distinto mdulo.

Vectores con igual mdulo, direccin, pero sentidos contrariosPara que dos vectores sean iguales, deben tener igual mdulo, sentido o direccin. Cualquiera de estas caractersticas sea distinta, entonces los vectores no son iguales.

Liceo Juan XXIII Villa AlemanaDepartamento de CienciasFsica

A o A

Fig.2

Fig. 4

Fig.3

Fig.1: Caractersticas de un vector


Direccin: Corresponde a la inclinacin de la recta, y representa al ngulo entre ella y un eje horizontal imaginario ( ver figura 2) . Tambin se pueden utilizar los ejes de coordenadas cartesianas (x, y y z) como tambin los puntos cardinales para la direccin.

Vectores de distinto mdulo: Dos vectores tienen la misma direccin cuando la inclinacin de la recta que los representa es la misma, es decir, cuando son paralelos.Vectores de igual direccin: Sin importar hacia dnde apuntan o cul es su tamao, los vectores de la figura son paralelos, por lo que tienen la misma direccin.

Sentido: Est indicado por la punta de la flecha. (signo positivo que por lo general no se coloca, o unsigno negativo). No corresponde comparar el sentido de dos vectores que no tienen la misma direccin, demodo que se habla solamente de vectores con el mismo sentido o con sentido opuesto.

1.2 Vectores en un plano cartesiano

Ya has aprendido que los vectores son definidos a travs de trescaractersticas, que son: mdulo, direccin y sentido. Aunque suposicin en el espacio no es uno de los componentes para definirlo, elestudio de los vectores se facilita si los ubicamos en un sistema decoordenadas cartesianas que nos ayude a tener mayor precisin, demanera de poder representarlos de una forma algebraica como de unamanera geomtrica.

Una de las caractersticas es que cuando tenemos un vector que no esten el origen de nuestro plano cartesiano, lo podemos trasladar, demanera que siempre el origen sea el (0,0) y as facilitar nuestrosclculos, pues slo necesitaremos el punto final para determinarlo.

En el dibujo anterior hemos llamado p al vector CD trasladado. Por otro lado hemos llamado q al vectorAB trasladado. Si sus puntos de origen se trasladan al origen, veremos que el vector que antes tena comocoordenadas (0,2) y (3,5) ha sido traslado, de manera que slo debemos identificar el punto final que eneste caso corresponde a (3,3) .De igual forma se ha procedido para el vector q.

El objetivo es que los vectores quedendibujados a partir del origen de manera que elpuntp inicial sea el (0,0) y por consiguientefacilitar los clculos.


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Fig.5: Vector en un plano cartesiano con origen (xo,yo)

Fig.6: Traslacin de un vector para que su origen quede en (0,0)

Fig.7: Figura que muestra todos los vectores dibujados en el origen


2. Operatoria VectorialAl igual que los nmeros, los vectores pueden operarse entre si, a travs de la suma, la resta, lamultiplicacin por un escalar, la divisin por un escalar, producto punto y producto cruz. Estos dos ltimosson propios de los vectores.

2.1 Suma manera geomtricaAl sumar dos vectores se obtiene otro vector (vector suma o resultante). Para obtener el vector suma es necesario recurrir a lo que se conoce como regla del paralelogramo. Esto es, se construye un paralelogramo que tenga los vectores como lados y se traza la diagonal del mismo para obtener el vector suma.

Si queremos sumar A + B , se dibuja uno a continuacin del otro, trasladndolo. El vector resultante es elque va desde el punto inicial del primero vector hasta el final del ltimo. Cabe destacar que la suma esconmutativa es decir:

A + B = B + A

Cuando se quiere sumar ms de un vector, se procede de la misma forma anterior, pero ahora se colocanuno a continuacin del otro hasta el ltimo. Luego la recta que une el inicio del primer vector con eltrmino del ltimo es el vector resultante.


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Fig.8: Muestra la suma de dos vectores

Fig.9: Muestra la suma de muchos vectores, sin embargo el mtodo sigue siendo el mismo


2.2 Resta de manera algebracaPara la resta se procede de la misma forma que la suma, pero el vector que resta se debe dibujar con sentidocontrario, o sea el signo negativo cambia el sentido del vector. Luego el vector resultante es el que va desdeel punto inicial del primer vector, hasta el final del vector que se le cambio el sentido.Cabe mencionar que la resta no es conmutativa

A - B B - AA - B = - ( B - A )

2.3 Multiplicacin de un escalar por un vectorSegn sea el tipo de esclar tenemos diferentes casos, el escalar puede ser un nmero entero o fraccionario,positivo o negativo. Cabe mencionar que el escalar afecta a cada una de las componentes del vector.

Multiplicacin por un nmero mayor que 1 Multiplicacin por un nmero mayor estricto quecero y menor estricto que 1

En este caso el vector que se multiplica aumentade mdulo segn el valor del escalar quemultiplica y su direccin y sentido nuncacambian.

Ejemplo: sea el vector A= (3,-2) el cual semultiplica por 2, entonces tenemos:

Forma algebraica

2 (3,-2) = (6,-4)

Forma geomtrica

En este caso el escalar que multiplica al vector,hace que el mdulo disminuya en cierto valormanteniendo su direccin y sentido.

Ejemplo: Sea el vector B = (4,2) si lomultiplicamos por 0,5 entonces tenemos:

Forma algebraica

0,5 (4,2) = (2,1)

Forma geomtrica


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A= Ax i+ Ay j+ Az k


Fig.10: Muestra la forma geomtrica para realizar la resta de vectores


Multiplicacin por -1 En este caso, al multiplicar un vector por el escalar -1, o cualquier

nmero negativo cambia el sentido del vector y si es un numero mayor omenor que 1 cambia el tamao del mdulo tambin.

Ejemplo: Sea C= (4,2) y se multiplica por -1, entoncestenemos que:

-1 ( 4,2) = (-4,-2)

3. Componentes de un vectorSe basa en escribir un vector como suma de otros dos loscuales son ortogonales (perpendiculares entre si), para ello seapoya en el plano cartesiano, los vectores que se suman estnen alguno de los ejes. Las componentes rectangulares sellaman as porque se fundamenta en la construccin de unrectngulo.En la imagen se puede ver que el vector A, no es ms que lasuma de un vector en el eje "X" y otro en el eje "Y". Cadauno de estos vectores se le conoce con el nombre decomponente, asi el vector Ax es la componente"X" del vectorA.

Para poder escribir correctamente estos vectores debemosintroducir los vectores unitarios, los cuales se detallan a continuacin.

3.1 Vectores UnitariosSe caracterizan porque su mdulo es 1, por lo tanto slo indican direccin. Como estamos trabajando con elplano cartesiano tendremos los siguientes vectores unitarios asociados a cada uno de los ejes.

Por lo tanto el vector de la figura es A=4 i+3 j donde 4i es la componente x del vector A y 3j es lacomponente y del vector A


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u= vv

donde

u=( ux+ u y+ u z) a cada vector unitario le correspondeeje x=ux= ieje y=uy= jeje z=uz=k



3.2 Suma y resta de manera algebraica

Sean dos vectores A y B que se quieren sumar,entonces procedemos de la manera grfica quesabemos, lo que nos da como resultado el vectorR.

Ahora lo que haremos es escribir tanto el vectorA como el B segn sus componentes, entoncesnos damos cuenta que la suma de la componentes"X" del vector A y B, es la componente "X" delvector R y as tambin con el eje "Y".Por lo tanto para sumar vectores de maneraalgebraica se debe escribir cada vector segn suscomponentes y luego sumar las componentes"X" e "Y" de los vectores, el resultado ser elvector resultante segn sus componentes, con lascuales se puede sacar el mdulo del vector R.

3.3 Clculo del las componentes de un vectorComo no hemos dado cuenta para sumar o restar y operar con los vectores es necesario escribirlo en suscomponentes, para ello utilizaremos las proporciones trigonomtricas.

Entonces al aplicar estas proporciones tenemos para el vector A que: Componente x es 5 cos 30 Componente y es 5 sen 30 El vector A segn sus componentes es


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sea los vectores A=A x i+Ay j B=B x i+ By jA+ B=(Ax+B x) i+(A y+B y) j=R

Rx=(Ax+B x) iR y=(A y+B y ) j

as el vector resultante esR=Rx i+R y j

Ejemplo 1: Dados los vectores vec A=(3,4) y vec B=(1,-2) Cul es el vectorresultante y su mdulo?

A=3 i+4 jB=1 i2 j

R=(3+1) i+(42) jR=4 i+2 j

y el mdulo sera4+2=20=25

Recordemos

cos=adyhip

sen= ophip

tg = opady

tg = sencos

A=5cos30 i+5 sen30 j

A=5 32

i+5 12

j

A=0,77 i+2,5 j



3.4 Clculo de la direccin de un vector

Dibujar el siguiente vector: A=3 i2 jAl observar el dibujo del vector A, nos podemos dar cuenta que:* 3i sumado con -2j da como resultado el vector A.* El ngulo con respecto al eje +x, en este caso est dado por latg 3/2, el cual nos da como resultado un valor de 56,3. Para ellodebe tenerse en cuenta que se est trabajando en el cuarto cuadrantepor lo tanto si nos damos cuenta el denominador debe ser negativo,sin embargo no lo colocamos para el clculo del ngulo, pero sisabemos que estamos trabajando en el cuarto cuadrante. LACALCULADORA SIEMPRE ENTREGAR LOS NGULOSCON RESPECTO AL EJE X, LOS SIGNOS SLO DARN ELCUADRANTE. (ver figura 2)


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4 . Complemento

4.1 Producto escalar Supongamos que tenemos dos vectores a y b en R y queremos determinar el ngulo entre ellos, esto es, elmenor ngulo que forman a y b en el plano que ambos generan. Sean

Definimos el producto punto o producto escalar de a y b, y lo escribimos ab , como el nmero real

a b=a1 b1+a2 b2+a3 b3

Algunas propiedades del producto escalari. a a 0ii. a (a b) = a (a b) y a b = (a b) iii. a (b + c) = a b + a c y (a + b) c = a c + b civ. a b = b a


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Se deduce del teorema de Pitgoras que la longitud del vector a= a1 i + a2 j + a3 k es


a=a1 i+a2 j+a3 k b=b1 i+b2 j+b3 k


4.2 Producto Vectorial

Sean dos vectores A y B en el espacio vectorial 3 . El producto vectorial entre ellos da como resultado unnuevo vector C. El producto vectorial se denota mediante A x B, por ello se lo llama tambin productocruz. Tambin se puede definir de una manera ms sencilla donde:

AxB=ABsin n donde n es un vector unitario y ortogonal a los vectores A y B y su direccinest dada por la regla de la mano derecha.


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GUA DE EJERCICIOS vectores

1. Indique cul de las siguientes magnitudes no es un escalara. Temperaturab. distanciac. Velocidadd. Masae. Calor

2. Dadas las siguientes igualdades vectoriales. Cul es falsa?a. XW= bb. ZX= a+ bc. XY= b ad. YW= a2 be. XZ=( a+ b)

El siguiente enunciado es para el desarrollo de las preguntas 3 , 4 , 5 y 6

3. a+ b=

a. (4,-1)b. (4,-7)c. (-1,4)d. (-4.-1)e. (-3,0)

4. c=a. 4b. 2c. 0d. -2e. -4

5. c+ 2 a=a. -4 i + jb. 4 i + 6 jc. 6 id. 6 je. i + 6 j

6. 3 a2 b=a. 9 i + jb. -3 i + 17 jc. -3 i + jd. 4 i je. 3 i + 17 j


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7. En la figura , E es el vector resultante de:a. C + B + Ab. C B Ac. C + B Ad. B A Ce. A + D

8. Dados dos vectores a y b , entonces siempre secumple que:De las afirmaciones es(son) verdadera(s)

a. Slo Ib. Slo IIc. Slo IIId. Slo I y IIIe. Slo I y II

9. Respecto a los vectores, es correcto afirmar que:a. si una componente de un vector es nula, el mdulo del vector tambin lo es.b. el producto punto entre dos vectores paralelos es nulo.c. el producto cruz entre dos vectores perpendiculares es nulo.d. el producto punto entre dos vectores iguales es igual al cuadrado de la magnitud de uno de

ellos.e. los vectores unitarios i y j son paralelos.

10. La multiplicacin de 1 Megametro y un milmetro es, en metros cuadrados, equivalente a:a. 103b. 1c. 10-3d. 10-6e. 10-9

11. Respecto al sistema ortogonal HK que muestra la figura, la componente del vector X en la direccin del eje K, es decir XK, se puede expresar como:

a. x sen b. x tg c. x cos d. x sec e. x csc


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12. De las siguientes afirmaciones sobre el vector A I. tiene origen, pero no tiene fin.II. puede tener mdulo cero.III. el vector -A tiene el mdulo de A, pero tiene direccin contraria.

De estas afirmaciones es (son) falsa(s)a. Slo Ib. Slo IIIc. Slo I y IId. Slo I y IIIe. I, II, y III

13. Dados los vectores A, B, C y D, de igual mdulo, cumplen adems que A es antiparalelo a C y B esantiparalelo a D,, entonces el vector (A + B) + (C + D) es


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2.3 Multiplicacin de un escalar por un vector

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