Guia do Professor

Objeto de aprendizagem: Geometria Polígonos e Retas

NOA - UFPB

Você está acessando o guia do professor, que contém as instruções que possibilitam tirar melhor proveito do objeto de aprendizagem (OA) “Geometria Polígonos e Retas” – instrumento construído por especialistas.

Nele você encontrará informações específicas sobre uma metodologia centrada no uso do OA para o processo de construção dos conhecimentos científicos que versam sobre a Geometria. A auto-explicação é uma de nossas metas a ser atingida durante a aprendizagem.

Esta condição é um grande desafio para todos nós (especialistas, professores e aprendizes); portanto destacamos uma série de aspectos neste guia, que possibilitam uma trilha favorável ao sucesso nesta investida.

Contamos com o seu apoio e facultamos o uso integral ou parcial deste instrumento em suas atividades pedagógicas.

Cordialmente

Romero Tavares

Coordenador do NOA

I – Introdução

No atual estágio de desenvolvimento tecnológico é conveniente ressaltar o acesso ao ascendente desenvolvimento das tecnologias da informação e comunicação (TIC). É favorável atrelar estas potencialidades ao processo de ensino-aprendizagem, em ações concretas que possam ser implementadas no cotidiano dos aprendizes.

A intenção deste objeto de aprendizagem volta-se para aspectos tais como: facilitar a construção de conceitos por aprendizagem significativa; auxiliar na solução de problemas, além de gerar possibilidades de contextualização de forma virtual de situações cotidianas.

Elaborado sem perder de vista que de maneira geral as pessoas adquirem ao longo da vida a sua maneira peculiar de lidar com o conteúdo novo a ser aprendido. Portanto foi dada prioridade para os princípios da conectividade, heterogeneidade e interatividade, o que possibilita a construção do conhecimento em ritmos satisfatórios à necessidade de cada usuário (aprendiz, professor-tutor) como: sistemática de estudo, processos cognitivos, construção de significados, liberdade na dinâmica da elaboração, nível de interatividade, contexto.

II - Objetivos

Geral:

Gerar situações que favoreçam construção dos conhecimentos que versão a Geometria Plana na aprendizagem significativa mediante a atividades de exploração do OA.

Específicos:

• Implementar uma metodologia para a construção dos conceitos da Geometria Plana nos eixos temáticos semi-reta, reta, polígonos utilizando como ferramenta cognitiva facilitadora, o uso do OA;

• Possibilitar ao aprendiz a construção virtual das grandezas geométricas que integram o campo conceitual da Geometria Plana;

• Verificar por construções geométricas facilitadas pelo uso do OA, postulados e teoremas que versam sobre o eixo temático Geometria Plana;

• Disponibilizar uma representação múltipla: facetas visuais (animações, gráficos, diagramas) e verbais (textos) de grandezas geométricas, compatíveis com os conceitos científicos;

• Envolver o(s) aprendiz(es) em situações de ensino-aprendizagem que possibilitem a construção dos conceitos da geometria plana por diferenciação progressiva e ou reconciliação integrativa, a partir da construção geométrica facilitada pelo uso do OA, que permite ilustrar diversos objetos de estudo (semi-reta, reta, linha poligonal, polígonos, eixos cartesianos) dentro do seu sistema hierárquico de inter-relação;

• Fomentar e reforçar as possibilidades de construções geométricas virtuais que potencializem o campo virtual do aprendiz em situações distintas, soluções de problemas ou reprodução virtual do fenômeno real;

• Analisar através de observações, possibilitada pela construção geométrica virtual do modelo mental de forma sistematizada, os diferentes níveis de generalização de um dado conceito.

III - Pré-requisitos

• Plano Cartesiano e Par Ordenado • Conjunto dos Numéricos. (Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais) • Equações (primeiro e segundo graus). • Sistemas lineares. • Teorema de Pitágoras. • Ângulos; • Conceito de distâncias e de áreas.

IV - Tempo previsto para a atividade

TEMA ATIVIDADE TEMPO IDEAL Segmentos, Distâncias,

Polígonos, Áreas e Perímetros. Presencial ou à

Distância 4 horas

Estudo de Segmentos Idem 4 horas Estudo de Polígonos Idem 4 horas

Estudo das Retas Idem 4 horas

O intervalo de tempo mínimo para execução de determinada atividade deve ser mensurado levando-se em consideração o ritmo individual ou do grupo que a executa, e as necessidades para o sucesso da mesma.

A construção do conhecimento é um processo idiossincrático, portanto, está associado ao ritmo próprio de cada aprendiz. Se o aprendiz encontrar dificuldades na construção de um conceito, mesmo

face às informações que lhes são disponibilizadas considere um intervalo de tempo extra para que possa acessar mais vezes um mesmo instrumento. Ou para descobrir outras pistas nos diversos recursos que compõe o OA. Talvez ele entenda melhor sob outro ponto de vista. Considere ainda a possibilidade que este tempo pode ser minimizado em eventos presenciais com a mediação do professor, evitando desperdícios. V - Na sala do computador

• Requerimentos técnicos:

O OA foi desenvolvido através da plataforma Macromedia Flash Professional 8.0 e requer que o usuário disponha de um plug-in Adobe Flash Player 8.0. Este plug-in pode ser encontrado e rapidamente instalado em sua máquina a partir do site www.adobe.com. O OA foi desenvolvido para solicitar o menor recurso computacional possível, o que permite aos computadores de menor desempenho executar perfeitamente este aplicativo educacional.

• Preparação: O uso do OA na sala de informática segue a linha da integração virtual e tem como suporte

fundamental, o uso do computador como plataforma de informação em tempo real. O ideal seria alocar no máximo dois aprendizes por máquina. Caso contrário deve-se disponibilizar a turma em frente ao computador nos limites de resolução da tela do monitor associado ao conforto visual dos aprendizes. Em caso de público maior sugerimos o uso do data-show acoplado ao computador.

• Durante a atividade: Este objeto foi construído vislumbrando o máximo possível à auto-explicação de forma a

possibilitar ao aprendiz a autonomia necessária à construção do conhecimento com algumas variantes no processo, sem equivalência entre elas: Interação: aprendiz (turma) → OA → conceitos de Geometria Interação: aprendiz (turma) → OA → conceitos de Geometria em processo mediado pelo professor. Interação: grupo de estudos (aprendizes e/ou professor) com participantes distribuídos, mas interligados em rede → OA → conceitos de Geometria.

Seria interessante, em atividades mediadas sistematizar algumas lógicas: • Conceber e administrar situações-problema ajustadas ao nível e possibilidades cognitivas do

aprendiz. • Negociar um processo avaliativo congruente com o OA. • Observar e avaliar os alunos em aprendizagem de acordo com uma abordagem formativa. • Administrar a heterogeneidade cognitiva no âmbito da turma. • Proporcionar um ambiente favorável ao desenvolvimento da autonomia do aprendiz que

permita articular suas visões. • Articular a solução de problemas com a construção dos conceitos da Geometria.

Consideramos que a maneira de como conduzir o processo de ensino-aprendizagem influencia tanto

quanto o conteúdo. VI - Atividades complementares

• Para saber mais

Será disponibilizado no OA além da janela de animação, um mapa conceitual construído por especialistas levando-se em consideração a hierarquia dos conceitos que versam o tema Geometria.

E, como forma de bibliografia complementar disponibilizamos um texto sobre os elementos geométricos tratados no OA cuja abordagem permite a elucidação de alguns aspectos que talvez possam está ocultos nos outros instrumentos do OA.

• Questões para discussão Sugerimos que após as atividades de aprendizagem se envolva o aprendiz em situações de

resolução de problemas que necessitem um grau maior de abstração sobre a temática. Como sugestão disponibilizamos algumas questões (desafio) que podem ser trabalhadas. Por outro lado, esta sessão visa obter indicadores que nos permitam apreciar os aspectos auto-explicativos presentes no OA.

Destacamos que ao longo da apresentação da animação, algumas informações relevantes (vinheta) que favorecem a construção de significados foram consideradas. VII – Avaliação

O objeto de aprendizagem privilegia em seu processo avaliativo o exercício da cognição, a aprendizagem significativa e a habilidade do aprendiz na solução de problemas.

Ressaltamos o caráter singular da sua construção, em congruência com os objetivos do OA. No que se refere ao critério adequado à construção de significados, optamos pela Taxonomia de

Bloom Revisada, por ser auto-consistente com a validade do instrumento. A avaliação é de caráter formativo, flexível e dinâmica. Embora enfatize a posse dos conceitos,

a sua relevância prima pela construção do conhecimento. Podendo ser considerada mais que um diagnóstico, isto é, mais uma ferramenta colaborativa no processo de ensino-aprendizagem.

VIII - Sugestões de leitura

AUSUBEL, David. NOVAK, J. D.; HANESIAN, H. Psicologia Educacional. Rio de Janeiro: Editora Interamericana, 1980. IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Geometria Analítica. vol 7 São Paulo, Atual, 2004. LIMA, Elon Lages “A matemática do Ensino Médio”, vol. 3, Coleção do Professor de Matemática. Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática. LIMA, Elon Lages “Coordenadas no Plano”, 2a edição, Coleção do Professor de Matemática. Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática. VENTURI, Jacir J. Álgebra Vetorial e Geometria Aanlítica. 9 ed. Artes Gráficas e Editora Unificado: Curitiba, 2001. VENTURI, Jacir J. Cônicas e Quádricas . 5 ed. Artes Gráficas e Editora Unificado: Curitiba, 2001. STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2 ed. São Paulo: Makron Books, 1987. DANTE, Luiz Roberto. Matemática Ensino Médio – 1 ed. São Paulo: Ática, 2004.

Desafios

Objeto de aprendizagem: Geometria: Polígonos e Retas

NOA - UFPB O estudo da geometria plana requer o conhecimento de alguns conceitos que podem ser articulados através de sentenças. São exemplos de sentenças matemáticas:

I – existe uma reta r que passa pelos pontos A e B distintos ( | A B ); II – existe uma reta s tal que qualquer que seja o ponto P pertencente a s (P s), P é eqüi-distante de A e B; III – A reta s cujos pontos são eqüidistantes dos pontos A e B é única; IV – A reta s cujos pontos são eqüidistantes dos pontos distantes A e B é perpendicular ao segmento e passa pelo seu ponto médio M.

1. Delimite um plano α que satisfaça suas exigências e mostre geometricamente a veracidade das sentenças I e II (proposição de existência);

2. Tendo como suporte a solução da questão 1 demonstre geometricamente a veracidade da sen-tença III (proposição de unicidade);

3. Considerando a solução das questões 1 e 2, faça uma análise (condição necessária e suficiente) e classifica a afirmação IV em verdadeira ou falsa;

4. Considere os itens (i) do mapa abaixo e (ii) o conjunto de sentenças (na Geometria Euclidiana): I – sejam a retas r e os pontos distintos A e B pertencentes a ela; II – Sejam r’ e r’’ as semi-retas fechadas respectivamente (r’) de origem em A, à qual per-tence o ponto B e r’’ de origem em B à qual pertence o ponto A; III – Chama-se segmento de reta AB a interseção dessas duas semi-retas (AB = r’ r’’); IV – Em um triângulo, um dos lados é menor que a soma dos outros dois; V – Dizemos que dois segmentos são consecutivos se e somente se tem um extremo em co-mum e apenas esse ponto em comum;

5. A cada segmento (AiBi) podemos associar um número real (AB) e uma unidade de comprimento

que é sua medida. A partir desta definição, construa geometricamente três segmentos consecuti-vos AB, BC, CA (em uma escala conveniente) não colineares pertencentes a um mesmo plano cartesiano (idealize um padrão de comparação) e demonstre diretamente que a medida de um dos três segmentos é sempre menor que a soma da medida dos outros dois segmentos;

6. Demonstre geometricamente por redução a uma contradição a afirmação V;

7. Represente geometricamente em um mesmo plano cartesiano as sentenças I, II, III. Construa geometricamente (em escala conveniente) e considere um triângulo ABC e D um ponto do lado BC. A partir de medidas obtidas diretamente da figura construída verifique a ve-racidade do Teorema de Stewart b2n + c2m – x2a = m n a,

onde: n = BD, m = DC e x = AD.

8. Em um plano cartesiano α tomemos duas retas perpendiculares em um ponto O (origem) e ori-entemo-las de forma que seja possível convencionarmos uma das retas horizontal (eixo das abs-cissas) e outra vertical (eixo das ordenadas):

a) Marque dois pontos distintos A(xA, yA); B(xB, yB); e conduza o segmento de reta orien-tado e verifique que três casos podem ocorrer: i) yA = yB onde a distância entre dois pontos é a diferença entre suas abscissas (tomada em módulo dAB = |xB - xA|), ii) xA = xB, onde a distância entre dois pontos é a diferença entres suas ordenadas (tomada em módu-lo dAB = |yB - yA|), iii) Considere um ponto distinto C que satisfaça a condição yC = yA e xB = xC, neste caso tem-se que dAB = |xC - xA| = |xB - xA|, dBC = |yC – yB| = |yB - yA| e = (Teorema de Pitágoras).

b) Considere três pontos distintos e não alinhados (em uma mesma escala) A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC). Por exemplo, para os pontos A(1,2), B(3,1) e C(4,5), calcule a área do triângulo ABC. Sugestão: utilize a igualdade (analítica)

Área 111

.

Encontre (caso seja possível) um processo de medição direta da área e compare os resul-tados obtidos.

9. Suponha que você é convidado para seguir a trilha que contorna a área da preservação de uma re-serva florestal. Para isto foi disponibilizado um informativo em termos de coordenadas cartesianas que contém os pontos que definem os segmentos de retas consecutivos componentes da linha poli-gonal da trilha e cada guinada corresponde a uma mudança de direção no trajeto (ângulo externo).

Informativo: Caminhando pela mata

Descrevendo a trilha Ponto Coordenadas cartesianas Observação A (Início) (4,0) Trilha seqüencial B (6,5) C (0,5) Origem: Ponto (0,0), acampamento da guar-

da florestal. Escala: uma divisão equivale a 100 metros.

D (-2,3) E (-2,-2) F (Final) (4,-2)

Pede-se:

a) Para maior clareza do trajeto represente graficamente em um plano cartesiano (em escala adequada) o caminho descrito no informativo;

b) Distância percorrida no trajeto; c) Sabendo-se que voltando em linha reta ao ponto inicial obtemos um polígono de área

equivalente a da reserva florestal, obtenha este valor.

A

B C

c b

m n

x

D

Geometria: Polígonos, Retas e história

Objeto de aprendizagem: Geometria - Polígonos e Retas

NOA - UFPB

Sem dúvidas é notória a diversidade de reações quando o tema é matemática. Admiração, curiosidade, receio ou mesmo de medo. Entretanto é lidando com os números; construindo figuras geométricas; medindo distâncias; traçando gráficos e realizando cálculos diversos que obedecem a regras específicas, que vamos passo a passo, contextualizando o real significado dos conhecimentos que compõe o universo da matemática.

Nossa breve jornada é na concepção dinâmica da trilha específica da evolução histórica da geometria. Como marco inicial, podemos nos referir ao final do período neolítico (idade da Pedra Polida – 5000-2500 a.C) onde desenhos representativos já destacavam congruências e simetrias que poderíamos considerar como elementos de uma geometria elementar. Os babilônios (terceiro milê-nio antes de Cristo) que dispunham de plaquetas com tabelas de multiplicar, de quadrados e de cu-bos, elementos facilitadores para o cálculo de áreas e volumes, é indício de uma geometria ligada às necessidades da vida diária, como a agrimensura, a planificação de cidades e o traçado de mapas.

Na Grécia, uma contribuição valorosa

De maneira mais formal, vamos nos referir a Pitágoras (582-497 a.C) e suas doutrinas onde propõe o número como unidade eterna e representação de toda realidade, fundamentado no princí-pio de que tudo no universo é harmônico numérico. Um dos teoremas mais famosos da matemáti-ca/geometria é atribuído a Pitágoras: para um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos lados adjacentes. Esta verdade matemática vale também no mundo físi-co? Ainda com os gregos (Séc V a.C) vamos encontrar Hipócrates da ilha jônica de Quios resolven-do problemas famosos que desafiavam os estudiosos, como a duplicação do alho, a quadratura do círculo e principalmente a multiplicidade de demonstrações de teoremas referentes a geometria da época.

Helenismo, Egito, o berço da Geometria

Focada na mira da evolução histórica e agora no Egito (considerado

como o berço da geometria, destacamos alguns expoentes, a exemplo, Euclides (323-385 a.C.) a lecionar geometria na escola de Alexandria, com seu método de síntese com axiomas, postulados, teoremas e provas que ainda integram grande parte da fenomenologia atual (podemos aceitar de forma generalizada as verdades dos axiomas e teoremas de Euclides).

Arquimedes de Siracusa (289-212 a.C.) considerado o maior geômetra de todos os tempos antigos realizando inúmeras descobertas, calculou a relação entre o comprimento do arco de circun-ferência e seu diâmetro (c/d), o tão conhecido π (pi) com uma precisão sem precedentes (entre 3,1408 e 3,1429, na realidade, 3,1416). Dentre os discípulos de Arquimedes são relevantes as con-tribuições de Apolônio de Perga (246-221 a.C.), autor do tratado sobre as seções cônicas. Nos referentes a uma geometria plana, desenvolvida a partir das gerações das seções côni-cas, obtida pela interseção de um plano secante com um cone circular em situações distintas (au-mentando ou diminuindo a inclinação do ponto secante) podendo-se obter curvas distintas, por e-xemplo, elipse, se o plano corta somente uma parede ao longo de uma curva fechada (ou um círcu-lo, quando o eixo do plano secante é ortogonal ao eixo do cone); parábola, se o plano secante inter-

cepta uma só face do cone ao longo de uma curva não fechada e o plano tem uma inclinação igual a de uma geratriz do cone. Hipérbole se o plano secante intercepta as duas paredes do cone. Uma curiosidade marcante é que parte destes entes puramente geométricos em torno de de-zessete séculos depois na Europa seriam as trajetórias descritas por Kepler ou Newton pelos corpos do sistema solar.

Um salto para o alvorecer da Ciência Moderna Talvez uma das maiores dificuldades encontradas por aprendizes e especialistas é a descri-

ção geométrica de um fenômeno utilizando uma linguagem apropriada para exprimir o pensamento abstrato. Quando a formulação envolve grandezas que somem direção sentido e intensidade e é vá-lida a geometria euclidiana, é notória a utilidade e a aplicabilidade do sistema de coordenadas carte-sianas (Descartes 1596-1659), como sistema referencial (caso seja mais adequado, existem outros) para a localização de pontos do espaço (ou do plano). O mesmo ocupa lugar de destaque tanto no mundo científico quanto tecnológico.

Ainda hoje, no nosso dia-a-dia sua utilização consiste em representar um ponto P do espaço (ou do plano através de suas projeções em sistema composto por segmentos de reta orientados tri-ortogonais que se cruzam em um ponto comum (origem) pertencente a um gráfico representacional.

Dessa maneira associamos ao ponto P um único conjunto de número reais (x, y, z) em coor-denadas cartesianas. Esta forma representativa nos permite (desde que usada uma escala adequada) calcularmos diretamente no gráfico a distância entre dois pontos quaisquer (através de medições consistentes), assim como a orientação, direção e sentido dos diversos deslocamentos entre pontos. Outra inovação atribuída a Descartes foi a introdução da álgebra a geometria, ou seja, tratar pro-blemas da geometria através de equações algébricas, um novo método de descoberta que para o mesmo filósofo francês garantia a superioridade dos modernos sobre os antigos. Com efeito, são vários os adeptos a trilhar este novo caminho: Fermat, Torricelli e outros no curso da primeira me-tade do Séc XVII. Uma das dificuldades oriundas da geometria cartesiana, se reduz ao fato de que embora fosse possí-vel descrever as curvas fechadas através de equações algébricas estas se limitavam a expressões com número de termos limitados (por exemplo a elipse 1, apenas três termos). Por outro lado, sabia-se que o cálculo de áreas destas figuras não podia ser expresso utilizando apenas um número finito de termos. Como solução, os matemáticos do século XVII recorreram a generaliza-ções que conhecemos como uma série de termos infinitos. Um fato surpreendente é que certas séries de termos infinitos possui uma soma finita. Possíveis posteriormente graças aos conceitos de limites e convergência desenvolvidos no Séc. XIX, podendo citar o trabalho do francês Augustin-Louis Cauchy. Outra referência, de grande valia e tão difundida hoje que envolvem as ciências exatas é o cálculo diferencial e integral, desenvolvido por Isaac Newton, que permitia por métodos matemáti-cas o cálculo da área de diversas figuras geométricas.

Assim, objetivamos um despertar para a geometria não como um amontoado de figuras, pos-tulados e teoremas, mas como uma necessidade que se incorpora e organiza nessa relação com o mundo real, melhorando nossa compreensão dos eventos que ocorrem na nossa prática diária.

Geometria: Polígonos e Retas do texto ao contexto

Objeto de aprendizagem: Geometria - Polígonos e Retas

NOA - UFPB

Achamos que um dos grandes obstáculos encontrados pelos aprendizes ao iniciarem este es-tudo provém do fato de que para eles é difícil sistematizar, ou seja, articular de forma integrada, conceitos, relações e representações reais dos textos matemáticos. Já que sabemos destas dificulda-des faremos a seguir uma apresentação de alguns conceitos básicos que são tratados na geometria plana e através de informações fundamentadas em definições postuladas e teoremas, faremos uma quantização das articulações entre as sentenças e objetos matemáticos que compõe este corpo de conhecimento.

Ponto, reta e segmento de retas são conceitos primitivos (visualizados na tabela abaixo) no estudo da geometria, portanto não possuem demonstração, entretanto devem ser aceitos como intui-tivos. Por outro lado existem postulados esclarecedores que fornecem um conjunto de informações necessárias para a compreensão e uso destes elementos, tanto no ponto de vista da geometria plana de posição como da geometria métrica plana e devem ser revistos. Evidentemente estes aspectos têm por finalidade das uma visão lógica ao aprendiz para que possa instigar estes conhecimentos no seu dia a dia.

Representação gráfica de alguns conceitos primitivos Ponto Reta Segmento de reta

Em geral os pontos são indica-dos por letras maiúsculas.

Usamos letras minúsculas para denotar retas

Usa-se a notação para indicar o segmento de reta

Segmento de reta

Seja a reta r e os pontos distintos A e B pertencentes a ela. Considere ainda as semi-retas: r’ fechada e de origem em A, à qual pertence o ponto B e r’’, fecha-da e de origem em B a qual pertence o ponto A. Definimos o segmento a in-terseção dessas duas semi-retas.

É comum quando trabalhamos com segmentos de retas para representar grandezas físicas do mundo real com implicações práticas lhe atribui certas características:

a) Segmento orientado: para isto vamos admitir um sentido para o segmento, onde uma no-tação bastante usada é indicar por AB o segmento de origem em A e final em B, ficará entendido que se trata de um segmento com sentido de A para B;

b) Medida algébrica do segmento: a cada segmento podemos associar um número real posi-tivo que é a sua medida. Este valor (no caso considerado) é a distância entre os pontos A e B cuja notação é simplesmente AB.

 

 

r A

 

Retas

O nosso estudo de reta será desenvolvido no universo da geometria euclidiana (observação informal do espaço) e tomemos como base alguns postulados facilitadores (P1 a P7). Citaremos alguns teoremas que podem ser usados diretamente, mas que referenciamos também como base para futuras demonstrações, que sugerimos como possibilidades de atividades do aprendiz associar o seu conhecimento intuitivo, sua capacidade de recepção e desenvolvimento sistemático de instrução, para construção e aplicação do conhecimento matemático/geométrico.

O nosso estudo sobre segmentos de reta gera a possibilida-de de novas construções. Considere por exemplo uma série de segmentos de retas consecutivos, co-planares não colineares, o que no contexto, pode ser uma determinada trajetória composta por trechos lineares intercalados por várias guinadas (mudanças de direção no trajeto). O nosso objetivo final é unir a origem do pri-meiro segmento a extremidade do último. A trajetória descrita é chamada de linha poligonal fechada e a figura obtida denomina-se polígono.

De modo geral, os polígonos recebem nomes particulares de acordo com o seu número de ângulo (gono de origem grega). Por exemplo, trígono ou triângulo é um polígono de três ângulos. Coincidentemente, o número de ângulos é o número de segmento que formam o polígono.

Notoriamente os polígonos são utilizados em situações co-tidianas da arquitetura e da engenharia. Dois fatos aqui merecem destaque:

i) É que dentro de certos limites uma figura geométrica plana de forma circular pode ser considerada como uma seqüência de pequenos segmentos de retas de direções distintas (vários ângulos);

ii) A outra que decorre deste fato é que qualquer polígono pode ser decomposto em uma soma de triângulos, figuras consideradas na geometria rígidas (indeformáveis sob a ação de forças) este é um fato notável a ser usado na estática das estruturas da construção ci-vil.

Como final deste percurso recomendamos que os conceitos da matemática/geometria são de extrema importância se lidar com as situações do mundo atual associados em diversos contextos. E que em diversos contextos, que associamos a informação e a prática é possível expandir e aplicar o universo do conhecimento.

A

B

C

α

β

A

B

C

D

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Design Pedagógico do módulo Escolha do tópico

Muito dos conteúdos do currículo de matemática pode se tornar mais atrativo quando abordado de forma lúdica e intuitiva, isso pode ser conseguido usando situações do dia a dia que são bem conhecidas pelos alunos. Os segmentos de reta e as retas estão presentes no cotidiano e formam figuras geométricas semelhantes a polígonos.

Nesse Objeto de Aprendizagem procuramos enfatizar a construção de tais figuras aliadas a postulados e axiomas. Escopo do módulo

Este Objeto de Aprendizagem foi elaborado no sentido de atender a um duplo viés: por um lado uma abordagem rica dos aspectos pedagógicos que levam a Aprendizagem Significativa dos conceitos científicos no eixo temático geometria. Disponibilizados na forma de: mapas conceituais, dois textos conceituais e uma avaliação formativa. Por outro lado, implementamos de forma virtual uma Animação Interativa que possibilita a criação de segmentos de retas, retas e figuras geométricas na forma poligonal.

Desta forma, vislumbramos associar teoria e contextualização de forma a facilitar a

construção e uso dos conceitos da Geometria e aproximar cada vez mais os saberes da Matemática com o cotidiano do aprendiz. Interatividade A forma na qual o OA foi elaborado permite uma liberdade de percurso ao usuário. Possibilidade para o aprendiz conduzir a construção do conhecimento em ritmo próprio, isto é, criar conexões que tenham sentido para ele. Assim, o mesmo passa da posição de mero receptor da informação (materiais meramente expositivos) para ser um protagonista na construção de novos saberes. Outra das potencialidades referentes à interatividade consiste na liberdade de ir e vir através de cada seção do OA associada a um número indeterminado de acessos. Destacamos também, a possibilidade do aprendiz interferir diretamente sobre a Animação, alterando as formas geométricas e observando as mudanças nos pontos que compõem cada segmento, as projeções, os módulos, as áreas e inclinações. Atividades

Seguem algumas sugestões de atividades que podem ser feitas com este módulo. 1. Uso do texto complementar.

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O texto complementar contido neste objeto poderá ser lido no computador, ou impresso para que o aluno leia, destaque idéias importantes, anote dúvidas para tirar com o professor. 2. Uso da animação interativa.

A utilização do computador possibilita uma série de vantagens devido a possibilidade de unir ferramentas multimídias capazes de produzir uma gama maior de interação do aluno com o conteúdo a ser estudado. Possibilidade de o aprendiz criar figuras geométricas variadas e alterar suas formas e suas posições na tela. 3. Mapa conceitual. Os mapas conceituais contidos nesse objeto poderão ser utilizados no próprio computador, impressos ou projetados em uma tela de forma a ser discutido coletivamente os conceitos relacionados nos mapas. 4. Questões para discussão. Sugerimos que após as atividades de aprendizagem se envolva o aprendiz em situações de resolução de problemas que necessitem um grau maior de abstração sobre a temática. Como sugestão disponibilizamos algumas questões (desafio) que podem ser trabalhadas Essas questões visam trabalhar os conceitos envolvidos na temática do objeto e pode servir para o professor como um indicador do desempenho do aluno ou mapeamento dos conhecimentos prévios no eixo temático. 5. Avaliação O objeto de aprendizagem privilegia em seu processo avaliativo o exercício da cognição, a aprendizagem significativa e a habilidade do aprendiz na solução de problemas. Ressaltamos o caráter singular da sua construção, em congruência com os objetivos do OA. No que se refere ao critério adequado à construção de significados, optamos pela Taxonomia de Bloom Revisada, por ser autoconsistente com a validade do instrumento.

A avaliação é de caráter formativo, flexível e dinâmica. Embora enfatize o mapeamento da posse dos conceitos, a sua relevância prima pela construção do conhecimento. Podendo ser considerada mais que um diagnóstico, isto é, mais uma ferramenta colaborativa no processo de ensino-aprendizagem. 6. Sugestões de leitura

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Como atividade complementar, sugerimos ao aprendiz uma leitura de outros textos. Neste sentido disponibilizamos uma bibliografia que pode ser consultada no guia do professor

7. Observação

Consideramos a possibilidade que o OA pode ser utilizado em diversas circunstâncias pedagógicas, não somente para a série designada, mas para professores e alunos de outras séries. Visto que o assunto envolvido também é utilizado em outros ramos da ciência e em outras fases da educação básica. Portanto, disponibilizamos um guia do professor, onde o usuário terá várias informações sobre os objetivos de ensino, cronograma e sugestões de desempenho das atividades.

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Formulário de cadastramento

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AUTORIA

NOA – Núcleo de Objetos de Aprendizagem - UFPB Ano:2007

Autor(es): Gil Luna Rodrigues; Mariel José Pimentel de Andrade; Romero Tavares da Silva; José Nazareno dos Santos; Luís Havelange Soares.

e-mail: romerotavares@hotmail.com Título do conteúdo/objeto: Geometria – Polígonos e Retas

Área(s) de Conhecimento: ( ) Geografia (X ) Matemática ( ) Física ( ) Biologia ( ) Química ( ) História ( ) Línguas ( ) Outro: .......................................

Nível (is): ( )Ensino Fundamental ( X ) Ensino Médio ( ) Ensino profissionalizante ( ) Ensino Superior ( ) Atendimento às necessidades especiais

Série: Ensino Fundamental ( )1º ( )2º ( )3º ( )4º ( )5º ( )6º ( )7º ( )8º Médio (X)1º ( )2º ( )3º Ensino profissionalizante ( ) Ensino Superior ( ) Atendimento às necessidades especiais ( )

Tecnologia(s) utilizada(s): ( ) HTM ( X ) Flash ( ) Java ( ) PHP ( ) ASP ( X ) XML ( ) Outro: ................................

Conteúdo/objeto: ( X ) Módulo RIVED ( ) Atividade RIVED ( ) Conteúdo produzido para o PAPED ( ) Conteúdo produzido para o Prêmio RIVED ( ) Outro: .............................................

Documentação do conteúdo: ( X ) Arquivos completos do conteúdo ( X ) Guia do professor - PDF ou zipado

Licenciado: ( X ) Creative Commons ( ) Outro. Informar qual.................................

Identificação do conteúdo/objeto: ( ) Simulação ( ) Animação ( ) Animação e simulação ( X ) Site e animação ( ) Site e simulação ( ) Site e animação e simulação ( ) Outro: .........................

Caso o conteúdo/objeto de aprendizagem seja originado de outro conteúdo informar:...............................................

Tipo de conteúdo: (motivação, observação, reconhecimento, análise, experimentação, resolução de problemas, previsão, prática, exploração, discussão etc).

O presente material foi construído como uma ferramenta didática com base nas novas tecnologias para motivar a aprendizagem significativa através do uso de textos eletrônicos, mapas conceituais e uma animação interativa. Foi abordada a temática geometria utilizando algumas de suas partes como: segmento de reta, polígono e reta. Este tema é abordado diante de vários cenários compostos por figuras geométricas prontas ou criadas pelo usuário.

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Objetivos de aprendizagem: (habilidades e competências). Levar o aprendiz a construir os conceitos matemáticos da geometria, tanto na parte de medidas quanto na ênfase a seus postulados, mediante as atividades de exploração do OA - “Geometria – Polígonos e Retas” em um processo mediado pelo professor-tutor.

- Construir significados claros sobre o conceito de segmento de reta. - Construir significados claros sobre polígonos, como a área e o perímetro e retas. - Conhecer os conceitos primitivos de ponto, reta e plano e os seus modelos representativos. - Caracterizar os polígonos por seu número de lados e por um conceito fundamental em geometria, o conjunto convexo. - Permitir o estudo de posições relativas entre retas. Conceitos: (conceitos trabalhados na atividade).

São trabalhados conceitos como: segmento, distâncias, ângulos, áreas, retas, polígonos, conjunto convexo e figuras geométricas.

Pré-requisitos: (conhecimentos prévios do aluno necessários para a atividade). - Projeção de segmentos no plano cartesiano e suas distâncias - Tipos de polígonos e áreas de figuras planas - Teoremas e postulados de segmento de reta e reta - Conjunto convexo - Perpendicularidade e paralelismo de retas Característica do conteúdo: (simulação, animação, site, etc).

O objeto consta de uma animação interativa que permite explorar a criatividade do aluno. Tanto pelo uso de nove telas com desenhos variados quanto pela possibilidade de criação e modificação de suas próprias figuras

Contexto: (descrever em no máximo três linhas como deve acontecer esta atividade, se há materiais de suporte, se a sala necessita de um arranjo especial de cadeiras, se deve haver preparação de algum material).

A própria sala de aula tem inúmeros elementos que formam figuras geométricas. O contexto pode ser o seu próprio assento, assim como também pode ser o computador a sua frente. O OA recria os cenários de frentes de casa, paredes com vários detalhes para o traçado de segmentos.

Tempo previsto: (indique o tempo previsto para esta atividade) Não há um tempo específico indicado para o uso deste objeto de aprendizagem. No entanto sugerimos a utilização de no mínimo uma hora de exposição e interação com o objeto de aprendizagem. É importante deixar os alunos à vontade para elaborar seus próprios conceitos e interagir com o objeto reutilizando-o quando achar necessário.

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Método: Aluno: (descrever o que o aluno faz na atividade passo a passo. Ex: 1- aluno clica no menu 2- aluno explora ambiente 3- aluno escreve as respostas). Ao abrir o Objeto de Aprendizagem ele irá encontrar a tela do index, onde haverá links para a animação interativa, mapa e textos. O aluno deve clicar inicialmente no botão que corresponde a animação. Carregada a animação, o aluno interage escolhendo cenários variados com bastante desenhos.

Professor: (descrever o que o professor faz na atividade passo a passo. Ex: 1- professor guia o alunos na atividade 2- professor observa aluno sem interferir 3- professor faz perguntas ao aluno após completar o passo 3).

O professor deve guiar o aluno, fazendo-o não apenas utilizar a animação, mas, também os outros recursos envolvidos, como textos e mapas. No final da atividade o professor pode levantar questões de nível conceitual sobre o que foi trabalhado e responder com os alunos as questões incluídas no Objeto.

Avaliação: (descrever estratégias de avaliação).

O objeto de aprendizagem privilegia em seu processo avaliativo o exercício da cognição, a aprendizagem significativa e a habilidade do aprendiz na solução de problemas. Ressaltamos o caráter singular da sua construção, em congruência com os objetivos do OA. No que se refere ao critério adequado à construção de significados, optamos pela Taxonomia de Bloom Revisada, por ser auto-consistente com a validade do instrumento. A avaliação é de caráter formativo, flexível e dinâmica. Embora enfatize a posse dos conceitos, a sua relevância prima pela construção do conhecimento. Podendo ser considerada mais que um diagnóstico, isto é, mais uma ferramenta colaborativa no processo de ensino-aprendizagem.

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Observações/Comentários: Este objeto foi construído vislumbrando o máximo possível à auto-explicação de forma a possibilitar ao aprendiz a autonomia necessária à construção do conhecimento com algumas variantes no processo, sem equivalência entre elas. Interação: aprendiz (turma) → OA → conceitos da Física Interação: aprendiz (turma) → OA → conceitos da Física em processo mediado pelo professor. Interação: grupo de estudos (aprendizes e/ou professor) com participantes distribuídos, mas interligados em rede → OA → conceitos da Física. Seria interessante, em atividades mediadas sistematizar algumas lógicas: - Conceber e administrar situações-problema ajustadas ao nível e possibilidades cognitivas do aprendiz. - Negociar um processo avaliativo congruente com o OA. - Observar e avaliar os alunos em aprendizagem de acordo com uma abordagem formativa. - Administrar a heterogeneidade cognitiva no âmbito da turma. - Proporcionar um ambiente favorável ao desenvolvimento da autonomia do aprendiz que permita articular suas visões. - Articular a solução de problemas com a construção dos conceitos da Física. Consideramos que a maneira de como conduzir o processo de ensino-aprendizagem influencia tanto quanto o conteúdo.

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Título da animação: Geometria – Polígonos e Retas Autor: NOA

Tela 01

Texto: Tela inicial contendo todas as partes constituintes do objeto de aprendizagem que podem ser acessadas através de botões. No exemplo o botão destacado é o Guia do Professor.

Explicação sobre a ação: Clicando no botão “GUIA DO PROFESSOR” um arquivo com extensão pdf será aberto com um texto que especifica os objetivos, metodologia de produção e de uso do objeto de aprendizagem em questão. Título da animação: Geometria – Polígonos e Retas Autor: NOA

Tela 02

Texto: Tela inicial contendo todas as partes constituintes do objeto de aprendizagem que podem ser acessadas através de botões. No exemplo o botão destacado é o Saiba Mais.

Explicação sobre a ação: Clicando no botão SAIBA MAIS um arquivo com extensão pdf será aberto um texto que aprofunda a temática geral mais especificamente. No caso deste objeto será aberto um texto que tem como título: Geometria: Polígonos, Retas e história.

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Título da animação: Geometria – Polígonos e Retas Autor: NOA

Tela 03

Texto: Tela inicial contendo todas as partes constituintes do objeto de aprendizagem que podem ser acessadas através de botões. No exemplo o botão destacado é o Texto Complementar.

Explicação sobre a ação: Clicando no botão TEXTO COMPLEMENTAR será aberto um arquivo com extensão pdf que discute qualitativamente o tema abordado no objeto, ou seja, nesse objeto, abrirá um texto cujo o título é: Geometria: Polígonos e Retas do texto ao contexto. Título da animação: Geometria – Polígonos e Retas Autor: NOA

Tela 04

Texto: Tela inicial contendo todas as partes constituintes do objeto de aprendizagem que podem ser acessadas através de botões. No exemplo o botão destacado é o Mapa Conceitual.

Explicação sobre a ação: Clicando no botão referente ao MAPA CONCEITUAL, abrirá uma página com a imagem de mapas conceituais referentes ao conteúdo de Geometria.

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Título da animação: Geometria – Polígonos e Retas Autor: NOA

Tela 05

Texto: Tela inicial contendo todas as partes constituintes do objeto de aprendizagem que podem ser acessadas através de botões. No exemplo o botão destacado é o Questões e Desafios.

Explicação sobre a ação: Clicando no botão QUESTÕES e DESAFIOS será aberto um arquivo com extensão pdf que contém questões em um nível conceitual sobre o tema abordado. Título da animação: Geometria – Polígonos e Retas Autor: NOA

Tela 06

Texto: Tela inicial contendo todas as partes constituintes do objeto de aprendizagem que podem ser acessadas através de botões. No exemplo o botão destacado é o Animação Interativa.

Explicação sobre a ação: Clicando no botão ANIMAÇÃO INTERATIVA, irá se abrir em outra janela a tela inicial da animação interativa.

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Título da animação: Geometria – Polígonos e Retas Autor: NOA

Tela 07

Texto: Tela inicial aleatória da animação. Nesta figura é exibida uma série de figuras geométricas para uma das três opções do grupo de estudo polígonos.

Explicação sobre a ação: Assim que animação é carregada o aluno pode interagir selecionando o grupo de estudo de seu interesse: segmento de reta, polígono e retas. Título da animação: Geometria – Polígonos e Retas Autor: NOA

Tela 08

Texto: Tela inicial da animação no grupo de estudo segmento de reta com um exemplo.

Explicação sobre a ação: Utilizando o mouse o aluno pode selecionar os dois pontos que compõem o segmento de reta. Na seqüência, o usuário pode observar as projeções e os diversos segmentos de reta semelhantes, além de um mapa conceitual.

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Título da animação: Geometria – Polígonos e Retas Autor: NOA

Tela 09

Texto: Tela inicial da animação no grupo polígonos com um exemplo.

Explicação sobre a ação: Clicando em vários pontos no plano cartesiano será formado um polígono. O usuário observará valores como área, perímetro, ângulos internos e estudo de conjuntos côncavos e convexos alterando o formato da figura através do mouse, além de um mapa conceitual. Título da animação: Geometria – Polígonos e Retas Autor: NOA

Tela 10

Texto: Tela inicial da animação para o grupo de estudo retas e um exemplo.

Explicação sobre a ação: Clicando em quatro pontos serão formadas duas retas. Neste grupo a reta AB pode sofrer rotação e a reta CD pode ser transladada. Neste grupo o estudo do paralelismo entre retas é desenvolvido, além de estudos conceituais através do mini-mapa.

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Título da animação: Geometria – Polígonos e Retas Autor: NOA

Tela 11

Texto: Mapa conceitual interativo. Conceitos referentes ao estudo de geometria

Explicação sobre a ação: Clicando em algum conceito do mapa abrirá um balão de diálogo explicando com mais detalhes o conceito escolhido.

Título da animação: Geometria – Polígonos e Retas Autor: NOA

Tela 12

Texto: Mapa conceitual interativo. Conceito mais detalhado do mapa conceitual apresentado na tela anterior.

Explicação sobre a ação: Detalha-se o conceito escolhido no mapa. Clicando-se nos botões as opções fechar o mapa e retornar a animação ou retornar ao mapa estão disponíveis.

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Título da animação: Colisões Bidimensionais Autor: NOA

Tela 13

Texto: Imagem da animação na opção de ajuda.

Explicação sobre a ação: Clicando no botão de ajuda o aluno poderá obter informações sobre as partes constituintes do Objeto de Aprendizagem e instruções para sua navegação através do mesmo. Na figura é mostrada a opção DIV com exemplos de desenhos e explicações.