Upload
alejandro-fels-person
View
242
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
1/120
Mnimo comn mltiplo (m.c.m.).- Es elnmeromenor de los mltiplos en comn de ungrupode nmeros. Para calcularlo se descomponen en factoresprimoscada uno de losnmeros hasta que todos sean uno y se multiplican los primos obtenidos.
Mximo comndivisor(M.C.D.).- Es el nmeromayorde los mltiplos en comn de un
grupo de nmeros. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de losnmeros hasta que no tengan un divisor primo comn y se multiplican los primosobtenidos.
1.3.Operacionesconnmeros racionales:
Sumay resta de fracciones.- Se resuelven, obteniendo el m.c.m. de cada uno de losdiferentes denominadores, y se divide entre cada denominador y multiplicandoporcadanumerador. Al final los nmeros obtenidos se suman o restan, dependiendo del caso.
Nota: Cuando los denominadores son iguales, entoncessolose suman o restan losnumeradores.
Multiplicacin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el numerador por numerador ydenominador por denominador.
http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=c2c547d8fb03ec1c&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=c2c547d8fb03ec1c&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=c2c547d8fb03ec1c&fi=f89300dbf85ba54chttp://www.monografias.com/trabajos14/dinamica-grupos/dinamica-grupos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/dinamica-grupos/dinamica-grupos.shtmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/PRIMOShttp://en.wikipedia.org/wiki/PRIMOShttp://en.wikipedia.org/wiki/PRIMOShttp://en.wikipedia.org/wiki/Divisorhttp://en.wikipedia.org/wiki/Divisorhttp://en.wikipedia.org/wiki/Divisorhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=fbac74f9fd8b98b6&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=fbac74f9fd8b98b6&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=fbac74f9fd8b98b6&fi=f89300dbf85ba54chttp://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=2d5747d944e22476&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=2d5747d944e22476&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=2d5747d944e22476&fi=f89300dbf85ba54chttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=3f8847c4fa8189e4&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=3f8847c4fa8189e4&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=3f8847c4fa8189e4&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=73de33782d90b293&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=73de33782d90b293&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=73de33782d90b293&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=73de33782d90b293&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=3f8847c4fa8189e4&fi=f89300dbf85ba54chttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=2d5747d944e22476&fi=f89300dbf85ba54chttp://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=fbac74f9fd8b98b6&fi=f89300dbf85ba54chttp://en.wikipedia.org/wiki/Divisorhttp://en.wikipedia.org/wiki/PRIMOShttp://www.monografias.com/trabajos14/dinamica-grupos/dinamica-grupos.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=c2c547d8fb03ec1c&fi=f89300dbf85ba54c7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
2/120
Divisin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundodenominador, colocando el resultado en el numerador y multiplicando el primerdenominador por el segundo numerador, colocando el resultado en el denominador.
Potencia y Raz
Potencia: Es el nmero de veces en que debe multiplicarse la base por si misma, segn suexponente.
Raz: Es elvalorque al multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el ndice,se obtiene el valor que esta dentro del radical.
Ejem:
Ejem:
1.4 Razones y Proporciones
Razn: Es el cociente de dos nmeros, esdeciruna fraccin, donde el numerador se llamaantecedente y al denominador consecuente. La razn se representa como sigue:
Ejem:
Proporcin: Es laigualdadde dos razones. La razn se representa como sigue:
Ejem:
donde los nmeros 7 y 6 son extremos y los nmeros 3 y 14 sonmedios.
http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=5c6fca695e069f92&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=5c6fca695e069f92&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=5c6fca695e069f92&fi=f89300dbf85ba54chttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/medios-comunicacion/medios-comunicacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/medios-comunicacion/medios-comunicacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/medios-comunicacion/medios-comunicacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/medios-comunicacion/medios-comunicacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=5c6fca695e069f92&fi=f89300dbf85ba54chttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
3/120
1.5 Regla de Tres
Regla de tres directa Proporcin directa.- Cuando comparamos dos razones del mismotipo establecemos una equivalencia, obtenemos una proporcin, es decir, si una aumenta odisminuye, la otra tambin aumenta o disminuye en la misma proporcin.
Ejem: Si enuna empresaun empleado gana $4400 por 20 das trabajados. Cuanto ganarpor 30 das?
Regla de tres inversa Proporcin inversa.- Cuando comparamos dos razones uno de losparmetros aumenta y el otro disminuye. Esto es muy claro en casos deproduccinconrespecto altiempo.
Ejem: Si en unaempresa20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 das. Cuantos obrerosse requieren para producir la misma cantidad de fusibles en 4 das?
1.6 Tanto por Ciento
Definicin: Es una fraccin cuyo denominador es 100, es decir la centsima parte de algo.Se expresa con el smbolo %. Cuando se va a operar la cantidad, se tiene que cambiar poruna fraccin o por un decimal equivalente.
Ejem: 18% 0.18
33.5% 0.335
Clculo del porcentaje:
Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado enforma decimal.
Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el 3% de 1655
1450(0.32) = 464 1655(0.03) = 49.65
Tambin se puede obtener un nmero en especfico con regla de tres directa.
Ejem: Hallar el nmero del cual 400 es el 8%
http://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/produccion-sistema-economico/produccion-sistema-economico.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/produccion-sistema-economico/produccion-sistema-economico.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/produccion-sistema-economico/produccion-sistema-economico.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/produccion-sistema-economico/produccion-sistema-economico.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
4/120
Ejem: Hallar el nmero del cual 4590 es el 60%
Tambin se puede aplicar para resolverproblemascomo los siguientes:.
Ejem: Un vendedor recibe de comisin el 12% porventarealizada. Si vende mercanca porun total de $44000. Cuanto recibir de comisin?
$44000(0.12) = $5280
Ejem: Unproductoque cuesta $120, se requiere que al venderse, se obtenga una gananciadel 8.5%. En cuanto debe venderse?
Reactivos Unidad 1:
http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos12/curclin/curclin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/curclin/curclin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/curclin/curclin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/curclin/curclin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
5/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
6/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
7/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
8/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
9/120
UNIDAD 2.
lgebra
2.1 Propiedades y Definiciones
Trmino Algebraico.- Es la expresin algebraica, que se compone de: signo, coeficiente,base literal y exponente.
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
10/120
Trmino Semejante.- Es la expresin algebraica, que se compone de misma base y mismoexponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes.
Ejem: es semejante a
Ejem: es semejante a
Clasificacin de Trminos Algebraicos.- Se clasifican segn su nmero de trminos, de lasiguiente manera:
Monomio = un solo trmino Ejem:
Binomio = dos trminos Ejem:
Trinomio = tres trminos Ejem:
Polinomio = 2 ms trminos Ejem:
2.2Leyesde los signos
Sumay Resta:
Ejem: Ejem:
Ejem: Ejem:
Ejem: Ejem:
Ejem: Ejem:
http://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
11/120
Multiplicacin y Divisin:
Ejem: Ejem:
Ejem: Ejem:
2.3Signosde Agrupacin
Definicin.- Son los signos que nos sirven para agrupar trminos u operaciones entreellos,los principales son:
Parntesis Corchete Llave
Cuando se aplican en operaciones, elobjetivoes suprimirlos multiplicando por el trmino signo que le antecede. Si en una expresinmatemticaexisten varios signos de agrupacin,se procede a eliminarlos de adentro hacia fuera.
Ejem: Ejem:
Ejem:
http://www.monografias.com/trabajos36/signos-simbolos/signos-simbolos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/signos-simbolos/signos-simbolos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/signos-simbolos/signos-simbolos.shtmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Elloshttp://en.wikipedia.org/wiki/Elloshttp://en.wikipedia.org/wiki/Elloshttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Elloshttp://www.monografias.com/trabajos36/signos-simbolos/signos-simbolos.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
12/120
2.4Evaluacinde expresiones algebraicas
El valor numrico de una expresin algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o
literales por un valor especfico.
Ejem: Si x =2 & y = -1 de la expresin:
sustituyendo:
Ejem: Si & de la expresin:
sustituyendo:
2.5Lenguajealgebraico
Definicin.- Es la forma de expresin comn o coloquial que se expresa de formaalgebraica.
Ejem:
Un nmero cualquiera x
Un nmero cualquiera aumentado en dos
La diferencia de dos nmeros cualquiera
El triple de un nmero disminuido en cuatro
http://www.monografias.com/trabajos11/conce/conce.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conce/conce.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conce/conce.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/concepto-de-lenguaje/concepto-de-lenguaje.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/concepto-de-lenguaje/concepto-de-lenguaje.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/concepto-de-lenguaje/concepto-de-lenguaje.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/concepto-de-lenguaje/concepto-de-lenguaje.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conce/conce.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
13/120
La cuarta parte de un nmero
Las tres cuartas partes de lasumade dosnmeros
La suma de tres nmeros naturales consecutivo
Las dos quintas partes de un nmerodisminuido en cuatro es igual a 24
Lasumade tres nmeros pares consecutivos,es igual al cudruple del menor ms la mitad
del mayor
2.6 Leyes de los Exponentes
Multiplicacin: Sumar los exponentes
Ejem: Ejem:
Divisin: Restar los exponentes
Ejem: Ejem:
Potencia : Multiplicar los exponentes
Ejem: Ejem:
Inverso: Cambiar signo de exponente
Ejem: Ejem:
Unitario: Siempre es igual a uno
Ejem: Ejem:
2.7 Operaciones algebraicas
Sumay Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen de sumar restartrminos semejantes.
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
14/120
Ejem: Sumar &
Ejem: Restar de
Multiplicacin.- La operacin algebraica de multiplicar, bsicamente puede efectuarse,como sigue:
Monomio por monomio
Ejem:
Monomio por polinomio
Ejem:
Ejem:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
15/120
Polinomio por polinomio
Ejem:
Divisin.- La operacin algebraica de dividir, bsicamente puede efectuarse, como sigue:
Monomio entre monomio
Ejem: Ejem:
Polinomio entre monomio
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
16/120
Ejem:
Polinomio entre polinomio
Ejem:
T
T
2.8 Radicales
Propiedades de los radicales:
ndice = potencia :
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
17/120
Ejem: Ejem:
ndice ? potencia:
Ejem: Ejem:
Multiplicacin con mismo ndice:
Ejem: Ejem:
Ejem:
Multiplicacin con diferente ndice:
Ejem:
Ejem:
Raz de una raz:
Ejem: Ejem:
Divisin con ndices iguales:
Ejem: Ejem:
Divisin con ndices diferentes:
Ejem:
Ejem:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
18/120
Operaciones con radicales:
Sumay Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen de sumar restarradicales semejantes, es decir, con el mismo ndice y la misma base, segn la siguienteregla:
Ejem: Resolver:
Ejem: Resolver:
Ejem: Resolver:
Ejem: Resolver:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
19/120
Racionalizacin.- Es el convertir una fraccin con denominador en forma de radical, enotra fraccin equivalente, donde su denominador sea un nmero entero.
De un denominador monomio:
Forma: se multiplica por y se simplifica.
Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador, obtenindose:
Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador,obtenindose:
De un denominador binomio:
Forma: se multiplica por el conjugado del denominador yse simplifica.
Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador, obtenindose:
Ejem: se multiplica por: el numerador y eldenominador, obtenindose:
Nmeros Imaginarios.- Es el expresado como " i ", significa la raz cuadrada de "-1", es
decir:
Entonces tambin:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
20/120
Ejem:
Ejem:
Ejem:
Operaciones con nmeros imaginarios
Sumay Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen aplicando:
Ejem: Resolver:
Ejem: Resolver:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
21/120
Ejem: Resolver:
2.9ProductosNotables
Definicin.- Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemosllegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:
Binomio al cuadrado Binomios conjugados Binomios con trmino comn Binomio al cubo
Binomio al cuadrado
Regla:
Ejem: Ejem:
Binomios conjugados
Regla:
Ejem: Ejem:
http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
22/120
Binomios con trmino comn
Regla:
Ejem:
Ejem:
Binomio al cubo
Regla:
Ejem:
Ejem:
2.10 Factorizacin
Definicin.- Es la forma ms simple de presentar unasumao resta de trminos como unproducto indicado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:
Factor comn Diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma Trinomio de la forma
Factor comn
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
23/120
Regla: Paso 1: Obtener el mximo comndivisor( MCD )
Paso 2: Menor exponente de las literales comunes
Paso 3: Dividir cada trmino entre el factor comn obtenido
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x2+bx+c
Regla:
Ejem: Ejem:
Trinomio de la forma ax2+bx+c
Simplificacin de fracciones algebraicas.- Es la aplicacin de los conocimientos deproductos notables y factorizacin, tanto en el numerador como en el denominador, sesimplifica a su mnima expresin.
Sumay resta con denominadores diferentes
http://en.wikipedia.org/wiki/Divisorhttp://en.wikipedia.org/wiki/Divisorhttp://en.wikipedia.org/wiki/Divisorhttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Divisor7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
24/120
Ejem: Ejem:
Divisin
Ejem: Ejem:
Ejem: Ejem:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
25/120
Multiplicacin
Ejem: Ejem:
Reactivos Unidad 2:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
26/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
27/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
28/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
29/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
30/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
31/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
32/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
33/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
34/120
UNIDAD 3.
Ecuaciones
3.1Ecuacionesde primer grado con una incgnita
Definicin.- Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, dondela incgnita debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su valor, por lo que sedeben tener las siguientes consideraciones:
http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCION7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
35/120
3.2 Desigualdades de primer grado con una incgnita
Definicin.- Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros,donde la variable debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su conjunto solucin,se aplican bsicamente las mismas reglas que para una ecuacin, adems de las siguientesconsideraciones:
Regla: Cada vez que un trmino se multiplique divida entre un nmero negativo, cambiael sentido de la desigualdad
Signos de Desigualdad y Grfica
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
36/120
3.3Sistemade Ecuaciones (2 ecuaciones con 2 incgnitas)
Definicin.- Es el llamado "Sistema de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incgnitas", en queel objetivo es encontrarlos valoresde stas 2variables. Existen variosmtodospara susolucin, entre los cuales estn los llamados "Reduccin" (Sumay Resta) y"Determinantes" (Regla de Kramer), que se explican a continuacin:
Mtodo de Reduccin (Suma y Resta)
Regla: Eliminar una de las 2 variables multiplicando una las 2 ecuaciones por un factor factores que hagan que lasumade una de las variables sea "cero" y despejar la variable
http://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
37/120
restante para obtener su valor, posteriormente sustituir el valor encontrado en una de lasecuaciones originales y obtener el valor de la segunda variable.
Mtodo por Determinantes (Regla de Kramer)
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
38/120
Problemas de Aplicacin
Dentro delprocesode resolucin de problemas, se pueden diferenciar seis etapas:
1. Leer el problema
2. Definir las incgnitas principales de forma precisa 3.Traduccinmatemtica del problema 4. Resolucin del problema matemtico 5. Interpretar las soluciones 6. Contrastar la adecuacin de esas soluciones
Ejem: En un zoolgico hayaves(de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoolgicocontiene 60 cabezas y 200 patas, cuntas aves y cuntos tigres viven en l?
http://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos32/traductor/traductor.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos32/traductor/traductor.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos32/traductor/traductor.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/hiscla/hiscla2.shtml#aveshttp://www.monografias.com/trabajos5/hiscla/hiscla2.shtml#aveshttp://www.monografias.com/trabajos5/hiscla/hiscla2.shtml#aveshttp://www.monografias.com/trabajos5/hiscla/hiscla2.shtml#aveshttp://www.monografias.com/trabajos32/traductor/traductor.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCE7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
39/120
3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones con 3 incgnitas)
Definicin.- Es el llamado "Sistema de 3 ecuaciones de 1er grado con 3 incgnitas", en queel objetivo es encontrar losvaloresde stas 3 variables. Los mtodos para su solucin, son:"Reduccin" (Sumay Resta) y "Determinantes" (Regla de Kramer):
Mtodo por Determinantes (Regla de Kramer)
Realizar los pasos siguientes:
1. Se escribe el determinante de tres por tres. 2. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales. 3. Se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha. 4. Se multiplican entre si los tres nmeros por los que pasa cada diagonal. 5. Los productos de los nmeros que estn en las diagonales trazadas de izquierda a
derecha se escriben con su propio signo y los de derecha a izquierda con el signocambiado.
http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
40/120
3.5 Ecuaciones de 2do grado con una incgnita
Clasificacin
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
41/120
Mtodos de solucin
Completas: forma ax2 + bx + c = 0
Es cuando, la ecuacin est compuesta por un trinomio, donde existen los valores de "a, b yc" , y para encontrar sus dos races soluciones, se utilizan los mtodos siguientes:
Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0
Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de "a y b,pero no de c", y para encontrar sus dos races soluciones, se utiliza elmtododefactorizacin por trmino comn y se despeja, como sigue:
http://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
42/120
Incompletas puras: forma ax2 + c = 0
Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de "a y c,pero no de b", y para encontrar sus dos races soluciones, se utiliza el mtodo de despeje,como sigue:
Reactivos Unidad 3:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
43/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
44/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
45/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
46/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
47/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
48/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
49/120
Cul es el valor de "x" que satisface la ecuacin ?
a) b) c) d) e)
Cul es el valor de "x" que satisface la ecuacin ?
a) b) c) d) e)
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
50/120
Al resolver la ecuacin , se obtiene:
a) b) c) d) e)
Al resolver la ecuacin , se obtiene:
a) b) c) d) e)
Al resolver la ecuacin , se obtiene:
a) b) c) d) e)
El valor de "x" que cumple con la igualdad es:a) b) c) d) e)
El valor de "x" que cumple con la igualdad es:
a) b) c) d) e)
Al resolver la ecuacin se obtiene:
a) b) c) d) e)
Al resolver la ecuacin se obtiene:
a) b) c) d) e)
Al resolver la ecuacin se obtiene:
a) b) c) d) e)
De la ecuacin el valor de "x" que satisface es:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
51/120
a) b) c) d) e)
De la ecuacin el valor de "x" que satisface es:
a) b) c) d) e)
Al resolver la siguiente ecuacin se obtiene:
a) b) c) d) e)
:Lasumade dos nmeros naturales enteros consecutivos es 183, hallar los nmeros:a) b) c) d) e)
El menor de dos nmeros impares consecutivos es el doble del mayor disminuido en15. Hallar los nmeros
a) b) c) d) e)
El triple de la suma de un nmero con su mitad igual a las 2/3 partes del mismonmero aumentado en 46.
a) b) c)
d) e)
Cul es el nmero que sumado con su duplo da 261?a) 78 b) 45 c) 87 d) 97 e) 89
Lasumade dos nmeros es 450 y su cociente 8. Hallar los nmeros.a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40 e) 420 y 30
Si a un nmero aado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2,obtengo 122. Cul es el nmero?
a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
52/120
La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de Guillermo, Si ste tiene 30 aos Cules la edad de Roberto?
a) 14 aos b) 18 aos c) 13 aos d) 10 aos e) 12 aos
Lasumade dos nmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Cules son losnmeros?
a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y 54
Encontrar los tres nmeros consecutivos cuya suma sea 186.a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69 d) 32,33 y 34 e) 62,62 y 62
Lasumade las edades de Sonia y Too es 84 aos y Too tiene 8 aos menos queSonia. Hallar ambas edades.
a) 38 y 46 b) 40 y 44 c) 41 y 43 d) 37 y 40 e) 38 y 41
Un cateto de un tringulo mide 20 cm y la hipotenusa es 10 cm mayor que el otrocateto .Hallar las longitudes de los lados desconocidos
a) b) c) d) e)
Cules son las races de ?
a) b) c) d) e)
Al resolver la ecuacin se obtiene:
a) b) c) d) e)
Al resolver la ecuacin se obtiene:
a) b) c) d) e)
El conjunto solucin de es:
a) b) c) d) e)
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
53/120
El conjunto solucin de es:
a) b) c) d) e)
El conjunto solucin de es:
a) b) c) d) e)
El conjunto solucin de es:
a) b) c) d) e)
Al resolver la ecuacin se obtiene:
a) b) c) d) e)
Al resolver la ecuacin se obtiene:
a) b) c) d) e)
Al resolver la ecuacin se obtiene:
a) b) c) d) e)
Al resolver la ecuacin se obtiene:
a) b) c) d) e)
Cul de los siguientes valores cumple con:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
54/120
a) b) c) d) e)
Cul de los siguientes afirmaciones es verdadera, si
a) b) c) d) e)
El conjunto solucin de es:a) b) c) d) e)
El conjunto solucin de la desigualdad es:a) b) c) d) e)
El conjunto solucin de la desigualdad es:
a) b) c) d) e)
El conjunto solucin de la desigualdad es:
a) b) c) d) e)
El intervalo que satisface a es:
a) b) c) d) e)
La expresin que representa "a lo ms tengo 250" es:
a) b) c) d) e)
La expresin que representa "por lo menos tengo 500" es:a) b) c) d) e)
El conjunto solucin de es:a) b) c) d) e)
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
55/120
Los valores de las incgnitas del sistema son: a) b) c)
d) e)
o Los valores de las incgnitas del sistema son:
a) b) c)
d) e)
o El valor de "x" del sistema de ecuaciones es:
a) b) c) d) e)
o El valor de "y" del sistema de ecuaciones es:
a) b) c) d) e)
o Si x = 2 y y = 3 . La solucin del sistema de ecuaciones simultneas es:
a) b) c)
d) e)
o Un perro y su collar han costado $54, yel perrocost 8 veces lo que elcollar. Cunto cost el perro y cunto el collar?
a) Perro $48 y collar $6 b) Perro $32 y collar $22 c) Perro $50 y collar $4
d) Perro $46 y collar $8 e) Perro $47 y collar $7
o La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y ambas edades suman 36 aos.Hallar ambas edades.
a) Juan 12, Pedro 24 b) Juan 24, Pedro 12 c) Juan 12, Pedro 12
d) Juan 21, Pedro 15 e) Juan 15, pedro 21
http://en.wikipedia.org/wiki/El_perrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_perrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_perrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_perro7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
56/120
o El valor de "x" , por medio de determinantes es:
a) b) c)
d) e)
o El valor de "y" , por medio de determinantes es:
a) b) c)
UNIDAD 4.
lgebra de funciones
Valor de una funcin
Se obtiene, al sustituir el valor de "x" en lafuncinf(x):
Ejem: Si f(x) = obtener el valor de f(-4) y f(3)
Ejem: Si f(x) = obtener el valor de f(-2) y f(4)
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
57/120
4.1Dominioy Rango
Dominio, es el conjunto de todos los valores de "x" admisibles para una funcin.
Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de "y" al sustituir cada una delos elementos del dominio en la funcin.
Ejem: El dominio de la funcin racional
entonces, sus races son:
Ejem: El dominio de la funcin racional
entonces, sus races son:
Ejem: Para que valor de "x" la funcin seindetermina:
entonces, para: la funcin se indetermina
Funcin cuadrtica
Es de la forma y representa una parbola, donde su concavidad es hacia arriba
cuando "a" es positiva y es hacia abajo cuando "a" es negativa.
El vrtice de la parbola, se obtiene en el punto:
Los puntos donde la grfica interseca al eje "x", son la solucin de la ecuacin.Dependiendo de su concavidad y la coordenada de su vrtice, se puede obtener eldominio y el rango de la funcin.
http://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
58/120
Ejem: Sea la funcin obtener su dominio y rango.
El vrtice es: entonces, y la curva es cncavahacia arriba
ahora, las races de: sus races son:
entonces:
Ejem: Graficar las siguientesfuncionesindicando dominio y rango.
4.2 Funciones y relaciones
Definicin
Se le llama relacin, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2conjuntos.
Se le llama funcin, a la relacin entre dos conjuntos, de tal manera que para cada"x", corresponda un solo elemento de "y".
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
59/120
Regla: Para determinar si una grfica es una funcin relacin, basta con trazar unavertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de interseccin. Es decir, si slotoca un punto, se refiere a una funcin; si toca ms de un punto se refiere a unarelacin.
Clasificacin de Funciones
4.3 Funcin Logartmica y exponencial:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
60/120
Es de la forma
, donde:
Forma logartmica: corresponde a:
Forma exponencial:
Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:
Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:
Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:
entonces:
Ejem: Al convertir en forma
exponencial, obtenemos:
Reactivos Unidad 4:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
61/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
62/120
UNIDAD 5.
Geometra euclidiana
5.1 ngulos
Clasificacin Bsica
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
63/120
Se le llamangul o complementar io, son los ngulo cuyasumaes igual a 90o .
Ejem: El complemento de 70o es 20o , porque
Ejem: El complemento de 35o es 55o , porque
Se le llamangul o suplementar io, los ngulo cuyasumaes igual a 180o .
Ejem: El suplemento de 40o es 140o , porque
Ejem: El suplemento de 135o es 45o , porque
5.2 Conversin de grados a radianes yviceversa
Reactivos Unidad 5:
UNIDAD 6.
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
64/120
Trigonometra
6.1 Teorema de Pitgoras
Definicin.- Aplicado para todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa (
c ) es igual a lasumade los cuadrados de sus catetos (a y b ).
6.2 Funciones Trigonomtricas
Definicin.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un tringulorectngulo y son:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
65/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
66/120
o Unaoficinade forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m,Cunto mide el otro lado?
a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2
o Segn la figura, la razncorresponde a la funcin:
o Segn la figura, la razn : corresponde a la funcin:
http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
67/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
68/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
69/120
Respuestas a Reactivos de Matemticas
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
70/120
4. Si Pm (-1,3) es el punto medio del segmento AB y B tiene por coordenadas B(8,6)entonces las coordenadas de A son:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
71/120
a) (- 10, 0) b) (- 10, 3) c) (- 3, - 10) d) (0, 10)e) (10, 3)
5. Cul es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos P1 (- b, - a) y P2(a,b)?
a) b) c) (0, 0) d)
7.3
Pendiente de una recta.
La pendiente es la inclinacin que tiene una recta, es el cociente de laalturay la base.Podemos calcularla a partir de dos puntos A(x1, y1) y B (x2, y2), la pendiente quedadeterminada como:
Ejemplo.
1. Cul es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (3, -1) y B (7, 2)
Nota: Te sugerimos realizar los siguientes ejercicios como medida de refuerzopara
aprenderte las frmulas. Te recomendamos verificar leyes de lossignos, ya que es el errorcomn en ste tipo de ejercicios.
Encuentre la distancia, la pendiente y el punto medio entre los puntos dados:
1) P (-5, 1) y Q (3, 7) 2) R (5, 7) y S (3, 1) 3) A (2, -4) y B (- 4, 4)
http://en.wikipedia.org/wiki/Alturahttp://en.wikipedia.org/wiki/Alturahttp://en.wikipedia.org/wiki/Alturahttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=c2c547d8fb03ec1c&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=c2c547d8fb03ec1c&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=c2c547d8fb03ec1c&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=0be068245125479a&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=0be068245125479a&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=0be068245125479a&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=0be068245125479a&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=c2c547d8fb03ec1c&fi=f16b4d69d02b6516http://en.wikipedia.org/wiki/Altura7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
72/120
4) C (-1, - 4) y D (3, 6) 5) G (0, 0) y H (- 6, -7) 6) T (- 2,5) y S (6, 4)
7.4 Ecuacin de la recta.
La recta esta determinada por una ecuacin deprimergrado; es decir, el exponente de lasvariables es 1. Su forma generales:
Ax + By + C = 0
Cuenta con 2 elementos principales, la pendiente ( m) y su ordenada alorigen(b).
Pendiente Ordenada al origen
Y con stos datos obtenemos la forma Simplificada:
De la ecuacin simplificada, consideramos y = 0, obtenemos un valor que llamaremos a(abscisa). Obteniendo la ecuacin Simtrica:
Ejercicio 3:
1. La pendiente de la recta 2x + 4y - 5 = 0 es:
a) - 1/2 b) c) - 4/5 d) 2 e)- 2
2. La pendiente de la recta 6x -2y +1 = 0 es:
a) - 1/2 b) c) - 4/5 d) - 3 e)3
3. La pendiente de la recta 6x - 3y + 1 = 0
a) - 1/2 b) c) - 2 d) 2 e)3
4. La pendiente y ordenada alorigende la recta 4(x - 1) + 2y = 0 son:
http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=278202dc646a9293&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=278202dc646a9293&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=278202dc646a9293&fi=f16b4d69d02b6516http://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=278202dc646a9293&fi=f16b4d69d02b65167/27/2019 Guia Mate Unam Temp
73/120
a) m = - 2, b = - 2 b) m = - 2, b = 2 c) m = 2, b = 2 d) m = 3, b = 2e) m = 4, b = - 1
Ahora analizaremos algunos casos especiales para encontrar la ecuacin de una recta:
Caso I. Si nos dan dos puntosA(x1, y1) y B (x2, y2);primerocalculamos la pendiente yposteriormente utilizamos la ecuacin:
... Ecuacin Punto pendiente
Ejemplo.
Encuentre la ecuacin de la recta formada por los puntos A (3, - 1) y B (7, 2)
Primero calcularemos la pendiente.
Posteriormente utilizaremos la ecuacin punto pendiente, sustituyendo cualquiera de los
dos puntos dados y la pendiente encontrada. Tomaremos A (3, - 1) y pendiente
y - (-1) = 3/4 (x - 3)
4 (y + 1) = 3 (x - 3)
4y + 4 = 3x - 9
- 3x + 4y + 4 + 9 = 0
- 3x + 4y + 13 = 0
3x - 4y - 13 = 0 solucin.
Ejercicio 4:
1. La ecuacin de la recta que pasa por los puntos P(5, 0) Y Q (0, - 3) es:
a) 3x - 5y + 15 = 0 b) 3x - 5y - 15 = 0 c) 3x - 5y + 1 =0
d) 5x - 3y -1 = 0 e) 5x + 3y - 1 = 0
2. La ecuacin de la recta que pasa por los puntos C (-5, 0) y B (0, 6) es:
http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=3f2db242d013e234&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=3f2db242d013e234&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=3f2db242d013e234&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=3f2db242d013e234&fi=f16b4d69d02b65167/27/2019 Guia Mate Unam Temp
74/120
a) 6x + 5y + 30 = 0 b) 6x - 5y - 30 = 0 c) 5x + 6y + 30= 0
d) 5x - 6y + 30 = 0 e) 6x - 5y + 30 = 0
3. Cul es la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (-2, - ) y (-1/5 , 3)?
a) -35x - 18y + 61 = 0 b) 35x - 18y + 61= 0 c) - 35x + 18y + 61 = 0 d) 35x + 18y +61 = 0
4. La ecuacin de la recta que pasa por los puntos P1(- 2, - 1) y P2 ( , 6) es:
a) 14y - 5x + 4 = 0 b) 14y - 5x - 4 = 0 c) 5y - 14x - 23 = 0 d) 5y + 14x + 23= 0
Caso 2. Si nos dan un punto y la pendiente, se sustituyen los datos en la ecuacin punto
pendiente.
Encuentre la ecuacin de la recta formada por el punto A ( 2, - 3) y la pendiente m = - 2.
y - (-3) = -2 (x - 2)
y + 3 = -2x + 4
2x + y + 3 - 4 = 0
2x + y -1 = 0 solucin.
Ejercicio 5:
1. Cul es la ecuacin de la recta cuya pendiente es - 3/5 y pasa por el punto (- 6, - 8 )?
a) 5y + 3x + 58 = 0 b) 5y - 3x + 22 = 0 c) 5y - 3x + 58 = 0 d)5y + 3x - 22 =0
2. Cul es la ecuacin de la recta que pasa por el punto P( 1/3, - 4) y cuya pendiente es - 2?
a) 3x + 6y - 25 = 0 b) 3x + 6y + 23 = 0 c) 6x + 3y - 14 = 0 d) 6x + 3y + 10 =
0
3. Cul es la ecuacin de la recta cuya pendiente es - 3/2 y que interseca al eje y en (0, -5)?
a) 3x + 2y - 10 = 0 b) 3x + 2y + 10 = 0 c) 6x + 2y - 5 = 0 d) 6x + 2y + 5 =0
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
75/120
4. Ecuacin de la recta cuya pendiente es - 3/8 y que interseca al eje y en (0, - 1)?
a) 3x + 8y - 1 = 0 b) 3x + 8y + 8 = 0 c) 8x + 3y + 8= 0 d) 8x + 8y + 3 =0
7.5 Paralelismo y perpendicularidad.
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas.
- Paralelassi m1 = m2(Si las pendientes son iguales)
- Perpendicularessi: m1m2 =- 1(Si son de signo contrario y recprocas)
Caso 3. Encontrar la ecuacin de una recta dado un puntoy la ecuacin de una rectaparalelaa ella.
Como las rectas son paralelas, entonces las pendientes soniguales, por lo que si tomamos elpunto dado y la pendiente de la recta dada, tendremos nuestro problema resuelto.
Ejemplo:
La ecuacin de la recta que pasa por el punto (5, - 2) y es paralela a la recta 5x + 12y - 30 =0 es:
Como son paralelas, las pendientes son iguales, entonces m = - 5 / 12
Tomando el punto (5, - 2) y la pendiente m = - 5 / 12; la sustituimos en la ecuacin punto
pendiente y- y1 = m (x- x1)
y - (-2) = -5 / 12 (x - 5)
12 (y + 2) = -5 (x - 5)
12y + 24 = - 5x + 25
5x + 12y + 24 -25 = 0
5x + 12y -1 = 0 solucin.
Ejercicio 6:
1. Cul es la ecuacin de la recta que pasa por el punto (-1, 6) y es paralela a la recta x - 5y+ 6 = 0?
a) x - 5y + 31 = 0 b) x - y + 11 = 0 c) 5x + y + 11 = 0 d)5x - y + 11 = 0
http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=f3d06b2c0e2d54c1&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=f3d06b2c0e2d54c1&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=f3d06b2c0e2d54c1&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=f3d06b2c0e2d54c1&fi=f16b4d69d02b65167/27/2019 Guia Mate Unam Temp
76/120
2. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, 7) y es paralela a la recta y = -1/2x+15/2, es:
a) 2x + y - 5 = 0 b) 2x - y + 5 = 0 c) x + 2y - 15 =0 d) x - 2y + 15 =0 e) 2x - 4= 0
3. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 8, 4) y es paralela a la recta y = 2x +5 es:
a) 2x + y - 5 = 0 b) 2x - y +20 = 0 c) x + 2y - 15 =0 d) x +2y=0 e) x - y =0
4. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 5, - 5) y es paralela a la recta y = - x +5es:
a) x +y = 0 b) x - y = 0 c) x + y - 10 =0 d) x - y +10 = 0e) x + y + 10 = 0
Caso 4. Encontrar la ecuacin de una recta dado un punto y la ecuacin de una rectaperpendiculara ella.
Como las rectas son perpendiculares, entonces las pendientes son inversas y de signocontrario, por lo que si tomamos el punto dado y la pendiente perpendicular de la rectadada, tendremos nuestro problema resuelto.
Ejemplo:
La ecuacin de la recta que pasa por el punto (5, - 2) y es perpendicular a la recta 5x + 12y
- 30 = 0 es:
Como son perpendiculares, las pendientes son recprocas y de signo contrario, entonces m1= -5 / 12 y su perpendicular m2 =12 / 5
Tomando el punto (5, -2) y la pendiente m = 12 / 5; la sustituimos en la ecuacin puntopendiente y- y1 = m (x - x1 )
y - (-2) = 12 / 5 (x - 5)
5 (y + 2) = 12 (x - 5)
5y + 10 = 12x - 60
12x - 5y - 60 - 10 = 0
12x - 5y - 70 = 0 solucin.
Ejercicio 7:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
77/120
1. Cul es la ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 1, 6) y es perpendicular a la rectax - 5y + 6 = 0?
a) x + 5y + 11 = 0 b) x + y + 11 = 0 c) 5x + y - 1 = 0 d) 5x - y + 11= 0
2. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, 7) y es perpendicular a la recta y= - 1/2x+ 15/2, es:
a) 2x + y - 5=0 b) 2x - y + 5=0 c) x + 2y - 15 =0 d) x - 2y +15=0 e) 2x - 4 = 0
3. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 8, 4) y es perpendicular a la recta y = 2x+ 5 es:
a) 2x + y - 5 = 0 b) 2x - y + 5 = 0 c) x + 2y - 15 = 0 d) x + 2y =
0 e) x - y = 0
4. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 5, - 5) y es perpendicular a la recta y = -x + 5 es:
a) x +y = 0 b) x - y = 0 c) x +y -10 = 0 d) x -y +10 = 0e) 5x+ 5y = 0
UNIDAD 8.
Circunferencia
8.1 Forma cannica.
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 Ecuacin Ordinaria o cannica
A partir de la ecuacin ordinaria, podemos determinar su centro C(h, k) y el radio r, pero si desarrollamos los binomios al cuadrado eigualamos a cero obtenemos la forma general.
Ejemplo.
Encontrarel centroy el radio de la circunferencia determinada porla ecuacin (x - 3)2 + (y + 7)2 = 36
El centro es (3, - 7) y su radio 6. (nota: los valores de la ecuacincambian de signo al incorporarlos al centro) Para encontrar laecuacin general desarrollamos el binomio al cuadrado.
http://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centro7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
78/120
Ejemplo.
Dada la ecuacin ordinaria, determine la ecuacin general de la circunferencia (x - 3)2 + (y+ 1)2 = 25
Desarrollando los cuadrados
x2 - 6x + 9 + y2 + 2y + 1 - 25 = 0
x2 + y2 - 6x + 2y - 15 = 0 solucin.
8.2 Forma general.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuacin general
Elementos:
Centro Radio
Caso I. Dada la ecuacin general, encontrar los elementos, el centro yel radio.
Ejemplo.
El centroy el radio de la circunferencia x2 + y2 - 2x - 14y + 5 = 0 son:
Centro C y su radio
http://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radio7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
79/120
Ejercicio 8:
1. Coordenadas del centro de la circunferencia: x2 + y2 + 4x - 6y + 12 = 0
a) (- 2, - 3 ) b) ( 2, - 3 ) c) (- 2, 3 ) d) ( 2,
3 )
2. El centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 - 8x+ 14y + 31 = 0 son:
a) C(7, - 4) r = 5 b) C(- 7,4) r = 3 c) C(4, - 2) r = 3 d) C(- 4, 2) r =
e) C(4, -7), r =
3. El centro yel radiode la circunferencia x2 + y2 +2x +2y - 11 = 0 son:
a) C(1, 1) r = 13 b) C(1, -1) r = 11 c) C (1, 1) r = d) C(-1, -1) r =
e) C(-1, 1) r =
4. Dada la ecuacin de la circunferencia x2 + y2 +4x + 6y + 9 = 0, su centro y radio son:
a) C(- 2, - 3), r = 2 b) C(- 2, 3), r = 4 c) C(2, -3), r = 2 d) C(4, 6) r =3 e) C(4, 6), r = 9
Caso II. Dados los elementos, centro y radio, encontrar la ecuacin ordinaria o general.
Solo sustituimos el centro y el radio en la ecuacin ordinaria y en el caso de que soliciten la
general, desarrollamos los cuadrados igualamos a cero y simplificamos.
Ejemplo.
Cul es la ecuacin ordinaria de la ecuacin cuyo centro esta en (-3, 4) y radio 8?
(x + 3)2 + (y - 4)2 = 64 Nota: los valores del centro al ingresar, cambian de signo.
Desarrollando los cuadrados e igualando a cero,
x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 - 64 = 0
x2 + y2 - 6x - 8y - 39 = 0 solucin.
Ejercicio 9:
1. Cul es la ecuacin de la circunferencia con centro en (- 4, 6) y radio 6?
a) (x - 4)2 + (y + 6)2 = 36 b) (x - 4)2 + (y + 6)2 = 6
http://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radio7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
80/120
c) (x + 4)2 + (y - 6)2 = 36 d) (x + 4)2 + (y - 6)2 = 6
2. Cul es la ecuacin de la circunferencia con centro en (- 1, 1/5) y radio 9?
a) (x - 1)2 + (y + 1/5)2 = 3 b) (x + 1)2 + (y - 1/5)2 = 3
c) (x - 1)2 + (y + 1/5 )2 = 81 d) (x + 1)2 + (y - 1/5)2 = 81
3. Cul es la ecuacin de la circunferencia con centro en (- 3, - 4) y radio 3?
a) x2 - 8x + y2 + 6y = - 16 b) x2 + 8x + y 2 - 6y = -16
c) x 2+ 6x + y2 + 8y = -16 d) x 2 - 6x + y2 + 8y = -16
4. x2 + y2 - 8x +6y + 9 =0 es la ecuacin de una circunferencia en la forma general, suecuacin en forma cannica es:
a) (x - 4)2 + (y - 3)2 =9 b) (x + 4)2 + (y - 3)2 = 9 c) (x -4)2 + (y + 3)2 = 9
d) (x +4)2 + (y - 3)2 =16 e) (x - 4)2 + (y + 3)2 = 16
Caso III. Dadoel centroy un punto de la circunferencia.
Primero debemos calcular el radio, ste se calcula utilizando la distancia entre dos puntos,posteriormente sustituimos el centro y el radio en la ecuacin ordinaria, si solicitan laecuacin general, desarrollamos los binomios.
Encuentre la ecuacin ordinaria de la circunferencia, si tiene como centro el punto (3, - 1) ypasa por el punto (7, 2)
Primero calculamos la distancia entre los puntos
Posteriormente tomamos el centro de la circunferencia (3, - 1) yel radio5 y lo sustituimosen la ecuacin ordinaria.
(x - 3)2 + (y + 1)2 = 25
Desarrollando los cuadrados
x2 - 6x + 9 + y2 + 2y + 1 - 25 = 0
x2 + y2 - 6x + 2y -15 = 0 solucin.
http://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centro7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
81/120
Ejercicio 10:
1. La ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto P(6, 0), con centro en C(2, - 3) es:
a) x2 + y2 + 4x - 6y + 2 = 0 b) x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 c) x2 +
y2 - 6x + 4y - 12 = 0
d) x2 + y2 - 6x + 4y = 0 e) x2 + y2 - 6x -12 = 0
Caso IV. Dado dos puntos que conforman el dimetro.
Al calcular el punto medio de los dos puntos del dimetro, obtenemosel centro; luegocalculamos la distancia del centro a cualquiera de los dos puntos para obtenerel radio.
Ejemplo:
Encuentre la ecuacin de la circunferencia cuyo dimetro esta determinada por elsegmento que une los puntos A (- 4, -10) y B (6, 14)
Primero calcularemos el punto medio para encontrar el centro
Ahora calcularemos la distancia del centro a cualquiera de los dos puntos dados.
Conel centroC (1,2) y el radio 13, los sustituimos en la ecuacin ordinaria.
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 169 Nota: los valores del centro al ingresar, cambian de signo.
Desarrollando los cuadrados e igualando a cero,
x2 - 2x + 1 + y2 - 4y + 4 - 169 = 0
x2 + y2 - 2x - 4y -159 = 0 solucin.
2. La ecuacin de la circunferencia cuyo dimetro es el segmento que une los puntos A(3, -2) y B(5, 4) es:
a) x2 + y2 - 2x - 8y = 0 b) x2 + y2 -2x - 8y + 1= 0 c) x2 +y2 - 8x - 2y + 9 = 0
d) x2 + y2 - 8x - 2y + 7 = 0 e) x2 + y2 + 8x - 2y = 0
http://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Radiohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_Centro7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
82/120
Parbola
9.1 Horizontal y vertical con vrtice en elorigen.
Vertical Horizontal
x2 + Ey = 0 Ecuacin General de la Parbola y2 + Dx = 0
x2 = 4py Ecuacin Ordinaria y2 = 4px
Vrtice: V(0, 0) Vrtice: V(0, 0)
Foco: F(0, p) Foco: F(p, 0)
Directriz: y = - p Directriz: x = - p
Lado recto: LR = 4p Lado recto: LR = 4p
Ejemplo:
Encuentre las coordenadas del foco de la parbola cuya ecuacin es x2 -12y = 0
Primero despejamos x2 de la ecuacin, obtenindose: x2 = 12 y
Comparando con la ecuacin de la parbola de la forma: x2 = 4pyconcluimos que es vertical cncava a la derecha
http://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origen7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
83/120
Y si la coordenada del foco se define como: F ( 0, p ) e igualando 4p = 12 , al despejarse obtiene p = 3
Concluimos que la coordenada del foco es F( 0, 3 )
Ejercicio 11:
1. Las coordenadas del foco de la parbola cuya ecuacin esx2 = - 16y son:
a) ( 0 , 4 ) b) ( 4 , 0 ) c) (- 4 ,0 ) d) ( 0, - 4 )
2. Cul es el foco para la parbola 12x = - 3y2?
a) F( 0, 1) b) F(1 , 0) c) F(0, -1) d) F(-1, 0)
3. Cules son las coordenadas del foco de la parbola -y2 = - 7/2 x?
a) F (- 7/8 , 0) b) F(0, - 7/8) c) F ( 7/8 , 0 ) d) F(0, 7/8)
4. Cul es la ecuacin de la directriz de la parbola y2 = - 8 / 3 x?
a) x = - 2/3 b) x = 2/3 c) x = - 32/3 d) x =32/3
5. La ecuacin de la parbola con vrtice en elorigeny foco F (7, 0) es:
a) - y2 = 7x b) y2 = 14x c) y2 = -21x d) y2 =28x e) y2 = - 28x
6. Cul es la ecuacin de la parbola con vrtice en el origen, foco en ( , 0) y directriz x= - ?
a) x2 = - 3y b) y2 = - 3x c) x2 = 3y d) y2= 3x
7. Cul es la ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y cuyo foco es el punto F(0,1/8 )?
a) x2 = -1/8 y b) y2 = -1/2 x c) x2 = 1/2 y d)y2 = 1/8 x
8. Cul es la ecuacin de la parbola con vrtice en (0, 0), foco en x, y pasa por (4, 6)?
http://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origen7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
84/120
a) x2 = 9y b) y2 = 9x c) x2 = - 9y d) y2= - 9x
9.2 Horizontal y vertical con vrtice fuera delorigen.
Vertical Horizontal
Ax2 +Dx + Ey + F = 0 Ecuacin General Cy2 +Dx +Ey + F = 0
(x-h)2 = 4p (y-k) Ecuacin Ordinaria (y-k)2 = 4p (x-h)
Vrtice: V(h, k) Directriz: y = k - p Vrtice: V(h, k)Directriz: x = h - p
Foco: F(h, k+ p) Lado recto: LR = 4p Foco: F(h + p, k)Lado recto: LR = 4p
Para transformar la ecuacin general a ecuacin ordinaria, sedebecompletar a un trinomiocuadrado perfecto y factorizar. En el caso inverso, slo se desarrolla el cuadrado, elproducto, se factoriza y se iguala a cero.
Ejemplos:
1. Encontrar el vrtice de la ecuacin de la parbola x2 - 6x - 12y - 51 = 0
http://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=afc3324015672b4c&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=afc3324015672b4c&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=afc3324015672b4c&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=afc3324015672b4c&fi=f16b4d69d02b6516http://en.wikipedia.org/wiki/Origen7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
85/120
El primer paso consiste en dejar nicamente a la incgnita que este elevada al cuadrado
x2 - 6x = 12y + 51
Posteriormente completar cuadrados: x2 - 6x + 9 = 12y + 51 +9
Factorizar: (x - 3)2 = 12y + 60
Factorizar: (x - 3)2 = 12(y + 5)
Obtener el vrtice V (3, - 5)
Ejercicio 12:
1. La parbola cuya ecuacin esy2 + 4y - 4 x + 16 = 0, tiene por vrtice el punto:
a) (3, 2) b) (2, 3) c) (3, - 2) d) (-2, 3)
2. Cules son las coordenadas del foco de la parbola cuya ecuacin es y2 - 6y + 8x = 7?
a) (0, 3) b) (5, 2) c) (3, 0) d) (3,4)
3. Cul es el foco de la parbola cuya ecuacin es: 5y2 + 30y + x + 50 = 0?
a) F (- 29/5, - 3) b) F (- 101/20, -3 ) c) F (- 9/5, - 5) d) F
(- 61/20, - 5)
4. Encuentre la longitud del lado recto de la parbola: x2 - 4y + 8 = 0
a) 8 b) 16 c) 2 d) 4
5. Cul es la longitud del lado recto de la parbola cuya ecuacin es y2 + 6y + 6x + 39 = 0
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6
6. Cul es la ecuacin de la directriz de la parbola: x2 - 3x + 3y - 15/4 = 0?
a) y = - 5 b) y = - 11/4 c) y = 5/4 d) y =1
7. La ecuacin de la parbola cuyo foco es el punto F( - 6, 4) y la directriz la recta x = 2 es:
a) y2 + 16x - 8y + 48 =0 b) x2 + 2x - 8y - 7 = 0 c) y2 - 8x -2y + 7 = 0
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
86/120
d) y2 + 8x - 2y - 41 =0 e) x2 + 6x - 16y - 41 = 0
8. La ecuacin de la parbola con foco F (0, 3) y directriz y + 3 = 0, es:
a) y2 + 12x - 2y - 3 = 0 b) x2 - 12x - 4y = 0 c) x2 + 12x -
6y +1 = 0
d) x2 - 12y = 0 e) y2 - 12x = 0
9. La ecuacin de la parbola cuyo foco es el punto F(5, - 2) y la directriz la recta x = - 3 es:
a) x2 + 4x - 8y + 7 =0 b) x2 - 4x - 8y - 7 = 0 c) y2 + 16x -4y - 20 = 0
d) y2 -16x + 4y + 20 =0 e) x2 + 6x - 16y - 41 = 0
10. La ecuacin de la parbola cuyo foco es el punto F(- 2, - 2) y la directriz la recta y = 2es:
a) y2 + 8x + 4y + 4 =0 b) y2 - 8x - 4y - 4 = 0 c) x2 - 4x -8y - 4 = 0
d) x2 + 4x + 8y + 4 =0 e) y2 + 8x = 0
11. Cul es la ecuacin de la parbola cuyo foco est en (1, 8) y la ecuacin de su directrizes y = - 4?
a) (x - 1)2 = 24 (y - 2) b) (y - 1)2 = 24 (x - 2) c) (x - 2)2 = -24 (y - 1) d)(y - 2)2 = - 24 (x - 1)
12. Cul es la ecuacin de la parbola con V(4, 2); L.R = 6. Eje horizontal.
a) (y + 2)2 = +6(x + 4) b) (y - 2)2 = +6(x - 4) c) (x - 2)2 = +6(y - 4)d) (x + 2)2 = +6(y + 4)
13. Cul es la ecuacin de la parbola con vrtice en (3, - 1) y ecuacin de la directriz x =- ?
a) y2 - 6y + 2x + 11 = 0 b) 2x2 - 12x + y + 19 = 0 c) y2 + 2y - 14x + 43 = 0d) 2x2 + 12x - 7y + 25 = 0
14. La ecuacin de la parbola con vrtice en (3, 2) y directriz x - 5 = 0 es:
a) y2 + 8x - 4y - 20 = 0 b) y2 + 4y +20 = 0 c)y2 + x - 2y- 10 = 0
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
87/120
d) y2 - 4x + 8y - 10 = 0 e y2 - 8x + 4y + 20 = 0
UNIDAD 10.
Elipse
10.1 Horizontal y vertical con centro en elorigen.
C: Centro
V y V" : Vrtices
F y F" : Focos
http://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origen7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
88/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
89/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
90/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
91/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
92/120
a) b) c)
d)
13. Cul es la longitud del eje mayor de la elipse cuya ecuacin es 25x2 + 36y2 = 900?
a) 5 b) 6 c) 10 d) 12
10.2 Horizontal y vertical con centro fuera delorigen.
C: Centro
V y V" : Vrtices
F y F" : Focos
Ecuacin ordinaria (a > b)
(Horizontal) (Vertical)
http://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origen7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
93/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
94/120
Como: , sustituyendo: entonces: , a = 3 yb = 2
Tambin, lado recto es: , y la excentricidad es:
Concluyendo, entonces tenemos: Vrtices:
Focos:
Eje menor:
eje mayor VV" = 2a = 2(3) = 6, eje menor BB" = 2b = y eje focal FF" = 2c =
Ejercicio 14:
1. Cul es el nuevoorigende la ecuacin: x2 + 9y2 + 4x - 18y - 23 = 0 ?
a) (2, - 1) b) (- 2, 1) c) (1, - 2) d) (- 1,2)
2. Las coordenadas del centro de la elipse cuya ecuacin es 4x2 + y2 - 24x - 4y + 24 = 0
son:
a) C (- 2, - 3) b) C (- 2, 3) c) C (2, - 3) d) C (2. 3)e) C (3, 2)
3. Cuales son los vrtices de la elipse cuya ecuacin es ?
a) b) c)
d)
4. Cules son los vrtices de la elipse cuya ecuacin es: ?
http://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origen7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
95/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
96/120
a) b) c) d)
13. El lado recto de la elipse 4x2 + y2 - 24x -4y + 24 = 0 es:
a) b) 2 c) 3 d) 4 e)8
14. Cul es la ecuacin de la elipse con V1 (- 8, 5 ); V2 ( 12, 5 ), LR = 5?
a) b) c)
d)
15. La ecuacin de la elipse cuyos focos son los puntos F(2, 1), F(- 2, 1) y excentricidad e = es:
a) b) c)
d) e)
16. La ecuacin de la elipse cuyos focos son los puntos F(3, 0), F(3, - 4) y excentricidad e= 1/2 es:
a) b) c)
d) e)
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
97/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
98/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
99/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
100/120
Eje transverso 2a
Eje conjugado 2b
Distancia focal 2c
Desarrollas e igualas a cero y obtienes:
Ax2 - Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuacin General
Ejercicio 15:
1.De acuerdo con sus datos de la grfica, Cul es su ecuacin?
a)
b)
c)
d)
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
101/120
2. Cules son las coordenadas de los vrtices de la hiprbola cuya ecuacin es
?
a) (2, 5), (10, 5) b) (5, 2), (5, 10) c) (-2, 5), (-10,5) d) (5, - 2), (5, - 10)
3. Cules son las coordenadas de los vrtices de la hiprbola cuya ecuacin es
?
a) (- 4, 0), (- 4, 4) b) (2, - 7), (2, - 1) c) (2, - 6), (2, - 2)d) (- 4, - 1), (4, 5)
4. Cules son las coordenadas de los focos de la hiprbola cuya ecuacin es
?
a) (- 5, - 2), (- 5, 2) b) (- 7, 0), (- 3, 0) c) (- 5, - 2), (- 5, 2) d) (- 5-2 , 0), (- 5 + 2, 0)
5. Cules son las coordenadas de los focos de la hiprbola cuya ecuacin es
?
a) (7, - 5), (- 23, - 5) b) (- 7, - 5), (23, - 5) c) (- 5, - 7), (- 5, 23) d) (- 5,7),( - 5, - 23)
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
102/120
6. Cul es la distancia entre los focos de la hiprbola cuya ecuacin es ?
a) 17 b) c) 145 d)
7. Cul es la distancia entre los focos de la hiprbola cuya ecuacin es 16x2 - 9y2 = 144?
a) 2 b) 7 c) 27 d) 10
8. El lado recto de la hiprbola es igual a:
a) 4 u. l. b) 10 u. l. c) 16 u. l. d) 20 u. l. e)
36 u. l.
9. El lado recto de la hiprbola es igual a:
a) 4 u. l. b) 16 u. l. c) 12 u. l. d) 6 u. l. e)20 u. l.
10. El lado recto de la hiprbola es igual a:
a) 2 u. l. b) 3 u. l. c) 1 u. l. d) 4 u. l. e)9 u. l.
11. La ecuacin representa una hiprbola cuyo lado recto es igual a:
a) 1 b) c) 2 d)
e)
12. La excentricidad de la hiprbola 9x2 - 7y2 + 256 = 0 es:
a) -3/4 b) c) 7/9 d) 9/7 e)4/3
13. Cules son las ecuaciones de las asntotas de la hiprbola cuya ecuacin es 4x2 - y2 =16?
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
103/120
a) y = + x b) y = + x c) y = + 2x d) y = +4x
14. Cules son las ecuaciones de las asntotas de la hiprbola cuya ecuacin es 36x2 -16y2 = 64?
a) y = + 3/2 x b) y = + 8/3 x c) y = + 2/3 x d) y = +3/8 x
15. La ecuacin de la hiprbola con centro en elorigen, vrtice en el punto V(6, 0) y uno desus focos es el punto F(12, 0) es:
a) 3x2 - y2 + 108 = 0 b) x2 + 3y2 + 108 = 0 c) 3x2 - y2 -108 = 0
d) 3x2 - 12y2 - 108 = 0 e) 3x2 + 12y2 - 108 = 0
16. La ecuacin de la hiprbola cuyos focos son F( 6, 0) y F(-6, 0) y excentricidad igual a3/2 es:
a) 5x2 + 4y2 - 80 = 0 b) 5x2 - 4y2 - 80 = 0 c) x2 - y2 -16 = 0
d) 4x2 - 4y2 - 80 = 0 e) 3x2 - 2y2 - 20 = 0
UNIDAD 12.
Ecuacin general de segundo grado12.1 Identificacin de cnicas
A partir de la ecuacin general, calcularemos el discriminante (B2 - 4AC), de sta manerapodemos determinar la seccin cnica.
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
B2 - 4AC < 0, La curva es una elipse.
B2 - 4AC = 0, La curva es una parbola.
B2 - 4AC > 0, la curva es una hiprbola.
En el caso particular de que B = 0,
Obtenemos: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
http://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origenhttp://en.wikipedia.org/wiki/Origen7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
104/120
Si A = C representa una circunferencia
Si A C y tienen el mismo signo, es una elipse
Si A y C tienen signos diferentes es una hiprbola
Si A = 0 y C 0, o A 0 y C = 0 es una parbola
Si A = 0 y C = 0 es una recta.
Anlisis de una curva a partir de su ecuacin.
Ejercicio 16:
1. La representacin grfica de la ecuacin: 9x2 + 16y2 + 36x - 524 = 0 es:
a) Un Punto b) Una elipse c) Una hiprbola d)Una parbola
2. La ecuacin 24x2 - 16y2 + 24x - 32y - 10 = 0 corresponde a la grfica de un a
a) Un punto b) Hiprbola c) Rectas que se cortan d)Rectas paralelas
3. La ecuacin 9x2 - 4y2 -12x + 8y + 104 = 0 corresponde a la grfica de una
a) Elipse b) Parbola c) Hiprbola d)
Circunferencia
4. La ecuacin general Ax2 + B xy + Cy2 + Dx + E y + F =0, representa una elipse,cuando:
a) B2 - 4AC =0 b) B2 - 4AC > 1 c) B2 - 4AC > 0 d) B2 - 4AC 1e) B2 - 4AC < 0
5. La curva cuya ecuacin es 4x2 - 24 xy + 11 y2 + 56x - 58y + 95 = 0 presenta una:
a) Circunferencia b) Recta c) Parbola d)
Hiprbola e) Elipse
6. La curva cuya ecuacin es x2 + y2 + 2x - 4y - 8 = 0, representa una:
a) Circunferencia b) Recta c) Parbola d)Hiprbola e) Elipse
7. La ecuacin 6x2 + 4xy + y2 + 4x - 2y + 2 = 0 corresponde a:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
105/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
106/120
2 c 2 e 2 a 2 b
3 b 3 b 3 a 3 c
4 c 4 c 4 c 4 e
5 c 5 d 5 b 5 d
6 e 6 b 6 d 6 a
7 e 7 d 7 d 7 d
8 a 8 b 8 b 8 d
9 c 9 a 9 d 9 c
10 a 10 b 10 e
11 d 11 c 11 c
12 a 12 d 12 e
13 d 13 b 13 c
14 b 14 a15 b 15 c
16 d 16 b
17 b
UNIDAD 4.
lgebra de funciones
Valor de una funcin
Se obtiene, al sustituir el valor de "x" en lafuncinf(x):
Ejem: Si f(x) = obtener el valor de f(-4) y f(3)
Ejem: Si f(x) = obtener el valor de f(-2) y f(4)
4.1Dominioy Rango
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
107/120
Dominio, es el conjunto de todos los valores de "x" admisibles para una funcin.
Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de "y" al sustituir cada una de loselementos del dominio en la funcin.
Ejem: El dominio de la funcin racional
entonces, sus races son:
Ejem: El dominio de la funcin racional
entonces, sus races son:
Ejem: Para que valor de "x" la funcin se indetermina:
entonces, para: la funcin se indetermina
Funcin cuadrtica
Es de la forma y representa una parbola, donde su concavidad es hacia arriba cuando"a" es positiva y es hacia abajo cuando "a" es negativa.
El vrtice de la parbola, se obtiene en el punto:
Los puntos donde la grfica interseca al eje "x", son la solucin de la ecuacin.Dependiendo de su concavidad y la coordenada de su vrtice, se puede obtener el dominioy el rango de la funcin.
Ejem: Sea la funcin obtener su dominio y rango.
El vrtice es: entonces, y la curva es cncava haciaarriba
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
108/120
ahora, las races de: sus races son:
entonces:
Ejem: Graficar las siguientesfuncionesindicando dominio y rango.
4.2 Funciones y relaciones
Definicin
Se le llama relacin, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2conjuntos.
Se le llama funcin, a la relacin entre dos conjuntos, de tal manera que para cada "x",corresponda un solo elemento de "y".
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
109/120
Regla: Para determinar si una grfica es una funcin relacin, basta con trazar unavertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de interseccin. Es decir, si slo tocaun punto, se refiere a una funcin; si toca ms de un punto se refiere a una relacin.
Clasificacin de Funciones
4.3 Funcin Logartmica y exponencial:
Es de la forma ,
donde:
Forma logartmica: corresponde a: Forma
exponencial:
Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:
Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:
Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:
entonces:
Ejem: Al convertir en forma exponencial,
obtenemos:
Reactivos Unidad 4:
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
110/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
111/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
112/120
Se le llamangu lo complementar io, son los ngulo cuyasumaes igual a 90o .
Ejem: El complemento de 70o es 20o , porque
Ejem: El complemento de 35o es 55o , porque
Se le llamangu lo suplementar io, los ngulo cuyasumaes igual a 180o .
Ejem: El suplemento de 40o es 140o , porque
Ejem: El suplemento de 135o es 45o , porque
5.2 Conversin de grados a radianes yviceversa
Reactivos Unidad 5:
UNIDAD 6.
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
113/120
Trigonometra
6.1 Teorema de Pitgoras
Definicin.- Aplicadopara todotringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa ( c ) es
igual a la suma de los cuadrados de sus catetos (a y b ).
6.2 Funciones Trigonomtricas
Definicin.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un tringulorectngulo y son:
http://en.wikipedia.org/wiki/Para_todohttp://en.wikipedia.org/wiki/Para_todohttp://en.wikipedia.org/wiki/Para_todohttp://en.wikipedia.org/wiki/Para_todo7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
114/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
115/120
Unaoficinade forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m,Cunto mide el otro lado?
a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2
Segn la figura, la razncorresponde a la funcin:
Segn la figura, la razn : corresponde a la funcin:
http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
116/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
117/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
118/120
Respuestas a Reactivos de Matemticas
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
119/120
7/27/2019 Guia Mate Unam Temp
120/120