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Cálculo II

GUIA Nº 2

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

El concepto de ecuación se asocia a una igualdad que sólo se satisface cuando la variable es sustituida por un valor numérico, llamado solución de la ecuación. Existen variadas ecuaciones: de primer grado, de segundo grado, exponenciales, logarítmicas, sistemas de ecuaciones, etc.

Utilizando el concepto de derivación de una función es posible construir un tipo distinto de ecuaciones. Por ejemplo la ecuación y’ = y. Este tipo de ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales (ED) y su solución no es un número, sino una función, o una familia de funciones. En el ejemplo la solución es la función xexfy == )( .

ClasificaciónLas ED tienen varias clasificaciones. Las ED se llaman ordinarias (EDO) si

la función solución es de una sola variable independiente ( )(xf ) y se llaman ED parciales (EDP) si la función solución tiene más de una variable independiente (

),( yxf ). Las ED son lineales si en cada término no aparecen multiplicaciones de la función solución consigo misma ni con sus derivadas; se llaman ED no lineales en caso contrario. Toda ED tiene un orden, que corresponden al orden de la derivada más alta de la función solución.

ED lineal no lineal

ordinariax

x

yyeyx x ln'''2 =+−

orden 2

02 =+ xydx

dyy

orden 1

parcialxe

yf

x

f =∂∂+

∂∂

3

3

orden 3

x

y

f

x

f2

4

4

4

=

∂∂⋅

∂∂

orden 4

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Observación: )('' xfyDydx

dyx ===

Una EDO lineal de orden n en general puede escribirse como:

)()()(...)()( 011

1

1 xgyxadxdy

xadx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n =++++ −

−

−

las funciones )(xai que multiplican a las derivadas se llaman coeficientes.

Comprobar una soluciónCuando una función f(x), se sustituye en una EDO y transforma esa

ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación. Por

ejemplo la función xxfy ln)( == es solución de la ecuación 0'

'' =+x

yy , lo que se

comprueba obteniendo la primera y la segunda derivada de f(x) y verificando la igualdad.

A) Comprobar si la función corresponde a una solución de la EDO correspondiente.

función ecuación1) xexf −=)( 0=+ y

dx

dy

2) xx eexf 2)( −+= 02''' =−+ yyy

3)x

xxf1

ln)( −= xyyx ln1' +=+⋅

4)xxf =)(

2

1' =⋅yy

5) 82

)( −= xexf xy

y2

' =

No todas las ecuaciones diferenciales son fáciles de resolver, y algunas no tienen solución exacta. Analizaremos las EDO de variable separable, así como

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las lineales de primer orden y de segundo orden con coeficientes constantes.

Ecuación de Variable Separable

Se dice que una EDO de primer orden, de la forma

)()( yfxgdx

dy ⋅=

Es separable o de variables separables

B) Indique cuál(es) de las siguientes EDO es(son) de variables separables.

6) 2yedx

dy x += 7) yxdx

dyln2 ⋅=

8) yxyxy −= 2' 9) yxey 5' +=

Es posible solucionar una EDO de variable separable

)()( yfxgdx

dy =

ordenando

dxxgyf

dy)(

)(=

Posteriormente se integra, considerando una constante de integración.CxGyH += )()(

Si hubiera un valor inicial byaxbay =→== ,)( se reemplaza y se obtiene un valor para C. Finalmente se despeja )(xfy = , que es la solución de la EDO.

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Observación: Si 1C es una constante, entonces también son constantes, por

ejemplo: 11

1 ln,,2

,8 1 CeC

C C , etc., y pueden nombrarse con una sola letra, por

ejemplo: .1 CeC

=

C) Resuelva las siguientes EDO utilizando el método de variables separables:

10) xydx

dy = 11) y

e

dx

dy x

2= 12

)126 −=+ y

dx

dy

13) 55 yxdx

dy = 14)

)8(5' −= yy 15)

22 33 yxxdx

dy +=

D) Resolver las siguientes EDO con problema de valor inicial:(ayuda: recordar que baba eee ⋅=+ y que ae a =ln )

16) 0)0( ,2

== yy

x

dx

dy 17)

1)0( , −== yedx

dy y 18)

10)0( ,40 == yydx

dy

19)100)1(

5,0

=

−=

y

ydx

dy20)

10)0( , == ykydx

dy

y además: 25)3( =y

21)

,6 26 yxdx

dy =

( ) 11 =y

22)

623 yxdx

dy =

( ) 12 =y

EDO lineal de primer orden

Una EDO lineal de primer orden es una ecuación del tipo:

)()()( 01 xfyxadx

dyxa =+

donde )( ),( ),( 01 xfxaxa son funciones en la variable x.

Al dividir ambos lados de la ecuación anterior por el coeficiente )(1 xa , se

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obtiene una forma más útil, llamada forma estándar de la ecuación lineal.

)()( xhyxpdx

dy =+

Cuya solución queda expresada mediante la fórmula:

( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫∫ += − dxxheCexy

dxxpdxxp

Si se calcula primeramente( )∫= dxxpxQ )(

entonces( ) ( )( )∫+= − )()( dxxheCexy xQxQ

E) Resuelva las siguientes EDO lineales de primer orden

23) 124 =+ ydx

dy

(Comprobar por variable separable)

24) xxydx

dy2=+

25) 201 =+ yxdx

dy26) 9

3 +=− xyxdx

dy

27) 291263 xxydx

dyx +=+ 28) 261042 xxy

dx

dyx +=+

F) Resuelva las siguientes EDO lineales de primer orden con valor inicial

29) 1)1( , 124 ==+ yydx

dy30) 2)1( , 3 ==+ yxxy

dx

dy

31) 0)2( , 21 ==+ yyxdx

dy32) 2)1( , 3

1 ==+ yxyxdx

dy

Más ejercicios puedes encontrar en

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Cálculo - J.Stewart. - Thompson LearningEcuaciones Diferenciales - C.Edwards , D.Penney - Prentice Hall

Ecuaciones Diferenciales con Modelado - Dennis G Zill – Cengage Learning Editores

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Soluciones1) Si2) Si3) Si4) Si5) Si6) No7) Si8) Si9) Si

10) 22xCey =

11) Cey x +=

12) 26 −= − xCey

13) 4 6

3

2

1

xC

y

−=

14) 85 += xCey

15) 13 −= xCey

16) 3

2 3xy =

17) )ln( xey −−=18) xey 4010 ⋅=

19) xey 5,09,164 −⋅=

20) xey 30543,010 ⋅=

21) 7613

7

xy

−=

22) 3541

1

xy

−=

23) 34 += − xCey

24) 222 += −xCey

25) xx

Cy 10+=

26) xxCxy2

923 −−=

27) 4

3

3

4 2

2

xx

x

cy ++=

28) 4

3

3

5 2

2

xx

x

cy ++=

29) 32,109 4 +−= − xey

30) 3

147,7

2

2

3

+=

−

xey

31) xx

y +−= 4

32) 21x

xy +=

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