Dirección de Formación GeneralPrograma de Matemática

Cálculo II

GUÍA Nº 3

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales

A) Crecimiento o DecrecimientoModelo de Malthus.Si representa la población en el tiempo , un modelo que permite determinar esta población en cualquier instante , teniendo información de la población en un tiempo , es el conocido como Modelo de Malthus:

, con

1) En una cápsula de cultivo de ciertas bacterias se tenía un número de 300 individuos. Después de 40 minutos se observaron en la cápsula 900 individuos. Determinar la función que describe el número de bacterias en el minuto , y el número de individuos en la cápsula después de 3 horas.

2) Una población de 750 microbios es sometida a la acción de un antibiótico experimental. Cuando han transcurrido 2 horas se observan 500 microorganismos. Determinar la función para el número de microbios en el tiempo y el momento en que el número de microbios es de un 10% de la población inicial.

3) Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que 0,043 % de la cantidad inicial de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad que queda.

4) Cierto condensador pierde su voltaje a través de cierta resistencia en una razón proporcional a su voltaje inicial de 100 voltios. Si a los 4 segundos el voltaje es de 39 volts, determine la función voltaje del condensador en el tiempo

.

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B) Circuito LR en SerieSi consideramos el siguiente circuito eléctrico

Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a este circuito, la suma de las caídas de

potencial a través del inductor y de la resistencia , es igual a la fuerza

electromotriz (fem) o voltaje aplicado al circuito y es así como se obtiene la siguiente ecuación diferencial lineal para la corriente

donde y son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia respectivamente y la corriente es conocida como la respuesta del sistema.

5) Una batería de 5 voltios se conecta a un circuito en serie en la que la inductancia es 0,4 henrios y la resistencia es 100 ohmios. Determine la corriente

si la corriente inicial es cero.

6) Un generador con una fem de 15 voltios se conecta, en , en serie con una resistencia de 40 ohmios y un inductor de 5 henrios. Determine la corriente para todo .

C) Ley de Newton del enfriamientoUna aplicación sencilla y útil de las ecuaciones diferenciales, es aquélla que permite modelar el comportamiento del cambio de temperatura de un cuerpo, en interacción con la temperatura de un medio dominante, al que llamaremos temperatura ambiente, la cual se considerará constante.

Si es la temperatura ambiente y es la temperatura de un cuerpo inmerso en esta temperatura ambiente, entonces, a temperatura del cuerpo cambia, en el tiempo, en forma proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y la temperatura ambiente. Así, el problema queda modelado por la ecuación

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El valor inicial determina la constante de integración, mientras que otro valor ( ) determina el valor de .7) La temperatura del aire es de 15 ºC y el aceite de un automóvil se enfría de 180 ºC a 40 ºC en 10 minutos. Obtenga la función de la temperatura en el tiempo y con ella calcule en que instante la temperatura del aceite será de 20 ºC y la temperatura a los 25 minutos.

8) Un fabricante de joyas retira un anillo de la llama de un soplete, a una temperatura es 800 ºC. Cinco minutos después su temperatura es de 80 ºC. Obtenga la función de la temperatura en el tiempo si la temperatura ambiente es de 20 ºC.

9) Un termómetro está a una temperatura de 17 ºC y se aplica a una persona para medir su temperatura de 37 ºC. A los 15 segundos el termómetro tiene una lectura de 30 ºC. Hallar la función de temperatura del termómetro y calcular a los cuántos segundos el termómetro sólo tiene un error de 0,3 ºC (36,7 ºC).

Más ejercicios puedes encontrar en

Cálculo - J.Stewart. - Thompson Learning

Ecuaciones Diferenciales - C.Edwards , D.Penney - Prentice Hall

Ecuaciones Diferenciales con Modelado - Dennis G Zill – Cengage Learning Editores

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Soluciones1) , y 42.352 bacterias.

2) ; y 11,36 horas3) aprox. 24.180 años4)

5)

6)

7) ; 18,5 minutos; 16,46 °C.

8)

9) ; 60 segundos.

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