Guía UNAM 7a - Matematicas

7/29/2019 Gua UNAM 7a - Matematicas

1/53

Gua para ExamenCurso UNAM

Lic. Jorge Galeazzi A.

MATEMTICAS

CONTENIDO.

1.0 Aritmtica1.1 Nmeros reales1.2 Divisibilidad1.3 Operaciones con nmeros racionales1.4. Razones y proporciones1.5 Regla de tres1.6 Tanto por ciento

2.0 Algebra2.1 Propiedades y definiciones2.2 Leyes de los signos2.3 Signos de agrupacin2.4 Evaluacin de expresiones algebraicas2.5 Lenguaje algebraico

2.6 Leyes de los exponentes2.7 Operaciones Algebraicas2.8 Radicales2.9 Productos notables2.10 Factorizacin

3.0 Ecuaciones3.1 Ecuaciones de primer grado con una incgnita3.2 Desigualdades de primer grado con una incgnita3.3 Sistema de ecuaciones 2 ecuaciones con 2 incgnitas3.4 Sistema de ecuaciones 3 ecuaciones con 3 incgnitas3.5 Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

4.0 Algebra de Funciones4.1 Dominio y rango

4.2 Funciones y relaciones4.3 Funciones logartmicas y exponenciales

5.0 Geometra Euclidiana5.1 ngulos complementarios y suplementarios5.2 Conversin de grados a radianes y viceversa

6.0 Trigonometra6.1 Teorema de Pitgoras6.2 Funciones trigonomtricas6.3 Identidades trigonomtricas

7.0 Recta7.1 Distancia entre dos puntos7.2 Punto medio del segmento de recta7.3 Pendiente de la recta7.4 Ecuacin de la recta7.5 Paralelismo y perpendicularidad

8.0 Circunferencia8.1 Forma cannica8.2 Forma general

Pag. 140


2/53



9.0 Parbola9.1 Horizontal y vertical con vrtice en el origen9.2 Horizontal y vertical con vrtice fuera del origen

10.0 Elipse10.1 Horizontal y vertical con vrtice en el origen10.2 Horizontal y vertical con vrtice fuera del origen

11.0 Hiprbola11.1 Horizontal y vertical con centro en el origen

11.2 Horizontal y vertical con centro fuera del origen

12.0Ecuacin general de segundo grado12.1 Identificacin de cnicas

13.0 Clculo Diferencial13.1 Funciones y lmites13.2 Derivadas algebraicas13.3 Derivadas trigonomtricas13.4 Derivadas logartmicas13.5 Derivadas exponenciales13.6 Derivadas implcitas13.7 Interpretacin fsica y geomtrica de la derivada13.8 Mximos y mnimos

14.0 Clculo Integral14.1 Integral inmediata14.2 Integral definida14.3 Aplicacin de integral definida (rea bajo la curva)14.4 Mtodo de integracin por cambio de variable14.5 Mtodo de integracin por partes

Pag. 141


3/53



UNIDAD 1. ARITMTICA

1.1 Nmeros Reales

esIrracional

Mixtos

propiosIm

opiosPr

Racionales

Negativos

Cero

Positivos

Enteros

Compuestos

imosPrNaturales

Reales

- Naturales: Son los que se utilizan para contar. 1,2, 3, 4, 5,, 19, 20, 21,- Primos: Son los nmeros que solo son divisibles entre si mismos y la unidad.

Ejem: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,- Compuestos: Son los que no son primos, es decir que tienen ms divisores

Ejem: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22,- Enteros: Son los nmeros positivos, negativos y el cero.

Ejem: 1,-2, 0, 4, -5, etc,- Racionales Fraccionarios: Son los nmeros compuestos por un numerador y un divisor.

o Propios: Nmeros cuyo denominador es mayor que el numerador de una fraccin.

Ejem:

33

15,

9

8,

4

3,

6

1,

3

2

o

Impropios:Nmeros cuyo denominador es menor que el numerador de una fraccin.Ejem:

15

33,

8

9,

3

4,

1

6,

2

3

o Mixtos:Nmeros compuestos de nmeros enteros y propios.

Ejem:

33

159,

9

85,

4

38,

6

13,

3

22

- Irracionales:Son los nmeros que en su forma decimal son una serie infinita de dgitos.

Ejem:

2

,2

2,

2

3,

4,5,

3

7

Propiedades de los nmeros reales

Propiedad Suma Producto

Cerradura + ba baConmutativa abba +=+ abba =

Asociativa ( ) ( ) cbacba ++=++ ( ) ( ) cbacba =

Distributiva ( ) cabacba +=+

Neutro a0a =+ a1a =

Inverso ( ) 0aa =+ 1a

1a =

Pag. 142


4/53



Recta NumricaTodos los nmeros reales se pueden representar en la recta numrica.

Ejem: Representar en recta numrica:

4,

7

6,

2

11,

2

3,

4

1,75.0,,

3

7

1.2 DivisibilidadLos principales criterios de divisibilidad son:- Divisibles entre 2: Todos los nmeros pares. Ejem. 2, 4, 6, 8, 10,..- Divisibles entre 3: Suma de sus dgitos son: 3, 6 9. Ejem. 543 = 5+4+3 = 12 = 1+2 = 3- Divisibles entre 5: Todos los nmeros terminados en 5 0. Ejem. 235, 520, 1425, etc.

Mnimo comn mltiplo (m.c.m.).- Es el nmero menor de los mltiplos en comn de un grupo de nmeros. Para calcularlose descomponen en factores primos cada uno de los nmeros hasta que todos sean uno y se multiplican los primos obtenidos.

Ejem: Calcular el m.c.m. de 15, 30 y 60 El m.c.m. de 14, 28, 30 y 120

15 30 60 2 14 28 30 120 215 15 30 2 7 14 15 60 215 15 15 3 7 7 15 30 25 5 5 5 7 7 15 15 3

1 1 1 7 7 5 5 57 7 1 1 71 1 1 1

m.c.m.= 2(2)(3)(5) = 60 m.c.m. = 2(2)(2)(3)(5)(7) = 840

Mximo comn divisor (M.C.D.).- Es el nmero mayor de los mltiplos en comn de un grupo de nmeros.Para calcularlose descomponen en factores primos cada uno de los nmeros hasta que no tengan un divisor primo comn y se multiplican losprimos obtenidos.

Ejem: Calcular el M.C.D. de 15, 30 y 60 El M.C.D. de 14, 28, 30 y 120

18 27 36 3 15 90 30 60 56 9 12 3 3 18 6 12 32 3 4 1 6 2 4

M.C.D.= 3(3) = 9 M.C.D. = 5(3) = 15

1.3. Operaciones con nmeros racionales:

Suma y resta de fracciones.- Se resuelven, obteniendo el m.c.m. de cada uno de los diferentes denominadores, y se divideentre cada denominador y multiplicando por cada numerador. Al final los nmeros obtenidos se suman o restan, dependiendodel caso.Nota: Cuando los denominadores son iguales, entonces solo se suman o restan los numeradores.

Ejem:12

11

12

496

3

1

4

3

2

1=

+=+

Pag. 143

0-1 1 4-2-3 2 3

2

11 0.75

7

6

2

3

43

7

4

1


5/53



Ejem:3

14

3

13

6

26

6

213314

2

7

6

33

3

7

2

13

6

35

3

12 ===

+=+=+

Multiplicacin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el numerador por numerador y denominador por denominador.

Ejem:21

10

3

2

7

5=

Ejem:5

48

5

44

15

132

3

11

5

12

3

23

5

22 ===

=

Divisin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundo denominador, colocando elresultado en el numerador y multiplicando el primer denominador por el segundo numerador, colocando el resultado en eldenominador.

Ejem:16

51

16

21

3

2

8

7==

Ejem:49

132

49

111

3

7

7

37

3

12

7

25 ===

Potencia y RazPotencia: Es el nmero de veces en que debe multiplicarse la base por si misma, segn su exponente.

Ejem: ( ) ( ) 6444443 ==81

16

3

2

3

2

3

2

3

2

3

24

=

=

Raz: Es el valor que al multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el ndice, se obtiene el valor que esta dentrodel radical.

Ejem: ( ) ( ) 27333porque3273 ==

Ejem: ( ) ( ) ( ) ( ) 102444444porque410245 ==

1.4 Razones y ProporcionesRazn: Es el cociente de dos nmeros, es decir una fraccin, donde el numerador se llama antecedente y al denominadorconsecuente. La razn se representa como sigue:

Ejem: 4:34

3

Proporcin: Es la igualdad de dos razones. La razn se representa como sigue:

Ejem: 6:14::3:76

14

3

7=

donde los nmeros 7 y 6 son extremos y los nmeros 3 y 14 son medios.

1.5 Regla de TresRegla de tres directa Proporcin directa.- Cuando comparamos dos razones del mismo tipo establecemos unaequivalencia, obtenemos una proporcin, es decir, si una aumenta o disminuye, la otra tambin aumenta o disminuye en lamisma proporcin.

Ejem: Si en una empresa un empleado gana $4400 por 20 das trabajados. Cuanto ganar por 30 das?

30

20

x

4400=

( )6600$

das20

das304400$x ==

Pag. 144


6/53



Regla de tres inversa Proporcin inversa.- Cuando comparamos dos razones uno de los parmetros aumenta y el otrodisminuye. Esto es muy claro en casos de produccin con respecto al tiempo.

Ejem: Si en una empresa 20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 das. Cuantos obreros se requieren paraproducir la misma cantidad de fusibles en 4 das?

das5

das4

x

obreros20=

( )obreros25

das4

das5obreros20x ==

1.6 Tanto por CientoDefinicin: Es una fraccin cuyo denominador es 100, es decir la centsima parte de algo. Se expresa con el smbolo %.Cuando se va a operar la cantidad, se tiene que cambiar por una fraccin o por un decimal equivalente.

Ejem: 18% 0.1850

9

100

18=

33.5% 0.33520067

1000335 =

Clculo del porcentaje:Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado en forma decimal.

Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el 3% de 1655

1450(0.32) = 464 1655(0.03) = 49.65

Tambin se puede obtener un nmero en especfico con regla de tres directa.Ejem: Hallar el nmero del cual 400 es el 8%

%100

%8

x

400=

( )5000

%8

%100400x ==

Ejem: Hallar el nmero del cual 4590 es el 60%

%100

%60

x

4590=

( )7650

%60

%1004590x ==

Tambin se puede aplicar para resolver problemas como los siguientes:.Ejem: Un vendedor recibe de comisin el 12% por venta realizada. Si vende mercanca por un total de $44000.

Cuanto recibir de comisin?$44000(0.12) = $5280

Ejem: Un producto que cuesta $120, se requiere que al venderse, se obtenga una ganancia del 8.5%. En cuantodebe venderse?

%5.108

%100

x

120$=

( )20.130$

%100

%5.108120$x ==

Reactivos Unidad 1:

1. Cul de las siguientes expresiones, es un nmero racional?

a) 3 b) 5 c) 9 d) 2 e) 2

2. Cul de las siguientes expresiones, es un nmero irracional?

a) 5.0 b) 5 c)2

1 d) 16 e)

5

25

Pag. 145


7/53



3. Simplificando la expresin ( )112715 se obtiene:a) 68 b) 48 c) 78 d) 48 e) 78

4. Al simplificar la expresin ( ) ( )28131420 + se obtiene:a) 22 b) 178 c) 178 d) 22 e) 12

5. Cul es el resultado desimplificar la expresin, ( ) ( )[ ]41323 + ?a) 17 b) 5 c) 11 d) 11 e) 17

6. Entre que letras est la ubicacin del nmero:13

15 ?

a) A y B b) B y C c) B y D d) C y D e) D y E

Si a es un nmero donde a < 0 entonces:

a) 0a

1> b) 0

a

1< c) 0

a

1= d) 0a > e) 1

a

1=

8. El inverso de 10 es:

a)10

1 b) 10 c)

10

1d) 10 e) 0

Qu nmero es mayor que 50?

a) 60 b) 80 c) 70 d) 40 e) 90

10. La expresin de desigualdad correcta es?

a)5

4

3

2 c)

2

1

4

7 e)

9

7

4

5 mayor que no incluye a ( )

menor igual que incluye a [ ]

mayor igual que incluye a [ ]

Ejem: x475x3 +


32/53


Lic. Jorge Galeazzi A. 57x4x3 ( )+ ,2

Conjunto Solucin:{ }15x/x [ )+,15


33/53



Dado el sistema de ecuaciones:

=+

=+

122

111

cybxa

cybxa

y sus determinantes son:

22

11

22

11

ba

ba

bcbc

xx =

=

22

11

22

11

ba

ba

caca

yy =

=

donde: = determinante del sistema yyx = determinantes en x y y

Ejem:

=+=

25y8x3

4y5x2 ( ) ( )( )( ) ( )

331

93

1516

12532

5382

25584

83

52

825

54

x =

=+

=

=

=

( ) ( )( )

( ) ( )2

31

62

1516

1250

5382

34252

83

52

253

42

y =

=+

=

=

=

Ejem:

==+

16y3x

31y7x4 ( ) ( )( )( ) ( )

119

19

712

11293

7134

716331

31

74

316

731

x =

=

+=

=

=

( ) ( )( )

( ) ( )5

19

95

712

3164

7134

131164

31

74

161

314

y =

=

=

=

=

Problemas de AplicacinDentro del proceso de resolucin de problemas, se pueden diferenciar seis etapas:

1. Leer el problema2. Definir las incgnitas principales de forma precisa3. Traduccin matemtica del problema4. Resolucin del problema matemtico5. Interpretar las soluciones

6. Contrastar la adecuacin de esas soluciones

Ejem: En un zoolgico hay aves (de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoolgico contiene 60 cabezas y 200 patas,cuntas aves y cuntos tigres viven en l?

Traduccin matemtica :

=+=+

patas200t4a2

cabezas60taSolucin:

==

tigres40t

aves20a

Pag. 172


34/53


Lic. Jorge Galeazzi A.Ejem: Pedro compr 2 camisas y 3 pantalones por $850, y Francisco compr 3 camisas y 4 pantalones por $1200, cul es el

precio de una camisa y el de un pantaln?

Traduccin matemtica :

=+=+

Francisco1200p4c3

Pedro850p3c2Solucin:

==

pantaln150$p

camisa200$c

3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones con 3 incgnitas)

Definicin.- Es el llamado Sistema de 3 ecuaciones de 1er grado con 3 incgnitas, en que el objetivo es encontrar losvalores de stas 3 variables. Los mtodos para su solucin, son: Reduccin (Suma y Resta) y Determinantes (Regla deKramer):

Mtodo por Determinantes (Regla de Kramer)

Dado el sistema de ecuaciones:

=++=++=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

Realizar los pasos siguientes:1. Se escribe el determinante de tres por tres.2. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales.

3. Se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha.4. Se multiplican entre si los tres nmeros por los que pasa cada diagonal.

5. Los productos de los nmeros que estn en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propiosigno y los de derecha a izquierda con el signo cambiado.

Determinantes:

2

13

2

1

2

13

2

1

2

13

2

1

2

1

3

2

1

22

1

3

2

1

1

3

2

1

c

cc

cc

b

bb

bb

a

aa

aa

cc

c

c

c

bdb

b

b

b

d

d

d

d

xx =

=

2

13

2

1

2

13

2

1

2

13

2

1

2

1

3

2

1

22

1

3

2

1

1

3

2

1

c

cc

cc

b

bb

bb

a

aa

aa

cc

c

c

c

dad

d

d

d

a

a

a

a

yy =

=

2

13

2

1

2

13

2

1

2

13

2

1

2

1

3

2

1

22

1

3

2

1

1

3

2

1

c

cc

cc

b

bb

bb

a

aa

aa

dd

d

d

d

bab

b

b

b

a

a

a

a

zz =

=

Donde: = determinante del sistema zyy,x = determinantes en x , y y z

Ejem:

=++=++=

13z3yx

11zy2x2

4z4yx

6x10

60

618186

334104134424

1

4

314

2

1

121

2

1

121

14

31

4

2111

12

1

4

1311

4

xx ==

+++++

=

=

=

Pag. 173


35/53



2y1020

618186241344410433

1

4

314

2

1

121

2

1

121

1

4

3

1

4

112

4

13

11

4

1

1

2

1

yy ==++

++=

==

3z

10

30

618186

2611811826

1

4

314

2

1

121

2

1

121

114

13

11

4

221

1

2

1

1

1

2

1

zz ==

++

++=

=

=

3.5 Ecuaciones de 2do grado con una incgnita

Clasificacin

=+=+

=++

0cax:Puras0bxax:MixtassIncompleta

0cbxax:Completas

gradodo2

deEcuaciones

2

2

2

Mtodos de solucin

Completas: forma ax2 + bx + c = 0Es cuando, la ecuacin est compuesta por un trinomio, donde existen los valores de a, b y c , y para encontrar sus dosraces soluciones, se utilizan los mtodos siguientes:

Factorizacin: Forma x2+bx+c = 0 ax2+bx+c = 0, obteniendo: 21 xyxo

Ecuacin de 2do. grado:a2

ac4bbx

2 = , obteniendo: 21 xyx

Ejem: 012xx2 =( ) ( ) ( )( )

( )12121411

x2

=

( )( ) 03x4x =+ 2

4811x

+=

3xy4x 21 ==

==

=3x

4x

2

71x

2

1

Pag. 174


36/53



Ejem: 01x4x4 2 =++( ) ( ) ( )( )

( )4214444

x2 ++

=

x21x2 +=+8

16164x

=

x21x2 +=+

=

=

=

2

1x

2

1x

8

04x

2

1

x4+

( )( ) 01x21x2 =++

2

1xy

2

1x 21 ==

Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de a y b, pero no de c, y paraencontrar sus dos races soluciones, se utiliza el mtodo de factorizacin por trmino comn y se despeja, como sigue:

Ejem: 0x7x2 =+ Ejem: 0x4x2 2 = ( ) 07xx =+ ( ) 02xx2 =

7xy0x 21 == 2xy0x 21 ==

Incompletas puras: forma ax2 + c = 0

Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de a y c, pero no de b, y paraencontrar sus dos races soluciones, se utiliza el mtodo de despeje, como sigue:

Ejem: 03x2 = Ejem: 016x4 2 =

3x2 = 16x4 2 =

3x = 4x4

16x2 ==

3xy3x 21 == 2xy2x 21 ==

Reactivos Unidad 3:

Cul es el valor de x que satisface la ecuacin 12x863x3x =+ ?

a) 41 b) 4 c) 4 d) 1 e) 41

Cul es el valor de x que satisface la ecuacin 7x65x8 += ?

a) 6 b)6

1c)

6

1 d) 3 e) 6

Al resolver la ecuacin 4x7103xx2 += , se obtiene:

a) 2 b)3

2c)

2

3 d)

3

2 e)

2

3

Pag. 175


37/53



Al resolver la ecuacin ( ) ( ) 3x521x23 = , se obtiene:

a) 2 b)3

1c)

2

1d)

2

1 e) 2

Al resolver la ecuacin ( ) ( )3x2461x3x +=+ , se obtiene:

a) 4 b)4

1c) 2 d)

4

1 e) 4

El valor de x que cumple con la igualdad4

1x

6

1x

3

5+= es:

a)12

5 b)

8

5 c)

8

3 d)

8

5e)

12

5

El valor de x que cumple con la igualdad2

3

2

x

8

x3= es:

a) 12 b)8

3 c)

12

1 d)

8

3e) 12

Al resolver la ecuacin 23

1x2

4

5x3=

+se obtiene:

a) 5x = b)5

2x = c) 5x = d)

5

2x = e)

12

1

Al resolver la ecuacin3

8x3

9

2x =

+se obtiene:

a) 2x = b)2

3x = c)

2

1x = d) 2x = e)

2

1

Al resolver la ecuacin 4

2x

3

4

6

3x =

+

se obtiene:

a)4

1x = b)

6

1x = c) 4x = d) 4x = e)

4

1

De la ecuacin 12x3

9=

el valor de x que satisface es:

a)2

1b)

3

11 c)

11

3d)

3

11e)

11

3

De la ecuacinx

3

5

4

x

2= el valor de x que satisface es:

a) 5

3

b) 4

5

c) 4

3

d) 4

5

e) 4

3

Al resolver la siguiente ecuacin2

5

x5

4

5

7

x2

3= se obtiene:

a)5

1 b)

11

7 c)

11

7d) 7 e) 11

:La suma de dos nmeros naturales enteros consecutivos es 183, hallar los nmeros:a) 93y90 b) 92y91 c) 93y90 d) 92y91 e) 92y91

Pag. 176


38/53



15. El menor de dos nmeros impares consecutivos es el doble del mayor disminuido en 15. Hallar los nmerosa) 17y11 b) 11y9 c) 13y11 d) 15y11 e) 15y13

16. El triple de la suma de un nmero con su mitad igual a las 2/3 partes del mismo nmero aumentado en 46.

a) 46x32

2x23 =

b) 46x

32

2xx3 +=

+ c) 46x3

2xx

32 +=

+

d) 46x3

2

2

xx3 =

+ e) 46x

3

2

2

x23 +=

Cul es el nmero que sumado con su duplo da 261?a) 78 b) 45 c) 87 d) 97 e) 89

La suma de dos nmeros es 450 y su cociente 8. Hallar los nmeros.a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40 e) 420 y 30

19. Si a un nmero aado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, obtengo 122. Cul es el nmero?a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58

La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de Guillermo, Si ste tiene 30 aos Cul es la edad de Roberto?a) 14 aos b) 18 aos c) 13 aos d) 10 aos e) 12 aos

La suma de dos nmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Cules son los nmeros?a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y 54

Encontrar los tres nmeros consecutivos cuya suma sea 186.a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69 d) 32,33 y 34 e) 62,62 y 62

23. La suma de las edades de Sonia y Too es 84 aos y Too tiene 8 aos menos que Sonia. Hallar ambas edades.a) 38 y 46 b) 40 y 44 c) 41 y 43 d) 37 y 40 e) 38 y 41

24. Un cateto de un tringulo mide 20 cm y la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro cateto .Hallar las longitudes de los ladosdesconocidos

a) 25y15 b) 21y17 c) 22y16 d) 11y24 e) 16y25

Cules son las races de 012xx2 = ?

a) 4y3 b) 4y3 c)4

1y3 d) 4y3 e) 4y3

Al resolver la ecuacin 12xx6 2 =+ se obtiene:

a)3

4y

2

3 b) 4y3 c)

3

4y

2

3 d)

3

2y

4

3 e)

3

2y

4

3

Al resolver la ecuacin 2x3x2 2 =+ se obtiene:

a) 2y

2

1 b) 2y2 c)

2

1y

2

1 d)

2

1y2 e) 2y

2

1

El conjunto solucin de 01x4x4 2 =++ es:

a)

2

3,

2

1b)

2

1,

2

1c)

2

1,

2

1d)

2

1,

2

3e)

2

1,

2

3

El conjunto solucin de 05x2 = es:

a) }5,5 b) { }5,5 c)

5

1,

5

1d) { }10,10 e) { }5.2,5.2

Pag. 177


39/53



El conjunto solucin de 02x3 2 = es:

a)

2

3,

2

3b) { }3,3 c)

3

1,

3

1d) { }2,2 e)

3

2,

3

2

El conjunto solucin de 4x5 2 = es:

a)

i5

2,i

5

2b)

i5

2,i

5

2c)

i5

2,i

5

2d)

5

2,

5

2e)

5

2,

5

2

Al resolver la ecuacin 0xx2 = se obtiene:

a) 2y2

1 b) 1y1 c) 0y1 d) 0y2 e) 0y1

Al resolver la ecuacin 0x3x2 2 = se obtiene:

a) 0y2

3b) 0y

3

2 c)

2

3y

2

3 d) 0y

2

3e) 0y

2

3

Al resolver la ecuacin 0xx4 2 =+ se obtiene:

a) 0y4

1b) 0y4 c)

4

1y

4

1 d) 0y2 e) 0y

4

1

Al resolver la ecuacin 0x15x10 2 = se obtiene:

a) 0y2

3 b) 0y

3

2 c)

2

3y

2

3 d) 0y

3

2e) 0y

2

3

Cul de los siguientes valores cumple con: 7x e) 9x e) 2x>

El conjunto solucin de la desigualdad14

11

7

x

2

x

2

3+> es:

a)9

10x < b)

9

10x > c)

10

9x < d)

10

9x > e)

9

10x es:

a)

3

4, b)

,3

4c)

3

4, d)

,3

4e)

3

4,

Pag. 178


40/53



La expresin que representa a lo ms tengo 250 es:

a) 250x < b) 250x > c) 250x = d) 250x e) 250x

La expresin que representa por lo menos tengo 500 es:a) 500x < b) 500x > c) 500x d) 500x e) 500x

El conjunto solucin de 025x2 > es:a) ( )5,5 b) ( ] [ ) ,55, c) ( )5, d) ( ) ( ) ,55, e) [ ]5,5

Los valores de las incgnitas del sistema

=+=

5y4x3

7yx2son:

a) 1y,3x == b) 1y,3x == c) 1y,3x ==d) 1y,3x == e) 3y,1x ==

Los valores de las incgnitas del sistema

==+

1y3x5

12y2x3son:

a) 3y,2x == b) 3y,2x == c) 2y,3x ==d) 3y,2x == e) 3y,2x ==

El valor de x del sistema de ecuaciones

=+=

2yx3

6yxes:

a) 4 b) 2 c) 2 d) 4 e) 3

El valor de y del sistema de ecuaciones

=+=

1y6x212y9x4

es:

a)3

2b)

3

2 c)

2

3 d) 2 e)

2

3

51. Si x = 2 y y = 3 . La solucin del sistema de ecuaciones simultneas es:

a)

==+

2yx

5yxb)

==+2yx

5yx2c)

==+3yx

7yx2

d) = =+ 2yx 1yx e)

= =+ 1yx2 5yx

52. Un perro y su collar han costado $54, y el perro cost 8 veces lo que el collar. Cunto cost el perro y cunto el collar?

a) Perro $48 y collar $6 b) Perro $32 y collar $22 c) Perro $50 y collar $4d) Perro $46 y collar $8 e) Perro $47 y collar $7

53. La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y ambas edades suman 36 aos. Hallar ambas edades.

a) Juan 12, Pedro 24 b) Juan 24, Pedro 12 c) Juan 12, Pedro 12d) Juan 21, Pedro 15 e) Juan 15, pedro 21

Pag. 179


41/53



El valor de x , por medio de determinantes

==+

1yx2

2yxes:

a)

12

11

11

12

b)

12

11

12

11

c)

12

11

11

11

d)

11

12

12

21

e)

21

11

11

12

El valor de y , por medio de determinantes ==2x6y2

1yx3es:

a)

26

13

22

31

b)

62

13

26

13

c)

62

13

22

13

d)

66

13

62

31

e)

26

13

26

13

56. La edad de Jorge es el triple de la edad de Sandra y la de Sandra cinco veces la de Pedro. Sandra tiene 12 aos ms quePedro Qu edad tiene cada uno?a) Jorge 45,Sandra 15, Pedro 3 b) Jorge 25,Sandra 5, Pedro 3 c) Jorge 35,Sandra 25, Pedro 3d) Jorge 55, Sandra 15, Pedro 3 e) Jorge 5, Sandra 10, Pedro 3

57. En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de nio cuestan $5.12 y tambin 17 de nio y 15 de adulto $8.31. Cul es el precio deuna entrada de un nio y de un adulto?a) Adulto $35 cts, nio $18cts. b) Adulto $45 cts, nio $18cts. c) Adulto $25 cts, nio $28cts.d) Adulto $15 cts, nio $18cts. e) Adulto $35 cts, nio $28cts.

58. Un hacendado compro 4 vacas y 7 caballos por $514 y ms tarde, a los mismos precios, compro 8 vacas y 9 caballos por $818Cul es el costo de una vaca y un caballo.a) Vaca $42 y caballo $ 55 b) Vaca $55 y caballo $ 24 c) Vaca $24 y caballo $ 55

d) Vaca $55 y caballo $ 34 e) Vaca $55 y caballo $ 42

59. La suma de dos nmeros es 9 y la suma de sus cuadrados es 53 Cules son los nmeros?a) 7 y 2 b) 9 y 0 c) 5 y 4 d) 7 y 1 e) 6 y 3

60. La solucin del sistema

==+=+

3z4yx3

9z3y2x

8z2yx2

es:

a) 2z,1y,2x === b) 2z,2y,1x === c) 1z,2y,2x ===d) 2z,1y,2x === e) 1z,2y,2x ===

Pag. 180


42/53



61. La solucin del sistema

=++=

=

3x2y2z

1z3xy2

z2yx

es:

a) 0z,1y,2x === b) 0z,2y,1x === c) 1z,0y,2x ===d) 2z,1y,2x === e) 1z,2y,0x ===

UNIDAD 4. ALGEBRA DE FUNCIONES

Valor de una funcinSe obtiene, al sustituir el valor de x en la funcin f(x):

Ejem: Si f(x) = 9x2 + , obtener el valor de f(-4) y f(3)

( ) 2591694)4(f 2 =+=+= ( ) 189993)3(f 2 =+=+=

Ejem: Si f(x) =4x

2x9x2

+

, obtener el valor de f(-2) y f(4)

( ) ( )3

8

6

16

6

2184

42

2292)2(f

2

=

=

=

+

=

( ) ( )==

+=

+

=0

50

0

23616

44

2494)4(f

2

4.1 Dominio y RangoDominio, es el conjunto de todos los valores de x admisibles para una funcin.Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de y al sustituir cada una de los elementos del dominio en la funcin.

Ejem: El dominio de la funcin racional24x11x

1)x(f

2 ++=

( ) 0)8(324112 =++=++ xxxx , entonces, sus races son: 8xy3x 21 ==

{ }8,3x/xiominDo =

Ejem: El dominio de la funcin racional81x

1)x(f

2 =

( ) 0)9(9812 =+= xxx , entonces, sus races son: 9xy9x 21 ==

{ }9,9x/xiominDo =

Ejem: Para que valor de x la funcin 7x

1)x(f = se indetermina:

07 =x , entonces, para: 7x = la funcin se indetermina

Funcin cuadrtica

Es de la forma cbxax2 ++ y representa una parbola, donde su concavidad es hacia arriba cuando a es positiva y es haciaabajo cuando a es negativa.

El vrtice de la parbola, se obtiene en el punto:

a4

bac4,

a2

bV

2

Pag. 181


43/53



Los puntos donde la grfica interseca al eje x, son la solucin de la ecuacin. Dependiendo de su concavidad y lacoordenada de su vrtice, se puede obtener el dominio y el rango de la funcin.

Ejem: Sea la funcin 3x4x)x(f 2 ++= , obtener su dominio y rango.

El vrtice es:( )

( )( ) ( )( )

14

4314,

12

4V

2

entonces, ( )1,2V y la curva es cncava hacia arriba

ahora, las races de: ( )( ) 01x3x3x4x)x(f 2 =++=++= sus races son: 1xy3x 21 ==

entonces: ( ) [ )+=+= ,1Rangoy,iominDo

Ejem: Graficar las siguientes funciones indicando dominio y rango.

f(x) = xDom (f)=

Todoslosreales.

( )+= ,iominDoRan(f) = Todos los reales.

( )+= ,Rango

f(x) = 1/xDom(f) = Todos los racionalespositivos, menos

Pag. 182

y = x

x y

-4 -4

-3 -3

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

Y=X

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

Y = 1/ X

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

Y


44/53


Lic. Jorge Galeazzi A.el nmero cero.

( )+= ,0iominDoRan(f) = Todos los racionales

positivos.( )+= ,0Rango

4.2 Funciones y relaciones

DefinicinSe le llama relacin, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2 conjuntos.

Se le llama funcin, a la relacin entre dos conjuntos, de tal manera que para cada x, corresponda un solo elemento dey.

Relacin:2

1

y

yx Funcin: yx

Regla: Para determinar si una grfica es una funcin relacin, basta con trazar una vertical imaginaria sobre ella, yverificar los puntos de interseccin. Es decir, si slo toca un punto, se refiere a una funcin; si toca ms deun punto se refiere a una relacin.

Ejem:

Relacin Funcin Funcin Relacin Relacin

Clasificacin de Funciones

( )( )

( )

( )( )

==

+=

==

xlnxf:Ejem.lnlogexistaDonde:asLogartmic5xf:Ejem.onenteexpcomoestiablevarlaDonde:lesExponencia

6x2xxf:Ejem.gradodo2deSon:sCuadrtica

2x5xf:Ejem.gradoer1deSon:Lineales

4xf:Ejem.cambiannoqueLas:testanCons

Funciones

x

2

4.3 Funcin Logartmica y exponencial:

Es de la forma xlogy)x(f a== , donde: onenteexpy)x(fumentoargxbasea ====

Forma logartmica: xlogy a= corresponde a: Forma exponencial: yax =

Ejem: Al convertir xlog3 4= , en forma exponencial, obtenemos: 644x 3 ==

Pag. 183

x y

9 0.1111

8 0.125

7 0.1429

6 0.1667

5 0.2

4 0.25

3 0.3333

2 0.5

1 1

0.5 2


45/53



Ejem: Al convertir 36log2 x= , en forma exponencial, obtenemos: 6xx36 2 ==

Ejem: Al convertir 225log2

3x= , en forma exponencial, obtenemos: 2

3

x27=

entonces: 9x729x729x27x27x 33233 =====

Ejem: Al convertir 36log2 x= , en forma exponencial, obtenemos: 6xx36 2 ==

Reactivos Unidad 4:

Sean la funciones 6x)x(gy12x4x)x(f 2 == la operacin )x(g)x(f

resulta:

a) 2x b) 3x2 c) 2x + d) 1x e) 1x +

Sean la funciones 10x3x)x(gy6x5x)x(f 22 =++= la operacin )x(g)x(f resulta:

a) 4x2x2 2 + b) 4x2 c) 16x8 d) 4x8 e) 16x8 +

Si 6x)x(f 2 += , el valor de f(-2) es:a) 10 b) 2 c) 10 d) 4 e) 2

Si 4x)x(f 3 = , el valor de f(-1) es:a) 3 b) 2 c) 2 d) 5 e) 5

Para que valor de x la funcin 3x

2

)x(f = se indetermina:

a) 2 b) 2 c) 3 d)3

2e) 3

Para que valores de x la funcin64x

1)x(f

2 = se indetermina:

a) 4y4 b) 8y8 c) 2y2 d)8

1y

8

1 e)

4

1y

4

1

Una funcin lineal esta representada por:

a) 8x2 2 + b) 5x2 c)4x

3

d)

x

1x5 e) xln

Cul de las siguientes funciones es cuadrtica?

a) 2x5 b) 2x4

5x2 c)

4x

32

d) ( )21x + e) 9x2x2 +

Cul de las siguientes funciones es exponencial?

a) 16x)x(f 2 += b) y= 9x2 c) f(x)= x3ln

d) g(x)= 25 e) x27)x(h =

Pag. 184


46/53



El dominio de la funcin6x5x

3x)x(f

2 ++

=

a) { }3,2x/xDf = b) { }3,1x/xDf = c) { }3,2x/xDf =

d) { }2,2x/xDf = e) { }3,2x/xDf =

El dominio de la funcin8x6x

1x)x(f

2 +

+=


d) { }2,2x/xDf = e) { }4,2x/xDf =

El dominio de la funcin144x

24x)x(f

2

=


d) { }12,12x/xDf = e) { }4,6x/xDf =

El dominio de la funcin 25x

4

)x(f 2 =a) { }25x,25x/xDf = b) { }5x,5x/xDf = c) { }50x,50x/xDf =

d) { }4x,5x/xDf = e) { }5x,4x/xDf =

La forma exponencial de 225log x = es:

a) 25x2 = b) x225 = c) 2x25 = d) x252 = e) 225x =

La forma logartmica de 823 = es:

a) 8log3 2= b) 3log2 8= c) 3log8 2= d) 8log2 3= e) 2log3 8=

El valor de x del x64log 4 = es:a) 8x = b) 16x = c) 4x = d) 3x = e) 32x =

17. El valor de x del x81log 3 = es:a) 9x = b) 4x = c) 3x = d) 27x = e) 81x =

Si 664log x = Cul es el valor de x?a) 12x = b) 4x = c) 2x = d) 36x = e) 8x =

Si 2xlog 3 = Cul es el valor de x?a) 8x = b) 4x = c) 3x = d) 2x = e) 9x =

Si 2

3xlog 4 = Cul es el valor de x?

a)8

1x = b) 9x = c)

8

3x = d) 4x = e) 6x =

UNIDAD 5. GEOMETRA EUCLIDIANA

5.1 ngulosClasificacin Bsica

Pag. 185


47/53



=

=

=

ooo

o

ooo

120:Ejem.180demenorpero,90deMayor:Obtuso

.90:ctoRe

50:Ejem.90demenorpero,0deMayor:Agudo

ngulos

Agudo Recto Obtuso

Se le llama ngulo complementario, son los ngulo cuya suma es igual a 90o .Ejem: El complemento de 70o es 20o , porque ooo 902070 =+Ejem: El complemento de 35o es 55o , porque ooo 905535 =+

Se le llama ngulo suplementario, los ngulo cuya suma es igual a 180o .

Ejem: El suplemento de 40o es 140o , porque ooo 18014040 =+Ejem: El suplemento de 135o es 45o , porque ooo 18045135 =+

5.2 Conversin de grados a radianes y viceversa

De grados a radianes, se multiplican los grados por180

y se simplifica.

Ejem: 70o a radianes: ==

18

7

180

70

18070

Ejem: 120o a radianes: ====

32

96

1812

180120

180120

De radianes a grados, se multiplican los radianes por

180y se simplifica.

Ejem: 2

1a grados:

o902

180180

2==

Ejem: 4

3a grados:

o1354

540180

4

3==

Reactivos Unidad 5:

Cul es el complemento de 80?a) 20 b) 10 c) 120 d) 100 e) 60

Cul es el complemento de 25?a) 155 b) 75 c) 125 d) 175 e) 65

Cul es el suplemento de 30?a) 70 b) 170 c) 150 d) 120 e) 60

Cul es el suplemento de 115?a) 25 b) 75 c) 65 d) 155 e) 85

Pag. 186

0


48/53



Cul es la equivalencia de 150 a radianes?

a) 5

6b)

5

3c)

4

3d)

6

5e)

3

5


a) 5

3b)

2

3c)

2

5d)

5

2e)

3

5


a) 9

11b)

30

11c)

6

11d)

11

9e)

11

6

Al convertir 4

7radianes a grados, se obtiene:

a) 300 b) 315 c) 115 d) 330 e) 275

Al convertir 3


a) 200 b) 60 c) 120 d) 130 e) 75

Al convertir 8


a) 150 b) 5.147 c) 2.125 d) 5.157 e) 175

Pag. 187


49/53



UNIDAD 6. TRIGONOMETRA

6.1 Teorema de PitgorasDefinicin.-Aplicado para todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa ( c ) es igual a la suma de los cuadrados de

sus catetos (a y b ).

Ejem: Encontrar la hipotenusa

Ejem: Encontrar el cateto faltante

6.2 Funciones Trigonomtricas

Definicin.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un tringulo rectngulo y son:

entonces:

Con respecto al ngulo A

c

a

hipotenusa

opuesto.catAsen ==

a

c

opuesto.cat

hipotenusaAcsc ==

c

b

hipotenusa

adyacente.catAcos ==

b

c

adyacente.cat

hipotenusaAsec ==

b

a

adyacente.cat

opuesto.catAtan ==

a

b

opuesto.cat

adyacente.catAcot ==

Pag. 188

A

C Ba

bc

222 bac +=

A

C B8

4

c

222 bac +=222 48c +=

1664c2

+=80c =

54c =

A

C Ba

6

10

Con respecto al ngulo A Con respecto al ngulo Bc = hipotenusa c = hipotenusaa = cateto opuesto a = cateto adyacenteb = cateto adyacente b = cateto opuesto

A

C Ba

bc

222 bca =222 610a +=

36100a2 +=

136c =

342c =


50/53



Con respecto al ngulo B

c

b

hipotenusa

opuesto.catBsen ==

b

c

opuesto.cat

hipotenusaBcsc ==

ca

hipotenusaadyacente.catBcos ==

ac

adyacente.cathipotenusaBsec ==

a

b

adyacente.cat

opuesto.catBtan ==

b

a

opuesto.cat

adyacente.catBcot ==

Ejem: Encontrar las razones, seno, coseno y tangente con respecto al ngulo B, del siguiente tringulo:

65

4

hipotenusa

opuesto.catBsen ==

65

7

hipotenusa

adyacente.catBcos ==

7

4

adyacente.cat

opuesto.catBtan ==

Ejem: Encontrar las razones, cosecante, secante y cotangente con respecto al ngulo A, del siguiente tringulo:

9

90

opuesto.cat

hipotenusaAcsc ==

3

90

adyacente.cat

hipotenusaAsec ==

3

1

9

3

opuesto.cat

adyacente.catAcot ===

6.3 Identidades Trigonomtricas

Definicin.- Son las equivalencias existentes entre las razones trigonomtricas y son:Recprocas: 1cottan1seccos1cscsen ===

Cociente:

=

=sen

coscot

cos

sentan

Pitagricas: =+=+=+ 22222 csc1cotsec1tan1cossen

Reactivos Unidad 6:El valor de x del siguiente tringulo es:

Pag. 189

A

C B9

390

A

C B7

65

12

9x

2015211614


51/53



El valor de x del siguiente tringulo es:

3. El valor de x del siguiente tringulo es:

34

4. Una oficina de forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m, Cunto mide el otro lado?a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2

5. Segn la figura, la razn10

7, corresponde a la funcin:

6. Segn la figura, la razn :8


7. Segn la figura, la razn :10


64

8. El valor de la expresin 1 (cos 60) es igual a:a) 2 b) 0.5 c) 1 d) 1.5 e) 0

Pag. 190

24

x25 5

9

723

32

x

832

834

23

51

710

cotsecsentancos

8

1517

10

14

sencotseccostan

secsentancsccos


52/53



9. Segn la figura, el valor de x corresponde a:

30


45 x


60

12. Cul de las siguientes opciones recibe el nombre de tangente?

a)opuesto.cat

adyacente.catb)

opuesto.cat

hipotenusac)

hipotenusa

opuesto.catd)

hipotenusa

adyacente.cate)

adyacente.cat

opuesto.cat

13. El valor equivalente a6

sen

es:

a)2

1b)

2

2c) 1 d)

2

3e) 0

14. El valor equivalente a 60sec es:

a)2

2 b)2

1c) 2 d) 1 e) 2

15. La expresin cos1

corresponde a la funcin:

a) sen b) csc c) tan d) sec e) cot

16. Cul es el rea de la siguiente figura:

45 6

26

Pag. 191

x

1032

23

358

53

10

121281312

3

x

33

23

32

3

54

2und62und202und182und362und48


53/53



17. Cul es el permetro del paralelogramo siguiente:

30

4

7

Respuestas a Reactivos de Matemticas

Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Unidad 5 Unidad 6

1. c2. b3. c4. d5. e6. a7. b8. a9. d

10. c11. c12. d13. c14. e15. b

16. d17. e18. b19. a20. e21. c22. a23. b24. e25. a26. d27. d28. a29. b30. b

31. d32. a33. a34. a35. d36 c

1. a2. a3. c4. e5. c6. c7. a8. b9. a

10. c11. d12. a13. c14. c15. c

16. c17. c18. c19. e20. a21. b22. e23. c24. c25. d26. b27. a28. b29. a30. d

31. d32. c33. e34. e35. d36 d

dabaeaceaaeaeda

cdbdaacecbdaeae

aabecb

aecaddeaeddbbec

bcbdeaaaadcecae

aeaeeecbdaedddd

debbeabaeaaeabe

1. c2. e3. a4. d5. c6. b7. b8. d9. e

10. a11. c12. d13. b14. a15. a

16. d17. b18. c19. e20. a

1. b2. e3. c4. c5. d6. d7. c8. b9. c

10. d

1. b2. c3. d4. b5. a6. a7. a8. b9. c

10. c11. a12. e13. a14. e15. d

16. d17. e

und21

und14und49

und28

und30

Documents

Guía UNAM 7a - Matematicas