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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE LA CIUDAD DE MÉXICO
Maestría en Dinámica no Lineal y Sistemas Complejos
GUÍA DEL ESTUDIANTE PARA PREPARARLA EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA
El marcado carácter interdisciplinario de la maestría en Dinámica no Lineal ySistemas Complejos requiere de una población estudiantil diversa con una formaciónacadémica dentro de las áreas físico-matemáticas, químico-biológicas, humanísticasy sociales que aborden aquellos problemas de (o relacionados con) sus disciplinas quesean de su interés, desde el punto de vista de la teoría de los sistemas complejos.Para ello, resulta deseable que esta población heterogénea de estudiantes desde suingreso cuente con la formación matemática necesaria que le permita apropiarse de lasherramientas del análisis de la dinámica no lineal, y así poder afrontar exitosamenteel plan de estudios de esta maestría. La guía del estudiante se ha diseñado con unpropósito doble: por una parte, darle a conocer a todo interesado en la maestríade forma explícita, de acuerdo con el perfil de ingreso de la misma1, el tipo deconocimientos matemáticos que debe poseer; y por otra, ser un instrumento de apoyoen la preparación de la evaluación diagnóstica.
La guía incluye un bosquejo de los temarios de materias como álgebra, geometríaanalítica, cálculo diferencial e integral de una y varias variables, análisis matemático,álgebras superior y lineal, ecuaciones diferenciales ordinarias, probabilidad, y progra-mación. Si bien estos temarios se han diseñado tomando en cuenta diversos librosde texto y programas de estudios, el criterio fundamental para su elaboración hasido seleccionar sólo aquellos contenidos que el estudiante mínimo debe saber paraingresar a la maestría. Cada uno de estos temarios viene acompañado de una bib-liografía básica y actualizada, integrada en su mayor parte por libros que puedenser consultados en las bibliotecas de los planteles Del Valle y Centro Histórico dela UACM. Asimismo, esta guía está integrada por una amplia variedad de ejerciciosrepresentativos de tales materias y que son del tipo de los que podrían constituirla evaluación diagnóstica; las respuestas de estos ejercicios, y las de otros similares,pueden consultarse en las referencias bibliográficas sugeridas. Por último, al final dela guía se han agregado dos ejemplos de evaluaciones diagnósticas construidas conalgunos de los ejercicios propuestos.
La evaluación diagnóstica de la maestría consta de tres partes. En la primera setienen ejercios de álgebra, de geometría analítica y de cálculo diferencial e integral deuna sola variable; la segunda está conformada por problemas de cálculo diferencial
1Consúltese el perfil de ingreso a la maestría en el documento maestro de la misma, en la página:http://www.nolineal.org.mx
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e integral de varias variables, de álgebras superior y lineal, de análisis matemático,de ecuaciones diferenciales ordinarias, de probabilidad, y de programación; y porúltimo, la tercera consta de la lectura de un texto en inglés, con la cual se pretendeconocer la habilidad que posee el aspirante para comprender en este idioma desdetextos técnicos hasta ensayos filosóficos.
Cabe mencionar que sólo la satisfactoria resolución de la primera, segunda ytercera partes le permitirá al aspirante inscribirse directamente en la maestría. Siúnicamente éste consigue resolver correctamente la primera parte, entonces sólo ba-jo la indicación del comité de evaluación, podrá inscribirse a uno o varios de loscursos propedéuticos que la maestría ofrece, quedando pendiente su inscripción has-ta que demuestre que ha adquirido los conocimientos requeridos para ingresar a lamisma. Los cursos propedeúticos están formados por los seis cursos que forman lasegunda parte de la evaluación diagnóstica. Su finalidad consiste en uniformar losconocimientos básicos de los estudiantes que provienen de diferentes disciplinas ysistemas de enseñanza, así como lograr que durante ese tiempo se familiaricen con elmétodo de trabajo que se emplea en la maestría.
La evaluación diagnóstica se ha diseñado de manera que sea autocontenida; esdecir, que además de incorporar una serie de problemas representativos de los con-tenidos de los programas de las materias ya señaladas, también presente la infor-mación que se requiera para resolverlos, como pudiera ser el enunciado de ciertosteoremas, de fórmulas o identidades matetmáticas. De esta manera, el aspirante sólorequerirá para contestar la evaluación de tan sólo lápiz, papel y si acaso, de unacalculadora. Se le sugiere al aspirante que en las soluciones que proponga de los ejer-cicios, exprese con toda claridad y orden sus ideas, que indique las operaciones queefectúe y los conceptos matemáticos que utilice. El tiempo estimado para resolver laevaluación diagnóstica, no debe exceder de tres horas.
Octubre 8 de 2006
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TEMARIOS
Álgebra
1. Operaciones algebraicas
a) Expresión algebraica, término y polinomio
b) Adición
c) Sustracción
d) Multiplicación
e) Productos notables y fórmula del binomio
f ) División
g) Campo de números
h) Factorización
i) Mínimo común múltiplo
j ) Fracciones simples
k) Fracciones compuestas
l) Exponentes
m) Radicales
2. Ecuaciones lineales o de primer grado
a) Tipos de ecuaciones
b) Ecuaciones equivalentes
c) La ecuación de primer grado con una incógnita
d) Solución de ecuaciones de primer grado
e) Gráfica de la función lineal
f ) Solución de problemas mediante el uso de ecuaciones lineales
g) La ecuación de primer grado con dos variables o incógnitas
h) Sistemas de dos y de tres ecuaciones de primer grado
i) Métodos de solución gráficos, por adición o sustracción, sustitución y determinantes
j ) Problemas que pueden resolverse por medio de sistemas de ecuaciones de primer grado
3. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado
a) La ecuación de segundo grado con una incógnita
b) Soluciones por factorización y completando un cuadrado perfecto
c) La fórmula de la ecuación de segundo grado.
d) El discriminante de una ecuación cuadrática
e) Ecuaciones de forma cuadrática y con radicales
f ) Gráfica de la función cuadrática
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g) Problemas que implican ecuaciones de segundo grado
h) La ecuación de segundo grado con dos variables
i) Sistemas de ecuaciones de segundo grado
j ) Pares de sistemas que comprenden una ecuación lineal
k) Pares de sistemas de ecuaciones de la forma ax2 + by2 = c
l) Pares de sistemas de ecuaciones de la forma ax2 + bxy + cy2 = d
m) Problemas que se resuelven por medio de sistemas de ecuaciones cuadráticas
4. Desigualdades e inecuaciones
a) Definiciones y teoremas fundamentales
b) Desigualdades condicionales
c) Desigualdades condicionales que comprenden valores absolutos
d) Inecuaciones de primer grado o lineales
e) Inecuaciones de segundo grado o cuadráticas
5. Logaritmos
a) Logaritmos comunes o de Briggs
b) Propiedades fundamentales de los logaritmos
c) Logaritmos de bases diferentes de 10
d) Operaciones numéricas con logaritmos
e) Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
f ) Gráficas de loga y de ax
6. Sumas finitas de sucesiones geométricas y aritméticas
a) Progresiones aritméticas
b) Progresiones geométricas
c) Progresiones armónicas
Bibliografía
1. C. H. Lehmann, Álgebra (Limusa, México, 2004).
2. E. W. Swokowski, Álgebra Universitaria (CECSA, México, 2003).
3. G. Fuller, W. L. Wilson y H. C. Miller, Álgebra Universitaria, Décima tercera reimpresión(CECSA, México, 2001).
4. F. M. Lovaglia, M. A. Elmore y D. Conway, Álgebra, Séptima reimpresión (Oxford Uni-versity Press, México, 2005).
5. P. K. Rees y F. W. Sparks, Álgebra (Reverté, México, 1984).
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6. A. Goodman y L. Hirsch, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica (Prentice Hall,México, 1996).
7. E. de Oteyza de Oteyza, C. Hernández Garciadiego y E. L. Osnaya, Álgebra (PearsonEducación, México, 1996).
8. C. M. Adalid Díez de U. et al, Álgebra Básica. Soluciones con el Paquete Mathematica(UAM-Xoch, México, 2001).
Geometría analítica
1. Sistemas de coordenadas
a) Segmento rectilíneo dirigido
b) Sistema coordenado lineal y en el plano
c) Distancia entre dos puntos dados
d) División de un segmento en una razón dada
e) Pendiente de una recta
f ) Rectas paralelas y perpendiculares
g) Ángulo de dos rectas
2. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
a) Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica:
1) Gráfica de una ecuación: intercepciones, simetría, extensión, asíntotas, evaluacióny construcción de la curva
2) Determinación de la ecuación de un lugar geométrico dado
3. La línea recta
a) Definición
b) Formas de la ecuación de la recta: punto pendiente, pendiente ordenada al origen,cartesianareducida o abscisa y ordednada en el origen, general y normal
c) Reducción de la forma general a la normal
d) Distancia de un punto a una recta
e) Familias de líneas rectas
4. La circunferencia
a) Definición
b) Forma ordinaria o cartesiana de la ecuación de una circunferencia con centro en elorigen y en un punto cualquiera
c) Forma general
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d) Ecuación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas
e) Tangente a circunferencia
5. La parábola
a) Definición
b) Ecuación de la parábola de vértice en el origen y en un punto cualquiera con el ejeparalelo a uno de los ejes coordenados
c) Forma general
d) Algunas aplicaciones
6. La elipse
a) Definición
b) Ecuación de la elipse con centro en el origen y en unpunto cualquiera con el eje mayorparalelo a uno de los ejes coordenados
c) Forma general
d) Propiedades
7. La hipérbola
a) Definición
b) Ecuación de la hipérbola con centro en elorigen y en un punto cualquiera con el ejereal paralelo a uno de los ejes coordenados
c) Ecuaciones de las asíntotas
d) Hipérbolas equiláteras
e) Forma general
f ) Propiedades
8. Ecuación general de segundo grado
a) Naturaleza de la ecuación general Ax2 + Cy2 +Dx+Ey + F = 0
b) Definición general de cónica
Bibliografía
1. C. H. Lehmann, Geometría Analítica (Limusa, México, 2004).
2. E. de Oteyza, E. L. Osnaya, J. A. Gómez Ortega, A. Ramírez Flores y C. HernándezGarciadiego, Geometría Analítica, Primera edición (Pearson Educación, México, 1994).
3. R. Solis, J. Nolasco y A. Victoria, Geometría Analítica (Limusa, México, 1984).
4. E. de Oteyza, E. L. Osnaya, C. Hernández Garciadiego, A. M. Carrillo Hoyo y A. RamírezFlores, Geometría Analítica y Trigonometría (Prentice Hall, México, 2001).
6
5. J. I. Arcos Quezada, Geomtría Analítica para Estudiantes de Ingeniería (Fundación ICA,México, 2002).
6. J. H. Kindle,Geometría Analítica Plana y del Espacio, Serie Schaum (McGraw Hill, Colom-bia, 1990).
7. N. Efimov, Curso Breve de Geometría Analítica (Mir, Moscú, 1969).
Cálculo diferencial e integral de una variable
1. Límites y continuidad
a) El concepto de función
b) Dominio y rango de una función
c) Representación gráfica de funciones
d) Funciones inversas y compuestas
e) Funciones elementales y sus gráficas
1) Funciones racionales y algebraicas2) Funciones trigonométricas y sus inversas3) Funciones exponencial y logarítmica.
f ) Límite de una función
1) Teoremas acerca de los límites de las funciones2) Límites unilaterales e infinitos
g) Continuidad de una función
1) Continuidad en un número2) Continuidad de una función compuesta3) Continuidad en un intervalo4) Continuidad de las funciones trigonométricas
2. La derivada y la diferenciación
a) Recta tangente
b) Derivada
c) Diferenciabilidad y continuidad
d) Algunos teoremas acerca de la diferenciación de funciones algebraicas
e) Movimiento rectilíneo y la derivada como el límite de la razón de cambio
f ) Derivadas de las funciones trigonométricas
g) Derivada de una función compuesta. Regla de la cadena
h) Derivada de funciones polinomiales y exponenciales
i) Diferenciación implícita
j ) Derivadas de orden superior
k) Diferencial
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3. Comportamiento de las funciones, valores extremos de funciones y técnicas de graficación
a) Valores máximos y mínimos de una función
b) Aplicaciones en que interviene un extremo absoluto en un intervalo cerrado
c) Teorema de Rolle y teorema del valor medio
d) Funciones crecientes y decrecientes, y prueba de la primer derivada
e) Concavidad y punto de inflexión
f ) Prueba de la segunda derivada para extremos relativos
g) Límites en infinito
h) Asíntotas de una gráfica
i) Aplicaciones en el trazo de la gráfica de una función
4. Integral definida, integración y aplicaciones
a) Antidiferenciación
b) Áreas y distancias
c) Integral definida y sumas de Riemann
d) Propiedades de la integral definida
e) Teorema del valor medio para las integrales
f ) Teoremas fundamentales del cálculo
g) Algunas aplicaciones: áreas entre curvas, volumen de un sólido de revolución, trabajomecánico, longitud de arco y centro de masa
5. Funciones inversas, logarítmicas y exponenciales
a) Funciones inversas
b) Teorema de la función inversa y derivada de la inversa de una función
c) Función logaritmo natural, diferenciación logarítmica e integrales que conducen a lafunción logaritmo natural
d) Función exponencial natural y aplicaciones
e) Otras funciones exponenciales y logarítmicas
6. Funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas
a) Funciones trigonométricas inversas y sus derivadas
b) Integrales que conducen a funciones trigonométricas inversas
c) Funciones hiperbólicas y sus inversas
7. Técnicas de integración
a) Por sustitución
b) Por partes
8. Formas indeterminadas, integrales impropias y fórmulas de Taylor
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a) Formas indeterminadas y la regla de L’Hospital
b) Integrales impropias con límites de integración infinitos
c) Fórmulas de Taylor con residuo
Bibliografía
1. L. Leithold, El Cálculo, 7a edición (Oxford University Press, México, 1998).
2. J. Stewart, Cálculo, Cuarta edición (Thomson-Learning, México, 2002).
3. E. W. Swokowski, Cálculo con Geometría Analítica (Grupo Editorial Iberoamérica, Méx-ico, 1989).
4. G. B. Thomas Jr. y R. L. Finney, Cálculo de una Variable, 9a edición (Pearson Educación,México, 1998).
5. W. A. Granville, Cálculo Diferencial e Integral (Limusa, México, 2005).
6. D. Huges-Hallett, A. M. Gleason, et al., Cálculo Aplicado (CECSA, México, 2002).
7. E. Mendelson, Introducción al Cálculo, Serie Schaum (McGraw Hill, México, 1986).
8. T. M. Apostol, Calculus Vol. 1, Segunda edición (Reverté, Barcelona, 2001).
9. R. Courant y F. John, Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático Vol.1 (Limusa,México, 1987).
Cálculo diferencial e integral de varias variables
1. Vectores y geometría analítica del espacio
a) Siistemas de coordenadas en tres dimensiones
b) Vectores
c) Producto punto o escalar
d) Producto cruz o vectorial
e) Ecuaciones de rectas y planos
f ) Cilindros y superficies cuadráticas
g) Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
2. Funciones vectoriales
a) Funciones vectoriales
b) Límite de una función vectorial
c) Derivadas e integrales de funciones vectoriales
d) Longitud de arco y curvatura
e) Movimiento en el espacio: velocidad y aceleración
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3. Cálculo diferencial de funciones escalares de más de una variable
a) Funciones de más de una variable
b) Límites y continuidad
c) Derivadas parciales
d) Regla de la cadena
e) Derivadas parciales de orden superior
f ) El teorema de Taylor
4. Derivadas direccionales, gradientes y aplicaciones de las derivadas parciales
a) Derivadas direccionales y vector gradente
b) Tangentes y normales a superficies
c) Valores extremos de funciones con valores reales
d) Multiplicadores de Lagrange
e) El teorema de la función inversa
f ) El teorema de la función implícita
5. Integración múltiple
a) Integrales dobles sobre rectángulos
b) Integrales iteradas o sucesivas
c) Integrales dobles sobre regiones generales
d) Integrales dobles en coordenadas polares
e) Aplicaciones de las integrales dobles: centro de masa y momentos de inercia
f ) Área de una superficie
g) Integrales triples
h) Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
i) Cambio de variables en integrales múltiples
6. Cálculo vectorial
a) Campos vectoriales
b) La integral de trayectoria
c) Integrales de línea
d) Teorema fundamental para integrales de línea
e) Campos conservativos. Integrales independientes de la trayectoria
f ) Teorema de Green
g) Rotacional y divergencia
h) Superficies parametrizadas y sus áreas
i) Integrales de superficie
j ) Teorema de Stokes
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k) Teorema de Gauss o de la divergencia
Bibliografía
1. L. Leithold, El Cálculo, 7a edición (Oxford University Press, México, 1998).
2. J. Stewart, Cálculo, Cuarta edición (Thomson-Learning, México, 2002).
3. J. E. Marsden y A. J. Tromba, Cálculo Vectorial, 4a edición (Pearson Educación, México,1998).
4. W. C. McCallum, A. M. Gleason, D. Hughes-Hallett, et al., Cálculo de Varias Variables(CECSA, México, 1998).
5. T. H. Barr, Vector Calculus, 2nd edition (Prentice Hall, USA, 2001).
6. M. R. Spiegel, Análisis Vectorial, Serie Schaum (McGraw Hill, México, 1989).
7. T. M. Apostol, Calculus Vol. 2 Segunda edición (Reverté, Barcelona, 2001).
8. R. Courant y F. John, Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático Vol.2 (Limusa,México, 1987).
Álgebras superior y lineal
1. Sistemas de ecuaciones lineales
a) Ecuaciones lineales y su solución
b) Sistemas de ecuaciones lineales
c) Transformaciones elementales
d) El método de Gauss-Jordan
e) Sisitemas de ecuaciones homogéneos
2. Matrices
a) Conceptos generales
b) Adición de matrices y multiplicación por un escalar
c) Multiplicación de matrices
d) Inversa de una matriz
e) Matrices y ecuaciones lineales
f ) Tipos especiales de matrices cuadradas
g) Operaciones sobre una matriz
1) Transposición2) Matrices simétricas y antisimétricas3) Conjugación4) Potencia enésima
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h) Partición de matrices
3. Determinantes
a) Definición y conceptos básicos
b) Permutaciones
c) Propiedades
d) Menores y cofactores
e) Algunas aplicaciones
1) Cálculo de la inversa de una matriz por medio de la adjunta2) Solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante la regla de Kramer
4. Espacios vectoriales
a) Definición y propiedades básicas
b) Subespacios
c) Combinación lineal y espacio generado
d) Independencia lineal
e) Bases y dimensión
f ) Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
g) Cambio de base
h) Bases ortonormales y proyecciones en Rn
i) Dependencia lineal, base y dimensión
j ) Espacios con producto interno y proyecciones
5. Transformaciones lineales
a) Transformación lineal
b) Dominio, codominio, recorrido y núcleo
c) Representación matricial de una transformación lineal
1) Matriz asociada2) Matriz referida a dos bases cualesquiera3) Rango de la matriz asociada y dimensión del recorrido
d) Álgebra de las transformaciones lineales
1) Adición y multiplicación por un escalar2) Composición3) Inversa de una transformación
6. Eigenvalores, eigenvectores y fórmas canónicas
a) Eigenvaores y eigenvectgores
b) Matrices semejantes y diagonalización
c) Matrices simétricas y diagonalización ortogonal
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d) Formas cuadráticas y secciones cónicas
e) Forma canónica de Jordan
f ) Teorema de Cayley-Hamilton
7. Numeros complejos
a) Definición y propiedades
b) Operaciones fundamentales
c) Representación rectangular
d) Adición y sustracción geométrica
e) Representación polar
f ) Producto y cociente de números complejos
g) Teorema de Moivre
h) Potencias y raíces de números complejos
8. Teoría de ecuaciones polinomiales de grado superior
a) La ecuación de tercer grado
b) La ecuación de cuarto grado
c) Ecuaciones racionales enteras
d) Teorema del residuo
e) Teorema del factor y su recíproco
f ) Teorema fundamental del álgebra
g) División sintética
h) Gráfica de un polinomio
i) Número de raíces
j ) Naturaleza de las raíces
k) Regla de los signos de Descartes
l) Raíces racionales, irracionales e imaginarias
m) Cálculo aproximado de las raíces. Método de Horner
n) Relaciones entre las raíces y los coeficientes
Bibliografía
1. A. G. Kurosch, Curso de Álgebra Superior (Mir-Limusa, México, 1994).
2. A. I. Kostrinkin, Introducción al Álgebra, 2a edición (McGraw-Hill, España, 1992).
3. A. Reyes Guerrero, Álgebra Ssuperior (Thomson, México, 2005).
4. S. I. Grossman, Álgebra lineal, Quinta edición (McGraw-Hill, México, 1996).
5. S. J. Leon, Linear Algebra whit Applications, Sixth edition (Prentice Hall, USA, 2002).
13
6. T. Banchoff and J. Wermer, Linear Algebra Through Geometry (Springer-Verlag, USA,1992).
7. H. Anton, Introducción al Álgebra Lineal, 2a edición (Limusa-Wiley, México, 2002).
8. K. Hoffman y R. Kunze, Álgebra Lineal (Prentice Hall, México, 1973)
9. S. Lipschutz, Álgebra Lineal, Segunda edición (McGraw-Hill, España, 1992)
10. B. Kolman, Álgebra Lineal con Aplicaciones y MATLAB, Sexta edición (Prentice Hall,México, 1999).
Análisis matemático
1. Los números reales.
a) Los racionales, campo denso y ordenado pero incompleto.
b) El axioma de plenitud2. Los reales, campo completo y ordenado.
c) Numerabilidad de Q.d) No numerabilidad de R
2. Sucesiones y series
a) El límite de una sucesión.
b) Teoremas sobre límites de
1) sumas y productos de sucesiones convergentes;2) sucesiones convergentes tales que an ≤ bn, para toda n ∈ N .
c) El teorema de la convergencia monótona.
d) Teorema de Bolzano—Weierstrass.
e) Criterio y teorema de Cauchy para la convergencia de una sucesión.
3. Bases de la topología de R
a) Conjuntos abiertos y cerrados.
b) Conjuntos compactos.
4. Límites de funciones reales de variable real y continuidad.
a) Límites de funciones definidas en intervalos o uniones de intervalos deR. Continuidad.b) Continuidad de combinaciones de funciones continuas.
c) Funciones continuas en conjuntos compactos.
d) El teorema del valor intermedio.
2Frecuentemente llamado de la “completitud” o la “completez”
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Bibliografía
1. S. Abbott, Understanding Analysis (Springer, USA, 2001).
2. Blank, Albert A. 1999. Problemas de cálculo y análisis matemático del Courant. México.Limusa.
3. Bartle, Robert Gardner y Donald R. Sherbert. 1996. Introducción al análisis matemáticode una variable. México. Limusa
4. Berman G.N. 1977. Problemas de análisis matemático. Moscú. Mir.
5. Buchanan O. Lexton, Jr. 1966. Limits. A Transition to Calculus. Boston. Houghton andMifflin.
6. R. Courant y F. John, Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático Vol.1 (Limusa,México, 1987).
7. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third edition (McGraw-Hill, USA, 1972).
8. Spivak, Michael. 1981. Calculus Cálculo infinitesimal. Barcelona, Reverté.
9. T. M. Apostol, Análisis Matemático, Segunda edición (Reverté, Barcelona, 2002).
10. A. Wawrzynczyk y J. Delgado, Introducción al Análisis. Libros de texto y manuales depráctica (UAM-Iztapalapa, México, 1993).
Ecuaciones diferenciales ordinarias
1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
a) Modelación por medio de ecuaciones diferenciales
b) Procedimiento analítico: separación de variables
c) Procedimiento cualitativo: campos de pendientes
d) Técnica numérica: método de Euler
e) Existencia y unicidad de las soluciones
f ) Equilibrios y líneas de fase
g) Bifurcaciones
h) Ecuaciones diferenciales lineales
i) Cambio de variables
2. Sistemas de primer orden
a) Modelación por medio de sistemas
b) Geometría de sistemas
c) Métodos analíticos para sistemas especiales
d) Método de Euler para sistemas
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e) Ecuaciones de Lorenz
3. Sistemas lineales
a) Propiedades de sistemas lineales y el principio de linealidad
b) Soluciones de línea recta
c) Planos fase para sistemas lineales con eigenvalores reales
d) Eigenvalores complejos
e) Casos especiales: eigenvalores repetidos y cero
f ) Ecuaciones lineales de segundo orden
g) El plano traza-determinante
h) Sistemas lineales tridimensionales
4. Métodos numéricos
a) Errores numéricos en el método de Euler
b) Cómo mejorar el método de Euler
c) El método de Runge-Kutta
d) Los efectos de la aritmética finita
Bibliografía
1. P. Blanchard, R. L. Devaney y G. R. Hall, Ecuaciones Diferenciales (Thomson Learning,México, 1999).
2. R. L. Borrelli y C. S. Coleman, Ecuaciones Diferenciales, Una Perspectiva de Modelación(Oxford University Press, México, 2002).
3. D. G. Zill, A First Course in Differential Equations, 5th edition (Thomson Learning, USA,2001).
4. D. G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones a Modelado, 7a edición (ThomsonLearning, México, 2002).
5. C. H. Edwards and D. E. Penney, Diferential Equations aqnd Boundary Value Problems,Computing and Modeling, 3rd edition (Pearson Education, USA, 2004).
6. C. H. Edwards and D. E. Penney, Diferential Equations, Computing and Modeling, 2nd
edition (Prentice Hall, USA, 2001).
7. M. Golubitsky y M. Dellnitz, Álgebra Lineal y Ecuaciones Diferenciales, con uso de MAT-LAB (Thomson Learning, México, 1999).
8. J. H. Davis, Differential Equations with MAPLE, An Interactive Approach (Birkhäuser,Boston, 2002).
9. I. Carmona Jover, Ecuaciones Diferenciales (Addison Wesley Longman, México, 1998).
16
10. R. K. Nagle, E. B. Saff y A. D. Snider, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valoresen la Frontera, 3a edición (Pearson Education, México, 2001).
11. W. E. Boyce y R. C. DiPrima, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en laFrontera (Limusa Wiley, México, 2003).
Probabilidad
1. La probabilidad de un suceso
a) El concepto de probabilidad
b) Sucesos seguros e imposibles
2. El teorema de la suma de probabilidades
a) Deducción del teorema
b) Juegos completos de probabilidades
c) Ejemplos
3. Probabilidades condicionales y teorema del producto
a) El concepto de probabilidad condicional
b) Deducción del teorema
c) Sucesos independientes
4. Consecuencias de los teoremas de la suma y del producto
a) Deducción de ciertas desigualdades
b) Fórmula de probabilidad total
c) Fórmula de Bayes
5. El esquema de Bernoulli
a) Ejemplos
b) Fórmulas de Bernoulli
c) El número más probable de ocurrencias de un suceso
6. Teorema de Bernoulli
a) Significado del teorema
b) Demostración del teorema
7. Aproximaciones de Poisson y de Laplace-de Moivre
8. Teorema del límite central de Chebyshev
a) Implicaciones para la estadística
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b) Conciliación entre las definiciones axiomática, clásica y frecuentista de probabilidad
Bibliografía
1. B. V. Gnedenko and A. Y. Khinchin, Elementary introduction to the Theory of Probability(Dover, New York, 1962).
2. S. M. Ross, A First Course in Probability, 5th edition (Prentice Hall, USA, 1998).
3. P. M. Wisniewski y G. Bali, Ejercicios y Problemas de Teoría de Probabilidades (Trillas,México, 1998).
4. B. R. Pérez Salvador, A. Castillo Animas y S. de los Cobos Silva, Introducción a la Prob-abilidad (UAM-Iztapalapa, México, 2000).
5. O. A. Rascón Ch., Introducción a la Teoría de Probabilidades (UNAM, México, 1988).
6. S. Fuenlabrada, Probabilidad y Estadística (McGraw Hill, México, 2004).
7. M. H. DeGroot, Probabilidad y Estadística (Addison Wesley Iberoamericana, USA, 1988).
Programación
1. Instrucciones de decisión
2. Instrucciones de repetición
3. Entrada y salida de datos
4. Elementos de recursividad
5. Fundamentos de Linux
6. Estructuras de datos bàsicas
Bibliografía
1. Dromey, R., How to solve it by computer, Prentice Hall.
2. B. W. Kernighan y D. M. Ritchie, El Lenguaje de Programación C, Segunda edición (Pear-son Educación, México, 1991).
3. Arena. H., La biblia de Linux.
4. L. Joyanes Aguilar, A. Castillo Sanz, L. Sánchez García e I. Zahonero Martínez, Progra-mación en C, Libro de Problemas (McGraw Hill, España, 2002).
5. S. Holmes, C Programming (University of Strathclyde Computer Centre, Glasgow, 2002).
6. H. Schildt, Programación en lenguaje C (McGraw Hill, España, 1987).
7. Existen en internet muchos cursos en línea. Cualquiera de ellos que cubra los puntos deltemario puede ser de ayuda.
18
EJERCICIOS PROPUESTOS
Álgebra
1. Simplifique las expresiones
a) h(am)1/r (aq)1/n
inr£bn/q
¡br/m
¢¤mq ÷h³a
b
´qir,
b) ⎡⎣Ãx−1/cyb/c
xb+cc y
1c
!−1÷µx
y
¶ b+cc
⎤⎦c ,2. Sume las fracciones
x+ 3
(x+ 1) (x+ 2)+
1
x+ 2− 3x− 1(x− 1) (x+ 1) .
3. Simplifique la fracción complejax+1x−2 −
x−1x+2
8x−2 + 4
.
4. Diga si las relaciones dadas son funciones o no.
a) {(x, y) | y = |x− 2| , x ∈ R},b) {(x, y) | x2 + y2 = 1, x ∈ R, −1 ≤ x ≤ 1}.
5. Trazar la gráfica de la función
f(x) =
⎧⎨⎩−1, x ≤ −1x, − 1 < x < 0x2, x ≥ 0
.
6. Resuelva la ecuación ¯¯ 1 4 −34 x −52 0 −3
¯¯ = 0
7. Dado el sistema de ecuaciones
2x+ y − 3 = 0,x+ 3y = 4,
resuélvalo empleando los métodos:
a) gráfico,
b) de adición o sustracción,
19
c) de sustitución, y
d) por determinantes.
8. Lorenzo y Miguel fueron a la tienda a comprar lo necesasrio para una excursión. Llevabanun total de $300 para gastos. Miguel gastó 9/10 de su dinero, Lorenzo 4/5 del suyo yregresaron a casa con un total de $40. ¿Cuánto llevaba cada uno al ir a la tienda?
9. Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de susrecíprocos sea 1.
10. Un padre tiene dos hijos, el grande cuatro años mayor que el primero. Dentro de 23 años,el padre tendrá tantos años como la suma de las edades de sus hijos. ¿Qué edad tiene cadauno, si sabemos que actualmente el doble de la edad del padre es igual a nueve veces laedad del mayor más cuatro veces la del menor?
11. Calcule el determinante de tercer orden¯¯ 1 3 −2−4 0 −64 5 7
¯¯ .
12. Hallar un par de números que difieran en 3 y cuyo producto sea 108. ¿Hay un segundo parde números que satisfaga dicha ecuación? Si lo hay, encontrarlo.
13. Una ciudad posee un parque cuadrado sembrado de árboles y flores cuya área es 1/64de kilómetro cuadrado. El lote de estacionamiento asfaltado y adyacente al parque sobrela misma calle es también un cuadrado, pero mayor que el parque. Su propietario es unindustrial que desea permitir que la ciudad extienda el límite posterior del parque ocupandoparte de su lote, paralelo a la calle, levantando el pavimento y sembrando árboles. El parqueresultante tendrá entonces la misma área que queda al lote del industrial. Hallar la longitudoriginal del terreno del industrial.
14. Resuelva las siguientes ecuaciones
a) x4 − x2 − 2 = 0,b) [(x+ 1) / (x− 3)]− [(x+ 1) / (x− 3)]1/2 − 2 = 0,c) [2/ (x− 1)]2 + 7 [2/ (x− 1)]− 30 = 0,d)√x+ 6 =
√6x+ 6−√x.
15. Dada la ecuación5x2 − (k + 2)x+ 7k + 1 = 0,
encuentre el valor de k de manera que
a) una raíz sea 3,
20
b) una raíz sea la negativa de la otra raíz.
16. Resuelvax3 − 2x− 4 = 0,
dado que una raíz es 2.
17. Resuelva gráfica y algebraicamente los sistemas de ecuaciones
a)
3x− 2y + 1 = 0,y2 − 4x− 8 = 0;
b)
4y2 + 9x2 − 36 = 0,9y2 − 4x2 − 36 = 0.
18. Ilustre la solución del sistema ⎧⎨⎩y ≥ x− 4,y < 4x,x = 3,
con una gráfica.
19. Resuelva la desigualdad|x− 3|+ |x+ 2| < 11;
es decir, determine el intervalo de las soluciones de x.
20. Cuando desde una determinada altura se arroja una pelota ésta rebota hasta dos terceraspartes de la distancia desde la cual se dejó caer. Encuentre la distancia total recorrida porla pelota desde el instante en que se arroja desde una altura de 60 pies hasta que golpeael piso por quinta vez.
21. Encuentre la suma de la progresión geométrica infinita
3
2,−1, 2
3,−49, · · ·
22. Exprese al decimal periódico 4,767676 . . ., como un número racional.
23. Desarrolle(a− x)6
y simplifique cada término.
21
24. Dado el desarrollo(2x− y)11
Escriba y simplifique el séptimo término.
25. Pruebe mediante inducción matemática que
12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =1
6n (n+ 1) (2n+ 1) .
26. ¿Cuántos números de dos dígitos se pueden formar a partir de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 si
a) ningún dígito debe aparecer repetido, en un número,
b) se permiten las repeticiones?
27. ¿De cuántas maneras se pueden sentar cuatro personas en un cuarto que tiene nueve sillas?
28. ¿De cuántas maneras se pueden contratar siete maestros de matemáticas de diez solicitudesde hombres y siete solicitudes de mujeres si
a) tres maestros necesitan ser hombres
b) tres o cuatro maestros deben ser hombres.
29. Encuentre x silog (20x+ 1)− log (x− 2) = 2.
30. Resuelva la fracciónx3 − 25x2 + 21x− 45
(x− 3) (x+ 2) (2x2 − x+ 3)
en fracciones parciales.
Geometría analítica
1. Dados los puntos A (3, 3) , B (−3,−3) y C(−3√3, 3√3) localizados en el plano cartesiano.
a) Demuestra que son los vértices de un triángulo equilàtero.
b) Halla las coordenadasdel punto P (x, y) que divide al lado AB en la razón AP/PB =−3.
c) Encuentra las pendientes de las rectas que determinan sus lados, y
d) selecciona cualesquiera dos de estas rectas y muestra que el ángulo que forman es de60◦.
2. Diga cuáles son sus intercepciones con los ejes, las simetrías, la extensión y asíntotas, delas curvas
22
a) y2 = x3,
b) x2y − x2 − y = 0.
3. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto
a) que se mueve de tal manera que siempre equidista de dos puntos dados A(−1, 2) yB(4,−1);
b) que se mueve de tal manera que su distancia al eje y es siempre igual a su distanciadel punto A(4, 0); y
c) que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos A(3, 0) yB(−3, 0) es siempre igual a 8.
4. Hallar la ecuación
a) de la recta que pasa por el punto (−3, 1) y es paralela a la recta determinada por lospuntos (0,−2) y (5, 2); y.
b) de la mediatriz (perpendicular en su punto medio) del segmento (−2, 1) y (3,−5).
5. Determinar el valor de k para que la recta
4x+ 5y + k = 0
forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área igual a 212 unidadescuadradas.
6. Hallar las ecuaciones
a) de las rectas que pasan por el punto (2,−1) y que forman cada una un ángulo de45◦ con la recta
2x− 3y + 7 = 0,
b) y de la recta que pasa por el punto (a, b) y por la intersección de las rectas
x
a+
y
b= 1 y
x
b+
y
a= 1.
7. Una recta es tangente a un círculo de centro en el origen y radio 3. Si el punto de tangenciaes (2,−
√5), hállese la ecuación de la tangente en la forma normal.
8. Hallar la forma normal de la ecuación de la recta que es paralela a la recta
2x− 3y + 7 = 0
y determina sobre el eje x el segmento −9.
23
9. Los vértices de un triángulo son A(−2, 3), B(5, 5) y C(4,−1). Hallar la ecuación de labisectriz del ángulo interior ACB.
10. Demostrar, analíticamente, que en un triángulo cualquiera las bisectrices de los ángulosinteriores se cortan en un punto que equidista de los tres lados. este punto se llama incentro.
11. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 6) y tal que la suma algebraica delos segmentos que determina sobre los ejes coordenados (intercepciones) es igual a 2.
12. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son A(−1, 1),B(3, 5) y C(5,−3).
13. Reducir las ecuaciones siguientes a la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia.Si la ecuación representa una circunferencia, hallénse su centro y su radio.
a) 2x2 + 2y2 − 10x+ 6y = 15,b) 36x2 − 108y = −36y2 − 48x− 97,c) x2 − 8x = −y2 − 6y − 29.
14. Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos (6, 2), (8, 0)y cuyo centro está sobre la recta
3x+ 7y + 2 = 0.
Represente en el plano xy los lugares geométricos correspondientes al círculo y la recta.
15. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia
x2 + y2 − 8x− 6y + 20 = 0
en el punto (3, 5).
16. Transforme la ecuaciónx3 − 3x2 − y2 + 3x+ 4y − 5 = 0
trasladando los ejes coordenados al nuevo origen (1, 2). Trace el lugar geométrico y los dossistemas de ejes.
17. Transforme la ecuación2x2 +
√3xy + y2 = 4
girando los ejes coordenados un ángulo de 30◦. Trace el lugar geométrico y ambos sistemasde ejes coordenados.
24
18. Mediante una rotación de los ejes coordenados, transforme la ecuación
9x2 − 24xy + 16y2 − 40x− 30y = 0
en otra que carezca del término cruzado xy. Trace su lugar geométrico y ambos sistemasde ejes coordenados.
19. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3, 4) y cuyo foco es el punto(3, 2). Hallar también la ecuación de su directiriz y la longitud de su lado recto.
20. Demostrar que la ecuación4x2 − 20x− 24y + 97 = 0
representa una parábola, y hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de sudirectriz y la longitud de su lado recto.
21. Demostrar que la tangente a la parábola
(y − k)2 = 4p(x− h),
de pendiente m (m 6= 0), tiene por ecuación
y = mx−mh+ k +p
m.
22. Los véretices de una elipse tienen por coordenadas (−3, 7) y (−3,−1), y la longitud decada lado recto es 2. Hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes mayor ymenor, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.
23. La ecuación de una elipse es
x2 + 4y2 + 2x− 12y + 6 = 0.
reduzca esta ecuación a la forma ordinaria y determine las cordenadas del centro, de losvértices y de los focos; calcule la longitud del eje mayor, del eje menor, de cada lado rectoy la excentricidad.
24. Demostrar que la ecuación de la tangente a la elipse
x2
b2+
y2
a2= 1,
en el punto P (x1, y1) esx1b2x+
y1a2y = 1.
25. Los vértices de una hipérbola son los puntos V (0, 3) y V 0(0,−3), y sus focos son los puntosF (0, 5) y F 0(0,−5). Hallar la ecuación de la hipérebola, las longitudes de sus ejes transversoy conjugado, su excentricidad y la longitud de cada lado recto.
25
26. Dada la ecuación de la hipérbola
x2 − 9y2 − 4x+ 36y − 41 = 0
redúzcala a su segunda forma ordinaria. Determine también las coordenadas del centro,vértices, y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, y del lado recto, laexcentricidad y las ecuaciones de las asíntotas.
27. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola
x2 − 2y2 + 4x− 8y − 6 = 0
que son paralelas a las recta4x− 4y + 11 = 0.
28. En los siguientes incisos, determine la naturaleza de la cónica que representa la ecuacióndada, y reduzca la ecuación a su forma canónica por transformación de coordenadas. Trazarel lugar geométrico, cuando exista, y todos los sistemas de ejes coordenados
a) 4x2 − 24xy + 11y2 + 56x− 58y + 95 = 0,b) 4x2 − 12xy + 9y2 − 8
√13x− 14
√13y + 117 = 0,
c) 3x2 − 4xy − 4y2 + 16x+ 16y − 12 = 0,d) 3x2 − 2xy + 3y2 + 2
√2x− 6
√2y + 2 = 0.
29. Dados los lugares geométricos
a) cuya ecuación rectangular es
x2 + y2 − 4x− 2y + 1 = 0,
hállela en la forma polar; y
b) cuya ecuación polar es
r =2
1− cos θ ,
encuéntrela en la forma rectangular.
30. Hallar la ecuación rectangular de la curva cyas ecuaciones paramétricas son
x = 2 + 3 tan θ y y = 1 + 4 sec θ.
Cálculo diferencial e integral de una variable
1. Dadas las funciones
a) f(x) =√x y g(x) =
√4− x2, encuentre (f + g) (x), (f − g) (x), (fg) (x) y (f/g) (x);
26
b) f(x) =√x y g(x) =
√2− x, encuentre (f ◦ g) (x), (g ◦ f) (x), (f ◦ f) (x) y (g ◦ g) (x).
¿Es cierto que [f ◦ (g + h)] (x) = (f ◦ g) (x) + (f ◦ h) (x)?;c) f(x) = x/ (x+ 1) , g(x) = x10 y h(x) = x+ 3, encuentre f (g (h(x))) ;
d) f(x) = x3 + 2 y g(x) = ln³x+√x2 + 1
´, determine su paridad y encuentre sus
correspondientes inversas.
En los todos los casos determine tanto el dominio como el contradominio de cada una delas funciones involucradas y de las resultantes, así como sus gráficas en el plano cartesiano.
2. Determine el dominio, el contradominio y las gráficas correspondientes de las funciones
a)f(x) = |x| ,
b)
g(x) =
¡x2 + 3x− 4
¢ ¡x2 − 9
¢(x2 + x− 12) (x+ 3) ,
c)
h(x) =
⎧⎨⎩x− 1 si x < 35 si x = 32x+ 1 si x > 3
,
d)v(x) = [[x]] ,
en donde [[x]] simboliza el mayor entero menor que o igual a x; es decir, [[x]] = n sin ≤ x < n+ 1, donde n es un entero.
3. Una definición "intuitiva"del límite de una función es la siguiente:
El límite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L, y se denota como
lımx→a
f(x) = L,
si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L (tanto como deseemos) tomandoa x lo bastante cerca de a, pero no igual a a.
Mediante la definición dada, haga una conjetura sobre el valor de
a)
lımx→1
x− 1x2 − 1;
b)
lımx→1
f(x), con f(x) =
½ x−1x2−1 si x 6= 13 si x = 1
;
c)
lımt→0
√t2 + 9− 3
t2;
27
En todos los casos evalúe las funciones correspondientes para distintos valores de la variableindependiente cercanos al valor a e indíquelos en una tabla.
4. Una definición rigurosa"del límite de una función es la siguiente:
Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contenga a a,excepto, posiblemente el número a mismo. El límite de f(x) cuando x tiende a a es L, yse escribe
lımx→a
f(x) = L,
si el siguiente enunciado es verdadero: Dada cualquir > 0, sin importar cuán pequeñasea, existe una δ > 0 tal que si 0 < |x− a| < δ entonces |f(x)− L| < .
Mediante la definición dada, demuestre que
a)lımx→3
(4x− 7) = 5,
b)lımx→2
x2 = 4,
c)
lımt→7
8
t− 3 = 2.
5. Halle el valor de los límites siguientes, y cuando sea posible, indique los teoremas de límiteque se empleen.
a)lımx→5
¡2x2 − 3x+ 4
¢,
b)
lımx→−2
x3 + 2x2 − 15− 3x ,
c)
lımx→4
√x− 2x− 4 .
6. Sean las funciones
a)
h(x) =
½4− x2 si x ≤ 12 + x2 si x > 1
.
Trace la gráfica de h y determine si cada uno de los siguientes límites existen:lımx→1− h(x), lımx→1+ h(x) y lımx→1 h(x).
b)
j(x) =
⎧⎨⎩x+ 5 si x < −3√9− x2 si − 3 ≤ x ≤ 1
5− x si x > 3
.
Trace la gráfica de j y halle, si existen, cada uno de los siguientes límites: lımx→−3− j(x),lımx→−3+ j(x), lımx→3− j(x) y lımx→3+ j(x).
28
7. Halle
lımx→4−
[[x]]− 4x− 4 .
8. Dadas las funciones
a)
f(x) =
½2x− 3 si x ≤ 1x2 si x > 1
determine los números en los cuales f es continua, y
b)
g (x) =
(x3−8x2−4 , para x 6= ±23, para x = ±2
diga si presenta discontinuidades.
9. Dada la función
f(x) =
r2− x
3 + x.
Determine su dominio y si es continua o discontinua en los intervalos (−3, 2), [−3, 2] , [−3, 2)y (−3, 2]. Considere que f(x) = g(h(x)), en donde g(x) =
√x y h(x) = (2− x) / (3 + x) .
10. Determinar
lımx→0
2 tan2 x
x2
si es que existe.
11. Sea f definida porf(x) =
¯1− x2
¯.
a) Trazar la gráfica de f.
b) Demostrar que f es continua en 1.
c) Determinar si f es diferenciable en 1.
12. Calcule las derivadas
a)d
dy
µ2y3 + 4
x2 − 4x+ 1
¶,
b)
Dx
∙x3 + 1
x2 + 3
¡x2 − 2x−1 + 1
¢¸.
29
13. Dos partículas A y B se desplazan a la derecha sobre una recta horizontal. parten de unpunto O, s metros es la distancia dirigida de la partícula desde O a los t segundos y lasecuaciones de movimiento son
s = 4t2 + 5t para la partícula A,
s = 7t2 + 3t para la partícula B.
Si t = 0 al principio, ¿para qué valores de t la velocidad de la partícula A excederá lavelocidad de la partícula B?
14. Calcule las derivadas
a)d
dy
µ1 + seny
1− seny
¶,
b)
Dt
µ2 csc t− 1csc t+ 2
¶.
15. La derivada del producto de dos funciones f (x) y g (x) es
(fg) = fg + fg.
La segunda derivada de dicho producto está dado como
(fg) = (fg + fg) = f g +
µ21
¶f g + f g.
En general, la derivada n-ésima del producto de dos funciones, está determinada por larelación
(fg)(n) = f (n)g0 +
µn1
¶f (n−1)g + · · ·+
µnk
¶f (n−k)g(k) + · · · ,
que se conoce como regla de Leibniz para la derivación n-ésima del producto de dosfunciones. En la expresión anterior, el superíndice (n) en las funciones
denota su n-ésima derivada, siendo (0) la función sin derivar. Asimismo se ha empleadola notación µ
nk
¶≡ n (n− 1) (n− 2) · · · (n− k + 1)
k!.
Aplique la regla de derivación de Leibnitz para calcular
d5
dx5(x2senx).
16. Calcule las derivadas de las siguientes funciones
a)f(x) = sen(cos(tan(x))),
30
b)g(x) = esen(x
2).
c)y = xx,
d)y = xy − lnx.
e)d3
dx3¡2senx+ 3cosx− x3
¢,
f )D27 cosx.
17. Dada la función
f(x) =x2
x2 − 4 .
Hallar
a) el dominio de f ,
b) las intercepciones y (u ordenadas en el origen) y las x (o abcisas en el origen) de lagráfica,
c) si hay simetría con respecto al eje y y al origen,
d) los extremos relativos de f ,
e) los intervalos donde f es creciente,
f ) los intervalos donde f es decreciente,
g) dónde la gráfica es cóncava hacia arriba,
h) dónde la gráfica es cóncava hacia abajo,
i) la pendiente de cualquier tangente de inflexión, y
j ) las asíntotas horizontales y verticales.
18. El teorema de Rolle establece que:
Si f es una función tal que
i) sea continua en el intervalo cerrado [a, b] ,
ii) sea diferenciable en el intervalo abierto (a, b) ,
iii) f(a) = f(b) = 0;
entonces, existe un número c en el intervalo abierto (a, b) , tal que
f(c) = 0.
a) El recíproco del teorema de Rolle no es verdadero. Elabore un ejemplo de una funciónpara la cual la conclusión del teorema de Rolle sea verdadera y para la cual
1) la condición i) no se cumpla, pero las condiciones ii) y iii) si se cumplan,
31
2) la condición ii) no se cumpla, pero las condiciones i) y iii) si se cumplan,3) la condición iii) no se cumpla, pero las condiciones i) y ii) si se cumplan.
Trace la gráfica que muestre la recta tangente horizontal para cada caso.
b) Verifique el Teorema de Rolle, para
f(x) = x2(1− x)2,
en el intervalo [0, 1].
19. Suponga que s = f(t) es una ecuación del movimiento de una partícula que se desplazaen línea recta, donde f cumple la hipótesis del teorema del valor medio. Demuestre que laconclusión de dicho teorema asegura que habrá algún instante durante cualquier intervalode tiempo en el que la velocidad instantánea igualará a la velocidad promedio durante eseintervalo de tiempo.
20. Dadaf(x) = xr − rx+ 5,
donde r > 0 y r 6= 1, demuestre que
a) si 0 < r < 1, f tiene un valor máximo relativo en 1;
b) si r > 1, f tiene un valor mínimo relativo en 1.
21. Determine la distancia más corta del punto (9/2, 0) a la curva y =√x.
22. Sif(x) =
x+ 1
x2 + 1,
demuestre que la gráfica de f tiene tres puntos de inflexión colineales. Trace la gráfica.
23. Calcule las derivadas de las siguientes funciones en el punto indicado.
a) (3x− 4)/(2x+ 3), en x = 1.
b) (6x− 4) 13 , en x = 2.
24. Sin calcular primitivas, evalúa la integralZ 2
−2
p4− x2dx.
25. Encuentra la derivada respecto de x de las funciones
a)
f(x) =
Z x2
1sec tdt,
32
b)
h(x) =
Z x3
√x
√tsentdt.
26. Encuentre el intervalo sobre el cual la curva
y =
Z x
0
1
1 + t+ t2dt,
es cóncava hacia arriba.
27. El punto (3, 2) está ubicado en una curva y en cualquier punto (x, y) en la curva, la rectatangente tiene una pendiente igual a 2x− 3. Formule una ecuación de la curva.
28. El volumen de un globo aumenta de acuerdo con la fórmula
dV
dt=√t+ 1 +
2
3t,
dónde V es el volumen (en cm3) del globo a los t segundos. Si V = 33cm3 cuando t = 3s,obtenga
a) una fórmula para V en términos de t;
b) el volumen del globo a los 8 segundos.
29. Aplique la regla de L’Hospital para probar que
lımx→0
x2sen 1xsenx
= 0.
30. Aplique el Teorema de Taylor
a) para probar que
ln(1 + x) = x− x2
2+
x3
3− x4
4+ · · ·
b) para escribir a senx/x como una serie de potencias y calcular
lımx→0
senx
x.
Cálculo diferencial e integral de varias variables
1. Encuentre
a) el vector unitario en la dirección del vector −→v = 2bi− bj − 2bk;b) los ángulos directores del vector −→a = h1, 2, 3i ;
33
c) el ángulo entre los vectores −→a = h2, 2,−1i y −→b = h5,−3, 2i ;d) la proyección escalar y el vector de proyección de −→q = h1, 1, 2i sobre −→p = h−2, 3, 1i ;
e) el producto vectorial de los vectores −→a = h1, 3, 4i y −→b = h2, 7,−5i ; yf ) mediante el producto escalar triple, que los vectores −→a = h1, 4,−7i , −→b = h2,−1, 4i
y −→c = h0,−9, 18i son coplanares.
2. Encuentre la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas
a) para la recta que pasa por el punto (5, 1, 3) y es paralela al vector −→v = bi+ 4bj − 2bk.b) Encuentre otros dos puntos de la recta.
3. Halle las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de la recta
a) que pasa por los puntos A(2, 4,−3) y B(3,−1, 1).b) ¿En qué punto corta esta recta al plano xy?
4. Encuentre una ecuación del plano
a) que pasa por el punto (2, 4,−1) con vector normal −→n = h2, 3, 4i , las coordenadas delos puntos en los que intersecta a los ejes coordenados y su gráfica;.y
b) del que pasa por los puntos P (1, 2, 3), Q(3,−1, 6) y R(5, 2, 0).
5. Encuentre
a) el ángulo entre los planos
x+ y + z = 1 y x− 2y + 3z = 1,
y ecuaciones simétricas para la recta formada por la intersección de estos dos planos;y
b) la distancia entre los planos paralelos
10x+ 2y − 2z = 5 y 5x+ y − z = 1.
6. Identifique y trace las superficies
a)z = x2,
b)x2 + y2 = 1.
7. Mediante el empleo de las trazas, grafique las superficies cuadráticas siguientes:
34
a)
x2 +1
9y2 +
1
4z2 = 1.
b)z = 4x2 + y2,
c)1
4x2 + y2 −+1
4z2 = 1.
8. Encuntre la ecuación,
a) en coordenadas cilídricas del elipsoide
4x2 + 4y2 + z2 = 1;
b) y en coordenadas esféricas, del hiperboloide de dos hojas con ecuación
x2 − y2 − z2 = 1.
9. Dada la función vectorial
a)−→r (t) = cos tbi+ sentbj + tbk,
trace su curva;
b) y para−→r (t) =
¡1 + t3
¢bi+ te−tbj + sent
tbk,
calcule el limt→0−→r (t).
10. Dada la función vectorial
a)−→r (t) =
¡1 + t3
¢bi+ te−tbj + sen2tbk,encuentre su derivada y halle el vector tangente unitario en el punto donde t = 0;
b) en tanto que para la parábola semicúbica
−→r (t) =1 + t3, t2
®,
determine si es suave.
11. Si −→r (t) 6= −→0 , demuestre que
d
dt|−→r (t)| = 1
|−→r (t)|−→r (t) ·−→r 0(t).
Sugerencia: |−→r (t)|2 = −→r (t) ·−→r (t).
35
12. Calcule las integrales
a) Z π/4
0
³cos 2tbi+ sen2tbj + tsentbk´ dt,
b) Z ³etbi+ 2tbj + ln tbk´ dt.
13. Dada la ecuación vectorial de la hélice circular
−→r (t) = cos tbi+ sentbj + tbk.a) Halle su longitud de arco desde el punto (1, 0, 0) al punto (1, 0, 2π).
b) Reparametrícela con respecto a la longitud de arco medido desde (1, 0, 0) en la direc-ción creciente de t.
14. Halle la curvatura
a) de la cúbica alabeada−→r (t) =
t.t2, t3
®en un punto general y en (0, 0, 0);
b) de la parábola y = x2 en los puntos (0, 0), (1, 1) y (2, 4).
15. Para la hélice circular−→r (t) = cos tbi+ sentbj + tbk,
a) halle los vectores normal y binormal, y
b) las ecuaciones del plano normal y del plano osculador en el punto P (0, 1, π/2).
16. Un proyectil se dispara con un ángulo agudo de elevación α respecto de la horizontal ycon velocidad inicial −→v 0. Despreciando la resistencia del aire, la única fuerza externa queactúa sobre él se debe a la gravedad.
a) Encuentre la función de posición −→r (t) del proyectil.b) ¿Qué valor de α hace máximo el alcance (la distancia horizontal recorrida)?
17. Una partícula se desplaza de acuerdo con la función de posición
−→r (t) =t2.t2, t3
®.
Halle las componentes tangencial y normal de su aceleración.
36
18. Dada la función de varias variables
f(x, y) =p9− x2 − y2.
a) Encuentre su dominio e imagen.
b) Grafíquela en el espacio.
c) Trace sus curvas de nivel, para k = 0, 1, 2, 3.
19. Muestre que
a)
lım(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
no existe; en tanto que
b)
lım(x,y)→(0,0)
3x2y
x2 + y2
si existe, y es igual a cero.
20. Dada la función:
f(x, y) =
½1xsen(xy), si x 6= 0y, si x = 0
Calcule, en caso de que existan, los limites
a)
lımx→0
∙lımy→0
f(x, y)
¸,
b)
lımy→0
hlımx→0
f(x, y)i,
c)lım
(x,y)→(0,0)f(x, y).
21. Determine en dónde son continuas las siguientes funciones
a)
f(x, y) =
(x2−y2x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)
b)
g(x, y) =
(3x2yx2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)
c)h(x, y) = arctan (y/x) .
37
22. Demuestre que
a) la función
u(x, y, z) =1p
x2 + y2 + z2
es solución de la ecuación de Laplace en tres dimensiones
∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2+
∂2u
∂z2= 0;
b) y que la funciónu(x, t) = sen(x− at)
satisfacela ecuación de onda∂2u
∂t2− a2
∂2u
∂x2= 0.
23. Halle la derivada parcial indicada
a)
z = ln [sen(x− y)] ,∂3z
∂y∂x2;
b)
u = xaybzc,∂6u
∂x∂y2∂z3.
24. Siu = x4y + y2z3
dondex = rset, y = rs2e−t, z = r2s sent,
encuentre el valor de ∂u/∂s.
25. Suponga que la ecuacióny2 + xz + z2 − ez − c = 0
define a z como función de x y y, sea ésta z = f(x, y).
a) Halle un valor de la constante c para el cual f(0, e) = 2, y
b) calcule las derivadas parciales ∂f/∂x y ∂f/∂y en el punto (x, y) = (0, e).
26. Dada la función −→F (x, y, z) = (2xyz + senx)bi+ x2zbj + x2ybk,
Halle una función f tal que−→F = ∇f.
27. Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de la función
f(x, y) = x2 − 2xy + 2y
en el rectángulo D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}.
38
28. Dada la función −→F (x, y) =
¡xy, y2
¢.
Si σ es la trayectoria y = 2x2 que une (0, 0) con (1, 2) en R2, evalúeRσ
−→F . ¿Depende la
integral calculada en el inciso anterior de la trayectoria que une (0, 0) con (1, 2)?
29. Encuentre los valores extremos dela función
f(x, y) = x2 + 2y
en el círculo x2 + y2 = 1.
30. Dada la función −→F (x, y, z) = xy2bi+ x2ybj + ybk,
Si S es la superficie del cilindro x2 + y2 = 1, −1 < z < 1 y x2 + y2 ≤ 1 cuando z = ±1,calcule
RS
−→F . En vez de calcular directamente la integral, use el teorema de la divergencia.
Álgebras superior y lineal
1. Mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan, resuelve el sistema de ecuacioneslineales
2x1 + x2 − 5x3 + x4 = 8,
x1 − 3x2 − 6x4 = 9,2x2 − x3 + 2x4 = −5,
x1 + 4x2 − 7x3 + 6x4 = 0.
2. Se tienen las matrices
A =
⎛⎝ 1 −20 12 5
⎞⎠ , B =
µ2 1 3 −14 0 1 4
¶y C =
⎛⎝ −2 11 40 6
⎞⎠ .
Efectúe las siguientes operaciones, cuando sea posible.
a) AB,
b) A+B,
c) A+ C,
d) (A+ C)B,
e) B(A+ C).
3. Verifique la ley asociativa A(BC) = (AB)C del producto para las matrices
A =
µ2 −1 41 0 6
¶, B =
⎛⎝ 1 0 12 −1 23 −2 0
⎞⎠ y C =
⎛⎝ 1 6−2 40 5
⎞⎠ .
39
4. Verifique la ley distributiva A(B + C) = AB +AC para las matrices
A =
µ1 2 43 −1 0
¶, B =
⎛⎝ 2 7−1 46 0
⎞⎠ y C =
⎛⎝ −1 23 74 1
⎞⎠ .
5. Sean a11, a12, a21 y a22 números reales dados tales que a11a22 − a12a21 6= 0. Encuentre losnúmeros b11, b12, b21 y b22 tales queµ
a11 a12a21 a22
¶ µb11 b12b21 b22
¶=
µ1 00 1
¶.
6. Dadas las matrices
A =
⎛⎝ 2 4 64 5 63 1 −2
⎞⎠ y B =
⎛⎝ 2 1 −10 3 40 0 5
⎞⎠ .
a) Calcule A−1 y B−1si existen.
b) Halle la transpuesta de ambas.
c) Determine A2 y B3.
7. Sea la matriz
A =
⎛⎝ −1 2 5−4 1 32 −2 4
⎞⎠ .
Escriba a A como el producto de matrices elementales poruna matriz triangular superior.
8. Para las matrices
A =
⎛⎝ 2 4 −51 3 82 −3 1
⎞⎠ y B =
⎛⎝ 2 −1 13 −2 14 0 2
⎞⎠ .
a) Calcule det(A) , det(B) , det(AB) y det(A) det (B) . Compare el resultado de det(AB)con det(A) det (B) , ¿son igualeso diferentes?
9. Calcule el determinante de cuarto orden¯¯ 3 1 −1 2−5 1 3 −42 0 1 −11 −5 3 −3
¯¯ .
10. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales
2x1 + x2 − x3 + x4 = 1,
3x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2,5x1 + x2 + 2x3 − x4 = −1,2x1 − x2 + x3 − 4x4 = 4.
empleando la regla de Kramer.
40
11. En los siguientes incisos determine si el conjunto dado es un espacio vectorial. Si no lo es,enuncie los axiomas que no se cumplen.
a) El conjunto delas matrices diagonales de n× n bajo la suma de matrices y multipli-cación por un escalar usuales.
b) {(x, y) | y ≤ 0; x, y ∈ R}.c) El conjunto de puntos en R3 que están sobrela recta x = t+ 1, y = 2t, z = t− 1.
12. Considere la ecuación diferencialde segundo orden homogénea
y00 (x) + a (x) y0(x) + b (x) y(x) = 0
donde a (x) y b (x) son funciones continuas. Demuestre que el conjunto de soluciones delaecuación es un espacio vectorial bajo las reglas usuales para la suma de funciones y mul-tiplicación por un escalar.
13. En los incisos siguientes determine si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es unsubespacio de V .
a) V = R2; H = {(x, y) | y ≥ 0}.b) V =Mnn; H = {S ∈Mnn | S es simétrica}.c) V = Pn; H = {p ∈ Pn | p(0) = 1}.
14. Sea H = {(x, y, z, w) | ax + by + cz + dw = 0}, donde a, b, c y d son números reales, notodos cero. Demuestre que H es un subespacio propio de R4. H se llama un hiperplano enR4 que pasa por el origen.
15. Determine si los siguientes conjuntos de vectores dados generan el espacio vectorial indi-cado.
a) En R3: (1,−1, 2) , (1, 1, 2) , (0, 0, 1) ,b) En P2: 1− x, 3− x2.
16. Establezca si los siguientes conjuntos de vectores dados son linealmente dependientes oindependientes.
a) En P2: 1− x, x.
b) En C [0, 1]: senx, cosx.
c) En P3: 2x, x3 − 3, 1 + x− 4x3, x3 + 18x− 9.
17. ¿Para qué valor(es) de α serán linealmente dependientes los vectores (1, 2, 3) , (2,−1, 4) ,(3, α, 4)?
41
18. Encuentre una base en R3 para el conjunto de vectores localizados en el plano
2x− y − z = 0.
19. Dadas las matrices
A =
µ2 −1−4 2
¶, B =
µ3 −51 −1
¶.
Calcule sus eigenvalores y eigenvectores.
20. Encuentre la representación matricial (en la base canónica), así como el núcleo, imagen,rango y nulidad, de las transformaciones
a) T : R4 → R2, definida como
T¡x, y, z, w
¢=¡x− 2z, 2y + 3w
¢,
b) T : R2 → R2, definida como
T¡x, y
¢=¡0, −y
¢.
21. Encuentre la representación matricial de la transformación T : R3 → R2, tal que
T
⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
µ2x+ y + zy − 3z
¶,
en las bases B1 = {(1, 0, 1) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)} y B2 = {(1,−1) , (2, 3)} .
22. Sea T : R2 → R2, una transformación definida por una rotación negativa de π/4 respectoal origen, después una expansión a lo largo del eje x por un factor de 2 y una expansión alo largo del eje y por un factor de 3, seguidas de una rotación positiva de π/4 respecto alorigen.
a) Encuentre la representación matricial de T respecto a la base canónica.
b) Encuentre la representación matricial de T respecto a la base B = {(1, 1) , (−1, 1)}.c) Explique la manera en que se puede describir la geometría de T únicamente en tér-
minos de expansiones en ciertas direcciones.
23. Exprese en la forma a+ ib las raíces de
(−1 + i)13 ,
y expréselas gráficamente en el plano complejo.
24. Encuentre una expresión general parah1 +√3 + i
³1−√3´in
.
42
25. Resuelva
a) la ecuación cúbicax3 − 9x2 − 9x− 15 = 0;
b) y calcule la cúbica resolvente de
x4 − 10x2 + 16x+ 5 = 0.
Análisis matemático
1. Demostrar que si la sucesión de números reales sn converge a a, entonces cualquier sub-sucesión de sn converge también a a.
2. Sea y(x) = x2−1x2+1
, entonces
lımx→2
y(x) =3
5
¿Cuál debe ser el valor de δ para que si x dista de 2 en menos que δ, entonces y(x) distede 3
5 en menos que 0,01?
3. ¿Es acotada la función y(x) = ln(senx) en todo su dominio?
4. Suponga cierto el siguiente teorema: Si la diferencia entre dos funciones tiende a cerocuando la variable independiente varía de manera exactamente igual y una de las funcioneses creciente y la otra decreciente, entonces las dos tienden al mismo límite. Úselo ahorapara probar que si u0 es menor que v0 y
un =un−1 + vn−1
2;
vn =un−1 + 2vn−1
3.
Entonces, un y vn tienden al mismo límite y éste se halla entre u0 y v0.
5. Sea
f(x) =
½x+ 1, x ≤ 1;3− ax2, x > 1.
¿Cómo debe elegirse el número a para que la función f(x) sea continua? Construya lagráfica de la función.
6. Demostrar que un polinomio de grado par tiene, al menos dos raíces reales si toma, almenos una vez, un valor cuyo signo sea contrario al de su término principal (el de gradomás alto). (Sugerencia: aplique el Teorema del Valor Intermedio).
7. Enuncie los principios
a) de inducción matemática;
b) de buen orden.
43
Demuestre que el principio de buen orden implica el de inducción matemática.
8. Demostrar que√3 es un número irracional. Para ello, use el hecho de que todo número
entero es de la forma 3n,3n+ 1 o 3n+ 2.
9. Hallar una función f(x) que no sea constante y que sea tal que
| f(y)− f(x) |<| y − x |
10. Supóngase que A y B son dos conjuntos no vacíos de números reales tales que si x ∈ A yy ∈ B, entonces x ≤ y. Probar que:
a) supA ≤ y, para toda y ∈ B.
b) supA ≤ inf B.
11. Exprese en n-ésimo término de las siguientes sucesiones mediante una fórmula que dependade n.
a) 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... ;
b) 23 , 0,
34 , 0,
45 , 0, ... .
12. Demuestre el siguiente resultado: Si a es cualquier número distinto de cero y
f(x) =1
x,
entonces f es continua en a.
13. Demuestre que si |r| < 1, la sucesión {rn} es convergente y que rn converge a cero.
14. Pruebe que lımn→∞
n√n = 1.
15. Supongamos que f es una función continua en [a, b] y que tiene dos mínimos locales, unoen c y otro en d, con c < d. Pruebe que f tiene un máximo local en un punto entre c y d.
16. Pruebe que la función f(x) = x2 no es uniformemente continua en R.
17. Supongamos que 0 < x1 < 1. Definimos la sucesión {xn} mediante
xn+1 = 1−√1− xn.
Pruebe las siguientes afirmaciones:
a) La sucesión {xn} es creciente,b) lım
n→∞xn = 0,
44
c) lımn→∞
(xn+1)/(xn) = 1/2.
18. Pruebe que la sucesión de funciones xn converge puntualmente pero no uniformemente enel intervalo [0, 1].
Ecuaciones diferenciales ordinarias
1. Resuelva los problemas de valores iniciales¡1 + t2
¢ dydt− 2ty − 2 = 0, y(0) = −2;
y
(1 + t)dy
dt+ y − 2 (1 + t) = 0, y(0) = 3.
2. La ecuación diferencialy0 + 2t−1y = t−2,
tiene un coeficiente discontinuo en t = 0. Halle una solución para t > 0 y describa el com-portamiento de la solución cuando t→ 0 para varios valores de la constante de integración.Construya la gráfica de algunos miembros de la familia de curvas integrales.
3. Un grupo de ciudadanos preocupados por la preservación del medio ambiente ha detectadoque una fábrica contamina con sus desechos tóxicos un lago cercano a su localidad. Trasrealizar exhaustivas investigaciones, encontraron que la población más grande de peces quehabita el lago está disminuyendo rápidamente por causa de los contaminantes arrojados.Se detectó que dicha población disminuye proporcionalmente al número de peces con unaconstante de proporcionalidad igual a una décima. Si los estudios indican también que alllegar a disminuir la población de estos peces a una décima parte de su población actualno será posible salvar la especie, ¿de cuánto tiempo dispone la comunidad para tomarmedidas que reviertan el problema?
4. Sea f(y) una función continua.
a) Suponga que f(−α) > 0 y f(α) < 0, en donde α es un número real. Demuestre quehay un punto de equilibrio para dy/dt = f(y) entre y = −α y y = α.
b) Considere que f(−α) > 0, que f(α) < 0 y que hay muchos puntos de equilibrio finitosentre y = −α y y = α. Si y = α0 con −α < α0 < α es una fuente, demuestre quedy/dt = f(y) debe tener al menos dos sumideros entre y = −α y y = α. ¿Puede deciren dónde están localizados?
5. Digamos que dy/dt = f(y) tiene un punto de equilibrio en y0 y
f 0(y0) = 0, f 00(y0) = 0 y f 000(y0) > 0 : ¿es y0 una fuente, un sumidero o un nodo?
f 0(y0) = 0, f 00(y0) = 0 y f 000(y0) < 0 : ¿es y0 una fuente, un sumidero o un nodo?
45
f 0(y0) = 0 y f 00(y0) > 0 : ¿es y0 una fuente, un sumidero o un nodo?
6. Dadas las siguientes ecuaciones de Bernoulli, resuélvalas proponiendo un cambio de variableadecuado
a)
3¡1 + x2
¢ dydx= 2xy
¡y3 − 1
¢,
b)dy
dx= y
¡xy3 − 1
¢.
7. Encuentre una familia paramétrica de soluciones de las ecuaciones diferenciales de Ricatti
a)dy
dx= − 4
x2− 1
xy + y2,
para la que se sabe que y1 = 2/x es una solución particular, y de
b)dy
dx= sec2 x− (tanx) y + y2,
para la cual y1 = tanx es una solución particular conocida.
8. Para la siguiente problema de valor inicial
dy
dt=
1
(y − 2) (y + 1) , y(0) = 1/2.
a) Esboce su línea de fase y analice el comportamiento de la solución que satisfaga dichacondición inicial.
b) Aplique procedimientos analíticos al problema de valor inicial mencionado y comparesus resultados con el análisis del inciso a).
9. Para la familia paramétricady
dt= y6 − 2y4 + α,
identifique los valores de bifurcación de α y describa las bifurcaciones que se presentancuando α se incrementa. [Sugerencia: Reescriba y6 como
¡y3¢2 y use la ecuación cuadrática
para encontrar los puntos de equilibrio].
10. Para la familia paramétrica de ecuaciones diferenciales
dy
dt=
1
y2 + 1+ α,
a) localice los puntos de equilibrio si α es ligeramente mayor que cero, si α = 0 y si α esligeramente menor a cero.
46
b) Describa la bifurcación que ocurre en α = 0.
11. Dado el sistema de ecuaciones diferenciales
.x = −3x+ 1
2y,
.y = −2x,
a) encuentre la solución general del sistema y también la del caso particular cuando lacondición inicial es (1, 2).
Alternativamente, el sistema dado puede escribirse en la forma vectorial d−→X/dt =
A−→X , en donde
A =
µ−3 1
2−2 0
¶y−→X es un vector columna de entradas (x, y) . Calcule para la matriz de coeficientes
A:
b) La traza T y el determinande D.
c) El polinomio característico y los eigenvalores.
d) Los eigenvectores correspondientes a los eigenvalores hallados en el inciso anterior.
e) Realice un esbozo de las soluciones en el plano xy indicando el tipo y dirección de lastrayectorias.
Probabilidad
1. Se selecciona una pelota de una cesta que contiene pelotas rojas, blancas, azules, amarillasy verdes. Si la probabilidad de seleccionar una pelota roja es de 1/5 y la de seleccionaruna blanca es de 2/5, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar una pelota azul, amarilla overde?
2. Se eligen al azar tres de ocho palitos de madera de longitides de longitudes 1, 2, . . . , 8,respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que formen un triángulo?
3. Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja bien mezclada. Encontrar la probabil-idad de que
a) la primera no sea un 10 de bastos o un as,
b) la primera sea un as, pero no la segunda,
c) al menos una sea de copas,
d) las cartas no sean del mismo palo,
e) a lo sumo una sea figura (sota, caballo, rey),
f ) la segunda no sea figura,
g) la segunda no sea figura su la primera lo era,
h) sean figuras o espadas, o ambas.
47
4. Se lanzan dos dados al aire, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los dos númerossea par?
5. Suponga que los tres últimos clientes de un restaurante peredieron las contraseñas de sussombreros, por lo que la encargada del guardarropa debe entregar los tres sombreros alazar. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) nadie reciba el sombrero correcto?
b) sólo un hombre reciba su propio sombrero?
c) los tres hombres reciban su sombrero correspondiente?
6. Se tira un dado hasta que salga un uno. Calcular la probabilidad de que:
a) se necesiten 10 intentos
b) se necesiten menos de cuatro intentos
c) se necesite un número impar de intentos
7. En el último año de la escuela, en un grupo de 100 alumnos se encontró que 42 cur-saron matemáticas, 68 psicología, 54 historia, 22 matemáticas e historia, 25 matemáticasy psicología, siete historia pero no matemáticas ni psicología, 10 las tres materias y ochoninguna de las tres. Si selecciona un estudiante aleatoriamente, encuentre la probabilidadde que:
a) una persona inscrita en psicología haya estudiado las tres materias,
b) una persona que no se inscribió en psicología haya tomado historia y matemáticas.
8. Dos estudiantes A y B, están inscritos en un curso. Si el estudiante A asiste a las clases80% de las veces y el estudiante B, 60%, y si ls ausencias de los dos estudiantes sonindependientes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes estéen clase un día concreto?
9. Una máquina produce tornillos que colocados en una caja. Se sabe que una de cada diezcajas son defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que ordenó trs cajasobtenga puros tornillos buenos?
10. Un bolso copntiene dos monedas de plata y cuatro de cobre, y otro contiene cuatro deplata y tres de cobre. Si se elije al azar una moneda de uno de los bolsos, ¿cuál es laprobabilidad de que sea de plata?
11. Entre personas que donan sangre a una clínica, 80% tiene Rh+; es decir, tienen el factorRhesus en la sangre. Cinco personas donan sangre en la clínica un día determinado.
a) Calcular la probabilidad de que al menos una de las cinco no tenga el factor Rh.
b) Calcular la probabilidad de que cuando mucho cuatro de las cinco tengan sangre Rh+.
12. Supóngase que 0,005% de la población de un país muere debido a cierto tipo de accidentecada año y que una compañia de seguros tiene entre sus clientes 10mil que están aseguradoscontra este tipo de accidente. Hallar la probabilidad de que la compañia deba pagar másde tres pólizas en un año dado.
48
13. Se ha observado en forma empírica que las muertes ocacionadas por accidentes de tráficoocurren a la razón de ocho por hora en los largos fines de semana feriados. En el supuestode que estas muertes ocurren en foerma independiente, calcular la probabilidad de que:
a) transcurra una hora sin que haya muertes,
b) transcurra un periodo de 15 minutos sin muertes,
c) transcurran cuatro periodos consecutivos, que no se traslapen, sin que hayan muertes.
14. Un físico toma 25 medidas independientes de la gravedad específica de cierto cuerpo. Sabeque las limitaciones de su equipo son tales que la desviación típica de cada medición es σunidades.
a) Utilizando la desigualdad de Chebyshev, encuéntrese una cota inferior para la prob-abilidad de que el promedio de sus mediciones difiera de la verdadera gravedad delcuerpo a menos de σ/4 unidades.
b) Utilizando el teorema del límite central, encuéntrese un valor aproximado para laprobabilidad de la parte a.
15. Supóngase que, en promedio los dos padres de una tercera parte de los de los graduadosde un colegio asisten a la ceremonia de graduación, sólo uno de los dos dos padres de laotra tercera parte de estos graduados asiste a la ceremonia y ninguno de los dos padres dela restante tercera parte de estos gradiados asiste a la ceremonia. Si en una clase hay 600graduados, ¿cuál es la probabilidad de que asistan a la ceremonia de graduación más de650 padres?
Programación
1. Indica cual será el valor de i al terminar el ciclo.
N=10;
i=5;
while(i < N)
i = i + 2;
printf(i);
2. ¿Qué valor tomará x?
Z = 25;
if(Z % 2 == 0)
x = 1;
else
x = 0;
49
3. ¿Qué valor tiene la variable y al imprimirse?
int funcion(int x){
int y = 10 * x;
return(y);
}
int y;
y = 2;
y = funcion(y);
printf(y);
4. ¿Qué valor toma x al momento de imprimirse?
int f(int x){
if(x <= 1)
return(0);
else
g = f(x-1) + f(x-2)
}
int y = 5;
y = f(x);
printf(y);
5. ¿Qué efecto tienen las siguientes instrucciones de Linux?
rm *.tar
ls -l archi*
6. Cuál será el comportamiento del siguiente programa?
X = 25;
i = 0;
while(X < 90){
i = i + 1;
}
printf(i);
7. Si el archivo “arch.txt” contiene lo siguiente:
hola
este es un archivo
de texto
son las 19:25
este dia hay mucho trabajo
abc def este es pewqww
50
¿Qué se desplegará al ejecutar la siguiente instrucción?
> cat arch.txt | grep este | wc
8. Si el vector X tiene los elementos (1, 0, 9, 3, 5, 1, 6), en donde la primera posición es “0” yla última es la 6, ¿Qué desplegará el siguiente programa?
y = 7;
for(i = 0; i <= 6; i++){
if(x[i] >= y)
printf(x[i], i);
}
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE LA CIUDAD DE MÉXICO
Maestría en Dinámica no Lineal y Sisitemas Complejos
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA A
Semestre 2007 - 1
Fecha: ____________
Nombre: ________________________________________________
Ocupación (o profesión) y último grado de estudios: _________________________
Indicaciones. Resuelva correctamente cada uno de los siguientes ejercicios; al escribir susrespuestas, exprese con toda claridad sus ideas, e indique las operaciones que efectúe y losconceptos matemáticos que utilice.
Primera parte
1. Un padre tiene dos hijos, el grande cuatro años mayor que el primero. Dentro de 23 años,el padre tendrá tantos años como la suma de las edades de sus hijos. ¿Qué edad tiene cadauno, si sabemos que actualmente el doble de la edad del padre es igual a nueve veces laedad del mayor más cuatro veces la del menor?
2. Hallar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos (6, 2), (8, 0)y cuyo centro está sobre la recta
3x+ 7y + 2 = 0.
Represente en el plano xy los lugares geométricos correspondientes al círculo y la recta.
3. Dada la función
f(x) =x2
x2 − 4 .
Hallar
a) el dominio de f ,
b) las intercepciones y (u ordenadas en el origen) y las x (o abcisas en el origen) de lagráfica,
c) si hay simetría con respecto al eje y y al origen,
d) los extremos relativos de f ,
52
e) los intervalos donde f es creciente,
f ) los intervalos donde f es decreciente,
g) dónde la gráfica es cóncava hacia arriba,
h) dónde la gráfica es cóncava hacia abajo,
i) la pendiente de cualquier tangente de inflexión, y
j ) las asíntotas horizontales y verticales.
Segunda parte
1. Dada la función −→F (x, y) =
¡xy, y2
¢.
Si σ es la trayectoria y = 2x2 que une (0, 0) con (1, 2) en R2, evalúeRσ
−→F . ¿Depende la
integral calculada en el inciso anterior de la trayectoria que une (0, 0) con (1, 2)?
2. Encuentre la representación matricial (en la base canónica), así como el núcleo, imagen,rango y nulidad, de las transformaciones T : R4 → R2, definida como
T¡x, y, z, w
¢=¡x− 2z, 2y + 3w
¢.
3. Sea
f(x) =
½x+ 1, x ≤ 1;3− ax2, x > 1.
¿Cómo debe elegirse el número a para que la función f(x) sea continua? Construya lagráfica de la función.
4. Dado el sistema de ecuaciones diferenciales
.x = −3x+ 1
2y,
.y = −2x,
a) encuentre la solución general del sistema y también la del caso particular cuando lacondición inicial es (1, 2).
Alternativamente, el sistema dado puede escribirse en la forma vectorial d−→X/dt =
A−→X , en donde
A =
µ−3 1
2−2 0
¶y−→X es un vector columna de entradas (x, y) . Calcule para la matriz de coeficientes
A:
b) La traza T y el determinande D.
c) El polinomio característico y los eigenvalores.
d) Los eigenvectores correspondientes a los eigenvalores hallados en el inciso anterior.
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e) Realice un esbozo de las soluciones en el plano xy indicando el tipo y dirección de lastrayectorias.
5. Dos estudiantes A y B, están inscritos en un curso. Si el estudiante A asiste a las clases80% de las veces y el estudiante B, 60%, y si ls ausencias de los dos estudiantes sonindependientes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes estéen clase un día concreto?
6. ¿Qué efecto tienen las siguientes instrucciones de Linux?
rm *.tar
ls -l archi*
Tercera parteLea el siguiente texto3 y responda las preguntas al final del mismo:
Whatever our professional preoccupations may be, we cannot escape the feeling that we livein an age of transition, an age that demands constructive modification of our environment. Wemust find and explore new resources, must understand our environment better, and must achievea less destructive coexistence with nature. The time scale of the qualitative modifications thatare required to achieve these goals is not comparable to the immense time spans involved inbiological or geological evolution. Rather, it is of the order of a decade. Thus the modificationsthat must be made interfere with our own lives and the lives of the next generation.
We cannot anticipate the outcome of this period of transition, but it is clear that science isbound to play an increasingly important role in our effort to meet the challenge of understandingand reshaping our global environment. It is a striking fact that at this crucial moment scienceis going through a period of reconceptualization.
The two great revolutions in physics at the beginning of this century were quantum mechanicsand relativity. Both started as corrections to classical mechanics, made necessary once the roles ofthe universal constants c (the velocity of light) and h (Planck’s constant) were discovered. Today,both of these areas of physics have taken an unexpected "temporal"turn: Quantum mechanicsnow deals in its most interesting part with the description of unstable particles and their mutualtransformations. Relativity, which started as a a geometrical theory, today is mainly associatedwith the thermal history of the universe.According to the author:
1. What are the goals we must achieve in this age of transition? Give your answer in Spanish.
2. How long does it take to achieve the qualitative modifications required in this age oftransition? Give your answer in Spanish.
3. What does quantum mechanics deal with nowadays? Give your answer in Spanish.
4. What is relativity associated with today? Give your answer in Spanish.
5. Make a brief sumary of the text (80-100 words) in Spanish.
3Este texto en inglés fue extraído del libro Exploring Complexity: an introduction, de Gregoire Nicolis e IlyaPrigogine.
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE LA CIUDAD DE MÉXICO
Maestría en Dinámica no Lineal y Sisitemas Complejos
EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA B
Semestre 2007 - 1
Fecha: ____________
Nombre: ________________________________________________
Ocupación (o profesión) y último grado de estudios: _________________________
Indicaciones. Resuelva correctamente cada uno de los siguientes ejercicios; al escribir susrespuestas, exprese con toda claridad sus ideas, e indique las operaciones que efectúe y losconceptos matemáticos que utilice.
Primera parte
1. Dada la ecuación5x2 − (k + 2)x+ 7k + 1 = 0,
encuentre el valor de k de manera que
a) una raíz sea 3,
b) una raíz sea la negativa de la otra raíz.
2. Los vértices de una hipérbola son los puntos V (0, 3) y V 0(0,−3), y sus focos son los puntosF (0, 5) y F 0(0,−5). Hallar la ecuación de la hipérebola, las longitudes de sus ejes transversoy conjugado, su excentricidad y la longitud de cada lado recto.
3. El volumen de un globo aumenta de acuerdo con la fórmula
dV
dt=√t+ 1 +
2
3t,
dónde V es el volumen (en cm3) del globo a los t segundos. Si V = 33cm3 cuando t = 3s,obtenga
a) una fórmula para V en términos de t;
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b) el volumen del globo a los 8 segundos.
Segunda parte
1. Demuestre que la función
u(x, y, z) =1p
x2 + y2 + z2
es solución de la ecuación de Laplace en tres dimensiones
∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2+
∂2u
∂z2= 0.
2. Encuentre la representación matricial de la transformación T : R3 → R2, tal que
T
⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
µ2x+ y + zy − 3z
¶,
en las bases B1 = {(1, 0, 1) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)} y B2 = {(1,−1) , (2, 3)}
3. Demostrar que un polinomio de grado par tiene, al menos dos raíces reales si toma, almenos una vez, un valor cuyo signo sea contrario al de su término principal (el de gradomás alto). (Sugerencia: aplique el Teorema del Valor Intermedio).
4. Un grupo de ciudadanos preocupados por la preservación del medio ambiente ha detectadoque una fábrica contamina con sus desechos tóxicos un lago cercano a su localidad. Trasrealizar exhaustivas investigaciones, encontraron que la población más grande de peces quehabita el lago está disminuyendo rápidamente por causa de los contaminantes arrojados.Se detectó que dicha población disminuye proporcionalmente al número de peces con unaconstante de proporcionalidad igual a una décima. Si los estudios indican también que alllegar a disminuir la población de estos peces a una décima parte de su población actualno será posible salvar la especie, ¿de cuánto tiempo dispone la comunidad para tomarmedidas que reviertan el problema?
5. Entre personas que donan sangre a una clínica, 80% tiene Rh+; es decir, tienen el factorRhesus en la sangre. Cinco personas donan sangre en la clínica un día determinado.
a) Calcular la probabilidad de que al menos una de las cinco no tenga el factor Rh.
b) Calcular la probabilidad de que cuando mucho cuatro de las cinco tengan sangre Rh+.
6. ¿Cuál será el comportamiento del siguiente programa?
X = 25;
i = 0;
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while(X < 90){
i = i + 1;
}
printf(i);
Tercera parte
Lea el texto de las páginas siguientes4 y responda las siguientes preguntas:
1. Give your interpretation of the authot´s conception of "megalopoleis"?
2. Why did the team led by the author of the article build maps of the New Megas?
3. What conclusions can be drawn from these maps?
4. List some megas in the continents of:
a) America
b) Europe
c) Asia
5. What were the criteria used by the author to classify New Megas?
6. What contributions have the New Megas made to scientific activity and global innovation(in porcentages)?
7. According to the article, why have megalopoleis been growing?
4Este texto en inglés fue extraído de la revista Newsweek (July 3-July 10, 2006).
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