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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA Prof. Zoraida Pérez S.

ESTADISTICA I Página 1

UNIDAD IV: Probabilidad GUIA CO�TE�IDO 4 Revisión:02/02/11

REFERENTE CURRICULAR UNEG:

¿Qué es la Probabilidad?

Recordemos el esquema visto al principio del curso: LA NOCIÓN DE “AZAR”: Algunos fenómenos tienen resultados predecibles: cuando se deja caer una moneda desde una altura conocida, el tiempo que tarda en llegar al suelo puede predecirse con la física elemental. Salvo por un error de medición muy pequeño, el resultado es cierto. Sí, por otra parte, la moneda se lanza al aire, no podemos predecir si caerá cara o cruz. El resultado es incierto. Sin embargo, el lanzamiento de una moneda no es un hecho fortuito (subrayado nuestro). Si se hace un gran número de lanzamientos, la proporción de caras se acercará mucho a la mitad. Esta regularidad en el largo plazo no es sólo una construcción teórica sino un hecho observado. (…)

FENÖMENOS ALEATORIOS Los fenómenos cuyos resultados individuales son inciertos pero que cuentan con un patrón regular de los

mismos en muchas repeticiones se llaman aleatorios. “Aleatorio” no es sinónimo de “fortuito”, sino la descripción de un tipo de orden diferente del determinista que suele asociarse con la ciencia y las matemáticas.

“…LA PROBABILIDAD es la rama de las matemáticas que describe la aleatoriedad…” . (Tomado del artículo “Incertidumbre” de David Moore)

“Resolver problemas sobre la ocurrencia de

ciertos eventos, que involucren variables

discretas y continuas, a través de la teoría de la

probabilidad”

PROBABILIDAD

IN CERT IDUM BRE

D A T O S A Z A R

d i s c i p l i n a sm a t e m á t i c a s

E s t a d í s t i c a P r o b a b i l i d a d

E S T O C Á S T I C A

R e l a c i o n a d o c o n

N o s o n c a m p o s s e p a r a d o s

IN CERT IDUM BRE

D A T O S A Z A R

d i s c i p l i n a sm a t e m á t i c a s

E s t a d í s t i c a P r o b a b i l i d a d

E S T O C Á S T I C A

R e l a c i o n a d o c o n

N o s o n c a m p o s s e p a r a d o s




∗ “En lenguaje cotidiano Probabilidad indica una medida numérica de la certidumbre de que sucederá

determinado evento." (Anderson/Swenney/Williams) ∗ "Probabilidad es un valor entre cero y uno que describe la posibilidad de que algo ocurra."

(Lind/Mason/Marshal)

La probabilidad se expresa como una fracción o decimal entre cero (0) y uno (1) inclusive.

Probabilidad =0

Significa que no hay ninguna posibilidad de que suceda. Ejemplo: la posibilidad de que un adulto vuelva a ser niño.

(Dé algunos ejemplos)

Probabilidad (entre 0 y 1) (Dé ejemplos de probabilidades

cercanas a cero) (Dé ejemplos de probabilidades

cercanas a uno)

Probabilidad =1

Significa que existe la plena seguridad de que ocurrirá. Ejemplo: la posibilidad de que una persona morirá algún día.

(Dé algunos ejemplos)

EXPERIMENTO ALEATORIO Es todo proceso cuyo resultado está sujeto al efecto

del azar.

RESULTADO

Es la consecuencia particular de un experimento

EVENTO

Es la colección de uno o más resultados

ESPACIO MUESTRAL

Conjunto de TODOS los resultados posibles de un experimento

EJEMPLOS

EXPERIMENTO

TODOS LOS POSIBLES RESULTADOS

(Espacio muestral)

ALGUNOS EVENTOS

POSIBLES

Lanzar una moneda ∗ Cara (Que salga cara) ∗ Sello (que salga sello)

Presentar un examen - -

Lanzar dos monedas - - - -

Inspeccionar piezas - -

Lanzar un dado

Medir el tiempo de duración de un proceso

Vender un lote de 1000 bombillos

(Te toca a ti)

0 1




EVENTOS EXHAUSTIVOS Dos o más eventos son exhaustivos si su unión conforma el espacio muestral, es decir, que reúnen todos los posibles resultados de un experimento.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos o más eventos son mutuamente excluyentes cuando sólo uno de ellos puede ocurrir a la vez

EXPERIMENTO

EVENTO 1 (E1)

EVENTO 2 (E2)

¿Son eventos mutuamente excluyentes?

¿Son eventos exhaustivos?

Lanzar una moneda Que salga cara Que salga sello

Lanzar un dado Que salga el 1 Que salga el 2

Lanzar un dado Que salga un número menor o igual que 3

Que salga un número mayor que 3

Lanzar un dado Que salga un nº par Que salga un nº impar.

Lanzar un dado Que salga un nº primo Que salga el 4

Lanzar dos dados Que la suma de los dos resultados sea “7”

Que en ambos dados salga nº par

Lanzar dos dados Que la suma de los dos resultados sea “5”

Que al menos en un dado salga un “6”

Extraer una carta de poker de su conjunto Una reina Un corazón

Inspeccionar piezas Defectuosa No defectuosa

Inspeccionar piezas Defectos externos Defectos internos

Inspeccionar piezas Defectos externos No defectuosa

Extraer una baraja de su conjunto Una espada Un basto

Extraer una carta Un as Un nº par




ENFOQUES UTILIZADOS PARA ASIGNAR PROBABILIDADES

ENFOQUE CLÁSICO

Conocida como “probabilidad clásica” o “probabilidad a priori” (averigua por qué) La probabilidad de un evento A viene dada por:

posibles resultados de totalnº

favorables resultados de nºP(A) =

Este enfoque supone: a) Eventos igualmente probables (que tienen la

misma posibilidad de ocurrir. Ejemplo: que en el bingo todas las bolitas sean iguales, que la moneda no esté doblada, que los dados no estén desbalanceados).

b) Eventos mutuamente excluyentes. c) Eventos exhaustivos. d) A Las situaciones muy improbables se les

asigna probabilidad cero, aunque puedan ocurrir (Ej.: que la moneda caiga de canto, o sea, parada, )

Con este enfoque no es necesario realizar el experimento para determinar la probabilidad. Es útil cuando tratamos con juegos de azar, pero no es el más indicado para problemas de toma de decisión, donde puede influir un comportamiento pasado. Ejemplo: La probabilidad de que salga un nº par al tirar un dado es:

5,02

1

6

3

.result.pos de totalnº

.result.fav de nºP(A) ====

ENFOQUE DE LA FRECUENCIA RELATIVA

Este enfoque define la probabilidad como: “1. La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos” y 2. La fracción de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables” (Levin-Rubin, 1996) Es decir, este enfoque propone que se calcule la probabilidad con base a la frecuencia relativa histórica, observada durante un gran número de intentos. Se observará en cuántas ocasiones han ocurrido eventos similares en el pasado.

nesobservacio de nº

evento el ocurrió que vecesnºP(A) =

Pongamos el ejemplo de los saldos mensuales ahorrados en un banco: Saldos mensuales promedio

Clase en $ Frecuencia 0 - 50 78 50 - 100 123 100 - 150 187 150 - 200 82 200 - 250 51 250 - 300 47 300 - 350 13 350 - 400 9 400 - 450 6 450 - 500 4 Total 600

Determinamos qué tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro: ¿Cuál será la probabilidad de que el saldo mensual de los ahorristas esté entre $100 y $150 para el siguiente mes?

31.0600

187

nesobservacio de nº

evento el ocurrió que vecesnºP(A) ===

ALERTA: A veces las personas utilizan el enfoque frecuentista sin evaluar un número suficiente de resultados




A’

A

ENFOQUE SUBJETIVO DE LA PROBABILIDAD

Cuando no contamos con suficiente información que nos permita asignarle probabilidad a un evento, recurrimos a ESTIMARLA, evaluando opiniones y cualquier otra información que se tenga disponible. Frecuentemente se emplea la estimación subjetiva de la probabilidad cuando los eventos se presentan un número muy reducido de veces. Ejemplos: 1. Podemos estimar que la probabilidad de que

Los Leones del Caracas le ganen a los naveganyes del Magallanes en esta temporada es de _____ tomando en cuenta cualitativamente el comportamiento que han tenido los equipos, los jugadores que tienen, las estrategias, etc.

2. Cuál es la probabilidad de que Usted apruebe la materia con 7?

3. Da otros ejemplos.

REGLAS DE PROBABILIDAD

Es importante saber que:

P(A)=Probabilidad de que ocurra el evento A. Independientemente del enfoque que se use, se debe cumplir que: 1. La probabilidad asignada a un evento

debe ser un valor entre cero y uno. 1)(0 ≤≤ AP

2. La suma de las probabilidades de

TODOS los eventos posibles debe ser 1 1)(.......)()( =++ FPBPAP

También es importante saber que: � Si A es un evento imposible, entonces

P(A)=0

� Si A es un evento seguro, entonces P(A)=1 En un experimento, un evento A puede o no ocurrir: � P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A.

� P(A’): Probabilidad de que no ocurra el

evento A.

� Entonces: 1)'()( =+ APAP Las probabilidades se comportan como si fueran áreas, por lo cual podemos representar el Espacio muestral (S), en un Diagrama de Venn, como un conjunto de área =1 Recordando entonces que:

S

Si es conveniente aplicar un Enfoque clásico: …… posibles resultados de totalnº

favorables resultados de nºP(A) =

Si la situación amerita un Enfoque de Frecuencia Relativa: …… nesobservacio de nº

evento el ocurrió que vecesnºP(A) =

Si la situación amerita usar un Enfoque subjetivo…….. )por t Asignado(P(A) í=




Ejercicios

ANDERSON / SWEENEY / WILLIAMS: Estadística para Admón y Economía. Thomson Ed. 7ºedición. (Pag.136) 1. Suponga que un experimento tiene cinco resultados igualmente probables: E1, E2 ,E3 ,E4 ,E5 . Asigna

probabilidades a cada uno y demuestra que satisfacen las condiciones 1 y 2 anteriormente descritas. ¿Qué método empleaste?

2. Un experimento con tres resultados se ha repetido 50 veces y se vio que E1 sucedió 20 veces, E2 ocurrió

13 y E3 ocurrió 17 veces. Asigna probabilidades a estos eventos. ¿Qué método estás usando? 3. Un administrador ha asignado subjetivamente las siguientes probabilidades a los cuatro resultados de un

experimento: P(E1)=0.10;P(E2=0.15; P(E3)=0.40; P(E4)=0.20. ¿Es una asignación válida de probabilidades? 4. Una contratista de CIDOR ha

participado en dos licitaciones para realizar Trabajos de Mantenimiento Mecánico en la Acería de Planchones. El gerente ha realizado el siguiente cuadro donde le asigna, subjetivamente, probabilidades a los posibles resultados:

Resultado Que gane el Contrato 1

Que gane el Contrato 2

Probabilidad asignada

1 Si Si 0,15 2 Si No 0,15 3 No Si 0,30 4 no No 0,25

¿Estas son asignaciones válidas de probabilidad? ¿Por qué?

¿Qué debe hacer para que estas asignaciones sean válidas?

5. Cuando se le preguntó a una persona acerca de la probabilidad de obtener 0,1 ó 2 caras, al lanzar dos

veces una moneda, ésta contestó que, como parece razonable considerar los resultados como igualmente posibles, la probabilidad de cada evento es un tercio. ¿Estás de acuerdo con esta respuesta? ¿Por qué?

______________________________________________________________________________ 6. Si nacen dos bebés en un Hospital. ¿Cuál es el espacio muestral?. Suponiendo que son igualmente

probables. ¿Cuál es la probabilidad de que nazca: a) ningún varón. b) un varón. c) dos varones? 7. Explica el error:

a. P (estudiante apruebe)= 0,76 y P(est. no apruebe)=0,34 b. P (tren salga a tiempo)= 0,43. Y P(no salga a tiempo)= 0,52 c. P (una secretaria escriba una carta sin errores)=0,46 y P (escriba una carta con no más de un error)=0,37 d. P (equipo gana)=0,46 P(equipo pierda)=0,40 P(equipo empate)=0,10

8. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cada uno de los siguientes resultados al lanzar DOS dados? a) Que sume 1 b) Que sume 2 c)Que sume 5 d) Que sume 6 e) Que sume 7 f)Que sume 10 g) Que sume 11 h) Que sume 15.

9. (Levin-Rubin) La posibilidad de que llueva el día de hoy es de 80% ¿Cuál de las siguientes proposiciones

explica mejor lo que se afirma? a) Lloverá 80% del día de hoy b) Lloverá en 80% del área en la cual se aplica la predicción del día de hoy c) En el pasado, las condiciones del clima de este tipo han producido lluvia en esta área, 80% de las

veces. 10. “Existe una probabilidad de 0,25 de que un restaurante en Puerto Ordaz quiebre en el presente año”.

Cuando los investigadores hacen este tipo de afirmaciones ¿Cómo es que llegaron a sus conclusiones?




REGLAS DE PROBABILIDAD

REGLA DE LA ADICIÓN 1. PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Al lanzar un dado, la probabilidad de que salga “1” ó salga “2” viene dada por:

P (1 ó 2) = P (1 U 2) = P (1) + P (2)

Ya que son eventos mutuamente excluyentes 2. PARA EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES Al sacar una baraja, la probabilidad de que salga un “dos” ó “corazones” será: P(A ó B) = P(A U B) = P(A) + P (B) – P (dos de corazones)

Termina este ejercicio y represéntalo en un Diagrama de Venn Termina este ejercicio y represéntalo en un Diagrama de Venn

EXPERIMENTO

ALEATORIO

EVENTOS

INDEPENDIENTES

P(A | B) = P(A)

REGLA ADITIVA

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

EVENTOS

MUTUAMENTE

EXCLUYENTES

P(A ∩B)=Ø

EVENTOS

DEPENDIENTES

P(A| B) ? P(A)

ESPACIO

MUESTRAL

PROBABILIDAD

EVENTOS

.

EVENTOS NO

MUTUAMENTE

EXCLUYENTES

P(A ∩B )≠ Ø

REGLA MULTIPLICATIVA

P(A ∩B)= P(A | B) * P(B)

P(A ∩B)= P(A)*P(B)P(AUB)= P(A)+P(B) - P(A∩B)P(AUB)= P(A)+P(B)

P(A ∩ B)= P(A | B) * P(B)

P(A ∩ B)= P(B | A) * P(A)

ResultadoResultado

Resultado

Todos los resultados posibles

Uno o más resultados

“ n” resultados

Dos o más eventos pueden ser Dos o más eventos pueden ser

O También:

EXPERIMENTO

ALEATORIO

EVENTOS

INDEPENDIENTES

P(A | B) = P(A)

REGLA ADITIVA

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

EVENTOS

MUTUAMENTE

EXCLUYENTES

P(A ∩B)=Ø

EVENTOS

DEPENDIENTES

P(A| B) ? P(A)

ESPACIO

MUESTRAL

PROBABILIDAD

EVENTOS

.

EVENTOS NO

MUTUAMENTE

EXCLUYENTES

P(A ∩B )≠ Ø

REGLA MULTIPLICATIVA

P(A ∩B)= P(A | B) * P(B)

P(A ∩B)= P(A)*P(B)P(AUB)= P(A)+P(B) - P(A∩B)P(AUB)= P(A)+P(B)

P(A ∩ B)= P(A | B) * P(B)

P(A ∩ B)= P(B | A) * P(A)

ResultadoResultado

Resultado

Todos los resultados posibles

Uno o más resultados

“ n” resultados

Dos o más eventos pueden ser Dos o más eventos pueden ser

O También:




Ejercicios (Levin-Rubin, contextualizados) 11. Una caja tiene 75 metras: 35 Azules y el resto Rojas. De las azules hay 25 Brillantes y el resto son Opacas.

De las Rojas sólo hay 30 Brillantes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar... a. Una metra azul b. Una metra roja c. Una metra azul brillante

d. Una metra brillante e. Una metra roja o azul f. Una metra azul o brillante

12. La compañía NASACA que produce combustible nuclear debe revisar con rayos X y hacer una inspección

meticulosa de cada barra antes de entregarla. El inspector de control de calidad detectó que de cada 1000 barras que revisa, 10 tienen defectos internos, 8 tienen defectos en su carcasa y 5 tienen ambos tipos de defecto. ¿Cuál es la probabilidad de que al revisar una barra, ésta sea defectuosa?

13. Un estudiante está cursando Matemática III y Estadística I. La probabilidad de que apruebe Matemática es

de 0.60. La probabilidad de que apruebe Estadística es de 0.70. La probabilidad de pasar las dos materias es de 0.50. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos una materia?

14. Determina la probabilidad de obtener un As, un Rey o un Dos cuando se extrae una carta de un mazo de

52. 15. De 300 estudiantes, 100 están inscritos en Contabilidad y 80 en Estadística. Estas cifras incluyen 30

estudiantes que están inscritos en ambos cursos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar esté inscrito únicamente en Contabilidad o únicamente en Estadística

16. A Weil PC desea mejorar la resistencia de sus computadoras clon que arma, con respecto a fallas en la

unidad de disco y el teclado. En la actualidad, el diseño de sus computadoras es tal que las fallas de la unidad de disco significan un tercio de las fallas en el teclado. La probabilidad de que se presente una falla conjunta en la unidad de disco y en el teclado es de 0,05. a) Si la computadora es 80% resistente a fallas en la unidad de disco y/o en el teclado, qué tan baja debe

ser la probabilidad de que se presente una falla en la unidad de disco? b) Si el teclado se mejoró de tal modo que solo falla el doble de veces que la unidad de disco, (y la

probabilidad de falla conjunta sigue siendo 0,05). ¿La probabilidad de falla de la unidad de disco del inciso (a) producirá una resistencia a fallas en la unidad de disco duro, en el teclado o en ambos, mayor o menor que 90%?

(Lind/Mason, McGraw Hill, 3| Ed., pg.140) 17. Un banco reporta que 80% de sus clientes tiene una cuenta de cheques, 60% tiene una cuenta de ahorros y

50% tiene ambas. Si se toma un cliente al azar ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga una cuenta de ahorros o una cuenta de cheques?. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente no tenga ni cuenta de ahorros ni cuenta de cheques?

18. De los estudiantes de Ingeniería Industrial, el 15% es usuario regular del Comedor de la UNEG, el 30% es

usuario regular del Transporte de la UNEG y el 10% son usuarios regulares de ambos servicios. a)Diagrama de Venn o diagrama de árbol o tabla de contingencia b)¿Son independientes los eventos “usuario del Comedor UNEG” y “usuario del Transporte UNEG”?. Demuéstralo con las reglas de la probabilidad c) Si del grupo se elige un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que no sea usuario del Comedor UNEG ni del Transporte UNEG. (1 punto) Fuente: http://www.terra.es/personal2/jpb00000/pprobjunio00.html. Adaptación: ZP.




DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA CONCEPTOS PREVIOS PROBABILIDAD MARGINAL O INCONDICIONAL: P(A) Es la probabilidad simple, como su nombre lo indica, sin que exista la condición de que otro evento ocurra antes. Ejemplos: P(A) , P (B). PROBABILIDADES CONJUNTAS: P(A ∩ B) Es la probabilidad de que dos eventos ocurran a la vez, o en sucesión. PROBABILIDAD CONDICIONAL: P (A|B) Es la probabilidad de que ocurra un evento A, dado que ya ocurrió un evento B. Esta se aplica cuando los eventos son dependientes.

EVENTOS INDEPENDIENTES: Cuando la ocurrencia de un evento A no tiene efecto sobre la ocurrencia de otro evento B, éstos son eventos independientes. Con el siguiente ejemplo, veremos cómo se determinan las tres probabilidades anteriormente definidas:

C

S

C

S

S

C

LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS

1°Lanzamiento 2°Lanzamiento

C

S

C

S

S

C

LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS

1°Lanzamiento 2°Lanzamiento

∗ En el primer lanzamiento de una moneda:

P (C1)=0,50 ; P (S1)= 0,50. ∗ Si hay un segundo lanzamiento:

P (C2)=0,50 ; P (S2)= 0,50. No importa cuántas veces se lance la moneda, ya que los eventos del primer lanzamiento no van a influir en los resultados del segundo lanzamiento.

En general: PROBABILIDAD MARGINAL O INCONDICIONAL PARA EVENTOS INDEPENDIENTES: Es la misma probabilidad simple que hemos visto hasta ahora. Se asigna de acuerdo a cualquiera de los tres enfoques vistos anteriormente. PROBABILIDADES CONJUNTAS PARA EVENTOS INDEPENDIENTES: Se calcula como el producto de sus probabilidades marginales. P(A ∩ B)= P(A) x P (B) (Se lee: la probabilidad de que ocurra tanto A como B)

En el ejemplo anterior, en dos lanzamientos sucesivos, la probabilidad de que salga cara en el 1º lanzamiento y de que salga cara en el 2º lanzamiento será:

P (C1 ∩ C2)= P (C1) x P (C2) = 0,50 x 0,50 = 0,25 PROBABILIDAD CONDICIONAL PARA EVENTOS INDEPENDIENTES: Como los eventos son independientes, la probabilidad de que ocurra un evento B dado que un evento A ya ocurrió, es la misma probabilidad marginal.

P (B|A) = P (B) también: P (A|B) = P(A)




EJERCICIOS

19. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo hijo de una pareja sea un varón dado que el primero fue

hembra? Cuál es la probabilidad de que el segundo hijo de una pareja sea una hembra dado que el primero fue hembra?

20. ¿Cuál es la probabilidad de que una pareja primero tenga un varón y luego tenga una hembra? 21. Al lanzar dos dados ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 puntos en el 1º lanzamiento y un total

de 11 puntos en el 2º lanzamiento? 22. Los siguientes datos pertenecen a una muestra de 80 familias de cierta población, éstos muestran la

escolaridad de los padres y la de sus hijos.

HIJO Fue a la Universidad No fue a la Universidad

PADRE Fue a la Universidad 18 7 No fue a la Universidad 22 33

- Elabora la Tabla de Probabilidad Conjunta - Usa las probabilidades marginales para hacer comparaciones de la escolaridad entre padres e hijos. - Cuál es la probabilidad de que el hijo vaya a la Universidad si su padre asistió? - Cuál es la probabilidad de que el hijo vaya a la Universidad si su padre no lo hizo? - ¿Es independiente la asistencia del hijo a la universidad del hecho de que el padre fuera o no a la Univ.?

Explica la respuesta empleando argumentos probabilísticos.

EVENTOS DEPENDIENTES:

Cuando la ocurrencia de un evento A sí tiene efecto sobre la ocurrencia de otro evento B, estos son eventos dependientes. PROBABILIDAD CONDICIONAL PARA EVENTOS DEPENDIENTES: La probabilidad de que ocurra un evento B dado que un evento A ya ocurrió, la podemos obtener así:

P(A)

B)P(AA) | P(B

∩=

La explicaremos con un ejemplo: En una caja hay diez medias con las siguientes características:

∗ Tres medias negras rotas. 10

3R) P(N =∩

∗ Una media negra buena. 10

1B) P(N =∩

∗ Dos medias verdes rotas. 10

2R) P(V =∩

∗ Cuatro medias verdes buenas. 10

4B) P(V =∩

Si sacamos de la caja una media negra ¿Cuál es la probabilidad de que esté rota? ?N) | P(R =

10

3N) P(R =∩

10

4P(N) =

P(N)

)P(RN) | P(R

�∩=

4

3

10/4

10/3==




PROBABILIDAD CONJUNTA PARA EVENTOS DEPENDIENTES:

En ocasiones se conoce la probabilidad condicional y se requiere determinar la probabilidad conjunta. Entonces podemos despejarla de la fórmula vista anteriormente:

P(A) * A) |(B P B)P(A P(A)

B)P(AA) | P(B =∩⇒

∩=

Para el ejemplo de las medias, la probabilidad de que salga una media negra rota sería:

P(R) * R) |(N P )P(N =∩ R ó P(N) * N) |(R P )P(N =∩ R

PROBABILIDAD MARGINAL PARA EVENTOS DEPENDIENTES: Se determina sumando las probabilidades conjuntas de todos los eventos en los que se presenta el evento sencillo. Para el ejemplo de las medias: la probabilidad de que salga una media verde está dada por:

10

6

10

4

10

2 B) P(V R)P(VP(V) =+=∩+∩=

EJERCICIOS

(Levin/Rubin, 6°Ed.,pag.194) 23. En un comedor de beneficencia, una trabajadora social reúne los datos siguientes: De las personas que

acuden al comedor, el 59% son hombres, el 32% de las personas son alcohólicas, y el 21% son hombres alcohólicos. ¿Si se escoge una persona al azar y resulta que es un hombre, cuál es la probabilidad de que sea alcohólico?

24. Según una investigación, la probabilidad de que una familia sea dueña de dos automóviles, si sus entradas

anuales son mayores de 2 millones de Bs, es de 0,75. De las familias entrevistadas, 60% tuvieron entradas mayores a los 2 millones de Bs. Anuales, y 52% tenían dos automóviles. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga dos automóviles y una entrada mayor a los 2 millones de Bs. al año?

25. Tenemos dos eventos A y B, estadísticamente dependientes. Si P(A)=0.39, P (B)=0.21 y P(A o B)=0.47.

Encuentre la probabilidad de que: ∗ No se presente ni A ni B ∗ Se presenten tanto A como B ∗ Se presente B dado que A ya se ha presentado ∗ Se presente A dado que B ya se ha presentado.

26. Durante un estudio sobre accidentes automovilísticos se encontró que el 60% de los accidentes suceden de

noche, 52% están relacionados con conductores ebrios, y 37% se presentan de noche y están relacionados con conductores ebrios. ∗ ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente esté relacionado con un conductor ebrio, dado que

sucedió de noche? ∗ ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente haya sucedido de noche si se comprueba que el

conductor estaba ebrio? 27. ¿Cuáles de los siguientes pares de eventos son estadísticamente independientes?

a) El número de veces que se utiliza una computadora hasta que ésta falla y el de una segunda computadora vendida por una firma distinta.

b) El tiempo de vida del presidente de USA y el tiempo de vida del presidente de Rusia. c) La adquisición de una compañía y la elevación del precio de sus acciones.




TEOREMA DE BAYES

El reverendo Bayes fue un ministro presbiteriano, interesado en la Matemática, que trataba de encontrar una fórmula para poder obtener la probabilidad de que Dios exista con base a las evidencias que se tienen en la Tierra. Se dice que "...las implicaciones teológicas de sus hallazgos lo alarmaron tanto que durante su vida se rehusó a permitir la publicación de su trabajo. Sin embargo, su obra trascendió y la teoría moderna de decisiones a menudo se conoce en su honor como teoría de decisiones bayesiana." (Levin/Rubin). A la fórmula básica para calcular la probabilidad condicional cuando los eventos son dependientes, se le llama Teorema de Bayes:

P(A)

B)P(AA) | P(B

∩=

Sin embargo, la importancia de este Teorema no se queda en calcular esta probabilidad condicional. Para eventos que ocurren en secuencia, está fórmula también permitirá determinar la probabilidad condicional de un evento que ha ocurrido primero (A) dado que se ha observado un evento específico (B) ocurrido después del evento A. (En otras palabras relaciona P(B|A) con P(A|B). Veamos:

P(A)

B)P(AA) | P(B

∩= y

P(B)

B)P(AB) |P(A

∩=

de ambas ecuaciones despejamos la probabilidad conjunta P(A ∩ B):

P(A) * A) |(B P B)P(A =∩ y P(B) * B) |(A P B)P(A =∩

e igualamos: P(B) * ) B P(A P(A) * A) |(B P =

Luego despejamos P(A|B): P(B)

P(A) * A) BP(B) |P(A =

Pero P(B) o probabilidad marginal del evento B es:

)'AP(B * )P(A' A)P(B*)(P(B) += AP

Entonces la fórmula general será: )A'P(B*)P(A' A)P(B *P(A)

P(A) * A) BP(B) |P(A

+

=

B

B’

B

B’

A

A’

P(A)*P(B|A)

P(A)

P(A’)*P(B|A’)




EJERCICIOS

Puedes consultar los ejercicios de los siguientes libros: Levin/Rubin. 6°ed. Pag. 201) , Lind/Mason 3°ed. Pag 145 , Meyer "Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Edit. Fondo Educativo Interamericano pag..50.

28. En una fábrica de pernos, las máquinas A, B y C fabrican el 25%, 35% y 40% de la producción total, respectivamente. De lo que producen 5%, 4% y 2% respectivamente son pernos defectuosos. Se escoge un perno al azar y se encuentra que es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que el perno provenga de la máquina A?. ¿de la máquina B? ¿de la máquina C?

29. La secretaria de un ejecutivo renunció a su trabajo. Al asesor se le pide su opinión acerca de la razón

de la renuncia. Él toma los siguientes datos: Entre todas las secretarias insatisfechas, a)el 20% lo están porque les desagrada su trabajo, b)el 50% porque sienten que están mal pagadas y c) el 30% porque les desagrada su jefe. Además, las probabilidades de que renuncien son respectivamente: a) 0.60 b)0.40 c) 0.90. Con base a estas cifras ¿Cuáles son las probabilidades de que la secretaria haya renunciado debido a que no le gusta su trabajo?

30. La probabilidad de que una aspiradora tenga fallas de operación debido a un cable eléctrico en mal

estado es 0,06. La probabilidad de que su falla de operación se atribuya correctamente a un cable eléctrico en mal estado es de 0,80 y la probabilidad de que su falla se atribuya incorrectamente a un cable eléctrico en mal estado es de 0,10. ¿Cuál es la probabilidad de que la falla de operación de una aspiradora que se atribuyó a un cable eléctrico en mal estado se deba en realidad a esta causa?

31. Supongamos que Venalum recibe alúmina como materia prima de dos sitios distintos: 65% proviene

de Bauxilum y el 35% restante es importada. El 98% de la alúmina que proviene de Bauxilum cumple con las normas de calidad. El 95% de la alúmina importada cumple con las normas de calidad. Si se toma una muestra de alúmina (sin saber la procedencia) y no cumple con las normas de calidad ¿Cuál es la probabilidad de que ésta provenga de Bauxilum?

32. Un médico ha decidido recetar dos nuevos medicamentos a 200 pacientes enfermos del corazón, de la

manera siguiente: 50 pacientes tomarán el medicamento A, otros 50 tomarán el medicamento B y el resto tomarán ambos. El medicamento A reduce la probabilidad de infarto en un 35% , el B la reduce en un 20% y los dos medicamentos cuando se toman juntos actúan de manera independiente. Si un paciente elegido al azar sufre un infarto ¿Cuál es la probabilidad de que haya tomado ambos medicamentos?

33. La profesora González ha estado enseñando Estadística básica por muchos años. Ya sabe que el 80%

de sus alumnos hace toda la tarea. También sabe que el 90% de los que hacen toda la tarea aprueba el curso. De los estudiantes que no hacen la tarea el 60% aprueba. Pedro Pérez cursó Estadística el semestre pasado con esta profesora y aprobó. ¿Cuál es la probabilidad de que haya hecho todas sus tareas?

34. De acuerdo a un historial de mantenimiento que le llevo a mi carro, en tres años obtuve los siguientes

datos: De las 35 veces que ha presentado fallas mi carro 20 han sido por motivos mecánicos y el resto por motivos eléctricos. También tengo registrado que de esas 35 veces el carro me ha dejado accidentada 15 veces. ¿Cuál es la probabilidad




REGLAS DE CONTEO

(Leyes de la Combinatoria para el cálculo del número de posibles arreglos en un conjunto) En un experimento es importante saber identificar y contar todos los resultados posibles. Cuando hablamos del lanzamiento de dos monedas es fácil contar y decir que son cuatro los resultados posibles. Cuando analizamos el lanzamiento de dos dados, nos tardamos un poco más pero todavía podemos contar de la forma tradicional y decir que hay un total de 36 resultados. A medida que los experimentos contienen más resultados el procedimiento se hace más tedioso. Para facilitar entonces este procedimiento se recurre a las reglas de conteo, las cuales se utilizarán según el caso.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN <<Si hay "m" maneras de hacer una cosa y "n" maneras de hacer otra cosa, entonces hay "m x n" maneras de hacer las dos>>" (Lind/Mason,3°Ed.p.146)

¿Cuántas formas hay de escoger tu combo? 3 x 3 x 2 x 4 = 72 formas (3 opciones para el pan x 3 opciones del relleno x 2 opciones de las papas x 4 opciones de refresco )

La fórmula de la multiplicación se emplea para encontrar el número de combinaciones posibles de dos o más grupos de opciones, o dos o más etapas del experimento. RESPONDE AHORA: ∗ Se juegan cinco dados, ¿De cuántas formas pueden caer? ∗ Los asegurados de una compañía se clasifican por edades, por estado civil y por sexo. Por edades: menos

de 30, entre 30 y 45, más de 45. Por estado civil: soltero, casado, viudo. Por sexo: Masculino, femenino ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento? Ayúdate con un diagrama de árbol.

HAMBURGUESA DE POLLO

DE CARNE

PAN FRANCES

ENROLLADO

DE COCHINO

DE POLLO

DE CARNE

DE COCHINO

DE POLLO

DE CARNE

DE COCHINO

CON PAPAS

SIN PAPAS

PEPSI

CHINOTTO

COLITA

NARANJA




Los siguientes casos son el producto de la aplicación de la regla de la multiplicación, las variantes están en el orden de salida y la repetición de resultados. 1. MUESTRAS ORDENADAS CON REPETICIÓN:

Se emplea para encontrar el número posible de combinaciones cuando, de un grupo de opciones. (Un conjunto): ∗ Importa el orden de salida de cada resultado. ∗ El resultado se puede dar tantas veces como sea posible por dos razones: porque hay otros iguales

ó porque simplemente se devuelve al conjunto de donde se escogió.

El número de resultados ordenados con repetición se puede calcular por: N n

Por extensión: del ejercicio de los dados pudiste observar que la respuesta es multiplicar 5 veces 6. Es decir : 6x6x6x6x6 = 65 RESPONDE AHORA: ∗ Se juegan ocho dados, ¿De cuántas formas pueden caer? ∗ Un examen tipo verdadero/falso es respondido por una persona que carece de todo conocimiento sobre el

tema. Si la persona debe responder diez preguntas ¿De cuántas formas distintas puede responder el examen?

∗ Las placas de los carros particulares en Venezuela tienen la siguiente configuración: LLL-NNL, donde L es una letra del alfabeto, comprendido entre la “A” y la “Z”, y N es un número comprendido entre el “0” y el “9”. Cuántos carros se pueden matricular con esta configuración?

2. REGLA DE LA PERMUTACIÓN. (MUESTRAS ORDENADAS SIN REPETICIÓN)

La fórmula de la Permutación se emplea para encontrar el número posible de combinaciones en un grupo de opciones cuando: ∗ Importa el orden de salida de cada resultado. ∗ El resultado se puede dar una sola vez por dos razones: porque no hay uno o más iguales ó porque

simplemente no se devuelve al conjunto de donde se escogió. EJEMPLO 1: De cuántas maneras puedo arreglar los tres números(permuta).Ejemplo:1,2 y 3.

123 - 231 - 312 - 132 - 213 - 321

En este caso importa el orden de aparición de los números, porque si no importara cualquiera de las opciones sería la misma. Para ubicar en el primer puesto de la derecha tenemos 3 posibilidades, para el puesto del centro tenemos 2 opciones y para el puesto de la izquierda una sola. Entonces en total será: 3x2x1= 6 EJEMPLO 2: ¿De cuántas formas se puede elegir al 1° y 2° lugar, entre 10 finalistas? Para el 1° lugar hay 10 posibilidades, pero para el 2° lugar (como ya se escogió el 1° lugar) sólo hay 9 posibilidades. Entonces, en total habrá 10x9 = 90 formas de escogerlos. En forma general : )1.(..........*)2(*)1(*

nNP +−−−= n��

(n factores) RESPONDE AHORA: • ¿De cuántas maneras los 48 miembros de un club pueden elegir a 1 presidente, 1 vicepresidente, 1

secretario y 1 tesorero? • Determina el n° de posibles permutaciones de 2 (n) de las 5 (N) vocales




Si acudimos a las simplificaciones matemáticas, la fórmula anterior se puede expresar como: El número de resultados ordenados sin repetición se puede calcular por:.

PERMUTACIÓN

De cuántas formas diferentes se pueden elegir "n" objetos de un conjunto de "N" objetos distintos, importando el orden en el cual salen.

n)!-(N

N!nN

P =

3. REGLA PARA COMBINACIONES (MUESTRAS NO ORDENADAS SIN REPETICIÓN)

Se emplea para encontrar el número posible de combinaciones en un grupo de opciones cuando: ∗ No Importa el orden de salida de cada resultado. ∗ El resultado se puede dar una sola vez porque la observación simplemente no se devuelve al conjunto

de donde se escogió. El número de resultados NO ordenados sin repetición se puede calcular por:.

COMBINACIÓN

Número de formas en que se pueden seleccionar "n" objetos de un conjunto de "N" objetos distintos sin importar el orden en el cual salgan

n)!-n!*(N

N!nN

C ==

n

�

Podemos darnos cuenta que: n!

nP

NnN

C =

EJERCICIOS

35. Determina el número de formas en que es posible que clasifiquen 3 de 12 vendedores de bienes raíces en

1°, 2° y 3° lugar. 36. ¿En cuántas formas puede acomodar un juez a 6 corredores en la línea de partida? 37. Determina el n° de formas en que una persona puede seleccionar 4 productos de una lista de 8? 38. ¿En cuántas formas pueden escogerse 4 interruptores buenos y 2 defectuosos de un lote que contiene 20

interruptores buenos y 5 defectuosos? 39. Un constructor puede terminar 0,1 ó 2 casas en un mes. Construya un diagrama de árbol para indicar las

formas en la que el constructor puede terminar exactamente 2 casas en tres meses. 40. En un estudio de mercado los jefes de familia se clasifican en 6 categorías de acuerdo con su ingreso, 5

categorías según su grado de educación y 4 categorías según su lugar de residencia ¿Cuántas formas diferentes hay para clasificar un jefe de familia?

41. Un examen consta de 10 preguntas con 4 opciones cada una. ¿En cuántas formas puede un alumno marcar las respuestas a estas preguntas, si señala una respuesta para cada una de las 10 preguntas?. ¿De cuántas maneras puede obtener una calificación perfecta?

42. De 10 valores más negociados un inversionista desea elaborar una lista de tres de estos títulos en orden de importancia, para la posible compra. ¿Cuántas permutaciones habrá con 3 de los 10 títulos?

43. El representante de un sindicato desea hablar con 3 de 10 trabajadores. A) Si es importante el orden de las visitas, en cuántas formas puede planear las 3 entrevistas? b)Si no importa el orden ¡de cuántas maneras puede hacerlas?

44. Calcule el número de formas en la cual un capataz puede escoger a 12 de 18 trabajadores para asignarle trabajo extra.




EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

46. Calcula el número de formas en las que Tú puedes escoger, aleatoriamente, tres problemas de probabilidad del texto de Richard Levin, cuatro del Freund y dos del Mason. Sabiendo que el primero tiene 32 ejercicios, el segundo tiene 20 y el tercero tiene 10.

47. De acuerdo a estudios realizados, la probabilidad de que una persona compre una casa durante el año es de 0,033 y la de que compre un carro es de 0,168. Además, la probabilidad de que compre una casa o un carro durante el año es de 0,197. Se pregunta: a)¿Cuál es la probabilidad de que una persona compre una casa y un carro? b)¿Cuál es la probabilidad de una persona compre un carro durante el año dado que compró una casa durante el año?. c) Representa este problema con un diagrama de Venn y con un diagrama de árbol. d) Demuestra si los eventos son independientes o no.

48. En un artículo de prensa (El Nacional, 30/03/03.Cuerpo B, Pág.1) se lee lo siguiente: ".....Datanálisis calcula

que, en general, 53% de los trabajadores venezolanos tiene un trabajo informal. Pero al estudiar el fenómeno por

estratos sociales, los cálculos indican que el 40% de los trabajadores, que pueden considerarse como parte de la clase

media, trabajaban a finales de febrero en la economía subterránea, como también la denominan...." a. Si entrevistamos a un venezolano, que trabaja en el sector informal "...sin un ingreso seguro y sin

recibir los beneficios que establece la Ley del Trabajo...” ¿Cuál es la probabilidad de que éste pertenezca a la clase media? Suponga que la clase media representa un 15 % de la población venezolana. b. Elabora el diagrama de árbol con los datos suministrados

49. Al concesionario FIAD llegó un pedido de la ensambladora de diez carros, tres Palio, tres Uno y cuatro Stilo. ¿Qué probabilidad se tiene de vender dos carros del mismo modelo si las ventas de modelos diferentes se hacen al azar? Ayúdate con un diagrama de árbol.

50. Se ha realizado una encuesta a los alumnos de la asignatura Matemática I, a fin de detectar la causa principal del alto índice de alumnos reprobados. Se les preguntó lo siguiente: ¿Cuál crees tú que sea la causa principal por la cuál hay tantos reprobados este semestre en Matemática I?. • El 48% de los alumnos contestaron: Los contenidos son difíciles de entender. • El 23% de los alumnos contestaron: “El profesor es muy exigente”. • El 16% contestó: “los alumnos no estudiamos lo que esta materia exige”. • El resto contestó: “�inguna de las anteriores” También se les preguntó si habían aprobado o no esta asignatura, y los resultados fueron: • El 35% de los que piensan que los contenidos son difíciles de entender, aprobó la asignatura. • El 22% de los que creen que el profesor es muy exigente, aprobó la asignatura. • El 14% de los que opinan que los alumnos no estudiamos lo que la materia exige, aprobó. • El 48 % de los que piensan que se debe a otras causas distintas a las anteriores, aprobó. a) Utiliza la representación que creas te va ayudar a visualizar el problema. (D. Árbol, o Venn o tabla de contingencia) b) Si escogemos al azar un alumno que haya aprobado esta materia, ¿Cuál es la probabilidad de que considere que la causa principal por la cual hay un alto índice de reprobados sea que "los alumnos no estudiamos lo que la materia exige"? (2 puntos) c) Formula una pregunta distinta a la anterior y contéstala. (1 punto)

51. Si una prueba de selección múltiple consta de cinco preguntas, cada una con cuatro posibles respuestas, de las cuales sólo una es correcta. ¿En cuántas formas puede un estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas?

52. Se contratan los servicios de una empresa consultora para determinar las 3 mejores marcas fabricantes de monitores para computadoras. En el estudio se incluirá un total de 10 marcas. ¿De cuántas formas distintas puede la empresa consultora llegar al ordenamiento final de las 3 mejores marcas?

53. La placa de mi carro es XJA-35K- Sabiendo que así son las placas de los carros particulares ¿Cuántos carros particulares se pueden matricular en nuestro país como máximo?

54. Calcule el número de formas en las que un gerente de ventas puede escoger a 5 de 18 vendedores. Calcule también el número de formas en las que dicho gerente puede asignarle un vendedor (de los 18) a cada una de las siete zonas de venta.

55. Calcule el número de formas en las que un supervisor puede escoger a 6 de 18 trabajadores para asignarles trabajo extra. Calcule también el número de formas en las que les puede asignar los seis tornos del taller




56. Al hospital de Guaiparo han ingresado doce enfermos, tres de ellos vienen con fiebre, cinco tienen vómito y cuatro de ellos vinieron porque tenían la tensión alta. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros pacientes que atienda el médico tengan el mismo síntoma? Ayúdate con un diagrama de árbol.

Fuente: http://strix.ciens.ucv.ve/~teorprob/practicas/p1.pdf 57. Un ladrón está huyendo de un policía en pleno Puerto Ordaz. Al encontrarse en el semáforo de Makrocentro

puede huir hacia Wendy´s, hacia San Félix o hacia la Avenida Las Américas. Las probabilidades de que corra hacia cada una de estas direcciones son: 0,15, 0,60 y 0,25 respectivamente. La probabilidad de ser alcanzado es de 0,6 si huye por la calle de Wendy´s, si huye hacia San Félix es 0,5 y si huye hacia la Av. Las Américas es 0,4. a) Diagrama de Arbol. b) Calcule la probabilidad de que la policía alcance al ladrón c) Si el ladrón ha sido alcanzado, ¿cuál es la probabilidad de que haya escogido escapar por la calle de Wendy´s? Adaptación: ZP Fuente: http://www.terra.es/personal2/jpb00000/pprobjunio00.htm

58. Cuando fallan dos equipos de computación en el laboratorio de redes, de Ing. En Informática, se les repara de manera independiente una de la otra. Suponte que el laboratorio tiene cuatro equipos. A partir de la experiencia se sabe que cada equipo está fuera de servicio 4% de todo el tiempo. a) Si el equipo uno está fuera de servicio ¿Cuál es la probabilidad de que los equipos dos y tres estén fuera de servicio? b) Si el Jefe de Laboratorio de Redes te dice que las posibilidades de que los cuatro equipos estén fuera de servicio al mismo tiempo son menores a uno entre cinco millones.¿Es esto cierto?

59. Si un huracán se forma en la parte oriental del Golfo de México, hay 76% de posibilidades de que éste golpee la Costa occidental de Florida. A partir de los datos recabados, en los 50 años pasados se ha determinado que la probabilidad de que se forma un huracán en la parte oriental del golfo, en cualquier año dado es de 0,85. a) Cuál es la probabilidad de que un huracán se forme en la costa oriental de Golfo de México y llegue a la costa occidental de Florida este año? b) Si un huracán formado en la costa oriental del golfo de México es fumigado (es decir, se le induce a llover mediante la irrigación de productos químicos desde aeronaves), la probabilidad de que golpee la costa occidental de Florida se reduce en un cuarto. Si se decide fumigar a todo huracán que se forme en la parte oriental del golfo de México ¿Cuál sería entonces la nueva probabilidad preguntada en el inciso (a)?

60. La víctima de un accidente morirá, a menos que reciba en los próximos 10 minutos una cantidad de sangre tipo A Rh+, la cual debe provenir de un donador único. Se necesitan dos minutos para analizar la sangre de un donador probable, y dos minutos para completar la transfusión. Hay un gran número de donadores de tipo desconocido de sangre y el 40% de ellos es del tipo A Rh+. ¿Cuál es la probabilidad de que se salve la víctima, si sólo hay un equipo de análisis de sangre? R: 0,8704. (Scheaffer/Mc Clave,1993;p.63)

61. En Tony´s Pizza, en cada compra de una pizza grande, el cliente recibe un cupón para raspar y ver si se

gana un premio. Las probabilidades de ganar un refresco son de 1 en 10, y las probabilidades de ganar una pizza grande son de 1 en 50. Si tú piensas ir mañana a comer en Tony´s Pizza ¿Cuál es la probabilidad de que; a) Te ganes una pizza grande o un refresco? b) No te ganes una pizza; c) No te ganes una pizza en tres visitas consecutivas; d) te ganes por lo menos una pizza en una de sus tres próximas visitas? (Lind,Mason,Marchal, 2001; p.155)

62. Multinacional de Seguros clasifica a sus clientes en tres categorías cuando solicitan una póliza de seguros:

Alto riesgo, mediano riesgo y Bajo riesgo. Según las estadísticas, las proporciones de clientes de alto, mediano y bajo riesgo son 30%, 50% y 20% respectivamente. La compañía también estima que: 1 de cada 100 clientes de bajo riesgo tienen un accidente; 3 de cada cien clientes de mediano riesgo tienen un accidente; y 1 de cada 10 clientes de alto riesgotienen un accidente. El mes pasado, la compañía le vendió una póliza a Pedro Pérez y la semana pasada, cuando venía de su trabajo, Pedro tuvo un accidente. ¿Cuál es la probabilidad de que Pedro sea un cliente de alto riesgo? ¿de mediano riesgo? ¿de bajo riesgo? Adaptación ZP. (Lind,Mason,Marchal, 2001; p.157)

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